UTICAJ NESTACIONARNOG TRENJA KOD HIDRAULIČKIH PRELAZNIH PROCESA NA PRIMJERU INDUSTRIJSKOG

HIDROPOSTROJENJA

INFLUENCE OF UNSTEADY FRICTION ON HYDRAULIC TRANSIENTS IN CASE OF INDUSTRIAL HYDROPOWER SYSTEM

Uroš Karadžić*, Anton Bergant**, Petar Vukoslavčević*

Univerzitet Crne Gore, Mašinski fakultet, Cetinjski put bb, 81000 Podgorica, Crna Gora,

Telefon: +382 81 206 131 , Fax: +382 81 206 131, E-mail: urosk@cg.ac.yu , petarv@cg.ac.yu*

Litostroj EI, Litostrojska 50, 1000 Ljubljana, Slovenija, Telefon: +386 1 5824 284, Fax: +386 1 5824 174, E-mail: anton.bergant@litostroj-ei.si **

ABSTRACT: The value of the friction factor during unsteady flow in pipelines is different from the value in steady flow conditions. For evaluating unsteady friction factor several methods have been developed. An advanced Zielke’s model is presented and used in this paper. A brief description of the method of characteristics as numerical tool for solving fluid transient equations is given. Numerical results using unsteady friction model are compared with results of measurements performed in industrial hydropower system as well as numerical results using standard quasi-steady friction model. Effects of unsteady friction on the shape and timing of pressure waves are investigated. Key words: fluid transients, unsteady friction, the method of characteristics, hydropower system 1.UVOD U hidrauličkim sistemima sa raznim vrstama radnih fluida dešavaju se različite vrste prelaznih procesa, tokom kojih dolazi do značajnih promjena projektovanih radnih parametara sistema. U najgorem slučaju može doći i do havarije sistema (npr. prskanje cjevovoda). Izraz hidraulički udar predstavlja sinonim za nestacionarno strujanje u cjevovodima pumpnih postrojenja i hidroelektrana i dobio je ime zbog karakterističnog zvuka koji se javlja tokom trajanja prelaznog procesa a koji liči na udare čekića. Hidraulički udar izaziva formiranje talasa nadpritiska ili podpritiska koji se kroz protočni trakt hidrauličkog sistema prenosi brzinom koja je bliska brzini zvuka. U hidroelektranama hidraulički udar može biti izazvan ispadom turbine, njenim opterećivanjem ili promjenom opterećenja, pobjegom turbinskog agregata, otvaranjem i zatvaranjem sigurnosnih preturbinskih zatvarača a u elektranama koje su opremljene sa Peltonovim turbinama otvaranjem i zatvaranjem igala turbinskih mlaznica. Usled promenljive brzine strujanja, koeficijent trenja u cjevovodima nema konstantnu vrijednost već se mijenja tokom hidrauličkog udara i zahtijeva uvođenje posebnog modela za njegovo izračunavanje. Planiranje novih ili obnova i modernizacija postojećih hidroelektrana zahtijeva detaljnu analizu hidrauličkog udara u cilju dobijanja maksimalnih i minimalnih pritisaka koji se mogu javiti u sistemu tokom njegove eksploatacije. Na taj način rezultati istraživanja prelaznih procesa predstavljaju podlogu za projektovanje hidrauličkih sistema,

1

kao i mjera zaštite od neželjenog dejstva hidrauličkog udara i izbora optimalnih režima rada tokom eksploatacije [1]. Ovaj članak se bavi uticajem hidrauličkog udara na rad visokopritisne hidroelektrane Perućica, Crna Gora. U prvom dijelu rada dat je teorijski model prelaznih procesa u hidrauličkim cijevnim sistemima sa osnovnim jednačinama koje ih opisuju a za njihovo rešavanje korišćena je metoda karakteristika. Za određivanje nestacionarnog člana u izrazu za koeficijent trenja korišćen je jedan od najnovijih pristupa [2] baziran na Zielke-ovom konvolucijskom modelu [3]. Predstavljeni su različiti modeli zatvaranja mlaznica Peltonovih turbine. Data je šema HE Perućica i navedena mjesta na kojima je vršeno mjerenje pritiska tokom trajanja hidrauličkog udara. U drugom dijelu rada dato je poređenje numeričkih i eksperimentalnih rezultata za slučajeve rasterećenja agregata sa dvije različite vrijednosti snage. Pokazano je da se numerički model sa uključenim efektom nestacionarnosti trenja i dvostepenim zatvaranjem turbinske mlaznice bolje slaže sa rezultatima mjerenja u poređenju sa ostalim numeričkim modelima. 2. TEORIJSKI MODEL Hidraulički udar predstavlja prostiranje talasa pritiska duž cjevovoda i izazvan je promjenom strujnih uslova odnosno promjenom brzine strujanja fluida. Hidraulički udar je u potpunosti opisan sa dvije parcijalne diferencijalne jednačine hiperboličkog tipa i to jednačinom kontinuiteta i jednačinom promjene količine kretanja [4]:

02

=∂∂

+∂∂

xQ

gAa

tH , (1)

02

12 =+

∂∂

+∂∂

gDAQQ

ftQ

gAxH . (2)

Detaljno izvođenje jedn. (3) i (4) kao i pretpostavke i uprošćenja pod kojim su izvedene je moguće pronaći u literaturi [4], [5].

Jednačine (1) i (2) formiraju sistem kvazilinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina hiperboličkog tipa. U ovim jednačinama zavisne promenljive su protok Q i pijezometarski pritisak ili napor H a nezavisno promenljive su vrijeme t i prostorna koordinata jednodimenzionog strujnog polja x. Za rešavanje ovih jednačina koristi se numerička metoda poznata kao metoda karakteristika. Primjenom ove metode jednačine (1) i (2) se prevode u obične diferencijalne jednačine uz istovremeno određivanje familija krivih u prostorno-vremenskoj ravni duž kojih važi izvedena transformacija, (tzv. karakteristične linije ili karakteristike). Primjenom konačnih razlika na kraju se dobijaju dvije algebarske jednačine, pogodne za numeričko rešavanje koje za i-ti numerički čvor imaju sledeći oblik [4]: duž C+ karakteristične linije (Δx/Δt = a)

( ) ( )( ) ( ) ( ) 02 ,1,2,1,,1, =Δ

+−+− Δ−−Δ−−Δ−− ttidtiuttidtiuttiti QQgDA

xfQQgAaHH , (3)

duž C- karakteristične linije (Δx/Δt = -a)

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) 02 ,1,2,1,,1, =Δ

−−−− Δ−+Δ−+Δ−+ ttiutidttiutidttiti QQgDA

xfQQgAaHH . (4)

Vrijednost protoka uzvodno od numeričkog čvora i ((Qu)i) je jednaka vrijednosti

protoka nizvodno od numeričkog čvora ((Qd)i) sve dok je pritisak u sistemu veći od pritiska isparavanja vodene pare za datu vrijednost temperature. U cilju potpune postavke problema sistem jednačina se dopunjuje početnim i graničnim uslovima. Početni uslovi definišu strujne parametre fluida u početnom vremenskom trenutku, prije djelovanja poremećaja. Granični uslovi definišu promjenu parametara fluida na granicama sistema tokom vremena i oni u graničnim tačkama dodaju karakterističnim jednačinama ili mijenjaju jednu od njih. Prilikom numeričkog rešavanja u radu je korišćena tzv. dijamantska mreža metode karakteristika [4]. Uobičajeno je da se gubici usled trenja prilikom proračuna prelaznih procesa izražavaju preko stacionarnog ili kvazistacionarnog koeficijenta trenja. Ova pretpostavka daje zadovoljavajuće rezultate za spore prelazne procese kada se tangencijalni napon na zidu cijevi ponaša kvazistacionarno. Prethodna istraživanja brzih prelaznih procesa pokazala su da kvazistacionarna aproksimacija koeficijenta trenja daje rezultate koji značajno odstupaju od eksperimentalnih rezultata [6]. Za brze prelazne procese se koeficijent trenja može izraziti kao zbir dva člana, kvazistacionarnog i nestacionarnog [7]:

uq fff += . (5) Kvazistacionarni član u prethodnoj jednačini fq se određuje na konvencionalan način u funkciji Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti cjevovoda. Za određivanje nestacionarnog člana u izrazu za koeficijent trenja tokom hidrauličkog udara u hidrauličkim cijevnim sistemima u literaturi je moguće pronaći više metoda koji uključuju jednodimenzione (1D) i dvodimenzione (2D) modele. Detaljnu klasifikaciju modela za određivanje nestacionarnog koeficijenta trenja moguće je pronaći u [8].

