V 01 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP -PPA …...El tratamiento de las representaciones del cambio en distintos contextos, tablas, gráficas, texto, expresion oral, movimiento

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PLANEACIÓN DIDÁCTICA DOCENTES FEPD-004-A

V 01 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP-PPA-EPD-06

PQ-ESMP-05

Querétaro

Asignaturas/submódulo: Cálculo Diferencial (1-1)

Plantel : No. 83. Pedro Escobedo

Profesor (es): Academia Local de Matemáticas

Periodo Escolar: Febrero-Junio 2018

Academia/ Módulo:

Matemáticas

Semestre: Cuarto Semestre

Horas/semana: 4 Horas

Competencias: Disciplinares ( X ) Profesionales ( ) 1.- Contribuye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 6.- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias Genéricas: 1.- Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos, 8.- Participa y colabora de manera efectiva en grupos diversos. Transversal a desarrollar: Aplicación de funciones en su contexto.

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 4.1. Comunica ideas y conceptos con claridad en los diferentes ambientes de aprendizaje y ofrece ejemplos

pertinentes a la vida de los estudiantes. 4.2. Aplica estrategias de aprendizaje y soluciones creativas ante contingencias, teniendo en cuenta las

características de su contexto institucional, y utilizando los recursos y materiales disponibles de manera adecuada.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 5.1. Establece criterios y métodos de evaluación del aprendizaje con base en el enfoque de competencias, y los

comunica de manera clara a los estudiantes. 5.2. Da seguimiento al proceso de aprendizaje y al desarrollo académico de los estudiantes. 5.3. Comunica sus observaciones a los estudiantes de manera constructiva y consistente, y sugiere alternativas

para su superación. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 6.2. Favorece entre los estudiantes el deseo de aprender y les proporciona oportunidades y Herramientas para avanzar en sus procesos de construcción del conocimiento.

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6.3. Promueve el pensamiento crítico, reflexivo y creativo, a partir de los contenidos educativos establecidos, situaciones de actualidad e inquietudes de los estudiantes.

6.5. Fomenta el gusto por la lectura y por la expresión oral, escrita o artística. 6.6. Propicia la utilización de la tecnología de la información y la comunicación por parte de los estudiantes para

obtener, procesar e interpretar información, así como para expresar ideas.

Propósito de las asignaturas: Que el estudiante aprenda a identificar, utilizar y comprender los sistemas de representación del cambio continuo y su dicretización numerica con fines predictivos.

Propósitos formativos

Contenidos Centrales: Primer Parcial

Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orientación y posición. Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las funciones trascendentes elementales.

Usos de la derivada en diversas situaciones contextuales. Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los límites. Tratamiento del cambio y la variación: estrategias variacionales.

Segundo Parcial Grafiación de funciones por diversos métodos. Introducción a las funciones continuas y a la

derivada como una función. Criterios de localización para máximos y mínimos de funciones. Tercer Parcial

Nociones básicas de derivación de orden uno y orden dos (primera y segunda derivada). Optimización y graficación de funciones elementales (algebraicas y trascendentes).

Contenidos específicos:

Primer Parcial

El tratamiento de las representaciones del cambio en distintos contextos, tablas, gráficas, texto, expresion oral, movimiento físico, funciones y derivadas. ¿Cómo represento el cambio? ¿Puedo representar mi posición en una gráfica dependiente del tiempo? ¿ Qué es el cambio y la variación?

Intervalos de monotonía, funciones crecientes y decrecientes. ¿Si una función pasa de crecer a decrecer hay un punto máximo en el medio? ¿Al revés, un punto mínimo? ¿Así se comporta la temperatura en mi ciudad durante todo el día?

¿Qué tipo de procesos se precisan para tratar con el cambio y la optimización, sus propiedades, sus relaciones y sus transformaciones representacionales?

¿Porqué las medidas del cambio resultan útiles para el tratamiento de diferentes situaciones contextuales?

¿Se pueden sumar las funciones? ¿qué se obtiene de sumar una función lineal con tra función lineal? ¿una cuadrática con una lineal? ¿Se le ocurren otras?

Construyendo modelos predictivos de fenómenos de cambio continuo y cambio discreto.

Calcular derivadas de funciones mediante técnicas diversas. Segundo Parcial

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Determinar el máximo o el mínimo de una función mediante los criterios de la derivada ¿Dónde se crece más rápido?

Encontrar los puntos de inflexión de una curva mediante el criterio de la segunda derivada ¿Cómo se ve la gráfica en un punto de inflexión? ¿Podrías recortar el papel siguiente esa gráfica? ¿Qué observas?

Tercer Parcial

Reconocer las propiedades físicas como posición, velocidad y aceleración y su correspondencia con la función, la derivada primera y la segunda derivada de una función, interpretación física de los puntos singulares.

