UPT Culegere de Admitere 2014

PASC GAVRUTADORU PAUNESCUCRISTIAN LAZUREANULIVIU CADARIUADINA JURATONIOLIVIA BUNDAU

IOAN GOLETCAMELIA ARIESANU

ANANIA GIRBANGHEORGHE TIGANCIPRIAN HEDREA

CAMELIA PETRISOR

CULEGERE DE PROBLEME

pentru examenul de bacalaureat siadmitere ın

UNIVERSITATEA POLITEHNICA

TIMISOARA

EDITURA POLITEHNICA2013

ii

Cuprins

ELEMENTE DE ALGEBRA (simbol AL) 1

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANASI TRIGONOMETRIE (simbol TG) 81

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA(simbol AM) 105

ANEXESubiecte date la admitere ın anii 2011,2012 si 2013 cu solutii complete 166

BIBLIOGRAFIE 197

iii

ELEMENTE DE ALGEBRA (simbol AL)

AL 1 * Fie a0, a1, ..., an, ... termenii unei progresii aritmetice de ratie r. Stiindca a50 = 26 si a100 = 51, sa se determine r si formula termenului general an.

a) r =1

4, an = 1 +

n

2b) r = 1, an = 1 +

n

2

c) r =1

2, an = 1 +

n

2d) r = −1

2, an = 1 +

n

2

e) r =1

2, an = 1 +

n

4f) r = 1, an = 1 +

n

6

AL 2 * Sa se determine x ∈ R stiind ca numerele 2x − 1, 6x, 3x + 1 sunt ınprogresie aritmetica.

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 5 d) x = 0 e) x ∈ ∅ f) x = −2

AL 3 Fie a0, a1, ..., an, ... termenii unei progresii geometrice strict crescatoarede ratie q. Stiind ca a0 = 1 si an+1 = 3an − 2an−1, sa se determine ratia q sisuma Sn = a0 + a1 + ... + an a primilor n + 1 termeni ai progresiei.

a) q = 1, Sn = 2n+1 − 1 b) q = 2, Sn = 2n − 1

c) q = 1, Sn = 2n+1 + 1 d) q = 1, Sn = 2n+1 − 1

e) q = 2, Sn = 2n+1 − 1 f) q = 1, Sn = 2n − 1

AL 4 * Notam cu n ∈ N numarul de valori reale ale lui x cu x > 1 pentrucare numerele lg (x + 1) , lg x, lg 4

√x + 1 (ın aceasta ordine) sunt ın progresie

geometrica. Sa se determine n.

1

2 CULEGERE DE PROBLEME

a) n = 1 b) n = 2 c) n = 0 d) n = 3 e) n = 4 f) n = 5

AL 5 * Se considera progresia aritmetica (an)n≥1 ın care a4 = 1 si ratia

r =1

2. Sa se afle a1 si a8.

a) a1 =1

2, a8 = 3 b) a1 = −1

2, a8 = 3 c) a1 = −1

2, a8 = 2

d) a1 =1

2, a8 = 2 e) a1 =

1

2, a8 = 4 f) a1 = −1

2, a8 = 9

AL 6 * Fie progresia geometrica (bn)n≥1, cu ratia q ∈ R∗ \ {1} si

S1 = b1 + b2 + ... + bn, S2 =1

b1

+1

b2

+ ... +1

bn

, P = b21 · b2

2 · ... · b2n.

Sa se exprime P ın functie de S1 si S2.

a) P =

(S1

S2

)n2

b) P =

(S1

S2

)n

c) P = (S1 · S2)n

d) P = (S1 · S2)n2 e) P =

(S2

S1

)n2

f) P =

(S2

S1

)n

AL 7 Fie progresia geometrica (an)n∈N∗ , avand termenii strict pozitivi siratia r = 2013. Daca

S =a1 + a2

a2 + a3

+a2 + a3

a3 + a4

+ ... +a2013 + a2014

a2014 + a2015

,

atunci:

a) S = 2012 b) S = 2013 c) S = 2014

d) S = 2015 e) S = 1 f) S =2013 · 2015

2.

ELEMENTE DE ALGEBRA 3

AL 8 Sa se determine toate numerele x ∈ R astfel ıncat

[3x + 1

5

], 2x + 1

si 4x + 1 sunt ın progresie aritmetica (ın aceasta ordine).

a) x ∈[3

4, 3

)b) x ∈

[4

3, 3

)c) x ∈

[4

3, 3

]

d) x ∈(

3

4, 3

)e) x ∈

(4

3, 3

]f) x ∈ ∅

AL 9 Fie sirul (an)n∈N , cu an+1 − an =n + 1

(n + 2)!, a0 = 0. Sa se stabileasca

daca:

a) a2013 = 1 +1

2013!b) a2013 > 2

c) an = 1 +1

(n + 1)!, ∀n ∈ N∗ d) a2013 ∈ (1, 2)

e) a2013 = 1− 1

2014!f) an + 1 =

1

n!, ∀n ∈ N∗.

AL 10 Sa se determine partea ıntreaga a numarului x =1

2√

5− 4+√

2.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 0

AL 11 * Notand cu S multimea solutiilor reale ale ecuatiei

[x− 2

3

]=

2x− 4

5, x ≥ 2,

sa se precizeze care din urmatoarele multimi este S.

a)

{5n + 4

2, n ∈ N

}b)

⋃n∈N

[0,

5n + 4

2

]c) {2n, n ∈ N}

d) {2n + 1, n ∈ N} e) {2} f) (2,∞)


AL 12 Fie multimea M =

{x ∈ R :

[x + 3

2

]=

4x + 5

3

}. Sa se calculeze

S =∑

x∈M

|x|.

a)5

4b)

1

2c)

4

7d)

7

4e)

3

4f) 2

AL 13 * Sa se determine toate valorile lui x ∈ R astfel ıncat numerele

a =

[x + 1

3

], b =

3x− 5

4si c =

[2x + 5

6

]

sa verifice relatia a + c = 2b.

a)

{7

3, 3,

11

3

}b)

{3,

11

3,13

3

}c)

{3,

11

3

}

d)

{11

3

}e)

{7

3,11

3

}f)

{7

3,11

3,13

3

}

AL 14 * Notand cu S multimea solutiilor reale ale ecuatiei[

1√x

]=

1

[x],

sa se precizeze care din urmatoarele multimi este S.

a)

{1

n, n ∈ N∗

}b)

⋃k∈N∗

[k, k +

1

k

]c) {n2, n ∈ N\ {1}}

d) {1} e) [0, 1] f) (0, 1)

AL 15 Sa se determine functia de gradul ıntai stiind ca graficul sau taieaxa Ox ın x =

√3 si trece prin punctul B(2

√3, 2).

a) f(x) =2√3x + 2 b) f(x) =

2√3x− 2 c) f(x) =

1√3x + 2

d) f(x) =3√3x + 1 e) f(x) =

2√3x− 1 f) f(x) =

2√3x


AL 16 In cate puncte taie axa Ox graficul functiei de gradul ıntaif : R→ R,

f (x) =

{x− 1, pentru x < 0

−2x− 3, pentru x ≥ 0.

a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 5 f) 4

AL 17 * Sa se calculeze

E1 =1

x21

+1

x22

si E2 = |x1 − x2|,

stiind ca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + ax− 1 = 0, a ∈ R.

a) E1 = a2 + 2, E2 = a2 + 4 b) E1 = a2 + 2, E2 =√

a2 + 4

c) E1 = a2 + 4, E2 =√

a2 + 2 d) E1 = a2 − 2, E2 =√

a2 + 1

e) E1 = a2 + 2, E2 = a2 + 1 f) E1 = a2 − 1, E2 =√

a2 + 4

AL 18 * Sa se formeze ecuatia de gradul al doilea cu radacinile

y1 =x3

2

x21

si y2 =x3

1

x22

,

stiind ca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + x− a = 0, a ∈ R, a 6= 0.

a) y2 +5a2 + 1

a2y + a = 0 b) y2 − 1

a2y − a = 0

c) y2 + a = 0 d) y2 +5a2 + 5a + 1

a2y − a = 0

e) y2 − a = 0 f) y2 − 2a + 3 = 0

AL 19 * Fie x1 si x2 radacinile ecuatiei x2− x + a = 0, a ∈ R, a 6= 0. NotamSn = xn

1 +xn2 , pentru orice n numar natural nenul. Atunci expresia Sn−Sn−1,

n ≥ 3, este egala cu:


a) 1 b) 0 c) aSn−2 d) −aSn−2 e) −Sn−2 f) Sn−2

AL 20 Fie ecuatia 7mx2 + (2m + 1) x + m + 1 = 0, m ∈ R\ {0} , ale careiradacini sunt x1 si x2. Sa se determine o relatie independenta de m ıntreradacinile ecuatiei.

a) x1 + x2 = x1x2 b) x21 + x2

2 = 2x1x2

c) x21 − x2

2 = 2x1x2 d) x1 + x2 + x1x2 = −1

7

e) x21 + x2

2 − 3x1x2 = 0 f) x21 + x2

2 + x1x2 = 0

AL 21 Fie ecuatia 2x2 − 2 (2−m) x + 2m2 + 4m + 3 = 0, m ∈ R. Dacaecuatia are radacinile x1 (m) , x2 (m) , precizati valoarea maxima a expresieiE = x2

1 (m) + x22 (m) .

a) 3 b) 17 c) 2 d)√

2 e)√

3 f) 4

AL 22 Sa se determine valorile nenule ale parametrul real a astfel ıncat ecuatia

√x− 2 +

√ax2 − 2x− 1

a= 0,

sa aiba toate radacinile reale.

a) 2 b) 1±√2 c)1±√2

2

d) −2, 1±√2 e) 2±√2 f) 0, 1±√2

AL 23 Sa se gaseasca radacinile reale ale ecuatiei

x2 − 2a(x− 1)− x(a + 1) = −a,

unde a este un parametru real.


a) ∅ b) 1 c) a− 1

d) 1, 3a e) 1, −3a f) 2, 3a

AL 24 Sa se gaseasca radacinile reale ale ecuatiei√

1− x− 2x2 = −x− 1.

a) 1 b) 0, −1 c) 0, 2

d) −1 e) ∅ f) 0

AL 25 Fie n un numar natural nenul. Solutia inecuatiei

nx2 − 2x + 1 + n ≤ 0,

este data de:

a)

(1

2, +∞

), daca n = 0 b) ∅ c) (−∞,−2], daca n = −1

d)

[1−

√1− n(n + 1)

n, 0

]e) R f) [0, +∞) .

AL 26 * Fie multimile

A =

(−∞,

m +√−m

m

]∪

[m−√−m

m, +∞

),

respectiv B =

[m +

√−m

m,m−√−m

m

]

definite pentru m < 0. Solutia inecuatiei mx2 − 2mx + 1 + m ≤ 0, m ∈ R∗,este data de:

a)

{A, daca m < 0

∅, daca m > 0b) ∅

c) R\A, daca m < 0 d) B, daca m < 0

e) ∅, daca m < 0 f) (−∞, 0) , daca m = −1.


AL 27 Sa se determine m ∈ R stiind ca inecuatia 4x2−2 (m + 1) x+m ≥ 0este adevarata pentru orice x ∈ R.

a) m < 0 b) ∅ c) m > 0

d) m = 1 e) m > 1 f) m = −1

AL 28 * Sa se rezolve inecuatia

1

x2 − 2√

3x + 3+

1

|x− 3| ≥ 0.

a) x ∈ {√3, 3

}b) x ∈ R\{√

3, 3}

c) x ∈ Rd) x ∈ ∅ e) x > 1 f) x < 3

AL 29 Sa se rezolve inecuatia

x− 1

x + 1− x + 1

x− 1≥ 0.

a) x ∈ (−∞,−1) ∪ [0, 1) b) x ∈ (−∞,−1) c) x ∈ Rd) x ∈ ∅ e) x > 1 f) x < −2

AL 30 * Fie ecuatia x2 + |x| = mx (x + 3) , m ∈ R. Sa se determine valorileparametrului real m astfel ıncat aceasta ecuatie sa aiba exact trei radacinireale diferite.

a) m ∈ R b) m ∈(

1

3, 1

)c) m ∈ ∅

d) m ∈ (−∞, 1] e) m ∈ R\ {−1, 1} f) m ∈ R\ {1}

AL 31 * Sa se determine toate numerele reale m ≥ 0 stiind ca multimeaA ∩B are un singur element, unde

A ={x ∈ R|x2 − 4mx + 3m2 ≥ 0

}, iar

B ={x ∈ R|x2 −mx− 2m2 = 0

}.


a) m ∈ [0, 1] b) m ∈ ∅ c) m ∈ (0, +∞)

d) m ∈ [0, +∞) e) m ∈ [1, +∞) f) m = 0

AL 32 * Sa se gaseasca toate valorile x ∈ R astfel ıncat

√x2 − 3x + 2 > x + 1.

a) x ∈(−∞,

1

5

)b) x ∈

(1

5, +∞

)c) x ∈

(−∞,

1

5

]

d) x ≥ −1 e) ∅ f) x > −1

AL 33 Sa se determine toate valorile reale ale lui x astfel ıncat relatia

2 +√

x− 3 + m · |√x− 3− 2| = 4

are loc pentru orice parametru real m.

a) x = 12 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 9 e) x = 7 f) x = 5

AL 34 Sa se determine multimea

A ={

x ∈ R :√

x + 3 +√

9− x2 =3√

x2 + 18− 3}

.

a) A = ∅ b) A = {−3} c) A = {3}d) A = {−3, 3} e) A = {0} f) A = {−1, 1}

AL 35 * Fie ecuatia

m3√

x4 + 16x2 + 64 + 2(m− 1)3√

x2 + 8 + m− 1 = 0,m ∈ R \ {0}.

Daca A este multimea parametrilor m pentru care ecuatia de mai sus are toateradacinile reale, atunci:


a) A =

(0,

1

3

]b) A =

(−1

3, 0

]c) A = (−∞,−1) ∪ (0, 1)

d) A = {1

3} e) A = ∅ f) A = (−∞, 0) ∪

[5

9,∞

).

AL 36 Fie ecuatia 3√

1− x+√

x + 8 = 3. Sa se determine suma modulelorradacinilor ecuatiei.

a) 36 b) 0 c) 7 d) 28 e) 1 f) 3

AL 37 Suma S a radacinilor ecuatiei 3√

1 +√

x + 3√

8−√x = 3 este:

a) S = −49 b) S = 49 c) S = 0 d) S = −48 e) S = 48 f) S = 50.

AL 38 Sa se determine m ∈ R astfel ıncat domeniul de definitie D al functieif : D → R,

f(x) =2x + 1

3√

2x2 − (m + 5)x + 2m + 3,

sa coincida cu R.

a) m ∈ (3− 2√

2,∞) b) m ∈ (0,∞) c) m ∈ (−∞,−1)

d) m ∈ ∅ e) m ∈ (5,∞) f) m ∈ (3− 2√

2, 3 + 2√

2)

AL 39 * Cate numere ıntregi are multimea A = {x ∈ R, |2x− 3| ≤ 6}?

a) 0 b) 7 c) 4 d) 2 e) 6 f) 5

AL 40 Se da functia f : R → R, f (x) = x − 1. Sa se gaseasca solutiainecuatiei

2f 2 (x)− 3f (x) + 1 ≥ 0.


a) (−∞, 1] ∪ [2,∞) b) [2,∞) c) (2,∞)

d)

(−∞,

3

2

]∪ [2,∞) e)

(−∞,−1

2

]∪ [2,∞) f)

(−∞,

5

2

]∪ [3,∞)

AL 41 * Sa se determine m ∈ R stiind ca graficul functiei f : R→ R,

f (x) = |m− 2x| − |x + 3|+ 1

intersecteza axa OX ıntr-un singur punct.

a) m1 = −8, m2 = −4 b) m = −4 c) m = −8

d) m1 = m2 = 4 e) m = 8 f) m = 4

AL 42 Graficul functiei f : R→ R,

f (x) = x2 − 2mx− 1−m + m2, m ∈ R,

este parabola P. Varful parabolei P se gaseste pe dreapta:

a) x + y = 0 b) x + y − 2 = 0 c) x + y − 1 = 0

d) x− y + 1 = 0 e) x + y + 1 = 0 f) x + y + 2 = 0.

AL 43 * Sa se afle parametrul real m stiind ca graficul functiei

f (x) = mx2 − (m2 + 1

)x + 1

este tangent axei Ox ın x = 1.

a) m = 0 b) m = 1 c) m = −1 d) m = 2 e) m = 3 f) m =1

2

AL 44 * Sa se determine parametrul real m stiind ca multimea valorilorfunctiei f : R→ R,

f (x) =x2 + mx + 1

x2 − x + 1

este un interval de lungime 4.


a) m = −4 b) m = 2 c) m1 = 4, m2 = −2

d) m1 = −4, m2 = 2 e) m1 = −4, m2 = −2 f) m1 = m2 = 4

AL 45 * Sa se afle parametrul real m stiind ca graficul functiei

f (x) = −m2x2 + 2mx− 1

contine punctul A (1, 0) . Pentru valorile gasite ale lui m notam cu n numarulde puncte ın care graficul functiei f intersecteaza sau este tangent axei Ox. Sase determine n.

a) m = n = 1 b) m = 1, n = 3 c) m = 1, n = 0

d) m = 0, n = 1 e) m = 2, n = 1 f) m = 1, n = 5

AL 46 * Pentru ce valori ale lui m ∈ R,m 6= 1, punctele de intersectie alegraficelor functiilor

f(x) = mx2 − x + 1 si g(x) = x2 −mx + m,

sunt distincte si se gasesc pe axa Ox ?

a) m = 2 b) m = 0 c) m = −1 d) m ∈ R e) m ∈ ∅ f) m 6= 1

AL 47 * Sa se determine valoarea minima m, respectiv maxima M, a functieif : [0, 4] → R, f (x) = x2 − 3x + 2.

a) m = −1

4si M = 4 b) m = −1

2si M = 6 c) m = −1

4si M = 6

d) m = −1 si M = 3 e) m = −1 si M = 2 f) m = −6 si M = 6

AL 48 Sa se determine valoarea minima m, respectiv maxima M, a functieif : [2, 8] → R, f (x) = x2 − 3x + 2.


a) m = −1

4si M = 24 b) m = −1 si M = 6 c) m = −1

2si M = 4

d) m = 0 si M = 42 e) m = −1 si M = 12 f) m = −6 si M = 16

AL 49 * Sa se determine punctele de extrem ale functiei f : [1, 2] → R,f (x) = x2 − 3x + 3.

a)

{1,

3

2

}b) {1, 2} c)

{1,

3

2, 2

}

d)

{−1,

3

2, 2

}e)

{3

2

}f)

{1,−3

2, 2

}.

AL 50 * Fie m un numar real arbitrar fixat. Notam cu M cea mai marevaloare finita a functiei f : R→ R, f (x) = −x2 +mx−1−m2. Ce valori poatesa ia M?

a) M = −1 b) M > −1 c) M ∈ ∅ d) M ≤ −1 e) M = 0 f) M =1

2

AL 51 * Fie functia f : D → R, f (x) = −x2 − 4x − 1 + m4, pentru oricem ∈ R, unde D = (−2, +∞) este domeniul de definitie. Notam prin f ↗ faptulca f este strict crescatoare si prin f ↘ faptul ca f este strict descrescatoare.Alegeti raspunsul corect.

a) f ↗ pe (−2, 0] b) f ↘ pe D c) f ↗ pe (0,∞)

d) f ↗ pe D e) f < 0,∀x ∈ D f) f constanta

AL 52 Sa se determine m ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R,

f (x) =

2x− 6, x ∈ (−∞, 2)

(m− 1)x, x ∈ [2, 4)

x + 8, x ∈ [4,∞)

,

sa fie strict monotona pe R.


a) m ∈ [1, 2) b) m ∈ [0, 3] c) m ∈ (1, 4]

d) m ∈ [0, 2] e) m ∈ [0, 1] f) m ∈ [1,∞)

AL 53 * Sa se determine m ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R,

f (x) =

{x2 − 2mx + 2, x ≤ 0

−x + m, x > 0

sa fie strict descrescatoare pe R.

a) m ∈ ∅ b) m ∈ R c) m ∈ (−∞, 0)

d) m ∈ [0, 2] e) m ∈ (1, 2) f) m ∈ [2,∞)

AL 54 * Sa se determine imaginea functiei f : R→ R, f (x) = x2 − 2x + 3.

a) [3,∞) b) [2,∞) c) [−2,∞)

d) (−∞, 2) e) (−∞, 3) f) (−∞,−2)

AL 55 Stiind ca a ∈ R, sa se determine imaginea functiei f : R→ R,f (x) = x2 − 2ax.

a) [−2a2,∞) b) [−3a2,∞) c) [−a2,∞)

d) (−∞, 2a2) e) (−∞, a2) f) (−∞,−2a)

AL 56 Fie functiile f, g : R → R. Daca f este injectiva si are loc relatiaf ◦ f ◦ g = f ◦ f , atunci:

a) g(x) = x2, ∀ x ∈ R b) g(x) = x, ∀ x ∈ Rc) g(x) = x + 1, ∀ x ∈ R d) g(x) = (x− 1)2, ∀ x ∈ Re) g(x) = x− 1, ∀ x ∈ R f) g(x) = constanta, ∀ x ∈ R.


AL 57 * Sa se determine toate functiile injective f : R → R care satisfacrelatia

f(x + y) + f(0) = f(f(x) + y), ∀x, y ∈ R.

a) f(x) = x2, ∀ x ∈ R b) f(x) = x + c, ∀ x ∈ R, c = constanta reala

c) f(x) = 0, ∀ x ∈ R d) f(x) = c1x + c2, ∀ x ∈ R, c1, c2 = constante reale

e) f(x) = −x, ∀ x ∈ R f) f(x) = x2 + c, ∀ x ∈ R, c = constanta reala

AL 58 * Fie functia f : R→ R

f (x) =

{−x− 2, x < −1

mx− 3, x ≥ −1.

Sa se determine valoarea parametrului real m pentru care f este bijectiva sisa se determine ın acest caz f−1.

a) m = 2, f−1(x) =

−2− x, x > −1

x− 3

2, x ≤ −1

b) m = −2, f−1(x) =

−2− x, x > −1

−x− 3

2, x ≤ −1

c) m = 2, f−1(x) =

−2− x, x ≥ −1

−x− 3

2, x < −1

d) m = −2, f−1(x) =

−2− x, x > −1

−x + 3

2, x ≤ −1

e) m = −3, f−1(x) =

−2− x, x > −1

−x− 3

2, x ≤ −1

f) m = −1, f−1(x) =

2 + x, x > −1

−x− 3

2, x ≤ −1


AL 59 * Sa se determine toate functiile f : R→ R, stiind ca

f(x) + f([x]) + f({x}) = x,∀x ∈ R.

a) f(x) = x2, ∀ x ∈ R b) f(x) = x + c, ∀ x ∈ R, c = constanta reala

c) f(x) = 1, ∀ x ∈ R d) f(x) = −x + c, ∀ x ∈ R, c = constanta reala

e) f(x) =x

2, ∀ x ∈ R f) f(x) = 2x, ∀ x ∈ R

AL 60 * Fie m ∈ R∗ si functia bijectiva f : R→ R, ce satisface relatia

m2f 2((m2 + 1)x)− 2mf(x2 + m2) + 1 ≤ 0,∀x ∈ R.

Atunci:

a) m = 2 b) m ∈ {−1, 1} c) m = 10

d) m ∈ (−1, 1) \ {0} e) m ∈ R \ [−1, 1] f) m ∈ R∗ \ {−1, 1}.

AL 61 * Se dau functiile

f : R→ R, f (x) = x2 − x, respectiv

g : [0,∞) → R, g (x) =√

x.

Daca notam cu h : [0,∞) → R functia compusa f ◦ g, sa se determine h (x) .

a) h (x) = x +√

x b) h (x) =√

x2 − x c) h (x) = x + 2√

x

d) h (x) = x−√x e) h (x) =√

x2 − x f) h (x) =√

x2

AL 62 Se dau functiile

f : R→ R, f (x) = x2 − x, respectiv

g : R→ R, g (x) = 3x− 1.

Daca notam cu h : R→ R functia compusa f ◦ g, sa se determine h (x) .


a) h (x) = 9x2 − 9x + 2 b) h (x) = 3x (x2 − x) c) h (x) = (3x− 1)2 − x

d) h (x) = x2 + 2x− 1 e) h (x) = 3x2 − 3x f) h (x) = x2 − x

AL 63 Fie f : R→ R o functie care satisface relatia

f (x + 3) = 2x− 6− f(2).

Determinati functia f si punctul M de pe graficul lui f ale carui coordonatesunt egale.

a) f (x) = 2x− 4, M(4, 4) b) f (x) = 2x− 8, M(8, 8)

c) f (x) = 3x− 6, M(3, 3) d) f (x) = 2x− 1, M

(1

2,1

2

)

e) f (x) = 2x + 1, M (−1,−1) f) f (x) = 3x + 1, M

(−1

2,−1

2

)

AL 64 Stiind ca f : R→ R,

f (x) =

{x− 1, pentru x < 0

2x− 3, pentru x ≥ 0

si g : R→ R, g (x) = x− 2, sa se determine h(x) = (f ◦ g) (x) .

a) h(x) =

{x− 3, x < 0

2x− 7, x ≥ 0b) h(x) =

{x, x < 2

2x− 7, x ≥ 2

c) h(x) =

{x− 3, x < 2

2x− 7, x ≥ 2d) h(x) =

{x, x < −2

2x− 7, x ≥ −2

e) h(x) =

{x, x < 0

2x, x ≥ 0f) h(x) =

{x + 3, x < 0

2x− 7, x ≥ 0

AL 65 Sa se determine functiile f, g : R→ R,

f(x) = ax + 1, g(x) = x + b, a, b ∈ R,

stiind ca f ◦ g = g ◦ f.


a) f (x) = x + 1, g (x) = x b) f (x) = ax + 1, g (x) = x

c) f (x) = x + 1, g (x) = x + b

d) f (x) = ax + 1, g (x) = x si f (x) = x + 1, g (x) = x + b

e) f (x) = x + 1, g (x) = x si f (x) = x + 1, g (x) = x− 1

f) f (x) = ax + 1, g (x) = x + 1

AL 66 Sa se rezolve sistemul de ecuatii

x

y+

y

x= 2

x + y = 2 .

a) x = 0, y = 2 b) x = 2, y = 0 c) x = 1, y = 1

d) x =1

2, y =

3

2e) x =

3

2, y =

1

2f) x = −3

2, y =

1

2

AL 67 Sa se determine toate perechile de numere reale (x, y) stiind caxy = 2 si x + y = 4. Notam a = 2 +

√2 si b = 2−√2.

a) (a, b) b) (a, b) si (b, a) c) (b, a)

d) (2, 2) e) (1, 2) f) (2, 1)

AL 68 * Sa se gaseasca toate valorile reale ale lui x si y stiind ca x + y = 2si x3 + y3 = 2.

a) x = y = 1 b) x = 2, y = 0 c) x = 1 + 3√

2, y = 1− 3√

2

d) x = 0, y = 2 e) x = 4, y = −2 f) x = 3, y = −1

AL 69 * Sa se gaseasca toate perechile (x, y) de numere reale daca

x2 + y2 = 2 si x3 + y3 = 2.

In raspunsurile de mai jos folosim notatiile

a =

√3− 1 + 4

√12

2si b =

√3− 1− 4

√12

2.


a) (1, 1) b) (±1,±1) c) (1, 1) , (a, b)

d) (1, 1) , (a, b), (b, a) e) (±1,±1) , (a, b), (b, a) f) x =√

2, y = 0

AL 70 Fie numarul x0 =3√√

5 + 2 − 3√√

5− 2. Care din urmatoareleafirmatii este adevarata?

a) x0 /∈ Z b) x0 ≥ 2 c) x0 ∈ (1, 2)

d) x0 ∈ Z e) x0 ∈ R \Q f) x0 = 2

AL 71 Fie multimea

M =

{x ∈ R : |x| ≥ 1,

2013

√x +

√x2 − 1 +

2013

√x−

√x2 − 1 = 2

}.

Daca S =∑

x∈M

x2, atunci:

a) S = 1 b) S = 4 c) S = 9 d) S = 13 e) S = 20 f) E = 2.

AL 72 Sa se determine valoarea expresiei

E =3

√7 + 5

√2 +

3

√7− 5

√2.

a) E = 1 b) E = −1 c) E = 2 d) E = −2 e) E = 5 f) E = −4

AL 73 Sa se rezolve ecuatia

log2 (x + 1) = log4

(x2 − x + 4

).

a) x = 2 b) x = 1 c) x ∈ [1, 2)

d) x ≥ 1 e) x ≤ 1 f) x ∈ [1, 2]


AL 74 Sa se precizeze multimea solutiilor ecuatiei

3xx− 3x log2 3− 5x + 5 log2 3 = 0.

a) {log2 5, log3 5} b) {log2 3, log3 5} c) {log3 2, log3 5}d) {log2 3, log5 3} e) {1, log3 5} f) {log4 3, log3 5}

AL 75 Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatiile

log3

(x2 + 2x

)= 1 si 2 · 3y + 9y = 15.

a) x = 1, y ∈ {−5, 1} b) x ∈ {−3, 1}, y = 1 c) x = 1, y ∈ {− log3 5, 1}d) x = −3, y = log3 5 e) x = 1, y = 1 f) x = 1, y = 3

AL 76 * Sa se determine toate valorile parametrului m ∈ R pentru careinecuatia

32x − 3x+1m + 2m2 < 0

nu are solutii reale.

a) m ≤ 2 b) m ≥ 0 c) m ≤ 0

d) m ≥ 1 e) m > 3 f) m < −2

AL 77 Sa se rezolve ın multimea numerelor reale inecuatia

logx

(x2 − x + 2

)> 2 logx (x + 1) .

a) x ∈ (1/3, 1) b) x ∈ (0, 1/3) c) x > 1

d) x ∈ (1/3, 1] e) x ∈ (0, 1) f) x > 1/3

AL 78 * Sa se rezolve inecuatia

log2

(6x2 − 11x + 6

)> 0.


a) x > 1 b) x ∈(−∞,

5

6

)∪ (1, +∞) c) x ∈

[5

6, 1

]

d) x ∈ ∅ e) x ∈(

5

6, 1

)f) x ≥ 1

AL 79 Sa se determine m ∈ R astfel ıncat inecuatia

(1

4

)x

−m

(1

2

)x

+ 1 > 0

sa fie adevarata pentru orice x < 0.

a) m ∈ ∅ b) m ∈ (−2, 2) c) m ∈ [−2, 2]

d) m ∈ [−2,∞) e) m < −2 f) m ≤ 2

AL 80 Stiind ca a = log2 3, sa se calculeze ın functie de a, expresiile

E = log2 9− log4 3− log2 36 + log3 144 si

F = log3 9 + 2 log4 27− log3 36 + log12 144.

a) E =8 + a2

2a, F = 3a + 2− 2

ab) E =

8− a2

2, F = −2

a

c) E =8− a2

2, F = 3a− 2 d) E =

8− a2

2a, F = 3a + 2− 2

a

e) E =8− a2

2a, F = 3a f) E =

8− a2

2a, F = 3a− 2

AL 81 * Valorile numarului natural nenul n pentru care urmatoarea inega-litate

1·2√a · 2·3√a · 3·4√a · ... · n(n+1)√

a < an, a > 0, a 6= 1,

este adevarata, sunt:


a) ∀ n ≥ 1, daca a ∈ (0, 1) b) ∀ n ≥ 1 c) n < 20, n ∈ N∗

d) ∀ n ≥ 1, daca a ∈ (1,∞) e) n ∈ {1, 2, 3} f) n < 10, n ∈ N∗.

AL 82 Fie suma

S =1

n∑k=1

log2 k+

1n∑

k=1

log3 k+ ... +

1n∑

k=1

logn k, n ∈ N∗, n ≥ 2.

Atunci:

a) S = n! b) S = n c) S = n− 1 d) S = 0 e) S = 1 f) S = (n− 1)!

AL 83 In ce interval se afla radacina strict pozitiva a ecuatiei

(x2 + 9)

1

logx (x2 + 9) =3√−x2 + 6x.

a) (2, 3] b) (0, 1) ∪(

1,3

2

]c) (1, 6)

d) (−1, 0) e) [−1, 1] f) (1, 2]

AL 84 Care este valoarea produsului P , al radacinilor ecuatiei

x2 + x(4x − 14) + 4x+1 − 72 = 0.

a) P = −8 b) P = 8 c) P = 4 d) P = −2 e) P = −4 f) P = 2

AL 85 * Care este valoarea sumei S, a radacinilor ecuatiei

(√9 + 4

√5

)x

3+

(√9− 4

√5

)x

3= 18.

a) S = 6 b) S = −6 c) S = 3 d) S = 0 e) S = −1 f) S = 1


AL 86 * Fie x1, x2, x3, ... xn numere reale astfel ıncat x1, x2, x3, ... xn ∈ (0, 1)sau x1, x2, x3, ... xn ∈ (1,∞) . Precizati care este valoarea minima a expresiei

E = log x1(x2x3 · ... · xn) + log x2(x1x3 · ... · xn) + log x3(x1x2x4 · ... · xn) + ...

+ log xn(x1x2x3 · ... · xn−1).

a) n b) 2n c) 3 d)n

2e) 0 f) n(n− 1)

AL 87 * Sa se determine domeniul maxim de definitie al functiei

f(x) = 4

√logx2

(∣∣∣∣x− 1

x + 1

∣∣∣∣− 1

).

a) (−1, 1) b)

(−3,−1

3

]c) (0, 1) ∪

(1

3, 3

)

d) (1,∞) e)

(−∞,−1

3

]f) [−3,−1) ∪

[−1

3, 0

)


A = {x ∈ R : 4x + 6x − 52 · 24x = 0}.

a) A = {1} b) A = {−2} c) A = {−2, 1}d) A = {2} e) A = {0} f) A = {0, 2}

AL 89 * Se considera multimea

M = {(x, y, z) : 2x+z + 3y = 91, 2x + 3y · 2z = 436, 2x · 3y + 2z = 124} ⊂

⊂ Z× Z× Z si S =∑

(x,y,z)∈M

(|x|+ |y|+ |z|) . Atunci:

a) S = 9 b) S = 4 c) S = 16 d) S = 7 e) S = 21 f) S = 8.


AL 90 * Fie multimea A = {x ∈ R : lg 2 +√

lg (lg x) = lg (10 + lg x)}.Atunci:

a) A ⊂ (10, 102) b) A ⊂ (104, 108) c) A ⊂ (1012, 1016)

d) A ⊂ (102, 104) e) A ⊂ (108, 1012) f) A ⊂ (10, 102].


A = {x ∈ R : (3− 2√

2)x − 6(√

2− 1)x + 1 ≤ 0}.

a) A = [0, 2] b) A = [0, 1] c) A = (−2, 2)

d) A = [−2, 2] e) A = (0, 2) f) A = [0, 2)

AL 92 Sa se determine domeniile de definitie ale functiilor

f : D → R, f(x) = Ax−48−x, si

g : E → R, g(x) = C2x−8x+1 .

a) D = {4, 5}, E = {4, 5, 6, 7} b) D = {4, 5, 6}, E = {4, 5, 6, 7}c) D = {4, 5, 6}, E = {4, 5, 6, 7, 8, 9} d) D = {5, 6}, E = {6, 7, 8}e) D = {4, 5, 6}, E = {6, 7, 8, 9} f) D = {4, 5}, E = {8, 9}

AL 93 Daca A este o multime cu 2013 elemente si n reprezinta numarullegilor de compozitie ce se pot defini pe A, atunci:

a) n = 2013 b) n = 20139·6712c) n = 220132

d) n = 22013 e) n = 20132013 f) n = 2013671.

AL 94 Sa se determine toate perechile (x, y), cu x, y ∈ N∗, astfel ıncatCy

x = Cxy si (x + y)! < 1000.


a) (x, y) ∈ {(4, 4)} b) (x, y) ∈ {(1, 1); (2, 3); (3, 4)}c) (x, y) ∈ {(2, 2)} d) (x, y) ∈ ∅e) (x, y) ∈ {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} f) (x, y) ∈ {(1, 1); (4, 1)}

AL 95 * Fie

M =√

C12n+1 · C2

2n+1 · C32n+1 · ... · C2n

2n+1, n ∈ N∗.

Atunci:

a) M ∈ R \Q b) M ∈ Q \ Z c) M ∈ Z \ Nd) M ∈ N∗ e) M = 1 f) M ∈ N.

AL 96 * Fie sirul (xn)n>1 cu termenul general

xn =

(1− 1

3

)·(

1− 1

6

)· ... ·

(1− 1

C2n+1

), n ∈ N∗ \ {1}.

Definim multimea M :=

{n ∈ N∗ \ {1} :

1

2≤ xn ≤ 2

3

}. Stabiliti daca:

a) M = {3, 4} b) M = {5, 6, 7} c) M = {2, 3, 4}d) M = ∅ e) M = {2, 3, 4, 5, 6} f) M = {2, 4, 6}.

AL 97 Se considera

P =C1

2 · C24 · C3

6 · ... · C10072014

C11 · C2

3 · C35 · ... · C1007

2013

.

Atunci:

a) P = 21007 b) P = 1007 c) P = 22013

d) P =1007

2013e) P = 2013 f) P = 22014.


AL 98 Daca

S = C12013 − 2 · C2

2013 + 3 · C32013 − ... + 2013 · C2013

2013 ,

atunci:

a) S = 1 b) S = 2012 c) S = 2014

d) S = 0 e) S = 2013 f) S = 2012 · 2013.

AL 99 * Sa se calculeze

E =2013∑i=1

(1 +

1

i

) i∑

k=1

k!(k2 + 1).

a) 2013! b) 2014!− 1 c) 2015!

d) 2015!− 2 e) 2013!− 2 f) 2014!

AL 100 * Sa se determine toate solutiile reale ale ecuatiei

[C3x−3

3x−1

7

]= 0.

a) x1 = 1, x2 =4

3b) x1 =

4

3, x2 =

5

3

c) x1 = 1, x2 =5

3d) x1 = 2, x2 =

4

3, x3 = 3

e) x1 = 1, x2 =4

3, x3 =

5

3f) x1 = 2, x2 =

4

3

AL 101 Sa se rezolve inecuatia

log25

(A2

x

)> log5

(C4

x

), x ∈ N, x > 0,

unde A2x, respectiv C4

x, ınseamna aranjamente de x luate cate 2, respectivcombinari de x luate cate 4.


a) x ∈ (4, 5) b) x ∈ {4, 5} c) x = 4

d) x ∈ {4, 5, 6, 7} e) x ∈ N, x ≥ 4 f) x = 3

AL 102 Daca n este numarul termenilor rationali ai dezvoltarii binomului(3√

5− 5√

2)80

, atunci:

a) n = 2 b) n = 3 c) n = 5 d) n = 6 e) n = 15 f) n = 4.

AL 103 * Determinati x din expresia(

xloga

√x +

1

x

)n

, a > 0, a 6= 1,

stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii este 128 iar al saselea

termen al dezvoltarii este egal cu21

a6.

a) x1 = 3a, x2 = a2 b) x1 = 2a, x2 = a3 c) x1 = 2a−1, x2 = a−3

d) x1 = 3a, x2 = a−2 e) x1 = a2, x2 = a3 f) x1 = a−1, x2 = a−4

AL 104 Cati termeni nu ıl contin pe x ın dezvoltarea(

2 3√

x +1

4x

)n

, x 6= 0,

stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii este 256?

a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1 f) 9

AL 105 In dezvoltarea binomului(√

x +1

3√

x2

)n

, x > 0,

raportul dintre coeficientul termenului al cincilea si coeficientul termenului al

treilea al dezvoltarii este7

2. Daca T6, termenul al saselea al dezvoltarii, este

de forma α · xβ, atunci:


a) α = 1, β = 12 b) α = 126, β = −4

3c) α = 1, β = −1

3

d) α = 36, β = −1

3e) α = 128, β =

1

6f) α = 12, β =

4

3.

AL 106 Sa se determine coeficientul lui x4 din dezvoltarea (1+5x+4x3)10.

a) 40 · C210 b) 200 · C2

10 c) 54 · C410

d) 40 · C210 + 54 · C4

10 e) C210 + 52 · C4

10 f) 40 · C210 + 52 · C3

10

AL 107 Sa se determine coeficientul lui x2 din dezvoltarea(1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)12.

a) 185 b) 283 c) 187 d) 285 e) 287 f) 385

AL 108 * Daca x1 = 9 si xn+1 = 9xn ,∀n ∈ N∗, atunci ultimele doua cifreale lui x2013 scris ın baza 10 sunt:

a) 11 b) 00 c) 89 d) 81 e) 99 f) 10.

AL 109 * Sa se calculeze suma S =2013∑i=1

i∑j=1

j.

a) S =2013 · 2014 · 2015

6b) S =

2013 · 2014

6c) S =

2015

6

d) S =2013 · 2014 · 2015

7e) S =

2013 · 2015

4f) S =

2015

4

AL 110 * Fie multimea A = {0, 1, 2, 3} . Notam cu N numarul de numerenaturale formate din 3 elemente diferite ale multimii A si cu M numarul desubmultimi de 3 elemente diferite ale multimii A. Sa se determine N si M.

a) N = 18, M = 18 b) N = 24, M = 4 c) N = 18, M = 4

d) N = 18, M = 3! e) N = 24, M = 6 f) N = 22, M = 6


AL 111 * Care este probabilitatea p, respectiv q, ca sa extragem un numarimpar, respectiv un cub perfect (adica de forma n3, n ∈ N, n > 0), dintrenumerele de la 1 la 101.

a) p =50

101, q =

4

101b) p =

51

101, q =

4

101c) p =

50

101, q =

5

101

d) p =51

101, q =

5

101e) p =

50

101, q =

3

101f) p =

49

100, q =

3

101

AL 112 Care este probabilitatea p, respectiv q, ca alegand una din radacinileecuatiei (x + 2) (x2 − x− 1) = 0 aceasta sa fie reala, respectiv ıntreaga.

a) p =1

3, q = 0 b) p = 1, q =

1

3c) p = q =

1

3

d) p = 1, q = 0 e) p =1

3, q =

2

3f) p = q =

1

2

AL 113 * Stiind ca dupa 2 reduceri succesive de 10%, respectiv 25%, urmatede o usoara crestere cu 5% un produs costa 1134 euro, cat costa acesta ınainteaprimei reduceri?

a) 1500 b) 1560 c) 1600 d) 1400 e) 1660 f) 1606

AL 114 Sa se calculeze |z| daca

z =

(√2013 +

n√

2013 + i

√2013− n

√2013

)2n

, n ∈ N∗.

a) 2n b) 20132n c) 2013n d) 2013 · 2n e) 2012n f) 4026n

AL 115 Fie multimea A =

{z ∈ C \ R : z +

1

z= 1

}. Sa se calculeze

E = z2013 − 1

z2013, z ∈ A.


a) E = 1 b) E =1

zc) E = 2 d) E = −1 e) E = z f) E = 0

AL 116 Fie multimile

M =

{z ∈ C : |z − 2| = 2 si

[1

|z − 3|]

= 1

}, P = {|z| : z ∈ M}.

Atunci

a) P ⊂(

4,

√70

2

]b) P =

(4,

√70

2

]c) P =

(1

2,3

2

)

d) P ⊂(

1

2, 4

]e) P =

(4,

√75

2

]f) P ⊂ (0, 1]

AL 117 Fie ecuatia

(z − i

z + i

)3

+

(z − i

z + i

)2

+z − i

z + i+ 1 = 0.

Notam cu S suma radacinilor ecuatiei de mai sus. Atunci:

a) S = i b) S = 1 c) S = −i d) S = −1 e) S = 0 f) S = 2i.

AL 118 Fie multimea

A =

{z ∈ C : z · z = 2 si

∣∣∣∣2z + 3

z − 3i

∣∣∣∣ = 1

}.

Daca S =∑z∈A

z, atunci:

a) S = 1− 2i b) S =4

5+

3

5i c) S = 1 + 2i

d) S = 3 e)S = −4

5− 2

5i f) S = 1 + i.



A =

{z ∈ C : |z − 1| = |z + i

√3| = 1

}.

a) A =

{i,

i√

3

2

}b) A =

{1

2+

i√

3

2

}c) A =

{−1

2− i

√3

2

}

d) A =

{−i,

i√

3

2

}e) A =

{1

2− i

√3

2

}f) A =

{−i,

1

2− i

√3

2

}

AL 120 Suma modulelor radacinilor ecuatiei z2− (6− i)z +5− i = 0 este:

a) 2 +√

6 b) 1 c)√

6 d) 2√

6 e) 2 f) 1 +√

26.

AL 121 Fie multimea A =

{z ∈ C : z2 + z + 1 = 0

}. Sa se calculeze

E(z) =z11 + z10 + z9 + z8 + z7 + z6 + z3 − 4

z2013 + 2,

stiind ca z ∈ A.

a) E(z) = z b) E(z) = z2 c) E(z) = −4

3

d) E(z) =1

3e) E(z) = −1 f) E(z) = 0

AL 122 Se considera numerele complexe z1, z2, z3 care ındeplinesc conditiile|z1| = |z2| = |z3| = 1 si z1 · z2 · z3 6= −1. Daca

B =z1 + z2 + z3 − z1 · z2 − z1 · z3 − z2 · z3

1 + z1 · z2 · z3

,

si B este conjugatul complex al numarului B, atunci:


a) B + B = 1 b) B −B = 1 c) B + B = 2

d) B + B = 0 e) B −B = 2 f) B −B = 1.

AL 123 * Se considera ecuatia zn + nz − c = 0, c ∈ R, n ∈ N, n ≥ 2. Dacaα ∈ C \ R este o radacina a acestei ecuatii si r = |α|, atunci:

a) r ∈(

0,1

n

)b) r ∈ (0, 1) c) r ∈

[1

n, 1

)

d) r ∈(

0,1

2

]e) r ∈ (1,∞) f) r ∈

[1

n,

1

n− 1

).

AL 124 Fie numerele complexe z si w. Sa se calculeze

E =1 + |z · w|2

|z · w + 1|2 + |z · w − 1|2 .

a) E = 1 b) E = 2 c) E =1

2

d) E = zw + zw e) E = zw f) E = zw

AL 125 Fie multimea M =

{z ∈ C : |z| + z = 2 − 4i

}. Sa se determine

S =∑

z∈M

|z + 3|4n, n ∈ N∗.

a) S = 43n b) S = 256n c) S = 22n

d) S = 24n e)S = 4n + 1 f) S = 2n + 1

AL 126 Sa se determine solutiile sistemului

{x + 2y = 1 + i,

3x + iy = 2− 3i, x, y ∈ C.


a) x = i, y = 1 + i b) x = 1− i, y = −i c) x = 1− i, y = i

a) x = y = 2− i b) x = 1, y = 2 + i c) x = y = −i

AL 127 Sa se determine E =

(z2 +

1

z2

)9

, stiind ca z2 − z + 1 = 0.

a) E = 2 b) E = −1 c) E = 0 d) E = cos2π

3e) E = 1 f) E = −2

AL 128 Se considera numerele complexe z1, z2, z3 care ındeplinesc conditiile|z1| = |z2| = |z3| = 1, z1 + z2 + z3 6= 0 si z2

1 + z22 + z2

3 = 0. Atunci |z1 + z2 + z3|are valoarea:

a) 1 b) 0 c) 4 d) 8 e) 2 f) 6.

AL 129 Sa se calculeze

E =i · i2 · i3 · ... · i2012

i + i2 + i3 + ... + i2013.

a) E = 2013 b) E = 2013i c) E = i d) E = −1 e) E = −i f) E = 1

AL 130 * Se considera numerele complexe z1, z2, z3 care ındeplinesc conditiile|z1| = |z2| = |z3| = 1 si z1+z2+z3 = 1. Sa se calculeze S = z2013

1 +z20132 +z2013

3 .

a) S = 2013 b) S = 0 c) S = 3 d) S = 1 e) S = 2012 f) S = −3

AL 131 Se considera matricele:

A =

(2 9−7 4

), B =

(1 11 3

).

Valoarea expresiei B − 1

2(A + At) este:


a) 0 b) A c) B d) −I2 e) I2 f) 2A


A =

−121

, B =

(3 − 1 − 2

)si C =

−2 1 34 −5 −63 1 −1

.

Sa se calculeze A ·B − C.

a)

−1 0 12 3 20 −2 −1

b)

1 0 12 −7 20 2 1

c)

−1 0 −12 3 20 −2 −1

d)

1 0 −12 3 20 −2 −1

e)

−5 0 −12 3 20 −2 −1

f)

−5 0 −12 −7 30 −2 −1


A =

(2x 22 y2

), B =

(3y − 2 3x− 5y3x− 5y 1 + 2x

)si C =

(7 66 8

).

Sa se determine numerele reale x si y astfel ıncat A + B = C.

a) x = −3, y = 1 b) x = −1, y = 3 c) x = 3, y = −1

d) x = 2, y = 3 e) x = 3, y = 1 f) x = 3, y = 2


A =

( −1 xx 0

), B =

(y 12y y

)si C =

(y 6

2x + 4y 2y

).

Sa se determine x, y ∈ R astfel ıncat xA + yB = C.

a) x = 1, y = 2 b) x = 2, y = 1 c) x = −2, y = −2

d) x = 2, y = −1 e) x = 1, y = −2 f) x = 2, y = 2


AL 135 Se considera matricea

A (x) =

(x + 1 x

3 x + 1

).

Daca I2 =

(1 00 1

), atunci A (x) verifica ecuatia:

a) A(x)x + 3xI2 = 0

b) A(x)2 + (x + 1)A(x) + (x + 1)

(0 x3 0

)− 3xI2 = 0

c) A(x)2 − (x + 1)A(x)− (x + 1)

(0 x3 0

)− 3xI2 = 0

d) A(x)2 = (x + 2)A(x)− (x + 1)

(0 x3 0

)+ 3xI2

e) A(x)2 + (x + 1)A(x)− (x− 1)

(0 x3 0

)+ 3xI2 = 0

f) A(x)2 = (x + 1)A(x)− (x + 2)

(0 x3x 0

)+ 3xI2.

AL 136 Fie matricea

A =

0 1 2−1 1 01 0 1

.

Sa se determine a, b, c ∈ R astfel ıncat sa aibe loc relatia:

A−1 = aA2 + bA + cI3.

a) A nu este inversabila b) a = 1, b = 2, c = 0

c) a = 0, b = 2, c = −1 d) a = −1, b = 2, c = 0

e) nu exista a, b, c ∈ R f) a = 1, b = −2, c = 0


AL 137 Fie matricea A =

3 0 −50 1 4−1 0 2

. Sa se determine a, b, c ∈ R

astfel ıncat A3 = aA2 + bA + cI3.

a) a, b, c ∈ ∅ b) a = 6, b = −6, c = 1

c) a = −6, b = 6, c = −1 d) a = 1, b = 6, c = −6

e) a = −6, b = 1, c = 6 f) a = 6, b = 6, c = 1

AL 138 Fie matricele:

A =

(1−1

), B =

(2 1−3 −1

), C =

( −2 1 2)

si functia f : M2(R) → M2(R), f(X) = X2 − 3X + I2. Sa se determinematricele B · A · C si f(B).

a)

( −2 1 −34 −2 4

), 2B b)

( −2 1 24 −2 −4

), 2

( −2 13 1

)

c)

( −2 1 24 −2 6

), −2

( −2 13 1

)d)

( −2 1 24 −2 −4

), −2B

e)

( −2 1 34 −2 −4

), −2B f)

( −2 1 24 −2 −4

), −2

(2 13 −1

)

AL 139 Fie functia f : M3(R) →M3(R), f(X) = X3 − 3X2 + 2X + 4I3

si matricea

A =

0 a 01 0 −1−1 0 1

.

Sa se determine valoarea parametrului real a astfel ıncat

f(A) =

−4 24 84 −4 −44 8 8

.

a) a = 1 b) a = 0 c) a = −1 d) a = 2 e) a = −2 f) a = 4


AL 140 Fie matricea

A =

( √3 −1

1√

3

).

Calculati A36.

a) I2 b) O2 c) A d)√

3A e) 236I2 f) 336I2

AL 141 Fie matricele:

A =

(2 21 1

)

si B = A− At. Calculati B2013.

a) A b) At c) A−1 d) B e) Bt f) B−1

AL 142 Fie matricea

A =

(a 10 a

), a ∈ R.

Sa se determine A2013.

a)

(a2013 1

0 a2013

)b)

(a2012 1

0 a2012

)

c)

(a2013 a2012

0 a2013

)d)

(a2013 2013a2012

0 a2013

)

e)

(a2013 2012a2013

0 a2013

)f)

(a2013 2013a2013

0 a2013

)

AL 143 * Fie matricea

A =

1 1 20 1 30 0 1

.

Sa se calculeze A100.


a)

1 1 20 1 30 0 1

b)

1 1 2100

0 1 3100

0 0 1

c)

1 100100(3 · 100 + 1)

20 1 3 · 1000 0 1

d)

1 1003 · 1002

20 1 3 · 1000 0 1

e)

(−1)100+1 100100(1− 3 · 100)

20 (−1)100+1 3 · 1000 0 (−1)100+1

f)

1 100 100(1− 3 · 100)0 1 3 · 1000 0 1

AL 144 * Sa se calculeze A2013, unde

A =

0 ex e−x

e−x 0 0ex 0 0

.

a) 22013A b) I3 c) −I3 d) 21006A e) 22013I3 f) 21006I3

AL 145 * Se considera H multimea matricelor de forma

X(a) =

(1 + 4a 6a−2a 1− 3a

)∈M2(R).

Sa se studieze daca X(a)X(b) = X(a + b + ab), pentru orice X(a), X(b) ∈ Hsi sa se calculeze [X(1)]n, n ∈ N∗.

a) Nu,

(2n+2 − 3 6(2n − 1)2 + 2n+1 4− 3 · 2n

)b) Da,

(2n+2 − 3 3 · 2n+1 − 62− 2n+1 4− 3 · 2n

)

c) Da,

(2n+2 − 3 3 · 2n+1 + 62(1− 2n) 4(1− 3 · 2n−2)

)d) Da,

(2n+2 + 3 6(2n + 1)2− 2n+1 4− 3 · 2n

)

e) Da,

(2n+2 + 3 6(2n − 1)2(1− 2n) 4(1− 3 · 2n−2)

)f) Nu,

(2n+2 + 3 3 · 2n+1 + 62(1− 2n) 4 + 3 · 2n

)


AL 146 Fie A =

1 0 20 −1 −11 0 1

, B =

0 0 16−3 −10 −28 0 0

∈ M3(R) si

C = A3 − 80B−1. Sa se calculeze Cn, n ∈ N∗.

a)

7n 0 00 7n 00 0 7n

b)

1

7nI3

c)

7n 0 10n

1 1 3n

5n 0 0

d)

7n! 0 00 7n! 00 0 7n!

e) A3n − 80n(Bn)−1 f) O3

AL 147 In M2(R) se considera matricele

A =

(3 14 −1

)si B =

(8 −9−1 9

).

Sa se determine matricele X si Y pentru care

{2X − Y = A

3X + 2Y = B.

a) X =

(2 11 1

), Y =

(1 −3−2 3

)

b) X =

(2 −11 1

), Y =

(1 3−2 3

)

c) X =

(2 −11 1

), Y =

(1 −3−2 3

)

d) X =

(2 −11 −1

), Y =

(1 3−2 3

)

e) X =

(2 1−1 1

), Y =

(1 −3−2 3

)

f) X =

(2 −11 1

), Y =

(1 −32 3

)


AL 148 Fie sistemul

2A + B =

4 7 −41 4 39 3 10

A− 3B =

−5 0 5−3 2 −28 −2 −9

.

Sa se calculeze Trace (A) + det (B) .

a) 6 b) −9 c) 0 d) −3 e) −6 f) 3

AL 149 Sa se rezolve ecuatia matriceala

X ·

2 1 31 2 31 1 1

=

(2 −1 33 −2 2

).

a) X =1

3

(7 −2 −39 6 −6

)b) X = −1

3

(5 2 6−9 6 3

)

c) X =

(−7

3

2

3−2

3 −2 1

)d) X =

1

3

(7 −2 69 −6 −3

)

e) X =

( 7

3−2

3−2

3 −2 −1

)f) X =

( 5

3−2

3−1

3 −2 2

)

AL 150 Sa se determine parametrul m ∈ R astfel ıncat ecuatia

X ·

1 3 40 1 50 0 1

=

1 1 m0 1 10 m m2

,

sa aiba solutie nesingulara.

a) m /∈ {0, 1} b) m ∈ {0, 1} c) m ∈ Rd) m ∈ ∅ e) m = 0 f) m = 1


AL 151 Solutia ecuatiei

X

2 0 5−4 1 −121 0 3

=

(1 2 3

)

este:

a) X =

031

b) X =

(1 9 2

)c) X =

5 2 61 3 −114 2 4

d) X =(

0 2 9)

e) X =(

0 1 3)

f) X =

029

.

AL 152 Sa se afle numarul real a astfel ıncat det(X) = 3, unde X estesolutia ecuatiei

X ·

0 1 −23 0 17 1 0

=

0 1 0−1 0 1a 1 −1

.

a) a ∈ R b) a ∈ ∅ c) a = 3 d) a = 0 e) a = 4 f) a = 5

AL 153 * Fie M ∈M2(R), M = xI2 + yA, x, y ∈ R, unde I2 =

(1 00 1

)si

A =

(1 −12 3

). Atunci inversa lui M este:

a) nu exista M−1, pentru orice x, y ∈ R

b)1

x2 − 4xy + 5y2

(x + y −y−2y x + 3y

), xy 6= 0

c)1

x2 + 4xy + 5y2

(x + 3y y−2y x + y

), x2 + y2 6= 0

d)1

x2 − 4xy + 5y2

(x + 3y y−2y x + y

), xy 6= 0


e)1

x2 + 4xy + 5y2

(x + y −y2y x + 3y

), x2 + y2 6= 0

f) M .

AL 154 Se considera multimea

Ma =

{(xy x + 3

x− 3 xy

): x2 − x2y2 = a, a ∈ Z

}⊂M2 (Z) .

Inversa unei matrice oarecare din Ma apartine de asemenea lui Ma daca:

a) a = 0 b) a ∈ R c) a ∈ ∅d) a = 10 e) a = 1 f) a = 8 si a = 10.

AL 155 Fie matricea

A =

1 1 2−1 1 0−2 0 1

.

Sa se calculeze Tr[(A2)

−1], unde Tr(A) este suma elementelor de pe diagonala

principala a matricii A.

a) 3 b) 7 c) 9 d)7

9e) −3 f) −7

AL 156 * Sa se determine valorile parametrului real m astfel ıncat matricea

A =

5 m + 1 x + 1x x− 1 12 m 1

sa fie inversabila pentru orice x ∈ R.

a) R \{

2

3, 1

}b)

(2

3, 1

)c)

(−∞,

2

3

)∪ (1, +∞)

d)

(1

3, 2

)e)

(−∞,

1

3

]∪ [2, +∞) f)

[2

3, 1

]


AL 157 Determinati toate relatiile pe care trebuie sa le satisfaca parametriia, b ∈ R astfel ıncat matricea

A =

a b bb a bb b a

sa fie inversabila.

a) a = b b) a = 2b c) a 6= b

d) a 6= b, a 6= −2b e) a 6= 2b f) a, b ∈ R \ {0}

AL 158 * Solutia ecuatiei Y 2 = A, Y ∈M2(R), unde A =

(0 01 0

)este:

a) Y =

(0 01 0

)b) Y =

(0 00 1

)c) Y =

(0 11 0

)

d) Y =

(1 00 1

)e) Y =

(0 −11 0

)f) ecuatia nu are solutii.

AL 159 * Cate solutii are ecuatia matriceala:

X2 = (2X)t, X ∈ M2(Z)?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 f) 6

AL 160 * Determinati valorile parametrului a ∈ R, pentru care matricea

A =

1 a a2

a2 1 aa a2 1

este inversabila.

a) a ∈ R b) a ∈ ∅ c) a = 1

d) a ∈ R \ {1} e) a = −1 f) a ∈ R \ {−1}


AL 161 Fie matricea A = (aij)i,j=1,2,3 cu elementele date de:

aij =

(−1)i+j , i = j ,

(−1)i+jCij , i < j ,

0 , i > j .

Calculati A−1.

a)

1 2 30 1 30 0 1

b) I2

c)

1 −2 30 1 −30 0 1

d)

−1 2 −30 −1 30 0 −1

e)

1 2 −30 1 30 0 1

f)

1 −2 −30 1 −30 0 1


M =

{A(a) =

(1 5a0 1

)| a ∈ Z

}.

Sa se calculeze B(a) = A(a) + A2(a) + . . . + An(a) si sa se determine a ∈ Z,

astfel ıncat1

nB(a) ∈M, pentru orice n ∈ Z∗.

a)n

2

(2 5a(n + 1)0 2

), a ∈ 2Z+ 1 b)

(n 5a

n(n− 1)

20 n

), a ∈ 2Z+ 1

c)n

2

(2 5a(n + 1)0 2

), a ∈ 2Z d)

(1 5a

n(n + 1)

20 1

), a ∈ 2Z

e)n

2

(1 5a(n + 1)0 1

), a ∈ 2Z+ 1 f)

(n 5a

n(n− 1)

20 n

), a ∈ 2Z


AL 163 * Fie matricea:

A =

(1 23 1

).

Multimea tuturor matricelor M ∈ M2(R) pentru care A3M = MA3 implicaAM = MA este:

a) ∅ b) M2(R) c)

{(a 2a3a a

), a ∈ R

}

d) M2(Z) e) {M | det(M) 6= 0} f)

{I2 =

(1 00 1

), A

}.

AL 164 Se considera determinantul D(x) =

∣∣∣∣∣∣

13− 5x 1 0x− 1 0 −1

2 1 x− 1

∣∣∣∣∣∣. Sa se

rezolve ın Q ecuatia D(2x + 1) = 0.

a) x ∈ ∅ b) x1 = 1, x2 = −6 c) x1 = −1, x2 = 6

d) x = 0 e) x = 1 f) x1 = 2, x2 = 2−6

AL 165 * Sa se determine valorile parametrilor a, b ∈ R astfel ıncat x = −2sa fie solutie dubla a ecuatiei:

∣∣∣∣∣∣

x2 b a2x −1 x−2 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0.

a) a = 0, b = 0 b) a = 1, b = −5 c) a = 6, b = 5

d) a = −6, b = −5 e) a = 5, b = 1 f) a = 1, b = 6

AL 166 Determinati solutiile ecuatiei:

∣∣∣∣∣∣

ln x ln a ln bln a ln x ln bln b ln a ln x

∣∣∣∣∣∣= 0, x, a, b ∈ (0, +∞).


a) x1 = a, x2 = b, x3 = a + b b) x1 = a, x2 = b, x3 = ab

c) x1 = a, x2 = b, x3 =a

bd) x1 = a, x2 = b, x3 =

a

b

e) x1 =1

a, x2 =

1

b, x3 = 1 f) x1 = a, x2 = b, x3 =

1

ab

AL 167 * Sa se calculeze valoarea determinantului:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

a3− 1

a2

1

a

1

b3− 1

b2

1

b

1

c3− 1

c2

1

c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, a, b, c ∈ R∗.

a) ∆ =1

abc

(1

b− 1

a

)(1

c− 1

b

)(1

c− 1

a

)

b) ∆ =1

abc

(1

b− 1

a

)(1

b− 1

c

)(1

c− 1

a

)

c) ∆ =1

abc

(1

a− 1

b

)(1

c− 1

b

)(1

c− 1

a

)

d) ∆ =1

a2b2c2

(1

a2− 1

b2

)(1

c2− 1

b2

)(1

c2− 1

a2

)

e) ∆ =1

a2b2c2

(1

b2− 1

a2

)(1

b2− 1

c2

)(1

c2− 1

a2

)

f) ∆ =1

a2b2c2

(1

b2− 1

a2

)(1

c2− 1

b2

)(1

c2− 1

a2

)

AL 168 Fie numerele reale a, b, c si functia f : R→ R, f(x) = x3 + 3x + 2.Valoarea determinantului

∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c

f(a) f(b) f(c)

∣∣∣∣∣∣

este:


a) ∆ = (b− a)(c− a)(c− b)(a + b + c)

b) ∆ = (b− a)(a− c)(c− b)(a + b + c)

c) ∆ = (a− b)(c− a)(c− b)(a + b + c)

d) ∆ = (b− a)(c− a)(c− b)(a− b + c)

e) ∆ = (b− a)(a− c)(c− b)(a + b + c)

f) ∆ = (a− b)(c− a)(c− b)(a− b + c).

