UTILIZAÇÃO DO MÉTODO NUMÉRICO DE EULER PARA O CÁLCULO DO

DECAIMENTO RADIOATIVO DO CÉSIO-137

GUILHERME FARIAS TAVARES1

1Discente do curso de Engenharia Agrícola e Ambiental, Instituto de Ciências Agrárias e Ambientais, UFMT, Campus Sinop – MT

RESUMO: O Césio-137 é um isótopo do Césio com o maior tempo de meia-vida

(30,17 anos) e é produzido pela fissão nuclear espontânea ou induzida, de diversos

radionuclídeos. Atualmente, elementos radioativos estão sendo incorporados na área

agrícola, principalmente para controle de pragas, acompanhamento metabólico das

plantas e conservação de alimentos. Todo elemento radioativo possui o decaimento

radioativo, diretamente proporcional ao tempo e a constante de desintegração, desta

maneira, objetivou-se o cálculo do Decaimento Radioativo de 1 mol de Césio-137 ao

longo de 1000 anos, através do método numérico de Euler, comparado com o cálculo

analítico. Demonstrando que houve diferença de grandezas significativa entre os dois

métodos.

PALAVRAS CHAVES: Decaimento Radioativo, Césio-137, Método de Euler.

INTRODUÇÃO

O césio-137 é um radionuclídeo produzido através da fissão nuclear do Urânio que se

desintegra emitindo partículas betas, elétrons e raios gama. Ele é usado, normalmente

encapsulado, como fonte de raios gama na indústria e nas irradiações terapêuticas

(COLLINS et al. 1988).

O Césio possui, ainda, vários isótopos (nuclídeos de mesmo elemento, porém de massa

atômica diferente), todos instáveis e/ou radioativos, entre eles o de meia-vida (tempo

necessário para que, metade dos nuclídeos sofram desintegrações) mais longa é o Césio-

137, com 30,17 anos. A desintegração nuclear (decaimento radioativo) deste isótopo

ocorre através de dois caminhos, ambos resultando no estado fundamental do elemento

Bário. A maioria das desintegrações (94,6%) dá-se por emissão de partículas beta (β1-),

formando o estado excitado do Bário-137. O restante ocorre por emissão das partículas

β2- e produz, diretamente, o estado fundamental do Bário-137. A produção do Césio-

137 é realizada pela fissão nuclear espontânea ou induzida de diversos radionuclídeos

pesados, como Urânio-233 e apresenta alto rendimento (COLLINS et al. 1988).

Mesmo o Césio-137 sendo um elemento radioativo, sua utilização pode se tornar útil na

área agrária. O uso de traçadores radioativos acompanha o metabolismo das plantas,

verificando o que elas necessitam para o crescimento, o que absorvem pelas raízes e

folhas e onde um determinado elemento químico fica retido, além dos vegetais, a

técnica também se aplica ao estudo do comportamento de insetos que, ao ingerir o

radioisótopo, ficam “marcados”, pois passam a emitir radiação e, seu “raio de ação”

pode ser marcado a partir disto, sendo muito útil para a eliminação de pragas,

possibilitando a substituição de pesticidas nocivos à saúde; outra forma de eliminação

da praga é a esterilização dos “machos” por radiação gama. Além disso, pode-se

determinar se um agrotóxico ficou retido no alimento e meio ambiente, ou ainda, a

utilização da radiação para a conservação de produtos agrícolas, como batata, cebola,

podendo estes, serem armazenados durante um tempo maior (CARDOSO et al. 2008).

Mesmo o Césio-137 podendo ser utilizado para o benefício da Agricultura, seu descarte

pode contaminar tanto o meio físico, como solo, vegetação, quanto à saúde. Sabendo

que todo elemento radioativo possui um decaimento radioativo, objetivou-se por este

trabalho, o cálculo da desintegração nuclear do Césio-137, por meio do Método

Numérico de Euler, comparando-o ao método analítico.

MATERIAIS E MÉTODOS

O cálculo do Decaimento Radioativo (1) será realizado através do método numérico de

Euler. Para isso utilizamos o softwar Scilab® para a montagem do algoritmo da

equação.

Segundo a lei do Decaimento Radioativo (1), cada elemento possui sua constante de

desintegração (λ), desta maneira o valor da constante para o Césio-137 é 7,32.10-10 s-1

(COLLINS et al. 1988).

(1)

A partir de (1) e, sabendo o valor da constante (λ), é possível o cálculo do número de

núcleos radioativos (X) do elemento (BRAYNER et al. 2003), no caso Césio-137 (2).

(2)

Resolvendo a equação acima (2), obtemos como calcular analiticamente o valor do

número de núcleos radioativos (3), em função da variável tempo (t).

(3)

Um gráfico de X em relação a t (Figura 1) pode ser obtido pela análise de (3) .