Calcular derivadas sucesivas de funciones polinomiales y trigonométricas mediante algoritos, no mayor a la tercera derivada. ¿Existen caminos directos para derivar? ¿Qué metodos conocemos?

Predice el comportamiento en el crecimiento de un proceso de cambio en el dominio continuo (variables reales) y en el dominio discreto (variables enteras) .

Aprendizajes esperados: Primer Parcial

Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio.

Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimieto y de decrecimiento.

Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.

Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una funcion. Segundo Parcial

Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente a las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas)

Determina algebraica y visualmente las asíntotas de algunas funciones racionales básicas.

Utiliza procesos para la dervación y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.

Tercer parcial

Utiliza procesos para la derivación y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.

Localiza los máximos, mínimos, las inflexiones de una gráfica para funciones po linomiales y trigonométricas.

Calcula y resuelve operaciones gráficas con funciones para analizar el comportamiento local de una función (los ceros de f, f’’ y f’’’). En algunos casos, se podrán estudiar los cambios de f’’’ mediante la tercera derivada

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 60 horas Tiempo Real:

Fase I Apertura

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Aprendizajes esperados de cada materia

Actividad / Transversalidad

Producto Esperados

Ponderación Actividad que de enseñanza aprendizaje

Proceso de aprendizaje

Primer Parcial 1.- Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.- Presentación de la Planeación, forma de trabajar y evaluación, promover la integración grupal, la comunicación e identificar expectativas de los alumnos. (1 sesión)

2.- El facilitador dirige el examen (Tipo PLANEA) diagnóstico. Posteriormente muestra la resolución del mismo. (1 sesión) 3.- El docente realiza una actividad de Construye T. Considerando el material de apoyo proporcionado Actividad 4.6. (1 sesión) 4.- El docente explica algún software para graficar funciones (1 sesión)

1.- El alumno toma notas al respecto. 2.- El alumno resuelve el examen diagnóstico y realiza una auto-evaluación conoce su resultado. 3.- El alumno realiza la actividad de Construye T. 4.- El alumno toma notas sobre el software para graficar funciones.

Formula preguntas de cómo llevar a cabo la planeación. Resuelve el Examen. Reflexión sobre esta actividad. Investiga sobre el software

Apuntes en la libreta. Examen Corregido. NA NA

NA NA NA NA

Fase II Desarrollo


Actividad/ transversalidad Producto Esperados



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Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio. Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimiento y de decrecimiento. Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.

5.- El docente da ejemplos demostrativos de gráficas de funciones algebraicas y trascendentes, sobre el cambio numérico en las funciones (rectas) en su contexto. Puede apoyarse en algún software. ( 2 sesiones) 6.- El docente da indicaciones para la construcción de gráficas de funciones racionales y observar su comportamiento. Posteriormente les pide la tarea correspondiente (3 sesiones) 7.- El docente explica las fórmulas de derivación en la aplicación de crecimiento y decrecimiento de una función. Posteriormente les pide la tarea correspondiente

5.- El alumno toma notas y elabora modelos a partir de fenómenos físicos planteados en diversas fuentes, por ejemplo, enfriamiento de un líquido. Realiza la tarea correspondiente y hará una co-evaluación. (1 sesión de reforzamiento) 6.- Toma notas y realiza el análisis de los distintos parámetros que tiene una función con el uso de TIC, por ejemplo, manipulación de los parámetros de funciones con Geogebra, se realiza una retroalimentación. (1 sesión de reforzamiento) 7.- Toma notas sobre el tema, representando gráficamente diversas sucesiones partiendo desde modelos algebraicos. Realiza la tarea correspondiente y hará una co-evaluación.

Grafica funciones, elabora tabla de valores de crecimiento y resuelve la tarea. Tabula. Resuelve ejercicios.

Representa el cambio numérico de patrones de crecimiento en tablas y gráficas. Demostrar y argumentar la existencia de asíntotas en una función racional. Argumentar situaciones en el contexto no escolar donde se presenten comportamientos asintóticos. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos económicos,

10% NA 10%

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Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una función. Segundo Parcial Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente a

(3 sesiones) 8.- El docente da indicaciones para que el alumno realice el proyecto transversal siguiente: Plantear 6 problemas en donde utilicen las funciones en la vida cotidiana. Se hará una hetero-evaluación con una rúbrica. (3 sesiones) 9.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 10.- Realiza la revisión de la libreta. (1 sesión) 11.- Se realiza la evaluación final. 1.- Se realiza la actividad de Construye-T. (5.6) 2.- El docente da una explicación sobre las operaciones con funciones. Posteriormente le encarga la tarea.

(1 hora de reforzamiento) 8.- Reunidos en equipo de 5 personas realizarán el proyecto. Entregarán un trabajo final que contenga: portada, introducción desarrollo (planteamiento de los problemas, gráficas, tabulación, solución, mostrar la transversalidad) conclusión. 9.- Resuelve el examen correspondiente. 10.- Revisión de la libreta, mediante una auto-evaluación con una rúbrica. 11.- Conoce su evaluación final. 1.- Realiza la actividad de construye-t. (1 sesión) 2.- Toma notas del tema correspondiente y realiza la tarea. Se hará un co-evaluación.

Desarrollo de habilidades. Retroalimentación. Demostración de sus conocimientos. Reconoce sus áreas de oportunidad. Reflexiona sobre sus emociones. Realiza las operaciones con funciones.

social entre otros. Evaluar las raíces de una función polinomial para determinar de manera aproximada la existencia de valores máximos y mínimos. Aplica sus conocimientos. Resultados de la evaluación. Calificación final. Análisis de la actividad. Representar el cambio numérico de patrones de crecimiento

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las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas) Determina algebraica y visualmente las aíntotas de algunas funciones racionales básicas Utiliza procesos para la derivacion y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.

(5 sesiones) 3.- Explicación de algunos ejemplos con el uso de algún software en la aplicación de problemas prácticos. Posteriormente le encarga la tarea. (4 sesiones) 4.- El docente da la explicación de la derivada de funciones. Posteriormente les encarga la tarea correspondiente. (6 sesiones) 9.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 10.- Se realiza la evaluación final.

(1 sesión de reforzamiento) 3.- Con el uso de las TIC, ejemplifica las indeterminaciones en una función y analiza para que valores se generan las asíntotas. Busca en tu entorno algunos límites y abórdalos de forma analítica. Realiza la tarea. Se hará un co-evaluación. 4.- toma notas del tema y realiza la tarea. Mediante un co-evaluación se hace la revisión. (2 sesiones de reforzamiento), se realiza una retroalimentación. 9.- Resuelve el examen correspondiente. 10.- Conoce su evaluación final.

Tabula y grafica funciones. Entiende la aplicación de la derivada. Retroalimentación. Reconoce sus áreas de oportunidad.

en tablas y gráficas. Demostrar y argumentar la existencia de asíntotas una función racional. Argumentar situaciones en el contexno no escolar donde se presenten comportamientos asintóticos. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales, entre otros. Aplica sus conocimientos. NA

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Tercer Parcial Utiliza procesos para la derivación representan a los objetos como derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local. Localiza los máximos, mínimos, las inflexiones de una gráfica para funciones polinomiales y trigonométricas. Calcula y resuelve operaciones, gráficas con

1.- Se realiza la actividad de Construye-T. (6.6) (1 sesión) 2.- El docente explica el tema de derivación y su aplicación en la solución de problemas prácticos. Posteriormente les encarga la tarea correspondiente. (6 sesiones) Después de haber revisado la tarea se hace una realimentación del tema. (1 sesión) 3.- El docente da las indicaciones para que el alumno realice ejercicios prácticos utilizando algún software. Quedan a criterio del docente y utilizando la bibliografía sugerida. (3 sesiones) Se evalúa con una lista de cotejo. 4.- El docente aplica las derivadas sucesivas en algunos ejemplos de física:

1.- El alumno realiza esta actividad, siguiendo las indicaciones del docente. 2.- El alumno toma notas del tema y analiza situaciones en las que intervengan funciones que contemplen desplazamiento, velocidad y aceleración, y a partir de estos modelos analizar las funciones y la relación existente entre las diversas razones de cambio. Resuelve la tarea y realizan una co-evaluación. 3.- El alumno investiga los puntos de inflexión y raíces de diversas funciones polinomiales y trigonométicas obtenidas en diversas fuentes (libros, internet entre otros). (1 sesión de reforzamiento) 4.- Toma notas sobre el tema y analiza la importancia de las derivadas sucesivas en

Reconoce los tres componentes del proceso emocional. Pone en práctico sus conocimientos y sus habilidades de investigación. Utiliza las TICs. Aplica las derivadas sucesivas en si contexto.

Manejo de emociones. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos, económicos, social, entre otros. Localizar en el plano cartesiano las regiones de crecimiento y de decrecimiento de una función dada de un contexto específico. Localizar los ceros de f y sus derivadas hasta el

NA 10% 15% 10%

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funciones para analizar el comportamiento local de una función (los ceros de f, f’ y f’’). En algunos casos, se podrán estudiar los cambios de f’’’ mediante la tercera derivada

desplazamiento, velocidad, aceleración, entre otros. Quedan a criterio del docente y utilizando la bibliografía sugerida. (5 sesiones)

física. Resuelve la tarea y realizan una co-evaluación. (1 sesión de reforzamiento)

orden de tres.

Fase III Cierre


Actividad/transversalidad Producto Esperados



Aplicación de sus conocimientos.

5.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 6.- Revisión de la libreta y se aplica una rúbrica para su evaluación mediante co-evaluación (1 sesión) 7.- Se realiza la evaluación final mediante un hetero-evaluación.

5.- Resuelve el examen correspondiente. 6.- Revisión de la libreta, mediante una auto-evaluación con una rúbrica. 7.- Conoce su evaluación final.

Retroalimentación. Demostración de sus conocimientos. Reconoce sus áreas de oportunidad.

Aplica sus conocimientos. Resultados de la evaluación. Calificación final.

60% 5% 100%

Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMO EN ANEXO*

Elementos de Apoyo (Recursos)

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Equipo de apoyo Bibliografía

Computadora.

Cañón.

1) Steward, J. (2008). Cálculo de una variable.México: CENGAGE Learning.

2) Edwards y Penney. (1994). CÁLCULO con Geometría Analítica.México: Prentice Hall.

3) Granville. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.

4) Ayres, F y Mendelson, E. (2001). CÁLCULO. Colombia: Mc Graw Hill.

Evaluación

Criterios: Evaluación, auto-evaluación, co-evaluación, hetero-evaluación y otras actividades. 40 % Examen 60 %

Instrumento: Listas de cotejo, Rúbricas, Tareas, Examen de conocimiento

Porcentaje de aprobación a lograr: 60% Fecha de validación: 29 de enero del 2018

Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes. 25 de enero del 2018

Anexos

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LISTA DE COTEJO PARA EVALUAR TAREAS.

Indicadores si No

Observaciones 1% 0%

Investigó en la bibliografía sugerida.

El trabajo se presenta limpio.

Realizó todos los ejercicios (de 80% a 100%).

Contiene todas las gráficas (de 80% a 100%).

Sin faltas de ortografía.

Contiene procedimientos (de 80% a 100%).

Todos los trazos son con regla.

Etiqueta los ejes coordenados.

Coloca la escala correcta.

Mantiene una actitud respetuosa ante sus compañeros.

Total

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Rúbrica para la investigación

CATEGORÍA 10 Cumplió al 90%-

100%

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Cumplió al 80%-

89%.

6 Cumplió al 60%-

79%.

5 Cumplió del

40%-50%

CALIDAD DE

INFORMACIÓN

La información está claramente relacionada con el tema principal y proporciona varias ideas secundarias y/o ejemplos.

La información da respuesta a las preguntas principales y 1-2 ideas secundarias y/o ejemplos.

La información da respuesta a las preguntas principales, pero no da detalles y/o ejemplos.

La información tiene poco o nada que ver con las preguntas planteadas.

ORGANIZACIÓN La información está muy bien organizada con párrafos bien redactados y con subtítulos.

La información está organizada con párrafos bien redactados.

La información está organizada, pero los párrafos no están bien redactados.

La información proporcionada no parece estar organizada.

ORDEN Y

ATRACTIVO

Excepcionalmente bien diseñada, ordenada y atractiva. Colores que combinan bien son usados para ayudar a la legibilidad del gráfico. Se usa una regla y papel de gráfica o un programa de graficado computadorizado.

Ordenada y relativamente atractiva. Una regla y papel de gráfica o un programa de graficado computadorizado son usados para hacer la gráfica más legible.

Las líneas están dibujadas con esmero, pero la gráfica aparenta ser bastante sencilla.

Aparenta ser desordenada y diseñada a prisa. Las líneas están visiblemente torcidas.

PROCEDIMIENTO La explicación demuestra completo entendimiento del concepto matemático usado para resolver los problemas.

La explicación demuestra entendimiento sustancial del concepto matemático usado para resolver los problemas.

La explicación demuestra algún entendimiento del concepto matemático necesario para resolver los problemas.

La explicación demuestra un entendimiento muy limitado de los conceptos subyacentes necesarios para resolver

RESULTADOS

CORRECTOS

Todos los problemas son resueltos de manera correcta

Algunos problemas son resueltos de manera correcta

Algunos problemas son resueltos de manera correcta

La mayoría de los problemas están incorrectos

Nota: se califica el proyecto posterior a la fecha de entrega, pero se baja el porcentaje de

cumplimiento según los días en que se entrega.

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Rúbrica para evaluar libreta.

Categoría 10 Cumplió al 90%-100%

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Cumplió al 80%-89%. 6

Cumplió al 60%-

79%.

5 Cumplió del

40%-50%

Precisión

del trazado

Todo está correctamente

trazados y son fáciles de

ver. Se utiliza juego

geométrico para conectar

ordenadamente.

Está correctamente

trazados y son fáciles

de ver. Utiliza el juego

geométrico.

Algunos están

correctamente

trazados. No

siempre utiliza el

juego

geométrico.

No están

correctamente

trazados, no

utiliza el juego

geométrico.

Limpieza Muestra todo el cuaderno. Muestra la mayor parte. Muestra un poco

más de la mitad.

Muestra menos

de la mitad.

Contenido Tiene todas las

actividades.

Le faltan algunas

actividades.

Muestra un poco

más de la mitad

de las

actividades.

No cumplió con

sus actividades.

Ejercicios Calculó correctamente lo

que se pedía.

Calculó correctamente

lo que se pedía, según

el porcentaje.

Calculó

correctamente lo

que se pedía,

según el

porcentaje.

No pudo calcular

lo que se pidía.

Orden y

atractivo

Excepcionalmente bien

diseñada, ordenada y

atractiva. Colores que

combinan bien son

usados para ayudar a la

legibilidad del gráfico. Se

usa una regla y compás

para las gráficas y/o

dibujos.

Ordenada y

relativamente atractiva.

Una regla para realizar

las gráficas y/o dibujos.

Las líneas están

dibujadas con

esmero, pero la

gráfica aparenta

ser bastante

sencilla.

Aparenta ser

desordenado y

diseñada a prisa.

Las líneas están

visiblemente

torcidas.

Libreta Muy bien presentada,

forrada o plastificada,

contiene los datos del

alumno.

Su presentación es

buena, con o sin los

datos del alumno.

Su presentación

es regular, con o

sin los datos del

alumno.

No cumple los

requisitos

solicitados.

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Examen Diagnóstico de Cálculo

Nombre: ____________________________________________Grupo: ______

Subraya la respuesta correcta, realiza las operaciones necesarias en cada problema.

1) ¿Cuál es el resultado de la operación? 72+

9

6+

8

9

A) 29

B) 43

C) 2417

D) 539

2) Calcula la siguiente operación: √49 + {52 + [8 − 5(7 − 2)] + 2} A) 17 B) 34 C) 49 D) 67

3) El resultado de la operación: (23) (

9

5) (

5

4)

A) 2454

B) 23

C) 32

D) 10850

4) Si en la siguiente figura se traza una recta horizontal justo a la mitad

y se dobla la figura por la recta trazada se obtiene una nueva figura. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar a partir de un vértice?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

5) Se necesita empacar latas de alimentos en cajas rectangulares; sus formas y medidas se muestran en la siguiente figura.

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Si se considera a pi=3.14 y 1 pulg=2.5cm, ¿cuántas latas caben en cada caja si estas se llenan a su máxima capacidad? A) 20 a 30 B) 160 a 170 C) 480 a 490 D) 610 a 620

6) Carolina compró un terreno de forma rectangular de 330 m2, le dicen que el largo del terreno es el doble del ancho menos 8 metros. ¿Cuántos metros mide de ancho? A) 11 B) 15 C) 22 D) 30

7) En la misma papelería, a Julián le compraron $40 por 4 lápices y 8 plumas, mientras que a Estefanía le cobraron $25 por lápices y 2 plumas. ¿Cuántos pesos costó cada pluma? A) 1.00 B) 1.75 C) 3.00 D) 3.50

8) ¿Cuál es el volumen en centímetros del cilindro que se muestra en la figura? Considere a pi=23.14.

A) 96.00 B) 150.72

C) 301.44 D) 602.88

Diámetro =8cm

9) ¿Cuál es la longitud del segmento A de la siguiente figura? A) √73 B) 11 C) √185 D) 19

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10) ¿Cuántos centímetros de listón se necesitan como mínimo para decorar el contorno total de un mantel como el que se ilustra en la figura? Considere pi=3.14.

100cm

A) 285.5 B) 335.5 C) 521.0 D) 571.0

11) Luis, María y Felipe juntaron $83 para comprar un videojuego.

Luis juntó el doble que Felipe, mientras que María consiguió $7 menos que Luis. ¿Cuál es la expresión algebraica que expresa el dinero juntado por los tres? A) X+2x+7=83 B) X+2x+(x+7)=83 C) X+2x+(2x-7)=83 D) X+2x-7=83

12) Identifique la gráfica que representa la recta paralela de la ecuación y-2x-3=0 cuya ordenada al origen es -2.

13) Si 28 cuadernos cuestan $1360, ¿cuánto cuestan 55 cuadernos?

