users.df.uba.arusers.df.uba.ar/mricci/tesis.pdf · Agradecimientos En esta oportunidad quisiera agradecer a todos aquellos que durante el transcurso de mi carrera universitaria y

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Fısica

Grupo de Electromagnetismo Aplicado

Scattering Electromagnetico en CilindrosInfinitos de Seccion Arbitraria

Marıa Luz Martınez Ricci

Tesis de Licenciatura en Ciencias Fısicas

Directora: Dra. Diana C. SkiginCo-Director: Dr. Ricardo A. Depine

Mayo 2004

a mi mama

a Eze

Agradecimientos

En esta oportunidad quisiera agradecer a todos aquellos que durante el transcurso demi carrera universitaria y de este trabajo de investigacion han estado a mi lado. Conespecial amor quisiera agradecer a mi familia. A mis hermanos, Andres y Julian, quienessiempre han estado a mi lado. A Martın quien ha compartido alegrıas y penas a lo largode mi carrera. A mi papa quien ha sabido transmitirme el amor por la ciencia. A mimama quien siempre estuvo y estara desde donde sea que este ella hoy, acompanandomeen todo, y motivandome en el estudio y en el amor. Y a mi amado hijito, Eze, que es misol y que ha vivido junto a mı, con mucha paciencia, toda mi carrera.

Quiero compartir este momento tambien a todos aquellos con quienes he vivido estosseis anos, Renata, Sebastian, Andres,“Gonchi”, Juan, Gabriel C, Marina, Sergio. A miscompaneros de “la B32”: Gabriel B. y Lorena. A Diego Z. quien ha hecho de largas horasde estudio, momentos divertidos. A Javier, un amigo de fierro, sin palabras. . . .

A mis amigas, Luz Marıa, Susi, y Gaby. . . (gracias por el aguante!)

A todo GEA que me recibio con mucho carino. A Angela, Marina, Myriam y Susana. Yen especial a mis directores Ricardo y Diana. Ellos no solo me han guiado y acompanadoen este trabajo de tesis, sino que lo han hecho a lo largo de mi carrera siendo excelentesprofesores, y contagiandome el interes por esta rama de la fısica. A Ricardo por brindarmesu experiencia y transmitirme todo su entusiasmo desde Fısica 2. A Diana, quien me haacompanado de todas las maneras posibles, no solo como mi directora, sino tambien comouna amiga.

Finalmente, quiero agradecer a la Universidad de Buenos Aires y a la FundacionAntorchas por las becas otorgadas en este ultimo ano para poder completar mis estudios.

Gracias a todosLuz

Resumen

En este trabajo se resuelve rigurosamente el problema de scattering electromagnetico

por cilindros obstructores de seccion arbitraria. Para ello, se desarrollo el metodo integral

para ambos modos de polarizacion. Se implemento el metodo en forma numerica, hacien-

do un estudio cuidadoso de las singularidades de los nucleos de las ecuaciones integrales.

La implementacion se realizo mediante codigos de programacion en lenguaje Fortran, re-

alizando diversos controles para garantizar su buen funcionamiento.

Se ejemplifica la versatilidad y utilidad del metodo para diferentes sistemas que in-

cluyen cilindros dielectricos y de conductividad infinita. Se muestran ademas arreglos de

sistemas resonantes, estudiando el comportamiento del campo lejano y cercano de los

mismos.

iii

Indice general

Agradecimientos II

Resumen III

1. Introduccion 1

2. Teorıa Electromagnetica 4

2.1. Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Problemas con Simetrıa Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Funcion de Green y Expresiones Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2. Conductor Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Metodo Integral 16

3.1. Sistema de Ecuaciones Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Discretizacion de la Ecuacion Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Elementos Diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4. Ecuacion Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5. Perfiles utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5.1. Discretizacion de objetos con esquinas . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Consistencia del Metodo 32

4.1. Control de Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Convergencia Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Simetrıas del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4. Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv

INDICE GENERAL v

4.4.1. Dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.2. Conductor Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Comparacion con otros Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6. Reproduccion de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Resultados 43

5.1. Unico Cuerpo Difractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2. Cilindros alineados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3. Resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1. Sistemas alineados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.2. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6. Conclusiones 66

A. Metodo Analıtico 69

Capıtulo 1

Introduccion

Las tecnologıas basadas en la transmision de senales mediante luz (fotones) han

adquirido en los ultimos anos gran importancia. Debido, entre otros factores, a la ausen-

cia de carga y masa, los fotones son muy eficientes en la transmision de informacion. La

invencion de la fibra optica ha sido un fuerte impulso en esta direccion, pero la tecnologıa

completamente fotonica recien se comenzo a ver como una realidad proxima cuando se

descubrio la posibilidad de controlar y manipular la propagacion de luz a voluntad me-

diante los dispositivos opticos llamados cristales fotonicos.

Los cristales fotonicos fueron propuestos teoricamente por Eli Yablonovitch [1] y por

S. John [2] en 1987 y pueden definirse como materiales en los cuales se ha creado ar-

tificialmente una modulacion periodica de sus constantes constitutivas. La modulacion

periodica produce bandas de frecuencias permitidas y prohibidas para la propagacion de

ondas electromagneticas. Por ejemplo se han creado, estructuras con bandas prohibidas

asociadas al scattering de objetos 3-D para microondas y tambien en radiofrecuencias para

construir antenas que alejen la radiacion de la cabeza de los usuarios de telefonıa movil [3].

En otras aplicaciones interesan estructuras con bandas prohibidas para la propagacion en

solamente un plano [4] [5] o en una direccion fija en el espacio [6] [7], conocidas como

cristales fotonicos 2-D y 1-D respectivamente.

Ante la posibilidad de fabricar una nueva estructura, cobra importancia poder realizar

la simulacion numerica de su respuesta electromagnetica y lograr ası evaluar de manera

confiable sus potenciales propiedades como dispositivo de cristal fotonico. En particu-

lar, los cristales fotonicos 2-D son de gran importancia en las aplicaciones practicas. Por

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

ejemplo, fibras opticas de cristal fotonico. Por lo tanto es fundamental desarrollar metodos

rigurosos para el estudio del scattering electromagnetico de cilindros infinitos de seccion

arbitraria, para ası contar con las herramientas necesarias para el analisis de estructuras

fotonicas bidimensionales.

Los formalismos teoricos rigurosos que existen para la resolucion de este tipo de proble-

mas parten de las ecuaciones de Maxwell y de condiciones de contorno adecuadas, debiendo

finalmente resolver sistemas lineales de ecuaciones acopladas cuya solucion es obtenida en

forma numerica.

Dentro de los metodos de estudio riguroso del problema de scattering electromagnetico,

se encuentran los metodos diferenciales [8], modales [9], integrales [10], y los metodos hıbri-

dos [17] - [20]. Sin embargo, los dos primeros no resultan adecuados para el calculo de los

campos en determinadas regiones del espacio o para determinado tipo de objetos. Dado

que es de interes en este trabajo estudiar el campo dispersado por objetos cuyo perfil es

multivaluado, se eligio el metodo integral, el cual permite obtener de forma sencilla los

campos en todo punto del espacio.

El metodo integral recibe este nombre porque conduce a un conjunto de ecuaciones

integrales acopladas. Una implementacion numerica posible de estas ecuaciones es el de-

nominado metodo de momentos [14], que convierte el sistema de ecuaciones integrales en

un sistema matricial.

El metodo de momentos fue utilizado por Mei y Van Bladel [11] para resolver el pro-

blema de scattering por cilindros perfectamente conductores. Este estudio se restringio al

analisis de un unico cilindro de seccion rectangular. Simultaneamente Andreasen [12]

estudio el scattering por conductores perfectos para geometrıas elıpticas, parabolicas y

extendo el analisis al de dos cuerpos de seccion elıptica.

El metodo integral ha sido ampliamente estudiado permitiendo el estudio de sistemas

complejos de diversas caracterısticas [25] - [29].

El objetivo de este trabajo es desarrollar una herramienta para la resolucion del proble-

ma de scattering electromagnetico por objetos con simetrıa axial de materiales dielectricos

o de conductividad infinita.

CAPITULO 1. INTRODUCCION 3

En el capıtulo 2 se desarrolla una breve introduccion de la teorıa electromagnetica

basada en las ec. de Maxwell y los fundamentos del metodo integral valido para medios

lineales, isotropos y homogeneos. En el capıtulo 3 se muestra el metodo integral utilizado

para el calculo del scattering electromagnetico por obstaculos multivaluados. Se presenta

la forma de implementar el metodo numericamente, trabajando las singularidades de los

nucleos de las ecuaciones integrales. Los controles realizados para asegurar el correcto fun-

cionamiento de los codigos de programacion implementados, se muestran en el capıtulo 4.

Los casos de interes fısico estudiados a traves del metodo integral desarrollado, se detallan

en el capıtulo 5. Finalmente, en el capıtulo 6 se resumen las conclusiones obtenidas a lo

largo del trabajo, y se discuten futuras lıneas de investigacion.

Capıtulo 2

Teorıa Electromagnetica

En este capıtulo se hara una presentacion de aquellos elementos de la teorıa clasica

electromagnetica necesarios para la comprension de los fundamentos del metodo integral,

valido para medios lineales, isotropos y homogeneos, y tambien para el caso de conductores

perfectos.

2.1. Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Con-

torno

Las ecuaciones que gobiernan los fenomenos electromagneticos son la ecuaciones de

Maxwell. En el sistema internacional de unidades (SI), el cual sera usado a lo largo de

todo este trabajo, estas ecuaciones se escriben de la siguiente manera:

∇×E(r, t) = −∂B∂t

(r, t) (2.1)

∇×H(r, t) =∂D

∂t(r, t) + J(r, t) (2.2)

∇ ·D(r, t) = ρ(r, t) (2.3)

∇ ·B(r, t) = 0 (2.4)

donde E es el vector campo electrico,H el vector campo magnetico,D el vector desplaza-

miento electrico y B el vector induccion magnetica; J es el vector densidad de corriente y

ρ la densidad de carga, todas ellas funciones de la coordenada r = (x, y, z) y del tiempo t.

4

2.1. Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Contorno 5

La ecuacion 2.1 es la generalizacion de la ley de Faraday, la ecuacion 2.2 la generalizacion

de la ley de Ampere, las ecuaciones 2.3 y 2.4 son las ecuaciones de Gauss electrica y

magnetica, respectivamente.

La dependencia temporal de los campos que se supondra en el transcurso de este

trabajo es de tipo armonica, es decir de la forma:

η(r, t) = η(r)e−iωt (2.5)

donde η(r, t) representa cualquiera de los campos de las ecuaciones de Maxwell 2.1 a

2.4 y ω es la frecuencia con la que se caracteriza la variacion temporal de los mismos.

Con esta dependencia, es facil incluir las propiedades del medio a traves de las ecuaciones

constitutivas. Para un medio lineal, isotropo y homogeneo, como los ejemplificados en este

trabajo, las relaciones constitutivas son las siguientes:

D = ε0εE (2.6)

B = µ0µH (2.7)

donde ε0 y µ0 son la permitividad electrica y la permeabilidad magnetica del vacıo,√ε0µ0 = c−1, c la velocidad de la luz en el vacıo, y ε y µ son numeros complejos depen-

dientes de la frecuencia, llamados respectivamente permitividad electrica y permeabilidad

magnetica del medio.

Con estas consideraciones, se pueden reescribir las ecuaciones de Maxwell en ausencia

de fuentes libres como:

∇×E(r) = iωB(r) (2.8)

∇×H(r) = −iωD(r) (2.9)

∇ ·D(r) = 0 (2.10)

∇ ·B(r) = 0 (2.11)

Aplicando rotor en la ecuacion 2.8, usando 2.9 y las relaciones constitutivas 2.6 y 2.7,

junto con la identidad ∇×∇× η = ∇(∇ · η) −∇2η y la ec. 2.3 se obtiene:

∇×∇×E(r) = iωµ0µ∇×H(r)

∇ (∇ ·E(r))︸︷︷︸=0

−∇2E(r) = iωµ0µ∇×H(r)

∇2E(r) +ω2

c2µεE(r) = 0 (2.12)

2.1. Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Contorno 6

Analogamente, partiendo de la ecuacion 2.9 se llega a:

∇2H(r) +ω2

c2µεH(r) = 0 (2.13)

A una ecuacion del tipo de 2.12 o 2.13 se la denomina ecuacion homogenea de Helmholtz.

Una solucion de dicha ecuacion representa una onda propagandose libremente en un medio

de constantes complejas ε y µ.

Para encontrar la solucion de problemas que contienen dos regiones de distintas rela-

ciones constitutivas separadas por una interfase, es necesario conocer como se relacionan

los campos de ambos lados a dicha interfase.

Sea entonces una superficie Γ que separa dos medios caracterizados por ε1, µ1 y ε2, µ2

respectivamente como se muestra en la figura 2.1.

Γ

n

∆a

h

ε , µ1 1

ε µ2 2,

h

dl

s

c

Figura 2.1: Esquema de la interfase entre dos medios dis-

tintos. Se muestran el volumen y la curva considerados para

determinar las condiciones de contorno

Las ecuaciones diferenciales 2.1 - 2.4 son tales que se aplican en cada punto del espacio

r, siempre y cuando los campos y sus derivadas sean continuas en dicho punto. Utilizan-

do la forma integral de estas ecuaciones, es posible obtener las llamadas condiciones de

contorno de manera de conocer la relacion entre las componentes de los campos a cada

lado de la interfase.

