Uniwersytet Warszawski

Wydział Fizyki

ROZPRAWA DOKTORSKA

mgr Michał Karpiński

Inżynieria korelacji kwantowychw układach optycznych

Promotor

prof. dr hab. Czesław Radzewicz

.

i

Podziękowania

W tym miejscu chciałbym serdecznie podziękować wszystkim, którzy przyczynili siędo powstania tej rozprawy doktorskiej. Na początku podziękowania składam mojemu pro-motorowi, prof. Czesławowi Radzewiczowi, który dał mi możliwość swobodnego rozwojunaukowego w ramach Laboratorium Procesów Ultraszybkich Wydziału Fizyki Uniwersy-tetu Warszawskiego oraz nauczył mnie rzetelności i samodzielności w pracy naukowej.Dziękuję także Konradowi Banaszkowi za jego nieocenioną pomoc merytoryczną, za da-wanie inspiracji, za wsparcie w trudnych chwilach oraz za ciekawe dyskusje, nie tylko natematy naukowe.

Pragnę podziękować Dyrekcji Instytutu Chemii Fizycznej Polskiej Akademii Nauk zaudostępnienie wolnej przestrzeni laboratoryjnej w Centrum Laserowym IChF na potrzebyprzeprowadzenia części eksperymentalnej opisanych w tej pracy badań. Moim kolegom zCentrum Laserowego: Pawłowi Wnukowi, Michałowi Nejbauerowi, Bartkowi Białkowskie-mu, Piotrowi Skibińskiemu oraz w szczególności Jurijowi Stepanence dziękuję za cenneporady dotyczące pracy doświadczalnej i miłą atmosferę w pracy.

Dziękuję również pracownikom i kolegom z Zakładu Optyki Instytutu Fizyki Doświad-czalnej UW, w tym Piotrowi Wasylczykowi i Piotrowi Ficie, za to, że zawsze służyli pomocąi dobrą radą w razie trudności, i nie tylko. Podziękowania składam też Ani Żuchowskiej,za jej pomoc i cenne rady w sprawach administracyjnych.

Dziękuję Instytucjom, które zapewniły finansowanie badań zawartych w tej pracy: Mi-nisterstwu Nauki i Szkolnictwa Wyższego za przyznanie grantu promotorskiego, FundacjiNauki Polskiej za stypendium w ramach projektu TEAM oraz Samorządowi WojewództwaMazowieckiego za Mazowieckie Stypendium Doktoranckie.

Dziękuję również moim Rodzicom za to, że zawsze mnie wspierali i zachęcali do rozwojumoich zainteresowań.

Szczególnie dziękuję Agacie za wsparcie i cierpliwość, a Rafałowi i Maćkowi za ichuśmiechy, które wprowadzają radość w codzienne czynności.

ii

Spis treści

Wprowadzenie 1Cel pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Układ pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Podstawy 71.1 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Propagacja światła w falowodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Własności modów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Rozwiązania analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Dopasowanie fazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Quasi-dopasowanie fazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Procesy nieliniowe w falowodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Fluorescencja parametryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 Fluorescencja parametryczna w wielomodowym falowodzie nielinio-

wym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Falowody PPKTP 272.1 Falowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Mody poprzeczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Symetria i przekrywanie modów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3 Wzbudzanie i obserwacja modów falowodu . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3.1 Selektywne wzbudzanie modów . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3.2 Mody falowodu o szerokości 4 µm . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3.3 Mody falowodu o szerokości 2 µm . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Pomiar dopasowania fazowego 413.1 Konwencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Pomiary wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Cel i metoda pomiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Układ doświadczalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Przygotowanie wiązek pompujących . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.2 Układ detekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Pomiary i analiza wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5.1 Widma jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5.2 Interpretacja widm jednowymiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.3 Uproszczony model teoretyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

iii

iv SPIS TREŚCI

3.5.4 Wydajności procesów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.5 Wąski falowód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.6 Dopasowanie fazowe a inwersja domen nieliniowych . . . . . . . . . . 593.5.7 Szerokość widmowa dopasowania fazowego . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.8 Strojenie temperaturowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5.9 Widma dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.1 Struktura widm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.2 Dopasowanie fazowe a fluorescencja parametryczna . . . . . . . . . . 663.6.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Źródło par fotonów 714.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Źródło par fotonów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Punkt pracy źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.2 Układ doświadczalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.3 Układ sprzęgania wiązki pompującej do falowodu . . . . . . . . . . . 774.2.4 Optymalizacja sprzęgania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.5 Źródło par fotonów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.5.1 Straty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.5.2 Prawdopodobieństwo generacji pary . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Pomiary jakości wiązki 915.1 Metoda i układ doświadczalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Wyniki pomiarów i dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Źródło splątanych par fotonów 996.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1 Splątanie – wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Źródło par splątanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.1 Konwencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.2 Metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.3 Układ doświadczalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Charakteryzacja źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.1 Interferencja dwufotonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.2 Łamanie nierówności Bella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Przyczyny spadku widzialności interferencji dwufotonowej . . . . . . . . . . 1096.4.1 Pary wielokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.2 Inne przyczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Zakończenie 115Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Perspektywy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Generacja fotonów w wyższych modach poprzecznych . . . . . . . . . . . . 116Źródło o dużej jasności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Dalsza charakteryzacja i optymalizacja źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Bibliografia 119

Wprowadzenie

Kluczowymi pojęciami w mechanice kwantowej, jedynej obecnie znanej teorii umożli-wiającej opis zjawisk fizycznych na poziomie pojedynczych układów w skali atomowej, sąpojęcia spójności i splątania kwantowego. Są one źródłem szeregu nieintuicyjnych, sprzecz-nych ze zdrowym rozsądkiem efektów. Twórcy mechaniki kwantowej rozważali wynikającez nich pozorne paradoksy w licznych eksperymentach myślowych, takich jak słynny ekspe-ryment z kotem Schrodingera [1] bądź eksperyment dotyczący splątania kwantowego [2,3],„weryfikując” w ten sposób fundamentalne aspekty teorii kwantowej.Realizacja praktyczna wielu z owych eksperymentów myślowych stała się możliwa do-

piero kilkadziesiąt lat później dzięki wykorzystaniu układów fotonicznych do obserwacjiefektów kwantowych. Ich realizację umożliwił równoległy postęp w dziedzinie teoretycz-nej oraz eksperymentalnej i technologicznej. W dziedzinie teoretycznej były to odkryciadokonane m. in. przez Glaubera [4, 5] w zakresie kwantowomechanicznej teorii detekcjii spójności światła. Postęp technologiczny został zapoczątkowany wynalezieniem laseraw 1961 r. [6] i wynikającym stąd rozwojem optyki nieliniowej. Doprowadziło to do eks-perymentalnej weryfikacji takich wniosków z teorii kwantowej jak istnienie pojedynczychfotonów [7, 8], istnienie stanów splątanych [9] bądź możliwość teleportacji stanu obiektukwantowego [10].Poczynając od pionierskich prac teoretycznych pokazane zostało, że nieintuicyjne, nie-

klasyczne efekty wynikające z mechaniki kwantowej mogą zostać wykorzystane do celówpraktycznych. Należy wymienić tutaj m. in. fundamentalnie bezpieczne przesyłanie in-formacji za pomocą metod kryptografii kwantowej [11,12], zwiększenie precyzji pomiarówdzięki wykorzystaniu nieklasycznych stanów kwantowych [13], takich jak np. stany ściśnię-te bądź stany splątane w liczbie fotonów typu NOON [14]. Splątanie kwantowe i spójnośćkwantowa mogą zostać wykorzystane do realizacji obliczeń z wydajnością przekraczają-cą wydajność klasycznych algorytmów numerycznych, poprzez wykorzystanie komputerakwantowego i algorytmów kwantowych [15, 16], bądź poprzez symulację jednego układukwantowego za pomocą innego [17,18].Szereg z zaproponowanych teoretycznie protokołów kwantowych doczekało się ekspe-

rymentalnej realizacji, przy wykorzystaniu różnorodnych fizycznych implementacji. Stan-dardową platformą do realizacji obliczeń kwantowych i komputera kwantowego staną sięprawdopodobnie układy oparte na ciele stałym lub pułapkowanych jonach [19–21], zewzględu na łatwą implementację oddziaływania pomiędzy obiektami kwantowymi. Nato-miast w przypadku zadań takich jak kwantowe przesyłanie informacji bądź metrologiakwantowa jedną z najbardziej obiecujących praktycznych implementacji technologii kwan-towych są układy fotoniczne [13, 22, 23], między innymi dzięki możliwości wykorzystaniafotonów jako doskonałych nośników informacji na duże odległości. Jako przykład mogą tusłużyć działające komercyjnie układy kryptografii kwantowej [24], jak również wykorzysta-nie kwantowych stanów światła do redukcji szumów w interferometrycznym detektorze falgrawitacyjnych [25]. Ponadto fotony mogą w przyszłości służyć do zapewnienia łącznościpomiędzy rozproszonymi układami do obliczeń kwantowych [26,27].

2 Wprowadzenie

Kluczowym elementem kwantowych układów fotonicznych, pozwalającym na wyko-rzystanie efektów spójności i splątania kwantowego, są źródła pojedynczych fotonów orazskorelowanych par fotonów [28–30]. W ostatnich latach nastąpił znaczący rozwój źródełpojedynczych fotonów oraz splątanych par fotonów opartych na ciele stałym: m. in. nakropkach kwantowych [31, 32] bądź centrach barwnych w diamencie [33]. Pomimo to do-minującym procesem służącym do wytwarzania wspomnianych stanów światła jest – ido wielu zastosowań pozostanie, ze względu na szerokie możliwości kontroli parametrówwytwarzanych fotonów, niską dekoherencję, oraz możliwość używania w temperaturze po-kojowej – proces fluorescencji parametrycznej (ang. spontaneous parametric downconver-sion, SPDC) [34–37]. W procesie tym foton wiązki pompującej w nieliniowym ośrodkuoptycznym rozpada się na dwa skorelowane czasowo fotony, zwane fotonami sygnałowym(ang. signal) i jałowym (ang. idler), których suma energii jest równa energii fotonu wiązkipompującej. Wytworzoną w ten sposób parę fotonów można wykorzystać do wytworzeniastanów splątanych lub też, poprzez wykrycie jednego z fotonów pary, do zasygnalizowaniaobecności pojedynczego fotonu w drugim ramieniu eksperymentu, czyli wytworzenie tzw.sygnalizowanego pojedynczego fotonu (ang. heralded single photon) [38].

Wraz z przesunięciem nacisku w badaniach z dziedziny optyki kwantowej z testowaniapodstaw mechaniki kwantowej i weryfikowania fundamentalnych wniosków z niej wynika-jących na rzecz praktycznych zastosowań naturalne stało się podążanie za aktualną ten-dencją w inżynierii układów fotonicznych, jaką jest dążenie do konstrukcji zintegrowanychukładów optycznych, w analogii do scalonych układów elektronicznych. Istotnymi zaletamiukładów zintegrowanych jest ich miniaturyzacja oraz mała wrażliwość na zakłócenia ze-wnętrzne. Szczególnie wyraźny rozwój zintegrowanych układów optycznych widoczny jestw dziedzinie komunikacji światłowodowej, ściśle powiązanej z kwantowym przesyłanieminformacji [39]. Zastosowania zintegrowanych układów optycznych w dziedzinie kwantowe-go przetwarzania informacji są obecnie rozwijane przez szereg grup badawczych [40–42].Strukturą pozwalającą na wydajną realizację procesu fluorescencji parametrycznej, a jed-nocześnie oferującą możliwość wykorzystania w zintegrowanych urządzeniach fotonicznychsą falowody w ośrodkach nieliniowych. Ponadto, dzięki ograniczeniu rozmiarów poprzecz-nych pola optycznego wewnątrz falowodu, prowadzącemu do zwiększenia natężenia świa-tła, w falowodach uzyskuje się wyższe wydajności procesów nieliniowych niż w materiałachobjętościowych.

Prowadzenie procesów nieliniowych w falowodach było rozważane od początku roz-woju optyki nieliniowej [43–45]. Realizowane były ich liczne implementacje i zastosowa-nia [46, 47], jednak dopiero opracowanie techniki wytwarzania falowodów z periodycznąinwersją domen nieliniowych (ang. periodically poled nonlinear waveguides) [48–50] umożli-wiło swobodny rozwój nieliniowej optyki falowodowej. Użycie periodycznej inwersji domenznacznie ułatwiło spełnienie warunku dopasowania fazowego w falowodzie. Jego spełnieniejest konieczne do osiągnięcia wydajnego nieliniowego przetwarzania częstości, gdyż umoż-liwia zajście konstruktywnej interferencji fal powstających w różnych obszarach ośrodkanieliniowego.

Dla telekomunikacyjnych długości fali często wykorzystywanym ośrodkiem do realizacjiprocesu fluorescencji parametrycznej w falowodzie z periodyczną inwersją domen nielinio-wych jest niobian litu LiNbO3 [51, 52]. Istotną wadą niobianu litu jest jego niski prógzniszczenia optycznego będący m. in. skutkiem silnego efektu fotorefrakcyjnego występu-jącego w tym materiale [53]. W celu zredukowania efektu fotorefrakcyjnego konieczne jestogrzewanie próbek do temperatur przekraczających 150C. Ośrodkiem o wysokim pro-gu zniszczenia, który można wykorzystywać w temperaturze pokojowej, o nieliniowościporównywalnej do niobianu litu jest kryształ KTiOPO4 (KTP) [54]. Badaniom procesufluorescencji parametrycznej w falowodach wykonanych w krysztale KTP poświęcona jest

3

ta praca.Przed szczegółowym omówieniem zakresu pracy należy wspomnieć, że do wytwarzania

par fotonów wykorzystywać można również proces mieszania czterech fal we włóknachoptycznych oraz światłowodach fotonicznych. Dyskusja różnic pomiędzy wykorzystaniemprocesu fluorescencji parametrycznej oraz procesu mieszania jest zagadnieniem na tyleobszernym, że wykracza poza zakres tej pracy, w związku z czym zmuszony jestem odesłaćCzytelnika do odpowiednich pozycji literaturowych [30,55].

Cel pracy

Celem niniejszej pracy są badania procesu fluorescencji parametrycznej w falowodzieKTP z periodyczną inwersją domen nieliniowych (ang. periodically poled KTP, PPKTP)w świetle możliwości jego zastosowania do wytwarzania i inżynierii nieklasycznych sta-nów światła. Bardziej szczegółowe omówienie zagadnień poruszanych w niniejszej pracyrozpocznę od przedstawienia podstawowych informacji na temat procesu fluorescencji pa-rametrycznej.W swojej podstawowej wersji, źródło fotonów oparte na fluorescencji parametrycznej

składa się z kryształu nieliniowego χ(2) (np. BBO, KTP) wewnątrz którego ogniskowanajest wiązka pompująca o częstości ωp. Z niewielkim prawdopodobieństwem foton wiązkipompującej może rozpaść się na 2 fotony – sygnałowy i jałowy – o częstościach ωs, ωi,których suma, ze względu na zasadę zachowania energii, jest równa częstości fotonu wiązkipompującej:

ωp = ωs + ωi (1)

Oprócz zasady zachowania energii o własnościach wygenerowanej pary fotonów decydujewarunek dopasowania fazowego; w obrazie korpuskularnym jest to warunek zachowaniapędów fotonów biorących udział w oddziaływaniu nieliniowym; w obrazie falowym od-powiada on warunkowi zachodzenia konstruktywnej interferencji pomiędzy wkładami dopromieniowania fluorescencji parametrycznej pochodzącymi z różnych punktów wewnątrzośrodka nieliniowego. Dla nieskończenie długiego ośrodka nieliniowego warunek ten wyrażasię równaniem:

kp = ks + ki, (2)

gdzie kp,s,i są wektorami falowymi oddziałujących pól.Z warunków (1) i (2), jak zostanie pokazane w rozdziale 1, w ogólności wynikają pola-

ryzacyjne, przestrzenne i spektralne własności generowanej pary fotonów. Tutaj ograniczęsię do podania tylko niezbędnych informacji. Z postaci warunku dopasowania fazowegowynika, że nie może on być spełniony w izotropowym ośrodku o dyspersji normalnej [56].W związku z tym opracowano szereg metod zapewnienia warunku dopasowania fazowego,spośród których standardowa metoda polega na wykorzystaniu dwójłomności ośrodkówanizotropowych.W nieliniowych kryształach objętościowych, takich jak np. BBO (β-BaB2O4) bądź

KTP, konieczność zapewnienia dopasowania fazowego poprzez odpowiednie zorientowaniekryształu w przestrzeni ogranicza kierunki wytwarzanych fotonów oraz często uniemoż-liwia skorzystanie z największych współczynników polaryzowalności nieliniowej ośrodka.Wytworzenie w krysztale periodycznej inwersji domen nieliniowych o odpowiednim okre-sie przestrzennym pozwala na skorzystanie z tzw. quasi-dopasowania fazowego. Przy bra-ku dopasowania fazowego natężenia pola wytwarzanego w procesie nieliniowym oscylujewzdłuż ośrodka nieliniowego z okresem przestrzennym określonym przez różnicę wektorówfalowych oddziałujących pól. Jest to skutek destruktywnej interferencji poszczególnych

4 Wprowadzenie

przyczynków do pola wytwarzanego w procesie nieliniowym. Cykliczne odwrócenie kie-runku polaryzowalności nieliniowej z okresem odpowiadającym wspomnianym oscylacjompowoduje konstruktywną interferencję wspomnianych przyczynków, co skutkuje wydajnąrealizacją procesu nieliniowego. Wykorzystanie quasi-dopasowania fazowego umożliwia zo-rientowanie kryształu nieliniowego w kierunku zapewniającym wykorzystanie największejpolaryzowalności nieliniowej oraz pozwala na prowadzenie procesu fluorescencji parame-trycznej współliniowo, dla dowolnych długości fali. Współliniowość zapewnia duży obszarprzekrywania się oddziałujących wiązek, co powoduje zwiększenie wydajności procesu. Po-woduje to, że kryształy z periodyczną inwersją domen nieliniowych, takie jak PPKTP sąobecnie standardowo wykorzystywane do produkcji par fotonów w procesie fluorescencjiparametrycznej [57,58].Wytworzenie w krysztale PPKTP falowodu powoduje dalsze zwiększenie wydajności

fluorescencji parametrycznej, poprzez zogniskowanie światła do rozmiaru poprzecznegokilku mikrometrów na całej długości falowodu. Należy tutaj zaznaczyć, że zwiększeniewydajności fluorescencji parametrycznej wraz ze zmniejszaniem rozmiarów poprzecznychoddziałujących wiązek nie wynika ze zwiększenia natężenia wiązki pompującej. Natężenieświatła wytwarzanego w procesie fluorescencji parametrycznej zależy liniowo od natęże-nia wiązki pompującej, gdyż jest to proces rozpoczynający się absorpcją jednego fotonuwiązki pompującej do stanu wirtualnego, w przeciwieństwie do absorpcji dwóch fotonówkoniecznej do zajścia procesu sumowania częstości i skutkującej kwadratową zależnościąnatężenia pola sumy częstości od natężenia pompy. Zwiększenie wydajności procesu fluore-scencji parametrycznej związane jest z większą gęstością stanów kwantowych, do którychmoże rozpaść się foton wiązki pompującej [59].Ponadto wykorzystanie falowodu powoduje ograniczenie liczby modów poprzecznych, w

których generowane są fotony fluorescencji parametrycznej, wyłącznie do modów podtrzy-mywanych przez falowód. W kryształach objętościowych brak jest takiego ograniczenia,stąd wiele fotonów emitowanych jest do wyższych modów poprzecznych. Fotony te musząbyć odfiltrowywane przestrzennie za pomocą światłowodów jednomodowych. W przypad-ku falowodów PPKTP możliwe jest wytworzenie falowodów jednomodowych dla teleko-munikacyjnych długości fali. Dla długości fali z zakresu widzialnego i bliskiej podczerwieniaktualnie brak jest technicznych możliwości wytworzenia falowodów jednomodowych, nie-mniej wytwarzane są falowody o bardzo zredukowanej liczbie modów poprzecznych.Istnieją dobrze opanowane technologie wytwarzania falowodów PPKTP [60, 61], do-

stępne są one również od dostawców komercyjnych. Falowody PPKTP są standardowowykorzystywane w zagadnieniach klasycznej optyki nieliniowej, takich jak generacja sumyczęstości [50, 62, 63]. Możliwość wykorzystania falowodów PPKTP jako źródła skorelo-wanych par fotonów do celów kwantowooptycznych jest intensywnie badana przez kilkawiodących światowych grup badawczych [38,59,61,64,65].Do zastosowań w kwantowej metrologii i kwantowym przetwarzaniu informacji koniecz-

ne jest wytwarzanie fotonów w czystych stanach kwantowych, gdyż zwiększa to widzialnośćinterferencji wielofotonowej. Istnieje kilka przyczyn prowadzących do spadku spójności fo-tonów. Jedną z nich są korelacje widmowe pomiędzy parami fotonów, prowadzące do nie-oznaczoności w czasowym stopniu swobody. Efekt ten w falowodach PPKTP badany jestintensywnie m. in. przez grupę C. Silberhorn [66,67].Niniejsza praca dotyczy kolejnego efektu ograniczającego czystość generowanych foto-

nów, jakim jest możliwość propagacji wielu modów poprzecznych w falowodach [65,68,69]dla długości fali z zakresu widzialnego i bliskiej podczerwieni, w którym dostępne są nisko-szumne detektory pojedynczych fotonów oraz łatwo osiągalne impulsy femtosekundowe.Wpływ wielomodowości falowodu na parametry generowanych par fotonów zbadany zostałjedynie w ograniczonym zakresie [69,70].

5

Celem niniejszej pracy jest opisanie konstrukcji źródła par fotonów opartego na fa-lowodzie nieliniowym oraz możliwie pełne przedstawienie wpływu efektów wynikającychz wielomodowości falowodów PPKTP na parametry wytwarzanych par fotonów fluore-scencji parametrycznej. W szczególności zbadany zostanie wpływ modów poprzecznychpromieniowania na warunek dopasowania fazowego w falowodzie. W tym celu koniecz-ne będzie dokonanie szczegółowych pomiarów procesu sumowania częstości w falowodziePPKTP [68]. Następnie zademonstruję doświadczalnie wykorzystanie tego wpływu do zre-alizowania falowodowego źródła par fotonów w czystych modach poprzecznych [71] orazźródła polaryzacyjnie splątanych par fotonów. Ponadto omówię możliwość wykorzystaniamodu poprzecznego falowodu jako dodatkowego stopnia swobody, który może zostać wy-korzystany w kwantowym przetwarzaniu informacji. Opisane w tej pracy wyniki badańpokazują, że falowody PPKTP mogą znaleźć szerokie zastosowanie w inżynierii kwanto-wych stanów światła na poziomie pojedynczych fotonów.

Układ pracy

W rozdziale pierwszym przedstawię opis podstawowych pojęć i zagadnień, które będąwykorzystywane w dalszej częsci pracy: propagacji światła w falowodzie, procesów nielinio-wych w strukturach falowodzących oraz fluorescencji parametrycznej. Rozdział drugi po-święcony jest omówieniu podstawowych własności używanych próbek falowodów PPKTP.Zawiera on także charakterystykę modów poprzecznych podtrzymywanych przez falowód.W rozdziale trzecim omówiono pomiary warunku dopasowania fazowego dla procesów mie-szania trzech fal w falowodzie oraz jego zależności od modów poprzecznych oddziałujące-go promieniowania. Rozdział czwarty poświęcony jest opisowi konstrukcji falowodowegoźródła par fotonów oraz jego podstawowej charakteryzacji eksperymentalnej w zakresiewydajności i strat. Rozdział piąty dotyczy pomiarów przestrzennych własności promienio-wania generowanego w procesie fluorescencji parametrycznej. W rozdziale szóstym opiszęgenerację polaryzacyjnie splątanych par fotonów ze źródła falowodowego. Na zakończe-nie przedstawię podsumowanie uzyskanych wyników oraz nakreślę perspektywy dalszychbadań w zakresie opisywanej tematyki.

6 Wprowadzenie

Rozdział 1

Podstawy

W tym rozdziale na podstawie dostępnej literatury przedstawię pojęcia oraz modeleniezbędne do opisu procesów nieliniowych w falowodach. Rozpocznę od omówienia pro-pagacji światła w strukturach falowodzących. Następnie przedstawię pojęcie dopasowaniai quasi-dopasowania fazowego i opiszę proces mieszania trzech fal w falowodzie. Zakoń-czę przedstawieniem kwantowomechanicznego opisu procesu fluorescencji parametrycznejzachodzącego w falowodzie.

1.1 Oznaczenia

Wielkości wektorowe oznaczać będę czcionką pogrubioną, np. r. Wielkości wektorowewyrażane będą wyłącznie we współrzędnych kartezjańskich (x, y, z), przy czym kierunekosi z będzie przyjmowany jako kierunek propagacji fal świetlnych. Wielkości zależne tylkood współrzędnych poprzecznych (x,y) zaopatrzone będą w indeks t, gdy będzie to koniecznedla uniknięcia niejednoznaczności.Wersory odpowiadające osiom układu odniesienia będę oznaczał odpowiednio przez

x, y oraz z.

1.2 Propagacja światła w falowodzie

Ponieważ niniejsza praca dotyczy analizy procesów nieliniowych drugiego rzędu zacho-dzących w falowodzie nieliniowym, wprowadzenie rozpocznę od przedstawienia podstawo-wych faktów na temat propagacji światła w strukturze falowodzącej, w szczególności wstrukturze wielomodowej. Temat ten jest rozległy, w związku z czym ograniczę się głów-nie do zagadnień odnoszących się bezpośrednio do będącego tematem tej pracy falowoduPPKTP.Wykorzystywany w doświadczeniach opisanych w kolejnych rozdziałach falowód jest

falowodem paskowym kanałowym wykonanym na powierzchni kryształu KTP. Jego prze-krój poprzeczny przedstawiony został schematycznie na rys. 1.1. Profil współczynnikazałamania w kierunku równoległym do powierzchni kryształu (y) jest prostokątny o sze-rokości w poniżej 5 µm, a w kierunku prostopadłym (x) dyfuzyjnie zanikający, przy czymmaksymalna różnica wartości współczynnika załamania w rdzeniu względem wartości dlaKTP ∆n wynosi 0,02− 0,03 w pobliżu powierzchni kryształu. Efektywne głębokości pro-filu w kierunku x dla używanych falowodów mają wartość z zakresu 3− 10 µm. Zgodnie zprzyjętymi oznaczeniami oś z jest równoległa do kierunku propagacji światła w falowodzie.KTP jest kryształem w układzie rombowym, o sieci krystalicznej o symetrii grupy

punktowej mm2. Wynika stąd jego dwójłomność: KTP jest dodatnim kryształem dwu-

8 Podstawy

Rys. 1.1: Schemat przekroju poprzecznego analizowanego falowodu. Kolorem szarym oznaczonoobszar rdzenia falowodu, o podwyższonym współczynniku załamania. Liniami ciągłymi zaznaczonoukład odniesienia, który będzie używany w dalszej części pracy. Liniami przerywanymi zaznaczonokierunki osi krystalograficznych KTP (a, b, c), wraz z przyjętymi w literaturze oznaczeniami osioptycznych (X,Y, Z).

osiowym [53]. Jak zaznaczono na rys. 1.1, wyróżnione kierunki w strukturze analizowanegofalowodu są równoległe do kierunków osi optycznych KTP, oznaczonych wielkimi literami(X,Y, Z). Należy zwrócić uwagę na fakt, że przyjęte w literaturze oraz w tej pracy ozna-czenia osi układu odniesienia używane do opisywania propagacji światła w falowodach(na rysunku oznaczone przez x, y, z) nie pokrywają się ze standardowymi oznaczeniamiosi optycznych KTP (X,Y, Z). Oba zestawy oznaczeń porównano na rys. 1.1. Korzysta-jąc z oznaczeń przyjętych w tej pracy, możemy podać wartości głównych współczynnikówzałamania KTP dla długości fali 800 nm: nx = 1,8466, ny = 1,7565, nz = 1,7483 [72],odpowiednio dla światła o polaryzacji wzdłuż osi x, y i z.Przejdźmy teraz do omówienia propagacji światła w falowodzie. Pola elektryczne i

magnetyczne w dowolnej strukturze falowodzącej muszą spełniać równania Maxwella, któredla analizowanej struktury dielektrycznej są równaniami bezźródłowymi:

∇×E = −∂B∂t, ∇·D = 0,

∇×H = −∂D∂t

, ∇·B = 0.(1.1)

Zakładam liniową zależność materiałową pomiędzy wektorem indukcji elektrycznej D awektorem natężenia pola elektrycznego E: D = εE, gdzie ε jest jest w ogólności 9-elemen-towym tensorem przenikalności elektrycznej ośrodka. Ponieważ podatność magnetycznarozważanych materiałów jest o wiele rzędów wielkości mniejsza od podatności dielektrycz-nej, zaniedbuję ją przyjmując B = µ0H, gdzie µ0 jest przenikalnością magnetyczną próżni,a H oraz B wektorami odpowiednio natężenia pola magnetycznego i indukcji magnetycz-nej.W dalszej części tego podrozdziału będę zakładał domyślną zależność pól E i H od

czasu postaci e−iωt, gdzie ω jest częstością optyczną. W standardowy sposób eliminującodpowiednio E lub H z równań Maxwella uzyskujemy wektorowe równania falowe [73]:

∇2E+ k20 εrE = ∇(∇ ·E), (1.2)

∇× [ ε−1r · (∇×H)] = k20H,

gdzie k0 = ω/c jest liczbą falową w próżni, εr = ε/ε0 — względną przenikalnością elek-tryczną ośrodka, a ∇2 jest operatorem Laplace’a wyrażonym we współrzędnych kartezjań-skich: ∇2 = ∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2 . Dla rozważanej geometrii falowodu wybór współrzędnych

1.2 Propagacja światła w falowodzie 9

kartezjańskich jest wyborem naturalnym. Przez ε0 oznaczono przenikalność elektrycznąpróżni.Ze względu na translacyjną symetrię falowodu wzdłuż osi z, zależność będących rozwią-

zaniami równań (1.2) pól E i H od położenia wzdłuż falowodu można przyjąć w postaci:

E(x,y,z) = e(x,y) eiβz, H(x,y,z) = h(x,y) eiβz, (1.3)

gdzie β jest stałą propagacji. Pamiętając, że rozważane pola zawierają implicite zależnośćczasową e−iωt łatwo zauważyć, że β jest efektywną liczbą falową fali propagującej sięw falowodzie. W wyrażeniu powyższym funkcje e(x,y) i h(x,y) opisują mod poprzecznyfalowodu: poprzeczny rozkład pola niezmieniający się podczas propagacji wzdłuż z.Rozdzielając wektor pola elektrycznego na składowe wzdłużną i poprzeczną: e(x,y) =

et(x,y) + ez(x,y)z oraz podstawiając równanie (1.3) do (1.2), dla przypadku ośrodka ani-zotropowego o osiach optycznych zgodnych z osiami układu odniesienia, tj. gdy tensorwzględnej podatności elektrycznej εr jest diagonalny [postaci diag(n2x, n

2y, n2z)], otrzymu-

jemy równanie [74]:

[∇2t + k20n2t (x,y)− β2]et(x,y) = (1.4)

= ∇t(2δt∇t) · et(x,y) −[(I− 2δt) et(x,y)] · ∇t ln(n2t (x,y))

,

gdzie I jest macierzą jednostkową oraz:

∇2t =∂2

∂x2+

∂2

∂y2, n2t =

[n2x 00 n2y

], 2δt = 1− n2t /n2z.

Jest to wektorowe równanie określające zagadnienie własne na poprzeczne funkcje mo-dowe e(j)t (x,y) z wartościami własnymi βj , gdzie rozwiązania ponumerowano indeksem

j, określającym kolejne mody poprzeczne falowodu. Na podstawie znajomości e(j)t (x,y)i βj wyznaczenie wzdłużnej składowej pola elektrycznego e

(j)z (x,y) oraz składowych pola

magnetycznego jest możliwe bezpośrednio z równań Maxwella.Aby rozwiązać to równanie należy spełnić warunki brzegowe na granicach poszczegól-

nych warstw lub obszarów struktury falowodzącej, tj. zapewnić ciągłość stycznych skła-dowych wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego oraz normalnych składo-wych wektorów indukcji elektrycznej i magnetycznej. Dla rozważanej postaci anizotropiiośrodka uzyskuje się dwa równania różniczkowe na dwie składowe poprzecznej funkcjimodowej. W ogólnym przypadku, ze względu na niezerową prawą stronę równania (1.4),równania na składowe x i y są ze sobą sprzężone. Oznacza to, że funkcje własne będą-ce rozwiązaniami tego równania zawierają niezerowe przyczynki od obydwu składowychpoprzecznych. W ogólności nie można zakładać, że rozwiązania te będą odpowiadały po-laryzacjom liniowym wzdłuż kierunku x i y.

1.2.1 Własności modów

Przed omówieniem zagadnień, w których możliwe jest uproszczenie powyższego rów-nania, przedstawię najważniejsze ogólne własności modów falowodu [73,75]. Modami pro-wadzonymi (ang. guided modes) falowodu określa się funkcje własne równania (1.4), któreznikają wraz ze wzrostem odległości od rdzenia falowodu. Dla falowodu w ośrodku izo-tropowym o wyraźnej granicy pomiędzy rdzeniem a płaszczem, o maksymalnej wartościwspółczynnika załamania w rdzeniu nco i maksymalnej wartości współczynnika załamaniaw płaszczu ncl, modom związanym odpowiadają wartości stałych propagacji β z zakresu:

nclk0 < βj 6 ncok0. (1.5)

10 Podstawy

Dla stałych β spełniających ten warunek wyrażenie (k20n2 − β2j ) w równaniu falowym

(1.4) jest dodatnie w obrębie rdzenia i ujemne w płaszczu, co odpowiada rozwiązaniomoscylacyjnym w rdzeniu i w granicy eksponencjalnie zanikającym w płaszczu [73]. Powyższeograniczenia można z łatwością uzasadnić prostymi argumentami fizycznymi. Ograniczeniegórne wynika z faktu, że prędkość fazowa fali odpowiadającej modowi związanemu niemoże być mniejsza niż prędkość fazowa w materiale o największej gęstości optycznej.Ograniczenie dolne określa stałe propagacji modów, dla których efektywny współczynnikzałamania

n(j)eff = cβj/ω (1.6)

ma wartość większą od maskymalnego współczynnika załamania płaszcza, gdyż tylko wte-dy możliwe jest zajście całkowitego wewnętrznego odbicia na granicy rdzeń-płaszcz. Pewnesubtelności pojawiają się dla ośrodków anizotropowych. W zależności od symetrii struk-tury i wynikającej z niej postaci modów, mogą istnieć niezależne zestawy modów dlapolaryzacji zwyczajnej i nadzwyczajnej. Jednakże jeśli geometria falowodu nie pozwalana podtrzymywanie modów o czystych polaryzacjach liniowych, pojawiają się sprzężeniapomiędzy obiema polaryzacjami, znacznie utrudniające analizę anizotropowej strukturyfalowodowej [76].Gdy stała propagacji modu osiąga dolną granicę w powyższym równaniu — czyli gdy

efektywny współczynnik załamania modu staje się równy maksymalnemu współczynniko-wi załamania płaszcza — mówimy, że mod znajduje się w punkcie odcięcia (ang. cut-offpoint). W takiej sytuacji niewielkie zwiększenie długości fali promieniowania (lub innazmiana powodująca zmniejszenie efektywnego współczynnika załamania w stosunku dowspółczynnika załamania płaszcza) powoduje, że mod przestaje być modem prowadzo-nym, a staje się modem radiacyjnym (zwanym też modem wypromieniowania, ang. radia-tion mode), o nieznikającej oscylacyjnej amplitudzie w dużych odległościach od rdzeniafalowodu. Dla niektórych klas falowodów o zbyt małych wymiarach poprzecznych możliwejest, że powyżej pewnej długości fali żaden mod nie przekracza warunku odcięcia. Ozna-cza to brak związanych modów podtrzymywanych przez falowód — dopuszczalne są tylkomody radiacyjne, omówione krótko poniżej.Mody radiacyjne tworzą kontinuum rozwiązań równania falowego nieznikających w

dużych odległościach od rdzenia falowodu, o stałych propagacji β 6 nclk. Rozwiązaniate nazywa się modami radiacyjnymi, gdyż opisują one ucieczkę energii z falowodu. Modyzwiązane wraz z modami radiacyjnymi oraz ich odpowiednikami o wstecznym kierunkupropagacji tworzą układ zupełny pozwalający opisać dowolny rozkład natężenia pola elek-trycznego E(x,y,z) i magnetycznego H(x,y,z) propagujący się w falowodzie [73]:

E(x,y,z) =∑j

aje(j)(x,y)eiβjz +∑j

a-je(-j)(x,y)e−iβjz +Erad(x,y,z), (1.7)

H(x,y,z) =∑j

ajh(j)(x,y)eiβjz +∑j

a-jh(-j)(x,y)e−iβjz +Hrad(x,y,z),

gdzie przez aj oznaczono amplitudy poszczególnych modów, ujemne indeksy odnoszą się domodów propagujących się wstecz, a Erad(x,y,z) oraz Hrad(x,y,z) oznaczają sumę wkładówod kontinuum modów radiacyjnych.Dla podanego rozkładu pola elektrycznego na mody własne falowodu, korzystając wek-

tora Poyntinga można wyznaczyć moc Pj niesioną przez j-ty mod falowodu propagującysię w dodatnim kierunku osi z jako:

Pj = 1/2|aj |2∫A∞e(j)t × h

(j)∗t · zdA, (1.8)

1.2 Propagacja światła w falowodzie 11

gdzie gwiazdką oznaczono sprzężenie zespolone, a całkowanie odbywa się po całkowitymprzekroju poprzecznym falowodu A∞. Wykorzystując (1.8) można określić współczynniknormalizacji funkcji modowej:

Nj =12

∣∣∣∣∫A∞e(j)t × h

(j)∗t · zdA

∣∣∣∣ . (1.9)

Dzieląc funkcje modowe e(j)t (x,y), h(j)t (x,y) przez

√N uzyskuje się funkcje znormalizowane.

Dla funkcji znormalizowanych moc niesiona w danym modzie wyraża się przez połowękwadratu modułu amplitudy aj .Mody o różnych wartościach stałej propagacji są ortogonalne, czego dowodzi się wy-

korzystując twierdzenie Lorentza o wzajemności (por. [77]). Ortogonalność pary modówo poprzecznych funkcjach modowych dla pola elektrycznego e(j)t (x,y), e

(k)t (x,y) oraz ma-

gnetycznego odpowiednio h(j)t (x,y),h(k)t (x,y), o różnych wartościach stałych propagacji,

definiuje się jako:∫A∞e(j)t (x,y)× h

(k)∗t (x,y) · zdA =

∫A∞e(j)∗t (x,y)× h

(j)t (x,y) · zdA = 0, (1.10)

Dla pary modów o jednakowych stałych propagacji ortogonalności nie można dowieść ztwierdzenia Lorentza o wzajemności. Jednakże w takiej sytuacji zawsze możliwe jest zna-lezienie wzajemnie ortogonalnych liniowych kombinacji takich modów przy wykorzystaniuprocedury ortogonalizacji Grama-Schmidta.W ten sposób otrzymujemy układ zupełny ortonormalnych funkcji modowych jedno-

znacznie opisywanych przez poprzeczne składowe pola elektrycznegoe(j)t (x,y)

, gdzie

indeks j przebiega wartości dyskretne dla modów związanych (o ile istnieją) i ciągłe dlamodów radiacyjnych. Jak wspomniano wcześniej, składową podłużną pola elektrycznegooraz składowe pola magnetycznego wyznacza się z

e(j)t (x,y)

wykorzystując równania

Maxwella.W przypadku zastosowania przybliżenia słabego prowadzenia modów, omówionego w

kolejnym podrozdziale, dla struktur o odpowiednio wysokiej symetrii wektorowe równaniefalowe (1.4) można uprościć do pary równań skalarnych postaci:

(∇t + k20n2 − β2)usc(x,y) = 0, (1.11)

dla dwóch składowych polaryzacyjnych. Wtedy funkcja modowa e(j)(x,y) posiada tylkojedną składową kartezjańską, daną przez

e(j)(x,y) = u(j)sc (x,y)x, (1.12)

gdzie dla ustalenia uwagi przyjęto funkcję modową o polaryzacji liniowej w kierunku x. Powyznaczeniu wartości poprzecznych składowych pola magnetycznego z równań Maxwellajako h(x,y) = −(iβ/ω)usc(x,y)y, możemy warunki ortogonalności (1.10) i normalizacji(1.9) skalarnych funkcji modowych zapisać jako:∫

A∞u(j)sc (x,y)u

(k)∗sc (x,y) dA = δjk. (1.13)

Kończąc omówienie ogólnych własności modów falowodowych warto wspomnieć o para-metrze opisującym stopień wielomodowości falowodu. Jest nim tzw. częstotliwość znorma-lizowana V (zwana również parametrem falowodu), zdefiniowana dla struktury o skokowejgranicy pomiędzy rdzeniem a płaszczem jako:

V =2πρλ

√n2co − n2cl, (1.14)

12 Podstawy

gdzie ρ jest efektywnym rozmiarem liniowym rdzenia. Falowód o współczynniku V ≫ 1jest falowodem wielomodowym. Wartości V bliskie jedności wskazują na falowód jedno-modowy [73]. Graniczna wartość V poniżej której falowód staje się jednomodowy zależyod geometrii falowodu. Dla cylindrycznie symetrycznego włókna optycznego o skokowymprofilu współczynnika załamania graniczna wartość wynosi ok. 2,405.

1.2.2 Rozwiązania analityczne

Powróćmy do wektorowego równania falowego (1.4) i omówienia możliwych jego uprosz-czeń, wynikających m. in. z symetrii analizowanego falowodu. Równanie (1.4) zostało za-pisane dla przypadku osi optycznych ośrodka anizotropowego równoległych do osi układuodniesienia. Jest to najprostsza nieprzybliżona postać równania falowego dla falowodu orozważanej symetrii. Dla układów bardziej symetrycznych niż rozważany można dokonaćdalszych uproszczeń równania uzyskując dla niektórych profili współczynnika załamaniaścisłe lub przybliżone rozwiązania analityczne [73]. W szczególności dla falowodów pla-narnych w ośrodku izotropowym uzyskuje się rozwiązania w postaci modów poprzecznychelektrycznych (transverse electric, TE) i poprzecznych magnetycznych (transverse ma-gnetic, TM), w których odpowiednio pole elektryczne lub magnetyczne posiada zerowąskładową podłużną.

Rys. 1.2: Schemat przekroju poprzeczne-go falowodu prostokątnego. Kolorem sza-rym oznaczono rdzeń falowodu. Literą Aoznaczono obszary, w których zakłada sięzerowe pole elektryczne i magnetyczne.

Omówmy teraz istniejące rozwiązania anali-tyczne dla falowodów o strukturze najbardziejzbliżonej do analizowanego. Falowodami takimisą prostokątne falowody kanałowe, których prze-krój został schematycznie przedstawiony na rys.1.2. Ogólne własności wyników uzyskanych dlafalowodów prostokątnych odnoszą się również domodów rozważanego typu falowodów o profiludyfuzyjnym. Załóżmy dla uproszczenia, że falo-wód wykonany jest w ośrodku izotropowym owartościach współczynnika załamania zaznaczo-nych na rysunku w poszczególnych obszarach.Ponieważ w obrębie każdego z obszarów współ-czynnik załamania ma stałą wartość, równanie(1.4) upraszcza się w każdym z nich do równaniaHelmholtza:

(∇2t + k20n2 − β2)et(x,y) = 0, (1.15)

przy czym pamiętać należy o zachowaniu warun-kach ciągłości odpowiednich składowych pól elektrycznego i magnetycznego pomiędzy ob-szarami. Zagadnienie to zostało po raz pierwszy szczegółowo przeanalizowane przez Marca-tilego [78,79]. Ponieważ ścisłe analityczne rozwiązanie zagadnienia falowodu prostokątnegojest niezwykle trudne, Marcatili przyjął uproszczające założenie, że w obszarach narożnych(oznaczonych literą A na rysunku) natężenie pola elektrycznego i magnetycznego jest ze-rowe. Założenie to jest dobrze spełnione dla modów o większości energii skoncentrowanejw wewnątrz rdzenia, tj. będących daleko od punktu obcięcia.Używając wspomnianego przybliżenia otrzymuje się dwa zestawy modów, oznaczanych

jako Exlm oraz Eylm, gdzie lm są liczbami węzłów funkcji modowej w dwóch prostopadłych

kierunkach, dla których odpowiednio składowe ex i ey są dominującymi składowymi polaelektrycznego. W ogólności są to mody hybrydowe, o niezerowych obydwu składowychpolaryzacyjnych ex i ey. Jednakże gdy możliwe jest zastosowanie przybliżenia słabego

1.2 Propagacja światła w falowodzie 13

prowadzenia modów (ang. weak guiding approximation) mody te stają się spolaryzowaneliniowo: dla modów serii Exlm zeruje się składowa ey oraz hx, dla modów serii E

ylm odpo-

wiednio ex oraz hy [79]. Rozwiązania te mają matematyczną postać kosinusów w rdzeniui zaników eksponencjalnych poza rdzeniem, w kierunkach prostopadłych do granicy rdze-nia. Warunek słabego prowadzenia modów spełniony jest, gdy stałe propagacji β modówtylko nieznacznie różnią się od wektorów falowych dla objętościowego materiału płaszczaoraz rdzenia. Warunek ten odpowiada niewielkiej, znacznie mniejszej od jedności, różnicywartości współczynnika załamania pomiędzy płaszczem a rdzeniem. W przypadku rozwa-żanego tutaj falowodu niewielka różnica współczynników załamania występuje pomiędzyrdzeniem falowodu a substratem KTP (poniżej 0,03), natomiast duży skok występuje nagranicy rdzeń-powietrze. Z oczywistych fizycznych względów należy się jednak spodziewać,że dolna granica wartości stałych propagacji będzie określona przez współczynnik załama-nia KTP: β > nKTPk0. Fale odpowiadające modom o stałych propagacji poniżej tej warto-ści ulegałyby całkowitemu wewnętrznemu odbiciu jedynie na granicy rdzeń-powietrze, zaśna pozostałych granicach rdzenia nie byłyby związane. Wniosek stąd, że modom prowadzo-nym odpowiadają stałe propagacji z zakresu wyznaczonego przez kontrast współczynnikazałamania pomiędzy rdzeniem a płaszczem ∆n: (nKTP + ∆n)k0 > β > nKTPk0, tzn. nieróżniące się znacznie od stałych propagacji odpowiadającym KTP i rdzeniowi.Dotychczas pomijaliśmy dwójłomność rozważanego układu. Ponieważ dla izotropo-

wego falowodu prostokątnego w przybliżeniu słabego prowadzenia modów uzyskuje sięmody o dobrze określonych polaryzacjach, można się spodziewać, że w falowodzie dwój-łomnym o osiach zgodnych z geometrią falowodu składowe o prostopadłych polaryzacjachbędą niezależne. Będziemy mieli do czynienia z dwiema grupami modów, o polaryzacjifali zwyczajnej i fali nadzwyczajnej. Należy jednak zauważyć, że mody Ex, Ey falowoduizotropowego nawet w przybliżeniu słabego prowadzenia posiadają niezerową składową po-dłużną. Obecności tej składowej mogłaby prowadzić do sprzężenia pomiędzy składowymipolaryzacyjnymi odpowiadającymi fali zwyczajnej i nadzwyczajnej. Analiza tego zagad-nienia została przeprowadzona w pracy [80], gdzie wykorzystując przybliżenie analogicznedo użytego przez Marcatilego autorzy podają kryterium jakie muszą spełniać elementytensora podatności elektrycznej ośrodka, by mody Ex i Ey w przybliżeniu słabego pro-wadzenia miały dobrze określone polaryzacje. Dla rozważanego tu falowodu kryterium tojest dobrze spełnione.Należy podkreślić, że opisana powyżej analiza przybliżona jest słuszna dla modów do-

brze prowadzonych, dla których można przyjąć, że w obszarach narożnych na rys. 1.2natężenia pole elektrycznego i magnetycznego są zerowe. Dla modów w pobliżu punktuodcięcia znaczna część natężenia propaguje się poza rdzeniem, co powoduje, że warunkibrzegowe dla modów otrzymanych metodą Marcatilego nie są w obszarach narożnych speł-nione. W związku z tym dokonano szereg udoskonaleń metody Marcatilego m. in. poprzezzastosowanie tzw. metody efektywnego współczynnika załamania [81] lub uwzględniającpoprawki od obszarów narożnych za pomocą metody perturbacyjnej [82], jednakże w ana-lizach tych zakładano z góry postać modów o rozseparowanych polaryzacjach.Efekty sprzężeń pomiędzy polaryzacjami dyskutują w swoich pracach Peng oraz Oli-

ner i współautorzy [83, 84]. Wykorzystując metody z analizy falowodów mikrofalowychpokazują oni, że prostokątna geometria falowodu zawsze powoduje sprzęganie modów opolaryzacjach x i y, nawet przy braku dwójłomności. Dokładna wartość tego efektu zależyod specyficznych parametrów falowodu — jego oszacowanie pozostawimy do omówieniawyników obliczeń numerycznych przedstawionych w rozdziale 2.2.1.Możemy jednak założyć, że przynajmniej dla modów daleko od punktu odcięcia wy-

niki przybliżone uzyskane metodą Marcatilego są słuszne i mamy do czynienia z modamio dobrze określonych polaryzacjach liniowych. Wtedy struktura anizotropowa o diagonal-

14 Podstawy

nym tensorze podatności elektrycznej może być traktowana jako struktura izotropowa ozwyczajnym współczynniku załamania dla modów o polaryzacji zwyczajnej oraz o nad-zwyczajnym współczynniku załamania dla modów o polaryzacji nadzwyczajnej, przy czymmody te są określone przez równania postaci (1.15).Dla modów w pobliżu punktu odcięcia możemy spodziewać się, że skończone rozmiary

poprzeczne falowodu spowodują pewną hybrydowość modów; pojawi się niezerowa skła-dowa pola elektrycznego prostopadła do składowej dominującej [83,84]. Załóżmy że mamydo czynienia z falowodem w ośrodku dwójłomnym, dla którego współczynniki załamaniapłaszcza dla fali spolaryzowanej poziomo i pionowo wynoszą odpowiednio nco,y, nco,x, przyczym nco,y < nco,x, a współczynniki załamania w rdzeniu są dla obu polaryzacji większe o∆n 6 nco,x−nco,y. Modowi Ey o dominującej polaryzacji poziomej będzie odpowiadał efek-tywny współczynnik załamania nieznacznie większy od współczynnika załamania płaszczadla polaryzacji poziomej nco,y. Jednocześnie niewielka składowa tego modu spolaryzowanapionowo na granicy rdzeń-płaszcz „odczuwać” będzie współczynnik załamania płaszczadla polaryzacji pionowej nco,x o wartości istotnie większej od efektywnego współczynnikazałamania dla rozpatrywanego modu. W związku z tym składowa ta nie będzie doznawałacałkowitego wewnętrznego odbicia na granicy rdzeń-płaszcz i będzie w większości wypro-mieniowywana do płaszcza. Spowoduje to, że rozważany mod będzie modem stratnym,o stratach tym większych, im większy udział pionowej składowej polaryzacyjnej. Mody ostratach tego typu zwane są modami semi-upływowymi (ang. semi-leaky modes) [85], nale-żącymi do szerszej kategorii modów upływowych (ang. leaky modes). Mody upływowe są tomody stratne, jednakże, w przeciwieństwie do typowych modów radiacyjnych, posiadająceokreślony rozkład poprzeczny natężenia propagujący się wzdłuż falowodu (z jednoczesnymistratami). Mody te opisywane stałą propagacji o niezerowej części rzeczywistej, opisującejpropagację wzdłuż falowodu, i niezerowej części urojonej, opisującej straty [73, 75]. Modyupływowe są alternatywnymi do modów radiacyjnych stratnymi rozwiązaniami równaniafalowego dla większości struktur falowodowych, również izotropowych. Istnieje kilka me-chanizmów prowadzących do występowania w falowodach pól opisywanych przez modyupływowe: mogą one m. in. opisywać pola propagujące się tuż poniżej punktu odcięcialub powstające w wyniku strat spowodowanych geometrią falowodu np. dla niektórychtypów falowodów grzbietowych [83, 84]. Zalicza się do nich też opisany powyżej w sposóbuproszczony mechanizm prowadzący do strat poprzez „wyciekanie” jednej ze składowychpolaryzacyjnych w falowodzie dwójłomnym. Ponieważ straty te dotyczą jednej tylko skła-dowej, stąd nazwa „mody semi-upływowe”. Mechanizm strat tego typu jest dobrze znanyw literaturze [85–87], m. in. dla falowodów w niobianie litu. Należy zauwazyć, że dla falo-wodów w KTP brak jest w literaturze systematycznego opracowania na temat własnościich modów poprzecznych, w szczególności istotności omawianego mechanizmu strat. Wrozdziale 2 dokonane zostanie zgrubne oszacowanie poziomu strat powodowanego przezopisany mechanizm.Należy zwrócić uwagę, że powyższe rozważania na temat struktury modów poprzecz-

nych w falowodach prowadzone były dla ustalonej częstości ω pola propagującego się wfalowodzie. W przypadku pól niemonochromatycznych należy wykorzystywać funkcje mo-dowe odpowiednie dla wszystkich składowych fourierowskich obecnych w analizowanymsygnale. W ogólności funkcje modowe zależą od częstości, ze względu na dyspersję mate-riałową ośrodka jak i zmianę stosunku długości fali do wymiarów struktury falowodowej.Oznacza to, że zależność dyspersyjną dla efektywnego współczynnik załamania danegomodu poprzecznego n(j)eff (ω) możemy podzielić na wkład od dyspersji ośrodka tworzącegopłaszcz nco(ω) oraz tzw. wkład geometryczny pochodzący od struktury modowej pola wfalowodzie:

n(j)eff (ω) = nco(ω) + ∆n

(j)geom(ω). (1.16)

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe 15

Jedynie dla niewielkich zakresów częstości możliwe jest przyjęcie założenia o niezależnościfunkcji modowych od częstości i wykorzystywanie jednakowych funkcji dla wszystkichskładowych fourierowskich sygnału. Dla nieco szerszych zakresów częstości można przyjąćniezależność od częstości przyczynku geometrycznego ∆n(j)geom.Na zakończenie tej części trzeba podkreślić, że powyższe rozważania prowadzone były

przy założeniu ośrodka bezstratnego. W przypadku, gdy straty w ośrodku są niewielkie,ich obecność nie zaburza struktury modowej falowodu [73].