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A) $2052.36 B) $2640.00 C) $2671.42 D) $2900.00

14) ¿Qué expresión algebraica corresponde al enunciado? El producto obtenido del cuadrado de un número disminuido en nueve, por el cuadrado de la suma del doble del mismo número y tres. A) (x2-9)(2x2+3) B) (x2-9)2 (2x+3)2 C) (x2-9)(2x+3) D) (x2-9)(2x+3)2

15) Dada la función 𝑓(x)= x2-6x+9, calcule 𝑓(−4)𝑓(2)

A) -31 B) -17 C) 17 D) 49

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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



PQ-ESMP-05

Querétaro

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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

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MATERIAL DIDÁCTICO

PARA CÁLCULO

DIFERENCIAL Cuadernillo con ejercicios

Ing. Andrés Redondo Quiroz

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MATERIAL DIDÁCTICO PARA CÁLCULO DIFERENCIAL

2 | P á g i n a

Índice

Introducción a los números 3

Clasificación de los números 3

Introducción al cálculo 6

Funciones 7

Clasificación de funciones 9

Operaciones con funciones 17

Límites 19

Límites infinitos 22

Límites en el infinito 22

Cálculo de límites indeterminados 23

La derivada 25

Teoremas fundamentales del cálculo de derivadas 26

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3 | P á g i n a

Introducción a los números

El interés del hombre por los números es tan antiguo

como la civilización. Son muchos los pueblos

antiguos que se interesaron por los números bien

por razones practicas inmediatas, bien por su

relación con la astronomía y el cómputo del tiempo

o incluso asociados a la adivinación y el esoterismo.

Entre los griegos, un número era una cantidad o una

medida representada por un entero natural, o por una

relación de dos enteros naturales. Puede considerarse

un número como una abstracción ligada a conjuntos

de objetos y que se escinde, por consideración de los

conjuntos infinitos, en dos conceptos diferentes.

En la actualidad, se define un número como elemento

de un conjunto de números que deben verificar ciertas propiedades.

Clasificación de los números

Desde Euclides (324-265) hasta Gauss (1777-1855) el avance en el conocimiento

de los números fue espectacular y aunque pueden faltar muchas cosas por

descubrir, éstas serán siempre sobre la base de la obra de Gauss. Alrededor del

año 300 a.C. Euclides de Alejandría recoge todo el

saber disponible en ese momento en lo referente a

matemática antigua, que plasma en trece libros que

denominó los Elementos, obra que con el devenir de

los siglos ha sido fuente de consulta de muchos sabios.

Alrededor del año 1800, Gauss lleva a cabo algo

parecido con su Disquisitiones Arithmeticae, que

recoge todo el saber que hasta entonces se tenía de

la teoría de los números y que no pasaba de ser una

mera colección de resultados aislados. En sus Disquisiciones, Gauss introdujo la

noción de congruencia y, al hacerlo, unificó la teoría de los números.

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4 | P á g i n a

Clasificación de los números

Actividad de aprendizaje 1

Instrucciones: Contesta según se pide, sé claro en tus respuestas y en tus

procedimientos no omitas pasos.

1. ¿Cuántos elementos contiene el conjunto de los números enteros?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

2. ¿Cuántos elementos contiene el conjunto de los números naturales?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

3. ¿Se puede decir que el conjunto de los enteros contiene al conjunto de los

naturales?¿Por qué?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

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________________________________________________________________________________

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5 | P á g i n a

4. ¿Qué conjunto numérico es mayor, el de los entero o el de los naturales?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

5. ¿Qué tipo de números racionales conoces?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

6. Comprueba que los siguientes número racionales son enteros y anota a

qué tipo de número racional es.

5

3.12

5.22

2.34343434…

6.777777…

1.9999999…

7. ¿Qué es mayor 2.9999… ó 3? Compruébalo.

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6 | P á g i n a

Introducción al cálculo

Vivimos en un mundo en constante cambio, todos los

fenómenos que conocemos nos muestran que nada es

estático, incluso aquello que no está en movimiento se

mueve en el tiempo. Todo fenómeno o comportamiento

se puede representar por modelos que incluyen variables,

cuando algo cambia, varía.

Dichos fenómenos se modelan con variables que

dependen unas de las otras, la velocidad a la que te desplazas depende de dos

variables, de la distancia que recorres y el tiempo en el que lo haces, en ese

sentido existen variables dependientes e independientes. El cálculo, es la

matemática del cambio.

El Cálculo es una rama de la Matemática cuyas ideas datan de la época de

Arquímedes (287-212 a.C.), su consolidación como disciplina se produce a partir

de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried

Leibniz (1646-1716).

Muchos de los descubrimientos científicos que han permitido el avance de

nuestra civilización durante los tres últimos siglos hubieran sido imposible si no se

hubiera conocido el Cálculo. Gran parte del Cálculo implica el empleo de

números reales o de variables para describir cantidades cambiantes; pero,

fundamentalmente, implica el uso de funciones a los efectos de describir la

relación entre tales variables.

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7 | P á g i n a

Funciones

Las funciones aparecen cada vez que tenemos una

cantidad que depende de otra. Así, al abrir una llave

de agua para llenar un tanque, todos sabemos que el

volumen de agua acumulado depende del tiempo, lo

que probablemente no todos sabemos es que allí

existe, cuanto menos, una función.

En general, cualquier relación causa-efecto presupone la existencia de función.

