Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Alexandru RUSU
Spiridon RUSU
CURS DE FIZICĂ
V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂ
Ciclu de prelegeri
Chişinău
2019
UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI
FACULTATEA ELECTRONICĂ ŞI TELECOMUNICAŢII
DEPARTAMENTUL FIZICĂ
CURS DE FIZICĂ
V. ELEMENTE DE FIZICĂ MODERNĂ
Ciclu de prelegeri
Chişinău
Editura „Tehnica–UTM”
2019
CZU 53(075.8) R 96
Prezentul ciclul de prelegeri conține elemente de fizică modernă și reprezintă ultima parte a cursului de Fizică elaborat în conformitate cu programa de studii la Fizică pentru Universitatea Tehnică. În acest volum sunt tratate temele: proprietățile cuantice ale radiației, elemente de mecanică cuantică, structura și proprietățile optice ale atomilor, elemente de statistici cuantice, precum și elemente de fizică a nucleului atomic și a particulelor elementare.
Ciclul de prelegeri la fizică este destinat studenților tuturor specialităților, secțiilor cu studii la zi și cu frecvență redusă din cadrul universității.
Autori: conf. univ., dr. A.Rusu conf. univ., dr. S.Rusu
Recenzent: conf. univ., dr. hab. fiz.-matem. V.Tronciu
Bun de tipar: 26.06.19 Formatul 60x84 1/16 Hârtie ofset. Tipar RISO Comanda nr. 80
UTM. Bd. Ştefan cel Mare și Sfânt, 168, MD-2004 Editura „Tehnica-UTM”str. Studenților, 9/9, MD-2045
Chișinău, Republica Moldova
ISBN 978-9975-45-597-8 Alexandru Rusu, Spiridon Rusu, 2019 UTM, 2019
DESCRIEREA CIP A CAMEREI NAŢIONALE A CĂRȚII
Rusu, Alexandru
Curs de fizică: Ciclu de prelegeri: [în vol.] / Alexandru Rusu, Spiridon Rusu; Univ. Tehn. a Moldovei, Fac. Electronică şi Telecomunicaţii, Dep. Fizică. – Chişinău: Tehnica-UTM, 2019 – . – ISBN 978-9975-45-323-3.
[Vol.] 5: Elemente de fizică modernă. – 2019. – 164 p.: fig., tab. – 400 ex. ISBN 978-9975-45-597-8 53(075.8) R 96
3
CUPRINS
Elemente de fizică modernă
Capitolul 26. Proprietăţile cuantice ale radiaţiei …… 5
26.1. Radiaţia termică şi caracteristicele ei.
Legea lui Kirchhoff …………………………… 5
26.2. Legile radiaţiei termice …………….…................... 16
26.3. Ipoteza şi formula lui Planck .......………………….. 22
26.4. Efectul fotoelectric. Impulsul fotonului.
Presiunea luminii .................................................... 26
26.5. Efectul Compton. Dualismul undă-corpuscul
al proprietăţilor radiaţiei ......................................... 31
Capitolul 27. Elemente de mecanică cuantică .…….. 38
27.1. Ipoteza şi formula lui Louis de Broglie .......………. 38
27.2. Relaţiile de incertitudine (nedeterminare)
ale lui Heisenberg......................…………………… 45
27.3. Ecuaţia fundamentală a mecanicii
cuantice nerelativiste …......……......………………. 51
27.4. Mişcarea particulei libere. Particula în ”groapa”
de potenţial. Cuantificarea energiei ....................... ..56
27.5. Oscilatorul liniar armonic …………………………... ..67
27.6. Efectul tunel .......................................................... 71
4
Capitolul 28. Structura şi proprietăţile optice
ale atomilor ………..................………… 74
28.1. Modelul cuantic al atomului de hidrogen. Numere cuantice ………............................………. 74
28.2. Spinul electronului. Principiul Pauli. Distribuţia electronilor pe nivelurile energetice ale atomilor .....…………........………….………….. 88
Capitolul 29. Elemente de statistici cuantice ..……… 95
29.1. Distribuţia electronilor în metale …………………… 95 29.2. Funcţiile de distribuţie Fermi-Dirac şi
Bose-Einstein. Degenerarea sistemelor descrise de statisticile cuantice ..................….........……… 98
29.3. Distribuţia Fermi-Dirac pentru gazul electronic din metale .….......……….……………… 107
29.4 Distribuţia Bose-Einstein pentru gazul fotonic dintr-o cavitate închisă .......................................... 112
29.5 Capacitatea termică a corpurilor solide ................. 114
Capitolul 30. Structura şi proprietăţile principale ale nucleelor atomice. Particule elementare ...…...…….......................… 122
30.1. Proprietățile principale și structura nucleului atomic .....…............................………… 122
30.2. Forțele nucleare. Energia de legătură a nucleonului în nucleu. Defectul de masă.…...… 128
30.3. Radioactivitatea. Legea dezintegrării radioactive ….......……...............................……… 132
30.4. Reacții nucleare .................................…………… 142 30.5. Noțiune despre particule elementare ................... 153
5
Capitolul 26. Proprietăţile cuantice ale
radiaţiei
26.1. Radiaţia termică şi caracteristicele acesteia.
Legea lui Kirchhoff
După cum am menţionat în capitolul 22 orice sarcină electrică ce
efectuează o mişcare accelerată emite unde electromagnetice. Toate
corpurile din natură sunt compuse din atomi şi molecule, care la
rândul lor sunt compuse din nuclee încărcate cu sarcină pozitivă şi
electroni negativi. Deoarece atomii şi moleculele oricărui corp la
orice temperatură 0T efectuează mişcări dezordonate, rezultă că
aceștia în urma interacţiunilor se mişcă accelerat. Deci, orice corp
aflat la o temperatură arbitrară 0T trebuie să radieze unde
electromagnetice. Această radiaţie se realizează pe seama energiei
interne a corpurilor, adică pe seama energiei mişcărilor de translaţie,
rotaţie şi oscilaţie a particulelor încărcate ce constituie corpurile.
Întrucât intensitatea mişcării dezordonate este cu atât mai mare cu
cât temperatura este mai înaltă, rezultă că şi radiaţia corpurilor
trebuie să fie cu atât mai intensă cu cât temperatura lor este mai
mare.
Radiaţia electromagnetică emisă de corpuri pe seama energiei
lor interne şi care depinde numai de temperatura acestor
corpuri şi de proprietăţile lor optice se numeşte radiaţie
termică.
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
6
Din experimente este cunoscut că dacă un sistem de corpuri cu
temperaturi diferite se izolează adiabatic, atunci corpurile vor
schimba între ele energie prin radiaţie termică până când ajung la o
stare de echilibru termodinamic cu aceeaşi temperatură. În starea de
echilibru termodinamic energia absorbită în unitatea de timp de
fiecare dintre corpuri este egală cu energia radiată de corpul
respectiv în unitatea de timp. Se obţine un echilibru dintre radiaţia
termică şi substanţa corpurilor. O astfel de radiaţie termică ce se
stabileşte la o anumită temperatură se numeşte radiaţie termică
echilibrată.
Energia electromagnetică radiată de un corp în unitatea de
timp se numeşte flux de energie sau flux radiant.
Astfel, dacă în intervalul de timp dt corpul radiază energia dW ,
atunci fluxul radiant este
dW
dt . (26.1)
Astfel, fluxul radiant are semnificaţia unei puteri, din care cauză se
mai numeşte şi putere de radiaţie. Deci, fluxul radiant se măsoară
în J/s = W. Trebuie să observăm că radiaţia termică a oricărui corp
întotdeauna constituie unde electromagnetice de diferite lungimi de
undă sau frecvenţe, întrucât particulele lui încărcate pot avea
diferite acceleraţii în procesul mişcării lor termice. Pentru a
caracteriza puterea de radiaţie a corpului la diferite frecvenţe
(lungimi de undă) se utilizează fluxul spectral radiant. Acesta
reprezintă raportul dintre fluxul radiant ce corespunde unui interval
infinit mic de frecvenţe (ν, ν + dν) sau de lungimi de undă (λ, λ + dλ)
şi mărimea acestui interval:
7
d
d
, sau
d
d
. (26.2)
Din aceste relaţii rezultă că fluxul spectral radiant se măsoară în
W·s, iar - în W/m. Dacă se cunoaşte fluxul spectral radiant
sau , atunci se poate determina şi fluxul radiant :
0
d
, sau 0
d
. (26.3)
După cum s-a menţionat în capitolul 22, densitatea volumică de
energie a undelor electromagnetice este egală cu suma densităţilor
volumice de energie ale câmpurilor electric şi magnetic ale undei:
2 2
0 0
2 2
E Hw
, (26.4)
unde E şi H sunt intensităţile câmpurilor electric şi, respectiv,
magnetic ale undei electromagnetice. Pentru a caracteriza distribuţia
energiei unei unităţi de volum a radiaţiei termice w după frecvenţe
sau lungimi de undă se utilizează densitatea spectrală a densităţii
volumice de energie ρ(ν, T) sau ρ(λ, T), care reprezintă densitatea
volumică de energie a radiaţiei termice ce revine unui interval
infinit mic de frecvenţe d sau de lungimi de undă d :
, ,dw
Td
sau ,dw
Td
. (26.5)
Dacă se cunosc ρ(ν, T) şi/sau ρ(λ, T) se poate determina densitatea
volumică de energie w :
0
,w T d
, sau 0
,w T d
. (26.6)
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
8
Fluxul radiant de energie este emis de întreaga suprafaţă a
corpului.
Fluxul radiant emis de unitatea de arie a suprafeţei corpului
sau, cu alte cuvinte, energia emisă de unitatea de arie în
unitatea de timp, se numeşte radianţă energetică:
d
RdS
. (26.7)
Însă radiaţia emisă conţine diferite frecvenţe sau lungimi de undă.
Acest fapt se caracterizează cu ajutorul densităţii spectrale a
radianţei energetice r sau r , care reprezintă energia emisă în
unitatea de timp de pe unitatea de arie a corpului într-un interval
infinit mic de frecvenţe dν sau lungimi de undă dλ:
dR
rd
, sau dR
rd
. (26.8)
Dacă se cunoaşte r şi/sau r , atunci se poate determina radianţa
energetică:
0
R r d
, sau 0
R r d
. (26.9)
Mărimea r este mai comodă în analizele teoretice, pe când
mărimea r se utilizează mai frecvent în cercetările experimentale.
Aceste mărimi, însă, se exprimă între ele printr-o relaţie de legătură.
Pentru a o obţine vom observa că intervalele dν şi dλ care determină
aceeaşi regiune a spectrului sunt legate între ele printr-o relaţie
simplă ce rezultă din formula de legătură dintre lungimea de undă a
radiaţiei electromagnetice λ şi frecvenţa acesteia ν: λ = c/ν.
9
Diferenţiind această expresie, obţinem
2
cd d
. (26.10)
Semnul "minus" în această expresie arată că, dacă una din mărimile
ν sau λ creşte, cealaltă scade. Întrucât acest aspect în cazul nostru nu
este de interes, în continuare vom considera modulul expresiei
(26.10):
2
d c
d
. (26.10,a)
Fracţiunea radianţei energetice ce corespunde intervalului (λ, λ + dλ),
conform primei formule din (26.8) este dR r d . Dacă intervalul
(ν, ν + dν) reprezintă aceeaşi regiune a spectrului, atunci conform
formulei a doua din (26.8) dR r d . Aceasta înseamnă că
2
2
d cr d r d r r r r r r
d c
. (26.11)
Această relaţie ne permite să trecem de la r la r şi invers.
Trebuie să menţionăm că orice corp nu numai emite radiaţie
termică, ci mai şi absoarbe astfel de radiaţie emisă de alte corpuri.
Capacitatea corpurilor de a absorbi radiaţia incidentă pe ele se
caracterizează cu ajutorul coeficientului de absorbţie a numit şi
putere de absorbţie, care arată ce parte din fluxul de energie
incident ind se absoarbe de către aceasta:
abs
in
da
d
. (26.12)
Însă corpurile absorb selectiv radiaţia, adică undele electromagnetice
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
10
de anumite frecvenţe (lungimi de undă) se absorb, iar de alte
frecvenţe (lungimi de undă) se reflectă. Acest aspect al absorbţiei
radiaţiei se descrie cu ajutorul puterii spectrale de absorbţie:
abs
in
da
d
, sau
abs
in
da
d
. (26.13)
Ea arată ce parte din energia incidentă pe suprafaţa corpului în
unitatea de timp cu frecvenţele sau lungimile de undă din intervalele
infinit mici (ν, ν + dν) sau (λ, λ + dλ) este absorbită de acesta.
Corpul care absoarbe toată radiaţia incidentă pe el la orice
temperatură, independent de frecvenţă, polarizare şi direcţia
de propagare se numeşte corp absolut negru.
Din definiţia (26.13) rezultă că pentru un
corp absolut negru (vom nota caracteristicile
radiaţiei corpului absolut negru cu
simbolul ) puterea spectrală de absorbţie
este 1a . Noţiunea de corp absolut negru
este o idealizare. În realitate corpuri
absolut negre nu există, dar se pot imagina
şi construi diferite modele foarte apropiate de acestea. În calitate de
exemplu de corp absolut negru poate servi un orificiu îngust în
peretele unei cavităţi închise (fig.26.1). Radiaţia incidentă pe
orificiu, pătrunzând în cavitate, se reflectă în interiorul ei de un
număr mare de ori înainte de a nimeri din nou în orificiu ca să iasă
din cavitate. Dar, să iasă nu mai are ce, deoarece la fiecare reflexie
pe peretele interior al cavităţii, o parte din energia radiaţiei este
absorbită de către aceasta. Întrucât numărul de reflexii este foarte
mare, rezultă că absorbţia radiaţiei de către orificiu este practic
Fig. 26.1
11
totală, orificiul comportându-se ca un corp negru. Trebuie însă să
menţionăm, că datorită proceselor care ar putea avea loc în
interiorul cavităţii, cum ar fi, de exemplu, procesele chimice de
ardere a unui combustibil, aceasta poate să radieze prin orificiu
radiaţie termică. Această radiaţie se numeşte radiaţie a corpului
absolut negru. Ea, însă, nu este o radiaţie reflectată de orificiu,
coeficientul de absorbţie al orificiului cavităţii rămânând 1a . Un
alt exemplu de corp absolut negru este Soarele, care absoarbe în
totalitate radiaţia termică de orice frecvenţă incidentă pe suprafaţa
lui. Radiaţia Soarelui se comportă asemănător radiaţiei unui corp
absolut negru. Ea se produce pe seama energiei rezultate în urma
reacţiilor nucleare ce au loc în interiorul Soarelui. Aproximativ
absolut neagră este suprafaţa unei ferestre deschise pe timp de vară,
care fiind privită de afară pare neagră cu toate că în interiorul odăii
este suficientă lumină, care reflectându-se de la pereţi se absoarbe
parţial la fiecare reflexie de către aceştia şi la ieşire nu mai are o
intensitate comparabilă cu cea a radiaţiei incidente pe suprafaţa
ferestrei. Alt exemplu asemănător este intrarea într-o peşteră.
Să analizăm mai detaliat procesele de emisie şi absorbţie a
radiaţiei de către corpuri. Emiţând şi absorbind radiaţie, corpurile
fac schimb reciproc de energie internă.
Procesul de transmitere spontană a energiei interne prin
radiaţie de la un corp mai cald la altul mai rece se numeşte
schimb termic prin radiaţie.
Spre deosebire de schimbul termic prin convecţie şi prin
conductivitate termică, care pot avea loc numai într-un mediu
anumit, procesul de schimb termic prin radiaţie poate avea loc atât
într-un mediu anumit, cât şi în vid. Să analizăm schimbul termic
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
12
prin radiaţie ce se produce într-un sistem izolat termic, în care deja
s-a stabilit un echilibru termodinamic, toate corpurile sistemului
având aceeaşi temperatură. Deci, radiaţia din acest sistem este
echilibrată. În această situaţie energia emisă de un corp în unitatea
de timp (puterea de radiaţie) trebuie să fie egală cu energia
absorbită de acest corp în unitatea de timp abs :
abs . (26.14)
Pentru a demonstra această egalitate vom presupune contrariul,
adică abs . Fie, de exemplu, abs , adică corpul mai mult
radiază decât absoarbe. În consecinţă, corpul respectiv se răceşte,
iar alte corpuri se încălzesc, adică temperatura corpului de la care se
transmite energie sub formă de căldură este mai mică decât
temperatura corpurilor ce primesc căldură. Cu alte cuvinte, ar trebui
să se realizeze un proces spontan de transmitere a căldurii de la un
corp mai rece la altele mai calde. Însă, conform postulatului
principiului al doilea al termodinamicii (vezi formularea lui
Clausius din § 9.1) un astfel de proces este imposibil. Dacă am
presupune că abs , atunci prin raţionamente analogice am
ajunge la aceeaşi concluzie. Deci, rămâne unica posibilitate
abs , ceea ce şi trebuia să demonstrăm.
Relaţia (26.14) se referă la întreg domeniul de frecvenţe (lungimi
de undă) ale undelor electromagnetice de la 0 la , dar totodată
este valabilă şi pentru intervale infinit mici ale frecvenţelor (ν, ν + dν)
sau ale lungimilor de undă (λ, λ + dλ):
abs
d d , abs
d d . (26.15)
Într-adevăr, acoperind corpul analizat cu un filtru absolut transparent
pentru frecvenţele din intervalul (ν, ν + dν) sau pentru lungimile de
13
undă din intervalul (λ, λ + dλ), dar absolut netransparent pentru
celelalte frecvenţe sau lungimi de undă, care sunt reflectate în
întregime de filtru şi aplicând aceleaşi raţionamente bazate pe
principiul al doilea al termodinamicii ca şi în cazul puterilor integrale
de radiaţie şi de absorbţie, obţinem relaţiile
(26.15).
Între densitatea spectrală a radianţei
energetice a unui corp şi coeficientul lui de
absorbţie, după cum a observat pentru prima
dată Kirchhoff în 1895, există o anumită
legătură. Pentru a o obţine considerăm o
cavitate izolată termic, pereţii căreia sunt
absolut negri şi în interiorul căreia se află un singur corp (fig. 26.2).
Datorită schimbului termic prin radiaţie dintre corp şi pereţii
cavităţii, sistemul atinge starea de echilibru termodinamic, stare în
care este satisfăcută relaţia (26.15) atât pentru corpul din cavitate,
cât şi pentru pereţii cavităţii:
,
.
abs
abs
d d
d d
(26.16)
Dar fluxul spectral radiant absorbit de corpul din cavitate, conform
(26.13) este abs in
d a d . La rândul său fluxul spectral
radiant incident pe suprafaţa corpului din cavitate trebuie să fie egal
cu fluxul spectral radiant al cavităţii negre, întrucât fluxul radiant al
corpului din cavitate înapoi nu se mai întoarce, suprafaţa neagră
absorbindu-l în totalitate: in
d d
. Substituind ultimele
relaţii în prima ecuaţie (26.16) şi împărţind-o la produsul dintre aria
unui element dS şi intervalul de frecvenţe d , adică la dSd , în
Fig. 26.2
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
14
conformitate cu definiţia densităţii spectrale a radianţei energetice
(26.8) obţinem:
d d
a r a rdSd dSd
.
De aici rezultă legea lui Kirchhoff în formă diferenţială:
,r
r f Ta
, (26.17)
care poate fi formulată astfel:
Raportul dintre densitatea spectrală a radianţei energetice r
şi puterea de absorbţie a este acelaşi pentru toate corpurile
din natură şi este egal cu densitatea spectrală a radianţei
energetice a corpului absolut negru r care este o funcţie
universală ce depinde numai de frecvenţă şi de temperatura
corpului T.
Din legea lui Kirchhoff sub formă diferenţială (26.17) pot fi trase
următoarele concluzii generale:
1. Întrucât coeficientul de absorbţie a nu poate fi mai mare decât
unitatea, densitatea spectrală a radianţei energetice r a oricărui corp
nu poate întrece densitatea spectrală a radianţei energetice a
corpului absolut negru r.
2. Dacă un corp aflat la temperatura T nu absoarbe radiaţia cu
frecvenţele din intervalul ; d , adică dacă 0a , atunci
acesta nici nu radiază în acest domeniu de frecvenţe, întrucât
0r a r
.
15
3. Dacă puterea de absorbţie a corpului a este mare, adică
apropiată de unitate, atunci aceasta încă nu înseamnă că şi
densitatea spectrală a radianţei energetice r , de asemenea, este
mare. Ea poate fi şi foarte mică. De exemplu, un corp cafeniu aflat
la temperatură obişnuită absoarbe puternic lumina albastră, ne
radiind deloc astfel de lumină. Explicaţia este că la temperaturi
obişnuite 0r , adică corpul absolut negru practic nu radiază şi
0r a r
.
După cum s-a mai menţionat, nici o suprafaţă reală nu este
absolut neagră. Pentru a caracteriza gradul de înnegrire a suprafeţei
corpului se utilizează mărimea fizică numită emisivitate sau
coeficient de înnegrire :
R
R
. (26.18)
Coeficientul de înnegrire sau emisivitatea unei suprafeţe negre este
egal cu unitatea, pe când toate suprafeţele reale au emisivităţi mai
mici ca unitatea, aceasta depinzând de temperatură, proprietăţile
materialului şi de starea suprafeţei corpului. Substituim expresia
pentru densitatea spectrală a radianţei energetice r obţinută din
(26.17), în (26.9):
0 0
R r d a r d
.
Atunci, pentru emisivitatea unei suprafeţe reale, obţinem
0
0
a r dR
Rr d
, (26.19)
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
16
unde
0
R r d
(26.20)
este radianţa energetică a corpului absolut negru care depinde numai
de temperatura lui absolută T . Întrucât 0 1a , rezultă că şi
emisivitatea (coeficientul de înnegrire) variază în aceleaşi limite:
0 1 fiind egal cu unitatea numai pentru corpul absolut negru.
Suprafeţele netransparente, pentru care 0 , reflectă complet
radiaţia incidentă ne absorbind şi, prin urmare, ne radiind unde
electromagnetice. Astfel de suprafeţe se numesc suprafeţe de
oglindă. Relaţia (26.19) poate fi scrisă sub forma
R R . (26.21)
Aceasta este legea lui Kirchhoff sub formă integrală, care arată că
la o temperatură dată corpurile care au un coeficient de
înnegrire (emisivitate) α mai mare radiază mai intens.
26.2. Legile radiaţiei termice
Una dintre primele investigaţii ale radiaţiei termice a fost
cercetarea experimentală realizată de fizicianul austriac Jožef Stefan
(1835–1893) în 1879 a dependenţei radianţei energetice R a unui
corp de temperatură. Stefan a stabilit că radianţa energetică este
proporţională cu temperatura absolută la puterea a patra.
Cercetările ulterioare, inclusiv teoretice, realizate de către
Boltzmann în 1884 cu utilizarea metodelor termodinamice, au arătat
că această dependenţă este valabilă numai pentru radiaţia
echilibrată a corpului absolut negru. Acest rezultat constituie
17
legea lui Stefan-Boltzmann, care se scrie în forma:
4R T , (26.22)
unde 8 2 45,7 10 W m K este constanta lui Stefan-
Boltzmann care se determină experimental, dar, după cum vom
vedea ulterior, poate fi şi calculată. Legea lui Stefan-Boltzmann
arată o dependenţă foarte puternică a radianţei energetice de
temperatură. La creşterea temperaturii corpului radiator, de
exemplu, de două ori, radianţa energetică a corpului absolut negru
R , adică energia emisă de pe unitatea de arie a suprafeţei corpului
în unitatea de timp, va creşte de 24 = 16 ori. Ţinând seama de legea
lui Kirchhoff sub formă integrală (26.21), pentru radianţa energetică
R a unui corp real aflat în stare de echilibru termodinamic,
obţinem:
4R T , (26.23)
unde este coeficientul de înnegrire (emisivitatea) a corpului.
În anul 1893 fizicianul german Wilhelm Wien (1864 – 1928) a
întreprins cercetări ale structurii spectrale a radiaţiei echilibrate a
corpului absolut negru, utilizând metode termodinamice şi teoria
electromagnetică a radiaţiei. El a cercetat comprimarea adiabatică a
radiaţiei echilibrate a unui corp absolut negru într-un cilindru cu
pereţi de oglindă cu ajutorul unui piston care, de asemenea, avea o
suprafaţă de oglindă. În urma investigaţiilor Wien a ajuns la
concluzia că densitatea spectrală a radianţei energetice trebuie să
aibă forma unui produs dintre 3 şi o funcţie care depinde de
raportul dintre frecvenţa radiaţiei şi temperatura absolută T :
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
18
3r f
T
. (26.24)
Acest rezultat reprezintă formula lui Wien. Cu ajutorul (26.11) se
poate stabili şi expresia pentru r:
2
3
2 2
c cr r r r f
c T
4
5
c cr f
T
. (26.25)
Metodele de cercetare utilizate de Wien
nu au permis aflarea formei explicite a
funcţiei f T . Cu toate acestea, însă,
formula (26.25) i-a permis lui Wien să
stabilească o lege importantă numită
legea deplasării lui Wien. Datele
experimentale privind dependenţa
mărimii r de lungimea de undă a
radiaţiei emise de corpul absolut negru şi
de temperatura T a acestuia (fig. 26.3)
arată că funcţia r are un maxim, care
depinde de temperatură. Poziţia acestui maxim poate fi determinată
din condiţia că derivata funcţiei r în raport cu lungimea de undă
să fie egală cu zero:
4
4
10 5 2
5 1 10
m
dr c c cc f f
d T T T
,
sau
Fig. 26.3
19
6
15 0
m m m m
c c cf f
T T T
.
De aici rezultă că
5m
mm
cf
T
ccf
TT
. (26.26)
După cum arată rezultatele experimentale (fig.26.3) funcţia m
cf
T
este finită, continuă şi univocă. Nici derivata acestei funcţii nu poate
avea alte particularităţi. De aceea, la o valoare fixă a argumentului
ei (valoare fixă a produsului mT ), raportul din partea stângă a
ecuaţiei (26.26) trebuie să posede, de asemenea, o valoare fixă.
Notând prin b valoarea acestei constante, se poate scrie:
m m
bT b
T . (26.27)
Astfel,
densitatea spectrală a radianţei energetice r a radiaţiei
echilibrate a corpului absolut negru atinge valoarea maximă la
o lungime de undă m invers proporţională cu
temperatura absolută T, la care a fost atins echilibrul.
Această afirmaţie reprezintă legea deplasării lui Wien, întrucât la
variaţia temperaturii corpului absolut negru valoarea lungimii de
undă m la care revine maximul densităţii spectrale r se
deplasează spre domeniul infraroşu, dacă temperatura corpului
scade, sau spre cel ultraviolet, dacă temperatura lui creşte (fig.26.3).
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
20
Atâta timp cât nu se cunoaşte expresia explicită a funcţiei r, nici
valoarea constantei lui Wien b nu poate fi calculată. Dar, ea a fost
determinată din experiment şi are valoarea 32,90 10 m Kb .
Substituind (26.27) în (26.25), pentru valoarea maximă a
densităţii spectrale a radianţei energetice a radiaţiei echilibrate a
corpului absolut negru max
r , obţinem
4
5 5
5max
c cr f T b T
b b
. (26.28)
Astfel, valoarea maximă a densităţii spectrale a radianţei energetice a
radiaţiei corpului absolut negru max
r
este proporţională cu tempera-
tura absolută la puterea a cincea. Acest rezultat este numit uneori legea
a doua a lui Wien. Constanta b din această lege a fost determinată
din experiment şi are valoarea 5 3 51,30 10 W m Kb .
Au fost întreprinse şi alte încercări de obţinere a formei explicite
a funcţiei lui Kirchhoff ,r f T – funcţie universală de
frecvenţă (lungime de undă) şi temperatura absolută. În una din
aceste încercări Rayleigh şi Jeans au aplicat legile fizicii clasice la
radiaţia echilibrată din cavitate. Ei au considerat această radiaţie
drept un ansamblu de unde electromagnetice staţionare. Aplicând
teorema despre echipartiţia energiei după gradele de libertate,
Rayleigh şi Jeans au obţinut următoarea expresie pentru funcţia lui
Kirchhoff:
2
2
2r kT
c
, (26.28)
unde c este viteza luminii în vid. Analiza arată că acest rezultat:
21
1. este confirmat experimental numai
pentru frecvenţe mici (lungimi de undă
mari) ale radiaţiei echilibrate ale corpului
absolut negru. În figura 26.4 este
reprezentat graficul acestei dependenţe
(curba 1) şi graficul obţinut din datele
experimentale (curba 2);
2. contrazice legii lui Stefan-Boltzmann. Într-adevăr, calculând
radianţa energetică cu ajutorul formulei (26.20), obţinem:
2
2
0 0
2 kTR r d d
c
.
Rezultă că energia emisă de unitatea de arie a unui corp absolut
negru în unitatea de timp la orice temperatură ar trebui să tindă la
infinit, fapt ce contrazice legii conservării energiei. Se observă că
orice corp ar trebui să emită cu atât mai multă energie, cu cât
frecvenţa este mai mare. Acest rezultat absurd a căpătat denumirea
de "catastrofă ultravioletă";
3. contrazice formulei şi legii deplasării lui Wien, întrucât funcţia
(26.28) nici măcar nu are maxim la vreo frecvenţă de emisie.
În pofida neajunsurilor menţionate ale formulei lui Rayleigh şi
Jeans, aceasta a demonstrat clar că legile fizicii clasice nu sunt
aplicabile la radiaţia termică echilibrată a corpului absolut negru şi,
prin urmare, la radiaţia echilibrată a corpurilor obişnuite. Ea a
indicat necesitatea unei noi abordări a fenomenului radiaţiei
termice, străină abordării clasice.
Fig. 26.4
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
22
26.3. Ipoteza şi formula lui Planck
Primul care a aplicat o abordare nouă în tratarea radiaţiei
echilibrate a corpului absolut negru a fost fizicianul german Max
Karl Ernst Ludwig Planck (1858 – 1947), care în anul 1900 a reuşit
să explice distribuţia radiaţiei termice după frecvenţe. La acea
vreme se cunoştea, că densitatea volumică a energiei radiaţiei
echilibrate într-o cavitate şi distribuţia acesteia după frecvenţe
depinde numai de temperatura pereţilor cavităţii şi nu depinde de
proprietăţile concrete ale materialului pereţilor. De aceea, Planck a
considerat pereţii cavităţii fiind constituiţi dintr-un sistem de
oscilatori liniari armonici (atomi) ce posedă frecvenţe proprii de
toate valorile posibile. Ţinând seama că în starea de echilibru
energia consumată de către oscilatori la radiaţia undelor
electromagnetice trebuie să fie compensată de energia radiaţiei
incidente absorbită de către aceștia, Planck obţine următoarea
expresie pentru densitatea spectrală a radianţei energetice a corpului
absolut negru
2
2
2r
c
, (26.29)
unde este energia medie a oscilatorului cu frecvenţa proprie .
