時空の問題として考える揺らぎと 構造の自己組織化

吉田善章 東京大学・新領域創成科学研究科

Self-organized plasma confinement

Jovian magnetosphere

Self-organized confinement by VORTEX

kurasse.jp/member/little-kinoko778/note/93577

Self-organized plasma confinement

RT-1 magnetospheric plasma

application: advanced fusion, antimatter plasma

matter vs. space-time

物語 narrative

中心

揺らぎ

中心の相対化 時空の主題化

自己組織化する 自然・社会

a priori 時空

中心＝主題の脱構築

Theoretical statements

• 力学の時空＝渦 • micro = canonical / macro = noncanonical • 階層性= 葉層構造 • 葉層の埋め込み＝自己組織化するマクロ構造 References [1]吉田善章, 時空の問題として見るプラズマ物理 ――〈渦〉とは何かをめぐって，

日本物理学会誌 68 (2013), 74—81. [2]ZY & P.J. Morrison, Unfreezing Casimir invariants: singular perturbations

giving rise to forbidden instabilities, http://arxiv.org/abs/1303.0887.

general Hamiltonian system

• Hamiltonian mechanics is dictated by { , } (Poisson bracket) and H (Hamiltonian)

{ }

{ } )(),(,

,

uFJuGFG

HFFdtd

uu ∂∂=

=

−

==0

0 symplectic Canonical

II

J

Space (symplectic geometry) Matter (energy)

渦

Foliated phase space of non-canonical Hamiltonian system

• Ker(J) = Coker(J) ={ grad C (u) }

The “effective” phase space of constrained dynamics

•Equilibrium points? •Stability? •Thermal equilibrium?

Casimir element

Scale hierarchy of magnetized particles

( ) φqVVVmH dbc +++= 222

2

( ) φµω qVVmH dbcc +++= 22

2

“quasi-particle”

Coarse-graining

),;,;,(),;,;,( |||| θθ θζµϑθζϑ PpPpp ccc →=z

=→

=

c

cnc

c

c

c

JJJ

JJ

JJ

0000000

000000

Coarse-graining non-canonization

Grand-canonical distribution on Casimir leaf

( ) 0=−−− MENS γβαδ

∫∫∫∫

=

=

=

−=

zdfM

zdfHE

zdfN

zdffS

c

6

6

6

6

µ

log

( )µγβ −−= cHcf exp

Quasi-particle number Chemical potential

Density clump in lab-frame space

thermodynamic distribution on a Casimir leaf embedding into the lab-frame yields “structure”

Casimir foliation of infinite-dimensional phase space

• プラズマ・流体を「場」のHamilton系と考える 無限次元の位相空間（関数空間）

• helicity によって位相空間は葉層化する

• helicity は「渦」のトポロジーを計量する

ZY & R.L. Dewar, Helical bifurcation and tearing mode in a plasma—a description based on Casimir foliation, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 365502 (36pp).

circulation ＝identity of vortex

[ ]

( )hHcqm

dddtd

t

tLt

tL

+=−∇=××∇+∂+=

=⋅××∇+∂=

⋅ ∫∫

ϕϕVPPAVP

xVPPxP

)()/(

)()()(

obeys momentum canonical if

0

µµ Vxdtd

= µµ Uxdsd

=

Relativity destroys the “synchronity” of a cycle.

“twists” space-time generate circulation ∫ −

)(tLTdS1γ

Pure-state vorticity in relativistic space-time

Conclusion

• 「揺らぎ」は「要素」の集団と考える．

• 要素の identity は空間によって与えられる．

• 空間＝差異の体系＝環のイデアル

• 環の変形 空間の相対化

• ミクロ＝正準，マクロ＝非正準（葉層）

• 葉層を支配する幾何と「揺らぎ」の関係 自己組織化