V Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos G = (VA · Discreta Pedro Reyes Introducción a la Teoría de Grafos Formas de definir un grafo: Matriz de adyacencia de un digrafo

1

Tema 1: 1

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos

• Nociones básicas

• Formas de definir un grafo

• Subgrafos. Operaciones con grafos

• Isomorfismo de grafos

Tema 1: 2

Matemática Discreta

Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas:

Grafo: G = (V,A)V conjunto de vértices

A conjunto de aristas

E

D

A

F

C

B

vértices

aristas

G = (V,A)

V = {A,B,C,D,E,F}

A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F}, {C,E}, {D,E}, {E,F}}

Tema 1: 3


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas:

Grafo: G = (V,A)V = {1,2,3,4,5,6}

A = {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

1 2

3 4

5

6

Representación gráfica Inmersión

Grafo planoTema 1: 4


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas: Variantes de grafos:

1

2

34

{2,4} arista múltiple

multigrafo

2

Tema 1: 5


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


{2,4} arista múltiple

1

2

34

{3,3} lazo o bucle

seudografo

grafo simple (no admite aristas múltiples ni lazos)

Tema 1: 6


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


1 2

3

45

grafo dirigido o digrafo(las aristas son pares “ordenados”de vértices)

(1,2) es arista, pero (2,1) no lo es

digrafo múltiple o multigrafodirigido (digrafo con aristas múltiples)

seudo digrafo o seudografo dirigido(digrafo con aristas múltiples y/o lazos)

Tema 1: 7


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


grafo ponderado(las aristas llevan asignadas un peso)

H

SE

CA

CO

GR

AL

MA

94

125

187

219

265

129166

256

219

138166

JA104

99

Tema 1: 8


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas:

vértices adyacentes

v1, v2 ∈ V, v1 ~ v2 e ={v1 , v2} ∈ A

1 2

3

45

6

valencia o grado de un vértice v δ(v)

v1 y v2 inciden en la arista e

δ(1)=4, δ(2)=3, δ(3)=3, δ(4)=2, δ(5)=2, δ(6)=2

δ : V N

vértices pares e impares

aristas incidentes

vértice aislado

3

Tema 1: 9


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas:

Propiedades de la valencia: G = (V,A) n=|V|

1 2

3

45

6

1) 0 ≤ δ(v) ≤ n-1

2) Un grafo no puede tener simultáneamente vértices de valencia 0 y de valencia n-1

3) La suma de las valencias de los vértices es igual al doble del número de aristas:

∑v∈V

δ(v) = 2 |A|

(lema del apretón de manos) Tema 1: 10


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas:

Adyacencia en digrafos

valencia o grado de entradaδ e(v)

δe(1)=2, δs(1)=2,

δe(2)=1, δs(2)=1,

δe(3)=1, δs(3)=2,

δe(4)=2, δs(4)=2,

δe(5)=1, δs(5)=0

1 2

3

45

valencia o grado de salidaδ s(v)

Tema 1: 11


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas: Algunos grafos especiales

Grafo regular: Todos los vértices tienen la misma valencia.

δ(v)=k (∀v∈V)

grafo k-valente o k-regular

Si k=n-1 se llama grafo completo (Kn)

K2

K3 K4

K5grafo ciclo

C5

grafo camino

P3

Grafo trivial: No tiene ninguna arista.

Tema 1: 12

V2

V1Matemática Discreta

Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Nociones básicas: Algunos grafos especiales

Grafo bipartito:

V = V1 ∪ V2

∀ e∈ A : e = {v1,v2} , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2

G = (V,A)

Grafo bipartito completo: (Kn,m)

K4,2 K3,3

4

Tema 1: 13


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G’ es subgrafo de GG = (V,A) y G’=(V ’,A’)

G’ ⊆ GV ’ ⊆ V

A’ ⊆ A

G G’Tema 1: 14


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


S

G G(S)

G(S): subgrafo inducido por SG = (V,A) y S ⊆ V

Tema 1: 15


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G’ subgrafo recubridor de G si V ’=V

G = (V,A) y G’ =(V’,A’) un subgrafo de G

G G’Tema 1: 16


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Eliminación de vértice

G

v

G =(V,A), v∈V

5

Tema 1: 17


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Eliminación de vértice

G-v = G(V-{v})

G =(V,A), v∈V

G-v

Tema 1: 18


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Eliminación de arista

G

e

G =(V,A), e∈A

Tema 1: 19


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Eliminación de arista

G-e = (V,A-{e})

G =(V,A), e∈A

G-e

Tema 1: 20


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A) Grafo complementario G = (V, A )

e ∉ Ae ∈ A

G G

Kn = G ∪ G

6

Tema 1: 21


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


a b

de

G

b

de

c

G’

G = (V,A)

G’ = (V’,A’)

Unión de grafos

G ∪ G’ = (V ∪ V’,A ∪ A’)

b

de

c

a

G ∪ G’

Intersección de grafos

G ∩ G’ = (V ∩ V’, A ∩ A’)

b

de

G ∩ G’Tema 1: 22


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A) y G’ = (V’,A’) disjuntos (V ∩ V’= φ)

Suma de grafos:

G G’

Aristas: A ∪ A’ ∪ {{v,v’} / v∈V, v’ ∈V’}

G + G’

Vértices: V ∪ V’

Tema 1: 23


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Grafo rueda Wn = K1 + Cn

K1

+ C12 =

W12 Tema 1: 24


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Operaciones con grafos: Grafo de línea

{ai,aj}∈L(A) si, en el grafo G, las aristas ai y aj son incidentes en un vértice.