Sea un cilindro infinitesimal de volumen V, limitado por la superficie cerrada S como

el que se muestra en la figura 2.1, tal que ∆a es el elemento de area y n la normal exterior.

Aplicando el Teorema de la divergencia a las ecuaciones 2.3 y 2.4 queda:

2.2. Problemas con Simetrıa Axial 7

∮

S

D · n da =

∫

V

ρd3x (2.14)∮

S

B · n da = 0 (2.15)

Analogamente, sea C una curva cerrada como la de la figura 2.1, S cualquier superficie

abierta limitada por la curva C, dl el elemento de arco en C, da el elemento de area en Sy n el versor normal en S (orientado segun la circulacion de C). Aplicando el Teorema de

Stokes a las ecuaciones 2.1 y 2.2 resulta:

∮

CH · dl =

∫

SJ +

∂D

∂t· n da (2.16)

∮

CE · dl = −

∫

S

∂B

∂t· n da (2.17)

Si se aplican las ecuaciones 2.14 - 2.17 justo a cada lado de la superficie Γ y con-

siderando la altura h del cilindro de superficie S o de la curva C menor que cualquier otra

dimension caracterıstica, entonces se obtienen las condiciones de contorno:

(D1 −D2) · n = σ (2.18)

(B1 −B2) · n = 0 (2.19)

n× (H1 −H2) = K (2.20)

n× (E1 − E2) = 0 (2.21)

donde σ es la densidad superficial de carga y K es la densidad superficial de corriente.

2.2. Problemas con Simetrıa Axial

En el presente trabajo se estudian problemas de tipo axiales, es decir, que tienen una

simetrıa de traslacion segun el eje denominado z, como se muestra en la figura 2.2.

En esta clase de problemas es conveniente trabajar realizando una descomposicion de

los campos en sus componentes transversal y longitudinal al eje z. Entonces se pueden


x

y

z

ε µ1 1,

ε µ2 2,

Γ

^

T n^

Figura 2.2: Esquema de las geometrıas bidimensionales uti-

lizadas en este trabajo

escribir E y H (D y B salen por las relaciones constitutivas 2.6, 2.7) de la siguiente

manera:

E(r) = Et(r) + Ez(r)z (2.22)

H(r) = H t(r) +Hz(r)z (2.23)

donde el subındice t hace referencia a la direccion transversal al eje z, y z a la paralela.

De esta forma, el operador ∇2 de las ecuaciones de Helmholtz 2.12 y 2.13 queda escrito

como:

∇2 = ∇2t +

∂2

∂z2 (2.24)

Y las ecuaciones de Helmholtz resultan:

[∇2t + (

ω2

c2εµ− k2

z )]{ E(r)

H(r)

}= 0

Dada la simetrıa de traslacion en la direccion z es posible expresar los campos Et y

H t en funcion de Ez y Hz [21], quedando entonces:

Et(r) =i

Λ[kz∇tEz(r) − ω µµ0 z ×∇tHz(r)] (2.25)

H t(r) =i

Λ[kz∇tHz(r) + ω ε0 ε z ×∇tEz(r)] (2.26)

donde Λ =ω2

c2εµ− k2

z .

De esta manera, aunque la geometrıa del problema tenga simetrıa segun la direccion

z, si el vector de onda incidente kinc no esta contenido en el plano x− y, en general no se


podra separar el problema en dos problemas independientes para Ez y Hz. Si en cambio,

la perturbacion incidente esta caracterizada por un vector de onda kinc contenido en el

plano x−y (kz = 0), entonces cualquier problema vectorial de este tipo podra ser resuelto

completamente por medio de la resolucion de dos problemas escalares independientes

denominados modos de polarizacion.

Si la incidencia es tal que el campo electrico es paralelo al eje z (y por consiguiente

Hz = 0 y Et = 0), se denomina modo TE (o modo s) y en este caso la componente z del

campo electrico queda determinada por la siguiente ecuacion de propagacion:

∇2tEz(r) + (

ω2

c2εµ− k2

z)Ez(r) = 0 (2.27)

y las siguientes condiciones de contorno para el caso de medios dielectricos:

E(1)z

∣∣r∈Γ

= E(2)z

∣∣r∈Γ

(2.28)

1

µ1

∂E(1)z

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

=1

µ2

∂E(2)z

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

(2.29)

Una vez hallado Ez, H = H t puede ser hallada a partir de la ec. 2.26 quedando la

siguente relacion:

H t(r) =−i

ωµ0 µ∇t × Ez(r)z (2.30)

Si en cambio la incidencia es tal que el campo magnetico es paralelo al eje z (y

entonces Ez = 0 y H t = 0), se llama modo TM (o modo p) y queda definido por la

siguiente ecuacion de propagacion:

∇2tHz(r) + (

ω2

c2εµ− k2

z)Hz(r) = 0 (2.31)

y las siguientes condiciones de contorno para medios dielectricos:

H(1)z

∣∣r∈Γ

= H(2)z

∣∣r∈Γ

(2.32)

1

ε1

∂H(1)z

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

=1

ε2

∂H(2)z

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

(2.33)


Y la componente transversal queda definida por la relacion:

Et(r) =i

ωε ε0∇t ×Hz(r)z (2.34)

Los conjuntos de ecuaciones 2.27-2.30 y 2.31-2.34 pueden agruparse definiendo una

magnitud escalar ψ(r) que representa la componente z del campo electrico, Ez(r), en el

modo TE, o del campo magnetico, Hz(r), en el modo TM:

[∇2t + (ω

2

c2εjµj − k2

z )]ψ(j)(r) = 0 j = 1, 2 (2.35)

ψ(1)∣∣r∈Γ

= ψ(2)∣∣r∈Γ

(2.36)

1

ν1

∂ψ(1)

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

=1

ν2

∂ψ(2)

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

(2.37)

donde νj =

{µj para el modo TE

εj para el modo TMcon j = 1, 2.

En el caso particular en que el objeto obstructor sea un conductor perfecto, los campos

dentro de el son nulos; por lo tanto las condiciones de contorno 2.36 y 2.37 se expresan

como:

Ez∣∣r∈Γ

= 0 modo TE (2.38)

∂Hz

∂n

∣∣∣∣r∈Γ

= 0 modo TM (2.39)

En los problemas tratados en este trabajo, la direccion del campo incidente estara con-

tenida en el plano x− y y sera una onda plana que, dentro de ese plano, puede incidir en

cualquier direccion :

ψinc(x, y) = Ainc e−ik (x cos θ0+y sin θ0) (2.40)

donde k =ω

c

√ε1µ1 y θ0 es el angulo que forma la direccion de incidencia con el eje x

positivo.

2.3. Funcion de Green y Expresiones Integrales 11

2.3. Funcion de Green y Expresiones Integrales

Existen varios metodos rigurosos para resolver problemas de scattering electromagne-

tico. Sin embargo, no todos son adecuados para trabajar con obstaculos multivaluados

como los tratados en este trabajo. Por este motivo, para tener una solucion valida en

toda region del espacio y apropiada para perfiles multivaluados, se decidio trabajar con

el metodo integral.

El metodo utiliza como punto de partida el teorema de Green:

∫

V

[w(r)∇2v(r) − v(r)∇2w(r)]dV =

∮

Σ

[w(r)∂v(r)

∂n− v(r)

∂w(r)

∂n]dS (2.41)

donde v y w son dos funciones arbitrarias definidas en el interior de un volumen V ence-

rrado por una superficie Σ cuya normal exterior es n, con ∂/∂n = n ·∇. Se supondra que

incide una onda plana del tipo 2.40 desde el medio 1 sobre diversos obstaculos (medios

2, 3,...) de perfil arbitrario. En la figura 2.3 se puede observar un esquema general de los

problemas que se tratan en este trabajo.

y

x

C(R )1

ε µ1 1,

ε µ2 2,

ε µ3 3,

ε µ4 4,

R1

Γ4

Γ3

Γ2

n3

^

n1

^

n2

n4

^

n1

^

n1

^

n1

^

Figura 2.3: Esquema de la geometrıa para el desarrollo del

metodo integral

Sea ψj(r) una funcion que satisface las condiciones de contorno y la ecuacion de

Helmholtz:

∇2ψj(r) + k2j ψj(r) = 0 (2.42)

y sea la funcion de Green Gj(r, r′) solucion de la ecuacion de Helmholtz inhomogenea.

Para que la solucion sea fısicamente aceptable el campo dispersado en R → ∞ debe repre-


sentar ondas salientes. Por consiguiente, Gj(r, r′) debe satisfacer la condicion de ondas

salientes en R1 → ∞:

∇2Gj(r, r′) + k2

j Gj(r, r′) = −4πδ(r, r′) (2.43)

donde k2j = ω2

c2µj εj y j = 1, 2, . . .

Es posible expresar la ecuacion de Helmholtz 2.42 en terminos de funciones de Green

obtenidas como solucion de la ecuacion 2.43 y condiciones de contorno adecuadas. Mul-

tiplicando la ec. 2.42 por G(r, r′), y la ec. 2.43 por ψj(r), intercambiando r por r′ y

restando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene:

ψj(r′)∇′2G(r′, r) −G(r′, r)∇′2ψj(r

′) = −4πδ(r, r′)ψj(r′) (2.44)

Integrando en r′ ∈ Vj y usando la relacion de reciprocidad G(r, r′) = G(r′, r) [21]

queda:

1

4π

∫

Vj

[G(r, r′)∇′2ψj(r

′) − ψj(r′)∇′2G(r, r′)

]dV ′ =

{ψj(r) si r ∈ Vj

0 si r /∈ Vj(2.45)

Aplicando ahora el teorema de Green 2.41, asociando ψj(r′) con v y G(r, r′) con w,

la relacion 2.45 resulta:

1

4π

∮

Sj

[G(r, r′)

∂ψj∂n′ (r

′) − ψj(r′)∂G(r, r′)

∂n′

]dS ′ =

{ψj(r) si r ∈ Vj

0 si r /∈ Vj(2.46)

En el caso de problemas axiales como los que se estudian en este trabajo, es posible

transformar la integral de volumen de la ecuacion de Green 2.41 en una integral de super-

ficie, y analogamente, reducir la integral de superficie en una de lınea. Por lo tanto, para

el caso de simetrıas de traslacion la ec. 2.46 se puede escribir como:

ψj(r) =1

4π

∮

C(Sj)

[G(r, r′)

∂ψj∂n′ (r

′) − ψj(r′)∂G(r, r′)

∂n′

]dl′ (2.47)

donde r ∈ Sj y r′ ∈ C(Sj) (con C(sj) el contorno de la region Sj y dl′ su elemento de arco).


Cuando un haz incide sobre un obstaculo, se puede expresar el campo total ψj(r) en

un determinado punto del espacio como la suma del campo incidente, ψincj , y del campo

difractado, ψdj :

ψj(r) = ψincj (r) + ψdj (r) (2.48)

Si se denomina ψ∞(r) a la contribucion de la curva C(R1 → ∞) en la integral de la

ec. 2.47:

ψ∞(r) =1

4π

{∫

C(R1→∞)

[G1(r, r

′)∂ψinc1

∂n′ (r′) − ψinc1 (r′)∂G1(r, r

′)

∂n′

]dl′ +

+

∫

C(R1→∞)

[G1(r, r

′)∂ψd1∂n′ (r

′) − ψd1(r′)∂G1(r, r

′)

∂n′

]dl′}

(2.49)

Teniendo en cuenta que el campo difractado debe cumplir la condicion de radiacion de

Sommerfeld (ondas salientes), es posible ver que la contribucion del segundo termino del

miembro derecho de la ec. 2.49 se anula, mientras que el primero corresponde al campo

incidente ψinc1 .

De esta manera es posible escribir 2.47 para el caso de dos cilindros (siendo analoga

la extension a 3 o mas cuerpos obstructores) como:

ψ1(r) = ψinc(r) +1

4π

∫

Γ2∪Γ3

[G1(r, r′)∂ψ1(r

′)

∂n1

− ψ1(r′)∂G1(r, r

′)

∂n1

]dl′ r ∈ S1 (2.50)

ψ2(r) =1

4π

∫

Γ2

[G2(r, r′)∂ψ2(r

′)

∂n2− ψ2(r

′)∂G2(r, r

′)

∂n2]dl′ r ∈ S2 (2.51)

ψ3(r) =1

4π

∫

Γ3

[G3(r, r′)∂ψ3(r

′)

∂n3− ψ3(r

′)∂G3(r, r

′)

∂n3]dl′ r ∈ S3 (2.52)

donde nj es la normal exterior a la superficie Sj como se indica en la figura 2.3. Para poder

hallar la solucion a este conjunto de ecuaciones es necesario dar las condiciones de contorno

sobre Γ2 y Γ3 segun corresponda a obstaculos dielectricos o conductores perfectos.


2.3.1. Dielectricos

Si se trabaja con obstaculos constituidos por medios dielectricos lineales, isotropos y

homogeneos, las condiciones de contorno son las correspondientes a las ecs. 2.36 y 2.37.

