Departamento de InformáticaDepartamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa MaríaUniversidad Técnica Federico Santa María

Uso de Función GeneratrizUso de Función Generatriz

Prof: Rodrigo Arriagada

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Rodrigo Alejandro Arriagada NuñezRodrigo Alejandro Arriagada NuñezFundamentos de Informática II ILI-153Fundamentos de Informática II ILI-153

DefiniciónDefinición

• La función generatriz es una transformación que permite condensar todos los valores de una secuencia {a0, a1, ..., an, ...} en una única función:

• Y dado a(z) podemos obtener an como:

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Algebra Generatriz básicaAlgebra Generatriz básica

• Supongamos que sabemos que la función generatriz para an es a(z). ¿Cual es la función generatriz para an−1?. Esta sería:

donde hemos supuesto que la nueva secuencia valdrá cero en la primera componente.

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IdentidadesIdentidades

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TransformacionesTransformaciones

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Ejemplo de aplicaciónEjemplo de aplicación

• Serie de Fibonacci

– aun no podemos aplicar funciones generatrices porque la ecuación no es valida para todo n, por ejemplo no esta definida para 0 y 1. Lo que haremos será re-expresarla como:

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Ejemplo de aplicaciónEjemplo de aplicación

• ahora tomamos función generatriz de ambos lados

• multiplicando por z^2 ambos lados tenemos

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Ejemplo de aplicaciónEjemplo de aplicación

• es decir

• Con lo cual termina la primera etapa de la solución. Hemos mostrado como convertimos una recurrencia en una ecuación normal acerca de la función generatriz. ¿Como recuperar ahora la secuencia?. En este caso, notemos que F(z) se puede expandir en fracciones parciales

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Ejemplo de aplicaciónEjemplo de aplicación

• Ahora es fácil de invertir a partir de la tabla, resultando

• Tarea: Determine usted los coeficientes de la fracción parcial. Use numero aureo.