Varðveisla orkunnar

Eðlisfræði 1 V/R7. fyrirlestralota, 8. kafli hjá

Benson

Þorsteinn Vilhjálmsson

8. Varðveisla orkunnar: Yfirlit Hugtakið staðarorka (stöðuorka) Staðarorka og hreyfiorka Geymnir kraftar, leiðin, mættisföll, dæmi

Geyminn kraftur sem stigull (gradient) Kraftur og mætti í einni vídd Staðarorka og hreyfing, orkuvarðveisla Þyngdarlögmál og stöðuorka, dæmi Ógeymnir kraftar

Staðarorka Höfum séð að vinna heildarkrafts = breyting

á hreyfiorku (W = K) Ef kraftarnir eru geymnir sem

kallað er, þá er til staðarorkufall U þannig að

W = - U = AB F . ds

U er þá eingöngu háð stöðunum A og B og við köllum það staðarorku eða stöðuorku

Staðarorka og hreyfiorka Af síðustu glæru sést aðK + U = K + U ) = E

= 0þegar kraftarnir eru geymnnir

Þetta kallast orkuvarðveisla

E = K + U = ½ m v2 + U

Geymnir kraftar og leiðin Kraftur er geyminn ef og

aðeins ef vinna hans er aðeins háð upphafs- og lokastöðu, en óháð leiðinni. Þá má skilgreina staðarorku U(r) þannig að

U (rB) = - AB F . dr + U0

þar sem U0 = U (rA) Ef A = B er heildarvinnan 0

Dæmi: Skíði og stangarstökk U breytist í K og öfugt

Geymnir kraftar og mættisföll 1: Þyngdarsvið

F = m g, U = U0 + mgy Potential energy,

mættisorka - mættisfall

Geymnir kraftar og mættisföll 2: Gormur

F = - kx, U = ½ k x2

Geyminn kraftur sem stigull Geyminn kraft má skilgreina eða

reikna út frá stöðuorkunni sem stigul hennar (gradient):

F = - grad U = - (U/x i + U/y j + U/z k)

Kraftur og mætti í einni vídd Í einni vídd er

staðarorkan U = U(x) og krafturinn verður

F = - dU/dx Ef U = U(r) fæst á

sama hátt F = - dU/dx

Staðarorkan og hreyfingin E = K + U og K > 0

leiðir af sér aðE > U

Ef við höfum gefið mættisfall U og gefna orku E, þá getur hluturinn aðeins verið á því svæði þar sem E > U

Stærð hraðans og orkuvarðveisla

E = K + U = ½ m v2 + U v = [(2/m)(E – U))]1/2

Sjá mynd á síðustu glæru Sbr. t.d. lausnarhraða, sjá síðari

glæru

Stöðuorka skv. þyngdarlögmáli Þyngdarlögmál

Newtons:F = -GMm/r2 ur

Út frá því fæst fyrir stöðuorkuna

U - U0= - AB F . dr =

-GMm/r Hér er oft valið U0 = 0 Lausnarhraði

F ur

r

Þyngdarlögmál og stöðuorka við yfirborð jarðar

U = -GMm/r U - U0= -GMm/(R + y) -

GMm/R Taylor-röð (y/R << 1):

1/(R + h) = (1/R) 1/(1 + y/R) =

(1/R) (1 - h/R + ...) U - U0 = -(GMm/R2)y =

mgy eins og vera ber! En skýringar eru í bók og

líka gefnar í tíma

Ógeymnir kraftar Ef F er ekki geyminn gildir meðal annars

að ekki er til fall U(r) þannig að F = - grad U

Ferilheildi kraftsins AB F . dr er ekki

aðeins háð leiðinni sem farin er milli punktanna A og B heldur jafnvel líka hraðanum á leiðinni.

Dæmi: Núningskraftar, sbr. fyrri glærur; segulkraftar

Eskimóinn á snjóhúsinu Eskimói rennur

niður af kúlulaga snjóhúsi án núnings. Við hvaða horn sleppir hann?