En este caso, se pueden reescribir las ecuaciones 2.50 - 2.52, de la siguiente manera:

ψ1(r) = ψinc(r) +1

4π

{∫

Γ2

[∂G1(r, r

′)

∂nψ1(r

′) −G1(r, r′)∂ψ1(r

′)

∂n]dl′ +

+

∫

Γ3

[∂G1(r, r

′)

∂nψ1(r

′) −G1(r, r′)∂ψ1(r

′)

∂n]dl′}

(2.53)

ψ2(r) =1

4π

∫

Γ2

[ν2

ν1G2(r, r

′)∂ψ1(r

′)

∂n− ∂G2(r, r

′)

∂nψ1(r

′)]dl′ (2.54)

ψ3(r) =1

4π

∫

Γ3

[ν3

ν1G3(r, r

′)∂ψ1(r

′)

∂n− ∂G3(r, r

′)

∂nψ1(r

′)]dl′ (2.55)

donde ahora nj, con j = 2, 3, es el versor normal que apunta hacia el medio 1 desde los

medios 2 y 3; y νj/ν1 = µj/µ1 para el caso de incidencia TE, o νj/ν1 = εj/ε1 para el caso

TM.

Las expresiones integrales 2.53- 2.55 permitirıan obtener ψj(r) con j = 1, 2, 3, en todo

punto del espacio conociendo ψ1(r′) y ∂ψ1(r

′)/∂n. Para poder conocer estas dos canti-

dades, se evaluan estas expresiones en r ∈ Γ2 o r ∈ Γ3. Como se mostrara mas adelante,

este procedimiento permite obtener un sistema de ecuaciones integrales cuyas incognitas

son el valor del campo y de la derivada normal en los contornos.

Las funciones de Green, G(r, r′) y sus derivadas normales constituyen lo que se de-

nomina nucleo de la ecuacion integral. Estas funciones deben cumplir con la ecuacion

inhomogenea de Helmholtz 2.43. Para problemas bidimensionales, las soluciones de esta

ecuacion son combinaciones lineales de funciones de Bessel de orden cero de primera y

segunda especie, J0(k|r − r′|) y N0(k|r − r′|) [16]. La funcion de Green ademas debe

cumplir con la condicion de ondas salientes. Por este motivo, si la dependencia temporal

de los campos es del tipo e−iωt entonces G(r, r′) ∝ eik(r−r′)/√r. La solucion posible en-

tonces es una combinacion de las funciones J0 y N0, denominada funcion de Hankel de

orden cero de primera especie:


H(1)0 (k|r − r′|) = J0(k|r − r′|) + iN0(k|r − r′|) (2.56)

Si en cambio, la dependencia temporal fuese del tipo eiωt entoncesG(r, r′) ∝ e−ik(r−r′)/√r

para tener ondas salientes, con lo cual la solucion serıa la funcion de Hankel de orden cero

de segunda especie:

H(2)0 (k|r − r′|) = J0(k|r − r′|)− iN0(k|r − r′|) (2.57)

Entonces la funcion de Green y su derivada normal para ondas electromagneticas con

dependencia temporal e−iωt son:

G(r, r′) = iπH(1)0 (k|r − r′|) (2.58)

∂G(r, r′)

∂n=

iπk[n′(r − r′)]

|r − r′| H(1)1 (k|r − r′|) (2.59)

donde i es la unidad imaginaria,H(1)1 es la funcion de Hankel de orden uno y de primera es-

pecie y k =ω

c

√εµ, donde c−1 =

√ε0 µ0. Para obtener 2.59 se uso ademas que ∂H

(1)0 (ζ)/∂ζ =

−H(1)1 (ζ), siendo ζ el argumento de la funcion de Hankel [15].

2.3.2. Conductor Perfecto

En el caso de conductores perfectos las condiciones de contorno son las correspon-

dientes a las ecs. 2.38 y 2.39. Como los campos dentro de los conductores perfectos son

nulos, el sistema de ecuaciones 2.50 - 2.51 se ve reducido solo a la ec. 2.50, quedando la

siguiente expresion integral para el modo TE:

ψ1(r) = ψinc(r) − 1

4π

{∫

Γ2

G1(r, r′2)∂ψ1(r

′2)

∂n2dl′2 +

∫

Γ3

G1(r, r′3)∂ψ1(r

′3)

∂n3dl′3

}(2.60)

y para el modo TM:

ψ1(r) = ψinc(r) +1

4π

{∫

Γ2

∂G1(r, r′2)

∂n2ψ1(r

′2)dl

′2 +

∫

Γ3

∂G1(r, r′3)

∂n3ψ1(r

′3)dl

′3

}(2.61)

De manera que en el caso de objetos con conductividad infinita, ya no es necesario

conocer el campo y la derivada normal en el contorno para hallar ψ(r), sino solo la

derivada (en el modo TE) o solo el campo (en el modo TM). Para este caso las funciones

de Green son las dadas por las ec. 2.58 y 2.59.

Capıtulo 3

Metodo Integral

En el capıtulo 2 se dieron las expresiones integrales en las que se basa el metodo

integral que se presenta en este capıtulo junto con su implementacion numerica. Este

metodo requiere un tratamiento cuidadoso, ya que las ecuaciones a resolver presentan

nucleos singulares.

3.1. Sistema de Ecuaciones Integrales

Obtendremos a continuacion el sistema de ecuaciones integrales para el caso de cilin-

dros dielectricos, siendo analogo para el caso de conductores perfectos, para los cuales se

da al final de la seccion 3.4 una breve explicacion. Tal como se dijo anteriormente, las

expresiones 2.53 - 2.55 permiten obtener el campo en todo punto del espacio a partir del

conocimiento del campo y su derivada normal en los contornos Γ2 y Γ3. Por otra parte,

la ec. 2.46 muestra que si r no pertenece a la region de integracion entonces la expresion

integral queda igualada a cero. Considerando r tal que pertenece al medio de incidencia

(medio 1), entonces si r→ r′ con r′ ∈ Γ2,3, queda el siguiente sistema de ecuaciones:

ψ(r2) = ψinc(r2) +i

4

{∫

Γ2

[k1[n2

′ ·R22]

|R22|H

(1)1 (k1|R22|)ψ(r′2) −H

(1)0 (k1|R22|)

∂ψ(r′2)

∂n2

]dl′2 +

+

∫

Γ3

[k1[n3

′ · (R23)]

|R23|H

(1)1 (k1|R23|)ψ(r′3) −H

(1)0 (k1|R23|)

∂ψ(r′3)

∂n3

]dl′3

}(3.1)

16

3.2. Discretizacion de la Ecuacion Integral 17

0 =i

4

∫

Γ2

[ν2

ν1H

(1)0 (k2|R22|)

∂ψ(r′2)

∂n2− k2[n2

′ ·R22]

|R22|H

(1)1 (k2|R22|)ψ(r′2)

]dl′2 (3.2)

ψ(r3) = ψinc(r3) +i

4

{∫

Γ2

[k3[n2

′ ·R32]

|R32|H

(1)1 (k3|R32|)ψ(r′2) −H

(1)0 (k3|R32|)

∂ψ(r′2)

∂n2

]dl′2 +

+

∫

Γ3

[k3[n3

′ · (R33)]

|R33|H

(1)1 (k3|R33|)ψ(r′3) −H

(1)0 (k|R33|)

∂ψ(r′3)

∂n3

]dl′3

}(3.3)

0 =i

4

∫

Γ3

[ν3

ν1H

(1)0 (k4|R33|)

∂ψ(r′3)

∂n3− k4[n3

′ ·R33]

|R33|H

(1)1 (k4|R33|)ψ(r′3)

]dl′3 (3.4)

donde los subındices 2 y 3 indican el contorno Γ2 y Γ3, respectivamente; y donde Rjl =

rj − r′l con j, l = 2, 3. El sistema 3.1 - 3.4 es un sistema de ecuaciones integrales cuyas

incognitas son ψ = ψ1 y ∂ψ/∂n = ∂ψ1/∂n sobre los contornos Γ2 y Γ3. Resolviendo este

sistema se obtienen estas incognitas pudiendo luego calcular el campo en cualquier lugar

del espacio con las ecs. 2.53 - 2.55.

3.2. Discretizacion de la Ecuacion Integral

Para resolver las ecs. 3.1 - 3.4 es necesario realizar una integral curvilınea sobre los

perfiles multivaluados representados por Γ2 y Γ3. Para ello, se parametriza dichas curvas

de la siguiente manera:

r2(s2) = x(s2)x+ y(s2)y (3.5)

r3(s3) = x(s3)x+ y(s3)y (3.6)

donde s2 y s3 son parametros que toman valores reales de forma tal de describir a Γ2 y

Γ3.

Para hallar ψ y ∂ψ/∂n sobre los contornos se transforman entonces las ecuaciones

integrales en sumas de la siguiente manera:

∫

C

f(x, y)dl =N∑

m=1

f(xm, ym)∆Cm (3.7)


donde N es el numero total de intervalos en que es dividida la curva C y ∆Cm es la

longitud de cada uno de estos intervalos. En general, a medida que se aumenta el valor

de N , mejor es la convergencia de la sumatoria a la integral. De esta manera, es posible

resolver el sistema de ecuaciones en forma numerica.

Para poder concretar la implementacion, es necesario ademas discretizar el intervalo

donde varıan los parametros s2 y s3, de manera de tener conjuntos de N2 y N3 elementos

para describir a los perfiles Γ2 y Γ3, respectivamente.

s2j = s(0)2 + (j − 1)∆s2j 1 ≤ j ≤ N2

s3l = s(0)3 + (l− 1)∆s3l 1 ≤ l ≤ N3

(3.8)

donde ∆s2j y ∆s3l representan la distancia entre dos elementos consecutivos de la dis-

cretizacion correspondiente, s(0)2 y s

(0)3 son parametros de fase inicial que variaran segun el

perfil utilizado. Una descripcion particular de la discretizacion de cada uno de los perfiles

utilizados en este trabajo se detalla en la seccion 3.5.

Entonces, si se escribe la transformacion 3.7 en funcion de parametros discretos queda:

∫

C

f(x, y)dl =

∫

C

f(x(t), y(t))g(t)dt =N∑

m=1

f(x(tm), y(tm))g(tm)∆tm (3.9)

donde g(tm) es el jacobiano de la transformacion parametrica y cumple que g(tm)∆tm =

∆Cm.

Con estas consideraciones, se pueden escribir en forma discretizada las ecs. 3.1 - 3.4,

quedando:

ψ(r2j) = ψinc(r2j) +

N2∑

m=1

[RI(r2j, r2m)ψ(r2m) −LI (r2j, r2m)

∂ψ(r2m)

∂n2

]+

+

N3∑

m=1

[RI(r2j, r3m)ψ(r3m) −LI (r2j, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

](3.10)

0 =

N2∑

m=1

[ν2

ν1LII(r2j, r2m)

∂ψ(r2m)

∂n2−RII(r2j, r2m)ψ(r2m)

](3.11)


ψ(r3l) = ψinc(r3l) +

N2∑

m=1

[RI(r3l, r2m)ψ(r2m) − LI(r3l, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

]+

+

N3∑

m=1

[RI(r3l, r3m)ψ(r3m) − LI(r3l, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

](3.12)

0 =

N2∑

m=1

[ν3

ν1LIII(r3l, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3−RIII(r3l, r3m)ψ(r3m)

](3.13)

donde 1 ≤ j ≤ N2 y 1 ≤ l ≤ N3. Los subındices j, l y m en las coordenadas r2, y r3

corresponden a cada elemento de la discretizacion parametrica dada por las ecs. 3.5 y 3.6.

Los elementos de matriz de este sistema de ecuaciones poseen singularidades en el

intervalo donde se requiere conocer las funciones incognita. Las funciones de Hankel (los

nucleos), ya sea H(1)0 (k|r − r′|) o H

(1)1 (k|r − r′|), poseen singularidades cuando su argu-

mento tiende a cero. En este caso, esta situacion se dara cuando r → r′. El tratamiento

de estas singularidades se hara en la seccion 3.3.

Entonces Rp y Lp estan definidos de la siguiente forma:

Rp(r2j, r2m) =

i

4

kp(n(r2m) · (r2j − r2m))

|r2j − r2m|H

(1)1 (kp|r2j − r2m|)g(s2m)∆s2m j 6= m

i

4g(s2j) lım

δ→0

∫ s2j+∆s2j/2

s2j−∆s2j/2

kp(n(r′) · uδ(s2j, s′))

|uδ(s2j, s′)|H

(1)1 (kp|uδ(s2j, s

′)|)ds′ j = m

(3.14)

Lp(r2j, r2m) =

i

4H

(1)0 (kp|r2j − r2m|)g(s2m)∆s2m j 6= m

i

4g(s2j) lım

δ→0

∫ s2j+∆s2j/2

s2j−∆s2j/2

H(1)0 (kp|uδ(s2j, s

′)|)ds′ j = m

(3.15)

Rp(r2j, r3m) =i

4

kp(n(r3m) · (r2j − r3m))

|r2j − r3m|H

(1)1 (kp|r2j − r3m|)g(s3m)∆s3m (3.16)

3.3. Elementos Diagonales 20

Lp(r2j, r3m) =i

4H

(1)0 (kp|r2j − r3m|)g(s3m)∆s3m (3.17)

Rp(r3j, r2m) =i

4

kp(n(r2m) · (r3j − r2m))

|r3j − r2m|H

(1)1 (kp|r3j − r2m|)g(s2m)∆s2m (3.18)

Lp(r3j, r2m) =i

4H

(1)0 (kp|r3j − r2m|)g(s2m)∆s2m (3.19)

Rp(r3j, r3m) =

i

4

kp(n(r3m) · (r3j − r3m))

|r3j − r3m|H

(1)1 (kp|r3j − r3m|)g(s3m)∆s3m j 6= m

i

4g(s3j) lım

δ→0

∫ s3j+∆s3j/2

s3j−∆s3j/2

kp(n(r′) · uδ(s3j, s′))

|uδ(s3j, s′)|H

(1)1 (kp|uδ(s3j, s

′)|)ds′ j = m

(3.20)

Lp(r3j, r3m) =

i

4H

(1)0 (kp|r3j − r3m|)g(s3m)∆s3m j 6= m

i

4g(s3j) lım

δ→0

∫ s3j+∆s3j/2

s3j−∆s3j/2

H(1)0 (kp|uδ(s3j, s

′)|)ds′ j = m

(3.21)

donde p = I, II, III y se define: uδ(t, s′) = r(t) + δn(t) − r(s′) (donde t puede ser s2j o

s3l) con δ → 0 de manera que r → r′.