În conformitate cu teorema despre echipartiţia energiei după gradele
de libertate energia medie a unui oscilator trebuie să fie
2 2oscn kT kT , întrucât numărul gradelor oscilatorii 1oscn
(vezi (6.22)). Substituind acest rezultat în (26.29), obţinem formula
lui Rayleigh şi Jeans (26.28), care contrazice datelor experimentale.
23
Încă o dată se observă că legile fizicii clasice nu sunt aplicabile la
radiaţia termică. De aceea pentru calcularea Planck a utilizat
metodele statistice elaborate de către Boltzmann şi s-a bazat pe
ipoteza cuantică, conform căreia:
1. energia atomului oscilator poate să varieze numai discret,
adică numai cu mărimi multiple unei porţiuni elementare
numită cuantă de energie ε;
2. la trecerea atomului-oscilator din starea cu energia nε în
starea cu energia (n – 1)ε acesta emite o cuantă de energie
ε, astfel încât această emisie a energiei electromagnetice nu
se poate realiza în mod continuu, ci numai în mod discret.
Planck a admis că oscilatorii se situează în stările energetice
discrete posibile conform distribuţiei lui Boltzmann (vezi § 6.4).
Aceasta înseamnă că probabilitatea nP a aflării oscilatorului în
starea cu energia n este
n
kTn Ce
P ,
unde C este o constantă ce se determină din condiţia de normare a
probabilităţilor:
1
1 1
1n
kTn
n n
C e
P .
Energia medie a unui oscilator poate fi calculată împărţind
energia tuturor oscilatorilor la numărul lor N . Admitem că
numărul oscilatorilor cu energia n este dN . Atunci, energia
acestora va fi n dN . Energia tuturor oscilatorilor va fi 1n
n dN
,
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
24
iar energia medie a unui oscilator
1
1
n
n
n dNdN
nN N
.
Însă mărimea dN N , conform definiţiei (vezi § 6.3) este probabi-
litatea aflării oscilatorului în starea cu energia n . Astfel,
1
1 1
1
n
kTn
nkTn n
n n kT
n
ne
n nCe
e
P .
Notăm kT . Atunci,
11
1
1 1
ln
nn
n nn
n n n
n n
dene
d de
de e
.
Suma progresiei geometrice infinit descrescătoare
1
1
1
n
n
ee
şi
1
ln ln 11
d de
d e d
1 1
1kT
e
e ee
.
Substituind această expresie în (26.29), obţinem
25
2
2
2
1kT
rc
e
.
Comparând această expresie cu formula lui Wien (26.24), observăm
că mărimea kT trebuie să fie proporţională cu raportul T .
Aceasta înseamnă că energia cuantei trebuie să fie proporţională cu
frecvenţa ei ν:
h , (26.30)
unde coeficientul de proporţionalitate h este o constantă universală
numită constanta lui Planck. Valoarea determinată din experiment
a acestei constante universale este: 346,62 10 J sh . Caracterul
universal al constantei lui Planck rezultă din faptul că formula lui
Wien nu depinde de materialul din care este confecţionat corpul
absolut negru, fiind aceeaşi pentru toate corpurile din natură. Astfel,
expresia pentru densitatea spectrală a radianţei energetice a radiaţiei
echilibrate a unui corp absolut negru este
2
2
2
1h
kT
hr
ce
;
2
2 5
2 1
1hc
kT
c hcr r
e
. (26.31)
Această expresie constituie formula lui Planck. Ea este în
corespundere totală cu datele experimentale. Corespunderea
rezultatelor teoretice cu cele experimentale reprezintă o dovadă
indirectă a certitudinii ipotezei lui Planck. Astfel a fost demonstrat că
radiaţia termică se emite discret, adică sub formă de cuante cu
energia hν.
Formula lui Planck permite deducerea tuturor legilor radiaţiei
termice. În calitate de exemplu vom deduce legea lui Stefan-
Boltzmann:
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
26
43 3
2 2
0 0 0
2 2
11
h x
kT
h d h kT x dxR r d
c c h ee
,
unde a fost aplicată substituţia h
xkT
. Ţinând seama că
3 4
01 15x
x dx
e
, pentru radianţa energetică a corpului absolut negru
obţinem:
5 4
4
2 3
2
15
kR T
c h
.
De aici rezultă următoarea valoare a constantei lui Stefan-
Boltzmann
5 4
8
2 3 2 4
2 W5,6696 10
15 m K
k
c h
,
valoare foarte apropiată de cea experimentală σ = 5,7·10–8 W/(m2·K4).
26.4. Efectul fotoelectric. Impulsul fotonului.
Presiunea luminii
După cum s-a menţionat, Planck a demonstrat că radiaţia
electromagnetică este emisă de către corpuri sub formă de cuante cu
energia h . Însă teoria cuantelor de energie nu s-a limitat
numai la explicarea naturii radiaţiei corpului absolut negru, ci s-a
impus şi în optică, evidenţiind aspecte noi ale propagării şi
absorbţiei undelor electromagnetice. În anul 1905, Einstein a
observat că există multe date experimentale şi raţionamente
teoretice, care conduc la ideea că radiaţia electromagnetică de rând
cu caracterul ondulatoriu, are şi un caracter corpuscular, adică este
formată din cuante de energie numite de către fizicianul american
27
Gilbert Lewis (1875 – 1946) în anul 1926 şi fotoni. Einstein a
verificat teoria sa fotonică a radiaţiei, explicând efectul fotoelectric.
Acest efect a fost descoperit de către Hertz în 1890 şi constă în
emisia electronilor de către unele suprafeţe metalice, când acestea
sunt supuse acţiunii unor radiaţii electromagnetice. Efectul
fotoelectric se observă la incidenţa radiaţiilor luminoase pentru
metalele alcaline, pentru celelalte metale fiind necesare radiaţii de
frecvenţă mai înaltă, din domeniul radiaţiilor ultraviolete, radiaţiilor
Roentgen, sau radiaţiilor γ. Efectul fotoelectric a fost cercetat
experimental de către Hertz, Halwachs, Lenard, Stoletov ş.a.,
stabilindu-se un şir de legi empirice ce n-au putut fi explicate în
cadrul teoriei electromagnetice a radiaţiei. Folosind concepţia
fotonică a radiaţiei, Einstein dă următoarea explicaţie a efectului
fotoelectric. Fiecare foton incident pe suprafaţa metalului este
absorbit de un electron din interiorul metalului, căruia îi cedează
întreaga sa energie h . Dacă energia absorbită de la fotonul
radiaţiei incidente depăşeşte ca valoare lucrul mecanic de extracţie a
electronului din metal, acesta părăseşte metalul producându-se
efectul fotoelectric. În baza acestei concepţii pot fi formulate şi
interpretate corect următoarele legi ale efectului fotoelectric:
1. Emisia electronilor de către suprafeţele metalice sub acţiunea
radiaţiilor electromagnetice are loc numai începând cu o anumită
frecvenţă (lungime de undă) a radiaţiei incidente, caracteristică
fiecărui metal, numită frecvenţă (lungime de undă) de prag, care
corespunde unei energii a fotonului incident egală cu lucrul mecanic
de extracţie a electronului din acest metal:
0 extr
0
hch L
. (26.32)
2. Emisia electronilor se produce practic instantaneu, întrucât
electronul absoarbe fotonul cu mult mai rapid decât ar absorbi
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
28
energia necesară pentru ieşirea din metal de la o undă
electromagnetică. Astfel lipsa inerţiei efectului fotoelectric
reprezintă o dovadă a naturii cuantice a interacţiunii luminii cu
substanţa;
3. Intensitatea curentului fotoelectric este proporţională cu fluxul
radiaţiei incidente. Într-adevăr, fiecare electron emis obţine energie
de la un singur foton şi deci numărul de electroni emişi este
proporţional cu numărul fotonilor incidenţi;
4. Energia cinetică maximă a electronilor emişi depinde numai de
frecvenţa radiaţiei incidente. Într-adevăr, conform legii conservării
energiei
2 2
max max0
2 2extr
m mh L h h
v v
2
max0
2
mh
v. (26.33)
Scriind această ecuaţie, Einstein a demonstrat că dependenţa
energiei cinetice maxime a electronilor
emişi în funcţie de frecvenţa radiaţiei
incidente trebuie să reprezinte o linie
dreaptă cu panta egală ca valoare cu
valoarea constantei lui Planck. După cum a
arătat Millikan, care a construit mai multe
drepte experimentale pentru diferite metale
(fig. 26.5), această pantă într-adevăr coincide exact cu valoarea
constantei lui Planck 346,62 10 J sh . Rezultatele obţinute
constituie o confirmare evidentă a justeţei concepţiei lui Einstein
Fig. 26.5
29
privind natura cuantică a luminii, conform căreia
radiaţia electromagnetică este compusă dintr-un ansamblu de
cuante de energie numite fotoni.
În afară de energia h , fotonul trebuie să posede atât masă,
cât şi impuls. Masa fotonului poate fi determinată utilizând relaţia
lui Einstein dintre masă şi energie (vezi (5.43)):
2
2f f
h hE m c h m
c c
. (26.34)
Aceasta este masa fotonului în mişcare. Masa de repaus a fotonului,
însă, este egală cu zero. Într-adevăr, conform dependenţei masei de
viteză (5.34):
2 200
2 21 0
1f f
mm m m c c
c
v,
întrucât cv . Impulsul fotonului poate fi determinat din relaţia
dintre impuls şi energie (5.45):
2 2
0
1 f
f
E h hp E E p
c c c c
, (26.35)
deoarece 2
0 0 0f fE m c , iar c . Dacă se utilizează numărul
de undă 2k , atunci formula pentru impulsul fotonului poate
fi scrisă astfel:
2
f
h hp k k
, (26.36)
unde 342 1,05 10 J sh . Direcţia vectorului fp coincide
cu direcţia de propagare a luminii, care este determinată de vectorul
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
30
de undă k . De aceea, impulsul fotonului
fp k . (26.36,a)
Faptul că fotonii posedă impuls
trebuie să conducă la existenţa presiunii
luminii care, prin analogie cu presiunea
gazului, este egală cu impulsul transmis
în unitatea de timp de către fluxul de
fotoni unei suprafeţe de arie unitară.
Admitem că sub unghiul i în raport cu
normala n la o suprafaţă de arie dS
cade un fascicul de fotoni (fig. 26.6). În
timpul dt pe suprafaţa dS vor cădea cosdN ndV ndScdt i
fotoni, unde n este concentraţia lor, iar cosdV dScdt i este
volumul cilindrului oblic, fotonii din interiorul căruia în timpul dt
vor ajunge la suprafaţa dS , c fiind viteza luminii în vid. Fiecare
foton absorbit transmite suprafeţei impulsul cosfp i , iar fiecare
foton reflectat – impulsul 2 cosfp i . Admitem, de asemenea, că
suprafaţa considerată are un coeficient de reflexie ρ. Atunci ρdN
fotoni se vor reflecta, iar 1 dN fotoni se vor absorbi. Impulsul
dP transmis de toţi fotonii absorbiţi şi reflectaţi de suprafaţa dS în
timpul dt este
2
2 2
2 cos 1 cos 1 cos
1 cos cos 1 cos
1 cos 1 cos .
f f f
f f
d dN p i dN p i dN p i
p i ndScdt i p nc i dSdt
hn c i dSdt nh i dSdt
c
P
Fig. 26.6
31
Pentru presiunea luminii, adică pentru impulsul transmis de către
fasciculul de fotoni unităţii de arie a suprafeţei în unitatea de timp,
se obţine
2 21 cos 1 cosd
p nh i w idSdt
P
, (26.37)
unde w este densitatea volumică a energiei radiaţiei incidente.
Această formulă se confirmă experimental.
26.5. Efectul Compton. Dualismul undă-corpuscul
al proprietăţilor radiaţiei
Explicând efectul fotoelectric, Einstein a arătat că la
interacţiunea unui foton cu un electron din structura metalului se
respectă legea conservării energiei. În acest caz energia fotonului
incident este de acelaşi ordin cu energia de interacţiune a
electronului cu nucleul – de câţiva electronvolţi. Atunci când
fotonul interacţionează cu electronul, acesta posedă şi cedează exact
energia necesară extracţiei electronului din structura metalică.
Fizicianul american Arthur Holly Compton (1892 – 1962) şi-a pus
întrebarea: ce s-ar putea întâmpla atunci când energia fotonului
ar fi cu mult mai mare?, de exemplu, de câţiva kiloelectronvolţi,
energie pe care o au fotonii din diapazonul razelor Roentgen. Pentru
a răspunde la această întrebare Compton a studiat în 1922
împrăştierea razelor Roentgen de către substanţele uşoare. Schema
experimentului lui Compton este prezentată în figura 26.7. Un
fascicul de raze Roentgen cu
lungimea de undă 0 produs de
sursa S după ce trecea prin
colimatorul C cădea pe o probă P
de grafit. Razele împrăştiate erau
Fig. 26.7
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
32
studiate cu ajutorul unui detector D sub diferite unghiuri de
împrăştiere . În acest mod Compton a detectat în razele
împrăştiate pe lângă razele de lungime de undă 0 şi raze cu
lungimi de undă 0 . Acest fenomen a căpătat denumirea de
efect Compton. Conform teoriei clasice unda electromagnetică
incidentă pe un material fiind absorbită, impune electronii
materialului să efectueze oscilaţii forţate cu frecvenţa acestei unde.
Datorită acestor oscilaţii electronii emit o undă electromagnetică de
o frecvenţă (lungime de undă) coincidentă cu frecvenţa (lungimea
de undă) a undei incidente. Astfel, teoria clasică nu poate explica
apariţia în efectul Compton a undelor secundare cu lungimea de
undă 0 . Pentru explicarea fenomenului, Compton a pornit de
la ideea că radiaţia incidentă are natură corpusculară, adică
reprezintă un flux de fotoni. La interacţiunea fotonului cu electronul
slab legat în blocul de grafit trebuie să se respecte legile de
conservare a impulsului şi energiei. Electronul slab legat (energia
fotonului incident este cu mult mai mare decât energia de legătură a
electronului din materialul studiat) înainte de interacţiune avea doar
energie de repaus 2
0 0E m c , unde 0m este masa de repaus a
electronului, şi nu avea impuls, iar după interacţiune posedă energia 2E mc şi impulsul ep m v . Înainte
de interacţiune fotonul avea energia
0 0h şi impulsul 0 0p h c , iar
după interacţiune – energia h şi
impulsul p h c . Schema efectului
Compton este reprezentată în figura
26.8. În conformitate cu legile de
conservare a impulsului (fig. 26.9) şi
a energiei avem:
Fig. 26.8
33
0
0 0 extr
,
,
ep p p
E E L
(26.38)
unde extrL este lucrul de extracţie a electronului din materialul
împrăştietor. Însă, în experienţa lui Compton, energia fotonului
incident 0 0 extrh L şi anume 0 extr1550L . Din această cauză
termenul extrL din ecuaţia a doua (26.38) poate
fi neglijat, ca şi cum am presupune că
electronul este liber. În acest caz pot fi
consideraţi liberi chiar şi electronii păturilor
periferice ale atomilor grei. Substituind în
ecuaţia a doua (26.38) expresiile pentru ε0, E
0,
ε şi E, scriem această ecuaţie sub forma:
2 2
0 0mc h m c . (26.39)
Reprezentăm prima ecuaţie (26.38) sub forma 0ep p p şi o
ridicăm la pătrat, ţinând seama de triunghiul impulsurilor din figura
26.9:
2 2 2
0 02 cosep p p p p . (26.40)
Substituim în (26.40) expresiile pentru ep , 0p şi p , obţinem
2 2 22 2
2 2 0 0
2 2 2
2cos
h hhm
c c c
v ,
sau
2 2 2 2 2 2 2 2
0 02 cosm c h h h v . (26.41)
Ridicăm la pătrat (26.39):
Fig. 26.9
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
34
2 4 2 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 02 2m c h h h h m c m c . (26.42)
Scădem ecuaţia (26.41) din ecuaţia (26.42):
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0
2 2 4
0 0 0
2 2 2 2 2
0 0
2
2
2 cos .
m c m c h h h
h m c m c
h h h
v
Reducând termenii asemenea, obţinem:
2
2 4 2 2 2 4
0 0 0 021 2 1 cos 2m c h h m c m c
c
v. (26.43)
Observăm că 2 2 2 2
01m c m v . De aceea:
2 4 2 2 2 4
0 0 0 0 02 1 cos 2m c h h m c m c ,
sau
2 2
0 0 02 2 1 cosh m c h . (26.44)
Împărţind (26.44) la 0 02h m c , obţinem
0 2
0 0 0 0
1 cos 2sin2
c h c c h
m c m c
2
0
0
2 sin2
h
m c
,
sau
2
0 2 sin2
C
, (26.45)
unde 0 2,426pmC h m c se numeşte lungimea de undă
Compton a electronului.
Analiza relaţiei (26.45), care exprimă creşterea lungimii de undă
a unui foton la interacţiunea sa cu un electron aproape liber aflat în
repaus l-a condus pe Compton la următoarele interpretări:
35
a) Relaţia (26.45) se respectă independent de materialul folosit,
ceea ce arată că efectul observat reprezintă o proprietate a
constituenţilor fundamentali ai materiei, şi nu una a vreunei
substanţe concrete;
b) Creşterea lungimii de undă se modifică odată cu variaţia
unghiului de împrăştiere, luând valorile extreme 0 pentru
0 şi 2 C pentru 180 .
Aceste proprietăţi au fost mai întâi stabilite experimental, iar
explicarea lor cu ajutorul relaţiei (26.45), dedusă cu ajutorul
ipotezei fotonice a luminii, reprezintă o dovadă în plus a valabilităţii
acestei ipoteze.
În urma efectului Compton apare nu numai radiaţia
electromagnetică împrăştiată cu lungime de undă mărită, ci şi
electronul relativist de recul, care după împrăştierea radiaţiei
incidente capătă un impuls ep şi o energie cinetică cE , care poate fi
determinată după cum urmează:
2 2
0 0
0
0
0 0 0
1 1
.
cE mc m c h h hc
hc hc
Substituind aici relaţia (26.45), pentru energia cinetică a
electronului de recul obţinem definitiv:
2
2
0 0
2 sin 2
2 sin 2
C
c
C
hcE
. (26.46)
Este de remarcat că atât efectul Compton, cât şi efectul
fotoelectric se produc la interacţiunea radiaţiei electromagnetice cu
electronii. Aceste efecte, totuşi, sunt diferite, întrucât în cazul
undelor electromagnetice din diapazonul spectrului vizibil fotonul
Proprietăţile cuantice ale radiaţiei
36
îşi transferă întreaga energie electronului, iar în cazul razelor
Roentgen radiaţia incidentă este împrăştiată la interacţiunea cu
electronul, fenomen însoţit de creşterea lungimii de undă a fotonului
difuzat. Energia iniţială a fotonului incident este transformată în
energie cinetică a electronului de recul şi energie electromagnetică
asociată fotonului rezultat în urma împrăştierii, care are o energie
mai mică (lungime de undă mai mare). O cuantă de energie mare
este înlocuită cu alta de energie mai mică, diferenţa de energii fiind
responsabilă de reculul electronului slab legat. În cadrul ambelor
fenomene (efectul fotoelectric şi Compton) radiaţia
electromagnetică manifestă proprietăţi care pot fi explicate numai
dacă se admite că aceasta este formată din particule energetice –
fotoni, care reprezintă corpusculi cu energie şi impuls proprii ce se
supun legilor de conservare a acestor mărimi.
La final observăm că, deşi teoria fotonică a radiaţiei
electromagnetice permite explicarea completă a efectelor
fotoelectric şi Compton, ea nu poate explica fenomenele de
interferenţă, difracţie şi polarizare a luminii. De aceea nu s-a
renunţat la teoria ondulatorie a radiaţiei electromagnetice, care
explică, de asemenea, complet fenomenele menţionate. Mai mult
decât atât, lumina are simultan proprietăţi caracteristice atât
undelor, cât şi particulelor. Într-adevăr, realizând experienţa lui
Young (vezi § 23.1, fig. 23.1), cu fanta 2S acoperită, pe ecran se
observă o anumită distribuţie a intensităţii luminii. Dacă acoperim
fanta 1S , atunci se obţine aceeaşi distribuţie puţin deplasată pe
ecran. Dar dacă lăsăm deschise ambele fante, atunci pe ecran se
observă o distribuţie a intensităţii luminii, care nici pe aproape nu
reprezintă suma distribuţiilor de la cele două fante aparte. Pe ecran
se obţine cunoscutul tablou de interferenţă al lui Young de la două
fante (fig. 23.1). Apare întrebarea: ce este lumina - undă sau
37
corpuscul? Einstein a dat următorul răspuns la această întrebare:
"este mult mai probabil să spunem că lumina are atât un
caracter ondulatoriu cât şi corpuscular". Existenţa simultană
pentru undele luminoase a proprietăţilor caracteristice atât undelor,
cât şi particulelor ridică problema îmbinării raţionale a acestor
proprietăţi contradictorii. Deja am obţinut o latură a acestei
îmbinări, atunci când cu ajutorul relaţiilor relativiste am obţinut
relaţia de legătură dintre caracteristica de particulă a radiaţiei
electromagnetice – impulsul fotonului fp şi caracteristica de undă a
acestei radiaţii – lungimea de undă (vezi (26.35)):
f
hp
şi h . (26.47)
Cât priveşte alte laturi ale acestei îmbinări, raţionamentele sunt
următoarele. Interacţiunea luminii cu substanţa la trecerea ei printr-
un sistem optic conduce la o anumită distribuţie a fotonilor pe
ecranul situat în calea luminii după trecerea ei prin sistem.
Luminozitatea în diferite puncte ale ecranului este proporţională cu
numărul de fotoni incidenţi în punctele respective ale ecranului,
număr la rândul lui proporţional cu probabilitatea căderii fotonului
în punctul dat al ecranului. Pe de altă parte, conform teoriei
ondulatorii a luminii, luminozitatea punctului considerat al
ecranului este proporţională cu intensitatea luminii, mărime, după
cum se ştie, proporţională cu pătratul amplitudinii undei de lumină
ce a trecut prin sistemul optic şi a ajuns în punctul dat al ecranului.
În concluzie:
pătratul amplitudinii undei luminoase într-un punct oarecare
al spaţiului la un anumit moment de timp reprezintă măsura
probabilităţii aflării fotonilor ce constituie această undă în
acest punct la acelaşi moment de timp.
Elemente de mecanică cuantică
38
Capitolul 27. Elemente de mecanică
cuantică
27.1. Ipoteza şi formula lui Louis de Broglie
În anul 1924 savantul francez Luis de Broglie (1892 – 1987),
analizând relaţia de legătură dintre caracteristica de particulă a
radiaţiei electromagnetice – impulsul fotonului fp şi caracteristica
de undă a acestei radiaţii – lungimea de undă (26.47)
f
hp
, (27.1)
ajunge la concluzia că dacă în teoria clasică a structurii radiaţiei
electromagnetice nu a fost luată în seamă latura corpusculară a
acesteia, atunci în teoria substanţei, probabil, a fost comisă o
greşeală inversă, şi anume, nu a fost luată în seamă latura
ondulatorie. Cu alte cuvinte, particulele de substanţă, ca şi radiaţia
electromagnetică trebuie să posede proprietăţi ondulatorii.
Lungimea de undă a unei particule de substanţă trebuie să se afle
în aceeaşi legătură cu impulsul ei p ca şi în cazul fotonilor radiaţiei
electromagnetice (27.1). Astfel, de Broglie a extins formula (27.1) şi
asupra particulelor de substanţă, obţinând următoarea formulă
pentru lungimea de undă a unei particule de substanţă:
h
p . (27.2)
Această relaţie se numeşte formula lui de Broglie, iar unda
asociată particulei de substanţă – undă de Broglie. Ea reprezintă
una dintre relaţiile fundamentale ce se află la baza fizicii moderne.
39
De rând cu această relaţie şi independent de ea se utilizează şi
formula de legătură dintre energia E a particulei libere, adică
nesupuse acţiunilor externe, şi frecvenţa a undelor de Broglie:
E h , (27.3)
formulă împrumutată, de asemenea, din teoria radiaţiei. Conform
ipotezei lui de Broglie, un fascicul constituit din orice particule de
substanţă, după trecerea prin două fante, va crea un tablou de
interferenţă caracteristic experienţei lui Young realizată cu fascicule
luminoase (fig. 23.1). Luis de Broglie şi-a expus ipoteza la
susţinerea tezei de doctor în filozofie în anul 1924. Pe atunci această
ipoteză părea absurdă şi ne la locul ei. De aceea la început ea nu a
fost luată în serios. Dar, peste trei ani, în 1927, a venit şi şocul –
formula lui de Broglie a fost confirmată experimental. Şocul a fost
datorat unui paradox legat de această ipoteză. Pentru a clarifica în
ce constă paradoxul şi modul de înlăturare a acestuia vom considera
următoarele experienţe. Admitem un fascicul de electroni ce cade
pe două fante S1 şi S2 ca și în experienţa lui Young, iar în punctul P1
de pe ecranul E situat după fante se află un contor Geiger care
înregistrează numărul de electroni ajunşi în acest punct în fiecare
secundă (fig. 27.1). Dacă fanta S2 este acoperită, atunci pe ecranul
situat după fante se va observa o anumită distribuţie a electronilor
(fig. 27.1,a), care poate fi stabilită cu ajutorul contorului Geiger
situat în diferite puncte ale ecranului. Dacă este acoperită fanta S1,
atunci distribuţia electronilor pe ecran va fi aceeaşi, dar puţin
deplasată faţă de poziţia primei distribuţii (fig.27.1,b). Dacă vor fi
descoperite ambele fante, atunci bunul simţ ne îndeamnă să credem
că distribuţia electronilor pe ecran va fi o distribuţie rezultată în
urma sumării primelor două (fig. 27.1,c). Această concluzie rezultă
Elemente de mecanică cuantică
40
din faptul că un electron nu poate să se divizeze asemeni unei unde
luminoase şi să treacă simultan prin ambele fante. Indivizibilitatea
electronului este confirmată prin faptul că nimeni niciodată nu a
observat, de exemplu, o jumătate de electron. Şi totuşi, în realitate
se observă distribuţia din figura 27.1,d, care nici pe departe nu
reprezintă suma primelor două. Acesta şi este paradoxul amintit.
Admitem că în punctul P1 contorul Geiger înregistrează câte 50 de
electroni pe secundă, când este descoperită una din fante. La
descoperirea lentă şi a celei de-a doua fante ar trebui să aşteptăm
creşterea numărului de înregistrări pe secundă de la 50 la 100. În
realitate, însă, numărul de înregistrări pe secundă scade, iar atunci
când a doua fantă este descoperită complet acesta devine egal cu
zero. Ar trebui să înţelegem că 50 + 50 = 0? Admitem că şi în
punctul 2P contorul Geiger înregistrează câte 50 de electroni pe
secundă când este descoperită una din fante. La descoperirea lentă a
fantei a doua, numărul înregistrat este în creştere până la valoarea
de 200 de înregistrări pe secundă, ceea ce ar trebui să însemne că 50
+ 50 = 200!
Pentru explicarea acestor rezultate paradoxale se procedează ca
şi în cazul teoriei radiaţiei. Fiecărei particule de substanţă i se pune
Fig.27.1
41
în corespundere o funcţie de coordonate şi timp, numită
amplitudine a probabilităţii Ψ(x, y, z, t).
Probabilitatea înregistrării particulei într-un moment arbitrar
de timp t într-un punct arbitrar (x, y, z) al spaţiului este
proporţională pătratului modulului acestei funcţii |Ψ(x, y, z, t)|2,
adică intensităţii undei asociate.
Probabilitatea înregistrării particulei într-un volum infinit mic dV
este dP = |Ψ(x, y, z, t)|2dV. Aceasta înseamnă că |Ψ(x, y, z, t)|2 are
sensul de densitate a probabilităţii de a înregistra particula într-un
anumit loc în spaţiu. Funcţia Ψ(x, y, z, t formal posedă proprietăţi
ale undelor clasice. De aceea ea este numită funcţie de undă. Dacă
evenimentul se poate realiza prin intermediul câtorva variante ce se
exclud reciproc (de exemplu, trecerea electronului prin fantele S1
sau S2) (vezi (6.25)), atunci amplitudinea probabilităţii acestui
eveniment este egală cu suma amplitudinilor probabilităţii fiecăruia
din evenimente: Ψ = Ψ1 + Ψ2 (principiul superpozi-
ţiei). Această regulă coincide cu regula compunerii
amplitudinilor undelor din optică. În exemplul
nostru Ψ1 descrie unda electronică ce trece prin
fanta S1, iar Ψ2 – prin fanta S2. Pe ecran ambele
unde se suprapun şi dau naştere tabloului clasic de
interferenţă de la două fante. Direcţia spre maximul
de ordinul n este determinată de relaţia (vezi (24.18)).
sin n n d (27.4)
Să analizăm aplicarea acestui formalism în următorul exemplu. Fie
Fig. 27.2
Elemente de mecanică cuantică
42
că amplitudinea undei ajunse în punctul P de pe ecran (fig.27.2)
când este deschisă numai fanta S1 în unităţi convenţionale constituie
Ψ1 = 3, iar când este deschisă numai fanta S2 – constituie Ψ2 = 9.
Admitem că dacă este deschisă numai fanta S1, atunci contorul
Geiger înregistrează în punctul P numărul N1 = 30 de electroni pe
secundă. Să aflăm câţi electroni pe secundă N2 va înregistra contorul
Geiger în punctul P , dacă va fi deschisă numai fanta S2, precum şi
numerele de electroni pe secundă înregistraţi de contor în acelaşi
punct dacă vor fi deschise ambele fante, în cazurile când undele
electronice se vor amplifica Ψ+ şi când acestea se vor atenua N–.