Figura 1. Gráfico Relação Decaimento Radioativo x tempo

FONTE (BRAYNER et al. 2003)

Como sabemos uma equação diferencial, se houver uma solução, ela representará um conjunto de pontos no plano cartesiano. Assim, para a resolução de (1), utilizamos o software Scilab®, para criação de um

algoritmo, utilizando o método numérico de Euler.

A estrutura básica do método de Euler é a fórmula (4), onde f é obtida da equação

diferencial y’=f(x,y). O uso recursivo de (4) para n=0,1;0,2;n, nos permite obter as

coordenadas y1,y2,yn, de pontos sobre sucessivas “retas tangentes” à curva integral em

x1, x2, xn ou xn = x0+nh, onde a constante h é o tamanho do passo entre xn e xn+1. Os

valores y1, y2, yn, aproximam os valores de uma solução y(x) do PVI (Problema de

Valor Inicial) em x1, x2, xn. Mas qualquer vantagem que (4) tenha em decorrência de

sua simplicidade é perdida pela imprecisão de suas aproximações (ZILL, 2003).

yn+1=yn + hf(xn, yn) (4)

Segundo BOYCE (2006), um programa de computador para resolução de equação pelo

método de Euler, deve seguir os seguintes passos, podendo ser escritas em linguagem de

programação.

Passo 1. Definir f(t,y)

Passo 2. Alimente os valores iniciais t0 e y0

Passo 3. Alimente o tamanho do passo h e o número de passos n.

Passo 4. Escreva t0 e y0

Passo 5. Para j de 1 até n calcule.

Passo 6. k1 = f(t,y)

y = y + h*k1

t = t+h

Passo 7. Escreva t e y

Passo 8. Fim

Então, a partir dos passos acima, utilizamos o software Scilabe®, para a criação de um

programa capaz de calcular o decaimento radioativo do Césio 137. Para isso utilizou-se

o seguinte algoritmo (descrito em partes).

Primeiramente, houve a definição da constante λ, cujo valor é de 7,32.10-10 (COLLINS,

1988), representada por (L) na interface gráfica do software. Em seguida, definiu-se as

variáveis existentes, no caso xi (Número de núcleos radioativos inicial), dado o valor de

6,0221367.1023 (1 mol); o tempo inicial de zero (em segundos) e o tempo final de

5.256.000.000s (10.000 anos, desconsiderando anos bissextos) e o incremento de tempo

(dt) de 52.560.000s (100 anos, desconsiderando anos bissextos). Após a definição das

grandezas, fez-se a preparação para o laço do tipo “for”, com a criação de vetores para

armazenar número de núcleos radioativos (xx) e para armazenar tempo (xt), além da

definição do número de interação (n) a ser executado pelo laço; e a criação de um

contador para indexar vetores (j).

Posteriormente se iniciou o laço do tipo “for”, para o cálculo da equação diferencial no

decorrer do tempo, definido pelo passo (dt), terminado o programa.

Assim, o algoritmo ficou descrito da seguinte maneira na interface do software

(Quadro 1).

Criou-se, então, um algoritmo para calcular analiticamente o decaimento radioativo do

Césio-137, sendo descrito (Quadro 2) na interface gráfica do Scilab®.

Quadro 1. Algoritmo do Decaimento Radioativo do Césio-137 pelo método de Euler

//Calcular numero de núcleos pela solucao analítica//tex = ti:dt:tf;xex = xi*(exp(-L*tex));

Quadro 2. Algoritmo para o calculo Analítico do Decaimento Radioativo do Césio-137

//Cálculo Aplicado à Engenharia II//

//Equação do decaimento radioativo para o Césio 137 pelo método de Euler//

clear all

clc

//Definição da Constante//

L = 7.32*(10^(-10)); //Constante de Desintegração (s^-1)//

//Definição as Variáveis//

xi = 6.0221367*(10^23); //Número de núcleos radioativos (1 mol)//

ti = 0; //tempo inicial (s)//

tf = 5256000000; //tempo final (s)//

dt = 52560000; //incremento de tempo (s)//

//Preparação para o laço do tipo for//

t= ti;

x = xi;

xx = xi; // cria vetor para armazenar número de núcleos//

xt = ti; // cria vetor para armazenar tempo//

n = (tf-ti)/dt; //define o número de iterações (n) a ser executado pelo laço "for"//

j = 1; //cria contador para indexar vetores//

//Inicio do bloco com o laço for//

for i = 1:n

dxdt = -(L*x);

x = x+dxdt*dt;

xx(j+1,1)=x; //adiciona velocidade calculada ao vetor xx//

t = t+dt

xt(j+1,1)=t/525600 //adiciona tempo ao vetor tempo (xt)//

j = j+1;

end

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Os resultados obtidos pelo método de Euler, através do algoritmo (Quadro 1) criado na

interface do software Scilab® (Tabela 1).