Se puede observar que Rp(r2j, r3m), Lp(r2j, r3m), Rp(r3j, r2m) y Lp(r3j, r2m) no pre-

sentan inconvenientes dado que los argumentos de las funciones de Hankel nunca se anulan.

En cambio, para los casos Rp(r2j, r2m) y Rp(r3j, r3m), dichos argumentos sı se anulan

cuando j = m, haciendo al nucleo singular.

3.3. Elementos Diagonales

La dificultad mas relevante del metodo integral es la evaluacion de los elementos co-

rrespondientes a j = m que aparecen en las ecs. 3.14, 3.15, 3.20 y 3.21.

Las coordenadas de cualquier punto de una curva multivaluada estaran descriptas por


el vector r(s), donde s, un parametro que toma valores reales. Estas coordenadas pueden

ser escritas, como en las ecs. 3.5, 3.6, de la siguiente manera:

r(s) = x(s)x+ y(s)y (3.22)

con la normal dada por:

n(s) =y′(s)x− x′(s)y

g(s)(3.23)

con g(s) =√x′(s)2 + y′(s)2, donde x′(s) e y′(s) corresponden a las derivadas respecto del

parametro s de las funciones x(s) e y(s) respectivamente. Estas normales deben estar bien

definidas para todos los valores del parametro s para que queden bien determinadas las

ecs. 3.10 - 3.13. En las integrales 3.14, 3.15, 3.20 y 3.21, tanto en los argumentos de las

funciones de Hankel como en algunos denominadores, aparece el modulo del vector uδ(s),

el cual se escribe:

uδ = r(sj) + δn(sj) − r(s) (3.24)

de manera que cuando δ → 0 tambien uδ → 0 aparecen singularidades, las cuales seran

tratadas a continuacion.

Calculo de los Lp(rj, rj)

En primera instancia se busca conocer cual es la expresion para los terminos j = m

de las ecuaciones 3.15 y 3.21. Estas integrales pueden escribirse como:

Lp(rj, rj) =i

4g(sj) lım

δ→0

∫ sj+∆sj/2

sj−∆sj/2

H(1)0 (kp|uδ(sj, s)|)ds (3.25)

Para evaluar el argumento de H(1)0 , es necesario escribir el modulo al cuadrado de uδ:

|uδ|2 = x2j + y2

j + δ2 +2δ

gj(x′jyj − y′jxj) − 2(xj − δ

y′jgj

) − 2(yj − δx′jgj

) + x2 + y2 (3.26)

donde se definio:

xj = x(sj)

yj = y(sj)

gj = g(sj)

y

{x = x(s)

y = y(s).


Definiendo v = s− sj se puede escribir:

x(s) = x(sj) + x′(sj) v + x′′(sj)v2

2+ O(v3) (3.27)

y(s) = y(sj) + y′(sj) v + y′′(sj)v2

2+ O(v3) (3.28)

donde O(v3) representan los terminos de orden mayor o igual a 3 de potencias de v.

Reemplazando en 3.26 los valores de x(s) y de y(s) dados por 3.27 y 3.28 se obtiene:

|uδ|2 = δ2 + aj v2 (3.29)

donde aj = g2j +

δ

gj(x′j y

′′j − x′′j y

′j). Para arribar a esta expresion se han despreciado los

terminos de orden 3 o mayores en el desarrollo de v. De acuerdo a la ec. 3.29 se puede

escribir 3.25 de la siguiente manera:

Lp(rj , rj) =i

4g(sj) lım

δ→0

∫ ∆sj/2

−∆sj/2

H(1)0 (kp

√δ2 + aj v2)dv (3.30)

Para argumentos pequenos la funcion H(01) puede aproximarse por [15]:

H(01)(ζ) = 1 +

2i

π

[ln

(γ ζ

2

)](3.31)

donde γ = 1,781062 . . . es la constante de Euler y ζ = kp√δ2 + aj v2. Reemplazando este

desarrollo asintotico en 3.30 se tiene:

Lp(rj, rj) =i

4g(sj)

[∆sj +

2i

πlımδ→0

∫ ∆sj/2

−∆sj/2

ln

(γ kp

√δ2 + aj v2

2

)dv

](3.32)

Haciendo algunos calculos y utilizando que el integrando de la ec. 3.32 es una funcion

par de la variable v se obtiene:

Lp(rj , rj) =i

4g(sj)

[∆sj +

2i

πln

(kp γ

√aj

2

)∆sj +

2i

πlımδ→0

∫ ∆sj/2

0

ln

(δ2

aj+ v2

)dv

]

(3.33)

Teniendo en cuenta que

∫ ∆x

0

ln(a+ x2) dx = −2x+ 2√a arctan

(x√a

)+ x ln (a+ x2)

y haciendo el lımite de δ → 0, el elemento diagonal finalmente queda escrito como:


Lp(rj, rj) =i

4

{1 +

2i

π

[ln

(kp γ g(sj)∆sj

4e

)]}g(sj)∆sj. (3.34)

Calculo de los Rp(rj, rj)

Se busca ahora conocer la expresion para los elementos diagonales de las ecs. 3.14

y 3.20, que generalizandolos se los puede escribir como:

Rp(rj, rj) =i

4g(sj) lım

δ→0

∫ sj+∆sj/2

sj−∆sj/2

kp(n(r) · uδ(sj, s))|uδ(sj, s′)|

H(1)1 (kp|uδ(sj, s)|)ds (3.35)

Llamando h al producto escalar que aparece en el integrando se tiene que:

h = n · uδ = y′(xj + δy′jgj

− x) + x′(yj − δx′jgj

− y) (3.36)

Haciendo el cambio de variables v = s − sj y teniendo en cuenta las ecs. 3.27 y 3.28

se pueden escribir:

x′(s) = x′(sj) + x′′(sj) v + x′′′(sj)v2

2+ O(v3) (3.37)

y′(s) = y′(sj) + y′′(sj) v + y′′′(sj)v2

2+ O(v3) (3.38)

Reemplazando en 3.36 y agrupando convenientemente se obtiene:

h = δ gj + bj(δ) v + cj(δ)v2

2(3.39)

donde

bj(δ) =δ

gj(x′j x

′′j + y′j y

′′j )

cj(δ) =δ

gj(x′j x

′′′j + y′j y

′′′j ) + (x′′j y

′j − x′j y

′′j )

.

Entonces utilizando 3.39 se puede reescribir 3.35 como:

Rp(rj, rj) =i kp4

lımδ→0

∫ ∆sj/2

−∆sj/2

δ gj + bj(δ) v + cj(δ)v2

2√δ2 + aj v2

H(1)1 (kp

√δ2 + aj v2)ds (3.40)

3.4. Ecuacion Matricial 24

Considerando el desarrollo asintotico de H(1)1 para ζ → 0:

H(1)1 (ζ) =

ζ

2− 2i

πζ(3.41)

donde ζ = hp√δ2 + ajv2,la ec. 3.40 queda como:

Rp(rj, rj) =i kp4

{lımδ→0

∫ ∆sj/2

0

kp(δ gj + cj(δ)v2

2) ds− 4i

πkplımδ→0

∫ ∆sj/2

0

(δ gj + cj(δ)

v2

2

δ2 + aj v2

)ds

}

(3.42)

donde se considero que el integrando es una funcion par de v. Realizando las integrales

correspondientes de la ec. 3.42 se llega a que:

Rp(rj, rj) =1

2+

(x′′j y′j − x′j y

′′j )∆sj

4πg2j

(3.43)

3.4. Ecuacion Matricial

Si de las ecs. 3.10 y 3.12 se despeja el campo incidente se las puede reescribir las

ec. 3.10 - 3.13 de la siguiente manera:

ψinc(r2j) =N2∑

m=1

[[δjm −RI (r2j, r2m)]ψ(r2m) + LI(r2j, r2m)

∂ψ(r2m)

∂n2

]+

+N3∑

m=1

[−RI(r2j, r3m)ψ(r3m) + LI(r2j, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

](3.44)

0 =N2∑

m=1

[ν2

ν1

LII(r2j, r2m)∂ψ(r2m)

∂n2

−RII(r2j, r2m)ψ(r2m)]

(3.45)

ψinc(r3l) =N2∑

m=1

[−RI(r3l, r2m)ψ(r2m) + L1(r3l, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

]+

+N3∑

m=1

[[δjm −RI(r3l, r3m)ψ(r3m) + LI(r3l, r3m)

∂ψ(r3m)

∂n3

](3.46)

0 =N2∑

m=1

[ν3

ν1

LIII(r3l, r3m)∂ψ(r3m)

∂n3

−RIII(r3l, r3m)ψ(r3m)]

(3.47)

3.4. Ecuacion Matricial 25

Este sistema de ecuaciones puede ser escrito de una forma mas compacta a traves de

una representacion matricial, como se muestra a continuacion.

ψinc(r2)

0

ψinc(r3)

0

=

I −R(22)I L(22)

I −R(23)I L(23)

I

−R(22)II

ν2

µ1L(22)II 0 0

−R(32)I L(32)

I I −R(33)I L(33)

I

0 0 −R(33)III

ν3

µ1L(33)II

ψ(r′2)

∂ψ

∂n(r′2)

ψ(r′3)

∂ψ

∂n(r′3)

(3.48)

donde Rqlp y Lqlp (con p = I, II, III y q, l = 2, 3) son matrices complejas de dimensiones

Nq × Nl, cuyos elementos estan dados por las expresiones 3.14 - 3.21 e I es la matriz

identidad.

De esta manera se puede obtener una matriz A, de tal forma que su inversa satisfaga:

[A]−1

ψinc(r2)

0

ψinc(r3)

0

=

ψ(r′2)∂ψ

∂n(r′2)

ψ(r′3)∂ψ

∂n(r′3)

(3.49)

Resolviendo esta ecuacion es posible conocer las incognitas ψ(r′) y ∂ψ∂n

(r′) sobre los

contornos, para posteriormente calcular el campo en cualquier lugar del espacio.

La dimension de la matriz a invertir A es de 2(N2 + N3) × 2(N2 + N3), conforma-

da por elementos que estan asociados a la cantidad de puntos en que se discretizaron

las curvas Γ2 y Γ3. En el caso particular en el que todos los cilindros dispersores esten

divididos en el mismo numero N de intervalos, la dimension de la matriz a invertir es

dim A = (2N Nc × 2N Nc), donde Nc es el numero total de obstaculos.

3.5. Perfiles utilizados 26

Para el caso de conductor perfecto el mecanismo de discretizacion es analogo, con la

ventaja de que se reduce el volumen de calculo pues los campos dentro del conductor

son nulos y no es necesario calcularlos. Por ejemplo, discretizando la ec 2.60 con r → r′,

mediante la parametrizacion de la curva correspondiente y utilizando los mismos elementos

diagonales que en el caso de dielectricos, el sistema matricial a resolver para el caso de

dos cuerpos resulta para el modo TE:

A =

(L(22) L(23)

L(32) L(33)

)(3.50)

[A]−1

ψinc(r2)

ψinc(r3)

=

∂ψ

∂n(r′2)

∂ψ

∂n(r′3)

(3.51)

3.5. Perfiles utilizados

El programa realizado para la implementacion del metodo es capaz de calcular los cam-

pos correspondientes a cualquier perfil, lo unico necesario es ingresar la parametrizacion

del sistema que se quiera desarrollar.

En esta seccion se hara referencia a la forma de discretizacion de los perfiles elegidos para

el analisis tanto de la consistencia del metodo como ası tambien para los resultados que

se exponen en el capıtulo 5.

La informacion requerida del perfil a describir segun las ecuaciones 3.44 - 3.47, se basa

en dar las coordenadas de la seccion del cilindro dipersor, el versor normal a cada punto,

el jacobiano g(sj) [30] y la distancia entre dos puntos consecutivos del parametro de

discretizacion ∆sj.

A continuacion se detallan los perfiles de los cilindros utilizados en este trabajo, junto

a las descripciones matematicas requeridas por el metodo integral para poder ser imple-

mentado.