Observăm că raportul intensităţilor undelor electronice în punctul
P este 2 2
2 1 81 9 9 . Prin urmare, prin fanta S2 trec de 9 ori
mai mulţi electroni pe secundă decât prin fanta S1, adică N2 = 9N1 =
= 270 de electroni pe secundă. Dacă în punctul P are loc
amplificarea undelor electronice (maxim de interferenţă), atunci
amplitudinea undei rezultante trebuie să fie Ψ+ = Ψ1 + Ψ2 = Ψ1 +
3Ψ1 = 4Ψ1. Întrucât 2 2
116 , rezultă că N+ = 16N1 = 480
electroni pe secundă. În cazul atenuării undelor electronice
(minim de interferenţă) Ψ– = Ψ1 – Ψ2 = Ψ1 – 3Ψ1 = –2Ψ1. Întrucât
2 2
14 , rezultă că N– = 4N1 = 120 electroni pe secundă.
Prima verificare experimentală a for-
mulei lui de Broglie le aparţine fizicienilor
americani C. J. Davisson (1881 – 1958) şi
L. H. Germer (1896 – 1971). Ei au studiat
împrăştierea electronilor lenţi de către
suprafeţele monocristalelor diferitor
metale. Schema experienţelor este
reprezentată în figura 27.3. Atomii
Fig. 27.3
43
ordonaţi în lanţuri pe suprafaţa monocristalului acţionau analogic
fantelor unei reţele de difracţie. Conform relaţiei (27.4), primul
maxim al intensităţii undelor electronice trebuie să se observe sub
unghiul 1 ce satisface relaţiei
1sind , (27.5)
unde este lungimea de undă a electronilor lenţi, determinată de
formula lui de Broglie (27.2). Rezultă, deci, că
1 1sin sin
hd h pd
p . (27.6)
Cunoscând impulsul electronilor p, distanţa dintre atomii reţelei
cristaline d şi măsurând unghiul φ1 sub care se observa primul
maxim de difracţie, Davisson şi Germer au obţinut valoarea
constantei lui Planck h. Deosebirea acesteia de valoarea determinată
pe alte căi nu întrecea 1%. Acest rezultat demonstrează veridicitatea
ipotezei şi formulei lui de Broglie.
Ulterior ipoteza şi formula lui de Broglie au fost confirmate
experimental nu numai pentru electroni, ci şi pentru protoni,
neutroni, ioni şi chiar atomi. Natura ondulatorie a substanţei în
prezent este verificată sub diferite aspecte şi n-a fost observată nici
o abatere de la teorie.
Să analizăm unele proprietăţi ale undelor asociate
microparticulelor, adică a undelor de Broglie. Pentru aceasta vom
exprima, mai întâi, impulsul microparticulei p prin numărul de
undă al undei asociate 2k :
2
2
h hp k
, (27.7)
Elemente de mecanică cuantică
44
unde 342 1,05 10 J sh . Astfel, formula lui de Broglie
poate fi scrisă şi sub forma (27.7). Analogic poate fi modificată şi
formula pentru energia particulei libere
22
hE h
, (27.8)
unde 2 este frecvenţa ciclică a undei asociate. Pe de altă
parte, energia particulei libere de masă m ce se mişcă cu viteza v ,
având impulsul p m v , este
2 2
2 2
m pE
m
v. (27.9)
Cu ajutorul relaţiilor (27.7) şi (27.8) se poate determina viteza de
fază a undei asociate (vezi (21.11)):
2 2
f
E p
k k p m
vv . (27.10)
Substituind (27.7) şi (27.8) în (27.9), obţinem:
2
2
k
m .
Derivăm această expresie în raport cu numărul de undă k :
2d k
dk m
.
De aici obţinem viteza de grup
2
2
dd dE p p mu
dk d k dp m m m
vv . (27.11)
45
Din compararea rezultatelor (27.10) şi (27.11) se observă că vitezele
de fază şi de grup nu coincid. Însă, după cum se ştie, acestea coincid
numai în cazul undei sinusoidale. Astfel,
unda asociată particulei libere nu reprezintă o undă monocro-
matică, ci un pachet de unde. Viteza acestui pachet coincide cu
viteza particulei v.
27.2. Relaţiile de incertitudine (nedeterminare) ale lui
Heisenberg
După cum am văzut, proprietăţile
ondulatorii ale microparticulelor de
substanţă conduc la necesitatea descrierii
stării lor cu ajutorul funcţiei de undă
, , ,x y z t . Apare întrebarea: Dar
metoda clasică de descriere a stării microparticulei, indicând
coordonatele ei x, y, z şi componentele vitezei , ,x y zv v v sau a
impulsurilor , ,x y zp p p , rămâne valabilă, sau nu? Pentru a răspunde
la această întrebare considerăm o particulă împreună cu unda de
Broglie asociată ei, care în esenţă reprezintă un pachet de unde (fig.
27.4) ce se mişcă de-a lungul axei Ox cu viteza de grup
2
2
2
dd du
dk d d
.
Însă, conform (27.2)
2
.h hdp
dp p
Aşadar, viteza de grup
Fig. 27.4
Elemente de mecanică cuantică
46
2 2 2
2 2
2
d d p h d p hdu
d hdp p hdp dp
. (27.12)
Din această relaţie şi figura 27.4 rezultă că viteza de grup
x
xu h
t p
,
sau
xp x h t . (27.13)
Dacă am dori să măsurăm variaţia frecvenţei undei asociate ,
atunci am avea nevoie de un interval de timp t , în care măcar o
lungime de undă să treacă un punct fix de pe axa Ox . Acest interval
de timp este legat cu frecvenţa prin expresia
1
1t t
. (27.14)
Substituind (27.14) în (27.13), obţinem
xp x h , (27.15)
unde Δx şi Δpx sunt impreciziile coordonatei x a particulei şi,
respectiv, a proiecţiei impulsului pe axa Ox, atunci când acestea se
măsoară simultan. Din figura 27.4 se observă că Δx este extensiunea
pachetului de unde asociat particulei, aceasta având posibilitatea să
se afle oriunde în interiorul lui. Rezultă că imprecizia Δx este legată
de natura ondulatorie a particulei. Dacă avem, de exemplu, o
particulă liberă, atunci aceasta se mişcă cu viteză constantă vx,
având şi o valoare determinată a impulsului px = mvx. În acest caz
Δpx = 0 şi Δx → ∞, adică nu putem spune nimic despre poziţia
particulei. Dacă, însă, dorim să măsurăm coordonata x a particulei,
47
atunci acţiunea aparatului de măsură va modifica viteza, deci, şi
impulsul acesteia, astfel încât imprecizia va deveni Δpx ≠ 0.
Utilizăm un aparat de măsură care ne permite localizarea exactă a
particulei. Această localizare poate fi realizată cu preţul unei astfel
de modificări a impulsului particulei, încât Δpx → ∞, adică nu
putem spune nimic despre valoarea impulsului ei. În general, dacă
printr-o măsurare se determină impulsul unui obiect cuantic cu o
imprecizie Δpx, atunci poziţia respectivului obiect cuantic nu poate
fi cunoscută decât cu o imprecizie Δx ≥ h/Δpx. Relaţia (27.15) este
una din relaţiile de incertitudine (nedeterminare) descoperite de
fizicianul german Heisenberg. Întrucât raţionamentele ce au condus
la obţinerea relaţiei (27.15) sunt valabile şi pentru axele de
coordonate Oy şi Oz, trebuie să aibă loc şi relaţiile analogice:
,
.
y
z
p y h
p z h
(27.16)
Relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg (27.15) şi (27.16) ne
permit să răspundem la întrebarea apărută la început. Metoda
clasică de descriere a stării unei microparticule prin indicarea
coordonatelor ei x, y, z şi componentelor vitezei vx, vy, vz sau a
componentelor impulsului px, py, pz nu poate fi aplicată în mecanica
cuantică, întrucât acestea nu pot fi cunoscute simultan absolut
precis. De aceea în mecanica cuantică starea microparticulei se
descrie cu ajutorul funcţiei de undă Ψ(x, y, z, t), pătratul modulului
căreia |Ψ(x, y, z, t)|2 are sensul densităţii probabilităţii de aflare a
microparticulei într-un anumit punct al spaţiului la un moment de
timp t.
Întrucât px = mvx, relaţia (27.15) poate fi scrisă şi sub forma
Elemente de mecanică cuantică
48
x
hx
m v . (27.17)
De aici se observă că incertitudinea vitezei microparticulei xv
pentru o incertitudine dată a coordonatei x este cu atât mai mică,
cu cât mai mare este masa m a acestei microparticule. Rezultă, deci,
că descrierea mişcării microparticulei cu ajutorul mecanicii clasice a
lui Newton este cu atât mai justificată cu cât masa ei este mai mare.
Dacă se cunoaşte că particula se află în repaus, atunci
nedeterminarea impulsului ei este Δpx = 0. S-ar putea crede că
poziţia particulei poate fi determinată cu ajutorul microscopului şi
astfel se poate demonstra invaliditatea relaţiilor de incertitudine.
Poziţia microparticulei cu ajutorul microscopului poate fi
determinată în cel mai bun caz cu precizia unei lungimi de undă a
luminii utilizate, adică Δx ≈ λ. Întrucât Δpx = 0, produsul Δpx·Δx, de
asemenea, trebuie să fie egal cu zero şi relaţiile de incertitudine nu
se respectă. Dar, aşa este oare? Să analizăm procesul de măsurare a
poziţiei microparticulei de pe poziţiile mecanicii cuantice. Conform
teoriei cuantice, lumina utilizată în microscop constă din fotoni cu
impulsul p = h /λ . Pentru a observa particula este nevoie ca măcar
un foton din fluxul luminos ce trece prin lentila convergentă a
microscopului să fie împrăştiat sau absorbit de particulă. Aceasta
înseamnă că particulei i se transmite cel puţin impulsul h /λ . Astfel,
în momentul determinării poziţiei particulei cu precizia Δx ≈ λ,
nedeterminarea impulsului acesteia este Δpx ≥ h/λ. Înmulţind aceste
nedeterminări, obţinem
x
hp x h
,
ceea ce coincide cu (27.15). Acest exemplu arată lipsa contradic-
ţiilor interne în teoria cuantică.
49
Cu ajutorul relaţiilor de incertitudine, care sunt nişte consecinţe
ale proprietăţilor ondulatorii ale microparticulelor, se poate realiza o
evaluare a comportamentului pachetului de unde ce descrie o
particulă liberă. Pentru aceasta considerăm o particulă ce se mişcă
cu viteza de grup u = v. Fie că la momentul iniţial de timp 0t ,
pachetul de unde are lărgimea 0x (fig. 27.5,a). Pachetului de unde
îi este caracteristică o împrăştiere a valorilor vitezei de grup u ,
care trebuie să conducă la creşterea în intervalul de timp t a
lărgimii pachetului cu mărimea
x u t . (27.18)
Să evaluăm mărimea u . Pentru aceasta observăm că
du
u pdp
.
Însă, conform (27.11), u v şi întrucât p mv , obţinem
1d
u p pdp m
v
. (27.19)
Valoarea iniţială a nedeterminării p este mărginită, conform
relaţiilor de incertitudine, de mărimea 0h x , unde
0x este
Fig. 27.5
Elemente de mecanică cuantică
50
nedeterminarea poziţiei iniţiale a particulei sau lărgimea pachetului
iniţial de unde. Substituind această valoare în (27.19), obţinem
0u h m x . Deci, lărgimea pachetului de unde (27.18) după
intervalul de timp t (fig. 27.5,b):
0
hx t
m x
. (27.20)
Astfel, lărgimea pachetului creşte proporţional cu intervalul de
timp t . Pentru a ne crea o impresie despre viteza lărgirii pachetului
în cazul particulei libere, considerăm un electron liber localizat la
momentul iniţial de timp într-un domeniu de dimensiuni atomare 10
0 10 mx . După un timp 1st , avem
34
6
31 10
0
6,62 107,27 10 m 7270km
9,11 10 10
hx t
m x
.
Rezultă că după o secundă, norul electronic va fi după dimensiuni
mai mare decât întregul continent european. Această lărgire a
pachetului de unde se referă numai la particula liberă. După cum
vom vedea ulterior, teoria cuantică permite stabilirea exactă a
comportamentului funcţiei de undă, dacă aceasta este cunoscută la
momentul iniţial de timp. Acest aspect, însă, în cazul particulei
libere nu ajută la nimic, întrucât funcţia de undă se împrăştie extrem
de rapid în tot spaţiul. Pentru a evita lărgirea pachetului, particula
trebuie plasată într-o groapă de potenţial (vezi §27.4).
Înmulţind relaţia (27.14) cu h , obţinem
t h h h t h E t h . (27.21)
Aceasta este relaţia de incertitudine dintre energie şi timp. Aici t
nu are semnificaţia unei erori de măsurare a timpului, ci reprezintă
51
durata de timp în care se măsoară energia unei microparticule,
energie ce nu poate fi cunoscută cu o eroare mai mică decât
E h t . Astfel, cu cât mai mult timp t utilizăm pentru măsura-
rea energiei microparticulei, cu atât mai exact determinăm această
energie, însă nu vom cunoaşte la ce moment de timp ea are această
valoare.
27.3. Ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice
nerelativiste
După cum am menţionat mai devreme, proprietăţile ondulatorii
ale microparticulelor fac imposibilă aplicarea la aceste obiecte a
legilor fizicii clasice inclusiv a legii fundamentale, care este legea a
doua a lui Newton. Această lege permite rezolvarea problemei
fundamentale a mecanicii clasice şi anume determinarea stării unui
sistem mecanic, adică a coordonatelor şi componentelor
impulsurilor tuturor corpurilor sistemului, dacă se cunosc
coordonatele şi componentele iniţiale ale impulsurilor, precum şi
acţiunile externe la care este supus sistemul. Starea unei
microparticule în mecanica cuantică nu poate fi descrisă cu ajutorul
coordonatelor şi componentelor impulsurilor, întrucât acestea nu
por fi măsurate exact la acelaşi moment de timp (vezi relaţiile de
incertitudine). De aceea, această stare se descrie cu ajutorul funcţiei
de undă , , ,x y z t , pătratul modulului căreia 2
, , ,x y z t
reprezintă măsura probabilităţii de a înregistra particula în punctul
cu coordonatele , ,x y z la momentul de timp t . Rezultă că ecuaţia
fundamentală a mecanicii cuantice trebuie să fie o ecuaţie în raport
cu funcţia de undă , , ,x y z t . Această ecuaţie trebuie să fie o
Elemente de mecanică cuantică
52
ecuaţie de undă, întrucât soluţiile ei trebuie să explice proprietăţile
ondulatorii ale microparticulelor. În cazul nerelativist, când
microparticulele se mişcă cu viteze mult mai mici decât viteza
luminii în vid (v << c), ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice a
fost stabilită în 1926 de către fizicianul austriac Erwin Rudolf
Josef Alexander Schrödinger (1887 – 1961), laureat al premiului
Nobel pentru fizică în 1933. Ea are forma unei ecuaţii diferenţiale
de ordinul II în derivate parţiale:
2
2 , , ,2
i U x y z tt m
, (27.22)
unde m este masa microparticulei, , , ,x y z t este funcţia ei
de undă, , , ,U x y z t este energia potenţială a microparticulei în
câmpul de forţe studiat, 1i este unitatea imaginară, iar 2
este operatorul Laplace:
2 2 2
2
2 2 2x y z
.
Soluţia , , ,x y z t a ecuaţiei lui Schrödinger trebuie să
satisfacă următoarele condiţii standard impuse soluţiilor ecuaţiilor
diferenţiale de acest tip:
1. Soluţia , , ,x y z t trebuie să fie finită, continuă şi univocă;
2. Derivatele parţiale ale acestei funcţii x
,
y
,
z
şi
t
trebuie să fie continue.
În afară de aceste condiţii, soluţia ecuaţiei lui Schrödinger trebuie să
corespundă interpretării statistice, adică funcţia de undă trebuie să
satisfacă condiţia de normare a probabilităţilor:
53
2
1V
dV , (27.23)
unde V este volumul accesibil pentru microparticulă. Relaţia
(27.23) arată că aflarea microparticulei undeva în interiorul
volumului accesibil reprezintă un eveniment cert, adică
probabilitatea lui trebuie să fie egală cu 1.
Ecuaţia lui Schrödinger (27.22) conţine derivata parţială de
ordinul I în raport cu timpul. De aceea deseori ea se numeşte
ecuaţia nestaţionară sau temporală a lui Schrödinger. Soluţia
acestei ecuaţii descrie, deci, nu numai dependenţa de coordonate, ci
şi dependenţa de timp a stării microparticulei. În practică, însă,
deseori se întâlnesc probleme, în care stările microparticulelor sunt
aceleaşi pe parcursul timpului, adică sunt staţionare, nu depind de
timp. Asemenea stări ale microparticulelor se descriu de ecuaţia
staţionară a lui Schrödinger. Pentru a obţine această ecuaţie vom
observa că într-o stare staţionară energia potenţială a
microparticulei nu depinde de timp, adică , ,U U x y z . În acest
caz funcţia de undă poate fi reprezentată sub forma unui produs al
unei funcţii de coordonate şi alteia de timp:
, , , , ,x y z t x y z t . (27.24)
Substituind (27.24) în (27.22), obţinem
2
2
2i U
t m
.
Pentru a separa variabilele, împărţim ambele părţi ale acestei ecuaţii
la şi obţinem:
Elemente de mecanică cuantică
54
2 21
, ,2
i U x y zt m
. (27.25)
Observăm că partea stângă a acestei ecuaţii este o funcţie numai de
timp, iar partea dreaptă a acesteia este o funcţie numai de
coordonate. Aceasta înseamnă că ecuaţia (27.25) poate fi satisfăcută
numai într-un singur caz, şi anume, când ambele părţi sunt egale cu
o constantă. Notând-o prin E , obţinem următoarele două ecuaţii:
1
i Et
; (27.26)
2 2
, ,2
U x y z Em
. (27.27)
Ecuaţia (27.26) se rezolvă simplu după cum urmează:
0 0ln lniEt
d E iEtdt e
i
, (27.28)
unde 0 este valoarea funcţiei t la momentul iniţial de timp
0t .
Înmulţind ecuaţia (27.27) la 2m şi împărţind-o la 2
, se
obţine
2
2 2
2 2m mU E ,
sau
2
2
2, , 0
mE U x y z . (27.29)
Ecuaţia (27.29) se numeşte ecuaţia staţionară a lui Schrödinger.
55
Ea este ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice nerelativiste
ce are cele mai multe aplicaţii în fizica atomică şi nucleară, precum
şi în fizica corpului solid. Soluţiile acestei ecuaţii se numesc funcţii
proprii, iar valorile constantei E, care satisfac ecuaţia (27.29), se
numesc valori proprii.
Să stabilim acum sensul fizic al constantei E , care după cum se
vede din ecuaţia (28.29), are dimensiunea unei energii. Pentru
aceasta, urmând raţionamentele lui Schrödinger, vom considera că
undele de Broglie asociate microparticulelor trebuie să satisfacă
ecuaţia de undă (21.9)
2
2
2 2
10
f t
v, (27.30)
unde fv este viteza de fază a undei de Broglie asociată
microparticulei. Considerăm un caz particular când funcţia de undă
reprezintă o undă plană sinusoidală:
0, , , sinx y z t A t k r
şi observăm că 2 2 2t . Substituim în (27.30) şi ţinând
seama că 2f k v , unde k este numărul de undă al undei
de Broglie asociată microparticulei, avem:
2 2
2 2 2 2
2 2
40 0 0
f
k
v.
Calculăm coeficientul de pe lângă , ţinând seama de formula lui
de Broglie h p h m v :
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
4 4 2 2 2
2c
m m m m mk E E U
h
v v, (27.31)
Elemente de mecanică cuantică
56
unde energia cinetică a fost reprezentată ca diferenţa dintre energia
totală E şi cea potenţială U :2 2cE m E U v . Substituind în
ecuaţia precedentă, obţinem
2
2
20
mE U ,
ceea ce coincide cu ecuaţia staţionară a lui Schrödinger (27.29).
Astfel, constanta E reprezintă energia totală a microparticulei în
câmpul dat de forţe.
27.4. Mişcarea particulei libere. Particula în ”groapa”
de potenţial. Cuantificarea energiei
Să analizăm mişcarea particulei libere din punctul de vedere al
mecanicii cuantice. Pentru aceasta orientăm axa Ox în sensul
vitezei particulei v şi observăm că energia totală a particulei
coincide cu energia ei cinetică 2 2cE E m v , întrucât 0U x .
Mai observăm că 2 2 2d dx , deoarece particula se mişcă în
sensul axei Ox . Rezultă că în cazul unei microparticule libere
ecuaţia staţionară a lui Schrödinger (27.29) capătă aspectul:
2
2 2
20c
d mE
dx
. (27.32)
Însă, conform (27.31)
2
2
2
2 2c
mE k
,
unde k este numărul de undă al undei asociate microparticulei (vezi
(27.7)). De aceea ecuaţia (27.32) poate fi transcrisă sub forma
57
2
2
20
dk
dx
. (27.33)
Vom observa că nu orice soluţie a acestei ecuaţii descrie mişcarea
particulei libere. De exemplu, soluţia
sinx A kx ,
unde A este amplitudinea undei asociate, în pofida faptului că
satisface ecuaţia (27.33) ( 2x k ), nu descrie corect
mişcarea microparticulei libere. Într-adevăr, distribuţia probabilităţii
de a înregistra microparticula în punctele axei Ox este
2 2 2sinA kx , ceea ce arată că la orice moment de timp t pe
axa Ox se găsesc puncte în care ar fi imposibilă înregistrarea ei
(2
0 ), pe când în realitate microparticula poate fi înregistrată cu
aceeaşi probabilitate în orice punct al acestei axe. Aceste
raţionamente arată că soluţia corectă trebuie să satisfacă ecuaţia
(27.33) şi totodată condiţia 2
const . O astfel de soluţie este
funcţia de undă
ikxx Ae .
Dacă se ţine seama de (27.28), pentru funcţia de undă dependentă
de timp se obţine
( ), i kx tx t Ae , (27.34)
unde E . Astfel, în mecanica cuantică microparticula liberă
este reprezentată de o undă monocromatică plană. Acum observăm
că probabilitatea de a înregistra microparticula la momentul de timp
t în orice punct al axei Ox este
Elemente de mecanică cuantică
58
2 ( ) ( ) 2, i kx t i kx tx t Ae Ae A .
care este o constantă, după cum şi trebuie să fie.
După cum am menţionat mai devreme, pachetul de unde asociat
unei microparticule libere se împrăştie
foarte rapid, iar pentru a evita această
împrăştiere microparticula trebuie plasată
într-o groapă de potenţial. Vom considera
mai întâi comportamentul unei
microparticule într-o groapă rectangulară
de potenţial de lăţimea L cu pereţi
absolut reflectanţi şi având înălţime
infinită (fig.27.6):
0, dacă 0 ,
,dacă 0; .
x LU x
x x L
(27.35)
Întrucât groapa este unidimensională, 2 2 2d dx . De aceea
ecuaţia staţionară a lui Schrödinger are aspectul
2
2 2
20
d mE U x
dx
. (27.36)
Ecuaţia (27.36) ce conţine energia potenţială (27.35) poate să aibă
soluţii ce satisfac condiţiile menţionate mai devreme de finitudine,
continuitate şi univocitate numai dacă la pereţii gropii aceste soluţii
se anulează:
0 0L , (27.37)
întrucât în caz contrar al doilea termen din ecuaţia (27.36) ar tinde
la infinit, ceea ce ar încălca condiţiile amintite. Din aceleaşi
considerente aceste condiţii trebuie să fie satisfăcute şi în afara
Fig. 27.6
59
gropii, adică în afara domeniului 0 x L . Aceasta înseamnă că
probabilitatea de a înregistra particula în afara gropii trebuie să se
anuleze: 2
0 . În interiorul gropii ecuaţia (27.36) devine:
2 2
2
2 2 2
20 0
d m dE k
dx dx
, (27.38)
întrucât conform (27.31) 2 22mE k , unde 2k este
numărul de undă al undei de Broglie asociată microparticulei.
Ţinând seama că la graniţa din stânga a gropii trebuie să fie
satisfăcută condiţia 0 0 , reprezentăm soluţia ecuaţiei (27.38)
sub forma
ikx ikx ikx ikxx Be Be B e e .
Însă,
cos sin cos sin 2 sinikx ikxe e kx i kx kx i kx i kx . Atunci,
2 s in s inx iB kx A kx , (27.39)
unde am notat 2iB A . Funcţia (27.39) trebuie să se anuleze şi la
graniţa din dreapta, adică pentru x L : 0 sin kL . Această
egalitate are loc atunci când kL n , unde n este un număr întreg:
1, 2, 3, 4,n . Astfel, sunt permise numai valorile discrete ale
numărului de undă ale undei asociate ce satisfac condiţia
n
nk
L
. (27.40)
Întrucât 2n nk , rezultă
Elemente de mecanică cuantică
60
2
2
nn
n
n nk L n
L L
, (27.41)
adică sunt posibile numai astfel de valori ale lungimii de undă de
Broglie ale microparticulei, încât pe lăţimea gropii să încapă un
număr întreg de semiunde. Din (27.7) rezultă că şi impulsul
microparticulei, de asemenea, poate să aibă numai anumite valori
discrete:
n np k n
L
. (27.42)
La fel şi energia microparticulei poate avea numai anumite valori
proprii discrete:
2 2 2
2
22 2
nn
pE n
m mL
. (27.43)
Mărimile fizice care posedă numai anumite valori discrete se
numesc mărimi fizice cuantificate. În cazul nostru se cuantifică
numărul de undă, lungimea de undă, impulsul şi energia
microparticulei. Cuantificarea energiei a mai fost întâlnită în teoria
lui Planck a radiaţiei termice, dar acolo ea a fost o consecinţă a
ipotezei cuantice, pe când cuantificarea energiei microparticulei
aflate în groapa de potenţial rezultă direct din ecuaţia lui
Schrödinger (27.38), fiind o consecinţă a caracterului ondulatoriu al
microparticulei. Valorile cuantificate ale energiei microparticulei se
numesc niveluri de energie, iar numărul întreg n se numeşte
număr cuantic. Din (27.43) se observă că, spre deosebire de
mecanica clasică unde valoarea minimă a energiei microparticulei
este egală cu zero, valoarea minimă a energiei microparticulei în
mecanica cuantică este diferită de zero. Ea corespunde valorii
minime a numărului cuantic 1n şi pentru un electron aflat într-o
61
groapă de potenţial de dimensiunile atomului L = 10– 10 m este
22 342 2
18
min 1 2 31 20
1,05 105,97 10 J 37,3eV
2 2 9,11 10 10E E
mL
,
valoare comparabilă cu energia cinetică a electronului în atomul de
hidrogen. Starea electronului, în care 1n se numeşte stare
fundamentală. Acestei stări îi corespunde funcţia de undă (27.39)
ce reprezintă exact o jumătate de sinusoidă. Valorile cuantificate ale
energiei electronului în groapa considerată sunt
237,3 eVnE n .
În figura 27.7 sunt reprezentate primele patru niveluri energetice ale
electronului în groapa de potenţial cu pereţi
infinit de înalţi şi lăţimea L = 10 – 10 m. La
trecerea electronului dintr-o state excitată cu
1n în starea fundamentală cu 1n , conform
legii conservării energiei, se va emite un foton
cu energia hν = E2 – E1. Dacă n = 2, atunci
tranziţia se va realiza de pe cel de-al doilea
nivel energetic pe primul nivel (fig. 27.7):
hν = E2 – E1 = 4E1 – E1 = 3E1 = 1,79·10–17 J
emiţându-se un foton cu frecvenţa ν = 3E2/h = 2,7·1016 s–1 şi lungimea
de undă λ = c/ν = 3·108/2,7·1016 = 1,11·10–8 m. Acest foton aparţine
domeniului ultraviolet al spectrului de radiaţie electromagnetică,
domeniu în care se află cele mai intense linii ale spectrului
hidrogenului. Întrucât energia electronului în groapă posedă numai
anumite valori discrete, lungimile de undă ale fotonilor emişi, de
Fig. 27.7
Elemente de mecanică cuantică
62
asemenea, trebuie să alcătuiască un asemenea şir, adică spectrul
radiaţiei emise trebuie să fie un spectru liniar, ca şi spectrele
atomilor. Trebuie însă să menţionăm că modelul electronului închis
într-o groapă rectangulară de potenţial este un model foarte
aproximativ al atomului de hidrogen, atom în care electronul se
mişcă în câmpul coulombian al nucleului (fig. 27.8). Dar în ambele
cazuri comportamentul calitativ al electronului este acelaşi. Întrucât
electronul trebuie să se descrie cu
ajutorul unei unde staţionare, există
numai un anumit şir de funcţii de undă
ψn, cărora le corespunde un şir
determinat de valori discrete En ale
energiei electronului (fig. 27.8).
Revenind la funcţiile de undă (27.39)
ce descriu starea electronului în groapa rectangulară
unidimensională de potenţial, substituim (27.40) în (27.39) şi
obţinem funcţiile proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger:
sinn
n xx A
L
, (27.44)
unde constanta A poate fi determinată din condiţia de normare a
probabilităţilor (vezi (27.23)) după cum urmează:
2 2 2
0 0
1 sin 1
L L
n
n xx dx A dx
L
2
0
21 cos 1
2
LA n x
dxL
Fig. 27.8
63
2
0 0
2 2cos 1
2 2
L LA L n x n x
dx dn L L
2
0
0
2sin 1
2 2
L
LA L n xx
n L
2
2 2 21
2
AL A A
L L .
Astfel, funcţiile de undă (funcţiile proprii) ale electronului în
groapa unidimensională rectangulară de potenţial au aspectul:
2
sin , 1, 2, 3,n
n xx n
L L
(27.45)
În figura 27.9 sunt reprezentate primele 4 unde staţionare ce
corespund primelor 4 niveluri energetice ale electronului cu valorile
numărului cuantic n = 1, 2, 3, 4.
Densitatea de probabilitate a aflării microparticulei în starea cu
numărul cuantic n este
2 22
sin , 1, 2, 3,n
n xx n
L L
(27.46)
Fig. 27.9
Elemente de mecanică cuantică
64
În figura 27.10 este reprezentată
dependenţa densităţii de probabilitate
|Ψ4(x)|2 pentru starea cu n = 4. Din
figură se observă, că în starea menţi-
onată probabilitatea de a înregistra
microparticula în punctele cu
coordonatele x = 0, L/4, L/2, 3L/4, L
este egală cu zero.