AL 169 * Determinati valoarea lui x ∈ R astfel ıncat valoarea determinan-tului

∆ =

∣∣∣∣∣∣

x 2 −10 x 1−2 2 1

∣∣∣∣∣∣sa fie minima.

a) x = 0 b) x = 1 c) x = 1

d) x = 2 e) x = −2 f) nu exista


(2 2−1 −1

). Calculati determinantul matricii

A2013.

a) 0 b) 1 c) −1 d) 22013 e) −22013 f) 2013


(9 13 −2

). Determinati x ∈ R∗ astfel ıncat:

det

(1

xA

)=

1

xdet A.

a) x = 1 b) x = −1 c) x = 2

d) x = −2 e) x = 3 f) x = −3


AL 172 Daca a1, a2, ..., a9 sunt noua numere ın progresie geometrica deratie q, atunci valoarea determinantului:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9

∣∣∣∣∣∣

este:

a) 0 b) 1 c) a1 d) a1q e) a71q

7 f) a91q

9.

AL 173 Calculati valoarea determinantului:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

C11 0 n + 1

C22 C1

2 (n + 1)2

C33 C2

3 (n + 1)3

∣∣∣∣∣∣.

a) n(n + 1)(n + 2) b) 0 c) n(n + 1)(2n + 1)d) n(n + 1)(2n− 1) e) n(n− 1)(n + 2) f) n(n− 1)(2n + 1)

AL 174 Valoarea determinantului:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

a− b− c 2a 2a2b b− c− a 2b2c 2c c− a− b

∣∣∣∣∣∣

este:

a) 0 b) b c) c

d) a e) a + b + c f) (a + b + c)3.


0 1 11 0 11 1 0

. Solutiile ecuatiei det(A−xI3) = 0

sunt:


a) x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2 b) x1 = x2 = 1, x3 = −2

c) x1 = x2 = −1, x3 = 2 d) x = 1

e) x ∈ ∅ f) x1 = x2 = 2, x3 = 1.

AL 176 * Sa se determine minimul si maximul functiei y = y(x) data de

∣∣∣∣∣∣∣

x 1 xy

1 −1

x

x2 + 1

x2x −1 −3 + x2

∣∣∣∣∣∣∣= 0,

unde x ∈ R \ {0}.

a) ymin = 6, ymax = −6 b) ymin = −6, ymax = 6

c) ymin = −3, ymax = 3 d) ymin = 3, ymax = −3

e) ymin = 0, ymax = ∞ f) ymin = −1, ymax = 1

AL 177 * Fie functia f : R→ R data de:

f(x) =

∣∣∣∣∣∣

a + x b + x c + xa2 + x2 b2 + x2 c2 + x2

a3 + x3 b3 + x3 c3 + x3

∣∣∣∣∣∣.

Sa se calculeze f ′(x).

a) f ′(x) = (b− a)(c− a)(c− b)[x2 − (a + b + c)x + ab + ac + bc]

b) f ′(x) = (a− b)(c− a)(c− b)[x2 − (a + b + c)x + ab + ac + bc]

c) f ′(x) = (b− a)(c− a)(c− b)[3x2 − 2(a + b + c)x + ab + ac + bc]

d) f ′(x) = (b− a)(c− a)(b− c)[3x2 − 2(a + b + c)x + ab + ac + bc]

e) f ′(x) = (b− a)(c− a)(c− b)[2x2 − 3(a + b + c)x + ab + ac + bc]

f) f ′(x) = (a− b)(c− a)(c− b)[2x2 − 3(a + b + c)x + ab + ac + bc]


AL 178 * Sa se rezolve inecuatia∣∣∣∣∣∣

2− x 3a x− 3a− 12− x x− 2b− 1 2b

1− 3a− 2b 3a 2b

∣∣∣∣∣∣≤ 0

pentru orice a, b ∈ R.

a) x ≥ 2b + 3a− 1 b) x ∈ ∅ c) x ∈ Rd) x ∈ R∗ e) x ≤ 2b + 3a− 1 f) x ∈ R∗+

AL 179 * Fie matricea

A =

(2 1−3 −1

).

Sa se calculeze determinantul matricii

I2 + A + A2 + ... + A2013.

a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) −2 f) 3

AL 180 * Sa se determine toate valorile parametrului m ∈ R astfel ıncatradacinile ecuatiei ∣∣∣∣∣∣

x 1 11 x x

−m2 −m −x

∣∣∣∣∣∣= 0,

sa fie ın progresie aritmetica crescatoare.

a) m ∈ {−1, 1} b) m ∈ {−3, 3} c) m ∈ {−3, 0, 3}d) m ∈ ∅ e) m ∈ R f) m = 0

AL 181 Sa se rezolve sistemul

2x + y + 2z = −1

2x + 2y + 3z = 2

x− 2y − z = 4 .


a) (−24, 14, 19) b) (−2,−3, 3) c) (21, 10,−14)

d) (−5,−3, 6) e) (−14,−21, 24) f) (3,−2,−3)

AL 182 Fie sistemul

2x− y − 3z = 2

x + 4y + 3z = 1

−3x− 2y + z = −3.

Solutiile sistemului verifica relatia:

a) x2 − y2 − 2z = 1 b) x + y + z = 3 c) x2 + y − z2 = −1

d) x + y2 − z2 = 1 e) x2 + y2 + z2 = 1 f) x2 + y + z2 = 4z.

AL 183 Se da sistemul

x− 2y + (m− 1) z = −2

x + 2y + z = 2

mx + y + 3z = 1.

Sa se gaseasca toate valorile ıntregi ale parametrului m ∈ Z astfel ıncat sistemulsa fie compatibil nedeterminat.

a) m ∈ R b) m ∈ ∅ c) m = 0

d) m = −2 e) m ∈{−2,

5

2

}f) m = 1

AL 184 Fie sistemul

x + 2y − z = 1 + a

−x + y − z = a

2x + y = 1,

unde a ∈ R. Solutia sistemului verifica relatia 3x + 3y − z = 0 pentru:


a) a = 0 b) (∀) a ∈ R c) a = 1

d) a = −1 e) a = 2 f) a = −2.

AL 185 * Sa se determine acele solutii (x, y, z) ale sistemului

2x− 2y + z = 1

3x− y + 2z = 2

x + y + z = 1

pentru care x2 + y2 + z2 = 1.

a) (0, 1, 0),

(12

13,

4

13,10

13

)b) (1, 0, 0),

(12

13,

4

13,− 3

13

)

c)

(12

13,

7

13,− 3

13

), (0, 0,−1) d) (0, 0, 1),

(12

13,

4

13,− 3

13

)

e) (0, 0, 1),

(−12

13,

4

13,

3

13

)f)

(11

13,

4

13,− 3

13

), (0, 0, 1)

AL 186 Fie sistemul

x + 3y + 4z = m

2x + 4y + 6z = −1

−2x + 6y + 4z = 5.

Sa se determine valorile parametrului m ∈ R pentru care sistemul este com-patibil nedeterminat.

a) − 1

10b) R \

{− 1

10

}c) R \

{1

10

}

d)1

10e) − 1

20f) R \

{− 1

20

}


AL 187 * Fie sistemul de ecuatii liniare

(a− 2)x + ay + (a + 1)z = 0

(b− 2)x + by + (b + 1)z = 0

(c− 2)x + cy + (c + 1)z = 0, a, b, c ∈ R .

Sa se determine a, b, c astfel ıncat sistemul sa aiba o singura solutie.

a) a = b = c b) a, b, c ∈ R c) a 6= b 6= c

d) @ a, b, c ∈ R e) a = b 6= c f) a 6= b = c

AL 188 Sa se determine multimea valorilor lui m ∈ R astfel ıncat sistemul

x + my + m2z = 0

m2x + y + mz = 0

m2x + my + z = 0

sa admita si solutii diferite de solutia banala.

a) R \ {±1} b)

{−1± i

√3

2,±1

}c) {±1}

d) {1} e) R \ {−1} f)

{−1± i

√3

2

}

AL 189 Sa se determine multimea valorilor parametrului real m pentrucare sistemul

mx− 2y = 1

−2x + y = m

x + my = −2

este compatibil.

a) R \ {1} b) R \ {−1} c) {−1}d) {±1, 2} e) {1} f) {1,±2}


AL 190 * Fie sistemul{

x + ay − 1 = 0

ax− 3ay − (2a + 3) = 0 , a 6= 0.

Determinati parametrul real a astfel ıncat sistemul sa fie compatibil nedeter-minat. Pentru aceasta valoare, calculati determinantul

∆ =

∣∣∣∣∣x∗ y∗

3 1

∣∣∣∣∣ ,

unde (x∗, y∗) este solutia sistemului.

a) ∆ = x b) ∆ = y c) ∆ = xy

d) ∆ = 0 e) ∆ = 1 f) ∆ = −1

AL 191 * Pentru care din urmatoarele cazuri de mai jos, sistemul:

ax + by + cz = b + c

bx + cy + az = a + c

cx + ay + bz = a + b, a, b, c ∈ R

este incompatibil?

a) a− b + c = 0 b) ∅ c) a + b− c = 0

d) a + b− c 6= 0 e) a + b + c = 0 f) a + b + c 6= 0

AL 192 Pe multimea numerelor reale se definesc legile de compozitie

x ∗ y = x + y − xy si x ◦ y = x− y + 2xy

Sa se rezolve sistemul{

3 ∗ (2x + y) = −11

(3x− y) ◦ 2 + 12 = 0.


a) (0, 5) b) (1, 3) c) (−1, 5) d) (1, 5) e) (−1, 3) f) (5, 1)

AL 193 * Pe multimea numerelor ıntregi se defineste legea de compozitie

x ◦ y = (x− a)2 (y − a) + a, a ∈ Z.

Sa se determine multimea solutiilor ecuatiei x ◦ x = x.

a) {a, a− 1} b) {a, a + 1} c) {a− 1, a, a + 1}d) {−a, 1− a} e) {−a,−a− 1} f) {−a, 1− a,−a− 1}

AL 194 Fie legea de compozitie pe R definita prin x ∗ y = x + 3y − 1. Sase determine solutia sistemului

{(x + 7) ∗ (x + y) = 9

(x− 2y) ∗ (x− 2y) = −9.

a) x = 1, y = 0 b) x = −1, y = 0 c) x = 0, y = 1

d) x = 0, y = −1 e) x = 7, y = −7 f) x = −7, y = 7

AL 195 * Fie legea de compozitie pe R definita prin x ∗ y = xy + x− y + a,a ∈ R \Q. Sa se rezolve ın N ecuatia (x ∗ x) ∗ x = x3 + 3a.

a) x ∈ ∅ b) x ∈ {±1} c) x = 1

d) x ∈ {1,−a} e) x ∈ {−1, a} f) x = −1

AL 196 * Pe multimea numerelor reale se defineste operatia algebrica

x ◦ y =√

x2 + y2

pentru orice x, y ∈ R. Daca (x∗, y∗) este solutia pozitiva a sistemului:{

x ◦ y ◦ 2 =√

17

x ◦ 2 + y ◦ 3 = 2√

13 ,

atunci x∗ + y∗ este:


a) 1 b) 0 c) 5 d) 19 e)√

13 f)√

19.

AL 197 * Pe multimea numerelor naturale se considera legea de compozitie

m ∗ n = mn

pentru orice m,n ∈ N. Determinati suma solutiilor ecuatiei:

(2013 ∗ n) ∗ 2 = 2013 ∗ (n ∗ 2).

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4 f) ecuatia nu are solutii

AL 198 Fie multimea numerelor reale ınzestrata cu legea de compozitie

x ∗ y = 2xy − 6(x + y) + 21

pentru orice x, y ∈ R. Sa se rezolve ecuatia

2x ∗ 2−x = 11.

a) x = 1 b) x = 0 c) x = −1

d) x = 2 e) x = 11 f) x = −11

AL 199 * Fie multimea M = [4,∞) ınzestrata cu legea de compozitie

x ∗ y =√

x2 + y2 − 16

pentru orice x, y ∈ M. Sa se rezolve ecuatia

x ∗ x ∗ x = x.

a) x = 4 b) x = 3 c) x = 5

d) x = 2013 e) x = 100 f) x = 99


AL 200 Fie legea de compozitie pe R definita prin: x∗y = xy−2x−2y+11.Daca x, y ∈ [2,∞), atunci x ∗ y ∈ D, unde

a) D = R b) D = ∅ c) D = {7}d) D = (2,∞) e) D = [7,∞) f) D = (7, 11).

AL 201 Fie M = {x−y√

n | x2 +ny2 = 1, x, y ∈ Q}. Sa se determine n ∈N, pentru care multimea M este parte stabila a lui R ın raport cu ınmultirea.

a) 2 b) N \ {−1} c) 1 d) N \ {2} e) N f) N∗

AL 202 Fie multimea

M =

1 αx2 x0 1 00 βx γ,

, x ∈ R

⊂M3(R).

Determinati valorile parametrilor α, β, γ ∈ R∗ astfel ıncat (M, ·) sa fie partestabila a lui (M3(R), ·).

a) α = 1, β = 1, γ = 1 b) α = β, γ = 0 c) β = 2α, γ = 1

d) α = 2β , γ = −1 e) α = 2β, γ = 1 f) α = −β, γ = 1

AL 203 Sa se determine o relatie ıntre parametrii reali a si b astfel ıncatlegea de compozitie x ∗ y = xy + ax + ay + b de pe R sa fie asociativa.

a) a2 = a + b b) a = a2 + b c) b2 + a = a2

d) a + a2 = b e) 2a = b + a2 f) 2b + a = a2

AL 204 Pe multimea

M =

{(x y0 x

)| x, y ∈ R

}⊂M2(R)

se considera legea de compozitie A∗B = A ·B+aA+bB+6I2. Sa se determinea, b ∈ R astfel ıncat legea sa fie asociativa si comutativa.


a) a = −2, b ∈ R b) a = b ∈ {−2, 3} c) a ∈ R, b = 3

d) a = b ∈ {−1, 2} e) a = b = −2 f) a, b ∈ R

AL 205 Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie

x ∗ y = 2xy − 6x− 6y + a, a ∈ R,

pentru orice x, y ∈ R. Sa se determine a astfel ıncat legea sa fie asociativa.

a) 21 b) 5 c) 18 d) 12 e) −18 f) −21

AL 206 Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie

x ∗ y = xy + 2x + 2y + k,

pentru orice x, y ∈ R. Sa se determine k ∈ R astfel ıncat legea sa fie asociativasi sa se rezolve ecuatia

x ∗ x = −2.

a) k = 0, x = 1 b) k = 0, x = −1

c) k = 1, x1 = 1, x2 = −1 d) k = 1, x1 = 2, x2 = −2

e) k = 2, x1 = 1, x2 = −2 f) k = 2, x = −2

AL 207 * Pe multimea numerelor complexe se considera legea de compozitie

x ∗ y = xy − i(x + y)− 1 + i

pentru orice x, y ∈ C. Sa se determine elementul neutru al acestei legi si sa secalculeze i ∗ i2 ∗ i3 ∗ i4 ∗ i5.

a) e = i, −1 + i b) e = 1 + i, i c) e = 1, 1− 2i

d) e = 1− i, i e) e = −i, 2− i f) e = 2 + i, 1− i


AL 208 * Se defineste legea de compozitie ın R

x ∗ y = xy − 100x− 100y + 10100.

Sa se calculeze 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ 10101.

a) 0 b) 100 c) 10100 d) 10101 e) 200 f) 1

AL 209 * Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie

x ∗ y = xy − 2x.

Sa se determine 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ 2014.

a) 1024 b) 2014! c) 0

d) 1 e) 1 + 2 + . . . + 2014 f) 3

AL 210 Sa se determine elementul neutru si elementele simetrizabile dinmultimea M = [3,∞) dotata cu legea de compozitie

x ◦ y =√

x2 + y2 − 9,

pentru orice x, y ∈ R.

a) e = 3, {3} b) e = 9, {3, 9} c) e = 27, {9, 27}d) e = 1, {1, 3} e) e = 1, [3,∞) f) e = 9, {9, 27}

AL 211 * Fie multimea G = {(a, b) ∈ Z × Z, a prim cu 5} dotata cu legeade compozitie

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + ad),

pentru orice (a, b), (c, d) ∈ G. Sa se determine elementele simetrizabile fata delegea ∗ din multimea G.

a) (b, 1), b ∈ Z b) (b, 0), b ∈ Z c) (b,±1), b ∈ Zd) (±1,−b), b ∈ Z e) (0, b), b ∈ Z f) (1, b), b ∈ Z


AL 212 Pe multimea numerelor reale se considera legile de compozitie

x ∗ y = xy − x− y + 2, x ◦ y = x + y − 4.

Daca e1 si e2 sunt respectiv, elementele neutre ale celor doua legi, sa se calculeze

(e1 ∗ e2)− (e1 ◦ e2).

a) 1 b) e1 c) e2 d) 0 e) 2 f) −1

AL 213 * Fie multimea

G =

Ma,b = a

−2− 2b b −1−2 2 10 1 1

+

2 1 00 1 30 −1 1

, a, b ∈ R

⊂M3(R).

Elementele Ma,b ∈ G inversabile se obtin pentru:

a) a + 2ab = 2 b) a + 2ab 6= 2 c) a = 2b

d) a = 2 e) a = −2 f) a = −2b.

AL 214 Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie

x ∗ y = (x− 3)(y − 1) + 3,

pentru orice x, y ∈ R. Sa se determine elementul neutru al acestei legi.

a) e ∈ ∅ b) (∀) e ∈ R c) e = 3

d) e = 2 e) e = −3 f) e = 1

AL 215 Pe multimea numerelor ıntregi se considera legea de compozitie

x ∗ y = (x− a)(y − b) + a, a, b ∈ Z,

pentru orice x, y ∈ Z. Sa se determine elementele simetrizabile ale acestei legi.


a) x ∈ ∅ b) (∀) x ∈ Zc) x ∈ {a− 1, a + 1}, a = b d) x ∈ {a− 1, a + 1}, a 6= b

e) x ∈ Z \ {a} f) x ∈ Z \ {a}, a = b

AL 216 * Se considera matricele

A =

( −2 2−3 3

), B =

(3 −23 −2

)

si multimea M = {xA + B | x ∈ R∗}. Sa se afle elementele inversabile dinmonoidul (M, ·).

a) ∅ b) M\{

1

2A + B

}c) M\ {I2}

d) M\ {−A + B} e) M f) M\ {2A + B}

AL 217 Se considera grupul (M, ·), unde

M =

{A(m) =

(1 m0 1

), m ∈ Z

}

si ” · ” este operatia de ınmultire a matricelor. Sa se determine simetriculelementului A(2013).

a) A(0) b) A(3102) c) A(−2013)

d) A

(1

2013

)e) A(1) f) A(−1)

AL 218 * Se considera multimea G a matricelor de forma

A(n) =

2n 0 2n

0 0 02n 0 2n

, n ∈ Z .

Sa se determine n ∈ Z, pentru care A(3) ·A(n) = A(e), unde A(e), e ∈ Z esteelementul neutru al grupului comutativ (G, ·).


a) −5 b) 3 c) −3 d) 5 e) 2 f) −2

AL 219 * Pe multimea G = R \ {1} se defineste legea de compozitia

x ∗ y = α(x2 + y2) + 3xy − 3x + 3(β2 − 2)y − β + 3

pentru orice x, y ∈ G. Sa se determine α, β ∈ R pentru care (G, ∗) este grup.

a) α = 0, β = 2 b) α ∈ R, β = −1 c) α = 0, β = −1

d) α ∈ R, β = 2 e) α ∈ R, β ∈ R f) α = 1, β = −1

AL 220 Fie multimea

M =

{(x ax + b0 1

)| x ∈ R∗

}.

Sa se determine a, b ∈ R∗ astfel ıncat perechea (M, ·) sa fie grup.

a) b = −a, a, b ∈ R∗ b) a ∈ R∗, b = 1 c) b = −2a, a, b ∈ R∗

d) a− b = 0, a, b ∈ R∗ e) a = 1, b ∈ R∗ f) a, b ∈ R∗

AL 221 * Sa se determine parametrii a, b, c ∈ R astfel ıncat multimea

M =

A(x) =

1 x x2

0 1 ax2 + bx + c0 0 1

, x ∈ R

sa formeze grup cu operatia de ınmultire a matricilor.

a) a = c = 0, b = 2 b) a = b = 0, c = 2 c) b = c = 0, a = 2

d) a = b = c = 0 e) a = b = c = 2 f) a = b = 2, c = 0

AL 222 In grupul abelian G = (0,∞) \ {1} ınzestrat cu legea

x ∗ y = xln 2013√

y

pentru orice x, y ∈ G, elementul neutru este:


a) 1 b) e c) e2 d) e2013 e) e−2013 f) e−2.


−2 −4 01 2 03 4 5

si multimea

G ={M(x) = I3 + xA2, x ∈ R}

.

Functia f : R → G, f(x) = I3 + xA2 este morfism ıntre (R, ∗) si (G, ◦) underelatia ” ∗ ” este definita prin x ∗ y = x + y + axy, iar ” ◦ ” este inmultireamatricelor, daca:

a) a = 1 b) a = −1 c) a = 4

d) a = −4 e) a = 25 f) a = −25.

AL 224 Fie R dotata cu legea de compozitie definita prin a∗b = kab, k ∈ Rsi multimea

M =

a 0 a0 0 0a 0 a

, a ∈ R

dotata cu ınmultirea matricelor. Atunci functia

f : R→ M, f(x) =

x 0 x0 0 0x 0 x

este un morfism ıntre (R, ∗) si (M, ·) daca:

a) k ∈ R b) k ∈ Z c) k ∈ Qd) k = 0 e) k = 1 f) k = 2.

AL 225 Se considera R cu legea de compozitie x ∗ y = ax + y, a ∈ R simultimea

M =

1 0 0x 1 00 0 2x

, x ∈ R

⊂M3[R]


cu operatia de ınmultire a matricelor. Atunci functia f : R→ M,

f (x) =

1 0 0x 1 00 0 2x

este morfism ıntre (R, ∗) si (M, ·) daca:

a) a = 0 b) a = −1 c) ∀ a ∈ Rd) a ∈ ∅ e) a = 1 f) a = 2.

AL 226 Fie G = (1, +∞) care are o structura de grup fata de operatia ”∗”definita prin

x ∗ y =√

x2y2 − x2 − y2 + 2

pentru orice x, y ∈ G. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat functiaf : (0, +∞) → G, f(x) =

√ax + b sa fie un izomorfism de la grupul ((0, +∞), ·)

la grupul (G, ∗).a) a = 0, b = 2 b) a = 1, b ∈ {1, 2} c) a = 0, b = 1

d) a = 0, b ∈ {1, 2} e) a = 1, b = 2 f) a = b = 1

AL 227 * Pe multimea Z se definesc legile de compozitie

x⊥y = x + y − 5 si x>y = x + y + 5

pentru orice x, y ∈ Z. Sa se determine (a, b) ∈ Z × Z astfel ıncat functiaf : Z→ Z, f(x) = ax + b sa fie un izomorfism ıntre grupurile (Z,⊥) si (Z,>).

a) (1,−10), (−1, 0) b) (1,−10) c) (−1,−10)

d) (−1, 0) e) (1, 0), (−1,−10) f) (1, 0)

AL 228 Se considera multimea Q[√

3] = {x + y√

3 | x, y ∈ Q}. Sa sedetermine α, β ∈ R astfel ıncat

f : Q[√

3] → Q[√

3], f(x + y√

3) = αx + βy√

3

sa fie endomorfism al grupului (Q[√

3], +).


a) α = 0, β ∈ R b) α, β ∈ Q c) α = β ∈ Rd) α, β ∈ R e) α, β ∈ Z f) α ∈ R, β = 0


M =

{A(x) =

(1 x

0 1

)| x ∈ Z3

}.

Care sunt automorfismele grupului (M, ·)?

a) f(A(x)) = A(x + 1) b) f(A(x)) = A(−x)

c) f(A(x)) ∈ {A(x), A(−x)} d) f(A(x)) ∈ {A(x + 1), A(x)}e) f(A(x)) ∈ {A(−x), A(x + 1)} f) f(A(x)) = A(x)

AL 230 * Fie G = (3, +∞). Sa se gaseasca m, a, b ∈ R astfel ca legeax ∗ y = xy − 3x− 3y + m sa determine pe G o structura de grup abelian, iaraplicatia f : R → G, f(x) = eax + b sa fie izomorfism ıntre grupul aditiv alnumerelor reale si (G, ∗).

a) m = 12, a, b ∈ R b) m = 3, a = 6, b = 3

c) m = −12, a = 3, b ∈ R d) m = 12, a = 3, b = 3

e) m = 6, a = 3, b = 6 f) m = 12, a ∈ R, b = 3

AL 231 Pe multimea numerelor complexe se considera operatiile algebrice

x⊥y = x + y − i si x>y = xy + ax + by + c

pentru orice x, y ∈ C. Sa se determine a, b, c ∈ C pentru care operatia ”>”este distributiva ın raport cu operatia ”⊥”.

a) a = i, b = c = −i− 1 b) a = b = i, c = −i− 1

c) a = −i, b = i, c = i− 1 d) a = −i, b = c = i− 1

e) a = −i, b = i, c = −i− 1 f) a = b = −i, c = i− 1


AL 232 Fie legile de compozitie

x⊥y = x + y + 10 si x>y = xy − 3x− 3y − 1

pentru orice x, y ∈ Z13. Sa se determine elementele neutre ale inelului (Z13,⊥,>).

a) e⊥ = 10, e> = 3 b) e⊥ = 3, e> = 3 c) e⊥ = 3, e> = 6

d) e⊥ = 3, e> = 4 e) e⊥ = 4, e> = 3 f) e⊥ = 3, e> = 11

AL 233 Fie Z[i] = {a+bi | a, b ∈ Z}. Sa se determine elementele inversabileale inelului (Z[i], +, ·).

a) Z[i] b) Z[i] \ {±1,±i} c) {1, i}d) {±1,±i} e) Z[i] \ {1, i} f) ∅

AL 234 Pe multimea numerelor ıntregi se definesc legile de compozitie

x⊥y = ax + by − 7 si x>y = xy − 7x− 7y + c

pentru orice x, y ∈ Z. Sa se determine a, b, c ∈ Z astfel ıncat (Z,⊥,>) sa fieun inel.

a) a = b = c = 17 b) a = b = 1, c = 56 c) a = b = c = 7

d) a = b = 1, c = 7 e) a = b = c = 1 f) a = b = c = −1

AL 235 * In corpul (R, +, ·) se introduce legea interna:

x ∗ y = ax + ay + bxy + c, a, b, c ∈ R.

Sa se determine valorile parametrilor a, b, c stiind ca elementul neutru estee = 5 si ca orice element cu exceptia lui 2 admite un simetric.

a) a = −2

3, b =

1

3, c =

10

3b) a =

2

3, b = −1

3, c =

10

3

c) a = −2

3, b = −1

3, c = −10

3d) a =

2

3, b =

1

3, c =

10

3

e) a = 1, b = 1, c = 1 f) a = 1, b = 2, c = 3


AL 236 * Determinati a, b ∈ Z astfel ıncat ıntre inelele (Z, ∗, ◦) si (Z, +, ·)sa existe izomorfismul f : Z→ Z, f(x) = ax + b, a 6= 0, a, b ∈ Z, unde:

x ∗ y = x + y − 2, x ◦ y = xy − 2x− 2y + 6,

pentru orice x, y ∈ Z.

a) a = 1, b = 0 b) a = 1, b = 1 c) a = 1, b = 2

d) a = 2, b = 1 e) a = 1, b = −2 f) a = −1, b = 2

AL 237 Pe multimea numerelor reale se definesc legile de compozitie

x⊥y = x + y − 1 si x>y = 2xy − 2(x + y) + 3

pentru orice x, y ∈ R. Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R,f(x) = ax + b sa fie un izomorfism ıntre corpurile (R, +, ·) si (R,⊥,>).

a) a = b = 1 b) a = b =1

2c) a = 0, b = 1

d) a = 1, b = 0 e) a = 1, b =1

2f) a =

1

2, b = 1

AL 238 * Fie multimea

K =

{(x + ay by

cy x− ay

)| x, y ∈ R

}.

Determinati o relatie ıntre parametrii reali a, b, c astfel ıncat corpul (C, +, ·)sa fie izomorf cu corpul (K, +, ·).

a) 2a + bc = 1 b) a2 + bc = 1 c) 2a = bc− 1

d) a2 + bc + 1 = 0 e) a2 = bc− 1 f) a2 − bc = 1

AL 239 * Fie sistemul {4x + 3y = 6

3x + 2y = 1

ın Z11 cu solutia (x0, y0). Daca y′0 este inversul lui y0 ın corpul (Z11, +, ·), sase determine m ∈ Z11 astfel ıncat 3x2

0 + my′0 = x0.


a) 5 b) 1 c) 3 d) 4 e) 10 f) 9

AL 240 * Sa se determine a ∈ Z8 pentru care sistemul{

a2x + y = 5

3x + ay = 7

are solutia (3, 2) si sa se specifice numarul total al solutiilor.

a) a = 2, 5 solutii; a = 7, 4 solutii b) a = 4, 7 solutii; a = 6, 3 solutii

c) a = 1, 3 solutii; a = 5, 8 solutii d) a = 3, 8 solutii; a = 7, 4 solutii

e) a = 1, 5 solutii; a = 5, 3 solutii f) a = 3, 6 solutii; a = 7, 4 solutii

AL 241 * In multimea M2(Z3) sa se rezolve ecuatia

X2014 =

(1 2

0 1

).

a)

(1 0

0 1

)b)

(1 1

0 2

)c)

(1 2

0 1

)

d)

(1 0

2 1

)e)

(1 2

2 1

)f)

(2 0

0 1

)

AL 242 * Sa se rezolve ın multimea

M =

{A(x) =

(1 4x

6x 1

)| x ∈ Z12

}

ecuatia A2 + 2A =

(3 4

0 3

).

a) A(1), A(7) b) A(0), A(3), A(6), A(9)

c) A(2), A(5), A(8) d) A(1), A(4), A(7), A(10)

e) A(0), A(3) f) nu are solutii


AL 243 Fie matricea A ∈M3(Z3),

A =

2 0 1

1 2 1

2 1 1

.

Calculati A−1.

a) A−1 =

2 1 2

0 2 1

1 1 1

b) A−1 =

1 1 1

1 0 2

0 1 1

c) A−1 =

2 2 2

2 0 1

0 2 2

d) I3

e) A−1 =

1 0 2

2 1 2

1 2 2

f) −I3


m 0 1

m 1 1

1 0 m

∈ M3(Z3). Sa se afle m ∈ Z3

pentru care A este inversabila si sa se determine A−1.

a) m = 0, A−1 =

0 0 1

2 1 0

1 0 0

b) m = 1, A−1 =

1 0 1

0 1 2

1 0 0

c) m = 0, A−1 =

0 0 1

2 1 2

1 0 0

d) m = 2, A−1 =

1 0 0

2 1 0

0 0 1

e) m = 1, A−1 =

2 0 1

2 1 0

1 0 0

f) m = 0, A−1 =

0 0 1

0 1 1

1 0 0

AL 245 Fie polinoamele f = X3 + 2X2 − X − 5 si g = X2 + 1. Atuncicatul c si restul r ımpartirii lui f la g sunt:


a) c = X + 2, r = 0 b) c = X2 + 1, r = X + 2

c) c = X + 2, r = −2X − 7 d) c = −2X − 7, r = X + 2

e) c = X + 1, r = −2 f) c = X − 1, r = 0.