Perfil circular

a

x

y

φ

sj = φj

x(sj) = a cosφj

y(sj) = a sinφj

nx(sj) = cosφj

ny(sj) = sinφj

g(sj) = a

∆φj = 2π/N

Perfil elıptico

a

b

x

y

φ

sj = φj

x(sj) = a cosφj

y(sj) = b sinφj

nx(sj) = b cosφj/g(sj)

ny(sj) = a sinφj/g(sj)

g(sj) =√

(b cosφj)2 + (a sinφj)2

∆φj = 2π/N

Perfil circular con perturbacion sinusoidal

a

x

y

φ

a + h

sj = φj

x(sj) = (a+ h cos(fφj)) cosφj

y(sj) = (a+ h cos(fφj)) sinφj

nx(sj) = −hf sin(fφj) sinφj + (a+ h cos(fφj)) cos φj/g(sj)

ny(sj) = hf sin(fφj) cos φj + (a+ h cos(fφj)) sinφj/g(sj)

g(sj) = ((−hf sin (fφj) sinφj + (a+ h cos(fφj)) cos φj)2 +

+ (hf sin(fφj) cos φj + (a+ h cos(fφj)) sinφj)2)1/2

∆φj = 2π/N

donde f es la frecuencia angular de la perturbacion sinusoidal.


Perfil rectangular

a

bx

y

l

∆sj = 2(a+ b)/N

g(sj) = 1

l < a a < l < a+ b a+ b < l < 2a+ b 2a+ b < l < 2a+ 2b

x(sj) sj − a/2 + s0 a/2 3a/2 + b− sj − s0 −a/2y(sj) −b/2 sj − a− b/2 + s0 b/2 2a+ 3b/2 − sj − s0

nx(sj) 0 1 0 −1

ny(sj) −1 0 1 0

donde s0 es una fase inicial, y l es la longitud parcial de arco .

Como se explico en la seccion 3.3, las curvas que describen los perfiles de los cilindros

deben ser curvas regulares, de manera tal que las derivadas de las coordenadas respecto del

parametro (es decir, las componentes de las coordenadas normales) esten bien definidas

para todos los valores del parametro s. Los tres primeros perfiles que se acaban de pre-

sentar cumplen con esta condicion. Sin embargo, para el caso del rectangulo es necesario

tener ciertas precauciones para hacer posible su implementacion.

3.5.1. Discretizacion de objetos con esquinas

En las ecs. 2.53- 2.55 es posible notar que para poder implementar el metodo es

necesario tener las coordenadas normales del perfil del cilindro. En el caso particular de

perfiles con esquinas (como es el caso del perfil rectangular analizado a continuacion), la

normal no esta definida para la esquina propiamente dicha. Para evitar este problema, la

esquina puede redondearse 3.1(a) [12] o saltearse 3.1(b) [13].

Para redondear la esquina se puede, por ejemplo, reemplazar la misma por un cuarto

de cırculo como se indica en la fig. 3.1(a). Cuanto menor sea el radio de este cırculo, mas


(a) Esquina del perfil rectangular suavizada

a traves de redondeo

(b) Esquina del perfil rectangular suavizada

a traves de saltear el punto de la esquina

Figura 3.1: Posibles formas de suavizar las esquinas de un

rectangulo

parecido a un rectangulo sera la parametrizacion. Sin embargo, si se disminuye demasiado

el radio, se debe incrementar el numero de puntos de la discretizacion.

La forma de suavizado adoptada para este trabajo fue la correspondiente a la fig. 3.1(b).

En este caso, se elige una discretizacion tal que saltee la esquina de forma simetrica. Es

decir, que los puntos contiguos esten equidistantes a ella como se muestra en la fig. 3.2(b).

Este hecho es de importancia a la hora de calcular los campos, ya que el rectangulo es

una figura simetrica y de elegir otro tipo de discretizacion la figura no resulta simetrica y

el patron de scattering es altamente dependiente de esta caracterıstica.

Para saber cual es el numero de intervalos N tal que genere un rectangulo simetrico

sin esquinas se realizo el siguiente calculo.

Se supone en principio que se desea realizar una discretizacion tal que un punto de

ella caiga en cada una de las esquinas del rectangulo. Para ello es necesario que se cumpla

la condicion de que N debe ser multiplo de 4 (ya que son 4 lados), pero no cualquier

multiplo de 4 dara la discretizacion buscada.

El perımetro total del rectangulo es L = 2(a + b) al que se divide en N intervalos.


(a) Asimetrica (b) Simetrica

Figura 3.2: Discretizaciones posibles (que saltean esquina)

para un rectangulo

Para que haya un punto en cada esquina ademas se pide que cada lado quede dividido en

un numero entero de intervalos de manera tal que se cumpla la siguiente relacion:

L

N=

2a + 2b

N= ∆Cn =

a

n1=

b

n2(3.52)

donde se cumple la relacion n1 + n2 = N/2.

n intervalos1

n in

tervalo

s2

b

a

Figura 3.3: Discretizacion apropiada de un rectangulo tal

que incluya un punto en cada esquina

Considerando que:

L

a= 2 +

2b

a(3.53)

entonces:


Ln1

a= N (3.54)

(2 +

2b

a

)n1 = N (3.55)

de donde se deduce que N no solo debe ser multiplo entero de 4 sino tambien de 2 +2b

a.

Considerando finalmente que la relacion entre los lados del rectangulo es tal que se

cumple que b = γa con γ ∈ R, entonces para que haya un punto en cada esquina N

debe ser multiplo entero de 4 y de 2 + 2γ. Notese que para ciertos valores de γ, N podrıa

resultar demasiado grande o incluso no existir.

Como originalmente se buscaba generar una discretizacion tal que los puntos esten

equidistantes a la esquina, es necesario agregar una fase a la discretizacion que se acaba de

describir. En la descripcion de la parametrizacion del rectangulo se incluye un parametro

s0. Si s0 = ∆Cn/2, y N cumple con las condiciones establecidas entonces se tiene la

discretizacion buscada.

Capıtulo 4

Consistencia del Metodo

En este capıtulo se analizan los diferentes controles que se realizaron para verificar el

correcto funcionamiento de los codigos de programacion implementados.

Para los ejemplos que se muestran a lo largo del capıtulo se utilizaran obstaculos

constituidos por medios dielectricos y de conductividad infinita, correspondientes a los

perfiles descriptos en la seccion 3.5. Para cada seccion de los cilindros se varıa la relacion

entre las dimensiones caracterısticas del objeto obstructor y la longitud de onda, ası como

tambien se incluyen ejemplos con diferentes ındices de refraccion relativos, entre el cilindro

y el medio en que se encuentra inmerso (εr = εad/εaf , µr = µad/µaf ). Se consideran los

casos de medios magneticos y no magneticos.

4.1. Control de Inversion

En el capıtulo 3 se mostro que para poder hallar el campo y la derivada normal en el

contorno, es necesario invertir una matriz de (2NNc)× (2NNc). Como la matriz a invertir

podrıa estar mal condicionada, es necesario realizar un control de la inversion de la matriz

para asegurarse que esta situacion no este presente.

Se puede ver que si definimos:

B1 = AA−1 − I (4.1)

B2 = A−1A − I (4.2)

la suma de todos los elementos de las matrices B1 y B2 deberıa dar cero.

32

4.2. Convergencia Numerica 33

Definiendo:

c1 =2NNc∑

i=1

2NNc∑

j=1

B1ij = 0 (4.3)

c2 =2NNc∑

i=1

2NNc∑

j=1

B2ij = 0 (4.4)

El control realizado se baso en asegurar que los valores obtenidos al efectuar las sumas

c1 y c2 no superaran el orden de 10−10.

4.2. Convergencia Numerica

En la ec. 2.53 se mostro que una vez conocidas las incognitas sobre el contorno es

posible obtener el campo en cualquier lugar del espacio. Si se desea conocer la distribucion

angular del campo dispersado por cierto obstaculo, la forma mas sencilla de conocer esta

distribucion es calcular el campo dispersado sobre un cırculo de radio ρ, como se muestra

en la figura 4.1.

ρ

y

x

θ

Figura 4.1: Esquema donde se muestran las variables de ob-

servacion de distribuciones angulares

En particular, si se desea conocer el comportamiento del campo lejano (ρ� a, donde

a es la dimension caracterıstica del objeto), puede definirse la magnitud conocida como

seccion eficaz o echo width, Ξ, definida de la siguiente manera:

Ξ = lımρ→∞

2πρ|ψscat|2

|ψinc|2(4.5)

4.2. Convergencia Numerica 34

Con el objetivo de adimensionalizar las magnitudes de los graficos que se muestran a lo

largo de este trabajo, y para poder realizar comparaciones con graficos que se encuentran

en la literatura [17]- [20] se redefine a la seccion eficaz como:

σ = lımρ→∞

π

√ρ

λ

|ψscat||ψinc|

(4.6)

donde Ξ =2λ

π|σ|2.

La convergencia del metodo depende fundamentalmente de la relacion entre las di-

mensiones del objeto obstructor y el tamano del intervalo de discretizacion. Debido a

que es importante que el metodo en sı muestre convergencia a medida que se aumenta el

numero de divisiones (N) en que se discretiza el obstaculo, se muestra en los ejemplos de

las figs. 4.2(a) y 4.2(b) cual es el comportamiento de la seccion eficaz en funcion de N .

(a) Perfil circular de εr = 4 y µr = 1 - Modo

TE

(b) Perfil rectangular de εr = 16 y µr = 1 -

Modo TM

Figura 4.2: Convergencia en θ = 0◦

Considerando aceptable un error porcentual1 en la seccion eficaz del campo lejano

del orden del 0.05%, puede obervarse en las figs. 4.2(a) y 4.2(b) que la convergencia es

1Se define error porcentual como: ∆σ% = (σN+1−σN )·100σN

4.3. Simetrıas del Problema 35

altamente dependiente del perfil considerado. Esto puede notarse observando que a medida

que se aumentan las dimensiones caracterısticas del sistema, el numero N de intervalos

necesarios para obtener el error anteriormente citado varıa marcadamente con el perfil.

Esto se hace evidente en la figura 4.2(a) donde al aumentar el radio del cırculo, N varıa

en un rango pequeno de valores, mientras que en el caso del rectangulo, correspondiente a

la fig. 4.2(b), el numero de intervalos aumenta notoriamente con el tamano de la seccion

del objeto.

Otro aspecto importante es la verificacion numerica de que el calculo del campo en las

inmediaciones del contorno es muy sensible a los parametros numericos. En este sentido, el

metodo impone restricciones al calculo del campo cercano, relacionadas a la discretizacion

elegida para la parametrizacion del perfil del cilindro obstructor. La distancia mınima a la

que es posible acercarse al cuerpo obstructor es del orden de ∆Cn, como puede observarse

en la figura 4.3 donde los puntos ubicados a una distancia menor que ∆Cn, no se pueden

calcular en forma correcta. Para poder acercarse mas a la frontera es necesario entonces

tomar mas puntos en la discretizacion.

Figura 4.3: Comportamiento del campo cercano al contorno

4.3. Simetrıas del Problema

Una forma de corroborar resultados es observando que se cumplan las simetrıas in-

trınsecas del problema de scattering. Aquı se presentan algunas de ellas a modo de ejemplo.

Al incidir con cualquier angulo, θ0, debido a la simetrıa del cilindro de seccion circu-

lar, el campo dispersado presenta la misma distribucion, a menos de un corrimiento

4.3. Simetrıas del Problema 36

angular. En la fig. 4.5 se muestran la seccion eficaz para θ0 = 0◦ y θ0 = 45◦. Es

posible observar que estas coinciden, salvo por un corrimiento debido al angulo de

incidencia.

Figura 4.4: Seccion eficaz de un cilindro de perfil circular de

λ = 5a y εr = 4 con distintos angulos de incidencia

Ante un objeto difractor simetrico respecto de la direccion de incidencia, el campo

difractado debe ser simetrico respecto de esa misma direccion. Esto se observa en

la fig. 4.5 para el perfil correspondiente a un cırculo con perturbacion sinusoidal e

incidencia θ0 = 0◦.

Figura 4.5: Seccion eficaz de un cilindro de perfil circular con

perturbacion sinusoidal de λ = a, εr = 3 y µr = 2 con θ0 = 0◦

4.4. Condiciones de Contorno 37

4.4. Condiciones de Contorno

Para verificar el satisfactorio funcionamiento del programa, es importante tambien

confirmar que se cumplen las condiciones de contorno establecidas en las ecs. 2.36, 2.37,

que fueron impuestas originalmente a los campos como se mostro en el capıtulo 2.

A continuacion se muestran algunos ejemplos para objetos dielectricos y perfectamente

conductores.

4.4.1. Dielectricos

En las figuras 4.6 a 4.15 se muestra que las condiciones de contorno 2.36 - 2.37 (eva-

luadas todas en y = 0, y x ∈ [xc − δ, xc + δ]) se cumplen para todos los casos mostrados.

Figura 4.6: Perfil circular - Modo TE Figura 4.7: Perfil rectangular - Modo TE

Figura 4.8: Perfil circular - Modo TM - Cont. del

campo

Figura 4.9: Perfil circular - Modo TM - Cont. de

la derivada


Figura 4.10: Perfil elıptico - Modo TE - Cont.

del campo

Figura 4.11: Perfil elıptico - Modo TE - Cont.

de la derivada

Figura 4.12: Perfil rectangular - Modo

TM - Cont. del campo

Figura 4.13: Perfil rectangular - Modo

TM - Cont. de la derivada

Figura 4.14: Perfil sinusoidal - Modo TE

- Cont. del campo

Figura 4.15: Perfil sinusoidal - Modo TE

- Cont. de la derivada


Se puede observar que en los casos de las figs. 4.6, 4.7 se muestra solo la continuidad

de ψ ya que al ser ν1 = ν2 se observa en la misma curva que cumple con la condicion de

contorno de la continuidad de∂ψ

∂n.