Analogic poate fi cercetat comportamentul microparticulei aflată
în gropi rectangulare bidimensionale şi tridimensionale de potenţial
cu pereţi absolut reflectanţi şi având înălţimi infinite. În cazul gropii
bidimensionale 2 2 2 2 2x y şi ecuaţia staţionară a lui
Schrödinger are aspectul
2 2
2 2 2
20
mE
x y
. (27.47)
Condiţiile de frontieră sunt 10 0L şi 20 0L ,
unde 1L şi 2L sunt lungimea şi, respectiv, lăţimea gropii de
potenţial. Soluţia ecuaţiei (27.47) are aspectul
1 2sin sinA k x k y . (27.48)
Substituind (27.48) în (27.47), obţinem:
2
2 2
1 22
E k km
. (27.49)
Din condiţiile de frontieră pentru funcţia de undă rezultă:
1 1 1
2 2 2
,
,
k L n
k L n
(27.50)
Fig. 27.10
65
unde 1n şi 2n sunt numere întregi. Substituind (27.50) în (27.48) şi
(27.49), obţinem următoarele expresii pentru funcţiile şi valorile
proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger (27.47):
1 2
1 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
2 2
1 2
sin sin ;
.2
n n
n n
n x n yA
L L
n nE
m L L
(27.51)
Valorile cuantificate ale proiecţiilor impulsului microparticulei pe
axele de coordonate sunt:
1 1
1
2 2
2
;
.
x
y
p k nL
p k nL
(27.52)
Constanta A din funcţia de undă se determină din condiţia de
normare:
2 1
1 2
2
0 0 1 2
21
L L
n ndy dx AL L
. (27.53)
În cazul gropii tridimensionale 2 2 2 2 2x y
2 2z şi ecuaţia staţionară a lui Schrödinger capătă aspectul:
2 2 2
2 2 2 2
20
mE
x y z
. (27.54)
Condiţiile de frontieră sunt 10 0L , 20 0L şi
30 0L , unde 1L , 2L şi 3L sunt lungimea, lăţimea şi,
respectiv, înălţimea gropii de potenţial. Soluţia ecuaţiei (27.54) are
Elemente de mecanică cuantică
66
aspectul
1 2 3sin sin sinA k x k y k z . (27.55)
Substituind (27.55) în (27.54), obţinem:
2
2 2 2
1 2 32
E k k km
. (27.56)
Din condiţiile de frontieră pentru funcţia de undă rezultă:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,
,
,
k L n
k L n
k L n
(27.57)
unde 1n , 2n şi 3n sunt numere întregi. Substituind (27.57) în
(27.55) şi (27.56), obţinem următoarele expresii pentru funcţiile şi
valorile proprii ale ecuaţiei lui Schrödinger (27.54):
1 2 3
1 2 3
31 2
1 2 3
22 22 2
31 2
2 2 2
1 2 3
sin sin sin ;
.2
n n n
n n n
n zn x n yA
L L L
nn nE
m L L L
(27.58)
Valorile cuantificate ale proiecţiilor impulsului microparticulei pe
axele de coordonate sunt:
1 1
1
2 2
2
3 3
3
;
;
.
x
y
z
p k nL
p k nL
p k nL
(27.59)
67
Constanta A din funcţia de undă se determină din condiţia de
normare:
3 2 1
1 2 3
2
0 0 0 1 2 3
2 21
L L L
n n ndz dy dx AL L L
. (27.60)
27.5. Oscilatorul liniar armonic
Modelul oscilatorului liniar armonic este un model des utilizat
pentru explicarea fenomenelor fizice. De exemplu, la stabilirea
legilor radiaţiei termice a corpului absolut negru, Planck, cunoscând
că densitatea spectrală a radianţei energetice nu depinde de
materialul pereţilor cavităţii, a considerat că aceştia sunt compuşi
din oscilatori armonici. În capitolul 19 am stabilit că un punct
material de masă m ce efectuează oscilaţii sub acţiunea forţei
elastice F kx , unde k este constanta de elasticitate (pendulul
elastic sau oscilatorul liniar armonic), posedă energia potenţială
(vezi (19.12)) 2 2 2
02 2U x kx m x . În fizica clasică punctul
material efectuează oscilaţii cu frecvenţa ciclică 0 k m , iar
energia lui poate lua orice valori, inclusiv valoarea nulă. După cum
vom vedea, în mecanica cuantică, datorită proprietăţilor ondulatorii
ale microparticulelor, sunt permise doar un şir de valori ale energiei
oscilatorului
0
1, 1, 2, 3,
2nE n n
(27.61)
Însă, înainte de aplicarea ecuaţiei lui Schrödinger, vom efectua
unele calcule aproximative bazate pe analogia cu particula plasată
într-o groapă de potenţial rectangulară. În cazul nostru particula se
Elemente de mecanică cuantică
68
află într-o groapă parabolică de potenţial
(fig. 27.11) cu lăţimea L = 2x0, unde x0 este
abaterea maximă a punctului material de la
poziţia de echilibru, adică amplitudinea
oscilaţiilor. Pentru unda staţionară ce
corespunde stării cu numărul cuantic n pe
lăţimea gropii L trebuie să încapă un număr n de semiunde:
02 2nn x . De aici obţinem următoarele valori medii ale:
lungimii de undă de Broglie a microparticulei
04n
x
n ,
impulsului
04n
h hp n
x
şi energiei cinetice
2 2 2
2
02 32c
p n hE
m mx .
Întrucât valorile medii ale energiilor cinetică şi potenţială ale
oscilatorului sunt egale între ele, energia totală este
2 2
2
0
216
c
n hE E
mx ,
care trebuie să coincidă cu valoarea maximă a energiei potenţiale,
adică
2 2
0 0
1
2E m x .
Fig. 27.11
69
Înmulțim ultimele două ecuații și obținem
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 200 0
32 8
n hE n n
,
întrucât în cazul unor astfel de calcule aproximative 2 8 1 . Din
relaţia precedentă se obţin următoarele valori cuantificate ale
energiei oscilatorului liniar armonic:
0, 1, 2, 3,nE n n (27.62)
Anume astfel de valori rezultă din ipoteza cuantică utilizată de
Planck în teoria radiaţiei termice.
Valorile exacte ale energiei oscilatorului liniar armonic se obţin
cu ajutorul ecuaţiei lui Schrödinger:
2 22
0
2 2
2
2
m xd mE
dx
. (27.63)
Soluţia ecuaţiei (27.63) este mai simplu a fi intuită, decât obţinută
riguros. Să probăm funcţia lui Gauss în calitate de funcţie de undă a
stării fundamentale a oscilatorului
2
1
axx e , (27.64)
unde a este o constantă. Pentru aceasta calculăm derivata a doua
2 2 2
22 21 1
22 ; 2 4ax ax axd daxe ae a x e
dx dx
şi o substituim în (27.63):
2 2
2 22 2 0
12
22 4
2
ax axm xma a x e E e
Elemente de mecanică cuantică
70
2 2 2
2 2 01
2 2
22 4
m xmEa a x
.
Egalând coeficienţii de pe lângă 2x , obţinem:
2 2
2 0 0
24
2
m ma a
.
Din egalitatea termenilor liberi se obţine valoarea energiei
oscilatorului aflat în starea fundamentală
2 2
0 0112
22
2 2
mmE aa E
m m
Astfel, funcţia lui Gauss
20
21
mx
x e
(27.65)
este soluţie a ecuaţiei lui Schrödinger (27.63), dar numai cu condiţia
că energia oscilatorului în această stare este
01
2E
. (27.66)
Analogic se poate demonstra că funcţia de undă a oscilatorului în
starea a doua (prima stare excitată) este
20
22
mx
x xe
cu condiţia că energia oscilatorului în această stare este
02
3
2E
ş.a.m.d. Energia oscilatorului în starea cu numărul cuantic n se
exprimă prin formula (27.61).
71
27.6. Efectul tunel
Studiind în mecanica clasică comportamentul unui punct
material aflat într-o groapă de potenţial, separată de o barieră de
potenţial (vezi §3.3), am stabilit că pentru ca punctul material să
poată trece bariera de potenţial, acestuia trebuie să i se comunice o
energie suplimentară mai mare sau egală cu înălţimea barierei. În
caz contrar punctul material va rămâne pentru totdeauna în
interiorul gropii.
În mecanica cuantică, însă, datorită
proprietăţilor ondulatorii ale micro-
particulelor situaţia se schimbă radical.
Ca şi undele de lumină, care la reflexia
de la un mediu mai dens, parţial, se
refractă trecând prin mediul al doilea,
undele de Broglie asociate microparti-
culelor pot să treacă prin bariera de potenţial (fig. 27.12). Acest
fenomen străin fizicii clasice se numeşte efect tunel. Efectul tunel
se caracterizează cu ajutorul raportului dintre densitatea de
probabilitate de a înregistra microparticula dincolo de barieră, adică
în domeniul III şi densitatea de probabilitate de a o înregistra în faţa
barierei, adică în domeniul I ("probabilitatea relativă" ca particula
să treacă în domeniul III). Această mărime fizică se notează prin T
şi se numeşte transparenţă a barierei de potenţial:
2
III III III
I I I
T
, (27.67)
unde III este funcţia de undă a particulei în domeniul III, iar
I
este funcţia de undă a acesteia în domeniul I. Se mai defineşte şi
mărimea 1R T care se numeşte coeficient de reflexie al barierei
Fig. 27.12
Elemente de mecanică cuantică
72
de potenţial. Transparenţa T depinde de lărgimea, înălţimea şi
forma barierei. De exemplu, după cum arată calculele bazate pe
soluţionarea ecuaţiei lui Schrödinger, transparenţa unei bariere
rectangulare de potenţial de lărgimea L şi înălţimea 0U (fig. 27.12)
pentru o microparticulă de masa m este
0 0
2exp 2
LT T m U E
, (27.68)
unde E este energia totală a microparticulei, iar 0T este un
coeficient numeric apropiat de unitate. Din relaţia (27.68) se
observă că transparenţa barierei creşte când lărgimea ei L şi
diferenţa 0U E se micşorează. Totodată, transparenţa este mai
mică pentru particulele cu masă mai mare. Trecerea particulei în
domeniul III prin domeniul II, adică prin barieră, se realizează cu
aceeaşi energie E , întrucât bariera nu modifică această energie. Se
spune că "particula trece prin barieră ca printr-un tunel". Efectul
tunel a fost descoperit de fizicianul american originar din Chişinău
George Gamow (1904 – 1968) în anul 1928, care a explicat
dezintegrarea alfa a nucleelor atomice radioactive. Din punct de
vedere al mecanicii clasice particula alfa (nucleul de heliu) nu poate
părăsi nucleul atomic, întrucât aceasta este îngrădită de o barieră
înaltă de potenţial. Particulei alfa i-ar trebui o cantitate foarte mare
de energie pentru a învinge potenţialul electric existent în jurul
nucleului. Conform mecanicii cuantice, însă, există o anumită
probabilitate ca particula alfa să depăşească bariera de potenţial şi
să apară în afara nucleului radioactiv.
În calitate de exemplu calculăm transparenţa barierei nucleare de
potenţial pentru un nucleon, considerând masa lui 2710 kgm
,
lărgimea barierei egală cu dimensiunile nucleului 1510 mL , iar
73
înălţimea barierei 0 10MeVU E . Substituind aceste mărimi în
(27.68) se obţine 0,32T . Această valoare arată că există o
probabilitate destul de mare a ieşirii nucleonului din nucleul atomic.
Efectul tunel explică şi fenomenul fuziunii nucleare în interiorul
Soarelui. Fuziunea nucleară constă în formarea unui nou nucleu mai
greu la ciocnirea a două nuclee uşoare. În rezultatul fuziunii se
eliberează o mare cantitate de energie sub formă de radiaţii
electromagnetice. Drept exemplu serveşte sinteza nucleului de heliu
la ciocnirea a două nuclee de deuteriu. Nucleele uşoare pot să se
unească într-un singur nucleu mai greu numai în cazul, când acestea
sunt apropiate la distanţe atât de mici încât încep să se
manifeste forţele nucleare de atracţie. Până atunci ele se resping
puternic, întrucât sunt încărcate cu sarcini pozitive. Cu alte cuvinte,
înainte să se unească nucleele trebuie să învingă o barieră înaltă de
potenţial. Dar, apropierea sau învingerea barierei poate să se
realizeze numai dacă nucleele uşoare au energii cinetice foarte mari,
ceea ce presupune o temperatură foarte înaltă a plasmei ce conţine
aceste nuclee. Un simplu calcul arată, însă, că temperatura din
interiorul Soarelui (aceasta este de aproximativ 15 milioane de
grade) nu este suficientă pentru ca nucleele uşoare să capete energia
necesară pentru a se apropia la distanţe atât de mici încât forţele
nucleare să le unească într-un nou nucleu mai greu. Totuşi, Soarele
străluceşte, emiţând în jur o cantitate enormă de energie. Acest fapt
se datorează efectului cuantic de tunel. În pofida faptului că bariera
de potenţial pe care nucleul uşor trebuie s-o învingă este destul de
înaltă, există o anumită probabilitate ca nucleul uşor s-o depăşească
şi astfel să facă posibilă fuziunea, în rezultatul căreia ia naştere
lumina şi energia emisă de Soare.
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
74
Capitolul 28. Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
28.1. Modelul cuantic al atomului de hidrogen. Numere cuantice
În § 27.5 am stabilit stările cuantice ale oscilatorului liniar
armonic, care reprezintă o particulă aflată într-o groapă de potenţial
de formă parabolică 2 2 2
02 2U x kx m x . Acum vom cerceta
comportamentul unei particule aflate într-o groapă, în care energia
potenţială variază invers proporţional cu distanţa. O astfel de
energie potenţială corespunde forţelor de interacţiune gravitaţională
şi electrostatică dintre particule. În cazul atomului de hidrogen
energia potenţială de interacţiune a electronului şi protonului are
aspectul
2
0
eU k
r , (28.1)
unde e este sarcina elementară, r este distanţa dintre particule, iar
0 01 4k .
Mai întâi vom obţine o soluţie aproximativă, înlocuind groapa
hiperbolică reală cu o groapă de potenţial rectangulară (fig. 28.1),
tot aşa cum am procedat la cercetarea oscilatorului armonic (vezi
§ 27.5 ). O astfel de tratare a problemei ne va permite să obţinem o
reprezentare intuitivă despre atomul de hidrogen şi să evităm
detaliile matematice neimportante pentru acest scop. Totodată, vom
clarifica caracterul undelor electronice staţionare în cazul atomului
de hidrogen şi vom stabili dependenţa lor de constantele
fundamentale 0, ,h m e , unde 0m este masa electronului, iar e este
75
sarcina lui electrică. În aceste
calcule aproximative vom
utiliza groapa de potenţial
reprezentată în figura 28.1.
După cum se observă din
figură, electronul aflat pe
nivelul cu energia E , în
conformitate cu legile fizicii
clasice, poate să se îndepăr-
teze de nucleu la distanţa maximă 0R . În calitate de valoare
aproximativă a valorii medii a distanţei dintre particule vom lua
mărimea 0 2R . În calitate de adâncime a gropii rectangulare
echivalente 0U se va lua valoarea mărimii U pentru r R , adică
2
0 0U k e R . În cazul undei staţionare de ordinul n, pe lărgimea
gropii (linia punctată din figura 28.1) trebuie să încapă exact n
semiunde:
00
42
2
nn
Rn R
n
.
Presupunem că impulsul mediu al electronului este egal cu impulsul
de Broglie, adică 04n np h hn R . Atunci energia cinetică
medie
2 2 2
2
0 0 02 32
nc
p h nE
m m R .
Din figura 28.1 rezultă că
2
0
0
c
eE E k
R . (28.2)
Comparând această expresie cu cea precedentă, obţinem
Fig. 28.1
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
76
2 2 2 2 2 2 2
2002 2 2
0 0 0 0 0 0 0
4
32 32 32
k e h n h nR n
R m R k m e k m e
. (28.3)
După cum vom vedea ulterior, „dimensiunea” armonicii cu numărul
n a funcţiei de undă se deosebeşte puţin de cea reală:
2
2
2
0 0
nR nk m e
.
Substituind (28.3) în (28.2), obţinem valorile aproximative ale
nivelurilor energetice:
4
2 002 2 2
16 1
2n
m eE k
n ,
iar rezultatul exact, după cum se va constata ulterior, este
4
2 00 2 2
1
2n
m eE k
n .
Astfel, în pofida aplicării unei aproximaţii destul de grosolane,
am obţinut o soluţie ce indică dependenţa corectă de constantele
fundamentale 0 , ,m e şi de numărul cuantic n , creându-ne totodată
şi o impresie iniţială despre comportamentul electronului în atomul
de hidrogen.
Soluţiile corecte pentru nivelurile energetice ale electronului în
atomul de hidrogen se obţin la rezolvarea riguroasă a ecuaţiei
staţionare a lui Schrödinger pentru cazul tridimensional:
2 2 2
0
2 2 2 2
2mE U
x y z
. (28.4)
Întrucât în multe probleme aplicative, energia potenţială depinde
numai de distanţa 2 2 2r x y z până la originea de coordonate,
77
este mai comod să se scrie această ecuaţie
în coordonate sferice, care, după cum se
observă din figura 28.2, se exprimă prin
cele carteziene cu ajutorul relaţiilor
sin cos ,
sin sin ,
cos .
x r
y r
z r
Se poate demonstra că ecuaţia staţionară a lui Schrödinger în
coordonate sferice are aspectul:
2
2 2
1 1sin
sinr
r r r r
2
0
2 2 2 2
21
sin
mE U
r
. (28.5)
Ecuaţia lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen se obţine
substituind (28.1) în (28.5):
2
2 2
1 1sin
sinr
r r r r
22
0 0
2 2 2 2
21
sin
m k eE
r r
. (28.6)
Una dintre soluţiile acestei ecuaţii este funcţia 1
r aC e , unde 1C
este o constantă ce se poate determina din condiţia de normare. Într-
adevăr, substituind această funcţie în (28.6) şi observând că
derivatele parţiale şi se anulează, obţinem
Fig. 28.2
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
78
1 22 0 0
12 2
22
0 01 12 2
22
0 0
2 2 2
2
0 0 0
2 2 2
21
21
21 2
2 21 2 1 1.
r
a
r
a
r r
a a
C em k e
r E C er r r r
m k erC e E C e
r r a r
m k er rE
r a a r
m E m k e
a a r r
Egalând termenii de pe lângă 1 r , obţinem valoarea constantei a :
2 2
0 0
2 2
0 0
22 m k ea
a k m e , (28.7)
iar egalând termenii liberi, obţinem valoarea energiei electronului în
starea considerată:
2
0
2 2 2
0
21.
2
m EE
a m a
Substituind aici expresia (28.7) pentru a , obţinem definitiv
4
2 00 22
m eE k . (28.8)
Astfel, dacă mărimile a şi E au valorile determinate de relaţiile
(28.7) şi (28.8), funcţia exponenţială 1
r aC e este soluţia
ecuaţiei lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen. Observăm că
funcţia 1
r aC e nu are noduri, adică reprezintă unda staţionară
79
de ordinul cel mai mic. Aceasta înseamnă că şi energia (28.8)
corespunde nivelului cel mai inferior. Această stare a electronului se
numeşte stare fundamentală. Substituind în (28.8) valorile
constantelor 0 0, ,m k e şi , obţinem valoarea minimă a energiei
necesare pentru înlăturarea electronului din atomul de hidrogen,
numită şi energie de ionizare a acestui atom:
19
1 21,8 10 J 13,6eVE .
Să stabilim care este sensul fizic al constantei a . Pentru aceasta
calculăm probabilitatea aflării electronului într-un strat sferic de
grosime dr şi volum 24dV r dr , aflat la distanţa r de la nucleu:
2
2 2 2
14r
ad r dV C e r dr
P .
Derivând funcţia d drP în raport cu r şi egalând rezultatul cu zero,
determinăm valoarea distanţei mr , pentru care probabilitatea aflării
electronului este maximă:
2 2
2 2 2
1
2 2
4 0 0
22 0 .
r r
a a
r
am
d dC e r e r
dr dr
re r r a
a
Astfel, la distanţa mr a de la nucleu probabilitatea aflării
electronului este maximă. De aceea distanţa respectivă se ia în
calitate de rază a atomului de hidrogen:
2
11
2
0 0
5,3 10 mR ak m e
. (28.9)
Această mărime coincide cu raza primei orbite a electronului în
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
80
teoria lui Bohr.
Constanta 1C se determină din condiţia de normare. Integrând
prin părţi, obţinem:
22
2 2
1
0
2 222
1
00
2 2
2
1
00
22 32 2
1 1
0
1 4 1
4 2 12 2
4 12 2
4 1 4 1,2 2 4
r
a
V
r r
a a
r r
a a
r
a
dV C e r dr
ar aC e re dr
ar aC a e e dr
a a aC e C
de unde
1
3
1C
a .
Astfel, funcţia de undă a electronului în starea fundamentală a
atomului de hidrogen are aspectul:
13
1r
ar ea
. (28.10)
Se poate demonstra că funcţiile de undă ale acestui electron în
următoarele stări au aspectele:
22 2 1
2
r
ar
r C ea
şi
81
2
33 3 2
2 21
3 27
r
ar r
r C ea a
.
Acestea satisfac ecuaţia (28.6) cu condiţia ca 2 1 4E E şi 3 1 9E E .
Analogic se poate demonstra că nivelurile energetice ale atomului
de hidrogen se exprimă prin formula
4
2 0102 2 2
1
2n
m eEE k
n n , (28.11)
unde n este un număr întreg pozitiv numit număr cuantic
principal: 1,2,3,4,n . Acestor valori cuantificate ale energiei
electronului le corespund soluţii ale ecuaţiei staţionare ale lui
Schrödinger de forma unor unde staţionare tridimensionale. Dar,
pentru descrierea completă a undei staţionare tridimensionale mai
sunt necesare două numere cuantice. Acestea caracterizează
momentul cinetic al particulei.
În mecanica cuantică se demonstrează că valorile vectorului
momentului cinetic orbital al electronului L se cuantifică în
conformitate cu relaţia:
1L l l , 0, 1, 2, 3, , 1l n , (28.12)
unde l se numeşte număr cuantic orbital. Stările electronului
caracterizate de diferite valori ale numărului cuantic orbital l se
notează şi se numesc după cum urmează: l = 0 – starea s; l = 1 –
starea p; l = 2 – starea d; l = 3 – starea f, iar mai departe în
ordinea succesiunii literelor alfabetului latin.
S-a constatat că nu numai valorile vectorului momentului
impulsului sunt cuantificate, dar şi orientarea acestuia în spaţiu, de
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
82
asemenea, este doar în anumite direcţii.
Într-adevăr, presupunem că pachetul de
unde cu numărul de undă k, care
reprezintă electronul, se mişcă pe un cerc
de raza R , după cum este indicat în figura
28.3. Acest pachet posedă un moment al
impulsului în raport cu axa Oz :
zL Rp R k . Pe arcul de lungime s R (fig. 28.3) funcţia de
undă a electronului poate fi reprezentată sub aspectul
iks ikRe e
Întrucât 0 şi 2 se măsoară în acelaşi punct al
spaţiului, valorile lor coincid, adică
0 2 21ikR ikR i kRe e e .
Această egalitate are loc numai dacă produsul kR este un număr
întreg, care de regulă se notează prin litera m : kR m . Înmulţind
ambele părţi ale acestei egalităţi cu , obţinem
zkR m L m .
Funcţia de undă corespunzătoare are aspectul
ikR ime e .
Astfel s-a demonstrat că dacă funcţia de undă a electronului din
atom conţine factorul ime , atunci direcţiile momentului orbital al
impulsului electronului se cuantifică, adică momentul orbital al
impulsului L poate avea numai astfel de direcţii în spaţiu, încât
proiecţia lui pe o direcţie aleasă să fie egală cu un număr întreg de .
Fig. 28.3
83
Cu alte cuvinte zL poate lua numai valorile 0, , 2 , 3 ,
ş.a.m.d. Dar, ce direcţie aleasă se are în vedere? În mecanica clasică
direcţia vectorului L se indică în raport cu direcţia perpendiculară
planului orbitei electronului. În mecanica cuantică, după cum
rezultă din relaţiile de incertitudine, noţiunea de orbită îşi pierde
sensul. De aceea în calitate de o astfel de direcţie se ia direcţia
câmpului magnetic exterior sau a celui interior creat de nucleul
atomului şi de toţi electronii lui cu excepţia celui analizat. În
mecanica clasică momentul orbital al impulsului electronului L
poate avea orice direcţie în raport cu direcţia câmpului magnetic
exterior, pe când în mecanica cuantică situaţia este alta: se observă
fenomenul cuantificării spaţiale.
Momentul orbital al impulsului electronului L poate avea
numai astfel de direcţii în spaţiu, încât proiecţia zL a
acestui vector pe direcţia câmpului magnetic exterior ia
valori cuantificate multiple constantei :
, 0, 1, 2, 3, ,zL m m l , (28.13)
unde numărul m se numeşte număr
cuantic magnetic. Se observă că
vectorul L poate avea 2l + 1 orientări
în spaţiu. În figura 28.4 sunt
reprezentate orientările posibile ale
vectorului momentului cinetic orbital
pentru electronii din stările p (l = 1)
şi d (l = 2).
Aceste rezultate despre cuanti-
ficarea energiei şi a momentului
Fig. 28.4
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
84
orbital al impulsului electronului se obţin prin rezolvarea riguroasă
a ecuaţiei lui Schrödinger (28.6), căutând soluţia ecuaţiei sub forma
, , , ,, , im
n l m n l l mr R r e . (28.14)
Unele expresii pentru funcţiile Rn,l (ρ), unde ρ = r/a şi Θl,m (θ) ce
satisfac ecuaţia lui Schrödinger (28.6), sunt prezentate în tabelul
28.1:
Constanta C care se conţine în fiecare funcţie se determină din
condiţia de normare ca şi în cazul funcţiei (28.10). Observăm că
pentru 2n , numărul cuantic orbital l poate lua două valori: 0 şi 1.
Valorii 1l îi corespund trei valori ale numărului cuantic
magnetic: –1, 0 şi 1. În conformitate cu relaţia (28.11), acestor 4
funcţii le corespunde unul şi acelaşi nivel energetic 2 1 4E E .
Tabelul 28.1
,n lR , r a ,l m
1,0R Ce 0,0 1
2
2,0 1 2R C e 1,0 cos
2
2,1R C e 1,1 sin
2 3
3,0 1 2 3 2 27R C e 2
2,0 3cos 1
3
3,1 1 6R C e 2,1 sin cos
2 3
3,2R C e 2
2,2 sin
1
, 1
n n
n nR C e
, sin i
i i
85
Dacă 3n , atunci numărul
cuantic orbital l poate lua trei
valori: 0, 1 şi 2, iar numărul
cuantic magnetic – 9 valori (vezi
tabelul 28.2).
Astfel, în acest caz există 9 funcţii
de undă diferite ce depind de ,r
şi , dar tuturor le corespunde
una şi aceeaşi energie 3 1 9E E .
Generalizând aceste exemple,
tragem concluzia că
tuturor funcţiilor proprii cu aceeaşi valoare a numărului
cuantic principal n le corespunde una şi aceeaşi valoare
proprie a energiei.
După cum s-a stabilit în capitolul 16 (vezi §16.1), mişcarea
electronului pe orbită în jurul nucleului generează un curent orbital,
care dă naştere unui moment magnetic orbital al electronului mp
orientat exact în sens opus vectorului momentului cinetic orbital al
electronului L şi legat cu acesta prin relaţia (vezi (16.5))
02
m
ep L L
m , (28.15)
unde mărimea 02e m este raportul giromagnetic, e fiind
sarcina electronului, iar 0m – masa lui. Întrucât valoarea
momentului cinetic orbital al electronului L este o mărime
cuantificată după legea (28.13), trebuie să se cuantifice şi valoarea
Tabelul 28.2
n l m
3 0 0
3 1 1
3 1 0
3 1 –1
3 2 2
3 2 1
3 2 0
3 2 –1
3 2 –2
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
86
momentului magnetic orbital al electronului:
0 0
( 1) ( 1)2 2
m m B P
e ep p L l l l l
m m , (28.16)
unde mărimea 02B P e m se numeşte magnetonul Bohr-
Procopiu, având valoarea 24 29,27 10 A mB P
. Astfel,
valoarea momentului magnetic orbital de asemenea este
cuantificată, deci poate lua numai anumite valori, determinate de
numărul cuantic l . Se observă că în mecanica cuantică mărimea
reprezintă unitatea naturală pentru momentele cinetice, iar
magnetonul Bohr-Procopiu B P este unitatea naturală pentru
momentele magnetice. Relaţiile (28.15) şi (28.16) demonstrează că
pentru vectorul mp , de asemenea, trebuie să se realizeze
cuantificarea spaţială, întrucât proiecţia momentului magnetic
orbital mp pe axa Oz ce determină direcţia câmpului magnetic
exterior, poate lua valorile:
0 02 2
mz z B P
e ep L m m
m m , (28.17)
unde numărul cuantic magnetic m poate lua 2 1l valori, adică
vectorul mp poate avea numai 2 1l direcţii în spaţiu.
Să analizăm acum comportamentul unui atom de hidrogen plasat
într-un câmp magnetic omogen de inducţie B , în sensul căreia este
orientată axa Oz . Se poate demonstra că energia potenţială de
interacţiune a curentului orbital cu acest câmp magnetic este
cosmagn m mU p B p B , (28.18)
unde α este unghiul dintre momentul magnetic orbital al
87
electronului şi inducţia câmpului magnetic exterior. Atunci, energia
totală a electronului din atomul de hidrogen, este:
4
2 002 2
1cos
2n magn m
m eE E U k p B
n .
Însă, cosm mz B Pp p m . Deci,
4
2 002 2
1
2B P
m eE k m B
n . (28.19)
Din relaţia (28.19) se pot
determina nivelurile energetice
posibile ale electronului din
atomul de hidrogen situat
într-un câmp magnetic
omogen de inducţie B .
