Utilidad de las derivadas

7/17/2019 Utilidad de las derivadas

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APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE FUNCIONES YRESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

1er CASO: FUNCIONES POLINÓMICAS.

EJEMPLO-1:

V!"# re$re#e%&r 'r()*+!e%&e , )%+*%: )/0 2 03-3041 5 2 03-3041

16 DOMINIO: D"! /) 2 R

76 SIMETRÍA: N" &*e%e8 %* +"% re#$e+&" , e9e Y8 %* +"% re#$e+&" , "r*'e% e +""re%#.

36 CORTES CON LOS EJES:

• 0 2 ; ⇒ 5 2 1 → /;< 1

• 5 2 ; ⇒ 03-3041 2 ; 8 E++*% e &er+er 'r" ⇒ Tre# +"r&e#8 e% e#&e +#" *)=+*,e# e

>,,r

?6 ASÍNTOTAS:

• VERTICALES: DENOMINADOR 2 ;

• @ORIONTALES: 0/) ,*!50 ∞→

=

• OBLICUAS: Se % +%" &e%e!"# % +"+*e%&e e $",*%"!*"# e% e, e EL GRADODEL NUMERADOR SEA UNA UNIDAD MAYOR UE EL GRADO DEL DENOMINADOR.

6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Ó LOCALES:

16 )/0 2 307-3

76 307-3 2 ; ⇒ 0 2 ±1 PUNTOS CRÍTICOS

36 )/0 2 H0

1



?6 Se +,+, )/0 e% ,"# $%&"# +r=&*+"#:

• )/41 2 4H ; ⇒ E% 0 2 1 ) ,+% % !=%*!" re,&*K"

E, $%&" e , 'r()*+ e# /1< -1

• )/-1 2 -H; ⇒ E% 0 2 -1 ) ,+% % !(0*!" re,&*K"

E, $%&" e , 'r()*+ e# /-1< 3

H6 PUNTOS DE INFLEXIÓN: S"% $%&"# e% ,"# e , +rK re$re#e%&&*K +!* e+"%+K*. E9e!$,"#:

E% 0 2 >5 % $%&" e *%),e0*%8 $"re ,'r()*+ e , )%+*% $# e +%+K >+*rr* +%+K >+* 9".

16 )/0 2 H0

76 H0 2 ; ⇒ 0 2 ; ⇒ E% 0 2 ; >5 % $%&" e *%),e0*%.

7



E, $%&" e , 'r()*+ e#: /;< 1

6 GRÁFICA:

EN ESTA GRÁFICA SE OBSERVA:

16 ) +re+e e% /-∞< -1 ∪/1< 4∞. C%" ) +re+e: )/0 ;

76 ) e+re+e e% /-1< 1. C%" ) e+re+e: )/0;

36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< ;. C%" ) e# +%+K >+* 9": )/0;

?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /;< 4∞. C%" ) e# +%+K >+* rr*: )/0;

EJERCICIOS FÁCILES:

Re$re#e%& 'r()*+!e%&e ,# #*'*e%&e# )%+*"%e#:

5 2 70347 5 2 07-04H /Se'%" 'r" ⇒ #& e0&re!"# 5 +"r&e# +"% ,"# e9e#

+ 5 2 -0743 5 2 /0-7741 e 5 2 -7/0437-3

EJEMPLO-7

)/0 2 03-0 5 2 03-0

3

x

y

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5



16 DOMINIO: D"!/) 2 R

76 SIMETRÍA: S*!&r*+ re#$e+&" e, $%&" /;<;

36 CORTES CON LOS EJES:

• 0 2 ; ⇒ 5 2 ; → /;< ;

• 5 2 ; ⇒ /;< ;8 /1< ;8 /-1<;

?6 ASÍNTOTAS: N" >5

6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Ó LOCALES:

16 )/0 2 307-1

76 307-1 2 ; ⇒ 0 23

1± ⇒ "# $%&"# +r=&*+"#

36 )/0 2 H0

?6 Se +,+, )/0 e% ,"# $%&"# +r=&*+"#:

• ;3

1P/H

3

1/QQ) >+=+ ⇒ E% 0 2

3

1+ ) ,+% % !=%*!" re,&*K"

E, $%&" e , 'r()*+:3R8;

3

1

3

1

3

1/)

3

−=−

=e# /;8< -;83

?



• 3

1P/H

3

1/QQ) −=− ; ⇒ E% 0 2

3

1− ) ,+% % !(0*!" re,&*K"

E, $%&" e , 'r()*+: 3R8;

3

1

3

1

3

1/)

3

+=

−−

−=−

e# /-;8< 4;83

H6 PUNTOS DE INFLEXIÓN:

)/0 2 H0 ⇒ /;< ;

6 GRÁFICA:


16 ) +re+e e% /-∞< -;8 ∪/;8< 4∞

76 ) e+re+e e% /-;8< ;8

36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< ;

?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /;< 4∞

x

y

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 2

- 1

0

1



EJEMPLO-3:

)/0 2 03-70740

• CORTES CON LOS EJES:

/;< ; 5 /1< ;

• PUNTOS CRÍTICOS:

0 2 1 5 0 2 13

• EXTREMOS RELATIVOS:

M=%*!" e% /1< ; < M(0*!" e% /13< ;81?

• PUNTOS DE INFLEXIÓN:

E% /73< ;8;?

• GRÁFICA:


16 ) +re+e e% /-∞<13 ∪/1< 4∞

76 ) e+re+e e% /13< 1

36 ) e# +%+K >+* 9" e% /-∞< 73

?6 ) e# +%+K >+* rr* e% /73< 4∞

H

x

y

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3



PARA UNA REPRESENTACIÓN APROXIMADA8 NO ES NECESARIO @ALLAR LOSPUNTOS DE INFLEXIÓN.