Más aún, el origen del concepto se encuentra en la necesidad de reproducir

fenómenos de dependencia entre magnitudes físicas y/o conexiones entre

hechos del mundo de lo concreto y real.

Por ejemplo, experimentalmente se observa que la variación de

longitud que presenta un resorte cuando se le aplica una fuerza es

directamente proporcional a la magnitud de la fuerza: a mayor

fuerza, mayor compresión del resorte. (Dentro de los límites elásticos

del resorte). En la descripción de este fenómeno detectamos:

L

a existencia de dos magnitudes (fuerza y longitud )

Q

ue existe una relación de dependencia entre ellas; “la variación de

longitud d, depende de la fuerza F “

Que la relación de dependencia define función; pues: “a cada

fuerza corresponde una única variación de longitud “

CO

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8 | P á g i n a

Que, aunque no se explicite, hay dos conjuntos en juego: el de

todos los valores numéricos posibles para F y el de todos los valores

numéricos posibles para d.

Entonces existen funciones cuando en un sistema hay variables y una relación de

dependencia entre ellas, las funciones que abordaremos en este curso son

funciones de dos variables. En ellas, para cada valor de la variable

independiente, tendremos un solo valor de la variable dependiente. A todo el

conjunto de valores que puede tomar la variable independiente lo llamamos

dominio y al conjunto de todos los valores que se generan en la variable

dependiente dado los valores de la variable independiente se llama rango o

contradominio.

Si tenemos:

Despejando “y”

CO

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9 | P á g i n a

Clasificación de funciones

Las funciones elementales se clasifican en funciones algebraicas y funciones

trascendentes. Las funciones algebraicas a su vez en polinomiales, Racionales e

irracionales. Mientras que las funciones trascendentes se clasifican a su vez en

trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Funciones algebraicas

Una función algebraica es aquella cuya variable dependiente “y” se obtiene

combinando un número finito de veces la variable dependiente “x” y constantes

reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación,

división, evaluación a potencias y extracción de raíces.

Un polinomio de grado n en una variable es una expresión del tipo:

CO

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10 | P á g i n a

Funciones racionales

De igual forma que ocurre con los polinomios, cada fracción algebraica racional

permite definir una función real de variable real, estas funciones definidas por una

fracción racional se llaman funciones racionales y en este caso el dominio no será

todo el conjunto de los números reales sino aquel subconjunto del mismo en el

que no se anula el denominador. Como un polinomio es una fracción racional de

denominador 1, las funciones polinomiales son casos particulares de las funciones

racionales.


Instrucciones: Contesta según se pide, sé claro en tus respuestas y en tus

procedimientos no omitas pasos.

1. Explica lo que es una relación implícita

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

2. Explica lo que es una función

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

3. ¿Toda función es una relación? ¿Por qué?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

4. ¿Toda relación es una función? ¿Por qué?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

CO

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11 | P á g i n a

5. ¿Qué entiendes por dominio?

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

6. De las siguientes gráficas, marca las que son funciones y explica por qué:

CO

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12 | P á g i n a

CO

PIA

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NO

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13 | P á g i n a

7. Expresa las siguientes relaciones como f(x) si es que corresponde y

grafícalas. Anota su dominio. Si no son funciones explica por qué.

CO

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14 | P á g i n a

CO

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15 | P á g i n a

CO

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NO

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16 | P á g i n a

8. Para las siguientes funciones anota el dominio y el rango:

9. Para las siguientes situaciones encuentra la función correspondiente y

grafícala usando para cada una un trozo de hoja milimétrica.

a) Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo

que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que

transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una

altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura

(h) del agua después de t horas?

b) El dueño de una mueblería paga a los carpinteros un sueldo base de $

1,000 semanales más $ 50 por cada mueble terminado. Considere las

variables, sueldo de un carpintero, y cantidad de muebles terminados,

construye el modelo correspondiente.

CO

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17 | P á g i n a

c) Un terreno rectangular tiene de largo el doble que lo que tiene de ancho,

expresa el área en función del ancho.

Operaciones con funciones

En el estudio de las funciones hemos encontrado algunas que se pueden describir

utilizando otras más simples, por ejemplo la función:

Se puede escribir como la suma algebraica de:

De esta manera podemos ver, que con las funciones, de la misma manera que

con los números, se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta,

multiplicación, potenciación, división y de sacar raíz.