U ovom radu je za izračunavanje nestacionarnog koeficijenta trenja korišćen tzv. konvolucijski model (CBM). Konvolucijski model je razvio Zielke za prelazno laminarno strujanje [3]. On je nestacionarni član u izrazu za koeficijent trenja iz jednačine (5), u vremenskom domenu, izrazio kao konvoluciju lokalnog ubrzanja i težinske funkcije koja uzima u obzir promjenu protoka u posmatranom presjeku tokom vremena:

( )tWtQ

QDQAfu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= 0*32ν , (6)

gdje je W0 težinska funkcija zasnovana na početnim uslovima prije početka prelaznog procesa. Zielke je jednačinu (6) izveo koristeći potpunu konvolucijsku šemu koja je veoma zahtjevna za korišćenje i primjenu, pogotovu kada je vremenski korak mali i vrijeme simulacije veliko, jer je potrebno pamtiti kompletnu istoriju promjene protoka u posmatranom presjeku [2], [9]. Jedan od najnovijih modela [2] za određivanje nestacionarnog koeficijenta trenja aproksimira težinsku funkciju kao sumu N eksponencijalnih članova:

( ) ∑=

−=N

k

nkapp

kemW1

ττ . (7)

3

Nestacionarni član u izrazu za koeficijent trenja može se sada predstaviti sledećom jednačinom:

( )∑=

=N

kku ty

QDQAf

1

32ν , (8)

gdje je:

( ) ( )∫ −−

∂∂

=t

ttKnkk dtem

tQty k

0

**

*. (9)

Konstanta K (= 4ν/D2) konvertuje vrijeme t u njegov bezdimenzijski oblik τ = 4νt/D2. U trenutku t + 2Δt komponenta yk je:

( ) ( )∫Δ+

−Δ+−

∂∂

=Δ+tt

tttKnkk dtem

tQtty k

2

0

*2*

*2 . (10)

Rešavanjem jednačine (10) i uvođenjem bezdimenzijskog vremenskog koraka Δτ(=KΔt) dobija se izraz za yk i konačno za fu [1], [2]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }tQttQmtyeetty kktKntKn

kkk −Δ++=Δ+ Δ−Δ− 22 . (11)

U trenutku t + 2Δt član yk(t) je poznat jer je izračunat u prethodnom vremenskom trenutku pa sada u jednačini (11) više ne egzistira konvolucija što znatno olakšava izračunavanje nestacionarnog koeficijenta trenja a takođe nije potrebno poznavanje ukupne istorije promjene protoka tokom vremena. Jedina otežavajuća okolnost je što je sada u svakom numeričkom čvoru potrebno pamtiti vrijednosti N dodatnih promenljivih yi tokom vremena. Koeficijenti mk i nk su određeni za Zielke-ovu [3] i Vardy-Brown-ovu težinsku funkciju [10], [11]. Vrijednosti koeficijenata mk i nk su date u [2]. Prilikom numeričkog modeliranja CBM modela momentni korekcioni faktor 0β je uključen u jednačine (1) i (2) [12]. Momentni korekcioni faktor 0β definisan za početne uslove prije početka prelaznog procesa dat je sledećom jednačinom,

∫=A

dAvAV 22β . (12)

a izrazi za njegovo određivanje u zavisnosti od početne brzine strujanja dati su u [13].

Mlaznice turbina služe za regulaciju protoka a samim tim i za regulaciju snage jer je kod visokopritisnih hidroelektrana sa Peltonovim turbinama neto pad približno konstantan. Regulacija protoka se vrši pomjeranjem igle u mlaznici i odgovarajućim položajem odrezača mlaza. Kako je neto pad približno konstantan, protok kroz mlaznicu uglavnom zavisi od položaja igle mlaznice s a ne zavisi od brzine obrtanja turbine n i oblika lopatica [14]. Prilikom proračuna prelaznih procesa pravilno modeliranje zatvaranja mlaznica Peltonovih turbina je od izuzetnog značaja jer je promjena protoka kroz mlaznicu jedan od osnovnih i najčešćih uzroka pojave prelaznih procesa u sistemu. Protok kroz mlaznicu se može odrediti na osnovu sledeće formule:

4

( ) ( )dtimQtiu HHgAKQ −= ,, 2 , (13) gdje je, KQ = koeficijent protoka mlaznice definisan za čitavi poprečni presjek mlaznice, Am=dm

2π/4 = površina poprečnog presjeka mlaznice, Hd = napor nizvodno od mlaznice (Hd =65.8 [m] =const. za HE “Perućica”).