EJERCICIOS.

D*9 APROXIMADAMENTE / #*% >,,r ,"# $%&"# e *%),e0*% , 'r()*+ e ,# #*'*e%&e#)%+*"%e#:

)/0 2 0?-07 / S*!e&r= → e# $r → S*!&r*+ re#$e+&" e, e9e Y< C"r&e# → /-1<; 5 /1<;< P%&"#+r=&*+"#→ 0 2 ; 5 7S10 ±=

)/0 2 703-041 / P%&"# e +"r&e +"% e, e9e Y: %" #e >,,% $"r *)=+*,e#. P%&"# +r=&*+"#:

1D81

3

?0 ±=±=

x

y

-1. 5 - 1 -0. 5 0 0. 5 1 1. 5

0

1

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8



+ )/0 2 0?-707 / C"r&e#: 7± < P%&"# +r=&*+"#: ±1 5 ;

76 CASO: REPRESENTACIÓN GRÁFICA APROXIMADA DE FUNCIONES RACIONALESSIN USAR LA DERIVADA Y NO @AY ASÍNTOTAS OBLICUAS / V*#&" +"% ,"# ,=!*&e#. L"re$#re!"# +"% "&r"# e9er+*+*"#

C,+,re!"# ," #*'*e%&e:

16 A#=%&"&# >"r*"%&,e# 5 Ker&*+,e#

76 V,"re# e 0 , **er 5 , ere+> e ,# #=%&"&# Ker&*+,e#.

36 C"r&e# +"% ,"# e9e#.

EJERCICIOS.

170

15

−±

= 77

0

15

±= 3

30

05

−=

?10

1075

−+

= 0?

0D5

−=

x

y

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1

0

1

2



3er CASO: REPRESENTACIÓN GRÁFICA APROXIMADA DE FUNCIONES RACIONALESSIN USAR LA DERIVADA @ABIENDO ASÍNTOTAS OBLICUAS.

Pr e >,, #=%&"&# ",*+#8 e, 'r" e, %!er"r ee #er % %* !5"r e e, 'r"e, e%"!*%"r.

C%" >5 #=%&"&# ",*+# %" >5 #=%&"&# >"r*"%&,e#.

C,+,re!"# ," #*'*e%&e:

16 A#=%&"&# Ker&*+,e# 5 ",*+#

76 V,"re# e 0 , **er 5 , ere+> e ,# #=%&"&# Ker&*+,e#.

36 C"r&e# +"% ,"# e9e#.

EJEMPLO:0

7005

7+−

=

L #=%&"& ",*+ #e $ee >,,r e)e+&%" , *K*#*%:0

7105 +−=

C%" 0 → ∞8 5-/0-1 →; ⇒5 0-1

@5 "&r" !&"" e #e # !(# e% 76 e B+>*,,. +"% )%+*"%e# NO r+*"%,e#:

5 2 !04%

• ! 20

0/) ,*!0 ∞→

• % 2 [ ]!00/) ,*!0

−

∞→

LA GRÁFICA ES:

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 9

- 8

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6



EJERCICIOS.

10

05

7

3

−

=

/10

005

7−

+=

0

105

7 −=

/0

105 −+=

1;

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 8

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 8

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7



+30

70305

7

−

+−=

/30

705

−

+=

70

1005

7

−

−−=

?6 CASO: FUNCIONES NO RACIONALES.

EJERCICIOS.

=3

0,%5

L075 =

11

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

x

y

-1 5 -1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 7

- 6

- 5

- 4- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



+ 52,"'/0

5 2 7±0 /0

0

7

175

== −

e 5 2 3e0

) 5 2 77-0

7. PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

16 P'. 733-77-SM: C"% % ,!re e 1!8 #e *ere +"%#&r*r e, "re e % re+&(%'," e (re

!(0*!8 *!e%#*"%e# >5 e r , re+&(%',". / +r" e ;87! e ,". @5 %)%+*% "$&*!*r 5 % e++*% e ,*'r

76 P'. 733-77-SM: De#+"!$"%er 1 +"!" #! e "# %W!er"# $"#*&*K"#8 e !%er e e,$r"+&" e %" e e,,"# $"r e, +r" e, "&r" #e !(0*!". /17 5 H.

17



3 P'. 733-7-SM:Se *ere K,,r % +!$" re+&%',r e e#&( 9%&" % +!*%". S* , K,,e, ," e, +!*%" +e#& ! 5 , e ,"# "&r"# ,"# 1 !8 >,, ,# *!e%#*"%e# 5 e, (re e,!5"r +!$" e $ee +er+r#e +"% 1.;; . / 0/9%&" , +!*%"21;!8 5 2 ?;! .

? P'. 733-7H-SM:U% 9r*%er" > e +"%#&r*r % $r&erre e% )"r! e #e+&"r +*r+,r +"% %$er=!e&r" e 7;!. C(, #er( e, r*" e e, $r&erre e (re !(0*!. / ! e r*" 5 1;! er+" .

P'. 733-7-SM:E% % ")*+*% e +"rre"# #," #e !*&e% $e&e# +"% )"r! e$r,e,e$=$e" re+&%',r8 &,e# e , %+>r #e *', , ,&r 58 e!(#8 , #! e %+>"8,&" 5 ,r'" ee #er 7!. @,, ,# *!e%#*"%e# e, $r,e,e$=$e" $r e e, K",!e% #e!(0*!". / +" e 7?! e r*#&

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