En general, sean f y g dos funciones y supongamos que Dom de f y Dom de g

denotan sus dominios respectivamente, las operaciones básicas entre ellas de

suma, resta, multiplicación y la división se definen como sigue:

Suma

Donde el dominio de es

Resta


CO

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18 | P á g i n a

Multiplicación


División

Donde el dominio de es excluyendo los

valores donde

Función compuesta

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g se define la función compuesta

de f y g y se escribe f o g (se lee f compuesta con g) a la función:


Instrucciones: Contesta según se pide y no omitas pasos en tus procedimientos

1. Dadas las funciones:

encontrar

CO

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19 | P á g i n a

Límites

Para una función Matemática en un punto la expresión “el límite de

cuando es tan próximo a como queramos” es el valor al que se aproxima

la función cuando el valor de se acerca a tanto como se quiera,

simbólicamente lo escribimos de la forma:

Por ejemplo:

CO

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20 | P á g i n a

Solución analítica de límites:

Propiedades de los límites:

CO

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21 | P á g i n a

CO

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22 | P á g i n a

Límites infinitos

Tenemos límites infinitos en los casos en los cuales al aproximarnos al valor definido

de x, la función se hace arbitrariamente grande. En ese caso decimos que f(x)

diverge a ∞ en el punto x=a.

Como ejemplo tenemos la siguiente función:

Si buscamos:

Nos encontramos con que a medida que x tiende

a cero por ambos lados el valor de f(x) crece

arbitrariamente, tal como lo muestra su gráfica.

Entonces decimos que el límite de f(x) cuando x

tiende a cero es infinito.

Límites en el infinito

Si queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) cuando los valores

de x se hacen tan grandes como queramos lo expresamos diciendo que x→∞, por

ejemplo:

Al dar valores a x cada vez más grandes, el comportamiento de f(x) es

aproximarse a cero, entonces tenemos:

CO

PIA

IMP

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NO

CO

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23 | P á g i n a

Cálculo de límites indeterminados

Un límite queda indeterminado cuando al resolverlo nos encontramos con:

Para estos tres casos usamos:

a) Por descomposición en factores de un polinomio.

b) Por producto y división de la mayor potencia de x.

c) Por producto y división de conjugado de un binomio.

CO

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24 | P á g i n a


Instrucciones: Resuelve los límites según se te pida, se claro en tus procedimientos

1. Calcula los siguientes límites:

2. Usando los teoremas, resuelve los siguientes límites:

3. Resuelve los siguientes límites:

CO

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NO

CO

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25 | P á g i n a

La derivada

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos

problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo

geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores

máximos y mínimos de una función dada.

En este tema, dada y = f(x) nos ocupamos de estudiar formas o métodos para

conocer como varía f al variar x (¿tiene comportamiento “definido”?, ¿se acerca

a un “valor determinado”?, ¿se hace “cada vez más grande”?, ¿presenta “salto”

ó “agujero”?).

En este tema continuamos estudiando las funciones pero desde otra perspectiva.

Dada y = f(x), el objetivo esencial es determinar cuánto varía f al variar x en un

entorno.

Tangente a una curva

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación

cartesiana y=f(x) en el punto (a, f(a)). La estrategia, usada primero por Pierre de

Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas

secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular,

consideremos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto cercano, (x, f(x))de

la gráfica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero

no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

Observa que una secante es una buena

aproximación de la tangente, siempre

que el punto (x, f(x)) esté próximo (a,

f(a)). Estas consideraciones llevan a

definir la tangente a la gráfica de f en el

punto (a, f(a)) como la recta que pasa

por dicho punto y cuya pendiente es

igual al límite:

CO

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26 | P á g i n a

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial:

Reglas de derivación

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27 | P á g i n a

Tabla de derivadas

CO

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28 | P á g i n a


Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, realiza los procedimientos largos

en tu cuaderno.

1. Calcula las siguientes derivadas:

CO

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29 | P á g i n a

2. Resuelve los siguientes problemas de aplicación.

La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante

PV=K, donde P es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión está

dada por la expresión P(t)=30 + 2t, con P en centímetros de mercurio, t en

segundos, y el volumen inicial es de 60 cm³, determinar la razón de cambio del

volumen con respecto al tiempo a los 10 segundos.

CO

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30 | P á g i n a

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en

el mar 100 m³ de petróleo.

Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es

de 50m si el espesor disminuye a razón de 10 cm/hora en el instante en que R =

50 m.

El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm² por minuto. Calcula

la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm².

Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.

CO

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31 | P á g i n a

Sean dos resistencias y conectadas en paralelo. La resistencia R

equivalente cumple:

Si y aumentan a razón de 0.01 y 0.02 Ω/seg. Respectivamente, calcula la

razón de cambio R cuando y

Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.

Suponiendo que la presión del gas es constante , halla la velocidad con que está

aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.

CO

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32 | P á g i n a


Instrucciones: Realiza una reflexión sobre la importancia que tiene el cálculo en

los fenómenos de la vida cotidiana y sobre lo que has aprendido en la materia.

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V 01 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP -PPA …...El tratamiento de las representaciones del cambio en distintos contextos, tablas, gráficas, texto, expresion oral, movimiento