Na Sl.1. je prikazana funkcionalna zavisnost koeficijenta protoka mlaznice KQ i odnosa koraka igle mlaznice s i prečnika mlaznice dm.

Slika 1. Koeficijent protoka mlaznice Peltonove turbine

Da bi se odredila promjena koeficijenta protoka tokom zatvaranja i otvaranja mlaznice

potrebno je poznavati zakon promjene hoda igle mlaznice koji je određen sledećim izrazom:

0ss ⋅=τ , (14) gdje je, s0 = maksimalni hod igle mlaznice, τ = stepen otvorenosti mlaznice. Mlaznica može da se zatvori u jednom koraku na osnovu sledeće relacije:

( )mE

mfii t

t⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ττττ , (15)

ili u dva koraka, prvi korak na osnovu formule (16) a drugi korak na osnovu formule (17):

( )1

1

mE

cfii t

t⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ττττ , (16)

( )2mE

pc

pfpp tt

tt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−= ττττ . (17)

Jedn. (16) važi do trenutka t=tp a zatim se primjenjuje izraz (17). Vremena tp i tc1 su određena iterativno i najbolji rezultati se dobijaju sa sledećim njihovim vrijednostima tp=0.98125tc,

5

tc1=0.995tc. Zatvaranje mlaznice u dva koraka predstavlja njeno stvarno zatvaranje što znači da se mlaznica pri samom kraju zatvaranja kreće malo sporije. 3. ŠEMA INDUSTRIJSKOG HIDROPOSTROJENJA HE “PERUĆICA”

Visokopritisna hidroelektrana HE “Perućica” je složeni hidroenergetski sistem (Sl.2) koji se nalazi u sklopu EPCG. Sistem pod pritiskom HE “Perućica” čini betonski tunel dužine 3335m, vodostan sa proširenjem i prelivom i tri čelična cjevovoda sa ugrađenim Peltonovim turbinama sa horizontalnim vratilom na nizvodnom kraju. Cjevovodi su dužine oko 2 km pri čemu cjevovod I napaja dva agregata (A1 i A2) snage po 40MVA kao i dva kućna agregata (K1 i K2) snage po 1 MVA, cjevovod II napaja tri agregata (A3, A4 i A5) snage po 40MVA i cjevovod III napaja dva agregata (A6 i A7) snage po 65MVA sa planiranim dodavanjem još jednog agregata (A8) čija je snaga takođe 65MVA. Maksimalni radni nivo na ulaznoj građevini je 613 mnm (mnm = metara nad morem) a minimalni radni nivo je 602.5 mnm.

Sl.2. Šema HE “Perućica”

Vodostan na HE “Perućica” je cilindrični sa promenljivom površinom poprečnog presjeka i prelivom na koti 628 mnm čija je širina bpr=7.98 m a koeficijent preliva μ=0.4. Na ulazu u vodostan, čiji je prečnik Dul=2.82m se nalazi asimetrični prigušivač. Koeficijenti lokalnih gubitaka su prilikom uticanja vode u vodostan ζu=1.65 a prilikom isticanja ζi=2.48. Koeficijent trenja u cjevovodima za stacionarno strujanje je fq=0.0125. Ispred agregata A1 do A5 nalaze se predturbinski kuglasti zatvarači nominalnog prečnika Dz=1000mm. Svakom agregatu pripadaju po dva kuglasta zatvarača tako da ih na ovom dijelu ima ukupno 10. Ispred agregata A6 i A7 nalaze se kuglasti zatvarači nominalnog prečnika Dz=1200mm. Zatvarači istih karakteristika su planirani i ispred budućeg agregata A8. U tabeli T.1. su date osnovne karakteristike Pelton turbina ugrađenih u HE “Perućica”.

