República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Defensa.

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional

Bolivariana.

UNEFA – Apure.

Profesora:

Isis Lugo.

San Fernando, Julio del 2011.

Integrantes:

María Rodríguez C.I: 20.230.667

Cindy Díaz C.I: 20.723.191

Sección: 09S3ICT_A

VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una

dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales

del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas

aplicaciones se hacen utilizando v.a. bidimensionales o n-dimensionales.

En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos

características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento

conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas. Para

poder estudiar conjuntamente las dos v.a., es necesario conocer la distribución de

probabilidad conjunta.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL

Sea la X una v.a. discreta que toma un número finito de valores x1, x2, ...,

xr y sea Y una v.a. de tipo discreto, que toma valores y1, y2, ..., ys. La

probabilidad de que la v.a. X tome el valor xi, y la v.a. Y toma el valor yj, la

designaremos por:

La distribución de probabilidad bidimensional o distribución de probabilidad

conjunta de una v.a. discreta bidimensional es una función P(xi,yj) que asigna las

probabilidades a los diferentes valores conjuntos de la v.a. bidimensional (X,Y), de

tal manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo discreto cuya distribución de

probabilidad es pij = P(xi,yj), i=1, 2, ..., r y j = 1, 2, ..., s. Se define la función de

distribución conjunta, F(x,y) como: y representa la suma de las probabilidades

puntuales P(xi,yj) hasta el valor (x , y) inclusive de la v.a. bidimensional (X,Y).

Consideremos ahora una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo:

Sea (X,Y) una v.a. bidimensional de tipo continuo, si existe una función

f(x,y) tal que verifica: diremos que f(x,y) es la función de densidad de la v.a.

bidimensional continua (X,Y).

Esta función de densidad conjunta, se puede interpretar como un

histograma de frecuencias relativas conjuntas para X e Y, pues la función de

densidad f(x,y) representa una superficie de densidad de probabilidad en el

espacio tridimensional , y el volumen por debajo de esta superficie y por encima

del rectángulo e , es igual a la probabilidad de que las v.a. tienen valores dentro

del rectángulo indicado, es decir:

Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo que toma valores sobre el

espacio bidimensional R2 y cuya función de densidad es f(x,y). Se define la

función de distribución de la v.a. bidimensional, F(x,y) como:

La función de distribución bidimensional satisface una serie de propiedades:

Variables Aleatorias

Definición: Si X e Y son dos v.a. definidas sobre el mismo espacio muestral.

Llamamos variable aleatoria bidimensional (X,Y) a una función

Definición: Llamamos función de distribución de una variable aleatoria

bidimensional (x,y) a

Variables Aleatorias Bidimensionales Discretas

Si llamo C al conjunto de posibles resultados de la v.a.b. (X,Y).

Si C tiene una cantidad finita o infinita numerable (x,y) se llama v.a.b. discreta.

Definición: Llamamos función puntual de probabilidad conjunta de una v.a.b.

discreta a una función.

Variables Aleatorias Bidimensionales Continuas

Si C tiene una cantidad infinita de puntos (X,Y) se llama v.a.b. continua.

Definición: Llamamos función de densidad conjunta de una v.a.b. continua.

Distribuciones Marginales

Si (x,y) es una v.a.b. con función de distribución F(x,y). Llamamos funciones

marginales de distribución de x e y a:

si la v.a. es discreta

Función puntual de probabilidad de X

Función puntual de probabilidad de Y

si la v.a. es continua

Función de densidad marginal de X

Función de densidad marginal de Y

Independencia de Variables

Definición: Si (x,y) es una v.a.b. diremos que X e Y son independientes si la

función de distribución conjunta es el producto de las marginales

si la v.a. es discreta

si la v.a. es continua

Observación: Si X e Y son independientes