Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET ISTOČNO SARAJEVO ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
redovni profesor
dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1
Vremenski konstantne električne struje
Istočno Sarajevo, 2015.
2
Sadržaj
1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON ..................................................................... 4
1.1. O obrazovanju električne struje u čvrstim i tečnim provodnicima .......................................... 4
1.2. Gustina struje i intenzitet struje ............................................................................................... 6
1.3. Prvi Kirhofov zakon ................................................................................................................... 9
2. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST .................................................................. 13
2.1. Definicija specifične provodnosti i specifične otpornosti ....................................................... 13
2.2. Specifična otpornost metalnih provodnika ............................................................................ 13
2.3. Pokretljivost elektrona u metalima......................................................................................... 14
2.4. Superprovodnici ...................................................................................................................... 14
2.5. Električna provodnost dielektrika ........................................................................................... 15
2.6. Gustina snage transformacije električne energije u provodnicima u toplotnu ..................... 15
3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DŽULOV ZAKON ................................................................................ 17
3.1. Otpornici i Omov zakon ........................................................................................................... 17
3.2. Dogovor o računanju napona između krajeva otpornika ....................................................... 18
3.3. Zavisnost otpornosti od temperature ..................................................................................... 19
3.4. Džulov zakon ........................................................................................................................... 19
3.5. Redna, paralelna i mešovita veza otpornika ........................................................................... 20
3.6. Uzemljivači i otpornost uzemljenja. Napon koraka ................................................................ 23
4. ELEKTRIČNI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON ................................................................... 26
4.1. Elektromotorna sila i unutrašnja otpornost generatora ........................................................ 28
4.2. Određivanje jačine struje u električnom kolu sa jednim generatorom i otpornikom ........... 29
4.3. Uslov prenosa maksimalne snage ........................................................................................... 31
4.4. Napon između priključaka generatora.................................................................................... 32
4.5. Određivanje jačine struje u električnom kolu sa više generatora i otpornika ....................... 34
4.6. Potencijal i napon u električnom kolu .................................................................................... 35
4.7. Električne mreže i drugi Kirhofov zakon ................................................................................. 38
4.8. Strujni generatori .................................................................................................................... 39
4.9. Ekvivalencija RSG i RNG ........................................................................................................... 40
4.10. Osnovne integralne jednačine stacionarnog strujnog polja ................................................. 42
5. METODE REŠAVANJA ELEKTRIČNIH MREŽA ................................................................................... 43
5.1. Graf električne mreže .............................................................................................................. 43
5.2. Rešavanje električnih mreža direktnom primenom Kirhofovih zakona ................................. 45
5.3. Metoda konturnih struja ......................................................................................................... 47
5.4. Metoda potencijala čvorova ................................................................................................... 51
5.5. Ekvivalencija veze otpornika u zvezdu i trougao .................................................................... 54
5.6. Delitelj napona i strujni delitelj ............................................................................................... 55
5.7. Teoreme električnih mreža ..................................................................................................... 56
5.7.1. Teoreme linearnosti ......................................................................................................... 56
5.7.2. Teorema superpozicije ..................................................................................................... 58
5.7.3. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti) .............................................................................. 60
5.7.4. Tevenenova i Nortonova teorema (teoreme ekvivalentnog generatora) ....................... 61
5.7.5. Teoreme kompenzacije .................................................................................................... 64
5.7.6. Teorema održanja snage u električnim mrežama ........................................................... 67
5.8. Rešavanje posebnih oblika električnih mreža......................................................................... 67
Metoda proporcionalnih veličina ............................................................................................... 67
Korišćenje simetrije sistema ...................................................................................................... 68
3
5.9. Elementi nelinearnih električnih mreža .................................................................................. 69
6. ELEKTRIČNE MREŽE SA KONDENZATORIMA .................................................................................. 72
6.1. Mreže sa otpornicima i kondenzatorima ................................................................................ 73
6.2. Elektrostatske mreže ............................................................................................................... 74
6.3. Bilans energije u kolima sa kondenzatorima .......................................................................... 77
LITERATURA ........................................................................................................................................ 80
PRILOZI ............................................................................................................................................... 81
SPISAK UPOTREBLJENIH SKRAĆENICA I OZNAKA ........................................................................... 81
4
VREMENSKI KONSTANTNE ELEKTRIČNE STRUJE
1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON
Do sada smo posmatrali elektrostatičko odnosno električno polje koje potiče od makroskopski nepokretnih električnih opterećenja. U ovom drugom delu semestra ćemo proučavati slučajeve kada se veliki broj električnih opterećenja, pod dejstvom električnog polja, kreće, na organizovan način, tj. usmereno, što se naziva električna struja.
Električna struja može biti vremenski nepromenjiva, koja se naziva i vremenski konstantna električna struja ili stalna struja1.
Električna struja može da postoji u svim vrstama provodnika, poluprovodnika, realnih (nesavršenih) izolatora (dielektrika), gasova i vakuumu. Najjednostavnije za analizu su električne struje u čvrstim i tečnim provodnicima.
Iako veću tehničku primenu imaju vremenski promenjive struje, analiza vremenski konstantnih struja je jednostavnija, a metode analize se dobrim delom mogu koristiti i za vremenski promenjive struje, pa je važno dobro ih naučiti.
1.1. O obrazovanju električne struje u čvrstim i tečnim provodnicima
Posmatrajmo dva naelektrisana provodna tela koja se nalaze u čvrstom ili tečnom idealnom dielektriku. Dielektrik može biti homogen ili nehomogen.
Opterećenja na naelektrisanim provodnim telima stvaraju električno polje u svim tačkama dielektrika, pa je dielektrik polarizovan, ali kako u njemu nema slobodnih opterećenja, nema ni opterećenja koja se kreću pod dejstvom tog polja. Zamislimo da se jedno elementarno opterećenje ∆Q>0 pozitivno naelekrisanog tela I na neki način udaljilo sa površi tela i našlo u tački M blizu površi provodnika (nalazi se u vakuumu između molekula dielektrika), slika 1.1.
Slika 1.1. Kretanje jedne naelektrisane čestice pod dejstvom električnog polja
kroz čvrst ili tečan dielektrik
1 Uobičajen je i naziv jednosmerna struja, ali kao što ćemo videti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u oblasti
vremenski promenjivih struja, jednosmerna struja nemora biti i vremenski konstantna.
5
Dalje kretanje tog opterećenja će se odvijati pod dejstvom električnog polja2 koje stvaraju opterećenja na naelektrisanim provodnim telima, ali i pod dejstvom električnog polja koje u svojoj okolini stvaraju elementarne čestice atoma i molekula dielektrika u čijoj se blizini čestica nalazi.
Uprošćena analiza tog kretanja bila bi sledeća: U tački M na ∆Q deluje sila EQF ∆=∆ gde
je E električno polje u toj tački. Pod dejstvom F∆ opterećenje ∆Q se ubrzava u pravcu i smeru
E . Kako se radi o čvrstom ili tečnom dielektriku, molekuli su vrlo blizu i posle kratkog puta ∆Q će se ,,sudariti” sa nekim neutralnim atomom (tačka M’) i ,,stati”. Zatim će se opet ubrzati, ali u smeru E u tački M’. Posle kratkog puta će se opet sudariti i stati u tački M”. Makroskopski, ∆Q će se
kretati duž jedne linije vektora E dok ne stigne do neke tačke N na telu II gdje će se neutralisati sa – ∆Q na telu II3. Pod ,,sudarom” ne podrazumevamo neki stvarni sudar između atoma i elektrona, jer do njega i ne može da dođe. Pod sudarom podrazumevamo da je u jednom kratkom vremenu elektron bio u sastavu atoma i predao mu tom prilikom dio svoje energije. Pod ,,zaustavljanjem” se misli samo na komponentu brzine elektrona koju je stekao pod dejstvom električnog polja. Sličan proces se odvija i u tečnostima, samo što se tamo kreću joni. U poluprovodnicima su to elektroni i tzv. šupljine. Ni u jednom slučaju ne dolazi do nagomilavanja opterećenja, jer kad se jedno opterećenje pomeri, na njegovo mesto dolazi susedno opterećenje. Kako se slobodna opterećenja kreću ka naelektrisanim telima, dolazi do postepene neutralizacije opterećenja na naelektrisanim telima pa električno polje slabi i kretanje opterećenja na kraju prestaje. Prema tome, ovo nije primer vremenski konstantne struje. Da bi se ostvarila vremenski konstantna struja (stalna struja), neophodno je da se naelektrisanje oba tela održava stalnim i pored postepenog procesa neutralizacije, a to se može izvesti na više načina, ali se svi svode na to da se na primer sa tela II stalno uzima pozitivno naelektrisanje i prenosi na telo I, čime se formira strujno kolo4. Ako je ovaj proces stalan, uspostavlja se ravnoteža, između naelektrisanih tela tada postoji vremenski nepromenjivo električno polje, pa će i kretanje naelektrisanja biti vremenski nepromenjivo. Iz opisanog procesa se mogu izvesti tri važna zaključka:
1) Prilikom sudara sa nekom nenaelektrisanom česticom kinetička energija se prenosi na tu česticu zbog čega termičko kretanje čestica u provodniku postaje intenzivnije (provodnik se zagreva), pa u svakom provodniku, u kome postoji električna struja, dolazi do pretvaranja električne energije u toplotnu. To se naziva Džulova pojava (efekat).
2) Za održavanje vremenski nepromenjive struje neophodno je električna opterećenja na telima održavati konstantnim. To se može ostvariti posredstvom neelektričnih (stranih) sila. Naprave unutar kojih postoje strane sile na električna opterećenja nazivaju se izvori električne energije ili električni generator5 (slika 1.2)
2 U provodnim telima slobodni nosioci naelektrisanja mogu se kretati pod različitim dejstvima (na primer difuzno
kretanje). 3 Opisani model je jednostavan, ali uprošćen, pa i netačan, premda ipak dovoljan za dalju analizu. Za stvarni opis
potrebna je kvantna teorija. Mikroskopski gledano, u provodnicima ∑v u ∆v odnosno dv ili u celom provodniku nije
nula, kad nema spoljnjeg polja, i to se manifestuje, makroskopski, kao termički šum. 4 Strujno kolo ili električno kolo je put kojim se zatvaraju strujnice, tj. linije vektora gustine struje, koji ćemo definisati
u podpoglavlju 1.2. Dio prostora u kome postoji električna struja zove se strujno polje. Strujno polje postoji samo u strujnom kolu, a električno polje i u strujnom kolu i izvan njega. 5 Delovi strujnog kola gde su lokalizovane strane sile, nazivaju se generatorima.
6
3) Vrši se ne samo pretvaranje energije generatora u drugi oblik, već i prenošenje energije u sve tačke provodnika. Električno polje igra ulogu posrednika pri prenošenju energije od generatora do mesta gdje se električna energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadržana u tom polju se stalno troši na mestu prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od strane generatora i to veoma velikom brzinom.
Slika1.2. Proces prenošenja energije posredstvom električnog polja u slučaju stalne struje
U slučaju vremenski kontantne struje kroz neko provodno telo, raspodela opterećenja na površima provodnika uključenih u strujno kolo ostaje makroskopski nepromenjena u toku vremena (opterećenja se kreću, ali na mesto onog koje je otišlo dolazi drugo, pa njihova makroskopska gustina ostaje konstantna). Zbog toga je električno polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatičko polje na isti način raspodeljenih naelektrisanja. Zbog toga pojmovi iz elektrostatike važe i ovde (E,U,V). Jedina, ali važna razlika je da kod vremenski konstantnih struja elekrično polje postoji i u unutrašnjosti provodnika. Zbog toga površi provodnika sa vremenski konstantnim strujama nisu ekvipotencijalne. Električno polje igra ulogu posrednika pri prenošenju energije od generatora do mesta gde se električna energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadržana u električnom polju se stalno troši na mestu prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od strane generatora, i to brzinom koja može biti ogromna. Suština je u tome da je električno polje mali rezervoar energije, ali se praktično trenutno dopunjava, a brzina prenosa energije se može menjati praktično trenutno na velikim rastojanjima. To nije slučaj ni sa jednim drugim sistemom za prenos energije (na primer, mehanički, hidraulički).
1.2. Gustina struje i intenzitet struje
Električna struja, odnosno organizovano kretanje velikog broja električnih opterećenja karakteriše se pomoću dve fizičke veličine: - gustina struje, koja je vektorska veličina i opisuje usmereno kretanje električnog opterećenja u nekoj tački. - intenzitet ili ja čina struje, koja je skalarna veličina i opisuje kretanje električnog opterećenja kroz neku makroskopsku površ. Posmatrajmo jednu tačku u nekom vremenski konstantnom strujnom polju (slika 1.3). Neka su slobodni nosioci naelektrisanja svi jednaki i neka je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca Q (pozitivno ili negativno, Q je algebarska veličina). Odnos broja slobodnih nosilaca naelektrisanja i zapremine ∆V jednak je N (naziva se i koncentracija slobodnih nosilaca naelektrisanja)6. Neka je v
6 NQ = ρ – zapreminska gustina slobodnih naelektrisanja.
7
srednja brzina slobodnih naelektrisanja u posmatranoj tački zbog delovanja električnog polja. Tada je gustina električne struje u nekoj tački
vNQJ = (važi za jednu vrstu slobodnih naelektrisanja)7 Po ovoj definiciji strujanje pozitivnih naelektrisanja u jednom smeru i strujanje istih ali negativnih u suprotnom smeru, daje istu gustinu struje
vNQvQN =−− ))((
U metalima su slobodni nosioci naelektrisanja elektroni pa je smer vektora J suprotan
smeru vektora v .
Slika 1.3. Vektor gustine struje i smer stvarnog kretanja elektrona
Vektor gustine struje J , opisuje lokalno kretanje slobodnih nosilaca naelektrisanja,
analogno, vektoru polarizacije P uvedenom u elektrostatici, koji opisuje kako je lokalno dielektrik polarizovan.
Ako ima više različitih slobodnih nosilaca naelektrisanja, na primer rastvor sa više katjona i anjona, tada je
∑=
=n
k
kkk vQNJ1
gde je n - broj različitih slobodnih nosilaca. Posmatrajmo malu ravnu površ površine ∆S u provodniku u kome postoji elekrična struja (slika 1.4).
Slika 1.4. Mala površ kroz koju postoji kretanje naelektrisanja u smeru v Oznake na slici 1.4 imaju sledeća značenja:
- v je srednja brzina slobodnih naelektrisanja u tačkama površi,
- n je jedinična normal na površ, - Q je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca, - N je koncentracija nosioca,
- α je ugao između vektora n i v .
7 Vektor gustine struje J se može smatrati analognim vektoru polarizacijePu dielektricima. Proizvod vQ karakteriše
naelektrisanu česticu.
8
Slobodni nosioci za vreme t∆ pređu put tv∆ (u pravcu vektora v ). Sva opterećenja koja
su se u trenutku t nalazila ispod površi S∆ na odstojanju tv∆ proći će kroz površ S∆ u
intervalu tt ∆+ (slika 1.5).
Slika 1.5. Izračunavanje jačine struje kroz površ S∆ Kako zapreminu kosog paralelopipeda predstavlja proizvod osnovice S∆ i visine ( αcostv∆ ), tj. αcostSv∆∆ , to za vreme ∆t kroz element površi S∆ prođe količina naelektrisanja
αα coscosdt za s kroz tSJtSvNQNQVQ pedaparalelopi ∆∆=∆∆==∆ ∆
Jačina ili intenzitet struje kroz ∆S se definiše kao količnik
αcost za S krozS kroz ⋅∆⋅=
∆∆=∆ ∆∆
∆ SJt
QI (*)
odakle je
SJI ∆=∆ ∆S kroz (**)
Posmatrajmo sada neku veću površ S (slika 1.6).
Slika 1.6. Izračunavanje jačine struje kroz površ S Površ S izdelimo na male površi ∆s. Jačina struje se može izračunati pomoću relacija (*) i (**). Prema tome količina elektriciteta koja u odnosu na normalu prođe kroz površ S za vreme ∆t je
∑∑ ∆∆=∆=∆ ∆∆∆SS
tsJQQ t za S krozt za S kroz
Jačina struje kroz površ S se definiše kao:
∑ ∆=∆
∆= ∆
S
sJt
QI t za S kroz
S kroz
Ako se J menja od tačke do tačke površi S, onda je jačina struje I kroz površ S
9
∫=S
krozS sdJI
Iz definicije jačine struje proizilazi da je jačina struje kroz neku površ jednaka brzini proticanja naelektrisanja kroz tu površ, tj,
dt
dqI =
Jedinica za intenzitet struje je s
C, a ta je jedinica nazvana A (amper).
Ako je strujno polje homogeno ( .constJ = ), površ S ravna, a J normalan na površ, onda je
JSsdJsdJISS
=== ∫∫ , odakle je S
IJ = .
Jedinica za gustinu struje je 2m
A što je mala jedinica pa se češće koristi 2
62
10m
A
mm
A = .
Treba uočiti da su struje koje smo do sada posmatrali struje raspodeljene po zapremini
provodnika, tj. zapreminske struje, iako je gustina struje koja ih opisuje površinska (2m
A ), tj.
S
IJ = (ako je površ normalna na J ).
Postoje, i površinske struje (naelektrisanja koja se kreću po površi), ali se opisuju gustinom
struje koja je linijska (m
A).
Struje kroz tanke provodnike nazivaju se linijske struje , i opisuju se jačinom struje I (jedinica A, amper).
Ako se setimo linijski, površinski i zapreminski raspodeljenih naelektrisanja, treba uočiti da
za razliku od površinskih naelektrisanja koja se opisuju površinskom gustinom čija je jedninica 2m
C ,
površinske struje se opisuju podužnom (linijskom) gustinom struje (m
A), zapreminske struje se
opisuju površinskom gustinom struje (2m
A), a linijske struje jačinom struje I (jedinica A, amper).
Umesto „jačina struje” često se kaže samo „struja”.
1.3. Prvi Kirhofov zakon
Zamislimo neku zatvorenu površ S u provodniku sa vremenski konstantnom strujom. Površ S može i da iseca iz provodnika jedan njegov deo. Definicija za intenzitet struje važi i u tom slučaju. S obzirom da se makroskopsko kretanje i raspodela opterećenja ne menjaju, odatle sledi da tačno onoliko pozitivnih ili negativnih opterećenja koje uđe u površ S za vreme ∆t mora iz nje i da izađe. Ako to nebi bilo tako, došlo bi do stalnog porasta količine pozitivnih ili negativnih opterećenja u zatvorenoj površi S, pa bi se raspodela opterećenja menjala, zbog toga bi se menjalo i polje i onda ne bi struja bila vremenski konstantna. Iz toga zaključujemo da u slučaju vremenski konstantnih struja intenzitet struje kroz svaku zatvorenu površ mora biti jednak nuli, tj.
10
0== ∫S
sdJI
Prehodna relacija predstavlja jednačinu kontinuiteta za stalne (stacionarne struje).
