Valor Absoluto - Desigualdades No lineales · PDF filedos (desigualdades cuadr aticas) y polinomios de grado que dos (desigualdades de orden superior). ... Tercer paso: Buscamos los

Valor Absoluto - Desigualdades No lineales

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado V Absoluto - Des No Lin

Contenido

1 Valor AbsolutoDefinicionDesigualdades con Valor Absoluto

2 Desigualdades NO linealesDesigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales


Contenido




Valor AbsolutoDesigualdades NO lineales

DefinicionDesigualdades con Valor Absoluto

Contenido






Valor Absoluto

El valor absoluto de x ∈ R, denotado por |x | se define como

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

El valor absoluto es una distancia no dirigida. En particular, ladistancia de x al origen.De manera analoga, la expresion |x − a| es la distancia desde xhasta a.




Valor Absoluto

Teorema

Propiedades

1 |a · b| = |a| · |b|

2

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

3 |a + b| ≤ |a|+ |b| Desigualdad Triangular.

4 |a− b| ≥ ||a| − |b||

Otras propiedades son:

|x | < a ⇔ −a < x < a

|x | > a ⇔ x > a o x < −a




Contenido






Valor Absoluto

Ejemplo

Resolver|x − 2| < 2

Solucion:

−2 < x − 2 < 2

0 < x < 4

⇒ S : (0, 4)




Valor Absoluto

Ejercicios

Resolver |3x − 5| ≥ 1.

Solucion:




Valor Absoluto

Ejercicios


Solucion:




Valor Absoluto

Ejercicios


Solucion:

|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1




Valor Absoluto

Ejercicios


Solucion:

|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1

4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x




Valor Absoluto

Ejercicios


Solucion:

|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1

4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x

o3x ≥ 5 + 1 = 6x ≥ 6

3 = 2




Valor Absoluto

Ejercicios


Solucion:

|3x − 5| ≥ 1⇒ −1 ≥ 3x − 5 o 3x − 5 ≥ 1

4 = 5− 1 ≥ 3x43 ≥ x

o3x ≥ 5 + 1 = 6x ≥ 6

3 = 2

Ası ⇒ S :(−∞, 4

3

]∪ [2,∞)




Valor Absoluto

Recordemos que√a es la raız cuadrada no negativa de a.

Decir√

16 = ±4 es incorrecto. Lo correcto es decir ±√

16.Ası √

x2 = |x | y |x |2 = x2.

Esto nos permite afirmar que

|x | < |y | ⇔ x2 < y2.




Valor Absoluto


Decir√


16.Ası √

x2 = |x | y |x |2 = x2.


|x | < |y | ⇔ x2 < y2.




Valor Absoluto


Decir√


16.Ası √

x2 = |x | y |x |2 = x2.


|x | < |y | ⇔ x2 < y2.




Valor Absoluto

Ejercicios

Resolver

1 |3x + 1| < 2|x − 6|

2

∣∣∣∣2 +5

x

∣∣∣∣ > 1

3 |2x + 3| ≤ 1

4 |2x + 4| − |x − 1| ≤ 4




Valor Absoluto

Ejercicios

Soluciones

1 |3x + 1| < 2|x − 6| S : (−13, 115 )

2

∣∣∣∣2 +5

x

∣∣∣∣ > 1 S : (−∞,−5) ∪ (−53 , 0) ∪ (0,∞)

3 |2x + 3| ≤ 1 S : [−2,−1]

4 |2x + 4| − |x − 1| ≤ 4 S : [−9, 13 ]



Desigualdades Cuadraticas y SuperioresDesigualdades Racionales

Desigualdades no lineales

Para resolver las desigualdades no lineales estudiaremos algunostipos de desigualdades:

1 Desigualdades cuadraticas y de orden superior

2 Desigualdades racionales




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El primer tipo de desigualdad no lineal que estudiaremoscorresponde a desigualdades donde aparecen polinomios de gradodos (desigualdades cuadraticas) y polinomios de grado ≥ que dos(desigualdades de orden superior).En ambos casos, siempre debemos factorizar los polinomios yestudiar los signos en cada intervalo. Veamoslo con ejemplos.





Ejemplo

Resolver la desigualdad x2 > 2x

Solucion:





Ejemplo


Solucion:





Ejemplo


Solucion:Primer paso: Pasamos todos los terminos al lado izquierdo de ladesigualdad

x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0





Ejemplo


Solucion:Primer paso: Pasamos todos los terminos al lado izquierdo de ladesigualdad

x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0

Segundo paso: Factorizamos

x2 > 2x ⇒ x2 − 2x > 0⇒ x(x − 2) > 0





Ejemplo


Solucion:Tercer paso: Buscamos los intervalos de cambio de signo. Estos seconstruyen con las raıces del polinomio:

x(x − 2) = 0⇒ x1 = 0, x2 = 2

Los intervalos son (−∞, 0), (0, 2) y (2,∞)Escogemos un testigo (numero) de cada intervalo:

−1 ∈ (−∞, 0), 1 ∈ (0, 2) y 3 ∈ (2,∞)





Ejemplo


Solucion:Cuarto paso: Hacemos una tabla:

(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)

−1 1 3

x

x − 2

x(x − 2)





Ejemplo


Solucion:Cuarto paso: evaluamos cada testigo en la expresion de la primeracolumna. El signo que da el resultado, lo colocamos en la casillacorrespondiente

(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)

−1 1 3

x − + +

x − 2 − − +

x(x − 2)





Ejemplo


Solucion:Cuarto paso: para la ultima fila, multiplicamos todos los signos decada columna:

(−∞, 0) (0, 2) (2,∞)

−1 1 3

x − + +

x − 2 − − +

x(x − 2) + − +





Ejemplo


Solucion:Analizamos los resultados:

En los intervalos (−∞, 0) y (2,∞) se tiene que x2 − 2x > 0

En el intervalo (0, 2) se cumple x2 − 2x < 0

Por lo que la solucion es

Sol: (−∞, 0) ∪ (2,∞)





Ejemplo

Resolver la desigualdad (x2 − 1)(2x + 4) < 0

Solucion:





Ejemplo


Solucion:





Ejemplo


Solucion:Primer paso: Factorizamos (ya todos los terminos estaban del ladoizaquierdo):

(x2 − 1)(2x + 4) < 0⇒ (x − 1)(x + 1)(2x + 4) < 0

Segundo paso: Buscamos las raıces

(x − 1)(x + 1)(2x + 4) = 0⇒ x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2





Ejemplo


Solucion:Segundo paso: Buscamos las raıces

(x − 1)(x + 1)(2x + 4) = 0⇒ x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2

Tercer paso: Construımos los intervalos(−∞,−2), (−2,−1), (−1, 1), (1,∞)

Con testigos:−3 ∈ (−∞,−2), −1, 5 ∈ (−2,−1), 0 ∈ (−1, 1), 2 ∈ (1,∞)





Ejemplo


Solucion:Cuarto paso: Hacemos una tabla:

(−∞,−2) (−2,−1) (−1, 1) (1,∞)

−3 −1, 5 0 2

x − 1 − − − +

x + 1 − − + +

2x + 4 − + + +

(x − 1)(x + 1)(2x + 4) − + − +





Ejemplo


Solucion:Como la pregunta es ¿cuando el polinomio es negativo? la soluciones

Sol: (−∞,−2) ∪ (−2,−1)





Ejemplo

Resolver la desigualdad (x − 1)(2− x) ≥ 1

Solucion:





Ejemplo


Solucion:





Ejemplo


Solucion:Paso 1: (x − 1)(2− x) ≥ 1⇒ (x − 1)(2− x)− 1 ≥ 0Paso 2: Resolvemos para factorizar

(x − 1)(2− x)− 1 ≥ 0

2x − x2 − 2 + x − 1 ≥ 0⇒ −x2 + 3x − 3 ≥ 0

Al aplicar la resolvente, notamos que no tiene raıces: no se puedefactorizar.

b2 − 4ac = 9− 4(−1)(−3)

= 9− 12 = −3 < 0





Ejemplo


Solucion:En estos casos, existe un solo intervalo: (−∞,∞). Cualquier valorservira de testigo, tomemos x = 0.Al evaluar (no hacemos tabla ya que tendrıa una sola columna):

−x2 + 3x − 3⇒ −02 + 3 · 0− 3 = −3 < 0

Por lo tanto, la expresion −x2 + 3x − 3 siempre es negativa, lo cualimplica solucion vacıa

Sol: ∅




Contenido







En los casos en que aparezca una fraccion, procedemos de manerasimilar, recuerda que no puedes pasar multiplicando ni dividiendoninguna expresion donde aparezca la variable ya que no conoces elvalor de x ni si el resultado es positivo o negativa (no sabes si ladesigualdad cambia o no).Veamos los ejemplos





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:Paso 1: Todo a la izquierda

2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x⇒ 2x + 1

1− x− x + 3

1− x≤ 0

Paso 2: Simplificamos y factorizamos numerador y denominador:

2x + 1

1− x− x + 3

1− x≤ 0 ⇒ 2x + 1− (x + 3)

1− x≤ 0

⇒ x − 2

1− x≤ 0





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:Paso 3: Ya factorizado, buscamos las raıces tanto del numerador ydenominador, estos valores determinaran los intervalos:

x − 2

1− x≤ 0⇒ x1 = 2, x2 = 1

Intervalos(−∞, 1), (1, 2), (2,∞)

Hacemos la tabla





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:Cuarto paso: La tabla:

(−∞, 1) (1, 2) (2,∞)

x − 2 − − +

1− x + − −x(x − 2) − + −

Como la respuesta no depende de los testigos escogidos, podemosomitir la fila correspondiente.





Ejemplo

Resolver2x + 1

1− x≤ x + 3

1− x

Solucion:Por lo tanto la solucion es

Sol:(1, 2] ∪ [2,∞) = (1,∞)

Nota: En 2 el intervalo va cerrado por ser la desigualdad ≤. Pero enel 1 va abierto por ser la raız del denominador (siempre va abierto).





En general, no hace falta escribir los pasos, pero es importanteseguirlos

Pasar todo a la izquierda.

Factoriazar (el polinomio o el numerador y el denominador).Buscar raıces y definir intervalos.

Realizar la tabla.

Escribir la conclusion.





Ejercicios

Resolver

1x

x + 2< 0

22x + 1

1− x≤ x + 2

1− x3 x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0

4

∣∣∣∣x − 1

2− x

∣∣∣∣ ≥ 1

5(x2 − 1)(2x + 4)

x(3− x)> 0





Ejercicios

Soluciones

1x

x + 2< 0 S : (−2, 0)

22x + 1

1− x≤ x + 2

1− xS : R \ {1}

3 x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0 S : (1, 2) ∪ (3,∞)

4

∣∣∣∣x − 1

2− x

∣∣∣∣ ≥ 1 S :[

32 , 2

)∪ (2,∞)

5(x2 − 1)(2x + 4)

x(3− x)> 0 S : (−∞,−2) ∪ (−1, 0) ∪ (1, 3)





Saludos.Si no logras resolver correctamente los problemas planteados, nodudes en notificarlo en el foro de la unidad.Estaremos pendientes.


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