En el caso de las figuras 4.8 a 4.15, al ser ν1 6= ν2 se observa la condicion de contorno

de la ec. 2.36 en las figuras 4.8, 4.10, 4.12 y 4.14 y la condicion de contorno de la ec. 2.37

en las figuras 4.9, 4.11, 4.13 y 4.15, en las cuales si bien se ve una funcion partida, la

pendiente de ambos lados al acercarse al contorno es la misma. Para mayor claridad se

grafico con una lınea roja la curva tangente en el contorno de ambas regiones, interna y

externa.

4.4.2. Conductor Perfecto

En el caso de conductores perfectos tambien se observa el cumplimiento de las condi-

ciones de contorno 2.38, 2.39. A continuacion se muestran algunos ejemplos para la po-

larizacion TE.

Figura 4.16: Perfil circular - Modo TE Figura 4.17: Perfil rectangular - Modo TE

En las figuras 4.16 y 4.17 es posible observar en forma clara que el campo se anula en

el contorno.

4.5. Comparacion con otros Metodos 40

4.5. Comparacion con otros Metodos

El problema de scattering por un cilindro conductor perfecto de seccion circular, posee

una solucion analıtica que se basa en el desarrollo de los campos, incidente y dispersado,

como una serie de funciones de Hankel. De esta manera, para tener otra herramienta de

control, se implemento este metodo cuyo desarrollo se muestra en el apendice A.

En la figura 4.18 es posible observar la muy buena concordancia que existe entre ambos

metodos. Asimismo en la tabla 4.1 se muestra una comparacion cuantitativa entre ellos.

La primera columna corresponde al valor del campo lejano con una incidencia tal que

θ0 = 0◦. En la segunda columna se muestra el error porcentual del campo entre ambos

metodos. En esta tabla se puede observar con claridad que a medida que se aumenta el

numero de intevalos de discretizacion (N), el resultado del metodo integral converge al

valor del metodo analıtico.

Figura 4.18: Grafico comparativo entre el metodo

analıtico y el integral para un cilindro de seccion cir-

cular de a = λ

|ψ| ∆ψ%

Analítico

Integral

N = 60

N = 100

N = 300

N = 500

N = 700

1.866607x10-3

1.870122x10-3

1.868946x10 -3

1.86709x10-3

1.867412x10-3

1.866952x10-3

-11.25x10

-2

2.6x10

4.3x10-2

1.8x10-1

1.848x10-2

Tabla 4.1: Tabla comparativa entre el metodo

analıtico y el integral

4.6. Reproduccion de Graficos

En esta seccion se reproducen mediante los codigos de programacion realizados, al-

gunos de los graficos hallados en las Refs.[17], [18], [19] y [20]. Se ejemplifican casos de

cuerpo unico y de muchos cuerpos dielectricos ası como tambien el de un unico cuer-

4.6. Reproduccion de Graficos 41

po perfectamente conductor. Se observa una excelente concordancia entre resultados del

campo lejano de todos los casos.

(a) Reproduccion (b) Original [17]

Figura 4.19: Seccion eficaz de 1 y 2 cilindros circulares identi-

cos dielectricos de a = λ/5, c = 5λ/2 y εr = 4


Figura 4.20: Echo Width (definido como

(2πρ|ψ|2)/(λ|ψinc|2) de un cilindro rectangular dielectrico de

0,05λ× 1,05λ a 90◦ y de otro εr = 4/ 0,025λ× 1,025λ a 180◦

y εr = 16

4.6. Reproduccion de Graficos 42


Figura 4.21: Seccion eficaz de dos cilindros circulares

dielectricos de distinto radio a1 = 0,2λ, a2 = 0,1λ, y la dis-

tancia al centro de coordenadas; c1 = c2 = 0,2λ y εr = 2


Figura 4.22: Seccion eficaz de un cilindro circular de conduc-

tividad infinita de radio a = λ y con incidencia θ0 = 180◦

Capıtulo 5

Resultados

El metodo integral aplicado al scattering de cuerpos con simetrıa axial puede ser uti-

lizado para el estudio de diversos sistemas electromagneticos. En este capıtulo se estudian

los casos correspondientes a sistemas compuestos por uno o varios cuerpos difractores,

analizando ademas situaciones de resonancia; mostrando ası la utilidad y versatilidad del

metodo integral desarrollado.

5.1. Unico Cuerpo Difractor

En la seccion 4.6, se mostraron varios ejemplos de scattering por un obstaculo dielectri-

co y/o conductor perfecto realizados con el metodo integral. A continuacion se pueden

observar y analizar nuevos sistemas.

En el caso de conductores perfectos, ademas de estudiar el patron de scattering es

posible obtener la corriente que se induce en la superficie del obstaculo al incidir con una

onda plana sobre el mismo. En las siguientes figuras se presenta la corriente (en funcion

del arco (s) normalizado al perımetro total) sobre un cilindro conductor perfecto de perfil

elıptico y otro de perfil cuadrado, junto al patron de scattering asociado a cada uno de

ellos.

En la figura 5.1(a) se grafica la corriente (normalizada al campo magnetico incidente)

que se genera debido a la incidencia de una onda plana con un angulo θ0 = 0◦ y λ = b

en un cilindro conductor de seccion elıptica, que mantiene una relacion entre sus ejes

43

5.1. Unico Cuerpo Difractor 44

(a) Corriente (b) Seccion Eficaz

Figura 5.1: Scattering por un cilindro elıptico conductor de

a = λ/4 y b = λ con incidencia TE

(a) Corriente (b) Seccion Eficaz

Figura 5.2: Scattering por un cilindro rectangular conductor

de a = b = λ con incidencia TE

de a = b/4, es decir que se trata de una elipse de excentricidad considerable. Se puede

observar que la corriente es maxima sobre el lado de la incidencia, disminuyendo abrup-

tamente al pasar por s = 0,25 o s = 0,75. Al llegar a los alrededores de s = 0,5, que es la

zona opuesta a la incidencia de la elipse, su valor es practicamente nulo. La figura 5.1(b)

muestra la seccion eficaz correspondiente a esta corriente. En esta figura se observa que

el maximo se encuentra en la direccion de incidencia.


En el caso de la figura 5.2(a), se grafica la corriente generada al incidir tambien con

θ0 = 0◦ sobre un cilindro de seccion cuadrada de lados a = b = λ. En este grafico, se

observa un comportamiento similar al de la corriente de la elipse en el sentido que dismi-

nuye notoriamente su valor al alcanzar el lado opuesto a la incidencia. Tambien se pueden

observar saltos bruscos, correspondientes a las esquinas denotadas en la figura con las

letras B y C. La figura 5.2(b) corresponde a la seccion eficaz en un grafico polar, asociada

a esta corriente.

En las figuras anteriores puede notarse la sensibilidad de la corriente frente a la pre-

sencia de esquinas, ası como tambien frente a cambios de pendiente, dado que recorre la

curva del perfil del objeto dispersor.

Es interesante observar cuan diferentes son las figuras de scattering, si sobre un cilindro

de seccion arbitraria se incide con diferentes longitudes de onda. En particular, en las

figuras 5.3(a), 5.3(b) y 5.3(c), se muestra la seccion eficaz para un cilindro dielectrico de

seccion circular con perturbacion sinusoidal, y constantes constitutivas εr = 3 y µr = 2.

En esta secuencia de figuras, se puede observar de manera esperada, como a medida que

se aumenta λ, la seccion eficaz varıa su comportamiento, ya que en la fig. 5.3(a) se observa

una mayor cantidad de fluctuaciones que en 5.3(b) o 5.3(c).

(a) λ = a/5 (b) λ = a

Si es posible o no observar en un grafico de seccion eficaz los detalles finos de un cuerpo


(c) λ = 5a

Figura 5.3: Secciones eficaces para un objeto con pertur-

bacion sinusoidal de h = a/10, f = 5 y εr = 3, µr = 2 con

incidencia en modo TE

obstructor, esta determinado por la relacion existente entre la dimension caracterıstica

de estos y λ. De esta manera, la cantidad de fluctuaciones en la seccion eficaz aumenta

a medida que la longitud de onda disminuye. En las figuras 5.3(a), 5.3(b) y 5.3(c), se

pone de manifiesto este comportamiento mostrandose graficos de la seccion eficaz para

relaciones λ/h de 2, 10 y 50 respectivamente. Puede notarse como, en el grafico de la

figura 5.3(c), no se observan practicamente fluctuaciones.

Por analogos motivos, en el caso en que la longitud de onda sea mucho mayor que el

objeto, dos cuerpos difractores de geometrıas distintas pero con el mismo tamano carac-

terıstico, generaran secciones eficaces similares, como se muestra en la fig. 5.4, en donde se

observan practicamente las mismas secciones eficaces para un cilindro circular de a = λ/5,

otro de perturbacion sinusoidal de a = λ/5, h = a/10 y f = 5, y por ultimo, para uno de

seccion cuadrada con a/2 = b/2 = λ/5.

5.2. Cilindros alineados 47

Figura 5.4: Seccion eficaz de un cilindro circular, rectangular

y circular con perturbacion sinusoidal para λ = 5a y εr = 3,

µr = 2 en modo TE

5.2. Cilindros alineados

Si bien los problemas de scattering por un unico cuerpo difractor son un objeto de

estudio importante, es de suma importancia el estudio de situaciones que involucran mu-

chos cuerpos difractores. En esta seccion se estudia el comportamiento de sistemas con

varios cilindros ubicados en forma periodica.

Antes de comenzar con arreglos de cilindros, se considerara el caso correspondiente a

un unico cilindro de perfil rectangular, que posee una de las dimensiones de la seccion

mucho menor a la otra (a� b), y donde ademas λ es del orden de b, es decir que se trata

del caso de difraccion por una cinta de conductividad infinita.

Para analizar los resultados obtenidos, se considera el caso de difraccion de Franhaufer

(campo lejano ρ� a) por una ranura [23]. La ecuacion que define la intensidad del patron

de difraccion es:

I = I0sin2 β

β2β =

kb sin θ

2(5.1)

donde k = 2π/λ y θ es el angulo de observacion del campo lejano. Los mınimos de esta

ecuacion son tales que se cumple que:

sin θm = ±mλb

m = 1, 2 . . . (5.2)


El principio de Babinet demuestra que el patron de difraccion dado por una ranura

y por el problema inverso, es decir una cinta unidimensional de conductividad infinita;

posee la misma distribucion angular o sea que se rige por la ec. 5.2.

El metodo integral desarrollado, trabaja con geometrıas bidimensionales; entonces para

simular la situacion de difraccion por una cinta, se define un cilindro conductor perfecto

de seccion rectangular, tal que una de las dimensiones (el ancho) es mucho menor que la

otra (el alto) como se muestra en la figura 5.5(a), en la cual el ancho es 0,016 veces mas

pequeno que el alto.

(a) Esquema de difraccion por una cinta (b) Seccion eficaz de una cinta

Figura 5.5: Difraccion por una cinta de conductividad infini-

ta utilizando el metodo integral

En la figura 5.5(b) se grafica el patron de difraccion dado por la cinta de la fig. 5.5(a).

En el se observa que la ubicacion de los mınimos dentro del patron es practicamente la

esperada en forma analıtica (el error porcentual de la ubicacion de los mınimos es cercano

al 1%). Las pequenas diferencias presentes pueden deberse a la simulacion de un cuerpo

unidimendional por uno bidimensional.

El metodo integral implementado posee la caracterıstica de poder conocer el campo

dispersado para el perfil que se elija. Por eso, es interesante poder realizar un analisis si-

milar al que se acaba de realizar, pero ya no con una estructura que simule una situacion

unidimensional sino con una bidimensional como puede ser un cilindro de seccion circular.

En este caso el ancho, que antes era despreciable frente al alto, tendra relevancia a la hora


de observar el patron de difraccion. Sea entonces un perfil circular tal que su diametro

es igual al alto de la cinta del ejemplo anterior. En la fig 5.6 se pueden observar las di-

ferencias entre el patron de la cinta y del perfil circular. Allı se observa que los mınimos

de la figura de difraccion correspondientes al cırculo, estan desplazados respecto de los

correspondientes a la cinta.

Figura 5.6: Comparacion entre los patrones de difraccion a

traves de una cinta y de un cilindro de perfil circular

Estas diferencias entre los patrones de difraccion de ambos cuerpos tambien aparecen

al considerar dos o mas objetos obstructores. Antes de ejemplificar, se hara una breve

resena del caso teorico general de un arreglo periodico de N ranuras (o cintas) [23]. La

intensidad ahora estara dada por la contribucion de la difraccion de cada objeto, mas la

interferencia que se genera entre los N obstaculos, es decir:

I = I0

(sin(Nγ)

sin γ

)2(sinβ

β

)2

(5.3)

donde β = kb sin θ/2 y γ = kd sin θ/2 con b el alto de la ranura, y d el perıodo del arreglo.