Gornja relacija predstavlja najopštiji iskaz prvog Kirhofovog zakona (I KZ) 8. Znak jačine struje kroz neki presek provodnika zavisi od proizvoljno odabranog smera normale na površ provodnika. Ilustrujmo to na primeru tanke metalne žice (slika 1.7): Očigledno da prikazanu površ, možemo orijentisati u jednu ili drugu stranu, pri čemu jednu od te dve normale možemo smatrati za „pozitivnu“ orijentaciju, pa za fluks vektora gustine struje možemo napisati dve relacije
00cosSJ∆ πcosSJ∆
koje daju istu vrednost ali suprotan predznak.
Slika 1.7. Znak jačine struje zavisi od izabranog smera normale na površ poprečnog preseka Prema tome jačina struje kroz provodnik je algebarska veličina. Jačina struje kroz presek nekog provodnika ima smisla samo ako je poznata „pozitivna“ normala na poprečni presek provodnika. Smer te „pozitivne“ normale naziva se referentni smer struje i obično se označava strelicom pored provodnika (slika 1.8), ili na provodniku, ili indeksima uz oznaku struje, pri čemu struja polazi od kraja označenog prvim indeksom, odnosno prvi indeks označava kraj provodnika u koji ulazi struja, u drugi indeks kraj provodnika iz koga izlazi struja (odnosno pozitivna naelektrisanja).
Slika 1.8. Načini označavanja referentnog smera struje kroz provodnik
Posmatrajmo sada neku zatvorenu površ S koja preseca žicu na mestima 1 i 2 (slika 1.9).
8 Postoji opštiji oblik ove relacije, koji važi za bilo kakve struje, tj. i
dt
dQsdJ uS
S
=−=∫ . Za stalne (stacionarne)
struje 0=dt
dQuS. Iz relacije 0=∫
S
sdJ sledi da u unutrašnjosti homogenog provodnika nema viška slobodnih
nosilaca naelektrisanja, što se vidi iz 0===== ∫∫∫∫SSSS
uS sdJsdJsdEsdDQσε
σεε , jer je 0=∫
S
sdJ . U
podpoglavlju 2.1 ćemo definisati vezu EJ σ= .
11
Slika 1.9. Zatvorena površ koja preseca provodnik na dva mesta
Prema I KZ količina naelektrisanja koja u nekom intervalu uđe u zatvorenu površ S kroz presek 1 mora biti jednaka količini elektriciteta koja mora da izađe kroz presek 2 (površine preseka
mogu biti različite). Na osnovu IKZ, tj. 21
21
S S 0 krozkroz
SSS
IIsdJsdJsdJ +−=+== ∫∫∫
sledi
21 S krozS kroz II =
pod uslovom da su obe strane računate u odnosu na različite normale. Pošto su ova dva preseka žice proizvoljna (ne moraju biti ni iste veličine ni oblika), odatle sledi da je intenzitet struje kroz svaki presek isti. Ovo je tačno samo ako je pozitivan smer normale na svaki presek provodnika, odnosno referentni smer isti duž provodnika (ako nije, razlika bi bila samo u predznaku). Ovo važi i ako je žica promenjivog preseka. Zbog toga umesto o jačini (intenzitetu) struje kroz neki presek provodnika, možemo da govorimo o intenzitetu struje kroz provodnik. Često se govori o smeru struje kroz provodnik. Kako je jačina struje skalarna veličina, ona nema smer, međutim, ipak joj se pridružuje smer, pa se jačina struje I naziva usmerena skalarna veličina. Pod smerom struje se podrazumeva smer vektora gustine struje, tj. smer kretanja pozitivnog opterećenja, kao što smo već definisali. Prvi KZ odnosi se obično na više žičanih provodnika čiji su krajevi spojeni (slika 1.10a). To se na električnim šemama prkazuje kao na slici 1.10b. Elektri čna šema je pojednostavljen slikovni prikaz električnog kola, gde se elementi kola prikazuju svojim simbolima, a ne detaljima konstrukcije. Mesto gde su provodnici povezani naziva se čvor, koji se na električnim šemama označava tačkom (slika 1.10b).
a) b)
Slika 1.10. Ilustracija I KZ: a) stvarni provodnici, b) električna šema
12
Primenimo I KZ na neku zatvorenu površ S koja obuhvata čvor. Vektor gustine struje
različit je od nule ( 0≠J ) samo na mestima preseka površi S i provodnika (struja kroz vazduh ne teče, u normalnim uslovima). Ti preseci su u našem primeru (slika 1.10a) S1, S2, S3, S4. I KZ u ovom slučaju je:
∫∫∫∫∫ +++==4321
43210SSSSS
sdJsdJsdJsdJsdJ
Svaki od ovih integrala predstavlja intenzitet struje kroz odgovarajući provodnik računat u odnosu na spoljašnju normalu (od čvora), kao referentni smer. Poslednju jednačinu sada možemo da pišemo u obliku:
04321 =−+− IIII
Prema tome za čvor u kome se stiče n provodnika, zbir jačina struja, računat za svaki čvor u odnosu na referentni smer od čvora, mora biti nula, tj.
01
=∑=
n
kkI
Ovo predstavlja I Kirhofov zakon9. Važi za svaku zatvorenu površ koja seče provodnike. To je algebarski zbir struja. Ako struja izlazi iz čvora, ima predznak +, u suprotnom -. Jedinica za intenzitet (jačinu) struje je amper (za koji je oznaka A).
Jačina struje kroz provodnike meri se instrumentom koji se naziva ampermetar. Merenje se obavlja tako što se provodnik prekine i spoji ampermetar (videti u praktikumu za izvođenje laboratorijskih vežbi iz elektrotehnike10. Smrtonosni intenzitet struje kroz telo čoveka je oko (0,2 – 0,6) A, a zavisi i od priključenog napona. Kroz priljkučke štednjaka je struja od 10 do 20 A. Pri udaru groma je struja od 10 do 20 kA, a traje oko 50 µs. U elektronici su struje reda mikro i nano ampera..
9 Osnovne jednačine za rešavanje električnih kola su I i II Kirhofov zakon. II Kirhofov zakon ćemo definisati u
podpoglavlju 4.7. 10
Videti u popisu literature na kraju skripta.
13
2. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST
2.1. Definicija specifične provodnosti i specifične otpornosti
Za održavanje električne struje neophodno je da u svakoj tački provodnika postoji električno
polje. Merenjem se dolazi do zaključka da je vektor J srazmeran vektoru E u toj tački, tj.
EJ σ= što je definicioni izraz za specifičnu provodnost; gde je σ – specifična provodnost i različita je za različite provodnike (materijale). σ se može menjati od tačke do tačke provodnika, pa je tada provodnik nehomogen ( .const≠σ ). Za homogen provodnik
.const=σ Materijali za koje važi relacija EJ σ= nazivaju se linearnim.
Jedinica za σ je simens po metru, tj.
m
S , gde S označava simens.
U praksi se koristi i obratna veza11:
JJE ρσ
== 1
gde je
σρ 1= specifična otpornost.
Jedinica za ρ je [ ]mA
Vm Ω=
, što se čita „om-metar“.
2.2. Specifična otpornost metalnih provodnika Metalni provodnici su najvažnija klasa provodnika, na primer bakar (Cu), srebro (Ag), zlato (Au), aluminijum (Al). Za najveći broj provodnika, pa i metalnih, σ i ρ ne zavise od E, osim ako je jačina polja izuzetno velika. Za takve provodnike se kaže da su linearni. Međutim σ i ρ u velikoj meri zavise od temperature provodnika. Ako opseg promene temperature nije veliki, ρt na nekoj temperaturi t (˚C)12 može se približno izraziti preko ρ0 istog provodnika na 0 ˚C, i ako se to tako uradi onda je
( )tt αρρ += 10
gde su: t – temperatura, α - temperaruski koeficijent specifične otpornosti. Za veće opsege temperatura ili za određivanje ρt sa većom tačnošću, tačnija aproksimacija je
( )320 1 tttt γβαρρ +++=
gde su α, β, γ- temperaturski koeficijenti i određuju se eksperimentalno.
11 Naziva se i Omov zakon u lokalnom obliku. 12
Temperatura se, prema međunardnom sistemu jedinica, izražava u kelvinima (K), a ranije se izražavala u stepenima Celzijusa (˚C).
14
Koeficijent α uglavnom ima pozitivnu vrednost. Postoje metali sa α<0. ρ sa porastom t obično raste jer je na višim temperaturama termičko kretanje u metalima brže i veće pa ih je teže dovesti u organizovano kretanje. U tabeli 2.1 prikazani su podaci za specifičnu otpornost na 0 ˚C i temperaturske koeficijente za neke od metalnih provodnika.
Tabela 2.1. Specifične otpornosti i temperaturski koeficijenti metalnih provodnika Metal (čist) ρ0 [Ωm] x 10-8 α x 10-3 β x 10-6 γ x 10-9 Opseg temperature
(˚C) Al 2,62 4,46 1,8 0 -80 – 400 Cu 1,558 4,27 0 0 -80 – 400 Fe 8,53 7,257 9,63 0 0 – 600 Ag 1,505 3,89 0 0 -80 – 400
2.3. Pokretljivost elektrona u metalima
Na osnovu relacija
vNQJ = i EJρ1=
a imajući u vidu da je u metalnim provodnicima Q = -e, za vektor brzine dobijamo
ENeNe
E
NQ
E
NQ
Jv
ρρρ1−=−===
odnosno
Ev µ= , gde je ρµ
Ne
1−=
Očigledno µ predstavlja pokretljivost slobodnih elektrona.
Primer 2.1. Za bakar je N=8,4 1028 m-3 (koncentracija slobodnih nosilaca) = Natoma (jedan slobodan elektron na jedan atom), Q =-e=-1,6 10-19 C. Specifična provodnost σ na 20 oC je 58 MS/m, pa je µ≈-4,3 (mm/s)/(V/m). Pri gustini struje J=10 A/mm2 (E=0,17 V/m), dobija se v=0,74 mm/s.
2.4. Superprovodnici
Kod nekih materijala na vrlo niskim temperaturama bliskim 0 K ili -273,16 ˚C, ρ naglo pada na nulu (slika 2.1). Za takve provodnike se kaže da su postali savršeni provodnici ili superprovodnici. Olovo postaje superprovodnik na 7,3 K, tantal na 4,38 K, živa na 4,2 K, aluminijum na 1,14 K, ugljenik 60 na 102 K (-171 oC)13. Primena superprovodnika je mnogobrojna i raznovrsna. Struje protiču bez utroška energije, tako da se mogu ostvariti velika magnetska polja. Superprovodnost je otkrivena 1911. godine.
13
Sa ugljenikom 60 pomešanim sa hloroformom (naziva se fuleren), 2002. godine, u Belovim laboratorijama superprovodljivost je postignuta na -106 oC.
15
Slika 2.1. Zavisnost otpornosti od temperature kod superprovodnika
Dakle savršeni provodnici su materijali kod kojih je ρ=0, pa σ→∞. U savršenom
provodniku E=0, bez obzira da li postoji struja ili ne (jer je 0== JE ρ , jer je ρ=0 (važi ako je
∞≠J . Kod savršenog izolatora (dielektrika) je σ=0, pa ρ→∞. Kod savršenih provodnika i savršenih izolatora nema Džulovih gubitaka.
2.5. Električna provodnost dielektrika U prirodi nema dielektrika (izolatora) koji su savršeni. Svaki dielektrik ima neku konačnu specifičnu provodnost (obično malu), odnosno veoma veliku ali ne i beskonačno veliku otpornost. Što se tiče mehanizma provođenja električne struje, postoje dve grupe dielektrika: - dielektrici koji imaju izvestan broj slobodnih elektrona, koji su se otrgnuli iz molekula dielektrika pod dejstvom nekog spoljašnjeg uzroka (na primer, veoma jakog električnog polja), - dielektrici s molekulima raspadnutim na jone, kao na primer elektroliti. Jačine struje u dielektricima su male. Samo pri velikim poljima struje mogu biti značajne. σ najvećeg broja izotropnih dielektrika ne zavisi od E pa se se oni mogu smatrati lošim, ali linearnim provodnicima. ρ dielektrika, koji su, po mehanizmu provođenja struje, slični elektrolitima, bitno se smanjuje sa temperaturom. Pri jakim poljima u dielektriku može doći do dovoljno velikih struja, da unutrašnjost dielektrika počne da se zagrijava. Kako su dielektrici loši toplotni provodnici, razvijena toplota se sporo odvodi, a zagrijani dielektrik ima manje ρ, pa je zbog toga struja još veća, pa se dielektrik još više zagrijava, pa na kraju može doći do topljenja ili do hemijskog raspadanja, pri čemu se izolatorska svojstva gube i dielektrik postaje dobar provodnik. Ta pojava se naziva toplotni proboj dielektrika . Osim temperature, na ρ mnogo utiče i prisustvo nečistoće, nehomogenost strukture, vlažnost itd. Zbog toga se definiše površinska specifična otpornost. Po vlažnoj površi dielektrika mogu da postoje znatno veće struje nego kroz unutrašnjost.
2.6. Gustina snage transformacije električne energije u provodnicima u toplotnu
Posmatrajmo neki provodnik u kome je koncentracija slobodnih nosilaca N, i neka su svi isti, a naelektrisanje svakog je Q, a srednja brzina je v u tački gdje je električno polje E. E i v su istog pravca, ali mogu biti istog ili suprotnog smera, u zavisnosti da li je Q>0 ili je Q<0.
16
Neka u toku intervala ∆t, jedna od čestica, pod dejstvom električne sile, pređe put v∆t, pri
čemu su električne sile izvršile rad tQEvlFA ∆=⋅= . U zapremini ∆V ima N∆v slobodnih nosilaca i svi se u toku intervala ∆t pomere za isti put v∆t. Zbog toga je rad električnih sila pri pomeranju svih slobodnih nosilaca u zapremini ∆v u intervalu ∆t jednak:
vtNQEvA silael ∆∆=∆ .
Kako je JNQv= , onda je
vtJEA silael ∆∆=∆ .
Ovaj rad je izvršen pri ubrzavanju slobodnih nosilaca naelektrisanja između uzastopnih „sudara“. Prema zakonu održanja energije ovaj rad je jednak energiji koja se u zapremini ∆v pretvorila u toplotu. Brzina vršenja tog rada je
PvJEA ∆=∆=∆
∆tsila el.
pa je to snaga električnih sila u zapremini ∆v. Deljenjem prethodnog izraza sa ∆v, dobija se zapreminska gustina snage transformacije električne energije u toplotnu, tj.
2
vJJJJE
P ρρ ===∆∆
Vidi se da se razvijena toplota menja sa kvadratom J. Ovaj izraz se ponekad naziva i Džulov zakon za tačke strujnog polja. Primer 2.2. Provodnik nejednakog poprečnog preseka S i S/n (slika 2.2)
Slika 2.2. Uz analizu gustine snage transformacije električne energije u toplotu:
u tački B je n2 puta veća nego u tački A
U tački A provodnika 1 je S
IJ =1 , a u tački B provodnika 2 je 12 /
nJS
nI
nS
IJ === .
U tački A je 21J
V
P
A
ρ=
∆∆
, a u tački B je ( ) 21
22
122 JnnJJ
V
P
B
ρρρ ===
∆∆
.
Očigledno da ako se struja I povećava, razvijena toplota po jedinici zapremine u delu 2 provodnika će uvek biti n2 puta veća nego u delu 1. Zbog toga će se deo 2 zagrevati mnogo jače od dela 1, i pri velikim strujama će se istopiti mnogo pre nego što se deo provodnika većeg preseka znatnije zagreje. Ovo se koristi za automatsko prekidanje strujnog kola u slučaju nedozvoljeno velikih struja. Tanki delovi provodnika se nazivaju topljivi osigura či.
17
3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DŽULOV ZAKON
3.1. Otpornici i Omov zakon Posmatrajmo veoma dug, prav provodnik, konstantnog, iako proizvoljnog poprečnog preseka površine S. Neka je provodnik homogen14, specifične otpornosti ρ i jačine struje I kroz njega (slika 3.1). Zbog pretpostavljene geometrije, linije vektora gustine struje moraju biti paralelne,
a strujno polje homogeno ( .constJ = ), pa je i električno polje unutar ovakvog provodnika
homogeno, a vektor električnog polja E paralelan osi provodnika. Zbog toga je svaki poprečni presek provodnika jedna ekvipotencijalna površ (slika 3.1).
Slika 3.1. Prav homogen provodnik istog poprečnog preseka sa strujom jačine I
Uočimo dva proizvoljna poprečna preseka 1 i 2. Razlika potencijala (napon) između njih je
EldlEEdlldEVVU ====−= ∫∫∫2
1
2
1
02
1
2112 0cos
(integralimo duž jedne linije vektora E ).
Koristeći relaciju JE ρ= i S
IJ = , dolazimo do relacije
S
IE
ρ= , a zatim i do relacije
za napon
IS
ll
S
IU
ρρ ==12
Očigledno, ako su ρ, l i S konstante, napon između bilo koje dve tačke provodnika srazmeran je jačini struje kroz nju, tj.
RIU =
gde je S
lR
ρ= .
Izraz RIU = se naziva Omov zakon15. Indeksi 1 i 2 su izostavljeni. Konstanta proporcionalnosti R naziva se električna otpornost. Otpornik za koji važi Omov zakon je linearan otpornik, odnosno zavisnost U od I je linearna funkcija (slika 3.2).
14
ρ = const., odnosno σ = const., tj, isto u svim tačkama. 15 Om je do njega došao eksperimentalno.
18
Slika 3.2. Veza između napona na krajevima otpornika i struje kroz otpornik je linearna Iako smo izraz izveli za prav homogen provodnik on važi i za daleko širu klasu provodnika.
Om (Georg Ohm) je do njega došao eksperimentalno. Jedinica za električnu otpornost je
[ ] Ω=
==A
V
I
UR
što se čita „om“. Oznake otpornika na šemama su kao na slici 3.3. Nova oznaka je na slici 3.3a. Oznaka na slici 3.3b se koristi za impedansu (uvest ćemo je kao pojam u Elektrotehnici 2), ali ćemo je ovde ipak koristiti za otpornik (to je čest slučaj u starijim udžbenicima). Oznaka koja se davno koristila je na slici 3.3c. Na slici 3.3d je otpornik čija se vrednost može menjati (promenjivi otpornik), pa oznaka R ne označava vrednost otpornika. Za otpornik na slici 3.3a se kaže „otpornik otpornosti R“.
Slika 3.3. Simboli označavanja otpornika na električnim šemama
Često se umesto R za opisivanje otpornika koristi recipročna vrednost
RG
1= ili 1=GR
pa se Omov zakon može pisati u obliku
GUI = ili G
IU =
G se naziva se provodnost otpornika. Jedinica za provodnost je simens (S):
[ ] 1S
V
A =
=
Ω
3.2. Dogovor o računanju napona između krajeva otpornika Za relaciju
RIU = se podrazumevaju tzv. usaglašeni referentni smerovi za napon na otporniku i struju kroz otpornik (slika 3.4a i b). Referentni kraj za napon (pozitivan kraj, „+“) je tamo gde struja ulazi u otpornik.
a) b)
Slika 3.4. Usaglašeni smerovi napona i struje kod otpornika
19
Ukoliko referentni smerovi za napon i struju nisu usaglašeni, relacije za napon bi izgledale kao na slici 3.4c i d.
c) d)
Slika 3.4. Neusaglašeni smerovi napona i struje kod otpornika
3.3. Zavisnost otpornosti od temperature Posmatrajmo otpornik proizvoljnog oblika, ali od linearnog i homogenog otpornog materijala ρ = const., za koji važi
S
lR
ρ=
Videli smo da je ρ funkcija temperature. Iako se dimenzije otpornika nešto menjaju sa temperaturom to se može zanemariti, pa se R otpornika načinjenog od homogenog, otpornog materijala menja na isti način kao i ρ tog istog materijala (podpoglavlje 2.2), tj.