Întrucât unei valori concrete a
numărului cuantic orbital l îi
corespund 2l + 1 valori posibile ale numărului cuantic magnetic m,
fiecare nivel energetic al electronului se va despica în 2l + 1
subniveluri. În figura 28.5 sunt reprezentate tranziţiile electronului
între stările p şi s. Pentru starea s (l = 0) momentul cinetic orbital
este nul şi momentul magnetic orbital, de asemenea, va fi nul. Prin
urmare, starea s nu va fi influenţată de prezența câmpului magnetic
exterior. Nivelul corespunzător stării p (l = 1) în câmpul magnetic
exterior va fi despicat în 3 subniveluri energetice egal distanţate, ce
corespund valorilor –1, 0, +1 ale numărului cuantic magnetic m.
Distanţa dintre nivelurile energetice apărute prin despicarea în câmp
magnetic exterior are valoare constantă şi este
Fig. 28.5
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
88
04
ehE B
m . (28.20)
Astfel, la introducerea atomului de hidrogen în câmp magnetic
omogen, de rând cu linia de frecvenţă 0 , prezentă şi în absenţa
câmpului magnetic, în spectru mai apar două linii spectrale egal
deplasate faţă de 0 , cele trei frecvenţe fiind:
1 0 0 1 0
0 0
; ;4 4
eB eB
m m
. (28.21)
Fenomenul despicării liniilor spectrale la situarea sursei în câmp
magnetic a fost observat pentru prima dată în anul 1896 de către
fizicianul olandez Pieter Zeeman (1865 – 1943), primind în cinstea
acestuia denumirea de efect Zeeman.
28.2. Spinul electronului. Principiul Pauli. Distribuţia
electronilor pe nivelurile energetice ale atomilor
În scopul măsurării momentelor magnetice ale atomilor diferitor
elemente chimice, fizicienii germani Otto Stern (1888–1969) şi
Walther Gerlach (1899–1979) au realizat experienţe cu fascicule de
atomi ce treceau printr-un câmp magnetic neomogen chiar pe
distanţe comparabile cu dimensiunile atomice. La trecerea unui
atom printr-un astfel de câmp orientat perpendicular direcţiei de
mişcare a atomului, asupra acestuia acţionează o forţă de deviere
mz
dBF p
dz , (28.22)
unde mzp este proiecţia vectorului momentului magnetic pe direcţia
câmpului magnetic neomogen numai în această direcţie. Forţa F
89
era determinată după devierea atomului în câmp magnetic, iar
mărimea dB dz se cunoştea din construcţia electromagnetului cu
poli de formă specială (fig. 28.6). Astfel s-a reuşit determinarea
proiecţiei momentului magnetic al atomului mzp . Primele experienţe
au fost efectuate cu atomi ai elementelor primei grupe, pentru care
momentele magnetice orbitale ale tuturor electronilor în afară de cel
de valenţă (de pe învelişul exterior) se compensează reciproc. Prin
urmare, momentul magnetic al acestor atomi coincide cu momentul
magnetic orbital al electronului de valenţă. Conform relaţiei (28.17)
acest moment magnetic trebuie să aibă 2 1l orientări în spaţiu, iar
proiecţia acestuia pe direcţia câmpului magnetic exterior trebuie să
fie un multiplu întreg al magnetonului Bohr-Procopiu B P . Dacă
cuantificarea spaţială a momentului magnetic orbital mp şi a
momentului cinetic orbital L nu s-ar realiza, atunci pe placa
fotografică situată în calea fasciculului de atomi după trecerea lor
prin câmpul magnetic ar trebui să se observe o distribuţie continuă a
punctelor de impact, mai pronunţată în centrul imaginii şi mai puţin
pronunţată la marginile ei. Experienţele lui Stern şi Gerlach au
arătat două franje pe placa fotografică, care indicau două direcţii
Fig. 28.6
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
90
posibile ale vectorului mp faţă de direcţia câmpului magnetic
exterior (fig. 28.6). Valorile proiecţiilor momentelor magnetice pe
direcţia câmpului magnetic exterior mzp după modul s-au obţinut
egale cu magnetonul Bohr-Procopiu B P . Astfel experienţele lui
Stern şi Gerlach au confirmat natura cuantică a momentelor
magnetice ale atomilor şi electronilor, precum şi cuantificarea
spaţială a acestora, iar prin intermediul lor şi cuantificarea spaţială a
momentelor cinetice. În pofida acestor rezultate remarcabile,
interpretarea rezultatelor experienţelor lui Stern şi Gerlach au
întâlnit la început mari dificultăţi. Problema care a apărut consta în
faptul că electronii de valenţă din atomii primei grupe se află în
starea fundamentală s cu numărul cuantic orbital 0l . Rezultă că
în această stare 0L şi 0mp . Apare întrebarea: cuantificarea
spaţială a cărui moment al impulsului şi a cărui moment magnetic a
fost observată în aceste experienţe?
Pentru explicarea rezultatelor experienţelor lui Stern şi Gerlach,
dar şi a altor rezultate experimentale acumulate la acea vreme,
fizicienii americani George Eugene Uhlenbek (1900 – 1988) şi
Samuel Abraham Gaudsmit (1902 – 1978) au înaintat în anul 1925
ipoteza, că electronul posedă nu numai moment cinetic orbital (al
impulsului) L şi moment magnetic orbital mp , dar şi moment
cinetic (al impulsului) propriu sL numit şi spin al electronului şi
moment magnetic propriu msp .
Momentul cinetic propriu al electronului sL , ca şi orice moment
cinetic al unei microparticule, trebuie să se cuantifice ca mărime
conform relaţiei (28.13):
91
1sL s s , (28.23)
unde s este numărul cuantic de spin, dar şi ca direcţie conform
relaţiei (28.12), având 2 1s direcţii în spaţiu în raport cu direcţia
câmpului magnetic exterior. Întrucât experienţele lui Stern şi
Gerlach au arătat numai două orientări ale spinului faţă de câmpul
magnetic exterior, rezultă că 2 1 2s şi deci 1 2s . Substituind
această valoare în (28.23), pentru valoarea spinului electronului
obţinem
1 1 3
12 2 2
sL
. (28.24)
Conform relaţiei (28.13)
sz sL m , (28.25)
unde numărul cuantic 1 2sm . Prin analogie el ar putea fi numit
număr magnetic de spin, dar de obicei se numeşte număr cuantic
de spin. Cuantificării spaţiale a spinului electronului îi corespunde
şi cuantificarea spaţială a momentului magnetic propriu (vezi
(28.17)):
0 0
2mzs s zs zs s s B P B P
e ep L L m m
m m , (28.26)
unde 0s e m este raportul giromagnetic de spin.
Din cele menţionate până acum rezultă că starea unui electron
din atom poate fi descrisă cu ajutorul a 4 numere cuantice: principal
n = 1, 2, 3, 4,…, orbital l = 0, 1, 2, 3, 4,…, (n – 1), magnetic
0, 1, 2, 3, ,m l şi de spin 1 2sm . Pentru a explica
distribuţia electronilor în atomi după stările descrise de aceste
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
92
numere cuantice, încă înainte de descoperirea spinului electronului,
fizicianul austriac Wolfgang Ernst Pauli (1900 – 1958) a emis
ipoteza că o undă electronică staţionară poate fi formată de nu mai
mult de doi electroni. Acest postulat a căpătat denumirea de
principiul de excluziune sau principiul Pauli. Astfel, în starea cu
numărul cuantic principal n = 1 se pot afla 2 electroni. Stării cu n =
2 îi corespund 4 unde staţionare (funcţii de undă), întrucât se pot
construi următoarele 4 combinaţii din numerele cuantice (n, l, m):
(2,0,0), (2,1,1), (2,1,0) şi (2,1,–1). Aceasta înseamnă că în stările cu
n = 2 se pot afla 8 electroni. Astfel, cu ajutorul principiului de
excluziune se poate explica distribuţia electronilor în atomii tuturor
elementelor din tabelul periodic. La acea vreme principiul de
excluziune nu putea fi demonstrat, însă, peste un an a fost
descoperit spinul electronului, adică faptul că electronul posedă un
moment cinetic propriu, proiecţia căruia pe direcţia câmpului
magnetic exterior este 2 . Spinul nu poate fi nici mărit şi nici
micşorat. El este o caracteristică a electronului ca, de exemplu,
masa sau sarcina. După descoperirea spinului Pauli şi Dirac au
elaborat teoria relativistă a particulelor cu spin semiîntreg şi au
observat că condiţia invarianţei relativiste conduce la funcţii de
undă a electronilor, care automat satisfac principiul de excluziune.
Astfel starea electronului în atom se descrie cu ajutorul a 4 numere
cuantice: , , , sn l m m . În acest caz principiul de excluziune se
formulează altfel:
În orice atom nu pot exista doi electroni în aceeaşi stare
staţionară determinată de cele patru numere cuantice
, , ,s
n l m m .
93
Matematic principiul Pauli poate fi reprezentat astfel
, , , 0 sau 1sN n l m m , (28.27)
unde , , , sN n l m m este numărul de electroni care se află în starea
staţionară descrisă de numerele cuantice , , , sn l m m . Principiul Pauli
permite calcularea pentru orice atom a numerelor maxime de
electroni cu valorile concrete a trei numere cuantice , ,N n l m , cu
valorile concrete a două numere cuantice ,N n l şi cu valoarea
dată a unui număr cuantic N n , dacă se ţine seama de limitele de
variaţie ale acestor numere. Întrucât numărul cuantic sm poate lua
numai 2 valori 1 2 şi 1 2 , rezultă că
, , 2N n l m . (28.27,a)
La o valoare dată a momentului cinetic orbital, acesta poate avea
2 1l orientări în spaţiu, rezultă că
, 2 2 1N n l l . (28.27,b)
Deoarece la valoarea dată a numărului cuantic n, numărul cuantic
orbital poate lua valorile de la 0 până la n – 1, rezultă că trebuie să
sumăm toate numerele N (n, l) obţinute pentru fiecare valoare a
numărului cuantic l:
1 1
2
0 0
1 2 1, 2 2 1 2 2
2
n n
l l
nN n N n l l n n
. (28.27,c)
Totalitatea electronilor dintr-un atom, caracterizaţi de unul şi acelaşi
Structura şi proprietăţile optice ale atomilor
94
număr cuantic principal n, constituie un strat electronic. În funcţie
de valorile numărului cuantic principal se deosebesc următoarele
straturi electronice, notate cu literele mari ale alfabetului latin: K
pentru n = 1; L pentru n = 2; M pentru n = 3; N pentru n = 4
ş.a.m.d. după alfabet. Numărul maxim de electroni ce se pot conţine
într-un anumit strat se determină din relaţia (28.27,c). De exemplu,
în stratul N (n = 4) se pot afla 2·42 = 32 electroni (vezi Tabelul
28.3). În fiecare strat electronii se distribuie după învelişuri
(pături). Fiecare înveliş este caracterizat de o anumită valoare a
numărului cuantic orbital l. Numărul maxim de electroni dintr-un
anumit înveliş se determină din relaţia (28.27,b) (vezi Tabelul 28.3)
Tabelul 28.3
Numărul
cuantic
principal, n
1 2 3 4
Simbolul
stratului K L M N
Nr. maxim
de electroni
în strat
2 8 18 32
Numărul
cuantic
orbital, l
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3
Simbolul
învelişului 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f
Nr. maxim
de electroni
în înveliş
2 2 6 2 6 10 2 6 10 14
.
95
Capitolul 29. Elemente de statistici cuantice
29.1. Distribuţia electronilor în metale
În prima aproximaţie energiile potenţiale de interacţiune ale
electronilor exteriori ai atomilor cu nucleele lor în metale poate fi
reprezentată cu ajutorul unei energii medii care este o mărime
constantă negativă. Vom nota-o prin –U0. În figura 29.1 este
reprezentată dependenţa energiei potenţiale a electronului de valenţă
U ( x) în cazul unidimensional.
Aceasta reprezintă o groapă de
potenţial. În această figură
energia potenţială a electronului
liber aflat în afara metalului a fost
luată egală cu zero. Fiecare
electron exterior se descrie cu
ajutorul unei unde staţionare de
Broglie limitată ca dimensiune de
această groapă. În această aproximaţie metalul de volum V poate fi
considerat fiind o groapă tridimensională de potenţial, având acelaşi
volum V şi conţinând N electroni liberi. Conform principiului Pauli
în fiecare stare descrisă de expresia (27.55) se pot afla nu mai mult
de doi electroni. Cei N electroni tind să ocupe nivelurile energetice
inferioare formând astfel un gaz electronic numit gaz Fermi în
cinstea lui Enrico Fermi care pentru prima dată a atras atenţia
asupra proprietăţilor specifice ale acestuia. Aceşti N electroni liberi
ocupă toate stările energetice de la cea cu energie mai mică până la
Fig. 29.1
Elemente de statistici cuantice
96
cea cu energia F numită nivelul Fermi. Energia Fermi
F trebuie
să depindă de numărul electronilor liberi N şi de volumul metalului
V. În continuare vom demonstra că aceasta depinde de raportul
n N V ce determină numărul electronilor de conducţie în unitatea
de volum (concentraţia electronilor).
Calculele se simplifică, dacă groapa de potenţial se ia de forma
unui cub cu muchia L şi volumul L3. Dacă în groapă se află un
singur electron, atunci acesta va radia energia în exces şi va ocupa
nivelul cu cea mai mică energie. Acelaşi nivel va fi ocupat de cel de
al doilea electron. Conform principiului Pauli, al treilea electron va
fi nevoit să ocupe următorul, adică cel de-al doilea nivel energetic.
Pe acest nivel se va situa şi cel de-al patrulea electron. Al cincilea
electron va ocupa nivelul energetic cu numărul 3 ş.a.m.d. Dacă în
groapă se află N electroni, atunci nivelului Fermi îi va corespunde
energia nivelului cu numărul 2N . Conform (27.59) nivelurile
energetice ale electronilor în groapa tridimensională de potenţial
depind de trei numere cuantice 1 2 3, , :n n n
1 2 3
22 2, ,
yx zLpLp Lp
n n nh h h
, (29.1)
iar impulsul electronului
2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 32( )
4x y z
hp p p p n n n
L . (29.2)
Notăm cu pF impulsul electronului aflat pe nivelul Fermi. Această
valoare pF a impulsului electronului este valoarea maximă a fiecărei
componente a impulsului px, p
y, p
z pentru oricare dintre cei N
97
electroni aflaţi în groapă. Rezultă că valorile maxime ale numerelor
cuantice n1, n
2, n
3 vor fi
1 2 3
2 F
F F F
Lpn n n
h . (29.3)
Pentru a obţine numărul total de
stări ocupate trebuie să calculăm
toate combinaţiile posibile din
cele trei numere cuantice n1, n
2, n
3,
fiecare număr fiind limitat de
valoarea (29.3). Pentru calcularea
acestui număr vom considera
spaţiul numerelor cuantice n1, n
2, n
3
(fig. 29.2). În acest spaţiu orice
stare posibilă, adică orice
combinaţie a numerelor întregi pozitive n1, n
2, n
3 este reprezentată
printr-un punct. Punctele formează o reţea cubică cu muchia celulei
egală cu unitatea, întrucât variaţia minimă a oricăruia din numerele
n1, n
2, n
3 este egală cu unitatea. Numărul celulelor reţelei este egal
cu numărul punctelor. Este evident că stările ocupate se află în
interiorul părţii de sferă cu raza
2 FLp
Rh
(29.4)
aflate în primul octant. De aceea numărul total g de stări cuantice
ocupate de electronii de conducţie este egal cu numărul de celule
cubice aflate în interiorul suprafeţei sferice din primul octant (fig.
29.2):
Fig. 29.2
Elemente de statistici cuantice
98
3 3 33
3
2 41 4
8 3 6 3
F FLp L pg R
h h
. (29.5)
Întrucât în fiecare stare se află câte doi electroni, numărul total de
electroni
3
3
82
3
FVpN g
h
, (29.6)
unde 3V L este volumul gropii de potenţial, adică a metalului. Din
(29.6) obţinem următoarea expresie pentru impulsul electronului
aflat pe nivelul Fermi, numit şi impulsul Fermi:
1 3 1 333 3
8 2F
h N h np
V
, (29.7)
unde n N V este concentraţia electronilor de conducţie din metal.
Energia Fermi F poate fi determinată după cum urmează:
2 32 2 3
2 8
FF
p h n
m m
, (29.8)
unde m este masa electronului. Această energie nu depinde nici de
forma metalului, nici de volumul lui. Ea depinde numai de
concentraţia electronilor, adică de cât de dens sunt "împachetaţi"
electronii în metal.
29.2. Funcţiile de distribuţie Fermi-Dirac şi Bose-
Einstein. Degenerarea sistemelor descrise de
statisticile cuantice
Teoria consecventă a comportamentului electronilor liberi în
metale este posibilă numai în mecanica cuantică, unde poate să se
ţină seama de caracterul dual undă-corpuscul al proprietăţilor
99
particulelor de substanţă. Caracterul dual conduce la principiul
indiscernabilităţii particulelor identice:
orice sistem fizic cuantic de particule identice este descris
numai de funcţii de undă complet simetrice sau complet
antisimetrice în raport cu toate variabilele particulelor.
Funcţia de undă completă este compusă din funcţia de undă de
coordonate, care depinde de coordonatele particulelor, şi funcţia de
undă de spin, care depinde de orientarea spinilor acestora. Funcţia
de undă simetrică se deosebeşte de cea antisimetrică prin faptul că
prima nu-şi schimbă semnul la permutarea oricărei perechi a şi b de
particule ale sistemului, pe când a doua îşi schimbă semnul în opus
la o astfel de permutare. Permutarea particulelor a şi b înseamnă
trecerea sistemului în starea în care particula a ocupă starea în care
se afla mai devreme particula b, iar particula b ocupă starea în care
se afla particula a. Tipul funcţiei de undă complete (simetrică sau
antisimetrică) depinde de proiecţia szL a spinilor particulelor
sistemului pe direcţia câmpului magnetic exterior.
Particulele pentru care proiecţia szL este egală cu un număr
impar de 2 se numesc fermioni sau particule cu spin
semiîntreg. În calitate de exemple servesc electronii, protonii,
neutronii etc.
Funcţia de undă completă a unui sistem de fermioni identici este
antisimetrică. Comportamentul unui sistem de fermioni identici
este determinat nu numai de această funcţie de undă, ci şi de
principiul lui Pauli:
oricare doi fermioni aparţinând unui sistem de fermioni
identici nu se pot afla simultan în aceeaşi stare cuantică.
Elemente de statistici cuantice
100
Particulele, pentru care proiecţia szL este egală cu zero sau cu un
număr par de 2 se numesc bosoni sau particule cu spin întreg.
În calitate de exemple servesc fotonii, bozonii vectoriali W și Z etc.
Funcţia de undă completă a unui sistem de bosoni identici este
simetrică.
Să considerăm un sistem din N particule identice, care
interacţionează slab între ele. Această interacţiune va conduce la
stabilirea unei distribuţii ale acestora după diferiţi parametri cum ar
fi energia, impulsurile ş. a. Dacă particulele sunt clasice, adică
acestea se consideră puncte materiale, atunci starea dinamică a
sistemului se descrie prin indicarea coordonatelor x, y, z şi
proiecţiilor impulsurilor corespunzătoare , ,x y zp p p ale fiecărei
particule. Pentru simplificarea raţionamentelor se introduce un
spaţiu ipotetic cu 6 dimensiuni, în care fiecare punct se
caracterizează cu ajutorul a 6 coordonate , , , , ,x y zx y z p p p . Acest
spaţiu se numeşte spaţiul fazelor. Astfel starea momentană a unei
particule se descrie complet prin indicarea în spaţiul fazelor a
poziţiei punctului corespunzător acestei particule. Starea tuturor
celor N particule ale sistemului se descrie prin indicarea poziţiilor
punctelor corespunzătoare acestor particule. Deoarece particulele
sistemului posedă proprietăţi ondulatorii, adică se supun legilor
mecanicii cuantice, atunci starea oricăreia din ele nu mai poate fi
descrisă indicând punctul corespunzător în spaţiul fazelor, întrucât
conform relaţiilor de incertitudine ale lui Heisenberg xx p h ,
yy p h , zz p h . Astfel starea unei particule în mecanica
cuantică poate fi descrisă nu cu ajutorul unui punct în spaţiul
fazelor, ci cu ajutorul unei celule în acest spaţiu. Dacă celula este
paralelipipedică, atunci volumul ei
3
x y zx y z p p p h . (29.9)
101
Rezultă că orice volum din spaţiul fazelor nu poate fi mai mic decât 3h . Numărul de celule g i dintr-un oarecare volum ΔΓi din spaţiul
fazelor, este egal cu numărul de stări cuantice posibile ale
particulelor cu energiile din intervalul (ε i; ε i + dε i) :
3
iig
h
. (29.10)
Problema fundamentală a statisticilor cuantice constă în
stabilirea celei mai probabile distribuţii a particulelor sistemului de
fermioni sau bosoni identici după celulele spaţiului fazelor, precum
şi determinarea în acest caz a numărului mediu de particule ce revin
unei stări cuantice cu energia ε i. Calculele arată că numărul Ni de
particule aflate în g i stări cuantice în cazul fermionilor
exp 1
ii
i
gN
kT
, (29.11)
iar în cazul bosonilor
exp 1
ii
i
gN
kT
. (29.12)
Relaţiile (29.11) şi (29.12) se numesc distribuţia Fermi-Dirac şi,
respectiv, Bose-Einstein. Numărul mediu de particule f aflate într-o
stare cuantică cu energia ε i, adică densitatea medie de populaţie a
stărilor cu energia ε i:
1
exp 1
i
ii
Nf
g
kT
, (29.13)
Elemente de statistici cuantice
102
unde semnul "+" se referă la fermioni, iar semnul " " la bosoni.
Expresiile (29.13) se mai numesc funcţii de distribuţie Fermi-
Dirac şi, respectiv, Bose-Einstein.
În relaţiile (29.11) – (29.13) intră o mărime fizică notată cu litera
μ. Această mărime se numeşte potenţial chimic. Ea a fost introdusă
în fizică de către inginerul, chimistul și fizicianul matematician
american Josiah Willard Gibbs (1839-1903) prin analogie cu
potenţialul electric (vezi, de exemplu, (11.9)1) şi reprezintă energia
sistemului ce revine unei particule a acestuia într-un proces ce se
desfăşoară la volum constant ( const.V ) şi entropie constantă
( const.S ). De exemplu, potenţialul chimic al unui sistem de
electroni identici la temperatura de zero absolut (T = 0) care se află
într-o groapă de potenţial coincide cu energia Fermi F . Potenţialul
chimic μ se determină din condiţia de normare, şi anume, că
numărul de particule cuantice în procesul amintit ( const.V ,
const.S ) nu se modifică, păstrându-se egal cu N, după cum a fost
considerat iniţial. Această condiţie poate fi obţinută în modul
următor. Conform definiţiei funcţia de distribuţie (densitatea de
populaţie)
dN dN d
fdg d dg
, (29.14)
unde dN este numărul de particule cu energiile din intervalul
, d situate în dg celule ale spaţiului fazelor. Din (29.14)
rezultă că
dN dg
fd d
. (29.15)
1 A. Rusu, S. Rusu. Curs de fizică. Ciclu de prelegeri. Vol.3.
Electromagnetismul. Chișinău, Tehnica-UTM, 2015, 233p.
103
Această expresie reprezintă distribuţia particulelor după energii. De
aici, prin integrare, se obţine
0
dgf d N
d
. (29.16)
Pentru calcularea acestei integrale trebuie să cunoaştem mărimea
dg/dε. Vom calcula-o determinând aparte dε şi dg în lipsa
câmpurilor exterioare. Întrucât în lipsa vreunui câmp exterior de
forţe energia particulei ε se reduce la energia cinetică ε = p2/(2m),
unde p şi m sunt impulsul şi, respectiv, masa particulei, rezultă că
dε = pdp/m. Numărul de stări cuantice dg caracterizate de energia
din intervalul (ε, ε + dε) poate fi determinat împărţind volumul
elementar dτ al spaţiului fazelor la volumul dτ* al unei celule
elementare al acestui spaţiu:
3
3
în cazulstatisticii Bose-Einstein,
2 în cazulstatisticii Fermi-Dirac.
hd
h
(29.17)
Pentru determinarea volumului elementar
d al spaţiului fazelor înmulţim volumul V al
spaţiului de coordonate cu volumul unui strat
sferic cu raza p şi grosimea dp din spaţiul
impulsurilor egal cu 4πp2dp (figura 29.3).
Astfel, dτ = 4πp2Vdp şi
24d p Vdp
dgd d
. (29.18)
Ţinând seama că 2p m , obţinem
34 2dg V m
d d
. (29.19)
Fig. 29.3
Elemente de statistici cuantice
104
Graficul calitativ al acestei dependenţe
este reprezentat în figura 29.4. Acum
condiţia (29.16) pentru determinarea
potenţialului chimic capătă aspectul:
3
0
4 2V mf d N
d
. (29.20)
După cum rezultă din această expresie, valoarea potenţialului
chimic depinde de volumul V, de temperatura gazului T, precum şi
de numărul de particule N. Trebuie remarcat că din definiţia funcţiei
de distribuţie (densitatea de populaţie) rezultă că 0f . Acest
aspect impune anumite restricţii asupra semnului potențialului
chimic în cazul gazelor Bose. Într-adevăr, din condiţia
1
exp 1 0kT
, rezultă că pentru gazul Bose 0 . În
cazul gazului Fermi o astfel de restricţie pentru potenţialul chimic
nu există. Există, însă, o restricţie pentru densitatea de populaţie f.
Într-adevăr, în conformitate cu principiul lui Pauli, căruia i se supun
fermionii: 0 1f . În cazul când 1f , unitatea din numitorul
expresiei (29.13) poate fi neglijată, obţinându-se funcţia de
distribuţie Boltzmann-Maxwell
expf AkT
, (29.21)
unde mărimea
expAkT
(29.22)
Fig. 29.4
105
se numeşte parametru de degenerare. Astfel, distribuţia clasică
Boltzmann-Maxwell se conţine în distribuţiile cuantice, după cum şi
trebuie să fie, întrucât orice teorie mai generală trebuie să conţină şi
teoriile mai simple în calitate de cazuri particulare.
Dacă gazul constituit din particule identice manifestă proprietăţi
deosebite de cele ale gazului ideal clasic, atunci acesta se numeşte
gaz degenerat. Gradul de degenerare al gazului se caracterizează cu
ajutorul parametrului de degenerare (29.22). Dacă acesta este mic
( 1A ), atunci degenerarea este slabă şi (29.13) trece în (29.21).
Astfel, la parametrii de degenerare mici gazul este clasic şi se
supune statisticii Boltzmann-Maxwell, în caz contrar – este cuantic
şi se supune statisticii Fermi-Dirac sau Bose-Einstein.
Degenerarea gazelor clasice se manifestă la temperaturi mai mici
decât o temperatură, numită temperatură de degenerare dT .
Pentru evaluarea acesteia vom observa că la această temperatură,
calculul energiei medii a particulei gazului poate fi efectuat atât
utilizând teoria clasică, cât şi cea cuantică. Din teoria clasică, în
conformitate cu teorema despre echipartiţia energiei după gradele
de libertate, energia medie a unei particule de gaz monoatomic
3
2dkT . (29.23)
Pe de altă parte, folosind relațiile (29.16) şi (29.19), în cazul
particulei care se supune statisticilor cuatice pentru energia ei medie
obținem
0 0 0
0 0
dgdN f d f d
d
N dgf d f d
d
. (29.24)
Elemente de statistici cuantice
106
Din (29.24) se observă că energia medie a unei particule depinde de
funcţia de distribuţie f, căreia i se supun particulele sistemului dat
de particule identice. Din această cauză cu ajutorul (29.24) nu poate
fi obţinută o formulă pentru valabilă atât pentru gazul Bose, cât
şi pentru gazul Fermi, întrucât funcţiile de distribuţie ale acestor
gaze sunt diferite. O astfel de formulă poate fi obţinută doar
aproximativ, evaluând impulsul particulei gazului reieşind din
valoarea volumului celulei elementare din spaţiul fazelor, care nu
poate fi mai mic decât 3h (vezi (29.9)). Considerând celula
elementară de forma unui cub, în calitate de incertitudini ale
coordonatelor considerăm muchia a a acestuia, adică Δx = Δy = Δz ≈
≈ a, iar incertitudinile proiecţiilor impulsului le considerăm
aproximativ egale cu proiecţiile corespunzătoare ale impulsului
particulei, adică Δpx ≈ p
x, Δp
y ≈ p
y, Δp
z ≈ p
z. În afară de aceasta mai
considerăm că px = p
y = p
z. Atunci din (29.9) obţinem
3 3 3
xp a h și,
deci, px = h/a. Însă,
2 2 2 2
x y zp p p p , adică 2 23 xp p . Astfel,
pentru valoarea energiei medii a particulei obținem:
2 2 22 3 2p m h ma , m fiind masa particulei. Muchia
celulei elementare de formă cubică poate fi exprimată prin
concentraţia particulelor. Într-adevăr, 3 31n N V N Na a .
De aici, 1 31a n şi pentru energia medie, obţinem:
2 2 33
2
h n
m . (29.25)
Comparând (29.25) cu (29.23), obţinem expresia aproximativă
pentru temperatura de degenerare a sistemelor de particule identice
ce se supun statisticilor cuantice
2
2 3
d
hT n
mk . (29.26)
107
Să aplicăm această formulă pentru evaluarea temperaturii de
degenerare a gazului electronic din conductoare şi semiconductoare,
ţinând seama că masa electronului m = 9,11·10–31 kg, constanta lui
Planck h = 6,63·10–34 J·s, constanta lui Boltzmann k = 1,38·10–23
J/K. În cazul conductoarelor concentraţia electronilor n ≈ 1029 m–3,
obţinându-se Td ≈ 7,5·103 K ≈ 104 K. Astfel, gazul electronic din
metale practic este degenerat întotdeauna, întrucât, la temperaturi
mai mari de 104 K, existenţa metalelor în stare condensată este
imposibilă. În cazul semiconductoarelor, concentraţia electronilor
variază de la un semiconductor la altul. Pentru evaluarea
temperaturii de degenerare considerăm n ≈ 1019 m–3. În acest caz Td
≈ 0,16 K, adică gazul electronic din semiconductoare degenerează
la temperaturi foarte mici. Se poate spune că gazul electronic în
semiconductoare este clasic practic întotdeauna, acesta supunându-
se statisticii clasice Boltzmann-Maxwell. Pentru gazul fotonic Td =
∞, întrucât masa de repaus a fotonului m = 0. Astfel gazul fotonic
este degenerat întotdeauna. Gazele constituite din atomi sau
molecule au temperaturi de degenerare foarte mici. De exemplu,
pentru gazul constituit din atomi de hidrogen cu concentraţia n ≈
1025 m–3, Td ≈ 1 K. Pentru gaze constituite din atomi sau molecule
mai grele această temperatură este şi mai mică, deci ele aproape
întotdeauna se supun statisticii clasice.