El primer factor del lado derecho de la ec. 5.3 corresponde a la interferencia de los N

obstaculos, mientras que el segundo corresponde al termino de difraccion, quedando la

intensidad total definida por el patron de interferencia modulado por el de difraccion. Si

el perıodo es un multiplo entero del alto de la ranura, ocurre el fenomeno denominado

orden omitido, en el cual “desaparece” un maximo de interferencia por coincidir en la

ubicacion con un mınimo de difraccion. Los maximos de interferencia estan dados por

sin θ = ±mλ/d con m = 1, 2, . . ., mientras que los mınimos de difraccion se rigen por la


expresion sin θ = ±m′λ/b con m′ = 1, 2, . . .

Sean entonces, por ejemplo, los casos de difraccion por dos cilindros de seccion rec-

tangular (caso 1) y por dos cilindros de perfil circular (caso 2); ambos ejemplos cumplen

con la relacion b/λ = 3, como se muestra en la fig 5.7.

b

Ez

inc

a

d=2b

(a) Caso 1: 2 cintas

Ez

inc

a

b

d=2b

(b) Caso 2: 2 cırculos

-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

0

5

10

15

20

25

órdenes omitidos

sinθ

σCaso 1

Caso 2

(c) Seccion eficaz correspondiente a la

difraccion por dos cintas y dos cırculos

Figura 5.7: Difraccion por dos obstaculos

En esta figura se observa la omision de ordenes cuando los objetos difractores son

rectangulares, mientras que el fenomeno no ocurre si los obstaculos son de perfil circular.

En este ultimo caso, los mınimos de la envolvente que modula el patron de interferencia

estan desplazados, como puede verse en la figura 5.6, y por lo tanto no coinciden con los

maximos de interferencia. En el caso 1 se omiten los ordenes 2 y 4, correspondientes a

mλ/d = m′λ/b para m = ±2 y m′ = ±1 y para m = ±4 y m′ = ±2.

Se considera ahora el caso de difraccion a traves de cuatro cilindros conductores per-

fectos de perfil circular, con dimensiones tales que el perıodo del arreglo es el doble del

diametro de cada uno de los cırculos, es decir que d = 2b como se muestra en la fig 5.8(a).

En la figura 5.9(a), se puede observar la seccion eficaz dada por la incidencia en direccion

normal (θ0 = 0◦) de una onda plana de λ = b/3 sobre los cuatro cilindros. Allı es posible

observar la misma cantidad de maximos que en la figura 5.7(c), pero mucho mas intensos

y demarcada su posicion angular. Esto se debe a que a medida que se van agregando ob-


jetos dispersores, las maximos se intensifican, haciendose cada vez mas angostos. Ademas

es posible observar una serie de maximos secundarios. La cantidad de estos esta rela-

cionada con el numero de obstaculos (N) que atraveso la onda es su recorrido. El numero

de maximos secundarios entre dos maximos principales es N − 2, entonces para el caso

particular del ejemplo se tienen 2 maximos secundarios como se muestra en la figura 5.9(b).

b

d = 2b

Ez

inc

(a) 4 cilindros circulares

b

d = 2b

Ez

inc

(b) 6 cilindros circulares

Figura 5.8: Esquemas de arreglos unidimensionales

(a) Seccion por 4 cırculos (b) Imagen ampliada para la visualizacion de

los maximos secundariosdel caso de 4 cırculos

Figura 5.9: Campo dispersado por 4 cırculos

En la figura 5.10(a) se comparan los casos de dispersion por 2, 4 y 6 cuerpos, mostran-

do como van intesificandose los maximos principales u ordenes a medida que se aumenta

el numero de objetos dispersores. En la figura 5.10(b) se muestran los maximos secun-

darios para el ejemplo de seis obstaculos (ver 5.8(b)), donde se observan los 4 maximos

secundarios esperados.

5.3. Resonancias 52

(a) Comparacion entre los patrones de 2, 4 y

6 cırculos

(b) Imagen ampliada para la visualizacion de

los maximos secundariosdel caso de 6 cırculos

Figura 5.10: Campos dispersados por arreglos unidimensio-

nales de cırculos

5.3. Resonancias

Una importante diferencia del metodo integral con otros metodos de estudio de scatter-

ing electromagnetico, es que permite en forma sencilla analizar el comportamiento del

campo cercano. Esta caracterıstica posibilita estudiar en detalle el fenomeno de resonan-

cia. En esta seccion se muestran ejemplos de resonancias en arreglos unidimensionales y

bidimensionales.

5.3.1. Sistemas alineados

El arreglo a estudiar es el que se muestra en la figura 5.11. Este sistema esta compuesto

por dos cilindros conductores perfectos de seccion rectangular de lados a y b, tal que

a = 3b, separados una distancia c = b. El mismo es iluminado por una onda plana en la

direccion −y y polarizada con el campo electrico paralelo al eje de simetrıa de los cilindros

(modo TE).

El interes en este tipo de sistemas compuestos esta dado, por ejemplo, por conocer si

es posible intensificar el campo en alguna region del espacio para alguna longitud de onda

incidente dada, ya que desde el punto de vista practico este fenomeno puede resultar util

para aplicaciones tales como sintonizadores, filtros, etc.

5.3. Resonancias 53

Ez

inc

b

a = 3b

x

y

c = bθ

Figura 5.11: Geometrıa dispersora consistente de dos cilin-

dros conductores perfectos de lados b y a = 3b

Campo cercano y corriente

El espacio de longitud c = b, existente entre los cilindros se comporta como una cavidad

resonante con condiciones de contorno, tales que el campo electrico Ez se anula en los

bordes de los cilindros de conductividad infinita. Se considerara a modo de analogıa, el

caso de una cuerda de largo c con extremos fijos. Este sistema cumple con la ecuacion de

ondas unidimensional y posee las mismas condiciones de contorno que el caso a estudiar. A

partir de la ecuacion de ondas, puede verse que los modos normales [24] para este sistema

deben tener la siguiente forma:

ψm(y) = Am cos(2πy

λm) (5.4)

donde y es la coordenada a lo largo de la cuerda, Am es una constante que se define por

las condiciones iniciales y λm la longitud de onda correspondiente a cada modo normal,

quedando definida por las condiciones de contorno de la siguiente manera:

λm =2c

m(5.5)

donde m ∈ Z.

Retornando al sistema en estudio, es de esperar que las funciones que representan a los

campos en la cavidad se comporten de manera similar a las correspondientes a la cuerda,

5.3. Resonancias 54

especialmente en la recta correspondiente a x = 0 (denotada con lınea colorada en la

figura 5.12), ya que es la region donde los efectos de borde tienen menor influencia.

b

3b

Einc

2b

Figura 5.12: En rojo la recta x = 0 en la cual se realizo el

barrido en longitudes de onda

Si se excita al sistema a la frecuencia de resonancia, el campo dentro de la cavidad se

maximiza. De esta manera, para encontrar las frecuencias de resonancia, se realizo un bar-

rido en longitudes de onda a lo largo de la recta x = 0. En las figuras 5.13 y 5.14 se mues-

tran dos barridos alrededor de las longitudes de onda resonantes. La fig 5.13 corresponde

al caso de m = 1 (modo fundamental de oscilacion de la cuerda), con λ = λ1 = 1220nm.

La figura 5.14 muestra el caso de m = 4 (4to modo de oscilacion de la cuerda), con

λ = λ4 = 315, 25nm. En ambas figuras se observa claramente un importante crecimiento

del campo alrededor de las longitudes de onda resonantes. En particular, el campo electri-

co se incrementa para λ4 en un factor mayor a 150 respecto del mınimo de la grafica.

En la tabla 5.1 se presenta la comparacion entre los valores de longitudes de onda re-

sonantes del caso en estudio junto con el caso de analogıa de la cuerda con extremos fijos.

Debido a la extension finita de los obstaculos es razonable pensar que las longitudes de

onda resonantes difieran levemente de las halladas en la ec. 5.5. En esta tabla comparativa

puede observarse que las longitudes de onda resonantes se asemejan mas al caso teorico

de la cuerda cuanto mas alto es el orden del modo excitado.

5.3. Resonancias 55

Figura 5.13: Campo dentro de la cavidad resonante de la

fig 5.12 alrededor de λ1 = 1220nm

Figura 5.14: Campo dentro de la cavidad resonante de la

fig 5.12 alrededor de λ4 = 315,25nm

5.3. Resonancias 56

m 2 Rect.(λ[nm]) Cuerda(λ[nm])

1 1220 1266

2 625.7 633

3 419.5 422

4 315.25 316.5

Tabla 5.1: Comparacion entre los valores de las longitudes de

onda resonantes entre el modelo teorico de la cuerda con ext.

fijos y los dos cilindros rectangulares conductores perfectos

Como se comento con anterioridad, cuando un campo electromagnetico incide sobre

un conductor, se induce una corriente superficial asociada al campo dispersado por el

objeto obstructor. En la fig 5.15 se muestra la corriente (normalizada al campo magnetico

incidente) asociada al primer cilindro conductor sobre el que incide la onda plana.

|K | /|H |z inc

A B

CD

Ez

inc

AB C

D

Figura 5.15: Corriente superficial en funcion de λ y de la

longitud de arco asociada

En la seccion 5.1 se mostro que en general, la corriente se minimiza del lado opuesto

a la incidencia. Sin embargo, en la figura 5.15 se puede observar que para el caso de la

longitud de onda resonante, λ4 = 315,25nm, existe un maximo alrededor de s = 0,25,

que es el lado opuesto a la incidencia, y un mınimo alrededor s = 0,75, que es el lado

5.3. Resonancias 57

correspondiente a la incidencia. Esta redistribucion de corriente a la longitud de onda

resonante es la que permite a su vez que se maximice el campo en la cavidad.

Una vez conocidas las longitudes de onda resonantes, es de interes conocer cual es la

respuesta del campo dentro de toda la cavidad para estas λ. En la figura 5.17 se observa

mediante un grafico de niveles de grises, el modulo del campo electrico, |Ez|, a la long.

de onda resonante λ4 = 315,25nm para la region coloreada con rosado en la fig. 5.16, en

funcion de las coordenadas x e y.

b

b

3b

Einc

2b

Figura 5.16: Region en donde se calculo el campo correspon-

diente a la fig. 5.17

En la figura 5.17 se observa con claridad el modo de oscilacion que se hallo mediante el

barrido en longitudes de onda mostrado en la figura 5.14. En la fig. 5.17 es posible obser-

var que el campo correspondiente al modo de oscilacion excitado disminuye su magnitud

paulatinamente a medida que se acerca a los extremos de los rectangulos conductores,

x = −a/2 y x = a/2 (demarcados en el grafico con una lınea roja). Es decir, que la

influencia de los bordes sobre el campo dentro de la cavidad es solo relevante en las cer-

canıas de estos.

Sin embargo, el sistema no es unidimensional, es decir que si bien los extremos x =

±a/2 no ocasionan grandes cambios en las longitudes de onda resonantes en la direccion

y, sı son relevantes desde el punto de vista que son los extremos correspondientes a una

oscilacion en la direccion x. Una diferencia importante con el caso anterior de los extremos

fijos , es que en este caso los extremos son de tipo abiertos, es decir que deben cumplirse

las condiciones: ∂Ez(x = ±a/2)/∂x = 0. Puede observarse que esta condicion se cumple

5.3. Resonancias 58

x = -a/2 x = a/2Posición en X

Posic

ión

en

Y

[nm]

[nm

]

Figura 5.17: Modulo del campo electrico en la region rosada

de la fig. 5.16

por ejemplo para la recta y = 0, como se muestra en la figura 5.18; donde ademas es

posible observar la interferencia de las ondas en la direccion x, teniendo por consiguiente

sistemas resonantes bidimensionales.

Figura 5.18: Campo electrico a los largo de la recta y = 0

5.3. Resonancias 59

Campo lejano

Al estudiar el campo lejano en funcion de las long. de onda, es posible observar que

este tambien posee un comportamiento resonante para las mismas frecuencias que el cam-

po cercano. En la figura 5.19(a) se grafica el modulo del campo electrico (normalizado al

campo incidente) alrededor del caso correspondiente a λ4 = 315,25nm, para la direccion

de incidencia, es decir para el punto de observacion correspondiente a ρ � a y θ = θ0.

En este grafico puede observarse que el campo sufre variaciones bruscas alrededor de la

resonancia, maximizandose para el valor de λ = λ4. En la figura 5.19(b) se grafica bajo

las mismas condiciones el campo lejano en la direccion de backscattering, o lo que es lo

mismo en la direccion θ = −θ0. En esta direccion se producen tambien fuertes variaciones

del campo en las cercanıas de la resonancia, pero en vez de maximizarse se minimizan

para el valor de λ = λ4.

(a) Direccion de incidencia (b) Direccion de backscatterig

Figura 5.19: Modulo del campo para ρ � a

Apartamientos de la geometrıa

Es posible ampliar el estudio de resonancias utilizando otro tipo de arreglos de cilin-

dros. Algunas situaciones de interes podrıan ser la incorporacion de mas cuerpos obstruc-

tores o el cambio de perfil de los cilindros.

5.3. Resonancias 60

Sea por ejemplo, el caso que se muestra en la figura 5.20(a). Este nuevo sistema consta

de tres cilindros de seccion rectangular con las mismas dimensiones que el caso anterior.

b

3b

Einc

2b

(a) Region donde se calculo el campo corre-

spondiente a la fig. 5.21

Ez

inc

2b

b

(b) Region donde se calculo el campo corre-

spondiente a la fig. 5.22

Figura 5.20: Otras geometrıas

Es de esperar, dado que las dimensiones de las cavidades resonantes no varıan, que

las longitudes de onda resonantes no difieran marcadamente de las correspondientes al

estudio de dos cilindros rectangulares. De esta manera, por ejemplo, se puede observar en

la fig. 5.21 que la longitud de onda resonante para m = 4 es λ4 = 315,5nm.