( )tRRt α+= 10
Prethodni izraz važi za manji opseg temperatura. Ako se radi o većem opsegu temperatura, može se koristiti tačniji izraz
( )320 1 tttRRt γβα +++=
R0 je otpornost na nekoj početnoj temperaturi, 0 oC, a može biti i na 20 oC, što treba biti naznačeno. Ako otpornik nije od homogenog materijala ove formule ne važe.
3.4. Džulov zakon
Pod Džulovim (James Prescott Joule) zakonom podrazumeva se izraz pomoću koga može da se izračuna energija pretvorena u nekom otporniku u toplotu u izvesnom intervalu vremena. Do ovog zakona se takođe došlo eksperimentalno. Posmatrajmo proizvoljan provodnik otpornosti R, struje I i napona između priključaka U. U nekom vremenskom intervalu t kroz otpornik je protekla količina elektriciteta16
ItQ = To opterećenje su kroz otpornik prenele električne sile, pri čemu se izvesna energija
električnog polja pretvorila u otporniku u toplotu.
16 Intenzitet struje I se definiše kao brzina proticanja naelektrisanja kroz površ S (površ poprečnog preseka otpornika),
tj. t
QI
∆∆= , odnosno
dt
dQI = (videti podpoglavlje 1.2). Odatle je ItdtIIdtQ === ∫∫ .
20
Prema definiciji napona električne sile, pri prenošenju količine elektriciteta Q kroz otpornik, izvršile su rad
∫= ldEQA sila el.
UItQUA ==sila el.
Po zakonu održanja energije, energija brojno jednaka ovom radu pretvorila se u otporniku u toplotu, tj.
tR
UtRIRIItUItW
22 ====
Pošto je proces pretvaranja električne energije u toplotnu po pretpostavci vremenski konstantan, snaga te transformacije (brzina kojom otpornik prima enegiju od ostatka kola, zbog toga se otpornik često naziva prijemnik (prijemnik energije)) je
R
URIUIP
22 ===
To su varijante izraza za snagu otpornika (ili prijemnika). Izraz UIP = važi za usklađene referentne smerove za napon na krajevima otpornika i struju kroz otpornik ( 0>P ).
Snaga otpornika se može pisati i u obliku
G
IGUUIP
22 ===
Snaga otpornika često podrazumeva najveću snagu koja se u otporniku može pretvoriti u toplotu bez oštećenja otpornika.
Za vremenski konstantnu struju važi PtW = , jer je .constP = Jedinica za energiju je džul (J), a za snagu vat (W). Utrošena električna energija u elektroenergetici se izražava u kilovatčasovima (kWh). 1kWh=3,6 106 J. Ranije se za energiju koristila i jedinica koja se nazivala kalorija (cal). Odnos kalorije i džula je 1 cal = 4,186 J.
3.5. Redna, paralelna i mešovita veza otpornika Električna kola se prikazuju električnim šemama. Elektri čne šeme su pojednostavljen slikovni prikaz kola, gde se elementi prikazuju svojim simbolima, a ne detaljima konstrukcije. U električnim kolima se elementi (na električnim šemama njihovi simboli) povezuju provodnicima (na šemama su to linije). Na provodniku nema pada napona u električnim šemama, tj. napon između krajeva provodnika jednak je nuli. Oblik i dužina linija (provodnika za povezivanje) na električnim šemama ne moraju odgovarati geometriji stvarnog provodnika u električnim kolima (realnog kola). Tamo gde se linije na šemama presecaju, stavljamo tačku, ukoliko na tom mestu postoji njihov spoj. Svaka veza otpornika koja ima dva kraja može da se posmatra kao jedan ekvivalentni otpornik za datu grupu otpornika. Razlikujemo redne, paralelne i mešovite veze (kombinacija rednih i paralenih veza) otpornika, i veze otpornika u zvezdu (trokraku) i trougao. Redna ili serijska veza otpornika (čija električna šema je prikazana na slici 3.5). Referentni smer struje je označen strelicom, a referentni krajevi napona znakom „+“.
Prema I KZ jačina struje kroz sve otpornike redne veze je ista, pa je prema tome
IRU R 11= , IRU R 22
= , …., IRU nRn=
21
Slika 3.5. Redna veza otpornika17
Napon između krajeva (tačaka) A i B jednak je zbiru napona
nRRRAB UUUU +++= ....21
IRIRIRU nAB +++= ....21
( )IRRRU nAB +++= ....21 U skladu sa slikom 3.6, gde je grupa otpornika u rednoj vezi sa slike 3.5 zamenjena sa jednim ekvivalentnim otpornikom, dolazi se relacije za ekvivalentnu otpornost redne veze otpornika
IRU ekvAB =
gde je
∑=
=+++=n
iinekv RRRRR
121 ....
Očigledno, važi
iekv RR > , i=1 … n
Slika 3.6. Ekvivalentni otpornik
Ovo možemo da napišemo i preko provodnosti
nekv GGGG
1...
111
21
+++=
Paralelna veza otpornika (slika 3.7).
Napon UAB između krajeva svih otpornika je isti, pa je
11 R
UI AB= ,
22 R
UI AB= …
n
ABn R
UI =
Po I KZ ukupna struja I kroz priključke jednaka je zbiru struja kroz provodnike
odnosno
17 Oblik i dužina provodnika koji povezuju otpornike ne moraju odgovarati geometriji provodnika realnog kola. Provodnici na električnoj šemi su bez otpornosti.
nIIII +++= ....21
22
+++=
nAB RRR
UI1
...11
21
Slika 3.7. Paralelna veza otpornika
Kako je
ekv
AB
R
UI =
jer i ovde važi slika 3.6, to je
nekv RRRR
1...
111
21
+++=
odnosno
n
ekv
RRR
R1
...11
1
21
+++=
ili preko provodnosti
∑=
=+++=n
iinekv GGGGG
121 ....
Mešovita veza otpornika (primer na slici 3.8a sa postupkom ekvivalentiranja slika 3.8c-d). Postupak ekvivalentiranja (nalaženja ekvivalenne otpornosti) se odvija tako da se postepeno rešavaju veze koje su čisto redne ili paralelne, dok se na kraju ne dođe do ekvivalentnog otpornika
4
RRekv = . Do ovog rezultata bi trebalo da možete da dođete samostalno. Daćemo samo
međurezultate: 4
31
RRekv = ,
4
72
RRekv = ,
32
73
RRekv = .
a) b)
23
c) c) d)
Slika 3.8 a) mešovita veza otpornika, b, c i d) postupak ekvivalentiranja
3.6. Uzemljivači i otpornost uzemljenja. Napon koraka
Najveći broj prijemnika se uzemljuje tj. vezuje jednim provodnikom za zemlju. Jedan od razloga je bezbednost. Na primer, kod metalnog oklopa šporeta ako dođe do neželjenog spoja sa vodom pod visokim naponom, uzemljenje sprečava da on bude na tom visokom potencijalu opasnom po život. Uzemljenje se izvodi tako što se u zemlju zakopa ili zabije dobar provodnik relativno velike površine (debeo metalni štap koji se zabije u zemlju). To se naziva uzemljivač. Neka je radi jednostavnosti, oblika polulopte, poluprečnika a. Uređaj koji želimo da uzemljimo vezuje se za njega provodnikom (slika 3.10).
Zemlju sa uzemljivačima prijemnika i generatora možemo da posmatramo kao neki otpornik. Njegova otpornost se naziva otpornost uzemljenja. Uzemljivač generatora je obično bolje izveden od uzemljivača prijemnika. Neka je i on oblika polulopte, poluprečnika b (b>>a). Važi da je
zemljeuzemlj ρρ <<.
pa su obe polulopte praktično ekvipotencijalne površi, pa je vektor gustine struje između njih praktično radijalan (slika 3.11).
Slika 3.10. Polusferni uzemljivač
Po I KZ jačina struje kroz svaku zamišljenu polusferu S, u zemlji je ista i jednaka I. Kako je
površina zamišljene polusfere poluprečnika r jednaka 2r2π, to je gustina struje jednaka
22 r
I
S
IJ
π==
Koristeći poznatu vezu JE ρ=
posle zamene prethodnog izraza za J, dobijamo
24
22 r
IE
πρ=
Slika 3.11. Idealizovani prikaz uzemljivača sa slike 3.10
Razlika potencijala između velike i male polulopte (slika 3.11) je
a
b
r
I
r
drIdr
r
IldEVV
b
a
b
a
b
a
ba
−====− ∫∫∫1
222 22 πρ
πρ
πρ
odnosno
−=−ba
IVV ba
11
2πρ
Uz uslov ab >> , tj. ba
11 >> , dobija se a
IVV ba π
ρ2
≈− , pa je otpornost polusfernog
uzemljivača
aI
U
I
VVR abba
uz πρ
2==−=
gde je ρ specifična otpornost zemlje. Prilikom udara groma kroz uzemljivač postoji struja i više hiljada ampera. Ako je sredina u
kojoj je uzemljivač relativno slab provodnik, električno polje u tačkama blizu uzemljivača može imati velike vrednosti. To važi i za tačke na površi zemlje. Napon na površi zemlje u okolini uzemljivača između dve tačke na rastojanju čovečjeg koraka naziva se napon koraka za dati uzemljivač (slika 3.12), i dobija se relacijom.
( )daa
Id
daa
IUkoraka +
=
+−=
πρ
πρ
2
11
2
Napon koraka može biti opasan po život. Zavisi od vrste uzemljivača, jačine struje kroz njega i ρ zemlje. Ovaj napon može biti i nekoliko hiljada volti.
Primer 3.1. Neka je: specifična otpornost zemlje mz Ω= 210ρ , poluprečnik uzemljivača a = 1m. Odrediti otpornost uzemljenja. Za otpornost uzemljenja dobija se
Ω==−
= 92,152 aI
VVR ba
uz πρ
25
Slika 3.12. Napon koraka
Primer 3.2. Odrediti jačinu struje kroz uzemljivač pri zemljospoju kućnog aparata, za uzemljivač iz primera 3.1.
Za jačinu struje se dobija
AV
R
UI
uz
82,13 92,15
220 =Ω
==
Osigurač, koji je obično 16 A, verovatno ne bi pregorio, pa uzemljenje nije uvek garancija sigurnosti od električnog udara.
Primer 3.3. Odrediti napon koraka pri jačini struje kroz uzemljivač, iz primera 3.1, I =
1250A (na primer pri zemljspoju provodnika na potencijalu 20 kV). Napon koraka je
VUkoraka 852675,01
1
1
1
2
1250102
=
+−⋅=
π
26
4. ELEKTRIČNI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON
Do sada smo smatrali da na slobodne elektrone deluje samo električna sila, koja je posledica postojanja električnog polja u provodniku (polje viška naelektrisanja), osim kda smo govorili o generatorima. Međutim na slobodne nosioce mogu, u pojedinim delovima strujnog polja, delovati i druge sile. Od posebnog tehničkog značaja su sile koje deluju u generatorima (koji se nazivaju i izvorima struje, ili izvorima napajanja), jer se u njima jedna vrsta energije (hemijske, mehaničke, svetlosne) pretvara u električni rad. Na primer akumulatori, baterije, obrtni generatori.
Te sile, koje deluju u generatorima, nisu u relaciji sa električnim poljem i nazivaju se i stranim ili pobudnim silama.
Bez generatora ne bi mogla postojati struja, jer mora postojati izvor energije koji nadoknađuje Džulove gubitke, a koji neminovno postoje kad god postoji struja.
U hemijskim izvorima struje (baterijama ili akumulatorima) na slobodne nosioce naelektrisanja deluju elektrohemijske sile. U elektrodinamičkim generatorima (obrtni generatori) na nosioce deluju sile koje nastaju usled elektromagnetske indukcije (pri promeni magnetske indukcije u funkciji vremena, ili pri kretanju provodnika u magnetskom polju)18.
Dakle, što smo i ranije pokazali, za održavanje vremenski konstantne električne struje u provodnicima neophodno je prisustvo stranih sila (neelektričnih) posredstvom kojih se električna opterećenja mogu pomerati u smeru suprotnom od smera delovanja električnih sila.
Stranu silu koja deluje na jedno naelektrisanje označićemo sa strF . Strane sile se uključuju u analizu strujnog polja na sledeći način: U prostoru u kome postoje strane sile, postoji u opštem
slučaju i električno polje (E ) usled viška naelektrisanja (slika 1.2). Zbog toga na jedan slobodni
nosilac naelektrisanja Q deluje i strF i EQF e = . Rezultanta sila koje deluje na naelektrisanje Q je
strstre FEQFF +=+ Da bi se strane sile uključile u jednačine, formalno na isti način kao i električne sile, uvodi
se (matematički) veličina koja se naziva stranim (pobudnim) poljem. Označava se sa strE , a definiše relacijom
strstr EQF = , odnosno Q
FE
strstr =
Definicija je analogna definiciji vektora jačine električnog polja, uvedenog u elektrostatici
Q
FE
e= .
Sada je
( )strstre EEQFF +=+ U prostoru gde postoji samo električno polje viška naelektrisanja, sila koja deluje na jedan
nosilac je EQ . U prostoru u kome postoje i strane sile (u generatoru), sila je ( )strEEQ + . Dakle,
kod generatora se formalno javlja zbir strEE + , umesto samo E . Zbog toga kod linearnih
materijala, u domenu u kome postoje strane sile, mora se pisati ( )strEEJ += σ , koja sada predstavlja konstitutivnu relaciju.
18
O elektromagnetskoj indukciji ćemo govoriti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u prvom delu koji nosi naziv elektromagnetizam.
27
Ako je sredina u kojoj postoje strane sile savršeno provodna (tj. σ→∞), pri konačnoj jačini
struje, mora biti 0=+ strEE .
Ako je sredina konačno velike provodnosti, ali je 0=J (u generatoru nema struje, odnosno
generator je u praznom hodu), i tada je u generatoru 0=+ strEE , odnosno strEE −= .
U opštem slučaju je 0≠+ strEE . Kao primer generatora posmatrajmo elektronsku cev (diodu), slika 4.1a. Usled zagrevanja katode (K) neki elektroni dobijaju toliku srednju kinetičku energiju da mogu savladati električne sile koje ih drže i izađu iz površi metala (termojonska emisija). Deo elektrona koji su napustili katodu koja se zagreva dospevaju na drugu elektrodu, anodu (A, koja se ne zagreva). Zbog toga anoda postaje negativno naelektrisana, a između anode i katode nastaje električno polje koje teži da spreči elektrone da dođu na anodu (kažemo da ih koči). Proces prelaženja elektrona prestaje kada rad koji treba da se izvrši protiv električnih sila postane veći od početne kinetičke enegije elektrona, tj. kada napon između A i K dostigne vrednost datu jednačinom
eUmv =202
1
a) b)
Slika 4.1. Pretvarač toplotne energije u električnu (a), šematski prikaz električnog generatora (b)
Ako bi A i K povezali provodnikom, kroz njega bi počela da teče struja. Ali tada, bi se smanjilo naelektrisanje A i K, pa bi se smanjilo i početno električno polje između njih, pa bi početna brzina elektrona v0 opet postala dovoljna da elektroni mogu da stignu do anode A i pored kočeće električne sile. Na kraju bi se uspostavilo stacionarno stanje u kome onoliko elektrona koliko u nekom vremenskom intervalu dospe sa K na A kroz vakuum (unutar cevi), napusti A kroz provodnik i vrati se na K.
Neelektrične sile koje u ovom slučaju pomeraju električna opterećenja nasuprot delovanju električnih sila su sile inercije elektrona. U ovom generatoru te sile deluju na celom putu od jedne do druge elektrode generatora. To nije uvek slučaj.
U našem primeru je električna sila EeF e −= , a strana sila amF str −= , gde je a ubrzanje elektrona u posmatranom trenutku, a m masa elektrona. Slično, i dve eletrode od odgovarajućeg različitog materijala, koje se nalaze u odgovarajućem rastvoru) se ponašaju kao električni generator (akumulator, baterija). Neelektrične sile, u ovom slučaju, su hemijske sile, koje deluju samo na dodirnoj površini elektroda i rastvora, i teže da spoje jone iz rastvora i atome materijala elektroda u neko novo jedinjenje.
28
4.1. Elektromotorna sila i unutrašnja otpornost generatora
Ponašanje električnih generatora u odnosu na njihove priključke, bez obzira na prirodu stranih sila, opisuje se sa dve veličine: - elektromotorna sila i - unutrašnja otpornost. Posmatrajmo generator šematski prikazan na slici 4.1b. Priključci N i P nisu vezani provodnikom pa kroz generator nema struje tj. kažemo da je generator otvoren ili u praznom hodu.
Pod dejstvom strE pozitivna opterećenja će se nagomilavati na elektrodi P a negativna na elektrodi N. Time se stvara električno polje koje se suprotstavlja daljem naelektrisanju priključaka generatora. Proces naelektrisanja prestaje kada je ukupna sila na naelektrisanje jednaka nuli, tj.
00 =+== estruk FFF Kako je po definiciji
EQF e = , a strstr EQF = odatle sledi
0=+ strEE u svim tačkama otvorenog generatora gde deluju strane sile.
Elektromotorna sila (ems) nekog generatora se definiše kao količnik rada koji izvrše strane
sile u generatoru pri prenošenju kroz generator naelektrisanja ∆Q sa negativne na pozitivnu elektrodu.
Rad stranih sila je
∫∫∫ ∆=∆==P
N
str
P
N
str
P
N
str ldEQldEQldFA
Integracija se obavlja kroz proizvoljnu putanju kroz generator. Elektromotorna sila (ems), koju ćemo označiti velikim slovom E (ne treba mešati sa intenzitetom vektora elektročnog polja) se definiše na sledeći način
∫=∆
=P
N
str ldEQ
AE
Ova jednačina važi za bilo koji režim rada generatora.
U slučaju praznog hoda važi 0=+ strEE a to znači EEstr −= , pa je
NP
N
P
P
N
VVldEldEE −==−= ∫∫
Dakle konačno je
phNP UVVE =−=
Ovo važi za generator u praznom hodu, pa se naziva i napon praznog hoda Uph. Ems je skalarna veličina. Ipak se uvodi pojam smera ems, pri čemu se podrazumeva smer delovanja stranih sila u generatoru na pozitivna opterećenja tj. od N ka P. Kako je rad stranih sila u generatoru pri prenošenju ∆Q sa N na P po definiciji
29
QEAg ∆=∆
ako je jačina vremenski kostantne struje I a njen stvarni smer kroz generator od N ka P tada je
tIQ ∆=∆ gde je ∆t - vremenski interval za koji prođe količina naelektrisanja ∆Q, pa je
tIEAg ∆=∆
Obično se, umesto „rad stranih sila u generatoru“, kaže „rad generatora“. Snaga generatora (rad stranih sila) je tAg ∆∆ / , tj.