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe

Przejdźmy teraz do omówienia procesów mieszania trzech fal w falowodach, w tym doszczegółowego omówienia kluczowego dla tej pracy zagadnienia dopasowania fazowego wprocesach nieliniowych drugiego rzędu.Optyczne procesy nieliniowe zachodzą dla natężeń światła, dla których zależność po-

laryzacji dielektrycznej P od natężenia pola elektrycznego wykracza poza zakres liniowy.Zależność tę można rozwinąć w szereg względem natężenia pola elektrycznego E:

P (t) = ε0(χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) + . . . ) (1.17)

W wyrażeniu tym χ(1) jest liniową podatnością elektryczną ośrodka dielektrycznego, aχ(2) oraz χ(3) są podatnościami nieliniowymi odpowiednio drugiego i trzeciego rzędu. Na-leży zaznaczyć, że niezerowe wartości χ(2) występują wyłącznie w ośrodkach o strukturzeniecentrosymetrycznej. Dla ośrodków posiadających środek symetrii, w tym dla ośrod-ków izotropowych, pierwszym niezerowym nieliniowym współczynnikiem rozwinięcia jestpodatność trzeciego rzędu [56].W tej pracy rozpatrywanym ośrodkiem nieliniowym jest anizotropowy kryształ KTP, w

którym, przy stosowanych w eksperymentach opisanych w dalszej części pracy natężeniachświatła, znaczenie mają wyłącznie procesy drugiego rzędu. W związku z tym pominęwyższe człony rozwinięcia (1.17).W wyniku oddziaływania fal elektromagnetycznych o częstościach ω1 i ω2 w ośrodku z

nieliniowością drugiego rzędu mogą powstać fale o częstościach odpowiadających drugimharmonicznym każdej z częstości, ich sumie i różnicy. Ze względu na konieczność spełnieniawarunku dopasowania fazowego najczęściej w wyniku oddziaływania nieliniowego genero-wana jest fala odpowiadającej tylko jednej z powyższych możliwości. Ponieważ jest totrzecia fala biorąca udział w oddziaływaniu, procesy nieliniowe drugiego rzędu nazywa sięprocesami mieszana trzech fal (ang. three wave mixing). Pierwszą eksperymentalną obser-wacją procesu nieliniowego tego typu była generacja drugiej harmonicznej promieniowanialasera rubidowego w krysztale kwarcu w roku 1961 [88].Wartość podatności nieliniowej χ(2) może zależeć (i w ogólności zależy) od polaryzacji

trzech oddziałujących fal oraz ich kierunków propagacji względem kierunków krystalogra-ficznych ośrodka. W związku z powyższym jest ona wielkością tensorową. W przypadkuczęstości oddziałującego promieniowania odległych od częstości rezonansowych ośrodka,wartość podatności nieliniowej jest niezależna od częstości, wskutek czego opisujący jątensor opisywany jest za pomocą co najwyżej 10 niezależnych wyrazów [89]. W zależnościod symetrii ośrodka liczba niezależnych wyrazów może być zmniejszona [56]. W literaturzeprzyjęte jest posługiwanie jest tensorem o wartościach równych połowie odpowiednich po-datności nieliniowych χ(2), zwanym tensorem współczynnika nieliniowego d. Dla ustalonychpolaryzacji i kierunków propagacji oddziałujących fal możliwe jest wyznaczenie wielkościskalarnej opisującej wielkość oddziaływania nieliniowego, zwaną efektywnym współczyn-nikiem nieliniowym deff . Wartość polaryzacji nieliniowej drugiego rzędu PNL można wtedy

16 Podstawy

zapisać jako:PNL(r, t) = 4deffε0E1(r, t)E2(r, t), (1.18)

gdzie Ei(r, t) są natężeniami pola elektrycznego dla odpowiednich składowych polaryza-cyjnych oddziałujących pól, a dodatkowy czynnik 2 pojawia się, ponieważ uwzględniamydwie równoważne permutacje kolejności pól E1 i E2.Przyjmując związek materiałowy jako D = εE + PNL, gdzie ε jest tensorem prze-

nikalności elektrycznej pierwszego rzędu ośrodka i przekształcając we właściwy sposóbrównania Maxwella otrzymuje się nieliniowe równanie falowe z członem źródłowym:

∇2E− ϵ

c2∂2E∂t2=1ε0c2

∂2PNL∂t2

. (1.19)

1.3.1 Dopasowanie fazowe

Aby omówić zagadnienie dopasowania i quasi-dopasowania fazowego nie zagłębiając sięjednocześnie w szczegóły związane z propagacją światła w falowodzie, rozpocznę od ana-lizy nieliniowego procesu sumowania częstości w przybliżeniu quasi-monochromatycznychfal płaskich. Realistyczny przypadek oddziaływania nieliniowego w falowodzie omówię wdalszej części tego rozdziału.W procesie sumowania częstości, w wyniku oddziaływania fal o częstości ω1 oraz ω2, w

ośrodku nieliniowym może powstać fala o częstości sumarycznej ω3 = ω1+ω2. Zakładamy,że fale propagują się wzdłuż osi z w ośrodku nieliniowym rozciągającym się od z = 0do z = L. Zakładając, że każda z fal jest spolaryzowana liniowo, możemy przyjąć, że ichoddziaływanie nieliniowe opisuje odpowiedni efektywny współczynnik nieliniowości deff .Wykorzystując wspomniane przybliżenie fal quasi-monochromatycznych możemy za-

pisać oddziałujące pola elektryczne w postaci iloczynu wolnozmiennej obwiedni amplitu-dowej A(z) i czynnika oscylującego z częstością optyczną [56]:

Ei(z, t) = Ai(z) exp(iωit− kiz) + c.c., (1.20)

gdzie i = 1,2,3, ki = ωini/c, ni jest wartością współczynnika załamania ośrodka nieli-niowego dla i-tego pola, a c.c. reprezentuje człony sprzężone zespolone. Po podstawieniupowyższych wyrażeń do nieliniowego równania falowego (1.19), dokonaniu przybliżeniawolnozmiennej obwiedni poprzez pominięcie drugiej pochodnej wielkości A(z), otrzymujesię jedno z tzw. sprzężonych równań amplitudowych:

dA3dz≈ 4deffω3i

k3c2A1A2ei∆kz, (1.21)

gdzie wielkość ∆k, zwana niedopasowaniem wektorów falowych, dana jest przez ∆k =k1 + k2 − k3. Całkując powyższe równanie w granicach od 0 do z 6 L przy założeniu,że generacja sumy częstości nie zubaża pompy, tj. A1,2(z) = const., otrzymujemy na-stępujące wyrażenie na zależność wolnozmiennej obwiedni A3 od położenia w ośrodkunieliniowym:

A3(z) ∝ deffA1A2

(1− ei∆kz

∆k

). (1.22)

Po obliczeniu kwadratu modułu powyższego wyrażenia uzyskujemy wyrażenie opisującezależność natężenia sumy częstości od położenia:

I3(z) ∝ 4deffI1I2sin2(∆kz/2)(∆k)2

= deffI1I2z2sinc2(∆kz/2), (1.23)

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe 17

gdzie sinc(x) = sin(x)/x. Gdy spełniony jest warunek dopasowania fazowego oddziałują-cych pól (∆k = 0), opisuje ono kwadratowy wzrost natężenia wraz z położeniem (rys. 1.3),do momentu gdy założenie o niezmienionej mocy pompy przestaje być spełnione. Speł-nienie warunku dopasowania fazowego powoduje, że w całej długości ośrodka nieliniowegofaza polaryzacji nieliniowej wytwarzanej przez fale 1 i 2 jest zgodna z fazą generowanegopola sumy częstości. Dzięki temu przyczynki do pola sumy częstości wytwarzane w różnychpołożeniach w ośrodku nieliniowym interferują konstruktywnie, co skutkuje wzmacnianiempola sumy częstości w trakcie propagacji wzdłuż ośrodka nieliniowego.W przypadku braku dopasowania fazowego natężenie sumy częstości oscyluje z nie-

wielką amplitudą z okresem przestrzennym 2π∆k (rys. 1.3). W tej sytuacji różnica fazgenerowanej fali sumy częstości oraz polaryzacji nieliniowej oscyluje wokół zera w trak-cie propagacji w ośrodku nieliniowym, co prowadzi naprzemiennie do konstruktywnej idestruktywnej interferencji nowych przyczynków do fali sumy częstości z dotychczas wy-tworzonymi. Ostateczne natężenie sumy częstości na wyjściu z ośrodka nieliniowego jestniewielkie.Pierwsza w historii obserwacja procesu nieliniowego — generacji drugiej harmonicznej

w krysztale kwarcu w roku 1961 [88] — została dokonana przy braku dobrego dopasowaniafazowego, co skutkowało niewielką mocą zarejestrowanego promieniowania. Koniecznośćzapewnienia dopasowania fazowego w celu osiągnięcia znaczącej wydajności procesów nie-liniowych została dostrzeżona i zrealizowana eksperymentalnie jeszcze w tym samym rokuprzez Makera i współautorów [90]. Wykorzystano w tym celu najpowszechniej stosowanąmetodę zapewnienia dopasowania fazowego z wykorzystaniem dwójłomności.Zapewnienie dopasowania fazowego dla procesów mieszania trzech fal w izotropowych

materiałach o dyspersji normalnej jest niemożliwe, ponieważ dla takich materiałów war-tość sumy wektorów falowych dwóch fal o mniejszej częstości będzie zawsze mniejsza niżwartość wektora falowego fali o największej częstości. W związku z tym dla zapewnieniadopasowania fazowego typowo stosuje się materiały dwójłomne, w których jedno lub dwaz oddziałujących pól propagują się jako fala zwyczajna, a pozostałe jako nadzwyczajna.W przypadku sumowania częstości w materiałach objętościowych, gdy oba pola pompu-jące mają polaryzację fali zwyczajnej, a pole sumy częstości — nadzwyczajnej, mówimyo dopasowaniu falowym I typu; gdy jedno z pól pompy ma polaryzację fali zwyczajnej,a drugie pole pompy oraz pole sumy częstości — nadzwyczajnej, mówimy o dopasowaniufazowym II typu.W przypadkach gdy zapewnienie dopasowania fazowego za pomocą dwójłomności nie

jest możliwe — co jest częstym przypadkiem dla oddziaływań nieliniowych w falowodach,ze względu na m. in. na brak możliwości zmieniania kąta pomiędzy osią optyczną ośrodkaa kierunkiem propagacji światła — wykorzystuje się inne metody [47]. Jedną z nich jesttzw. quasi-dopasowanie fazowe [56,91].

1.3.2 Quasi-dopasowanie fazowe

Powróćmy do zależności (1.23), opisującej przy braku dopasowania fazowego oscylacjenatężenia pola sumy częstości wzdłuż kierunku propagacji w ośrodku nieliniowym z okre-sem przestrzennym 2π∆k. Aby zapobiec zmniejszaniu natężenia sumy częstości z odpo-wiednim okresem przestrzennym zmienia się znak współczynnika nieliniowości deff ośrodka— tak, by w momencie, gdy fazy generowanego pola i polaryzacji nieliniowej zaczynająbyć przeciwne, zmienić fazę polaryzacji nieliniowej o π. Zmiany znaku dokonuje się copołowę okresu oscylacji przestrzennych, poczynając od pierwszego maksimum dla przy-padku niedopasowanego fazowo (por. rys. 1.3). W praktyce efekt ten uzyskuje się poprzezwytworzenie w ośrodku nieliniowym tzw. domen nieliniowych o przeciwnych orientacjach,

18 Podstawy

Rys. 1.3: Ewolucja amplitudy sumy częstości w trakcie propagacji w ośrodku nieliniowym. Brakdopasowania fazowego (dla niedopasowania fazowego ∆k = 0,84 µm−1, odpowiadającego niedopa-sowaniu dla jednej z próbek używanych w dalszej części pracy) — kolor czarny; quasi-dopasowaniefazowe — czerwony, pełne dopasowanie fazowe — niebieski. Zaznaczono również granice domen nie-liniowych stosowane w przypadku wykorzystywania quasi-dopasowania fazowego, wraz ze znakamiwspółczynnika nieliniowości.

czyli o na przemian przeciwnych znakach współczynnika nieliniowości.Aby wykazać, że zabieg ten rzeczywiście prowadzi do wzmacniania pola sumy częstości,

zapiszmy wspomnianą zależność współczynnika nieliniowości od położenia jako [56]:

d(z) = deffsign[cos(2πz/Λ)] = deffM=+∞∑M=−∞

sinc(Mπ

2

)e−iqMz, M = 0, (1.24)

gdzie Λ jest okresem przestrzennej modulacji. Zależność d(z) przedstawiono w postacitransformaty Fouriera, wprowadzając oznaczenie qM = 2πM/Λ; wielkość qM można inter-pretować jako efektywny wektor falowy odpowiadający modulacjom przestrzennym.Wprowadzając powyższą zależność w miejsce efektywnego współczynnika nieliniowości

do równania (1.21) otrzymujemy:

dA3dz=4deffω3ik3c2

A1A2

M=+∞∑M=−∞

sinc(Mπ

2

)e−iqMzei∆kz, (1.25)

Łatwo zauważyć, że prawa strona powyższego równania jest sumą członów postaci pra-wej strony równania (1.21), gdzie ∆k należy zastąpić przez ∆kQM = ∆k − qM , a deffprzez deffsinc(Mπ/2). Dokonując całkowania przy analogicznych założeniach jak poprzed-nio znajdujemy, że amplituda wolnozmiennej obwiedni A3 będzie sumą przyczynków po-chodzących od kolejnych rzędów quasi-dopasowania fazowego M :

A3(z) ∝ deffA1A2M=+∞∑M=−∞

sinc(Mπ

2

)(1− ei∆kQM z

∆kQM

). (1.26)

Wynikającą z powyższego wyrażenia zależność części rzeczywistej A3 dla pierwszego rzęduquasi-dopasowania fazowego, tj. dla Λ dobranego tak, że q1 = ∆k, przedstawiono na rys.1.3. Widoczny jest dominujący wkład członu odpowiadającegoM = 1, dający, analogiczniejak dla zwykłego dopasowania fazowego, liniowy wzrost A3 wraz z położeniem, jednakże o

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe 19

nachyleniu stanowiącym 2/π nachylenia dla zwykłego dopasowania. Niewielkie przyczyn-ki od wyższych rzędów dopasowania fazowego odpowiedzialne są za nieznaczne oscylacjenakładające się na zależność liniową. Warto zauważyć, że dla równych rozmiarów domeno dodatniej i ujemnej wartości współczynnika nieliniowości przyczynki od parzystych rzę-dów dopasowania fazowego są tożsamościowo równe zeru; jednakże dla asymetrycznychdomen nieliniowych, opisanych zależnościami bardziej złożonymi niż (1.24), możliwe jestpojawienie się niezerowych przyczynków również dla M parzystego [92,93] .Dla ustalonej długości ośrodka nieliniowego z = L z zależności natężenia promienio-

wania generowanego w procesie nieliniowym — w rozważanym przypadku promieniowa-nia sumy częstości — od różnicy wektorów falowych ∆k wynika szerokość widmowa wa-runku dopasowania fazowego. Zależność ta dana jest przez (1.23), tj. ma postać funkcjisinc2[∆k(ω)L/2].Nieregularności w strukturze modulacji przestrzennej w przypadku quasi-dopasowania

fazowego powodują pojawienie się dodatkowych częstości przestrzennych, co przy ich istot-nym udziale może prowadzić do zwiększenia szerokości widmowej warunku dopasowaniafazowego. Gdy nieregularności te wprowadzane są w sposób kontrolowany mamy do czy-nienia z tzw. nierównomiernym quasi-dopasowaniem fazowym (ang. chirped quasi phasematching) [92,94–97].Ponieważ niniejsza praca nie jest poświęcona metodom wytwarzania próbek z perio-

dyczną inwersją domen nieliniowych, jedynie w dużym skrócie opiszę metody wprowa-dzania inwersji domen w ośrodku nieliniowym. Obecnie najpowszechniej wykorzystywanąmetodą jest metoda inwersji wykorzystująca ferroelektryczność materiałów nieliniowych.Na powierzchni materiału nieliniowego wytwarza się siatkę elektrod (najczęściej metoda-mi fotolitograficznymi) z okresem odpowiadającym pożądanemu okresowi przestrzennemumodulacji. W wyniku przyłożenia do elektrod napięcia wytwarzającego pole elektryczne onatężeniu przewyższającym natężenie koercji dla materiału (dla KTP jest to ok. 2 kV/mm,o rząd wielkości mniej niż dla niobianu litu), uzyskuje się odwrócenie domen ferroelektrycz-nych, skutkujące zmianą znaku podatności nieliniowej. Pierwsza struktura o periodycznejinwersji domen uzyskana została tą metodą w roku 1993 w niobianie litu [98]. Niedługopóźniej uzyskano pierwsze struktury w objętościowych kryształach KTP [99, 100]. Wcze-śniej uzyskiwano periodyczną inwersję domen w próbkach KTP m. in. metodą wymianyjonowej [50] oraz skanowania wiązką elektronów [101].Podsumowując, quasi-dopasowanie fazowe umożliwia wydajną realizację procesów nie-

liniowych drugiego rzędu w ośrodkach, dla długości fali i dla polaryzacji, dla których nie-możliwe jest uzyskanie dopasowania fazowego z wykorzystaniem dwójłomności, w szczegól-ności w konfiguracji współliniowej. Długość fali, dla której spełniony jest warunek quasi-dopasowania fazowego może być wybrana przez zastosowanie odpowiedniego okresu mo-dulacji przestrzennej Λ i może być strojona temperaturowo [102]. Efektywny współczynniknieliniowości zmniejsza się 2/(Mπ)-krotnie w wyniku wykorzystania quasi-dopasowania fa-zowego M -tego rzędu. W przypadku quasi-dopasowania fazowego pierwszego rzędu ozna-cza to efektywną nieliniowość równą 2/π = 0,64 nieliniowości wyjściowej. Jednakże częstowyłącznie dzięki wykorzystaniu quasi-dopasowania fazowego możliwa jest realizacja pro-cesu nieliniowego w konfiguracji pozwalającej na wykorzystanie maksymalnych wartościtensora podatności nieliniowej, niedostępnych w przypadku stosowania dopasowania fazo-wego opartego na dwójłomności.

1.3.3 Procesy nieliniowe w falowodzie

W tym podrozdziale omówię proces sumowania częstości w falowodach dla pól nie-monochromatycznych. W poniższym wyprowadzeniu warunku dopasowania fazowego dla

20 Podstawy

procesu sumowania częstości w wielomodowym falowodzie nieliniowym połączę wynikianalizy procesów nieliniowych w falowodzie dla pól monochromatycznych [103,104] z ana-lizą dla pól niemonochromatycznych [105] wykorzystującą fale płaskie.W podrozdziale 1.2.2 zaznaczyliśmy, że mody poprzeczne analizowanej struktury falo-

wodowej w ogólności należy opisywać wektorowymi funkcjami modowymi pola elektryczne-go e(j)(x,y;ω), w szczególności mogącymi posiadać niezerowe składowe polaryzacji w obukierunkach poprzecznych (x, y) oraz w kierunku podłużnym. Możemy jednak się spodzie-wać, że warunek dopasowania fazowego w połączeniu ze znaczną dwójłomnością falowoduspowoduje, iż istotny wkład do procesów nieliniowych będzie dawać tylko jedna ze składo-wych polaryzacyjnych [76]. W związku z tym w dalszej części tego podrozdziału wektorowąfunkcję modową przybliżymy za pomocą funkcji skalarnej u(j)(x,y) odpowiadającej domi-nującej składowej polaryzacyjnej, analogicznie jak w równaniu (1.12), z zastrzeżeniem, żeznak równości należy zastąpić w nim znakiem równości przybliżonej. Założymy również, żefunkcje u(j)(x,y), gdzie j przebiega dyskretne wartości indeksów poszczególnych modów,są ortonormalne (por. (1.13)). Należy jednak zaznaczyć, że gdy funkcje skalarne są jedy-nie przybliżeniem rzeczywistych wektorowych funkcji modowych, warunki ortonormalnościdla funkcji skalarnych nie są w ogólności spełnione ściśle. Analiza dla pełnej wektorowejpostaci pól zwarta jest w pracy [95].Rozważmy proces sumowania częstości pól E1(r,t), E2(r,t) w falowodzie o efektywnym

współczynniku nieliniowości deff , w którym powstaje pole sumy częstości E3(r,t). Założy-my, że rozważamy proces drugiego typu, w którym pola 1 i 2 mają prostopadłe polaryzacjeH i V .Zapiszmy pola w postaci transformaty Fouriera ich amplitud spektralnych Ei(r, ω):

Ei(r,t) =∫ +∞−∞Ei(r,ω) e−iωt dω + c.c., i = 1,2,3, (1.27)

przy czym założymy, że Ei(r, ω) opisują pola wąskopasmowe wokół częstości centralnej Ωi,oraz, ponieważ rozważamy sumowanie częstości, że Ω3 = Ω2 +Ω1.Podstawiając natężenia pola elektrycznego postaci (1.27) do wyrażenia na nieliniową

polaryzację dielektryczną (1.17) możemy wypisać postać składowej polaryzacji nieliniowejo częstościach bliskich Ω3.

PNL(r,t) = 4deffε0∫dω1

∫dω2 E1(r, ω1)E2(r, ω2) e−i(ω1+ω2)t. (1.28)

W ogólności w wyrażeniu na polaryzację nieliniową będą występowały również skład-niki oscylujące z częstościami bliskimi 2Ω1 i 2Ω2, odpowiadające drugim harmonicznymodpowiednich pól. Pomijam je, ponieważ zakładam, że dopasowanie fazowe dla generacjidrugich harmonicznych nie będzie spełnione jednocześnie z dopasowaniem fazowym dlaprocesu sumowania częstości.Ponieważ mamy do czynienia z polami niemonochromatycznymi, aby rozwiązać nie-

liniowe równanie falowe (1.19) dla pola sumy częstości E3, wypiszmy je wykorzystująctransformaty Fouriera wielkości oscylujących z częstościami optycznymi:

∇2E3(r, ω3)−ε(ω3)ω23c2E3(r, ω3) =

ω3ε0c2PNL(r, ω3), (1.29)

gdzie skalarna przenikalność elektryczna ϵ odpowiada ustalonym polaryzacjom oddziałują-cych pól (ponieważ założyliśmy, że składowe o innych polaryzacjach będą niedopasowanefazowo). Wielkość PNL(r, ω3) jest transformatą Fouriera polaryzacji nieliniowej danej przez

1.3 Mieszanie trzech fal i quasi-dopasowanie fazowe 21

(1.28):

PNL(r, ω3) = 4deffε0∫dt∫dω1

∫dω2 E1(r, ω1)E2(r, ω2) ei[ω3−(ω1+ω2)]t (1.30)

= 4deffε0∫dω1E1(r, ω1)E2(r, ω3 − ω1), (1.31)

gdzie skorzystano z delty Diraca powstającej w wyniku całkowania po czasie aby wykonaćcałkowanie po częstości ω2. W ten sposób pozostały tylko wyrazy spełniające warunekzachowania energii w procesie sumowania częstości: ω1 + ω2 = ω3.Zajmijmy się teraz prawą stroną równania (1.29). Korzystając z rozkładu (1.7) zapisz-

my zależność przestrzenną pól Ei jako sumę wkładów od poszczególnych modów poprzecz-nych falowodu:

Ei(r, ω) =∑l

u(l)i (x,y)A

(l)i (z, ω) e

iβ(l)i (ω)z, (1.32)

gdzie A(l)i jest wolnozmienną przestrzennie amplitudą składowej i-tego pola w l-tym mo-dzie poprzecznym, a β(l)i odpowiadającą temu modowi stałą propagacji. Należy zwrócićuwagę, że pominięto zależność funkcji modowych od częstości i polaryzacji. Wynika to zzałożenia, że rozważamy pola na tyle wąskopasmowe, że w zakresie częstości (dla jednegopola) funkcje modowe pozostają niezmienne. W miejsce zależności od częstości i polary-zacji wprowadzono trzy niezależne zbiory funkcji modowych dla trzech rozważanych pól:u(l)1 (x,y), u

(m)2 (x,y), u

(n)3 (x,y).

Rozbijmy laplasjan po prawej stronie równania (1.29) na część poprzeczną i podłużną;pierwszy wyraz ma wtedy postać:

∇2E3(r, ω3) = ∇2tE3(r, ω3) +∂2

∂z2E3(r, ω3). (1.33)

Przy wykonywaniu pochodnej po z, analogicznie jak przy wyprowadzaniu (1.21), zanie-dbujemy drugą pochodną, korzystając z założenia o wolnej zmienności amplitud A(n)3 (z),i otrzymujemy:

∂2

∂z2E3(r, ω3)≈

∑n

[2iβ(n)3

∂A(n)3 (z, ω3)∂z

−(β(n)3

)2A(n)3 (z, ω3)

]u(n)3 (x,y)e

iβ(n)3 (ω3)z. (1.34)

Do obliczenia pochodnych poprzecznych wykorzystujemy fakt, że u(n)3 (x,y) są funkcjamimodowymi falowodu, a co za tym idzie spełniają równanie Helmholtza (1.15):

∇2tu(n)3 (x,y) =

[(β(n)3

)2− ω23ε

c2

]u(n)3 (x,y). (1.35)

Stąd

∇2tE3(r, ω3) =∑n

[(β(n)3

)2− ω23ε

c2

]A(n)3 (z, ω3)u

(n)3 (x,y) e

iβ(n)3 (ω3)z. (1.36)

Wstawiając (1.36) oraz (1.34) do (1.33), a następnie do równania falowego (1.29) widzimy,że upraszczają się wszystkie człony prawej strony równania, poza członem zawierającympochodną amplitudy. Uwzględniając zależność polaryzacji nieliniowej (1.30) od położeniamożemy zapisać:

∑n

dA(n)3 (z, ω3)Ldz

u(n)3 =

=2deffω3

iβ(n)3 c2

∑l,m

u(l)1 u(m)2

∫dω1A

(l)1 (ω1)A

(m)2 (ω3−ω1) e

i∆klmn(ω1,ω3)z, (1.37)

22 Podstawy

gdzie dla zwiększenia czytelności nie wypisano zależności funkcji modowych od współ-rzędnych poprzecznych. Przyjęto również założenie o niezubażaniu pól pompujących, wzwiązku z czym amplitudy A1 i A2 stały się niezależne od z. Za pomocą ∆klmn(ω1,ω3)oznaczono niedopasowanie fazowe dla trójki modów poprzecznych (l,m,n):

∆klmn(ω1,ω3) = β(l)1 (ω1) + β

(m)2 (ω3 − ω1)− β

(n)3 (ω3). (1.38)

Równanie (1.37) opisuje ewolucję amplitud wszystkich modów pola sumy częstości wtrakcie propagacji wzdłuż falowodu. Aby otrzymać równanie opisujące ewolucję wybrane-go modu poprzecznego pola sumy częstości o indeksie n′, pomnóżmy obie strony równaniaprze funkcję modową u(n

′)∗3 (x,y) (gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone), a następ-

nie wycałkujmy obie strony po poprzecznych współrzędnych przestrzennych. Korzystającz ortonormalności funkcji modowych uzyskujemy:

dA(n′)3 (z, ω3)dz

=2deffω3

iβ(n′)3 c2

∑l,m

Slmn′∫dω1A

(l)1 (ω1)A

(m)2 (ω3−ω1) e

i∆klmn′ (ω1,ω3)z, (1.39)

gdzie Slmn′ jest całką przekrywania się trójki modów poprzecznych:

Slmn′ =∫A∞dx dy u(l)1 (x,y)u

(m)2 (x,y)u

(n′)∗3 (x,y). (1.40)

Dokonajmy całkowania po z w granicach od 0 (początek falowodu) do L (długośćfalowodu), opuszczając dla uproszczenia zapisu prim przy indeksie n. Otrzymujemy:

A(n)3 (L, ω3) = (1.41)

=2deffω3

β(n)3 c2

∑l,m

∫dω1A

(l)1 (ω1)A

(m)2 (ω3−ω1)e

i∆klmn(ω1,ω3)L/2Φlmn(ω1,ω3−ω1),

gdzie za pomocą Φlmn oznaczyliśmy funkcję dopasowania fazowego dla trójki modów(l,m,n):

Φlmn(ω1,ω3 − ω1) = Slmn sinc(∆klmn(ω1,ω3)L/2) (1.42)

oraz skorzystaliśmy z

ei∆klmn(ω1,ω3)L − 1i∆klmn(ω1,ω3)

= iei∆klmn(ω1,ω3)L/2 sinc(∆klmn(ω1,ω3)L/2).

Jest to najbardziej ogólne wyrażenie opisujące oddziaływanie nieliniowe wielomodo-wych szerokopasmowych pól w falowodzie. Jego szczegółowe omówienie pozostawimy dorozdziału 3. Tutaj zauważmy jedynie, że amplituda pola sumy częstości w modzie po-przecznym n jest sumą przyczynków pochodzących z oddziaływania nieliniowego różnychpar modów poprzecznych pól 1 i 2. Wkład każdego z tych przyczynków określony jestprzez funkcję dopasowania fazowego Φlmn, zawierającą warunek dopasowania fazowego∆klmn dla trójki modów poprzecznych (dwóch modów pól 1 i 2 oraz wynikowego modupola sumy częstości) oraz całkę przekrywania trójki oddziałujących modów Slmn. Czę-stość, dla której spełniony jest warunek dopasowania fazowego ∆klmn = 0 będzie różnadla różnych trójek rozważanych modów. Jest to skutek różnic geometrycznych poprawekdo współczynnika załamania (1.16) pomiędzy poszczególnymi modami. Efekt zależnościwarunku dopasowania fazowego od modów poprzecznych był często wykorzystywany dozapewnienia dopasowania fazowego dla falowodowych procesów nieliniowych χ(2) przedopracowaniem technologii wytwarzania periodycznej inwersji domen nieliniowych pozwa-lającej na wykorzystanie quasi-dopasowania fazowego [46,106,107].

1.4 Fluorescencja parametryczna 23

Warto zauważyć, że do trójki modów nie muszą należeć wyłącznie mody prowadzone.W szczególności pole sumy częstości może być opisywane przez mody radiacyjne i być emi-towane w postaci wiązki opuszczającej rdzeń falowodu pod kątem wynikającym z warunkudopasowania fazowego [108]. Promieniowanie takie jest szczególnym typem promieniowa-nia Czerenkowa, gdyż analogicznie do promieniowania naładowanej cząstki poruszającejsię z prędkością większą od prędkości fazowej światła w ośrodku, tutaj, w warunkach, wktórych to promieniowanie powstaje, prędkość fazowa polaryzacji nieliniowej przewyższaprędkość fazową pola sumy częstości w płaszczu falowodu. Tematem tej pracy są modyprowadzone w falowodzie, w związku z czym w dalszej dyskusji nie będę rozważał promie-niowania Czerenkowa.W powyższej analizie nie uwzględniono quasi-dopasowania fazowego. W przypadku

inwersji domen nieliniowych wprowadzanej w sposób nie zmieniający wymiarów poprzecz-nych falowodu możemy w dalszym ciągu stosować formalizm modów poprzecznych, przyczym mody zachowują się tak, jak dla falowodu o własnościach uśrednionych po poszcze-gólnych domenach [109,110]. W związku z tym oraz z postacią matematyczną sprzężonychrównań amplitudowych analizę przeprowadzoną w części 1.3.2 można w sposób całkowicieanalogiczny zastosować do powyższego wyprowadzenia. Wnioski są takie same jak w czę-ści 1.3.2: dla ustalonego rzędu dopasowania fazowegoM współczynnik nieliniowości należyzmniejszyć sinc(Mπ/2) krotnie, a niedopasowanie fazowe ∆klmn (1.38) zastąpić przez:

∆k′lmn(ω1,ω2) = β(l)1 (ω1) + β

(m)2 (ω2)− β

(n)3 (ω1 + ω2) +

2πMΛ

, (1.43)

gdzie Λ jest okresem przestrzennym inwersji domen nieliniowych.

1.4 Fluorescencja parametryczna

Po omówieniu procesu sumowania częstości, w którym, w obrazie korpuskularnym,dwa fotony o mniejszej energii łączą się w ośrodku nieliniowym w foton o energii większej,przejdę do przedstawienia opisu procesu fluorescencji parametrycznej. Jest to proces od-wrotny do procesu sumowania częstości: w wyniku oddziaływania nieliniowego χ(2) fotono energii większej rozpada się na parę fotonów o mniejszych energiach.

1.4.1 Historia

Proces fluorescencji parametrycznej został przewidziany teoretycznie przez W. H. Lo-uisella, A. Yariva oraz A. E. Siegmana w 1961 r. [111]. Przewidywania te potwierdziływkrótce kolejne prace teoretyczne: [112,113]. Opis pierwszej doświadczalnej obserwacji parfotonów fluorescencji parametrycznej został opublikowany w 1967 r. przez S. E. Harrisa,M. K. Oshmana i R. L. Byera [114], po czym nastąpiło dokładniejsze zweryfikowanie wła-sności obserwowanego promieniowania [34]. Zaobserwowanie fluorescencji parametrycznej,procesu o niezwykle małej wydajności, zostało znacznie ułatwione dzięki wynalezieniu la-sera [6]. Późniejsze prace pokazały jednak, że możliwa jest również obserwacja par fotonówfluorescencji parametrycznej pompowanej światłem niespójnym [115–117].Wraz z rozwojem badań w dziedzinie optyki kwantowej fluorescencja parametryczna

stała się podstawowym narzędziem do wytwarzania par fotonów w stanach splątanych wróżnych stopniach swobody, sygnalizowanych pojedynczych fotonów, wielokrotnych par fo-tonów — środków niezbędnych do przeprowadzenia szeregu przełomowych eksperymentówz dziedziny optyki kwantowej [55,118].Pierwsze realizacje procesu fluorescencji parametrycznej wykorzystywały nieliniowy

kryształ objętościowy, w którym dopasowani fazowe było zapewnione dzięki wykorzysta-

24 Podstawy

niu dwójłomności; do dziś jest to najpopularniejszy typ źródeł fluorescencji parametrycz-nej. Następnie pojawiły się źródła par fotonów wykorzystujące kryształy z periodycznąinwersją domen nieliniowych — umożliwiające zapewnienie dopasowania fazowego bez wy-korzystania dwójłomności (por. 1.3.2). Najnowszą możliwością jest realizacja procesu flu-orescencji parametrycznej w falowodzie wykonanym w ośrodku nieliniowym, takim jak np.kryształ KTiOPO4 lub LiNbO3, z dopasowaniem fazowym zapewnionym dzięki periodycz-nej inwersji domen. Ponieważ proces fluorescencji parametrycznej w falowodzie tego typujest przedmiotem analizy w tej pracy, przedstawię teraz teoretyczny opis tego zjawiska,w zakresie potrzebnym do przeprowadzenia symulacji, analizy i interpretacji opisanych wdalszych rozdziałach eksperymentów.

1.4.2 Fluorescencja parametryczna w wielomodowym falowodzie nieli-niowym

Rozważmy falowód, w którym zachodzi rozpad fotonu pola, które oznaczać będziemysymbolem B, na parę fotonów liniowo i wzajemnie prostopadle spolaryzowanych, któreoznaczać będziemy przez H i V , odpowiednio dla fotonu spolaryzowanego poziomo i piono-wo. W eksperymentach fluorescencja parametryczna będzie wykorzystywana dla częstościfotonów sygnałowego i jałowego bliskich degeneracji — częstości fotonów sygnałowego ijałowego będą w związku z tym w przybliżeniu dwukrotnie mniejsze niż częstość fotonówwiązki pompującej ωB, i będą zmieniać się w niewielkim zakresie wokół częstości ωB/2. Wzwiązku z tym możemy do opisu struktury modów poprzecznych rozważanych pól przyjąć,analogicznie jak w poprzednim podrozdziale, trzy zbiory funkcji modowych niezależnychod częstości: u(n)B (x,y), u

(l)H (x,y), u

(m)V (x,y). W dalszej części pracy indeksy n, l, m

będą używane wyłącznie do oznaczania modów poprzecznych odpowiednio pompy B, polao polaryzacji H, pola o polaryzacji V .Ze względu na fakt, że istnieje tylko jedno pole „wejściowe” w procesie fluorescencji

parametrycznej, nie jest możliwe opisanie tego procesu metodami klasycznej optyki nie-liniowej; konieczne jest zastosowanie opisu kwantowego. Najwygodniej opisywać zjawiskofluorescencji parametrycznej w obrazie oddziaływania [119]. W analizowanej tutaj sytu-acji dla procesu II typu, przy założeniu, że proces nie zubaża pompy (co w połączeniu zjej makroskopowym natężeniem, pozwala na potraktowanie jej klasycznie), wielomodowyhamiltonian oddziaływania dany jest przez [120]:

HI =∑l,m,n

∫Vd3r χ(2)E(+)B,n(r, t) E

(−)H,l (r, t) E

(−)V,m(r, t) + h.c., (1.44)

gdzie operatory Ei(r, t) = E(+)i (r, t) + E

(−)i (r, t), i ∈ (B,n), (H,l), (V,m), opisują od-

powiednio pole elektryczne pompy, sygnałowe i jałowe, w modach poprzecznych l, m, n.Wartości tych indeksów przebiegają wszystkie mody związane falowodu dla odpowiedniegopola; ponadto dla ogólności możemy przyjąć, że przebiegają one również mody radiacyjne.χ(2) jest podatnością nieliniową drugiego rzędu ośrodka, V określa objętość całkowania (wkierunku osi z obejmującą długość falowodu od z = 0 do L, a w kierunkach poprzecznychobszar, w którym funkcje modowe pozostają niezerowe), a h.c. oznacza człony sprzężonehermitowsko.Klasyczne natężenie pola elektrycznego pompy możemy wyrazić jako superpozycję

wkładów od fal monochromatycznych pochodzących od dozwolonych przez strukturę falo-wodową modów poprzecznych:

E(+)B,n(r, t) =

∫dωB αn(ωB)eiβn(ωB)z−iωBt u

(n)B (x,y). (1.45)

1.4 Fluorescencja parametryczna 25

αn(ω) jest zespoloną obwiednią amplitudową składowej pola pompy w modzie poprzecz-nym n, βn(ω) jest stałą propagacji dla modu n. Całkowanie po częstościach ω wykonywanejest w granicach (−∞,+∞). W dalszej części pracy granice te zostały przyjęte za domyślnew przypadku całkowania po częstościach i nie będą wypisywane explicite.Operatory pól sygnałowego i jałowego, które wymagają opisu kwantowego, wyrażają

się przez operatory kreacji i anihilacji. Oznaczmy przez al(ωH) operator anihilacji dla polao polaryzacji H o częstości ωH w modzie poprzecznym l. Analogiczny operator dla polao polaryzacji V w modzie poprzecznym m oznaczmy przez bm(ωV ). Korzystając z tychoznaczeń możemy zapisać:

E(+)H,l (r, t) =

∫dωH

√~ωH4πε0c

al(ωH)eiβl(ωH)z−iωH t u(l)H (x,y), (1.46)

E(+)V,m(r, t) =

∫dωV

√~ωV4πε0c

am(ωV )eiβm(ωV )z−iωV t u(m)V (x,y),

gdzie współczynnik pod znakiem pierwiastka charakteryzuje kwantowe fluktuacje próż-ni [111]. Operatory dla częstości ujemnych E(−)i (r, t) otrzymuje się przez sprzężenie her-mitowskie powyższych wyrażeń.Ewolucja stanu kwantowego |ψ(t)⟩ opisywana hamiltonianem (1.44) w czasie od t0 do

t może być opisana za pomocą propagatora U(t,t0) i jest dana w obrazie oddziaływaniaprzez:

|ψ(t)⟩ = U(t,t0)|ψ(t0)⟩ = T ei/~∫ tt0dt′HI(t′)|ψ(t0)⟩, (1.47)

gdzie, ze względu na nieprzemienność operatorówHI(t) w różnych chwilach czasu, koniecz-ne jest zastosowanie operatora uporządkowania czasowego T . Z tego powodu obliczenieprawej strony wyrażenia jest w ogólności zadaniem trudnym [121]. Tutaj ograniczymy sięjednak wyłącznie do pierwszego członu rozwinięcia w szereg eksponensu w powyższymwyrażeniu, ze względu na założenie o prowadzeniu procesu fluorescencji parametrycznejw reżimie niskiej wydajności. Dzięki temu unikamy członów wyrażenia zawierających ilo-czyny hamiltonianów HI(t) w różnych chwilach czasu i możemy zapisać:

|ψ(t)⟩ ≃ U (1)(t,t0)|ψ(t0)⟩ =(1 +1i~

∫ tt0dtHI(t)

)|ψ(t0)⟩. (1.48)

Przyjmując jako stan początkowy stan wielomodowej próżni |vac⟩ widzimy, że wielkość1/i~

∫ tt0dtHI(t) opisuje amplitudę prawdopodobieństwa pojedynczego wzbudzenia pól H

i V . Dokonajmy całkowania w tym wyrażeniu, pamiętając o warunku zachowania energiiωB = ωH + ωV :∫

dtHI(t) =∫dt∑l,m,n

∫Vd3r χ(2)E(+)B,n(r, t) E

(−)H,l (r, t) E

(−)V,m(r, t) + h.c.

= χ∑lm

∫dωH

∫dωV Ψlm(ωH , ωV ) a

†l (ωH) b

†m(ωV ), (1.49)

gdzie χ jest słabo zależącą od częstości wielkością, której wartości nie będziemy wypisy-wać explicite. Funkcja Ψlm(ωH , ωV ), która opisuje gęstość amplitudy prawdopodobieństwakreacji pary fotonów o częstościach ωH , ωV w modach poprzecznych (l,m), dana jest jako:

Ψlm(ωH ,ωV ) =∑nαn(ωH + ωV )Φ∗lmn(ωH , ωV ), (1.50)

gdzie Φ∗lmn jest dane przez:

Φ∗lmn(ωH , ωV ) = S∗lmnsinc

(∆klmn(ωH , ωV )L

2

), (1.51)

26 Podstawy

Funkcja Ψlm(ωH , ωV ) jest sumą wkładów Φ∗lmn(ωH , ωV ), będących sprzężeniem zespolo-nym funkcji dopasowania fazowego dla procesu sumowania częstości trójki modów (l,m,n)(1.42). Dla rzeczywsitych funkcji modowych, zgodnie z (1.40), S∗lmn = Slmn, dzięki czemusprzężenie zespolone można pominąć. Wkłady te ważone są amplitudą składowej pompyw n-tym modzie poprzecznym αn. Zależność Φlmn od częstości wynika z dyspersji ośrodkanieliniowego poprzez niedopasowanie fazowe ∆klmn(ωH , ωV ). Dla rozważanego falowoduz periodyczną inwersją domen nieliniowych, zgodnie z wyprowadzeniem podanym w pod-rozdziale 1.3.2 jest ono dane przez

∆klmn(ωH , ωV ) = βn(ωH + ωV )− βl(ωH)− βm(ωV ) +2πΛ, (1.52)

gdzie Λ jest efektywnym okresem przestrzennym inwersji domen nieliniowych i założonowykorzystanie pierwszego rzędu dopasowania fazowego.Jak już wspomniano funkcja Ψlm(ωH , ωV ), będąca sumą funkcji dopasowania fazowego

Φlmn ważonych udziałem modu poprzecznego l w polu pompującym oraz całką przekry-wania S∗lmn, określa amplitudę prawdopodobieństwa generacji pary fotonów o częstościach(ωH , ωV ) w modach poprzecznych (m,n). Oznacza to, że amplituda prawdopodobień-stwa zależy zarówno od własności ośrodka, przez funkcję dopasowania fazowego, jak i odwłasności widmowych i przestrzennych pola pompującego B. W niniejszej pracy wyko-rzystane zostaną parametry poddające się kontroli eksperymentatora w równaniu (1.49)w celu ograniczenia prawdopodobieństwa generacji par fotonów w niepożądanych modachpoprzecznych.Równanie (1.48) może zostać wykorzystane do obliczenia bezwzględnej wydajności pro-

cesu fluorescencji parametrycznej, przy wykorzystaniu złotej reguły Fermiego. Nie będętutaj przedstawiał szczegółów tego rozumowania, gdyż nie jest ono kluczowe dla zrozu-mienia zagadnień przedstawianych w dalszej części pracy; jego szczegóły można znaleźćw pracach [59, 122]. Dla rozważanego w pracy [59] przypadku falowodu jednomodowe-go otrzymuje się następujące wyrażenie na spektralną gęstość mocy dPH dla jednego zfotonów fluorescencji parametrycznej (tu, dla ustalenia uwagi, o polaryzacji H):

dPH =~ d2eff ω2HωV L2PBπc3ε0nHnV nBAI

sinc(∆k(ωH , ωV )L

2

)dωH , (1.53)

gdzie deff jest efektywnym współczynnikiem nieliniowości (równym dwukrotności odpo-wiedniej podatności nieliniowej), PB — mocą pompy, AI — efektywną powierzchnią prze-kroju poprzecznego oddziaływania, AI = S−2000, gdzie S000 jest całką przekrywania trójkimodów podstawowych (1.40). Używając danych dotyczących próbek zbliżonych do tychwykorzystywanych w niniejszej pracy autorzy szacują wzrost wydajności wynikający zwykorzystania falowodów na o 2 do 3 rzędów wielkości w porównaniu ze stosowaniem ob-jętościowych kryształów PPKTP. Wzrost ten wynika z opisywanej przez równanie (1.53)odwrotnie proporcjonalnej zależności gęstości mocy od efektywnej powierzchni oddziały-wania AI . W związku z tym zmniejszanie rozmiaru falowodu, a co za tym idzie rozmiarumodów poprzecznych prowadzi do dalszego zwiększenia wydajności procesu fluorescencjiparametrycznej [122]. Podkreślmy też, że z równania (1.53) wynika kwadratowa zależnośćwydajności procesu fluorescencji parametrycznej od długości falowodu.Dalsza analiza wniosków płynących z równania (1.49) zostanie przedstawiona w roz-

działach 3 – 6 w kontekście eksperymentalnym.

Rozdział 2

Falowody PPKTP

W rozdziale tym opiszę podstawowe parametry badanych falowodów PPKTP. Omówięponadto strukturę modów poprzecznych podtrzymywanych przez te falowody, przedstawiępomiary rozkładu natężenia dla poszczególnych modów poprzecznych oraz wyniki symu-lacji numerycznych.

2.1 Falowody

Przedmiotem badań były próbki falowodów wykonane metodą dyfuzji jonowej napowierzchni kryształu KTiOPO4 z periodyczną inwersją domen nieliniowych (PPKTP).Próbki te został nabyte od komercyjnego dostawcy (AdvR Inc., USA).Rozpocznę od krótkiego omówienia stosowanej przez producenta metody wytwarza-

nia falowodów [61]. Substratem do produkcji falowodów był prostopadłościenny kryształKTP wyhodowany metodą topnikową (ang. flux method). Jak już wspomniano w podroz-dziale 1.2, kryształ KTP jest kryształem dwójłomnym dwuosiowym. Orientacja kryształuprzedstawiona jest na rysunku 1.1.W celu wykonania falowodów na powierzchnię +Z kryształu nanoszona była metodą

litograficzną warstwa metaliczna z odpowiednim wzorem ścieżek o szerokości odpowiadają-cej pożądanej szerokości falowodu. Następnie przez kilka godzin dokonywano dyfuzji jonówRb+ ze stopionej soli w temperaturze ok. 400C. Prowadziło to do powstania falowodów, wktórych profil współczynnika załamania w kierunku prostopadłym do powierzchni krysz-tału (krystalograficznym Z) był dyfuzyjny. Według informacji podanych przez producentaz dobrym przybliżeniem był on opisany zależnością:

ni(z) = ni,KTP +∆ni erfc(−x/d), (2.1)

gdzie erfc(x) jest komplementarną funkcją błędu: erfc(x) = 1−erf(x) = 1−(2/√π)∫ x0 exp(−t2) dt.

Za pomocą ni,KTP oznaczono współczynnik załamania objętościowego KTP. Ze względu nadwójłomność KTP opatrzono go indeksem i, przyjmującym wartości x,y, odpowiedniodla polaryzacji pionowej i poziomej. Poprawka ∆ni opisująca wzrost współczynnika zała-mania w związku z dyfuzją również jest anizotropowa ze względu na strukturę krystalicz-ną KTP [123]. W kierunku poprzecznym (równoległym do powierzchni kryształu) dyfuzjapraktycznie nie zachodzi, ze względu na silną anizotropię dyfuzji w krysztale KTP [124].W związku z tym łączny profil współczynnika załamania można opisać z dobrym przybli-żeniem zależnością:

ni(x,y) =

ni,KTP +∆ni erfc(−x/d) x 6 0, |y| 6 wni,KTP x 6 0, |y| > w1 x > 0.

(2.2)

28 Falowody PPKTP

W powyższym wyrażeniu przyjęliśmy początek układu odniesienia na powierzchni krysz-tału, na środku falowodu.Periodyczna inwersja domen nieliniowych była uzyskiwana metodą ferroelektryczną,

opisaną w części 1.3.2, z wykorzystaniem ciekłych elektrod. Wg producenta współczynnikwypełnienia domen nieliniowych wynosił 50%± 10%.

Rys. 2.1: Schemat kryształu KTP ze ścieżkamifalowodów na powierzchni. Kolorami oznaczonoprzeciwnie zorientowane domeny nieliniowe. Λ —przestrzenny okres inwersji domen nieliniowych.

Jak wspomniano powyżej, na po-wierzchni kryształu KTP wykonywanychbyło wiele równoległych falowodów, różnią-cych się szerokością lub okresem modulacjiprzestrzennej (por. rys. 2.1). Do pomiarówprzedstawionych w niniejszej pracy wyko-rzystywano trzy próbki, które oznaczanebędą odpowiednio jako A, B oraz C, o pa-rametrach omówionych poniżej. Próbki Ai B zostały wyprodukowane w roku 2005.Każda zawierała 96 falowodów o szerokościw = 4 µm. Odległość między falowodamiwynosiła 25 µm i była wystarczająca byzapobiec sprzężeniom pomiędzy sąsiednimifalowodami poprzez pola ewanescentne. Ze względu na okres przestrzennej modulacji nie-liniowości Λ falowody były pogrupowane po osiem. W ramach ósemki okres zmieniał sięskokowo od 8,28 µm do 8,72 µm. Efektywna głębokość dyfuzji d wynosiła ok. 10 µm.Próbka A miała długość 4,2 mm, próbka B 1,0 mm.Próbka C, o długości 1,0 mm, została wyprodukowana w roku 2010. Zawierała po 4

falowody o szerokościach 2, 3 oraz 4 µm, o jednakowym okresie modulacji przestrzennejΛ = 7,5 µm, o efektywnej głębokości dyfuzji d ≃ 3 µm.Kontrast współczynnika załamania dla wszystkich próbek wynosił dla długości fali

800 nm ∆ny ≃ 0,025, ∆nx ≃ 0,021, dla długości fali 400 nm ∆ny ≃ 0,028. W dalszejczęści pracy będę przyjmował powyższe wartości jako stałe w zakresach widmowych wokół800 oraz 400 nm. Współczynniki załamania objętościowego KTP dane są przez właściwerównania Sellmeiera [72].Wartości wszystkich podanych powyżej parametrów falowodu, z wyjątkiem współczyn-

ników załamania KTP, zostały uzyskane od producenta.W dalszej części pracy kierunki polaryzacji będziemy odnosić do kierunków wyzna-

czonych przez strukturę falowodu: polaryzację liniową wzdłuż osi y będziemy nazywaćpolaryzacją poziomą i oznaczać przez H, polaryzację wzdłuż osi x— polaryzacją pionowąV .

2.2 Mody poprzeczne

Stopień wielomodowości falowodu można oszacować obliczając wartość częstotliwościznormalizowanej V (1.14). Przyjmując średni kontrast współczynnika załamania równypołowie kontrastu maksymalnego, a wymiar liniowy rdzenia jako parametr głębokości d,uzyskuje się wartość V ok. 10 dla długości fali 800 nm i 20 dla długości fali 400 nmdla próbek A i B oraz odpowiednio ok. 4 oraz ok. 10 dla próbki C. Wartości V bliskiejedności wskazują na jednomodowość falowodu, przy czym obliczenie dokładnej wartościgranicznej wymaga uwzględnienia konkretnej geometrii falowodu; jej wyznaczenie nie jesttutaj konieczne. Uzyskane wartości sugerują, że falowody nie są silnie wielomodowe, leczpodtrzymują niewielką liczbę modów poprzecznych na długości fali 800 nm oraz niecowiększą na długości fali 400 nm. Warto nadmienić, że dla wartości V dużo większych od

2.2 Mody poprzeczne 29

jedności liczba modów podtrzymywanych przez falowód jest w przybliżeniu równa 4V 2/π2.W kolejnym podrozdziale pokazanie zostanie, że istotnie falowody są wielomodowe.

Wielomodowość falowodów wynika z ich geometrii: rozmiarów rdzenia, profilu i kontrastuwspółczynnika załamania. Parametry te nie mogły być zmodyfikowane w celu zapewnie-nia pracy jednomodowej ze względu na ograniczenia technologiczne procesu wytwarzaniafalowodów. Należy tu wspomnieć, że dla telekomunikacyjnych długości fali (ok. 1550 nm)możliwe jest wytworzenie próbek w dobrym przybliżeniu jednomodowych [125]. W kolej-nych podrozdziałach opisana zostanie struktura modów poprzecznych podtrzymywanychprzez badane falowody na podstawie eksperymentalnych obserwacji rozkładów natężeń nawyjściu z falowodu oraz na podstawie porównania wyników symulacji numerycznych zpomiarami rozkładów natężenia na wyjściu z falowodów.