Tabela T.1. Osnovne karakteristike turbinskih agregata

Agregat Broj radnih kola po agregatu

Nominalni neto pad Hn [m]

Maksimalni protok po agregatu Q[m3/s]

Kućni 1 505 0.2 A1,A2,A3,A4 2 526 8.5

A5 2 526 8.5 A6,A7,A8 2 526 12.75

Agregat Broj obrtaja turbine n[min-1]

Broj obrtaja turbine pri pobjegu n[min-1]

Nominalna snaga agregata P[MW]

Kućni 1000 1800 0.858

6

A1,A2,A3,A4 375 675 39 A5 375 675 39

A6,A7,A8 428 790 59

Agregat Zamajna masa turbine i

generatora GD2[tm2] Hod igle s[mm] Broj igala po turbini

Kućni - 42 1 A1,A2,A3,A4 675 150 1

A5 675 195 1 A6,A7,A8 800 166 2

Agregat Prečnik mlaznika dm[mm]Minimalno vrijeme

zatvaranja igle za Qmax tc[s]

Minimalno vrijeme otvaranja igle za Qmax

to[s] Kućni 65 15 (3 mjerenje) 5 (4 mjerenje)

A1,A2,A3,A4 315 80 30 A5 300 80 30

A6,A7,A8 255 80 50

Prečnik radnog kola Pelton turbina je Dk=2400m za agregate A1 do A5 i Dk=2100m

za agregate A6 do A8. Za vrijeme modernizacije i revitalizacije HE “Perućica” je u toku 2006 godine, između ostalog, izvršena i ugradnja novih mlaznica Peltonovih turbina na agregatima A1 i A2. Prilikom probnog rada obnovljenih agregata A1 i A2, na HE “Perućica”, vršena su i mjerenja raznih veličina kako bi se izabrali odgovarajući optimalni režimi rada pojedinih elemenata sistema. Neke od mjerenih veličine su: pritisak ispred mlaznice turbine, hod igle mlaznice, hod skretača mlaza, promjena broja obrtaja turbine, pritisak ispred kuglastog zatvarača, pritisak iza kuglastog zatvarača. Sva mjerenja na agregatima A1 i A2 vršila su se tokom primopredajnih ispitivanja opreme. Pritisci su mjereni pomoću davača za pritisak Cerabar T PMP 131-A1101A70 firme Endress+Hauser koji mjere apsolutni pritisak u rasponu 0-100 bar sa tačnošću 0.5%. Za mjerenje hoda igle mlaznice i hoda skretača mlaza korišćeni su davači firme Balluff BTL5-S112-M0175-B-532 za iglu i BTL5-S112-M0275-B-532 za skretač. Tačnost ovih davača je 0.005mm. Za mjerenje broja obrtaja turbine korišćena je zupčasta letva BES M18MI-PSC50B-S04K firme Balluff sa tačnošću mjerenja 0.005%.

4. POREĐENJE EKSPERIMENTALNIH I NUMERIČKIH REZULTATA

U ovom radu su predstavljeni rezultati dobijeni prilikom rasterećenja agregata A2 sa dvije različite početne snage tj. rezultati dobijeni prilikom zatvaranja turbinskih mlaznica za različite početne otvore mlaznice. Numerički rezultati dobijeni standardnim kvazistacionarnim modelom trenja (QSF) i konvolucijskim modelom za određivanje nestacionarnog koeficijenta trenja (CBM) dobijeni za zatvaranje mlaznice u jednom i u dva koraka su upoređeni sa rezultatima mjerenja. Predstavljeni su eksperimentalni i numerički rezultati za sledeće slučajeve: rasterećenje A2 sa početne snage od 10MW (0.25Pn) i rasterećenje A2 sa početne snage od 30MW (0.75Pn). U sledećim tabelama se nalaze glavni početni parametri za sve eksperimente i numeričke proračune. Strujanje u cjevovodu I je turbulentno sa velikim vrijednostima Rejnoldsovog broja. Rezultati mjerenja i numeričkih proračuna su upoređeni između mlaznice i kuglastog zatvarača.