EIPg =
Relacija važi pod pretpostavkom da je referentni smer struje takav da izlazi iz pozitivne elektrode (slika 4.2a), tj. usaglašeni smerovi za generator, a slika 4.2b, radi poređenja, za otpornik.
a) b)
Slika 4.2. Usaglašeni smerovi za generator (a) i otpornik (b)
Kada kroz generator postoji struja I, u njemu samom dolazi do pretvaranja jednog dela energije električnog polja u toplotu pa je, kao kod otpornika, snaga Džulovih gubitaka srazmerna kvadratu struje (videti podpoglavlje 3.4).
2gen.u j IRP g=
Rg se često ne može izračunati, a naziva se unutrašnja otpornost generatora. Snaga Džulovih gubitaka, je uvek pozitivna.
4.2. Određivanje jačine struje u električnom kolu sa jednim generatorom i otpornikom
Posmatrajmo generator ems E i unutrašnje otpornosti Rg. Neka je za priključke generatora vezan otpornik otpornosti R, (slika 4.3).
Slika 4.3. Električno kolo (prosto električno kolo)
30
Ovakva veza naziva se električno kolo19. Kroz kolo postoji jačina struje koju za sada ne znamo, a može se odrediti na sledeći način: Pretpostavimo da je jačina struje kroz kolo I, pa je
EIPg =
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru i spoljašnjem kolu (otporniku) jednaka je 2
gen.u j IRP g= i 2
Ru j RIP =
Po zakonu o održanju energije snaga generatora mora biti jednaka ukupnoj snazi gubitaka (u otporniku otpornosti R i u generatoru (na unutrašnjoj otpornosti generatora)), tj.
22 RIIREI g +=
Ako obe strane jednakosti podelimo strujom I, dobija se
( )RRIRIIRE gg +=+=
odakle je
RR
EI
g += (*)
Iz ove jednačine slede dva važna zaključka: 1) Ako stavimo R = 0 kažemo da je generator kratko spojen, onda je
gR
EI =sp. kr.
Ako se izmeri ems generatora kao napon praznog hoda E = Uph, i izmeri struja kratkog spoja Ikr.sp. onda se Rg može, na osnovu tih merenja, izračunati relacijom
sp. kr.I
ERg = .
Ovo je najprostiji način određivanja Rg ali je često praktično nemoguće ostvariti uslove kratkog spoja dovoljno dugo za merenje struje kratkog spoja, a da se generator ne ošteti. Zbog toga se za priključke generatora veže otpornik, tačno poznate otpornosti R, pa se izmeri struja kroz kolo, a zatim se koristeći relaciju (*) izračuna Rg.
I
RIERg
−=
2) Područje u kome se u generatoru električna energija pretvara u toplotu, sigurno se bar delimično „preklapa“ sa područjem u kome deluju strane sile. To znači da se unutrašnja otpornost u
stvarnosti nalazi u samom generatoru. Ali prema relaciji RR
EI
g += električno kolo se može shvatiti
i kao generator bez unutrašnje otpornosti, vezan na rednu vezu otpornika otpornosti gR i R . To
znači da, formalno, svaki generator možemo predstaviti u vidu redne veze tzv. idealnog naponskog generatora (ING, generator čija je unutrašnja otpornost jednaka nuli), i otpornika čija je otpornost jednaka gR . Prema Omovom zakonu, ovako predstavljen generator u odnosu na svoje priključke
ima iste osobine kao realni naponski generator (RNG). To se šematski predstavlja kao a slici 4.4.
19
Neki autori ovakvu vezu, bez grananja (jedna kontura, videti podpoglavlje 4.7, odnosno poglavlje 5), nazivaju prosto električno kolo, a složenije veze, gde postoji grananje, nazivaju električno kolo. Ukoliko se za ovu vezu koristi naziv električno kolo, onda se za složenije veze (sa grananjem) koristi naziv električna mreža.
31
Slika 4.4. Razni načini označavanja generatora na električnim šemama
Desne dve slike, na slici 4.4, su stariji način označavanja naponskog generatora na
električnim šemama. Crta kroz krug označava da generator nema unutrašnju otpornost. Znak „+“ označava referentni kraj (elektrodu) generatora, koji je po pretpostavci na višem potencijalu (referentni smer je od neobeleženog ka obeleženom kraju). Kod starijeg načina označavanja se podrazumeva da duža crta predstavlja referentni kraj, pa znak „+“ i nije neophodan.
4.3. Uslov prenosa maksimalne snage Uslov prenosa maksimalne snage, ili uslov prilagođenja, daje odgovor na pitanje koliku otpornost treba da ima otpornik priključen između krajeva generatora da bi snaga Džulovih gubitaka u otporniku bila maksimalna moguća. Posmatrajmo prosto kolo kao na slici 4.5.
Slika 4.5. Prosto električno kolo za izvođenje uslova prenosa maksimalne snage
Struja u kolu data je izrazom
xg RR
EI
+=
Snaga Džulovih gubitaka na otporniku je
( )222
xg
xxR
RR
REIRP
x +==
Očigledno da je za i , pa pretpostavljamo da negde između može da postoji maksimum (slika 4.6).
32
Slika 4.6. Zavisnost snage na otporniku od vrednosti otpornika u prostom kolu
Najveća snaga dobija se iz uslova
0=x
R
dR
dPx
odnosno ( ) ( )
( ) 02
4
2
=+
+−+
xg
xxgxg
RR
RRRRR, odakle sledi
gx RR = , uz uslov da je Rx pozitivno.
Odavde sledi da su pri prenosu maksimalne snage (prilagođenje po snazi) snage Džulovih gubitaka u generatoru i otporniku Rx iste. Ovo je nepovoljan uslov za prenos velikih snaga i tada se ne koristi. Najčešće se prilagođenje koristi pri prenosu malih snaga. Koeficijent korisnog dejstva Definiše se kao količnik korisne snage (na otporniku otpornosti R) i uložene snage (snage koju ulaže generator), tj.
E
RI
EI
RI
P
P
g
R ===2
η
Kako je RR
EI
g += , to se dobija
RR
R
g +=η .
Pri prilagođenju ( RRg = ), dobija se 5,02
1
2===
R
Rprilη , ili 50%.
Uočite da je na slici 4.5 nepoznati otpornik priključen na realni naponski generator (RNG). Kako se bilo koji deo mreže može zameniti naponskim generatorom (što ćemo videti kada budemo radili Tevenenovu teoremu, odeljak 5.7.4), to umesto otpornika možemo posmatrati i granu neke mreže, a ta grana može biti i generator, i tražiti prilagođenje takve grane na ostatak mreže.
4.4. Napon između priključaka generatora Posmatramo prosto kolo kao na slici 4.5. Najprostiji je slučaj kad je Rg zanemarljivo, teorijski jednako nuli, tj. Rg = 0, (slika 4.7). Tada je struja u kolu
R
E
RR
EI
g
=+
=
33
Slika 4.7. Uz definisanje pojma "idealni naponski generator"
U tom slučaju je napon između krajeva otpornika i krajeva generatora
ERIUU R === bez obzira na jačinu struje kroz generator. Dakle napon između krajeva ovakvog generatora uvek je isti i jednak elektromotornoj sili. Ovakvi generatori se nazivaju idealni naponski generatori (ING). ING mogu da se opišu karakteristikom kao na slici 4.8, a šematski kao na slici 4.9.
Slika 4.8. Karakteristika ING Slika 4.9. Šema ING
Relacije za vezu napona između krajeva ING i elektromotorne sile generatora su
EEVVU BAAB =+=−=
EVVU ABBA −=−= Na višem potencijalu je uvek kraj označen sa plus (+) bez obzira na smer struje. Posmatrajmo sada realni naponski generator (RNG) tj. generator kod koga je Rg ≠ 0. Izračunavanje napona između priključaka generatora se svodi na algebarsko sabiranje napona na krajevima idealnog generatora i otpornika Rg . Često se greši jer se ne vodi računa o referentnom smeru struje. Mogu biti dva slučaja:
1. Referentni smer struje je isti kao i referentni smer elektromotorne sile (slika 4.10a).
a) b)
Slika 4.10. Izračunavanje napona između priključaka realnog naponskog generatora
34
U tom slučaju za napon između krajeva A i B možemo pisati
( ) ( ) EIRUUVVVVVVU gCBACBCCABAAB +−=+=−+−=−=
( ) ( ) IREUUVVVVU gCABCACCBBA +−=+=−+−=
2. Referentni smer struje je suprotan referentnom smeru elektromotorne sile (slika 4.10b).
U slučaju na slici 4.10b, za napon između krajeva realnog naponskog generatora je
EIRUUU gCBACAB +=+=
IREUUU gCABCBA −−=+=
Treba uočiti razliku u predznacima u jednom i drugom slučaju. Relacija koja pokazuje zavisnost napona na krajevima RNG i struje kroz njega, grafički je prikazana na slici 4.11. Na istoj slici je ucrtana i karakteristika ING i idealnog strujnog generatora (ISG) koji ćemo uvesti u podpoglavlju 4.8.
Slika 4.11. Karakteristike ING, RNG i ISG
4.5. Određivanje jačine struje u električnom kolu sa više generatora i otpornika Neka električno kolo sadrži proizvoljan broj generatora i otpornika vezanih u red (slika 4.12).
Slika 4.12. Električno kolo sa više generatora i otpornika vezanih na red
35
U slučaju jednog generatora u kolu smer struje mora biti isti kao i smer elektromotorne sile. U slučaju kao na slici 4.12, nemožemo ništa unapred reći o stvarnom smeru struje, jer on zavisi od smerova i vrednosti elektromotornih sila svih generatora. Zbog toga proizvoljno usvajamo jedan od dva moguća smera struje za referentni. Kako je električno polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatičko polje onda za (prosto) električno kolo mora da važi
0=∫C
ldE
Neka kontura za cirkulaciju vektora električnog polja E bude crtkana linija na slici 4.12, pa
je
faefdecdbcab
C
UUUUUUldE +++++==∫ 0
Kako je
22 EIRU gab += , IRUbc 1=
i tako dalje, to za cirkulaciju vektora E možemo pisati
IREIRIREIRIREIR ggg 1133321220 +−++−+++=
( )3213211320 ggg RRRRRRIEEE ++++++−−= (1)
odakle je
321321
321
ggg RRRRRR
EEEI
++++++−=
odnosno, u opštem obliku zapisano
( )∑∑ ±
=R
EI
Plus (+) za elektromotornu silu se uzima ako se smer elektromotorne sile poklapa sa referentnim smerom struje, u suprotnom se stavlja minus (-). Ako je u razmatranom kolu stvarni smer struje isti kao referentni, tada je smer struje kroz generatore E1 i E3 u smeru njihove elektromotorne sile, a u generatoru E2 suprotan. To znači da generator E2 ne radi kao generator, već kao potrošač, jer se u njemu opterećenja pomeraju nasuprot smeru delovanja stranih sila (ako se radi o akumulatoru, on bi se punio). Po zakonu o održanju energije (videti i odeljak 5.7.6), zbir snaga svih generatora koji rade kao generatori mora biti jednak zbiru Džulovih gubitaka u svim otpornicima i snaga uzetih sa predznakom plus (+) onih generatora koji rade kao prijemnici. Ako relaciju (1) pomnožimo sa strujom I, dobijamo, u stvari, ukupnu snagu generatora i otpornika, o čemu ćemo govoriti kasnije (videti odeljak 5.7.6).
( ) 23213211320 IRRRRRRIEIEIE ggg ++++++−−=
4.6. Potencijal i napon u električnom kolu Posmatrajmo sledeće električno kolo (slika 4.13). Napon između bilo koje dve tačke u kolu jednak je zbiru napona između priključaka pojedinih otpornika i generatora koji se nalaze između te dve tačke.
36
Slika 4.13. Primer određivanja napona između dve tačke u električnom kolu
Taj napon ne zavisi od putanje kojom ga računamo (ovde važi kao u elektrostatici: razlika potencijala (napon) ne zavisi od putanje kojom se računa). Na primer, odredimo napon između tačaka C i G sumirajući duž putanje CDEFG, kao na slici 4.13 (sumiramo idući smerom CDEFG).
IREIRIREIRUUUUU ggFGEFDECDCG 433223 +−+++=+++=
Isti rezultat treba da se dobije za napon između tačaka C i G, ako ga računamo duž putanje CBAG (sumiramo idući smerom CBAG):
IRIREIRUUUU gAGBACBCG 1112 −−+−=++=
Ovaj postupak izračunavanja se može šematizovati. Pri izračunavanju napona u kolu postoje 3 smera o kojima treba voditi računa:
1. smer elektromotorne sile pojedinih generatora 2. referentni smer struje 3. smer duž kola, kojim pri izračunavanju napona idemo od jedne do druge tačke u kolu.
Na osnovu dosadašnjih primera zaključujemo: - u slučaju kretanja od tačke A ka tački B je
( )B kaA od∑∑ −= ERIU AB
Ako se smer putanje od tačke A ka tački B i referentni smer struje kroz otpornik, odnosno smer elektromotorne sile (ems) generatora, poklapaju, sabirci RI odnosno E uzimaju se sa pozitivnim predznakom, imajući u vidu da minus (-) iz formule ostaje. U suprotnom se uzimaju sa negativnim predznakom, a - u slučaju kretanja od tačke B ka tački A je
( )A ka B od∑∑ −= RIEU AB
I ovde važi isto pravilo, ali ako se smer putanje od B do A poklapa sa referentim smerom struje, odnosno referentnim smerom ems generatora. Na primer, odredimo napon između tačaka C i G. Za referentni smer obilaska duž kola usvojimo smer GFEDC, kao na slici 36.
( ) ( ) ( ) ( )IREIRIREIRUUUUU ggDCEDFEGFCG 322334 −−+−−−−−−−=+++=
Slično možemo izraziti i napon između tačaka C i G idući putanjom GABC i videti da dobijamo isti rezultat kao za putanju CBAG.
Napomena: ni jedna od ove dve relacije nemože se primeniti ako putanja prelazi preko idealnog strujnog generatora (ISG).koji ćemo uvesti u podpoglavlju 4.8. Tada treba primeniti opštu relaciju
∑= UU ab
37
gde važi pravilo da kada se ide od B ka A, uzima se „-„ ako se prvo naiđe na referentni kraj otpornika ili generatora, i obrnuto. Osim napona između bilo koje dve tačke, može se definisati i potencijal neke tačke u kolu. Za to je potrebno, u skladu sa definicijom potencijala, odabrati jednu tačku za referentnu tačku potencijala (tačka u kojoj je, po definiciji, potencijal jednak nuli). To može biti bilo koja tačka u samom kolu ili izvan njega. Najčešće se za referentnu tačku uzima tačka na površi zemlje, a jedna tačka u kolu se vezuje provodnikom za zemlju. Tada se kaže da je ta tačka uzemljena, na primer tačka G na slici 4.13. Uobičajene oznake za provodnik koji je uzemljen (vezan za zemlju) su na slici slici 4.14.
Slika 4.14. Šematske oznake za uzemljenje
Izračunavanje potencijala se svodi na izračunavanje razlike potencijala između posmatrane i referentne tačke i za to važi već izloženi postupak. Ako referentnu tačku označimo sa R onda je potencijal neke tačke A
( )R doA od∑∑ −= ERIVA
odnosno
( )A do R od∑∑ −= RIEVA
Za predznake važe ista pravila kao kod određivanja napona. Ako za referentnu tačku izaberemo tačku G (slika 4.13.) onda je napon UCG istovremeno i potencijal tačke C. Zbog toga se ponekad govori o naponu neke tačke u kolu, podrazumevajući pri tome potencijal te tačke, odnosno napon između te tačke i referentne tačke.
Ponekad se koristi i naziv „pad potencijala” ili „pad napona”, na primer na nekom otporniku, pri čemu se misli na razliku potencijala između njegovog pozitivnog i negativnog kraja. Posmatrajmo kolo na slici 4.15a. Dosta očigledna predstava o promeni potencijala duž električnog kola (ili jednog njegovog dela) dobija se crtanjem tzv. potencijalnog dijagrama (slika 4.15b, c, d). To je dijagram u kome se, u odgovarajućoj razmeri, po vertikalnoj osi nanosi potencijal tačaka, a po horizontalnoj osi nanose tačke duž kola srazmerno otpornostima, slika 4.15b, ili bez razmere (bez rastojanja između krajeva ING, slika 4.15c, ili sa rastojanjem između krajeva ING, slika 4.15d, po tačkama u kolu). Potencijali su proračunati i dijagrami crtani za sledeće vrednosti elemenata: E1 = 10 V, E2 = 20 V, Rg1 = 1 Ω, Rg2 = 1 Ω, R1 = R3 = 2 Ω, R2 = 4 Ω. Ako je razmera na horizontalnoj osi proporcionalna otpornostima između krajeva segmenata, tada nagib duži u dijagramu mora biti srazmeran jačini struje kroz posmatrani element.
a)
38
b) c)
d)
Slika 4.15 a) električno kolo, b, c i d) varijante potencijalnog dijagrama tog kola
4.7. Električne mreže i drugi Kirhofov zakon U praksi se mnogo češće koriste složene veze generatora i otpornika i nazivaju se električne mreže ili složena električna kola (slika 4.16).
Slika 4.16. Primer aktivne električne mreže
Ako mreža sadrži generator kaže se da je aktivna mreža, a ako nema generator kaže se da je pasivna. Mreža je linearna ako sadrži samo linearne elemente, a nelinearna ako sadrži bar jedan nelinearan element. Kod električnih mreža razlikujemo:
- čvor - tačka u kojoj se stiču dva ili više provodnika, - grana mreže - redna veza otpornika i generatora između dva čvora, između kojih nema grananja.
39
Ako su struje u granama vremenski konstantne električno polje postoji unutar i u okolini elemenata od kojih je mreža načinjena i ima sve osobine elektrostatičkog polja. Prema tome mora da važi
0=∫C
ldE
(ovo predstavlja drugi Kihofov zakon u najopštijem obliku)
U teoriji mreža je uobičajeno da se ovaj integral izražava preko napona, između krajeva otpornika i generatora, koji se nalazi u granama i obrazuju konturu (grane kola koje čine zatvorenu petlju). Pa se predhodna jednačina može pisati
0=−∑∑ RIE
(drugi Kirhofov zakon, važi za svaku zatvorenu konturu)
Ispred E i RI se podrazumeva predznak plus (+) ako je smer elektromotorne sile, odnosno referentni smer struje isti kao smer obilaženja konture (uočite da minus (-) u formuli ostaje). U suprotnom je predznak minus (-).
I ovde, kao kod računanja napona ili potencijala (podpoglavlje 4.6), ova relacija nemože se primeniti ako putanja prelazi preko ISG, koji ćemo uvesti u podpoglavlju 4.8. Tada treba primeniti opštu relaciju
∑ = 0U
gde važi pravilo: ako se, pri sumiranju, idući u smeru orijentacije konture, prvo naiđe na referentni kraj otpornika ili generatora, uzima se „-„, i obrnuto.
4.8. Strujni generatori
Generator koji ima osobinu da jačina struje kroz njega ne zavisi od otpornosti otpornika koji je priključen na njegove krajeve, pod uslovom da se ta otpornost kreće u izvesnim granicama, ponaša se kao generator konstantne struje, i naziva se idealni strujni generator (ISG). Na primer, za generator na slici 4.17a, pretpostavimo da je Rg >>R, pa je tada
0IR
E
RR
EI
gg
=≈+
=
Očigledno da struja ne zavisi od R, pa takav generator predstavljamo kao na slici 4.17b.
a) b)
Slika 4.17 a) realni naponski generator sa Rg >>R, b) idealni strujni generator
40
U literaturi se sreće više oznaka za ISG, a mi ćemo koristiti oznaku kao na slici 4.18a. Realni strujni generator (RSG) se prikazuje kao paralelna veza ISG i unutrašnje otpornosti Rs (slika 4.18b).
a) b)
Slika 4.18. Električna šema: a) ISG. b) RSG
Strelica (slika 4.18) pokazuje referentni smer struje kroz generator u odnosu na koji se daje
jačina struje sI generatora.
Važno je uočiti da je u grani u kojoj deluje ISG, jačina struje uvek jednaka struji ISG, bez obzira na veličinu otpornosti otpornika ili ems naponskih generatora koji su, eventualno, vezani na red sa takvim ISG, pa je jačina struje u grani uvek unapred poznata. Snaga ISG jednaka je proizvodu jačine struje kroz njega i napona između njegovih priključaka. Jačina struje kroz generator je data, ali napon zavisi od načina priključivanja generatora i mora se odrediti posebno za svaki slučaj. Radi toga se odabire neka kontura u kojoj su poznati naponi na krajevima svih elemenata osim posmatranog strujnog generatora, i taj napon se odredi pomoću II Kirhofovog zakona (II KZ). Usklađeni referentni smerovi za napon i struju ISG su prikazani na slici 4.19 (“+” napona je na kraju gde struja izlazi iz priključka generatora).
Slika 4.19. Usklađeni referentni smerovi za napon i struju ISG
4.9. Ekvivalencija RSG i RNG
Između idealnog naponskog generatora (ING) i idealnog strujnog generator (ISG) nema i nemože biti ekvivalentnosti, jer su oni po definiciji različiti. ING održava stalan napon između priključaka bez obzira na struju kroz njega, a ISG održava stalnu struju kroz sebe bez obzira na napon između svojih priključaka (slika 4.20).
a) b)
Slika 4.20. Karakteristike: a) ING, b) ISG
41
Ekvivalentnost postoji između realnog naponskog generator (RNG) i realnog strujnog generatora (RSG). Ekvivalentnost znači da se ponašaju isto u odnosu na prijemnik proizvoljne otpornosti R (daju istu struju i isti napon u odnosu na priključke). To znači da se uvek može naći RSG koji je ekvivalentan RNG i obrnuto (slika 4.21). Odredimo uslove ekvivalencije, na primer iz uslova jednakosti struja kroz otpornik otpornosti R). U slučaju RNG (slika 4.21a) struja kroz otpornik otpornosti R je
RR
EI
g += (1)
U slučaju RSG (slika 4.21b) napon između priključaka generatora je
RR
RRIU
s
ss +
=
pa je struja kroz otpornik otpornosti R
RR
RI
R
UI
s
ss +
== (2)
(Napomena: paralelna veza Rs i R se može posmatrati kao strujni delitelj, koji ćemo objasniti u odeljku 5.6.)
a) b)
Slika 4.21. Uz izvođenje ekvivalencije RNG (a) i RSG (b) Da bi u oba slučaja jačina struje I bila ista (relacije (1) i (2)), mora biti ispunjen uslov:
gs RR = i ERI ss =
Odatle sledi da je
EGR
EI g
gs ==
Dakle gs RR = i EGR
EI g
gs == su elementi RSG koji je ekvivalentan RNG čiji su
elementi E i Rg. Ako su poznati elementi RSG (Is i Rs), elementi RNG se dobijaju relacijama
sg RR = i ssIRE =
Ako Rg →0 (RNG se svodi na ING), onda i Rs →0, pa bi priključci strujnog generatora bili kratko spojeni, a to znači da, u takvom slučaju, ne postoji strujni generator koji je ekvivalentan naponskom.
Posmatrajući sliku 4.21, zaključuje se da ako su priključci RSG otvoreni, kroz njegovu „unutrašnju“ otpornost Rs postoji struja. To znači da bi u ovakvom generatoru teorijski dolazilo do
42
stalnog pretvaranja električne energije u toplotu. Ovo je ipak samo posledica usvojenog modela RSG, ali ne i njegova stvarna (fizička) osobina. Od vrste generatora u mreži donekle zavisi način na koji se rešava mreža, tj. određivanje struje u njenim granama (što će se videti kod metode konturnih struja i metode potencijala čvorova). Napomenimo da postoje neregularne (nedozvoljene) veze ING i ISG. Na primer ne mogu dva ili više ISG biti u rednoj vezi (jer onda nije jasno koja je struja u toj rednoj vezi, slika 4.22b). ING se mogu nalaziti u paralenoj vezi samo ako su ems svih generatora iste (nije dozvoljena veza ako su ems različite, jer opet nije jasno koji je onda napon na krajevima te veze, slika 4.23b). Nisu dozvoljene veze ni kratkospojeni krajevi ING (slika 4.23a) i otvoreni krajevi ISG (slika 4.22a).
a) b)
Slika 4.22. Neregularne veze ISG: a) otvorena veza, b) redna veza različitih ISG
Slika 4.23. Neregularne veze ING: a) kratak spoj, b) paralelna veza različiti ING
4.10. Osnovne integralne jednačine stacionarnog strujnog polja Sada možemo konstatovati i osnovne integralne jednačine stacionarnog strujnog polja:
1. 0=∫S
sdJ (jednačina kontinuiteta za vremenski konstantne struje, odakle, kao što smo
videli, sledi I Kirhofov zakon za vremenski konstantne struje);
2. 0=∫C
ldE (zakon o cirkulaciji vektora električnog polja, što smo izveli u elektrostatici, a
odakle sledi II Kirhofov zakon);
3. ( )EJJ = koja se naziva konstitutivnom relacijom. Za linearne sredine važi EJ σ= . Uopšteni Gausov zakon takođe važi, ali nije od primarne važnosti, a može se primeniti
ukoliko se, pored raspodele struja, želi odrediti raspodela naelektrisanja.
43
5. METODE REŠAVANJA ELEKTRIČNIH MREŽA
5.1. Graf električne mreže
Za svaku električnu mrežu postoje dve njene karakteristike: - vrsta elemenata u mreži, i - njena geometrijska struktura.
Kada se radi o geometrijskoj strukturi, od interesa je samo način na koji su pojedini elementi međusobno povezani, a ne i dimenzije i oblik spojnih provodnika ili samih elemenata. Da bi se istakla geometrijska struktura mreže, uobičajeno je da se mreža crta samo pomoću linija koje predstavljaju njene grane, i tačaka (ili kružića) koji označavaju čvorove mreže, tj. mesta gde su dva ili više elemenata mreže međusobno povezani. Takav šematski prikaz mreže naziva se graf.
Primer mreže i njenog grafa prikazan je na slici 5.1a i b. Na slici 5.1b su prikazana dva načina crtanja istog grafa. Graf se karakteriše samo brojem grana i čvorova i načinom kako su povezani, a ne i oblikom crtanja grana, što se može uočiti sa slike 5.1b.
. a) b)
Slika 5.1: a) električna mreža, b) dva oblika grafa električne mreže sa slike (a) Graf je planaran ako se grane (linije) ne seku kada se graf crta u jednoj ravni.
Graf je povezan ako između bilo koja dva čvora uvek postoji putanja. Na osnovu grafa električne mreže može se doći do opštih informacija o mreži, koje nisu
vezane za tip elemenata. Pokazaćemo, na osnovu grafa mreže, koliko se nezavisnih jednačina može postaviti po I
Kirhofovom zakonu (I KZ), a koliko po II Kirhofovom zakonu (II KZ). Ako mreža ima nč čvorova, za svaki čvor se može postaviti jednačina po I KZ. Pokazaćemo
da je od njih nč međusobno nezavisno (nč -1) jednačina. Posmatrajmo graf mreže na slici 5.2. Za pisanje I KZ treba uvesti referentne smerove struja
u granama. I KZ za čvor 1, znači sabrati sve struje kroz zatvorenu površ S1. Isto važi za čvor 2, itd. Šta fizički znači sabrati jednačine za čvor 1 i čvor 2?. Struje grana koje spajaju čvorove 1 i 2
javiće se u zbiru dva puta, jednom sa pozitivnim, a drugi put sa negativnim predznakom, pa će se poništiti. Prema tome sabiranje jednačina po I KZ za dva čvora je ekvivalentno primeni I KZ na površ koja obuhvata istovremeno oba čvora (površ S12 na slici 5.2).
Nastavljajući ovako dolazimo do toga da primena I KZ na površ 1−čnS , koja obuhvata sve
čvorove osim jednog (nč–tog), daje zbir jednačina dobijenih za svih (nč-1) čvorova unutar te površi. Sa slike 5.2 se vidi da taj zbir daje jednačinu
0321 =−+ III
44
Ako primenimo I KZ na preostali čvor, dobijamo jednačinu istu kao prethodna, ali sa izmenjenim predznacima, tj.
0321 =+−− III
a to znači da se jednačina za poslednji čvor može dobiti sabiranjem jednačina za prethodnih (nč -1) čvorova, tj. da je posledica svih prethodnih, te da nije nezavisna. Time je pokazano da se za mreže sa nč čvorova može primeniti samo (nč -1) nezavisnih jednačina po I KZ.
Slika 5.2. Sabiranjem jednačina po I KZ za čvor 1 i 2, dobija se jednačina po I KZ za površ
koja obuhvata oba ova čvora
Odredimo broj nezavisnih jednačina koji se može postaviti po II KZ. U tu svrhu posmatrajmo graf na slici 5.3a.
a) b)
Slika 5.3. a) graf električne mreže, b) dva primera stabala mreže na slici (a)
Grane u grafu, koje spajaju sve čvorove, ali ne formiraju ni jednu zatvorenu konturu, nazivaju se grane stabla, a njihova struktura stablo. Svaka mreža ima više stabala (na slici 5.3b su, punim linijama, prikazana dva od mogućih stabala mreže na slici 5.3a). Preostale grane u mreži (crtkane linije na slici 5.3b, nazivaju se spojnice ili spone (i čine kostablo) i neka je njihov broj nk.
Ako mreža ima nč čvorova, stablo ima tačno (nč -1) granu, jer se prva grana stabla završava u dva čvora, a svaka sledeća samo u jednom novom čvoru.
Neka je broj grana u mreži ng, pa imamo u mreži ukupno spojnica ( )1−− čg nn . Svaka
spojnica dodata stablu obrazuje jednu zatvorenu konturu 20 (ne sme se proći dva puta istim putem). Jednačine dobijene po II KZ za sve konture koje obrazuje jedna spojnica i odgovarajuće grane stabla su sigurno međusobno nezavisne, jer takve konture sadrže jednu granu (tu spojnicu) koja ne pripada
20
U planarnom grafu kontura sa osobinom da ravna površ oslonjena na nju ne sadrži nijednu granu grafa naziva se okce.
45
ni jednoj drugoj konturi. Takve konture se nazivaju nezavisne konture ili petlje i njihov broj koji se, u mreži, može odabrati je
( )1−−= čgk nnn
Pored ovakvih nk kontura, u svakoj mreži je moguće odabrati proizvoljan broj drugačijih kontura, koje obrazuju dve ili više spojnica i odgovarajuće grane stabla, ali one nisu nezavisne, pa jednačine po II KZ slede iz jednačina za nezavisne konture.
Na kraju možemo zaključiti: 1 – za mrežu koja ima nč čvorova može se postaviti (nč -1) nezavisnih jednačina po I KZ,
2 – ako posmatrana mreža ima ng grana, po II KZ se može postaviti ( )1−−= čgk nnn
nezavisnih jednačina, 3 – od ng jačina struja u ng grana nezavisno je nk struja, a struje preostalih (nč -1) grana
mreže možemo odrediti preko tih nk struja, 4 – od ng napona između krajeva ng grana mreže nezavisno je (nč -1) napona, tj. naponi
između krajeva preostalih nk grana mogu se izraziti preko tih (nč -1) napona.
5.2. Rešavanje električnih mreža direktnom primenom Kirhofovih zakona
Pod rešavanjem neke električne mreže podrazumeva se određivanje struja u svim njenim granama ili napona između krajeva svih grana.
Postupak direktnom primenom I i II KZ je sledeći. Na osnovu broja grana i čvorova mreže odredi se broj jednačina koje se mogu napisati po I i II KZ:
I KZ: 1−čn
II KZ: ( )1−−= čgk nnn
što čini ukupno ng jednačina, gde su nepoznate struje ng grana. Zatim se nacrta graf mreže i odabere jedno stablo. Dodaje se jedna po jedna spojnica granama stabla i za svaku konturu, koja se pri tom dobije, napiše jednačina po II KZ. Tako se dobija nk jednačina. Preostalih (nč -1) jednačina, piše se po I KZ za bilo kojih (nč -1) čvorova mreže. Zatim se taj sistem jednačina rešava i nalaze jačine struja kroz sve grane mreže. Nedostatak direktne primene I i II KZ je veliki broj jednačina koje treba rešavati. Postoje i druge metode kojima se rešava manji broj jednačina:
- metodom napona između čvorova (potencijala čvorova) rešava se 1−čn jednačina, i
- metodom konturnih struja rešava se ( )1−−= čgk nnn jednačina.
Kod obe ove metode jednačine se pišu na šematizovan način, što ćemo pokazati kasnije. Rešavanje električnih mreža direktnom primenom I i II KZ ilustrovaćemo na primeru mreže
sa slika 5.4a. Postupak rešavanja:
1- obeležimo i usvojimo smerove struja grana (broj grana ng = 6), sa I1, I2, I3, I4, I5, i I6 (slika 5.4b),
2- obeležimo čvorove (broj čvorova nč = 4), sa 1, 2, 3 i 4 (slika 5.4b), 3- odaberemo čvorove za koje pišemo I KZ, neka su to čvorovi 1,2 i 3, 4- nacrtamo graf mreže (slika 5.4c, i odaberemo jedno od mogućih stabala21, zatim nezavisne
konture i orijentišemo ih (slika 5.4d), broj nezavisnih kontura je
( ) ( ) 31461 =−−=−−= čgk nnn
21 Studenti nerado koriste ovaj metod, već radije koriste tzv. heuristički metod, tj. odoka određuju nezavisne konture, ali taj način ponekad ne dovodi do dobrog rezultata.
46
5- pišu se jednačine po I i II KZ.
a) b)
c) d)
Slika 5.4 a) primer električne mreže bez strujnih generatora, b) obeleženi čvorovi i referentni smerovi struja grana, c) graf te mreže, d) jedno od stabala sa označenim i orijentisanim konturama
Jednačine po I KZ:
Čvor 1 0431 =+− III
Čvor 2 0542 =+− III
Čvor 3 0631 =++− III
Jednačine po II KZ22 su
Kontura I 033111 =−−− IRIRE
Kontura II ( ) ( ) 0665544111 =−−−−−− IRIRIRIRE
Kontura III ( ) 055222 =−−− IRIRE
Dobijen je sistem od 6 linearnih jednačina sa 6 nepoznatih (I1, I2, I3, I4, I5, i I6). Ovaj sistem
se može napisati i u obliku
0000 431 =+++−+ III
0000 542 =++−++ III
22 Jednačine se pišu po modelu 0=−∑∑ RIE (nesme se pisati po ovom modelu za konturu koja prolazi kroz ISG),
ili 0=∑U (ako se prvo naiđe na referentni kraj uzima se predznak „-„), objašnjenom u odeljku 4.7. Ako imamo granu
sa ISG onda ona mora da bude obuhvaćena sa samo jednom konturom, tj. ta grana mora biti spojnica.
47
0000 631 =+++++− III
13311 0000 EIRIR =+++−+−
16655441 00 EIRIRIRIR −=+−−++
25522 0000 EIRIR −=++++−
Sistem ovih jednačina je oblika
j
n
kkjk bIa
g
=∑=1
, j = 1, 2, ... , ng
Koeficijenti ajk i bj su poznati, a Ik nepoznate. Ovakav oblik sistema jednačina se dobija i kod nekih drugih metoda.
Rešavanje ovog sistema jednačina se obavlja bilo kojom metodom (zamena, determinante).
5.3. Metoda konturnih struja Primena I i II KZ za izračunavanje struja grana u električnoj mreži zahteva rešavanje
relativno velikog sistema jednačina. Jednačine napisane po I KZ imaju prost oblik i dozvoljavaju da se pomoću njih odmah eliminiše (nč -1) nepoznatih struja, čijom se zamenom u jednačine po II KZ
sistem svodi na ( )1−−= čgk nnn jednačina po isto toliko nepoznatih struja. Za prethodni
primer (podpoglavlje 5.2), izvršimo eliminaciju struja I1, I5 i I6 koje nisu struje nezavisnih grana, a preostale struje nezavisnih grana obeležimo (u skladu sa oznakama kontura) sa
III =3 , IIII =4 i IIIII =2
Prema I KZ je
01 =+− III III odakle sledi III III −=1
05 =+− III IIIII odakle sledi IIIII III −=5
061 =++− III I odakle sledi IIIIII IIIII −=−−=6
Posle zamene tako dobijenih relacija u jednačine po II KZ i sređivanja, dobija se
( ) 1131 0 EIRIRR III −=+−+
( ) 1565411 EIRIRRRRIR IIIIII =−++++−
( ) 25250 EIRRIR IIIII =++−
Dobijeni sistem jednačina ima sledeći opšti oblik:
111131211 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++
222232221 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++
333333231 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++
.
nnnnnIIInIInIn EIRIRIRIR =++++ ... 321
i nazivaju se jednačine konturnih struja . U ovim jednačinama nepoznate struje II, ..., In su struje nezavisnih grana kontura (konturne struje), tj. struje nezavisnih kontura koje bi činile prosto kolo (slika 5.5a).
48
Slika 5.5a. Struje nezavisnih kontura koje bi činile prosta kola električne mreže sa slike 5.4a
Kao što smo ranije napomenuli, metoda konturnih struja omogućuje da se na šematizovan
način napiše ( )1−−= čgk nnn jednačina u kojima su nepoznate konturne struje. Poređenjem
opšteg oblika jednačina sa jednačinama izvedenim u primeru, dolazi se do sledećih pravila za direktno formiranje jednačina po metodi konturnih struja:
Ij – jačina struje u konturi j, j=I, II, ..., n; Rjj – zbir otpornosti grana koje čine konturu j; Rjk = Rkj (j ≠ k) – algebarski zbir otpornosti grana koje su zajedničke za konture j i k, k = I,
II, ..., n; o u zbiru se uzima predznak „+“ ako su smerovi kontura j i k u grani isti, a u
suprotnom se uzima „-„; o ako dve konture nemaju zajedničku granu Rjk = 0;
Ejj - algebarski zbir ems grana koje čine konturu j; o u zbiru se uzima predznak „+“ ako su smer ems i konture isti, a u suprotnom se
uzima „-„.
Ova metoda se naziva i metoda nezavisnih struja. Sistem jednačina je oblika
jj
n
kkjk EIR =∑
=1, j = 1, 2, ..., n = nk
Ako se ovaj sistem jednačina rešava metodom determinanti, konturna struja II je
D
DI I
1= , odnosno u konturi k D
DI k
k =
gde su: - D – determinanta sistema (obrazovana od konstanti uz nepoznate struje), - D1 – determinanta gde su članovi prve kolone zamenjeni sa slobodnim članovima (u Dk su članovi k-te kolone zamenjeni slobodnim članovima)
nnnn
n
n
RRR
RRR
RRR
D
...
......
......
...
...
11
22221
11211
=
nnnnn
n
n
RRE
RRE
RRE
D
...
......
......
...
...
2
22222
11211
1 =
49
Razvojem determinante D1 po prvoj koloni dobija se
1212211111 , ... , nnn DEDEDED +++=
gde su Djk kofaktori ili algebarski komplementi determinante D (j-ta vrsta i k-ta kolona se izostavljaju), tj.
nnnn
n
n
RRR
RRR
RRR
D
...
......
......
...
...
32
33332
22322
11 =
nnnn
n
n
RRR
RRR
RRR
D
...
......
......
...
...
32
33332
11312
21 =
Determinanta D se pomoću Dk razvija po obrazcu
∑=
=n
kkjk DaD
1, gde je ( ) kj
jka +−= 1
Posle zamene izraza za D1 u izraz za II, je
nn
I ED
DE
D
DE
D
DI 1
2221
1111 , ... , +++=
Na sličan način konturna struja Ik dobija se relacijom
nnkkk
k ED
DE
D
DE
D
DI +++= , ... ,22
211
1, k =1, 2, ..., n
Na osnovu izračunatih konturnih struja može se izračunati struja bilo koje grane, kao algebarski zbir konturnih struja kontura kojima pripada posmatrana grana, tj.
konturag II ∑= alg
gde se u zbiru uzima predznak „+“ ako su smer konturne struje poklapa sa smerom struje grane, a u suprotnom se uzima „-„.
Na primer, u posmatranom primeru, struja u grani I1 je
III III −=1 Izvedeni sistem jednačina važi za mreže sa naponskim generatorima. Metoda konturnih
struja se može primeniti i na mreže sa strujnim generatorima uz sledeće napomene: - ako mreža ne sadrži ISG već samo RSG, onda se svi RSG mogu pretvoriti u RNG, i metoda
KS primeniti na već opisani način, - ako mreža sadrži ISG onda se mogu struje tih strujnih generatora smatrati konturnim
strujama, koje su tada poznate (i jednake strujama ISG), ali grana sa ISG nesme da pripada ni jednoj drugoj konturi (mora biti nezavisna grana, stablo birati tako da ne sadrži ISG). Tada se ne pišu jednačine za te konture, ali se te konturne struje strujnih generatora moraju uzeti u obzir. Broj jednačina je tada
( ) sčk nnn −−− 1
gde je ns – broj konturnih struja jednakih strujama ISG. Na primer, ako bi u primeru na slici 5.4, u grani sa R3 bio ISG sa strujom Is1, sa smerom kao
na slici 5.5b, bilo bi
50
1sI II =
a sistem jednačina bi glasio (prva jednačina se u ovom slučaju ne piše)23
222322121 EIRIRIR IIIIIs =++
333332131 EIRIRIR IIIIIs =++
Slika 5.5b. Primer električne mreže sa ISG i postupak po metodi KS
U nekim primerima strujni generator može biti vezan preko više grana (slika 5.6a, pa se
može postupiti na način kao na slikama 5.6b i c. Jednačine za metodi KS mogu se pisati i primenom II KZ na konturu. Na primer za konturu
I, u prvobitnom primeru, je
( ) ( ) ( ) 0 konture za zajednicke grane duž1 3
=−− ∑∑∑ IIiIIkonturedužIkonturedužRIRIE
ili
( ) ( ) ( )IkonturedužIIiIIkontureduž
ERIRI konture za zajednicke grane duž1 3 ∑∑∑ =−
a) b)
23
Treba uočiti da se u ovom slučaju prva jednačina ne piše (poznata je konturna struja II i jednaka Is1. Međutim u preostalim jednačinama postoje članovi sa konturnom strujom II. Pošto je ta struja poznata, ti članovi će, pri sređivanju jednačina, preći u slobodne članove sa desne strane jednačina. Očigledno je da se sada pišu samo dve jednačine. Česta greška je da se napiše opšti oblik sa dve jednačine, pa traže koeficijenti tih jednačina. U takvom slučaju se ne uzmu u obzir konturne struje koje su poznate, što je greška. Preporučuje se da se napiše potpun opšti sistem jednačina koje uključuju i jednačine za konturne struje strujnih generatora (znači u ovom primeru tri jednačine), a zatim obrišu one jednačine čije su konturne struje poznate (u ovom slučaju to je prva jednačina). Tada će u preostalim jednačinama ostati članovi sa poznatim konturnim strujama i neće biti greške.
51
c)
Slika 5.6. a) primer dela električne mreže gde je strujni generator vezan preko više grana, b i c) postupak transformacije u realni naponski generator
5.4. Metoda potencijala čvorova Ranije smo zaključili da od ng napona između krajeva ng grana neke mreže, nezavisno je (nč
-1) napona. Metoda potencijala čvorova (PČ) omogućava da se na šematizovan način napiše (nč -1) jednačina po I KZ u kojima figurišu potencijali (nč -1) čvorova kao nepoznate. Jedan čvor se uzima za referentnu tačku potencijala. Na osnovu potencijala čvorova određuju se naponi između čvorova.
Kada se odrede potencijali čvorova, struje kroz sve grane se određuju pomoću II KZ. Metoda PČ se naziva metoda napona između čvorova i metoda nezavisnih napona. Posmatrajmo granu čiji su krajevi u čvorovima j i k (grana sadrži jedan generator i otpornik,
a smer ems je od čvora j ka čvoru k), slika 5.7.
Slika 5.7. Grana električne mreže između čvorova j i k
Na osnovu definicije razlike potencijala
j dok od
−=− ∑∑
j
kjk
j
kkj RIEVV
je
( ) RIERIEVV kj +−=−−−=−
odakle je jačina struje u grani24
( )kjjk VVER
I −+= 1 (*)
ili
24
Napomena: ako je R = 0, ova jednačina se nemože pisati, jer je G = ∞, pa je i I = ∞. Takođe uočite da ako je referentni smer ems obrnut od onog na slici 5.7, u relaciji (*) i (**) bi ispred E bio predznak „-„.
52
( )kjjk VVEGI −+= (**)
gde je R
G1= .
Prema tome možemo izračunati struju u nekoj grani ako znamo potencijale njenih krajeva i elemente grane. A potencijale krajeva grane upravo dobijamo metodom PČ. Da bismo došli do pravila za pisanje jednačina po metodi PČ, kao primer posmatrajmo čvor 1 na slici 5.8.
Slika 5.8. Primer dela električne mreže bez ING
Za čvor 1 važi I KZ
01312 =−+ sIII
pa koristeći relaciju (*), dobijamo
02
31
1
211 =−−+−+sI
R
VV
R
VVE
odnosno koristeći relaciju (**), dobijamo
( ) ( ) 0312211 =−−+−+ sIVVGVVEG
Posle sređivanja, dobija se
( ) sIEGVGVGVGG +−=−−+ 113221121
Posmatrajmo sada mrežu sa ng grana i nč čvorova. Prema II KZ možemo napisati nč -1 nezavisnih jednačina oblika
0=+∑∑ sg II za nč -1 čvorova.
Ako izaberemo nč čvor, za koji nismo napisali jednačinu po I KZ, za referentni čvor (sa potencijalom nula), i obeležimo ga sa „nula“ (0), a preostale čvorove brojevima od 1 do nč-1 (prenumerišemo po potrebi), i ako svaku struju grane zamenimo relacijom (**), dobijamo potpuni nezavisni sistem od nč-1 jednačina, u kojima će nepoznate biti potencijali čvorova V1, V2, ..., oblika25:
11313212111 ... čnn IVGVGVGVG =++++
22323222121 ... čnn IVGVGVGVG =++++
.
čnnnnnnn IVGVGVGVG =++++ ... 332211
gde su V j – potencijal čvora j, j = 1, 2, ..., n, Gjj – zbir povodnosti svih grana koje se stiču u čvoru j, Gjk = Gkj (j ≠ k) – zbir provodnosti svih grana između čvorova j i k, k = 1, 2, ..., n, uzet sa
negativnim predznakom,
25
Kada mreža ima samo dva čvora, metod PČ se naziva Milmanova (Millman) teorema, i svodi na samo jedan član odakle se direktno nalazi potencijal čvora.
53
( )jsč IGEI
j ∑∑ += - algebarski zbir proizvoda ems generatora u granama koje se stiču
u čvoru j i provodnosti odgovarajuće grane (∑GE), i zbir struja svih strujnih generatora koji se
stiču u čvoru j (∑ sI ).
o za ∑GE, ems sa smerom ka čvoru j uzima se sa predznakom „+“ i obratno;
o za ∑ sI , Is sa smerom ka čvoru j uzima se sa predznakom „+“ i obratno (uočite da je
ovo suprotno nego kod I KZ). Ilustrujmo primenu metode PČ na primeru mreže na slici 5.9. Mreža ima 3 čvora, pa je potrebno napisati sistem od dve jednačine, čiji opšti oblik glasi:
1212111 čIVGVG =+
2222121 čIVGVG =+
Posle određivanja koeficijenata i slobodnih članova, na način kako je objašnjeno26, i uvrštavanja u opšti oblik jednačina, dobijamo
( ) ( ) 22126216421 EGIVGGVGGGG s −=+−+++
( ) ( ) 332226532162 EGEGVGGGGVGG −=+++++−
gde su nepoznate veličine potencijali čvorova V1 i V2.
Slika 5.9. Otpornik vezan na red sa ISG se ne uzima u obzir u jednačinama po metodi PČ
Ako mreža sadrži grane koje obrazuju samo ING, proizvod GE za takve grane je beskonačno
veliki, jer je G = ∞ (Rg = 0), pa metoda PČ nemože direktno da se primeni. Međutim, napon takve grane je konstantan bez obzira na vrednost struje kroz granu. Za primenu metode PČ, potrebno je kao referentni čvor uzeti jedan kraj ING, pa je potencijal drugog kraja (čvora) poznat i jednak ems ING, pa za taj čvor ne treba pisati jednačinu po metodi PČ27. Kao ilustraciju primera mreže se ING i primene metode PČ, zamenimo, u primeru na slici 5.9, ISG sa ING, pri čemu dobijamo mrežu kao na slici 5.10 U ovom slučaju potrebno je pisati samo jednu jednačinu (važi napomena kao kod pisanja jednačina po metodi KS sa ISG) jer je poznat potencijal čvora 1, V1 = E1. Jednačina koja se dobija je
( ) ( ) 332226532162 EGEGVGGGGEGG −=+++++−
gde je nepoznata veličina samo potencijal V2.
26 Uočite da se provodnost otpornika redno vezanog sa ISG ne uzima pri proračunu koeficijenata jkG ili jjG . 27
U vezi grešaka koje se čine kod pisanja jednačina, u ovom slučaju, pogledati napomenu kod metode KS.
54
Slika 5.10. Primer električne mreže sa ING i postupak po metodi PČ
Kada treba odabrati koju metodu primeniti, od metoda KS i PČ pogodnija je ona koja zahteva manje jednačina za rešavanje:
metoda PČ piše se nč -1 jednačina, metoda KS piše se ng –( nč -1) jednačina.
5.5. Ekvivalencija veze otpornika u zvezdu i trougao
Do sada smo zamenjivali redne, paralelne i kombinovane (redno-paralelne) veze otpornika sa ekvivalentnim otpornikom. Uslov ekvivalencije je bio da pri istom naponu između priključaka cele grupe otpornika i ekvivalentnog otpornika, jačina struje kroz priključke bude ista u oba slučaja (time se ne remeti stanje u ostalom delu mreže, ako je to deo mreže). U električnim mrežama se često susreću veze tri otpornika (ili neka druga elementa) u tzv. (trokraku) zvezdu (slika 5.11a, i trougao (slika 5.11b).
a) b)
Slika 5.11. Veza tri otpornika: a) u trougao, b) u zvezdu Uslov ekvivalencije će, očigledno, biti zadovoljen ako jednakim strujama Ia, Ib i Ic u oba slučaja odgovaraju isti potencijali Va, Vb i Vc. Polazeći od ovih uslova, mogu se na više načina izvesti relacije kojima se veza otpornika u zvezdu transformiše u vezu u trougao i obrnuto. S obzirom da to zahteva dosta vremena, nećemo ih izvoditi.
55
Neka su otpornosti otpornika u spoju u zvezdu Ra, Rb i Rc, odnosno njihove provodnosti Ga, Gb i Gc, a otpornosti otpornika u spoju u trougao Rab, Rbc i Rca, odnosno njihove provodnosti Gab, Gbc i Gca, pri čemu je Gi=1/Ri. Ako su poznate otpornosti otpornika u spoju u zvezdu Ra, Rb i Rc, odnosno njihove provodnosti Ga, Gb i Gc, onda se otpornosti odnosno provodnosti otpornika ekvivalentnog spoja u trougao nalaze sledećim relacijama:
c
babaab R
RRRRR ++=
a
cbcbbc R
RRRRR ++=
b
acacca R
RRRRR ++=
cba
baab GGG
GGG
++=
cba
cbbc GGG
GGG
++=
cba
acca GGG
GGG
++=
Ako su poznate otpornosti otpornika u spoju u trougao Rab, Rbc i Rca, odnosno njihove
provodnosti Gab, Gbc i Gca, onda se otpornosti odnosno provodnosti otpornika ekvivalentnog spoja u zvezdu nalaze sledećim relacijama:
cabcab
caaba RRR
RRR
++=
cabcab
bcabb RRR
RRR
++=
cabcab
bccac RRR
RRR
++=
bc
caabcaaba G
GGGGG ++=
ca
abbcabbcb G
GGGGG ++=
ab
bccabcccc G
GGGGG ++=
Primer 5.1. Neka je Ra = Rb = Rc = Rz (simetrična zvezda). Na osnovu relacija ekvivalencije za otpornike trougla dobija se Rab = Rbc = Rca = 3Rz = Rt.
Primer 5.2. Neka je Rab = Rbc = Rca = Rt (simetrični trougao). Na osnovu relacija ekvivalencije za otpornike zvezde dobija se Ra = Rb = Rc = Rt/3 = Rz.
5.6. Delitelj napona i strujni delitelj Poznavanje ovih jednostavnih veza je veoma korisno kod rešavanja zadataka.
Delitelj napona (razdelnik napona) čine redno vezani otpornici (slika 5.12a). Poznate su otpornosti otpornika R1 i R2, i napon U između krajeva delitelja. Treba odrediti napone između krajeva pojedinih otpornika. Očigledno za ovu vezu važe sledeće relacije:
21 RR
UI
+= 11 IRU = 22 IRU =
Posle zamene relacije za I u relacije za U1 i U2, dobija se:
21
11 RR
RUU
+= , i
21
22 RR
RUU
+=
Korisno je uočiti da se u imeniocu krajnjih relacija nalazi zbir otpornosti redno vezanih otpornika, a u brojiocu otpornost onog otpornika između čijih krajeva se traži napon.
56
Slika 5.12. Veza dva otpornika: a) kao delitelj napona, b) kao strujni delitelj
Strujni delitelj (razdelnik) čine paralelno vezani otpornici (slika 5.12b). Poznate su
otpornosti otpornika R1 i R2, i struja I kroz priključke delitelja. Treba odrediti struje kroz svaki od otpornika. Očigledno za ovu vezu važe sledeće relacije po I KZ i II KZ:
21 III +=
2211 IRIR = Rešavanjem ovog sistema jednačina dolazi se do relacija za I1 i I2:
21
21 RR
RII
+= , i
21
12 RR
RII
+=
Korisno je uočiti da se u imeniocu krajnjih relacija nalazi zbir otpornosti otpornika u paralelnim granama, a u brojiocu otpornost onog otpornika kroz koji se struja ne traži.
5.7. Teoreme električnih mreža Svi zadaci u električnim mrežama se mogu rešiti direktnom primenom I i II KZ, ali to zahteva rešavanje mnogo jednačina. Brže se može rešiti primenom šematizovanih postupaka kao što su metoda KS i metoda PČ, ili uprošćavanjem mreže pogodnim transformacijama (među kojima su i transfiguracija zvezda trougao i obrnuto), mada se i ovi postupci zasnivaju na Kirhofovim zakonima. Osim ovoga postoji i više teorema koje slede iz Kirhofovih zakona i jednačina koje opisuju elemente odnosno grane kola. Neke teoreme su opšteg karaktera (teorema kompenzacije i teorema održanja snage u električnim mrežama), dok ostale važe samo za linearna kola (teorema linearnosti, Tevenenova i Nortonova terorema, teorema reciprociteta).
Osnovna namena teorema je olakšavanje rešavanja mreža. Pored toga neke omogućavaju sagledavanje nekih opštih osobina linearnih električnih mreža (teoreme linearnosti i reciprociteta), a neke fizičkih ogranićenja (teorema održanja snage). Neke važe za kola sa samo jednim generatorom (teorema uzajamnosti, neke varijante teoreme linearnosti), a neke za kola sa više generatora (teorema superpozicije).
U praksi se često koriste Tevenenova i Nortonova teorema.
5.7.1. Teoreme linearnosti Teoreme linearnosti važe isključivo, kako im i sam naziv kaže, za linearna kola28. Ima ih više varijanti. Iskazuju činjenicu da između odziva u kolu (napona i struja) i pobude odnosno
28
Ne važe za snage.
57
eksitacije (elektromotornih sila naponskih generatora i struja strujnih generatora) postoje linearne veze. To su teorema proporcionalnosti, teorema superpozicije (koja se obično obrađuje u literaturi kao odvojena, pa ćemo i mi tako postupiti), teorema linearnosti za kolo sa više pobuda, teorema linearne zavisnosti odziva od pobude za kola sa više pobuda, pri čemu se posebno posmatra dejstvo jedne pobude. Teorema proporcionalnosti Važi za kolo u kome postoji samo jedan generator (naponski ili strujni), odnosno samo jedna pobuda. Tada je bilo koji odziv u kolu srazmeran toj pobudi (linearna homogena funkcija)29. Ako je pobuda odnosno eksitacija naponska (ems), a odziv napon, onda imamo aEU = , gde je a konstanta bez dimenzija. Ako je pobuda naponska, a odziv struja, onda je bEI = , gde konstanta b ima dimenziju provodnosti. Ako je pobuda struja (struja strujnog generatora), a odziv napon, onda je
gcIU = , gde konstanta c ima dimenziju otpornosti. I ako je struja pobuda i struja odziv, važi je
gdII = , gde je konstanta d veličina bez dimenzije. Teoremu proporcionalnosti ćemo primeniti u
podpoglavlju 5.8 kod metode proporcionalnih veličina. Teorema linearne zavisnosti odziva od pobude Odnosi se na mrežu sa više pobuda (generatora), pri čemu posebno posmatramo dejstvo jedne pobude. Primenjuje se kada se u kolu sa više pobuda analizira zavisnost od jedne pobude. Teorema tvrdi da je odziv na posmatranu pobudu linearna nehomogena funkcija te pobude Ako je pobuda koju posmatramo naponska, a odziv napon, onda imamo baEU += , gde je a konstantna veličina bez dimenzije, a b konstantna veličina koja je po prirodi napon. Prvi član u zbiru, aE , je odziv na posmatranu pobudu, a b je odziv na sve ostale pobude zajedno. Ako je pobuda naponska, a odziv struja, onda je baEI += , gde je a provodnost, a b je po prirodi struja. Za strujnu pobudu, i napon kao odziv, važi baIU g += , gde a ima prirodu otpornosti, a b je napon. Za strujnu pobudu, i
struju kao odziv, imamo baII g += , gde je a bez dimenzije, a b je po prirodi struja.
Primer 5.3. Na slici 5.13, napon U se može odrediti metodom potencijala čvorova iz jednačine
gIR
E
R
EU
RRR−+=
++
2
2
1
1
321
111,
odakle je 133221
321
133221
231
133221
132
321
2
2
1
1
111 RRRRRR
IRRR
RRRRRR
ERR
RRRRRR
ERR
RRR
IR
E
R
E
U gg
++−
+++
++=
++
−+= ,
što se može napisati u obliku gIEE IaEaEaUg
++= 21 21 (linearna kombinacija pobuda) gde je30
133221
321 RRRRRR
RRaE ++
= , 133221
312 RRRRRR
RRaE ++
= , i 133221
321
RRRRRR
RRRa
gI ++= .
29
Odziv je linearna homogena funkcija pobude, a teorema iskazuje osobinu homogenosti linearnih kola vremenski konstatnih struja. Linearna homogena funkcija je linearna funkcija bez slobodnog člana, odnosno funkcija oblika
axy = (gde je a konstanta). Linearna nehomogena funkcija ima i slobodan član baxy += (gde su a i b konstante). 30 Isti rezultat se dobija teoremom superpozicije.
58
Slika 5.13. Primer električne mreže
Primer 5.4. U mreži sa slike 5.13 posmatramo zavisnost napona U od ems 1E , pri čemu sve
ostale pobude u kolu smatramo konstantnim (zavisnost odziva od pobude).
Napon U se može napisati u obliku baEU += 1 , gde je 133221
32
RRRRRR
RRa
++= , i
133221
3321
133221
231
RRRRRR
IRRR
RRRRRR
ERRb g
++−
++= . Uporedite ovaj rezultat sa primerom 5.3.
5.7.2. Teorema superpozicije Teorema tvrdi da se da se bilo koji odziv u kolu može dobiti kao zbir (superpozicija) odziva na svaku pojedinačnu pobudu. Važi za kola sa više generatora. Naziva se i princip superpozicije. Naziva se i teorema linearnosti za kolo sa više pobuda (primer 5.3). Može se izvesti na sledeći način. Videli smo da se konturne struje u nekoj mreži mogu napisati u obliku (videti podpoglavlje 5.3)
nnk
jjjkkk
k ED
DE
D
DE
D
DE
D
DI +++++= ,. ..,..., ,22
211
1, j = 1, 2, ..., n
Takođe smo videli da su E11, ... , Enn algebarski zbirovi ems generatora mreže (E1, E2, .., Em, neka ih ima m). Isto tako, struje u granama mreže se računaju kao zbirovi ili razlike konturnih struja, pa se na osnovu prehodne jednačine one mogu napisati u obliku
mkmkkgk EaEaEaI +++= ... 2211
gde su ak1, ..., akm konstante koje zavise od otpornosti otpornika u svim granama mreže, ali ne i od ems generatora. Kada mreža, pored m naponskih, sadrži i p strujnih generatora, jednačina za struju grane bi bila oblika31:
spkpskmkmkgk IbIbEaEaI +++++= ... ... 1111
Priroda konstantikia je provodnost, a kib je bez dimenzije.
Prema ovoj jednačini, kada bismo sve generatore osim generatora ems E1 u mreži isključili (ali da njihova unutrašnja otpornost ostane, pa se koeficijenti ne menjaju), jačina struje u grani k bila bi
( ) 111EaI kgk =
Ako bi u mreži ostala samo ems E2, bilo bi
( ) 222EaI kgk = , itd.
31
Očigledno ovo je oblika: odziv je linearna homogena kombinacija pobuda.
59
Prema tome jačina struje u svakoj grani linearne mreže je jednaka algebarskom zbiru jačina struje koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatori, koji deluju u mreži, kada bi delovali pojedinačno. To je formulacija principa (teoreme) superpozicije. On(a) je posledica linearne zavisnosti jačina struje u granama mreže od ems i struja generatora u mreži. Isto važi i za napon na krajevima neke grane. Isključiti (odstraniti, anulirati32) naponski generator (idealni) iz mreže, znači njegove krajeve kratko spojiti (zamena ING kratkim spojem). Isključiti strujni generator (idealni) iz mreže, podrazumeva prekidanje (otvaranje) grane u kojoj deluje (zamena ISG otvorenom vezom).
Primer 5.5. Primena teoreme superpozicije. Za mrežu na slici 5.14a odrediti struju u grani sa otpornikom R3. U skladu sa principom superpozicije, struja I3 (prema referentnom smeru na slici 5.14) u grani sa otpornikom R3, može se odrediti određivanjem struja kroz otpornik R3 u sledeća dva slučaja (slika 5.14b i c), i zatim njihovim sabiranjem (ako je u svim slučajevima zadržan isti referentni smer), tj.
''3
'33 III +=
Na osnovu slike 5.14b, je
53
5
64
64
53
53
1'3 RR
R
RR
RR
RR
RRE
I+
⋅
++
+
=
Na osnovu slike 5.14c, je
43
4
65
65
43
43
2''3 RR
R
RR
RR
RR
RRE
I+
⋅
++
+
−=
Slika 5.14. Primer primene teoreme superpozicije
32
Anuliranje pobude znači postavljanje pobude na nulu ( 0=E , odnosno 0=gI ). To isto, znači da ako u jednačini
stavimo 0=E , odnosno 0=gI , to je isto kao da smo u mreži krajeve ING kratko spojili, odnosno za ISG otvorili.
60
Napomena: kod određivanja struja brzo se dolazi do rešenja ako se primeni princip strujnog delitelja. (Sami nacrtajte šeme na slici 5.14b i c na pogodan način da biste razumeli prethodne relacije. Može li se na primer 5.5 primeniti metoda potencijala čvorova?)
5.7.3. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti) Neka u nekoj linearnoj mreži deluje samo jedan generator ems E i zanemarljive unutrašnje otpornosti. Prema teoremi uzajamnosti ako taj generator vezan u grani j prouzrokuje u grani k struju jačine I, tada bi on prouzrokovao istu toliku jačinu struje u grani j ako bi bio vezan u grani k (slika 5.15).
Slika 5.15. Uz formulaciju teoreme reciprociteta
Dokaz: Polazeći od izraza za konturnu struju po metodi KS (podpoglavlje 5.3)
nnk
jjjkkk
k ED
DE
D
DE
D
DE
D
DI +++++= ,. ..,..., ,22
211
1
a kako postoji generator samo u konturi j (slika 5.15a), to je
jjk
jjjk
k ED
DE
D
DI == , jer je za slučaj a) Ejj = Ej = E
Slično za slučaj na slici 5.15b je
kkj
kkkj
j ED
DE
D
DI == , jer je za slučaj b) Ekk = Ek = E
Kofaktori Djk i Dkj imaju oblike:
( )
( ) ( )
( )
( )...
......
........
........
.......
.......
........
........
....
.1
1
1,1
1,1
11,11,111
nnn
j
j
nkk
kjjk
RR
R
R
RRRR
D+
−
+−
+−=
61
odnosno
( )
( ) ( )
( )
( )...
......
........
........
.......
.......
........
........
....
.1
1
1,1
1,1
11,11,111
nnn
k
k
njj
kjkj
RR
R
R
RRRR
D+
−
+−
+−=
Kako je Rkj = Rjk (videti metodu KS, podpoglavlje 5.3) za svako j i k, sledi da su kolone determinante Dkj iste kao vrste determinante Djk i obrnuto. Kako determinanta ne menja vrednost ako joj vrsta i kolone zamene mesta, sledi da je
jkkj DD =
pa ako su Ej = Ek, sledi da je Ik = Ij, čime je teorema reciprociteta dokazana. Teorema reciprociteta se može proširiti i na strujne izvore, pri čemu se računa napon između nekih tačaka.
5.7.4. Tevenenova i Nortonova teorema (teoreme ekvivalentnog generatora) Prema Tevenenovoj teoremi, svaka mreža se u odnosu na bilo koje svoje dve tačke ponaša kao realni naponski generator (RNG). Ako se ekvivalentni generator predstavlja kao realni strujni generator (RSG), teorema se naziva Nortonova. Tevenenova teorema
Posmatrajmo jednu složenu mrežu sa generatorima (aktivna mreža) u kojoj smo izdvojili jednu granu u kojoj želimo proračunati struju (slika 5.16).
Slika 5.16. Primer električne mreže za izvođenje teoreme ekvivalentnog generatora
Struja u mreži se neće promeniti ako u granu a-b, mreže sa slike 5.16, ubacimo dva jednaka ING, vrednosti koje sada neznamo, ali tako da se njihova dejstva međusobno poništavaju (veza u opoziciju), slika 5.17a. Po principu (teoremi) superpozicije traženu struju možemo odrediti kao zbir dve struje za dve mreže ka na slici 5.17b i c.
62
a)
b) c)
Slika 5.17. Dokaz Tevenenove teoreme pomoću principa superpozicije Menjajmo sada vrednost ems uvedenog generatora Eekv dok struja Iab‘ ne postane jednaka nuli, što odgovara prekinutoj (otvorenoj) grani a-b. Tada je
''''''' 0 ababababab IIIII =+=+=
Kako se pasivna mreža (slika 5.17c) može zameniti ekvivalentnim otpornikom Rab, sledi da je
T
T
ab
ekvabab RR
E
RR
EII
+=
+== ''
gde su: - Eekv = ET – napon između tačaka a-b pri otvorenoj grani a-b (napon praznog hoda), - Rab = RT = Rekv – otpornost između tačaka a-b za pasivnu mrežu (mreža bez generatora).
Prema tome u odnosu na bilo koja svoja dva priključka, mreža se ponaša kao generator ems ET (napon praznog hoda), i neke unutrašnje otpornosti RT (otpornost pasivnog kola), tj. mreža na slici 5.16 odnosno 5.18a, se u odnosu na tačke a-b, može zameniti sa naponskim generatorom, kao na slici 5.18b, čime se dobija prosto kolo u kome je tražena struja data relacijom
T
Tab RR
EII
+==
63
a) b)
Slika 5.18. Aktivna električna mreža (a) i njen ekvivalentni Tevenenov generator (b) Nortonova teorema Ako se mreža u odnosu na svoje dve tačke želi zameniti sa RSG, to se lako postiže pomoću relacija ekvivalentnosti RSG sa RNG (slika 5.19, videti podpoglavlje 4.8):
sTT IRE = , sT RR =
Slika 5.19. Posle zamene, ovih relacija, u relaciju za struju Iab, dobijamo
N
NN
T
Ts
T
Tab RR
RI
RR
RI
RR
EI
+=
+=
+=
gde su - IN = Iekv – struja kratkog spoja između tačaka a-b (određuje se kao struja kratkog spoja
između tačaka a-b), - RN – ima isto značenje kao RT kod Tevenenove teoreme (određuje se na isti način).
Napomena: kod određivanja ET i RT, korisno je zasebno nacrtati šeme iz kojih se određuju, jer iskustvo pokazuje da se tada manje greši. Isto važi i za određivanje IN i RN (imati u vidu da se RN određuje na isti način kao i RT odnosno da je RN = RT).
Primer 5.6: Odrediti ekvivalentni generator za mrežu na slici 5.20a.
a) šema za određivanje ET U ovom slučaju je ista kao i zadata mreža, jer je grana (između tačaka A i B) u odnosu na koju se vrši zamena, uklonjena (slika 5.21a).
Na osnovu slike 5.21a, za ems Tevenenovog generatora se dobija
sTab RIEEU +==
64
b) šema za određivanje RT Pasivna mreža za određivanje RT prikazana je na slici 5.20b. Uočite kako su uklonjeni
generatori, tj. da je su krajevi ISG otvoreni, a krajevi ING kratkospojeni. Na osnovu slike 5.20b, za unutrašnju otpornost Tevenenovog generatora se dobija
RRR Tab ==
Slika 5.20. Električna mreža (a) i njena pasivna mreža za određivanje RT (b)
c) šema za određivanje IN Na osnovu slike 5.21a (uočite da su krajevi A i B kratko spojeni), za struju Nortonovog
generatora (primenom principa superpozicije) se dobija
R
EIII sNab +==
d) šema za određivanje RT Kako se unutrašnja otpornost Nortonovog generatora određuje na isti način kao i za
Tevenenov generator, to nije potrebno da ponavljamo to određivanje, već možemo samo konstatovati
RRR TN ==
Na slici 5.21b je prikazan Nortonov generator kojim se zamenjuje mreža na slici 5.20a. Napomena: Tevenenova i Nortonova teorema ne važe za nelinearne mreže, jer su dokazane
preko teoreme superpozicije, izuzev kada je grana u odnosu na koju se ekvivalentira nelinearna.
Slika 5.21. Za mrežu sa slike 5.20a: a) šema za određivanje IN i b) ekvivalentni Nortonov generator
5.7.5. Teoreme kompenzacije Po teoremama kompenzacije (supstitucije, zamene), deo električnog kola (element, grana, složena mreža) se može zameniti sa ING ili ISG (kompenzacioni generatori).
65
Posmatrajmo granu otpornosti R koja je deo neke električne mreže (slika 5.22). Neka je jačina struje u grani I, pri čemu I može biti nepoznata, ali i unapred data.
Slika 5.22. Uz dokaz teoreme kompenzacije za granu sa otpornikom i strujom I Pretpostavimo da je posmatrana grana deo zatvorene konture k u mreži za koju postavljamo jednačine po II KZ. II KZ glasi
0=−∑∑ RIE
Iz zbira ∑RI možemo izdvojiti jedan član RI, pa dobijamo
0=−− ∑∑bezR
RIRIE
Ako stavimo RI = Eg, možemo pisati
( ) 0=−− ∑∑bezR
g RIEE
Prema tome u proizvoljnoj električnoj mreži jedna grana (ili njen deo) otpornosti R, kroz koju postoji struja jačine I, može se zameniti idealnim naponskim generatorom (ING) ems Eg = RI, smera suprotnog smeru struje I (referentni kraj generatora je isti kao „pozitivni“ kraj otpornika, slika 5.23). Važi i obrnuto: ako u grani sa strujom jačine I deluje, u suprotnom smeru od smera struje I, izvor ems Eg, on se može zameniti otpornikom otpornosti R = Eg/I. Oba iskaza predstavljaju iskaz teoreme kompenzacije.
Slika 5.23. Po teoremi kompenzacije grana sa slike 5.22 može se zameniti granom na ovoj slici Teorema kompenzacije se može iskazati i preko ekvivalencije strujnog generatora i grane u kojoj je struja data i glasi: u svakoj mreži, grana sa otpornikom, kroz koji je jačina struje I, može da se zameni idealnim strujnim generatorom (ISG) iste jačine i smera struje kao struja I. Ima i drugih iskaza. Po teoremi kompenzacije:
- deo kola između tačaka a-b sa poznatim naponom Uab može se zameniti sa ING čija je ems jednaka Uab,
- dve tačke sa Va – Vb = 0, mogu se zameniti kratkim spojem, - dve tačke sa I = 0, mogu se zameniti otvorenom vezom.
Takođe, čvor električne mreže u koji se stiče više grana može se zameniti čvorom sa tim istim granama, ali u koji su ubačeni ING iste ems i istog smera delovanja s obzirom na čvor (slika 5.24.)
66
Slika 5.24. a) čvor sa tri grane, b) isti čvor u koji su, po teoremi kompenzacije ubačeni ING ems E
Primer 5.7. Primenom teoreme kompenzacije: odrediti otpornost otpornika R, u mreži na
slici 5.25a, tako da napon između njegovih krajeva bude UR =100 V i izračunati jačinu struje u svim granama, ako je E1 = 200 V, R1 = 10 Ω, R2 = 50 Ω. Po teoremi kompenzacije, granu sa otpornikom, na kome je napon poznat, možemo zameniti sa ING ems Eg = 100 V, čime dobijamo mrežu na slici 5.25b.
Slika 5.25. Primer za ilustraciju primene teoreme kompenzacije
Primenimo metodu KS na mrežu na slici 5.25b (ng = 3, nč = 2, ng – (nč -1) = 3 - (2 - 1) = 2),
na dve konture označene na slici 5.25b, pa dobijamo
( ) 1221 EIRIRR III =−+
gIII EIRIR −=+− 22
Posle zamene vrednosti i rešavanja, dobijamo
AI I 10= , AI II 8=
Kako je IIR II = , to imamo da je
Ω==== 5,128
100
R
g
R
R
I
E
I
UR
Struje u granama su:
AII I 101 == , AIII III 28102 =−=−= , AII IIR 8== Zadatak se može i brže rešiti (bez primene metode KS), metodom PČ, gde je V1=Eg. Prema slici 5.25b je
AR
EI g 2
50
100
22 === , A
R
EEI g 10
10100200
1
11 =−=
−=
Kako je AIII IIIR 8=−= , sada je AIUR R 5,12/ == . Teorema kompenzacije, u stvari, skraćuje pisanje jednačina po Kirhofovim zakonima.
67
Kako I KZ i II KZ važe i za nelinearne mreže, to teorema kompenzacije važi, ako u posmatranoj mreži, ali ne i u posmatranoj grani, postoje nelinearni elementi, ali je sistem jednačina kojim se kolo rešava, sistem nelinearnih jednačina.
5.7.6. Teorema održanja snage u električnim mrežama Teorema održanja snage u električnim mrežama glasi: Prema zakonu o održanju energije, zbir snaga svih generatora u bilo kakvoj električnoj mreži sa vremenski konstantnim strujama mora biti jednak zbiru snaga Džulovih gubitaka u pojedinim otpornicima u mreži, tj.
∑∑ = Rg PP ili ( ) ( )∑∑ = Rg UIUI ili 0=∑P
Bitno je razumeti da snaga generatora može biti pozitivna i negativna, dok je snaga Džulovih gubitaka uvek pozitivna. Snaga generatora je negativna ako se opterećenja u njemu kreću nasuprot delovanju stranih sila. Drugačije rečeno, snaga generatora je negativna ako su ems (odnosno napon između njegovih priključaka u slučaju strujnog generatora) i struja u njemu suprotnog stvarnog smera. Teorema održanja snage u električnim mrežama ima raznolike primene. Najdirektnija je, možda, provera dobijenih vrednosti za jačinu struje u svim granama mreže odjednom (u granicama tačnosti zaokruživanja brojeva)33. To je moguće i pomoću II KZ, ali je potrebno postaviti onoliko jednačina koliko graf ima spojnica. Za snage ne važi teorema superpozicije, jer je ona posledica linearnosti Kirhofovih zakona u odnosu na napone i struje, a snage su srazmerne kvadratu struje ili napona, odnosno proizvodu struje i napona.