2.2.1 Symulacje numeryczne

Symulacje numeryczne wykonano w celu określenia, czy przybliżenie modów liniowospolaryzowanych jest słuszne, poznania jakościowych cech rozkładów pola elektrycznegodla poszczególnych modów w falowodzie, oszacowania liczby modów podtrzymywanychprzez falowód oraz w celu wyznaczenia całek przekrywania trójek modów, opisującychwydajność procesów mieszania trzech fal w falowodzie, por. (1.40).Należy zaznaczyć, że w dotychczasowej literaturze dostępne są wyłącznie ograniczo-

ne informacje dotyczące symulacji rozkładów natężenia dla modów podstawowych (dlaobu polaryzacji) w falowodach PPKTP o dyfuzyjnym profilu współczynnika załamania[59,60,122]. W szczególności brak w nich dyskusji stosowalności przybliżenia modów linio-wo spolaryzowanych. Wyniki dotyczące modów wzbudzonych zawarte są tylko w pracy [60],gdzie rozwiązywano numerycznie skalarne równanie falowe, dzięki zastosowaniu przybliże-nia modów słabo prowadzonych oraz w pracy [69], z wykorzystaniem bardzo uproszczonegomodelu falowodu prostokątnego, którego, jak się okaże później, stosowalność jest bardzoograniczona.Do symulacji rozkładów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego w falowodzie

wykorzystano dwie standardowe metody: metodę elementu skończonego oraz metodę róż-nic skończonych [126, 127]. Wykorzystano w tym celu dostępne pakiety oprogramowania:w przypadku metody elementu skończonego skorzystano z komercyjnego pakietu COM-SOL, w przypadku metody różnic skończonych otwarty pakiet pracujący w środowiskuMatlab [128]. W obydwu przypadkach poprzez odpowiednią dyskretyzację problemu (nasiatce trójkątnej dla metody elementu skończonego, prostokątnej dla metody różnic skoń-czonych) uzyskiwane były przybliżenia numeryczne wektorowych rozwiązań pełnego rów-nania falowego (1.2). Obydwa pakiety oprogramowania umożliwiały rozwiązanie równa-nia falowego dla ośrodków anizotropowych, włączając materiał dwuosiowy o diagonalnymwspółczynniku załamania jakim jest KTP. Przy stosowanej odległości pomiędzy węzłamisiatki 0,05 µm obliczenie rozkładów pól dla modów związanych dla obszaru ok. 25×25 µmtrwało poniżej 5 min. na standardowym komputerze PC.Poprawne działanie algorytmów sprawdzono w dwojaki sposób: wykonując symulację

dla falowodu prostokątnego otoczonego materiałem o niewielkiej różnicy współczynnikazałamania, tj. falowodu, dla którego dobrze stosuje się przybliżenie Marcatilego [78], orazdla izotropowego falowodu paskowego dyfuzyjnego o eksponencjalnym współczynniku za-łamania, o szerokości znacznie większej od długości fali, tak że możliwe było porównanie zwynikami obliczeń analitycznych dla falowodu planarnego dyfuzyjnego [129]. Sprawdzonorównież bardzo dobrą wzajemną zgodność rezultatów obliczeń dla obydwu algorytmów.Na rysunku 2.2 przedstawiono obliczone metodą różnic skończonych rozkłady natężenia

dla modów o dominującej polaryzacji pionowej dla falowodu typu A/B. Algorytm znalazł

30 Falowody PPKTP

Rys. 2.2: Wyznaczone metodą różnic skończonych rozkłady natężenia dla modów prowadzonychdla falowodu typu A (o szerokości 4 µm i efektywnej głębokości 10 µm). Zaznaczono granice rdzeniafalowodu oraz granicę kryształ-powietrze.

6 modów prowadzonych przedstawionych na rysunku. W przypadku falowodów próbki Cobydwa algorytmy znajdowały tylko jeden mod prowadzony (przedstawiony w rozdziale6 na rys. 6.4) Okaże się to niezgodne z doświadczeniem. Do oznaczania modów w tejpracy będę używał pary liczb ij określającej liczbę węzłów modu w kierunku poziomymi oraz w kierunku pionowym j, wraz z indeksem określającym dominującą polaryzacjęmodu. Ponieważ ze względu na wykorzystywane w procesach nieliniowych dopasowaniefazowe II typu dla długości fali bliskich 400 nm wykorzystywał będę wyłącznie mody opolaryzacji poziomej, mody o tej polaryzacji na tej długości fali będą oznaczane indeksemB. Mody typu i0 będę nazywał modami wzbudzonymi w kierunku poziomym, mody typu0j — wzbudzonymi w kierunku pionowym. Mod 00V będę nazywał modem podstawowym;porównując dwa mody, mod o większej liczbie węzłów będę nazywał modem wyższym.Oprócz określenia liczba węzłów będę też stosował określenie liczba wzbudzeń modu.Obliczone numerycznie funkcje modowe miały dominującą polaryzację pionową. Oby-

dwa algorytmy wyznaczały niezerową składową pola elektrycznego o polaryzacji poziomej,nie będącą artefaktem numerycznym. Jednak moc niesiona przez tą składową, obliczona zapomocą równania (1.8), stanowiła od 10−7 do 10−8 mocy składowej o polaryzacji pionowej,w zależności od wymiarów falowodu, modu oraz długości fali. Można zatem uznać mody odominującej polaryzacji pionowej za mody liniowo spolaryzowane. Nie są to jednak modytypu TEM, TE ani TM — zarówno dla pola elektrycznego, jak i magnetycznego wystę-puje niezerowa składowa podłużna, o amplitudzie do kilku procent amplitudy składowejdominującej.Dla omawianego pełnego wektorowego modelu falowodów żaden z algorytmów nie znaj-

dował rozwiązań o dominującej polaryzacji poziomej. Spowodowane jest to wymuszonąprzez ograniczoną poprzecznie geometrię falowodu obecnością niewielkiej składowej o pro-stopadłej polaryzacji. Jak podano w poprzednim akapicie, ilość energii niesionej przez tąskładową jest na tyle mała, że mod można uznać za liniowo spolaryzowany. Pomimo toniezerowość tej składowej powoduje, że mody o dominującej polaryzacji poziomej musząnależeć do kategorii modów semi-upływowych (por. 1.2.2), gdyż dla modów tych niewielka

2.2 Mody poprzeczne 31

składowe pionowa o efektywnym współczynniku załamania bliskim 1,76 (bo określonymprzez dominującą polaryzację poziomą modu) na granicy rdzeń-płaszcz „odczuwa” współ-czynnik załamania KTP dla polaryzacji pionowej o wartości bliskiej 1,85; oznacza to, żeskładowa ta nie ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i jest wypromieniowywana pozafalowód. Z tego powodu algorytm numeryczny traktuje mod taki jako mod nieprowadzonyi nie znajduje odpowiadającego mu rozwiązania.Wielkość strat spowodowanych tym mechanizmem można łatwo oszacować korzystając

z prostego modelu optyki geometrycznej opisującego propagację światła w danym modziepoprzecznym falowodu jako skutek interferencji pary fal płaskich propagujących wzdłuż fa-lowodu dzięki wielokrotnym całkowitym wewnętrznym odbiciom na granicy rdzeń-płaszcz,przy czym różnym modom poprzecznym odpowiadają różne wartości kąta padania na tągranicę. Na podstawie wzorów Fresnela dla współczynników załamania rozpatrywanych falmożna wyznaczyć natężeniowy współczynnik odbicia na granicy rdzeń płaszcz dla skła-dowej „wyciekającej” jako 0,1− 0,2. Oznacza to, że przy każdym odbiciu, powtarzającymsię co 15 − 30 µm (w zależności od modu) w trakcie propagacji wzdłuż falowodu traco-ne jest 80 − 90% energii tej składowej. Po uwzględnieniu ułamka energii niesionej przeztę składową otrzymuje się straty na długości 1 mm poniżej 10−5, a więc dla używanychdługości falowodów zupełnie zaniedbywalne. Powyższa wielkość jest jedynie zgrubnymoszacowaniem; ścisła analiza problemu wymaga zastosowania metod perturbacyjnych dorozwiązania wektorowego równania falowego [86] i/lub odpowiednio dostosowanych metodnumerycznych [130]. Ze względu na niewielką wartość efektu tutaj te metody nie będąpotrzebne.Pomimo niewielkiej wartości efekt ten uniemożliwia standardowym algorytmom znale-

zienie rozwiązań równania falowego o dominującej polaryzacji poziomej — gdyż rozwiąza-nia te nie odpowiadają bezstratnym modom prowadzonym. Ponieważ jednak, ze względuna niewielkie straty, mody te są obserwowane doświadczalnie (por. cz. 2.2.3) zdecydowanosię dokonać obliczeń wykorzystując przybliżenie skalarne. Ze względu na zaniedbywalnąhybrydowość modów obliczonych w modelu wektorowym można spodziewać się, że metodata będzie dawała dobre wyniki. Aby sprawdzić jakość przybliżenia obliczono w przybliżeniuskalarnym mody o polaryzacji V , po czym porównano wyniki z modami obliczonymi w peł-ni wektorowo. Efektywne współczynniki załamania otrzymane w przybliżeniu skalarnymbyły o 0,0003 do 0,0005 większe od uzyskanych metodą wektorową; również rozmiary linio-we modów uzyskanych metodą skalarną były mniejsze o ok. 4% od wektorowych. Ponieważścisłe obliczenie funkcji modowych nie jest dla tej pracy krytyczne, uznano przybliżenieskalarne za zadowalające. Dla zapewnienia spójności prowadzonej analizy, do dalszychobliczeń użyto skalarnych funkcji modowych również dla modów o polaryzacji V .

Wartości efektywnych współczynników załamania n(j)eff dla modów prowadzonych o po-laryzacji V dla falowodu o szerokości 4 µm przedstawiono na rysunku 2.3 w postaci popra-wek geometrycznych do efektywnego współczynnika załamania: ∆n(j)geom = ∆n

(j)eff −nKTP,V.

Dla serii modów wzbudzonych w kierunku pionowym różnice pomiędzy poprawkami wy-noszą 0,002 − 0,004. Widoczne jest, że mod podstawowy 00V jest modem dobrze pro-wadzonym — wartość poprawki geometrycznej wynosi dla niego ok. 0,013, czyli ponadpołowę maksymalnej możliwej wartości poprawki określonej przez maksymalny kontra-stowi współczynnika załamania ∆nx wynoszący 0,021. Z drugiej strony widoczne jest, żemody 11V i 03V znajdują się blisko punktu odcięcia.Na rysunku 2.4 przedstawiono pionowe przekroje skalarnych funkcji modowych dla

modów wzbudzonych w kierunku pionowym. Widoczna jest asymetria modów, wzrastającawraz ze wzrostem liczby wzbudzeń. Na rysunku porównano funkcje modowe dla modówo polaryzacji H i V. Różnice, wynikające głównie z dwójłomności ośrodka, są nieznaczne:na poziomie 5% w rozmiarze liniowym modu.

32 Falowody PPKTP

700 720 740 760 780 800 820 840 860 880 9000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

λ (nm)

∆nge

om

00

V

10V

01V

02V

11V

03V

Rys. 2.3: Zależność poprawek geometrycznych ∆ngeom do efektywnych współczynników załamaniaod długości fali dla modów o polaryzacji V falowodu o szerokości 4 µm.

Trzeba podkreślić, że uzyskane funkcje modowe oraz wartości efektywnych współczyn-ników załamania są z pewnością obarczone błędem systematycznym, wynikającym z bra-ku znajomości dokładnych parametrów struktury falowodu, w szczególności profilu współ-czynnika załamania. Pomimo to wyniki te są użyteczne, gdyż pozwalają jakościowo poznaćstrukturę modową falowodu PPKTP oraz przekonać się o skalach zmienności efektywnegowspółczynnika załamania.

2.2.2 Symetria i przekrywanie modów

Omówię teraz krótko własności symetrii uzyskanych numerycznie funkcji modowych iich wpływ na wartość całki przekrywania trójki modów (1.40). W sposób oczywisty syme-trie funkcji modowych odzwierciedlają symetrię falowodu [74]. W kierunku poziomym, zewzględu na obecność płaszczyzny symetrii xz uzyskane mody są funkcjami nieparzystymi(mody antysymetryczne) bądź parzystymi (mody symetryczne) we współrzędnej pozio-mej (y). Ponieważ w całce (1.40) występuje iloczyn trójek modów, wynika stąd, że abyzapewnić niezerowość całki, w iloczynie musi pojawić się parzysta liczba modów antysy-metrycznych.Ze względu na znaczną asymetrię falowodu w kierunku pionowym, funkcje modowe nie

wykazują symetrii w tym kierunku (por. rys. 2.4). Poprzez porównanie wyników symulacjidla dyfuzyjnego profilu załamania z wynikami dla skokowego profilu prostokątnego możnaz łatwością stwierdzić, że głównym powodem asymetrii nie jest granica kryształ-powietrze,lecz dyfuzyjny profil współczynnika załamania. Z tego powodu wspomniane wcześniej sy-mulacje funkcji modowych poprzez przybliżenie profilu dyfuzyjnego profilem prostokątnymw pracy [69] nie dają zgodnych z doświadczeniem wyników dla całek przekrywania trójekmodów, w szczególności dają wyniki całkowicie błędne dla całek, w których występujenieparzysta liczba funkcji modowych o nieparzystej liczbie węzłów w kierunku pionowym.W ogólności nie można podać wynikającej z symetrii „reguły wyboru” dla trójek modówwzbudzonych w kierunku pionowym, określającej kiedy całka (1.40) ma wartość bliskązeru. Wartości całki bliskie zeru dla trójek modów wzbudzonych w kierunku pionowympojawiają się głównie dzięki efektowi nierównomiernego rozkładu natężenia światła w kie-runku pionowym, wynikającego z dyfuzyjnego profilu współczynnika załamania. Jak wy-nika z rys. 2.4, im wyższy mod, tym więcej energii niesione jest w najgłębiej położonymmaksimum. Własność ta powoduje, że całki przekrywania pomiędzy modami podstawo-wymi a modami wysoko wzbudzonymi będą miały niewielką, choć w ogólności zawsze

2.2 Mody poprzeczne 33

Rys. 2.4: Przekroje skalarnych funkcji modowych ϕ(j)(x,y) w kierunku pionowym, dla modówtypu 0j falowodu z próbki A.

niezerową, wartość.

2.2.3 Wzbudzanie i obserwacja modów falowodu

W tym podrozdziale omówię doświadczalną obserwację rozkładów natężenia odpowia-dających różnym modom poprzecznym falowodu. Rozpocznę od opisania metody selek-tywnego wzbudzania modów poprzecznych w falowodzie.

2.2.3.1 Selektywne wzbudzanie modów

Dla falowodów planarnych do selektywnego wzbudzania modów poprzecznych wyko-rzystywana jest metoda pryzmatyczna (ang. prism-coupling), polegająca na umieszczeniupryzmatu na granicy powietrze-rdzeń falowodu i wprowadzaniu wiązki światła do falo-wodu pod kątem wynikającym ze stosunku stałej propagacji modu do długości wektorafalowego światła w rdzeniu. Warto zauważyć, że kąt ten odpowiada kątowi pod jakimpropaguje się względem osi z para fal płaskich reprezentujących mod falowodu w obrazieoptyki geometrycznej [73]. Dla wąskich falowodów paskowych metoda ta ma ograniczo-ne zastosowanie, ze względu na konieczność znacznego ogniskowania wiązki do rozmiarówmniejszych niż szerokość falowodu, oraz możliwość wzbudzania tylko modów wzbudzonychw kierunku pionowym. W związku z tym preferowana jest metoda sprzęgania końcowego(nag. end-fire coupling) [47]. Polega ona na ogniskowaniu wiązki sprzęganej na płaszczyźniewejściowej falowodu tak, aby uzyskać rozkład natężenia pola elektrycznego jak najbardziejzbliżony do rozkładu natężenia pola pożądanego modu. Po raz pierwszy metoda ta zostałazastosowana w roku 1961 w pracy [131] do obserwacji modów we włóknie światłowodowymo symetrii cylindrycznej. Nie zdecydowano się na wzbudzanie modów poprzez zbliżenie dopłaszczyzny wejściowej falowodu końcówki włókna optycznego [132], gdyż ogranicza onaliczbę stopni swobody przy wzbudzaniu modów poprzez brak możliwości regulacji rozmia-ru ogniska. Docelowo, dla dobrze scharakteryzowanych próbek falowodów jest to jednakmetoda warta rozważenia.Dla wiązki padającej na wejście do falowodu, wydajność wzbudzania modu o indeksie

j opisana jest iloczynem pola elektrycznego wiązki Ein(x,y) i unormowanej wektorowej

34 Falowody PPKTP

Rys. 2.5: Schemat układu doświadczalnego do selektywnego wzbudzania i obserwacji modów po-przecznych w falowodzie PPKTP. Spolaryzowana liniowo wiązka z lasera (L) kierowana jest zapomocą pochylanego piezoelektrycznie lustra (DM) poprzez teleskop o regulowanym powiększeniuT i soczewk asferyczną AL do falowodu PPKTP (W). Światło opuszczające falowód zbierane jestza pomocą obiketywu mikroskopowego (Obj) i kierowane przez płytkę półfalową λ/2, analizatorpolaryzacji (polaryzator dielektryczny Pol) i soczewkę ogniskującą na matrycę CCD. Za pomocąoznaczenia XYZ zaznaczono elementy umieszczone na stoliku przesuwnym XYZ. Aby zachowaćspójność oznaczeń elelmntów optycznych ze stosowanymi w literaturze, będę używał skrótów po-chodzących od angielskich nazw elementów. W przypadku mniej typowych oznaczeń zamieszczęwyjaśnienie w głównym tekście.

funkcji modowej pola elektrycznego e(j)t (x,y) [73]:

η(j) =

∫A∞dxdyEin(x,y) e∗t (x,y)(∫

A∞dxdyEin(x,y)E∗in(x,y)

)1/2 (2.3)

Ostateczny rozkład pola elektrycznego w falowodzie określony jest przez iloczyny skalarnepadającego pola elektrycznego ze wszystkimi funkcjami modowymi, włączając mody ra-diacyjne oraz propagujące się wstecz. Ze względu na zupełność zbioru funkcji modowychfalowodu, każdy rozkład pola elektrycznego padający na powierzchnię wejściową falowodumoże być opisany za ich pomocą.Dla osiągnięcia sprzęgania pojedynczych modów z dużą wydajnością w ogólności ko-

nieczne jest odpowiednie ukształtowanie wiązki, tak by odpowiadała dokładnie pożądane-mu modowi. Aby uniknąć skomplikowanego (i najczęściej stratnego) kształtowania wiązkimożna w graniczonym zakresie korzystać z wiązki w przybliżeniu gaussowskiej. Poprzezdobór odpowiedniego rozmiaru, stopnia eliptyczności, punktu padania na płaszczyznę wej-ściową falowodu oraz kąta padania można dążyć do wzbudzenia tylko jednego modu pro-wadzonego oraz modów radiacyjnych. Mody radiacyjne szybko opuszczą rdzeń falowodu, adominujący wkład do pola prowadzonego będzie miał pożądany mod prowadzony. Zasto-sowania tej metody jest tym łatwiejsze im bardziej różne rozkłady natężenia odpowiadająposzczególnym modom. W szczególności wykorzystać tu można wspomnianą już własnośćmodów wzbudzonych w kierunku pionowym, polegającą na tym, że większość energii nie-sionej przez mod znajduje się najniższym maksimum, jak zaznaczono na rys. 2.4.Do selektywnego wzbudzania modów zbudowano układ doświadczalny przedstawiony

na rys. 2.5. W tym celu impulsową wiązkę laserową o długości fali 800 nm skierowanopoprzez płytkę półfalową, umożliwiającą ustalenie kierunku polaryzacji światła, na lustroPM (ang. piezo mirror) umieszczone na sterowanym piezoelektrycznie uchwycie kinema-tycznym, umożliwiającym pochylanie lustra w dwóch prostopadłych kierunkach. Następnieumieszczony był składający się z trzech soczewek regulowany teleskop T, który poprzezzmianę średnicy wiązki pozwalał na dopasowanie rozmiaru ogniska, wytwarzanego przezsoczewkę asferyczną AL o ogniskowej 8 mm, do rozmiaru modu w falowodzie. KryształKTP z falowodami (W) umieszczony był w ognisku soczewki AL. Światło opuszczające

2.2 Mody poprzeczne 35

falowód zbierane było przez skorygowany na nieskończoność fluorytowy obiektyw mikro-skopowy EC Epiplan-Neofluar (Carl Zeiss, Niemcy) o powiększeniu 50× i aperturze nume-rycznej 0,8 (tj. istotnie większej od apertury numerycznej falowodu dla używanych długościfali). Zarówno soczewka, obiektyw jak i falowód zamocowane były na precyzyjnych stoli-kach XYZ, wyposażonych w różnicowe śruby mikrometryczne, dzięki czemu możliwe byłopozycjonowanie elementów z dokładnością submikrometrową, a co za tym idzie precyzyjnewprzęganie i wyprzęganie wiązek do i z falowodu. Falowód umieszczony był na cienkiejpoprzecznej belce wsuwanej pomiędzy soczewkę AL a obiektyw. Światło zebrane przezobiektyw ogniskowane było na matrycy CCD za pomocą soczewki o ogniskowej 200 mm.Do analizy liniowości polaryzacji wiązki opuszczającej falowód służyła płytka półfalowaoraz analizator (polaryzator dielektryczny Pol) umieszczone za obiektywem mikroskopo-wym. Opisany układ pozwalał na kontrolowanie rozmiaru ogniska, jego położenia w trzechkierunkach, a także kąta padania wiązki na powierzchnię wejściową falowodu.

Rys. 2.6: Obraz powierzchni wyjściowej falo-wodu, którego powierzchnię wejściową oświe-tlono światłem białym.

Przed przystąpieniem do obserwacji mo-dów sprawdzono, czy, zgodnie z wynikami sy-mulacji numerycznych, mody są spolaryzowa-ne liniowo. Do falowodu sprzęgano światłospolaryzowane liniowo odpowiednio poziomoi pionowo. Wprzęgano je do różnych modówpoprzecznych, następnie obracano płytką pół-falową znajdującą się za obiektywem mikro-skopowym, tak by zminimalizować sygnał do-cierający przez analizator (Pol) do matrycyCCD. Z dokładnością do 0,5 nie zaobserwo-wano obrotu kierunku polaryzacji. Kontrastdla dwóch prostopadłych ustawień polaryza-tora był lepszy niż 1 : 500 co wskazuje na znikomą eliptyczność polaryzacji światła opusz-czającego falowód, a co za tym idzie na brak istotnej hybrydowości modów poprzecznych.

W celu wzbudzenia wybranego modu poprzecznego powierzchnia wejściowa falowo-du umieszczana była ognisku soczewki AL poprzez jej translację w kierunku z. Falowódw kierunku pionowym umieszczany był na wysokości odpowiadającej wzbudzeniu modunajbliższego pożądanemu. Precyzyjne dostrojenie wzbudzanego w falowodzie rozkładu na-tężenia dokonywane było przez odpowiednie pochylanie lustra DM wraz z dopasowaniemrozmiaru ogniska za pomocą teleskopu T. Wzbudzane w falowodzie rozkłady natężeniamonitorowane były na matrycy CCD, na którą obrazowana była płaszczyzna wyjściowafalowodu. Opisana metoda pozwała na wzbudzanie modów o rozkładzie pola elektrycznegosymetrycznym w kierunku poziomym. W celu wzbudzenia modów antysymetrycznych wtym kierunku (np. modu 10), konieczne było wprowadzenie skoku fazy w wiązce pompu-jącej. Skok fazy uzyskiwany był przez wsunięcie w połowę przekroju poprzecznego wiązkicienkiej płytki szklanej (nie zaznaczonej na rysunku) i pochylenie jej pod kątem, dla któ-rego wprowadzane przesunięcie fazowe było odpowiadało względnej różnicy faz pomiędzyobiema połówkami wiązki możliwie bliskiej π. W praktyce kąt ten wyznaczany był napodstawie obserwacji wzbudzanego rozkładu natężenia na wyjściu z falowodu.

W celu ustalenia obrazowania płaszczyzny wyjściowej falowodu na matrycę CCD po-czątkowo płaszczyznę falowodu poprzez soczewkę asferyczną AL oświetlono silnym świa-tłem białym, po czym przesuwano obiektyw mikroskopowy w kierunku z aż do uzyskaniaostrego obrazu powierzchni wyjściowej falowodu na matrycy CCD. Przykładowy obrazuzyskany dla próbki A przedstawiony jest na rys. 2.6. Rysunek ten pokazuje również, żerozdzielczość układu obrazującego była wystarczająca do obserwacji detali o rozmiarachmniejszych niż rozmiary poprzeczne falowodu. Rozdzielczość D dla używanego obiekty-

36 Falowody PPKTP

Rys. 2.7: Zmierzone na wyjściu z falowodu rozkłady natężenia zbliżone do rozkładów natężeniaodpowiadających modom wymienionym na rysunku. W dwóch przypadkach wymieniono parę mo-dów, by podkreślić, że obserwowana jest superpozycja porównywalnych udziałów dwóch modów.Linią ciągłą zaznaczono przybliżone (±0,5 µm) położenie granicy kryształ-powietrze.

wu mikroskopowego, zdefiniowana jako promień pierwszego minimum w opisanym funkcjąAiry’ego obrazie dyfrakcyjnym przedmiotu punktowego: D = 0,61NA/λ, wynosiła odpo-wiednio 0,61 dla długości fali 800 nm i połowę tej wartości dla długości fali 400 nm. Są towartości w przybliżeniu dwukrotnie mniejsze od rozmiarów pojedynczych maksimów funk-cji modowych falowodu. Oznacza to, że skończona rozdzielczość obrazowania nie zaburzaznacznie obserwowanych rozkładów natężeń.

2.2.3.2 Mody falowodu o szerokości 4 µm

Po ustaleniu obrazowania płaszczyzny wyjściowej falowodu na kamerze CCD, na kame-rze uzyskiwano obrazy rozkładów natężenia światła na wyjściu z falowodu. Dla większościmodów poprzecznych możliwe było selektywne wzbudzenie odpowiadających im rozkładównatężenia — było to tym prostsze im bardziej mod był wzbudzony w kierunku pionowym,gdyż tym lepiej przestrzennie rozdzielone było jego najniższe maksimum. Kryterium zaob-serwowania danego modu początkowo było jakościowe: na podstawie liczby wyraźnych mi-nimów i maksimów w rozkładzie natężenia. Zweryfikowanie który rozkład ze wzbudzanychrozkładów był najbliższy rozkładowi dla czystego modu poprzecznego było utrudnione,ze względu na wzbudzanie superpozycji poszczególnych modów. Pełne przyporządkowanieobserwowanych rozkładów natężenia właściwym modom nastąpiło dopiero na podstawieobserwacji procesu sumowania częstości w falowodzie (por. rozdz. 3).Na rysunku 2.7 przedstawiono zaobserwowane rozkłady natężenia dla długości fali

800 nm dla falowodu o szerokości 4 µm z próbki A. Ponieważ przy osiąganej selektywnościwzbudzania modów rozkłady natężenia dla pary modów o jednakowej liczbie wzbudzeń,lecz o prostopadłych polaryzacjach, były praktycznie nierozróżnialne, pokazano rozkładyjedynie dla modów o polaryzacji V . Dla tej polaryzacji łatwiej było wzbudzić czysty mod.Trzeba podkreślić, że pomimo że rozkłady natężenia dla modów typu V i typu H są bardzo

2.2 Mody poprzeczne 37

Rys. 2.9: Zmierzone na wyjściu z falowodu rozkłady natężenia odpowiadające w przybliżeniupodanym modom pola sumy częstości o długości fali 400 nm, w falowodzie z próbki A.

zbliżone (por. rys. 2.4), to sposób sprzęgania do nich jest różny. Dla dobrego sprzęgania domodu V , po obróceniu kierunku polaryzacji o 90 wzbudzała się superpozycja modów H (ivice versa). Dla falowodów z próbek A i B obserwowano 6 modów poprzecznych dla każdejz polaryzacji: mod podstawowy 00, mody wzbudzone pionowo: 01, 02, 03, mod wzbudzonypoziomo 10 oraz mod wzbudzony w obydwu kierunkach 11. Selektywne wzbudzenie modu01 było stosunkowo trudne, ze względu na jednoczesne wzbudzanie modów 00 lub 02 (por.rys. 2.4).

Rys. 2.8: Rozkład natężenia modu 03H dlafalowodu z próbki A z jednoczesnym oświe-tleniem falowodu światłem białym. Fałszywekolory. Widoczna granica kryształ-powietrzeoraz rdzenie sąsiednich falowodów.

Na rysunku białą linią zaznaczono przybli-żone położenie granicy powietrze szkło, uzy-skane na podstawie obrazu falowodu oświetlo-nego światłem białym, uzyskanego bezpośred-nio po rejestracji danego modu. Aby wyraźniejzilustrować położenie modu względem geome-trii falowodu, na rys. 2.8 zamieszczono obrazwzbudzonego modu 03H przy jednoczesnymoświetleniu próbki światłem białym.Rysunek 2.9 przedstawia przykładowe roz-

kłady natężenia odpowiadające modom falo-wodu z próbki A dla długości fali bliskiej400 nm, dla polaryzacji poziomej. Przedsta-wione zostały rozkłady natężenia promienio-wania sumy częstości generowanego w falowodzie (por. rozdział 3). W zakresie bliskiegonadfioletu falowód podtrzymuje znacznie więcej modów niż w bliskiej podczerwieni: zaob-serwowano mody wzbudzone w pionie do 06B oraz wzbudzone w poziomie do 30B.Uzyskano dobrą jakościową zgodność pomiędzy obliczonymi numerycznie a obserwowa-

nymi doświadczalnie rozkładami natężenia. Nie osiągnięto jednak dobrej zgodności ilościo-wej (położeń maksimów i minimów), pomimo modyfikowania parametrów falowodu uży-wanych do obliczeń numerycznych. Różnice pomiędzy obliczonymi numerycznie a obserwo-wanymi rozkładami natężenia, oprócz nieznajomości dokładnego rozkładu współczynnikazałamania w analizowanej strukturze oraz niedokładnościami symulacji numerycznych,mogą być spowodowane sposobem obrazowania. Jest niewykluczone, że ustalone obrazo-wanie wyjścia z falowodu na matrycy CCD na podstawie obrazu płaszczyzny wyjściowejw świetle białym nie obrazowało punktu wzdłuż falowodu, w którym mod zaczyna ulegaćdyfrakcji. Jest prawdopodobne, że na końcach falowodu występowały defekty spowodowa-ne bliskością brzegu próbki, takie jak np. zaburzony profil dyfuzji, wskutek których modzaczynał ulegać dyfrakcji przed osiągnięciem powierzchni wyjściowej. Interpretacja ta jestzgodna z obserwowanymi eksperymentalnie większymi rozmiarami modów w stosunku do

38 Falowody PPKTP

Rys. 2.10: Zmierzone na wyjściu z falowodu rozkłady natężenia, odpowiadające w przybliżeniumodom wymienionym na rysunku, dla falowodu o szerokości 2 µm z próbki C, dla długości fali800 nm. Linią ciągłą zaznaczono przybliżone (±0,5 µm) położenie granicy kryształ-powietrze. Dlamodu 03V widoczne jest wtórne odbicie, wynikające ze sposobu obserwacji rozkładów natężeń, por.rozdz. 6.2.3.

Rys. 2.11: Zmierzone na wyjściu z falowodu rozkłady natężenia odpowiadające w przybliżeniupodanym modom pola sumy częstości w falowodzie z próbki B. Dla modu 00B przedstawiono roz-kład natężenia sumy częstości, dla pozostałych modów rozkłady natężenia wzbudzane bezpośrednioprzez wprzęganie wiązki o długości fali 400 nm do falowodu.

rozmiarów obliczonych numerycznie.

2.2.3.3 Mody falowodu o szerokości 2 µm

Na rysunkach 2.10 i 2.11 przedstawiono rozkłady natężenia odpowiadające modomfalowodu z próbki C o szerokości 2 µm. Dla długości fali 800 nm zaobserwowano dlakażdej z polaryzacji oprócz modu podstawowego mody wzbudzone w kierunku pionowym:01, 02 oraz mod wzbudzony w kierunku poziomym 10. W wyniku symulacji numerycznejdla tych rozmiarów falowodu uzyskano wyłącznie mod podstawowy. Niezgodność obliczonejnumerycznie liczby modów z obserwowaną może wynikać z niedokładności podanych przezdostawcę parametrów falowodu. Niewykluczone jest również, że obserwowane mody nie sąmodami prowadzonymi, lecz modami upływowymi propagującymi się tuż poniżej progu[73,75], które obserwowane są ze względu na niewielką długość falowodu.

Rys. 2.11 przedstawia rozkłady natężenia obserwowane dla długości fali 400 nm. Dlamodu podstawowego przedstawiono rozkład natężenia uzyskany w wyniku generacji dru-giej harmonicznej. Dla wyższych modów przedstawiono mody wzbudzane bezpośrednioprzez sprzęganie wiązki o długości fali 400 nm. Szczegółowa dyskusja sposobu sprzęganiawiązki o długości fali 400 nm zawarta jest w rozdziale 4.2.3.

2.3 Podsumowanie 39

2.3 Podsumowanie

W tym rozdziale omówiłem właściwości fizyczne falowodów PPKTP oraz wynikającą znich strukturę modów poprzecznych w tych falowodach. Porównałem wyniki symulacji nu-merycznych z doświadczalnie wyznaczonymi rozkładami natężenia światła w falowodach.Omówiłem także własności symetrii modów. W kolejnych rozdziałach zbadany zostaniewpływ modów poprzecznych na procesy mieszania trzech fal: proces sumowania częstościi proces fluorescencji parametrycznej II typu w falowodach PPKTP.

40 Falowody PPKTP

Rozdział 3

Pomiar dopasowania fazowego

W rozdziale tym przedstawię metodę bezpośredniego pomiaru zależnej od modów po-przecznych funkcji dopasowania fazowego dla procesów mieszania trzech fal II typu wfalowodach PPKTP. Omówię wyniki pomiarów oraz dokonam ich porównania z oblicze-niami numerycznymi, wykonanymi na podstawie analizy przeprowadzonej w rozdziale 1.Wyniki uzyskane w tym rozdziale posłużą do znalezienia parametrów pracy źródła parfotonów opartego na procesie fluorescencji parametrycznej, opisanego w rozdziale 4.Należy zauważyć, że pomiary zależności dopasowania fazowego od modów poprzecz-

nych falowodu były prowadzone od początku badań nad nieliniową optyką światłowodową.Pierwsza praca analizująca to zagadnienie została opublikowana w roku 1970 przez Ander-sona [106,107], który wykorzystywał dyspersję międzymodową do zapewnienia dopasowa-nia fazowego w falowodzie w czasach gdy quasi-dopasowanie fazowe nie było technicznieosiągalne. Dla falowodów PPKTP zależność dopasowania fazowego od modów poprzecz-nych badali eksperymentalnie Roelofs i wsp. [60] dla przypadku generacji drugiej harmo-nicznej z dopasowaniem fazowym I typu.Najistotniejsza część wyników pomiarowych oraz wniosków opisanych w tym rozdziale

została opublikowana w czasopiśmie Applied Physics Letters [68].

3.1 Konwencje

Zgodnie z konwencją przyjętą w poprzednim rozdziale, H i V odpowiadają polary-zacjom wyróżnionym przez geometrię falowodu: równoległej i prostopadłej do górnej po-wierzchni kryształu KTP. Ponieważ w opisanych eksperymentach falowód był zawsze za-mocowany równolegle do powierzchni stołu optycznego, polaryzacje te będziemy określaćjako poziomą i pionową.Przez długość fali λ rozumiana będzie długość fali w próżni. Natomiast wektor lub

liczba falową k będzie wielkością uwzględniającą wpływ ośrodka, tj. k = 2πn/λ, gdzie njest współczynnikiem załamania ośrodka. W dalszej części pominę również rozróżnienie woznaczeniach pomiędzy wektorem falowym k fali swobodnej oraz stałą propagacji β modupoprzecznego i będę posługiwał się wyłącznie oznaczeniem k (z odpowiednim indeksem)dla obu tych wielkości.Przez szerokość widmową sygnału, jeśli nie podano inaczej, będę rozumiał szerokość

połówkową, czyli całkowitą szerokość w połowie maksymalnej wysokości (ang. full widthat half maximum).Niepewności pomiarowe, tam gdzie nie podano ich explicite, należy przyjąć, że są rzędu

ostatniej cyfry znaczącej.

42 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.1: Przykładowe widma drugiej harmonicznej wytwarzanej w falowodzie PPKTP za pomocąszerokopasmowej pompy. Widmo procesu II typu (czarny), I typu (czerwony), 0 typu (niebieski).Widma procesów I i 0 typu przeskalowano 50-krotnie.

3.2 Pomiary wstępne

Aby zidentyfikować rodzaje procesów nieliniowych zachodzących w badanych prób-kach falowodów PPKTP dokonano wstępnych pomiarów widma promieniowania drugiejharmonicznej wytwarzanego w falowodzie i jego zależności od polaryzacji. W tym celuukład sprzęgania światła do falowodu przedstawiony na rys. 2.5 uzupełniono o niebieskifiltr barwny oraz spektrometr (Ocean Optics USB2000), umieszczony w miejscu matrycyCCD. Przed spektrometrem umieszczony został analizator polaryzacji (polaryzator Glana-Taylora). Badaną próbką była próbka A (o długości 4,2 mm).Do kolejnych falowodów wprzęgana była wiązka pompująca w postaci impulsów ze

skonstruowanego w Laboratorium Procesów Ultraszybkich IFD UW oscylatora tytanowo-szafirowego, o czasie trwania ok. 50 fs (po kompresji za pomocą zewnętrznej linii dysper-syjnej), centralnej długości fali ok. 805 nm i szerokości widmowej 20 nm. Moc średniawiązki wynosiła ok. 1,0 mW, wiązka była spolaryzowana liniowo.Wiązka wprzęgnięta do falowodu wytwarzała sygnał drugiej harmonicznej o długości

fali bliskiej 400 nm. Po odfiltrowaniu wiązki pompującej za pomocą spektrometru obser-wowane było widmo sygnału drugiej harmonicznej. Zmieniając polaryzację wiązki pom-pującej oraz ustawienie analizatora zaobserwowano trzy części składowe widma, różniącesię polaryzacją wzbudzającej je wiązki pompującej oraz polaryzacją sumy częstości.

Typ Pompa Pompa Suma1 2 częstości

0 V V VI H H VII H V H

Tab. 3.1: Polaryzacje pól biorących udziałw poszczególnych typach procesu sumowa-nia częstości w falowodzie nieliniowym.

Najintensywniejszy był sygnał pochodzącyod procesu II typu, osiągający maksimum dlapolaryzacji ukośnej wiązki pompującej. Sumaczęstości w tym przypadku była spolaryzowa-na poziomo. Ponadto zaobserwowano procesyosiągające maksimum natężenia dla odpowied-nio pionowej i poziomej polaryzacji wiązki pom-pującej, czyli procesy I i 0 typu. Polaryzacjasumy częstości była w obu przypadkach piono-wa, a więc prostopadła do polaryzacji drugiejharmonicznej generowanej w procesie II typu.Przykładowe widmo generacji sumy częstości z

3.3 Cel i metoda pomiaru 43

wyróżnionymi przyczynkami od poszczególnych procesów przedstawione zostało na rys.3.1. Należy zauważyć znacznie mniejszą wydajność procesów I i 0 typu (proszę zwrócićuwagę na 50-krotne przeskalowanie widm tych procesów na rys. 3.1), wynikającą w oczy-wisty sposób z faktu, że okres inwersji domen nieliniowych w używanym falowodzie byłdopasowany do procesu II typu. Przyczynki od procesów I i 0 typu wynikały z wyższychrzędów quasi dopasowania fazowego, por. rozdział 1.3.2. Ze względu na różnice w warunkudopasowania fazowego poszczególne procesy obserwowane były w nieco różnych obszarachwidmowych. W tabeli 3.2 podsumowano polaryzacje pól biorących udział w procesach 0,I i II typu.Ponadto zaobserwowana została wyraźna zależność natężeń poszczególnych linii wid-

mowych od sposobu wprzęgania wiązki pompującej do falowodu. Jest to skutek opisanejw rozdziale 1.3.3 zależności warunku dopasowania fazowego w falowodzie od modów po-przecznych wiązki pompującej. W dalszej części tego rozdziału opiszę szczegółowo sposóbi wyniki eksperymentalnej analizy tego zjawiska.

3.3 Cel i metoda pomiaru

Nadrzędnym celem niniejszej pracy jest realizacja procesu fluorescencji parametrycz-nej w nieliniowym falowodzie PPKTP. Jak wspomniano już wcześniej, rozważany będzieproces fluorescencji parametrycznej pompowany wiązką o długości fali bliskiej 400 nm —a więc długości fali łatwo dostępnej albo w postaci impulsowej jako druga harmonicz-na impulsów femtosekundowych z oscylatorów tytanowo-szafirowych, albo bezpośrednioz laserów diodowych. Sumaryczna energia fotonów pary powstającej w procesie fluore-scencji parametrycznej musi być równa energii fotonu pompującego. Tutaj rozważać bę-dziemy częstości fotonów fluorescencji parametrycznej bliskie degeneracji, co odpowiadaich długościom fali bliskim 800 nm. Jest to korzystny zakres spektralny do wykonywa-nia eksperymentów kwantowooptycznych ze względu na dobrą wydajność niskoszumnychdetektorów pojedynczych fotonów opartych na krzemowych fotodiodach lawinowych orazłatwą dostępność impulsów femtosekundowych z oscylatorów tytanowo-szafirowych. Po-nadto rozważany będzie wyłącznie proces fluorescencji parametrycznej II typu, w którymfotony wygenerowanej pary są prostopadle spolaryzowane. Dzięki temu przy wytwarzaniupar o zdegenerowanych częstościach możliwe jest ich proste rozdzielenie w przestrzeni zapomocą kostki polaryzującej. Umożliwia to również łatwe wytworzenie splątanych polary-zacyjnie par fotonów [35,58].Jak pokazano w rozdziale 1.4 w falowodzie wielomodowym pary fotonów fluorescencji

parametrycznej mogą być emitowane w różnych modach poprzecznych, zgodnie z równa-niem (1.49). Udział poszczególnych modów poprzecznych określony jest przez widmo cza-sowe i przestrzenne wiązki pompującej i przez odpowiadające trójkom modów poprzecz-nych (tj. modowi pompy i parze modów fotonów fluorescencji parametrycznej) funkcjedopasowania fazowego Φlmn(ωV , ωH), składające się z całki przekrywania trójek modówpoprzecznych Slmn oraz czynnika określającego niedopasowanie fazowe ∆klmn. Aby w peł-ni kontrolować własności fotonów fluorescencji parametrycznej konieczna jest znajomośćwszystkich tych parametrów. Spośród tych trzech wielkości, wielkościami o wartościachokreślonych przez strukturę i materiał falowodu są całki przekrywania oraz warunki do-pasowania fazowego. W ogólności możliwe jest ich wyznaczenie na podstawie wynikówsymulacji numerycznych funkcji modowych w falowodzie. W praktyce jednak wyniki sy-mulacji nie są ścisłe, nie tylko ze względu na przybliżenia numeryczne, ale głównie zewzględu na jedynie przybliżoną znajomość profilu współczynnika załamania w falowodzie.Od profilu współczynnika załamania m. in. istotnie zależą wartości stałych propagacji mo-dów poprzecznych, na podstawie których wyznaczana jest funkcja dopasowania fazowego,

44 Pomiar dopasowania fazowego

por. (1.50), (1.52) [60,133].W związku z powyższym konieczne jest dokonanie pomiaru funkcji dopasowania fazo-

wego dla procesu fluorescencji parametrycznej Φlmn(ωV , ωH), dla różnych trójek modówpoprzecznych falowodu (l,m,n). Bezpośredni pomiar tej funkcji poprzez obserwację fo-tonów fluorescencji parametrycznej jest trudny, ze względu na niewielką wydajność tegoprocesu oraz ponieważ w procesie fluorescencji parametrycznej pod kontrolą eksperymen-tatora znajduje się tylko jedno pole optyczne: pole wiązki pompującej. Aby dokonać wsposób wydajny pomiaru funkcji dopasowania fazowego należy skorzystać z faktu, że, pro-cesem odwrotnym do procesu fluorescencji parametrycznej II typu, w którym foton pola Brozpada się na 2 fotony H i V , jest proces mieszania trzech fal II typu, w którym częstościfotonów pól H i V sumują się, by dać foton pola B. Procesy te opisane są jednakowymwarunkiem dopasowania fazowego [por. (1.52), (1.43)]:

∆klmn = k(n)B (ωB)− k

(l)H (ωH)− k

(m)H (ωV ) +

2πΛ= 0, (3.1)

gdzie ωB = ωH + ωV , a oprócz zmiany sposobu oznaczania stałej propagacji z β na k,oznaczenia są zgodne z używanymi w rozdziale 1. Jednakowość warunków dopasowania fa-zowego nie jest zaskakująca, gdyż warunek ten jest w swojej istocie warunkiem zachowaniapędu fotonów biorących udział w oddziaływaniu nieliniowym.Wykonywanie pomiarów dla procesu sumowania częstości jest korzystniejsze, gdyż jest

to proces o wiele bardziej wydajny od procesu fluorescencji parametrycznej. Ponadto, wprzypadku procesu II typu, możliwa jest niezależna kontrola widma i modu poprzeczne-go zarówno pola H, jak i pola V , co daje więcej użytecznych eksperymentalnie stopniswobody.Używając opisu uproszczonego, pomiar warunku dopasowania fazowego będzie polegał

na przemiataniu częstości ωH oraz ωV dla wiązek pompujących H i V wprzęgniętych dofalowodu w wybranych modach poprzecznych l i m i pomiarze natężenia sumy częstości wmodzie poprzecznym n. Obserwowane natężenie będzie osiągało maksimum, gdy dla da-nych długości fali spełniony będzie warunek dopasowania fazowego (3.1) dla trójki modów(l,m,n). Natężenie będzie proporcjonalne do kwadratu całki przekrywania Slmn. Poprzezwprzęganie różnych modów wiązek pompujących znalezione zostaną położenia widmowewarunków dopasowania dla różnych kombinacji modów trzech pól biorących udział w od-działywaniu nieliniowym. Oddziaływanie nieliniowe, w którym pola H i V w modach ijVoraz i′j′H dają pole sumy częstości w modzie klB będę nazywał procesem nieliniowym dlatrójki modów i oznaczał symbolem: ijV + i′j′H ↔ klB. Użyłem strzałki dwustronnej byzaznaczyć symetrię pomiędzy sumowaniem częstości i fluorescencją parametryczną.Wykorzystując wyniki uzyskane w rozdziale 1.3.3 pokażę teraz, że możliwy jest pomiar

funkcji dopasowania fazowego dla procesu fluorescencji parametrycznej przy wykorzysta-niu procesu sumowania częstości.Dla przypomnienia przepiszmy tutaj równanie (1.41), opisujące amplitudę pola sumy

częstości w modzie n przy pompowaniu szerokopasmową pompą wielomodową:

A(n)B (L, ωB) = (3.2)

=2deffωBL

β(n)B c2

∑l,m

∫dωHA

(l)H (ωH)A

(m)V (ωB−ωH)e

i∆klmn(ωH ,ωB)L/2Φlmn(ωH ,ωB−ωH),

Korzystając z tego wyrażenia spróbujemy obliczyć mierzalną wielkość jaką jest cał-kowite natężenie pola sumy częstości na wyjściu z falowodu. Na początku zauważmy, żecałkowite pole elektryczne sumy częstości, o częstości ωB, będzie składać się z przyczynków

3.3 Cel i metoda pomiaru 45

pochodzących od różnych modów poprzecznych:

EB(r, ωB) =∑n

A(n)B (z,ωB)u

(n)B (x,y)e

ik(n)B z. (3.3)

Aby obliczyć natężenie rejestrowane przez detektor o dużej powierzchni należy wy-znaczyć kwadrat modułu powyższego wyrażenia oraz dokonać całkowania po kierunkachpoprzecznych, uzyskując:

IB(z, ωB) ∝∑n

∣∣∣A(n)B (z,ωB)∣∣∣2 , (3.4)

gdzie skorzystaliśmy z ortonormalności funkcji modowych u(n)B (x,y), co fizycznie odpowia-da brakowi interferencji pomiędzy falami w ortogonalnych modach. Oznacza to, że możemyanalizować wyrażenie (3.2) niezależnie dla różnych modów pola sumy częstości.Dla uproszczenia dalszej analizy przyjmijmy, że pola H i V są wprzęgnięte do falowodu

w dobrze określonych modach poprzecznych o indeksach odpowiednio l i m. Ponadtozałóżmy, że polaH i V są polami monochromatycznymi o częstościach ω0V i ω

0H , co oznacza,

że całkę w równaniu (3.2) można pominąć, a częstości ωH,V zastąpić przez ω0H,V . Dlamonochromatycznych wiązek pompujących pole sumy częstości może być wygenerowanewyłącznie dla częstości ωB = ω0V + ω

0H , w związku z czym nie jest konieczne całkowanie

po częstościach ωB. Otrzymujemy więc wyrażenie na natężenie sumy częstości w modziepoprzecznym n wzbudzanego przez nieliniowe oddziaływanie pól w modach poprzecznychl i m:

I(lmn)B ∝ S2lmn/n

(n)eff,B(ωV + ωH) I

(l)V I

(m)H Φ2lmn(ωV ,ωH), (3.5)

gdzie IH,V = a2H,V są natężeniami pól H i V . Jest to zależność z dokładnością do czynnika

S2lmn/n(n)eff,B tożsama z równaniem (1.23) otrzymanym dla najprostszego modelu procesu

sumowania częstości płaskich fal monochromatycznych. Dla czytelności pominięto indeksy0 przy częstościach.Dla niewielkich zakresów spektralnych efektywny współczynnik załamania zmienia się

nieznacznie (poniżej 1% dla zakresu 20 nm w bliskim nadfiolecie), w związku z czym jegozależność od częstości w równaniu (3.5) można pominąć — choć należy pamiętać, że zależ-ność efektywnych współczynników załamania od częstości pozostaje w funkcji dopasowaniafazowego Φlmn(ωV ,ωH).Po dokonaniu tego przybliżenia otrzymujemy, że dla monochroma-tycznych wiązek pompujących unormowane natężenie sumy częstości jest proporcjonalnedo kwadratu szukanej funkcji dopasowania fazowego:

I(lmn)norm (ωV , ωH) =I(n)B (ωV , ωH)

I(l)V I

(m)H

∝ S2lmnΦ2lmn(ωV ,ωH). (3.6)

Podsumowując: mierząc zależność znormalizowanego natężenia sumy częstości w mo-dzie n od częstości monochromatycznych pól pompujących w modach przestrzennych l, muzyskuje się wielkość wprost proporcjonalną do funkcji dopasowania fazowego dla danejtrójki modów. W rzeczywistości w wyniku pomiaru zależności natężenia znormalizowane-go od częstości zmierzone zostaną funkcje dopasowania fazowego dla kilku trójek modów,odpowiadających tym samym modom wiązek pompujących H, V , lecz różnym modom su-my częstości. Zgodnie z równaniem (3.4) mierzony sygnał będzie sumą natężeń sygnałówpochodzących od różnych modów pola sumy częstości. Ze względu na różne dla różnychmodów sumy częstości geometryczne poprawki do efektywnego współczynnika załama-nia, warunek dopasowania fazowego dla różnych modów sumy częstości będzie spełnionydla wyraźnie rozseparowanych częstości ωH , ωV . Przekrywanie sygnałów pochodzących

46 Pomiar dopasowania fazowego

od różnych modów sumy częstości będzie w związku z tym znikome. Pozwala to przyjąć,przy założeniu wiązek pompujących w czystych modach przestrzennych, że dla danej paryczęstości ωH , ωV obserwowany będzie sygnał tylko od pojedynczego modu sumy częstości,czyli proprocjonalny do kwadratu funkcji dopasowania fazowego dla jednego tylko procesu.Równanie (3.6) jest słuszne dla monochromatycznych pól pompujących. Dla pól nie-

monochromatycznych o szerokościach widmowych ∆ω zależność (3.6) ulega poszerzeniu.Ścisłe obliczenie wartości poszerzenia wymaga numerycznego obliczenia wielkości (3.4),(3.2), czego dokonamy w dlaszej części rozdziału.W przypadku wiązek pompujących wprzęgniętych do kilku modów poprzecznych przy

obliczaniu natężenia (3.4) pojawią się człony interferencyjne. Ze względu na strukturę wid-mową funkcji dopasowania fazowego z dobrym przybliżeniem można człony te zaniedbać iprzyjąć, że obserwowane natężenie będzie sumą natężeń procesów nieliniowych dla różnychtrójek modów.Powyższe rozważania są słuszne pod warunkiem, że transmisja falowodu nie zmienia

się istotnie w badanym zakresie częstości. W przypadku prezentowanych tu badań czę-stości wiązek pompujących zmieniane były w zakresie odpowiadającym długościom faliw próżni 800 ± 15 nm, co odpowiada sumie częstości z zakresu 400 ± 7,5 nm. W tychniewielkich zakresach spektralnych transmisja KTP zmienia się bardzo nieznacznie [53].Również straty wynikające ze struktury geometrycznej falowodu można przyjąć za stałew tak małym zakresie długości fali.Podsumowując, pomiar zbioru funkcji dopasowania fazowego dla różnych trójek modów

poprzecznych falowodu sprowadza się do pomiaru dwuwymiarowego widma sumy częstościInorm(ωV ,ωH) dla różnych modów poprzecznych wiązek pompujących. Ponieważ badanefalowody PPKTP miały okres inwersji domen nieliniowych zoptymalizowany dla mieszaniatrzech fal w podstawowych modach poprzecznych na długości fali bliskiej 800 nm, pomia-ry funkcji dopasowania fazowego przeprowadzone zostaną w zakresie spektralnym wokół800 nm. Poniżej opiszę układ doświadczalny i szczegółową metodę pomiaru zależnościnatężenia znormalizowanego od częstości i modów poprzecznych wiązek pompujących.

3.4 Układ doświadczalny

Schemat wykorzystanego układu doświadczalnego przedstawiony jest na rysunku 3.2.Układ składał się z trzech zasadniczych części: układu przygotowania wiązek pompujących,sprzęgania i wyprzęgania wiązek z falowodu oraz układu detekcji. Pierwsza i ostatniaz tych części zostaną szczegółowo omówione w dwóch kolejnych podrozdziałach. Układwprzęgania i wyprzęgania światła do/z falowodu został opisany w w podrozdziale 2.2.3.Pomiary wykonano głównie dla próbek A i B oraz w ograniczonym zakresie dla próbki C.Pomiary dla próbki C zostały wykonane przy wykorzystaniu uproszczonej wersji układudoświadczalnego, omówionej później. Dla każdej z próbek do przeprowadzenia pomiarówwybrany został falowód wykazujący największą wydajność generacji sumy częstości II typudla pompowania impulsami o centralnej długości fali 800 nm.

3.4.1 Przygotowanie wiązek pompujących

Zadaniem części przygotowującej wiązki było niezależne strojenie częstości (długościfali) wiązek pompujących V i H w badanym zakresie spektralnym, a także możliwie se-lektywne niezależne wzbudzanie wybranych modów poprzecznych w falowodzie.Źródłem promieniowania na potrzeby eksperymentu był wspomniany w podrozdziale

3.2 femtosekundowy oscylator tytanowo-szafirowy o centralnej długości fali strojonej wzakresie 795 − 805 nm i szerokości widmowej 20 nm. Do strojenia długości fali wykorzy-

3.4 Układ doświadczalny 47

stano dwa zestawy wąskopasmowych filtrów interferencyjnych, o szerokości połówkowej0,6 nm, centralnej długości fali odpowiednio 815 i 800 nm, transmisji maksymalnej 40%.W połączeniu z szerokością widmową wiązki z oscylatora oraz z możliwością łatwego stro-jenia centralnej długości fali oscylatora, możliwe było pokrycie za pomocą pary filtrówinterferencyjnych zakresu długości fali 792− 815 nm. Strojenie odbywało się poprzez ob-racanie filtra interferencyjnego, zamocowanego na stoliku obrotowym za pomocą silnikakrokowego, w dwóch zakresach: od 815 do 799 nm oraz od 800 do 792 nm. Obrót filtrainterferencyjnego powodował nieznaczne poszerzenie pasma transmisji filtra, do szerokości0,7 nm dla maksymalnego używanego kąta obrotu. Ponadto na granicy wspomnianychzakresów następował istotny spadek transmisji filtrów.Wykorzystane filtry interferencyjne posiadały jedną z najmniejszych dostępnych w

handlu szerokości widmowych: 0,6 nm (Spectrofilm Inc., USA). Warto jednak zauważyć,że dalsze zmniejszenie szerokości widmowej filtrów byłoby niekorzystne dla opisywanegoeksperymentu, gdyż ograniczyłoby wydajność generacji sygnału sumy częstości wskutekdwóch efektów: zmniejszenia mocy promieniowania przepuszczanego przez filtr o mniejszejszerokości widmowej oraz w wyniku wydłużenia czasu trwania impulsów wskutek zawęże-nia ich widma.Istotnym zagadnieniem było zapewnienie stabilności sprzęgania wiązek pompujących

do falowodu podczas strojenia długości fali przez obracanie filtrów. Ze względu na znacz-ną grubość filtrów (5 mm), w wyniku ich obracania wiązka doznawała nie dającego sięzaniedbać przesunięcia. W celu kompensacji tego efektu skonstruowany został układ ogeometrii interferometru Michelsona, przedstawiony na rys. 3.2. Spolaryzowana liniowo,poziomo względem powierzchni stołu optycznego wiązka z oscylatora femtosekundowego omocy średniej ok. 500 mW, przechodziła przez linię dyspersyjną (DL) oraz izolator optycz-ny (OI) zabezpieczający przed odbiciami powracającymi z układu do wnęki oscylatora.Linia dyspersyjna wykorzystywała podwójne przejście przez parę pryzmatów z ciężkiegoszkła (SF10). Użycie ciężkiego szkła było konieczne, by skompensować znaczną dyspersjęwprowadzaną przez izolator optyczny. Po opuszczeniu izolatora wiązka przechodziła przezpłytkę półfalową zerowego rzędu, obracającą kierunek polaryzacji, po czym rozdzielanabyła na dielektrycznej kostce polaryzującej (PBS1) na składowe polaryzacyjne V i H.W drodze każdej ze składowych znajdował się filtr interferencyjny zamocowany na ste-

rowanym silnikiem krokowym stoliku obrotowym (IF). W każdym z ramion wiązka byłazawracana za pomocą lustra srebrnego zamocowanego na sterowanym piezoelektrycznieuchwycie kinematycznym (PM). Ponadto w ramieniu dla wiązki przechodzącej lustro byłoumieszczone na stoliku przesuwnym, umożliwiającym wyrównanie długości ramion, w ce-lu uzyskania przekrycia czasowego impulsów o prostopadłych polaryzacjach na wejściu dofalowodu. Płytki ćwierćfalowe (λ/4) umieszczone w każdym z ramion interferometru podwukrotnym przejściu powodowały obrót kierunku polaryzacji liniowej o 90 dzięki cze-mu prostopadle spolaryzowane wiązki współliniowo opuszczały interferometr. Wyrównaniedługości ramion w interferometrze wykonywane było na podstawie sygnału interferen-cji spektralnej. Aby umożliwić interferencję dwóch prostopadłych, współliniowych wiązekopuszczających interferometr na ich drodze umieszczany był polaryzator zorientowany podkątem 45. Widmo interferujących wiązek obserwowane było za pomocą spektrometru. Re-gulacja długości ramion następowała aż do zaobserwowania zerowego prążka interferencjispektralnej.Opisany układ zapewniał kompensację przesunięcia wiązki wprowadzanego przez obrót

filtrów interferencyjnych, przy założeniu ich płaskorównoległości. W praktyce z powodunieznacznej nierównoległości powierzchni filtrów interferencyjnych ich obracanie nadal po-wodowało zmianę sposobu sprzęgania wiązek do falowodu. Aby zminimalizować ten reszt-kowy efekt skonstruowany został układ aktywnej stabilizacji sprzęgania. W tym celu za

48 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.2: Schemat układu doświadczalnego do pomiaru funkcji dopasowania fazowego dla procesumieszania trzech fal w falowodzie. Wiązka z oscylatora szafirowego po przejściu przez pryzmatycz-ną linię dyspersyjną (DL) i izolator optyczny za pomocą kostki polaryzującej PBS1 rozdzielanajest na dwa ramiona, w których znajdują się: wąskopasmowy filtr interferencyjny IF oraz płyt-ka ćwierćfalowa λ/4, zakończone lustrami na uchwycie piezoelektrycznym PM. Płytki częściowoprzepuszczalne BS1,2 oddzielają wiązkę kierowaną do spektrometru (SP) oraz do układu detekcjipołożenia wiązek wykorzystującego fotodiody kwadrantowe QD. Teleskop T wraz z soczewką asfe-ryczną AL służą do wprzęgnięcia wiązki do falowodu W. Światło opuszczające falowód za pomocąobiektywu mikroskopowego (Obj) kierowane jest na lustra dichroiczne DM, a następnie przez od-powiedni filtr barwny F na matryce CCD, fotodiody krzemowe PD1,2 lub fotodiodę GaP PD3.Linią przerywaną oznaczono zwierciadła zamocowane na uchwytach pozwalających na ich łatweusunięcie z drogi wiązki światła.

interferometrem ok. 4% natężenia wiązek pompujących kierowane było za pomocą lustrapółprzepuszczalnego BS1 do umieszczonej w odległości ok. 4 m kostki polaryzującej PBS2,rozdzielającej obie składowe polaryzacyjne; następnie każda z nich kierowana była do fo-todiody kwadrantowej (czwórdzielnej), która służyła do monitorowania położenia wiązki.Sygnałem z fotodiody kwadrantowej użytecznym do monitorowania położenia wiązki jestsygnał różnicowy pomiędzy górną i dolną połówką fotodiody oraz pomiędzy połówka-mi lewą i prawą. Do odczytywania tych sygnałów wykorzystany został posiadany układelektroniczny detektora położenia wiązki laserowej, po doposażeniu go w interfejs kompu-terowy oraz dostosowaniu czułości do niewielkich mocy wiązek docierających do fotodiod.Sygnały różnicowe z fotodiod kwadrantowych były odczytywane przez komputer sterującyeksperymentem i służyły jako sygnał sprzężenia zwrotnego do sterowania położeniem lu-ster PM. Pochylanie luster umożliwiało w znacznym skorygowanie efektów wprowadzanychprzez obrót filtrów interferencyjnych. Korekta miała zmniejszoną skuteczność dla dużychkątów obrotu filtrów interferencyjnych, w wyniku zmniejszenia mocy docierającej do foto-diod kwadrantowych, ze względu na wspomniany wcześniej spadek transmisji filtrów dladużych kątów obrotu.

Pewną wadą przedstawionego układu był brak możliwości bezpośredniego monitorowa-nia wydajności sprzęgania do falowodu; dla zapewnienia wiarygodności pomiaru zależnościznormalizowanego natężenia od długości fali konieczne jest zminimalizowanie zmian wy-dajności sprzęgania, od której sygnał sumy częstości zależy liniowo dla każdej z polaryzacji(czyli efektywnie kwadratowo dla obu polaryzacji jednocześnie). W typowych układach sta-bilizacji sprzęgania do falowodu (lub włókna optycznego) jako sygnał sprzężenia zwrotnegostosuje się moc wprzęgniętą do struktury światłowodzącej, monitorowaną na wyjściu zestruktury. W przypadku opisywanego eksperymentu, zastosowanie tego rozwiązania byłoniemożliwe, ponieważ pozbawiłoby układ możliwości selektywnego wzbudzania wybranegomodu poprzecznego w falowodzie, powodując zawsze optymalizację sprzęgania do modu,

3.4 Układ doświadczalny 49

który sprzęga się najwydajniej.Selektywne wzbudzanie wybranych modów poprzecznych w falowodzie uzyskiwane by-

ło w sposób analogiczny do opisanego w części 2.2.3. Dzięki rozdzieleniu ścieżek polaryzacjiinterferometrze możliwe było jednoczesne niezależne wzbudzanie modów dla wiązki pom-pującej V i H, poprzez niezależne pochylanie luster PM w każdym z ramion oraz ewen-tualne wprowadzanie odpowiednio pochylonej płytki szklanej w odpowiednim ramieniuinterferometru w celu wzbudzenia modu 10 (pierwszego wzbudzonego poziomo). Nale-ży zaznaczyć, że wzbudzanie pary wybranych modów jednocześnie dla obu składowychpolaryzacyjnych było zadaniem trudniejszym niż wzbudzanie jednej tylko składowej pola-ryzacyjnej: było to spowodowane brakiem możliwości niezależnej regulacji położenia falo-wodu względem soczewki asferycznej AL. Szczególnie utrudnione było wzbudzanie modówznacznie różniących się liczbą wzbudzeń, np. 00H i 03V .Po zoptymalizowaniu sprzęgania wiązek pompujących do wybranej pary modów po-

przecznych ustalany był punkt pracy układu stabilizacji sprzęgania, poprzez wycentrowa-nie wiązek padających na detektory kwadrantowe.Podsumowując, opisany układ przygotowujący wiązki pompujące pozwalał na nieza-

leżną regulację długości fali prostopadle spolaryzowanych wiązek pompujących w zakresie792 − 815 nm oraz na niezależną kontrolę wzbudzanego przez nie modu poprzecznegow falowodzie. Zapewniona była również aktywna stabilizacja wydajności sprzęgania dowybranego modu poprzecznego, niezależna dla obydwu wiązek pompujących.

3.4.2 Układ detekcji

Pozostała część układu służyła do pomiaru wielkości niezbędnych do wyznaczeniafunkcji dopasowania fazowego. Do pomiaru długości fali służył spektrometr Ocean OpticsUSB2000, do którego kierowana była niewielka część biegnących współbieżnie wiązek pom-pujących. Odczyt centralnej długości fali dokonywany był z dokładnością 0,1 nm poprzezdopasowywanie krzywej gaussowskiej do zmierzonych widm.Promieniowanie opuszczające falowód, zebrane przez obiektyw mikroskopowy o zre-

dukowanej dwójłomności, kierowane było na zwierciadło dichroiczne DM, oddzielającesygnał sumy częstości o długości fali ok. 400 nm od wiązek pompujących o długości falibliskiej 800 nm. Dodatkowo pozostałości wiązek pompujących były usuwane za pomocąfiltra barwnego F. Sygnał sumy częstości był ogniskowany za pomocą soczewki na foto-diodzie GaP (PD3). Maksymalna moc wytwarzanego sygnału sumy częstości wynosiła ok.50 µW. W celu umożliwienia rejestracji możliwie niewielkich mocy sygnału sumy często-ści (na poziomie 0,1 µW, tj. porównywalnym z poziomem szumów) do pomiaru sygnałuelektrycznego wytwarzanego na fotodiodzie PD3 zastosowano detekcję fazoczułą (lock-in).W tym celu przed fotodiodą PD3 umieszczono przerywacz wiązki (chopper), sprzężonyz komercyjnym detektorem typu lock-in, do którego kierowany był sygnał elektryczny zfotodiody. Wykorzystanie detekcji fazoczułej pozwoliło na istotne zwiększenie stosunkusygnału do szumu dla niewielkich natężeń sygnału.Rozkład natężenia sumy częstości na wyjściu z falowodu był obserwowany na matrycy

CCD1, na którą obrazowana była płaszczyzna wyjściowa falowodu, analogicznie jak wpodrozdziale 2.2.3. Sygnał sumy częstości był rozdzielany na części kierowane do fotodiodyi matrycy CCD za pomocą płytki światłodzielącej 50/50 (BS3).Zgodnie z równaniem (3.6), w celu wyznaczenia zależności widmowej funkcji dopaso-

wania fazowego konieczne jest wyznaczenie natężenia sumy częstości znormalizowanegowzględem natężeń wiązek pompujących Inorm = IB/(IHIV ). Aby wyznaczyć względnenatężenia wiązek pompujących, po odfiltrowaniu większości słabego sygnału sumy czę-stości za pomocą lustra dichroicznego, wiązki rozdzielano na kostce polaryzującej PBS3,

50 Pomiar dopasowania fazowego

ogniskowano i kierowano do fotodiod krzemowych. Dzięki zastosowaniu obiektywu mi-kroskopowego o zredukowanej dwójłomności sygnały z fotodiod były proporcjonalne doodpowiedniej składowej polaryzacyjnej propagującej się w falowodzie. Alternatywnie, poprzesunięciu lustra uchylnego, wiązki mogły być kierowane na matrycę CCD (CCD2), wcelu obserwacji obrazowanej na matrycy powierzchni wyjściowej falowodu. Pozwalało to namonitorowanie modów przestrzennych wiązek pompujących wzbudzanych w falowodzie.W świetle tego, że mierzoną wielkością było natężenie znormalizowane, należy pod-

kreślić, że zmiany wydajności sprzęgania wiązek pompujących do falowodu nie powodujązmian natężenia znormalizowanego, a więc nie zwiększają niepewności wyznaczenia tejwielkości. Tym, co powoduje zafałszowanie wyników pomiaru natężenia znormalizowa-nego, jest zmiana wzbudzanego modu poprzecznego wiązki pompującej, przy braku lubniewielkiej zmianie mocy światła wprzęgniętego do falowodu. Sytuacja taka powoduje spa-dek sygnału sumy częstości (ponieważ zmniejszony jest udział modu wiązki pompującej,dla którego na danej długości fali jest spełnione dopasowanie fazowe), przy niewielkiejzmianie natężeń odczytywanych na fotodiodzie PD1 lub PD2. Powoduje to zmniejszeniewartości natężenia znormalizowanego. Stąd wynika waga układu stabilizacji sprzęganiawiązek pompujących do falowodu.Ponieważ celem opisywanych pomiarów było jedynie wyznaczenie położenia widmowe-

go funkcji dopasowania fazowego dla różnych trójek modów poprzecznych i względnychwydajności procesów nieliniowych odpowiadających poszczególnym trójkom modów, zna-jomość bezwględnych natężeń poszczególnych sygnałów nie była konieczna. W związkuz tym wskazania fotodiod nie zostały skalibrowane w sposób bezwzględny — stosowanojedynie odejmowanie tła oraz zweryfikowano liniowość odpowiedzi. Zmierzone natężeniazapisywane były w jednostkach umownych.Przyjęto również założenie, że w badanym niewielkim zakresie spektralnym wydajność

detekcji dla fotodiod jest niezależna od długości fali — na podstawie specyfikacji tech-nicznych użytych fotodiod można oszacować, że wprowadza to błąd systematyczny nieprzekraczający 2%. Można spodziewać się, że będzie to wartość niewielka w porównaniu zniepewnościami wprowadzanymi przez wahania sposobu sprzęgania wiązek pompującychdo falowodu. Założono również, że straty w układzie detekcji nie zależą od długości fa-li. Założenie to jest bardzo dobrze spełnione dla wiązek pompujących; dla wiązki sumyczęstości, będącej w obszarze bliskiego nadfioletu, różnice transmisji obiektywu pomiędzykrańcami badanego zakresu spektralnego wynoszą do 3%. Utrudnione pozostaje weryfi-kacja założenia w stosunku do strat w falowodzie oraz podczas wyprzęgania światła zfalowodu.Opisany układ pomiarowy kontrolowany był przez dedykowaną aplikację w środowi-

sku Lab View (National Instruments), zbierającą sygnały z fotodiod oraz ze spektrome-tru, kontrolującą położenia filtrów i luster sterowanych piezoelektrycznie. Pozwalało tona zautomatyzowany pomiar dwuwymiarowego widma sumy częstości dla ustalonej pa-ry modów wiązek pompujących, w zakresie obejmowanym przez pojedynczą parę filtrówinterferencyjnych.

3.5 Pomiary i analiza wyników

3.5.1 Widma jednowymiarowe

Przed rozpoczęciem zbierania pełnych dwuwymiarowych widm sumowania częstościzdecydowano się na dużo mniej czasochłonne pomiary widm jednowymiarowych, wyko-nywanych dla jednakowych (zdegenerowanych) długości fali obu wiązek pompujących. Wtakiej sytuacji dla ustalonych modów wiązek pompujących natężenie znormalizowane zgod-

3.5 Pomiary i analiza wyników 51

nie z równaniem (3.6) proporcjonalne jest do:

I(n)norm(ω) ∝ S2lmnsinc2(∆klmn(ω, ω)L

2

). (3.7)

Rzeczywisty obserwowany sygnał będzie sumą sygnałów pochodzących od różnych trójekmodów biorących udział w oddziaływaniu nieliniowym oraz będzie nieznacznie poszerzonyspektralnie ze względu na niezerową szerokość widmową używanych wiązek pompujących.

Pomiar tego typu dostarcza informacji o długości fali, dla której spełniony jest warunekdopasowania fazowego (1.43) dla danej trójki modów poprzecznych, dla zdegenerowanychdługości fali (tj. dla generacji drugiej harmonicznej). Rozważany pomiar pozwala zatemstwierdzić w jakim stopniu rozseparowane widmowo są poszczególne funkcje dopasowaniafazowego. Ponadto daje informację o szerokości widmowej funkcji dopasowania fazowego.W dalszej części pracy przez częstość (długość fali) dopasowania fazowego lub przez poło-żenie spektralne danej funkcji (procesu) dopasowania fazowego będę rozumiał częstość dlaktórej zdegenerowany w częstościach pompy proces nieliniowy opisywany przez tą funkcjęma maksymalną wydajność.

Cykl pomiarowy przebiegał następująco: opisaną wcześniej metodą w falowodzie wzbu-dzane były rozkłady natężenia wiązek pompujących możliwie bliskie rozkładom natężeniadla żądanych modów poprzecznych. Rozkłady natężenia były obserwowane na matrycyCCD2. Po uzyskaniu zadowalających rozkładów natężenia ustalany był punkt pracy ukła-du stabilizacji sprzęgania wiązek pompujących. Długość fali wiązek pompujących byłazmieniania skokowo poprzez jednoczesny i jednakowy obrót filtrów interferencyjnych IF1,IF2, z krokiem 0,1 nm. Po każdym obrocie filtrów, układ detekcji położenia wiązek spraw-dzał i ewentualnie modyfikował sprzęganie wiązek pompujących poprzez odpowiednie po-chylenie luster PM. Bieżąca długość fali była odczytywana przez spektrometr i zapisywana,po czym następował zapis wartości unormowanego natężenia Inorm, jak również bezpośred-nich wskazań wszystkich 3 fotodiod. Dla każdej długości fali odczyt był uśredniany (conajmniej 10-krotnie), co pozwalało oszacować niepewności pomiarowe wynikające ze staty-stycznego charakteru mierzonych wielkości; należy jednak podkreślić, że główną przyczynąbłędów pomiarowych były zmiany sposobu sprzęgania wiązek pompujących w trakcie prze-miatania długości fali.

Najczęściej pomiar był przeprowadzany dla zakresu spektralnego pokrywanego przezjeden filtr spektralny, typowo w zakresie 799− 815 nm, ponieważ w tym zakresie obserwo-wano sygnał od większości trójek oddziałujących modów poprzecznych. Pomiar w pełnymobserwowanym zakresie spektralnym: 792−815 nm wymagał połączenia danych zebranychw dwóch pomiarach, dla dwóch zestawów filtrów interferencyjnych.

Typowe widmo uzyskiwane w wyniku pomiaru (przez widmo będę rozumiał zależnośćznormalizowanego natężenia od długości fali) przedstawiono na rys. 3.3. Poszczególne mak-sima odpowiadają spełnieniu warunku dopasowania fazowego dla różnych trójek modówpoprzecznych. Niektórym maksimom odpowiadał rozkład natężenia w wiązce sumy czę-stości (obserwowany na matrycy CCD1) odpowiadający dobrze określonemu modowi po-przecznemu. Dla innych sygnałów trudno było przypisać mody poprzeczne, najczęściej zewzględu na interferencję pochodzącą od kilku nakładających się pasm funkcji dopasowaniafazowego.

Względne natężenia obserwowanych linii widmowych, zgodnie z przewidywaniami,zmieniały się dramatycznie wraz ze zmianą modów poprzecznych wiązek pompujących.Efekt ten ilustruje rys. 3.4, na którym nałożone zostały widma uzyskane dla wielu róż-nych modów poprzecznych wiązek pompujących.

52 Pomiar dopasowania fazowego

795 800 805 810 8150

20

40

60

80

100

120

140

160

00B

00B

00B

00B

I norm

(j.u

.)

(nm)

01B

Rys. 3.3: Przykładowe jednowymiarowe widmo sumy częstości. Mody poprzeczne wiązek pom-pujących: (00V , 01H). Na wykresie oznaczono mod sygnału sumy częstości dla linii widmowych,dla których możliwa była jego jednoznaczna identyfikacja na podstawie obserwowanego rozkładunatężenia na wyjściu z falowodu.

3.5.2 Interpretacja widm jednowymiarowych

Zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi, poszczególne linie widmowe odpowiadająprocesom nieliniowym, w których uczestniczą różne trójki modów poprzecznych oddzia-łujących pól. Ze względu na nakładanie się niektórych linii oraz, na początkowym etapiepomiarów, niepewność co do dokładnej postaci rozkładów natężenia światła na wyjściu zfalowodu odpowiadających danym modom przestrzennym wiązek pompujących, interpre-tacja widm, polegająca na przypisaniu obserwowanym liniom widmowym odpowiadają-cych im trójek modów poprzecznych, była utrudniona.Ponieważ, jak wspomniano wcześniej, położenia linii widmowych uzyskiwane na pod-

stawie wartości stałych propagacji modów obliczonych numerycznie są obarczone dużąniepewnością, wynikającą z niedokładnej znajomości profilu współczynnika załamania fa-lowodów, interpretacja widm była prowadzona w możliwie dużym zakresie wyłącznie napodstawie obserwacji eksperymentalnych. Tylko w nielicznych przypadkach konieczne byłoskorzystanie z uproszczonego modelu teoretycznego.Identyfikację poszczególnych linii rozpocząłem od przypisanie najsilniejszego obser-

wowanego sygnału na długości fali 799,6 nm procesowi odpowiadającemu oddziaływaniuwiązek pompujących w modach podstawowych dającemu pole sumy częstości również wmodzie podstawowym. Proces ten będzie oznaczany jako: 00H + 00V ↔ 00B i nazywanydalej będzie procesem podstawowym. Jednoznaczne przypisanie tego procesu do obser-wowanej linii widmowej było możliwe na podstawie następujących dwóch obserwacji. Popierwsze, o wydajności procesu nieliniowego przy spełnionym warunku dopasowania fazo-wego decyduje całka przekrywania trójki modów [por. równanie (1.40)], która największąwartość osiąga dla trójki modów podstawowych. Po drugie, po ustaleniu długości fali wią-zek pompujących na 799,6 ± 0,2 nm, optymalizacja sprzężenia wiązek pompujących wkierunku maksymalizacji znormalizowanego natężenia sumy częstości Inorm jednoznacznieprowadziła do rozkładów natężenia obu wiązek pompujących jakościowo odpowiadającychrozkładowi natężenia modu podstawowego. Rozkład natężenia dla wiązki sumy częstościrównież jakościowo odpowiadał modowi podstawowemu 00B.Identyfikacja opisywanej linii pozwoliła na poznanie rozkładu natężenia wiązek pom-

pujących odpowiadającego modom 00H , 00V . Zadanie to było utrudnione podczas bezpo-

3.5 Pomiary i analiza wyników 53

800 802 804 806 808 810 812 8140

20

40

6080

100

120

140

160

180200

220

240

260

(00V, 00

H)

(00V, 01

H)

(00V, 02

H)

(00V, 03

H)

(02V, 00

H)

(03V, 00

H)

(01V, 02

H)

(00V, 10

H)I no

rm (

j.u.)

(nm)

Rys. 3.4: Przykładowe widma jednowymiarowe dla różnych par modów wiązek pompujących,wyszczególnionych w legendzie. Widoczna wyraźna zależność intensywności poszczególnych pikówod modów poprzecznych wiązek pompujących.

średniej obserwacji, ponieważ superpozycja modów 00H,V i 01H,V daje rozkład natężeniajakościowo bardzo zbliżony do rozkładu dla modu podstawowego, jedynie nieco przesuniętyw kierunku pionowym. Ponadto dla używanej wiązki pompującej wspomniana superpozy-cja wzbudzała się z większą wydajnością niż czysty mod podstawowy.Ze względu na częste nakładanie się spektralne kilku linii odpowiadających różnym mo-

dom wiązek pompujących, metoda optymalizacji sprzężenia wiązek pompujących w celumaksymalizacji natężenia Inorm nie mogła być użyta do identyfikacji pozostałych procesów.W celu identyfikacji dalszych linii wykonano pomiary widm jednowymiarowych dla usta-lonych kombinacji modów poprzecznych wiązek pompujących. Wybrane mody wzbudzanojakościowo oceniając obserwowany rozkład natężenia na wyjściu z falowodu, jako kryte-rium stosując uzyskanie zadanej liczby maksimów o możliwie zbliżonych intensywnościach.Ze względu na niedoskonałą selektywność metody sprzęgania, niepełną znajomość rozkła-dów natężenia odpowiadających poszczególnym modom oraz jedynie jakościowe kryteriumoceny jakości sprzęgania do wybranego modu, oprócz pożądanego modu wzbudzano teżniezaniedbywalne przyczynki od innych modów, w szczególności modów o liczbie węzłówróżniącej się o 1 od liczby węzłów pożądanego modu. Szczególnie trudne było selektywnewzbudzenie modów 01H,V , z powodów omówionych w rozdziale 2.2.3.W celu zidentyfikowania dalszych pasm zebrane zostały serie widm dla jednej z wiązek

pompujących w modzie podstawowym, natomiast drugiej w kolejnych modach wzbudzo-nych w kierunku pionowym: 0j, j = 1, 2, 3. Dane zostały zebrane dla obu polaryzacjiwiązek pompujących. Widma dla serii (00V , 0jH) przedstawione są na rys. 3.5. W wid-mach przedstawionych na rys. 3.5 wyróżnić można linie o powtarzających się położeniach inatężeniach zależnych od modu poprzecznego wiązki pompującej. Linie te pojawiają się wwidmach dla różnych sprzężeń wiązki pompującej, ze względu na wzbudzanie przyczynkówod innych modów poprzecznych oprócz pożądanego modu wiązki pompującej. Analizującwzględne natężenia linii dla tych serii widm, możliwe było wstępne przypisanie liniomodpowiadających im procesów 0jH +00V ↔ 00B oraz 00H +0jV ↔ 00B, j = 1, 2, 3. Przy-pisanie zostało potwierdzone przez dostrojenie się do długości fali odpowiadającej danejlinii dla wiązek pompujących w odpowiednich modach poprzecznych i maksymalizowa-nie sygnału znormalizowanego natężenia — po optymalizacji uzyskanie rozkładu natężeń

54 Pomiar dopasowania fazowego

794 796 798 800 802 804 806 808 810 812 814020406080100120140160180200220240260

I norm

(j. u

.)

(nm)

(00V,01

H)

(00V,02

H)

(00V,03

H)

Rys. 3.5: Widma jednowymiarowe dla modów wiązek pompujących 0j, j = 1, 2, 3. Widocznepojawianie się tych samych linii w widmach odpowiadających różnym sposobom sprzężenia wiązkipompującej. Wynika to ze wzbudzania także modów innych niż mod pożądany.

wiązek pompujących odpowiadających właściwym modom potwierdzało identyfikację liniiwidmowej. Procesy przypisane poszczególnym liniom wyszczególnione są w tabeli 3.2.Na podstawie kolejnych pomiarów dla pozostałych kombinacji modów wiązek pompu-

jących dokonana została jednoznaczna identyfikacji linii odpowiadających procesom po-staci 0iH + 0jV ↔ 00B. Zakończyło to identyfikację procesów zawierających mod 00B,położonych w badanym obszarze spektralnym.Bezpośrednia identyfikacja większości linii odpowiadających wyższym modom pola su-

my częstości była znacznie utrudniona, ze względu na ich niewielkie natężenia i częste prze-krywanie się z innymi, silniejszymi sygnałami. Ze względu na stosunkowo prostą postaćwidm w zakresie spektralnym poniżej 797 nm (podstawowa przyczyna tej własności obser-wowanych widm zostanie wyjaśniona w podrozdziale 3.6.1), metodą bezpośrednią udałosię zidentyfikować silne linie odpowiadające procesom 00V +00H ↔ 01B, 00V +03H ↔ 01Boraz 01V + 01H ↔ 01B.Dalsze kroki w kierunku identyfikacji pozostałych linii zawierających wyższe mody

wiązki sumy częstości wymagała wykorzystania prostego modelu, opisującego zależnościpomiędzy stałymi propagacji poszczególnych modów.

3.5.3 Uproszczony model teoretyczny

Oznaczając przez n(j)V , n(j′)H efektywne współczynniki załamania dla pól V i H w mo-

dach poprzecznych odpowiednio j i j′, warunek dopasowania fazowego dla procesu sumo-wania częstości tych pól (3.1) można zapisać jako:

ωV n(j)V (ωV ) + ωHn

(j′)H (ωH) = ωBn

(k)B (ωB)−

2πcΛ, (3.8)

gdzie n(k)B jest efektywnym współczynnikiem załamania wygenerowanego pola sumy czę-stości w modzie przestrzennym o indeksie k, a ωB = ωH + ωV . Dla wiązek pompującycho zdegenerowanych częstościach ωV = ωH , ω. Korzystając z równania (1.16) możemyzapisać:

ω(nV (ω) + ∆n

(j)V

)+ ω

(nH(ω) + ∆n

(j′)H

)= 2ω

(nH(2ω) + ∆n

(k)B

)− 2πcΛ, (3.9)

3.5 Pomiary i analiza wyników 55

λ (nm) ijV ijH ijB Inorm (%) Itheor (%)

794,8 01 01 03 23,9 20795,0 01 00 02 16,8 14795,1 00 01 02 17,0 14795,5 00 00 01 36,1 29796,1 10 00 11 20,9 20796,7 00 10 11 22,7 20798,4 01 01 02 22,0 45798,8 01 00 01 6,6 10799,0 00 01 01 12,2 10799,2 10 10 20 48,9 40799,5 10 01 11 8,1 7,5799,6 00 00 00 100,0 100800,0 01 10 11 6,8 7,5800,3 10 00 10 56,8 63800,7 00 10 10 62,5 63801,7 02 00 01 15,7 17802,1 00 02 01 17,2 17803,1 00 01 00 15,9 21802,9 01 00 00 20,5 21802,9 02 10 11 8,0 11803,0 10 02 11 8,0 11803,1 00 01 00 14,5 21803,7 10 01 10 5,7 12804,0 03 00 01 26,1 13804,1 01 10 10 8,0 12804,7 00 03 01 18,9 13805,4 10 03 11 7,5 8805,5 03 10 11 7,3 8806,1 02 00 00 8,0 5806,4 00 02 00 3,0 5806,7 01 01 00 11,7 15808,4 10 10 01 20,5 17808,4 03 00 00 2,7 2809,1 00 03 00 0,5 2809,7 02 01 00 5,7 7810,1 01 02 00 6,8 7812,2 03 01 00 3,4 4812,7 01 03 00 1,8 4813,0 10 10 00 40,9 48813,1 02 02 00 6,4 5

Tab. 3.2: Lista zidentyfikowanych linii w widmie sumowania częstości dla badanego falowoduz próbki A. W kolumnach podano kolejno: centralną długość fali dla danej linii, indeksy trzechmodów odpowiadających tej linii, zmierzone natężenie linii, podane w % natężenia linii dla procesupodstawowego 00V + 00H ↔ 00B , oraz natężenie linii obliczone na podstawie całek przekrywaniatrójek modów, również wyrażone w % obliczonego natężenia dla procesu podstawowego. Na liścieumieszczono procesy o wydajności powyżej 3% wydajności procesu podstawowego oraz niektóresłabsze procesy istotne dla argumentacji w tekście.

56 Pomiar dopasowania fazowego

gdzie założono, że w rozpatrywanym niewielkim zakresie spektralnym poprawki geome-tryczne do efektywnego współczynnika załamania ∆n są niezależne od częstości (por. rys.2.3). Za pomocą nH i nV oznaczono współczynniki załamania objętościowego KTP.Załóżmy, że zidentyfikowane zostały linie widmowe odpowiadające procesowi jV +

j′H ↔ kB dla częstości ω oraz linia odpowiadająca procesowi jV + j′H ↔ k′B dla częstościω′. Przykładem może być tu para procesów 00V + 00H ↔ 00B i 00V + 00H ↔ 01B.Zapisując równania postaci (3.9) dla obu procesów, po obustronnym podzieleniu przez ω(ω′) i odjęciu stronami, korzystając z założenia o niezależności poprawek geometrycznych∆n od częstości, otrzymujemy:

∆nkB −∆nk′B = nV (ω)− nV (ω′) + nH(ω)− nH(ω′) + (3.10)

− 2[nH(2ω)− nH(2ω′)

]+2πcΛ

(1ω− 1ω′

).

Uzyskane w ten sposób wyrażenie pozwala wyznaczyć różnicę poprawek geometrycznychdla modów kB i k′B wyłącznie na podstawie wartości współczynników załamania KTP dlaczęstości odpowiadających lokalizacjom odpowiednich pików widmowych oraz znajomościokresu inwersji domen nieliniowych falowodu Λ. Korzystając z wartości współczynnikówzałamania KTP obliczonych na podstawie odpowiednich równań Sellmeiera [72] oraz zpołożeń widmowych dotychczas zidentyfikowanych linii możliwe było wyznaczenie wartościtych różnic dla par modów 00B i 01B oraz 00B i 02B. Otrzymano wartości odpowiednio0,0029 i 0,0056.Wyznaczoną wartość różnicy poprawek geometrycznych dla pary modów kB i k′B można

wykorzystać do oszacowania położenia widmowego Ω′ sygnału odpowiadającego procesowiiV + i′H ↔ k′B, pod warunkiem znajomości położenia widmowego Ω linii odpowiadającejprocesowi iV + i′H ↔ kB. Przykładem może być tu wyznaczenie położenia sygnału dla pro-cesu 00V +01H ↔ 01B, przy znajomości położenia widmowego procesu 00V +01H ↔ 00B.Po wstawieniu obliczonej wartości różnicy ∆nkB − ∆nk

′B oraz zmierzonej wartości często-

ści Ω′ do równania (3.10) uzyskujemy wyrażenie określające w sposób uwikłany wartośćposzukiwanej częstości Ω. Poszukiwaną wartość można z łatwością znaleźć metodami nu-merycznymi.Wykorzystując dane o położeniach widmowych procesów postaci 0iV + 0jH ↔ 00B,

opisaną powyżej metodą możliwe było wyznaczenie przewidywanych położeń linii odpowia-dających analogicznym procesom o większej liczbie wzbudzeń modu pola sumy częstości.Potwierdzenie obecności przewidywanej linii widmowej odbywało się poprzez dostrojeniesię do przewidywanej długości fali, a następnie nieznaczną optymalizację długości fali isposobu sprzęgania. Ostateczne zmierzone położenia linii różniły się od przewidywanycho co najwyżej 0,2 nm. Wielkość ta mieści się w granicach określonych przez niepewnośćwyznaczenia długości fali na podstawie których uzyskiwane było oszacowanie, wynoszącą0,1 nm dla każdej z trzech linii potrzebnych do wyznaczenia poszukiwanego położenia.Ze względu na symetrię falowodu przyczynki od modów zawierających wzbudzenia

w kierunku poziomym nie pojawiały się podczas wzbudzania dotychczas analizowanychmodów o wzbudzeniach w kierunku pionowym (typu 0j). W związku z tym podczasdotychczas opisanych pomiarów nie obserwowano sygnałów odpowiadających procesomzawierającym te mody, co ułatwiało analizę pozostałych linii widmowych. Po wprzęgnię-ciu do falowodu metodą opisaną w podrozdziale 2.2.3 wiązek pompujących w modach10V i/lub 10H zaobserwowano silne sygnały pochodzące od procesów 10V + 00H ↔ 10B,00H + 10V ↔ 10B oraz 10H + 10V ↔ 00B. Nie zaobserwowano sygnałów pochodzącychod procesów zabronionych ze względu na symetrię. Warto zwrócić uwagę, że w przypad-ku ostatniego z wymienionych procesów ze względu na symetrię sygnał sumy częstości

3.5 Pomiary i analiza wyników 57

generowany jest w modzie podstawowym. Zidentyfikowano również położenia innych pro-cesów zawierających mody o wzbudzeniach poziomych, w tym bardzo wydajnego procesu10H + 10V ↔ 20B. W tabeli 3.2 zebrano wyniki identyfikacji wszystkich linii widmowychdla badanego falowodu z próbki A, o natężeniach nie niższych niż 3% natężenia dla procesupodstawowego 00V + 00H ↔ 00B.

3.5.4 Wydajności procesów

W celu dalszego zweryfikowania modelu teoretycznego dokonano pomiarów względ-nych natężeń poszczególnych linii widmowych i porównano je z wartościami wynikającymiz całek przekrywania trójek modów Slmn obliczonych na podstawie wyznaczonych nume-rycznie funkcji modowych.Przypomnijmy, że unormowane natężenie sumy częstości jest dane równaniem (3.6),

jako iloczyn całki przekrywania trójki modów i warunku dopasowania fazowego. Ponieważwarunek dopasowania fazowego jest unormowany do jedności, z pomiaru stosunku natężeńznormalizowanych dla różnych trójek modów o indeksach odpowiednio (l,m,n) i (l′,m′,n′)można wyznaczyć stosunek całek przekrywania dla tych trójek:

I(lmn)norm

I(l′m′n′)norm

=S2lmnS2l′m′n′

. (3.11)

Wartości całek przekrywania obliczono numerycznie, na siatce używanej do numerycz-nego wyznaczania funkcji modowych metodą różnic skończonych (por. 2.2.1). Wartościpodano jako ułamek kwadratu całki przekrywania S000 dla modów podstawowych 00V ,00H , 00B, wyrażony w procentach.Doświadczalnie względne wydajności wyznaczane były poprzez pomiar znormalizowa-

nego natężenia Inorm jako ułamka znormalizowanego natężenia dla procesu podstawowego00V + 00H ↔ 00B. Ze względu na stałą szerokość linii widmowych, niezależną od odpo-wiadających im procesów nieliniowych (a określoną przez długość falowodu i szerokośćwidmową wiązek pompujących, por. 3.5.7) zrezygnowano z całkowania linii widmowych iposługiwano się maksymalną wartością natężenia znormalizowanego.Pomiar realizowano maksymalizując wartość natężenia znormalizowanego Inorm po-

przez optymalizację sprzęgania właściwych modów wiązek pompujących. Ponieważ wzbu-dzane rozkłady dla wiązek pompujących były w pewnym stopniu zanieczyszczane innymi,niepożądanymi modami, otrzymywanie wartości natężeń znormalizowanych były najczę-ściej zaniżone. W związku z tym, za wynik pomiaru uznawano największą uzyskaną war-tość natężenia znormalizowanego. Efekt ten dotyczy w szczególności natężenia znorma-lizowanego odpowiadającego procesowi podstawowemu, służącego jako punkt odniesieniadla natężeń pozostałych procesów. Ze względu na opisaną niepełną selektywność procesuwzbudzania wybranych modów poprzecznych, w tym w szczególności modów podstawo-wych, wyniki opisanych pomiarów obarczone są istotnym błędem systematycznym i wzwiązku z tym mogą być traktowane jedynie półilościowo.Wyniki porównań wartości obliczonych teoretycznie i zmierzonych podsumowane są w

tabeli 3.2 oraz na wykresie (rys. 3.6). Na wykresie wyróżnione zostały procesy zawierającemod 00B. W większości przypadków uzyskano bardzo zadowalającą, w świetle niedosko-nałości metody, zgodność obu wartości.Otrzymane wyniki wskazują, że możliwe jest co najmniej półilościowe oszacowanie

wydajności danego procesu na podstawie obliczonych numerycznie funkcji modowych.

58 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.6: Porównanie zmierzonych (×) i obliczonych (+) względnych wydajności procesów za-znaczonych na wykresie. Punkty umieszczono przy centralnych długościach fali odpowiadającychdanemu procesowi. Procesy, w których bierze udział pole w modzie 00B zaznaczono kolorem czar-nym. Widoczne jest grupowanie tych procesów.

3.5.5 Wąski falowód

Pomiary jednowymiarowych widm sumowania częstości wykonano również dla falo-wodu z próbki C o szerokości 2 µm i długości 1 mm. Próbka została wyprodukowanapo zakończeniu opisanych w poprzednich podrozdziałach pomiarów dla próbek o szero-kości 4 µm i rozpoczęciu konstrukcji układu fluorescencji parametrycznej. Do wykonaniapomiarów sumowania częstości konieczne więc było zaadaptowanie układu fluorescencjiparametrycznej, opisanego szczegółowo w podrozdziale 4.2.5. Konstrukcja układu do su-mowania częstości była zbliżona do opisanej w tym rozdziale. Różnice były następujące:

udoskonalono sprzęganie do falowodu, m. in. dzięki wykorzystaniu obiektywu mikro-skopowego w miejscu soczewki asferycznej.

zamiast fotodiody GaP do pomiaru natężenia sumy częstości wykorzystywano scał-kowany sygnał z wybranego obszaru matrycy CCD. Nie wykorzystywano detekcjifazoczułej.

wykorzystano przestrajalny laser pompujący o szerokości widmowej 6 nm; powodo-wało to konieczność przestrajania lasera w trakcie skanowania częstości.

brak zautomatyzowanego układu stabilizacji wiązki. Położenie wiązek korygowanoręcznie co kilka nm widma.

Węższe widmo lasera pompującego powodowało, że przez filtry interferencyjne prze-chodził większy ułamek natężenia, co pozwalało na uzyskanie silniejszego sygnału sumyczęstości. Z drugiej strony wykorzystanie kamery CCD w miejscu diody GaP powodowałowzrost fluktuacji tła, co przy niewielkich natężeń sumy częstości zwiększało niepewnośćpomiarów. Pomimo to uzyskiwano bardzo dobrą powtarzalność położeń linii widmowych(z dokładnością do ±0,1 nm) oraz zadowalającą dokładność wyznaczania względnych na-tężeń poszczególnych linii (ok. 5% zakresu).Ze względu na znajomość ogólnej struktury położeń linii widmowych odpowiadają-

cych poszczególnym procesom oraz mniejszą liczbą obserwowanych procesów związaną m.

3.5 Pomiary i analiza wyników 59

796 798 800 802 804 806 808 810 812 8140

2

4

6

8

10

12

I norm

(j. u

.)

(nm)

(01V,00

H)

(00V,00

H)

(00V,01

H)

Rys. 3.7: Jednowymiarowe widma sumowania częstości dla falowodu z próbki C o szerokości 2 µmdla dominujących modów wiązek pompujących podanych w legendzie.

in. z mniejszą liczbą modów podtrzymywanych przez falowód, przypisanie poszczególnychlinii nie nastręczało większych trudności. Pewnym utrudnieniem była jedynie mała se-lektywność wzbudzania modów poziomych 10V i 10H , związana prawdopodobnie z małąszerokością falowodu.Przykładowe widmo sumowania częstości dla wiązek pompujących w modach bliskich

01V i 00H przedstawione zostało na rysunku 3.7. Przedstawiono również sygnały z wąskichobszarów widmowych wokół linii odpowiadających innym procesom. Widoczna jest więk-sza odległość pomiędzy liniami, wynikająca z większych różnic poprawek geometrycznychdo efektywnego współczynnika załamania dla wąskiego falowodu. Listę wszystkich ziden-tyfikowanych procesów o wydajności przynajmniej 1% wydajności procesu podstawowegoprzedstawiono w tabeli 3.3. W tabeli wymieniono też nieliczne zaobserwowane procesy Itypu.

3.5.6 Dopasowanie fazowe a inwersja domen nieliniowych

802 803 804 805 806 807 808

I norm

(j. u

.)

(nm)

= 8,34 m = 8,40 m = 8,47 m = 8,53 m = 8,59 m

Rys. 3.8: Jednowymiarowe widma sumy czę-stości w zakresie widmowym obejmującym pro-ces 00V + 01H ↔ 00V dla serii falowodów odługośći 1 mm o różnych okresach struktury pe-riodycznej Λ. Widoczne przesunięcie widmowesygnału wraz ze zmianą wartości Λ.

Zgodnie z równaniem (3.1) dla usta-lonych modów poprzecznych długość fali,dla której spełniony jest warunek quasi-dopasowania fazowego, określony jest przezczęstość przestrzenną inwersji domen nieli-niowych falowodu 2π/Λ. Aby potwierdzić tązależność dokonano pomiarów dopasowaniafazowego dla serii falowodów o różnych okre-sach przestrzennych Λ.Pomiary przeprowadzono dla falowodów

z próbki B (o szerokości 4 µm i długości1 mm). Struktura uzyskiwanych widm by-ła analogiczna do uzyskanej dla próbki A,co znacznie ułatwiło identyfikację poszcze-gólnych linii w widmie sumowania częstości.Pewnym utrudnieniem była jedynie mniejszadługość falowodu, skutkująca zmniejszeniem

60 Pomiar dopasowania fazowego

λ (nm) ijV ijH ijB Inorm (%)

Procesy II typu:

792,70 00 01 02 3793,10 10 10 20 10794,60 01 00 01 0,5795,00 00 01 01 3796,60 01 01 02 3796,70 10 00 10 54796,90 02 00 02 1797,10 02 01 02 3797,60 00 02 02 2797,80 02 10 11 2798,50 02 00 01 15798,70 00 10 10 23799,40 00 00 00 100800,10 00 02 01 13802,20 02 02 02 3804,40 10 01 10 3806,00 01 10 10 13806,80 01 00 00 40807,60 00 01 00 25810,40 02 10 10 2811,50 02 00 00 12813,30 00 02 00 8815,00 01 01 00 20Procesy I typu:

800,30 - 01 01B′ < 1802,80 - 00 00B′ 6811,10 - 01 00B′ 1

Tab. 3.3: Lista zaobserwowanych procesów sumowania częstości dla falowodu o szerokości 2 µm.Wytłuszczono procesy zawierające mod 00B . Podano natężenia linii widmowych Inorm w procentachnatężenia procesu podstawowego. Dla procesów I typu Inorm ∝ IB′/(IH)2; użyto indeksu B′ byzaznaczyć, że polaryzacja pola sumy częstości I typu jest prostopadła do polaryzacji sumy częstościII typu.

3.5 Pomiary i analiza wyników 61

Próbka, ∆λexp ∆λ0 ∆λ1długość falowodu (nm) (nm) (nm)

A, 4,2 mm 0,35± 0,10 0,23 0,51B, 1,0 mm 1,25± 0,10 0,97 1,02C, 1,0 mm 0,99± 0,10 0,97 1,02

Tab. 3.4: Szerokości widmowe funkcji dopasowania fazowego: ∆λexp — zmierzone, ∆λ0 — wy-nikające z warunku dopasowania fazowego, ∆λ1 — obliczone szerokości z uwzględnieniem widmawiązek pompujących, przy założeniu stałej fazy spektralnej.

natężenia sygnału sumy częstości [por. (1.23)] oraz większą szerokością linii widmowych,powodującą ich częstsze przekrywanie. Pomiary zależności warunku dopasowania fazowe-go od okresu inwersji domen nieliniowych Λ wykonano wyznaczając położenie sygnału odwybranego procesu dla 6 sąsiadujących falowodów, których okresy inwersji domen nie-liniowych zawierały się, wg danych producenta, w zakresie 8,34 − 8,59 µm, w równychodstępach. Zebrano widma jednowymiarowe dla wiązek pompujących w modach 00V i01H . Zaobserwowano wraz ze zmianą falowodu przesuwanie się całego widma, przy zacho-waniu względnych położeń poszczególnych linii. Uzyskane widma dla zakresu spektralnegowokół linii odpowiadających procesowi 00V +01H ↔ 00V przedstawione są na rys. 3.8. Wy-raźnie widoczna jest oczekiwana zależność położenia linii od Λ: dla kolejnych falowodównastępuje przesunięcie linii o 0,70± 0,05 nm.

3.5.7 Szerokość widmowa dopasowania fazowego

2.348 2.35 2.352 2.354 2.356 2.358 2.36 2.362 2.364 2.366 2.3680

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ω (1015 s−1)

I norm

(j.u

.)

Rys. 3.9: Fragment widma sumowania czę-stości dla próbki C dla zakresu spektralnegowokół piku procesu podstawowego. Widocz-na zależność typu sinc. Linią ciągłą wykreślo-no zależność obliczoną na podstawie równania(3.7). Widać zgodność bardzo dobrą zgodność,w szczególności położeń maksimów bocznych.

Zgodnie z równaniem (1.42) szerokość wid-mowa funkcji dopasowania fazowego dla usta-lonego ośrodka nieliniowego, polaryzacji od-działujących pól i zakresu widmowego jestokreślona przez długość ośrodka nieliniowe-go L. Dla badanych próbek, o długościach1,0 mm oraz 4,2 mm dokonano porówna-nia zmierzonej szerokości obserwowanych li-nii widmowych z przewidywaną teoretycznie.Obserwowana doświadczalnie szerokość liniiulega poszerzeniu wskutek używania wiązekpompujących o niezerowej szerokości widmo-wej i wynika z równania (3.2). Szerokość tąobliczono numerycznie zakładając stałą fa-zę spektralną wiązek pompujących o szeroko-ściach widmowych 0,6 nm (określonych przezszerokość filtra interferencyjnego). W tabeli3.4 porównano zmierzone szerokości połówko-we z obliczonymi na podstawie równania (3.2). Jak widać, poszerzenie widmowe sygnałówwskutek niezerowej szerokości widmowej wiązek pompujących dla szerokości dopasowaniafazowego 1,0 nm staje się zaniedbywalne. Dla próbki A zaobserwowano szerokość mniejsząniż przewidywana na podstawie równania. Może to być spowodowane obecnością dodatko-wej fazy spektralnej wiązek pompujących. Dla próbki C uzyskano zadowalającą zgodność.Dla próbki B otrzymano szerokość wyraźnie większą niż przewidywana. Poszerzenie możebyć spowodowane nieregularnościami okresu inwersji domen nieliniowych w próbce.Równania (1.42), (3.7) określają kształt linii widmowej, opisany funkcją sinc2(∆k(ω)L/2) =

62 Pomiar dopasowania fazowego

sinc2[ω(nH(ω) + nV (ω)− 2nB(2ω))L/(2c)]. Dla zakresów długości fali porównywalnych zszerokością widmową funkcji dopasowania fazowego wolnozmienne zależności n(ω) są za-niedbywalne, w związku z czym kształt linii będzie opisany zależnością sinc(α(ω − ω0))(gdzie α jest pewną stałą), charakteryzującą się silnym maksimum dla ω = ω0 oraz sła-bymi maksimami bocznymi. Dla próbek A i B nie zaobserwowano maksimów bocznych.Dla próbki A o długości 4,2 mm obliczenia numeryczne na podstawie równania (3.2) po-kazały, że dla używanych wiązek pompujących zaobserwowanie maksimów bocznych jestniemożliwe ze względu na poszerzenie spektralne linii.

20 30 40 50 60

799,4

799,6

799,8

800,0

800,2

800,4

800,6

800,8

801,0

T (oC)

λ 0 (nm

)

Rys. 3.10: Zależność długości fali dopasowa-nia fazowego λ0 dla procesu podstawowego odtemperatury T . Punkty eksperymentalne (+)wraz z dopasowaną zależnością prostoliniową.

Dla próbki o długości 1,0 mm pierwszemaksimum boczne znajduje się w odległości1,7 nm od maksimum głównego, co pozwalana jego zaobserwowanie przy używanej roz-dzielczości spektralnej. Dla próbki C rzeczywi-ście obserwowano maksima boczne otaczają-ce maksimum główne, dla silnych linii widmo-wych (por. rys. 3.7). Na rys. 3.9 przedstawionoszczegółowo fragment widma zmierzonego wo-kół sygnału odpowiadającego procesowi pod-stawowemu 00V + 00H ↔ 00B. Widoczna wy-raźnie jest pierwsza para maksimów bocznychoraz, od strony długofalowej, również maksi-mum drugiego rzędu. Po stronie krótkofalo-wej w miejscu położenia maksimum drugiegorzędu obserwuje się nakładający się sygnał odprocesu 10V + 00H ↔ 10B (por. 3.3). Na tledanych zamieszczono krzywą wynikającą bezpośrednio z równania (3.7). Parametrami do-pasowania były amplituda, położenie głównego maksimum i poziom tła; nie dopasowywanoszerokości widmowej. Widoczna jest bardzo dobra zgodność położeń maksimów bocznych.To, że maksima boczne nie są sygnałami od procesów dla innych trójek modów potwierdzo-no maksymalizując sygnał natężenia znormalizowanego dla długości fali odpowiadającejkażdemu z maksimów poprzez optymalizację sprzęgania dla obydwu wiązek pompujących.Dla obydwu maksimów pierwszego rzędu i oraz długofalowego maksimum drugiego rzędupo maksymalizacji obserwowano trójkę modów podstawowych wzbudzonych w falowodzie.Jak już wspomniano, maksimum krótkofalowe drugiego rzędu było przekryte przez proces10V + 00H ↔ 10B.Dla próbki B nie zaobserwowano maksimów bocznych pomimo niewielkiej długości

falowodu (1,0 mm). Spowodowane jest to prawdopodobnie nieregularnościami falowo-du: nieregularnościami okresu inwersji domen nieliniowych lub nieregularnościami profiluwspółczynnika załamania wzdłuż falowodu, powodującymi efektywne poszerzenie funkcjidopasowania fazowego [95].

3.5.8 Strojenie temperaturowe

Dla falowodu z próbki C zbadano zależność położenia widmowego linii odpowiadającejprocesowi podstawowemu od temperatury. Wykorzystano układ stabilizacji temperaturypróbki, opisany szczegółowo w podrozdziale 4.2.3. Temperaturę zmieniano z krokiem 10Cw zakresie od 20 do 60. Po każdej zmianie temperatury konieczna była znaczna korektasprzęgania modu falowodu, związana ze zmianą położenia próbki ze względu na rozszerzal-ność temperaturową uchwytu podtrzymującego próbkę. Temperatura była stabilizowana zdokładnością ±0,1C. Dla każdej temperatury zbierano widmo sumy częstości obejmujące

3.5 Pomiary i analiza wyników 63

centralne maksimum sygnału dla procesu podstawowego. Z dopasowania funkcji postaciInorm(λ) = A sinc2[(λ− λ0)/∆λ] + const odczytano położenie widmowe procesu λ0. Zależ-ność położenia procesu od temperatury została wykreślona na rys. 3.10. Z dopasowanej dodanych zależności prostoliniowej znaleziono współczynnik strojenia temperaturowego wy-noszący 0,040±0,001 nm/C. Jest to wartość zgodna z obliczoną na podstawie dostępnychdanych literaturowych [72,134].