Tabela 1. Resultados obtidos do Decaimento Radioativo do Césio-137 pelo método de

Euler

Nº DE ANOS Nº DE NÚCLEOS (.1022) Nº DE ANOS Nº DE NÚCLEOS (.1022)0. 60.221367 5100. 8.1426374

100. 57.904415 5200. 7.8293582200. 55.676605 5300. 7.5281321300. 53.534508 5400. 7.2384954400. 51.474825 5500. 6.9600021500. 49.494387 5600. 6.6922235600. 47.590144 5700. 6.4347474700. 45.759165 5800. 6.1871775800. 43.99863 5900. 5.9491325900. 42.30583 6000. 5.72024611000. 40.678159 6100. 5.50016581100. 39.113111 6200. 5.28855281200. 37.608276 6300. 5.08508151300. 36.161339 6400. 4.88943851400. 34.77007 6500. 4.70132261500. 33.432329 6600. 4.52044431600. 32.146056 6700. 4.34652511700. 30.909272 6800. 4.17929721800. 29.720071 6900. 4.01850331900. 28.576623 7000. 3.86389572000. 27.477168 7100. 3.71523652100. 26.420014 7200. 3.57229682200. 25.403533 7300. 3.43485652300. 24.426159 7400. 3.30270412400. 23.486389 7500. 3.17563612500. 22.582776 7600. 3.0534572600. 21.713928 7700. 2.93597852700. 20.878508 7800. 2.82301992800. 20.07523 7900. 2.71440732900. 19.302857 8000. 2.60997343000. 18.5602 8100. 2.50955753100. 17.846117 8200. 2.4130053200. 17.159507 8300. 2.32016723300. 16.499313 8400. 2.23090133400. 15.86452 8500. 2.14506983500. 15.25415 8600. 2.06254053600. 14.667263 8700. 1.98318653700. 14.102956 8800. 1.90688553800. 13.56036 8900. 1.83352023900. 13.038639 9000. 1.76297754000. 12.536992 9100. 1.69514884100. 12.054645 9200. 1.62992984200. 11.590855 9300. 1.567224300. 11.14491 9400. 1.50692294400. 10.716121 9500. 1.44894574500. 10.30383 9600. 1.39319914600. 9.9074013 9700. 1.33959724700. 9.5262247 9800. 1.28805774800. 9.1597135 9900. 1.2385014900. 8.8073034 10000. 1.1908515000. 8.4684519

Tabela 2. Resultados obtidos do Decaimento Radioativo do Césio-137 pelo método

Analítico

Nº DE ANOS Nº DE NÚCLEOS (.1022) Nº DE ANOS Nº DE NÚCLEOS (.1022)0. 60.221367 5100. 8.4642999

100. 57.94842 5200. 8.1448301200. 55.761261 5300. 7.8374182300. 53.656653 5400. 7.5416089400. 51.631479 5500. 7.2569645500. 49.682742 5600. 6.9830634600. 47.807556 5700. 6.7195002700. 46.003146 5800. 6.4658848800. 44.26684 5900. 6.2218416900. 42.596068 6000. 5.98700941000. 40.988356 6100. 5.76104051100. 39.441324 6200. 5.54360041200. 37.952682 6300. 5.33436721300. 36.520227 6400. 5.13303111400. 35.141836 6500. 4.93929411500. 33.815471 6600. 4.75286931600. 32.539167 6700. 4.57348081700. 31.311035 6800. 4.4008631800. 30.129256 6900. 4.23476041900. 28.992082 7000. 4.0749272000. 27.897828 7100. 3.92112622100. 26.844874 7200. 3.77313032200. 25.831663 7300. 3.63072032300. 24.856693 7400. 3.49368532400. 23.918522 7500. 3.36182252500. 23.015761 7600. 3.23493652600. 22.147072 7700. 3.11283972700. 21.311171 7800. 2.99535112800. 20.506819 7900. 2.8822972900. 19.732826 8000. 2.77350993000. 18.988046 8100. 2.66882873100. 18.271376 8200. 2.56809863200. 17.581756 8300. 2.47117033300. 16.918164 8400. 2.37790053400. 16.279619 8500. 2.28815093500. 15.665174 8600. 2.20178883600. 15.07392 8700. 2.11868623700. 14.504982 8800. 2.03872023800. 13.957518 8900. 1.96177243900. 13.430716 9000. 1.88772884000. 12.923798 9100. 1.81647994100. 12.436013 9200. 1.74792014200. 11.966638 9300. 1.6819484300. 11.514978 9400. 1.61846594400. 11.080366 9500. 1.55737984500. 10.662158 9600. 1.49859934600. 10.259734 9700. 1.44203744700. 9.8724987 9800. 1.38761034800. 9.499879 9900. 1.28484134900. 9.1413232 10000. 1.22974655000. 8.7963004

As grandezas obtidas pelo método analítico (Tabela 2), diferenciaram-se das calculadas pelo método de Euler, originando erro. Os valores do decaimento radioativo do Césio-137, tanto pelo método de Euler quanto pelo método analítico, foram dispostos no gráfico (Figura 2), salientando uma pequena diferença da curva entre os dois métodos. Ainda, como esperado, o gráfico (Figura 2) segue o mesmo modelo da Figura 1.