29.3. Distribuţia Fermi-Dirac pentru gazul electronic
din metale
În conformitate cu (29.13) densitatea medie de populaţie a
stărilor electronilor cu energia , adică numărul mediu de electroni
f aflaţi într-o stare cuantică cu energia
1
exp 1
f
kT
. (29.27)
Elemente de statistici cuantice
108
Să analizăm această distribuţie, mai întâi, atunci când metalul se
află la temperatura de zero absolut T = 0 K. Întrucât potenţialul
chimic depinde de temperatură, notăm valoarea acestuia la T = 0 K
cu 0 . Dacă ε < μ(0), adică ε – μ(0) < 0, atunci
0
0lim exp 0T
ekT
şi f → 1. Dacă ε > μ(0), adică ε –
– μ(0) > 0, atunci
0
0lim expT
ekT
şi f → 0. Astfel,
la T = 0 K, funcţia de distribuţie Fermi-Dirac pentru electronii din
metale are aspectul
1, dacă 0 ,
1, dacă 0 ,
2
0, dacă 0 .
f
(29.28)
Această expresie arată că la T = 0 K
toate stările cu energiile de la 0 până la
ε = εF = μ(0) sunt ocupate cu câte un
electron, stările cu energia ε = εF sunt
ocupate pe jumătate, iar stările cu
energiile de la ε = εF până la ∞ sunt
libere (Fig. 29.5).
Distribuţia electronilor după energii, conform (29.15), (29.17),
(29.19) şi (29.27), are aspectul
3
3
8 2
1kT
dN dg V mf
d d he
, (29.29)
care la T = 0 K trece în expresia
Fig. 29.5
109
3
3
3
3
8 2, dacă 0 ,
4 2, dacă 0 ,
0, dacă 0 .
V m
h
dN V m
d h
(29.30)
reprezentată calitativ în figura 29.6.
Relaţiile (29.20) şi (29.28) permit
calcularea energiei Fermi:
3
3
0
8 2 FV md N
h
3
3 2
3
16 2
3F
mn
h
,
de unde
2 233 2 3
3
3 3
816 2F
h n h n
mm
, (29.31)
ceea ce coincide cu relația (29.8), obținută anterior. Dacă se
cunoaşte energia Fermi, atunci folosind relația de definiție
2 2F Fp m se poate determina şi impulsul Fermi:
12 12
3 33 32
2 2F F
h n h np m
(29.32)
care coincide cu (29.7).
Fig. 29.6
Elemente de statistici cuantice
110
Pentru a clarifica comportamentul gazului electronic din metale
la T ≠ 0 K, vom calcula εF considerând concentraţia electronilor
n ≈ 1029 m–3. Se obţine εF ≈ 7,88 eV. Observăm, că numitorul
argumentului funcției exponențiale din (29.27), care este
aproximativ, şi energia medie a unei particule clasice la temperatura
T are valoarea kT ≈ 0,02 eV la temperaturi obişnuite şi kT ≈ 0,09 eV
la T = 1000 K. În ambele cazuri, însă, kT/εF << 1. Aceasta
înseamnă că distribuţiile (29.28) şi (29.30)
se vor modifica foarte puţin la T ≠ 0 K
(vezi Fig. 29.7 şi, respectiv, Fig. 29.8),
întrucât o parte foarte mică din electronii
metalului aflaţi în apropierea nivelului
Fermi la T = 0 K vor putea trece pe niveluri
cu energii mai mari decât εF. Aceasta la
rândul său înseamnă că potenţialul chimic
va depinde foarte slab de temperatură.
Pentru determinarea lui la temperaturi
diferite de zero este necesară calcularea
integralei din (29.20). Această integrală
poate fi calculată doar aproximativ,
obţinându-se pentru μ expresia:
22
112
F
F
kT
. (29.33)
Aceleaşi raţionamente pot fi aplicate şi la calcularea energiei medii
a unui electron cu ajutorul (29.24). La T ≠ 0 K integralele, de
asemenea, pot fi calculate doar aproximativ. Ca rezultat se obţine
Fig. 29.7
Fig. 29.8
111
22
0
0
3 51
5 12F
F
f fdkT
f d
, (29.34)
care la T = 0 K trece în
3
5F . (29.35)
Într-adevăr, la T = 0 K, f se determină de expresia (29.28) şi
5 2
0
3 2
0
2
35
2 5
3
F
F
F
F
F
fd
d
.
Întrucât, chiar şi la temperaturi înalte, de exemplu, T = 1000 K
termenul 22 45 12 5 10 1FkT , dependenţa energiei
medii de temperatura T, în anumite cazuri, poate fi neglijată şi
se poate considera că este valabilă relaţia (29.35). Cu ajutorul
acestei relaţii poate fi evaluată mai exact temperatura de degenerare
a gazului electronic în metale:
3 3 2
2 5 5
Fd F dkT T
k
(29.36)
Luând energia Fermi εF ≈ 7,88 eV, obţinem Td ≈ 3,6·104 K, adică
aproximativ aceeaşi valoare ca şi în cazul evaluării acesteia cu
ajutorul relaţiilor de incertitudine după formula (29.26).
Faptul că la T ≠ 0 K numai o parte foarte mică din electronii
metalului aflaţi în apropierea nivelului Fermi la T = 0 K vor putea
Elemente de statistici cuantice
112
trece pe niveluri cu energii mai mari decât εF, conduce la o valoare
foarte mică a căldurii molare a gazului electronic degenerat în
comparaţie cu căldura molară a unui gaz ideal clasic. Într-adevăr, în
conformitate cu (29.34), energia internă mU a unui mol de gaz
electronic în metale
223 5
15 12
m A A F
F
kTU N N
, (29.36)
iar căldura molară a acestuia
2 23 5
25 12 2
mV A F
V F F F
U kT k R kTC N
T
. (29.37)
Comparând această expresie cu expresia pentru căldura molară a
unui gaz monoatomic clasic 3
2
cl
VC R , pentru 300KT obţinem
2
0,013
cl cl
V V V
F
kTC C C
, (29.38)
ceea ce confirmă afirmaţia de sus.
29.4. Distribuţia Bose-Einstein pentru gazul fotonic
dintr-o cavitate închisă
Din punctul de vedere al mecanicii cuantice radiaţia termică
echilibrată a unui corp absolut negru reprezintă un gaz fotonic ideal
închis într-o cavitate. Întrucât spinul fotonului este egal cu , gazul
fotonic se supune statisticii Bose-Einstein, adică numărul mediu f de
fotoni aflaţi în starea cu energia ε este
1
exp 1
f
kT
. (29.39)
113
Deoarece gazul de fotoni este degenerat la orice temperatură
(Td = ∞), rezultă că parametrul de degenerare exp 1kT . La
temperaturi finite această egalitate poate fi satisfăcută numai dacă
potenţialul chimic al gazului fotonic μ = 0. Astfel, numărul mediu f
de fotoni aflaţi în starea cu energia ε este
1
exp 1
f
kT
, (29.40)
iar energia medie a unui foton aflat în această stare va fi valoarea
acesteia ε înmulţită cu numărul mediu de fotoni în această stare,
adică
exp 1
f
kT
. (29.41)
Această expresie coincide cu formula obţinută de către Planck cu
ajutorul ipotezei cuantice (vezi paragraful 26.3) pentru energia
medie a oscilatorului cu frecvenţa proprie ν. Aici, însă, nu a fost
nevoie de presupuneri suplimentare. Ţinând seama că densitatea
spectrală a radianţei energetice (vezi (26.29)) pentru un corp absolut
negru
2
2
2r
c
(29.42)
şi că ε = hν, obţinem din nou formula lui Planck (26.31):
2
2
2
exp 1
hr
hc
kT
. (29.43)
Elemente de statistici cuantice
114
29.5. Capacitatea termică a corpurilor solide
Din punctul de vedere al fizicii clasice, atomii şi ionii aflaţi în
nodurile reţelei cristaline ale corpului solid nu efectuează mişcări de
translaţie şi rotaţie, ci numai mişcări oscilatorii. Întrucât aceste
oscilaţii pot avea loc de-a lungul a trei direcţii reciproc
perpendiculare, se poate considera că fiecare atom din nodurile
reţelei cristaline posedă trei grade oscilatorii de libertate. Conform
teoremei fizicii clasice despre echipartiţia energiei după gradele de
libertate, fiecărui grad oscilatoriu de libertate îi revine energia kT,
unde k este constanta lui Boltzmann. Atomii dintr-un mol de
substanţă solidă posedă 3NA grade oscilatorii de libertate (NA este
numărul lui Avogadro). Prin urmare un mol de substanță solidă are
energia:
3 3m AU N kT RT , (29.44)
unde 8,31 J mol KAR k N este constanta universală a
gazelor. La calcularea energiei mU ar fi trebuit să luăm în seamă,
cel puţin pentru metale, şi energia gazului electronic. Nu am luat-o
în seamă, întrucât aceasta aduce un aport neesenţial la căldura
molară (vezi (29.38)). De aceea, căldura molară la volum constant
3 24,93 J mol KmV
V
UC R
T
, (29.45)
și este în concordanţă cu valoarea experimentală de 25 J/(mol·K)
determinată de către Dulong şi Petit pentru un număr mare de
metale. Această concordanţă, însă, este valabilă numai la
temperaturi obişnuite, deoarece după cum se constată experimental
la micșorarea temperaturii căldura molară tinde rapid spre zero.
115
Faptul că teoria clasică nu poate explica dependenţa căldurii
molare de temperatură l-a determinat pe Einstein să aplice teoria
cuantică a lui Planck pentru explicarea acestei dependenţe. Conform
teoriei lui Planck un oscilator liniar armonic posedă un spectru
discret de energii ε = nhν, unde numărul cuantic n = 1, 2, 3,..., iar
energia medie a oscilatorului
exp 1 exp 1
h
h
kT kT
. (29.46)
Întrucât, în modelul lui Einstein, fiecare atom reprezintă 3
oscilatori liniari independenţi, energia unui mol de substanță solidă
poate fi obţinută prin înmulţirea energiei medii cu 3NA:
3 3
3
exp 1 exp 1
A Em A
E
N h RU N
h
kT T
, (29.47)
unde
E
h
k
(29.48)
şi se numeşte temperatura Einstein.
Cu ajutorul (29.47), pentru căldura molară se obţine:
2
2
3 exp
exp 1
E E
mV
V E
RU T T
CT
T
. (29.49)
Elemente de statistici cuantice
116
Să analizăm cazul temperaturilor înalte când 1E T . În acest caz
exp 1E E
T T
şi pentru
VC se obţine
2
2
3 1
3
E E
V
E
RT T
C R
T
,
ceea ce coincide cu (29.45), după cum şi trebuie să fie. În cazul
temperaturilor joase, când 1E T , unitatea din numitorul (29.49)
poate fi neglijată, obţinându-se expresia
2
3 expE EVC R
T T
, (29.50)
care prezice o descreștere exponenţială a căldurii molare a
corpurilor solide odată cu micșorarea temperaturii.
Rezultatele experimentale arată, însă, că la temperaturi scăzute
CV se micșorează mai încet decât prezice dependenţa teoretică
(29.50). Neconcordanţa dintre rezultatele experimentale şi cele
teoretice, obţinute în baza modelului Einstein, este determinată de
faptul că atomii în procesul oscilaţiilor termice acţionează asupra
atomilor învecinaţi, obligându-i pe aceştia, de asemenea, să
oscileze. Astfel, în loc de oscilaţiile de aceeaşi frecvenţă a atomilor
independenţi, trebuie să se considere oscilaţiile colective ale tuturor
atomilor cristalului, ceea ce conduce la existenţa unui spectru larg
de frecvenţe ale reţelei cristaline. Pentru determinarea acestui
spectru de frecvenţe se foloseşte modelul Debye, conform căruia
reţeaua cristalină a solidului se consideră ca o unitate, în care se
117
propagă undele proprii staţionare, numite şi moduri normale, fiecare
mod propriu fiind independent de celelalte moduri. Numărul
modurilor independente este 3N, unde N este numărul atomilor
solidului. Modurile normale, corespunzând unor oscilatori cuantici
independenţi, posedă o energie termică, care, ca şi energia undelor
electromagnetice, se cuantifică. Cuanta de energie, corespunzătoare
undelor termice, a fost denumită fonon, prin analogie cu fotonul,
care este cuanta de energie a undelor electromagnetice. Astfel,
fononul reprezintă undele termice ale solidului.
Pentru determinarea numărului
modurilor normale dNν din intervalul
de frecvenţe (ν, ν + dν) vom lua în
seamă faptul că undele staţionare apar
numai în anumite condiţii. Pentru un
paralelipiped drept cu laturile a, b şi c
(Fig. 29.9), condiţia apariţiei undei
staţionare de-a lungul axei x este ca pe
lungimea a să încapă un număr întreg de semiunde, adică
1 12 xa m m k , sau 1xk m a , unde m1 = 1, 2, 3,...,
iar kx este proiecţia vectorului de undă pe axa x. Această undă
staţionară este formată prin suprapunerea a două unde, una
progresivă cu vectorul de undă kx şi a doua regresivă cu vectorul de
undă –kx. Dacă vectorul de undă k nu coincide cu direcţia vreunei
axe de coordonate, condiţii analogice trebuie să aibă loc simultan
pentru toate cele trei proiecţii ale vectorului de undă k :
Fig. 29.9
Elemente de statistici cuantice
118
1 2 3, , ,x y zk m k m k ma b c
(29.51)
unde m1, m2, m3 = 1, 2, 3,...,. În acest caz, unda staţionară cu o
valoare dată a lungimii de undă k reprezintă o superpoziţie a
opt unde progresive de aceeaşi lungime de undă, pentru care
proiecţiile vectorului de undă sunt: 1) +kx, +ky, +kz; 2) –kx, +ky, +kz;
3) +kx, –ky, +kz; 4) +kx, +ky, –kz; 5) –kx, –ky, +kz; 6) –kx, +ky, –kz;
7) +kx, –ky, –kz; 8) –kx, –ky, –kz. Vectorii de undă k egali în modul,
care corespund celor 8 combinaţii ale numerelor kx, ky, şi kz sunt
situaţi în octante diferite. Vectorii din octantele 1 şi 8, 2 şi 7, 3 şi 6,
4 şi 5 au sensuri opuse. Fiecare triadă de numere m1, m2, m3
determină o valoare posibilă a numărului de undă 2k v v ,
unde v este viteza de fază a undei. Prin urmare, fiecărei triade de
numere m1, m2, m3 îi corespunde o valoare
posibilă a frecvenţei ν a undei staţionare.
Aceasta permite determinarea numărului
undelor posibile dNν cu frecvenţele din
intervalul (ν, ν + dν). Pentru aceasta
considerăm sistemul de coordonate kx, ky, kz
(Fig. 29.10) în spaţiul vectorului de undă
k . În acest spaţiu fiecărei unde staţionare,
căreia îi corespunde o valoare dată a lui k, îi vor corespunde 8
puncte, sau un punct în octantul cu kx, ky, kz pozitivi. Volumul
paralelipipedului drept cu vârfurile în puncte învecinate este
Fig. 29.10
119
x y zk k ka b c
. De aceea densitatea punctelor din spaţiul
vectorului de undă va fi mărimea inversă acestui volum, adică
3abc . Astfel, numărul de unde dNk cu vectorul de undă din
intervalul (k, k + dk), va fi egal cu numărul de puncte din 1/8 a
volumului stratului sferic de grosimea dk (Fig. 29.10):
2
2
3 2
14
8 2k
abc k dkdN k dk V
, (29.52)
unde V = abc este volumul paralelipipedului considerat iniţial.
Substituind în (29.52) k = ω/v = 2πν/v şi dk = 2πdν/v, obţinem numă-
rul de unde dNν, a căror frecvenţe se află în intervalul (ν, ν + dν):
2
34
ddN V
v. (29.53)
Însă într-un corp solid de-a lungul unei direcţii arbitrare se pot
propaga trei unde de aceeaşi frecvenţă, dar cu direcţii de polarizare
diferite: una longitudinală şi două transversale, cu direcţii de
oscilaţie reciproc perpendiculare. Dacă vitezele undelor
longitudinale şi transversale sunt egale, relația (29.53) capătă forma
2
312
ddN V
v. (29.54)
În cazul când vitezele sunt diferite
2
3 3
1 24dN V d
v v, (29.55)
Elemente de statistici cuantice
120
unde v şi v sunt vitezele undelor longitudinale şi, respectiv,
transversale. Cu ajutorul relației (29.54) se poate determina şi
densitatea de moduri pentru toate tipurile de polarizare:
2
312
dND V
d
v. (29.56)
În modelul lui Debye numărul oscilaţiilor normale este egal cu
numărul gradelor de libertate ale reţelei cristaline, adică cu 3N. Din
această cauză, frecvenţele undelor vor fi cuprinse într-un interval de
la zero până la o frecvenţă maximă max . Frecvenţa maximă poate fi
determinată integrând (29.54) de la zero până la max şi egalând
expresia obţinută cu 3N:
max 3
2 max
3 3
0
123 4
VN d V
v v.
De aici, obţinem
3max
3
4
N
V
v . (29.57)
Determinând v din (29.57) şi substituind această valoare în (29.54),
obţinem:
2
3
max
9d
dN N D d
. (29.58)
Ţinând seama de faptul că energia medie a unei oscilaţii
normale de frecvenţa se exprimă ca şi în cazul modelului lui
Einstein prin expresia (29.46), putem calcula energia internă a
solidului după cum urmează:
121
max
33
0 0
91
D T
x
D
T x dxU dN NkT
e
, (29.59)
unde
maxD
h
k
(29.60)
se numeşte temperatura Debye.
Căldura molară se obţine prin derivarea expresiei (29.59) în
raport cu T pentru AN N (pentru 1 mol de substanţă):
33
0
9 41 exp 1
D T
m DV x
D D
U TT x dxC R
T e T
. (29.61)
Temperatura Debye indică pentru fiecare substanţă valoarea
temperaturii, mai jos de care începe să devină esenţială
cuantificarea energiei oscilaţiilor (existenţa fononilor). Pentru
DT limita superioară a integralei din (29.61) tinde la infinit,
obţinându-se
3 4
01 15x
x dx
e
şi
3
412,
5V D
D
TC R T
. (29.62)
Aceasta este legea cuburilor lui Debye, lege care se confirmă în
experiment.
Nucleul atomic. Particule elementare
122
Capitolul 30. Structura și proprietățile
nucleelor atomice. Particule
elementare
30.1. Proprietățile principale și structura nucleului atomic
În anul 1911, fizicianul englez Ernest Rutherford (1871 – 1937)
a publicat rezultatele sale experimentale referitor la împrăștierea
particulelor α (nuclee de heliu), la trecerea lor printr-o foiță foarte
subțire de aur. În urma acestor experimente el a ajuns la concluzia
despre existența în interiorul atomului a unui nucleu de dimensiuni
foarte mici încărcat cu sarcină pozitivă și în care este concentrată
cea mai mare parte a masei acestuia. Să analizăm caracteristicile
fizice ale nucleului atomic: sarcina electrică, masa și raza lui.
Deoarece atomul este neutru din punct de vedere electric, sarcina
nucleului este numeric egală cu sarcina totală a electronilor din
atom
nuclQ Ze , (30.1)
unde Z este numit număr atomic sau număr de sarcină și
reprezintă numărul de ordine al elementului în tabelul periodic al
elementelor chimice, iar e este sarcina electrică elementară.
Relația (30.1) a fost confirmată experimental de către fizicianul
englez Henry G.J. Moseley (1887 – 1915) în baza relației dintre
frecvența liniilor spectrale ale radiațiilor Roentgen caracteristice
atomului unui element chimic cu numărul său de ordine Z,
cunoscută ca legea lui Moseley. S-a constatat că sensul fizic al
numărului de ordine Z al elementului în sistemul periodic al
elementelor este numărul de sarcini elementare ce formează nucleul.
123
Dimensiunile nucleului atomic au fost estimate de către
Rutherford din aceleași experimente referitor la împrăștierea
particulelor α. Raza nucleului poate fi considerată egală cu
distanța minimă de la centrul atomului, la care se oprește particula
α fiind frânată de forța de respingere din partea sarcinii pozitive a
nucleului. Cunoscând energia cinetică a particulei α la distanțe
mari de nucleu se determină aproximativ razele nucleelor care sunt
de ordinul 10–15 - 10–14 m.
Existența învelișurilor electronice în jurul nucleelor nu permite
determinarea directă a maselor nucleelor. Din această cauză, mai
întâi se stabilesc experimental masele ionilor (cu ajutorul
spectrografului de masă), după care se calculează masele nucleelor
luând în considerare numărul de electroni din ionii respectivi.
Masele nucleelor, ca și cele ale atomilor și moleculelor, fiind foarte
mici se exprimă în unități atomice de masă (u). Această unitate
este acceptată pentru utilizare de rând cu unitățile SI și este definită
ca 1/12 din masa izotopului de carbon-12 și are valoarea
271 u 1,66005656 10 kg . (30.2)
Numărul întreg adimensional obținut la aproximarea valorii
numerice a masei nucleului exprimată în unități atomice de
masă este numit număr de masă (notat cu A).
În conformitate cu această definiție masa atomului este egală cu
A (u).
Raza nucleului R depinde de numărul de masă A. Într-adevăr,
considerând nucleul de formă sferică cu volumul Vnucl = Error!
πR3, mnucl = = A (u), iar densitatea materiei nucleare constantă,
rezultă R3 ⁓ A. Așadar,
Nucleul atomic. Particule elementare
124
1 3
0R R A , (30.3)
unde parametrul R0 are valori în intervalul (1,2 – 1,4)·10–15 m.
Întrucât dimensiunile nucleului sunt de 10 000 ori mai mici decât
cele ale atomului, iar masa atomului aproape în întregime este
concentrată în nucleu, este de așteptat că densitatea materiei
nucleare să fie foarte mare. Într-adevăr,
27
17
3 3 3 45 3
0
3 u 3 u 3 1,66 10 kg2 10
4 4 4 3,14 1,2 10 m
nuclnucl
nucl
m A
V R R
.
Aceasta este o densitate incredibil de mare. Dacă am avea un 1 cm3
de materie nucleară, masa acesteia ar fi m = 2·1017 kg/m3×10–6 m3 =
= 2·1011 kg = 2·108 tone!
Măsurările maselor atomilor elementelor chimice efectuate cu
ajutorul spectrografului de masă au demonstrat că nu toți atomii
elementului chimic dat au aceeași masă. Ulterior ei au primit
denumirea de izotopi (gr. isos „egal, la fel” + topos „loc”).
Izotopii sunt atomii aceluiași element chimic, caracterizați cu
același număr atomic Z, însă au numere de masă A diferite,
adică nucleele lor au mase diferite.
Deoarece numărul atomic este același, toți izotopii unui element
ocupă unul și același loc în tabelul elementelor chimice. Pentru a
distinge izotopii între ei, simbolul elementului chimic X este
înzestrat în partea stângă cu doi indici: jos – numărul atomic Z, sus
– numărul de masă A, adică simbolul izotopului este XA
Z. S-a
constatat că majoritatea elementelor în stare naturală reprezintă un
amestec de doi izotopi, însă există și elemente cu mulți izotopi
(uraniu, mercur, stronțiu, carbon ș.a.). De exemplu, izotopii
carbonului sunt: 9
6 C , 10
6C , 11
6C , 12
6C , 13
6C , 14
6C , 15
6C , 16
6C . Dintre izotopii
125
carbonului cei mai răspândiți în natură sunt 12
6C și 13
6C . 12
6C constituie
98,9%, 13
6C – 1,1%, iar ceilalți constituie un procent nesemnificativ.
Este de menționat că în definiția unității atomice de masă se
consideră anume cel mai răspândit izotop – 12
6C .
Masa atomică indicată în tabelul elementelor chimice reprezintă
valoarea medie ponderată a maselor atomice ale izotopilor. De
exemplu, clorul are masa atomică 35,45 și reprezintă un amestec de 2
izotopi: 35
17 Cl în proporție de 75,76% și 37
17 Cl în proporție de 24,23%.
Într-adevăr, valoarea medie ponderată a masei atomice relative este
34,97·0,7577 + 36,95·0,2423 ≈ 35,45. Iată de ce majoritatea maselor
atomice în tabelul elementelor chimice nu sunt numere întregi.
Izotopii diferitor elemente au o largă aplicare practică în diferite
domenii: industrie, agricultură, medicină, arheologie, paleontologie și
multe altele. De exemplu, izotopul uraniului 235
92 U este folosit la
centralele atomoelectrice, în care energia nucleară este transformată în
energie electrică. În industrie izotopii sunt folosiți pentru controlul
uzurii diferitor dispozitive metalice, pentru cercetarea mecanismelor
diferitor procese tehnologice. În agricultură aceștia sunt utilizați la
tratarea semințelor. Aplicațiile izotopilor în medicină sunt foarte
numeroase. A fost dezvoltată chiar și o ramură nouă a medicinei –
medicina nucleară. Izotopii sunt utilizați pentru diagnosticarea diferitor
maladii, pentru tratamentul multiplelor cazuri de cancer, pentru
efectuarea diferitor analize biochimice a pacienților, ș.a. În
paleontologie și arheologie izotopii diferitor elemente sunt utilizați la
stabilirea vârstei unor fosile de animale care au existat cu milioane de
ani în urmă, sau la datarea anumitor evenimente geologice. De
exemplu, izotopii carbonului sunt folosiți la datarea materialelor
organice care au de la 250 până la 45 000 ani, izotopii de beriliu,
aluminiu, rubidiu și stronțiu – la datarea rocilor și materialelor care au
Nucleul atomic. Particule elementare
126
mai mult de 10 milioane de ani.
Descoperirea izotopilor a demonstrat clar că nucleele nu sunt
indivizibile, ci au o anumită structură interioară. Prima particulă din
componența nucleului a fost descoperită de către Rutherford în
experimentele sale efectuate în anul 1917 și raportate în anul 1919. La
interacțiunea particulelor α (particulele α sunt nuclee ale izotopului
de heliu 4
2He ) cu nucleele de azot, pe un ecran acoperit cu un strat
fluorescent uneori apăreau spoturi luminoase. Rutherford a ajuns la
concluzia că spoturile luminoase sunt rezultatul acțiunii asupra
stratului fluorescent a unor particule masive dezbătute din azot. Studiul
mișcării acestor particule în câmpurile electric și magnetic a
demonstrat că masa lor este egală cu masa celui mai ușor izotop al
hidrogenului 1
1H , iar sarcina electrică este pozitivă și egală cu cea
elementară, adică +e. Particulele respective au fost numite protoni (gr.
πρϖτος – primul). Repetând experiența de interacțiune a particulelor α
și cu alte substanțe Rutherford a obținut aceleași rezultate: în toate
cazurile particulele α dezbăteau din nucleele respective protoni.
Așadar,
protonii sunt particule ce fac parte din componența nucleului.
În urma măsurărilor de înaltă precizie s-a stabilit că masa și sarcina
protonului sunt
27 11,6726231 10 k 0 80 36g 1,0 727647 u epm m ,
191,60217733 10 Cpq e .
Protonul este nucleul cu Z = 1 și A = 1 și, în conformitate cu regula
acceptată pentru izotopi, se notează cu simbolul 1
1 p . Masa protonului
este mult mai mare decât masa electronului mp = 1836 me, de aceea
numărul de masă al electronului A = 0, iar întrucât sarcina lui este
127
negativă, numărul de sarcină Z = –1. Folosind aceeași regulă de repre-
zentare schematică, pentru electron deseori este utilizată notația 0
1e.
Existența numai a protonilor în componența nucleului nu poate însă
explica diversitatea izotopilor. Deoarece sarcina pozitivă a tuturor
protonilor compensează în totalitate sarcina negativă a electronilor din
atom, Rutherford a presupus în anul 1920 că din componența nucleului
trebuie să mai facă parte încă o particulă, dar fără sarcină electrică.
Descoperirea acestei particule a fost făcută abia în anul 1932.
Primele experimente legate de descoperirea acestei particule au fost
realizare în anul 1930 de către fizicianul german Walter Bothe (1891 –
1957). El a observat că la bombardarea cu particule α a unor elemente
ușoare, cum ar fi beriliul, borul sau litiul, apare o radiație de natură
necunoscută cu o putere de penetrare neobișnuit de mare.
În anul 1932, fizicianul englez James Chadwick (1891 – 1974) a
realizat un șir de experimente, în care a fost cercetată radiația
necunoscută. El a confirmat ipoteza conform căreia această radiație
este compusă din particule neutre din punct de vedere electric, având
masa aproximativ egală cu masa protonului. Aceste particule neutre au
fost numite neutroni.
În rezultatul măsurărilor de înaltă precizie s-a constatat că masa
neutronului mn = 1,6749286·10–27 kg = 1,008664902 u ≈ 1838 me și
este doar cu 0,14 % mai mare decât masa protonului. Numerele de
masă și de sarcină ale neutronului sunt A = 1 și Z = 0, respectiv, de
aceea neutronul are simbolul 1
0n . Așadar,
particulele constituente ale nucleului atomic, numite și nucleoni,
sunt protonul 1
1p și neutronul 1
0n .
În decurs de câteva luni după descoperirea neutronului în anul 1932,
fizicianul german Werner Carl Heisenberg (1901 – 1976) și cel rus
Nucleul atomic. Particule elementare
128
Dmitri Ivanenko (1904 – 1994), independent unul de altul, au propus
modelul proton-neutronic al nucleului. În conformitate cu acest
model nucleul atomic este compus din protoni și neutroni. Numărul
total al protonilor și neutronilor, adică numărul nucleonilor este egal cu
numărul de masă A, numărul protonilor este egal cu numărul atomic Z
de sarcini elementare din nucleu, iar numărul neutronilor reprezintă
restul nucleonilor N = A – Z. În concluzie:
nucleul elementului chimic XA
Z este compus din A nucleoni, dintre
care Z sunt protoni și N = A – Z sunt neutroni.
