MatemáticaConjuntos – Lenguaje Simbólico

CCONJUNTOSONJUNTOS – L – LENGUAJEENGUAJE S SIMBÓLICOIMBÓLICO

Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura de por ejemplo un diario, o en el trabajo está presente la idea de conjunto. En matemática utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en la vida diaria, es decir, un conjunto es una colección de objetos. Al igual que en la vida diaria, la matemática necesita de un cierto lenguaje para poder darse a entender. El objeto de esta sección es ir adaptándonos un poco a dicho lenguaje.Generalmente designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta y anotaremos sus elementos entre llaves.• Diremos que un conjunto está definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo

forman.• Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una propiedad que caracteriza a

todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplo:

El conjunto de las notas musicales se escribe:Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.

Observación: “x / x” se lee “x tal que x”.

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto.En el ejemplo:

Un conjunto está bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece o no al conjunto.

• Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del año} ¿M está bien definido? Si es así, ¿cuáles son sus elementos?

......................................................................................................................................

• .Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es alto} ¿M está bien definido? ¿Por qué?

......................................................................................................................................

1

do

re mi

fa

solla

si

A

Diagrama de Venn

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Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:- que a pertenece al conjunto S. En símbolos: a ∈ S.- que b no pertenece a S. En símbolos: b ∉ S.

Actividad

Escribir por extensión los siguientes conjuntos y representarlos mediante diagramas de Venn.

A = {x / x es un número entero positivo de dos cifras iguales}

.............................................................................................................................................

B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6}

.............................................................................................................................................

Responder: ¿555 ∈ A? ¿–33 ∈ B? ¿33 ∈ A? ¿33 ∈ B? ¿45 ∈ B? ¿Por qué?

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Observación: Existen conjuntos que no tienen elementos, los cuales se llaman conjuntos vacíos. Por ejemplo: F = {x / x es un día de la semana que empieza con r}.

Para expresar que el conjunto es vacío, escribimos F = {} o bien F = ∅.

Relaciones entre Conjuntos

DEFINICIÓN: Un conjunto A está incluido en otro B si y sólo si todo elemento que pertenece a A, pertenece también a B. En símbolos:

A

Observaciones:- A ⊆ B se lee “A está incluido en B”- ⇔ se lee “si y solamente si”- ∀x se lee “para todo x”- ⇒ se lee “entonces”

Ejemplo:

Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}:Decimos que B ⊆ A ya que todo elemento de B está en A.Gráficamente:

2

820 4

10

AB

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DEFINICIÓN: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A, es decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En símbolos:

A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A

Actividad:

Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL}C = {x / x es una letra de la palabra CITA}L = {x / x es una letra de la palabra LA}A = {x / x es una letra de la palabra ALA}

Definir los conjuntos por extensión, graficarlos y decir qué inclusiones y qué igualdades se

verifican.

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Notemos que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto.En símbolos: ∅ ⊆ A, ∀A conjunto.

• ¿Existe alguna relación de inclusión entre un conjunto A consigo mismo? ¿Por qué?

.............................................................................................................................................

Operaciones entre Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos den como resultado otro conjunto. A continuación, veremos algunas de ellas:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos “A intersección B” al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. En símbolos:

A ∩ B = { x / x ∈ A y x ∈ B }

Ejemplo:

Sea A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {4, 8, 12, 16, 20}.Luego A ∩ B = {4, 8, 12}.Gráficamente:

3

24

68

10

12

16

20

A B

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• Completar según corresponda:

- A ∩ ∅ = .......... cualquiera sea el conjunto A.

- A ∩ A = .......... cualquiera sea el conjunto A.

UNIÓN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos “A unión B” al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En símbolos:

A ∪ B = { x / x ∈ A o x ∈ B }

Ejemplo:

Si consideramos el ejemplo anterior: A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}Gráficamente:

• Completar los siguientes casos particulares:

- A ∪ ∅ = .......... cualquiera sea el conjunto A.- A ∪ A = .......... cualquiera sea el conjunto A.

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS: Cuando estudiamos algo en matemática, trabajamos todo el tiempo con los elementos de un conjunto U al que llamamos universal o referencial. Si tomamos un conjunto A ⊆ U, denominamos “complemento de A”, y notamos A’, al conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. En símbolos:

A’ = { x / x ∈ U y x ∉ A }Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3, 6, 9}.Luego A’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

Gráficamente:

4

24

68

10

12

16

20

A B

34

52

79 8

6

1A

U

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• ¿Se puede decir cuál es el complemento de ∅? ¿Y el complemento de U?

.............................................................................................................................................

Actividad:

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f}:• {a, d} ⊆ A• A ∩ B = {a, b, c, d, e, f}• A ⊆ A ∩ B• A ∪ B = { x / x es una de las primeras seis letras del alfabeto }

Observación: La expresión “f ⊆ B” no tiene sentido. ¿Por qué?............................................................................................................................................

¿Qué diferencia hay entre los símbolos ∈ y ⊆? Dar ejemplos que muestren dicha diferencia..............................................................................................................................................

TTRABAJORABAJO P PRÁCTICORÁCTICO: C: CONJUNTOSONJUNTOS

1) Completar según corresponda:

Definición por comprensión Definición por extensión

{x / x es un número entero positivo menor que 6}

{Misiones, Corrientes, Entre Ríos}

{Luna}

{x / x es un color primario}

{}

2) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, o si no tienen sentido, siendo A = {r, o, s, a}.

i) ∅ ⊆ A ii) {s, i} ⊆ A iii) r ⊆ A iv) {a, s} ⊆/ A v) o ∈ A

3) Consideremos el siguiente diagrama de Venn:

Escribir por extensión:

5

1

3

2

4

69

8510

12

1114 7

1315

A

B

CU

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i) Los conjuntos A, B, C y U.ii) A ∩ Biii)A ∪ Civ)B’v) A ∩ B ∩ Cvi)U ’vii) A ∩ (B ∪ C)’

4) Considerando los conjuntos del ejercicio anterior, determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

i) (A ∩ B) ⊆ A ¿Depende esto de los conjuntos A y B?ii) (A ∪ C) ⊆ Ciii) 5 ∈ (C ∩ B)’ iv) (A ∩ B ∩ C) ⊆ (A ∪ B)v) (A ∩ B) ∪ {10} = {3, 4, 5, 10}vi) 9 ∈ (B ∩ ∅)

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