Dado G = (V,A)V = {v1, v2, … , vn}

A = {a1, a2, … , am}

L(G) = (L(V), L(A))L(V) = A = {a1, a2, … , am}

L(A)

Ga7

a1

a2

a9

a10

a3

a4

a11

a8

a5

a6

L(G)

a7

a1

a2

a9

a10 a3

a4

a11

a8 a5

a6

7

Tema 1: 25


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

1 2

3 4

5

6

Tema 1: 26


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

Lista de adyacencias o lista de listas

Lista formada por nv listas.

{{2,3,5,6},{1,4,6},{1,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}}

nv vértices, na aristas

Tema 1: 27


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

Matriz de adyacencia

Ad: Matriz de orden nv × nv


aij = 1 si vi es adyacente a vj

0 en caso contrario

0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 11 0 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0

Ad =

Tema 1: 28


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

Matriz de adyacencia

Propiedades:


0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 11 0 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0

Ad =Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente

La diagonal es nula

8

Tema 1: 29


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

Matriz de incidencia

In: Matriz de orden nv × na


bij = 1 si vi es vértice de la arista aj

0 en caso contrario

1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 0

In =

Tema 1: 30


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

Matriz de incidencia

Propiedades:


No tiene por qué ser ni cuadrada ni simétrica

La suma de cada fila es el grado del vértice correspondiente

La suma de cada columna vale 2

1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 0

In =

Tema 1: 31


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V,A)V={1,2,3,4,5}A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),

(3,4),(4,1),(4,5)}

1 2

3

45

0 1 0 1 00 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 0

Ad =


aij = 1 si (vi , vj) es una arista

0 en caso contrario

Tema 1: 32


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V,A)V={1,2,3,4,5}A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),

(3,4),(4,1),(4,5)}

1 2

3

45

0 1 0 1 00 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 0

Ad =

Propiedades:

Es cuadrada pero no tiene por qué ser simétrica

La suma de cada fila es el grado de salida del vértice correspondiente

La diagonal es nula

La suma de cada columna es el grado de entrada del vértice correspondiente

9

Tema 1: 33


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Matriz de adyacencia de un seudografo

0 1 1 01 0 0 21 0 4 10 2 1 2

Ad =


aij = número de veces que aparece la arista {vi ,vj} doble del número de veces que aparece el lazo {vi,vi}

i≠j

i=j

G = (V,A)V={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},

{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}1

2

3

4

Tema 1: 34


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Matriz de adyacencia de un seudografo

G = (V,A)V={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},

{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}

0 1 1 01 0 0 21 0 4 10 2 1 2

Ad =

1

2

3

4

Propiedades:

Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente

La diagonal no tiene por qué ser nula

Tema 1: 35


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Matriz de adyacencia de un grafo ponderado


aij = peso de la arista {vi, vj}

0 7 3 0 9 77 0 0 5 0 83 0 0 3 7 00 5 3 0 0 09 0 7 0 0 07 8 0 0 0 0

Ad =

1 2

3 4

5

67 8

75

3

7

9

3

Tema 1: 36


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Isomorfismo de grafos

1

2

34

5 c

e a

d

b

G = (V,A) y G’=(V ’,A’) son isomorfos (G ∼ G’)

f : V V ’ biyectiva | {u,v} ∈ A {f(u),f(v)} ∈ A’

f(1) = c

f(2) = e

f(3) = a

f(4) = d

f(5) = b

10

Tema 1: 37


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Invariantes: Si G y G’ son isomorfos (G ∼ G’) deben tener en común:

número de vértices

número de aristas

grados de los vértices

número de ciclos de igual longitud

número de componentes conexas

etc. Tema 1: 38


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Grafo autocomplementario: Si G ∼ G

G

12

3

45

6

8

7

e

b

gd

a

c

f

h

Gf(1)=a, f(2)=b, …. f(8)=h

Tema 1: 39


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


Lista de grados de un grafo

1

2

34

5

Relación de adyacencias

{2,4,3,3,4}

δ(1)=2, δ(2)=4, δ(3)=3, δ(4)=3, δ(5)=4

Lista de grados (4,4,3,3,2)

Tema 1: 40


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s



Dos grafos pueden tener la misma lista de grados y no ser isomorfos.

1

6

5 4

3

2

f

e d

c

ba

Listas de grados (3,3,3,3,3,3)

No son isomorfos. El primer grafo contiene 3-ciclos y el segundo no.

11

Tema 1: 41


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s



No siempre una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo. Cuando esto ocurre se dice que la secuencia numérica es una secuencia gráfica.

La secuencia numérica decreciente (a1,a2,...,ap) (con a1>0,p>1) es una secuencia gráfica si, y sólo si, también lo es la que resulta de efectuar las siguientes operaciones:

1) Eliminar el primer elemento (a1) de la lista.

2) Restar una unidad a los primeros a1 elementos de la nueva lista.

3) Ordenar en sentido decreciente la nueva lista.

Teorema de Havel-Hakimi

Tema 1: 42


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s



Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros:

Algoritmo de Havel-Hakimi

P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.

P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).

Tema 1: 43


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s

Isomorfismo de grafosAlgoritmo de Havel-Hakimi







(5,4,4,4,2,1)

(4,4,4,2,1)

(3,3,3,1,0)

(3,3,1,0)

(2,2,0,0)

(2,0,0)

(1,-1,0)

(-1,-1)

P.3

P.4

P.3

P.4

P.3

P.4

P.4

(5,4,4,4,2,1) no es una secuencia gráfica

(1,0,-1)P.5

(0,-1)P.3

Tema 1: 44


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4(1,2,2,3,4) es una secuencia gráfica








12

Tema 1: 45


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4








Tema 1: 46


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4








Tema 1: 47


Pedro Reyes

Intr

oduc

ción

a la

Teo

ría

de G

rafo

s


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4








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