Cu ajutorul modelului proton-neutronic se explică ușor și
existența izotopilor, care au același număr atomic Z, adică ocupă
același loc în tabelul elementelor chimice, dar posedă numere de
masă A diferite. Conform acestui model nucleele izotopilor unui
anumit element conțin numere egale de protoni, însă numărul
neutronilor este diferit.
30.2. Forțele nucleare. Energia de legătură a
nucleonului în nucleu. Defectul de masă
Să analizăm nucleul din punctul de vedere al forțelor care îl
mențin în stare stabilă. Protonii, având sarcină pozitivă, se resping
între ei, iar forța de atracție gravitațională Fgr ar trebui să
echilibreze forța de respingere electrică Fel. Raportul acestor forțe
este
22
2
gr p p p
el
F m m mr KK
F r k e e k e
211 27
36
9 19
6,67 10 1,67 1010
9 10 1,6 10
.
129
Acest raport arată că forța de atracție gravitațională nici pe departe
nu este suficientă pentru a depăși forța enormă de respingere
Coulomb dintre protoni. Mai mult ca atât, nu este clar cum
interacționează neutronii (care nu posedă sarcină electrică) între ei
sau cu protonii. Devine evident că trebuie să existe o forță de
atracție foarte puternică care ar ține protonii și neutronii împreună
în componența nucleului. Această forță se numește forță puternică
sau forță nucleară. Forța puternică acționează nu numai între doi
protoni, dar și între doi neutroni și între un proton și un neutron.
Chiar dacă au fost realizate cercetări considerabile, natura
complicată a forței puternice dintre doi nucleoni nu este încă pe
deplin înțeleasă. În baza multiplelor experimente s-a constatat că
forța nucleară are următoarele proprietăți:
1. La distanțe dintre nucleoni mai mici decât aproximativ 0,7 fm
(1 fm = 10–15 m) forțele nucleare sunt forțe de respingere. Ele
împiedică colapsul nucleului până la un punct.
2. Pentru distanțe mai mari de 0,7 fm, forțele nucleare sunt forțe
de atracție. Ele au valoare maximă la o distanță dintre nucleoni
de aproximativ 1,2 fm, iar acțiunea acestora determină
menținerea nucleonilor împreună.
3. La distanțe mai mari de 1,2 fm, valoarea forțelor nucleare se
micșorează exponențial și devin neglijabile la distanțe mai mari
de 2 – 3 femtometri. Astfel, forțele nucleare au rază de acțiune
mică, din care cauză ele au un caracter de saturație: fiecare
nucleon din nucleu interacționează doar cu un număr finit de
nucleoni cei mai apropiați.
4. Forțele nucleare există doar între nucleoni. Nu există
interacțiune puternică între un electron și un nucleon sau între
doi electroni.
Datorită forțelor nucleare și a interacțiunii puternice de atracție
Nucleul atomic. Particule elementare
130
majoritatea nucleelor sunt stabile, chiar dacă între protoni există
forța de respingere Coulomb. Este evident că, pentru a descompune
nucleul în nucleoni este necesar să efectuăm un anumit lucru pentru
învingerea forțelor nucleare care mențin protonii și neutronii
împreună. O situație asemănătoare se realizează la descompunerea
unei picături de apă (aflată la temperatura de fierbere) în molecule.
Picăturii i se transmite o cantitate de energie egală cu căldura de
vaporizare, pe seama căreia se efectuează lucrul de descompunere a
picăturii în molecule. Ca rezultat, energia sistemului de molecule (a
sistemului de nucleoni) se mărește.
Mărimea fizică egală cu lucrul minim efectuat pentru
descompunerea nucleului în protoni și neutroni individuali se
numește energie de legătură a nucleului.
Din legea conservării energiei rezultă că la formarea nucleului
trebuie să se elimine aceeași cantitate de energie care trebuie
consumată la descompunerea nucleului în nucleoni individuali.
Astfel, pentru energia de legătură Eleg avem
leg nucleoni nucleuE E E , (30.4)
unde Enucleoni este energia de repaus a nucleonilor din nucleu, iar
Enucleu este energia de repaus a nucleului.
Luând în considerare legea corelației dintre masă și energie
(5.43) din (30.4) obținem
2
leg p n nucleuE Zm A Z m m c . (30.5)
unde mp, mn și mnucleu sunt masele protonului, neutronului și
nucleului, corespunzător.
Experimental este mult mai convenabil să se determine masele
atomilor, nu ale nucleelor. Din acest motiv vom trece în expresia
131
(30.5) la masele atomilor, care sunt mai mari decât masele nucleelor
corespunzătoare cu masele electronilor Zme din jurul lor. Pentru
aceasta vom lua în considerare că masa atomului mat = mnucleu +
Zme, iar mp + me = mH este masa atomului de hidrogen. Așadar,
pentru energia de legătură avem
2
Hleg n atE Zm A Z m m c . (30.6)
Masa Δm, care corespunde energiei de legătură
H2
leg
n at
Em Zm A Z m m
c (30.7)
este numită defect de masă. Cu această mărime se micșorează masa
nucleonilor din care se formează un nucleu. Măsurările cu un grad
înalt de precizie au demonstrat că această proprietate este
caracteristică tuturor nucleelor.
Defectul de masă se exprimă, de obicei, ca și masele atomilor, în
unități atomice de masă (u). Dacă se iau valorile cât mai exacte ale
unității atomice de masă, vitezei luminii în vid și electron-voltului
exprimat în Jouli, atunci energia echivalentă acestei unități este:
227 16
2
19
1,6601 10 2,9979 101u eV 931,5 MeV
1,6022 10c
.
Astfel, dacă se cunoaște defectul de masă în unități atomice de
masă, atunci pentru determinarea energiei de legătură a nucleului se
ia produsul valorii acestuia cu 931,5 MeV. De exemplu, defectul de
masă al izotopului hidrogenului 2
1H , numit și deuteriu, este de
0,00239 u. Atunci energia de legătură a deuteriului este egală cu
2,226 MeV. Aceasta este o energie foarte mare în comparație cu
energiile din domeniul fizicii atomului. Pentru a ioniza hidrogenul
Nucleul atomic. Particule elementare
132
(a „rupe” electronul din legătura sa cu nucleul) este necesară o
energie de 13,5 eV, care este de circa 165 mii ori mai mică decât
energia de legătură a nucleului de hidrogen.
Din (30.6) se observă că energia de legătură Eleg este mai mare la
nucleele cu un număr de masă A mai mare. Pentru caracterizarea
stabilității nucleelor se introduce mărimea fizică numită energie de
legătură pe nucleon
legE
A . (30.8)
Cu cât energia de
legătură pe nucleon este
mai mare cu atât nucleul
este mai stabil. Din
figura 30.1, în care este
reprezentată dependența
energiei de legătură pe
nucleon ε în funcție de
numărul de nucleoni A,
se observă că cele mai
stabile sunt nucleele care
au numărul de nucleoni
în jurul valorii A = 60,
adică din partea centrală
a tabelului periodic al
elementelor chimice.
30.3. Radioactivitatea. Legea dezintegrării radioactive
În anul 1896, fizicianul francez Henri Antoine Becquerel (1852-
1908) a observat că sărurile de uraniu emit continuu niște radiații
invizibile. Aceste radiații puteau pătrunde ușor printr-o foaie de
hârtie neagră, acționând instantaneu asupra plăcii fotografice
Fig. 30.1
133
învelită cu aceasta. În anii următori mai mulți fizicieni, printre care
Maria Sklodowska-Curie (1867-1934), Pierre Curie (1859-1906) și
Ernest Rutherford (1871-1937), au demonstrat experimental că
radiațiile invizibile observate de către Becquerel sunt emise și de
alte elemente cum ar fi toriul, poloniul, radiul, radonul și altele.
Substanțele care emit aceste radiații invizibile au fost numite
radioactive, iar fenomenul de emisie a radiațiilor respective –
radioactivitate.
În anul 1899 Rutherford împreună cu discipolii săi, studiind
experimental natura razelor emise, au clasificat razele după puterea
lor penetrantă în trei tipuri distincte. Primul tip de radiații abia de
putea trece printr-o bucată de hârtie. Cel de-al doilea avea o putere
mai mare și putea trece printr-o folie de aluminiu cu grosimea de
până la 3 mm, iar cel de-al treilea tip de radiații era extrem de
penetrant: el putea fi detectat și după trecerea prin mai mulți
centimetri de plumb. Ei au numit aceste trei tipuri de radiații după
primele trei litere ale alfabetului grecesc: alfa (α), beta (β) și,
respectiv, gamma (γ). A fost studiat, de asemenea, și
comportamentul radiațiilor α, β și γ în
câmp magnetic, observând abaterea lor
diferită după cum este arătat schematic
în figura 30.2: particulele ce formează
razele α sunt încărcate pozitiv, cele ce
constituie razele β sunt încărcate
negativ, iar particulele din razele γ
sunt neutre. S-a constatat că razele α
reprezintă un flux de nuclee de heliu
cu sarcina +2e și masa egală cu masa
nucleului izotopului 4
2 He , razele β
constituie un flux de electroni rapizi, iar razele γ sunt fotoni cu energie
foarte mare, mai mare chiar și decât cea a razelor X.
În anul 1903 Rutherford și Frederick Soddy (1877 – 1956) au
Fig. 30.2
Nucleul atomic. Particule elementare
134
demonstrat experimental că fenomenul radioactivității este însoțit de
transformarea unor elemente chimice în altele. Astfel,
radioactivitatea este transformarea nucleelor unor elemente
chimice în nuclee ale altor elemente cu emisia simultană a
unor particule.
Radioactivitatea însoțită de emisia particulelor α mai este numită
și dezintegrare α, iar cea însoțită de emisia particulelor β – și
dezintegrare β.
Se deosebesc două tipuri de radioactivitate: naturală și
artificială. Radioactivitatea izotopilor instabili existenți în natură
este numită radioactivitate naturală, iar radioactivitatea izotopilor
obținuți pe cale artificială în urma unor reacții nucleare –
radioactivitate artificială.
Dezintegrările radioactive se realizează întotdeauna cu
respectarea legilor de conservare a sarcinii electrice și a numărului
de masă:
;n i n i
i i
Z e Z e A A , (30.9)
unde nZ e și n
A sunt sarcina și, respectiv, numărul de masă ale
nucleului inițial, care se dezintegrează, iar iZ e și i
A sunt sarcinile
și, respectiv, numerele de masă ale componentelor obținute în urma
dezintegrării.
Ca urmare a acestor legi în anul 1913 Frederick Soddy și
Kasimir Fajans (1887 – 1975) au stabilit următoarele reguli de
deplasare, care permit a determina nucleul care se obține în
rezultatul unei dezintegrări concrete:
4 4
2 2X Y He, dezintegrareaA A
Z Z
, (30.10)
0
1 1X Y , dezintegrareaA A
Z Ze
, (30.11)
135
unde XA
Z este nucleul inițial care se dezintegrează (numit și nucleu
părinte), iar Y este simbolul nucleului obținut după dezintegrare
(numit și nucleu fiică).
În rezultatul dezintegrării α nucleul fiică are sarcina cu 2
unități și numărul de masă cu 4 unități mai mici decât cele ale
nucleului părinte.
În rezultatul dezintegrării β– nucleul fiică are numărul de
sarcină cu o unitate mai mare decât a nucleului părinte și
același număr de masă cu acesta.
Nucleele care apar în urma dezintegrării radioactive pot fi
instabile, adică radioactive. Aceasta va conduce la apariția unui șir
de transformări radioactive care se va termina cu un element stabil.
Totalitatea izotopilor care se dezintegrează până la obținerea
izotopului stabil se numește serie sau familie radioactivă.
Izotopii radioactivi naturali formează trei familii radioactive:
familia uraniului 238
92U , familia toriului
232
90Th și familia actiniului
235
89Ac , care după o serie de dezintegrări α și β se termină cu izotopii
stabili ai plumbului 206
82Pb ,
208
82Pb și
207
82Pb , corespunzător. A patra
familie radioactivă cunoscută este familia neptuniului, care începe
de la elementul 237
93Np , obținut pe cale artificială, și se termină cu
bismutul 209
83Bi .
Să analizăm dezintegrările α și β din punct de vedere energetic.
Dezintegrarea α este caracteristică pentru nucleele grele (A > 200 și
Z > 82). De exemplu, pentru dezintegrarea α a radiului, în
conformitate cu (30.10), avem
Nucleul atomic. Particule elementare
136
226 222 4
88 86 2Ra Rn He . (30.12)
Energia cinetică a produselor dezintegrării este
226 222 488 86 2
2 2
Ra Rn HecE m c m m m c . (30.13)
Luând în considerare că 22688 Ra
226,0254um ,
22286 Rn
222,0176um și 42 He
4,0026um , iar unei unități atomice
de masă îi corespunde energia de 931,5 MeV, din (30.13) obținem
Ec ≈ 4,8 MeV. Cea mai mare parte a acestei energii îi revine compo-
nentei mai ușoare a produselor dezintegrării, adică particulei α. S-a
constatat că particulele α în acest caz posedă energii din șirul de
valori 4,8 MeV, 4,6 MeV și 4,3 MeV.
Aceasta demonstrează că energia
nucleului de radon obținut în acest caz
poate lua doar anumite valori discrete,
adică este cuantificată. Dacă energia
particulei α emisă la dezintegrare are
valoare maximă, atunci nucleul radonului
se află în starea fundamentală, iar dacă
energia particulei α ia una dintre valorile
mai mici, radonul se va afla într-o stare
excitată, având energia mai mare decât în starea fundamentală cu
0,2 MeV sau cu 0,5 MeV (vezi figura 30.3). Astfel, dezintegrarea α
a radiului se poate realiza în două etape: mai întâi se formează
nucleul fiică al radonului în una din stările excitate, după care acesta
trece în starea fundamentală cu emisia unei cuante de radiație γ cu
energia de 0,2 MeV sau de 0,5 MeV.
Analizând regula de transformare (30.11), observăm că numărul
de masă A este același atât la nucleul părinte, cât și la nucleul fiică,
Fig. 30.3
137
obținut după dezintegrare. Cu alte cuvinte, ambele nuclee conțin
același număr de nucleoni, însă în nucleul fiică numărul de protoni
este cu unul mai mare decât în nucleul părinte, în timp ce numărul
de neutroni a devenit cu unu mai mic. Rezultă că în interiorul
nucleului are loc transformarea unui neutron într-un proton și un
electron, care este expulzat din nucleu, adică
1 1 0
0 1 1n p e . (30.14)
Energia degajată în rezultatul acestei transformări poate fi calculată
cu ajutorul relației
2
c n p eE m m m c .
Luând valorile maselor neutronului, protonului și electronului
mn = 1,008665 u, mp = 1,007276 u și me = 0,000549 u, obținem
Ec = 0,782 MeV. Această energie ar trebui să fie transmisă în
întregime electronului și rezultă că toți electronii care se obțin în
dezintegrarea β trebuie să posede una și aceeași energie, egală cu
0,782 MeV. Cercetările experimentale,
însă, au demonstrat că spectrul energiilor
acestor electroni este continuu (vezi figura
30.4) și energia lor poate lua orice valori
de la 0 până la 0,782 MeV. Pentru a
explica aceste rezultate, fizicianul austriac
Wolfgang Pauli (1900 – 1958) a presupus
că în dezintegrarea β nucleul radioactiv
emite simultan un electron și o particulă
neutră de masă neglijabilă și spinul 1/2
numită neutrin electronic (se notează 0
0 e ), care preia o parte din
energia procesului de dezintegrare. Ulterior această particulă, care
apare întotdeauna împreună cu electronul, a fost numită antineutrin
Fig. 30.4
Nucleul atomic. Particule elementare
138
electronic (se notează 0
0 e și este o antiparticulă în raport cu
neutrinul). Cu această precizare ecuația (30.14) capătă forma
1 1 0 0
0 1 1 0 , dezintegrareaen p e
. (30.14,a)
Izotopii instabili care se dezintegrează prin emisia electronilor
întotdeauna au mai mulți neutroni decât protoni. Există, însă, și
izotopi instabili, în care numărul protonilor este mai mare decât cel
al neutronilor. La dezintegrarea acestor izotopi în interiorul
nucleului are loc transformarea protonului în neutron cu emisia unui
pozitron (o antiparticulă ce are masa egală cu cea a electronului și
sarcina electrică +e) și a unui neutrin electronic
1 1 0 0
1 0 1 0 , dezintegrareaep n e
. (30.15)
Această dezintegrare a fost numită β+. Regula de deplasare în acest
caz are aspectul
0
1 1X Y , dezintegrareaA A
Z Ze
. (30.11,a)
Trebuie să menționăm că transformarea protonului în neutron se
poate realiza doar dacă protonul se află în interiorul nucleului, când
are loc interacțiunea nucleară dintre particule. În cazul unui proton
liber, procesul (30.15) nu este posibil din punct de vedere energetic,
deoarece neutronul are o masă mai mare decât protonul.
Un alt mecanism al dezintegrării β+ constă în captura unui
electron din stratul K aflat cel mai aproape de nucleu. Din acest
motiv dezintegrarea respectivă mai este numită captură K și se
realizează conform următoarei scheme:
1 0 1 0
1 1 0 0 , captură ep e n K . (30.16)
Particularitatea acestei dezintegrări constă în faptul că nucleul emite
139
doar neutrini 0
0 e . Totodată dispariția electronului din stratul K al
atomului conduce la diverse tranziții electronice între învelișurile lui
și la apariția unei radiații Roentgen caracteristice. Trebuie să
remarcăm că:
în rezultatul dezintegrării β+ şi/sau a capturii K nucleul fiică
are numărul de sarcină cu o unitate mai mic decât al nucleului
părinte și același număr de masă cu acesta.
Este evident că la dezintegrarea nucleelor unui material
radioactiv numărul lor se micșorează. Procesul de dezintegrare a
nucleelor nu se produce instantaneu, ci într-un anumit interval de
timp și este unul aleatoriu. Cu alte cuvinte, este imposibil de prezis
care nucleu anume și când se va dezintegra. Dar putem determina
aproximativ numărul de nuclee din materialul radioactiv care se vor
dezintegra într-un anumit interval de timp. Acest număr este cu atât
mai precis cu cât este mai mare numărul de nuclee radioactive.
Notăm cu N0 numărul de nuclee radioactive la momentul inițial
de timp t0 = 0. Pentru determinarea numărului de nuclee radioactive
N la un moment arbitrar de timp t, vom analiza variația numărului
de nuclee dN într-un interval de timp infinit mic dt. În urma
dezintegrării, numărul de nuclee rămase radioactive se micșorează,
deci dN < 0. Numărul de nuclee dezintegrate |dN| în intervalul de
timp dt este cu atât mai mare, cu cât este mai mare numărul de
nuclee radioactive N și intervalul de timp dt, adică
dN Ndt , (30.17)
unde semnul „minus” arată că numărul de nuclee nedezintegrate se
Nucleul atomic. Particule elementare
140
micșorează, iar coeficientul de proporționalitate λ este numit
constantă radioactivă sau constantă de dezintegrare.
Separând variabilele în (30.17) și integrând după timp în limitele
de la 0 până la t și după numărul de nuclee în limitele de la N0 până
la N, avem
000
ln
N t
N
dN dN Ndt dt t
N N N ,
de unde rezultă legea dezintegrării radioactive
0
tN N e . (30.18)
Numărul de nuclee radioactive se micșorează exponențial cu
timpul.
Pentru descrierea radioactivității izotopilor deseori se folosește o
altă constantă, numită timp sau perioadă de înjumătățire T1/2,
egală cu intervalul de timp în care numărul de nuclee radioactive se
micșorează de două ori. Astfel, la momentul de timp t = T1/2
numărul de nuclee radioactive este N = N0/2. Substituind aceste
valori în (30.18) obținem relația dintre constanta de dezintegrare și
timpul de înjumătățire
1 2 1 200
1 2
ln 22
2
T TNN e e
T
. (30.19)
Cu ajutorul relației (30.19), din (30.18), pentru legea
dezintegrării radioactive obținem o expresie echivalentă
1 2
0 2
t
TN N
. (30.20)
Dependența exponențială a numărului nucleelor radioactive de
141
timp exprimată prin legea
(30.18) sau (30.20) este
reprezentată în figura 30.5.
Se observă că micșorarea
numărului de nuclee radio-
active în funcție de timpul de
înjumătățire este destul de
rapidă, însă diferă foarte
mult de la un element la
altul. De exemplu, numărul
nucleelor de 215
84 Po se
înjumătățește în timpul t =
= T1/2 = 1,8 μs, iar nucleele
de 238
92 U – în timpul t = T1/2 = 4,5·109 ani!
Radioactivitatea mai poate fi caracterizată, de asemenea, și cu
timpul mediu de viață al nucleului radioactiv:
0 0
0 0
t
tt
tN t dt te dt
N t
N t dt e dt
. (30.21)
Calculând integralele din (30.21), pentru timpul mediu de viață al
nucleului radioactiv obținem
1
. (30.22)
O caracteristică importantă a materialelor radioactive este
activitatea lor, care reprezintă viteza de dezintegrare sau numărul
de nuclee dezintegrate într-o unitate de timp:
Fig. 30.5
Nucleul atomic. Particule elementare
142
0 0
t tdN dA N e N e N
dt dt
. (30.23)
Din (30.23) rezultă că activitatea inițială
0 0A N (30.24)
și
0
tA A e . (30.25)
Activitatea unui material radioactiv se micșorează exponențial în
timp.
Unitatea activității în Sistemul Internațional este Becquerel (Bq)
și reprezintă numărul de dezintegrări într-o secundă
dezint.
1 Bq 1s
,
dar se mai utilizează și unitatea extra sistem numită Curie (Ci):
1 Ci = 3,7·1010 Bq. Activitatea de 1 Ci este foarte mare. De
exemplu, materialele radioactive utilizate în laboratoare au
activitatea de ~ 1 µCi.
30.4. Reacții nucleare
La interacțiunea diferitor nuclee și particule rapide cu alte nuclee
au loc transformări, în urma cărora se produce rearanjarea
nucleonilor și formarea de nuclee noi. Aceste transformări
constituie reacțiile nucleare. O reacție nucleară poate fi
reprezentată cu ecuația următoare
a X Y b , (30.26)
unde cu X este notat nucleul primar, numit și nucleu-țintă, iar cu a
– particula–proiectil. Produsele reacției sunt nucleul rezidual Y și
143
particula sau particulele rezultate din reacție b.
Partea stângă a ecuației (30.26) este numită stare inițială, iar
partea dreaptă – stare finală a reacției. Este necesar să menționăm că
în starea finală pot exista și mai mult de două produse. Totodată,
dacă particula–proiectil a este un nucleu sau o particulă încărcată
pozitiv, atunci pentru a pătrunde în raza de acțiune a nucleului–țintă
(la o distanță de aproximativ 10–15 m) ea trebuie să posede
suficientă energie cinetică pentru a depăși forțele de respingere
electrică din partea sarcinii pozitive a acestuia. Dacă, însă,
particula–proiectil este neutră, atunci forțele electrice de respingere
nu acționează și ea poate pătrunde în raza de acțiune a nucleului-
țintă chiar și având viteză mică.
Prima reacție nucleară a fost realizată în condiții de laborator în
anul 1919 de către Rutherford folosind în calitate de particulă-
proiectil nucleele de heliu 4
2 He (particule α)
14 4 17 1
7 2 8 1N He O p . (30.27, a)
Tot cu ajutorul reacțiilor nucleare în anul 1932 James Chadwick a
descoperit neutronul în rezultatul reacției
9 4 12 1
4 2 6 0Be He C n , (30.27, b)
iar în anul 1934 soții Irene și Frederick Joliot-Curie au descoperit
radioactivitatea artificială, bombardând o folie de aluminiu cu
particule α
27 4 30 1
13 2 15 0Al He P n . (30.27, c)
O reacție nucleară se realizează numai dacă se respectă legile de
conservare: a numărului de nucleoni (numărului de masă), a sarcinii
electrice, a impulsului, a energiei și a momentului impulsului. Din
reacțiile (30.27, a - c) se observă că respectarea legilor de
Nucleul atomic. Particule elementare
144
conservare a numărului de nucleoni și a sarcinii electrice este
evidentă: suma numerelor de masă (sarcinilor) ale nucleului-țintă și
particulei-proiectil este egală cu suma numerelor de masă
(sarcinilor) ale nucleului rezidual și particulelor rezultate din reacție.
O caracteristică importantă a reacțiilor nucleare este energia de
reacție. Aceasta se exprimă prin diferența dintre masa totală a
particulelor care intră în reacție (X și a) și masa totală a particulelor
ce rezultă din reacție (Y și b). Astfel, pentru energia de reacție,
notată cu Q, în corespundere cu relația dintre masă și energie
E = mc2, se obține
2
X a Y bQ m m m m c . (30.28)
Din (30.28) rezultă că energia de reacție poate lua valori atât
pozitive, cât și negative. Dacă Q > 0, în reacția nucleară se degajă
energie și ea este numită exoenergetică, iar dacă Q < 0 energia este
absorbită și reacția este numită endoenergetică.
Din figura 30.1, se observă că energia de legătură pe nucleon
pentru nucleele cu numărul de masă A ≥ 200 este de aproximativ
7,5 MeV/nucleon, iar pentru cele cu A ≈ 100 este de aproximativ
8,5 MeV/nucleon. Rezultă că dacă un nucleu greu (A ≥ 200) cu o
energie de legătură pe nucleon de aproximativ 7,5 MeV/nucleon
s-ar diviza în două nuclee de aproximativ aceeași mărime, atunci
energia de legătură pe nucleon a fiecăruia ar crește până la
aproximativ 8,5 MeV/nucleon. Astfel, fiecare dintre nucleele finale
are o energie de legătură pe nucleon cu 1 MeV/nucleon mai mare
decât cea a nucleului inițial și la descompunerea unui nucleu greu
(A ≥ 200) energia totală eliberată va fi de aproximativ 200 MeV.
Procesul în care un nucleu greu se împarte în două nuclee mai
ușoare a fost numit fisiune nucleară. Nucleele finale sunt numite
145
produse ale fisiunii. Orice proces de fisiune nucleară, de obicei,
este însoțit de emisia câtorva neutroni. Procesele de fisiune se pot
realiza spontan sau pot fi induse de neutroni.
Procesul de fisiune spontană se realizează în cazul unor nuclee
grele (Fig. 30.6) și poate fi reprezentat prin ecuația
1 2
1 2
1
1 2 0X Y YA AA
Z Z ZN n , (30.29)
unde Y1 și Y2 sunt produse ale fisiunii, iar N
este numărul de neutroni emiși (de obicei
cuprins între 0 și 3). Un nucleu greu se poate
descompune în diferite combinații ale
produselor de fisiune, dar întotdeauna cu
respectarea legilor de conservare ale numărului
de masă și de sarcină, A = A1 + A2 + N și,
respectiv, Z = Z1 + Z2. De exemplu, pentru
izotopul de uraniu–238 două dintre
posibilitățile de fisiune spontană sunt:
238 134 102 1
92 52 40 0U Te Zr 2 n ,
238 134 102 1
92 50 42 0U Sn Mo 2 n .
Procesul de fisiune a nucleelor grele se poate realiza și prin
bombardarea lor cu ajutorul neutronilor lenți. Acest proces este
numit fisiune nucleară indusă de neutroni și poate fi reprezentat
prin ecuația
1 2
1 2
1 1
0 1 2 0X Y YA AA
Z Z Zn N n (30.30)
asemănătoare cu (30.29). Nucleul obținut în urma captării
neutronului lent se află în stare excitată și posedă un surplus de
Fig. 30.6
Nucleul atomic. Particule elementare
146
energie. Datorită loviturii neutronului și a mișcării nucleonilor,
nucleul capătă o formă alungită (Fig. 30.7). Întrucât forțele nucleare
au raza de acțiune mică, rezultanta lor la interacțiunea nucleonilor
aflați la extremitățile alungirii se micșorează. În același timp forțele
de interacțiune electrică, având raza de acțiune mare, se măresc. Ca
rezultat, nucleul se deformează până la fisiunea lui în două nuclee
noi cu emisia a doi sau trei neutroni (Fig. 30.7). Procesul de fisiune
indusă de neutroni, ca și cel de fisiune spontană, se realizează prin
diferite reacții nucleare. De exemplu, trei dintre reacțiile de fisiune a
nucleului de uraniu-235 au aspectul
235 1 144 89 1
92 0 56 36 0U Ba Kr 3n n ,
235 1 93 141 1
92 0 37 55 0U Rb Cs 2n n ,
235 1 131 104 1
92 0 53 39 0U I Yn n .
Să considerăm un număr mare de nuclee de uraniu-235 și un
singur neutron lent care declanșează reacția de fisiune descrisă cu
ecuația (30.30). Presupunem că în această reacție de fisiune sunt
emiși doi neutroni. Aceștia pot fi absorbiți de alte două nuclee de
uraniu, determinând fisiunea lor și emisia deja a patru neutroni. La
rândul lor, acești patru neutroni vor induce apoi fisiunea altor patru
Fig. 30.7
147
Fig. 30.8
nuclee, generând opt neutroni, și așa mai departe (Fig. 30.8). Dacă
fiecare neutron induce fisiunea unui alt nucleu de uraniu, atunci la
fiecare etapă numărul de nuclee care fisionează se dublează.
Reacția în care neutronii rezultați din fisiunea nucleelor
stimulează fisiunea altor nuclee este numită reacție în lanț.
Energia eliberată într-o reacție nucleară în lanț este enormă,
mult mai mare decât energia din orice reacție chimică. Pentru a
estima valoarea acestei energii vom lua în considerare că un
neutron este emis de un nucleu și apoi absorbit de altul într-un
timp de aproximativ 10–4 s. Astfel, în decurs de o sutime de
secundă se vor realiza 100 de etape ale fisiunii, adică se vor
descompune 1 + 2 + 22 + 23 + ··· + 2100 = 2101 – 1 ≈ 2,5·1030 nuclee.
Nucleul atomic. Particule elementare
148
Întrucât la descompunerea unui nucleu de uraniu-235 se degajă o
energie de 185 MeV, în primele 0,01 s ale reacției de fisiune în lanț
a uraniului-235 se va degaja o energie de aproximativ 2,5·1030 ç
185·106 ç 1,6·10–19 J ≈ 7,4·1019 J. Această cantitate de energie este
echivalentă cu detonarea a aproximativ 18·109 tone de trotil!
