VARIABLE ALEATORIA

Una variable es aleatoria si su valor está determinado por el azar. En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su

tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del

experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y

números reales.

DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son

puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el

experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de

caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3).

CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos

intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en

medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y

más infinito

FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD

En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de

una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto

del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la

integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

Definición: Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función matemática que caracteriza el comportamiento probable de una población. Es una función f(x) que especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x, y se define como la probabilidad de que X tome un valor entre x y x+dx, dividido por dx cuando dx es un número infinitesimalmente pequeño. La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente.

ESTIMADOR INSESGADO

En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la

población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del

precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones puede utilizarse como

estimador del precio medio.

Sesgo

Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del

parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser

su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.

Por ejemplo, si se desea estimar la media de una población, la media aritmética de la muestra es un estimador insesgado de la misma,

ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población.

En efecto, si una muestra X=(X1,X2,...,Xn)t procede de una población de media μ, quiere decir que:

E[Xi] = μ para cualquier i=1...n

La media aritmética o media muestral,

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

La Función de Distribución Acumulada corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor numérico menor o

igual a Ẍ� o representa el acúmulo de las probabilidades hasta alcanzar el valor de interés. Simbólicamente, lo anterior se expresa como: Fx=P (X≤x)

Por ejemplo, ; es la probabilidad de que la variable aleatoria Ẍ� tome el valor numérico menor o igual a 3.

La función de probabilidad acumulada cumple con las siguientes propiedades:

La gráfica de la función nunca decrece.

El valor de la función de probabilidad acumulada cuando el valor de la variable es demasiado grande (x tiende a mas infinito) se acerca a uno

El valor de la función de probabilidad acumulada cuando el valor de la variable es demasiado pequeño (x tiende a menos infinito) se acerca a cero.

En el caso de variables aleatorias continuas, los libros presentan tablas de la distribución acumulada. Por ejemplo, para el caso de la variable aleatoria normal estándar, al ubicarnos en dicha tabla se observará en el cuerpo de esta, las probabilidades acumuladas para un valor dado de la variable aleatoria.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

La inferencia estadística o estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra). • La Teoría de muestras. • La estimación de parámetros. • El Contraste de hipótesis. • El Diseño experimental. • La Inferencia bayesiana. • Los métodos no paramétricos

ESPERANZA MATEMÁTICA

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable

aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Definición Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :

La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral: