1

Zadatak 301 (Marko, gimnazija) Vlak se giba stalnom brzinom 60 km/h. U jednom trenutku vlakovoña počne jednoliko kočiti te vlak za 60 s prevali put od 600 m. Kolikom se brzinom vlak giba na kraju tog puta?

Rješenje 301

v0 = 60 km/h = [60 : 3.6] = 16.67 m/s, t = 60 s, s = 600 m, v = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 2 2 22

, , ,v a t s a t v a s= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za vrijeme t. Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijede formule za brzinu i put:

1 2 2 2 20 0 02, , .v v a t s v t a t v v a s= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

vv0

1.inačica Iz formula za put i brzinu pri jednolikom usporenom gibanju dobije se brzina vlaka na kraju puta.

2/ metoda

supstituc

1 21 2220 00 2

ij2

0 0 0e

ss v t a t v a ts v t a t

t

v v a t a t

t

v v a t v v

⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = −

⋅

( )2 2 2 2

2 20 0 0 0 0 0s s s s

v v v v v v v v v vt t t t

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ − − ⇒ = ⋅ − + ⇒ = + ⇒ + = ⇒

[ ]2 2 600

16.67 3. 3.33 11.9833 3 8 12 .0 .660

s m m m km kmv v

t s s s h h

⋅ ⋅⇒ = − = = ≈⋅− = =

2.inačica Iz formula za brzine pri jednolikom usporenom gibanju dobije se brzina vlaka na kraju puta.

( ) ( )2 2 2 2 22 2 0 00 0

00 0

a s v v v vv v a s a s v v

a t v vv v a t a t v v

⋅ ⋅ = − ⋅ += − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒

⋅ = −= − ⋅ ⋅ = −

( ) ( ) ( ) ( )podijelimo 0jednadžbe 0

2 20 0 0

0

v v v v v va s s

a t v v

v va

a vt v

− ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒

−

−= ⇒

⋅ − ⋅

2 2 20 0 0

s s sv v v v v v

t t t

⋅ ⋅ ⋅⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − =

[ ]3.33 3.62 600

16.67 3.33 11.988 12 .60

m m m km km

s s s h h

⋅= − = = = ≈⋅

3.inačica Iz formula za brzine pri jednolikom usporenom gibanju dobije se brzina vlaka na kraju puta.

( ) ( )22 2 2 2 2 2 0 02 2 20 0 00

0 0 0 / :

a s v v v vv v a s a s v v a s v v

v vv v a t a t v v a t v a

ttv

⋅ ⋅ = − ⋅ += − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒−= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = − =

2

( ) ( ) ( ) ( )metoda 1

/supstitucij

0 02e 0 0 0

02 0

v v v vs v v v v s v v v v

t v vt

− −⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅⋅ = − ⋅ +

−⇒

2 2 20 0 0

s s sv v v v v v

t t t

⋅ ⋅ ⋅⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − =

[ ]3.33 3.62 600

16.67 3.33 11.988 12 .60

m m m km km

s s s h h

⋅= − = = = ≈⋅

Vježba 301 Vlak se giba stalnom brzinom 60 km/h. U jednom trenutku vlakovoña počne jednoliko kočiti te vlak za 1 min prevali put od 0.6 km. Kolikom se brzinom vlak giba na kraju tog puta?

Rezultat: 12 km/h.

Zadatak 302 (Maturantica, medicinska škola) Padobranac prizemljuje brzinom 6 m/s. S koje bi visine trebao skočiti bez padobrana da postigne tu brzinu? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 302

v = 6 m/s, g = 9.81 m/s2, h = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 12, , , 2 22 2

,v a t s a t s v t v a s= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za vrijeme t. Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 12, , , 2 22 2

,v g t h g t h v t v g h= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v brzina pada, h visina pada.

Računamo visinu h sa koje treba skočiti padobranac bez padobrana da postigne zadanu brzinu.

1.inačica

metoda

supstitu

2 21 1

1 2 cij 22 21 22

2

e

vtv g t

v vgh g h g

gh g t gh g t

== ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

262 2

1 1 11.83 .

2 2 2 9.812

2

m

v v sh h m

mgg

g

s

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

2.inačica

metoda 21

su

11

2p 212

stitucije

2

vtv g t

v vgh v h

g gh v th v t

== ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ == ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

3

26

11.83 .

2 9.81 2

m

sm

m

s

= ⋅ =

3.inačica 2

622 2

2 2 1.83 .2 2 9.81 2

1/

2

m

v sv g h v g h h

gm

mg

s

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = = =⋅

⋅

⋅⋅

Vježba 302 Padobranac prizemljuje brzinom 10 m/s. S koje bi visine trebao skočiti bez padobrana da postigne tu brzinu? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 5.097 m.

Zadatak 303 (Maturantica, medicinska škola) Prevaljeni put kod vertikalnog hica opisan je: ) linearnom funkcijom vremenaA ) kvadratnom funkcijom vremenaB

)C t

3)D t

) eksponencijalnom funkcijom vremena.E

Rješenje 303

Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja jest svaka funkcija oblika

( )2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

gdje su a, b, c realni brojevi, a ≠ 0. Vertikalni hitac sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog pada. Zato mu je put s (ili visina h) u času kad je prošlo vrijeme t dan ovim izrazom:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

Pri vertikalnom hicu put je opisan funkcijom

( ) ( )1 12 2

,0 02 2h t v t g t h t g t v t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅

a to je kvadratna funkcija vremena. Odgovor je pod B.

Vježba 303 Trenutna brzina kod vertikalnog hica opisana je: ) linearnom funkcijom vremenaA ) kvadratnom funkcijom vremenaB

)C t

3)D t

) eksponencijalnom funkcijom vremena.E

Rezultat: A.