AL 246 Fie polinomul f = X3 − 2X2 + aX + b, a, b ∈ R. Determinati a sib stiind ca −1 este radacina a polinomului f si restul ımpartirii polinomului fla X − 2 este 6. Sa se gaseasca apoi restul ımpartirii lui f la X2 −X − 2.

a) a = 1, b = 4, X + 1 b) a = −1, b = 4, 2X + 2

c) a = 1, b = 4, 2X + 2 d) a = −1, b = 2, 2X + 1

e) a = 1, b = 2, X + 2 f) a = −1, b = 4, X − 1

AL 247 Sa se determine a, b, c ∈ R astfel ıncat restul ımpartirii polinomuluif = X3 +aX2 + bX + c la X2 +2 sa fie X +1 si restul ımpartirii lui f la X +1sa fie 3.

a) a = 3, b = 2, c = 5 b) a, b, c ∈ ∅c) a = −2, b = 3, c = 5 d) a = 2, b = 3, c = 5

e) a = 3, b = 2, c = −5 f) b = 3, c = 2a + 1, a ∈ R

AL 248 * Se considera polinomul f = X6 +aX5 +bX4 +cX3 +aX2 +bX +c.Sa se afle numerele reale a, b, c pentru care f sa se divida cu polinomul g =X5 − 5X3 + 4X.

a) a, b, c ∈ ∅ b) a, b, c ∈ Rc) a = b = c = 0 d) a = c = 1, b = −1

e) a = c = −1, b = 1 f) a = 1, b = −5, c = 4

AL 249 * Sa se determine polinomul cu coeficienti rationali de grad minimcare ımpartit la X2 + 2X − 3 da restul 3X + 11 si ımpartit la X2− 4X + 5 darestul 7X − 3.


a) −X3 − 4X + 12 b) X3 + 2X − 17 c) −X3 + 4X + 11

d) X3 − 4X + 17 e) X3 + 3X + 15 f) −X3 + 17X − 5

AL 250 Se considera polinomul f = (X − 2014)2014 + 3X + 12. Restulımpartirii lui f la X − 1 este:

a) un numar negativ b) 0 c) x

d) 2014 e) −20132014 + 15 f) un numar pozitiv.

AL 251 Se considera polinoamele

f = (X − 2016) (X − 2014) si g = (X − 2015)2014 + X − 2001.

Restul ımpartirii lui g la f este

a) X b) 0 c) X − 2000

d) X + 2014 e) 2016 · 2014 f) X − 2016.

AL 252 * Sa se determine parametrii reali a, b, c astfel ıncat polinomul f =(X − 1)7 + a(X − 1)4 + bX + c sa se divida cu (X + 1)3.

a) a = 28, b = 448, c = 128 b) a = 56, b = 448, c = 576

c) a = 56, b = 320, c = 81 d) a = 28, b = 448, c = 192

e) a = 84, b = 320, c = 81 f) a = 28, b = 320, c = 128

AL 253 * Sa se determine parametrii reali m si n astfel ıncat polinomulp = X9 + mX2 + n sa se divida cu polinomul q = X2 + X + 1.

a) m = 0, n = 0 b) m = 0, n = −1 c) m = −1, n = 0

d) m = −1, n = −1 e) m = 1, n = 0 f) m = 0, n = 1


AL 254 * Sa se determine restul ımpartirii polinomului Xn la polinomulX2 + 2X − 3.

a)1− (−3)n

4X +

3 + (−3)n

4b)

1

4[(1 + (−3)n)X + 3 + (−3)n]

c)1− (−3)n

4X +

3− (−3)n

4d)

2− (−3)n

4X +

3 + (−3)n

4

e)1− (−3)n

4X +

3 + 3n

4f)

1

4[(1 + 3n)X + 3 + (−3)n]

AL 255 * Sa se determine restul ımpartirii polinomului (X3 + X + 1)19 lapolinomul X2 −X + 1.

a) −1 b) X c) X + 1 d) 0 e) X − 1 f) 1

AL 256 Polinomul X3 + X2 + X − 3 are n radacini ıntregi:

a) n = 0 b) n = 1 c) n = 2

d) n = 3 e) n = 4 f) n = 5.

AL 257 Polinomul f = X3 − 3X2 − 2X + 6 are

a) o radacina ın Z b) doua radacini ın Q

c) trei radacini ın N d) doua radacini ın C \ Re) trei radacini ın R \Q f) trei radacini egale.

AL 258 Se considera polinomul f = (X2 + 4aX + 1)2 − 9. Sa se gaseasca

a ∈ R astfel ıncat f sa aiba toate solutiile reale.

a) a ∈ R b) a ∈ ∅ c) a ∈ (−∞,−1] ∪ [1,∞)

d) a ∈ (−1, 1) e) a ∈ [−1, 1) f) a ∈ (−1, 1]


AL 259 Se considera polinoamele:

f = X4 + 5X3 + 3X2 − 8X − 7 si g = X2 + 3X + 1.

Daca y este o radacina a polinomului g, atunci f (y) ∈ D, unde:

a) D = N* b) D = N c) D = Q∗

d) D = Q e) D = R \Q f) D = Q \ N.

AL 260 Polinomul f = X100 −X99 + a98X98 + . . . + a1X + a0 ∈ R [X] are

radacini complexe daca:

a) a98 >1

2b) a98 =

1

2c) a98 <

1

2

d) a98 ≤ −1

2e) a98 = −1

2f) a98 < 0.

AL 261 * Sa se determine parametrul a ∈ R si sa se rezolve ecuatia

x3 − ax2 + (2a− 1)x− 1 = 0,

stiind ca solutiile ei sunt ın progresie geometrica.

a) a = 1, {1,±i} b) a = −1,

{1− i

2, 1, 1 + i

}

c) a = 2, {1± i,−1 + i} d) a = −2,

{1 + i

2, 1, 1− i

}

e) a = −1, {1 + i,−1± i} f) a = −1, {1,±i}

AL 262 * Fie polinomul f = X4 + a2X3 − 7X2 + aX + 6. Sa se determinea ∈ Z astfel ıncat f sa aiba o radacina ıntreaga impara.

a) a ∈ ∅ b) a ∈ R c) a ∈{−1,

8

9

}

d) a ∈{−1, 0,

8

9

}e) a ∈ {−1, 0} f) a = −1


AL 263 * Polinomul cu coeficienti reali f = X4−2aX3 +a2X2−a4 are douaradacini reale si doua radacini complexe daca

a) a ∈ R b) a ∈ ∅ c) a ∈ {−1, 1}d) a ∈ {±2,±1} e) a ∈ {0,±1} f) a 6= 0.

AL 264 * Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat ecuatia

x4 + 5x3 + ax2 + 2x + b = 0

sa admita radacina 1 + i si sa se gaseasca celelalte radacini.

a) a = −6, b = 12, {1− i,−1,−6} b) a = −3, b = 6, {1− i, 1 + i,−1}c) a = 12, b = −6, {1− i, 1, 12} d) a = 6, b = −12, {1 + i,−1,−3}e) a = −6, b = 12, {1− i,−1, 6} f) a = 4, b = 6, {1 + i, 1, 6}

AL 265 * Sa se gaseasca o relatie ıntre parametrii reali nenuli a, b si c astfelıncat ecuatia x5 − 10a3x2 + 2b4x + 3c5 = 0 sa aiba trei radacini reale egale.

a) 3b5 + 3c5 = 10a3b2 b) 2b4a + 3c5 = 10a5

c) 9a5 = 2b4a + 3c5 d) 9a5 + 2b4a + 3c5 = 0

e) 10a3b2 + 3b5 + 3c5 = 0 f) 10a5 + 2b4a + 3c5 = 0

AL 266 * Fie f = X2 − 2X + 3 ∈ R[X]. Daca y e o radacina a lui f , atunciare loc:

a) y4 = 3y + 4 b) y4 = −3y − 4 c) y3 = y + 6

d) y4 = −4y − 3 e) y3 = 2y − 3 f) y3 = 3y − 2.

AL 267 * Fie polinoamele f = 4X32+4X31+4X30+5X+2 si g = X2+X+1.Daca y este o radacina a lui g, atunci f(y) ∈ D, unde


a) D = ∅ b) D = N c) D = Q \ Nd) D = R \Q e) D = Q f) D = C \ R.

AL 268 Fie polinomul f = X3 + X2− 2X − 2. Atunci descompunerea lui fın factori ireductibili ın Q[X] este:

a) (X + 1)(X −√2)(X +√

2) b) (X − 1)(X2 + 2)

c) (X + 1)(X2 − 2) d) (X − 1)(X −√2)(X +√

2)

e) (X + 1)(X − 2)(X + 2) f) (X + 1)(X2 + 2).

AL 269 Sa se descompuna ın factori ireductibili peste Z5 polinomul

f = X4 + 2X3 + 4X + 3 ∈ Z5[X].

a) (X + 4)2(X2 + X + 1) b) (X + 4)(X + 2)(X2 + 1)

c) (X + 2)(X + 3)2(X + 1) d) (X + 2)(X + 3)(X2 + 1)

e) (X + 2)2(X2 + X + 1) f) (X + 2)(X + 4)(X2 + X + 1)

AL 270 Fie polinomul f = (1−2X)2013+(3X−2)2013. Sa se calculeze sumacoeficientilor polinomului f.

a) 2013 b) 4026 c) 0 d) 22013 e) 32013 f) (−1)2013

AL 271 Sa se calculeze

∆ =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

x3 x1 x2

x2 x3 x1

∣∣∣∣∣∣,

unde xi, i = 1, 3 sunt solutiile ecuatiei x3 − x2 − 11 = 0.

a) ∆ = −1 b) ∆ = 0 c) ∆ = 1

d) ∆ = 11 e) ∆ = −11 f) ∆ /∈ R


AL 272 Fie ecuatia x3 − ax + a2 = 0 cu radacinile x1, x2, x3. Valoareadeterminantului

∆ =

∣∣∣∣∣∣

x21 x2

2 x23

x2 x3 x1

x3 x1 x2

∣∣∣∣∣∣este:

a) ∆ = 0 b) ∆ = −a2 c) ∆ = a2

d) ∆ = 2a2 e) ∆ = −3a2 f) ∆ = −2a2.

AL 273 Se considera determinantul

D =

∣∣∣∣∣∣

x1x2 + x3 x1 + x2 −x1x2

x2x3 + x1 x2 + x3 −x2x3

x3x1 + x2 x3 + x1 − x2 x2 − x3x1

∣∣∣∣∣∣.

Sa se calculeze D stiind ca x1, x2, x3 sunt solutiile ecuatiei 3x3−17x−15 = 0.

a) D = 0 b) D = 3 c) D = −17

d) D =17

3e) D = 7 f) D = −5

AL 274 Sa se calculeze determinantul

∆ =

∣∣∣∣∣∣

2x21 + x2

2 + 2x23 −x2

2 −x22

−x21 x2

1 + 2x22 + 2x2

3 −x21

−x23 −x2

3 2x21 + 2x2

2 + x23

∣∣∣∣∣∣,

daca x1, x2, x3 sunt solutiile ecuatiei x3 + 3x2 + 7x + 6 = 0.

a) 500 b) −250 c) −500 d) 125 e) 250 f) −125

AL 275 * Radacinile ecuatiei x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0, x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4

verifica relatia:


a) x1 + x2 + 2x3 − x4 = −2 b) xi ∈ C \ R, i = 1, 4

c) x1x2 + x3 − 2x4 = −2 d) x1x2x3 − x4 = −2

e) x1 + 3x2 − x3 + x4 = −2 f) x1 + x2 + x3 − 2x4 = −2.


a −1 44 b 2−1 −2 c

. Sa se calculeze det(A) stiind

ca a, b, c sunt radacinile polinomului f = X3 −X2 + 17X − 30.

a) det(A) = 0 b) det(A) = 30 c) det(A) = −4

d) det(A) = 4 e) det(A) = −30 f) det(A) = 1

AL 277 Fie polinomul f = 2X3−X2+mX−1. Notam cu Sn = xn1 +xn

2 +xn3 ,

unde x1, x2, x3 sunt radacinile polinomului f. Valoarea expresiei 2S3 − S2 +mS1 + 5 este:

a) 0 b) 1 c) m d) 8 e) 6 f) 4.

AL 278 Fie polinomul f = X3 − mX2 + 2X + 3 cu radacinile x1, x2, x3.Determinati valorile parametrului m pentru care are loc relatia:

x21 + x2

2 + x23 =

1

x1

+1

x2

+1

x3

.

a) m ∈ ∅ b) m = 1 c) m = 0

d) m = ±√

10

3e) m = ±

√3

10f) m = ±10

3

AL 279 * Fie polinomul f = X3 + 5X + 3 cu radacinile x1, x2, x3. Sa sedetermine polinomul care are ca radacini pe x2

1, x22, x2

3.

a) X3 + 15X2 + 10X − 7 b) X3 − 5X2 + 25X + 5

c) X3 + 10X2 + 25X − 9 d) X3 − 10X2 − 5X + 3

e) X3 + 15X2 − 5X + 5 f) X3 − 10X2 + 25X − 9


AL 280 * Sa se afle a, b, c ∈ R stiind ca solutiile ecuatiei

x4 + ax3 + bx2 + cx + 64 = 0

sunt numere naturale ın progresie geometrica cu ratia numar natural.

a) a = 5, b = 67, c = 100 b) a = −15, b = 70, c = −120

c) a = 15, b = 70, c = 120 d) a = −5, b = 67, c = 100

e) a = 15, b = −70, c = 120 f) a = 5, b = −67, c = −100

AL 281 Fie polinomul P (x) = x3 + ax2 + bx + 2 cu radacinile x1, x2, x3.Determinati a, b ∈ R astfel ıncat:

P (1) +P (x)

(x− x1)(x− x2)+

P (x)

(x− x2)(x− x3)+

P (x)

(x− x3)(x− x1)= bx + 4.

a) a = 1, b = 1 b) a = −1, b = −1 c) a = 1, b = 3

d) a = 2, b = 1 e) a = −1, b = 3 f) a = 3, b = 3

AL 282 Fie polinoamele f, g ∈ Q[X], f = X3 + X2 + 2X − 1 cu radacinilex1, x2, x3 si g = 2X − 1. Sa se calculeze valoarea expresiei:

E = g(x1)g(x2)g(x3).

a) E = 0 b) E = 1 c) E = −1

d) E = 2 e) E = −2 f) E = −3

AL 283 Fie polinomul P (x) = x2 + ax + b, a, b ∈ R cu radacinile x1, x2

distincte. Sa se calculeze valoarea expresiei:

E =x1

P ′(x1)+

x2

P ′(x2).

a) E = 0 b) E = 1 c) E = −1

d) E = ab e) E = b f) E = a


AL 284 * Fie ecuatia x3− ax2 + 2x + 1 = 0, a ∈ R cu radacinile x1, x2, x3 sifuntia f : R \ {1} → R,

f(x) =x− 1

x + 1.

Determinati valoarea parametrului a stiind ca:

f(x1) + f(x2) + f(x3) = −4

3.

a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2

d) a = 3 e) a = 4 f) a = 5

AL 285 Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia

24x − 23x+1 + 22x + 2x+1 − 2 = 0.

a) x ∈ ∅ b) x ∈ {±1} c) x ∈ {±1, 1± i}

d) x ∈{

1

2, 2

}e) x = 0 f) x = 1


ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANA SI

TRIGONOMETRIE (simbol TG)

TG 1 Sa se calculeze tg 135◦ − sin 120◦ · cos 150◦.

a) 0 b) −1 c)7

4d) −7

4e) −1

4f)

1

4

TG 2 Sa se ordoneze crescator a = sin 39◦, b = sin 159◦, c = cos 63◦.

a) a < b < c b) a < c < b c) b < a < c

d) b < c < a e) c < b < a f) c < a < b

TG 3 Sa se afle valoarea produsului

(sin 1◦ + cos 179◦) · (sin 2◦ + cos 178◦) · . . . · (sin 89◦ + cos 91◦).

a) 89! · (sin 1◦ + cos 179◦)89 b) 1 c) −1

d)

(√2

2

)89

e) 0 f) alt raspuns

TG 4 Sa se calculeze valoarea expresiei

E = cos 10◦ + cos2 20◦ + 4 cos 15◦ cos 75◦ + cos2 70◦ + cos 170◦.

a) 1 b) 1 +√

3 c) 1 +√

2 d) 2 e)3

2f) 0

81


TG 5 * Sa se calculeze cos 18◦ · (tg 36◦ + ctg 36◦) .

a)√

5 + 1 b) 2 c) 1

d)√

5− 1 e)1

2

√5 +

√5 f)

√5 +

√5

TG 6 Sa se calculeze sinπ

8− sin

3π

8.

a) 0 b) −1

2

√4− 2

√2 c)

√2

d) −1

2

√2−√2 e)

1

2

√4− 2

√2 f)

1

2

√4 + 2

√2

TG 7 * Fie E = cos(a− b) cos(a + b). Atunci:

a) E = cos2 a + cos2 b + 1 b) E = 1 + sin2 a + sin2 b c) E = cos 2a

d) E = cos2 a + sin2 b e) E = cos2 b + sin2 a f) E = cos2 a− sin2 b

TG 8 Sa se calculeze E = cos8 5π

12− cos8 π

12.

a) 0 b) − 5

16c) −7

√3

16d) −3

√3

8e) −5

√3

16f) −1

TG 9 * Sa se calculeze valoarea expresiei

E = sinπ

3+ sin

2π

3+ sin

3π

3+ · · ·+ sin

2013π

3.

a) −√3 b) −√

3

2c) 0 d)

√3

2e)√

3 f) 1

TG 10 * Sa se calculeze tg x stiind ca x este un unghi obtuz, iar sin x =3

5.

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANA SI TRIGONOMETRIE 83

a) −3

4b) −12

25c) −4

3d)

3

4e)

12

25f)

4

3

TG 11 * Sa se afle masura unghiului ascutit x stiind ca

2 sin x + 3 cos x

cos x= 5tgx.

a) 0◦ b) 15◦ c) 30◦ d) 45◦ e) 60◦ f) 75◦

TG 12 * Pentru ce unghi este adevarata relatia tgx =1− cos x

sin x?

a) nu exista b) 0 c)π

12d)

π

8e)

π

3f) alt unghi

TG 13 * Sa se calculeze E =5 sin x− cos x

sin x + 2 cos x, daca ctgx = 3.

a)14

5b)

2

7c)

2

5d)

7

2e)

5

14f)

5

2

TG 14 Fie x ∈(π

2, π

)astfel ca tg x = −2. Sa se calculeze cos x.

a) −√

5

5b) −√5 c) −1

5d) −1

3e) −

√3

3f)

1

5

TG 15 * Sa se stabileasca valoarea produsului

P = tg 15◦ · tg 35◦ · tg 55◦ · tg 75◦.

a) P = 1 b) P =1

2c) P = 2 d) P =

2

3e) P =

3

2f) P =

1

3

TG 16 * Fie x ∈(π

2, π

)astfel ca sin x =

1

3. Sa se calculeze cos

x

2.


a)2√

3 +√

6

6b)

√6− 2

√3

6c)

2√

3−√6

6d)

√2

3e) −

√2

3f)

1

3

TG 17 * Sa se determine toate valorile parametrului real m pentru care esteposibila egalitatea tg x + ctg x = m.

a) m ∈ (−∞,−2] ∪ [2,∞) b) m ∈ [√

2,∞) c) m ∈ Rd) m ∈ (−∞,−√2] ∪ [

√2,∞) e) m ∈ [−2, 2]\{0} f) m ∈ [2,∞)

TG 18 Pentru ce unghi x ∈[π

6,π

2

]este adevarata relatia

1 + tg2x = 8 sin2 x?

a)π

8b)

π

6c)

π

4d)

5π

6e)

3π

4f)

3π

8

TG 19 * Sa se calculeze sin 2x daca sin(x +

π

4

)=

√2

4.

a) 0 b)

√2

2c)

1

4d) −3

4e) −

√2

2f) −1

2

TG 20 Sa se determine perioada principala a functiei f : R→ R,

f(x) = sinπx

2.

a) 2π b) π c) 4 d) 2 e)1

2f) 1

TG 21 Pentru ce valoare a parametrului real m egalitatea

cos 4x + (m + 3)(sin x + cos x)2 − 3m− 2 = 0

nu este verificata de nici o valoare a unghiului x?


a) −1 b)√

3 c) −2 d)√

2 e) 1 f) 2

TG 22 Valoarea raportuluisin6 x + cos6 x− 1

sin4 x + cos4 x− 1pentru x =

π

24este:

a) 1 b)3

2c)

3

8d)

3

4e)

4

3f)

1

2

TG 23 Sa se calculeze expresia E =cos 25◦ + sin(−5◦)

sin 25◦ + cos 5◦.

a) − 1√3

b)

√3

3c) 1 d)

√3 e) −√3 f) − 1

2√

3

TG 24 Fie f :(−π

2,π

2

)→ R, f(x) = sin x + cos x. Imaginea functiei f

este

a) (−1,√

3] b)

(−√

2

2,

√2

2

)c) (−1,

√2]

d)

(−√

2

2, 1

]e)

(−1,−

√2

2

)f) [−√2,

√2]

TG 25 * Fie f : R → R, astfel ıncat 2f(x) − f(−x) = 3 sin x cos x, ∀x ∈ R.Atunci

a) f(x) = sin 2x b) f(x) = cos 2x c) f(x) = sin x cos x

d) f(x) = 3 sin x cos x f) f(x) = cos x e) f(x) = 3 cos2 x

TG 26 * Sa se calculeze expresia

E = cos2π

11+ cos

4π

11+ cos

6π

11+ cos

8π

11+ cos

10π

11


a) −1 b)1

2c) −1

2d) 1 e) −√2 f) 0

TG 27 Stiind ca a ∈(0,

π

4

)si sin a + cos a =

7

5, sa se afle tg

a

2.

a)1

2b)

1

2,

1

3c)

1

3d)

1

4e)

1

5f) 1

TG 28 Fie a, b ∈ R, astfel ıncat sin a− sin b =1

2si cos a + cos b =

3

2.

Sa se calculeze cos(a + b).

a)1

2b) −1

2c)

1

4d) 1 e) −1

4f)

3

4

TG 29 Sa se calculeze1

sin 15◦+

1

cos 15◦.

a) 2√

2 b) 2√

3 c) 2√

6 d)1√3

e)

√2

2f)

√6

2

TG 30 Sa se calculeze lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghicABC ın care AB = 5 si masura unghiului B este 15◦.

a) 5(√

3 +√

2) b) 5(√

6−√2) c) 5√

2(√

3 + 1)

d) 5(3−√2) e) 5(√

6−√3) f) 5(4−√3)

TG 31 * Fie ABCD un romb si O intersectia diagonalelor sale. Sa se cal-

culeze sin(BAD), stiind ca AB + BO = AC.

a)24

25b)

1

25c)

9

25d)

3

5e)

4

5f)

12

25


TG 32 * In triunghiul dreptunghic ABC cu m(A) = 90◦, m(B) = 30◦ siAB = 6 se ınscrie patratul ce are doua varfuri pe ipotenuza si celelalte douarespectiv pe cate o cateta. Sa se afle latura patratului.

a) 1 +√

3 b)12

13(4√

3− 3) c)6√

3− 5

2

d)12

13(4−√3) e) 2

√3−√2 f)

3√

3

2

TG 33 Un romb are aria 24 si o diagonala de lungime 6. Sa se calculezelatura rombului.

a) 5 b)√

13 c) 2√

6 d) 3√

2 e) 8 f) 4

TG 34 Se considera triunghiul ABC cu AB = 2, BC =√

3, CA =√

13.Sa se calculeze masura unghiului B.

a) 30◦ b) 45◦ c) 60◦ d) 120◦ e) 135◦ f) 150◦

TG 35 * Fie triunghiul ABC cu AB = 3, AC = 5 si unghiul BAC de 60◦.Sa se calculeze BC si aria triunghiului.

a) BC = 19, A∆ =15√

3

4b) BC =

√34− 15

√3, A∆ =

15√

3

4

c) BC =√

19, A∆ =15

4d) BC =

√34− 15

√3, A∆ =

15

4

e) BC =√

19, A∆ =15√

3

4f) BC = 19, A∆ =

15

4

TG 36 * Aria triunghiului ABC este egala cu 4, iar AB = BC = 4. Sa se

afle valoarea unghiului ascutit ABC.

a)π

8b)

π

6c)

π

4d)

π

3e)

3π

8f)

π

2


TG 37 * Sa se determine masura unghiului A al triunghiul ABC, daca

tg2(B + C) + tg2A = 2.

a) 15◦ b) 30◦ c) 45◦ d) 60◦ e) 75◦ f) 90◦

TG 38 Sa se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, stiind

ca AB = 6 si m(ACB) = 75◦.

a) 3(√

3− 1) b) 3(√

3 + 1) c) 3(√

6−√2)

d) 3(√

6 +√

2) e) 6(√

6−√2) f) 6(√

6 +√

2)

TG 39 * Aria triunghiului ABC este egala cu 2√

3, masura unghiului BACeste de 60◦, iar b + c = 7. Sa se determine a.

a) 4 b) 5 c)√

26 d)√

41 e)√

57 f)√

74

TG 40 In paralelogramul ABCD, unghiurile BAC si ABC au respectivmasurile de 30◦ si 135◦, iar latura AD = 3. Sa se calculeze lungimea diagonaleiAC si aria paralelogramului.

a) AC = 3√

2, S =9

2(√

3− 1) b) AC =√

6, S =3

2(3−√3)

c) AC = 3√

2, S =9

2(√

3 + 1) d) AC = 3√

2, S =9

4(√

3− 1)

e) AC = 3√

2, S =9

4(3−√3) f) AC =

√6, S =

3

4(3−√3)

TG 41 * Raza cercului circumscris triunghiului ascutitunghic ABC este egala

cu5

2, iar AC = 3. Sa se calculeze tg B.

a)3

5b)

4

5c)

3

4d)

12

25e)

4

3f) 12


TG 42 * Un romb are aria 2√

3 si un unghi de 120◦. Sa se calculeze sumalungimilor diagonalelor rombului.

a) 2√

2 + 2√

6 b) 2(√

2 +√

3) c) 2(1 +√

3)

d) 2 +√

3 e) 2√

2 +√

6 f) 4√

3

TG 43 Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC ın care BC =

4, AB = 2√

7 si C =π

3. Sa se calculeze distanta de la G la BC.

a)1

2b)

√3

2c) 1 d)

√3 e) 2 f)

√2

TG 44 Fie (OA) si (OB) doua raze perpendiculare ın cercul de centruO si raza

√10. Sa se calculeze latura patratului MNPQ, unde Q ∈ (OA),

P ∈ (OB), iar M, N apartin arcului mic AB.

a)

√10

2b)√

5 c) 2√

2 d) 3 e) 2 f)√

2

TG 45 * Se considera triunghiul ABC cu m(A) =π

4, m(B) =

π

3si AB = 4.

Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului.

a) 4√

2(√

3− 1) b) 2(√

6 +√

2) c) 2(√

6−√2)

d) 2√

3(√

2 + 1) e) 2(√

6−√3) f)√

6 +√

3

TG 46 Se considera triunghiul ABC cu m(A) > 90◦, AC = 10, AB = 6,iar aria triunghiului este 15

√3. Sa se calculeze lungimea laturii BC.

a) 14 b) 2√

19 c) 2√

3 d) 28 e) 30√

3 f) 6

TG 47 * Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului delaturi 3, 7, 8.


a) 7 b)7√

2

2c)

7√

3

3d)

3√

7

2e)√

3 +√

7 f) 2√

7

TG 48 Sa se calculeze lungimea laturii c a triunghiului ABC, stiind caa = 4, c = b

√3 si m(C) = 2m(B).

a)

√3

2b)√

3−√2 c)√

6−√2 d) 2√

3 e) 2√

2 f)√

6

TG 49 * Sa se calculeze aria triunghiului ABC, stiind ca a =√

5, b =√

2 si

m(A) =π

4.

a)

√5

2b)

√2

2c)

√10

2d)

3

2e)

3√

6

2f)

2

3

TG 50 * Sa se calculeze lungimea ınaltimii hB a triunghiului ABC, stiind ca

b = c = 1 si m(B) = m(C) =π

8.

a)1

2b)

1√2

c)1

3d)

√3

2e)

3√2

f)

√2

3

TG 51 * Se considera triunghiul ABC ın care b2 + c2 = 2a2 si m(A) = 150◦.Sa se calculeze cos 2B + cos 2C.

a) −√3 b) 0 c) −1 d) 1 e) −√

3

2f) alt raspuns

TG 52 * Perimetrul triunghiului ABC este 12, iar unghiurile sale sunt re-spectiv 30◦, 30◦, 120◦. Sa se afle aria triunghiului.

a) 4√

3 b) 36(7− 4√

3) c) 36(7 + 4√

3)

d) 12√

3 e) 36(7√

3− 12) f) 36(7√

3 + 12)


TG 53 * Se considera triunghiul ABC ın care lungimile laturilor (AB),(BC), (CA) sunt ın progresie aritmerica. Daca M este mijlocul lui (BC),iar G este centrul de greutate al triunghiului, sa se calculeze aria triunghiuluiBMG stiind ca perimetrul triunghiului ABC este 18.

a) 6√

6 b) 3√

6 c) 3 d) 2√

6 e)√

6 f) 1

TG 54 * Se da triunghiul ABC cu AB =√

3 + 1, B =π

4, A =

π

3. Sa se

calculeze lungimea bisectoarei (AD), D ∈ (BC), a unghiului BAC.

a)√

3− 1 b) 2 c)√

3 + 1 d)√

3 e) 1 f)

√3

2

TG 55 Fie ABCD un paralelogram. Care din urmatoarele afirmatii nu estecorecta?

a)−→AB +

−→BC =

−→AC b)

−→AB +

−→AD =

−→AC c)

−→AB −−→AD =

−→DB

d)−→AD +

−→CB =

−→0 e)

−→CD −−→CB =

−→DB f)

−→AB +

−→BC +

−→CD +

−→DA =

−→0

TG 56 * Se considera un patrulater convex ABCD si punctele M, N astfel

ca 2−−→AM =

−−→MC si 2

−−→BN =

−−→ND. Sa se afle valoarea parametrului real m pentru

care−−→AM +

−−→BN = m(

−→AD +

−→BC).

a)1

2b)

1

3c)

2

3d)

1

4e) −1

4f) −1

3

TG 57 * In triunghiul echilateral ABC, O este centrul cercului circumscris.

Sa se calculeze−→OB +

−→OC ın functie de

−→b =

−→AC si −→c =

−→AB

a)1

2(−→b +−→c ) b)

1

3(−→b +−→c ) c)

1

6(−→b +−→c )

d)2

3(−→b +−→c ) e) −1

6(−→b +−→c ) f) −1

2(−→b +−→c )


TG 58 * Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC si D simetricul luiA fata de G. Sa se determine parametrul real a astfel ca

−→DA +

−→DB +

−→DC = a

−→DG.

a) 3 b) −3 c)3

2d) −3

2e)

5

2f) −5

2

TG 59 * Pe laturile (BC), (CA), (AB) ale triunghiului ABC se considerares-pectiv punctele M, N, P astfel ca

BM

MC=

b

c,

CN

NA=

c

a,

AP

PB=

a

b,

a, b, c fiind strict pozitive. Sa se determine tripletele de numere reale (m,n, p)pentru care este adevarata egalitatea

(b + c)−−→AM + (c + a)

−−→BN + (a + b)

−→CP = m

−→AB + n

−→BC + p

−→CA.

a) (2c,−2a, 2b) b) (c,−a, b) c) (m,m,m), m ∈ Rd) (−2c, 2a,−2b) e) (−c, a,−b) f) (a,−a, a)

TG 60 * Fie ABC un triunghi oarecare si M ∈ (AB), N ∈ (AC) cu MN‖BC.

Daca−−→AM =

1

3

−→AB, sa se exprime vectorul

−−→BN ın functie de vectorii

−→AB si

−→BC.

a)2

3

−→AB +

1

3

−→BC b) −2

3

−→AB +

1

3

−→BC c)

2

3

−→AB − 1

3

−→BC

d) −3

4

−→AB +

1

4

−→BC e)

3

4

−→AB − 1

4

−→BC f)

3

4

−→AB +

1

4

−→BC

TG 61 * Pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC se considera punctele

M si N astfel ıncat MN‖BC si−−→AM = k

−−→MB. Sa se determine valoarea

parametrului real k pentru care−−→AM +

−→AN =

−→AG, G fiind centrul de greutate

al triunghiului ABC.

a)1

4b)

1

3c)

1

2d)

2

3e)

3

2f) 2


TG 62 * Fie ABCD un paralelogram ın care−→CF +3

−→BF =

−→0 si

−→BD = 5

−→BE.

