Unkontrollierbare Bewegungen ebener Mechanismen mit Gelenkspiel

Adolf Hofmeister∗1, Walter Sextro∗∗1, and Otto Roschel∗∗∗2

1 Technische Universitat Graz, Institut fur Mechanik, Kopernikusgasse 24/III, A-8010 Graz2 Technische Universitat Graz, Institut fur Geometrie, Kopernikusgasse 24/IV, A-8010 Graz

In dieser Arbeit wird ein analytisches Berechnungsverfahren vorgestellt, mit dem der gesamte Positions- und Orientierungs-raum (ErrorWorkspace) ebener Mechanismen mit spielbehafteten Gelenken kinematisch beschrieben bzw. dargestellt werdenkann. Fur die Berechnung wird der gesamte Positions- und Orientierungsraum im Kinematischen Bildraum dargestellt, wobeiauf besondere Merkmale eingegangen wird. Der ErrorWorkspace, der mit Hilfe des Berechnungsverfahren bestimmt wird,wird an einem Koppelgetriebe, an einem Filmgreifergetriebe und an einem Double-rocker four-bar mechanism mit Kurbelan-trieb dargestellt und analysiert.

EinleitungUnter Mechanismen werden Koppel-, Raderkoppel- oder Kurvengetriebe in Maschinenantrieben, beispielsweise Verpackungs-,Textil- und Schneidemaschinen, Umformpressen, Sagen und Zufuhreinrichtungen, zusammengefasst. Durch Fertigungstole-ranzen und Verschleiß konnen Gelenkspiele entstehen. Mechanismen mit Spiel lassen sich mit verschiedenen Methoden un-tersuchen, beispielsweise HORSKEN, HILLER [1] mit der Monte-Carlo Methode, WITTWER et. al [2] mit der direktenLinearisierungsmethode und TSAI [3] mit Hilfe des Dualraums. Auch VOGLEWEDE und EBERT-UPHOFF [4] haben Tei-le der unkontrollierbaren Bewegungen eines 2 DOF Mechanismus und einer 3RRR Plattform untersucht. PERNKOPF undHUSTY [5] haben unkontrollierte Bewegungen des Stewart-Gough Manipulators unter Annahme von Gelenkspiel in den pas-siven Kugelgelenken berechnet. Motivation dieser Arbeit ist, ein neues Berechnungsverfahren zu entwickeln, mit dem dergesamte ErrorWorkspace eines Endeffektors ebener Mechanismen ohne Linearisierungen bzw. Naherungsverfahren beschrie-ben werden kann. Ziel ist es, mit Hilfe des Berechnungsverfahren Mechanismen fur ihre Anwendungen unter Berucksich-tigung der Gelenkspiele zu optimieren. In dieser Arbeit werden Mechanismen mit Drehgelenkspielen betrachtet, wobei inerster Naherung angenommen wird, dass Bolzen und Lager kreisformig sind. Mit dem Lagerradius r1 und dem Bolzenradi-us r0 ergibt sich ein Gelenkspiel mit dem Radius ε1 = r0 − r1. Man kann jedoch zeigen, dass bei der Gelenksfortsetzung(serielle offene Ketten von Gelenken), die Vereinfachung des ErrorWorkspace erhalten bleibt, wenn nur das erste Lagerspielkreisformig angenommen wird.

Analytisches BerechnungsverfahrenUm den gesamten ErrorWorkspace eines ebenenMechanismus zu bestimmen wird die Kinema-tische Abbildung verwendet. Die KinematischeAbbildung bildet die Menge aller ebenen Bewe-gungen (Drehungen und Schiebungen) auf Punk-te des projektiven Raumes P3 ab (BOTTEMAand ROTH [6]). HAYES und HUSTY [7] habenden Positions- und Orientierungsraum eines 3RPRManipulator im Kinematischen Bildraum (ohneGelenkspiel) dargestellt. Dieser Ansatz soll nunfur ein Koppelgetriebe mit Gelenkspiel adaptiertwerden. Der gesamte Positions- und Orientie-rungsraum stellt im Kinematischen Bildraum denDurchschnitt zweier Volumsquadriken dar, sieheAbb.1a. Diese sind bei euklidischer InterpretationHyperboloide - die horizontalen Schichtenschnit-te dieser Flachen zweiter Ordnung sind Kreise.Der Durchschnitt dieser beiden Volumsquadriken,siehe Abb.1b, stellt den gesamten ErrorWorkspaceim Kinematischen Bildraum dar.

Abb. 1a) Volumsquadriken im Kinematischen Bildraum

2a) Durchschnitt der beiden Volumsquadriken

a) b)

∗ Corresponding author: e-mail: a.hofmeister@tugraz.at, Phone: +43 316 873 7147, Fax: +43 316 873 7607∗∗ Sextro, Walter, Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil.∗∗∗ Roschel, Otto, Univ.-Prof. Mag.rer.nat. Dr.techn.

PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 5, 201–202 (2005) / DOI 10.1002/pamm.200510078

© 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Wird dieser Durchschnitt fur einen beliebigen Endeffektor der Koppelvom Kinematischen Bildraum ins Rastsystem zuruckgebracht, soerhalt man seinen gesamten ErrorWorkspace, siehe Abb.2. Der Error-Workspace wird von den Bildern der Durchdringungskurven und vonden Einhullenden (Kreissegmente) begrenzt, wobei sich ihre Beruhr-punkte exakt berechnen lassen. Die in rot dargestellte Koppelkurvestellt die Bewegung des Endeffektors E ohne Gelenkspiel dar. DasInnere des ErrorWorkspace besteht aus Durchschnitten von zwei Rin-gen und stellt den gesamten ErrorWorkspace des Endeffektors E fureine festgehaltene Orientierung dar. Fur die Berechnung wurde einespezielle Orientierung (die Arme sind parallel zueinander) der Koppelgewahlt, bei die der zugehorige ErrorWorkspace (orange) besondersgroß ist. Mit Hilfe des Kinematischen Bildraums erhalt man zusatz-lich die entsprechende Orientierung des Endeffektors.

x

Abb. 3: ErrorWorkspace

eines Koppelegetriebes

Einhüllende

E

ResultateDieses Berechnungsverfahren wird in folgenden aneinem spielbehafteten Filmgreifergetriebe angewendet,siehe Abb.3a. Alle vier Gelenke besitzen Spiel. Nun sol-len zwei Gelenkspielradien z.B. ε1 und ε2 als gegebenangenommen werden und die beiden anderen Gelenk-spielradien ε3 und ε4 sind variabel. Abb.3b zeigt nunjenen ErrorWorkspace des Filmzapfens E, bei maximalzulassigen Spiel in den Gelenken ε3 und ε4, sodass derZapfen E gerade noch den Filmeckpunkt trifft. Die zu-gehorige Filmgreiferposition, siehe Abb.3b, lasst sichanalytisch finden. Durch die Optimierung der Konstruk-tion des Endeffektors lasst sich erreichen, dass diesesGetriebe selbst mit großeren Gelenkspielen noch funk-tioniert.Dieses Berechnungsverfahren lasst sich auch an Me-chanismen mit Mehrfachschleifen anwenden. Betrachtetman beispielsweise einen spielbehafteten Double-rockerfour-bar mechanism mit Kurbelantrieb, so kann der ge-samte ErrorWorkspace des Endeffektors ebenfalls ana-lytisch berechnet werden. Besteht sein ErrorWorkspaceaus zwei getrennten Zweigen, so lassen sich ihre Grenz-punkte ebenfalls exakt bestimmen. Damit lasst sich auchdas Durchschlagen von spielbehafteten Mechanismenanalytisch behandeln.

D

Abb.4: a) Filmgreifergetriebe

b) Errorworkspace

E

ErrorWorkspace bzgl. E

A

l1

l3

l2

B

E

C

D

Film

ε1

ε2

ε4

ε3

A

a) b)

Film

References

[1] HORSKEN, C., HILLER, M.:Statistical methods for tolerance analysis in multibody systems and computer aided design, In J.A.C.Ambrsio and W.O. Schiehlen, editors, Advances in Computational Multibody Dynamics, ps. 749-767, Lissabon, September 1999.Instituto Superior Tcnico.

[2] WITTWER, J., KENNETH, W., LARRY, L.: The direct linearization method applied to position error in kinematic linkage, Mecha-nism and Machine Theory, 39, 2004 ps. 681-693

[3] TSAI, M., LAI, T.: Kinematic sensitivity analysis of linkage with joint clearance based on transmission quality. Mechanism andMachine Theory, 39, 2004 ps. 1189-1206

[4] VOGLEWEDE, P., UPHOFF, E., Application of Workspace Generation Techniques to Determine the Unconstrained Motion of ParallelManipulators, ASME J. of Mechanical Design, awaiting publication

[5] PERNKOPF, F., HUSTY, M.: Reachable Workspace and Manufacturing Erros of Stewart-Gough Manipulators, Proc. of MUSME,Uberlandia, Brazil 2005,

[6] BOTTEMA, O., ROTH, B.: Theoretical Kinematics. Dover Publication Inc., New York, NY, USA, 1990[7] HUSTY, M., HAYES, J.: On the kinematic constraint surfaces of general three-legged planar robot platforms. Mechanism and Ma-

chine Theory, 38, 2003 ps. 379-394

© 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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