4

Zadatak 304 (Ivana, gimnazija) Ovisnost akceleracije o vremenu, za gibanje nekog tijela predstavljeno je dijagramom a = f(t). Izračunajte srednju brzinu tijela za t = 20 s, uz uvjet da je početna brzina tijela bila 0 m/s.

2010

- 3

3

t / s

a / m

s2

Rješenje 304

t = 20 s, v0 = 0 m/s, v = ?

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:

.s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s, onda kažemo da se na tom putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

.s

vt

=

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s sa početnom brzinom v0 jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 20 0,

2.v v a t s v t a t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put: 1 2

0 2.s v t a t= ⋅ − ⋅ ⋅

2010

- 3

3

t / s

a / m

s2

Sa slike vidi se da postoje dva intervala vremena t1 i t2 (t1 = t2 = 10 s) za koje je akceleracija po iznosu jednaka, ali ima suprotan predznak. Računamo put s1. U prvom vremenskom intervalu t1 početna brzina tijela jednaka je nuli pa put s1 iznosi:

5

( )

1 21 0 1 1 1 22 0 10 3 10 150 .1 22

00

s v t a tm m

s s s mm s svs

= ⋅ + ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

Na kraju vremenskog intervala t1 tijelo ima brzinu:

1 0 10 3 10 30 .1 200

v v a tm m m

v sms sv s

s

= + ⋅

⇒ = + ⋅ ==

U drugom vremenskom intervalu t2 tijelo usporava pa je brzina v1 njegova početna brzina prije usporavanja. Računamo put s2.

( )

1 21 1 222 0 2 22 30 10 3 10 150 .2 1 2 2 22 2

0 1

s v t a t m ms v t a t s s m

s sv v

= ⋅ − ⋅ ⋅⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

=

Srednja brzina v tijela za vrijeme t na putu s iznosi:

150 15011 2

1 2

2 15 .10 101 2

s ss m m mv v

t t

s s s

t t t t s s s

+ += ⇒ ⇒ = = =

=

= +

+

++

Vježba 304 Ovisnost akceleracije o vremenu, za gibanje nekog tijela predstavljeno je dijagramom a = f(t). Izračunajte srednju brzinu tijela za t = 20 s, uz uvjet da je početna brzina tijela bila 0 m/s.

a / m

s2

t / s

2

- 2

10 20

Rezultat: 10 m/s. Zadatak 305 (Dado, gimnazija) Automobil vozi 10 sekundi jednoliko na horizontalnom putu brzinom 40 km/h. Nakon toga doñe do nizbrdice gdje dobiva akceleraciju 1 m/s2. a) Koliku će brzinu imati automobil 30 sekundi nakon početka gibanja? b) Koliki će put prevaliti za to vrijeme? c) Nacrtaj grafički prikaz brzine za to gibanje i iz grafikona nañi ukupni put što ga je automobil prevalio.

Rješenje 305

t1 = 10 s, v0 = 40 km/h = [40 : 3.6] = 11.11 m/s, a = 1 m/s2, t2 = 30 s, v = ?, s = ?

v

v0

6

Jednoliko pravocrtno gibanje je gibanje stalnom brzinom. Put je razmjeran s vremenom:

.s v t= ⋅

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s sa početnom brzinom v0 jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 20 0,

2.v v a t s v t a t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

a) Automobil ima početnu brzinu v0 i počinje se ubrzavati u vremenskom intervalu

2 1t t t= −

pa mu je konačna brzina

( ) ( )11.11 1 30 10 31.11 .0 0 2 1 2m m m

v v a t v v a t t s ss ss

= + ⋅ ⇒ = + ⋅ − = + ⋅ − =

b) Automobil se u vremenskom intervalu t1 giba stalnom brzinom v0, a onda se počinje ubrzavati u vremenskom intervalu

2 1t t t= −

pa ukupni prijeñeni put iznosi:

( ) ( )21 12

0 1 0 0 1 0 2 1 2 12 2s v t v t a t s v t v t t a t t= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

0 1 2 1 2 1 0 2 2 11 12 2s v t t t a t t s v t a tt t t⇒ = ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ + + ⋅ ⋅ −− ⇒

( ) ( )21 1 2

11.11 30 1 30 10 533.3 .0 2 2 1 22 2

m ms v t a t t s s s m

s s

⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⋅ − =

c) Grafički prikaz brzine

v / m

s

t / s

40

20

4030200 10

v / m

s

t / st / s

v / m

s

40

30

20

10

403020

40

30

20

10

4030200 10 0 10

U v, t – dijagramu površina ispod krivulje odgovara veličini puta što ga je tijelo prešlo gibajući se u vremenu t brzinom v. Dakle, prijeñeni put može se odrediti računajući površinu ispod krivulje v(t).

7

Iz dijagrama se vidi da je ukupni put što ga je automobil prevalio po iznosu jednak površini lika ispod krivulje (površina pravokutnika – plava boja plus površina trapeza – zelena boja), tj. 533 m.

Vježba 305 Automobil vozi 10 sekundi jednoliko na horizontalnom putu brzinom 40 km/h. Nakon toga doñe do nizbrdice gdje dobiva akceleraciju 2 m/s2. Koliku će brzinu imati automobil 30 sekundi nakon početka gibanja?

Rezultat: 51.11 m/s. Zadatak 306 (Dado, gimnazija) S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 0.8 m/s. Nañi visinu mosta i brzinu kojom kamen padne u vodu ako pada 3 sekunde. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 306

v0 = 0.8 m/s, t = 3 s, g = 9.81 m/s2, h = ?, v = ? s = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 2 2 22

, , .v g t h g t v g h= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v brzina pada, h visina pada. Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formule za slobodni pad glase:

1 2 2 2 20 0 02, , .v v g t h v t g t v v g h= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅

Računamo visinu mosta.

( )1 1 22 0.8 3 9.81 3 46.55 47 .0 22 2

m mh v t g t s s m m

s s= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈

Brzina kojom kamen pada iznosi: 1.inačica

0.8 9.81 3 30.23 30 .0 2m m m m

v v g t ss s ss

= + ⋅ = + ⋅ = ≈

2.inačica

/2

2 2 2 2 22 2 2 0.8 2 9.81 470 0 0m m

v v g h v v g h v v g h ms s

= + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

30.38 30 .m m

s s= ≈

Vježba 306 S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 80 cm/s. Nañi visinu mosta ako kamen pada 3 sekunde. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 47 m. Zadatak 307 (Ana, gimnazija) S vrha brijega bacimo kamen u horizontalnom smjeru. Padina brijega nagnuta je prema horizontalnoj ravnini za kut α = 30°. Kojom je brzinom bačen kamen ako je na padinu brijega pao 200 m daleko od mjesta gdje je izbačen? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 307

α = 30°, d = 200 m, g = 9.81 m/s2, v = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici. Horizontalni hitac je gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru brzinom v0 i slobodnog pada. Za vrijeme t tijelo je prešlo put u horizontalnom smjeru

8

0 ,x v t= ⋅

a u vertikalnom je smjeru palo za

2.

1

2y g t= ⋅ ⋅

d2

d1

d

αααα

αααα

Za vrijeme t tijelo u vodoravnom (horizontalnom) smjeru prevali put

,1d v t= ⋅ (1)

a u vertikalnom smjeru je palo za

1 2

.2 2d g t= ⋅ ⋅ (2)

αααα

αααα

d

d1

d2

Uočimo pravokutan trokut čije su katete putovi d1 i d2, a hipotenuza duljina padine brijega d. Tada je:

2sin sin (3)2 .(4)cos1 1cos

d

d dd

d d d

d

α α

αα

= = ⋅⇒

= ⋅=

Iz (1) i (4) dobije se:

metoda

komparaci

1 cos .cos1 je

d v tv t d

d dα

α

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⋅

= ⋅

Iz (2) i (3) dobije se:

metoda/ 2

komparacije

1 21 12 22 2 sin sin2 2sin2

d g tg t d g t d

d d

α α

α

= ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

⋅

⋅

=

22 sin .g t d α⇒ ⋅ = ⋅ ⋅

Da bismo izračunali brzinu v moramo riješiti sustav jednadžbi.

9

2 2 2 2cos cos cos2 2 22 sin 2 sin 2 sin

2/ podijelimo

jednadžbe

v t d v t d v t d

g t d g t d g t d

α α α

α α α

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2 2

2

2 2 2 2 22 2 2cos cos cos2 2 sin 2 sin 2 sin

v t d v d v d

d gg t g

t

dt

α α α

α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

2 2 2 2 2cos cos cos cos2 2

2 sin 2 sin 2 sin n/

s/

2 i

v d g d g d g dvg v v

g

α α α α

α α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

9.81 20020cos cos 30 38.36 .

02 sin 2 sin 30

mm

g d msvs

αα

⋅⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

Vježba 307 S vrha brijega bacimo kamen u horizontalnom smjeru. Padina brijega nagnuta je prema horizontalnoj ravnini za kut α = 30°. Kojom je brzinom bačen kamen ako je na padinu brijega pao 800 m daleko od mjesta gdje je izbačen? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 76.72 m. Zadatak 308 (Iva, gimnazija) Tijelo smo bacili početnom brzinom v0 pod kutom α prema horizontalnoj ravnini. Tijelo se vratilo na tlo za 3 sekunde. Koju je najveću visinu postiglo? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 308 v0, α, t = 3 s, g = 9.81 m/s2, Y = ?

Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja. Pri takvom gibanju vrijedi načelo neovisnosti gibanja koje glasi: Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odreñenom vremenskom razmaku, a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istome vremenskom razmaku. Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici. Kosi hitac sastoji se od jednolikoga gibanja brzinom v0 po pravcu koji s horizontalnim smjerom zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada. Vrijeme za koje tijelo stigne do najviše točke je

si.

n0vt

g

α⋅=

Maksimalna visina iznosi: 2 2sin

.02

vY

g

α⋅=

⋅

Za slobodan pad vrijedi izraz 2,

1

2h g t= ⋅ ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada. Za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

1.inačica

Budući da se tijelo vratilo na tlo za vrijeme t, do najviše točke stiglo je za polovicu tog vremena pa vrijedi:

sin sin1 1 10 0 sin .02 2 2/

v vt t v t g

g gg

α αα

⋅ ⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅

Najveća visina Y koju je tijelo postiglo iznosi:

10

( )

1 21 sin 1 1sin 2 200 22 2 422 2sin 2 2s

metoda

supstituciin0 02 2

je

v t gv t g t g t g

Y Yv g gv

Y Yg g

αα

α α

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅⋅

= = ⋅ ⋅

( )2

3 9.812 2 2 2 2211.04 .

8 8 8 8

ms

t g t g t g s

gY Y Y m

g

⋅⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = = =⋅ ⋅

2.inačica Zbog neovisnosti gibanja možemo izračunati visinu Y sa koje je tijelo počelo slobodno padati u

vremenskom intervalu .2

t

2 21 1 3

9.81 11.04 .22 2 2 2

t m sY g m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 308 Tijelo smo bacili početnom brzinom v0 pod kutom α prema horizontalnoj ravnini. Tijelo se vratilo na tlo za 4 sekunde. Koju je najveću visinu postiglo? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 19.62 m. Zadatak 309 (Marija, gimnazija) Kamen bacimo brzinom 10 m/s pod kutom elevacije 40°. On padne na zemlju na udaljenosti d od početnog položaja. S koje visine sy treba baciti kamen u horizontalnom smjeru da bi uz jednaku početnu brzinu pao na isto mjesto? Otpor zraka zanemarimo. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 309 v0 = 10 m/s, α = 40°, d, g = 9.81 m/s2, sy = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici. Horizontalni hitac je gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru brzinom v0 i slobodnog pada. Za vrijeme t tijelo je prešlo put

0 ,x v t= ⋅

a u vertikalnom je smjeru palo za

2.

1

2y g t= ⋅ ⋅

Domet D horizontalnog hica, ako je zadana početna brzina v0 i visina y, iznosi:

20 .

yD v

g

⋅= ⋅

Kosi hitac sastoji se od jednolikoga gibanja brzinom v0 po pravcu koji s horizontalnim smjerom zatvara kut α (kut elevacije) i slobodnog pada. Domet D kosog hica iznosi:

2sin 20 .

vD

g

α⋅=

αααα

v0

v0

sy

d

11

1.inačica Vrijeme t, za koje kamen bačen horizontalno brzinom v0 postigne domet d, iznosi:

.0

dt

v=

Istodobno kamen se za to vrijeme spusti za 2 2

1 1 12.22 2 20 0

d ds g t s g s gy y y

v v

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Iz podataka za kosi hitac znamo da je domet d dan formulom

2sin 20 .

vd

g

α⋅=

Pomoću sustava jednadžbi dobije se sy.

metoda

supstituci

222 4 2sin 21 sin 20 02 22 1 10

2 22 22sin 2

j0 00

e

vd vs gy

gv gs g s gy y

v vvd

g

α α

α

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅=

4 22 2 2sin 2 sin 2 sin 21 10 0 04

2 20

2 22 2 20

v v vs g s sy y y

gg v g

g

v

α α α⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒

⋅⋅ ⋅

( )2

02 10 sin 80sin 20 4.94 .2 2 9.81 2

m

v ss my mg

s

α ⋅⋅⇒ = = =

⋅⋅

2.inačica

Budući da domet d horizontalnog i kosog hica mora biti jednak, slijedi:

metoda

komparaci

220 sin 22 0

02 jesin 20

syd v

g vsyv

g gvd

g

α

α

⋅= ⋅

⋅⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒

⋅=

2sin 2 sin 2 sin 22 2 20 0 0

02/ : /0

v v vs s sy y yv

g g g g g gv

α α α⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒

( )/

22 2 22 2 2 sin 2sin 2 sin

2

2 sin 22 2 00 0 02 2 2 2

vv v vs sy ys sy y

g g g gg

g

g

αα α α ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅

20

10 sin 80

4.94 .2 9.81 2

m

sm

m

s

⋅

= =

⋅

12

Vježba 309 Kamen bacimo brzinom 10 m/s pod kutom elevacije 30°. On padne na zemlju na udaljenosti d od početnog položaja. S koje visine sy treba baciti kamen u horizontalnom smjeru da bi uz jednaku početnu brzinu pao na isto mjesto? Otpor zraka zanemarimo. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 3.82 m.

Zadatak 310 (Malena, kemijska škola) Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu. Što od navedenoga vrijedi za iznos ukupne sile na tijelo tijekom gibanja? A) Iznos ukupne sile na tijelo jednoliko raste. B) Iznos ukupne sile na tijelo jednak je nuli. C) Iznos ukupne sile na tijelo se jednoliko smanjuje. D) Iznos ukupne sile na tijelo je stalan i različit od nule.

Rješenje 310

Sila je vektorska veličina kojom se opisuje djelovanje jednog tijela na drugo tijelo. Sila može ubrzati ili usporiti neko tijelo, tj. promijeniti mu stanje gibanja. Drugi (Newtonov) zakon mehanike Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Budući da se tijelo giba jednoliko ubrzano po pravcu (ima akceleraciju), iznos ukupne sile na tijelo je stalan i različit od nule. Odgovor je pod D.

Vježba 310 Tijelo se giba jednoliko po pravcu. Što od navedenoga vrijedi za iznos ukupne sile na tijelo tijekom gibanja? A) Iznos ukupne sile na tijelo jednoliko raste. B) Iznos ukupne sile na tijelo jednak je nuli. C) Iznos ukupne sile na tijelo se jednoliko smanjuje. D) Iznos ukupne sile na tijelo je stalan i različit od nule.

Rezultat: Odgovor je pod B. Zadatak 311 (Kristina, srednja škola) Tenisač prilikom servisa dade loptici mase 0.06 kg početnu horizontalnu brzinu od 55 m/s. Ako je loptica bila u kontaktu s reketom 0.03 s, kolikom je srednjom silom reket djelovao na lopticu?

Rješenje 311

m = 0.06 kg, v = 55 m/s, t = 0.03 s, F = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,v a t= ⋅ gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za vrijeme t. Drugi (Newtonov) zakon mehanike Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za vrijeme t djelovala sila F vrijedi:

,F t m v⋅ = ⋅

gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila djelovala. Umnožak

I F t= ⋅

13

zovemo impulsom sile F, a umnožak p m v= ⋅

količinom gibanja mase m.

1.inačica

Srednja sila F kojom je reket djelovao na lopticu iznosi:

metoda

supstitucij

550.06 11

e0 .

0.03

mv

v a t a v sF m kg NtF m a t s

F m a

= ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅

2.inačica

Uporabom formule koja povezuje impuls sile i količinu gibanja za srednju silu F kojom je reket djelovao na lopticu dobije se:

0.06 55110 .

0.03

1/

mkg

m v sF t m v F t m v F Nt st

⋅⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =⋅

Vježba 311 Tenisač prilikom servisa dade loptici mase 0.12 kg početnu horizontalnu brzinu od 55 m/s. Ako je loptica bila u kontaktu s reketom 0.06 s, kolikom je srednjom silom reket djelovao na lopticu?

Rezultat: 110 N. Zadatak 312 (Branka, maturantica srednje škole) Na tijelo koje se giba stalnom brzinom udesno počnu djelovati dvije sile, kako je prikazano na slici (trenje je zanemarivo).

7 N5 N

Kako će to utjecati na gibanje tijela?

A. Tijelo će se odmah zaustaviti. B. Tijelo će se nastaviti gibati stalnom brzinom. C. Tijelo će početi ubrzavati. D. Tijelo će početi usporavati.

Rješenje 312

F1 = 5 N, F2 = 7 N, Fr = ?

Sila je fizikalna veličina kojom iskazujemo meñudjelovanje tijela. Sila može mijenjati položaj tijela: pokretati ga, zaustavljati, mijenjati mu smjer gibanja. Sile mogu mijenjati i oblik tijelu. Drugi (Newtonov) zakon mehanike Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako dvije sile imaju suprotne orijentacije, tada je orijentacija rezultante jednaka orijentaciji sile većeg iznosa, a iznos rezultante jednak je razlici iznosa njezinih komponenata.

Fr = F2 - F1

F2F1

Rezultanta sila F1 i F2 je

14

7 5 22 1F F F N N Nr = − = − =

i djeluje udesno pa će se tijelo (prema drugom Newtonovom poučku) početi ubrzavati. Odgovor je pod C.

Vježba 312 Na tijelo koje se giba stalnom brzinom udesno počnu djelovati dvije sile, kako je prikazano na slici (trenje je zanemarivo).

5 N 5 N

Kako će to utjecati na gibanje tijela?

A. Tijelo će se odmah zaustaviti. B. Tijelo će se nastaviti gibati stalnom brzinom. C. Tijelo će početi ubrzavati. D. Tijelo će početi usporavati.

Rezultat: B. Zadatak 313 (Josip, srednja škola) Preko učvršćenog kolotura prebačeno je uže. Na jednome kraju užeta visi uteg mase m1 = 5 kg, uronjen u vodu, a na drugome kraju visi uteg mase m2 = 4 kg. Kolotur je u ravnoteži. Kolika sila uzgona djeluje na uteg u vodi? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 313

m1 = 5 kg, m2 = 4 kg, g = 9.81 m/s2, Fuz = ?

Sila je fizikalna veličina kojom iskazujemo meñudjelovanje tijela. Sila može mijenjati položaj tijela: pokretati ga, zaustavljati, mijenjati mu smjer gibanja. Sile mogu mijenjati i oblik tijelu. Drugi (Newtonov) zakon mehanike Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako dvije sile imaju suprotne orijentacije, tada je orijentacija rezultante jednaka orijentaciji sile većeg iznosa, a iznos rezultante jednak je razlici iznosa njezinih komponenata. Arhimedov zakon Svako tijelo gubi na svojoj težini onoliko koliko teži tim tijelom istisnuta tekućina. Sila koja smanjuje težinu tijela u tekućini suprotne je orijentacije od težine i nazivamo je uzgon. Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu na Zemlji jednaka. Sila F koja uzrokuje gibanje jednaka je razlici djelovanja sile teže na tijelo mase m1 i tijelo mase m2, tj.

( ).1 2 1 2 1 2F G G F m g m g F g m m= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ −

m2m1

G1 G2

15

Kada je uteg mase m1 uronjen u vodu kolotur je u ravnoteži. Znači da je razlika sile teže na tijelo mase m1 i uzgona po iznosu jednaka sili teži na tijelo mase m2.

( )1 2 1 2 1 2 1 2G F G F G G F m g m g F g m muz uz uz uz− = ⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − =

( )9.81 5 4 9.81 .2m

kg kg N

s

= ⋅ − =

Vježba 313 Preko učvršćenog kolotura prebačeno je uže. Na jednome kraju užeta visi uteg mase m1 = 6 kg, uronjen u vodu, a na drugome kraju visi uteg mase m2 = 5 kg. Kolotur je u ravnoteži. Kolika sila uzgona djeluje na uteg u vodi? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 9.81 N. Zadatak 314 (Josip, srednja škola) Vozač automobila odluči preteći kamion koji vozi stalnom brzinom 20 m/s.Na početku automobil vozi takoñer brzinom 20 m/s i udaljen je 24 m od stražnjeg ruba kamiona. Automobil ubrzava s 0.6 m/s2 i vraća se u desni trak kad mu je zadnji rub udaljen 26 m od prednjeg ruba kamiona. Automobil je dug 4.5 m, a kamion 21 m. Koliko vremena treba za opisano pretjecanje?

Rješenje 314

v0 = 20 m/s, d1 = 24 m, a = 0.6 m/s2, d2 = 26 m, l1 = 4.5 m, l2 = 21 m, t = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,s v t= ⋅

gdje su s i v put, odnosno brzina za tijelo koje se giba stalnom brzinom v za vrijeme t.

Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje jest gibanje sa stalnim ubrzanjem (akceleracijom). Ako tijelo ima početnu brzinu v0, a akceleracija je pozitivna, formula za prijeñeni put s glasi:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

s2

s1

d2d1

l2l1

Dok kamion (sporije vozilo) za vrijeme t prevali put

2 0s v t= ⋅

gibajući se stalnom brzinom v0, automobil (brže vozilo) za isto vrijeme prijeñe put

1 1 2 2 2 1s d l s d l= + + + +

gibajući se jednoliko ubrzano početnom brzinom v0.

m1 m2

Fuz

G2G1

16

Pritom smo uzeli u obzir da je početna meñusobna udaljenost vozila razmak izmeñu prednjeg dijela automobila i stražnjeg dijela kamiona, a konačna meñusobna udaljenost obrnuta. Budući da se automobil giba jednoliko ubrzano početnom brzinom v0, za prevaljeni put s1 vrijedi:

1 2.1 0 2s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Računamo vrijeme t mimoilaženja.

metoda

supstituc

1 1 2 2 2 1

1 12 21 0 0 1 2 0 2 12 2

2 0

ije

s d l s d l

s v t a t v t a t d l v t d l

s v t

= + + + +

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + ⋅ + + ⇒

= ⋅

1 12 20 .1 2 2 1 1 2 2 12 20a t d l d l a tv t v t d l d l⇒ + ⋅ ⋅ = + + + + ⇒ ⋅ ⋅ = + + +⋅ ⋅

Zbog jednostavnosti računanja uvrstimo brojeve bez mjernih jedinica i riješimo dobivenu kvadratnu jednadžbu po varijabli t.

1 12 2 20.6 24 21 26 4.5 0.3 75.51 2 2 12 2

a t d l d l t t⋅ ⋅ = + + + ⇒ ⋅ ⋅ = + + + ⇒ ⋅ = ⇒

2 2 20.3 75.5 251.67 251.67 251.67 15.86 ./ : 0.3 /t t t t t s⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 314 Vozač automobila odluči preteći kamion koji vozi stalnom brzinom 72 km/h.Na početku automobil vozi takoñer brzinom 72 km/h i udaljen je 24 m od stražnjeg ruba kamiona. Automobil ubrzava s 0.6 m/s2 i vraća se u desni trak kad mu je zadnji rub udaljen 26 m od prednjeg ruba kamiona. Automobil je dug 4.5 m, a kamion 21 m. Koliko vremena treba za opisano pretjecanje?

Rezultat: 15.86 s. Zadatak 315 (Ante, srednja škola) Tijelo klizi niz kosinu nagiba 45º bez trenja. a) Nacrtajte sve sile koje djeluju na tijelo. b) Izračunajte ubrzanje tijela. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 315

α = 45º, g = 9.81 m/s2, a = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu na Zemlji jednaka.Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

17

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot toga kuta i duljine hipotenuze. Treći Newtonov poučak (sila i protusila) Ako jedno tijelo djeluje na drugo nekom silom, onda istodobno drugo djeluje na prvo silom jednake vrijednosti, ali suprotnog smjera.

.21 12F F→ →

= −

a)

G

Fpodloge

Djelovanja dvaju tijela (tijela i kosine) jedno na drugo uvijek su jednaka i suprotnog smjera. Zato na tijelo djeluje sila podloge. Druga sila koja djeluje na tijelo je sila teža.

b)

G

αααα

αααα

F1F1

αααα

αααα

G

Sa slika vidi se

1 1sin sin sin sin .1 1/F F

F FG G m gG G

α α α α⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Sila teža G rastavlja se na dvije komponente, na jednu paralelnu i drugu okomitu na kosinu. Gibanje tijela niz kosinu uzrokovano je paralelnom komponentom. Sila koja tijelo ubrzava niz kosinu je horizontalna komponenta F1 sile teže G pa prema drugom Newtonovom poučku vrijedi:

/0

sin sin sin 9.81 sin 45 6.94 .:1 2 2m m

F F m a m g m a m g a gm

s s

α α α= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 315 Tijelo klizi niz kosinu nagiba 45º bez trenja. Izračunajte ubrzanje tijela. (g = 10 m/s2)

Rezultat: 7.1 m/s2. Zadatak 316 (Ante, srednja škola)

Dvije mjedene kugle jednakog vanjskog polumjera, jedna puna a jedna šuplja, padaju s iste visine. Otpor zraka postoji. Procijenite koja kugla pada brže.

18

Rješenje 316

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu na Zemlji jednaka.Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže. Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Otpor zraka isti je za obje kugle. Rezultantna sila F koja ubrzava kugle jednaka je razlici sile teže G i otpora zraka Fot.

1/ .

FotF G F m a m g F m a m g F a got ot otm m

= − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ = −⋅

Budući da je masa pune kugle veća, slijedi da je i njezina akceleracija veća, a time i njezina brzina. Puna kugla pada brže jer je teža. Uoči!

povećava se smanjuje se povećava se

smanjuje se povećava se smanjuje se

.

F Fot otm a gm m

F Fot otm a gm m

⇒ ⇒ = −

⇒ ⇒ = −

Fot Fot

FF

G

G

Vježba 316

Dvije mjedene kugle jednakog vanjskog polumjera, jedna puna a jedna šuplja, padaju s iste visine. Otpor zraka postoji. Procijenite koja kugla pada sporije.

Rezultat: Šuplja kugla pada sporije. Zadatak 317 (Ante, srednja škola) Tri su tijela meñusobno spojena nitima. Kolike su napetosti F1 i F2 ovih niti: a) ako je podloga savršeno glatka? b) ako je faktor trenja prema podlozi µ = 0.1? Neka je m1 = 2 kg, m2 = 4 kg, m3 = 6 kg, F3 = 24 N. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 317

m1 = 2 kg, m2 = 4 kg, m3 = 6 kg, F3 = 24 N, g = 9.81 m/s2, a = ? F1 = ?, F2 = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

19

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu na Zemlji jednaka.Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže. Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu po kojoj se giba. Ako se tijelo nalazi na vodoravnoj podlozi, tada trenje iznosi

,F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, m masa tijela, g akceleracija slobodnog pada (ubrzanje sile teže).

m3

m2m1

F3F1 F2

a) Akceleraciju sustava naći ćemo iz osnovnog zakona gibanja (drugi Newtonov poučak). Kako sila F3 pokreće sustav kao cjelinu, ona daje akceleraciju ukupnoj masi

1 2 3m m m+ +

te je

( ) ( ) 33 1 2 3 3 1 2 3

11 2

1/

2 33

FF m m m a F m m m a

m m ma

m m m= + + ⋅ ⇒ = + + ⋅ ⇒ =

+⋅

++ +=

242 .22 4 6

N m

kg kg kg s

= =+ +

Da bismo odredili napetosti F1 i F2 niti, napišemo drugi Newtonov poučak za svako tijelo posebno.

( ) ( )

31 1

1 1 1 2 3

32 1 22 1 2

1 2

1 2 3

3

3Fa

m

FF m

F m a m m m

FF m m aF m m

m m

m m

m

= ⋅= ⋅ + +

⇒ ⇒ ⇒= + ⋅

= +

=

+ +

+⋅

+

2124 41 3 1 2 4 61 2 3

.2 41 2 24 1222 3 2 4 6

1 2 3

mkgF F F N N

m m m kg kg kg

m m kg kgF N NF F

kg kg kgm m m

= ⋅ = ⋅ =+ + + +

⇒ ⇒+ +

= ⋅ == ⋅+ ++ +

b)

20

Kada postoji trenje sila F koja uzrokuje gibanje sustava jednaka je razlici sile F3 i sile trenja sustava Ftr.

3 3F F F F F Gtr µ= − ⇒ = − ⋅ ⇒

( ) ( )1 2 3 3 1 2 3m m m a F m m m gµ⇒ + + ⋅ = − ⋅ + + ⋅ ⇒

( ) ( )1 2 31

/1 2

1 33

3 2m m m a F mm m

m gm

mµ⇒ + + ⋅ = − ⋅ + ⋅+ +

+ ⋅ ⇒

243 0.1 9.81 1.02 .2 22 4 61 2 3

F N m ma g

m m m kg kg kg s s

µ⇒ = − ⋅ = − ⋅ =+ + + +

Kada postoji trenje napetosti F1 i F2 niti odredit ćemo tako da napišemo drugi Newtonov poučak za svako tijelo posebno.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

F m g m a F m a m g

F m m g m m a F m m a m m g

µ µ

µ µ

− ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

⇒ ⇒− ⋅ + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅

( )

( ) ( )3 3

1

1 1

2 1 2 3 2 32 1

F FF m

a g a gm m

a g

F m m mg ma mmµ µ

µ

µ= − ⋅ ⇒ + ⋅ =

+

= ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ ⇒= + ++ ⋅ + +⋅

( )

3 11 1 1 3

1 2 3 1 2 3

3 1 22 32 1 2

1 2 31 2 3

F mF m F F

m m m m m m

F m mF FF m m

m m mm m m

= ⋅ = ⋅+ + + +

⇒ ⇒ ⇒+

= ⋅= + ⋅+ ++ +

224 41 2 4 6

.2 4

24 122 2 4 6

kgF N N

kg kg kg

kg kgF N N

kg kg kg

= ⋅ =+ +

⇒+

= ⋅ =+ +

Uočimo da postojanje trenja ne mijenja napetosti F1 i F2 niti. One su iste kao i kad nema trenja (uz istu silu F3). Akceleracija sustava manja je nego kad trenja nema.

Vježba 317 Tri su tijela meñusobno spojena nitima. Nañi akceleraciju sustava ako je podloga savršeno glatka. Neka je m1 = 4 kg, m2 = 8 kg, m3 = 12 kg, F3 = 48 N.

Rezultat: 2 m/s2. Zadatak 318 (Josip, gimnazija) Ako je vrijeme reagiranja vozača jedna sekunda, a zaustavni put automobila pri brzini 60 km/h iznosi 44 m, koliki je faktor trenja klizanja kotača po cesti? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 318

t = 1 s, v0 = 60 km/h = [60 : 3.6] = 16.67 m/s, s = 44 m, g = 9.81 m/s2, µ = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

21

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu na Zemlji jednaka.Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže. Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu po kojoj se giba. Ako se tijelo nalazi na vodoravnoj podlozi, tada trenje iznosi

,F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, m masa tijela, g akceleracija slobodnog pada (ubrzanje sile teže). Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

2 2 ,v a s= ⋅ ⋅ gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za vrijeme t. Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje vrijedi ista formula. Ako tijelo ima početnu brzinu v0 i jednoliko usporava akceleracijom a, njegova trenutna brzina v dana je formulom

2 2 2 .0v v a s= − ⋅ ⋅

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,s v t= ⋅ gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom brzinom v za vrijeme t.

Zaustavni put s automobila jednak je zbroju: • sr, prijeñenog puta za vrijeme t, dok vozač reagira pošto je uočio opasnost • sk, puta kočenja.

.s s sr k= +

Put sr koji automobil prijeñe dok vozač reagira i pritisne kočnicu iznosi:

.0s v tr = ⋅

Pri naglom kočenju svi kotači automobila se blokiraju i više se ne okreću nego klize po cesti. Pritom je sila trenja jednaka

,F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je µ faktor trenja klizanja kotača po cesti. Ta sila usporava automobil pa je prema drugom Newtonovu poučku akceleracija usporavanja jednaka

/: .F F m a m g m a m g a gtr mµ µ µ= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Budući da automobil usporava trenutna brzina računa se po formuli:

2 2 2 ,0v v a sk

= − ⋅ ⋅

gdje je v trenutna brzina, sk put kočenja. U trenutku zaustavljanja trenutna brzina je nula pa vrijedi:

2 2 2 22 0 20 00

20v

v v a s v g s g s vkgk ka µ

µ µ

= − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒

=

= ⋅

22

( )

2 22 0 02 0

1/

20

0

2 2

s s sr k

s s srk

v vg s v

k g sk

s s v tg s g v tk

k

sµ µ µ

⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ =

= +

⋅ = −⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= −− ⋅

⋅

216.67

0.52.2 9.81 44 16.67 1

2

m

s

m mm s

ss

= =

⋅ ⋅ − ⋅

Vježba 318 Ako je vrijeme reagiranja vozača jedna sekunda, a zaustavni put automobila pri brzini 72 km/h iznosi 44 m, koliki je faktor trenja klizanja kotača po cesti? (g = 10 m/s2)

Rezultat: 0.83. Zadatak 319 (Maja, gimnazija) Tijelo se giba jednoliko ubrzano s početnom brzinom. Nakon 10 s prevaljeni put tijela iznosi 30 m, pri čemu se njegova brzina povećala 5 puta. Odredite ubrzanje tijela.

Rješenje 319

v0, t = 10 s, s = 30 m, v = 5 · v0, a = ?

Jednoliko ubrzano gibanje s početnom brzinom je gibanje za koje vrijede izrazi

, ,1 2 2 2 020 0 2

,2

,0

v vv v a t s v t a t v v a s s t

+= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅

gdje je v0 početna brzina, v (trenutna brzina) brzina koju tijelo ima nakon vremena t gibanja s ubrzanjem a, s put koji je tijelo prešlo za to vrijeme.

1.inačica

Iz uvjeta zadatka dobije se početna brzina v0 kao funkcija akceleracije a i vremena t.

metoda

komparacije

5 05 50 0 0 0

0

v vv v a t v v a t

v v a t

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

= + ⋅

4 4 .0 0 0 4/ : 4

a tv a t v a t v

⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Računamo ubrzanje tijela.

metoda

supstitucije

1 22 20 1 22

4 2 4 20 4

s v t a ta t a t a t

s t a t sa t

v

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⇒ ⋅ =

2 22 2 2 24 2 4 3 3 4

4 2/ 4

a t a ts s a t a t s a t a t s

⋅ ⋅⇒ = + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⇒

( )

4 4 3023 4 0.4 .2 2 23

1/

3 1023

s m ma t s a

t sst

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =

⋅

⋅⋅⋅

2.inačica

Iz sustava jednadžbi odredimo akceleraciju a kao funkciju početne brzine v0.

( )metoda

supstitucije

2 2 22 2 2 20 5 2 25 20 0 0 05 0

v v a sv v a s v v a s

v v

= + ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅

23

2 2 2 2 225 2 24 2 24 2 30 24 600 0 0 0 0v v a s v a s v a v a⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

2 2 260 24 60 24 / : 6 0.4 .0 000a v a v a v⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Računamo v0.

metoda

supstituci

02 25 5 0.4 5 0.40 0 0 0 0 0 0

20.4 0

je

v v a t

v v v v v t v v v t

a v

= + ⋅

= ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅

2 2 2 24 0.4 4 0.4 10 4 4 4 40 0 0 0 :0 0 / 40 0v v t v v v v v v⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

( )nema sm02 2 00 1 0 1 0 1 .0 0 0 0 0 0 0

is

0

a

1 00

lv mv v v v v v v v

v s

= ⇒ = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ − = ⇒ =

− =

Ubrzanje tijela iznosi:

2 20.4 0.4 1 0.4 1 0.4 .0 2

ma v a a a

s

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

3.inačica

Iz sustava jednadžbi izračunamo početnu brzinu v0.

6metoda

supstitucije 2

0 5 60 0 0 0 32 02 25 0

v vv v v vs t

s t s t s t s v t

v v

++ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅

30 3 10 30 30 30 30 30 30 1 .0 0 0 0 0/ : 30m

v v v v vs

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Ubrzanje tijela iznosi:

metoda

komparacije

05 5 40 0 0 0 05 0

v v a tv a t v a t v v a t v

v v

= + ⋅⇒ ⇒ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅

4 4 1 404 0.4 .0 21/

0 0:

1

v ma t v a a a a

tt

s

⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 319 Tijelo se giba jednoliko ubrzano s početnom brzinom. Nakon 10 s prevaljeni put tijela iznosi 60 m, pri čemu se njegova brzina povećala 5 puta. Odredite ubrzanje tijela.

Rezultat: 0.8 m/s2. Zadatak 320 (Katarina, srednja škola) Automobil mase 600 kg udari u zid brzinom 36 km/h. Zaustavljanje automobila trajalo je 0.1 s. Kolikom je silom automobil udario u zid?

Rješenje 320

m = 600 kg, v1 = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s, v2 = 0 m/s, ∆t = 0.1 s, F = ?

Srednja akceleracija je omjer razlike brzina ∆v u nekom vremenskom intervalu ∆t i toga vremenskog intervala:

2, .1

2 1

v vva a

t t t

−∆= =

∆ −

24

Trenutna akceleracija a je omjer promjene brzine ∆v u neizmjerno malom vremenskom intervalu (trenutku) ∆t i toga trenutka. Kada razmatramo slučajeve gibanja pri kojima se vrijednost akceleracije neće mijenjati, onda je:

2 1, .2 1

v vva a

t t t

−∆= =

∆ −

Kada se tijelo giba pravocrtno, vrijedi:

• akceleracija pozitivna , 0 tijelo ubrzavaa > ⇒

• akceleracija negativna , 0 tijelo usporavaa < ⇒

Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za vrijeme t djelovala sila F vrijedi:

,F t m v⋅ = ⋅

gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila djelovala. Umnožak I = F · t zovemo impulsom sile F, a umnožak p = m · v količinom gibanja mase m.

1.inačica

Akceleracija automobila pri udaru u zid iznosi

akcele0 102 1 100

racija negativna,

automob20. il uspora1 va

m mv vv ms sa a

t t s s

−−∆= ⇒ = = = −

∆ ∆

pa sila ima vrijednost (gledamo samo iznos sile, zato akceleraciju uzimamo pozitivnu)

4600 100 60000 60 6 10 .2

mF m a kg N kN N

s

= ⋅ = ⋅ = = = ⋅

2.inačica Pomoću formule koja povezuje impuls sile i količinu gibanja dobije se

600 1046/: 0000 60 6 10 .

0.1

mkg

m v sF t m v F t m v F N kN Ns

tt

⋅⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = = = = ⋅

Vježba 320 Automobil mase 1200 kg udari u zid brzinom 36 km/h. Zaustavljanje automobila trajalo je 0.2 s. Kolikom je silom automobil udario u zid?

Rezultat: 60 kN.