Tabela T.2. Početne vrijednosti protoka kroz tunel i cjevovode Test QI [m3/s] ReI / 106 QII [m3/s] QIII [m3/s] Qt [m3/s]

RA2P10MW 2.727 1.7679 0 3.3 6.027 RA2P30MW 7.0 4.538 0 3.3 10.3

7

Tabela T.3. Kvazistacionarni koeficijenti trenja i momentni korekcioni faktori

Cjevovod I Cjevovod II Cjevovod III Tunel Test fq β fq β fq β fq β

RA2P10MW 0.013 1.0128 0.0125 1.0122 0.01319 1.0129 0.0149 1.0146 RA2P30MW 0.0127 1.0124 0.0125 1.0122 0.01319 1.0129 0.0147 1.0144

Tabela T.4. Brzina prostiranja poremećajnog talasa za CBM model a[m/s]

Test Cjevovod I Cjevovod II Cjevovod III Tunel RA2P10MW 1006.1 989.1 1013.01 1354.2 RA2P30MW 1005.9 989.1 1013.01 1354.4

Tabela T.5. Vrijeme zatvaranja mlaznice, nivoi na ulaznoj građevini, početna otvorenost

mlaznice i eksponenti zakona zatvaranja mlaznice Test HR [mnm] tc [s] s0 [mm] Em Em1 Em2 Yi0 [%]

RA2P10MW 608.0 14.33 25.5 0.9 0.9 0.9 17.0 RA2P30MW 607.5 42.2 82.5 1.0 1.0 0.9 55.0

Različit broj podjela cjevovoda je uziman prilikom numeričkih proračuna (Tabela T.6)

kako bi se ispitala numerička stabilnost modela [15]. Tabela T.5. Vremenski korak integracije i broj podjela cjevovoda i betonskog tunela

Verzija N1 Δt=0.04 [s]

Verzija N2 Δt=0.02 [s]

Verzija N3 Δt=0.01 [s]

Verzija N4 Δt=0.005 [s]

Tunel 62 124 248 496 Cjevovod I 48 96 192 384 Cjevovod II 50 100 200 400 Cjevovod III 50 100 200 400

Brzine prostiranja poremećajnog talasa za QSF model su: at=1344.758 [m/s], aI=999.74 [m/s], aII=983.15 [m/s], aIII=1006.55 [m/s]. Na Sl.3 je dato poređenje numeričkih i rezultata mjerenja za slučaj rasterećenja agregata A2 sa snage P=10MW (RA2P10MW).

8

Sl.3. Promjena napora na mlaznici za RA2P10MW, Verzija N1

Maksimalni napor na mlaznici se dobija kada talas pritiska dođe nazad do mlaznice u

trenutku t=3.53s i mjerenjem je dobijena vrijednost Hmax=626.77m. Maksimalni porast napora u sistemu iznosi ΔH= 19.1m. Numerički modeli daju veće vrijednosti maksimalnih napora u trenutku t=3.31s i to Hmax=632.86m (QSF 1K –jedan korak), Hmax=633.23m (CBM 1K), Hmax=632.94m (QSF 2K –dva koraka), Hmax=633.81m (CBM 2K). Svi numerički modeli imaju odličan tajming sa rezultatima mjerenja sve do trenutka potpunog zatvaranja mlaznice. Nakon toga dolazi do odstupanja u fazi napora. CBM model nakon zatvaranja mlaznice daje približnije vrijednosti amplituda u poređenju sa kvazistacionarnim modelom. Zatvaranje u jednom i dva koraka daje približno iste rezultate napora i kod CBM i kod QSF modela. Bitno je primijetiti da maksimalni napori koji se javljaju u sistemu imaju vrijednost koja je manja od maksimalno dozvoljenog napora a koji iznosi Hdoz=667.72m. Može se zaključiti da CBM model ipak daje rezultate približnije eksperimentalnim i prilikom zatvaranja mlaznice u jednom i u dva koraka. Na Sl.4 je dato poređenje numeričkih i rezultata mjerenja za slučaj rasterećenja agregata A2 sa snage P=30MW (RA2P30MW).