Debido a la presencia de una nueva cavidad, debe existir una redistribucion del campo

dispersado entre las dos cavidades resonantes presentes. En la fig. 5.21 se observa que el

modulo del campo disminuye al pasar de la primera cavidad (949,5nm < y < 1582nm)

a la segunda(−316,5nm < y < 316,5nm) , disminuyendo tambien el maximo del campo

respecto del ejemplo anterior.

Otra variacion al problema original de dos cilindros de seccion rectangular, es cono-

cer las frecuencias de resonancia dadas por cilindros de otros perfiles. En particular, sea

el sistema de la figura 5.20(b), compuesto por cilindros circulares tales que su diametro

es igual al alto de los rectangulos anteriores y que se encuentran separados entre sı la

5.3. Resonancias 61

Figura 5.21: Modulo del campo electrico en la region sena-

lada en la figura 5.20(a)

misma distancia. Si, por ejemplo, se busca la longitud de onda resonante correspondiente

a m = 4, se observa que esta esta alrededor de λ4 = 311,5nm, como se muestra en la

figura 5.22.

En esta figura se observa que la resonancia es debil comparada con cualquiera de los

casos analizados anteriormente. Esto se debe a que al ser cilindros de perfil circular, no

hay una cavidad resonante que sostenga al modo de oscilacion, tan solo se puede dar en

la recta correspondiente a x = 0.

5.3. Resonancias 62

Figura 5.22: Modulo del campo electrico en la region sena-

lada en la figura 5.20(b)

5.3.2. Caso general

El metodo integral fue implementado de manera tal de poder tambien trabajar con

sistemas bidimensionales. Los sistemas compuestos dielectricos 2-D como los que se pre-

sentan en esta seccion son arreglos de interes por sus multiples aplicaciones; dentro de las

cuales se encuentran los filtros, los sintonizadores, y los cristales fotonicos, que permiten

lograr dispositivos con respuestas selectivas, ya sea en frecuencia, polarizacion o angulo

de incidencia.

En esta seccion se estudia el arreglo que se muestra en la figura 5.23, que consta de

cuatro cilindros de seccion circular, los cuatro de igual diametro b y distanciados entre

sı una distancia c = b/2. Estos cuatro cilindros son dielectricos de constantes ε = 4 y

µ = 1 inmersos en vacıo (es decir ε = 1 y µ = 1). Una onda plana incide sobre el sistema

desde la direccion θ0 = 0◦.

De la misma forma que se hizo para los sistemas alineados, es posible encontrar fre-

cuencias tales que generen modos dentro del sistema.

5.3. Resonancias 63

ε µ1 1,

ε µ2 2,y

c = b/2

c = b/2

b

Ψz

inc

Figura 5.23: Esquema de la geometrıa dispersora bidimen-

sional

En la figura 5.24 se presenta un grafico en niveles de grises en el cual se incide con una

onda plana polarizada en la direccion paralela al eje de simetrıa (Modo TE). Para elegir

la longitud de onda resonante se busco que el campo se maximice en el centro del sistema,

ubicado en el origen de coordenadas de la figura 5.23. La longitud de onda encontrada

fue λ = 238nm.

Po

sici

ón

en

Y

Posición en X

[nm

]

|E | / |E |z z

inc

2,0

1,5

1,0

0,0

0,5

[nm]

Figura 5.24: Distribucion del campo cercano del sistema de

la fig. 5.23 - Modo TE - λ = 238nm

En la fig. 5.25 se muestra la distribucion de campo cercano para el mismo sistema ante-

5.3. Resonancias 64

rior, pero en este caso se incide con una onda plana cuya longitud de onda es un tercio de la

anterior, es decir λ = 79,3nm, de manera de estar excitando un modo superior al anterior.

En estos graficos es posible observar que se cumple la condicion de contorno de con-

tinuidad del campo, y que al ser εad > εaf , la densidad de lıneas dentro de los cilindros

es mayor que en el medio de afuera (vacıo).

Posi

ción

en

Y

Posición en X

[nm

]

[nm]

2,0

1,0

0,0

3,0

>3,5

|E | / |E |z z

inc

Figura 5.25: Distribucion del campo dentro del sistema de

la fig. 5.23 - Modo TE - λ = 79,3nm

El ejemplo que se muestra en la fig. 5.26 corresponde al mismo caso que el de la fig 5.24

salvo que la direccion de incidencia es perpendicular a la direccion de simetrıa (Modo TM).

En este caso tambien es clara la continuidad de campo Hz en los contornos de los cilindros.

Es interesante remarcar que mientras muchos metodos solo son capaces de calcular el

campo lejano, el modelo que se desarrolla en este trabajo, es capaz de una manera sencilla

calcular el campo cercano a los objetos obstructores. Ademas, otro de los beneficios del

metodo es la posibilidad de estudiar el campo en el interior de las obstrucciones. De esta

forma, es posible observar en las figs. 5.24, 5.25 y 5.26 por ejemplo que el contraste del

campo dentro de los objetos obstructores es mucho mayor que en el exterior.

5.3. Resonancias 65

>4,5

4,0

2,0

0,0

1,0

3,0P

osi

ción

en

Y

Posición en X

[nm

]

[nm]

|H | / |H |z z

inc

Figura 5.26: Distribucion del campo dentro del sistema de

la fig. 5.23 - Modo TM - λ = 238nm

Capıtulo 6

Conclusiones

En este trabajo se desarrollo un metodo para el estudio del scattering electromagnetico

por cilindros de perfiles arbitrarios multivaluados.

La solucion para estos problemas surge de plantear un sistema de ecuaciones integrales

para el problema de scattering e involucra la resolucion de un sistema lineal de ecuaciones.

El primer paso para encontrar dicha solucion es determinar la distribucion de campo en

los contornos de los cilindros obstructores, para luego poder encontrar la respuesta del

sistema en cualquier lugar del espacio.

Se implemento el metodo en forma numerica para cilindros constituıdos por medios

dielectricos y de conductividad infinita. La implementacion fue realizada mediante codigos

de programacion en lenguaje Fortran, permitiendo obtener soluciones en diversas situa-

ciones de interes fısico. Para resolver el problema numericamente fue necesario realizar

un estudio de las ecuaciones, resolviendo las singularidades presentes debidas a la dis-

cretizacion del problema integral.

Se mostraron diversos controles que permiten asegurar la validez de las soluciones en-

contradas numericamente: control de aproximaciones numericas, convergencia intrınseca

del metodo, simetrıas propias del problema, verificacion de las condiciones de contorno

impuestas originalmente a la ecuacion integral, y finalmente comparaciones realizadas

con resultados previos de otros autores, ası como tambien comparacion con el metodo

analıtico. En todos los casos se obtuvieron resultados muy satisfactorios.

66

CAPITULO 6. CONCLUSIONES 67

El metodo integral que se presenta en este trabajo posee numerosas ventajas. El pro-

grama desarrollado es versatil, desde el punto de vista de que solo requiere ingresar las

coordenadas que describen el arreglo obstructor que se desee estudiar. Una vez determi-

nada la parametrizacion correspondiente, el programa es capaz de calcular los campos

dispersados para un numero arbitrario de cilindros constituidos por materiales isotropos,

con incidencia en cualquier angulo (dentro del plano que contiene a la seccion principal

del sistema) y en cualquiera de las dos polarizaciones posibles.

Cuando las dimensiones caracterısticas del objeto obstructor son del orden de la longi-

tud de onda, ninguno de los desarrollos asintoticos conocidos (formulaciones variacionales,

optica geometrica) arriban a soluciones satisfactorias para obstaculos de seccion arbitraria.

El metodo integral, en cambio, es capaz de obtener resultados satisfactorios para un rango

mas amplio de longitudes de onda.

El metodo tiene caracterısticas que lo distinguen respecto de otros metodos rigurosos.

Una importante ventaja del formalismo desarrollado es la capacidad de calcular el campo

dispersado por obstaculos de perfiles multivaluados. En este sentido, los metodos diferen-

ciales presentan complicaciones y no resultan adecuados para tratar este tipo de perfiles.

Otra caracterıstica muy importante del metodo es que resulta igualmente sencillo

calcular el campo lejano y el campo cercano, mientras que los metodos modales tienen

dificultades para poder estudiar los campos en las regiones donde se hace un desarrollo

de multicapas. De esta manera, el metodo integral permite calcular el campo dentro de

las cavidades obteniendo ası una informacion completa y detallada del comportamiento

general de los sistemas.

Las desventajas del metodo integral se centran basicamente en que a medida que se

agregan cilindros obstructores, los tiempos de computo crecen notablemente debido al

incremento de las dimensiones de la matriz a invertir, limitando ası el estudio de arreglos

compuestos por muchos cilindros.

Algunas de las aplicaciones de este metodo pueden ser el diseno de filtros, sintonizadores,

dipositivos con respuestas selectivas en frecuencias, polarizacion o angulo de incidencia.

Entre estos dispositivos se encuentran los cristales fotonicos, los cuales se basan en la

repeticion espacial de unidades elementales, de manera que es posible simular estructuras

CAPITULO 6. CONCLUSIONES 68

2-D mediante el metodo desarrollado, con el objetivo de estudiar su respuesta electro-

magnetica.

Los resultados de este trabajo impulsan a futuros estudios. Por un lado, se preve la

lınea de investigacion dedicada a optimizar la implementacion numerica, analizando las

posibilidades de disminuir los tiempos de computo. Por otro lado, es posible extender

el metodo al estudio de medios dielectricos con perdidas, es decir, con constantes cons-

titutivas complejas. De este modo, es posible ademas estudiar el caso de metales de con-

ductividad finita. La extension del formalismo a situaciones mas generales de incidencia

(montaje conico) donde se acoplan los dos modos fundamentales de polarizacion, permi-

tirıa el estudio de aplicaciones relacionadas con dispositivos de conversion de polarizacion.

Apendice A

Metodo Analıtico

En este apendice se presenta el metodo analıtico [22] utilizado para conocer la con-

vergencia del metodo integral en el caso particular de un cilindro de simetrıa axial con

seccion circular.

Supongamos que se incide con una onda plana en la direccion x y con polarizacion

TE, entonces el campo electrico puede escribirse como:

Einc(~r, t) = E0ei(kx−ωt)z = E0e

i(k rcos θ−ωt)z (A.1)

que tambien puede ser expresado en terminos de una serie de funciones de Bessel de

primera especie (Jν) como:

Einc(~r, t) = E0

∞∑

m=−∞

amJm(kr)ei(mθ−ωt)z (A.2)

donde am son coeficientes que se determinan multiplicando las ecs. A.1 y A.2 por e−inθ,

integrando en θ en el intervalo [0, 2π] y utilizando las propiedades:

J−m = (−1)mJm si m ∈ Z (A.3)

∫ 2π

0

ei(n−m)θdθ =

{2π n = m

0 n 6= m(A.4)

De esta manera los coeficientes am quedan determinados como:

69

APENDICE A. METODO ANALITICO 70

am = im (A.5)

y la onda plana incidente queda finalmente escrita como un desarrollo de funciones de

Bessel como:

Einc = E0

∞∑

m=−∞

imJm(kr)ei(mθ−ωt)z (A.6)

Analogamente al campo incidente, el campo dispersado puede ser representado por

una combinacion de funciones de Bessel, las funciones de Hankel. Dado que se esta traba-

jando con una dependencia temporal armonica del tipo e−iωt, para representar el campo

dispersado como ondas salientes es necesario utilizar las funciones de Hankel de primera

especie, H(1)n (k r). Por lo tanto, el campo dispersado puede ser escrito como:

Escat(r, t) = E0

+∞∑

m=−∞

CmH(1)m (k, r)e−iωt (A.7)

donde los coeficientes Cm representan amplitudes incognitas del campo dispersado.

Para poder determinar estos coeficientes es necesario dar la relacion existente entre el

campo incidente y el campo dispersado. Esta relacion, tal como fue explicado en el capıtu-

lo 2, corresponde a dar la condicion de contorno del sistema. Para el caso de un conductor

perfecto en incidencia TE, la condicion de contorno correspondiente es la ecuacion 2.38,

de la que se deduce que para el caso particular de un cilindro de seccion circular de radio

a y conductor perfecto:

Einc

∣∣r=a

+Escat

∣∣r=a

= 0 (A.8)

Imponiendo la condicion de contorno sobre r = a resulta:

E0

+∞∑

m=−∞

(im Jm(ka) eimθ + CmH(1)m (ka)) = 0 (A.9)

Cm =−im Jm(ka) eimθ

H(1)m (ka)

(A.10)

APENDICE A. METODO ANALITICO 71

Una vez obtenidos los coeficientes, puede escribirse el campo dispersado, Escat, como:

Escat(r, θ) = E0

+∞∑

m=−∞

−im Jm(ka) eimθ

H(1)m (ka)

H(1)m (kr)z (A.11)

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users.df.uba.arusers.df.uba.ar/mricci/tesis.pdf · Agradecimientos En esta oportunidad quisiera agradecer a todos aquellos que durante el transcurso de mi carrera universitaria y