A partir da Figura 2, podemos notar (Figura 3) que, com o aumento do incremento de tempo (quantidade de anos), ocorreu acentuação do erro, dados pela maior número de casas decimais a serem utilizadas.

0 1300 2600 3900 5200 6500 7800 91000

100,000,000

200,000,000

300,000,000

400,000,000

500,000,000

600,000,000

700,000,000

Método de Euler

Método Analítico

Tempo (Anos)

Núm

ero

de n

úcle

os (.

1015

)

Figura 2. Gráfico de comparação entre o Método de Euler e o Método Analítico do Decaimento Radioativ do Césio 137

Figura 3. Gráfico de erro entre o Método de Euler e o Método Analítico do Decaimento Radioativ do Césio 137

Tabela 3. Estimativa do Erro entre o método de Euler e o método Analítico.ANOS ERRO(.1015) ANOS ERRO(.1015) ANOS ERRO(.1015) ANOS ERRO(.1015)100. -440.050 2600. -4.331.440 5100. -3.216.625 7600. -1.814.795200. -846.560 2700. -4.326.630 5200. -3.154.719 7700. -1.768.612300. -1.221.450 2800. -4.315.890 5300. -3.092.861 7800. -1.723.312400. -1.566.540 2900. -4.299.690 5400. -3.031.135 7900. -1.678.897500. -1.883.550 3000. -4.278.460 5500. -2.969.624 8000. -1.635.365600. -2.174.120 3100. -4.252.590 5600. -2.908.399 8100. -1.592.712700. -2.439.810 3200. -4.222.490 5700. -2.847.528 8200. -1.550.936800. -2.682.100 3300. -4.188.510 5800. -2.787.073 8300. -1.510.031900. -2.902.380 3400. -4.150.990 5900. -2.727.091 8400. -1.469.9921000. -3.101.970 3500. -4.110.240 6000. -2.667.633 8500. -1.430.8111100. -3.282.130 3600. -4.066.570 6100. -2.608.747 8600. -1.392.4831200. -3.444.060 3700. -4.020.260 6200. -2.550.476 8700. -1.354.9971300. -3.588.880 3800. -3.971.580 6300. -2.492.857 8800. -1.318.3471400. -3.717.660 3900. -3.920.770 6400. -2.435.926 8900. -1.282.5221500. -3.831.420 4000. -3.868.060 6500. -2.379.715 9000. -1.247.5131600. -3.931.110 4100. -3.813.680 6600. -2.324.250 9100. -1.213.3111700. -4.017.630 4200. -3.757.830 6700. -2.269.557 9200. -1.179.9031800. -4.091.850 4300. -3.700.680 6800. -2.215.658 9300. -1.147.2801900. -4.154.590 4400. -3.642.450 6900. -2.162.571 9400. -1.115.4302000. -4.206.600 4500. -3.583.280 7000. -2.110.313 9500. -1.084.3412100. -4.248.600 4600. -3.523.327 7100. -2.058.897 9600. -1.054.0022200. -4.281.300 4700. -3.462.740 7200. -2.008.335 9700. -1.024.4022300. -4.305.340 4800. -3.401.655 7300. -1.958.638 9800. -995.5262400. -4.321.330 4900. -3.340.198 7400. -1.909.812 9900. -463.4032500. -4.329.850 5000. -3.278.485 7500. -1.861.864 10000. -388.955

Portanto, a partir da Figura 3, podemos estimar a tabela de erro (Tabela 3), com seus

respectivos valores ao longo do tempo, salientando que, com o passar dos anos e o

aumento de números significativos, o erro vai aumentando.

CONCLUSÃO

O Método Numérico de Euler é mais eficaz que o método analítico, pois, considerando

um maior número de algarismos significativos, o valor final será mais próximo do real.

A diferença das grandezas entre os métodos se acentua conforme o aumento de

algarismos significativos.

BIBLIOGRAFIA

0 1300 2600 3900 5200 6500 7800 91000

100,000,000

200,000,000

300,000,000

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600,000,000

Método de Euler

Método Analítico

Tempo (Anos)

Núm

ero

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1015

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