9

Sl.4. Promjena napora na mlaznici za RA2P30MW, Verzija N1 Za ovaj slučaj maksimalni napor na mlaznici se dobija u trenutku potpunog zatvaranja mlaznice i rezultat dobijen mjerenjem je Hmax=622.62m u trenutku t=41.41s. Maksimalni porast napora u sistemu iznosi ΔH= 18.58m. Svi numerički modeli pokazuju odlično slaganje sa rezultatima mjerenja do trenutka zatvaranja mlaznice. Maksimalni napor za QSF 1K od Hmax=622.27m se javlja u trenutku t=42.15s, Hmax=622.68m (CBM 1K) u trenutku t=42.14s, Hmax=622.15m (QSF 2K) u trenutku t=41.38s, Hmax=622.58m (CBM 2K) u trenutku t=41.35s. Nakon zatvaranja mlaznice svi modeli daju nešto veće vrijednosti napora na mlaznici pri čemu zatvaranja mlaznice u dva koraka i QSF i CBM model daju nešto bolje rezultate. I u ovom slučaju maksimalni napor u sistemu je manji od maksimalno dozvoljenog. Na Sl.5. je prikazana promjena napora na mlaznici za različit broj podjela cjevovoda i betonskog tunela za prethodno navedene primjere rasterećenja agregata. Promjene su date za CBM 2K model.

10

Sl.5. Promjena napora na mlaznici za RA2P10MW i RA2P30MW za različit broj podjela

cjevovoda

Sa sl.5 se vidi da CBM model daje približno iste rezultate za različit broj podjela cjevovoda za slučajeve rasterećenja agregata A2 sa P=10MW i P=30MW. Verzije N2, N3 i N4 daju skoro iste rezultate, jedino se verzija N1 malo razlikuje. Usled toga se može preporučiti da se za numeričke proračune koriste verzije sa većim brojem podjela cjevovoda. Bitan zaključak je i da se model ponaša numerički stabilno. 5. ZAKLJUČAK Rezultati dobijeni numeričkim modelom koji u sebe uključuje kvazistacionarni model za određivanje koeficijenta trenja (QSF) i numeričkim modelom koji nestacionarni član u izrazu za koeficijent trenja određuje pomoću konvolucijskog modela (CBM) dobijeni za zatvaranje mlaznice u jednom i u dva koraka su upoređeni sa rezultatima mjerenja. Rezultati mjerenja su dobijeni na industrijskom postrojenju HE “Perućica” za slučajeve rasterećenja agregata A2 sa dvije različite početne vrijednosti snage. Na osnovu dobijenih rezultata može se zaključiti da se numerički model sa uključenim efektom nestacionarnosti trenja bolje slaže sa rezultatima mjerenja u odnosu na model sa kvazistacionarnim trenjem. Uticaj različitog broja podjela cjevovoda i tunela je takođe razmatran i zaključeno je da se sa povećanjem broja podjela cjevovoda model ponaša numerički stabilno. Usled dobrog slaganja sa rezultatima mjerenja CBM numerički model sa zatvaranjem turbinske mlaznice u dva koraka se preporučuje za inženjersku praksu. 6. OZNAKE U radu su korišćene sledeće oznake

A = površina poprečnog presjeka Am = površina poprečnog presjeka mlaznice a = brzina prostiranja poremećajnog talasa

bpr = širina preliva vodostana D = prečnik cjevovoda Dk = prečnik radnog kola turbine Dul = prečnik na ulazu u vodostan Dz = prečnik kuglastog zatvarača dm = prečnik mlaznice Em = eksponent zakona zatvaranja mlaznice

11

f = Darcy-Weisbach-ov koeficijent trenja g = gravitaciono ubrzanje H = pijezometrijski pritisak (napor) Hd = napor nizvodno od mlaznice K =4ν/D2= konstanta koja konvertuje vrijeme u njegov bezdimenzijski oblik KQ = koeficijent protoka mlaznice L = dužina cjevovoda

mk, nk = koeficijenti sume N = broj podjela cjevovoda n = broj obrtaja turbine P = snaga agregata Q = zapreminski protok Qd = protok nizvodno od numeričkog čvora Qu = protok uzvodno od numeričkog čvora Re = Reynolds-ov broj = VD/ν s = hod igle mlaznice

t, t* = vrijeme tc = vrijeme zatvaranja ventila V = brzina strujanja fluida W = težinska funkcija x = prostorna koordinata Yi = stepen otvorenosti mlaznice yk = komponenta težinske funkcije β = momentni korekcioni faktor Δt = vremenski korak integracije Δx = prostorni korak integracije Δτ = bezdimenzijski vremenski korak μ = koeficijent preliva vodostana ν = kinematska viskoznost τ = bezdimenzijsko vrijeme, bezdimenzijski stepen otvorenosti mlaznice ζu = koeficijent gubitaka prilikom uticanja u vodostan ζi = koeficijent gubitaka prilikom isticanja iz vodostana