Sa se afle valoarea parametrului real k pentru care−→AF + k

−→AE =

−→0 .

a) −3

2b) −5

2c) −4

3d) −5

3e) −5

4f) −7

4

TG 63 * Fie punctele coliniare A,P,B cu P ∈ (AB) siAP

PB= k. Sa se

descompuna vectorul de pozitie al punctului P dupa vectorii de pozitie aipunctelor A si B.

a) −→rp =−→rA + k−→rB

1 + kb) −→rp =

−→rA +−→rB

1 + kc) −→rp =

−→rA + k−→rB

k

d) −→rp =k−→rA +−→rB

1 + ke) −→rp =

k−→rA +−→rB

kf) −→rp = −→rA + k−→rB

TG 64 * Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Sa se determinevaloarea parametrului real m astfel ıncat −→rA +−→rB +−→rC + m −→rG =

−→0 .

a) m = −3 b) m = −3

2c) m = −2

3d) m =

2

3e) m =

3

2f) m = 3

TG 65 * Sa se determine vectorul de pozitie al punctului A stiind ca OA = 2si unghiul dintre (Ox si (OA este de 30◦.

a) 2−→i +

−→j b)

√3−→i +

−→j c)

1

2

−→i +

√3

2

−→j

d)−→i +

√3−→j e)

−→i +

−→j f)

√3−→i −−→j

TG 66 * Se considera vectorii −→u =−→i +2

−→j ,−→v = −2

−→i +

−→j si −→w = 4

−→i +

3−→j . Sa se determine valorile parametrilor reali a si b daca −→w = a−→u + b−→v .

a) a = −2, b = 1 b) a = −1, b = 2 c) a = 2, b = −1

d) a = −2, b = −1 e) a = 1, b = −3

2f) a = 0, b = −2


TG 67 Sa se determine numarul pozitiv a stiind ca vectorii −→u = a−→i +3

−→j

si −→v = 2−→i + (a− 1)

−→j sunt coliniari.

a) a = −2, a = 3 b) a = −3, a = 2 c) a = 2, a = 3

d) a = 2 e) a = 3 f) nu exista

TG 68 * Se considera punctul M(−1, 2) si vectorul−−→MN = −−→i + 3

−→j . Sa

se determine coordonatele punctului N .

a) (−2, 1) b) (−1, 2) c) (−2, 5) d) (0, 1) e) (0,−1) f) (1,−3)

TG 69 * Fie punctele A(3, 1) si B(1, 2). Sa se determine coordonatele punc-tului C pentru care −→rA + 2−→rB = −→rC .

a) C(4, 5) b) C(5, 5) c) C(4, 3) d) C(5, 4) e) C(6, 5) f) C(6, 6)

TG 70 * Fie vectorii−→AB si

−→AC cu | −→AB |= 4, | −→AC |= 5, iar m(BAC) = 120◦.

Sa se calculeze lungimea vectorului−→AB +

−→AC.

a) 61 b) 9 c)√

21 d)√

41 e) 41− 20√

3 f) 20

TG 71 Se considera punctele A(2, 4), B(1,−1), C(4, 1). Sa se determineecuatia dreptei d pentru care relatia MB2 + MC2 = 2MA2 este adevarataoricare ar fi punctul M de pe dreapta.

a) x− 8y + 10 = 0 b) x− 8y − 10 = 0 c) 2x− 16y − 21 = 0

d) 2x− 16y + 21 = 0 e) x− 8y + 11 = 0 f) x− 8y − 11 = 0

TG 72 Sa se scrie ecuatia dreptei d1 ce contine punctul P (−1, 1) si esteparalela cu dreapta d2 : 2x + ay − 9 = 0, a ∈ R, stiind ca punctul Q(4,−1)apartine dreptei d2 .


a) y = x + 2 b) y = −x c) y = 2x + 3

d) y = −2x− 1 e) y =1

2x +

3

2f) y = −1

2x +

1

2

TG 73 Se considera punctele A(1,−3), B(−1, 1), C(a, 2), D(3,−1), a ∈ R.Stiind ca dreptele AB si CD sunt paralele, sa se calculeze distanta de la C lacentrul de greutate al triunghiului ABD.

a) 3 b) 5 c)√

10 d)7

2e)

√37

2f)

√29

2

TG 74 * Se considera punctele O(0, 0), A(3a, 0), B(3a, b), C(0, b), P (a, b),Q(2a, b), a, b > 0. Dreptele OP si AQ se intersecteaza ın R. Sa se determinerelatia dintre a si b pentru care triunghiul BRC este echilateral.

a) b = 5a b) b = 2√

6a c) b = 3√

3a

d) b = 2√

5a e) b = 4√

2a f) b =5√

5

2a

TG 75 Dreapta d : 2x + y − 2 = 0 intersecteaza axele de coordonate ınpunctele A si B. Sa se determine coordonatele punctului C astfel ca punctulG(3, 2) sa fie centrul de greutate al triunghiului ABC.

a)

(1

2, 1

)b)

(1

3,2

3

)c) (5, 2) d) (10, 8) e) (8, 4) f)

(4

3,4

3

)

TG 76 Se dau dreptele AB : x+ y +1 = 0, AC : 2x− y− 2 = 0 si respectivMN : −x + 2y + 2 = 0. Sa se calculeze aria triunghiului ABC daca M estemijlocul lui (AB) si N este mijlocul lui (AC).

a)4

3b)

1

2c)

3

4d)

3

2e)

2

3f)

1

3


TG 77 Prin proiectia punctului P (3, 1) pe dreapta d1 : 2x− 3y + 6 = 0 seduce o dreapta d2 ce face cu axa (Ox un unghi de 45◦. Sa se calculeze distantade la P la d2.

a) 2 b)3√

2

2c)

9

5d)

45√

2

26e)

25

13f)

15

7

TG 78 * Se considera triunghiul ABC cu A(2, 4), B(1, 1), C(4, 2) si punctele

P ∈ (AB), Q ∈ (AC) astfel caAP

PB= 2,

AQ

QC= 3. Sa se afle coordonatele

punctului de intersectie al dreptelor BC si PQ.

a) (9, 5) b)

(19

2,9

2

)c) (10, 5) d) (10, 4) e)

(19

2, 4

)f)

(21

2,9

2

)

TG 79 * Se considera punctele Pn(n, 2n−1), n ∈ N. Sa se determine n pentrucare aria triunghiului PnPn+1Pn+2 este egala cu 8.

a) n = 4 b) n = 2 c) n = 0 d) n = log2

8

5e) n = log2

8

3f) n = 3

TG 80 Se considera punctele A(1,−2) si B(1, 3). Sa se determine valoareaparametrului real a pentru care punctul P (2, a) apartine bisectoarei unghiuluiAOB.

a) 0 b)1

10c) 10

√2− 14 d)

√10− 2

√5 e)

√2

10f)

√5

10

TG 81 Prin simetricul punctului A(1, 2) fata de punctul B(3, 4), notat cuC, se duce o dreapta d ce intersecteaza axa Ox ın punctul P . Sa se afle pantadreptei d astfel ıncat aria triunghiului APC sa fie egala cu 4.

a)3

2b)

6

5;6

7c)

3

2;3

4d)

6

5e) −3; 1 f) −2; 0


TG 82 * Fie punctele O(0, 0), A(4, 1) si B(1, 3) si d o dreapta ce trece prinorigine de panta m. Sa se determine panta m stiind ca pentru orice punct Pde pe dreapta d are loc relatia: PA2 − PB2 = OA2 −OB2.

a) m = 1 b) m =3

2c) m = 2 d) m = −3

2e) m = −2 f) m = −2

3

TG 83 Prin punctul A de intersectie al dreptelor d1 : x + y − 2 = 0 sid2 : 2x− y− 4 = 0 se duce o dreapta d paralela cu prima bisectoare. Fie P unpunct oarecare al dreptei d, diferit de A. Sa se arate ca raportul distantelor dela P la d1, respectiv la d2 este constant si sa se determine valoarea lui.

a)10

3b) 3 c)

13

4d)√

10 e) 2√

5 f) 2√

3

TG 84 Sa se determine coordonatele punctului P, situat pe dreapta deter-minata de punctele A(a, 0), B(0, b), a, b ∈ R∗, aflat cel mai aproape de origineaO(0, 0) a sistemului de axe de coordonate.

a)

(a

2,b

2

)b)

(a

a2 + b2,

b

a2 + b2

)c)

(a

b,b

a

)

d)

(ab2

a2 + b2,

a2b

a2 + b2

)e)

(a

a + b,

b

a + b

)f)

(b

2,a

2

)

TG 85 Simetrica dreptei d : y = 2−x fata de punctul A(2,−3) intersecteazaaxele de coordonate ın punctele P si Q. Sa se calculeze aria triunghiului POQ.

a) 8 b) 16 c) 6 d) 4 e) 10 f) 9

TG 86 Se considera punctele A(1, 0) si C(3, 1). Daca (AC) este o diagonalaa patratului ABCD, sa se afle coordonatele varfurilor B si D.

a)

(12

5,−3

5

),

(7

5,7

5

)b)

(8

3,−2

3

),

(5

3,5

3

)c)

(5

2,−1

2

),

(3

2,3

2

)

d)

(7

3,−1

3

),

(4

3,4

3

)e)

(13

5,−11

20

),

(8

5,29

20

)f) (2,−1), (1, 1)


TG 87 Se considera dreptele concurente d1 : x+2y−9 = 0, d2 : x−2y+3 = 0si d3 : 2x + ay − 3 = 0, a ∈ R. O drepta d ce trece prin punctul O(0, 0)intersecteaza dreptele d1, d2, d3 respectiv ın punctele distincte A,B, C. Sa seafle panta dreptei d astfel ca (AB) ≡ (BC).

a)1

2b) 1 c) −1

2; 1 d) −11

2e) −1 f) −11

2; 1

TG 88 Se dau punctele A(0, 1), B(1, 1) si C(4, 3). Fie y = mx + n ecuatiaınaltimii triunghiului ABC dusa din A si s = m + n. Atunci:

a) s =1

3b) s = −3

2c) s = −1

2d) s =

2

3e) s =

4

3f) s = −3

4

TG 89 Se dau punctele A(2, 3), B(−1, 2) si C(3, 6). Fie y = mx+n ecuatiamedianei dusa din A ın triunghiul ABC. Sa se calculeze s = m + n.

a) s = 6 b) s = 4 c) s = −6 d) s = −4 e) s = 3 f) s = −3

TG 90 Fie A(1, 2), B(2, 4) si fie G(4, 5) centrul de greutate al triunghiuluiABC. Ecuatia dreptei care trece prin A si este paralela cu mediana dusa dinvarful C al triunghiului ABC este:

a) 4x− 5y − 3 = 0 b) 5x− 4y + 3 = 0 c) 5x + 4y − 6 = 0

d) −5x + 4y + 6 = 0 e) 5x− 2y + 6 = 0 f) −4x + 5y − 6 = 0

TG 91 Se dau punctele A(2, 3) si B(1, 2). Fie C(a, b) un punct de pe dreapta2x+y−2 = 0 astfel ıncat triunghiul ABC este isoscel cu baza AB si d = b−a.Atunci:

a) d = 8 b) d = 4 c) d = −7 d) d = 0 e) d = −4 f) d = 6


TG 92 Se dau punctele A(4, 0) si B(0, 2). Fie M , N proiectiile punctuluiP , mijlocul segmentului (AB), pe Ox, respectiv Oy. Daca Q este punctul deintersectie al perpendicularei ın B pe dreapta AB cu dreapta MP si R punctulde intersectie al perpendicularei ın A pe AB cu dreapta NP , sa se calculezearia patrulaterului ABQR.

a)25

2b)

23

2c) 10 d)

5

2e) 25 f) 27

TG 93 Se dau dreptele d1 : 2x + y − 2 = 0, d2 : x − 2y + 3 = 0 si punctulM(2, 1). Fie punctul P (a, b) pe dreapta d1 astfel ıncat mijlocul segmentului

(MP ) sa se afle pe dreapta d2 si s =b

a. Atunci:

a) s =28

5b) s = −7 c) s = −1

7d) s =

14

5e) s = − 5

14f) s = −14

5

TG 94 Se dau dreptele AB : x + 2y − 4 = 0, AC : 2x − y + 2 = 0 siBC : −x − 3y + 2 = 0. Ecuatia dreptei ce trece prin mijlocul segmentului(BC) si este paralela cu ınaltimea dusa din varful A este:

a) 2x + 3y − 8 = 0 b) −x + 3y + 4 = 0 c) −x + 2y + 4 = 0

d) −2x− y + 8 = 0 e) 3x + y − 12 = 0 f) 21x− 7y − 82 = 0

TG 95 * Se considera paralelogramul ABCD cu A(2, 1), B(4, 2) si C(6, 1).Daca d : y = mx + n este ecuatia perpendicularei pe AB dusa prin varful Dal paralelogramului si s = m + n, atunci:

a) s = 3 b) s = 4 c) s = 5 d) s = 6 e) s = 7 f) s = 8

TG 96 * Sa se afle coordonatele punctelor situate pe dreapta d1 : 2x−y+1 =0 aflate la distanta d = 1 de punctul A(1, 2).


a) (1, 3),

(1

2,2−√3

2

)b) (1, 3),

(1

5,7

5

)c)

(1

5,7

5

), (2, 0)

d)

(1

2,2−√3

2

), (2, 0) e) (2, 0), (1, 3) f)

(1

5,7

5

),

(1

2,2−√3

2

)

TG 97 * Fie triunghiul ABC cu varfurile A(1,−1), B(3, 2) si C(−1, 3). Sase determine coordonatele ortocentrului H al triunghiului ABC.

a)

(9

7,11

7

)b)

(11

7,9

7

)c)

(8

7,10

7

)

d)

(9

7,10

7

)e)

(8

7,11

7

)f)

(10

7,10

7

)

TG 98 * Fie ın planul xOy triunghiul avand laturile de ecuatii x−y+1 = 0,2x+y−4 = 0 si x+2y+7 = 0. Sa se determine coordonatele centrului cerculuicircumscris triunghiului ABC.

a) (2,−3) b)

(4

3,−7

3

)c)

(5

3,−8

3

)

d)

(7

3,−8

3

)e)

(5

3,−7

3

)f)

(7

3,−7

3

)

TG 99 Fie punctele O(0, 0), A(1, 2) si dreapta d : 2x − y + 5 = 0. Sa sedetermine perimetrul triunghiului OAB, unde B este simetricul lui A fata dedreapta d.

a) 12 b) 5 c) 8√

5

d) 5 + 3√

5 e)√

5(5 +√

3) f) 5√

5

TG 100 * Se considera punctele A(1, 0), B(0, 3). Sa se afle punctul M situatpe prima bisectoare a axelor de coordonate, astfel ca MA ⊥ MB.


a) M(3, 3) b) M(2, 2) c) M

(3

2,3

2

)

d) M(5, 5) e) M(8, 8) f) M

(5

3,5

3

)

TG 101 * Se considera punctele A(1, 4), B(3, 2) si mediatoarea d a segmen-tului (AB). Care dintre urmatoarele puncte apartin lui d ?

a)

(−6

7,2

7

)b)

(−5

7,3

7

)c)

(−5

7,2

7

)

d)

(8

7,−2

7

)e)

(2

7,6

7

)f)

(4

7,−2

7

)

TG 102 * Se considera punctele A(2, 0), B(0, 6) si fie C al patrulea varf aldreptunghiului OABC (unde O este originea axelor). Fie M(x0, y0) cu x0 6= 0astfel ıncat AM ⊥ BM, M 6= C. Fie mCM panta dreptei CM , mOM pantadreptei OM , iar p = mCM ·mOM . Sa se afle p.

a) − y0

6x0

b)x0

3y0

c) 1 d)3x0

y0

e) − y0

2x0

f) −1

TG 103 * Fie dreapta d : (a−1)x+ay+a = 0, 0 < a < 1 si fie {A} = d∩Ox,

{B} = d ∩Oy. Daca1

OA+

1

OB= 2, atunci

a) a =1

2b) a =

1

3c) a =

1

4d) a =

1

5e) a =

2

3f) a =

3

4

TG 104 * Distanta de la punctul B, simetricul punctului A(−1, 2) fata deO(0, 0), originea axelor de coordonate, la dreapta d1 : x− 2y + 5 = 0 este:

a) 3√

5 b) 2√

5 c)√

5 d) 4√

5 e) 5√

5 f) 6√

5


TG 105 * Sa se calculeze distanta dintre dreptele d1 : 3x − 4y − 1 = 0 sid2 : 6x− 8y − 3 = 0.

a)1

2b) 1 c)

1

5d)

1√8

e)1

10f) 2

TG 106 * Fie punctele A(3, 3) si B(7,−3) si dreapta d : 4x− 2y + 3 = 0. Sase determine coordonatele punctului C de pe dreapta d care este echidistantfata de punctele A si B.

a) C(1, 2) b) C

(−13

4,−23

4

)c) C

(−23

4,−29

4

)

d) C

(1

8,−1

4

)e) C

(−29

8,−23

4

)f) C

(−13

8,−23

4

)

TG 107 Fie punctele O(0, 0), A(3, 1), si B(4, 6). Sa se determine coordo-natele punctului C pentru care patrulaterul OABC este paralelogram si sa seafle aria S a paralelogramului.

a) C(1, 5); S = 14 b) C(5, 1); S = 14 c) C(2, 3); S = 14

d) C(1, 5); S = 7 e) C(5, 1); S = 7 f) C(5, 1); S = 21

TG 108 Fie d1 : x + 2y − 1 = 0 si d2 : 2x− y − 2 = 0 ecuatiile ınaltimilordin B si C ale triunghiului ABC cu A(2, 1). Sa se scrie ecuatia ınaltimii dinA.

a) x− y − 1 = 0 b) 2x + y − 5 = 0 c) −x + 2y = 0

d) −2x + 3y + 1 = 0 e) 3x + 2y − 4 = 0 f) alt raspuns

TG 109 * Sa se determine unghiul obtuz dintre diagonalele AC si BD aleunui paralelogram daca se dau trei varfuri ale sale A(2, 1), B(3,−1), C(4, 3).

a) 90◦ b) 105◦ c) 150◦ d) 120◦ e) 135◦ f) 165◦


TG 110 * Se dau vectorii−→OA = −−→i +2

−→j ,−→OB = 3

−→i −2

−→j ,−→OC =

−→i −3

−→j .

Sa se determine vectorul−→OH, unde H este piciorul ınaltimii din A pe BC.

a)−→OH =

7

5

−→i − 14

5

−→j b)

−→OH =

14

5

−→i +

7

5

−→j c)

−→OH = −7

5

−→i +

14

5

−→j

d)−→OH = −14

5

−→i +

7

5

−→j e)

−→OH =

14

5

−→i − 7

5

−→j f)

−→OH =

7

5

−→i +

14

5

−→j


ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA

(simbol AM)

AM 1 * Utilizand, eventual, identitatea

sin a− sin b = 2 sina− b

2cos

a + b

2,

sa se calculezelim

x→∞(sin

√x + 1− sin

√x).

a) +∞ b) −∞ c) 0 d) 1 e) 2 f)1

2

AM 2 * Calculati

limx→∞

x4(e

1x2+1 − e

1x2

).

a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) nu exista f) 2e

AM 3 * Calculati

limx→∞

[x

4

]

x.

a) 0 b) 4 c)1

4d) 1 e) nu exista f) 2

AM 4 Sa se calculeze:

limx→∞

(x2 − x ln(ex + 1)).

105


a) ∞ b) 0 c) 1 d) −∞ e) −1 f) nu exista

AM 5 Calculatilim

x→∞(√

x + 1−√x)√

x .

a)1

2b) 0 c) ∞ d) nu exista e) 1 f) 2

AM 6 Se considera functia f : R→ R, f(x) = ex − x− 1. Sa se calculeze:

limx→∞

f ′(x)

f ′′(x).

a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) +∞ f) nu exista

AM 7 Calculati limita

limx→∞

ex + πx

4x.

a)e

4b)

π

4c) 1 d) 0 e)

e + π

4f) e + π

AM 8 * Sa se calculeze limita

limx→∞

[1−

( e

π

)x].

a) −∞ b) +∞ c) 0 d) 1 e) 1− e

πf) 1 +

e

π

AM 9 Se considera f : (−1, +∞) → R, f(x) = ln(1+x). Atunci limx→0

f(x)− f(0)

xeste:

a) 0 b) 1 c) 2 d) +∞ e) nu exista f) e.

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA 107

AM 10 Calculati limita

limx→∞

x4 + 1

x2 + 2ln

x2 + 1

x2.

a) 0 b) 1 c) 2 d) e e) 3 f) nu exista


limx→−∞

(x− x3

6− sin x

).

a) −1 b) −1

6c) 0 d) nu exista e) +∞ f) −∞

AM 12 Fie functia f : R → R, definita prin f(x) =x2013

2013x. Calculati

limx→+∞

f(x).

a) 2013 b) +∞ c) ln 2013 d)1

ln 2013e)

1

2013f) 0

AM 13 Calculati limx→∞

(f(x))x, unde f : R− {−1, 1} → R,

f(x) =x2 + 2x + 5

x2 − 1.

a) e b) e3 c) e−2 d) e2 e) 1 f) ∞

AM 14 * Se considera functia f : R→ R, f(x) =2x3

x2 + 1. Sa se calculeze:

limx→∞

(f(ex)

)1

x .


a) 0 b) 1 c)1

ed) e e) e2 f)

1

e2

AM 15 * Fie f : R→ R, f(x) = 2x4 + x2 + 3. Sa se calculzeze limx→−∞

f(x)

x4.

a) 2 b) −2 c) 1 d) −1 e) 3 f) −3.

AM 16 * Calculati urmatoarea limita limx→+∞

(√

x + 2−√x + 1).

a) +∞ b) −∞ c) 0 d) 1 e) −1 f) 3

AM 17 Calculati urmatoarea limita limx→+∞

(x

x + 2

)x

.

a) 1 b) e c)1

ed) 0 e) e2 f)

1

e2

AM 18 Fie functia f : (0, +∞) → R, definita prin f(x) = (2x3 + 1) ln x.

Calculati limx→+∞

f(x)

x4.

a) 2 b) +∞ c) −2 d) 2e e) 0 f)3

4

AM 19 * Se considera functia f : (−2, 2) → R, f(x) = ln2 + x

2− x. Sa se

calculeze:

limx→∞

xf

(1

x

).

a) 0 b) 1 c) ∞ d) −1 e) −∞ f) nu exista


AM 20 Fie f : R→ R,

f(x) =x4 + 1

(2x2 + 1)(3 + 5x2)+

2 + x2

√(4x2 + 1)(9x2 + 7)

.

Calculati limx→∞

f(x).

a)23

180b)

1

10c)

4

15d)

1

36e)

4

45f)

2

3

AM 21 * Calculati

L = limx→0

x2 sin

(1

x

)

sin x.

a) 0 b) nu exista c) 1 d) ∞ e) 3 f) 2

AM 22 * Fie functia f : [0, 2] → R, f(x) = {x}(1 − {x})2, unde {x} estepartea fractionara a lui x. Sa se determine lim

x→1f(x).

a) 0 b) 1 c) nu exista d) −1 e) 2 f)3

2


limx→0

x sin1

x.

a) 1 b) 0 c) ∞ d) −1 e)1

2f) nu exista

AM 24 * Fie functia f : R∗ → R, definita prin f(x) =x√x2

. Calculati

limx→0

f(x).

a) 1 b) 0 c) −1 d)1

2e) +∞ f) nu exista


AM 25 Se considera functia f : R → R, definita prin f(x) = ln(1 + x2).Calculati

limx→1

f(x)− f(1)

x− 1.

a) 2 b)1

2c) 1 d) −2 e) −1

2f) −1

AM 26 * Sa se calculeze limita limx→0

tg x

x.

a) 0 b) +∞ c) 1 d) −1 e)π

2f)

π

4

AM 27 * Sa se calculeze:

limx→0

sin1

x.

a) 1 b) 0 c) −1 d) ∞ e) nu exista f) −∞

AM 28 * Fie functia f : (0, +∞) → R, definita prin f(x) = xx. Calculati

limx↘0

xx.

a) 0 b) 1 c) e d)1

ee) e2 f) −1

AM 29 * Fie n ∈ N∗ fixat. Sa se calculeze:

limx→1

x + x2 + . . . + xn − n

x− 1.

a) 0 b) 1 c) n(n + 1)

d)n(n + 1)

2e) n + 1 f) n


AM 30 * Fie functia f : R\{0} → R, definita prin f(x) = x·sin 1

x2. Calculati

limx→0

f(x).

a) nu exista b) 1 c) 0 d) +∞ e) −1 f) −∞

AM 31 Sa se determine numarul strict pozitiv astfel ıncat

limx→a

x2 − a2

√x−√a

= 32.

a) 0 b) 2 c) 4 d) 1 e) 16 f) nu exista

AM 32 Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x + ln x. Sa secalculeze:

limx→2

f(x)− f(2)

x− 2.

a)1

2b) 1 c) −1 d) −1

2e)

3

2f) ∞

AM 33 * Fie functia f : R→ R, definita prin f(x) = 3x− 1. Calculati

limx→ 1

3

f(x)

9x2 − 1.

a) 1 b) 0 c)1

2d)

1

4e)

1

6f)

1

10

AM 34 * Fie functia R→ R, f(x) = x arctg x. Sa se determine asimptotelela graficul functiei f .

a) y =π

2x− 1 b) y = −π

2x + 1 c) y =

π

2x + 1

d) y =π

2x− 1, y = −π

2x− 1 e) nu exista f) y =

π

2x


AM 35 Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x ln x. Sa se determineasimptotele graficului functiei f .

a) y = x b) y = x + 1 c) y = 0

d) nu are asimptote e) x = 0 f) x = 0 si y = 0

AM 36 Fie functia f : [2, +∞) → R,

f(x) =x

x− 1+

x

x + 1

Sa se determine asimptota orizontala la graficul functiei.

a) y = 0 b) y = 2 c) y = 1

d) y = −2 e) nu exista f) toate raspunsurile sunt false

AM 37 * Se considera functia f : R→ R, f(x) = x− sin x. Sa se determineasimptotele graficului functiei f .

a) y = 0 b) y = x c) nu are asimptote

d) y = x + 1 e) x = 0 f) y = 2x

AM 38 * Se considera functia f : R → R, definita prin f(x) = ex + πx.Determinati asimptota spre −∞ a functiei f.

a) x = 0 asimptota verticala spre −∞b) y = 0 asimptota orizontala spre −∞c) x = e asimptota verticala spre −∞d) y = e asimptota orizontala spre −∞e) x = π asimptota verticala spre −∞f) y = π asimptota orizontala spre −∞


AM 39 * Se considera f : R→ R,

f(x) =

{1− x, x ≤ 1

ln x, x > 1.

Sa se determine limx→∞

f(ex100) + · · ·+ f(e100x100

)

x200.

a) 0 b) 1 c) +∞ d) 2 e) 50 f) 5050

AM 40 Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) =2x

x. Determinati asimptota

verticala la graficul functiei f .

a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2 d) nu avem e) x = 4 f) x =1

2

AM 41 * Se considera f : R → R, f(x) =√

x2 + 1 + x. Sa se determineecuatiile asimptotelor la graficul functiei f .

a) y = 0, y = x b) y = 0, y = 2x c) y = 2x

d) nu avem e) y = 0 f) y = x

AM 42 Se considera f : (0, +∞) → R,

f(x) =x2 − 1

x.

Sa se determine ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f .

a) nu exista b) y = x c) y = 1

d) y = x− 1 e) y = −x f) y = −x + 1


AM 43 * Se considera f : R− {−1} → R,

f(x) =eax

x + 1, a ∈ R.

Sa se determine valoarea parametrului a astfel ıncat y = 0 sa fie asimptotaorizontala catre −∞ la graficul functiei f .

a) a ∈ (0, +∞) b) a = 1 c) a ∈ (−1, 2)

d) a ∈ ∅ e) a ∈ [0, +∞) f) a ∈ R

AM 44 Se considera f : R− {2} → R,

f(x) =x2 + ax + b

x− 2, a, b ∈ R.

Sa se determine valorile parametrilor reali a, b astfel ıncat y = x + 2 sa fieasimptota oblica catre ∞ la graficul functiei f .

a) a = 0, b = −2 b) a = 1, b = 0 c) a = 0, b ∈ Rd) a = 0, b = 3 e) a = −2, b ∈ R f) nu exista

AM 45 Se considera f : R → R, f(x) = 4x + 9x. Sa se determine ecuatiaasimptotei catre −∞ la graficul functiei f .

a) y = 13 b) y = −13 c) y = 1 d) y = 0 e) nu avem f) y =13

16

AM 46 * Se considera functia f : R→ R, f(x) =√

x2 + 2−√x2 + 1. Sa sedetermine asimptotele la graficul functiei f .

a) x = 0 b) y = x c) y = 0 la +∞d) y = 0 la +∞ si −∞ e) y = 0 la −∞ f) x = 0, y = 0


AM 47 Se considera f : R→ R,

f(x) =2x√

x2 + 1.

Sa se determine asimptota orizontala catre +∞ la graficul functiei f .

a) y = 1 b) y = 0 c) y = x d) y = 2 e) y = −4 f) nu exista


f(x) =

{arctgx, x ≤ 0

1 +√

x, x ≥ 0.

Sa se determine ecuatia asimptotei catre −∞ la graficul functiei f .

a) y = 0 b) y = x− 1 c) y = −π

2

d) y = −π

2x e) nu avem f) y = 2πx

AM 49 * Fie functia f : R→ R,

f(x) =

x

3

[2

x

], x 6= 0

a, x = 0,

unde [x] reprezinta partea ıntreaga a lui x ∈ R. Sa se determine valorile luia ∈ R pentru care functia este continua ın punctul x = 0.

a) a = 0 b) a = −2

3c) a =

2

3

d) a ∈ {0, 1} e) a = 2 f) a ∈ ∅

AM 50 Fie functia f : R → R, f(x) = ex − x. Sa se determine imagineamultimii R prin aplicatia f .


a) (0,∞) b) [−1, +∞] c) R

d) (−∞,−1) e) [0,∞) f) [1,∞)

AM 51 Se considera

f : R→ R, f(x) =

{2x + 1, x < 1

3x2, x ≥ 1.

Atunci mutimea punctelor de continuitate este:

a) R b) R− {1} c) (1, +∞) d) (−∞, 1] e) {1} f) ∅.

AM 52 Se considera functia f : [0, π] → R,

f(x) =

e3x, x ∈ [0, 1]

a sin(x− 1)

x2 − 5x + 4, x ∈ (1, π].

Determinati valorile lui a astfel ıncat functia sa fie continua pe [0, π].

a) 2e3 b) −3e2 c) e d) 3e3 e) −3e3 f) 0

AM 53 Fie functia f : [0, 1] → R,

f(x) =

{x sin

(π

x

), x ∈ (0, 1]

0, x = 0.

Sa se precizeze care dintre raspunsurile de mai jos este corect.

a) f este continua pe [0, 1]

b) f este discontinua ın punctul x = 0

c) f este continua pe [0, 1] ∩Qd) f are limita nenula ın punctul x = 0

e) f este discontinua ın punctul pe x = 1

f) f nu admite limita ın punctul x = 0


AM 54 Fie functia f : R→ R,

f(x) =

x2 sin1

x2, x 6= 0

0, x = 0.

Sa se precizeze care dintre raspunsurile de mai jos este corect.

a) f este continua si f ′(0) nu exista

b) f nu este continua ın punctul x = 0

c) f este derivabila pe R

d) f nu are limita ın punctul x = 0

e) f ′(0) = ∞f) toate raspunsurile de mai sus sunt false

AM 55 Se considera functia f : [1, +∞) → R,

f(x) =4− 3x2

x3.

Sa se determine multimea valorilor functiei f .

a) [1,∞) b) R c) [0,∞)

d) [−1,∞) e) [−1, 1] f) [−1, 2]

AM 56 * Fie f : R→ R o functie neconstanta astfel ıncat pentru orice x ∈ Ravem f(x + rπ) = f(x), (∀)r ∈ Q. Sa se determine multimea punctelor decontinuitate ale functiei f .

a) {0} b) ∅ c) R d) Q e) Z f) R \ {0}

AM 57 Se considera functiile f, g, h : R→ R, unde

f(x) = ex2

, g(x) = 1 + x2 si h(x) = (f + g)(x).

Calculati derivata de ordinul doi a functiei h ın x0 = 0.


a) 0 b) 2 c) 8 d) 4 e) 1 f) 3

AM 58 Fie f : R → R, f(x) = sin(1 − x2) +√

x2 + 1. Calculati derivatafunctiei f ın x0 = 1.

a)4 +

√2

2b)

√2− 2

2c)

√2− 4

2

d)

√2

2e)√

2 f) −2 +√

2

AM 59 Se considera functia f : R→ R,

f(x) =|x− 1|

ex.

Sa se studieze derivabilitatea functiei ın punctul x0 = 1 si ın caz afirmativ sase calculeze f ′(1).

a) f este derivabila si f ′(1) =1

eb) f este derivabila si f ′(1) = −1

e

c) f este derivabila si f ′(1) = 0 d) f nu este derivabila ın x0 = 1

e) f este derivabila si f ′(1) = e f) f este derivabila si f ′(1) = −e

AM 60 Fie f : D → R, f(x) =√

sin x2, unde D este domeniul maximde definitie. Sa se studieze derivabilitatea lui f ın punctul x0 = 0. In cazafirmativ sa se determine f ′(0).

a) f este derivabila si f ′(0) = −1 b) f este derivabila si f ′(0) = 1

c) f nu este derivabila ın x0 = 0 d) f este derivabila si f ′(0) = 0

e) f este derivabila si f ′(0) = 2 f) f este derivabila si f ′(0) =1

2


AM 61 * Sa se determine parametrii reali a, b astfel ıncat functia f : R→ R,

f(x) =

x2 + a, x ≤ 2

ax + b, x > 2

sa fie derivabila pe R.

a) a = 4, b = 0 b) a = 3, b = 0 c) a ∈ R, b = 5

d) a = 3, b ∈ R e) a = 4, b = 1 f) a = −1, b = 4

AM 62 Fie functia f : R → R, definita prin f(x) = x cos x. Calculati

derivata functiei f ın punctulπ

2.

a)π

2b) 1 c) −1 d) −π

2e)

π√

2

4f) −π

√2

4

AM 63 * Fie functia f : R → R, definita prin f(x) =√

π2 + x2. Calculatif ′′(x).

a)π2

(π2 + x2)√

π2 + x2b)

π2

π2 + x2c)

π2

√π2 + x2

d)π2 + 2x2

(π2 + x2)√

π2 + x2e)

π2 − x2

(π2 + x2)√

π2 + x2f)

π

(π2 + x2)√

π2 + x2


f(x) =

{ex(a sin x + b cos x), x < 0

x√

x2 + 1, x ≥ 0 .

Determinati parametrii reali a, b astfel ıncat functia f este derivabila pe R:

a) a = 1, ∀ b ∈ R b) a = b = 0 c) ∀ a ∈ R, b = 0

d) a = 1, b = 0 e) a = b = 1 f) nu exista a, b ∈ R.


AM 65 * Sa se determine toate functiile derivabile f : R → R care satisfacrelatia f(x + y) = f(x) + f(y),∀x, y ∈ R.

a) f(x) = aex b) f(x) = sin x c) f(x) = ln(1 + x)

d) f(x) = ax, a ∈ R e) f(x) = 3√

x f) nu exista astfel de functii

AM 66 Fie functia f0 : R→ R, f0(x) =x

exsi functiile fn(x) = f ′n−1(x),

∀n ∈ N∗. Sa se calculeze f2(x).

a) 0 b) xe−x c) xe−2x d) (x− 1)ex e) (2x− 3)e−x f) (x− 2)e−x

AM 67 Fie functia f : R→ R, definita prin f(x) =

√x2 + 2

x2 + 1. Determinati

E(x) = [f ′(x)]2 ·[

(x2 + 3)2

(x2 + 1)4(x2 + 2)

]−1

.

a) E(x) = −x2 b) E(x) = −x c) E(x) = x

d) E(x) = x2 e) E(x) =x2(3x2 + 5)2

(x2 + 3)2f) E(x) =

x2(5− x2)2

(x2 + 3)2

AM 68 * Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = e−2| ln x|. Sa se deter-mine m ∈ R astfel ıncat functia g : (0, 1) ∪ (1,∞) → R,

g(x) =x2f ′′(x) + mxf ′(x)

f(x)

sa fie constanta.

a) 2 b)1

2c) 0 d) 4 e) 1 f) −1

AM 69 Se considera f : R→ R, f(x) = x2ex. Atunci f ′′(x)+2f ′(x)+3f(x)este egala cu:


a) 6x2ex b) (6x2 + 3)ex c) (3x2 + 2x + 2)ex

d) (x2 + 2x + 3)ex e) (6x2 + 8x + 2)ex f) (3x2 + 6x)ex.

AM 70 Fie a > 0 si functia fa : (0,∞) → R,

fa(x) = (x + a) ln

(1 +

1

x

).

Sa se determine multimea valorilor lui a astfel ıncat fa sa fie convexa.

a) (0,∞) b) [1,∞) c)

[1

2,∞

)d) ∅ e)

{1

2

}f)

[1

2, 1

)

AM 71 * Fie functia f : R → R, definita prin f(x) = |x3 − 3x + 2|. Sa sedetermine multimea D′ a punctelor de derivabilitate ale functiei f .

a) D′ = R \ (1, 2) b) D′ = R \ {1, 2} c) D′ = R \ {1}d) D′ = R \ {−2} e) D′ = R \ {−1,−2} f) D′ = R \ (−2,−1)

AM 72 * Se considera functia f : R→ R,

f(x) =

x, x ∈ Qx3, x ∈ R \Q .

Sa se studieze derivabilitatea lui f ın origine si ın caz afirmativ sa se calculezef ′(0).

a) f este derivabila si f ′(0) = 0 b) f este derivabila si f ′(0) = 1

c) f nu este derivabila d) f este derivabila si f ′(0) = 3

e) f este derivabila si f ′(0) = −1 f) f este derivabila si f ′(0) = 2

AM 73 Fie functia f : (0, +∞) → R, definita prin f(x) = x3 ln x2. Calculatiderivata functiei f .


a) 2x2(ln x3 + 1) b) 6x2 ln x + 1 c) x2(3 ln x + 1)

d) 2x2(ln x + 1) e) 6x2 ln x + 2 f) 2x2(3 ln x + x)

AM 74 Fie f : R→ R,

f(x) =1 + x2

ex.

Rezolvati ecuatia f(x) + f ′(x) = 0.

a) x1, x2 nu sunt reale b) x = −1

2c) x =

1

2

d) x = 0 e) x1 = 0, x2 = −1 f) x = −1

AM 75 Fie f : (0,∞) → R, f(x) = x+2012−2013 2013√

x. Sa se scrie ecuatiatangentei la graficul functiei ın punctul de abscisa x0 = 1.

a) y = x− 1 b) y = x + 1 c) y = x

d) y = 0 e) y = 1 f) y = 2

AM 76 Fie functia f : (0, +∞) → R, definita prin f(x) = x ln x. Scrietiecuatia tangentei la graficul functiei f ın punctul de abscisa 1.

a) y + 1 = x b) y = x + 1 c) y = −x

d) y = x e) y = 2(x− 1) f) y − 1 = 2(x− 1).

AM 77 Sa se determine panta minima a unei tangente la curba y = x3 −3x2 + 5x.

a) −5

2b)

5

2c) 0 d) 1 e) 2 f) −2

AM 78 Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) = x + ln x. Sa se scrie ecuatiatangentei la graficul functiei f ın punctul de abcisa x0 = 1.


a) 2x− y = 0 b) x− 2y = 0 c) x + y − 1 = 0

d) x− y + 1 = 0 e) 2x− y − 1 = 0 f) x− 2y − 1 = 0

AM 79 * Sa se determine punctele de pe graficul functiei f : (0,∞) → R,

f(x) = ln x− 2(x− 1)

x + 1

ın care tangenta la grafic este paralela cu dreapta de ecuatie 2x− 9y = 0.

a) (1, 0) b)

(1

2,1

3− ln 2

)c)

(1

2,2

3− ln 2

)

d)

(2, ln 2− 2

3

)e)

(2, ln 2− 1

3

)f) (1, 1)

AM 80 * Fie f : [−1,∞) → R, definita prin f(x) =√

x + 1. Sa se determineabscisa x0 a unui punct situat pe graficul lui f ın care tangenta la grafic sa fieparalela cu coarda care uneste punctele de pe grafic de abscise x = 0, x = 3.

a) x0 =1

3b) x0 = −1

3c) x0 =

1

4

d) x0 =5

4e) x0 =

3

4f) x0 =

4

3

AM 81 * Se considera functia f : R → R, f(x) = 3√

x3 − 3x + 2. Sa sedetermine multimea punctelor de extrem local ale functiei f .

a) {−1} b) {0, 1} c){1} d) {−1, 1} e) {1, 2} f) ∅

AM 82 * Fie f : R→ R,

f(x) =x√

x2 − x + a,

unde a ∈ R. Sa se determine multimea valorilor parametrului a astfel ıncat

functia sa admita un extrem cu valoarea2√

3

3.


a)

{1√3

}b) {0, 1} c) {1} d) ∅ e) {−2} f)

{− 1√

3

}

AM 83 * Fie functia f : (0, +∞) → R, f(x) =ln x

x2. Determinati punctele

de extrem ale functiei f.

a) (e, 2e) minim b)

(e,

1

2e

)maxim c)

(√e,

1

2e

)maxim

d) (√

e, 2e) minim e)

(√e,

1

2e

)minim f)

(1

e, 2e

)minim

AM 84 Fie functia f : D ⊂ R→ R, definita prin

f(x) =

√x + 1

x− 1.

Determinati domeniul maxim de definitie D si domeniul de derivabilitate D′.

a) D = D′ = (−∞,−1) ∪ (1, +∞) b) D = (−∞,−1) ∪ [1, +∞)

D′ = (−∞,−1) ∪ (1, +∞)

c) D = (−∞,−1] ∪ [1, +∞)

D′ = (−∞,−1] ∪ (1, +∞)

d) D = R \ (−1, 1]

D′ = (−∞,−1) ∪ (1, +∞)

e) D = R \ {1}D′ = R \ {−1, 1}

f) D = D′ = R \ {−1, 1}

AM 85 * Sa se determine multimea punctelor de extrem local ale functieif : D ⊂ R → R, f(x) =

√x2 − 6x, unde D este domeniul maxim de definitie

al functiei f .

a) {0, 6} b) {3} c) ∅ d) {0} e) {6} f) {1, 6}


AM 86 Fie f : R→ R, f(x) = πx − ln πx. Determinati punctele de extremale graficului functiei f.

a) (0, 1) maxim b) (0, π) maxim c) (1, 1) maxim

d) (0, 1) minim e) (0, π) minim f) (1, 1) minim.

AM 87 Se considera functia f : R→ R,

f(x) =ax + a− 2

x2 + 1,

unde a este un parametru real. Sa se determine a astfel ıncat functia sa aibaun extrem ın punctul x = 1.

a) 1 b) 2 c) −2 d) −1 e) 3 f) −3

AM 88 * Se considera f : R → R, f(x) = (x2 − 2x + 1)ex. Sa se determinemultimea punctelor de extrem local ale functiei f .

a) {−1, 0} b) {0} c) {0, 1} d) {−1, 1} e) {1} f) ∅

AM 89 Se considera functia f : R∗ → R, f(x) = e1x . Sa se determine

punctele de inflexiune ale graficului functiei f .

a) x ∈{− 1,

1

2

}b) x ∈

{0,−1

2

}c) nu exista

d) x = −1 e) x = −1

2f) x =

1

2

AM 90 Sa se determine numarul punctelor de inflexiune ale graficuluifunctiei f : R→ R, f(x) = (x3 − 3x)2.

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0 f) 5


AM 91 Se considera functia f : R→ R, f(x) =√|x2 − x|. Sa se determine

multimea punctelor de extrem local ale functiei f .

a)

{1

2

}b) {0} c) {1}

d) {0, 1} e)

{0,

1

2, 1

}f) ∅

AM 92 * Sa se determine multimea solutiilor inecuatiei:

x− x3

6− sin x ≤ 0.

a)

(− π

2, 0

)b) (−∞, 0] c) [0,∞)

d)

[0,

π

2

)e) R f) Z

AM 93 Sa se determine cel mai mare numar real a cu proprietatea:

x2 + 1 ≥ a + 2 ln x, (∀)x ∈ (0,∞).

a) 0 b) 2 c) 1 d) −1 e) 4 f) 3

AM 94 * Sa se determine multimea valorilor lui m ∈ R astfel ıncat

x + ex ≥ mx + 1, (∀)x ∈ R.

a) {1} b) {2} c) {0} d) {0, 2} e) {0, 1} f) ∅

AM 95 * Fie f : [0, 1] → R,

f(x) =ex

x + 1.

Verificati care inegalitate este adevarata:


a) 1 ≤ 1

f(x)≤ e

2b) 1 ≤ 1

f(x)≤ e c)

2

e≤ 1

f(x)≤ 1

d) 1 ≤ f(x) ≤ e e)1

e≤ f(x) ≤ 1 f)

2

e≤ f(x) ≤ 1.

AM 96 Sa se determine multimea tuturor numerelor reale x care verificainegalitatea:

ex − 1− x− x2

2!− x3

3!− x4

4!≥ 0.

a) (0,∞) b) (−∞, 0) c) [0,∞) d) R e) [1,∞) f) ∅

AM 97 * Fie functia f : R→ R, definita prin

f(x) =

x− 2

x + 3, x 6= −3

0 , x = −3 .

Studiati monotonia functiei f.

a) f crescatoare pe R b) f crescatoare pe R \ {3}c) f crescatoare pe R \ {−3} d) f descrescatoare pe R \ {−3}e) f descrescatoare pe R f) f nu este monotona pe R

AM 98 * Se considera functia f : R → R, definita prin f(x) = πx − π−x.Studiati daca functia f este bijectiva.

a) f injectiva pe R b) f surjectiva pe R

c) f bijectiva pe R d) f injectiva pe (0, +∞)

e) f surjectiva pe (0, +∞) f) f bijectiva pe (0, +∞)


AM 99 * Se considera functia f : R→ R,

f(x) =

x +1

x, x 6= 0

0 , x = 0 .

Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata:

a) f este crescatoare pe (−∞, 0) b) f este descrescatoare pe (−∞, 0)

c) f(x) ≥ 2, (∀) x ∈ (−∞, 0) d) f este surjectiva

e) f este injectiva f) f(x) ≥ 2, (∀) x ∈ (0,∞).

AM 100 Se considera f : R→ R, f(x) = ex− x. Atunci solutiile inecuatieif(x)− 1 > 0 sunt:

a) (0, +∞) b) (−∞, 0) c) R \ {0} d) (1, +∞) e) (−∞,−1) f) ∅ .


f(x) =

ex − 1

x, x 6= 0

m, x = 0 , m ∈ R.

Determinati valorile lui m ∈ R astfel ıncat functia f este continua pe R.

a) m = 1 b) m = 0 c) m ∈ ∅d) m = e e) m = e−1 f) toate raspunsurile de mai sus sunt false

AM 102 * Se considera f : R \ {1} → R,

f(x) =2x + 1

x− 1.

Care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate?


a) f(√

2013) > f(√

2009) b) f(√

111) > f(√

11)

c) f(√

1234) > f(√

123) d) f(√

22013) > f(√

2131)

e) f

(1

2013

)> f

(1

2012

)f) toate raspunsurile de mai sus sunt false

AM 103 Se considera f : R→ R, f(x) = (x2− 1)(x2− 4). Atunci numarulpunctelor de inflexiune ale graficului functiei f este:

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4 f) nu exista.

AM 104 Se considera f : R → R, f(x) = x cos x. Sa se scrie ecuatia tan-gentei la graficul functiei f ın punctul de abcisa x0 = 0:

a) y = x− 1 b) y = x + 1 c) y = −x

d) y = −x + 2 e) y = x f) y = x + 2.

AM 105 * Se considera f : (1, +∞) → R,

f(x) = ln(x + 1)(x− 1)

x2.

Atunci:

a) f este crescatoare b) f este descrescatoare

c) limx→∞

f(x) = e d) f are doua puncte de extrem local

e) f(e1000) < f(e2) f) f

(1

1000

)> f

(1

100

).

AM 106 Se considera f : R → R, f(x) = x10 − 10x − 1. Atunci numarulpunctelor de extrem ale functiei f este:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 0 f) 5.


AM 107 * Fie functia f : (0,∞) → R, f(x) =ln x

x, atunci:

a) f(x) > e−1 b) f(x) > 1 c) f(x) ≤ e−1

d)ln 3

3<

ln 2

2e)

ln 2

3<

ln 3

2f) toate raspunsurile sunt corecte.

AM 108 Sa se determine multimea punctelor de extrem pentru functiaf : R→ R,

f(x) = (x− 1)(x− 3)(x− 5)(x− 7) .

a) {2, 4±√5} b) {4, 2±√5} c) {2}d) {4} e) {4, 4±√5} f) {2, 2±√5}

AM 109 Se considera f : R→ R, f(x) = 3x − x ln 3. Calculati urmatoarealimita

limx→1

f ′(x)− f ′(1)

x− 1.

a) 2 ln 3 b) 0 c) 1 d) 3(ln 3)2 e) nu exista f) 3 ln 3

AM 110 * Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) = x − √x. Sa se determinecoordonatele punctului graficului functiei f ın care tangenta la grafic are panta

egala cu1

2.

a) A(1, 1) b) A(0, 1) c) A(1, 0)

d) A(2, 0) e) A

(1

2,1

2

)f) nu exista astfel de puncte


f(x) = e−x(ax2 + bx + c), a, b, c ∈ R.

Sa se determine a, b, c ∈ R astfel ıncat f(0) = 1, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 3.


a) a = 1, b = 2, c = 1 b) a = 2, b = −1, c = 0

c) a = 1, b = 3, c = 1 d) a = 4, b = 3, c = 1

e) a = 4, b = 1, c = 1 f) a = 4, b = 2, c = 1

AM 112 * Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) =x3

3− ln x. Atunci functia

f are:

a) un punct de minin local

b) un punct de maxim local

c) doua puncte de maxim local

d) doua puncte de minim local

e) un punct de minim respectiv maxim local

f) nu are puncte de extrem.

AM 113 Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) =√

x ln x. Sa se determinepunctele de pe graficul functiei f ın care tangenta la grafic este paralela cu axaOx.

a) A(1, 0) b) A(e, 1) c) A(e−2,−2)

d) A(e−2,−2e−1) e) A(1,−2e−1) f) nu exista astfel de puncte

AM 114 * Se considera f : [1, +∞) → R,

f(x) = x

√x− 1

x + 1.

Sa se determine imaginea functiei f .

a) [0, 1] b) [0, +∞) c) R

d) [0, 10] e) [1, 4] f)

[1,−1 +

√5

2

]


AM 115 * Fie functia f : R→ R, f(x) =√

x2 + 2x + 3− x. Atunci avem:

a) f(e3) > f(4) b) f(e5) > f(5) c) f(e−5) > f(−5)

d) f(ex) < x + 1 e) f(e2012) > f(2013) f) f(5) > f(1 + ln 5).

AM 116 * Se considera f : (0, +∞) → R, f(x) =|ln x|

x. Atunci functia f

admite:

a) un punct de extrem local

b) doua puncte de extrem local

c) trei puncte de extrem local

d) nu avem puncte de extrem local

e) x = −e−1 este punct de minim local

f) x = e−1 este punct de maxim local.

AM 117 * Fie functia f : R→ R, f(x) = x− tg x. Calculati limita

limx→0

f(tg x)

x3.

a) 0 b) 1 c) nu exista d) −1

3e)

1

3f)

2

3

AM 118 * Fie functia f : R→ R,

f(x) =mx + 1

x2 + 1.

Determinati toate valorile parametrului real m astfel ca functia f sa aiba douapuncte de extrem.

a) m = −1 b) m ∈ (−1, 1) c) m ∈ (−∞,−1)

d) m ∈ (1,∞) e) m ∈ (0, 1) f) m ∈ R


AM 119 * Se considera f : (0, +∞) → R,

f(x) =

ln x

x− 1, x 6= 1

1, x = 1 .

Determinati f ′(1).

a) −1

2b) 0 c) 1 d) 2 e) nu exista f) 3

AM 120 * Fie functia f : R→ R, f(x) = ex + x− 1. Determinati (f−1)′(0).

a)1

2b) 0 c) 1 d) nu exista e) 2 f) −1

2

AM 121 * Sa se arate ca functia F : (0,∞) → R,

F (x) = 2

(x

3− x2

5

)√x

este o primitiva pentru f : (0,∞) → R definita prin f (x) = ...

a) ... =

(x2

6− x3

15

)√x b) ... = (1− x)

√x c) ... = 2

(1

3− 2x

5

)√x

d) ... = (x− 1)√

x e) ... =

(1

3− 2x

5

)√x f) ... = 2

(x2

6− x3

15

)√x.

AM 122 Se considera functia F : R → R, F (x) = 3 (x− 1) 3√

x. Precizaticare din urmatoarele afirmatii este adevarata:

a) F este primitiva lui 3 (x2 − x)3√

x2 b) F este primitiva lui3 (x− 1)

3√

x2

c) F este primitiva lui (4x− 1) x−23 d) F este primitiva lui (4x− 1) x−

13

e) F nu este derivabila pe R f) F este primitiva lui 3 (x2 − x) x13 .


AM 123 * Fie functia f : R→ R, definita prin

f(x) =

{x3 − 2x + 3, daca x ≤ 0

e2x, daca x > 0 .

Precizati care din urmatoarele functii reprezinta o primitiva a functiei f.

F1(x) =

x4

4− x2 + 3x + C, daca x ≤ 0

e2x

2+ C, daca x > 0, C ∈ R,

F2(x) =

x4

4− x2 + 3x +

1

2+ C, daca x ≤ 0

e2x

2+ C, daca x > 0, C ∈ R,

F3(x) =

x4

4− x2 + 3x + C, daca x ≤ 0

e2x

2+

1

2+ C, daca x > 0, C ∈ R,

F4(x) =

x4

4− x2 + 3x, daca x ≤ 0

e2x

2+

3

2+ C, daca x > 0, C ∈ R.

a) F1(x) b) F2(x) c) F3(x)

d) F4(x) e) nici una f) Fi(x), i = 1, 4

AM 124 Fie functia f : R→ R, definita prin

f(x) =

11− 4 sin 3x

xdaca x > 0

m , daca x = 0

e−3x − 3 + n , daca x < 0 .

Sa se determine m,n ∈ R astfel ıncat functia f sa admita primitive.


a) m = 1, n = −1 b) m = 1, n = 1 c) m = −1, n = 1

d) m = −1, n = −1 e) m = 0, n = 1 f) m = −1, n = 0

AM 125 * Calculati o primitiva functiei f : R→ R,

f (x) =

{x2 − x, x < 1

sin πx, x ≥ 1 .

a) F (x) =

x3

3− x2

2, x < 1

−cos πx

π− 1

π, x ≥ 1

b) F (x) =

x3

3− x2

2+

1

6, x < 1

−cos πx

π− 1

π, x ≥ 1

c) F (x) =

x3

3− x2

2, x < 1

−cos πx

π, x ≥ 1

d) F (x) =

x3

3− x2

2+

1

6, x < 1

−cos πx

π, x ≥ 1

e) F (x) =

x3

3− x2

2+ 1, x < 1

−cos πx

π+ 2, x ≥ 1

f) F (x) =

x3

3− x2

2+ 3, x < 1

−cos πx

π− 1, x ≥ 1

AM 126 Se considera functia F : R→ R,

F (x) =

{x + sin x, x > 0

1− cos x, x ≤ 0 .

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

a) F este primitiva lui f (x) =

{1 + cos x, x > 0

− sin x, x ≤ 0

b) F este primitiva lui f (x) =

{1− cos x, x > 0

sin x, x ≤ 0

c) F nu este derivabila pe R


d) F este primitiva lui f (x) =

{1 + cos x, x > 0

sin x, x ≤ 0

e) F este primitiva lui f (x) =

{1− sin x, x > 0

cos x, x ≤ 0

f) F este primitiva lui f (x) =

{1− cos x, x > 0

− sin x, x ≤ 0

AM 127 * Se considera functia F : R→ R ,

F (x) =

{2 (1 + x

√x) , x ≥ 0

2 cos x, x < 0 .

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

a) F este primitiva lui f (x) =

{3√

x, x ≥ 0

− sin x, x < 0

b) F este primitiva lui f (x) =

{2 +

√x, x ≥ 0

−2 sin x, x < 0

c) F nu este derivabila pe R

d) F este primitiva lui f (x) =

{2√

x, x ≥ 0

− sin x, x < 0

e) F este primitiva lui f (x) =

{x +

√x, x ≥ 0

−2 sin x, x < 0

f) F este primitiva lui f (x) =

{3√

x, x ≥ 0

−2 sin x, x < 0

AM 128 * Sa se determine constantele reale a, b, c astfel ıncat∫

2x2 + bx + 7√x2 + 4

dx = (ax + c)√

4 + x2 + b

∫1√

x2 + 4dx.


a) a = 1, b = 6, c = 6 b) a = 2, b = 3, c = 6 c) a = 1, b = 6, c = 3

d) a = 3, b = 6, c = 2 e) a = 1, b = 3, c = 3 f) a = 6, b = 3, c = 3

AM 129 Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:

∫x√

1− x4dx.

a) arcsin x2 + C, I = (−1, 1) b)arcsin x2

2+ C, I = (−1, 1)

c)arcsin x2

2+ C, I = (0,∞) d) arcsin x2 + C, I = (0,∞)

e)√

arcsin x2 + C, I = (−1, 1) f)

√arcsin x2

2+ C, I = (0,∞)

AM 130 Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:

∫tg5x

cos2 xdx.

a)1

6tg6x + C, I = (−π, π) b)

1

6tg2x + C, I = (0, 2π)

c)1

6cos2 x tg6x + C, I =

(−π

2,π

2

)d)

1

3sin2 x tg4x + C, I = (−π, π)

e)1

6tg6x + C, I =

(−π

2,π

2

)f)

1

6tg6x + C, I = (0, 2π)

AM 131 * Calculati ∫cos x√

3 + cos2 xdx.

a) arccossin x

2+ C b) arcsin

cos x

4+ C c) arcsin

cos x

2+ C

d) arccossin x

4+ C e) arcsin

sin x

2+ C f) arccos

cos x

2+ C


AM 132 Sa se calculeze∫

x2013 · ln xdx, x > 0.

a)x2014

2014(ln x2014 − 1) + C b)

x2013

2014(ln x2013 − 1) + C

c)x2013

20132(ln x2014 − 1) + C d)

x2014

20142(ln x2014 − 1) + C

e)x2014

2013(ln x2014 − ln x2013) + C f)

x2014

2013+ C

AM 133 Determinati aceea primitiva a functiei f : R → R, f (x) = x2ex

care ia valoarea 2 ın punctul x = 0.

a) (x2 − 2x + 2) ex b) x2 + 1 + ex c)x3

3+ 2ex

d) (x2 + 2x + 2) ex e)

(x3

3+ 2

)ex f) (x2 + 2) ex

AM 134 * Se considera functiile fn : R→ R

fn(x) =ex + 5

enx, n ∈ N.

Sa se determine primitiva G : R→ R a functiei g : R→ R, g(x) = f5(x), care

verifica relatia G(ln 2) =61

64.

a) G(x) =e4x

4+

e5x

5+ 1 b) G(x) = −e−4x

4− e−5x

5+ 1

c) G(x) = −e−4x

4− e−5x − 1 d) G(x) = −e−4x

4− e−5x + 1

e) G(x) = −e−4x

4+

e−5x

5− 1 f) G(x) = −e−4x

4− e−5x +

61

64


AM 135 Calculati primitivele functiei f : (0, +∞) → R, f (x) = (x + 1) ln x.

a) (x2 + x) ln x− x

2+ C b) (x2 + 1) ln x + C

c)

(x2

2+ x

)ln x− x2

4− x + C d) x ln x− x2

2+ x + C

e) (x + 1)2 1

x+ C f)

(x2

2+ x

)ln x− x2

2+ x + C

AM 136 * Calculati primitiva:

∫x2

√x2 + 4

dx.

a)x

2

√x2 + 4− 2 ln

(x +

√x2 + 4

)+ C

b)x

4

√x2 + 4− ln

(x +

√x2 + 4

)+ C

c)x

2

√x2 + 4 + ln

(x +

√x2 + 4

)+ C

d) x√

x2 + 4− 2 ln(x +

√x2 + 4

)+ C

e) x√

x2 + 4− ln(x +

√x2 + 4

)+ C

f) −x√

x2 + 4− ln(x +

√x2 + 4

)+ C

AM 137 * Calculati primitiva si precizati intervalul maxim de integrare:

∫lnn−1 x

xdx, (n ∈ N, n > 1) .

a)1

nlnn |x|+ C, I = (−1, 1) b)

1

n + 1lnn+1 |x|+ C, I = (0,∞)

c)1

n + 1lnn x + C, I = (0,∞) d)

1

nlnn x + C, I = (0,∞)

e)1

n− 1lnn |x|+ C, I = (−∞, 0) f) lnn |x|+ C, I = (0,∞)


AM 138 * Sa se calculeze∫

x·f(x2)dx, unde f : R→ R, f(x) = x1006+2014x.

a)x1007

1007+

1007x2

ln 2014+ C b)

x1008

1008+

2014x2

2 ln 2014+ C

c)x2014

2014+

2014x

ln 2014+ C d)

x2013

2013+

2014x2

ln 2014+ C

e)x1007

1007+

2x1−1 · 1007x2

ln 2014+ C f)

x2014

2014+

2x2−1 · 1007x2

ln 2014+ C

AM 139 Calculati integrala nedefinita

∫x− 3

x2 + 4x− 5dx

pe un interval I ⊂ (−∞,−5) sau I ⊂ (1,∞).

a)4

3ln |x + 5| − 1

3ln |x− 1|+ C, C ∈ R

b)1

3ln |x + 5| − 4

3ln |x− 1|+ C, C ∈ R

c)4

3ln |x + 1|+ 1

3ln |x− 5|+ C, C ∈ R

d)4

3ln |x− 1|+ 1

3ln |x + 5|+ C, C ∈ R

e)1

3ln |x− 1| − 4

3ln |x + 5|+ C, C ∈ R

f)1

2ln |x + 5| − 4

3ln |x− 1|+ C, C ∈ R

AM 140 * Calculati primitiva si precizati care din urmatoarele afirmatii esteadevarata: ∫

x + 5

3x2 − 5x + 2dx.


a) −17

3ln (3x− 2) + 6 ln (x− 1) + C, pe intervalul I =

(2

3, 1

)

b) −17

3ln (3x− 2) + 4 ln (x− 1) + C, pe intervalul I = (1,∞)

c) −17


d)1

3ln (3x− 2) + ln (x− 1) + C, pe intervalul I =

(2

3, 1

)

e)17

3ln (3x− 2) + 6 ln (x− 1) + C, pe intervalul I =

(2

3, 1

)

f) −1


AM 141 Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:∫

2x + 5

3x2 − 2x + 2dx.

a)1

3ln (3x2 − 2x + 2) +

17

3√

5arctg

2x + 5

2√

5+ C, I = (−3, 2)

b) ln (3x2 − 2x + 2) +17

3√

5arctg

6x− 2

2√

5+ C, I = (−∞,∞)

c)1

3ln (3x2 − 2x + 2) +

2

3√

5arctg

6x− 2

2√

5+ C, I = (−3, 2)

d)1

3ln (3x2 − 2x + 2) +

17

3√

5arctg

2x + 5

2√

5+ C, I = (−∞,∞)

e)1

3ln (3x2 − 2x + 2) +

17

3√

5arctg

6x− 2

2√

5+ C, I = (−∞,∞)

f)1

3ln (3x2 − 2x + 2) +

10

3√

5arctg

6x− 2

2√

5+ C, I = (−3, 2) .

AM 142 Calculati ∫x

x3 + 8dx

pe un interval ce nu contine x = −2.


a)1

12ln

(x2 − x + 2)

(x + 2)2 +1

2√

5arctg

x− 1√5

+ C

b)1

2ln

(x2 − 2x + 4)

(x + 2)2 +1√3

arctgx− 1√

3+ C

c)1

12ln

(x2 − 2x + 4)

(x + 2)2 +1

2√

3arctg

x− 1√3

+ C

d)1

12ln

(x2 + 2x + 4)

(x + 2)2 +1

2√

3arctg

x + 1√3

+ C

e)1

12ln

(x2 + 4)

(x + 2)2 +1

2√

3arctg

x + 2√3

+ C

f)1

12ln

(x3 + 8)

|x + 2| +1√3

arctgx + 2√

3+ C

AM 143 * Sa se determine primitivele functiei f : R \ {−2} → R, definitaprin

f(x) =(x− 1)(x + 2)(x + 3)

x3 + 6x2 + 12x + 8.

a) f nu admite primitive b) x− 3

x + 2− ln(x2 + 4x + 4) + C

c) x +3

x + 2− 2 ln |x + 2|+ C d) −x +

3

x + 2− 2 ln |x + 2|+ C

e) −x +3

(x + 2)2+ 2 ln |x + 2|+ C f) x− 3

(x + 2)2+ 3 ln |x + 2|+ C

AM 144 * Calculati primitiva:

∫3e3x + 2e2x

√ex + 1

dx.

a)

[1

5(ex + 1)2 +

8

3(ex + 1) + 2

]√ex + 1 + C


b)

[(ex + 1)2 +

8

3(ex + 1) + 2

]√ex + 1 + C

c)

([(ex + 1)2 − 8

3(ex + 1) + 1

]√ex + 1 + C

d)

[1

5(ex + 1)2 − 8

3(ex + 1) + 2

]√ex + 1 + C

e)

[6

5(ex + 1)2 − 8

3(ex + 1) + 2

]√ex + 1 + C

f)

[1

5(ex + 1)2 − 8

3(ex + 1)

]√ex + 1 + C

AM 145 * Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:∫

dx

(x + 1)√

x− 1.

a)√

2 arctg

√x− 1

2+ C, I = (−1, 1)

b)√

6 arctg

√x− 1

3+ C, I = (1,∞)

c)√

2 arctg

√x− 1

2+ C, I = (1,∞)

d)√

2 arctg

√x− 1

2+ C , I = (−1, 1)

e) arctg

√x− 1

2+ C, I = (−1, 1)

f) arctg√

x− 1 + C, I = (1,∞)

AM 146 * Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:∫

dx

x +√

x2 − 3.


a)x2

6− x

6

√x2 − 3 +

1

2ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(−√3,√

3)

b)x2

3− x

2

√x2 − 3 + ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(−√3,√

3)

c)x2

2− x

2

√x2 − 3 +

1

3ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(√3,∞)

d)x2

6− x

6

√x2 − 3 +

1

2ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(√3,∞)

e)x2

2− x

6

√x2 − 3 +

1

6ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(−√3,√

3)

f)x2

4− x

6

√x2 − 3 +

1

3ln

(x +

√x2 − 3

)+ C, I =

(√3,∞)

AM 147 Sa se calculeze∫

1√e2x − 1

dx, x > 0.

a) − arcsin e−x + C, C ∈ R b) arcsin ex + C, C ∈ Rc) − arcsin e2x + C, C ∈ R d) − arcsin ex + C, C ∈ Re) arcsin e−2x + C, C ∈ R f) 2 arcsin e−2x + C, C ∈ R

AM 148 Calculati primitiva si precizati intervalul maxim de integrare:∫

dx√x− 1 + 3

√x− 1

.

a) 2√

x− 1− 3 3√

x− 1 + 6 6√

x− 1− 6 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (0, 1)

b)√

x− 1− 3 3√

x− 1 + 6 6√

x− 1− 6 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (1,∞)

c) 2√

x− 1 + 3 3√

x− 1 + 6 6√

x− 1− 6 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (1,∞)

d) 2√

x− 1− 3 3√

x− 1 + 2 6√

x− 1− 6 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (0, 1)

e) 2√

x− 1− 3 3√

x− 1 + 6 6√

x− 1− 2 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (0, 1)

f) 2√

x− 1− 3 3√

x− 1 + 6 6√

x− 1− 6 ln(

6√

x− 1 + 1)

+ C, I = (1,∞)


AM 149 * Sa se calculeze∫

(sin x + 1) · (1 + tan2 x)

cos xdx, x 6= kπ

2, k ∈ Z.

a)sin2 x + sin x

2 cos2 x+

1

4ln

∣∣∣∣sin x + 1

sin x− 1

∣∣∣∣ + C b)tan2 x

2+

1

4ln

∣∣∣∣sin x− 1

sin x + 1

∣∣∣∣ + C

c)sin2 x + sin x

2 cos2 x+

1

4ln

∣∣∣∣sin x− 1

sin x + 1

∣∣∣∣ + C d)sin x + 1

2 cos2 x+

1

4ln

∣∣∣∣sin x + 1

sin x− 1

∣∣∣∣ + C

e)1

2ln

∣∣∣∣cos x− 1

cos x + 1

∣∣∣∣ + tan2 x + C f)sin2 x + 1

4 cos2 x+

1

2ln

∣∣∣∣sin x + 1

sin x− 1

∣∣∣∣ + C

AM 150 Calculati primitiva si precizati intervalul de integrare:∫

dx

sin x + 2 cos x− 3.

a) arctg

(1

3− 5

3tg

x

2

)+ C, I = (−π, π)

b) arctg

(1

2− 5

2tg

x

2

)+ C, I = (−π, π)

c) arctg

(3

2− 5

2tg

x

2

)+ C, I = (0, 2π)

d) arctg

(3

2− 1

2tg

x

2

)+ C, I = (−π, π)

e) arctg

(1

2− 5

2tg

x

2

)+ C, I = (0, 2π)

f) arctg

(1

2− 3

2tg

x

2

)+ C, I = (0, 2π)

AM 151 * Sa se calculeze

I =

∫cos x

sin x + cos xdx, x ∈

(−π

4,3π

4

).


a) I =1

2(x− ln | sin x + cos x|) + C, C ∈ R

b) I =1

2(x + ln | sin x− cos x|) + C, C ∈ R

c) I =1

2(−x + ln | sin x− cos x|) + C, C ∈ R

d) I =1

2(ln | sin x + cos x| − x) + C, C ∈ R

e) I =1

2ln | sin x + cos x|+ C, C ∈ R

f) I =1

2(x + ln | sin x + cos x|) + C, C ∈ R

AM 152 Sa se studieze integrabilitatea functiei f : [a, b] ⊂ R → R, undea < 0 < b,

f(x) =

{1 + x2, x < 0

cos x x ≥ 0

si sa se calculeze ∫ π

−1

f (x) dx.

a)4

3b)

4π

3c)

2π

3d)

π

3e)

2

3f)

1

3

AM 153 * Calculati integralele

I = 2

∫x + 3

x2 + 6x + 10dx si J =

1∫

−1

x

(x + 3)2 + 1dx.

a) I = ln (x2 + 6x + 10) + C, J =1

2ln

17

5− 3 arctg

2

9

b) I = ln (x2 + 6x + 10) + C, J =1

2ln

17

5− 3 arctg 4

c) I = x arctg (x + 3) + C, J =1

2ln

17

5− 3 arctg

2

9


d) I = x2 arctg (2x + 5) + C, J =1

2ln

17

15

e) I = ln (x2 + 6x + 10) + C, J =1

2ln

17

15+ 3 arctg 2

f) I = arctg (x2 + 6x + 10) + C, J =1

2ln

17

5− 3 arctg

2

9

AM 154 Sa se calculeze

0∫

−1

|4x2 − 11x− 3|dx.

a)23

6b) −23

6c)

37

96d)

135

32e)

221

48f)

435

96

AM 155 Calculati integrala definita:

1∫

−2

ex (x + |x|) dx.

a) 5 b) 6 c) 1 d) 0 e) 4 f) 2

AM 156 * Calculati integrala

I =

∫ 1

−2

ex (x + |x + 1|) dx.

a) e−2 − 2e−1 + e b) e−2 + 2e−1 + e c) 2e−2 + 2e−1 + e

d) e−2 + 2e−1 + 2e e) e−2 − 2e−1 − e f) e−2 + 2e−1 − 2e

AM 157 * Daca [a] reprezinta partea ıntreaga a lui a ∈ R, sa se calculeze

2012∫

2

([x]− 1)dx.


a) 2011 · 2012 b) 1005 · 2011 c) 1005 · 2012

d) 2010 · 2011 e) 1005 · 2010 f) 1005 · 2009

AM 158 * Calculati integrala definita

e∫

1

(x− 2

x

)ln x dx.

a)e2 − 3

4b) 2 ln (e2 − 3) c)

6− e2

4

d) 2 ln (e− 1) e)e2 − 2

4f) e− 2

e

AM 159 Sa se calculeze integrala

π/3∫

0

sin x · e−3xdx.

a)1

10e−π(1− 3

√3 + e2π) b)

1

10e−π

c) 0 d)1

20e−π(−1− 3

√3 + eπ)

e)1

20e−π(1− 3

√3 + 2eπ) f)

1

10e−π(−1− 3

√3 + 2eπ)


e8∫

e2

ln√

x

xdx.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 0 e) 1 f) 10



ln 3∫

0

e3x

e6x + 5dx.

a)1

5√

3

(arctg

√3

5− arctg

1

5

)b)

1

5√

3

(arctg

5√3− arctg 5

)

c)1

3√

5

(arctg

27√5− arctg

1√5

)d)

1

3√

5

(arctg

1√5− arctg

27√5

)

e)1

3√

5

ln 27√5

f)1

5√

3

(arctg

27√3− arctg

1

5

)

AM 162 * Calculati integrala definita:

π∫

0

(x cos x)2 dx.

a)π2

3+

π

4b)

π3

6+

π

2c)

π2

6+

π

5

d)π3

6+

π

4e)

π3

6+

3π

4f)

π2

6+

π

2


√5∫

√3

x arcsin(x2 − 4

)dx.

a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) π f) 2π



√3∫

√3

3

arctg1

xdx.

a)1

6+

ln 3

2b)

π

6+

ln 3

2c)

π

6√

3+

ln 3

2

d)π

6√

3+

ln 2

3e)

π

2√

3+

ln 3

2f)

π√3

+ln 3

2


1∫

−1

x3 cos x

1 + x4dx.

a) −1 b) 0 c) 2 d) −2 e) π f) 1

AM 166 Calculati integrala

I =

∫ 2

−2

x (x + 1)

x6 + 64dx.

a)π

8b)

π

64c)

π

16d)

π

12e)

π

48f)

π

24

AM 167 * Care este valoarea integralei

5∫

−5

x9

x18 + 3dx?

a)1

5arctg(59 + 3) b) −1

5arctg(59 + 3) c)

1

10ln 59

d) 0 e) −1 f)1

5


AM 168 * Se considera integrala

I =

a∫

−a

x2

ex + 1dx.

Sa se determine a ∈ R astfel ıncat valoarea integralei sa fie -81.

a) a = 1 b) a = 3 c) a = −√3

d) a = −3 3√

3 e) a = −33√

32 f) a = 33√

32


1∫

0

ln(x +

√1 + x2

)√

1 + x2dx.

a)1

2ln

(1 +

√2)

b)1

2ln

(3 + 2

√2)

c) ln2√(

1 +√

2)

d) ln2(1 +

√2)

e)1

2ln2

(1 +

√2)

f)1√2

ln(1 +

√2)


e∫

1

√ln x

x(1 +

√ln x

)3dx.

a) ln 2− 3

4b) 2 ln 3− 5

4c) ln 2− 7

4

d) 2 ln 2 +5

4e) 2 ln 2− 5

4f) 2 ln 2− 5

6

AM 171 * Sa se calculeze integrala

1∫

0

2x3+5x · ln 3x6+10x4+25x2 · (3x2 + 5)dx.


a)ln 3

ln 2(2304 ln2 2− 768 ln 2 + 126) b)

ln 2

ln 3(2304 ln3 2− 768 ln 3 + 126)

c)ln 3

ln2 2(2304 ln2 2 + 768 ln 3 + 126 ln 2) d)

ln 3

ln3 2(2304 ln2 3− 768 ln 2 + 126 ln 3)

e)ln 3

ln3 2(2304 ln2 2− 768 ln 2 + 126) f)

ln 3

ln3 2(2304 ln2 2 + 768 ln 2− 126)

AM 172 Sa se calculeze

2∫

0

3x + 1√x2 + 5

dx.

a) ln√

5 b) 9 + 3√

5− ln√

5 c) ln9√5

d) 9− ln√

5 e) 9− 3√

5 + ln√

5 f) 3√

5− 9− ln√

5

AM 173 Sa se calculeze2∫

1/2

1

x(x6 + 1)dx.

a) ln 3 b) ln 2 c) ln3

2

d) ln2048

1025e)

1

6· ln 348

123f)

2

3· ln 3

2


2∫

1

√x− 1

3− xdx.


a)π

2− 1 b) π − 3 c) 3π d) π − 2 e) 2π f) π

AM 175 * Sa se calculeze integrala definita

I =

π/4∫

0

ln(1 + tgx)dx.

a)π

3ln 2 b)

π

8ln 5 c)

π

8ln 3 d)

π

8ln 2 e)

π

4ln 3 f)

π

6ln 5

AM 176 * Sa se calculezeπ/3∫

π/6

1

cos xdx.

a)1

2ln

2−√3

2 +√

3b)

1

3ln

2−√3

2 +√

3c)

1

2ln

∣∣∣∣∣2 +

√3

3√

3− 6

∣∣∣∣∣

d)1

3ln

∣∣∣∣∣2 +

√3√

3− 2

∣∣∣∣∣ e)1

2ln

∣∣∣∣∣

√2− 3√2 + 3

∣∣∣∣∣ f)1

3ln

√2 + 3

3−√2

AM 177 Calculati integrala definita

π/2∫

0

cos5 xdx.

a)8

5b)

4

15c)

8

3d)

8

15e)

2

15f)

6

13

AM 178 Calculati integrala definita

π/2∫

0

sin4 xdx.


a)3π

8b)

π

15c)

3π

16d)

6π

13e)

π

16f)

5π

16


π∫

0

dx

5− 4 cos x.

a)π

4b)

π

3c)

π

5d)

π

6e)

π

2f) π


π/4∫

0

tgx

1 +√

2 cos xdx.

a) ln 2(2−√2

)b) ln 2

(2 +

√2)

c) ln(2−√2

)

d) ln 4(2−√2

)e) ln 4

(2 +

√2)

f) ln(2 +

√2)


π/4∫

π/6

1

2 cos2 x tgxdx.

a) − ln 3

4b)

ln 3

4c)

1

4ln

√3

3

d) ln3

4e)

ln√

3

4f)

1

2ln

√3

3

AM 182 Care din intervalele precizate mai jos contine numarul

I =

∫ 2

1

(1 +

√x)10

dx?


a)

(311 − 211

11, 310

)b)

(37 − 27

7,38 − 28

8

]c) (2, 28)

d)

[28,

37 − 27

7

]e)

(38 − 28

8, 29 3√

4

)f)

[29 3√

4,311 − 211

11

]

AM 183 Determinati imaginea intervalului [0, 2] prin functia de gradul aldoilea f : R→ R, f (x) = 16 + 22x − 11x2 si folosind rezultatul obtinut,precizati intervalul I ce contine valoarea integralei

J =

∫ 2

0

3√

16 + 22x− 11x2dx.

a) Imf = [8, 16]

I =[4 3√

2, 6]

b) Imf = [16, 27]

I =[4, 4 3

√2]

c) Imf = [8, 16]

I =[4, 4 3

√2]

d) Imf = [16, 27]

I =[4 3√

2, 6]

e) Imf = [27, 36]

I =[2, 2 3

√2]

f) Imf = [27, 36]

I =[6, 6 3

√2]

AM 184 * Fara a calcula integrala

I =

∫ 2

0

3√

16 + 22x− 11x2dx,

precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

a) I ∈ (2 3√

11, 4 3√

2)

b) I ∈ [4, 2 3

√11

]c) I ∈ (

6, 4 3√

4)

d) I ∈ [4 3√

2, 6]

e) I ∈ (2 3√

44, 8)

f) I ∈ [4 3√

4, 2 3√

44].

AM 185 Se considera functia f : R → R, f(x) = 53x2013 + 7x2010 + 9. Sase calculeze

limx→∞

1

19x2014

x∫

0

f(t)dt.

a) 2 b)1

2c)

53

9d)

1

722e)

3

722f)

1

19


AM 186 * Fie n ≥ 2 un numar natural fixat. Determinati parametrul kpentru care are loc egalitatea

1∫

0

(n√

x + n√

1− x)dx = k

1∫

0

(xn + (1− x)n) dx.

a) k =1

n√

nb) k =

1

n− 1c) k = n

d) k = n− 1 e) k =1

nf) k = n

√n

AM 187 Se considera sirul (In)n∈N, definit prin

In =

1∫

0

xn

x2 + 2x + 2dx, n ∈ N.

Sa se calculeze In+2 + 2In+1 + 2In.

a)1

n + 1b)

1

nc) 1 d) n e)

n

n2 + 2n + 2f) 0

AM 188 * Sa se stabileasca o relatie de recurenta, precum si legatura dintreele, pentru integralele

In =

π/2∫

0

sinn xdx, Jn =

π/2∫

0

cosn xdx, n ∈ N.

a) In = Jn =n− 1

nIn−1, n ≥ 1 b) In−1 = Jn =

n− 1

nJn−1, n ≥ 1

c) In = Jn =n− 1

nIn−2, n ≥ 2 d) In = Jn =

n + 1

nIn−1, n ≥ 1

e) I2n = J2n−1 =n− 1

2In−1, n ≥ 1 f) In = J2n+1 =

n + 1

2In−2, n ≥ 2


AM 189 Sa se stabileasca o relatie de recurenta pentru integralele In, n ∈N∗, unde

In =

π/4∫

0

tg2nxdx.

a) In =1

2n− 2− In−1, n > 1 b) In =

1

2n− 2− In−2, n > 1

c) In =1

2n− 1+ In−1, n > 1 d) In =

1

2n− 1− In−2, n > 2

e) In =1

2n+

1

2n− 1− In−2, n > 2 f) In =

1

2n− 1− In−1, n > 1

AM 190 * Se considera

In =

3∫

2

xn

x− 1, ∀n ∈ N∗.

Calculand initial In − In−1, sa se determine care din relatiile urmatoare esteadevarata.

a) In = 1− ln 2 +n∑

k=2

3k − 2k

kb) In = 1 + ln 2 +

n∑k=2

3k − 2k

k

c) In = 1− ln 2−n∑

k=2

3k + 2k

kd) In = 1− ln 2 +

n∑k=2

3k + 2k

k

e) In = 1 + ln 2−n∑

k=2

3k + 2k

kf) In = 1 + ln 2−

n∑k=1

3k + 2k

k

AM 191 Se se calculeze aria subgraficului functiei f : [1, 2] → R,

f(x) =2x− 3√x2 + 1

.


a) 2(√

5−√2) + 3 ln(√

2 + 1)(2−√5)

b)√

5−√2 + 3 ln(√

2 + 1)(2−√5)

c) 2(√

5−√2) + 3 ln(√

2 + 1)(√

5− 2)

d) 2(√

5−√2) + ln(√

2 + 1)(√

5− 2)

e) 2(√

5 +√

2) + 3 ln(√

2 + 1)(2 +√

5)

f) 2(√

5−√2)− 3 ln(√

2 + 1)(√

5− 2)

AM 192 * Se considera functia f : R → R, f(x) = x3√

2 + 3x4. Care estearia portiunii plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , dreptele x = 0, x = 1 siaxa Ox?

a)1

3(5√

5− 2√

2) b)1

6(5√

5− 2√

2) c)1

12(5√

5− 2√

2)

d)1

18(5√

5− 2√

2) e)1

18(2√

2− 5√

5) f) 2

AM 193 Calculati aria suprafetei cuprinse ıntre graficul functiei f : R→ R,

f (x) =x− 2√x2 + 4

,

axa Ox si dreptele x = 1 respectiv x = 3.

a)√

13 + 4 ln(2 + 2

√2)

b)√

5 +√

13− 4√

2 + 2 ln

(3 + 2

√2) (√

5− 1) (√

13− 3)

4

c) 13√

5− 4 ln(3 + 2

√2)

d) 4√

2 +√

13−√5 + 2 ln

(3 + 2

√2) (√

5− 1) (√

13− 3)

4

e) 5√

13− 4 ln(3 + 2

√2)

f) 4√

2 + 2√

13 + 4√

5 + 2 ln(√

5 + 1)


AM 194 Calculati aria marginita graficul functiei f : [0,∞) → R,

f (x) =

{x ln2 x, x > 0

0, x = 0

si axa Ox.

a)e

2b)

1

4c) 2 d) 1 e)

2

ef)

1

2

AM 195 Calculati aria cuprinsa ıntre graficul functiei f : (0,∞) → R,

f (x) = x ln2 x, axa Ox si dreptele x =1

esi x = e.

a)e2

4− 5

4e2b)

e2

4− 3

4e2c)

e2

8− 5

4e2

d)e2

4− 7

4e2e)

e2

2− 5

4e2f)

e

4− 5

4e2

AM 196 * Calculati aria cuprinsa ıntre graficul functiei f : (0,∞) → R,

f (x) =ln x√

x,

axa Ox si dreptele x =1

e2si x = 1.

a) 8− 4

eb) 4− 8

ec) 4− 4

e2

d) 8− 8

e2e) 4− 8

e2f) 4− 4

e

AM 197 Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse ıntre graficul functieif : (0,∞) → R,

f(x) =

(10x− 3

x

)ln x,

axa Ox si dreptele x = 1 si x = e2.


a)15e2 − 7

2b)

15e2 − 1

2c)

15e4 − 7

2

d)7e4 − 15

2e) 10e4 − 7

2f) 10e2 − 7

2

AM 198 * Fie functia f : R∗ → R,

f(x) =2x3 − x2 − 3x + 6

x2(x2 + 3).

Sa se calculeze aria suprafetei plane marginite de graficul functiei f , axa Oxsi dreptele x = 1 si x =

√3.

a) 2 +2√

3

3− π

4√

3− ln

4

3+

ln 2

2b) −2 +

2√

3

3− π

4√

3− ln

3

4+

ln 2

2

c) 2− 2√

3

3− π√

3+

3

2ln

3

2d) 2− 2√

3− π

4√

3− ln

4

3+

ln 2

2

e) 1− 2√

3

3− 3π

√3 +

3

2ln

3

2− ln

√3 f) 2− 2√

3+ π

√3 +

3

2ln

3

2− ln

√3

AM 199 Sa se calculeze aria suprafetei cuprinsa ıntre graficele functiilorf, g : [0, π] → R, f(x) = sin x, g(x) = cos x.

a) 2√

2 b) 2√

2− 2 c) 2− 2√

2

d) 3− 2√

2 e) 2 f)3√

2

2− 1

AM 200 Sa se calculeze aria domeniului plan situat deasupra axei ab-sciselor, marginit de parabola y = 4− x2.

a)33

2b)

32

3c)√

3 d) 1 e)32

5f) 4

AM 201 Sa se determine aria domeniului plan cuprins ıntre parabolay = x2 − 4x + 2 si dreapta y = 2.


a) ln 2 b) ln 32 c) ln32

3d)

32

3e)

32

5f)

34

3

AM 202 * Sa se determine aria figurii plane situate ın cadranul IV marginitade parabola y2 = 9− 2x si dreapta 2x− 3y = 9.

a) 9 b)9

2c) 3 d) 18 e) 24

√3 f)

9

4

AM 203 Sa se determine aria domeniului plan marginit de dreptele x = 0,3x− 2y = −6, 5x + 2y = −10.

a) 16 b) 16√

2 c) 8√

2 d) 32 e) 8 f) 4.

AM 204 Se considera functia f : R → R, f(x) = 2x + 7. Sa se determinea ∈ R, astfel ıncat volumul corpului obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox algraficului functiei h : [0, 1] → R, h(x) = f(ax) sa fie minim, pentru oricex ∈ [0; 1].

a) a =20

8b) a = −21

4c) a =

23

8

d) a = −21

8e) a = − 4

21f) a = − 8

20

AM 205 * Sa se calculeze volumul corpului de rotatie determinat prin rotireaın jurul axei Ox a subgraficului functiei f : [0, 1] → R, f(x) = x 4

√2x3 + 4.

a)π

6(6√

6− 2√

2) b)π

3(6√

6− 8) c)π

2(6√

6− 8)

d)π

9(8− 6

√6) e)

π

9(6√

6− 8) f) 6π√

6

AM 206 Sa se determine volumul corpului de rotatie obtinut prin rotireaın jurul axei Ox a subgraficului functiei f : [5, 7] → R,

f(x) =1√

x2 − 16.


a)π

8ln

11

27b)

π

8ln

27

11c)

π

8ln

1

8

d)π

8arcsin

11

27e)

π

8arcsin

27

11f)

π

8arcsin

1

8

AM 207 Sa se determine volumul corpului de rotatie generat prin rotirea

ın jurul axei Ox a subgraficului functiei f :

[0,

1

2

]→ R, f(x) = x + e−2x.

a) π

(1

2− 3

4e2

)b) π

(1

3− 1

4e2+

1

e

)c) π

(19

24− 1

4e2− 1

e

)

d) π

(19

24+

1

4e2− 1

e

)e) π

(19

24− 1

4e2+

1

e

)f) π

(19

27+

1

4e2+

3

e

)

AM 208 * Fie f : [−1, 1] → R,

f(x) =

x2

√x2 + 1

, x ∈ [−1, 0]

x, x ∈ (0, 1].

Sa se determine volumul obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox al graficuluifunctiei g : [−1, 0] → R, g(x) = f(x).

a)2

3π +

π2

4b) −2

3π +

π2

4c) −2

3π + π2

d)2

3π + π2 e) −1

3π +

π2

8f)

1

3π +

π2

8

AM 209 Se considera functiile f, g : R→ R,

f(x) = e−3x sin 4x, g(x) = e−3x cos 4x.

Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia ın jurul axei Ox al grafi-cului functiei h : [0, ln 2] → R, unde h(x) = f 2(x) + g2(x).


a)212 − 12

12 · 212π b)

212 − 1

212π c) (ln 212 − 1)π

d)26 − 1

26π e)

212 − 1

12 · 212π f)

2−6 + 1

6 · 2−6π

AM 210 * Determinati parametrul m asa ıncat volumul corpului obtinutprin rotirea graficului functiei

f : [1, 2] → R, f (x) = 2(x− m

x

)

ın jurul axei Ox sa fie egal cu volumul unei sfere de raza 1.

a) 3 b) 2 c) −1 d) −2 e) 4 f) −3

AM 211 Calculati volumul corpului obtinut prin rotirea ın jurul axei Ox agraficului functiei f : [1, 3] → R ,

f (x) =

√ln (1 + x)

x.

a) π ln53√

4b) π ln

43√

3c)

3π3√

4

d)4π3√

3e) π ln

33√

4f) π ln

23√

5

AM 212 * Calculati volumul corpului obtinut prin rotirea ın jurul axei Oxa graficului functiei f : [1, 3] → R,

f (x) =x− 2√x2 + 4

.

a) π ln5

13b) 3π ln

13e

5c) π ln

5

13

d) 3π ln5e

13e) 2π ln

13

5ef) 2π ln

5e

13

AM 213 * Calculati volumul corpului obtinut prin rotirea ın jurul axei Ox

a graficului functiei f :[0,

π

2

]→ R , f (x) = sin2 x.

a)3π2

4b)

3π

4c)

3π

16d)

3π2

8e)

3π2

16f)

3π

8


ANEXE

Subiecte date la admitere ın anii 2011,2012 si 2013 cu solutii complete


AC+ETCUNIVERSITATEA “POLITEHNICA” DIN TIMISOARASESIUNEA: IULIE, DATA 19.07.2011 APROBA: MATEMATICA

1.(8p) Determinati expresia analitica a functiei de gradul al doilea

f : R→ R , f(x) = ax2 + 4x + c,

stiind ca graficul ei trece prin punctul A(0, 1) si are abscisa varfului −1.

a) f(x) = 2x2 + 4x + 1 b) f(x) = 2x2 + 4x− 1

c) f(x) = 4x2 + 4x + 1 d) f(x) = 3x2 + 4x + 1

e) f(x) = x2 + 4x + 1

2.(7p) Fie A =

(1 0−2 1

). Sa se calculeze A3.

a)

(0 00 0

)b)

(1 06 1

)c)

(1 −60 1

)

d)

(1 0−6 1

)e)

(6 00 6

)

3.(10p) Sa se determine m ∈ R astfel ca sistemul

2x + y = 8

x− y = m

5x + 4y = 23

sa fie compatibil.

a) 0 b) 1 c) 20 d) 23 e) 8

ANEXE 167

4.(9p) Se considera expresia E(x) = log4 x+logx 4. Determinati valorile luix ∈ R astfel ıncat

E(x) =5

2.

a) x ∈ (1, 2) b) x ∈ (0, 1) ∪ (2, 16) c) x ∈ {2, 16}d) x ∈ {4, 8} e) x ∈ {8, 32}

5.(8p) Se considera multimea G = (−1, +∞) si legea de compozitie

x ◦ y = xy + ax− by, (∀) x, y ∈ G,

unde a, b ∈ R. Sa se determine valorile lui a si b pentru care (G, ◦) este grupabelian.

a) a = 1, b = 0 b) a = b = 1 c) a = 1, b = −1

d) a = b = −1 e) a = 0, b = 1

6.(8p) Sa se calculeze

1

sin2 15◦− 1

cos2 15◦.

a) 4√

3 b) 16 c) 24 d) 4√

2 e) 8√

3

7.(8p) Fie ın planul (xOy) punctul M(−2, 6) si dreapta (d) : x+2y−5 = 0.Sa se afle distanta de la punctul M la dreapta (d).

a)3√

5

2b)√

5 c) 3√

5 d)5√

5

3e)

√5

3

8.(8p) Fie functia f : R \{

3

2

}→ R, definita prin

f(x) =

√4x2 + 1

2x− 3.

Sa se determine asimptotele la graficul acestei functii.


a) x =3

2, y =

1

2, y = −1

2b) x =

3

2, y = x

c) x =3

2, y = x +

1

2d) x =

3

2, y = 0

e) x =3

2, y = 1, y = −1

9.(7p) Sa se determine punctul P de pe graficul functiei f(x) = ex − x, ıncare tangenta la grafic trece prin origine.

a) P (0, 1) b) P (1, e− 1) c) P (1, 1 + e)

d) P (2, e2 + 2) e) P (−2, e−2 − 2)

10.(9p) Calculati valoarea integralei

I =

∫ 2

0

(|x− 1|+ |x + 1|)dx .

a) 8 b) 5 c) 10 d) 9 e) 7

11.(8p) Calculati aria domeniului marginit de curbele y = x2− 2x si y = x.

a)27

2b)

19

2c)

25

2d)

13

2e)

9

2

12.(10p) Care sunt valorile parametrului real m pentru care functia

f : R \ {1, 4} → R, f(x) =2m− x

x2 − 5x + 4

nu are puncte de extrem?

a) m ∈(−1

2, 0

)b) m ∈ (5, 8) c) m ∈

(−3

2, 0

)

d) m ∈ (2, 7) e) m ∈[1

2, 2

]

ANEXE 169

2011 SOLUTII AC+ETC

1. Gasim parametrii a si c rezolvand sistemul

f(0) = 1

− 4

2a= −1

⇔{

c = 1

a = 2⇔ f(x) = 2x2 + 4x + 1.

Raspuns corect: a).

2. A2 =

(1 0−4 1

)si A3 =

(1 0−6 1

).

Raspuns corect: d).

3. Fie

A =

2 11 −15 4

[respectiv A =

2 1 81 −1 m5 4 23

]

matricea (respectiv matricea extinsa) asociata sistemului. Cum

∣∣∣∣2 11 −1

∣∣∣∣ = −3 6= 0 ⇒ rang A = 2.

Dar sistemul este compatibil, rezulta ca rang A = 2, adica

det A = 0 ⇔ −3m + 3 = 0 ⇔ m = 1.

Raspuns corect: b).

4. Din conditiile de existenta ale logaritmului avem ca x ∈ (0, 1) ∪ (1,∞).

Notand log4 x = t avem ecuatia 2t2 − 5t + 2 = 0 cu solutiile t1 = 2 si t2 =1

2,

de unde obtinem x1 = 16 si x2 = 2.

Raspuns corect: c).


5. Din comutativitatea legii de compozitie rezulta ca a = −b, iar dinasociativitate si faptul ca (−1,∞) este parte stabila a lui R ın raport cu aceastalege avem ca a = 1.

Raspuns corect: c).

6.1

sin2 15◦− 1

cos2 15◦=

cos2 15◦ − sin2 15◦

sin2 15◦ · cos2 15◦= 4 · cos2 15◦ − sin2 15◦

(2 sin 15◦ · cos 15◦)2=

= 4 · cos 2 · 15◦

(sin 2 · 15◦)2= 4 · cos 30◦

(sin 30◦)2= 8

√3 .

Raspuns corect: e).

7. d(M, d) =|xM + 2yM − 5|√

12 + 22=| − 2 + 2 · 6− 5|√

5=√

5 .

Raspuns corect: b).

8. Cum

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

|x|√

4 +1

x2

x

(2− 3

x

) = ±1,

(respectiv

limx→ 3

2

f(x) = limx→ 3

2

√4x2 + 1

2x− 3= ∓∞)

rezulta ca y = ±1 (respectiv x =3

2) este asimptota orizontala la±∞ (respectiv

verticala la stanga catre −∞ si la dreapta catre ∞).

Raspuns corect: e).

9. Fie P (x0, f(x0)) punctul de pe graficul lui f ın care tangenta la grafictrece prin origine.

Ecuatia tangentei la graficul lui f ın punctul P este

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0),

ANEXE 171

adicay − ex0 + x0 = (ex0 − 1)(x− x0).

Cum ea trece prin origine avem ca

−ex0 + x0 = −x0(ex0 − 1) ⇔ ex0(x0 − 1) = 0 ⇔ x0 = 1 si f(x0) = e− 1

Raspuns corect: b).

10. I =∫ 1

0(−x + 1 + x + 1)dx +

∫ 2

1(x− 1 + x + 1)dx = 2x

∣∣10+ 2 · x2

2

∣∣21

= 5.

Raspuns corect: b).

11. Punctele de intersectie dintre cele doua curbe sunt solutiile sistemului

{y = x2 − 2x

y = x⇔ x2 − 2x = x ⇔ x1 = 0 si x2 = 3

si atunci

A =

∫ 3

0

|x2 − 2x− x|dx =

∫ 3

0

(3x− x2)dx = 3 · x2

2

∣∣30− x3

3

∣∣30

=9

2.

Raspuns corect: e).

12. Cum

f ′(x) =−(x2 − 5x + 4)− (2m− x)(2x− 5)

(x2 − 5x + 4)2=

x2 − 4mx + 10m− 4

(x2 − 5x + 4)2,

functia f nu are puncte de extrem daca discriminantul ecuatiei x2 − 4mx +10m− 4 = 0 este mai mic sau egal cu 0, adica

2m2 − 5m + 2 ≤ 0 ⇔ m ∈[1

2, 2

].

Raspuns corect: e).


ARHITECTURAUNIVERSITATEA “POLITEHNICA” DIN TIMISOARASESIUNEA: IULIE, DATA 19.07.2011 APROBA: MATEMATICA

1.(8p) Fie

A =

1 0 −22 1 −1−3 −1 3

∈M3(Z).

Daca f(x) = 4x, sa se calculeze f(A).

a) f(A) =

1 0 −22 1 −1−3 −1 3

b) f(A) =

4 0 −88 4 −4−12 −4 12

c) f(A) =

4 0 −88 4 −412 4 −12

d) f(A) =

4 0 −8−8 4 −4−12 −4 12

e) f(A) =

3 0 66 3 −39 −3 9

2.(8p) Sa se determine matriceala X care verifica

(23

)·X =

( −2 4 2−3 6 3

).

a) X =

−121

b) X =

1−12

c) X =(

1 −1 2)

d) X =( −1 2 1

)

e) X =

( −1 2 10 0 0

)

ANEXE 173

3.(8p) Fie

A =

(1 30 1

).

Sa se calculeze A10.

a)

(1 310

0 1

)b)

(1 300 1

)c)

(1 290 1

)

d)

(1 270 1

)e)

(1 330 1

)

4.(9p) Sa se rezolve ecuatia:∣∣∣∣∣∣

a2 − x a2 a2

a2 a2 − x a2

a2 a2 a2 − x

∣∣∣∣∣∣= 0 , a ∈ R∗.

a) x1 = x2 = x3 = 0 b) x1 = 0, x2 = 0, x3 = a2

c) x1 = 0, x2 = x3 = 3a2 d) x1 = x2 = 0, x3 = −3a2

e) x1 = x2 = 0, x3 = 3a2

5.(7p) Sa se determine m ∈ R astfel ca sistemul

2x + y = 8

x− y = m

5x + 4y = 23.

este compatibil.

a) 0 b) 1 c) 20 d) 23 e) 8

6.(7p) Se considera functia f : R → R, f(x) = e−2x + x si x0 = 0. Sa sescrie ecuatia tangentei la graficul lui f ın punctul de abscisa x0.

a) y − x− 1 = 0 b) x + y + 1 = 0 c) x + y − 1 = 0

d) x + y = 0 e) x− y − 1 = 0


7.(10p) Se considera sistemul

3x + y − z = 5

x− 2y + z = n

mx + y + z = 6 .

Sa se determine valorile lui m ∈ R si n ∈ R astfel ıncat sistemul sa fie incom-patibil.

a) m = −11, n = −21

2b) m 6= −11, n = −21

2c) m = 11, n 6= 21

2

d) m = −11, n 6= −21

2e) m = 11, n =

21

2


limx→π

sin(2x)

sin(3x).

a) −1 b) 0 c)2

3d) −3

2e) −2

3

9.(9p) Se determine asimptotele la graficul functiei f : R→ R,

f(x) = x−√

x2 + 2x + 2.

a) y = −1 si y = 2x + 1 b) y = −1 si y = 2x− 1

c) y = 1 si y = −2x + 1 d) y = 0 si y = 2x− 1

e) y = 1 si y = 2x− 1

10.(8p) Sa se determine a ∈ R∗ astfel ıncat functia f : (0,∞) → R,

f(x) =

ln x

x− 1, daca x ∈ (0,∞) \ {1}

a2 + a + 1, daca x = 1.

sa fie continua pe domeniul de definitie.

ANEXE 175

a) a = −2 b) a = 1 c) a ∈ ∅ d) a = −1 e) a = 0

11.(10p) Sa se determine parametrii reale a si b astfel ıncat functia f : R→R, definita prin

f(x) =

{xex, x ≤ 1

ax2 + bx, x > 1,

sa fie derivabila pe R.

a) a = 2e, b = −e b) a = −e, b = 2e

c) a = 0, b = e d) a = 2e, b = −2e

e) a = e, b = 0

12.(8p) Sa se determine cea mai mica si cea mai mare valoare a functieif : R→ R, f(x) = 12x− x3 pe intervalul [−3, 5].

a) fmin = −3, fmax = 5 b) fmin = −65, fmax = 16

c) fmin = −9, fmax = 16 d) fmin = −16, fmax = 16

e) fmin = −11, fmax = 11

2011 SOLUTII ARHITECTURA

1.

f(A) = 4A = 4

1 0 −22 1 −1−3 −1 3

=

4 0 −88 4 −4−12 −4 12

Raspuns corect: b).

2. Cum matricea X trebuie sa fie de forma

X =(

a b c),


avem ca(

23

)· ( a b c

)=

( −2 4 2−3 6 3

)⇔

(2a 2b 2c3a 3b 3c

)=

( −2 4 2−3 6 3

)

de unde rezulta ca a = −1, b = 2 si c = 1, adica X =( −1 2 1

).

Raspuns corect: d).

3. Cum A = I2 + B, unde

B =

(0 30 0

)si B2 = O2,

avem

A10 = (I2 + B)10 = C010I2 + C1

10B + C210B

2 =

=

(1 00 1

)+ 10

(0 30 0

)+ 45

(0 00 0

)=

(1 300 1

).

Raspuns corect: b).

4. Adunand toate coloanele determinantului la prima, ecuatia data esteechivalenta cu

∣∣∣∣∣∣

3a2 − x a2 a2

3a2 − x a2 − x a2

3a2 − x a2 a2 − x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ (3a2 − x)

∣∣∣∣∣∣

1 a2 a2

1 a2 − x a2

1 a2 a2 − x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔

⇔ (3a2 − x)

∣∣∣∣∣∣

1 a2 a2

0 −x 00 0 −x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ x2(3a2 − x) = 0,

avand radacinile x1 = x2 = 0, x3 = 3a2.

Raspuns corect: e).

5. Vezi rezolvarea problemei 3 de la pagina 155.

Raspuns corect: b).

ANEXE 177

6. Ecuatia tangentei la graficul lui f ın punctul de abscisa x0 = 0 este

y − f(0) = f ′(0)(x− 0).

Cum f ′(x) = −2e−2x + 1, ecuatia devine

y − 1 = −x ⇔ x + y − 1 = 0.

Raspuns corect: c).

7. Fie

A =

3 1 −11 −2 1m 1 1

[respectiv A =

3 1 −1 51 −2 1 nm 1 1 6

]

matricea (respectiv matricea extinsa) asociata sistemului. Cum∣∣∣∣

1 −1−2 1

∣∣∣∣ = −1 6= 0 ⇒ rang A ≥ 2 si rang A ≥ 2.

Dar sistemul este incompatibil, rezulta ca rang A 6= rang A, adica rang A = 2si rang A = 3, ceea ce ınseamna ca

∣∣∣∣∣∣

3 1 −11 −2 1m 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣

1 −1 5−2 1 n1 1 6

∣∣∣∣∣∣6= 0

⇔{−m− 11 = 0

−2n− 21 6= 0⇔

m = −11

n 6= −21

2.

Raspuns corect: d).

8. Aplicand teorema lui L‘ Hospital limita data devine

limx→π

sin 2x

sin 3x= lim

x→π

2 cos 2x

3 cos 3x=

2 cos 2π

3 cos 3π= −2

3.

Raspuns corect: e).


9. Cum

limx→∞

(x−√

x2 + 2x + 2) = limx→∞

(x−√x2 + 2x + 2)(x +√

x2 + 2x + 2)

x +√

x2 + 2x + 2=

= limx→∞

−2x− 2

x +√

x2 + 2x + 2= lim

x→∞

−2x

(1 +

1

x

)

x

(1 +

√1 +

2

x+

1

x2

) = −1

si

limx→−∞

(x−√

x2 + 2x + 2) = limx→−∞

(x− |x|

√1 +

2

x+

1

x2

)=

= limx→−∞

x

(1 +

√1 +

2

x+

1

x2

)= −∞

rezulta ca y = −1 este asimptota orizontala la∞, iar la−∞ nu avem asimptotaorizontala. Prin urmare, cautam o asimptota oblica la −∞ de forma y =mx + n, unde

m = limx→−∞

f(x)

x= lim

x→−∞x−√x2 + 2x + 2

x= lim

x→−∞

(1 +

√1 +

2

x+

1

x2

)= 2

si

n = limx→−∞

[f(x)− 2x] = limx→−∞

(−x−√

x2 + 2x + 2) =

= limx→−∞

−(x +√

x2 + 2x + 2)(x−√x2 + 2x + 2)

x−√x2 + 2x + 2=

= limx→−∞

2x + 2

x−√x2 + 2x + 2= lim

x→−∞

2x

(1 +

1

x

)

x

(1 +

√1 +

2

x+

1

x2

) = 1.

Deci y = 2x + 1 este asimptota oblica la −∞.

Raspuns corect: a).

ANEXE 179

10. Functia f este continua pe (0,∞) daca ea este continua ın x = 1, adica

limx→1

f(x) = f(1).

Cum

limx→1

f(x) = limx→1

ln x

x− 1= lim

x→1

1

x= 1

si f(1) = a2 +a+1, rezulta ca obtinem ecuatia a2 +a+1 = 1 cu solutia nenulaa = −1.

Raspuns corect: d).

11. Problema continuitatii si a derivabilitatii functiei f se pune in x = 1.Cum

ls(1) = limx↗1

f(x) = limx↗1

xex = e,

ld(1) = limx↘1

f(x) = limx↘1

(ax2 + bx) = a + b,

functia f este continua ın x = 1 daca a + b = e si atunci ea devine

f(x) =

{xex, x ≤ 1

ax2 + (e− a)x, x > 1,

avand derivata

f ′(x) =

{ex + xex, x ≤ 1

2ax + e− a, x > 1.

Cumf ′s(1) = lim

x↗1f ′(x) = lim

x↗1(ex + xex) = 2e,

f ′d(1) = limx↘1

f ′(x) = limx↘1

(2ax + e− a) = a + e,

adica a = e si b = 0.

Raspuns corect: e).

12. Cum f ′(x) = 12 − 3x2 = −3(x2 − 4), rezulta ca x = −2 (respectivx = 2) este punct de minim (respectiv maxim) local pentru f : R → R cuf(−2) = −16 si f(2) = 16. Dar f(−3) = −9 si f(5) = −65, ceea ce ınseamna


ca valoarea minima (respectiv maxima) a functiei f : [−3, 5] → R este −65(respectiv 16).

Raspuns corect: b).

ANEXE 181

AC+ETCUNIVERSITATEA “POLITEHNICA” DIN TIMISOARASESIUNEA: IULIE, DATA 24.07.2012 BPROBA: MATEMATICA

1.(7p) Sa se rezolve ecuatia:∣∣∣∣∣∣

3− x 1 31 2− x 22 3 1− x

∣∣∣∣∣∣= 0 .

a) x1 = 6, x2 =√

2, x3 = −√2 b) x1 = 7, x2 =√

3, x3 = −√3

c) x1 = 7, x2 = 3, x3 = −1 d) x1 = x2 = 6, x3 =√

2

e) x1 = 0, x2 = −7, x3 =√

3

2.(9p) Pe multimea numerelor reale R se defineste legea de compozitie

x ∗ y = xy − x− y + 2.

Sa se determine elementul neutru ın raport cu legea considerata.

a) e = −1 b) e = 0 c) e = 2 d) e = 1 e) e =1

2

3.(8p) Sa se calculeze integrala

I =

∫ 4

2

x2 − 2x + 5

x− 1dx.

a)3

2+ 4 ln 2 b) 4(1 + ln 3) c) 4 ln 3

d) 4 + ln 3 e) 3 + 4 ln 2

4.(7p) Care este volumul corpului de rotatie generat prin rotirea ın jurulaxei (Ox) a subgraficului functiei f(x) = x + ex, x ∈ [0, 1].


a)π

6(3e2 + 8) b)

π

6(3e2 − 2) c)

π

2(e2 + 11)

d)π

6(3e2 + 11) e)

π

8(3e + 1)

5.(8p) Fie functia f : [−1,∞) → R, definita prin f(x) =√

x + 1. Sa sedetermine abscisa x0 a unui punct situat pe graficul lui f ın care tangenta lagrafic sa fie paralela cu coarda ce uneste punctele de pe grafic de abscisa x = 0,respectiv x = 3.

a)1

4b)

1

3c)

5

4d)

4

3e) −1

3

6.(10p) Fie functia f : (−∞, 0] → R, definita prin

f(x) =x2 − ax√

x2 + 1,

unde a ∈ R. Sa se determine a pentru care functia f admite un punct deextrem situat la distanta 2 de axa (Oy).

a) a = −10, a = 12 b) a = 12 c) a = 11

d) a = 1, a = 12 e) a = −12

7.(8p) Sa se determine parametrii a, b ∈ R astfel ıncat polinomul

P (x) = x4 − 2x3 + ax + b

sa fie divizibil cu polinomul Q(x) = x2 + x− 2.

a) a = 12, b = −12 b) a = 11, b = −10

c) a = −11, b = 10 d) a = 16, b = −16

e) a = 1, b = −2

8.(7p) Sa se calculeze valoarea expresiei

sin x + tgx

cos x + ctgx,

stiind ca avem cos x =2

3si x ∈

[0,

π

2

].

ANEXE 183

a)16

25(3 +

√5) b)

16

25(3−√5) c)

3

4(3−√5)

d)25

16(3 +

√5) e)

25

16(3−√5)

9.(8p) Fie ecuatia 2x2 − 3x + 1 = 0 cu radacinile x1 si x2. Sa se calculeze|x1 − x2|.

a) 1 b)3

2c)

1

2d) 0 e) 2

10.(10p) Sa se precizeze ın ce interval se afla solutia ecuatiei

Cx−4x+1 =

7

15x(x + 1)(x− 1) .

a) (10, 12) b) (4, 9) c) (9, 11) d) (11, 13) e) [−5, 9)

11.(9p) Se da dreapta de ecuatie (α− 1)x+(α− 2)y−α+3 = 0, cu α ∈ R.Fie A si B intersectiile dreptei cu axa (Ox), respectiv cu axa (Oy). Sa sedetermine α astfel ca

1

OA2+

1

OB2= 10 .

a) α1 = −5

2, α2 =

17

4b) α1 =

5

2, α2 = −17

4

c) α1 =5

2, α2 =

17

4d) α1 = −7

2, α2 =

15

4

e) α1 = −5

2, α2 = −17

4


limx→0

ex2 − 1

3x2.

a) 1 b) 3 c) 0 d)1

3e) e


2012 SOLUTII AC+ETC

1. Adunand toate liniile determinantului la prima, ecuatia data este echiva-lenta cu

∣∣∣∣∣∣

6− x 6− x 6− x1 2− x 22 3 1− x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ (6− x)

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 2− x 22 3 1− x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔

⇔ (6− x)

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1− x 12 1 −1− x

∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ (6− x)(−1 + x2 − 1) = 0,

avand radacinile x1 = 6, x2 =√

2, x3 = −√2.

Raspuns corect: a).

2. Trebuie sa se determine e ∈ R astfel ıncat x ∗ e = x pentru orice x ∈ Rsau echivalent xe − x − e + 2 = x pentru orice x ∈ R. In concluzie, relatiax(e− 2)− e + 2 = 0 are loc pentru orice x ∈ R daca e = 2.

Raspuns corect: c).

3.

I =

∫ 4

2

x2 − 2x + 5

x− 1dx =

∫ 4

2

(x− 1 +

4

x− 1

)dx =

=x2

2

∣∣42− x

∣∣42+ 4 ln |x− 1|

∣∣42

= 4 + 4 ln 3.

Raspuns corect: b).

ANEXE 185

4.

V = π

∫ 1

0

(x + ex)2dx = π

∫ 1

0

(x2 + 2xex + e2x)dx =

= π

(x3

3

∣∣10+ 2

∫ 1

0

xexdx +1

2e2x

∣∣10

)=

= π

[1

3+ 2(xex

∣∣10− ex

∣∣10) +

1

2(e2 − e0)

]=

=π

6(3e2 + 11).

Raspuns corect: d).

5. Fie A, respectiv B, punctele de pe grafic de abscisa x = 0, respectivx = 3, deci

yA = f(0) = 1 ⇒ A(0, 1)

yB = f(3) = 2 ⇒ B(3, 2).

Cum doua drepte sunt paralele daca pantele lor sunt egale, rezulta ca

f ′(x0) = mAB ⇔ 1

2√

x0 + 1=

1

3⇔ x0 =

5

4.

Raspuns corect: c).

6. Cum punctul de extrem al functiei f este situat la distanta 2 de axa (Oy)si domeniul functiei este (−∞, 0], rezulta ca punctul de extrem al functiei feste x = −2, adica f ′(−2) = 0. Dar

f ′(x) =

(2x− a)√

x2 + 1− (x2 − ax)x√

x2 + 1x2 + 1

=

=(2x− a)(x2 + 1)− x3 + ax2

(x2 + 1)√

x2 + 1=

=x3 + 2x− a

(x2 + 1)√

x2 + 1


si atunci (−2)3 + 2(−2)− a = 0, adica a = −12.

Raspuns corect: e).

7. Cum Q(x) = x2 + x− 2 = (x− 1)(x + 2) rezulta ca

Q(x) | P (x) ⇔{

P (1) = 0

P (−2) = 0⇔

{a + b = 1

−2a + b = −32⇔

{a = 11

b = −10 .

Raspuns corect: b).

8. Din formula fundamentala a trigonometriei avem

sin2 x +

(2

3

)2

= 1 ⇔ sin2 x =5

9⇔ sin x = ±

√5

3

Dar x ∈[0,

π

2

], adica sin x ≥ 0, deci sin x =

√5

3. Atunci tg x =

sin x

cos x=

√5

2

si ctg x =1

tg x=

2√5. In concluzie,

sin x + tg x

cos x + ctg x=

25

16(3−

√5) .

Raspuns corect: e).

9. Cum radacinile ecuatiei sunt x1 = 1 si x2 =1

2, rezulta ca |x1 − x2| = 1

2.

Raspuns corect: c).

10. Din conditia de existenta a combinarilor avem x ≥ 4, adica x ∈ [4, +∞).Ecuatia data poate fi scrisa

(x + 1)!

(x− 4)! 5!=

7

15x(x + 1)(x− 1)

sau echivalent

(x− 4)!(x− 3)(x− 2)(x− 1)x(x + 1)

(x− 4)! 5!=

7

15x(x + 1)(x− 1) ,

ANEXE 187

adica (x− 3)(x− 2) = 56 care are solutiile x1 = −5 si x2 = 10 ∈ [4,∞). Decix = 10 este solutia ecuatiei date.

Raspuns corect: c).

11. Fie d : (α− 1)x + (α− 2)y − α + 3 = 0, α ∈ R. Cum d ∩ (Ox) = {A},respectiv d∩ (Oy) = {B}, avem A

(α− 3

α− 1, 0

), respectiv B

(0,

α− 3

α− 2

), adica

OA =α− 3

α− 1si OB =

α− 3

α− 2. Inlocuite ın relatia data obtinem

(α− 1)2 + (α− 2)2

(α− 3)2= 10 ⇔ 8α2 − 54α + 85 = 0

cu solutiile α1 =5

2si α2 =

17

4.

Raspuns corect: c).


limx→0

ex2 − 1

3x2= lim

x→0

2xex2

6x=

1

3.

Raspuns corect: d).

ARHITECTURA

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” DIN TIMISOARA

SESIUNEA: IULIE, DATA 24.07.2012 A

PROBA: MATEMATICA


1.(7p) Fie

A =

1 0 22 1 −13 −1 3

∈M3(Z).

Daca f(x) = −x, sa se calculeze f(A).

a) f(A) =

1 0 22 1 −13 −1 3

b) f(A) =

−1 0 2−2 −1 −1−3 1 −3

c) f(A) =

−1 0 −22 1 −1−3 1 −3

d) f(A) =

1 0 2−2 −1 1−3 1 −3

e) f(A) =

−1 0 −2−2 −1 1−3 1 −3

2.(10p) Sa se rezolve ecuatia matriceala

X ·

1 2 32 3 43 4 1

=

(7 10 52 3 0

).

a) X =

(1 0 −12 −1 1

)b) X =

(1 0 21 −1 1

)

c) X =

(1 1 21 −1 1

)d) X =

(1 −1 11 0 2

)

e) X =

(0 1 2−1 1 1

)

3.(8p) Fiind data matricea

A =

1 1 00 1 10 0 1

,

sa se calculeze A5.

ANEXE 189

a) A5 =

1 5 100 1 50 0 1

b) A5 =

1 1 00 1 10 0 1

c) A5 =

1 5 00 1 50 0 1

d) A5 =

1 5 10 1 50 0 1

e) A5 =

1 5 250 1 50 0 1

4.(8p) Sa se calculeze det(A−1), daca

A =

1 2 −13 1 20 2 1

.

a)1

5b) 5 c) − 1

15d)

1

15e) −15

5.(8p) Sa se determine valoarea parametrului real a pentru care sistemul

x + 2y − 2z = −6

2x + y + z = 4

ax− 2y + 2z = 16.

este incompatibil.

a) a = 1 b) a = −1 c) a = 0 d) a = −4 e) a =1

4

6.(9p) Se considera sistemul

x + y + mz = 1

x− 2y + z = 1

mx + y + z = 1, m ∈ R .

Sa se determine parametrul real m astfel ıncat sistemul sa fie compatibil nede-terminat.


a) m = −2, m = 1 b) m = 2, m = −1 c) m = −2

d) m = 1 e) m = −1


limx→0

ex3 − 1

4x3.

a) 0 b) 1 c) 4 d)1

4e) +∞

8.(8p) Fie f : R \ {2} → R,

f(x) =x2 + 1

x2 − 4x + 4.

Sa se determine asimptotele lui f .

a) x = 2, y = x + 1 b) y = 1, x = −2 c) y = −1, x = 1

d) x = 2, x = −2, y = 1 e) x = 2, y = 1

9.(8p) Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = (x + 2) ln x. Sa secalculeze f ′(x).

a) f ′(x) = ln x +2

xb) f ′(x) = ln x + x + 2 c) f ′(x) = ln x + 1 +

2

x

d) f ′(x) = ln x− x + 2

xe) f ′(x) = x ln x + 2

x

10.(9p) Fie f : R→ R,

f(x) =

{ae3x, x ≤ 0

b√

x + 1 + 5x, x > 0, a, b ∈ R.

Sa se determine constantele reale a si b astfel ıncat f sa fie derivabila pe R.

ANEXE 191

a) a = 1, b = 2 b) a = 3, b = 1 c) a = b = 2

d) a = b = 1 e) a = b = 5

11.(8p) Fie functia f : R \ {−2, 2} → R,

f(x) =3x2 + 2x− 7

x2 − 4.

Sa se determine panta tangentei la graficul functiei ın punctul de abscisa x = 1.

a)2

3b) −20

9c)

20

9d) −2

3e) −28

9

12.(10p) Sa se afle punctele de extrem local ale functiei f : [−1, 3] → R,definita prin f(x) = −x2 + 2x + 4, precizand natura lor.

a) −1 =minim, 1 =maxim, 3 =minim b) 1 =maxim c) 1 =minim

d) −1 =maxim, 1 =minim, 3 =maxim e) −1 =minim, 3 =maxim

2012 SOLUTII ARHITECTURA

1.

f(A) = −A = −

1 0 22 1 −13 −1 3

=

−1 0 −2−2 −1 1−3 1 −3

Raspuns corect: e).

2.

X =

(7 10 52 3 0

)

1 2 32 3 43 4 1

−1

=1

4

(7 10 52 3 0

)−13 10 −110 −8 2−1 2 −1

=


=

(1 0 21 −1 1

)

Raspuns corect: b).

3. Cum A = I3 + B, unde

B =

0 1 00 0 10 0 0

, B2 =

0 0 10 0 00 0 0

si B3 = O3,

avem

A5 = (I3 + B)5 = C05I3 + C1

5B + C25B

2 =

=

1 0 00 1 00 0 1

+ 5

0 1 00 0 10 0 0

+ 10

0 0 10 0 00 0 0

=

1 5 100 1 50 0 1

.

Raspuns corect: a).

4. det(A−1) =1

detA=

1

−15= − 1

15

Raspuns corect: c).

5. Fie

A =

1 2 −22 1 1a −2 2

[respectiv A =

1 2 −2 −62 1 1 4a −2 2 16

]


∣∣∣∣∣∣

2 −2 −61 1 4−2 2 16

∣∣∣∣∣∣= 40 6= 0 ⇒ rang A = 3.

Dar sistemul este incompatibil, rezulta ca rangA < 3, adica

det A = 0 ⇔ 4a + 4 = 0 ⇔ a = −1.

ANEXE 193

Raspuns corect: b).

6. Fie

A =

1 1 m1 −2 1m 1 1

[respectiv A =

1 1 m 11 −2 1 1m 1 1 1

]


∣∣∣∣1 11 −2

∣∣∣∣ = −3 6= 0 ⇒ rang A ≥ 2 si rang A ≥ 2.

Dar sistemul este compatibil nedeterminat, rezulta ca rang A = rang A = 2,adica

∣∣∣∣∣∣

1 1 m1 −2 1m 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 −2 1m 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

⇔{

2m2 + 2m− 4 = 0

3m− 3 = 0⇔ m = 1 .

Raspuns corect: d).


limx→0

ex3 − 1

4x3= lim

x→0

3x2ex3

12x2=

1

4.

Raspuns corect: d).

8. Pentru a determina asimptotele lui f , calculam urmatoarele limite

ls(2) = limx↗2

f(x) = limx↗2

x2 + 1

(x− 2)2= +∞ ,

ld(2) = limx↘2

f(x) = limx↘2

x2 + 1

(x− 2)2= +∞ ,


de unde rezulta ca x = 2 este asimptota verticala la stanga si la dreapta catre+∞, si

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

x2 + 1

(x− 2)2= 1 ,

de unde rezulta ca y = 1 este asimptota orizontala la ±∞.

Raspuns corect: e).

9. f ′(x) = (x + 2)′ ln x + (x + 2) ln ′x = ln x +x + 2

x= ln x + 1 +

2

x.

Raspuns corect: c).

10. Problema continuitatii si a derivabilitatii functiei f se pune in x = 0.Cum

ls(0) = limx↗0

f(x) = limx↗0

ae3x = a,

ld(0) = limx↘0

f(x) = limx↘0

(b√

x + 1 + 5x) = b,

functia f este continua ın x = 0 daca a = b si atunci ea devine

f(x) =

{ae3x, x ≤ 0

a√

x + 1 + 5x, x > 0, a ∈ R,

avand derivata

f ′(x) =

3ae3x, x ≤ 0

a

2√

x + 1+ 5, x > 0, a ∈ R.

Cumf ′s(0) = lim

x↗0f ′(x) = lim

x↗03ae3x = 3a,

f ′d(0) = limx↘0

f ′(x) = limx↘0

(a

2√

x + 1+ 5

)=

a

2+ 5,

functia f este derivabila ın x = 0 daca 3a =a

2+ 5, adica a = 2.

Raspuns corect: c).

ANEXE 195

11. f ′(x) =(6x + 2)(x2 − 4)− 2x(3x2 + 2x− 7)

(x2 − 4)2=

−2(x2 + 5x + 4)

(x2 − 4)2.

Panta tangentei la graficul functiei ın punctul de abscisa x = 1 este

f ′(1) = −20

9.

Raspuns corect: b).

12. Graficul functiei este o parabola cu varful maxim ın V (1, 5), de underezulta ca functia este crescatoare pe intervalul [−1, 1] si descrescatoare pe(1, 3]. In concluzie, x = −1 si x = 3 sunt puncte de minim local, iar x = 1este punct de maxim local.

Raspuns corect: a).


Bibliografie

[1] C. Angelescu, N. Baciu, O. Badescu, Matematica M2 - Ghid de pregatirepentru bacalaureat 2012, Editura SIGMA Bucuresti, 2011, ISBN: 973-649-665-3;

[2] T. Banzaru, N. Boja, O. Lipovan, A. Kovacs, G. Babescu, P. Gavruta,D. Rendi, I. Mihut, D. Daianu, D. Paunescu, C. Milici, R. Anghelescu,Teste grila de matematica pentru examenul de bacalaureat si admitereaın ınvatamantul superior, Editura Politehnica 2010;

[3] M. Burtea, G. Burtea, C. Burtea, Matematica: Culegere de probleme,clasa a X-a, Editura Carminis, 2005;

[4] M. Burtea, G. Burtea, Matematica: Culegere de probleme, clasa a XII-a,Editura Carminis, 2002;

[5] Gh. Cenusa, V. Burlacu, M. Covrig, B. Iftime, I. Mircea, C. Raischi, R.Serban, O. Veghes, Admitere ASE Bucuresti, Teste grila si autoevaluare,2005-2008, Editura Cison, Bucuresti;

[6] C. Cosnita, F. Turtoiu, Probleme de algebra, Ed. Tehnica, Bucuresti,1989;

[7] *** Gazeta Matematica;

[8] I. D. Ion, N. Radu, C. Nita, D. Popescu, Probleme de algebra, Ed. Di-dactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981;

[9] Manuale alternative de Matematica, aprobate de Ministerul EducatieiNationale;

[10] I. B. Popescu, Matematica M2: Subiecte rezolvate, Bacalaureat 2013,Editura Carminis, Pitesti (2012) ISBN: 973-123-088-7;

197

198 BIBLIOGRAFIE

[11] L. Preoteasa, M. Stan, Bacalaureat 2000, Teste de Matematica, Ed. Hu-manitas, 1999;

[12] Variante Bacalaureat, Matematica M1 si M2, emise de MinisterulEducatiei Nationale.

Documents

UPT Culegere de Admitere 2014