Pentru realizarea reacției nucleare în lanț este necesară o
cantitate suficientă de 235
92 U . Uraniul natural, însă, conține doar
0,7% de izotop 235
92 U , restul de 99,3% constituind izotopul 238
92 U ,
care nu prezintă fisiune indusă când este bombardat cu neutroni
lenți. Din această cauză, folosind diverse metode de separare a
izotopilor se obține uraniu bogat în izotopul 235
92 U , numit uraniu
îmbogățit.
Masa minimă de uraniu îmbogățit la care se produce reacția
nucleară în lanț se numește masă critică.
Forma geometrică optimă a materialului radioactiv destinat
pentru realizarea procesului de fisiune este sfera. S-a constatat că
masa critică a sferei din uraniu îmbogățit constituie aproximativ 50
kg, iar raza ei este de numai 8,6 cm. Este evident, că izotopul 235
92 U
poate fi păstrat doar în cantități mai mici decât masa critică.
Cea mai simplă modalitate de realizare a reacției de fisiune în
lanț este reacția nedirijată, care se produce în cazul bombei atomice
(mai corect a armei nucleare). În acest caz două fragmente de
uraniu-235 cu masele mai mici decât cea critică, dar suma lor fiind
mai mare decât aceasta, se află separat în interiorul unui înveliș
metalic. La momentul declanșării reacției de fisiune fragmentele de
uraniu se contopesc, formându-se un corp cu masa mai mare decât
cea critică și se produce explozia nucleară.
149
Pentru utilizarea energiei nucleare în scopuri pașnice este necesar
ca ea să fie eliberată nu instantaneu ca în cazul armei nucleare, dar
dozat, în funcție de necesități. Pentru aceasta reacția nucleară în lanț
trebuie dirijată, adică procesul de fisiune trebuie să se producă în
mod controlat. Acest control al fisiunii nucleelor este posibil de
realizat în reactorul nuclear, a
cărui schemă este prezentată
în figura 30.9.
Elementele de bază ale
unui reactor nuclear sunt: I –
zona activă (1) și (2); II –
elementele de dirijare și
protecție (3); III – carcasa
(4), (5), (6). Zona activă a
reactorului constă dintr-un
sistem de bare (1) de uraniu
îmbogățit, plasate într-un
mediu (2) constituit din apă,
apă grea, grafit sau un
amestec al acestora. Mediul respectiv a fost numit moderator și are
rolul de a micșora vitezele neutronilor emiși la diferite etape ale
fisiunii. La mișcarea prin moderator neutronii pierd o parte din
energia lor și devin lenți, iar ca rezultat, procesul de fisiune devine
mai eficient. Funcționarea reactorului este dirijată cu ajutorul
barelor de control (3) confecționate dintr-un material care
absoarbe puternic neutronii lenți. Dacă barele sunt introduse
complet în zona activă, neutronii sunt absorbiți într-un număr atât
de mare, încât reacția în lanț nu se produce. Pentru inițierea
acesteia, barele de control sunt scoase până când reacția se produce
în regim staționar. Pentru protecție în caz de urgență (de exemplu,
când accidental intensitatea reacției în lanț brusc se mărește) barele
de control sunt introduse în zona activă în mod automat și reacția se
Fig. 30.9
Nucleul atomic. Particule elementare
150
întrerupe. Carcasa reactorului este alcătuită din mai multe învelișuri.
Învelișul reflector (4) este confecționat dintr-un material care
reflectă neutronii și îi împiedică să părăsească zona activă. Învelișul
(5) în care se află zona activă și prin interiorul căruia circulă agentul
termic preia energia degajată în urma fisiunii nucleelor. Învelișul
protector de radiație (6) este confecționat din beton armat care
previne scurgerea în mediul exterior a radiațiilor care însoțesc
reacția în lanț a materialului fisionabil.
Revenind la figura 30.1, observăm că energia de legătură pe
nucleon crește odată cu mărirea numărului de masă A până la
aproximativ A = 60. Astfel, la fuziunea (contopirea) a aproape
oricare două nuclee ușoare se va forma un nucleu cu A < 60 și se va
degaja o anumită cantitate de energie, adică are loc o reacție
exoenergetică.
Într-o reacție de fuziune nucleară, două sau mai multe nuclee
ușoare se contopesc pentru a forma un nucleu mai mare.
În reacțiile de fuziune energia se degajă din același motiv ca și
reacțiile de fisiune: energia de
legătură pe nucleon după
reacție este mai mare decât
înainte de producerea acesteia.
Să analizăm în calitate de
exemplu reacția de fuziune a
nucleelor de deuteriu 2
1H și
de tritiu 3
1H (fig. 30.10):
2 3 4 1
1 1 2 0H H He n . (30.31)
Folosind relația (30.28) și ținând seama de faptul că 1 u·c2 ≈ 931,5 MeV,
calculăm energia degajată în această reacție
Fig. 30.10
151
2 3 4 11 1 2 0
2
H H He nQ m m m m c
2,01355 3,01550 4,00150 1,00866 931,5 MeV 17,6 MeV.
Această energie revine la 5 nucleoni și, deci, în reacția de fuziune
(30.31) energia de legătură pe nucleon variază cu 17,6 MeV:5
nucleoni ≈ 3,5 MeV/nucleon. Comparând această valoare a energiei
degajate pe nucleon în reacția de fuziune cu energia degajată pe
nucleon în reacția de fisiune a uraniului (185 MeV:235 nucleoni) de
aproximativ 0,8 MeV/nucleon, constatăm că în reacția de fuziune
energia degajată pe nucleon este de aproximativ 4 ori mai mare
decât în cazul reacției de fisiune a uraniului. Această comparație
demonstrează cât de eficiente sunt reacțiile de fuziune nucleară din
punct de vedere energetic, cu atât mai mult că rezervele de deuteriu
din apele mărilor și oceanelor sunt practic inepuizabile. Tritiul nu
există în natură, însă poate fi obținut prin intermediul reacției
nucleare
6 1 4 3
3 0 2 1Li He Hn . (30.32)
Totodată, trebuie menționat avantajul ecologic al reacțiilor de
fuziune nucleară, care se realizează fără formarea deșeurilor
radioactive.
Realizarea practică a reacțiilor de fuziune este pe atât de dificilă
pe cât de avantajoase și efective sunt acestea. Pentru fuziunea
nucleelor este necesar ca ele să se apropie unul de altul la distanțe,
la care se manifestă forțele de atracție nucleară, adică mai mici de
10–14 m. Însă până la atingerea acestei distanțe între nucleele
încărcate cu sarcini pozitive acționează forțele de respingere
electrostatică, pentru învingerea cărora este necesară energia:
29 192
13
14
9 10 1,6 10J 0,23 10 J
10
ee
k eW
r
.
Nucleul atomic. Particule elementare
152
Nucleele vor avea o astfel de energie la temperaturi foarte înalte.
Într-adevăr, energia cinetică medie a mișcării de translație este
proporțională cu temperatura 3
2E kT și vor învinge forța de
respingere electrostatică doar nucleele ce vor avea energia cinetică
medie eE W sau temperatura
13
9
23
2 2 0,23 1010 K
3 3 1,38 10
eWT
k
.
Reacțiile de fuziune sunt posibile și la temperaturi relativ puțin mai
mici, de ordinul 107 K, deoarece după cum rezultă din funcția de
distribuție Maxwell1 există o fracțiune mică de protoni cu energii
cinetice mult mai mari decât valoarea medie, care declanșează
reacția de fuziune. Totodată trebuie de luat în considerație şi efectul
tunel, care, de asemenea, conduce la posibilitatea realizării fuziunii
şi la temperaturi mai mici (vezi capitolul 27.). Datorită temperaturilor
foarte înalte la care au loc aceste reacții, ele au fost numite reacții
de fuziune termonucleară sau sinteză termonucleară. În natură
asemenea reacții se produc doar în stele, unde există temperaturi
foarte înalte (de exemplu, în centrul Soarelui temperatura este
aproximativ de 15 milioane de grade). Întrucât masele nucleelor
rezultate din reacție sunt mai mici decât ale celor care fuzionează,
masa stelelor se micșorează. De exemplu, masa Soarelui se
micșorează în fiecare secundă cu aproximativ 4 milioane de tone! Cu
toate acestea activitatea proceselor de fuziune este posibilă încă timp
de 100 de miliarde de ani!
În condiții terestre reacția de fuziune termonucleară nedirijată are
loc în bomba cu hidrogen sau bomba termonucleară. Substanța
1 A. Rusu, S. Rusu. Curs de fizică. Ciclu de prelegeri. Vol.2. Bazele fizicii
moleculare și ale termodinamicii. Chișinău, Tehnica-UTM, 2014, 117p.
153
explozivă a acesteia este deuteridul de litiu (LiD), iar în calitate de
focos este folosită bomba atomică (nucleară). După explozia ei se
obține un flux de neutroni rapizi cu energii foarte mari care
declanșează reacția de fisiune a litiului (30.32), în urma căreia se
formează nucleele de tritiu. Astfel, existența deuteriului și a tritiului
la temperaturi foarte înalte declanșează reacția de fuziune
termonucleară (30.31), adică explozia bombei termonucleare cu
degajarea unor energii enorme.
Problema realizării sintezei termonucleare dirijate este mult mai
dificilă și până în prezent încă nu este rezolvată. Însă importanța ei
pentru omenire ca mijloc de producere a energiei utile ar putea fi
soluția problemelor energetice globale. Din acest motiv sunt
necesare eforturi masive atât științifice, cât și financiare. În anul
2005, Uniunea Europeană, SUA, China, Rusia, Japonia, India și
Coreea de Sud au convenit să finanțeze și să construiască împreună
un reactor termonuclear experimental la Cadarache, în sudul
Franței. În prezent lucrările de construcție a reactorului continuă, iar
primele experimente privind fuziunea termonucleară reglabilă sunt
preconizate pentru anul 2025.
30.5. Noțiune despre particule elementare
Problema identificării constituenților primari ai materiei a
preocupat filosofii și savanții tuturor timpurilor.
Partea constitutivă a materiei care nu mai poate fi descompusă
în unități mai simple se numește particulă elementară.
Cu aproximativ 400 de ani î. Hr. filosofii greci Democrit și
Leucip au ajuns la concluzia că materia este compusă din particule
indivizibile pe care le-au numit atomi. Un timp îndelungat, mai
exact până spre sfârșitul secolului 19, atomul era considerat cel mai
Nucleul atomic. Particule elementare
154
mic constituent indivizibil al materiei, adică o particulă elementară.
Însă descoperirile electronului de către J.J. Thomson (1897), apoi a
protonului de către E. Rutherford (1919) și a neutronului de către
J. Chadwick (1932) au demonstrat că atomul prezintă o structură
complicată. Se considera că aceste particule împreună cu fotonul ca
purtător al interacțiunii electromagnetice reprezintă constituenții
primari din care poate fi construită întreaga lume materială. Protonii
și neutronii legați în nuclee împreună cu electronii formează atomii.
Aceștia, la rândul lor, asociindu-se în molecule, formează substanța.
Foarte curând însă s-a constatat că există și alte particule
elementare.
Stabilitatea nucleelor atomice sugerează că trebuie să existe o
forță puternică de atracție între nucleoni cu o rază de acțiune foarte
mică, de ordinul dimensiunilor nucleului. În anul 1934, fizicianul
nipon Hideki Yukawa (1907–1981) a prezis existența unei noi
particule elementare care trebuia să joace rolul de purtător al
interacțiunii tari de atracție dintre nucleoni tot așa cum fotonul era
un purtător al interacțiunii electromagnetice între particulele
încărcate. Calculele teoretice efectuate de Yukawa, indicau pentru
masa noii particule o valoare intermediară între masa electronului și
cea a protonului, de aproximativ 250 de mase ale electronului. Din
această cauză particula prezisă a căpătat denumirea de mezon (din
gr. mesos „mijlociu, intermediar”).
Ipoteza despre existența mezonului a condus la descoperirea
experimentală a noi particule elementare. În anul 1936, fizicianul
american Carl David Anderson (1905–1991) a descoperit în razele
cosmice o particulă cu masa de aproximativ 207 ori mai mare decât
masa electronului me. Însă această particulă, numită miuon sau
mezon µ, nu era mezonul lui Yukawa, deoarece, după cum s-a
constatat, ea nu participa la interacțiunea dintre nucleoni. Miuonul
poate avea atât sarcină negativă (µ–), cât și pozitivă (µ+). După
155
proprietățile sale, miuonul este un electron foarte greu, instabil, cu
timpul mediu de viață de aproximativ 2,2·10–6 s.
Mezonul lui Yukawa a fost descoperit mai târziu, în anul 1947,
de către fizicianul englez Cecil Franck Powell (1903–1969)
împreună cu colaboratorii săi César Lattes și Giuseppe Occhialini
tot în razele cosmice. El a fost numit mezon π sau pion și există în
trei stări: cu sarcina pozitivă (π+), negativă (π–) și nulă (π0). Pionii
π+ și π– au masa de ≈ 273me, iar π0 – de ≈ 264me. Tot sub
conducerea lui Powell a fost descoperit și mezonul K, numit și
kaon, care, de asemenea, este implicat în interacțiunea dintre
nucleoni. S-a constatat că toți mezonii sunt particule elementare
instabile, care se dezintegrează și se transformă în alte particule.
În anul 1956 fizicienii americani de origine chineză Tsung-Dao
Lee și Chen Ning Yang au confirmat experimental ipoteza lui W.
Pauli (vezi p. 30.3) despre existența neutrinului – particulă
elementară neutră din punct de vedere electric, cu o putere de
penetrare extrem de mare datorită masei sale foarte mici. Sunt
cunoscute trei tipuri de neutrin: neutrinul electronic νe; neutrinul
miuonic νμ și neutrinul taonic ντ.
Un rol deosebit în studiul particulelor elementare îl au
acceleratoarele. Fasciculele de particule din acceleratoarele
contemporane pot fi dirijate după necesități și posedă o gamă largă
de energii. La ciocnirea particulelor de energie înaltă se obțin
particule noi, tot așa cum la ciocnirea unui electron cu un pozitron
iau naștere doi fotoni. Dezvoltarea tehnicii de construcție a
acceleratoarelor de particule în care se produc fluxuri de diverse
particule cu energii mari, au avansat și posibilităţile experimentale
de studiu ale particulelor elementare. Au fost descoperite particule,
masa cărora este mai mare decât cea a protonilor și neutronilor. De
exemplu, masa hiperonului Ω– este de 3273me ≈ 1,78mp, iar masa
Nucleul atomic. Particule elementare
156
taonului τ este de 3478me ≈ 1,89mp.
Majoritatea particulelor elementare sunt instabile, particule
stabile existând doar câteva: fotonul, electronul, neutrinul și
protonul. Neutronul liber are durata medie de viață de aproximativ
103 s.
În anul 1928, fizicianul englez Paul Dirac a elaborat teoria
cuantică relativistă a mișcării electronului în atom. Această teorie
nu numai că a confirmat rezultatele experimentale cunoscute, dar și
a demonstrat că trebuie să existe o particulă elementară, care posedă
caracteristici identice cu cele ale electronului, însă cu sarcină opusă,
adică pozitivă. Generalizând raționamentele, Dirac a ajuns la
concluzia că trebuie să existe nu numai electroni pozitivi, dar și
protoni cu sarcină negativă. Aceste particule au fost numite
antiparticule. În teoria fizicii particulelor elementare se consideră
că pentru toate particulele există și antiparticule corespunzătoare,
chiar dacă în unele cazuri (de exemplu, fotonul) particulele și
antiparticulele coincid.
Prima antiparticulă – electronul pozitiv, numit pozitron (de la lat.
pozitivus „pozitiv”) și notat cu simbolul e+ – a fost observată pentru
prima dată în anul 1932 de către fizicianul american C. Anderson,
studiind traiectoriile particulelor din razele cosmice înregistrate în
camera Wilson. Ulterior au fost descoperite și alte antiparticule:
antimiuonul µ+ (1936), antipionul π– (1947) și antineutrinul
electronic e (1953), antiprotonul p (1955) și antineutronul n
(1956). Deseori antiparticula se notează cu același simbol ca și
particula, dar cu tildă.
Reieșind din teoria sa, Paul Dirac a prezis existența a două
procese noi: anihilarea și formarea de perechi, care ulterior au
fost detectate și experimental.
157
Procesul, în urma căruia interacțiunea unei particule
elementare cu antiparticula sa se transformă în fotoni sau în
alte particule elementare se numește anihilare.
Reacția de anihilare electron–pozitron însoțită de apariția a doi
fotoni (a două cuante γ) are aspectul
– e e , (30.33)
iar cea de formare a perechii electron-pozitron –
–1nucleu 1nucleue e . (30.34)
Atât energia minimă a fotonilor creați în urma anihilării, cât și
energia minimă necesară pentru formarea perechii electron–pozitron
este aceeași: Emin = 2mec2 ≈ 2·0,51 MeV = 1,02 MeV. Este de
menționat că formarea perechii electron–pozitron necesită prezența
unui nucleu sau a unei alte particule încărcate pentru a asigura
conservarea nu numai a energiei dar și a impulsului.
Din relațiile (30.33) și (30.34) rezultă că procesul de formare a
perechilor este invers celui de anihilare. Evident că pentru formarea
altor perechi de particule este necesară o energie minimă mai mare,
egală cu dublul energiei de repaus a particulei respective. În
procesul de anihilare, aceeași energie va fi eliberată sub formă de
radiație γ. De exemplu, în cazul perechii proton–antiproton această
energie este de 1867 MeV, adică de aproximativ 1830 de ori mai
mare decât în cazul perechii electron–pozitron.
Proprietățile și comportamentul particulelor elementare pot fi
cercetate mult mai eficient în procesele de interacțiune. În natură
există patru tipuri de interacțiuni care nu se reduc la altele mai
simple. Acestea sunt interacțiunile tari (nucleare), electromagne-
tice, slabe și gravitaționale. Ele au fost numite interacțiuni
fundamentale.
Nucleul atomic. Particule elementare
158
Interacțiunile electromagnetice și gravitaționale sunt cunoscute
din fizica clasică. Ambele se caracterizează printr-o dependență
invers proporțională cu pătratul distanței dintre particule și direct
proporțională cu produsul dintre sarcinile electrice într-un caz și
masele lor în alt caz. De aceea în lumea particulelor elementare de
mase extrem de mici, forțele de interacțiune gravitațională sunt
neglijabile. De exemplu, forța de respingere electrică dintre doi
protoni este de aproximativ 1036 ori mai mare decât forța de atracție
gravitațională dintre aceștia.
Interacțiunile tari sunt cele mai puternice dintre toate cele
cunoscute. Ele sunt responsabile de legătura dintre protoni și
neutroni în nucleele atomice. Toate procesele în care sunt antrenate
interacțiunile tari se realizează cu viteze foarte mari, adică se produc
într-un interval de timp foarte mic, de ordinul 10–22 s. Se manifestă
la distanțe de ordinul 10–15 m și mai mici, de aceea mai sunt numite
forte cu rază mică de acțiune. La asemenea distanțe interacțiunile
tari sunt de sute de ori mai puternice decât cele electromagnetice.
Interacțiunile slabe sunt cele mai lente dintre toate
interacțiunile care au loc în lumea particulelor elementare și se
realizează în intervale de timp de ordinul 10–10 s și mai mari. Raza
de acțiune a forțelor din domeniul interacțiunilor slabe este foarte
mică, de ordinul 10–18 m. Prin intermediul acestei interacțiuni are
loc dezintegrarea beta, precum și dezintegrarea multor particule
instabile.
S-a constatat că cele patru interacțiuni fundamentale se
realizează în conformitate cu unul și același mecanism – prin
schimbul de anumite particule purtătoare ale interacțiunii
respective. Din această cauză ele au fost numite interacțiuni de
schimb. Interacțiunea electromagnetică dintre particulele încărcate
electric are loc prin intermediul schimbului de fotoni – cuante ale
câmpului electromagnetic.
159
Teoria interacțiunii de schimb a fost confirmată și pentru
celelalte interacțiuni. Interacțiunile tari sunt intermediate de niște
particule fără masă de repaus numite gluoni (din eng. glue - clei).
Descrierea teoretică a interacțiunilor tari și a gluonilor care le
mediază este dată de cromodinamica cuantică. S-a constatat că
există 8 tipuri (sau culori) de gluoni.
În anii 60 ai secolului trecut a fost demonstrată teoretic existența
a trei particule grele, numite bosoni vectoriali, care aveau rolul de
purtători ai interacțiunilor slabe. Acești trei bosoni mediatori, doi
dintre care W și –W au sarcini electrice opuse, iar al treilea Z este
neutru au fost descoperiți experimental în anul 1983, astfel
confirmându-se caracterul interacțiunii de schimb și pentru aceștia.
În teoria contemporană a gravitației se demonstrează că și
interacțiunea gravitațională se manifestă ca o interacțiune de
schimb, purtătorul acesteia fiind gravitonul – cuantă a câmpului
gravitațional, care, asemenea fotonului, este o particulă fără masă de
repaus. Din cauza intensității foarte mici a interacțiunii
gravitaționale, până în prezent gravitonul încă nu a fost detectat
experimental. Totodată nici teoria cuantică a gravitației încă nu este
finalizată.
În funcție de interacțiunea fundamentală realizată, în procesele
ce se realizează cu participarea particulelor elementare, ele se
împart în trei clase: fotoni, leptoni și hadroni.
Din clasa fotonilor face parte o singură particulă elementară –
fotonul. El nu are sarcină electrică, dar este purtătorul forțelor de
interacțiune electromagnetică. Fotonul este stabil, are timpul de
viață infinit de mare până la interacțiunea cu alte particule
elementare. Prin intermediul fotonilor se obține cea mai mare parte
din informația despre natură: de la stările energetice ale atomilor și
moleculelor până la radiația emisă de obiectele din spațiul cosmic.
În stare liberă fotonul poate fi considerat cea mai răspândită
Nucleul atomic. Particule elementare
160
particulă elementară din Univers.
Particulele care nu participă la procesele de interacțiune tare se
numesc leptoni.
Clasa leptonilor conține 12 particule elementare (6 particule și 6
antiparticule), care constituie 3 generații – electronul e– cu neutrinul
electronic e , miuonul µ– cu neutrinul miuonic și taonul τ– cu
neutrinul taonic . Atât miuonul, cât și taonul sunt particule
instabile.
Cercetările experimentale și teoretice efectuate până în prezent
demonstrează că leptonii nu au structură internă. De aceea cei 12
leptoni, 6 particule (electronul, miuonul și taonul cu neutrinii lor) și
6 antiparticule respective, mai sunt numite particule fundamentale.
Cea mai numeroasă clasă a particulelor elementare (peste 300) o
constituie hadronii (de la gr. hadros „tare, puternic”). Procesele de
transformare a hadronilor se realizează prin intermediul tuturor
interacțiunilor fundamentale, însă la distanțe mici predomină
interacțiunile tari. Cu excepția protonului, care este o particulă
stabilă, toți hadronii sunt instabili. Dacă dezintegrarea hadronilor se
produce datorită interacțiunilor electromagnetice sau slabe, timpul
mediu de viață este mai mare de 10–20 s, iar dacă pe seama celor
tari, atunci în urma dezintegrării apar particulele numite rezonanțe
cu timpul mediu de viață de ordinul 10–23 s.
Hadronii se împart în mezoni (de la gr. mesos „mediu”) și
barioni (de la gr. barys „greu”). La rândul lor, barionii se împart în
nucleoni (protonul și neutronul) și hiperoni (particule mai grele
decât nucleonii).
În anul 1964, fizicienii americani Murray Gell-Mann (1929 –
2019) și George Zweig (n. 1937) au emis ipoteza că hadronii sunt
particule compuse. Conform acesteia, nucleonii, de exemplu, sunt
compuși din trei particule mai mici încărcate electric, numite
161
quarkuri. Existența lor a fost confirmată în anul 1969 în urma
experimentului similar celui al lui Rutherford, care prin împrăștierea
particulelor α a demonstrat existența nucleului. La bombardarea
protonilor și a neutronilor cu electroni accelerați până la energii de
50 GeV, s-a constatat existența a trei sarcini punctiforme ce se
deplasează liber în interiorul lor. Aceste sarcini punctiforme
(particule) sunt quarkurile.
Una dintre particularitățile caracteristice ale quarkurilor este
sarcina electrică fracționară. S-a constatat că quarkurile pot avea
doar două valori pozitive sau negative ale sarcinii. Într-adevăr, dacă
notăm cu q1 și q
2 valorile posibile ale sarcinilor electrice ale
quarkurilor, atunci luând în considerare că protonul are sarcina
electrică +e, iar neutronul este particulă neutră, avem:
1 2
1 2
2 ,
2 0.
q q e
q q
Soluțiile acestui sistem de ecuații sunt:
1 2
2 1,
3 3q e q e .
Quarkul cu sarcina +2e/3 a
fost numit up (sus) și notat cu
u, iar cel cu sarcina –e/3 –
down (jos) și notat cu d.
Evident, antiquarkul u are
sarcina –2e/3, iar antiquarkul
d – sarcina +e/3. Astfel, structura protonului poate fi prezentată sub
forma uud, iar a neutronului - udd (fig. 30.11). În ambele cazuri
quarkurile se află sub influenţa interacțiunii tari care se realizează
prin intermediul gluonilor g.
Teoria quarkurilor permite reprezentarea tuturor hadronilor prin
Fig. 30.11
Nucleul atomic. Particule elementare
162
diferite combinații de quarkuri și antiquarkuri. De exemplu, pionul
constă dintr-un quark u și un antiquark d , iar antipionul are
structura ud . Pentru reprezentarea altor particule elementare a fost
necesară introducerea a încă două generații de quarkuri (prin
analogie cu generațiile de leptoni). Quarkurile din aceste generații
au fost numite charm (farmec) notat cu c, strange (ciudat) notat cu
s, top (vârf) notat cu t și bottom (bază) notat cu b. Mai mult ca atât,
s-a constatat că pentru explicarea structurii hadronilor, quarkurile
trebuie să existe sub trei forme, fiecăreia dintre ele atribuindu-i-se
un număr cuantic de sarcină de culoare, sau mai simplu culoare.
Sarcinile de culoare determină o anumită interacțiune a quarkurilor
fiind numite: red (roșu), green (verde) și blue (albastru). Evident,
antiquarkurile sunt caracterizate de anticulori. Menționăm că aceste
denumiri nu au nimic în comun cu spectrul de culori din domeniul
vizibil.
Deși teoria quarkurilor a fost confirmată experimental, până în
prezent încă nu s-a observat nici un quark în stare liberă. Cercetările
experimentale referitor la interacțiunea dintre quarkuri au evidențiat
proprietăți excepționale ale acestora. S-a constatat că interacțiunea
de atracție dintre „culorile” quarkurilor (la distanțe de ordinul 10–15
m) este cu atât mai puternică, cu cât distanța dintre ei se mărește.
Rezultă că energia necesară pentru descompunerea unui hadron în
quarkuri separate este foarte mare, tinde la infinit. Din acest motiv,
observarea quarkurilor în stare liberă este practic imposibilă.
Particularitățile de interacțiune ale quarkurilor, precum și
proprietățile lor ne permit să atribuim aceste particule la clasa celor
fundamentale.
În prezent rezultatele obținute în domeniul fizicii particulelor
elementare referitor la constituenții de bază ai materiei și la forțele
fundamentale care descriu interacțiunile dintre aceștia sunt
163
concentrate în Modelul Standard general acceptat al particulelor
fundamentale (Fig. 30.12). Se consideră că există 61 de particule
fundamentale care reprezintă constituenții primari ai materiei: 36
quarkuri și antiquarkuri, 12 leptoni, 12 mediatori și bosonul Higgs.
Fiecare căsuță din figura 30.12 conține pentru particula respectivă:
în partea de sus stânga – sarcina și sarcina de culoare (dacă există);
în partea de sus dreapta – spinul particulei și existența antiparticulei
(cu litera a); în centru – simbolul; în partea de jos – denumirea.
Quarkurile sunt fermioni cu spinul s = 1/2 și sarcină electrică
fracționară. Există șase tipuri de quarkuri grupate în trei
generații: I – (u, d); II – (c, s) și III – (t, b). Fiecare tip există în trei
subtipuri, denumite convențional culori (red, green, blue).
Quarkurile nu există în stare liberă, ele sunt menținute în interiorul
hadronilor de forța tare.
Fig. 30.12
Nucleul atomic. Particule elementare
164
Leptonii de asemenea sunt fermioni cu spinul s = 1/2, dar nu
participă la interacțiunile tari. Ca și quarkurile, ei sunt grupați în trei
generații: I – electronul și neutrinul electronic II – miuonul și
neutrinul miuonic; III – taonul și neutrinul taonic.
Mediatorii sunt bosoni vectoriali cu spinul s = 1 care
intermediază interacțiunile fundamentale. Gluonii și fotonul au
masa de repaus egală cu zero și mediază interacțiunea tare și,
respectiv, interacțiunea electromagnetică. Există 8 tipuri (sau culori)
de gluoni. Interacțiunea slabă este mediată de către bosonii masivi
W , –W și Z.
Bosonul Higgs este un boson scalar ce are spinul s = 0 și dintre
toți bosonii posedă cea mai mare masă. Existența acestuia a fost
prezisă în anii 60 ai secolului XX de către fizicianul britanic Peter
Ware Higgs (n. 1929) pentru a explica masele diferite de zero ale
bosonilor W și Z. Pentru aceasta el a propus mecanismul ruperii
spontane a simetriei interacțiunii electroslabe care explică originea
masei particulelor elementare. Organizația Europeană pentru
Cercetare Nucleară CERN a declarat oficial despre descoperirea
noii particule în martie 2013, iar în iulie 2017 a confirmat că toate
măsurările legate de aceasta corespund Modelului Standard și a
numit-o bosonul Higgs.
Deși explică foarte multe rezultate ale cercetărilor, Modelul
Standard nu este o teorie completă. De exemplu, una dintre cele mai
cunoscute interacțiuni fundamentale, și anume interacțiunea
gravitațională până în prezent încă nu este integrată în Modelul
Standard. Particula elementară care reprezintă cuanta de câmp
gravitațional numită graviton rămâne a fi o particulă ipotetică. Mai
mult ca atât, particulele care stau la baza Modelului Standard
explică comportamentul doar a circa 5% din materia întregului
Univers, restul fiind materie întunecată (23%) și energie întunecată
(72%).