3.5.9 Widma dwuwymiarowe

Po zapoznaniu się ze strukturą widm sumowania częstości, z których wynikają poło-żenia spektralne dopasowania fazowego dla przypadku zdegenerowanych częstości wiązekpompujących, wykonane zostały pomiary dwuwymiarowe. Odpowiadają one wyznaczeniuposzerzonej przez funkcję aparaturową mapy dopasowania fazowego, będącej w przybli-żeniu polegającym na zaniedbaniu członów interferencyjnych, sumą wkładów od funkcjidopasowania fazowego dla poszczególnych trójek modów:

Inorm(ωV ,ωH) ∝∑lmn

α(l)H α(m)V Φ

2lmn(ωV ,ωH), (3.12)

gdzie przez α oznaczono ułamek mocy każdej z wiązek pompujących w modzie poprzecz-nym wyszczególnionym w indeksie górnym.W celu zebrania danych w pełnym badanym zakresie widmowym 792 − 815 nm ko-

nieczne było wykonanie 4 pomiarów cząstkowych, ze względu na wykorzystywanie filtrówinterferencyjnych o zakresach strojenia poprzez obracanie 792−800 nm oraz 800−815 nm.Po każdej zmianie filtra interferencyjnego, w ramieniu, w którym dokonano zmiany, ko-nieczne było ponowne wyregulowanie sprzężenia wiązki pompującej i ustalenie punktupracy układu stabilizacji położenia wiązki.W celu uzyskania skończonego czasu pomiaru, podczas zbierania widm dwuwymiaro-

wych zwiększono krok przemiatania długości fali do 0,2 nm, a liczbę uśrednień po każdymkroku zmniejszono do 5. Poszerzono również w stosunku do pomiarów jednowymiarowychdopuszczalny zakres odchyleń położenia wiązek pompujących. W trakcie pomiaru dla każ-dej długości fali w ramieniu V wykonywany był pomiar dla całego zakresu widmowego wramieniu H. Czas pomiaru całej mapy (tj. 4 map cząstkowych) dla użytych parametrówwynosił ok. 8 h.Dane dwuwymiarowe zebrano dla falowodu z próbki A i wiązek pompujących w mo-

dach podstawowych, dla falowodu z próbki A i wiązek pompujących 00V i 02H (przy czymwymienione mody zostały wzbudzone nieoptymalnie, dzięki czemu obserwowano sygnałyod procesów sumowania częstości odpowiadających innym modom) oraz dla falowodu zpróbki B i wiązek pompujących w modach 00V i 01H (również wprzęgniętych nieoptymal-nie). Zmierzone mapy funkcji dopasowania fazowego przedstawione są na rysunkach 3.11,3.12, 3.13.Widoczne są pasma odpowiadające funkcjom dopasowania fazowego dla poszczegól-

nych trójek modów, oznaczonych na wykresach. Do ich opisu na rysunkach zastosowanouproszczone oznaczenia typu ijV + i′j′H → klB, przy czym dla zwiększenia czytelnościpominięto indeksy dolne. Identyfikacja pasm nie nastręczała trudności, gdyż mogła byćwykonana na podstawie widm jednowymiarowych. Obserwowana postać map jako szeregurównoległych pasm jest zgodna z przewidywaniami teoretycznymi dla niewielkiego zakresuspektralnego pomiaru.Kąt nachylenia pasm jest określony przez relacje dyspersyjne dla fali zwyczajnej i

nadzwyczajnej w KTP oraz przez dyspersję poprawek geometrycznych do efektywnegowspółczynnika załamania dla modów falowodu. Dla obserwowanego niewielkiego zakresu

64 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.11: (a) Dwuwymiarowe widmo sumowania częstości dla falowodu z próbki A i wiązekpompujących w modach podstawowych. (b) Przekrój dla λH = λV .

Rys. 3.12: (a) Dwuwymiarowe widmo sumowania częstości dla falowodu z próbki A i wiązekpompujących w modach 00V i 02H . (b) Przekrój dla λH = λV .

spektralnego wkład od dyspersji geometrycznej jest znikomy. Stwierdzono bardzo dobrązgodność nachyleń pasm z nachyleniem obliczonym na podstawie równań Sellmeiera dlaKTP. Kąt ten jest, w granicach błędu pomiarowego, jednakowy dla wszystkich obserwo-wanych pasm, co potwierdza dominujący wkład dyspersji materiałowej KTP do całko-witej dyspersji efektywnych współczynników załamania modów falowodu. Potwierdza torównież słuszność wcześniejszego założenia o niezależności poprawek geometrycznych dowspółczynnika załamania od długości fali w rozważanym tu zakresie spektralnym.Widoczna wyraźnie jest nierównomierność natężeń wzdłuż pasm — jest ona artefak-

tem wynikającym z niedoskonałości systemu stabilizacji położenia wiązek oraz z dryfutemperatury w laboratorium podczas przeprowadzania pomiarów.

3.6 Wnioski

W wyniku przeprowadzonych pomiarów zaobserwowano wyraźną zależność położeniaspektralnego warunku dopasowania fazowego od modów poprzecznych pól biorących udział

3.6 Wnioski 65

Rys. 3.13: (a) Dwuwymiarowe widmo sumowania częstości dla falowodu z próbki B (długości1 mm) i wiązek pompujących w modach 00H i 01V . (b) Przekrój dla λH = λV .

w nieliniowym procesie sumowania częstości. Dokonano pełnego przypisania trójek mo-dów poprzecznych obserwowanym pasmom funkcji dopasowania fazowego, dzięki czemuudało się stwierdzić, że w badanym zakresie widmowym znajduje się zdecydowana więk-szość pasm funkcji dopasowania fazowego (por. 3.6.1). Półilościowo potwierdzono równieżproporcjonalność wydajności procesu nieliniowego do całki przekrywania funkcji modo-wych dla modów biorących udział w oddziaływaniu. Na podstawie widm dwuwymiarowychstwierdzono, że w obserwowanym zakresie spektralnym funkcje dopasowania fazowego wzmiennych ωH , ωV mają postać równoległych pasm nachylonych pod kątem wynikającymz różnicy dyspersji dla fali zwyczajnej i nadzwyczajnej w KTP.Poniżej omówię szczegółowe wnioski z przeprowadzonych pomiarów: uproszczony mo-

del struktury obserwowanych widm oraz wnioski na temat możliwości kontrolowania mo-dów poprzecznych w procesie fluorescencji parametrycznej.

3.6.1 Struktura widm

Analizując zależność położenia linii widmowej odpowiadającej modom o indeksach ijV ,i′j′H , klB od częstości, na podstawie równań (3.1) oraz (3.9) można łatwo stwierdzić, żedla ustalonych: modu pola sumy częstości oraz modu jednej z wiązek pompujących, np. H,zmiana modu wiązki V na mod wyższy powoduje przesunięcie pasma ku czerwieni. Wynikato bezpośrednio z faktu, że poprawki geometryczne do współczynnika załamania ∆n dlawyższych modów mają coraz mniejszą wartość, zgodnie z rys. 2.3. Analogicznie, przyustalonych modach wiązek pompujących, zmiana modu wiązki sumy częstości na wyższypowoduje przesunięcie pasma funkcji dopasowania fazowego ku krótszym długościom fali.Kolejność obserwowanych doświadczalnie pasm jest w pełni zgodna z tą obserwacją (por.tab. 3.2, rys. 3.6 oraz tab. 3.3)Analizując położenia linii widmowych można zauważyć grupowanie się niektórych pro-

cesów, np. 02V + 00H ↔ 00B, 00V + 02H ↔ 00B, 01V + 01H ↔ 00B, (por. rys. 3.6, wszczególności punkty wyróżnione kolorem czarnym). Oznacza to, że dodanie pojedynczegowzbudzenia modu w kierunku pionowym (dla modów postaci 0j) powoduje przesunię-cie widmowe ku czerwieni o w przybliżeniu stałą wartość, w obserwowanym przypadkuok. 3,2 nm dla falowodu o szerokości 4 µm. Odpowiada to stwierdzeniu, że poprawkageometryczna do współczynnika załamania może być w przybliżeniu wyrażona w postaci∆n(0j ) ≈ ∆n(00) − jδn, gdzie δn jest stałą poprawką. Jest to stwierdzenie w przybliżeniu

66 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.14: Obliczona na podstawie zmierzonych położeń linii widmowych przybliżona mapa do-pasowania fazowego dla procesu fluorescencji parametrycznej (a) dla wielomodowej wiązki pompu-jącej, (b) dla jednomodowej wiązki pompującej. Pasmo dla procesu podstawowego ma największenatężenie. Mapy na tym i kolejnych rysunkach sporządzone są w skali częstości, lecz dla ułatwieniaodczytywania opatrzone odpowiadającymi częstościom długościami fali w próżni.

zgodne z obliczonymi numerycznie efektywnymi współczynnikami załamania, por. rys. 2.3.Łatwo zauważyć, że w ramach poszczególnych grup występują pasma o jednakowej sumiewzbudzeń dla modów wiązek pompujących w kierunku pionowym: w przypadku falowodutypu A jest to suma 2 w przedziale [806,0; 806,7] nm, suma 3 w przedziale [808,2; 809,9] nm,suma 4 w przedziale [812,1; 813,2] nm oraz suma 2 (z modem 01B sumy częstości) w prze-dziale [801,5; 802,5] nm. Analogiczne grupy można wyróżnić dla falowodu o szerokości2 µm; w przypadku tego falowodu różnice są jednak większe, prawdopodobnie ze względuna spowodowany mniejszymi rozmiarami falowodu większy rozrzut poprawek geometrycz-nych do efektywnych współczynników załamania modów oraz ze względu na fakt, że modywąskiego falowodu znajdują się bliżej punktu odcięcia. Ze zmierzonych położeń widmo-wych poszczególnych procesów wynika również, że dodanie pojedynczego wzbudzenia domodu pola sumy częstości powoduje przesunięcie widmowe o w przybliżeniu stałą wartość(dla falowodu o szerokości 4 µm), w tym przypadku w kierunku ku mniejszym długościomfali.Bazując na powyższych obserwacjach można stwierdzić, że poza zakresem widmowym

obserwowanym eksperymentalnie znalazły się procesy odpowiadające modom wiązki sumyczęstości o większej liczbie wzbudzeń, niż dla procesów obserwowanych (procesy te znaj-dują się w kierunku mniejszych długości fali) oraz procesy o większej liczbie wzbudzeń dlawiązek pompujących (procesy te znajdują się w kierunku większych długości fali).

3.6.2 Dopasowanie fazowe a fluorescencja parametryczna

Głównym celem opisanych pomiarów warunku dopasowania fazowego było stwierdze-nie, czy jest możliwa generacja par fotonów w procesie fluorescencji parametrycznej wczystych modach poprzecznych, w szczególności w modach podstawowych, wykorzystującschemat zaproponowany w pracy [65].Ponieważ powracamy do omawiania procesu fluorescencji parametrycznej, następuje

zamiana ról opisywanych pól. Od tego momentu wiązka o długości fali bliskiej 400 nm(oznaczana symbolem B) będzie wiązką pompującą; w przypadkach niejednoznacznych,aby odróżnić ją od wiązek pompujących proces sumy częstości, będę ją nazywał niebieską

3.6 Wnioski 67

wiązką pompującą. Wiązki czerwone V i H odpowiadają wiązkom sygnałowej i jałowejprocesu fluorescencji parametrycznej.Spośród zbadanych falowodów najkorzystniejszym do wykorzystania jako źródło par

fotonów fluorescencji parametrycznej jest falowód o szerokości 2 µm (z próbki C), zewzględu na mniejszą liczbę pasm funkcji dopasowania fazowego, większe rozseparowaniewidmowe pasm oraz ze względu na mniejszy rozmiar modów, powodujący zwiększeniewydajności fluorescencji parametrycznej [por. (1.53)]W celu uzyskania wydajnej generacji par fotonów w podstawowych modach przestrzen-

nych, konieczne jest wyizolowanie procesu podstawowego 00V + 00H ↔ 00B. Ponieważ wbliskim sąsiedztwie widmowym tego procesu występuje szereg innych procesów (zawiera-jących wyższe mody H i V , por. tab. 3.3), niemożliwe jest jego wyizolowanie wyłącznieprzez filtrowanie widmowe.Łatwo zauważyć, że wśród procesów sąsiadujących widmowo z procesem podstawowym

niebieska wiązka pompująca występuje w modach różnych od podstawowego 00B (wynikato pośrednio z opisanej powyżej przybliżonej reguły grupowania się procesów ze względuna sumaryczną liczbę wzbudzeń). Stąd wniosek, że dzięki wprowadzeniu niebieskiej wiązkipompującej do falowodu wyłącznie w modzie podstawowym, możliwe jest ograniczenieliczby wzbudzanych procesów nieliniowych wyłącznie do tych, zawierających mod 00B.Linie widmowe odpowiadające tym procesom zostały wytłuszczone w tabeli 3.3. Spośródnich procesy położone najbliżej pasma podstawowego (01V + 00H ↔ 00B oraz 00V +01H ↔ 00B) znajdują się w odległości ponad 6 nm, co wskazuje na możliwość ich łatwegoodseparowania poprzez filtrowanie widmowe.W celu uzyskania pełnego obrazu zagadnienia filtrowania widmowego w procesie fluore-

scencji parametrycznej konieczna jest analiza łącznego widma generowanych par fotonów.Widmo to dane jest kwadratem modułu wyrażenia (1.50) wysumowanego po modach po-przecznych pól sygnałowego i jałowego:∣∣∣∣∣∑

lm

Ψlm(ωH ,ωV )

∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∑lmn

αn(ωH + ωV )Φ∗lmn(ωH , ωV )

∣∣∣∣∣2

, (3.13)

Rys. 3.15:Mapa warunku zachowania energiidla wiązki pompującej o widmie gaussowskim,o szerokości połówkowej 1,0 nm.

Zakładając w tym wyrażeniu, że amplitu-dy spektralne αn poszczególnych modów nie-bieskiej wiązki pompującej nie zależą od czę-stości (czyli zakładając wiązkę pompującą obardzo szerokim widmie) uzyskujemy kwadratmodułu sumy funkcji dopasowania fazowegodla różnych trójek modów, ważonych całka-mi przekrywania trójek modów. Wielkość tąbędę nazywał mapą dopasowania fazowego.Na rys. 3.14 przedstawione zostały mapy do-pasowania fazowego dla procesu fluorescencjiparametrycznej dla wielomodowej oraz jedno-modowej niebieskiej wiązki pompującej. Ma-py zostały obliczone na podstawie zmierzo-nych położeń pasm funkcji dopasowania fa-zowego. Efektywne współczynniki załamaniadla poszczególnych modów były obliczane ja-ko n(j)eff (ω) = nKTP (ω) + ∆n

(00)geom(ω) + ∆n(j),

gdzie poprawkę geometryczną dla modu podstawowego ∆n(00)geom(ω) wyznaczono na pod-stawie obliczeń numerycznych, a poprawki ∆n(j) odzyskano ze zmierzonych położeń wid-

68 Pomiar dopasowania fazowego

Rys. 3.16: Obliczone łączne widmo par fotonów dla jednomodowej niebieskiej wiązki pompującejo szerokości widmowej 1,0 nm (FWHM).

mowych poszczególnych pasm funkcji dopasowania fazowego. Dla pompy wielomodowejprzyjęto równe amplitudy spektralne αn dla wszystkich modów poprzecznych n.Na mapie dla wielomodowej wiązki pompującej widoczne jest przekrywanie się pasm

odpowiadających różnym procesom nieliniowym. Dla pompy jednomodowej następuje znacz-ne uproszczenie mapy, pojawia się wspomniana separacja widmowa pasma podstawowego.Jak wynika z równania (3.13) łączne widmo pary fotonów dla jednomodowej wiąz-

ki pompującej dane jest przez iloczyn sumy kwadratów funkcji dopasowania fazowegoΦlmn(ωV , ωH) oraz warunku zachowania energii określonego przez widmo wiązki pompu-jącej |α(ωH +ωV )|2 (z bardzo dobrym przybliżeniem polegającym na pominięciu członówinterferencyjnych, które w większości nie będą obserwowane ze względu na ortogonal-ność modów falowodu). Do obliczeń przyjęto, że widmo to jest gaussowskie. Warunekzachowania energii na mapie częstości wiązek sygnałowej i jałowej dla pompy o szerokościpołówkowej 1,0 nm przedstawiony jest na rys. 3.15.W wyniku wykonania iloczynu warunku dopasowania fazowego oraz warunku zachowa-

nia energii uzyskuje się łączne widmo par fotonów fluorescencji parametrycznej. Widmołączne dla jednomodowej niebieskiej wiązki pompującej o szerokości widmowej 1,0 nmprzedstawione jest na rys. 3.16. Dla wiązki pompującej o szerokości widmowej mniejszejniż 2 nm uzyskuje się widmo łączne składające się z obszarów spektralnych o nieprze-krywających się rozkładach brzegowych („wysp spketralnych”). Poszczególnym wyspomodpowiadają różne mody poprzeczne wiązek V i H. Zostały one oznaczone na rys. 3.16.W szczególności wyspie leżącej na najmniejszych długościach fali odpowiadają wyłączniemody podstawowe wiązek V i H. Wynika z tego, że w celu uzyskania fotonów fluorescencjiparametrycznej w podstawowych modach poprzecznych wystarczy zastosować filtrowaniewidmowe odpowiednio wiązki sygnałowej i/lub jałowej za pomocą filtra dolnoprzepusto-wego.Należy zwrócić uwagę, że opisana sytuacja zachodzi pod warunkiem użycia niebieskiej

wiązki pompującej w czystym podstawowym modzie poprzecznym. W przypadku pompyzawierającej przyczynki od wyższych modów, wzbudzone zostają procesy nieliniowe za-wierające wyższe mody pola B, przekrywające się widmowo z interesującym nas procesem

3.6 Wnioski 69

podstawowym. Skutkuje to niemożliwością uzyskania jednomodowej pracy źródła par zapomocą filtrowania widmowego dla wielomodowej wiązki pompującej.Przedstawiony schemat generacji par w czystych modach poprzecznych został po raz

pierwszy zaproponowany w pracy [65], na podstawie symulacji numerycznych. Przedsta-wione tu wyniki pomiarów po raz pierwszy potwierdziły doświadczalnie możliwość prak-tycznej realizacji tego schematu.

3.6.3 Podsumowanie

Dokonano pomiaru zależnego od modów poprzecznych dwuwymiarowego warunku do-pasowania fazowego dla procesu mieszania trzech fal II typu w falowodzie nieliniowymPPKTP metodą spektroskopii sumowania częstości z rozdzielczością modó poprzecznych.Dokonano pełnej interpretacji uzyskanych wyników pomiarowych: przypisano trójki mo-dów poprzecznych obserwowanym liniom w widmie sumowania częstości; potwierdzonopółilościową zgodność zmierzonych intensywności poszczególnych linii widmowych z war-tościami obliczonymi na podstawie symulacji numerycznych. Na podstawie uzyskanychwyników potwierdzono możliwość praktycznej implementacji schematu generacji par foto-nów fluorescencji parametrycznej w czystych modach przestrzennych [65].

70 Pomiar dopasowania fazowego

Rozdział 4

Źródło par fotonów

4.1 Wstęp

Wyniki pomiarów opisanych w rozdziale 3 wskazują na możliwość konstrukcji źródłapar fotonów w podstawowych modach przestrzennych opartego na procesie fluorescencjiparametrycznej w wielomodowym falowodzie nieliniowym PPKTP. W tym rozdziale opi-szę konstrukcję takiego źródła, podstawową charakterystykę jego wydajności; w kolejnymrozdziale przedstawię wyniki eksperymentalne potwierdzające przestrzennie jednomodowąpracę źródła: pomiary parametru jakości wiązki M2 w trybie jednofotonowym. Opis gene-racji polaryzacyjnie splątanych par fotonów przedstawiony zostanie w rozdziale szóstym.Źródła oparte na procesie fluorescencji parametrycznej falowodzie PPKTP były rozwi-

jane i są konstruowane oraz wykorzystywane przez szereg grup badawczych [59,61,122,135],w szczególności do wytwarzania sygnalizowanych pojedynczych fotonów [65,136,137] orazstanów ściśniętych [64]. Dokładnie zostały zbadane korelacje widmowe pomiędzy fotonamipary [67]. Jednakże temat poruszany w tej pracy — wpływu modów przestrzennych na pro-ces fluorescencji parametrycznej — eksperymentalnie został zbadany jedynie w niewielkimzakresie [69,70].

4.2 Źródło par fotonów

Ogólny schemat konstrukcji źródła par fotonów nie odbiega od standardowo stosowa-nego w eksperymentach kwantowooptycznych. Został on przedstawiony na rys. 4.1. Ultra-fioletowa wiązka laserowa pompuje proces fluorescencji parametrycznej II typu w ośrodkunieliniowym χ(2) (NL); po przejściu przez ośrodek jest ona odfiltrowywana za pomocą lu-stra dichroicznego (DM) i kierowana do pochłaniacza wiązki (BB, od ang. beam blocker).W ośrodku nieliniowym w procesie fluorescencji parametrycznej z niewielkim prawdopodo-bieństwem powstaje para prostopadle spolaryzowanych fotonów w bliskiej podczerwieni.Kostka polaryzująca (PBS) rozdziela fotony pary i kieruje je do dwóch ramion układudoświadczalnego zakończonych detektorami pojedynczych fotonów (SPCM, ang. singlephoton counting module). Rejestracja pary fotonów dokonywana jest za pomocą elektro-nicznego układu koincydencyjnego (&). Źródło tego typu może być używane jako źródłosygnalizowanych pojedynczych fotonów (ang. heralded single photons). Jedno z ramiontraktuje się wtedy jako ramię wyzwalające: detekcja fotonu w tym ramieniu sygnalizuje zdużym prawdopodobieństwem obecność fotonu-partnera w drugim ramieniu układu [138].Ramię to nazywać będę ramieniem sygnałowym i oznaczać symbolem S. Ramię wyzwala-jące oznaczać będę przez T .

72 Źródło par fotonów

Rys. 4.1: Uproszczony schemat źródła parfotonów. Objaśnienie użytych oznaczeń wtekście.

Do konstrukcji źródła jako ośrodek nielinio-wy wykorzystano falowód PPKTP z próbki Co szerokości 2 µm. Długość falowodu wynosiła1,0 mm. Ze względu na jasność źródła pożąda-ne jest użycie falowodu o jak największej długo-ści [por. (1.53)]. Jednakże wzrost długości falo-wodu powoduje zmniejszenie szerokości widmo-wej funkcji dopasowania fazowego. Do realizacjiźródła sygnalizowanych pojedynczych fotonów wczystych stanach widmowych oraz źródła pola-ryzacyjnie splątanych par fotonów konieczne jestwyeliminowanie korelacji widmowych pomiędzy fotonami pary [55, 139]. W przypadkuużywania KTP dla rozważanych długości fali wyeliminowanie tych korelacji możliwe jestwyłącznie poprzez wąskopasmowe filtrowanie widmowe, ze względu na wynikający z dys-persji KTP profil widmowy funkcji dopasowania fazowego. Długość falowodu 1,0 mm jestdługością, dla której szerokość widmowa funkcji dopasowania fazowego jest wystarczającoduża, by możliwe było wyeliminowanie korelacji widmowych za pomocą łatwo dostępnychfiltrów interferencyjnych o szerokości widmowej rzędu 1,0 nm. (por. też tab. 3.4).Podsumujmy przedstawione w poprzednim rozdziale warunki niezbędne do osiągnięcia

przestrzennie jednomodowej pracy źródła. Pierwszym z nich jest konieczność użycia wiąz-ki pompującej o dostatecznie małej szerokości widmowej (poniżej 2 nm). W opisywanychtu doświadczeniach wykorzystywana będzie wiązka pompująca o szerokości połówkowej1,0 nm. Kolejnym z warunków jest konieczność filtrowania widmowego przynajmniej jed-nego z fotonów pary w celu wybrania wyspy łącznego widma par fotonów odpowiadają-cej parze fotonów w modach podstawowych. Filtrowanie widmowe będzie realizowane zapomocą filtrów interferencyjnych, umieszczanych, w zależności od potrzeb, w jednej lubobydwu wiązkach fotonów fluorescencji parametrycznej. Używane były filtry o szeroko-ści połówkowej 0,8 nm, 3,0 nm oraz 11,0 nm. Bardziej szczegółowo kwestie filtrowaniawidmowego zostaną omówione w kolejnym podrozdziale.Najistotniejszym zagadnieniem podczas realizacji źródła była konieczność wprowadze-

nia wiązki pompującej do falowodu wyłącznie w podstawowym modzie przestrzennymfalowodu. Było to zadanie nietrywialne, ze względu na znaczną wielomodowość falowoduna długości fali ok. 400 nm: obserwacje eksperymentalne oraz symulacje numeryczne wska-zują, nawet dla najwęższej dostępnej struktury o szerokości 2 µm, na możliwość podtrzy-mywania ponad 30 modów poprzecznych przez falowód (por. rozdz. 2.2.3). W związku ztym podrozdział 4.2.3 poświęcony będzie szczegółowemu omówieniu sposobu selektywnegowzbudzania modu podstawowego niebieskiej wiązki pompującej w falowodzie. Następnieomówię pomiary jasności (wydajności) źródła oraz strat w źródle i układzie doświadczal-nym.

4.2.1 Punkt pracy źródła

Ośrodkiem nieliniowym był falowód PPKTP z próbki C o szerokości 2 µm. Powodemużycia falowodu o małej szerokości była niewielka liczba i znaczne rozseparowanie widmowepasm funkcji dopasowania fazowego w porównaniu z falowodami o większej szerokości.Pomiar funkcji dopasowania fazowego dla tego falowodu został opisany w poprzednimrozdziale (por. 3.5.5). Zestawienie położeń pasm dopasowania fazowego przedstawione jestw tabeli 3.3.Aby ułatwić szczegółowe omówienie parametrów źródła par fotonów przedstawię teraz

jego punkt pracy. Punkt ten został przedstawiony graficznie na mapie łącznego widma

4.2 Źródło par fotonów 73

par fotonów na rys. 4.2. Warunki uzyskania przestrzennie jednomodowej pracy źródłaprzedstawione w rozdziale 3.6.2 nie precyzują długości fali wiązki pompującej. Ze wzglę-du na planowane użycie źródła do wytwarzania polaryzacyjnie splątanych par fotonów,koniecznym (lecz nie dostatecznym) warunkiem było uzyskanie wzajemnie symetrycznegołącznego widma par fotonów. W związku z tym punkt pracy źródła został ustalony napaśmie podstawowym dopasowania fazowego (00V + 00H ↔ 00B), dla zdegenerowanychcentralnych długości fali: λH = λV = 799,4 nm. Odpowiadająca im centralna długośćfali wiązki pompującej to 399,7 nm. Jak wynika z rys. 4.2 do wyizolowania pojedynczej„wyspy” łącznego widma par fotonów odpowiadającej podstawowemu pasmu funkcji dopa-sowania fazowego wystarczy zastosowanie filtrowania widmowego o szerokości ok. 30 nm.Możliwe jest też zastosowanie filtra krawędziowego górnoprzepustowego, o krawędzi nadługości fali 810 − 820 nm. Trzeba zaznaczyć, że przy wykorzystywaniu źródła par ja-ko źródła sygnalizowanych par fotonów wystarczające jest filtrowanie widmowe wyłączniefotonów w ramieniu wyzwalającym. W ramieniu sygnałowym obecne będą fotony z sze-rokiego zakresu widmowego — a więc również w wyższych modach przestrzennych —jednakże fotony zasygnalizowane przez detekcję filtrowanego widmowo fotonu-partnera wramieniu wyzwalającym będą wyłącznie w modzie podstawowym, ze względu na korelacjewidmowe pomiędzy fotonami w jednakowych modach przestrzennych (por. też rys. 3.16).

Rys. 4.2: Punkt pracy źródła na mapie łącz-nego widma par fotonów dla wiązki pompują-cej o centralnej długości fali 399,7 nm i szero-kości widmowej 1,0 nm. Liniami przerywany-mi zaznaczono szerokość filtrowania widmowe-go wystarczającą do wyizolowania części wid-ma łącznego odpowiadającej generacji par fo-tonów w modach podstawowych. Należy za-uważyć, że do uzyskania jednomodowych sy-gnalizowanych fotonów wystarczające jest fil-trowanie widmowe wyłącznie w ramieniu wy-zwalającym.

Rysunek 4.2 został sporządzony przy za-łożeniu niebieskiej wiązki pompującej wprzę-gniętej do falowodu wyłącznie w modzie pod-stawowym. W rzeczywistości nie można wy-kluczyć pewnego wzbudzenia innych modówprzez wiązkę pompującą. Na rys. 4.3 przedsta-wiono analizę wpływu wyższych modów pom-py na charakterystykę przestrzenną par foto-nów ze źródła. Wykresy przedstawiają przy-czynki do jednofotonowego widma dla pól Horaz V , pochodzące od poszczególnych pro-cesów nieliniowych, dla wiązki pompującej odługości fali 399,7 nm i szerokości widmowej1,0 nm. Przedstawione widma jednofotonowezostały obliczone przez wycałkowanie po jed-nej ze zmiennych ωH , ωV mapy łącznego wid-ma par fotonów przy uwzględnieniu jednegotylko procesu nieliniowego. Suma przedstawio-nych widm odpowiada widmu pojedynczychfotonów rejestrowanych odpowiednio w ramie-niu S i T.

Widoczna jest wspomniana powyżej sepa-racja widmowa procesów zawierających modpodstawowy pompy oraz wyższe mody pól Hi V . Jednocześnie przekrywają się widmowoz procesem podstawowym procesy zawierają-ce wyższe mody pompy: 10B ↔ 10V + 00H ,10B ↔ 00H + 10V , 01P ↔ 02V + 00H , 01B ↔ 00V + 02H oraz kilka dalszych procesów oniewielkiej wydajności, por. tab. 3.3. Liniami przerywanymi wykreślono widma transmisjifiltrów interferencyjnych używanych w eksperymencie, o szerokościach połówkowych 0,8,3,0 oraz 11,0 nm. Użycie filtra o szerokości 11,0 nm pozwala wykorzystać zdecydowanąwiększość mocy procesu podstawowego. Użycie węższych filtrów ogranicza udział procesów

74 Źródło par fotonów

Rys. 4.3: Obliczone na podstawie danych doświadczalnych wkłady od poszczególnych procesównieliniowych do widm jednofotonowych dla fotonów H (a) oraz V (b). Liniami pogrubionymi za-znaczono widma procesów zawierających mod podstawowy pompy 00B . Wąskimi liniami ciągłymi— procesów zawierających wyższe mody pompy. Pominięto procesy o intensywności poniżej 5%natężenia pasma podstawowego. Na rys. (a) poszczególne widma oznaczono odpowiadającymi improcesami nieliniowymi. Na rys. (b) podpisy pominięto, pozostawiając oznaczenia kolorystyczne.Liniami przerywanymi wykreślono widma transmisji T używanych filtrów spektralnych, o szeroko-ściach połówkowych 0,8, 3,0 oraz 11,0 nm.

zawierających wyższe mody pompy, lecz nie eliminuje go całkowicie. Prowadzi to do wspo-mnianej już konieczności zwrócenia szczególnej uwagi na ograniczenie wprzęgania wiązkipompującej do wyższych modów, w szczególności do modów o pojedynczym wzbudzeniu:01B oraz 10B. Zwiększenie separacji widmowej procesów obecnie przekrywających się zprocesem podstawowym wymagałoby użycia węższej widmowo wiązki pompującej, co wrozważanym tu przypadku utrudniłoby znacznie usuwanie korelacji widmowych w łącznymwidmie par fotonów.

Analizując rys. 4.3 warto zauważyć ponadto nieco różną szerokość linii widmowychdla pól H oraz V wynikającą z określonego przez krzywe dyspersji dla fali zwyczajneji nadzwyczajnej w KTP kąta nachylenia warunku dopasowania fazowego dla procesu IItypu na dwuwymiarowej mapie dopasowania fazowego.

W tym miejscu warto też oszacować na podstawie natężeń linii widmowych (por.tab. 3.3) stosunek liczby par fotonów w modach podstawowych do liczby wszystkich parfotonów wytwarzanych w procesie fluorescencji parametrycznej. Dla pompy jednomodo-wej stosunek ten można zgrubnie oszacować jako 30 − 40%. Przy obliczaniu oszacowaniauwzględniono również procesy znajdujące się poza obserwowanym doświadczalnie zakre-sem spektralnym (takie jak 00P ↔ 10V +10H). Ich natężenia przyjęto jako równe zmierzo-nym natężeniom tych procesów dla falowodu o szerokości 4 µm. Powoduje to dodatkowąniepewność oszacowania, niemniej widoczne jest, że udział wyższych modów jest nieza-niedbywalny. Użycie wielomodowej niebieskiej pompy w oczywisty sposób pogarsza tenstosunek.

4.2 Źródło par fotonów 75

Rys. 4.4: Schemat źródła par fotonów. Wiązka podczerwona z oscylatora femtosekundowego wy-twarza drugą harmoniczną w krysztale BBO, która kierowana jest przez teleskop T i obiektyw Obj1do falowodu PPKTP (W). Do falowodu może zostać skierowana również podczerwona wiązka po-mocnicza. Po opuszczeniu falowodu i skolimowaniu za pomocą obiektywu Obj2 wiązka pompującajest odfiltrowywana na lustrze dichroicznym DM3 i ogniskowana na matrycy CCD. Powstające wfalowodzie prostopadle spolaryzowane wiązki fluorescencji parametrycznej rozdzielane są na ko-stce polaryzującej PBS2 i kierowane za pomocą światłowodów jedno- (SMF) lub wielomodowych(MMF) do detektorów pojedynczych fotonów (SPCM). Przed lub za kostką PBS2 mógł być umiesz-czony filtr interferencyjny IF3. Dokładny opis układu i użytych oznaczeń w tekście.

4.2.2 Układ doświadczalny

Główną częścią układu doświadczalnego źródła par fotonów, przedstawionego na rys.4.4, był falowód PPKTP z próbki C, wraz z obiektywami mikroskopowymi służącymi dowprzęgania i wyprzęgania światła do/z falowodu. Tę najistotniejszą część układu omówiępóźniej, przedtem opisując pozostałe elementy układu.Źródłem wiązki pompującej o długości fali ok. 400 nm były podwojone spektralnie

impulsy femtosekundowe z przestrajalnego widmowo oscylatora tytanowo-szafirowego Co-herent Chameleon Ultra (Coherent Inc., USA). Oscylator wytwarzał wiązkę impulsów oczasie trwania ok. 150 fs, widmowej szerokości połówkowej 4,0 nm, częstości repetycji78 MHz, polaryzacji poziomej oraz mocy średniej regulowanej w zakresie 30− 3000 mW,przy czym typowo używano mocy ok. 500 mW. Wiązka ogniskowana była w krysztaleBBO długości 5 mm za pomocą soczewki o ogniskowej 300 mm. Kryształ był zoriento-wany tak, by zapewnić dopasowanie fazowe I typu dla generacji drugiej harmonicznej wpobliżu długości fali 800 nm. Uchwyt kryształu zapewniał możliwość jego precyzyjnego po-chylania wokół osi poziomej prostopadłej do kierunku propagacji wiązek. Użyto soczewkidługiej ogniskowej, by zminimalizować wpływ dryfu (ang. spatial walk-off) w dwójłomnymkrysztale BBO na jakość (kształt przekroju poprzecznego) wiązki drugiej harmonicznej.Dryf powoduje eliptyczność drugiej harmonicznej I typu. W związku z tym użyto ogni-skowej soczewki, dla której rozmiar ogniska jest większy niż odchylenie wiązki wskutekdryfu w 5 mm BBO (300 µm). Ponadto przed kryształem umieszczona była płytka półfa-lowa, która poprzez obrót polaryzacji wiązki czerwonej pozwalała regulować moc drugiejharmonicznej.Za kryształem umieszczone było lustro dichroiczne DM1; po odbiciu od lustra DM1

wiązka drugiej harmonicznej, spolaryzowana pionowo, była oczyszczana z pozostałościwiązki czerwonej za pomocą filtra barwnego. Widmowa szerokość połówkowa wiązki dru-giej harmonicznej wynosiła 1,0 nm, a jej moc po przejściu przez filtr barwny — ok. 2,5 mW,

76 Źródło par fotonów

przy mocy wiązki pompującej kryształ BBO 500 mW. Niewielka wydajność konwersji czę-stości jest skutkiem opisanego powyżej słabego ogniskowania wiązki 800 nm w krysztaleBBO. W praktyce dostępne są dużo efektywniejsze źródła niebieskich wiązek pompują-cych proces fluorescencji parametrycznej w falowodach, mianowicie lasery diodowe; tutajzdecydowano się na impulsy femtosekundowe, by mieć docelową możliwość badania źródłametodami czasoworozdzielczymi oraz wydajnego wytwarzania wielokrotnych par (czwórek)fotonów [140]. Uniknięcie wpływu dryfu możliwe byłoby również dla impulsów femtosekun-dowych dzięki zastosowaniu odpowiedniego ośrodka nieliniowego z periodyczną inwersjądomen nieliniowych do wytwarzania drugiej harmonicznej.Wiązka drugiej harmonicznej przechodziła przez teleskop T służący do regulacji śred-

nicy wiązki i kierowana była za pomocą zwierciadeł, w tym zwierciadła dichroicznego, doobiektywu Obj1 sprzęgającego światło do falowodu. Po drodze umieszczona była równieżpłytka półfalowa służąca precyzyjnemu dopasowaniu kierunku polaryzacji wiązki drugiejharmonicznej do wyróżnionej polaryzacji falowodu.Wiązka czerwona przechodząca przez lustro DM1 była wykorzystywana jako wiązka

referencyjna, służąca do justowania układu. Kierowana była do układu analogicznego doukładu służącego do przygotowywania wiązek pompujących do pomiaru funkcji dopaso-wania fazowego (por. rozdz. 3.4). Obydwa ramiona tego układu były wykorzystywane dopomiarów funkcji dopasowania fazowego w falowodzie próbki C (por. 3.5.5). Do kalibracjiźródła par fotonów używane było tylko jedno ramię. Po przejściu przez kostkę polaryzującąwiązka przechodziła przez filtr interferencyjny o szerokości połówkowej 0,6 nm i centralnejdługości fali 800 nm zamontowany na stoliku obrotowym oraz przez płytkę ćwierćfalową.Po odbiciu od zwierciadła wiązka ponownie przechodziła przez oba wymienione elementy.Płytka ćwierćfalowa była ustawiona pod kątem powodującym obrót polaryzacji liniowej o90 przy dwukrotnym przejściu, dzięki czemu wiązka w drodze powrotnej była odbijanaprzez kostkę polaryzującą. Następnie umieszczona była płytka półfalowa, która powodowa-ła obrót polaryzacji o 45, tak by możliwe było wzbudzanie procesu sumowania częstościII typu w falowodzie. Za pomocą dwóch zwierciadeł wiązka, przez lustro dichroiczne DM2,była współliniowo z wiązką niebieską kierowana do falowodu.Po opuszczeniu falowodu niebieska wiązka pompująca była odfiltrowywana od fotonów

fluorescencji parametrycznej za pomocą dwóch zwierciadeł dichroicznych. Wiązka niebie-ska odbita od pierwszego zwierciadła ogniskowana była za pomocą soczewki TL (od ang.tube lens) o ogniskowej 300 nm na matrycy CCD, tak by uzyskać obraz płaszczyzny wyj-ściowej falowodu. Od tylnej powierzchni zwierciadła dichroicznego odbijała się równieżniewielka część wiązki referencyjnej. Pozwalało to na równoczesne obserwowanie na ma-trycy CCD niebieskiej wiązki pompującej, odbitej od przedniej płaszczyzny zwierciadła,oraz wiązki referencyjnej. W razie potrzeby obserwowania tylko jednej wiązki (np. w przy-padku dużej różnicy natężeń wiązek) stosowany był odpowiedni filtr barwny, umieszczanyw obszarze, w którym wiązki były skolimowane — między zwierciadłem a soczewką TL.Aby umożliwić bezpośrednie monitorowanie natężenia wiązek wprzęgniętych do falowodu,za pomocą niepokrytego antyrefleksyjne szkiełka umieszczonego przed soczewką odbijanebyło kilka procent mocy i kierowane do fotodiodowego miernika mocy (PM, ang. powermeter, PD300-1W, Ophir Optronics Ltd., Izrael). Wskazanie miernika dla wiązki odbi-tej od szkiełka były przeliczane na wartość dla głównej wiązki na podstawie wykonanejkalibracji.Wiązka fluorescencji parametrycznej — a dokładniej, para współbieżnych wiązek o

polaryzacjachH i V — przechodziła przez filtr interferencyjny IF3, zamocowany na stolikuobrotowym pozwalającym na precyzyjne strojenie transmitowanej długości fali, po czymbyła kierowana do dalszej części układu doświadczalnego.Dla pomiarów omawianych w tym rozdziale była to kostka polaryzująca, rozdzielająca

4.2 Źródło par fotonów 77

Parametr Wartość Jednostka

Wydajność kwantowa dla 800 nm 50− 70 %Ciemne zliczenia < 100 s−1

Czas martwy 32− 40 nsPrawdopodobieństwo impulsów wtórnych < 0,5 %Niestabilność czasowa (jitter) ∼ 500 ps

Okno koincydencji 6,5 nsNiestabilność czasowa układu koincydencji < 30 ps

Tab. 4.1: Najistotniejsze parametry techniczne modułów fotodiod lawinowych SPCM-AQRH-14FC (wg specyfikacji producenta) oraz układu koincydencyjnego.

przestrzennie składowe polaryzacyjne V i H. Każda z nich była wprowadzana za pomocąsoczewki asferycznej o ogniskowej 8 nm do światłowodu wielomodowego o średnicy rdzenia100 µm i aperturze numerycznej 0,22. Światłowodami fotony fluorescencji parametrycznejdocierały do liczników pojedynczych fotonów wyposażonych w sprzęgacze światłowodoweFC/PC (moduły fotodiod lawinowych SPCM-AQRH-14FC, Perkin Elmer, Kanada). Pod-stawowe parametry modułów zebrane są w tabeli 4.1. Sygnały TTL (Transistor-TransistorLogic) wytwarzane przez moduły fotodiod kierowane były do koincydencyjnego układuelektronicznego zbudowanego z modułów standardu NIM (Nuclear Instrumentation Mo-dule): linii opóźniającej, inwertera (służącego do zmiany polaryzacji impulsów TTL naujemną, wykrywaną przez dyskryminatory standardu NIM), dyskryminatora typu con-stant fraction, modułu koincydencyjnego oraz translatora NIM-TTL. Czas okna koincy-dencji układu został zmierzony z wykorzystaniem podawanych na wejście synchronicznychimpulsów na podstawie opoóźnień wytwarzanych przez linie opóźniające. Uzyskano war-tość 6,5 ns. Układ koincydencyjny opuszczały 3 sygnały TTL odpowiadające pojedynczymzliczeniom fotonów z obydwu ramion układu oraz koincydencjom. Impulsy zliczane były zapomocą komputera PC, wykorzystano w tym celu liczniki na kartach pomiarowych firmyNational Instruments.

4.2.3 Układ sprzęgania wiązki pompującej do falowodu

Układ sprzęgania niebieskiej wiązki pompującej musi spełniać znacznie ostrzejsze wy-magania w porównaniu do układu do sprzęgania wiązek o długości fali ok. 800 nm. Przy-czyną tego jest około dwukrotnie mniejszy rozmiar modu, powodujący konieczność uzy-skania większej precyzji i stabilności mechanicznej sprzęgania oraz większa liczba modówpoprzecznych, skutkująca koniecznością uzyskania wiązki sprzęganej bardzo zbliżonej domodu podstawowego w falowodzie.Schemat użytego układu sprzęgania i wyprzęgania wiązek do/z falowodu przedstawio-

ny jest na rys. 4.5. W porównaniu z układem do wprzęgania wiązek V i H opisanym wpodrozdziale 2.2.3 wprowadzonych zostało szereg zmian zwiększających stabilność i pre-cyzję układu.W związku z mniejszym rozmiarem modu podstawowego 00B konieczne było zastąpie-

nie asferycznej soczewki ogniskującej obiektywem mikroskopowym. Wykorzystano fluory-towy obiektyw semi-apochromatyczny Olympus UPlanFLN o powiększeniu 40× i aper-turze numerycznej 0,75. Kolejną zaletą obiektywu w porównaniu z soczewką była bardzodobra korekcja wzdłużnej aberracji chromatycznej, dzięki czemu możliwe było efektywnewprzęganie wiązki niebieskiej jak i czerwonej wiązki referencyjnej bez konieczności mody-fikacji położeń elementów układu. Aby umożliwić dokładne ustawienie obiektywu wzdłuż

78 Źródło par fotonów

Rys. 4.5: Szczegółowy schemat użytego układu sprzęgania i wyprzęgania wiązek do/z falowo-du. Oznaczono mechaniczne stopnie swobody poszczególnych elementów: wzdłużne X, Y , Z orazobroty wokół wzajemnie prostopadłych osi, prostopadłych do osi optycznej θ, φ.

Rys. 4.6: Fotografia układu wprzęgania i wyprzęgania światła z falowodu. Zaznaczono kierunekpropagacji światła oraz naniesiono oznaczenia obiektywów zgodne z oznaczeniami na rys. 4.4 oraz4.5.

osi optycznej, był on zamocowany za pomocą uchwytu kinematycznego pozwalającegona pochylanie obiektywu w kierunku poziomym i pionowym. Uchwyt kinematyczny wrazz obiektywem zamocowany był na precyzyjnym stoliku XYZ (MAX313D/M, Thorlabs,USA). Jest to stolik o większej bazie niż stosowany wcześniej, co również wpłynęło nazwiększenie stabilności.Użycie obiektywu mikroskopowego pozwoliło na wsunięcie stolika XYZ z próbką PPKTP

bezpośrednio pod oś optyczną układu. Pozwoliło to uniknąć dotychczasowego mało stabil-nego mocowania próbki na długiej, cienkiej belce wsuwanej pomiędzy obiektywy (por. rys.2.5). W opisanej konfiguracji belka została zastąpiona kompaktowym sztywnym uchwy-tem, widocznym na zdjęciu układu na rys. 4.6. Aby umożliwić prostopadłe ustawieniepłaszczyzny wejściowej falowodu do kierunku wiązki pompującej, uchwyt został równieżzamocowany na dwuosiowym uchwycie kinematycznym. Uchwyt kinematyczny przymo-cowany był do stolika XYZ, który służył do precyzyjnego ustalania położenia falowodu,głównie w płaszczyźnie prostopadłej do osi optycznej (xy).Jedną z najistotniejszych modyfikacji sposobu mocowania próbki było zastosowanie

układu stabilizacji temperatury. Głównym powodem zastosowania układu stabilizacji tem-peratury była konieczność zminimalizowania efektów mechanicznych wynikających z wa-hań temperatury próbki, mających negatywny wpływ na stabilność sprzęgania wiązki pom-pującej do falowodu, szczególnie w dłuższej skali czasowej. Kolejnym powodem jest opisanaw rozdz. 3.5.8 zależność położenia widmowego warunku dopasowania fazowego w struk-turze PPKTP od temperatury (0,04 nm/C). Stabilizacja temperatury z dokładnością

4.2 Źródło par fotonów 79

±0,1C zapewniała więc efektywną stałość położenia widmowego warunku dopasowaniafazowego w porównaniu z jego szerokością widmową (1,0 nm).

Stabilizacja temperatury realizowana była za pomocą ogniwa Peltiera o wymiarach7× 7 mm. Ogniwo przyklejone było klejem o dużej przewodności cieplnej do uchwytu du-raluminiowego stanowiącego wraz ze stolikiem XYZ rezerwuar cieplny. Do drugiej stronyogniwa dociśnięta była blaszka miedziana, na krawędzi której umocowany był kryształKTP z falowodami. Rezystancyjny czujnik temperatury Pt100 przyklejony był do blaszkimiedzianej w pobliżu próbki. Wskazania czujnika stanowiły sygnał sprzężenia zwrotne-go, który odczytywany był przez prosty regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkującyPID.

Regulator sterował natężeniem prądu podawanym do ogniwa Peltiera w trybie prze-rzutnikowym (włącz/wyłącz). Temperatura stabilizowana była do wartości 19 ± 0,1C,(nieznacznie niższej niż temperatura panująca w laboratorium). Ze względu na niewielkąpojemność cieplną stabilizowanego elementu — blaszki miedzianej wraz z próbką PPKTP— wynikającą m. in. z małych rozmiarów blaszki spowodowanych niewielką dostępną prze-strzenią pomiędzy obiektywami mikroskopowymi (por. rys. 4.6), konieczne było stosowanieprądu podawanego do ogniwa o ograniczonym natężeniu. Było to natężenie, dla któregotemperatura osiągana w pracy ciągłej była niższa o nie więcej niż 3C od temperaturypożądanej. W przypadku użycia zbyt dużego natężenia prądu, impulsy prądu wytwarza-ne przez przerzutnik w celu stabilizacji temperatury powodowały powstanie „impulsówzimna”, powodujących odkształcenia mechaniczne mocowania mające zauważalny, nieza-niedbywalny wpływ na sprzężenie wiązki niebieskiej do falowodu. W opisywanych dalejeksperymentach stosowano natężenie prądu 50 mA, w trybie ciągłym dające temperaturęnie niższą niż 17C. Do dalszych zastosowań preferowane byłoby użycie regulatora PIDumożliwiającego sterowanie prądem zasilacza dzięki czemu regulacja temperatury byłabybardziej płynna.

Poprzez odwrócenie polaryzacji prądu podawanego do ogniwa Peltiera możliwe byłorównież ogrzewanie próbki, co wykorzystane zostało do wykonania pomiarów zależnościdopasowania fazowego od temperatury opisanych w rozdziale 3.5.8.

Układ wyprzęgania wiązek z falowodu nie różnił się od układu stosowanego wcześniej:obiektyw o zmniejszonej dwójłomności Carl Zeiss EC Epiplan Neofluar, o powiększeniu50× i aperturze numerycznej 0,8 umieszczony był na precyzyjnym stoliku XYZ, umoż-liwiającym ustawienie obiektywu w pobliżu właściwego falowodu i skolimowanie wiązkiopuszczającej obiektyw.

Elementem układu wykorzystywanym podczas optymalizacji (justowania) sprzęganiawiązki pompującej do falowodu, a dotychczas nieopisanym szczegółowo, był teleskop (T1)służący do modyfikacji rozmiaru poprzecznego wiązki pompującej. Zmiana rozmiaru wiąz-ki padającej na obiektyw mikroskopowy powoduje zmianę efektywnej apertury numerycz-nej, a co za tym idzie, zmianę rozmiaru przewężenia wiązki w pobliżu ogniska obiektywu.Dzięki wykorzystaniu teleskopu o regulowanym powiększeniu możliwe było precyzyjnedopasowanie rozmiaru wiązki w ognisku do rozmiarów modu podstawowego 00B w falowo-dzie. Użyty został teleskop o zmiennym powiększeniu (ang. variable zoom beam expander,BE02-05, Thorlabs, USA). Zastosowanie regulowanego teleskopu pozwoliło na zmianę roz-miaru ogniska za obiektywem Obj1, przy znacznym ograniczeniu przesunięcia położeniaogniska wzdłuż osi optycznej. Niestety ze względu na niezadowalającą jakość wykonaniai/lub konstrukcję teleskopu, większym zmianom powiększenia towarzyszyły istotne zmia-ny kierunku wiązki opuszczającej teleskop. W związku z tym modyfikacji rozmiaru wiązkimusiała towarzyszyć jednoczesna korekta kierunku i położenia wiązki za pomocą lusterM1 i M2.

80 Źródło par fotonów

4.2.4 Optymalizacja sprzęgania

Opiszę teraz procedurę optymalizacji sprzęgania niebieskiej wiązki pompującej do mo-du podstawowego 00B falowodu. Będzie temu towarzyszył opis optymalizacji pozostałychparametrów pracy falowodowego źródła par fotonów. Ponieważ jest to technicznie naj-trudniejszy, a jednocześnie bardzo istotny aspekt używania źródła par fotonów opartegona falowodzie PPKTP, pozwolę sobie na podanie bardzo szczegółowego opisu.Przed rozpoczęciem właściwej procedury justowania, wykorzystując sygnał drugiej har-

monicznej (z pomiarów funkcji dopasowania fazowego) dokonano ustawienia wyróżnionychkierunków polaryzacji falowodu równolegle/prostopadle do powierzchni stołu optycznego.Wykorzystano w tym celu polaryzator (o znanej orientacji osi względem powierzchni sto-łu optycznego). Polaryzator ustawiono tak, by blokował polaryzację poziomą (pionową).Następnie, wykorzystując fakt, że w procesie sumowania częstości II typu w falowodziegenerowane jest pole o polaryzacji zdefiniowanej przez falowód (równoległej do górnej po-wierzchni próbki), obracano mocowanie próbki w uchwycie, aż do uzyskania minimalnegonatężenia sygnału sumy częstości przechodzącego przez polaryzator. Po każdym porusze-niu falowodu dokonywano optymalizacji sprzęgania wiązek H i V .Procedura justowania układu rozpoczynała się od ustaleniu toru niebieskiej wiązki

pompującej równolegle do krawędzi stołu optycznego za pomocą lustra DM2. Następnielustra te pozostawały nieruchome. Położenie i kierunek wiązki przed lustrem DM2 byłoustalane i monitorowane na podstawie położenia odbić kilku procent mocy od jednostron-nie pokrytych antyrefleksyjnie płytek szklanych umieszczonych tuż za lustrem M2 i tużprzed lustrem DM2. Dalsza ewentualna korekta kierunku i położenia wiązki następowałaza pomocą luster M1 i M2.Bazując na kierunku wiązki, równolegle do niej umieszczane były trzy stoliki przesuwne

XYZ. Do pierwszego stolika przykręcany był uchwyt kinematyczny, dedykowany do używa-nego modelu stolików. Uchwyt wyposażony był w gwint umożliwiający łatwe zamocowanieobiektywu. Przed zamocowaniem obiektywu Obj1 w jego miejsce wkręcana była półma-towa płytka kalibracyjna. Na podstawie odbicia od płytki płaszczyzna czołowa uchwytukinematycznego (do której dociskana będzie baza obiektywu) ustawiana była prostopadledo wiązki. Następnie płytka kalibracyjna była wykręcana, aby umożliwić przejście wiązkiprzez uchwyt kinematyczny. Obiektyw na tym etapie pozostawał poza wiązką.Kolejnym krokiem było ustawienie kryształu KTP z falowodami prostopadle do wiąz-

ki pompującej. Kryształ był zamocowany za pomocą uchwytu zapewniającego stabilizacjętemperatury do uchwytu kinematycznego, przymocowanego do kolejnego stolika XYZ. Po-łożenie kryształu w kierunku z odpowiadało w przybliżeniu docelowemu położeniu ogniskawiązki pompującej. Kryształ wprowadzany był do wiązki pompującej, uruchamiana byłastabilizacja temperatury. Powierzchnia kryształu zawierająca wejścia do falowodów byłaustawiana prostopadle do wiązki na podstawie wiązki odbitej od tej powierzchni, za po-mocą uchwytu kinematycznego. Następnie kryształ był za pomocą stolika XYZ wysuwanypoza obszar wiązki pompującej.Po wysunięciu kryształu, w odległości ok. 15 mm od niego umieszczany był ekran, na

którym zaznaczane było położenie wiązki pompującej. Następnie w uchwyt kinematycznyprzytwierdzony do pierwszego stolika wkręcany był obiektyw Obj1. Obiektyw był usta-wiany w płaszczyźnie xy na osi wiązki pompującej tak, by wiązka opuszczająca obiektywpadała na ekran symetrycznie względem uprzednio zaznaczonego punktu. W tym momen-cie sprawdzano równoległość kierunku przesuwu z stolika do kierunku wiązki pompującej,weryfikując, czy ruch obiektywu w kierunku z nie powoduje przesunięcia wiązki opuszcza-jącej obiektyw.Po ustaleniu położenia obiektywu ponownie do wiązki wsuwany był kryształ zawierają-

cy pod powierzchnią falowody PPKTP. Kryształ był podnoszony aż do momentu zaobser-

4.2 Źródło par fotonów 81

wowania gwałtownej zmiany rozkładu natężenia na ekranie, sygnalizującej, że wiązka prze-kroczyła granicę powietrze-kryształ, a następnie o dalszych kilka mikrometrów. Wtedy, zapomocą translacji obiektywu w kierunku z, ognisko wiązki pompującej było umieszczanena powierzchni kryształu, Kryterium była minimalizacja rozmiaru plamki odbitej od po-wierzchni kryształu, obserwowanej na ekranie w znacznej odległości przed obiektywem. Poustaleniu położenia ogniska kryształ był obniżany aż do momentu zaobserwowania efektówzwiązanych ze sprzęganiem światła do falowodów. Efekty te objawiały się jako wyraźnezmiany rozkładu natężenia światła na ekranie umieszczonym za falowodem przy przesu-waniu kryształu prostopadle do wiązki w kierunku poziomym. Odliczając charakterystycz-ne rozbłyski możliwe było w tym momencie ustalenie położenia kryształu w kierunku yodpowiadającego wybranemu falowodowi. Efektywne wprzęgnięcie światła do falowodurealizowane było przez precyzyjną optymalizację położenia kryształu w płaszczyźnie xyza pomocą mikrometrycznych śrub różnicowych. Po uzyskaniu pewnego doświadczeniamożliwe było uzyskanie wzbudzenia modu podstawowego w falowodzie wyłącznie na pod-stawie obserwacji rozkładu natężenia w bliskim polu. Jednakże pewniejszą i dokładniejsząmetodą była obserwacja obrazu tylnej powierzchni kryształu KTP na matrycy CCD.

Do zbierania światła opuszczającego falowód wykorzystywany był obiektyw Obj2, za-mocowany na stoliku XYZ. Położenie obiektywu względem falowodu ustalane było ana-logicznie jak dla pomiarów opisywanych w poprzednich rozdziałach: kryształ oświetlanybył poprzez obiektyw Obj1 intensywnym światłem białym. Umożliwiało to obserwowanieobrazu tylnej powierzchni kryształu na matrycy CCD. Kryterium ustawienia obiektywuw kierunku Z stanowiła ostrość granicy powietrze-kryształ.

Po ustawieniu ostrości możliwe było wstępne ustawienie wprzęgania wiązki pompującejdo modu 00B falowodu, poprzez przesuwanie kryształu za pomocą śrub różnicowych wpłaszczyźnie xy oraz regulację położenia ogniska poprzez przesuwanie obiektywu Obj1 wkierunku z. Kryterium stanowiła jakościowa obserwacja rozkładu natężenia na wyjściuz falowodu. Uzyskanie możliwie najlepszego położenia falowodu tą metodą pozwalało naprzejście do dokładnej metody ustawiania wprzęgania w mod podstawowy, opartej napodejściu ilościowym, poprzez porównanie ze wzorcem. Wzorzec rozkładu natężenia modupodstawowego 00B uzyskiwany był poprzez generację drugiej harmonicznej w falowodzieza pomocą wiązki referencyjnej.

Wiązka referencyjna, spolaryzowana ukośnie, aby umożliwić generację drugiej harmo-nicznej II typu, ustawiana była współliniowo z niebieską wiązką pompującą za pomocąpary zwierciadeł. Dzięki temu uzyskiwano od razu dobre sprzęganie wiązki referencyjnejdo falowodu. Precyzyjne ustawienie wzbudzenia modu zawierającego możliwie duży przy-czynek modu podstawowego dokonywane było za pomocą drobnych ruchów zwierciadłemPM1. Długość fali wiązki referencyjnej była strojona w pobliżu 800 nm poprzez obrót filtrainterferencyjnego IF1 (o centralnej długości fali 800 nm i szerokości połówkowej 0,6 nm), wcelu maksymalizacji mocy sygnału drugiej harmonicznej generowanego w falowodzie (przyuwzględnieniu zmian mocy czerwonej wiązki pompującej podczas obrotu filtra, wynika-jącej z kształtu widma światła czerwonego). Po uzyskaniu maksimum sygnału w wyni-ku strojenia widmowego, optymalizowane było sprzęganie wiązki referencyjnej do modówpodstawowych 00V , 00H (również na podstawie maksymalizacji natężenia). W ten sposóbuzyskiwano wąskopasmową (szerokość połówkowa 0,6 nm) wiązkę referencyjną o centralnejdługości fali odpowiadającej długości fali zdegenerowanego procesu 00V +00H ↔ 00B. Tadługość fali stanowiła długość fali odniesienia używaną do ustawienia wszystkich pozosta-łych elementów układu. W szczególności na tym etapie (tj. przed dokładnym ustawieniemsprzężenia wiązki niebieskiej) dokonywano dostrojenia centralnej długości fali oscylatoratytanowo-szafirowego do długości fali wiązki referencyjnej (maksymalizując moc sygnałudrugiej harmonicznej generowanego w falowodzie). Następnie, maksymalizując moc sy-

82 Źródło par fotonów

Rys. 4.7: Sprzęganie wiązki niebieskiej do modu 00B . (a) Rozkład natężenia dla modu wzorcowegouzyskanego za pomocą generacji drugiej harmonicznej; (b) rozkład natężenia niebieskiej wiązkipompującej w falowodzie. (c) Porównanie brzegowych (kumulatywnych) rozkładów natężenia wkierunkach poziomym i pionowym. Linia przerywana — rozkład wzorcowy drugiej harmonicznej,linia ciągła — rozkład dla wiązki pompującej. Jedyna obróbka danych polegała na odjęciu tła orazznormalizowaniu obu rozkładów.

gnału drugiej harmonicznej generowanego w krysztale BBO poprzez pochylanie kryształu,ustalano długość fali niebieskiej wiązki pompującej jako równą połowie długości fali wiązkireferencyjnej.

Dzięki wąskopasmowowści wiązki referencyjnej, optymalizacji jej sprzężenia do fa-lowodu zapewniającej znaczny udział modów 00H , 00V oraz dużej wydajności procesu00V + 00H ↔ 00B w porównaniu z innymi procesami leżącymi w zakresie 800,0± 0,3 nm,generowany przez nią w falowodzie sygnał drugiej harmonicznej był wytwarzany w prak-tycznie czystym modzie 00B. Udział wyższych modów w sygnale drugiej harmonicznejszacuję na poniżej 1%, na podstawie następującego rozumowania: udział wyższych mo-dów pól V i H szacuję półilościowo na poniżej 10%; wydajność najwydajniejszego procesuinnego niż 00V + 00H ↔ 00B w zakresie 799,4 ± 0,5 nm wynosi poniżej 10% wydajnościprocesu podstawowego, por. tab. 3.3. Z uzyskiwanego na matrycy CCD obrazu rozkładunatężenia odpowiadający modowi 00B odczytywane były szerokości połówkowe skumulo-wanych brzegowych rozkładów natężenia w kierunkach poziomym i pionowym. Typowyzmierzony rozkład przedstawiony jest na rys. 4.7(b).

Na podstawie uzyskanych w ten sposób danych realizowana była procedura ostateczne-go wprzęgnięcia niebieskiej wiązki pompującej do falowodu. Aby możliwe było dopasowanierozmiaru przewężenia wiązki pompującej na wejściu do falowodu, konieczna była obser-wacja obrazu tego przewężenia za pomocą obiektywu Obj2. Aby to umożliwić, kryształKTP był wysuwany spomiędzy obiektywów, po czym obiektyw Obj2 był przesuwany wkierunku obiektywu Obj1, tak by uzyskać obraz przewężenia (kryterium był minimalnyrozmiar obrazu obserwowanego na matrycy CCD). Rozmiar przewężenia regulowany byłza pomocą teleskopu o zmiennym powiększeniu, z jednoczesną korektą wprowadzanychw wyniku zmiany powiększenia teleskopu zmian kierunku wiązki za pomocą zwierciadełM1 i M2. Rozmiar przewężenia był dopasowywany do zmierzonego wcześniej rozmiarumodu wzorcowego. Dopasowanie szerokości rozkładu w obu kierunkach było możliwe dzię-ki niewielkiemu astygmatyzmowi wiązki pompującej. Podczas dopasowywania rozmiarówzaniedbywano zmianę powiększenia układu obrazującego wynikającą z przesunięcia obiek-tywu Obj2 o ok. 1 mm w kierunku obiektywu Obj1, ze względu na niewielką wartość tego

4.2 Źródło par fotonów 83

przesunięcia w porównaniu odległością obrazu.Po ustaleniu odpowiednich rozmiarów przewężenia, obiektyw Obj2 był odsuwany do

pierwotnego położenia, a pomiędzy obiektywy ponownie wsuwany był kryształ KTP. Ostrośćobrazowania płaszczyzny wyjściowej sprawdzana była przy wykorzystaniu oświetlenia świa-tłem białym. Falowód w płaszczyźnie xy był umieszczany w położeniu, dla którego rozkładnatężenie w falowodzie wzbudzany przez wiązkę niebieską był najbardziej symetryczny, tj.jakościowo najbliższy modowi podstawowemu. Dla tego położenia zasłaniano wiązkę nie-bieską i zapisywano parametry obrazu sygnału drugiej harmonicznej na matrycy CCD(położenie centroidy i brzegowe rozkłady natężenia). Od tego momentu kryształ KTP po-zostawał nieruchomy. Ostatecznego dopasowania rozkładu modu wiązki niebieskiej wzbu-dzanego w falowodzie do rozkładu modu wzorcowego dokonywano za pomocą drobnychruchów obiektywem Obj1: w kierunku z, żeby dobrać odpowiedni rozmiar, oraz w kierun-kach x i y, aby zapewnić symetryczność wzbudzanego modu.Porównanie typowych rozkładów natężenia przedstawione jest na rys. 4.7. Widocz-

na jest duża zgodność uzyskiwanych rozkładów. Jedyną wyraźniejszą rozbieżność stanowi„ogon” modu wiązki pompującej w kierunku pionowym. Najprawdopodobniej jest on skut-kiem niewielkiej nieskompensowanej eliptyczności wiązki pompującej spowodowanej przezdryf przestrzenny w dwójłomnym krysztale BBO. Stopień przekrycia modów, obliczonyjako całka przekrywania rozkładów pól elektrycznych obydwu modów wynosił dla przed-stawionych danych 0,966 ± 0,002, przy założeniu stałej fazy dla całego obszaru modów,co pozwalało na obliczenie wartości pola elektrycznego w danym punkcie siatki jako pier-wiastka ze zmierzonego natężenia (w jednostkach umownych).Czyste wzbudzanie modu podstawowego falowodu wiązało się z uzyskaniem dużej wy-

dajności sprzęgania wiązki pompującej do falowodu. Wydajność sprzęgania wyznaczonomierząc stosunek natężenia wiązki niebieskiej bezpośrednio przed obiektywem Obj1 orazza obiektywem Obj2 i aperturą usuwającą rozproszenia. Maksymalne uzyskiwane warto-ści to ok. 34%, typowo 30%. Po podzieleniu tej wartości przez natężeniowy współczynniktransmisji obiektywu Obj1 (71,9%) oraz obiektywu Obj2 (84,0%) uzyskuje się wydaj-ność sprzęgania równą 50 − 56%. Różnica w stosunku do idealnej wartości 100% wynikaz niedopasowania modów oraz ze strat fresnelowskich o wartości 9% dla każdej z granicKTP-powietrze.Uzyskany rozkład natężenia w falowodzie charakteryzował się dobrą stabilnością. Pod-

czas drgań stołu optycznego (spowodowanych np. przypadkowym upuszczeniem elementu)rozkład natężenia istotnie zmieniał się, natomiast po zaniku drgań powracał do stanu wyj-ściowego. Długoczasowo rozkład był stabilny w okresach 5–10 h. Po tego rzędu czasie ko-nieczna była drobna korekta sprzęgania za pomocą niewielkiego ruchu obiektywem Obj1w płaszczyźnie xy. Prawdopodobnie konieczność dokonania korekty po kilku godzinachbyła wynikiem dobowych wahań temperatury w laboratorium (których amplituda sięgała2C).

4.2.5 Źródło par fotonów

Uruchomienie źródła par fotonów poprzedzone zostało ustawieniem pozostałych ele-mentów układu z wykorzystaniem przechodzącej przez falowód wiązki referencyjnej. Nale-żały do nich filtr interferencyjny IF3, który był dostrajany do długości fali odpowiadającejpodstawowemu pasmu funkcji dopasowania fazowego poprzez obracanie, aż do osiągnięciamaksymalnej transmisji wiązki referencyjnej.Wiązka referencyjna była również wykorzystywana do wyjustowania sprzęgania do

światłowodów wielomodowych. Oprócz wiązki referencyjnej do justowania wykorzystywa-no wiązkę z lasera pomocniczego wprowadzaną do światłowodu wielomodowego od tyłu.

84 Źródło par fotonów

Wiązkę referencyjną pokrywano ze środkiem strumienia światła wychodzącego ze światło-wodu wielomodowego wykorzystując przesuw końcówki światłowodu zamocowanej stolikuprzesuwnym XYZ oraz pochylanie zwierciadła pomiędzy kostką polaryzującą PBS2 a so-czewką asferyczną AL (nie zaznaczonego na rys. 4.4). W wyniku tego sposobu justowaniauzyskiwano wydajność transmisji światła przez światłowód wielomodowy (z uwzględnie-niem przejścia przez soczewkę kolimującą na wyjściu z falowodu) nie gorszą niż 80%,typowo 90%.Przed uruchomieniem fotodiod lawinowych zadbano o odpowiednie osłonięcie końcówek

światłowodów wielomodowych oraz ich płaszczy od światła zewnętrznego, w szczególno-ści od rozproszeń od silnej wiązki z oscylatora femtosekundowego. Wykorzystano w tymcelu odpowiednie osłony i przegrody oraz pochłaniacze wiązki. Typowy poziom ciemnychzliczeń wynosił poniżej 2000 s−1 dla każdego z detektorów. Przy długości okna koincyden-cji 6,5 ns odpowiada to poniżej 0,026 s−1 koincydencji przypadkowych pochodzących odciemnych zliczeń.Poniżej przedstawię podstawową charakterystykę źródła w zakresie jego jasności i strat,

rozpoczynając od podstawowego pomiaru zależności liczby zliczeń fotonów fluorescencjiparametrycznej od mocy wiązki pompującej wprzęgniętej do falowodu. Przez liczby zli-czeń i liczby koincydencji będę rozumiał liczby zliczeń na sekundę. Do falowodu wprowa-dzano niebieską wiązkę pompującą w modzie możliwie bliskim 00B. Sygnał fluorescencjiparametrycznej filtrowany był przez filtr interferencyjny IF3 umieszczony przed kostką po-laryzującą PBS2. Wykorzystywano filtry o szerokości połówkowej 11,0, 3,0 lub 0,8 nm (por.rys. 4.3). Filtry o szerokości 11,0 i 3,0 nm miały w przybliżeniu prostokątny profil wid-mowy oraz transmisję odpowiednio 59% i 75%. Filtr o szerokości połówkowej 0,8 nm miałprofil w przybliżeniu gaussowski, o maksymalnej transmisji 65%. Po przejściu przez filtrskładowe polaryzacyjne H i V były rozdzielane na kostce polaryzującej PBS2, wprzęganedo światłowodów wielomodowych i rejestrowane za pomocą liczników pojedynczych foto-nów SPCM. Rejestrowane były zliczenia pojedyncze dla obydwu ramion oraz koincydencjepomiędzy nimi. Przed rozpoczęciem właściwych pomiarów dokonano ostatecznej optyma-lizacji źródła, która polegała na poprawie wydajności sprzęgania pompy do modu 00B zapomocą ruchów obiektywem Obj1 (przy zachowaniu położenia i szerokości wzbudzanegomodu odpowiadającej modowi wzorcowemu), optymalizacji sprzęgania do światłowodówwielomodowych oraz optymalizacji kierunku polaryzacji pompy, w celu zmaksymalizowa-nia liczby koincydencji.Przed rozpoczęciem zbierania danych potwierdzono również, że silna wiązka pompująca

jest dostatecznie odfiltrowywana, umieszczając niebieski filtr barwny przed kostką pola-ryzującą PBS2. Przy włączonym pompowaniu nie zaobserwowano wzrostu liczb zliczeń wporównaniu z ciemnymi zliczeniami.Ze względu na wahania mocy wiązki pompującej (o skali czasowej rzędu kilkudziesięciu

sekund), wynikające z niestabilności widma oscylatora femtosekundowego, co przekładałosię na wahania mocy drugiej harmonicznej, konieczne było uśrednianie po długich cza-sach. Dla pomiarów przy stałej mocy pompy, przedstawionych w kolejnych rozdziałach,wykorzystywano możliwość korygowania rejestrowanych liczb zliczeń. Zmierzone liczby zli-czeń były normowane do średniej mocy wiązki pompującej na podstawie mocy chwilowej(uśrednionej po 0,5 s) mierzonej za pomocą fotodiodowego miernika mocy PM mierzącegomoc wiązki niebieskiej po wyjściu z falowodu. Odczytów dokonywano co 0,5 s — pozwalałoto na bezpośredni pomiar statystyki umożliwiający obliczenie niepewności jako odchyleniastandardowego średniej. Dzięki temu można było zrezygnować z założenia o poissonow-skim charakterze wahań liczb zliczeń. Rezygnacja z założenia poissonowskiego charakteruszumu była słuszna: mierzone wartości dawały szum od 1,5 do 2 razy większy. Ponadtow sposób ciągły monitorowano rozkład natężenia modu wiązki pompującej w falowodzie,

4.2 Źródło par fotonów 85

Rys. 4.8: Zależność od mocy wiązki pompującej wprzęgniętej do falowodu: (a) liczb zliczeń poje-dynczych fotonów o polaryzacji V (+ — punkty pomiarowe, linia ciągła — dopasowana prosta),liczb zliczeń pojedynczych fotonów o polaryzacji H (•, linia kropkowana), (b) koincydencji. Se-rie pomiarowe opisano pasmem wykorzystanego filtra interferencyjnego. Filtrowane widmowo byłyobydwa ramiona układu. Niepewności statystyczne są wyraźnie mniejsze niż rozmiar użytego sym-bolu.

obserwując obraz płaszczyzny wyjściowej falowodu na matrycy CCD.Wyniki pomiarów zależności liczby pojedynczych zliczeń w obydwu ramionach oraz

liczby koincydencji (na sekundę) od mocy pompy przedstawiono na rys. 4.8. Przedsta-wione punkty pomiarowe otrzymano uśredniając zliczenia przez 150 s; wyniki zostałyskorygowane ze względu na ciemne zliczenia, koincydencje przypadkowe oraz czas martwydetektorów. Nie uwzględniono natomiast wydajności kwantowej detektorów, stąd rzeczy-wiste strumienie fotonów docierające do detektorów były ponad dwukrotnie większe. Zdalszych pomiarów wywnioskowano, że stosunek wydajności używanych detektorów wyno-sił ok. 3 : 4. Oznacza, że stosunek strumieni fotonów dla polaryzacji H i V ma odpowiedniowiększą wartość niż wynika z wykresu.Zgodnie z opisem na rysunku, zebrano serie pomiarowe bez filtrowania widmowego

(oprócz odfiltrowania wiązki pompującej za pomocą luster dichroicznych) oraz dla filtrowa-nia za pomocą filtrów o wymienionych wcześniej szerokościach. Do danych dopasowywanozależność prostoliniową postaci N = αP , gdzie N jest liczbą zliczeń a P mocą pom-py. Widoczna jest zadowalająca prostoliniowość danych doświadczalnych — stosunkowonajgorsza dla filtrowania widmowego 0,8 nm. Wahania są prawdopodobnie spowodowanefaktem używania filtru o szerokości widmowej porównywalnej z szerokością warunku do-pasowania fazowego i mogą być spowodowane m. in. z drobnymi wahaniami temperaturyfiltra albo wahaniami kąta padania wiązek na filtr. Trzeba zauważyć jednak, że dla wszyst-kich serii pomiarowych rozbieżności od prostoliniowości są przynajmniej o rząd wielkościwiększe niż wynikałoby z niepewności pomiarowych obliczonych na podstawie statystykizliczeń fotonów. Rozbieżności wykazują charakter w dużym stopniu systematyczny i wy-nikają prawdopodobnie z nieznajomości dokładnej charakterystyki detektorów dla dużychliczb zliczeń oraz ze zmian wydajności sprzęgania pompy do falowodu.W tabeli 4.2 przedstawiono stosunki koincydencji do pojedynczych zliczeń w każdym

z ramion układu. Stosunek pozostawał w przybliżeniu stały do pewnego natężenia wiązkipompującej, po czym zaczynał nieznacznie wzrastać (w sumie o co najwyżej 0,5 punktuprocentowego). Wzrost najprawdopodobniej spowodowany był rosnącym wkładem czwó-rek fotonów wytwarzanych w procesie fluorescencji parametrycznej (por. rozdz. 6.4.1). Wtabeli podano uśrednione wartości stosunku z zakresu mocy, dla których pozostawał on wprzybliżeniu stały. Podobny poziom stosunku koincydencji do pojedynczych zliczeń dla fil-

86 Źródło par fotonów

Filtr NC/NV NC/NH ηC η′C% % 103/(s mW nm)

brak 4,7± 0,02 8,4± 0,03 – –11 nm 9,45± 0,05 10,75± 0,05 13 2003,0 nm 10,8± 0,2 11,7± 0,2 20 1900,8 nm 5,9± 0,2 4,8± 0,2 12 180

Tab. 4.2: Podstawowe parametry źródła: stosunki liczby koincydencji NC do pojedynczych zli-czeń w ramieniu V (NV ) oraz H (NH) oraz wydajność generacji par: ηC — surowa; η′C — pouwzględnieniu strat w obiektywie, filtrach oraz oszacowanej wydajności detekcji.

trów o paśmie 11,0 nm i 3,0 nm (gdzie różnice wynikają głównie z większej transmisji filtra3,0 nm) jest zgodny z postacią łącznego widma par fotonów (por. rys. 4.2 oraz rys. 6.5),gdyż straty wprowadzane są w sposób skorelowany widmowo. Asymetria dla polaryzacji Vi H wynika główne z różnych wydajności detektorów. Duży spadek wartości stosunku dlafiltra o szerokości 0,8 nm wynika nie tylko z jego mniejszej transmisji szczytowej. Głów-ną przyczyną jest szerokość filtra mniejsza od szerokości widmowej warunku dopasowaniafazowego. Z tego powodu pojawia się też różnica stosunków NC/NH i NC/NV , por. rys.6.5.Warto zauważyć, że dla przypadku bez filtrowania widmowego wartości stosunku ko-

incydencji do pojedynczych zliczeń są mniejsze niż w przypadku filtrowanym widmowo.Można by się spodziewać, że stosunek ten będzie miał większą wartość, gdyż unikamy stratspowodowanych niższą od 100% transmisją filtra interferencyjnego. Obserwowany spadekwartości stosunku sugeruje, że bez filtrowania widmowego obserwuje się również pewiendodatkowy, zachodzący jednocześnie z fluorescencją parametryczną, proces dający poje-dyncze zliczenia fotonów. Jest to proces asymetryczny w polaryzacjach: bez filtrowaniawidmowego obserwuje się prawie dwukrotnie więcej fotonów H.W tabeli 4.2 przedstawiono też wydajność generacji obserwowanych (rejestrowanych

przez detektor) par w przeliczeniu na 1 mW wiązki pompującej wprzęgniętej do falowoduoraz na 1 nm rejestrowanego widma ηC . Podano też wydajność generacji par unormo-waną poprzez podzielenie jej przez kwadraty natężeniowych współczynników transmisjiużytego filtra interferencyjnego i obiektywu Obj2 oraz przez iloczyn wydajności kwanto-wych detektorów, oszacowanych jako 48% i 67% na podstawie specyfikacji producenta iwyników pomiarów przedstawionych w podrozdziale 4.2.5.1. Widać, że wydajności unor-mowane, zgodnie z oczekiwaniami, są do siebie zbliżone. Obserwowane różnice mogą byćwyjaśnione różnymi kształtami profilu widmowego filtrów interferencyjnych — w szczegól-ności dotyczy to filtra o szerokości połówkowej 0,8 nm, którego profil najbardziej odbiegaod prostokątnego. Realistyczna wartość rzeczywistych liczb zliczeń możliwa do osiągnięciaw praktyce, poprzez zastosowanie wysokiej jakości filtrów interferencyjnych o transmisjipowyżej 97%, obiektywu mikroskopowego o wyższej transmisji (90%), luster o mniejszychstratach oraz detektorów o wydajności kwantowej 65% wynosi ok. 65000 koincydencji/(snm mW), przy czym głównym ograniczeniem jest tu wydajność detektorów pojedynczychfotonów. Co prawda obecnie dostępne już są detektory oparte na nadprzewodnikach owydajnościach kwantowych bliskich 100% [141], są to jednak urządzenia skomplikowane,drogie, duże, a więc trudne do użycia w praktycznych zastosowaniach. Podana wartośćodnosi się do mocy pompy wprzęgniętej do falowodu; ze względu na wynoszącą ok. 50%wydajność wprzęgania pompy do falowodu, w stosunku do rzeczywistej potrzebnej mocypompy należy podane wartości wydajności zmniejszyć dwukrotnie.Należy zwrócić uwagę, że wielkości odnoszące się do bezwzględnych wartości mocy

4.2 Źródło par fotonów 87

wiązki pompującej są najprawdopodobniej obarczone błędem systematycznym wynikają-cym z niepewnej kalibracji używanego miernika mocy. Błąd ten może wynosić nawet do25% wartości mierzonej mocy.

4.2.5.1 Straty

Podany w tabeli 4.2 stosunek koincydencji do pojedynczych zliczeń pozwala na osza-cowanie strat, jakich doznają fotony fluorescencji parametrycznej. Jednakże stosunek tenwyznaczony w sposób opisany w poprzednim podrozdziale nie pozwala na łatwe rozsepa-rowanie wkładów do strat pochodzących z każdego z ramion. Aby rozdzielić te wkładyposłużono się metodą zaproponowaną po raz pierwszy przez Kłyszkę [142] a zrealizowanądoświadczalnie przez Rarity’ego [143] w latach 80. ubiegłego wieku.Metoda polega na zgromadzeniu strat w jednym z ramion układu — ramieniu wyzwa-

lającym, przy jednoczesnej minimalizacji strat w ramieniu sygnałowym, tak by wartośćwiększości strat w ramieniu sygnałowym była znana. Przyjmijmy liczbę par fotonów wy-twarzanych w falowodzie jako N0, całkowitą transmisję dla fotonów sygnałowych jako TS ,dla fotonów wyzwalających jako TT , a wydajności używanych detektorów jako η1 i η2. Wte-dy liczby zliczeń obserwowane na detektorach 1 i 2, odpowiednio w ramieniu sygnałowymNS oraz wyzwalającym NT , dane są przez:

NS = TSη1N0, NT = TT η2N0, (4.1)

gdzie założono, że detektor nr 1 został umieszczony w ramieniu sygnałowym. Liczba ko-incydencji będzie dana przez:

NC = TSTT η1η2N0. (4.2)

Z powyższych wyrażeń łatwo wyznaczyć wartość transmisji w ramieniu sygnałowym, eli-minując nieznaną transmisję w ramieniu wyzwalającym oraz nieznaną pierwotną liczbępar fotonów N0:

TS =NCη1NT

(4.3)

Wykorzystując równanie (4.3) możliwe jest, na podstawie pomiarów odpowiednich liczbzliczeń, wyznaczenie natężeniowego współczynnika transmisji dla fotonów sygnałowych.Tutaj wyniki pomiarów wykorzystane zostaną do oszacowania strat doznawanych przezfotony sygnałowe przy wyprzęganiu z falowodu oraz wewnątrz falowodu, które oznaczymyprzez ϵ. Będzie to wymagało wyznaczenia transmisji pozostałych elementów na drodzefotonu sygnałowego oraz oszacowania wydajności detektora pojedynczych fotonów.Aby wprowadzić asymetrię strat pomiędzy obydwoma ramionami układu dokonano

modyfikacji układu zbierania i zliczania fotonów. W ramieniu wyzwalającym światłowódwielomodowy zastąpiono jednomodowym, tak by mieć pewność, że partner każdego foto-nu, który został wprzęgnięty do światłowodu jednomodowego dozna tylko znanych strat,które potrafimy oszacować oraz tych, które chcemy wyznaczyć. Z tego samego powoduprzeniesiono filtr interferencyjny sprzed kostki PBS2 do ramienia T; użyto filtru o szero-kości połówkowej 0,8 nm. Dodatkowo wykorzystywano płytkę półfalową umieszczoną przedkostką polaryzującą PBS2 by móc zamienić rolami fotony H i V , dzięki czemu możliwebyło wyznaczenie współczynników transmisji TS niezależnie dla obydwu polaryzacji.Dla kilku wartości mocy wiązki pompującej zbierano liczby pojedynczych zliczeń oraz

koincydencji, w czasie 240 s. Ze względu na wprowadzoną asymetrię strat liczby zliczeńw ramieniu wyzwalającym były o ponad dwa rzędy wielkości mniejsze niż w ramieniusygnałowym, w którym straty ograniczono do minimum. W tabeli 4.3 zebrano uzyskanewartości NC/NT dla obydwu polaryzacji, po skorygowaniu ze względu na ciemne zliczenia ikoincydencje przypadkowe. Podano wartości uśrednione z wyników uzyskanych dla różnych

88 Źródło par fotonów

Polaryzacja H Polaryzacja VNC/NT detektor 1 17,3± 0,1% 17,6± 0,1%NC/NT detektor 2 24,3± 0,4% 24,7± 0,4%

η2/η1 1,40± 0,02 1,40± 0,02

Tab. 4.3: Stosunki koincydencji do pojedynczych zliczeń w ramieniu wyzwalającym dla polaryzacjiH i V fotonów sygnałowych oraz dla detektorów 1 lub 2 w ramieniu sygnałowym. η2/η1— stosunekwydajności detektorów.

Źródło strat T (%)

Odbicie fresnelowskie na granicy KTP-powietrze 92,3± 0,1Obiektyw Obj2 76,3± 0,2Lustra, λ/2 i PBS2 77± 3Wprzęganie do światłowodu wielomodowego 88± 3

Całkowita transmisja Ttot =∏i Ti 48± 3

Tab. 4.4: Natężeniowe współczynniki transmisji elementów na drodze fotonów sygnałowych, wrazz całkowitą transmisją Ttot.

mocy pompy. Jak widać wartości uzyskane dla obydwu polaryzacji są ze sobą zgodne wgranicach niepewności pomiarowych.Zgodnie z równaniem 4.3 wartości NC/NT są iloczynami transmisji TS oraz wydajności

detektora η1. Aby oszacować wydajności używanych detektorów pojedynczych fotonówwykonano również pomiary z zamienionym detektorami. Zamiany dokonano przełączająckońcówki światłowodów pomiędzy umieszczonymi blisko siebie detektorami. Ze stosunkuwielkości NC/NT dla obydwu konfiguracji detektorów możliwe jest wyznaczenie stosunkuwydajności detektorów η2/η1, podanego w tabeli. Stosunek ten jest nadspodziewanie duży— ma wartość 1,40. W związku z tym jako wydajności detektorów przyjęto wartościmożliwie bliskie skrajnym specyfikacjom podanym przez producenta (por. tab. 4.1): η1 =48%, η2 = 67%.Przy założeniu takich wydajności detektorów można zgodnie z równaniem (4.3) wy-

znaczyć transmisję TS jako 36± 4%, gdzie duża niepewność wynika z przyjętej jako ±5%niepewności wydajności detektora. W tabeli 4.4 zebrano zmierzone za pomocą makro-skopowej wiązki referencyjnej transmisje poszczególnych elementów na drodze fotonówsygnałowych. Uwzględniono też odbicie fresnelowskie na granicy KTP-powietrze. Jak wy-nika z tabeli straty pochodzące ze znanych źródeł mają wartość 52± 3%. Z wartości tychstrat oraz wartości TS uzyskujemy wartość nieprzypisanych strat ϵ = 25± 4%. Uzyskanawartość wskazuje na istnienie dodatkowego istotnego źródła strat w układzie, najpraw-dopodobniej w falowodzie oraz podczas wyprzęgania światła z niego. Prawdopodobnymiprzyczynami mogą być rozproszenia na krawędziach, niejednorodnościach i/lub uszkodze-niach powierzchni falowodu i/lub na niejednorodnościach struktury periodycznej inwersjidomen nieliniowych w falowodzie.Innym możliwym wyjaśnieniem różnicy pomiędzy wartością znanych strat a rzeczywi-

stymi obserwowanymi stratami jest obecność innego oprócz fluorescencji parametrycznejprocesu generującego fotony w zakresie widmowym rejestrowanym w ramieniu wyzwa-lającym. Procesem tym może być zwykła fluorescencja, o której obecności w falowodachPPKTP donoszono już w literaturze [38,144]. Proces taki zwiększałby liczbę pojedynczychzliczeń, nie zwiększając liczby koincydencji. Prowadziłoby to do pozornego wzrostu strat

4.2 Źródło par fotonów 89

podczas opracowywania danych pomiarowych z założeniem, że mamy do czynienia wy-łącznie z fluorescencją parametryczną. Na obecność takiego procesu wskazuje porównaniepodanych w tabeli 4.2 stosunków koincydencji do pojedynczych zliczeń uzyskanych z filtro-waniem oraz bez filtrowania widmowego. Ponadto dla pionowej (niewłaściwej) polaryzacjiniebieskiej wiązki pompującej obserwowano zanik koincydencji, przy zachowaniu znacz-nej liczby pojedynczych zliczeń, na poziomie 50% liczby pojedynczych zliczeń fotonów Hdla właściwej polaryzacji pompy oraz 30% dla fotonów V . Ta obserwacja też pośredniowskazuje na obecność innego niż fluorescencja parametryczna II typu źródła pojedynczychzliczeń.Wyznaczenie podanych w tym podrozdziale strat nie było podstawowym celem tej

pracy, stąd wyniki są z dużymi niepewnościami. Poziom strat oraz ich pochodzenie niesą dobrze przedyskutowane w literaturze dla źródeł opartych na falowodach PPKTP iwymagają dalszego, dokładniejszego zbadania.Układ opisany w tym podrozdziale można traktować jako układ sygnalizowanych poje-

dynczych fotonów. Używając detektora nr 2 w ramieniu sygnałowym uzyskuje się, zgodniez danymi w tabeli 4.3 wydajność sygnalizowania zliczeń pojedynczych fotonów bliską 25%.Przekłada się to na wydajność sygnalizowania obecności fotonu przed detekcją równą 36%.Ograniczenie strat w układzie poprzez użycie lepszych luster i obiektywu Obj2 o większejtransmisji pozwoliłoby zwiększyć tą wydajność do 40%.By omawiany układ był uznany za źródło pojedynczych fotonów musi zostać zweryfi-

kowane, że rzeczywiście wytwarzamy pojedyncze fotony, poprzez pomiar funkcji korelacjidrugiego rzędu. Pomiar ten wykraczał poza zakres tej pracy. Jednak wyniki innych grupbadawczych pokazują, że realizacja źródła sygnalizowanych pojedynczych fotonów opar-tego na falowodzie PPKTP jest możliwa [38,136,144].

4.2.5.2 Prawdopodobieństwo generacji pary

Rys. 4.9: Zależność prawdopodobieństwa ge-neracji pary przez impuls wiązki pompującejw zależności od mocy pompy dla oznaczonychzakresów spektralnych. • — wartości obliczo-ne bezpośrednio z liczb zliczeń; — wartościoszacowane na podstawie liczb koincydencji itransmisji układu.

Na podstawie równań (4.1) oraz (4.3) moż-na wyznaczyć całkowitą liczbę generowanychpar fotonów N0 jako:

N0 = NSNT /NC . (4.4)

W konfiguracji opisanej w poprzednim pod-rozdziale, gdzie foton sygnałowy nie podlegafiltrowaniu widmowemu, z powyższego równa-nia otrzymalibyśmy całkowitą liczbę par foto-nów wytwarzanych w szerokim zakresie spek-tralnym. Ponieważ interesującą nas wielkością(m. in. w rozdziale 6) będzie całkowita liczbafotonów wytwarzana w ograniczonym zakresiespektralnym, do jej obliczenia wykorzystamydane z pomiarów, w których oba fotony by-ły filtrowane widmowo w jednakowym stop-niu, tj. dane przedstawione na rys. 4.8. Po po-dzieleniu całkowitej liczny fotonów generowa-nych na sekundę przez częstość repetycji lase-ra pompującego (78 MHz) uzyskujemy prawdopodobieństwo generacji pary fotonów przezpojedynczy impuls laserowy. Obliczone wartości prawdopodobieństwa przedstawiono narys. 4.9. Pokazano tylko wyniki dla filtrów widmowych o paśmie 3,0 oraz 11,0 nm. Niepokazano wyników dla filtra 0,8 nm, gdyż ma on pasmo mniejsze niż szerokość widmo-wa warunku dopasowania fazowego. Powoduje to automatycznie niemożliwość osiągnięcia

90 Źródło par fotonów

100% stosunku koincydencji do pojedynczych zliczeń (por. rys. 6.5). Czyni to stosowanątutaj analizę, opartą efektywnie na stosunku koincydencji do pojedynczych zliczeń, analiząbezprzedmiotową. Przypadek filtru 0,8 nm omówiony zostanie w rozdz. 6.4.1. Dla filtrów oszerokościach 3,0 oraz 11,0 nm straty związane z różnym widmem fotonów zliczanych po-jedynczo i fotonów zliczanych w koincydencjach są znacznie mniejsze, stąd możemy użyćrównania (4.4).Przedstawione wartości zostały uzyskane przy założeniu, że wszystkie pojedyncze zli-

czenia pochodzą z fluorescencji parametrycznej. Ponieważ prawdopodobne jest, że częśćpojedynczych zliczeń pochodzi z innego procesu, przedstawiono też wartości wyznaczoneprzy założeniu, że straty w układzie detekcji mają wartość strat zmierzonych bezpośrednio.Straty te wyznaczono na podstawie transmisji poszczególnych elementów układu podanychw tab. (4.4) oraz transmisji filtra interferencyjnego. Liczby zliczeń NSPDCT i NSPDCS pocho-dzące z pewnością z fluorescencji parametrycznej wyznaczono na podstawie wyznaczonychw ten sposób strat oraz liczby koincydencji z równania (4.3) (oraz symetrycznego równa-nia dla NS). Wykorzystując te wartości całkowitą liczbę par fotonów można na podstawierównania (4.4) zapisać jako:

NSPDC0 =NC

TSTT η1η2. (4.5)

Obliczone na podstawie tej prawdopodobieństwa generacji pary na impuls przedstawionesą na rys. 4.9. Przedstawiono tylko wyniki dla filtrów o szerokościach 3,0 oraz 11,0 nm.Wyznaczone liczby pojedynczych zliczeń NSPDCT oraz NSPDCS stanowiły 50−70% wartościzmierzonych NT i NS . Na ich podstawie uzyskiwano prawdopodobieństwa ok. 2 do 3-krotnie mniejsze niż obliczone bezpośrednio ze zmierzonych liczb zliczeń.Ponieważ zmierzone bezpośrednio wartości transmisji nie uwzględniają wszystkich strat,

prawdopodobieństwa oszacowane na ich podstawie jest zaniżone. Należy je traktować jakodolne ograniczenie na rzeczywiste prawdopodobieństwo generacji pary fotonów, podob-nie jak prawdopodobieństwo obliczone bezpośrednio z liczb pojedynczych zliczeń należytraktować jako ograniczenie górne. Rzeczywiste prawdopodobieństwo leży pomiędzy tymidwiema wartościami. Ze względu na graniczny charakter tych wielkości na rysunku niepodano niepewności pomiarowych.

4.3 Podsumowanie

W niniejszym rozdziale przedstawiono konstrukcję i charakterystykę źródła par foto-nów fluorescencji parametrycznej II typu opartego na wielomodowym falowodzie PPKTP.Zademonstrowano metodę selektywnego sprzęgania wiązki pompującej do falowodu. Poka-zano, że wydajność źródła, po uwzględnieniu długości ośrodka nieliniowego, jest zbliżonado innych opublikowanych wydajności źródeł tego typu [59]. Dokonano analizy strat wukładzie źródła par fotonów. Przeprowadzona analiza wskazuje na prawdopodobną obec-ność dodatkowego procesu obok fluorescencji parametrycznej, generującego promieniowa-nie w obserwowanym zakresie spektralnym.

Rozdział 5

Pomiary jakości wiązki

W rozdziale tym przedstawione zostaną wyniki potwierdzające skuteczność zapropo-nowanego mechanizmu generacji par fotonów w modach podstawowych. W tym celu prze-prowadzono bezpośrednie pomiary jakości wiązek generowanych par fotonów, metodą po-miaru parametruM2. Najważniejsze uzyskane wyniki zostały opublikowane w czasopiśmieOptics Letters [71].

5.1 Metoda i układ doświadczalny

Aby wyznaczyć stopień wielomodowości wytwarzanych wiązek pojedynczych fotonówzdecydowano się na pomiar parametru jakości wiązki M2. Parametr ten jest stosunkiemkąta rozbieżności rzeczywistej wiązki światła do kąta rozbieżności idealnej wiązki gaus-sowskiej o tej samej średnicy przewężenia. W sposób oczywisty wynika z tego, że idealnejwiązce gaussowskiej odpowiadaM2 = 1, a wiązkom z udziałem wyższych modówM2 > 1.Parametr M2 wyznacza się na podstawie pomiaru zależności szerokości wiązki od po-

łożenia wzdłuż kierunku propagacji z. Szerokości wiązki określa się na podstawie drugiegomomentu poprzecznego rozkładu natężenia światła [145, 146], dla dwóch prostopadłychkierunków, danego wyrażeniem

σ2x =

∫∞−∞ dx dy (x− x0)2I(x,y)∫∞

−∞ dxdy I(x,y), (5.1)

gdzie x0 jest położeniem „środka masy” wiązki w kierunku x:

x0 =

∫∞−∞ dxdy xI(x,y)∫∞−∞ dx dy I(x,y)

. (5.2)

Wartość σy (dla prostopadłego kierunku) wyraża się analogicznie. W ogólności wyznacze-nie wartości drugich momentów rozkładu natężenia wymaga zmierzenia pełnego dwuwy-miarowego rozkładu natężenia w kierunkach poprzecznych. Jednakże dla wiązek o wyróż-nionych kierunkach zgodnych z używanym układem odniesienia (z którymi ze względu nageometrię falowodu będziemy mieli tu do czynienia) można wyrazić parametr σ2x (σ

2y) za

pomocą natężenia brzegowego IX(x) =∫∞−∞ dy I(x,y):

σ2x =

∫∞−∞ dx (x− x0)2IX(x)∫∞

−∞ dx IX(x), (5.3)

gdzie x0 także analogicznie wyraża się przez natężenie brzegowe.Szerokość wiązki W definiuje się jako W = 2σ — w szczególności dla idealnej wiązki

gaussowskiej szerokość ta odpowiada standardowo przyjętej szerokości wiązki gaussowskiej

92 Pomiary jakości wiązki

Rys. 5.1: Schemat układu doświadczalnego do pomiaru parametruM2. Elementy układu do kostkipolaryzującej PBS2, wraz z ramieniem wyzwalającym T są jednakowe jak w układzie przedstawio-nym na rys. 4.4. W ramieniu sygnałowym S umieszczono soczewkę L1 wytwarzająca przewężeniewiązki wykorzystywane do pomiaru M2 za pomocą ostrza wsuwanego w poprzek wiązki.

w. Ewolucja tak zdefiniowanej szerokości wiązki podczas propagacji w próżni wzdłuż osiz dana jest dla dowolnego poprzecznego rozkładu natężenia równaniem [146]:

W 2i (z) =W2i0 +M

4i

(λ

πWi0

)2(z − zi0)2, i = x, y , (5.4)

gdzie zi0 jest położeniem przewężenia wiązki w danym kierunku poprzecznym o szerokościWi0. Parametrem tego równania jest poszukiwany parametr jakości wiązki M2. Dla M2 =1 równanie sprowadza się do równania opisującego propagację wiązki gaussowskiej.Dla wiązek o makroskopowych natężeniach do pomiaru parametru M2 typowo wy-

korzystuje się rozkłady natężenia zmierzone bezpośrednio za pomocą matrycy CCD. Dlawiązek o bardzo małych natężeniach można wykorzystać kamery z czułością pojedynczychfotonów typu ICCD (Intensified CCD) lub EMCCD (Electron Multiplying CCD) [70]. Jed-nakże rozważany tutaj schemat wytwarzania fotonów w czystym modzie poprzecznym jestschematem warunkowym: czyste poprzecznie są tylko fotony zarejestrowane w koincyden-cji z fotonem wyzwalającym, przy czym wymagane jest okno koincydencji o szerokościnanosekundowej (por. tab. 4.1). Ponieważ wykorzystanie kamer ICCD / EMCCD byłoniemożliwe ze względu na ich zbyt małą szybkość, zdecydowano się na zastosowanie rzad-ko już wykorzystywanej dla wiązek makroskopowych metody ostrzowej. Dla każdego zpołożeń wzdłuż osi z wiązkę stopniowo zasłaniano wsuwanym poprzecznie ostrzem noża,jednocześnie rejestrując natężenie przechodzącego światła. W ten sposób dokonywano po-miaru zależności liczby zliczeń fotonów od położenia x ostrza noża wsuwanego w poprzekwiązki. Na podstawie zebranej w ten sposób zależności możliwe było obliczenie szerokościwiązki w sposób opisany poniżej. Wybór położeń wzdłuż osi z właściwych do wiarygod-nego pomiaru parametru M2 określa norma [145]. Zgodnie z normą, w celu wyznaczeniaparametruM2 wiązki światła należy dokonać pomiaru szerokości wiązki w przynajmniej 5punktach znajdujących się wewnątrz zasięgu Rayleigha wiązki oraz w przynajmniej pięciupunktach położonych poza dwukrotnością zasięgu Rayleigha.W celu dokonania pomiarów parametru M2 zmodyfikowano opisany w poprzednich

podrozdziałach układ źródła uzupełniając go o dodatkowe elementy (rys. 5.1). RamięT było nadal traktowane jako ramię wyzwalające, natomiast w ramieniu sygnałowym Sdokonywany był pomiar parametru M2 fotonów sygnalizowanych. Filtr interferencyjnyIF3 o szerokości połówkowej 11 nm był umieszczony wyłącznie w ramieniu T — fotonysygnalizowane S nie podlegały żadnemu filtrowaniu widmowemu. Możliwe było równieżprzeniesienie filtra interferencyjnego przed kostkę polaryzującą PBS2, tak by filtrować obieskładowe polaryzacyjne (tj. oba fotony pary). Przed kostką polaryzującą umieszczona byłarównież płytka półfalowa, umożliwiająca zamianę ról pomiędzy fotonami pary, tzn. pomiar

5.2 Wyniki pomiarów i dyskusja 93

parametru M2 zarówno dla fotonów H oraz V .W ramieniu wyzwalającym wiązka była ogniskowana za pomocą soczewki asferycznej

i kierowana za pomocą światłowodu jednomodowego do detektora SPCM — analogiczniejak dla pomiarów jasności źródła opisanych w podrozdziale 4.2.2. Aby zmierzyć parametrM2 wiązki w ramieniu S wytworzono dodatkowe przewężenie ogniskując wiązkę za po-mocą soczewki L1 o ogniskowej 150 mm. Średnica uzyskanego w ten sposób przewężeniawynosiła 2W ≈ 100 µm, co odpowiada zasięgowi Rayleigha zR ok. 10 mm dla wiązki gaus-sowskiej. Za przewężeniem wiązka była ponownie kolimowana, za pomocą kolejnej soczewkio ogniskowej 150 mm, po czym sprzęgana do światłowodu wielomodowego i kierowana dodetektora, analogicznie jak w ramieniu T. Układ koincydencyjny pozostał niezmienionyw stosunku do poprzednich pomiarów. Na odcinku pomiędzy soczewkami ogniskującą ikolimującą wzdłuż wiązki umieszczona była szyna, wzdłuż której przesuwany był modułumożliwiający wsuwanie ostrza noża w wiązkę, w płaszczyźnie prostopadłej do kierunkupropagacji. Ostrze zamontowane było na stoliku przesuwnym sterowanym silnikiem kro-kowym (z krokiem przesuwu 2 µm). Ostrze wraz ze stolikiem przesuwnym zamocowanebyło w sposób umożliwiający wsuwanie go w wiązkę zarówno w kierunku pionowym (x)jak i poziomym (y).

5.2 Wyniki pomiarów i dyskusja

Podstawową serię pomiarów przeprowadzono dla fotonów sygnalizowanych nie pod-legających żadnemu filtrowaniu: filtrowanie widmowe zachodziło wyłącznie w ramieniuwyzwalającym (T). Przed rozpoczęciem pomiarów, korzystając z wiązki referencyjnej imatrycy CCD, ustalono orientacyjne położenie przewężenia za soczewką L1 w ramieniuS oraz upewniono się, że wyższe mody poprzeczne falowodu sprzęgają się wydajnie doświatłowodów wielomodowych w obydwu ramionach.Pomiarów dokonywano wykorzystując niebieską wiązkę pompującą o mocy 50 µW

wprzęgniętej do falowodu. Rejestrowano ok. 80 000 zliczeń w ramieniu wyzwalającym, ok.5 · 105 zliczeń w ramieniu sygnałowym oraz ok. 12 000 koincydencji.Pomiar polegał na umieszczeniu ostrza zamocowanego na stoliku przesuwnym w wy-

branym punkcie z wzdłuż wiązki i stopniowym wsuwaniu ostrza poprzecznie w wiązkę, copowodowało jej zasłonięcie. Dla każdego położenia ostrza rejestrowano liczbę koincydencjii liczbę pojedynczych zliczeń w ramieniu S przez 20 s. Używano opisanej w rozdziale 4.2.5korekcji liczby zliczeń względem fluktuacji natężenia pompy. Położenia ostrza wybieranotak, by wyznaczyć wiarygodnie zarówno minimalne jak i maksymalne liczby zliczeń, a tak-że odpowiednio gęsto próbkować spadek liczby zliczeń podczas zasłaniania wiązki. Punktypomiarowe wzdłuż kierunku z wybrano tak, by przynajmniej 5 punktów znajdowało sięwewnątrz zasięgu Rayleigha wiązki, a dalsze 5 poza dwukrotnością zasięgu Rayleigha.Pomiary przeprowadzono dla wiązek H i V (wybierając daną wiązkę za pomocą płytkipółfalowej umieszczonej przed kostką polaryzującą), dla kierunku poziomego i pionowegowzględem stołu optycznego. W trakcie pomiarów stale monitorowano na matrycy CCDrozkład natężenia wiązki pompującej w falowodzie.Na podstawie uzyskanych z pojedynczego skanu ostrza w poprzek wiązki danych na

temat zależności liczby koincydencji lub pojedynczych zliczeń od położenia poprzecznego(odpowiednio NC(x), NS(y) oraz NC(y), NS(y)) dokonywano estymacji szerokości wiązkiW . Mierzone wartości liczb zliczeń N są powiązane z dwuwymiarowym rozkładem natę-żenia I(x,y) zależnością:

N(x) ∝∫ x−∞dx′

∫ ∞−∞dy′ I(x′,y′) =

∫ x−∞dx′IX(x′), (5.5)

94 Pomiary jakości wiązki

gdzie dla ustalenia uwagi przyjęto kierunek przesuwu ostrza wzdłuż osi x, IX(x) jest brze-gowym rozkład natężenia w kierunku x. Zgodnie z równaniem (5.3) można na podstawieznajomości natężenia brzegowego Ix(x) wyznaczyć szerokość wiązki w danym kierunku,odpowiednio Wx lub Wy.Przed rozpoczęciem analizy danych pomiarowych od danych dla pojedynczych zliczeń

odejmowano zmierzony dla wiązki całkowicie zasłoniętej przez ostrze poziom ciemnychzliczeń, a dla koincydencji odejmowano obliczony na podstawie pojedynczych liczb zliczeńoraz długości okna koincydencji poziom koincydencji przypadkowych.Zagadnienie znalezienia IX(x) bądź pochodnych wartości x0 i σx na podstawie znajo-

mości zmierzonych wartości N(x) jest analogiczne do znalezienia na podstawie znajomościdystrybuanty postaci rozkładu prawdopodobieństwa oraz wartości jego pierwszego i dru-giego momentu. Dokonując całkowania przez części definicji σx i x0, wielkości te możnaanalitycznie wyrazić przez odpowiednie całki zN(x). Niestety wartości uzyskane tą metodąbyły bardzo podatne na szum obecny w mierzonych wartościach N(x). Użycie tej metodyskutkowało kumulacją niepewności pomiarowych pochodzących od każdego punktu pomia-rowego. Dla koincydencji, dla których szum wynikający ze statystycznego rozkładu liczbyzliczeń fotonów odgrywał istotną rolę, powodowało to częste uzyskiwanie absurdalnychwartości σx i x0.W związku z tym zdecydowano się na sposób wyznaczania wielkości x0 oraz σx wy-

korzystujący model fizyczny zjawiska. Rozkład natężenia brzegowego Ix(x) estymowanopoprzez dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów odpowiedniej funkcji do zmierzo-nych zależności N(x)/N(y), co pozwalało na zredukowanie wpływu szumu liczb zliczeń.Najodpowiedniejsze byłoby tu użycie funkcji o postaci odpowiadającej funkcjom modo-wym falowodu PPKTP. Nie mają one jednak postaci analitycznej. Zbliżoną postać mająanalityczne funkcje modowe dla falowodu planarnego o eksponencjalnym profilu współ-czynnika załamania [129]. Wyrażają się one jednak przez funkcje Bessela od argumentubędącego funkcją eksponencjalną. Wg mojej najlepszej wiedzy wyznaczenie analitycznecałek postaci (5.5) dla tych funkcji jest niemożliwe.W związku z powyższym zdecydowano się na wykorzystanie jako zestawu funkcji do-

pasowania zbioru funkcji opartych na funkcjach modowych Gaussa-Hermite’a. Funkcje temiały postać:

fn(x) =n∑0

∫ ∞−∞dx′ anH2n

(√2(x− x0,n)W 2n

)e−2(x

′−x0,n)2/u2n , (5.6)

gdzie przez H(x) oznaczono wielomiany Hermite’a, a przez an, x0,n, un — parametry do-pasowania. Funkcje modowe Gaussa-Hermite’a opisują dobrze rozkłady natężenia wytwa-rzane przez struktury symetryczne. Wtedy wartości parametrów x0,n i un są jednakowe dlawszystkich członów sumy (nie zależą od n). Aby uwzględnić asymetrię funkcji modowychfalowodu PPKTP (por. rys. 2.4) pozwolono na dopasowywanie wartości parametrów x0,ni un niezależnie dla każdego członu sumy. Umożliwiło to uzyskanie potrzebnej asymetriifunkcji fn(x).Całki z iloczynów wielomianów Hermite’a i funkcji gaussowskich można łatwo (przez

całkowanie przez części) wyrazić za pomocą prostych funkcji analitycznych oraz funkcjibłędu erf(x). W szczególności funkcja f0(x) dana jest bezpośrednio przez funkcję błędu:

f0(x) = a0erf

(√2(x− x0,0)

u0

). (5.7)

Ponieważ funkcja błędu jest całką postaci (5.5) z funkcji gaussowskiej: erf(x) = (2/√π)∫ x−∞ dx

′ exp(−x′2),funkcja ta będzie dobrze opisywać dane uzyskane dla gaussowskiego rozkładu natężenia.

5.2 Wyniki pomiarów i dyskusja 95

Rys. 5.2: Przykładowe zależności liczby koincydencji (•) oraz pojedynczych zliczeń () od położe-nia ostrza noża. (a) Dane uzyskane dla niebieskiej wiązki pompującej w modzie podstawowym, wrazz dopasowaną funkcją f0(x) do liczby koincydencji (linia ciągła) oraz funkcją f2(x) do pojedynczychzliczeń (linia przerywana). (b) Dane dla wiązki pompującej niebędącej w modzie podstawowym,wraz z dopasowanymi funkcjami f4(x). Aby ułatwić porównywanie rozkładów dla koincydencji ipojedynczych zliczeń, ich wartości unormowano do przedziału [0,1]. Dla koincydencji zaznaczonosłupki błędów. Dla pojedynczych zliczeń niepewności są mniejsze niż rozmiar użytego symbolu.

Procedura wyznaczania szerokości wiązki z wykorzystaniem funkcji fn(x) przedstawia-ła się następująco. Dopasowywanie rozpoczynano zawsze od funkcji o najprostszej postaci,tj. od f0(x). Po dokonaniu dopasowania sprawdzano jego jakość, w szczególności spraw-dzano czy wartość rezyduów dopasowania funkcji jest porównywalna z wartościami nie-pewności pomiarowych dla poszczególnych punktów. Oceniano również losowość rozkładurezyduów. Jeśli uznano dopasowanie za zadowalające, jako szerokość wiązki przyjmowanoparametr u0 dopasowanej funkcji.W przypadku braku zadowalającego dopasowania dopasowywano kolejne funkcje fn,

zwiększając n, aż do uzyskania dobrego dopasowania, o losowo rozłożonych rezyduach, owartościach porównywalnych z niepewnościami pomiarowymi dla odpowiednich punktówpomiarowych. Tak uzyskane dopasowanie różniczkowano uzyskując estymatę brzegowegorozkładu natężenia IX(x). Na podstawie tej estymaty numerycznie obliczano całki (5.3)potrzebne do wyznaczenia szerokości wiązki.Niepewności szerokości wiązki otrzymywano metodą Monte-Carlo, zaburzając gaus-

sowsko zmierzone liczby zliczeń i kilkusetkrotnie powtarzając rekonstrukcję szerokościwiązki.Wykonano pomiary szerokości wiązek w kierunku pionowym (x) i poziomym (y) za-

równo dla fotonów H jak i V , dla niebieskiej wiązki pompującej w modzie bliskim pod-stawowemu. Rejestrowano zarówno fotony sygnalizowane (koincydencje), jak i pojedynczezliczenia, odpowiadające rejestracji próbki wszystkich fotonów w ramieniu sygnałowym.Ponadto dokonano pomiarów z wiązką pompującą wprzęgniętą do wyższych modów falo-wodu (wzbudzonych w kierunku pionowym). W tym przypadku wykonano tylko pomiaryszerokości wiązki w kierunku pionowym.Dla większości pomiarów w koincydencjach przeprowadzonych z wiązką pompującą

wprzęgniętą do modu podstawowego falowodu otrzymywano dane, które dobrze dopaso-wywane były funkcją f0(x), a więc pochodzące z bliskiego gaussowskiemu rozkładu na-tężenia. Dopasowania dla pojedynczych zliczeń wymagały użycia wyższych funkcji fn(x),gdyż ze względu na brak filtrowania widmowego w ramieniu sygnałowym rejestrowanebyły również istotne przyczynki od wyższych modów. Użycie wyższych funkcji fn(x) by-ło również konieczne dla pomiarów przeprowadzonych z wielomodową wiązką pompującą.

96 Pomiary jakości wiązki

Rys. 5.3: Zmierzone zależności Wi(z) dla koincydencji (•) oraz pojedynczych zliczeń (), dla jed-nomodowej wiązki pompującej, wraz z dopasowanymi krzywymi postaci (5.4). Krzyżykami orazlinią kropkowaną zaznaczono dane zmierzone przy niejednomodowym wprzęganiu wiązki pompu-jącej, wraz z dopasowaną krzywą propagacji. Wartości parametrów M2 wynikające z dopasowaniapodano w tabeli 5.1. Słupki błędów, o ile nie zaznaczono inaczej, mają rozmiar porównywalny zrozmiarem użytego symbolu.

Przykładowe zmierzone zależności NC(x) oraz NS(x) wraz z dopasowanymi odpowiednimifunkcjami fn(x) przedstawiono na rysunku 5.2. Rysunek 5.2(a) przedstawia zależność dlawiązki pompującej w modzie podstawowym, dla której rozkład liczby koincydencji dobrzeopisywany jest funkcją f0(x). Na rysunku (b) przedstawiono zależności uzyskane dla wiąz-ki pompującej wprzęgniętej do falowodu jako superpozycja kilku modów przestrzennych.Widoczna jest wyraźna wielomodowość rozkładu natężenia.Po wyznaczeniu wystarczającej liczby wartości W (z), do danych dopasowywano krzy-

wą opisaną równaniem (5.4). Z parametrów dopasowania odczytywano wartość parametruM2 oraz niepewność pomiaru. Zmierzone zależności dla obu polaryzacji wiązek i obu kie-runków przedstawione są na rys. 5.3, a uzyskane wartości parametru M2 w tabeli 5.1. Jakwidać, zmierzone wartości dla fotonów sygnalizowanych (koincydencji) są bliskie idealnejwartości 1, co potwierdza, że wiązki są w znacznym stopniu jednomodowe. W kierunkupoziomym, ze względu na symetrię falowodu oczekiwana idealna wartość M2 jest bardzobliska jedności. W kierunku pionowym spodziewana jest wartośćM2 nieznacznie wyższa od1 ze względu na asymetrię modu podstawowego falowodu w tym kierunku (por. rys. 6.4).Uzyskane wyniki są zgodne z tymi oczekiwaniami, przy czym bliższe idealnym wartościomsą wyniki dla polaryzacji V . Wynik ten jest zgodne ze strukturą warunku dopasowaniafazowego przedstawioną na rys. 4.3 — funkcje dopasowania fazowego zawierające wyższemody o polaryzacji H przekrywają się bardziej z obserwowanym zakresem widmowym niżfunkcje zawierające wyższe mody o polaryzacji V , szczególnie dla modu 10V wzbudzonegow kierunku poziomym.Dla polaryzacji H dokonano dodatkowych pomiarów, z filtrowaniem widmowym w

obydwu ramionach. Uzyskano nieznaczne obniżenie wartości M2, prawdopodobnie spowo-dowane dokładniejszym wprzęgnięciem wiązki pompującej do modu podstawowego.Dla obydwu polaryzacji widoczna jest znacznie większa wartość parametru M2 dla

pojedynczych zliczeń. Jest to zgodne z oczekiwaniami, gdyż, jak już wspomniano wcze-

5.3 Podsumowanie 97

Polaryzacja V H

Kierunek pionowy x poziomy y pionowy x poziomy y

Pompa w modzie podstawowym:Fotony sygnalizowane 1,1± 0,1 0,98± 0,05 1,15± 0,1 1,1± 0,1Wszystkie fotony 3,9± 0,4 2,1± 0,3 4,1± 0,4 3,2± 0,3

Pompa wielomodowa:Fotony sygnalizowane 1,2± 0,2 – 3,6± 0,3 –Wszystkie fotony 4,0± 0,4 – 4,3± 0,4 –

Tab. 5.1: Wartości parametrówM2 dla pól H oraz V w dwóch prostopadłych kierunkach. Podanowartości dla fotonów sygnalizowanych (koincydencji) oraz dla wszystkich rejestrowanych fotonów(pojedynczych zliczeń w ramieniu S).

śniej, ze względu na brak filtrowania widmowego w ramieniu sygnałowym, pojedynczezliczenia rejestrowane są z szerokiego zakresu widmowego odpowiadającego różnym mo-dom przestrzennym. Większa wartośćM2 dla pojedynczych zliczeń w kierunku pionowymw porównaniu z kierunkiem poziomym jest zgodna z większą liczbą modów wzbudzonychw kierunku pionowym podtrzymywanych przez falowód.Aby potwierdzić eksperymentalnie konieczność wprzęgania wiązki pompującej do mo-

du podstawowego dokonano również pomiarów z wielomodową wiązką pompującą. W tymcelu zoptymalizowano sprzęganie wiązki pompującej do falowodu maksymalizując wprzę-ganiętą moc, a nie jakość wzbudzania modu podstawowego. Uzyskano w ten sposób roz-kład natężenia na wyjściu z falowodu odpowiadający superpozycji modów 01B, 02B, 00B.Dla tak przygotowanej pompy zmierzono parametr M2 w kierunku pionowym (z symetriiwzbudzonego modu pompy wynika niemożliwość efektywnego wytwarzania par fotonów wwyższych modach wzbudzonych w kierunku poziomym), dla obu wiązek: H i V . Wyni-ki przedstawione są na rys. 5.3. Widoczny jest znaczny wzrost wartości M2 dla fotonówo polaryzacji H. Dla fotonów o polaryzacji V wzrost jest nieznaczny. Różnicę częściowomożna wytłumaczyć różnym stopniem przekrycia widmowego funkcji dopasowania fazo-wego zawierających odpowiednio mody 02H i 02V z obserwowanym zakresem spektralnym(por. rys. 4.3). Położenia pasm przedstawione na rysunku są bardzo wrażliwe na niewiel-kie zmiany ich centralnej długości fali — niewykluczone, że pasmo 01B ↔ 02V + 00Hprzesunięte jest nieco dalej od pasma podstawowego, co lepiej tłumaczyłoby obserwowanąasymetrię. Niemniej jednak wynik ten wskazuje, że fotony o polaryzacji V dla badanegofalowodu są lepszymi kandydatami na fotony sygnalizowane niż fotony o polaryzacji H.

5.3 Podsumowanie

Wykorzystując metodę ostrzową wykonałem pomiary parametru jakości wiązki M2 wukładzie sygnalizowanych pojedynczych fotonów. Uzyskałem wartości bliskie idealnej war-tości 1, co świadczy o dużym stopniu jednomodowości generowanych fotonów. Uwidocz-niona została wyraźna różnica jakości wiązek sygnalizowanych fotonów i wiązek fotonówrejestrowanych pojedynczo. Pokazany został również wpływ sposobu wprzęgania wiązkipompującej do falowodu na profil przestrzenny pola fluorescencji parametrycznej.Uzyskane wyniki potwierdzają, że możliwe jest wykorzystanie wielomodowego falowo-

du do generacji par fotonów w czystych modach poprzecznych. Obserwowana kilkuprocen-towa domieszka wyższych modów może zostać wyeliminowana przez dalszą optymalizacjęsprzęgania wiązki pompującej do falowodu, poprzez jej filtrowanie przestrzenne za pomocą

98 Pomiary jakości wiązki

światłowodu jednomodowego i ew. kompensację astygmatyzmu lub dopasowanie eliptycz-ności wiązki dokładnie do kształtu modu podstawowego falowodu. Niemniej jednak wynikiprzedstawione w podrozdziale 5.2 pokazują słuszność zaproponowanego schematu wyborujednomodowej pracy źródła oraz wagę sposobu sprzęgania wiązki pompującej.

Rozdział 6

Źródło splątanych par fotonów

6.1 Wstęp

W niniejszym rozdziale opiszę konstrukcję i scharakteryzuję doświadczalnie źródło po-laryzacyjnie splątanych par fotonów oparte na falowodzie PPKTP.

6.1.1 Splątanie – wprowadzenie

Splątanie kwantowe jest jednym z najbardziej doniosłych zjawisk przewidywanychprzez mechanikę kwantową. Rozważmy układ złożony z kilku odrębnych podukładów.Mechanika kwantowa przewiduje istnienie stanów układu, których własności kolektyw-ne są ściśle określone, a własności podukładów całkowicie losowe. Intrygujące jest to, żewłasności układu jako całości nie mogą być wtedy w pełni określone przez własności po-dukładów. Stan takiego układu, który nie może być opisany jako mieszanina statystycznadobrze określonych stanów podukładów nazywamy stanem splątanym.Przewidywanie przez mechanikę kwantową istnienia stanów splątanych, czyli fakt, że

dwa osobne układy kwantowe, które w przeszłości oddziaływały za sobą, są opisywanełączną funkcją falową, która nie musi być faktoryzowalna ze względu na podukłady, zostałdostrzeżony już przez Schrodingera. Zauważył on również, że w związku z tym „wiedza opojedynczym podukładzie może stać się bardzo ograniczona, może spaść nawet do zera,podczas gdy wiedza o całym układzie pozostaje stale na maksymalnym poziomie” [2]. Tana pierwszy rzut oka przecząca zdrowemu rozsądkowi cecha układów kwantowych powo-duje, że znajdują one zastosowanie w praktycznych aplikacjach, takich jak kryptografiakwantowa [12] i metrologia wspomagana kwantowo [13].Nieintuicyjne własności stanów splątanych ujawniają się, gdy dokonamy pomiaru na

jednym z podukładów. Na przykład dla stanu singletowego, który jest przykładem stanu wpełni splątanego, pomiar polaryzacji w jednym z podukładów automatycznie determinujewartość tej wielkości dla drugiego podukładu, pomimo że wielkość ta dla pojedynczegopodukładu przed dokonaniem pomiaru pozostawała nieokreślona. Dzieje się tak niezależnieod wyboru bazy pomiarowej i wyniku pomiaru.W swojej publikacji z 1935 r. Eintein, Podolsky i Rosen [3] nie zgodzili się z wyni-

kającą z mechaniki kwantowej nieokreślonością wyników pomiarów w podukładach przyjednoczesnym zachowaniu pełnych korelacji pomiędzy nimi. Zaproponowali, że mechanikakwantowa powinna zostać uzupełniona o tzw. elementy lokalnego realizmu — pewne ukry-te zmienne, których wartości ustalone podczas uprzedniego oddziaływania podukładówdeterminowałyby wyniki wszystkich możliwych przyszłych pomiarów. Zapewniałoby tozgodność interpretacji z założeniami lokalnego realizmu: założeniem, że wyniki pomiarówsą określone przed wykonaniem pomiarów oraz założeniem, że wyniki te zależą wyłącznie

100 Źródło splątanych par fotonów

od najbliższego (lokalnego) otoczenia punktu, w którym wykonywany jest pomiar. W 1964Bell opublikował nierówności, za pomocą których pokazał, że korelacje kwantowomecha-nicznego stanu splątanego dwóch spinów 1/2 przeczą założeniom lokalnego realizmu [147].W kolejnych latach Freedman i Clauser [148] oraz Aspect i wsp. [9], wykorzystując po-laryzacyjny stopień swobody pojedynczych fotonów, zademonstrowali eksperymentalnieistnienie takich korelacji, jednocześnie dokonując pierwszych doświadczalnych realizacjistanów splątanych.Dotychczas pokazano doświadczalnie obecność splątania w szeregu układów fizycznych,

dla różnych stopni swobody. Należy tu wymienić liczne eksperymenty dla fotonów [55,149],demonstrację splątania pomiędzy pojedynczym atomem a fotonem [150], pomiędzy dwomaodległymi atomami [151], splątanie pomiędzy wzbudzeniami fononowymi w diamencie[152], pomiędzy wzbudzeniami w gorących parach atomowych [153] oraz wielowymiarowesplątanie pomiędzy spułapkowanymi jonami [154]. Pomimo rozwoju źródeł splątanychpar fotonów opartych na kropkach kwantowych [32], nadal ich niedoścignionym źródłempozostaje proces fluorescencji parametrycznej [149].W zdecydowanej większości realizacji eksperymentalnych źródeł par splątanych foto-

nów w celu zwiększenia spójności pomiędzy fotonami wykorzystywano filtrowanie prze-strzenne za pomocą światłowodów jednomodowych. Tutaj pokażemy jedną z nielicznychrealizacji źródła polaryzacyjnie splątanych par fotonów bez wykorzystania filtrowania prze-strzennego za pomocą struktur jednomodowych.

6.2 Źródło par splątanych

6.2.1 Konwencje

Rys. 6.1: Oznaczenia modów wej-ściowych i wyjściowych płytki świa-tłodzielącej. Oznaczenia a i b odno-szą się odpowiednio do modów o po-laryzacji H i V .

Ponieważ w tym rozdziale pisał będę o splątaniupolaryzacyjnym, wielokrotnie pojawiać się będą ozna-czenia różnych stanów polaryzacji. Za pomocą H i Vbędę jak dotychczas oznaczał wyróżnione polaryzacjefalowodu, pionową i poziomą. Przez D i A będę ozna-czał polaryzacje diagonalną i antydiagonalną (liniowąpod kątem ±45), a za pomocą L i R polaryzacje ko-łowe lewo- i prawoskrętną.W tym rozdziale pisząc o modach promieniowania

będę rozumiał dowolny stan własny pola elektrycznegow opisywanym układzie, włączając mody przestrzenne,widmowe i polaryzacyjne. W szczególności przez modyprzestrzenne będę rozumiał mody wejściowe i wyjścio-we płytki światłodzielącej. W przypadku odnoszenia siędo modów poprzecznych falowodu będę to wyraźnie za-znaczał.

6.2.2 Metoda

Przedstawione dotychczas wyniki wyraźnie wskazują, że skonstruowane źródło fluore-scencji parametrycznej emituje fotony w modach poprzecznych bliskich podstawowemu.Sugeruje to możliwość realizacji na jego podstawie prostego źródła polaryzacyjnie spląta-nych par fotonów.Wykorzystując pary ortogonalnie spolaryzowanych fotonów można uzyskać stan splą-

tany polaryzacyjnie w niezwykle prosty sposób: za pomocą niepolaryzującej płytki świa-tłodzielącej, metodą po raz pierwszy zrealizowaną przez Shiha i Alleya w 1988 roku [35].

6.2 Źródło par splątanych 101

Używając falowodów PPKTP Zhong i wsp. [135] zademonstrowali generację stanówsplątanych polaryzacyjnie metodą Shiha-Alleya. Jednak, w przeciwieństwie do wynikówprzedstawianych tutaj, w pracy Zhonga wykorzystano laser pompujący pracy ciągłej, sto-sowano filtrowanie przestrzenne za pomocą światłowodów jednomodowych oraz produko-wano fotony na telekomunikacyjnych długościach fali. Ponadto dotychczas wykorzystującfalowody PPKTP wygenerowano również stany splątane w stopniach swobody widmowymi czasowym [137,155].Załóżmy, że para fotonów spolaryzowanych liniowo pada na port wejściowy a1, b1 (por.

rys. 6.1) płytki światłodzielącej o amplitudowych współczynnikach transmisji tH,V i od-bicia rH,V , odpowiednio dla polaryzacji H i V . Ponieważ drugi port wejściowy pozostajenieoświetlony możemy stan padający na płytkę światłodzielącą zapisać jako:

|Φin⟩ = |1a11b10a20b2⟩, (6.1)

gdzie zaznaczono liczbę fotonów w każdym z 4 modów polaryzacyjno-przestrzennych nawejściu. Przypomnijmy, że mody oznaczane przez amają polaryzacjęH, a mody oznaczaneprzez b — V .Na podstawie macierzy opisujących działanie płytki światłodzielącej dla obydwu po-

laryzacji: (a3

a4

)=

(tH rHrH −tH

)(a1

a2

),

(b3

b4

)=

(tV rVrV −tV

)(b1

b2

), (6.2)

możemy wypisać stan w na wyjściu (w 4 modach polaryzacyjno-przestrzennych):

|Φout⟩ = N ′ (tHtV |1a31b30a40b4⟩+ rHrV |0a30b31a41b4⟩ + (6.3)

− tHrV |1a30b30a41b4⟩ − tV rH |0a31b31a40b4⟩) ,

opisujący 4 kombinacje powstałe w wyniku możliwości niezależnego odbicia lub przejściapojedynczego fotonu dla każdej z 2 polaryzacji. N ′ jest stałą normalizacyjną, której niebędziemy tu wypisywać. Rzutując powyższy stan na przypadek, w którym w obydwuportach wyjściowych 3 i 4 znajduje się przynajmniej jeden foton (odpowiadający rejestracjikoincydencji), otrzymujemy po znormalizowaniu:

|Φ′out⟩ = N (tHrV |1a30b30a41b4⟩+ tV rH |0a31b31a40b4⟩) , (6.4)

gdzie stała normalizacyjna N = 1/√|tHrV |2 + |tV rH |2. Pomijając w zapisie mody nieob-

sadzone i korzystając z ogólnie przyjętej konwencji, według której symbol H (V ) oznaczajeden foton polaryzacji H (V ), a oznaczenie modu zastępujemy pozycją w kecie, otrzymu-jemy:

|Φ′out⟩ = N (tHrV |HV ⟩+ tV rH |V H⟩) , (6.5)

DlatHrV = tV rH (6.6)

uzyskany stan jest jednym z maksymalnie splątanych stanów Bella.Kluczową cechą całkowicie splątanych stanów Bella są pełne korelacje pomiędzy stana-

mi polaryzacji obydwu fotonów niezależnie od wyboru bazy pomiarowej. Aby to pokazaćzapiszmy stan własny polaryzatora ustawionego pod kątem θ:

|θ⟩ = cos θ|H⟩+ sin θ|V ⟩. (6.7)

102 Źródło splątanych par fotonów

Amplituda prawdopodobieństwa przejścia fotonu przez polaryzator dana jest przez iloczynskalarny stanu fotonu i stanu polaryzatora (6.7). Stan własny dwóch polaryzatorów, jedne-go ustawionego pod kątem θ1 w ramieniu 3, drugiego pod kątem θ2 w ramieniu 4 opisanyjest iloczynem tensorowym wyrażeń postaci (6.7). Stąd prawdopodobieństwo zmierzeniafotonu o polaryzacji |θ1⟩ w ramieniu 3 i polaryzacji |θ2⟩ w ramieniu 4 dla stanu |Φ′out⟩ danejest przez:

p(θ1, θ2) =∣∣⟨θ1,θ2|Φ′out⟩∣∣2 = (6.8)

(tHrV cos θ1 sin θ2 + tV rH sin θ1 cos θ2)2.

Sprawdźmy teraz korelacje pomiędzy wynikami pomiarów w obydwu ramionach: ustawmypolaryzator w ramieniu 3 pod ustalonym kątem Θ, a polaryzator w ramieniu 4 obracajmy,rejestrując liczbę zliczeń za polaryzatorem dla każdego ustawienia. Liczba zliczeń będziemiała charakter sinusoidalnych prążków. Wyznaczmy ich widzialność V , zdefiniowaną jako:

V =Nmax −NminNmax +Nmin

=pmax − pminpmax + pmin

, (6.9)

gdzie Nmax, Nmin są liczbami zarejestrowanych fotonów, proporcjonalnymi do prawdopo-dobieństw p. Dla przypadku tHrV = tV rH , w którym mamy do czynienia ze stanemmaksymalnie splątanym równanie (6.8) sprowadza się do:

p(Θ, θ2) =12cos2(Θ− θ2) =

141 + cos[2(Θ− θ2)] , (6.10)

czemu odpowiada 100% widzialność niezależnie od wyboru kąta Θ. Powyższe da się poka-zać również dla ogólnego przypadku kołowych lub eliptycznych polaryzacji odniesienia.Wyniku tego nie da się wyjaśnić w świetle założeń lokalnego realizmu. Zakładając,

że rozważany stan da się opisać jako mieszanina statystyczna stanów dwufotonowych odobrze określonych polaryzacjach każdego z fotonów, przy 100% widzialności interferencjidla pionowej i poziomej polaryzacji odniesienia, maksymalna widzialność dla polaryzacjiukośnych (±45) wynosi 50%. Uzyskanie widzialności dla polaryzacji ukośnych przekra-czającej wartość 50% świadczy o obecności splątania. Gdy widzialność dla polaryzacji H,V jest mniejsza niż 100%, wartość ograniczenia na widzialność dla polaryzacji ukośnychwzrasta.Dla tHrV = tV rH widzialności nie da się wyrazić prostym wyrażeniem. Należy ją

obliczyć bezpośrednio na podstawie równania (6.8) dla danych wartości współczynnikówtransmisji i odbicia płytki.Dotychczas dla uproszczenia rozważaliśmy padający na płytkę światłodzielącą stan

jednomodowy będący stanem czystym w polaryzacyjnych stopniach swobody. W rzeczy-wistości stan pary fotonów jest opisywany również przez inne stopnie swobody: czasowe,widmowe, przestrzenne. Mogą istnieć korelacje pomiędzy tymi stopniami swobody a pola-ryzacją fotonów, które prowadzą do możliwości uzyskania informacji o polaryzacji fotonupo przejściu przez płytkę światłodzielącą. Gdy używany detektor rozróżnia tylko polaryza-cyjne stopnie swobody, następuje efektywne wyśladowanie stanu fotonu po nieobserwowa-nych stopniach swobody. Łączny stan polaryzacji dwufotonowej staje się przez to stanemmieszanym, co zmniejsza widzialność interferencji dwufotonowej.Aby w sposób ilościowy opisać ten efekt (przynajmniej ze względu na przestrzenne i

widmowe stopnie swobody) zapiszmy stan pary fotonów padającej na płytkę zgodnie zrównaniem (1.49) jako:

|ψ0⟩ =∑lm

∫dωH

∫dωV Ψlm(ωH ,ωV )a

1†l (ωH)b

1†m(ωV )|vac⟩, (6.11)

6.2 Źródło par splątanych 103

gdzie normalizacja jest dla przypadku postselekcji, tzn. pominięto człony odpowiadającestanom próżni. Operatory kreacji a1†, b1† zgodnie z przyjętymi oznaczeniami odpowia-dają kreacji fotonu odpowiednio o polaryzacji H i V . Funkcja Ψlm(ωH ,ωV ) jest funkcjąΨlm(ωH ,ωV ) daną równaniem (1.50) po zastosowaniu odpowiedniego filtrowania widmo-wego. Po przejściu przez płytkę i pominięciu członów, które odpowiadają wyjściu paryfotonów tym samym portem, możemy stan pary zapisać jako:

|ψout⟩ =∑lm

∫dωH

∫dωV Ψlm(ωH ,ωV )a

3†l (ωH)b

4†m(ωV )+ (6.12)

∑lm

∫dωH

∫dωV Ψlm(ωH ,ωV )a

4†l (ωH)b

3†m(ωV )|vac⟩,

gdzie dla uproszczenia dyskusji założyliśmy idealną niepolaryzującą płytkę światłodzielącą.Zamieniając oznaczenia zmiennych całkowania: w pierwszym członie (ωH , ωV ) → (ω, ω′),w drugim członie (ωH , ωV ) → (ω′, ω) oraz indeksów sumowania (l,m) → (m,l) w drugimczłonie, uzyskujemy symetryczną postać równania:

|ψout⟩ =∑l

m

∫dω∫dω′[Ψlm(ω,ω′)a

3†l (ω)b

4†m(ω

′)+ (6.13)

Ψml(ω′,ω)a4†m(ω′)b3†l (ω)]|vac⟩.

Wykorzystując to wyrażenie, równania (6.7), (6.9) oraz definicje z rozdziału 1.4 możnapokazać, że widzialność polaryzacyjnej interferencji dwufotonowej dla ukośnych polaryzacjiodniesienia wyraża się przez:

V = (6.14)

Re

∑lml′m′

∫dωH

∫dωV Ψlm(ω,ω′)Ψm′l′(ω

′, ω)∫dr⊥

∫dr′⊥ u

(l)H (r⊥)u

(m)∗V (r⊥)u

(l′)H (r

′⊥)u(m′)∗V (r′⊥)

,gdzie r⊥ = (x,y). Wyrażenie to określa warunki konieczne do osiągnięcia 100% widzial-ności. Po pierwsze, funkcja Ψlm(ω,ω′) musi być symetryczna ze względu na zamianę fo-tonów, czego szczególnym przypadkiem jest nierozróżnialność fotonów pary, którą tutajosiągniemy przez wąskopasmowe filtrowanie widmowe. Po drugie, stan fotonów musi byćsymetryczny ze względu na zamianę modów poprzecznych. Oznacza to, że stan pary fo-tonów nie może być stanem mieszanym ze względu na poprzeczny stopień swobody orazże mody poprzeczne dla polaryzacji H i V muszą się całkowicie przekrywać. Ostatniego zwymienionych kryteriów w rozważanym układzie nie jesteśmy w stanie spełnić całkowicie,ze względu na wynikającą z anizotropii falowodu, asymetrię pomiędzy modami H i V (por.rys. 6.4).Należy zauważyć, że uzyskiwany stan splątany jest, ze względu na wykonane rzu-

towanie na stany prowadzące do koincydencji, stanem postselekcjonowanym: przypadkinieprowadzące do powstanie pożądanego stanu nie są rejestrowane. Stan taki nie nadajesię w związku z tym do sprawdzania słuszności fizycznych podstaw mechaniki kwantowej(odrzucania teorii lokalnego realizmu), ale poza tym jest pełną analogią niepostselekcjowa-nego stanu splątanego. W szczególności jest odpowiedni do sprawdzania symetrii funkcjiΦlmn(ωH ,ωV ), co w naszym przypadku będzie się sprowadzało do sprawdzania nierozróż-nialności fotonów pary.

6.2.3 Układ doświadczalny

Zgodnie z równaniem (6.14), aby możliwe było zaobserwowanie splątania koniecznejest zapewnienie symetrii widma łącznego pary fotonów. Widmo generowanych par foto-

104 Źródło splątanych par fotonów

NPBS

λ/2

PBS

SPCMMMF/

SMF

IF3

SPCM

&

PBS

MMF/

SMF

W

40x

50x

Obj1

Obj2CCD

DM2

TL

DM3

PM

λ/2(λ/4)(λ/4)

AL

AL

Rys. 6.2: Schemat układu doświadczalnego używanego do generacji stanu splątanego i pomiarówinterferencji dwufotonowej. Konstrukcja źródła par fotonów analogiczna jak w rozdz. 4. NPBS —niepolaryzująca płytka światłodzieląca. Pozostałe oznaczenia jak na poprzednich schematach.

nów nie jest symetryczne, gdyż fotony wytwarzane są w procesie nieliniowym II typu (por.rys. 3.16). W związku z tym konieczne było zastosowanie wąskopasmowego filtrowaniawidmowego w celu zsymetryzowania widma. Zastosowano filtr interferencyjny o szerokościpołówkowej 0,8 nm, centralnej długości fali 807,0 nm i transmisji maksymalnej 60%. Filtrbył dostrajany przez obracanie do długości fali 799,4 nm, odpowiadającej dopasowaniufazowemu dla procesu podstawowego, analogicznie jak opisano wcześniej (p. 4.2.5). Szero-kość widmowa użytego filtra była dużo mniejsza niż szerokość filtrowania wystarczająca dowybrania pojedynczego modu poprzecznego (por. 3.6.2) — jednak, jak wynika z rys. 4.3,nawet przy tak małej szerokości filtrowania widmowego nie można zaniedbać możliwościgeneracji par fotonów w wyższych modach poprzecznych przy niepoprawnym wprzęganiuwiązki pompującej do falowodu.Po przejściu przez filtr interferencyjny wiązka zawierająca pary fotonów była kierowa-

na na płytkę światłodzielącą (por. rys. 6.2). Warunek (6.6), określający zakres wartościwspółczynników transmisji (odbicia) płytki konieczny do uzyskania stanu splątanego jestw szczególności spełniony dla |tH | = |tV |, |rH | = |rV |, tj. dla płytki ściśle niepolaryzującej.Nie jest natomiast konieczne, by płytka była płytką zrównoważoną (tzw. 50/50) — brakzrównoważenia prowadzi jedynie do nadmiaru stanów dwufotonowych w jednym z portówwyjściowych, które nie są rejestrowane, ponieważ nie prowadzą do rejestracji koincydencji.Zależności współczynników transmisji i odbicia od polaryzacji zmniejszono stosując płytkęświatłodzielącą o kącie padania bliskim 0. W praktyce wykorzystano kąt padania ok. 2.Spełnienie warunku (6.6) zweryfikowano mierząc odpowiednie współczynniki transmisji zapomocą makroskopowej wiązki. Różnice wartości współczynników w stosunku do wartościwynikających z (6.6) nie przekraczały 0,25 punktu procentowego.W obydwu ramionach za płytką znajdowały się dielektryczne kostki polaryzujące, przed

którymi umieszczone były skalibrowane płytki półfalowe zerowego rzędu (centralna dłu-gość fali 800 nm), zamocowane w zmotoryzowanych uchwytach obrotowych. Niepewnośćkalibracji położenia osi optycznych płytek wynosiła ±0,25. Niepewność wyznaczenie kątaobrotu zmotoryzowanego stolika była znacznie mniejsza: poniżej 0,005. Dzięki temu po-mimo niepewności kalibracji możliwe było precyzyjne ustawienie względnych polaryzacji,np. wzajemnie prostopadłych. Obrót płytki umożliwiał wybieranie polaryzacji liniowych.Dodatkowo, przed płytkami półfalowymi mogła zostać umieszczona płytka ćwierćfalowazerowego rzędu o osi skierowanej pod kątem 45 do powierzchni stołu optycznego. Dziękitemu możliwe było wykrywanie polaryzacji kołowych oraz eliptycznych.Obie wiązki kierowane były do światłowodów, w sposób analogiczny do opisanego

wcześniej (por. 4.2.2). Możliwe było użycie światłowodów wielomodowych, jak równieżświatłowodów jednomodowych. Aby zapewnić możliwie jednakową wydajność sprzęga-

6.3 Charakteryzacja źródła 105

nia do światłowodów jednomodowych zadbano o równą długość obu ramion za płytkąświatłodzielącą. Dopasowania położenia przewężenia i rozbieżności wiązek sprzęganychdo światłowodu jednomodowego dokonywano przez jednoczesne dopasowanie położeniaobiektywu Obj2 i soczewki asferycznej AL wzdłuż osi optycznej. Dla wiązki referencyjnej(przechodzącej przez falowód PPKTP) maksymalna uzyskana wartość wydajność sprzę-gania wynosiła 70%, gdy optymalizowano tylko jedno ramię układu. Przy jednoczesnejoptymalizacji wydajności w obydwu ramionach uzyskano wartość 65%. Są to wartości nie-wiele niższe od wydajności uzyskiwanych w eksperymentach, których jednym z głównychcelów jest maksymalizacja sprzęgania sygnału z falowodu PPKTP do włókna jednomo-dowego, sięgających 80% [156]. Wydajności sprzęgania do światłowodów wielomodowychwynosiły ponad 90%.Przed rozpoczęciem pomiarów sprawdzono, że wyższe mody poprzeczne falowodu są

efektywnie sprzęgane do światłowodów wielomodowych. Dokonano tego wzbudzając mo-dy 01V,H oraz 02V,H w falowodzie i mierząc wydajności sprzęgania, przekraczające 80%.Potwierdzają to również obserwacje rozkładu natężenia w ognisku soczewki AL wykonaneza pomocą matrycy CCD, z których wynika, że rozmiar modów falowodu o największymrozmiarze poprzecznym nie przekracza połowy średnicy światłowodu.

6.3 Charakteryzacja źródła

6.3.1 Interferencja dwufotonowa

Jak wspominano we wstępie do tego rozdziału miarą stopnia splątania pary fotonówjest widzialność interferencji dwufotonowej w różnych bazach polaryzacji, zdefiniowana w(6.9).Wykonano pomiary dwufotonowej interferencji pomiędzy ramionami S i T. Do falo-

wodu PPKTP wprzęgnięto opisaną wcześniej metodą wiązkę pompującą w modzie pod-stawowym o mocy 320 µW wewnątrz falowodu. Przy ustalonej polaryzacji w ramieniuT mierzono zależność liczby koincydencji od stanu polaryzacji wykrywanego w ramieniuS. W ramieniu T wykorzystano stany polaryzacji liniowych: poziomą H, pionową V , orazukośne D i A (±45), dla których w ramieniu S rejestrowano polaryzacje liniowe z krokiemco 10 (czyli 20 na sferze Poincarego) poprzez obrót płytki półfalowej. Dla polaryzacji ko-łowych prawo- (R) i lewoskrętnej (L) w ramieniu T, w ramieniu S skanowano polaryzacjeeliptyczne położone na południku sfery Poincarego wyznaczonym przez polaryzacje kołowei ukośne (±45), z krokiem 20 na sferze Poincarego. Pomiar w bazie polaryzacji kołowychrealizowano umieszczając przed płytką półfalową płytkę ćwierćfalową o osi optycznej podkątem ±45, a następnie obracając płytkę półfalową z krokiem 5. Podczas każdej seriipomiarowej wykonywano dwa okrążenia sfery Poincarego (odpowiadające obrotowi płytkipółfalowej o 180).Pomiary widzialności interferencji dwufotonowej wykonano używając światłowodów

wielomodowych prowadzących światło do detektorów, a więc bez filtrowania przestrzenne-go. Całkowita liczba koincydencji wynosiła 2050 s−1 przed umieszczeniem polaryzatoróww ramionach układu. Dla każdego punktu pomiarowego uśredniano dane przez 10− 20 s,w zależności od rejestrowanej średniej liczby zliczeń. Dokonywano również korekty obser-wowanych liczb zliczeń ze względu na wahania mocy wiązki pompującej, metodą opisanąw rozdziale 4.2.5. Zebrane dane przedstawiono na rys. 6.3. Wartości widzialności uzyskanez dopasowania krzywych sinusoidalnych zawarte są w tabeli 6.1. W na rysunku przedsta-wione zostały surowe dane, widzialności podane w tabeli odnoszą się do danych po odjęciukoincydencji przypadkowych.Wartości widzialności przedstawione w tabeli są niższe niż 100% zarówno dla polary-

106 Źródło splątanych par fotonów

Rys. 6.3:Wyniki pomiarów interferencji dwufotonowej dla stanów odniesienia (a) H, V , D, A, (b)H, V , R, L, w ramieniu T, dla światłowodów wielomodowych. Przedstawiono liczby koincydencjiw zależności od podwojonego kąta obrotu płytki półfalowej w ramieniu S, wraz z dopasowanymisinusoidami. Niepewności pomiarowe dla maksymalnych liczb zliczeń mają wartość zbliżoną dorozmiaru użytych symboli.

Polaryzacjaodniesienia

WidzialnośćWidzialnośćskorygowana

SMF MMF SMF MMF

H 89% 86% 100% 99%V 90% 90% 100% 100%D 81% 78% 85% 82%A 82% 77% 86% 82%R – 73% – 77%L – 76% – 80%

Tab. 6.1: Wartości widzialności interferencji dwufotonowej po odjęciu koincydencji przypadko-wych. Wartości dla surowych danych są mniejsze o 1 − 2 punkty procentowe. Niepewności ±1%.Wartości skorygowane uzyskano odejmując zdarzenia typu HH i V V (por. tekst).

zacji odniesienia H, V , jak i dla pozostałych. Aby zweryfikować, czy spadek widzialnościponiżej wartości 100% wynika z niedopasowania modów poprzecznych fotonów pary, czyteż z innych przyczyn, dla liniowych polaryzacji odniesienia przeprowadzono pomiary zfiltrowaniem przestrzennym za pomocą światłowodów jednomodowych. Pozwoliło to naokreślenie maksymalnych wartości widzialności możliwych do osiągnięcia w układzie eks-perymentalnym. Całkowita liczba koincydencji wynosiła 1200 s−1 przed umieszczeniem wukładzie polaryzatorów. Dla każdego punktu pomiarowego uśredniano dane przez 20 s. Dodanych dopasowywano krzywą sinusoidalną, z której odczytywano wartość widzialności Vinterferencji dwufotonowej. Uzyskane wartości, po odjęciu koincydencji przypadkowych,podane są w tabeli 6.1.Różnice pomiędzy widzialnościami dla falowodów wielo- i jednomodowych nie są znacz-

ne, co pokazuje, że główną przyczyną obniżonych wartości widzialności nie jest wielomo-dowość przestrzenna par fotonów. Przyczynę różnicy w widzialnościach dla polaryzacjiodniesienia H, V oraz dla polaryzacji ukośnych (A, D) można łatwo wyjaśnić biorącpod uwagę niedoskonałości układu doświadczalnego: nieidealność płytki światłodzielącej,możliwe różnice w widmie transmisji filtra interferencyjnego pomiędzy polaryzacjami dlanieprostopadłego padania wiązki, niepełna eliminacja korelacji widmowych oraz brak kom-pensacji dyspersji prędkości grupowych w KTP (prowadzący do niepełnego przekrywania

6.3 Charakteryzacja źródła 107

Rys. 6.4: Przekroje obliczonych numerycznie skalarnych funkcji modowych dla modów 00V (liniaciągła) i 00H (linia przerywana) falowodu o szerokości 2 µm, w kierunkach x (a) i y (b).

się w czasie paczek falowych fotonów o polaryzacji H i V ). Przyczyną jest też niejedna-kowość modów 00H oraz 00V falowodu, dla których przekroje obliczonych numerycznieskalarnych funckji modowych porównane są na rysunku 6.4.

Jednakże najistotniejszą przyczyną obserwowanego spadku widzialności jest rejestracjaznacznej liczby zdarzeń typu HH oraz V V , prowadzących do zmniejszenia widzialnościpolaryzacji w bazach stanów własnych polaryzacji układu doświadczalnego H i V . Żadnaz przyczyn wymienionych w poprzednim akapicie nie prowadzi do spadku widzialnościw tych bazach. Spadek widzialności spowodowany błędami kalibracji płytek falowych nieprzekracza 0,1%. Oznacza to obecność obok fluorescencji parametrycznej II typu innegoprocesu będącego źródłem par fotonów o jednakowych polaryzacjach. Ich pochodzeniebędzie przedmiotem dyskusji w dalszej części tego rozdziału.

Przed porównaniem i przedyskutowaniem wartości widzialności dokonajmy porówna-nia liczb zliczeń uzyskanych dla obu typów światłowodów. Przyjmując 90% wydajnośćsprzęgania do światłowodów wielomodowych, po podzieleniu przez kwadrat tej wartościzmierzonej liczby koincydencji otrzymujemy oszacowanie liczby koincydencji bez uwzględ-nienia strat spowodowanych sprzęganiem do światłowodu: 4920 s−1 (przed polaryzatorem).Mnożąc tę wartość przez kwadrat zmierzonej dla wiązki referencyjnej wydajności sprzę-gania do światłowodów jednomodowych 65%, otrzymujemy oczekiwaną liczbę koincyden-cji dla światłowodów jednomodowych: 2080 s−1, bliską zmierzonej bezpośrednio wartości2050 s−1. Potwierdza to, że zmierzone dla wiązki referencyjnej w modzie podstawowymwydajności sprzęgania do światłowodów są bliskie wydajnościom sprzęgania dla promie-niowania fluorescencji parametrycznej, w szczególności dla światłowodów jednomodowych.

Porównanie widzialności interferencji dwufotonowej pomiędzy pomiarami z użyciemświatłowodów jedno- i wielomodowych pozwala stwierdzić, jaki przyczynek do spadkuwidzialności daje niespójność bądź niedopasowanie przestrzenne modów fotonów H i V .Obecność niepożądanych zdarzeń typu HH i V V utrudnia odczytanie tej informacji. Wzwiązku z tym aby w sposób ilościowy stwierdzić, jaka część obserwowanego spadku wi-dzialności dla ukośnych polaryzacji odniesienia pochodzi od braku spójności przestrzennejpomiędzy fotonami pary, a jaka od zdarzeń typu HH i V V , odjęto od zmierzonych liczbzliczeń liczby zdarzeń typu HH i V V , z wagami odpowiednimi dla używanych ustawieńpolaryzatorów. Liczby par HH i V V wyznaczono na podstawie danych pomiarowych dlapolaryzacji odniesienia H oraz V . Widzialności obliczono poprzez dopasowanie do skory-gowanych danych krzywych sinusoidalnych. Uzyskane wartości podane są w kolumnach4, 5 tabeli 6.1. Oczywiście wartości dla polaryzacji odniesienia H i V są równe 100% (wgranicach błędu doświadczalnego). Natomiast z porównania wartości dla polaryzacji uko-śnych otrzymujemy informację o przyczynku niejednomodowości przestrzennej do spadkuwidzialności. Spadek widzialności wynosi odpowiednio 3±1% i 4±1% dla dwóch ukośnych

108 Źródło splątanych par fotonów

polaryzacji odniesienia. Jest on spowodowany w dużym stopniu niejednakowością modów00H i 00V oraz nieznaczną obecnością wyższych modów poprzecznych promieniowaniafluorescencji parametrycznej spowodowaną nieidealnym sprzęganiem wiązki pompującej.Niemniej jednak spadek ten jest niewielki, co potwierdza skuteczność stosowanej metodygeneracji par fotonów w czystych modach poprzecznych.Należy zauważyć, że, pomimo iż powyższe wyniki potwierdzają, że fotony pary są wy-

twarzane we w przybliżeniu jednakowych modach poprzecznych, nie dostarczają one bez-pośredniej informacji na temat jednomodowości źródła: możliwe byłoby uzyskanie powyż-szych wyników dla par fotonów w jednakowych modach poprzecznych, różnych dla każdejpary. Na podstawie zmierzonych map dopasowania fazowego możemy jednak stwierdzić,że proces wytwarzający pary fotonów w jednakowych wyższych modach poprzecznych jestbardzo mało prawdopodobny dla użytego punktu pracy źródła.

6.3.2 Łamanie nierówności Bella

Pomimo, że zmierzone wartości widzialności są istotnie niższe niż 100%, są one nadalwystarczająco wysokie by można było spodziewać się obecności splątania w generowanymstanie dwufotonowym. Aby potwierdzić generację stanów splątanych zdecydowano się naprzeprowadzenie próby złamania nierówności typu Bella [147]. Wersją nierówności Belladostosowaną do pomiarów korelacji w polaryzacjach jest nierówność Clausera-Horne’a-Shimony’ego-Holta (CHSH) [157]. Nierówność ta ma postać:∣∣E(a,b)− E(a, b′) + E(a′, b) + E(a′, b′)∣∣ ¬ 2. (6.15)

Odnosi się ona do konfiguracji eksperymentalnej, w której fotony pary, znajdujące sięw dwóch ramionach eksperymentu A oraz B (u nas są to dwa porty wyjściowe płytkiświałodzielącej, które dotychczas oznaczaliśmy jako ramiona S i T), trafiają na polaryzatorrozdzielający wiązkę na dwie części o ortogonalnych polaryzacjach, oznaczone + i −, wwybranej bazie polaryzacji (a, a′ w ramieniu A; b, b′ w ramieniu B). Wartość korelacji Edla wybranych baz w obydwu ramionach oblicza się jako:

E =N++ +N−− −N+− −N−+N++ +N−− −N+− −N−+

, (6.16)

gdzie N oznaczają mierzone liczby koincydencji pomiędzy fotonami opuszczającymi po-szczególne porty wyjściowe polaryzatorów. W indeksie dolnym zamieszczono symbol portuwyjściowego polaryzatora w ramieniu A i w ramieniu B.Uzyskanie wartości lewej strony nierówności przekraczającej 2 oznacza, że mierzony

stan nie może zostać opisany przez teorię lokalnego realizmu, tzn. nie może być opisanywyłącznie za pomocą dobrze określonych własności podukładów. W szczególności, złama-nie nierówności CHSH potwierdza, że mierzony stan musi być stanem splątanym [158].Należy jednak podkreślić, że mówimy tutaj o stanie fotonów wybranych przez postselek-cję. Oznacza to, że wyniki pomiarów nie będą miały fundamentalnych implikacji, jednakżebędą dobrze określały obecność splątania w formie użytecznej w eksperymentach kwanto-wooptycznych.Ze względu na liczbę dostępnych detektorów pojedynczych fotonów zdecydowano się

na uproszczenie schematu doświadczenia, kosztem konieczności przyjęcia założenia o sta-łości strumienia par fotonów. Wykorzystano układ doświadczalny używany do pomiarówinterferencji dwufotonowej. Pomiarów liczby zliczeń typu + i − w danej bazie pomiarowejdokonywano przez obrót płytki półfalowej o 45 (odpowiadający obrotowi polaryzatorao 90). Postępowanie takie jest słuszne przy założeniu stałości strumienia par fotonów wtrakcie pomiaru pojedynczej wartości E; słuszność tego założenia została potwierdzona

6.4 Przyczyny spadku widzialności interferencji dwufotonowej 109

Bazy N++ N+− N−+ N−− |E|

(a, b) 215± 1,5 832± 3 844± 3 195± 1,5 0,607± 0,003(a, b′) 907,5± 3 215,5± 1,5 196,5± 1,5 863± 3 0,623± 0,003(a′, b) 830± 3 247± 2 245± 1,5 823± 3 0,541± 0,0025(a, b′) 863± 3 247± 2 248± 2 833± 3 0,548± 0,003

Razem 2,319± 0,006

Tab. 6.2: Zmierzone liczby koincydencji (s−1 ) w bazach CHSH i wynikające z nich wartościkorelacji E. Wartości po skorygowaniu wahań natężenia pompy.

poprzez obserwację średniego strumienia par fotonów w czasie odpowiadającym czasowipełnego pomiaru wszystkich korelacji — nie zauważono dryfu czasowego.Do pomiarów użyto baz pomiarowych w teorii dających możliwość złamania nierów-

ności CHSH w największym stopniu. Są to bazy polaryzacji liniowych: w ramieniu S(0, 90) ≡ a oraz (45, 135) ≡ a′, w ramieniu T (22,5, 112,5) ≡ b oraz (67,5, 157,5) ≡b′. Dla tych baz możliwe jest osiągnięcie wartości 2

√2. Podane kąty określają kierunek

polaryzacji liniowych; użyte ustawienia płytek falowych stanowiły połowę podanych war-tości. Dla każdego ustawienia płytek falowych mierzono liczbę koincydencji w czasie 180 s,z próbkowaniem co 0,5 s. Wykonano dwie serie pomiarowe: dla jednej z nich dokonywa-no korekcji fluktuacji natężenia wiązki pompującej, metodą opisaną wcześniej; dla drugiejwykorzystano surowe dane. Zmierzone liczby koincydencji dla obu serii pomiarowych po-dane są w tabeli 6.2. Uzyskano wartości odpowiednio 2,319 ± 0,006 oraz 2,302 ± 0,006dla surowych danych. W obu przypadkach nierówność CHSH została złamana o ponad50 odchyleń standardowych, co dowodzi wygenerowania stanu splątanego bez użycia bez-pośredniego filtrowania przestrzennego. Należy zwrócić uwagę, że obie serie pomiaroweprowadzące do tych wartości były wykonane całkowicie niezależnie: w klikutygodniowymodstępie czasowym oraz przy justowaniu źródła („od zera”) wykonanym przed obydwomapomiarami.

6.4 Przyczyny spadku widzialności interferencji dwufotono-wej

W tym podrozdziale omówione zostaną próby zidentyfikowania efektu prowadzącego dozaobserwowanego zmniejszenia widzialności polaryzacyjnej interferencji dwufotonowej dlapoziomej (H) i pionowej (V ) polaryzacji odniesienia, tj. polaryzacji własnych falowoduPPKTP, zarówno dla pomiarów wykonywanych z użyciem światłowodów jedno-, jak iwielomodowych.

6.4.1 Pary wielokrotne

Pierwszą możliwą potencjalną przyczyną obserwacji zliczeń typu HH i V V jest gene-racja w światłowodzie par wielokrotnych [159]. Prawdopodobieństwo generacji w procesiefluorescencji parametrycznej podwójnej pary fotonów przez impuls wiązki pompującej jestpowiązane z prawdopodobieństwem generacji pary pojedynczej. Prawdopodobieństwa ge-neracji jednej pary zostały oszacowane w poprzednim rozdziale i przedstawione na rys.4.9, dla obserwowanych zakresów widmowych 11,0 oraz 3,0 nm. Dla używanego w źródlepar splątanych zakresu widmowego 0,8 nm nie można zastosować bezpośredniej meto-dy obliczenia prawdopodobieństw ze stosunku koincydencji do pojedynczych liczb zliczeń

110 Źródło splątanych par fotonów

802 801 800 799 798 797

802

801

800

799

798

797

λH(nm)

λV(nm)

S

S

s

s

ssc

Rys. 6.5: Zaznaczone na tle łącznego widma par fotonów przybliżone zakresy spektralne wybieraneprzez umieszczone w obydwu ramionach filtry interferencyjne o szerokości widmowej 3,0 nm (linieprzerywane) i 0,8 nm (linie ciągłe) . Koincydencjom odpowiada obszar części wspólnej zakresówwidmowych dla obydwu polaryzacji, oznaczony na rysunku literą c. Nadmiarowym pojedynczymzliczeniom odpowiadają obszary oznaczone przez S oraz s. Udział tych obszarów dla wąskiegofiltrowania widmowego jest zdecydowanie większy.

użytej w rozdziale 4.2.5.2. Wynika to z faktu, że szerokość widmowa 0,8 nm jest mniej-sza od szerokości widmowej warunku dopasowania fazowego. Wskutek tego pojawiają sięnadmiarowe pojedyncze zliczenia w stosunku do koincydencji, co zilustrowano na rysunku6.5. W takiej sytuacji nawet przy braku jakichkolwiek strat w układzie zbierania i detekcjipar fotonów stosunek koincydencji do pojedynczych zliczeń będzie wyraźnie mniejszy odjedności.W związku z powyższym prawdopodobieństwo to oszacowano przez ekstrapolację war-

tości uzyskanych dla filtrów 11,0 nm i 3,0 nm. Wykorzystano fakt, że liczba rejestrowanychkoincydencji w danym zakresie spektralnym NC jest proporcjonalna do liczby par wytwa-rzanych w falowodzie w tym zakresie spektralnym N0:

NC,i = T 2F,iη′N0,i, (6.17)

gdzie i oznacza zakres spektralny i może przyjmować wartości 11,0 nm, 3,0 nm, 0,8 nm.Równanie (6.17) jest analogiczne do równania (4.2), jedyna różnica polega na innym po-dziale współczynników transmisji: w równaniu (6.17) dokonano podziału na transmisjęniezależną od długości fali η′ (która obejmuje również wydajności detektorów) oraz natransmisję filtrów interferencyjnych TF,i. Ponieważ wartość N0 jest proporcjonalna do po-szukiwanego prawdopodobieństwa generacji pary na impuls P0,8nm, możemy wykorzystującrównanie (6.17) wyznaczyć to prawdopodobieństwo jako:

P0,8nm =NC,0,8nmNC,3nm

T 2F,3nmT 2F,0,8nm

P3nm (6.18)

jako dane odniesienia biorąc dla ustalenia uwagi dane dla szerokości widmowej 3,0 nm.Stosunek kwadratów natężeniowych współczynników transmisji filtrów wynosi w przybli-żeniu 1,5 dla filtra 3 nm i 1,0 dla filtra o paśmie 11,0 nm; pozostałe wielkości potrzebne

6.4 Przyczyny spadku widzialności interferencji dwufotonowej 111

do obliczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa podane są na rysunkach 4.8 oraz 4.9.Dla używanej podczas pomiarów widzialności interferencji dwufotonowej mocy niebieskiejwiązki pompującej 0,32 mW (moc wprzęgnięta do falowodu) otrzymujemy wartość praw-dopodobieństwa P0,8nm = 0,6%, przyjmując do obliczeń większą z wartości prawdopodo-bieństwa z rys. 4.9 — tą wyliczoną bezpośrednio ze stosunku koincydencji do pojedyn-czych zliczeń. Dla wartości prawdopodobieństwa obliczonej na podstawie znanych strat wukładzie doświadczalnym otrzymujemy: P ′0,8nm = 0,2%. Obliczone wartości prawdopodo-bieństwa obarczone są znaczną niepewnością, którą szacuję na ±20%, wynikającą m. in. zoszacowania efektywnej transmisji filtrów.Prawdopodobieństwo generacji czwórki (podwójnej pary) fotonów dane jest przez P 20,8nm/2

dla wielomodowego (spektralnie i przestrzennie) procesu fluorescencji parametrycznej,bądź przez P 20,8nm dla procesu jednomodowego [160–162]. Tutaj, ze względu na znacz-ne filtrowanie widmowe i wynikające z niego efektywne filtrowanie przestrzenne, źródłopracuje w reżimie bliskim jednomodowemu. Mnożąc powyższe prawdopodobieństwo przezczęstość repetycji lasera pompującego otrzymujemy liczby czwórek generowanych w ciągusekundy w falowodzie jako N (4)0,max = 2810 i N

(4)0,min = 312, odpowiednio dla górnej i dolnej

granicy wartości prawdopodobieństwa P0,8nm. Polaryzacje fotonów czwórki możemy opisaćsymbolicznie jako HHV V . Ponieważ rozważamy przypadek detekcji jednakowych stanówpolaryzacji (H lub V ) w obydwu ramionach układu, szansę dotarcia do detektorów będąmiały tylko dwa fotony z czwórki. Liczbę rejestrowanych przez detektory koincydencji dlafotonów o jednakowych polaryzacjach uzyskujemy mnożąc powyższe wartości przez kwa-draty transmisji elementów układu (por. 4.4), kwadrat transmisji filtra interferencyjnego,iloczyn wydajności detektorów oraz przez czynnik 1/2 określający prawdopodobieństwoopuszczenia przez parę fotonów płytki światłodzielącej różnymi portami wyjściowymi. Do-datkowo, przyjmując do obliczeń wartość N (4)0,max = 2810 obliczoną na podstawie górnejgranicy wartości prawdopodobieństwa P0,8nm, musimy uwzględnić niezidentyfikowane stra-ty, których obecność została założona podczas obliczania górnego ograniczenia na wartośćprawdopodobieństwa (por. rozdz. 4.2.5.1). Odpowiadający niezidentyfikowanym stratomwspółczynnik transmisji wynosi ok. 75% — szacowaną liczbę koincydencji musimy po-mnożyć przez kwadrat tego współczynnika. Ostatecznie uzyskujemy dla początkowej licz-by czwórek oszacowanej na podstawie maksymalnej wartości prawdopodobieństwa N (4)0,maxok. 20 koincydencji o jednakowych polaryzacjach na sekundę, a dla liczby czwórek N (4)0,minok. 4 koincydencji na sekundę. Rzeczywista wartość leży najprawdopodobniej pomiędzytymi dwiema skrajnymi wartościami. Podane wartości są wartościami dla światłowodówwielomodowych. Dla światłowodów jednomodowych, ze względu na większe straty przywprzęganiu wartości te należy zmniejszyć o ok. 40%.Mierzone liczby zliczeń typu HH i V V mają wartość wyraźnie większą niż nawet

maksymalne wartości obliczonego powyżej oszacowania — odpowiednio 88 ± 3 s−1 dlapolaryzacji H oraz 52 ± 2 s−1 dla polaryzacji V . Różnic pomiędzy wartościami nie dasię wytłumaczyć nawet przy założeniu najmniej korzystnej kumulacji niepewności wiel-kości używanych do obliczenia oszacowania. Widać, że czwórki fotonów powodują pewienprzyczynek do obserwowanego sygnału, jednak jest on mniejszy niż obserwowany sygnałjednakowo spolaryzowanych par fotonów. Wskazuje to na obecność innego procesu, obokfluorescencji parametrycznej.Jako podsumowanie powyższej analizy przedstawmy jeszcze wyniki pomiarów zależ-

ności liczby zliczeń typu HH i V V od mocy wiązki pompującej. Wyniki te umieszczo-ne zostały na rys. 6.6, wraz z dopasowanymi zależnościami kwadratowymi. Na rysunkuprzedstawiono również wartości liczb liczeń oszacowane na podstawie prawdopodobieństwgeneracji pary fotonów na impuls. Jak widać obserwowane liczby zliczeń typu V V przydużych mocach można prawdopodobnie wyjaśnić ich pochodzeniem od czwórek fotonów.

112 Źródło splątanych par fotonów

Rys. 6.6: Zależność liczby zliczeń typu HH (•) oraz V V (×) od mocy wiązki pompującej wprzę-gniętej do falowodu P , wraz z dopasowanymi parabolami postaci N = aP 2. Przedstawiono równieżoszacowane maksymalne (linia przerywana) i minimalne (linia kropkowana) możliwe przyczynki dozliczeń od czwórek fotonów.

Dla zliczeń typu HH jest to niemożliwe, ze względu na ich duży nadmiar. W szczegól-ności, czego nie widać na rysunku, rozbieżności pomiędzy przewidywanymi a mierzonymiliczbami zliczeń są proporcjonalnie największe dla niewielkich mocy pompy (< 0,5 mW).Może to wskazywać na obecność dodatkowego procesu, być może liniowego w mocy pom-py, którego efekt dla wyższych mocy jest przysłaniany przez rosnący kwadratowo sygnałpochodzący od czwórek fotonów. Procesem liniowym w mocy pompy jest klasyczna flu-orescencja [38,59,144].

6.4.2 Inne przyczyny

Pierwszym nasuwającym się kandydatem na proces wytwarzający pary jednakowo spo-laryzowanych fotonów jest fluorescencja parametryczna I lub 0 typu. Zaobserwowano pro-ces sumowania częstości I typu modu 01B′ wiązki pompującej do pary modów 01H na dłu-gości fali 800,3 nm (por. tab. 3.3), a więc wytwarzający fotony w obserwowanym zakresiespektralnym. Jest to proces o wydajności poniżej 1% procesu podstawowego. Jego udział wgeneracji par był zaniedbywalny, gdyż proces I typu musi być pompowany wiązką niebieskąo polaryzacji pionowej, a więc prostopadłej do używanej do pompowania procesu II typu.Przy jego niewielkiej wydajności ewentualna resztkowa pionowa składowa polaryzacyjnanie miała by możliwości wygenerowania obserwowanej liczby jednakowo spolaryzowanychpar fotonów. Innym możliwym procesem generującym jednakowo spolaryzowane fotonyjest klasyczna fluorescencja powodowana przez silną wiązkę pompującą w krysztale lubfalowodzie PPKTP. Problem fluorescencji był wzmiankowany w literaturze dla próbek fa-lowodów PPKTP starszej generacji [38,59,144]. Dla używanych próbek nowszej generacjiprocesy fluorescencji o nanosekundowych czasach zaniku najprawdopodobniej nie mająznacznego wkładu do sygnału koincydencji. Potwierdza to zaobserwowany brak zależno-ści liczby rejestrowanych koincydencji od długości okna koincydencji, po skorygowaniu zewzględu na koincydencje przypadkowe. Niemniej obserwacja ta nie wyklucza możliwościgeneracji niepożądanych fotonów przez krótkożyciowe procesy fluorescencyjne. Ich obec-ność wymaga dalszego zbadania, na przykład za pomocą czasoworozdzielczego zliczaniapojedynczych fotonów z rozdzielczością pikosekundową.

6.5 Podsumowanie 113

6.5 Podsumowanie

Zrealizowano źródło polaryzacyjnie splątanych par fotonów oparte na wielomodowymfalowodzie PPKTP, bez stosowania filtrowania przestrzennego. Złamano nierówność CHSHz parametrem 2,302 ± 0,006, co potwierdza generację stanu splątanego. Jest to jedna znielicznych realizacji źródła par splątanych w polaryzacjach nie wykorzystująca bezpo-średniego filtrowania przestrzennego za pomocą światłowodów jednomodowych. Jest torównież pierwsza realizacja impulsowego źródła par splątanych polaryzacyjnie opartegona falowodzie PPKTP. Zmierzono widzialności polaryzacyjnej interferencji dwufotonowej,w szczególności porównano widzialności dla pomiarów z i bez filtrowania przestrzennego.Porównanie wyników pokazuje, że obserwowany spadek widzialności jest w większości spo-wodowany przyczynami innymi niż niedopasowanie modów przestrzennych fotonów pary.Jako częściową przyczynę spadku widzialności zidentyfikowano generację wielokrotnychpar fotonów. Dokładna przyczyna pozostaje niewyjaśniona i wymaga dalszych badań.

114 Źródło splątanych par fotonów

Zakończenie

Podsumowanie

W pracy przedstawiłem szczegółową analizę procesów mieszania trzech fal w nieli-niowym wielomodowym falowodzie PPKTP, w tym źródła par fotonów opartego na fa-lowodowym procesie fluorescencji parametrycznej w nieliniowym. Omówiłem podstawyteoretyczne niezbędne do zrozumienia i opisu procesów nieliniowych χ(2) w falowodzie. Wszczególności podałem opis procesu sumowania częstości dla przypadku pól jednocześnieszerokopasmowych i wielomodowych; według mojej wiedzy w dostępnej literaturze tenprzypadek nie został dotychczas przeanalizowany.Szczegółowo zbadałem własności modów poprzecznych falowodu PPKTP, wykorzystu-

jąc obliczenia numeryczne funkcji modowych oraz obserwując rozkłady natężenia odpo-wiadające poszczególnym modom poprzecznym falowodu. W tym celu zaimplementowałemmetodę selektywnego wzbudzania modów poprzecznych falowodu. Opisałem własności sy-metrii modów falowodu i ich wpływ na wydajność falowodowych procesów mieszania trzechfal. Analiza struktury modów poprzecznych falowodu PPKTP, w szczególności modówwzbudzonych, w zakresie zawartym w tej pracy nie była dotychczas publikowana.Przeprowadziłem dokładną analizę eksperymentalną sprzężenia pomiędzy warunkiem

dopasowania fazowego w falowodzie PPKTP a modami poprzecznymi fal biorących udziałw nieliniowym procesie mieszania trzech fal. Była to pierwsza opublikowana analiza dlaprocesu nieliniowego II typu [68]. Wykorzystałem w tym celu dwuwywmiarową spektro-skopię sumowania częstości z rozdzielczością modów poprzecznych. Dokonałem pełnej in-terpretacji zmierzonych widm, przypisując obserwowanym sygnałom widmowym odpowia-dające im trójki modów poprzecznych biorących udział w oddziaływaniu nieliniowym.Uzyskane wyniki wykorzystałem do skonstruowania falowodowego źródła opertego na

porcesie fluorescencji parametrycznej, wytwarzającego pary fotonów w czystych modachpoprzecznych, bez stosowania filtrowania przestrzennego. Przeprowadziłem szczegółowąanalizę wydajności źródła par fotonów oraz obecnych w źródle i kanałach detekcji strat.Zidentyfikowałem rozbieżność pomiędzy znanymi źródłami strat a stratami wynikającymze zmierzonych statystyk zliczeń fotonów, co sugeruje obecność obok fluorescencji para-metrycznej innego procesu wytwarzającego do 25% obserwowanych fotonów. Uzyskanajasność źródła, 200 000 s−1 par fotonów na 1 mW wiązki pompującej, 1 nm obserwowa-nego widma, dla 1 mm długości ośrodka nieliniowego jest porównywalna z najwyższymidotychczas opublikowanymi.Uzyskanie wysokiej czystości przestrzennej par fotonów fluorescencji parametrycznej

wymagało selektywnego wprzęgania wiązki pompującej do modu podstawowego wielomo-dowego falowodu PPKTP. Opracowałem metodę selektywnego wprzęgania wiązki pompu-jącej, uzyskując ponad 96% przekrycie wzbudzanego rozkładu pola elektrycznego z modempodstawowym falowodu. Czystość przestrzenną generowanych par fotonów potwierdziłemwykonując pomiary parametru jakości wiązki M2 w trybie jednofotonowym [71]. Zasto-sowałem w tym celu metodę ostrzową, która pozwoliła na realizację pomiarów w trybie

116 Zakończenie

koincydencyjnym, odpowiednim dla fotonów sygnalizowanych. Było to pierwsze zastoso-wanie tej metody w trybie koincydencyjnym. Uzyskałem wartości parametru M2 poniżej1,1± 0,1, co świadczy o wysokiej czystości przestrzennej generowanych fotonów.Wykorzystałem generowane pary fotonów w czystych modach przestrzennych do wy-

tworzenia polaryzacyjnie splątanych par fotonów. Wytworzenie splątania potwierdzonezostało złamaniem nierówności Bella o ponad 50 odchyleń standardowych bez stosowa-nia filtrowania przestrzennego za pomocą światłowodów jednomodowych. Jest to pierwszarealizacja źródła par splątanych opartego na procesie fluorescencji parametrycznej nie wy-korzystująca filtrowania przestrzennego za pomocą światłowodów jednomodowych. Jestto również pierwsza realizacja źróła polaryzacyjnie splątanych par fotonów w falowodziePPKTP działającego w trybie impulsowym.Uzyskane wyniki potwierdzają możliwość szerokiego zastosowania źródeł par fotonów

opartych na falowodzie PPKTP do inżynierii kwantowych stanów światła.

Perspektywy

Na zakończenie pracy omówię krótko perspektywy dalszych badań źródeł par fotonówopartych na falowodach PPKTP oraz możliwości ich zastosowań. Omówię możliwości wy-korzystania falowodów w eksperymentach dotyczących kwantowego przesyłania informacjioraz metrologii kwantowej. Wymienię także technologiczne usprawnienia pozwalające po-prawić parametry źródła.

Generacja fotonów w wyższych modach poprzecznych

Obecnie w dziedzinie kwantowego przetwarzania informacji intensywnie badane sąmożliwości równoległego wykorzystania różnych stopni swobody fotonu jako nośników in-formacji kwantowej [159, 163]. Należy do nich również mod poprzeczny fotonu [164, 165].Przedstawiona metoda kontroli modów poprzecznych promieniowania fluorescencji para-metrycznej może znaleźć zastosowanie w konstrukcji falowodowych źródeł par fotonów zkontrolą przestrzennego stopnia swobody. Jest to metoda ogólna, a więc stosuje się doogólnej klasy słabo wielomodowych falowodów nieliniowych, nie tylko do PPKTP.W szczególności warto zauważyć, że wyniki pomiarów dopasowania fazowego w falo-

wodzie próbki A (o szerokości falowodu 4 µm) wskazują na możliwość łatwej generacjistanów splątanych w modach poprzecznych. Z danych zebranych w tabeli 3.2 wynika, żepołożenia widmowe funkcje dopasowania fazowego dla procesów 00B ↔ 00V + 01H oraz00B ↔ 01V + 00H są rozsunięte o mniej niż 0,2 nm, a więc w znacznym stopni prze-krywają się spektralnie. Metodą analogiczną do opisanej w rozdziale 3.6.2 możliwe jestwybranie obszaru łącznego widma par fotonów odpowiadającego jednoczesnej produkcjimodów (00H , 01V ) oraz (00V , 01H). Dla jednomodowej niebieskiej wiązki pompującej pro-cesy prowadzące do generacji obu par są wzajemnie spójne. Zakładając, że procesy te sąrównie prawdopodobne, stwierdzamy, że po rozdzieleniu fotonówH i V na kostce polaryzu-jącej można w ten sposób uzyskać źródło par fotonów splątanych w modach poprzecznych,wytwarzające stan dwufotonowy postaci [70]:

|Φ⟩ = 1√2

(|00H ,01V ⟩+ eiφ|01H ,00V ⟩

). (6.19)

Warunkiem obserwacji splątania jest zapewnienie symetrii i nierozróżnialności funkcji fa-lowych obu par fotonów poprzez odpowiednio wąskopasmowe filtrowanie widmowe.Wytworzenie tego stanu nie jest zadaniem trudnym, gdyż wymaga jedynie użycia odpo-

wiedniego filtrowania widmowego oraz wprzęgnięcia wiązki pompującej do modu podsta-wowego falowodu. Zadanie trudniejszym jest detekcja tego stanu, gdyż wymaga to zliczania

117

fotonów z rodzielczością modów poprzecznych, w tym wykrywania superpozycji modów.W tym celu najczęściej używaną metodą jest zastosowanie dwuwymiarowych przestrzen-nych modulatorów światła (ang. spatial light modulator, SLM) do przetransformowaniadanego modu poprzecznego do modu wiązki gaussowskiej, który wykrywany jest poprzezsprzęganie do światłowodu jednomodowego [164]. Geometryczna asymetria modów falo-wodu PPKTP utrudnia (choć nie uniemożliwia) realizację takiego procesu detekcji. Ogra-niczeniem jakości generowanego splątania jest asymetria modów poprzecznych falowoduPPKTP ze względu na ich polaryzację (por. rys. 2.4). W związku z tym wskazane byłobyzastosowanie struktury falowodowej o większej symetrii i mniejszej anizotropii.

Źródło o dużej jasności

Wyniki przedstawione w rozdziałach 4 i 6 potwierdzają dużą jasność źródła. W połą-czeniu z możliwością uzyskania wąskiego spektralnie łącznego widma par fotonów poprzezzastosowanie długiego falowodu (co prowadzi do wąskiej spektralnie funkcji dopasowa-nia fazowego) i wąskopasmowej wiązki pompującej daje to możliwość konstrukcji źró-deł sygnalizowanych pojedynczych fotonów do zastosowania w interfejsach foton-atom, wszczególności w pamięciach kwantowych. Zrealizowane zostały już pierwsze eksperymentywykorzystujące falowody PPKTP w tym celu [137, 166], jednak pole do dalszych badańw tym zakresie jest bardzo szerokie, ze względu na konieczność dopasowania parametrówźródła do konkretnych realizacji pamięci kwantowych.Duża jasność źródła w połączeniem z użyciem nierównomiernego dopasowania fazowe-

go w celu poszerzenia widma generowanego promieniowania [97,167] może również znaleźćzastosowanie w generacji szerokopasmowych pojedynczych fotonów, przydatnych w zasto-sowaniach metrologicznych [168].Oszacowania podane w rozdziale 6.4.1 (por. rys. 6.6) pokazują, że źródło nawet przy

niewielkich mocach wiązki pompującej wytwarza znaczne liczby czwórek fotonów, dziękiczemu może zostać wykorzystane do przygotowywania wielofotonowych stanów kwanto-wych [169]. Do wydajnego wytwarzania czwórek fotonów konieczne jest użycie impulsowejwiązki pompującej [161], co sprawia, że wyniki uzyskane w tej pracy bardzo dobrze odnosząsię do tego zagadnienia.

Dalsza charakteryzacja i optymalizacja źródła

Konieczna jest dalsza analiza przyczyny obecności jednakowo spolaryzowanych par fo-tonów, zaobserwowanych podczas analizy polaryzacyjnie splątanych par fotonów opisanejw rozdziale 6. Należałoby w tym celu przeprowadzić pomiary zliczania fotonów z piko-sekundową rozdzielczością czasową w celu stwierdzenia obecności procesów fluorescencyj-nych, również w połączeniu z pomiarami łącznego widma par fotonów. Ponadto koniecznyjest pomiar statystyki poczwórnych koincydencji w celu bezpośredniego pomiaru liczbygenerowanych czwórek fotonów.W szczególności należy odpowiedzieć na pytanie, czy jest to ogólna cecha falowodów

PPKTP, czy jedynie specyficzna charakterystyka posiadanych próbek, poprzez wykona-nie analogicznych pomiarów dla próbek z różnych partii produkcyjnych lub od różnychdostawców.Poprawa jasności i zmniejszenie strat skonstruowanego źródła jest możliwe poprzez

usprawnienie szeregu elementów używanego układu doświadczalnego, w tym użycie obiek-tywów i filtrów interferencyjnych o większej transmisji. Istotny źródłem strat są stratyfresnelowskie na granicy KTP-powietrze — konieczne byłoby tu zastosowanie odpowied-nich pokryć antyrefleksyjnych, bądź pominięcie etapu propagacji światła w powietrzu po-przez wprzęganie i wyprzęganie światła bezpośrednio do/z światłowodów, przy użyciu

118 Zakończenie

odpowiedniej cieczy immersyjnej.Zastosowanie wprzęgania wiązki pompującej bezpośrednio ze światłowodu jednomo-

dowego o odpowiednio dobranym rozmiarze rdzenia pozwoliłoby na czystsze wzbudzaniemodu podstawowego, co pozwoliłoby usunąć resztkową obecność wyższych modów po-przecznych w generowanych parach fotonów.Poprawa jakości splątania, po wyeliminowaniu niepożądanych par o jednakowych pola-

ryzacjach, jest możliwa dzięki użyciu lepiej dobranego filtra interferencyjnego oraz wpro-wadzeniu kompensacji dyspersji prędkości grupowej. W dalszej perspektywie pożądanabyłaby optymalizacja geometrii falowodu, w celu zwiększenia wzajemnej symetrii modów oprostopadłych polaryzacjach. Po usprawnieniu tych aspektów możliwa byłaby konstrukcjaźródła polaryzacyjnie splątanych par fotonów w konfiguracji Sagnaca [57, 58], nie opiera-jąca się bezpośrednio na postselekcji, jak w przypadku splątania typu Shiha-Alleya.Pożądane byłoby również skonstruowanie struktury o większej symetrii funkcji mo-

dowych w kierunku pionowym. Należałoby tu rozważyć możliwość zagrzebania falowodupod powierzchnią kryształu, np. poprzez zastosowanie metody odwrotnej wymiany jo-nów [170,171].

Bibliografia

[1] E. Schrodinger. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften,23:807–812, 823–828, 844–849, 1935.

[2] E. Schrodinger. Discussion of probability relations between separated systems. Proc. Cam-bridge Philos. Soc., 35:555, 1935.

[3] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can quantum-mechanical description of physical realitybe considered complete? Phys. Rev., 47:777–780, 1935.

[4] R. J. Glauber. The quantum theory of optical coherence. Phys. Rev., 130:2529–2539, 1963.

[5] L. Mandel, E. Wolf. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge University Press,1995.

[6] T. H. Maiman. Stimulated optical radiation in ruby. Nature, 187:493–494, 1960.

[7] H. J. Kimble, M. Dagenais, L. Mandel. Photon antibunching in resonance fluorescence. Phys.Rev. Lett., 39:691–695, 1977.

[8] F. Diedrich, H. Walther. Nonclassical radiation of a single stored ion. Phys. Rev. Lett.,58:203–206, 1987.

[9] A. Aspect, P. Grangier, G. Roger. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment : A new violation of Bell’s inequalities. Phys. Rev. Lett., 49:91–94, 1982.

[10] D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, A. Zeilinger. Experimentalquantum teleportation. Nature, 390:575–579, 1997.

[11] C. H. Bennett, G. Brassard. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing,wolumen 175, strony 175–179. Bangalore, Indie, 1984.

[12] A. K. Ekert. Quantum cryptography based on Bell’s theorem. Phys. Rev. Lett., 67(6):661,1991.

[13] V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone. Quantum metrology. Phys. Rev. Lett., 96:010401,2006.

[14] P. Kok, H. Lee, J. P. Dowling. Creation of large-photon-number path entanglement condi-tioned on photodetection. Phys. Rev. A, 65:052104, 2002.

[15] D. Deutsch. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum com-puter. Proc. R. Soc. A, 400:97–117, 1985.

[16] P. W. Shor. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms ona quantum computer. SIAM J. Comput., 26:1484–1509, 1997.

[17] R. P. Feynman. Simulating physics with computers. Int. J. Theor. Phys., 21:467–488, 1982.

[18] B. P. Lanyon, J. D. Whitfield, G. G. Gillett, M. E. Goggin, M. P. Almeida, I. Kassal, J. D.Biamonte, M. Mohseni, B. J. Powell, M. Barbieri, A. Aspuru-Guzik, A. G. White. Towardsquantum chemistry on a quantum computer. Nature Chem., 2:106–111, 2010.

[19] T. D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura, C. Monroe, J. L. O’Brien. Quantumcomputers. Nature, 464:45–53, 2010.

120 BIBLIOGRAFIA

[20] M. Steffen. Superconducting qubits are getting serious. Physics, 4:103, 2011.

[21] H. Haffner, C. F. Roos, R. Blatt. Quantum computing with trapped ions. Phys. Rep.,469:155–203, 2008.

[22] A. V. Sergienko, G. S. Jaeger. Quantum information processing and precise optical measu-rement with entangled-photon pairs. Contemp. Phys., 44:341–356, 2003.

[23] J. L. O’Brien, A. Furusawa, J. Vucković. Photonic quantum technologies. Nature Photon.,3:687–695, 2009.

[24] idQuantique (Szwajcaria), http://www.idquantique.com, MagiQ Technologies (USA),http://www.magiqtech.com.

[25] LIGO Scientific Collaboration, J. Abadie, B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. Aber-nathy, C. Adams, R. Adhikari, C. Affeldt, B. Allen, et al. A gravitational wave observatoryoperating beyond the quantum shot-noise limit. Nature Phys., 7:962–965, 2011.

[26] M. Aspelmeyer, T. Jennewein, M. Pfennigbauer, W. Leeb, A. Zeilinger. Long-distance qu-antum communication with entangled photons using satellites. IEEE J. Sel. Top. QuantumElectron., 9:1541–1551, 2003.

[27] H. J. Kimble. The quantum internet. Nature, 453:1023–1030, 2008.

[28] P. Kumar, P. Kwiat, A. Migdall, S. W. Nam, J. Vucković, F. N. C. Wong. Photonictechnologies for quantum information processing. Quantum Inf. Process., 3:215–231, 2004.10.1007/s11128-004-3102-4.

[29] S. A. Castelletto, R. E. Scholten. Heralded single photon sources: a route towards quantumcommunication technology and photon standards. Eur. Phys. J. Appl. Phys., 41:181–194,2008.

[30] M. D. Eisaman, J. Fan, A. Migdall, S. V. Polyakov. Single-photon sources and detectors.Rev. Sci. Instr., 82:071101, 2011.

[31] E. Moreau, I. Robert, J. M. Gerard, I. Abram, L. Manin, V. Thierry-Mieg. Single-mode solid-state single photon source based on isolated quantum dots in pillar microcavities. Appl. Phys.Lett., 79:2865, 2001.

[32] A. Dousse, J. Suffczyński, A. Beveratos, O. Krebs, A. Lemaıtre, I. Sagnes, J. Bloch, P. Voisin,P. Senellart. Ultrabright source of entangled photon pairs. Nature, 466:217–220, 2010.

[33] T. M. Babinec, B. J. M. Hausmann, M. Khan, Y. Zhang, J. R. Maze, P. R. Hemmer,M. Loncar. A diamond nanowire single-photon source. Nature Nanotech., 5:195–199, 2010.

[34] D. C. Burnham, D. L. Weinberg. Observation of simultaneity in parametric production ofoptical photon pairs. Phys. Rev. Lett., 25:84–87, 1970.

[35] Y. H. Shih, C. O. Alley. New type of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm experiment using pairsof light quanta produced by optical parametric down conversion. Phys. Rev. Lett., 61:2921–2924, 1988.

[36] P. G. Kwiat, K. Mattle, H. Weinfurter, A. Zeilinger, A. V. Sergienko, Y. Shih. New high-intensity source of polarization-entangled photon pairs. Phys. Rev. Lett., 75:4337, 1995.

[37] P. G. Kwiat, E. Waks, A. G. White, I. Appelbaum, P. H. Eberhard. Ultrabright source ofpolarization-entangled photons. Phys. Rev. A, 60:R773–R776, 1999.

[38] A. B. U’Ren, C. Silberhorn, K. Banaszek, I. A. Walmsley. Efficient conditional preparationof high-fidelity single photon states for fiber-optic quantum networks. Phys. Rev. Lett.,93:093601, 2004.

[39] R. G. Hunsperger. Integrated Optics. Theory and Technology. Springer, 2009.

[40] A. Politi, J. Matthews, M. G. Thompson, J. L. O’Brien. Integrated quantum photonics.IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron., 15:1673–1684, 2009.

BIBLIOGRAFIA 121

[41] B. J. Smith, D. Kundys, N. Thomas-Peter, P. G. R. Smith, I. A. Walmsley. Phase-controlledintegrated photonic quantum circuits. Opt. Expr., 17:13516, 2009.

[42] S. Tanzilli, A. Martin, F. Kaiser, M. P. De Micheli, O. Alibart, D. B. Ostrowsky. On thegenesis and evolution of integrated quantum optics. Laser & Photon. Rev., 6:115–143, 2012.

[43] G. Smith. Phase matching in four-layer optical waveguides. IEEE J. Quantum Electron.,4:288–289, 1968.

[44] L. Kuhn. Nonlinear optics with finite geometry. IEEE J. of Quantum Electron., 5:383–384,1969.

[45] P. K. Tien. Light waves in thin films and integrated optics. Appl. Opt., 10:2395–2413, 1971.

[46] G. I. Stegeman, C. T. Seaton. Nonlinear integrated optics. J. Appl. Phys., 58:57, 1985.

[47] G. I. Stegeman, R. H. Stolen. Waveguides and fibers for nonlinear optics. J. Opt. Soc. Am.B, 6:652–662, 1989.

[48] E. J. Lim, M. M. Fejer, R. L. Byer. Second-harmonic generation of green light in periodicallypoled planar lithium niobate waveguide. Electron. Lett., 25:174–175, 1989.

[49] J. D. Bierlein, D. B. Laubacher, J. B. Brown, C. J. van der Poel. Balanced phase matchingin segmented KTiOPO4 waveguides. Appl. Phys. Lett., 56:1725–1727, 1990.

[50] C. J. van der Poel, J. D. Bierlein, J. B. Brown, S. Colak. Efficient type I blue second-harmonicgeneration in periodically segmented KTiOPO4 waveguides. Appl. Phys. Lett., 57:2074–2076,1990.

[51] S. Tanzilli, W. Tittel, H. de Riedmatten, H. Zbinden, P. Baldi, M. de Micheli, D. B. Ostrow-sky, N. Gisin. PPLN waveguide for quantum communication. Eur. Phys. J. D, 18:155–160,2002.

[52] G. Fujii, N. Namekata, M. Motoya, S. Kurimura, S. Inoue. Bright narrowband source ofphoton pairs at optical telecommunication wavelengths using a type-II periodically poledlithium niobate waveguide. Opt. Express, 15:12769, 2007.

[53] D. N. Nikogosyan. Nonlinear optical crystals: a complete survey. Springer, 2005.

[54] K. S. Buritskii, E. M. Dianov, V. A. Maslov, V. A. Chernykh, E. A. Shcherbakov. Determi-nation of the optical damage threshold of Rb-activated KTP waveguides. Sov. J. QuantumElectron., 21:647–648, 1991.

[55] J. P. Torres, K. Banaszek, I. A. Walmsley. Engineering nonlinear optic sources of photonicentanglement. Progress in Optics, 56:227–325, 2011.

[56] R. W. Boyd. Nonlinear Optics. Academic Press, wydanie 2, 2003.

[57] C. E. Kuklewicz, M. Fiorentino, G. Messin, F. N. Wong, J. H. Shapiro. High-flux sourceof polarization-entangled photons from a periodically poled KTiOPO4 parametric down-converter. Phys. Rev. A, 69:013807, 2004.

[58] T. Kim, M. Fiorentino, F. N. C. Wong. Phase-stable source of polarization-entangled photonsusing a polarization Sagnac interferometer. Phys. Rev. A, 73:012316, 2006.

[59] M. Fiorentino, S. M. Spillane, R. G. Beausoleil, T. D. Roberts, P. Battle, M. W. Munro.Spontaneous parametric down-conversion in periodically poled KTP waveguides and bulkcrystals. Opt. Express, 15:7479–7488, 2007.

[60] M. G. Roelofs, A. Suna, W. Bindloss, J. D. Bierlein. Characterization of optical waveguidesin KTiOPO4 by second harmonic spectroscopy. J. Appl. Phys., 76:4999–5006, 1994.

[61] T. Zhong, F. N. C. Wong, T. D. Roberts, P. Battle. High performance photon-pair sourcebased on a fiber-coupled periodically poled KTiOPO4 waveguide. Opt. Express, 17:12019–12030, 2009.

122 BIBLIOGRAFIA

[62] Y. Wang, V. Petrov, Y. J. Ding, Y. Zheng, J. B. Khurgin, W. P. Risk. Ultrafast generation ofblue light by efficient second-harmonic generation in periodically-poled bulk and waveguidepotassium titanyl phosphate. Appl. Phys. Lett., 73:873, 1998.

[63] K. A. Fedorova, M. A. Cataluna, P. R. Battle, C. M. Kaleva, I. L. Krestnikov, D. A. Livshits,E. U. Rafailov. Orange light generation from a PPKTP waveguide end pumped by a CWquantum-dot tunable laser diode. Appl. Phys. B.–Lasers Opt., 103:528, 2010.

[64] M. E. Anderson, M. Beck, M. G. Raymer, J. D. Bierlein. Quadrature squeezing with ultra-short pulses in nonlinear-optical waveguides. Opt. Lett., 20:620–622, 1995.

[65] K. Banaszek, A. B. U’Ren, I. A. Walmsley. Generation of correlated photons in controlledspatial modes by downconversion in nonlinear waveguides. Opt. Lett., 26:1367–1369, 2001.

[66] M. Avenhaus, M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, G. Leuchs, C. Silberhorn. Experimentalverification of high spectral entanglement for pulsed waveguided spontaneous parametricdown-conversion. Phys. Rev. A, 79:043836, 2009.

[67] A. Eckstein, A. Christ, P. J. Mosley, C. Silberhorn. Highly efficient single-pass source ofpulsed single-mode twin beams of light. Phys. Rev. Lett., 106:013603, 2011.

[68] M. Karpiński, C. Radzewicz, K. Banaszek. Experimental characterization of three-wavemixing in a multimode nonlinear KTiOPO4 waveguide. Appl. Phys. Lett., 94:181105, 2009.

[69] A. Christ, K. Laiho, A. Eckstein, T. Lauckner, P. J. Mosley, C. Silberhorn. Spatial modesin waveguided parametric down-conversion. Phys. Rev. A, 80:033829, 2009.

[70] P. J. Mosley, A. Christ, A. Eckstein, C. Silberhorn. Direct measurement of the spatial-spectral structure of waveguided parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 103:233901,2009.

[71] M. Karpiński, C. Radzewicz, K. Banaszek. Dispersion-based control of modal characteristicsfor parametric down-conversion in a multimode waveguide. Opt. Lett., 37:878–880, 2012.

[72] K. Kato, E. Takaoka. Sellmeier and thermo-optic dispersion formulas for KTP. Appl. Opt.,41:5040–5044, 2002.

[73] A. W. Snyder, J. D. Love. Optical waveguide theory. Chapman & Hall, 1991.

[74] R. J. Black, L. Gagnon. Optical waveguide modes – polarization, coupling, and symmetry.McGraw Hill, 2010.

[75] J. Petykiewicz. Podstawy fizyczne optyki scalonej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, War-szawa, 1989.

[76] R. Andrews. Crystal symmetry effects on nonlinear optical processes in optical waveguides.IEEE J. Quantum Electron., 7:523–529, 1971.

[77] D. Marcuse. Light Transmission Optics. Van Nostrand Reinhold Company, 1972.

[78] E. A. J. Marcatili. Dielectric rectangular waveguide and directional coupler for integratedoptics. Bell Syst. Tech. J., 48:2071–2102, 1969.

[79] D. Marcuse. Theory of Optical Dielectric Waveguides. Academic Press, 1974.

[80] R. A. Steinberg, T. G. Giallorenzi. Modal fields of anisotropic channel waveguides. J. Opt.Soc. Am., 67:523–533, 1977.

[81] G. B. Hocker, W. K. Burns. Mode dispersion in diffused channel waveguides by the effectiveindex method. Appl. Opt., 16:113–118, 1977.

[82] A. Kumar, K. Thyagarajan, A. K. Ghatak. Analysis of rectangular-core dielectric waveguides:an accurate perturbation approach. Opt. Lett., 8:63–65, 1983.

[83] S.-T. Peng, A. A. Oliner. Guidance and leakage properties of a class of open dielectricwaveguides. Part I – Mathematical formulations. IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,29:843–855, 1981.

BIBLIOGRAFIA 123

[84] A. A. Oliner, S.-T. Peng, T.-I. Hsu, A. Sanchez. Guidance and leakage properties of a classof open dielectric waveguides. II – New physical effects. IEEE Trans. Microwave TheoryTechn., 29:855–869, 1981.

[85] J. Ctyroky, M. Cada. Guided and semileaky modes in anisotropic optical waveguides of theLiNbO3 type. Opt. Commun., 27:353–357, 1978.

[86] Allan W. Snyder, Frank Ruhl. Single-mode, single-polarization fibers made of birefringentmaterial. J. Opt. Soc. Am., 73:1165–1174, 1983.

[87] A. B. Sotsky, L. I. Sotskaya. Leaky modes of channel waveguides with uniaxial anisotropy.Opt. Quantum Electron., 31:733–749, 1999.

[88] P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, G. Weinreich. Generation of optical harmonics.Phys. Rev. Lett., 7:118, 1961.

[89] D. A. Kleinman. Nonlinear dielectric polarization in optical media. Phys. Rev., 126:1977–1979, 1962.

[90] P. D. Maker, R. W. Terhune, M. Nisenoff, C. M. Savage. Effects of Dispersion and Focusingon the Production of Optical Harmonics. Phys. Rev. Lett., 8:21–22, 1962.

[91] J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P. S. Pershan. Interactions between LightWaves in a Nonlinear Dielectric. Phys. Rev., 127:1918–1939, 1962.

[92] K. Mizuuchi, K. Yamamoto, M. Kato, H. Sato. Broadening of the phase-matching bandwidthin quasi-phase-matched second-harmonic generation. IEEE J. of Quantum Elect., 30:1596–1604, 1994.

[93] N. E. Yu, S. Kurimura, K. Kitamura. Higher-order quasi-phase matched second harmonicgeneration in periodically poled MgO-doped stoichiometric LiTaO3. J. Korean Phys. Soc.,47:636–639, 2005.

[94] B. Jaskorzyńska, G. Arvidsson, F. Laurell. Periodic structures for phase-matching in secondharmonic generation in titanium lithium niobate waveguides. Proc. SPIE, 651:221–228, 1986.

[95] T. Suhara, H. Nishihara. Theoretical analysis of waveguide second-harmonic generationphase matched with uniform and chirped gratings. IEEE J. Quantum Elect., 26:1265–1276,1990.

[96] S. Helmfrid, G. Arvidsson. Influence of randomly varying domain lengths and nonuniformeffective index on second-harmonic generation in quasi-phase-matching waveguides. J. Opt.Soc. Am. B, strony 797–804, 1991.

[97] A. M. Brańczyk, A. Fedrizzi, T. M. Stace, T. C. Ralph, A. G. White. Engineered opticalnonlinearity for quantum light sources. Opt. Express, 19:55–65, 2011.

[98] M. Yamada, N. Nada, M. Saitoh, K. Watanabe. First-order quasi-phase matched LiNbO3waveguide periodically poled by applying an external field for efficient blue second-harmonicgeneration. Appl. Phys. Lett., 62:435–436, 1993.

[99] Q. Chen, W. P. Risk. Periodic poling of KTiOPO4 using an applied electric field. Electron.Lett., 30:1516–1517, 1994.

[100] H. Karlsson, F. Laurell. Electric field poling of flux grown KTiOPO4. Appl. Phys. Lett.,71:3474–3476, 1997.

[101] M. C. Gupta, W. P. Risk, A. C. G. Nutt, S. D. Lau. Domain inversion in KTiOPO4 usingelectron beam scanning. Appl. Phys. Lett., 63:1167–1169, 1993.

[102] Magel, G. A. and Fejer, M. M., and Byer, R. L. Quasi phase matched second-harmonicgeneration of blue light in periodically poled LiNbO3. Appl. Phys. Lett., 56:108–110, 1990.

[103] T. Rozzi. Modal analysis for nonlinear processes in optical and quasi-optical waveguides.IEEE J. Quantum Electron., 6:539–546, 1970.

[104] E. Conwell. Theory of second-harmonic generation in optical waveguides. IEEE J. QuantumElectron., 9:867–879, 1973.

124 BIBLIOGRAFIA

[105] A. P. Baronavski, H. D. Ladouceur, J. K. Shaw. Analysis of cross correlation, phase velocitymismatch and group velocity mismatches in sum-frequency generation. IEEE J. QuantumElectron., 29:580–589, 1993.

[106] D. B. Anderson, J. T. Boyd, J. D. McMullen. Dielectric waveguide phasematching of infraredparametric interactions. J. Fox, redaktor, Proceedings of the Symposium on SubmillimeterWaves, wolumen 20, strony 191–210. Polytechnic Institute of Brooklyn Press, Nowy Jork,USA, 1971.

[107] D. B. Anderson, J. T. Boyd. Wideband CO2 laser second harmonic generation phase matchedin GaAs thin-film waveguides. Appl. Phys. Lett., 19:266–268, 1971.

[108] P. K. Tien, R. Ulrich, R. J. Martin. Optical second harmonic generation in form of coherentCerenkov radiation from a thin-film waveguide. Appl. Phys. Lett., 17:447–450, 1970.

[109] L. Li, J. J. Burke. Linear propagation characteristics of periodically segmented waveguides.Opt. Lett., 17:1195–1197, 1992.

[110] T. Isoshima, K. Tada. Local normal-mode analysis of second harmonic generation in aperiodic waveguide. IEEE J. Quantum Electron., 33:164–175, 1997.

[111] W. H. Louisell, A. Yariv, A. E. Siegman. Quantum fluctuations and noise in parametricprocesses. I. Phys. Rev., 124:1646–1654, 1961.

[112] J. P. Gordon, W. H. Louisell, L. R. Walker. Quantum fluctuations and noise in parametricprocesses. II. Phys. Rev., 129:481–485, 1963.

[113] W. G. Wagner, R. W. Hellwarth. Quantum noise in a parametric amplifier with lossy modes.Phys. Rev., 133:A915–A920, 1964.

[114] S. E. Harris, M. K. Oshman, R. L. Byer. Observation of tunable optical parametric fluore-scence. Phys. Rev. Lett., 18:732–734, 1967.

[115] D. L. Weinberg. Observation of optical parametric noise pumped by a mercury lamp. J.Appl. Phys., 41:4239, 1970.

[116] G. Tamosauskas, J. Galinis, A. Dubietis, A. Piskarskas. Observation of spontaneous para-metric down-conversion excited by high brightness blue LED. Opt. Express, 18:4310, 2010.

[117] J. Galinis, M. Karpiński, G. Tamosauskas, K. Dobek, A. Piskarskas. Photon coincidencesin spontaneous parametric down-converted radiation excited by a blue LED in bulk LiIO3crystal. Opt. Express, 191:10351, 2011.

[118] D. Bouwmeester, A. K. Ekert, A. Zeilinger. The Physics of Quantum Information: QuantumCryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computation. Springer, 2010.

[119] D. F. Walls, G. J. Milburn. Quantum Optics. Springer, 2010.

[120] W. P. Grice, I. A. Walmsley. Spectral information and distinguishability in type-II down-conversion with a broadband pump. Phys. Rev. A, 56:1627–1634, 1997.

[121] P. M. Leung, W. J. Munro, K. Nemoto, T. C. Ralph. Spectral effects of strong χ(2) nonline-arity for quantum processing. Phys. Rev. A, 79:042307, 2009.

[122] S. M. Spillane, M. Fiorentino, R. G. Beausoleil. Spontaneous parametric down conversion ina nanophotonic waveguide. Opt. Express, 15:8770–8780, 2007.

[123] K. S. Buritskii, E. M. Dianov, V. A. Maslov, V. A. Chernykh, E. A. Shcherbakov. Detectionof the optical anisotropy in KTP:Rb waveguides. Sov. J. Quantum Electron., 20:1280–1281,1990.

[124] J. D. Bierlein, A. Ferretti, L. H. Brixner, W. Y. Hsu. Fabrication and characterization ofoptical waveguides in KTiOPO4. Appl. Physs. Lett., 50:1216–1218, 1987.

[125] A. Christ, C. Silberhorn. Doniesienie prywatne, 2012.

[126] K. Kawano, T. Kitoh. Introduction to Optical Waveguide Analysis: Solving Maxwell’s Equ-ation and the Schrodinger Equation. John Wiley & Sons, 2004.

BIBLIOGRAFIA 125

[127] R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla, S. Helfert. Numerical techniques for modelingguided-wave photonic devices. IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron., 6:150–162, 2000.

[128] A. B. Fallahkhair, K. S. Li, T. E. Murphy. Vector finite difference modesolver for anisotropicdielectric waveguides. J. Lightwave Tech., 26:1423–1431, 2008.

[129] E. M. Conwell. Modes in optical waveguides formed by diffusion. Appl. Phys. Lett., 23:328–329, 1973.

[130] P. Bienstman, S. Selleri, L. Rosa, H. Uranus, W. Hopman, R. Costa, A. Melloni, L. Andreani,J. Hugonin, P. Lalanne, D. Pinto, S. Obayya, M. Dems, K. Panajotov. Modelling leakyphotonic wires: A mode solver comparison. Opt. Quantum Electron., 38:731–759, 2006.

[131] E. Snitzer, H. Osterberg. Observed dielectric waveguide modes in the visible spectrum. J.Opt. Soc. Am., 51:499–505, 1961.

[132] W. K. Burns, G. B. Hocker. End fire coupling between optical fibers and diffused channelwaveguides. Appl. Opt., 16:2048–2050, 1977.

[133] G. Arvidsson, B. Jaskorzyńska. Periodically domain-inverted waveguides in lithium niobatefor second harmonic generation: influence of the shape of the domain boundary on the co-nversion efficiency. International conference on materials for non-linear and electro-optics,wolumen 103, 1989.

[134] S. Emanueli, A. Arie. Temperature-dependent dispersion equations for KTiOPO4 andKTiOAsO4. Appl. Opt., 42:6661–6665, 2003.

[135] T. Zhong, X. Hu, F. N. C. Wong, K. K. Berggren, T. D. Roberts, P. Battle. High-qualityfiber-optic polarization entanglement distribution at 1.3 µm telecom wavelength. Opt. Lett.,2010.

[136] K. Laiho, K. N. Cassemiro, D. Gross, C. Silberhorn. Probing the negative wigner functionof a pulsed single photon point by point. Phys. Rev. Lett., 105:253603, 2010.

[137] C. Clausen, I. Usmani, F. Bussieres, N. Sangouard, M. Afzelius, H. de Riedmatten, N. Gisin.Quantum storage of photonic entanglement in a crystal. Nature, 469:508–511, 2011.

[138] C. K. Hong, Z. Y. Ou, L. Mandel. Measurement of subpicosecond time intervals betweentwo photons by interference. Phys. Rev. Lett., 59:2044–2046, 1987.

[139] P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, P. Wasylczyk, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A.Walmsley. Heralded generation of ultrafast single photons in pure quantum states. Phys.Rev. Lett., 100:133601, 2008.

[140] M. Eibl, S. Gaertner, M. Bourennane, C. Kurtsiefer, M. Żukowski, H. Weinfurter. Expe-rimental observation of four-photon entanglement from parametric down-conversion. Phys.Rev. Lett., 90:200403, 2003.

[141] R. H. Hadfield. Single-photon detectors for optical quantum information applications. NaturePhoton., 3:696–705, 2009.

[142] D. N. Kłyszko. Ob ispolzowanii dwuchfotonnogo swieta dla absolutnoj kalibrowki fotoelek-triczeskich detektorow. Kwantowaja Elektron., 7:1932–1940, 1980.

[143] J. G. Rarity, K. D. Ridley, P. R. Tapster. Absolute measurement of detector quantumefficiency using parametric downconversion. Appl. Opt., 26:4616–4619, 1987.

[144] A. B. U’Ren, C. Silberhorn, J. L. Ball, K. Banaszek, I. A. Walmsley. Characterization of thenonclassical nature of conditionally prepared single photons. Phys. Rev. A, 72:021802, 2005.

[145] PN-EN ISO 11146, Lasery i sprzęt laserowy – Metody badania parametrów wiązki laserowej– Szerokości wiązki, kąt rozbieżności i współczynnik propagacji wiązki, 2005.

[146] A. E. Siegman. How to (maybe) measure laser beam quality. M. Dowley, redaktor, DPSS(Diode Pumped Solid State) Lasers: Applications and Issues, OSA Trends in Optics andPhotonics, strona MQ1. Optical Society of America, 1998.

126 BIBLIOGRAFIA

[147] J. S. Bell. On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. Physics, 1:195–200, 1964.

[148] S. J. Freedman, J. F. Clauser. Experimental test of local hidden-variable theories. Phys.Rev. Lett., 28:938–941, 1972.

[149] J.-W. Pan, Z.-B. Chen, C.-Y. Lu, H. Weinfurter, A. Zeilinger, M. Żukowski. Multi-photonentanglement and interferometry. ArXiv quant-ph 0805.2853, 2008.

[150] J. Volz, M. Weber, D. Schlenk, W. Rosenfeld, J. Vrana, K. Saucke, C. Kurtsiefer, H. We-infurter. Observation of entanglement of a single photon with a trapped atom. Phys. Rev.Lett., 96:030404, 2006.

[151] W. Rosenfeld, J. Hofmann, N. Ortegel, M. Krug, L. Gerard, F. Henkel, M. Weber, H. We-infurter. Entangling two remote Rb-87 atoms. Research in Optical Sciences, OSA TechnicalDigest, strona QW2B.3. Optical Society of America, 2012.

[152] K. C. Lee, M. R. Sprague, B. J. Sussman, J. Nunn, N. K. Langford, X.-M. Jin, T. Champion,P. Michelberger, K. F. Reim, D. England, D. Jaksch, I. A. Walmsley. Entangling macroscopicdiamonds at room temperature. Science, 334:1253, 2011.

[153] K. Jensen, W. Wasilewski, H. Krauter, T. Fernholz, B. M. Nielsen, M. Owari, M. B. Plenio,A. Serafini, M. M. Wolf, E. S. Polzik. Quantum memory for entangled continuous-variablestates. Nature Phys., 7:13–16, 2011.

[154] R. Blatt, D. Wineland. Entangled states of trapped atomic ions. Nature, 453:1008–1015,2008.

[155] L. Ma, O. Slattery, T. Chang, X. Tang. Non-degenerated sequential time-bin entanglementgeneration using periodically poled KTP waveguide. Opt. Express, 17:15799–15807, 2009.

[156] F. N. C. Wong. Time-energy entangled waveguide source for high dimensional QKD. LaserScience, strona LTuF4. Optical Society of America, 2011.

[157] J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt. Proposed experiment to test localhidden-variable theories. Phys. Rev. Lett., 23:880–884, 1969.

[158] S. J. van Enk, N. Lutkenhaus, H. J. Kimble. Experimental procedures for entanglementverification. Phys. Rev. A, 75:052318, 2007.

[159] I. Marcikic, H. de Riedmatten, W. Tittel, V. Scarani, H. Zbinden, N. Gisin. Time-binentangled qubits for quantum communication created by femtosecond pulses. Phys. Rev. A,66:062308, 2002.

[160] H. de Riedmatten, V. Scarani, I. Marcikic, A. Acın, W. Tittel, H. Zbinden, N. Gisin. Twoindependent photon pairs versus four-photon entangled states in parametric down conversion.J. Mod. Opt., 51:1637–1649, 2004.

[161] M. Żukowski, A. Zeilinger, H. Weinfurter. Entangling photons radiated by independent pul-sed sources. D. M. Greenberger, A. Zeilinger, redaktor, Fundamental Problems in QuantumTheory, wolumen 755 serii Ann. New York Acad. Sci., strona 91, 1995.

[162] A. Lamas-Linares, J. C. Howell, D. Bouwmeester. Stimulated emission of polarization-entangled photons. Nature, 412:887–890, 2001.

[163] A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger. Experimental two-photon, three-dimensional entanglementfor quantum communication. Phys. Rev. Lett., 89:240401, 2002.

[164] A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger. Entanglement of the orbital angular momentumstates of photons. Nature, 412:313–316, 2001.

[165] J. T. Barreiro, T.-C. Wei, P. G. Kwiat. Beating the channel capacity limit for linear photonicsuperdense coding. Nature Phys., 4:662, 2008.

[166] I. Usmani, C. Clausen, F. Bussieres, N. Sangouard, M. Afzelius, N. Gisin. Heralded quantumentanglement between two crystals. Nature Photon., 6:234–237, 2012.

BIBLIOGRAFIA 127

[167] M. B. Nasr, S. Carrasco, B. E. A. Saleh, A. V. Sergienko, M. C. Teich, J. P. Torres, L. Torner,D. S. Hum, M. M. Fejer. Ultrabroadband biphotons generated via chirped quasi-phase-matched optical parametric down-conversion. Phys. Rev. Lett., 100:183601, 2008.

[168] A. Fraine, O. Minaeva, D. S. Simon, R. Egorov, A. V. Sergienko. Evaluation of polari-zation mode dispersion in a telecommunication wavelength selective switch using quantuminterferometry. Opt. Express, 20:2025, 2012.

[169] A. M. Brańczyk, T. C. Ralph, W. Helwig, C. Silberhorn. Optimized generation of heraldedFock states using parametric down-conversion. New J. Phys., 12:063001, 2010.

[170] M. Seki, H. Hashizume, R. Sugawara. Two-step purely thermal ion-exchange technique forsingle-mode waveguide devices in glass. Electron. Lett., 24:1258–1259, 1988.

[171] Y. N. Korkishko, V. A. Fedorov, T. M. Morozova, F. Caccavale, F. Gonella, F. Segato.Reverse proton exchange for buried waveguides in LiNbO3. J. Opt. Soc. Am. A, 15:1838–1842, 1998.