Subskripti:

app = približan doz = dozvoljeni

i = broj numeričkog čvora max = maksimalni

n = nominalni q = kvazistacionarni dio t = vrijeme u = nestacionarni dio 0 = početno ili referentno stanje

I, II, III = cjevovodi I, II, III Skraćenice:

QSF = numerički model sa kvazistacionarnim trenjem CBM = numerički model sa konvolucijskim modelom nestacionarnog trenja K1 = zatvaranje mlaznice u jednom koraku K2 = zatvaranje mlaznice u dva koraka

12

7. ZAHVALNICA Autori izražavaju zahvalnost ARRS-u (Agencija za istraživačku djelatnost Republike Slovenije) i ZAMTES-u (Zavod za međunarodnu naučnu, prosvjetno kulturnu i tehničku saradnju Republike Crne Gore) na finansijskoj podršci za navedena istraživanja. LITERATURA [1] Karadžić, U. (2004). Analiza fenomena prelaznih procesa u hidrauličkim sistemima.

Magistarski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet Crne Gore, Podgorica, Srbija i Crna Gora.

[2] Vítkovský, J., Stephens, M., Bergant, A., Lambert, M., Simpson, A.R. (2004). Efficient and accurate calculation of Zielke and Vardy-Brown unsteady friction in pipe transients. Proceedings of the 9th International Conference on Pressure Surges, BHR Group, Chester, UK, 15 pp.

[3] Zielke, W. (1968). Frequency-dependent friction in transient pipe flow. Journal of Basic Engineering, ASME, 90(1), 109 - 115.

[4] Wylie, E.B., Streeter, V.L. (1993). Fluid transients in systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA.

[5] Bergant, A., and Simpson, A.R. (1997). Development of a generalised set of pipeline water hammer and column separation equations. Research Report No. R149. Department of Civil and Environmental Engineering, University of Adelaide, Adelaide, Australia.

[6] Bergant A., Simpson, A.R. (1994). Estimating unsteady friction in transient cavitating pipe flow. Proceedings of the 2nd International Conference on Water Pipeline Systems, BHR Group, Edinburgh, UK, 333 - 342.

[7] Vardy, A.E. (1980). Unsteady flow: fact and friction. Proceedings of the 3rd International Conference on Pressure Surges, BHRA, Cantenbury, UK, 15 - 26.

[8] Bergant, A., Simpson, A.R., and Vitkovsky, J. (2001). Developments in unsteady pipe flow friction modelling. Journal of Hydraulic Research, IAHR, 39(3), 249-257.

[9] Zhao, M., Ghidaoui, M.S. (2004). Review and analysis of 1-D and 2-D energy dissipation models for transient flows. Proceedings of the 9th International Conference on Presure Surges, BHR Group, Chester, UK, 477-492.

[10] Vardy, A.E., Brown, J.M.B. (2003). Transient turbulent friction in smooth pipe flows. Journal of Sound and Vibration, 259(5), 1011 - 1036.

[11] Vardy, A.E., Brown, J.M.B. (2004). Transient turbulent friction in fully rough pipe flows. Journal of Sound and Vibration, 270, 233 - 257.

[12] Bergant, A., Karadžić, U., Vítkovský, J., Vušanović, I., Simpson, A.R. (2005). A Disrete Gas-Cavity Model that Considers the Frictional Effects of Unsteady Pipe Flow. Strojniški Vestnik – Journal of Mechanical Engineering, 51(11), 692-710.

[13] Chen, C.L. (1992). Momentum and energy coefficients based on power-law velocity profile. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 118(11), 1571 - 1584.

[14] Benišek, M. (1998). Hidraulične turbine. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, SR Jugoslavija.

[15] Maudsley, D. (1984). Errors in simulation of pressure transients in a hydraulic system. Proceedings of the Institute of Measurement and Control, 6(1), 7 – 12.

13