5.8. Rešavanje posebnih oblika električnih mreža Sistematske metode, koje su do sada rađene, ne dovode uvek najlakše i najbrže do rezultata, iako one važe za najopštije tipove električnih mreža. Izbor odgovarajuće metode se postiže iskustvom. Teško je dati opšta uputstva. Svakom problemu je potrebno pristupiti individualno. Ovde će biti izneto nekoliko primera.
Metoda proporcionalnih veličina Spada u teoreme linearnosti. Posmatrajmo tzv. lestvičastu mrežu (slika 5.26). Potrebno je odrediti struje u svim granama mreže. Metodom KS i PČ treba rešavati mnogo jednačina (koliko?). Međutim, na osnovu opštih jednačina konturnih struja se zaključuje da je u svakoj grani jačina struje srazmerna ems E. Stoga, ako se odrede struje grana za neku pretpostavljenu ems E’, mogu se naći struje i za vrednost E. Sve jačine struja nađene za vrednosti ems E’ treba pomnožiti odnosom E/ E’.
Do prethodnog rezultata se može doći na više načina. Na primer, E i E’ se mogu tretirati i kao promena E, pa primeniti teorema linearnosti (poglavlje 5.7.1):
bEaI += , i '' bEaI +=
Kako nema generatora koji su nepromenjivi (u mreži je samo jedan generator i taj smo pretpostavili da se menja sa E na E’), to je a = 0, pa iz te dve relacije sledi da je
33
Ako teorema održanja snage nije zadovoljena, verovatno je napravljena greška pri rešavanju kola ili proračunu snage. Ako je teorema zadovoljena, to još nije garancija da nije učinjena greška, jer je moguće da su napravljene dve greške čije se dejstvo međusobno poništi.
68
''
E
EII =
Slika 5.26. Primer lestvičaste električne mreže
Radi određivanja struje za pretpostavljenu vrednost E’, zamislimo da kroz R8 postoji struja jačine I = 1 A (pretpostavi se vrednost sa kojom se lako računa). Na osnovu toga se nađe UCo. Zatim se može naći jačina struje kroz R6, pa zatim kroz R5, pa UBo, pa I4 kroz R4 itd. Na kraju bismo našli vrednost E’ za takvu pretpostavljenu vrednost struje. Sada se struje u granama, u stvarnoj mreži, nalaze množenjem ovako nađenih struja sa E/E’.
Korišćenje simetrije sistema Posmatrajmo električnu mrežu na slici 5.27.
Po metodi KS i PČ treba rešavati 4 jednačine. Međutim, ako se uoči da je mreža simetrična duž linije A-B, može se podeliti na dve jednake mreže sa po 2 konture (slika 5.28).
Slika 5.27. Primer električne mreže sa mogućnošću rešavanja korišćenjem simetrije
Pri podeli, otpornici u presečenim granama se moraju udvostručiti (kao kada dva otpornika vezujemo paralelno), a ems ostaju iste (kao kada dva ING vezujemo paralelno, pa ems moraju da im budu iste). Ako se u grani koja se preseca nalazi ISG, onda se u presečenim granama struja ISG prepolovljava (kao kada dva ista ISG vezujemo paralelno, pa je struja kroz zajednički priključak dvostruko veća).
Dalji postupak rešavanja mreže je jednostavan. Koristi se bilo koja metoda koja daje najbrže rešenje. Kako treba interpretirati dobijene rezultate u presečenoj, u odnosu na stvarnu mrežu? Struje u nepresečenim granama su iste kao u stvarnoj mreži, a u presečenoj grani struja je dva puta manja nego u stvarnoj grani.
69
Slika 5.28. Stanje u mreži sa slike 5.27 se može dobiti sabiranjem stanja u dve polovine
Posmatrajmo (još jedan) primer: 6 jednakih otpornika otpornosti R vezanih duž ivica tetraedra. Traži se ekvivalentna otpornost između dva temena (na slici 5.29a prikazano u jednoj ravni). Naravno, do rezultata je moguće doći i transfiguracijom nekog od trouglova u zvezdu ili neke od zvezde u trougao (uraditi sami, moguće je na više načina).
a) b)
Slika 5.29. Primer veze šest jednakih otpornika (a) i odgovarajuća prostija veza do koje se dolazi primenom simetrije (b)
Međutim, do rezultata je moguće doći i brže. Zbog simetrije tačke C i D će biti na istom
potencijalu, pa je razlika potencijala nula, pa se po teoremi kompenzacije grana između tačaka C i D može zameniti kratkom vezom, odnosno tačke spojiti (slika 5.29b). Sada se lako dolazi do rezultata
2
RRe =
Uradite primer na slici 5.29a transfiguracijom zvezda trougao i obratno. Ima zadataka i sa lestvičastim mrežama, gde se može primeniti simetrija.
5.9. Elementi nelinearnih električnih mreža Sva dosadašnja razmatranja odnosila su se na električne mreže sa linearnim otpornicima i generatorima. Naponsko-strujna karakteristika otpornika prikazana je na slici 5.30a, a RNG na slici 5.30b (videti i slike 3.2 i 4.11), a za ING videti sliku 4.8 i 4.20a. Za otpornik (slika 5.30a) ta karakteristika se naziva i volt-amperska karakteristika
70
Slika 5.30. Naponsko-strujna karakteristika: a) otpornika, b) RNG
Međutim, videli smo da otpornost zavisi od temperature nelinearno. Strogo uzevši linearnih elemenata i nema, već se neki elementi mogu smatrati približno linearnim. Mreže sa nelinearnim elementima nazivaju se nelinearne mreže, i njihova analiza je mnogo složenija. Nelinearni elementi mogu se podeliti u dve grupe:
- elementi čija je nelinearnost posledica promene uslova rada, ali nije suštinska osobina elementa (promena otpornosti sa temperaturom, na primer, termistori, čija je naponsko-strujna karakteristika prikazana na slici 5.31a), ako je temperatura konstantna i otpornost je konstantna. Na delu karakeristike, gde je .constI ≈ , termistor se praktično ponaša kao ISG. Na slici 5.31b je prikazan simbol termistora, pri čemu je oznaka R samo simbol, a ne i vrednost otpornosti;
- elementi čija je naponsko-strujna karakteristika nelinearna i pri sasvim konstantnim radnim uslovima, pa im je nelinearnost suštinska osobina (sijalica, poluprovodnički elementi: tranzistori, diode).
-
Slika 5.31. Termistor: a) naponsko-strujna karakteristika, b) simbol na električnim šemama
Naponsko-strujna karakteristika poluprovodničke diode prikazana je na slici 5.32a, realni
oblik, i na slici 5.32b, idealizovani oblik (dve varijante: puna linija i crtkana linija). Za različite oblasti idealizovane karakteristike, poluprovodnička dioda, čiji je simbol
prikazan na slici 5.33a, se može predstaviti otvorenom vezom, sa RNG ili ING, zavisno od dela i vrste idealizovane karakteristike (slike 5.33 b, c i d).
71
Slika 5.32. Naponsko-strujna karakteristika poluprovodničke diode: a) realna, b) idealizovana
Slika 5.33. Poluprovodnička dioda: a) simbol na električnim šemama,
b) šeme poluprovodničke diode kao nelinearnog elementa pojedine segmente izlomljene linearne karakteristike za U ˂ 0,6 V, c) za U = 0,6 V i d) za I ˃ 0
72
6. ELEKTRIČNE MREŽE SA KONDENZATORIMA U praksi se često sreću mreže u kojima su, pored otpornika i generatora, priključeni i kondenzatori (mada ređe kod vremenski konstantnih struja, ali je razumevanje postupka analize od važnosti za promenjive struje). Mreže sa kondenzatorima se mogu podeliti u dve grupe:
- mreže koje sadrže i otpornike i kondenzatore, u kojima postoje struje bar kroz neke grane, - elektrostatske mreže, u kojima je u svakoj grani vezan bar jedan kondenzator, te u konačnom
(ustaljenom, ravnotežnom, stacinarnom) stanju nema struje ni kroz jednu granu. Zbog nesavršenosti dielektrika, kroz opterećen kondenzator, uvek postoji neka mala jačina
struje (kondukciona struja, struja provodnosti), ali se ona obično zanemaruje. U ovom predmetu ne razmatramo prelazni proces34 pri opterećivanju i rasterećivanju
kondenzatora, već samo ustaljeno (ravnotežno, stacionarno) stanje. Kod kondenzatora se razlikuje početna opterećenost (naelektrisanje) Q0, krajnja opterećenost Q i pomerena (protekla, ukupna protekla) količina naelektrisanja q, koja se dešava pri promeni režima rada (stanja u kolu) od jednog do drugog ravnotežnog stanja35. Veza između ove tri veličine je
0QqQ ±= (6.1)
gde se „+“ uzima ako su sve ove tri veličine istog referentnog smera (slika 6.1), a „-„ se uzima ako je početna opterećenost suprotnog referentnog smera od krajnje i protekle opterećenosti (podrazumeva se da su krajnja i protekla opterećenost istog referentnog smera). Pri uključivanju u kolo, kondenzator može imati neku početnu opterećenost Q0, ili može biti neopterećen (prazan). Pri promeni stanja u kolu, opterećenost kondenzatora u prethodnom stanju se smatra za početnu opterećenost.
Slika 6.1. Uz definiciju veze početne opterećenosti Q0, krajnje opterećenosti Q i pomerene količine
naelektrisanja q Ako je kondenzator bio neopterećen (prazan), posle opterećivanja (punjenja) je Q = q (prema istom referentnom smeru) Za referentne smerove kao na slici 6.1 važi
C
QUc =
34
Proces koji se dešava od jednog do drugog stacionarnog stanja, na primer pri uključivanju ili isključivanju generatora, kada se dešavaju promene naelektrisanja i napona na kondenzatorima, odnosno struja i napona u kolu. 35
Pomerena količina elektriciteta q je ukupni protok od uključivanja generatora (izvora) u kolo sa kondenzatorom (ima) do uspostavljanja stacionarnog stanja, odnosno od jednog stacionarnog stanja do drugog stacionarnog stanja. Ovde ne posmatramo prelazni proces koji nastaje pri uključivanju ili isključivanju generatora, odnosno pri promeni stanja pri prebacivanju prekidača, odnosno ne posmatramo zavisnost q od vremena tj. q(t). Nije nam ni potrebno. Treba nam samo ukupan protok (pomerena količina naelektrisanja) q, koji je q = Q, ako je Qo = 0. Taj prelazni proces je relativno kratak. Ponekad su prelazni procesi nepoželjni (pa se preduzimaju mere za njihovo ublažavanje), a ponekad se koriste (na primer u impulsnoj elektronici). Mi ćemo posmatrati stacionarna stanja. Prelazni procesi se analiziraju u predmetu Teorija električnih kola.
73
Ako je referentni smer za Uc suprotan od smera na slici 6.1, onda važi relacija
C
QUc −=
6.1. Mreže sa otpornicima i kondenzatorima Jednostavno se analiziraju ako se ima u vidu da vremenski konstantna struja može da postoji samo kroz grane koje ne sadrže kondenzator (u ustaljenom stanju vremenski konstatna struja kroz kondenzator ne protiče). Zbog toga je napon između krajeva grane koja sadrži samo kondenzator (može i otpornik) jednak naponu između elektroda kondenzatora u toj grani (na otporniku nema pada napona). Osnovni zadatak je određivanje raspodele napona na kondenzatorima koristeći pravila za izračunavanje napona između dve tačke i izračunavanje vrednosti struja. Mogu se tražiti i protekle količine elektriciteta kroz grane sa kondenzatorima kada mreža iz jednog ravnotežnog stanja prelazi u drugo ravnotežno stanje. Postupak rešavanja električne mreže sa otpornicima i kondenzatorima ilustovaćemo na primeru. Posmatrajmo mrežu na slici 6.2. Neka je E1 = 8 V, E2 = 10 V i R = 4 Ω.
Slika 6.2. Primer električne mreže sa otpornicima i kondenzatorima
Postupak rešavanja je sledeći. Kondenzatori se uklone iz mreže (kroz njih ne teče vremenski konstantna struja, pa se po teoremi kompenzacije mogu zameniti otvorenom vezom), slika 6.3.
Slika 6.3. U stacionarnom stanju kondenzatori u mreži sa slike 6.2 se mogu zameniti otvorenim
vezama i razlikom potencijala na krajevima otvorenih veza
74
Zatim se odrede naponi između tačaka gde su bili priključeni kondenzatori, koristeći metode za rešavanje mreža sa vremenski konstantnim strujama. Prvo se odredi struja kroz konturu(e) koju čine grane u kojima nema kondenzatora (ako takve konture postoje). Tako u mreži sa slike 6.3 je struja, prema referentnom smeru na slici,
AR
EI 5,0
16
8
41 ===
Napon između priključaka kondenzatora C1 (prema referentnom smeru označenom na slici 6.3) se može odrediti duž više putanja (za mreže sa vremenski konstantnim strujama napon (razlika potencijala) su kao i u elektrostatici, tj. ne zavise od putanje duž koje se računaju), na primer
VRIRIRIUc 421
==+= duž grana levo na slici 6.336,
odnosno
VERIRIERIUc 42 111=+−=−+−= duž grana desno na slici 6.3.
Na isti način
( ) ( ) VRIEERIRIUc 62222=−=−−−+−= duž unutrašnje konture na slici 6.3,
odnosno
( ) VEERIEERIRIUc 62 12122=−+=−−−+= duž spoljašnje konture na slici 6.3.
Opterećenost kondenzatora C1 je data relacijom (nije zadata vrednost C1):
11 1 cc UCQ =
6.2. Elektrostatske mreže
Elektrostatske (elektrostatičke) mreže su mreže u kojima ni kroz jednu granu nema struje37, tj. svaka sadrži tako vezane kondenzatore. I i II KZ, u nešto modifikovanom obliku, važe i za ove mreže.
I KZ se primenjuje na pomerene (protekle) količine elektriciteta (q), slično strujama
0=∑q , ili ∑∑ = izlul qq , za čvorove
Pravilo o predznacima za q kod sumiranja je isto kao kod I KZ za struje. II KZ se primenjuje na krajnje količine elektriciteta (Q)
0=−∑∑C
QE , ili ∑∑ =
C
QE , za nezavisne konture.
Pored jednačina za I i II KZ, za svaki kondenzator potrebno je napisati i relaciju (6.1) uz odgovarajuće referentne smerove za krajnju, početnu i pomerenu opterećenost, tj
0QqQ ±=
U jednačini za II KZ su ista kao pravila koja smo usvojili ranije, ako struju I zamenimo sa Q: - za E se uzima predznak „+“ ako je referentni smer E isti kao smer orijentacije konture, u
suprotnom se uzima „-„; - za Q/C se uzima predznak „+“ ako se pri obilasku konture (u smeru orijentacije konture)
prvo naiđe na kraj kondenzatora za koji je pretpostavljeno da je pozitivan („+“), tj. ako su smer konture i smer opterećenosti isti (pozitivna je ona elektroda kondenzatora ka kojoj je usmerena strelica za referentni smer opterećenosti), u suprotnom se uzima „-„;
36
Kroz otpornik ne teče struja, jer je u grani sa kondenzatorom (koji je prekid za vremenski konstantnu struju), pa je napon između njegovih krajeva jednak nuli. Po teoremi kompenzacije može se otpornik zameniti kratkom vezom. 37 Elektrostatska mreža nemože da sadrži strujne generatore, jer to protivreči definiciji elektrostatske mreže.
75
Sistem jednačina za I i II KZ se mora dopuniti sa relacijom 6.1 za svaki kondenzator. Ilustrovaćemo primenu ovih zakona na jednom primeru.
Primer 6.1. Za elektrostatsku mrežu na slici 6.4a, gde je E1 = 18 V, E2 = 8 V, Q30 = 20 µC,
C1 = 4 µF, C2 = 6 µF i C3 = 10 µF, odrediti opterećenosti kondenzatora i napone na kondenzatorima posle zatvaranja prekidača P.
Očigledno u ovom slučaju dolazi do promene stanja u kolu (pri promeni položaja prekidača), a pomerene količine elektriciteta su razlike krajnjeg (po zatvaranju prekidača) i početnog (pre zatvaranja prekidača) stanja. Prema tome potrebno je prvo odrediti opterećenosti kondenzatora kada je prekidač P otvoren (početno stanje, slika 6.4b), a zatim i kada je prekidač P zatvoren (krajnje stanje, slika 6.4c), pri čemu su početne opterećenosti kondenzatora u ovom slučaju opterećenosti kondenzatora u stanju kada je P otvoren.
Slika 6.4a. Primer elektrostatske mreže
Za slučaj kada je P otvoren (slika 6.4b), za odabrani smer obilaska konture i za odabrane referentne smerove za opterećenosti, I KZ je
qqq == 21 , II KZ 38 je:
212
2
1
1 EEC
Q
C
Q oo −=+ ,
a relacija (6.1) za svaki kondenzator
011 QqqQ o === i oo QqqQ === 22
čijim se rešavanjem dobija39
( ) CEECC
CCQo µ2421
21
21 =−+
=
Slika 6.4b. Elektrostatska mreža sa slike 6.4a kada je prekidač P otvoren
38
Ovde smo krajnje opterećenosti u stanju kada je prekidač P otvoren obeležili sa indeksom “0” jer će to biti početne opterećenosti za stanje kada se prekidač P zatvori. 39
U ovom slučaju se do opterećenosti može doći i svođenjem redne veze kondenzatora na jedan kondenzator, što se vidi i iz dobijene relacije za Q. Međutim, treba imati u vidu da zamena veze kondenzatora ekvivalentnim važi samo ako su kondenzatori (svi) bez početnog opterećenja, tj. prazni.
76
U situaciji kada je P zatvoren (slika 6.4c), za odabrane konture i referentne smerove za protekle količine elektriciteta, dobija se sledeći sistem jednačina
čvor 1 321 qqq +=
I kontura 212
2
1
1 EEC
Q
C
Q −=+
II kontura 13
3
1
1 EC
Q
C
Q =+
uz veze (prema relaciji 6.1)
1011 QqQ +=
2022 QqQ +=
3033 QqQ −=
Slika 6.4c. Elektrostatska mreža sa slike 6.4a posle zatvaranja prekidača P
Posle zamene tih relacija u relacije za II KZ, sistem jednačina je
čvor 1 321 qqq +=
I kontura 211
101
2
202 EEC
C
Qq −=+++
II kontura 11
101
3
303 EC
C
Qq =++−
Posle zamene poznatih veličina i rešavanja, dobijaju se
Cq µ281 = , Cq µ422 −= i Cq µ703 =
Na osnovu relacija koje povezuju krajnje, početne i protekle opterećenosti, dobija se
CQ µ521 = , CQ µ182 −= i CQ µ503 =
Za napone na priključcima kondenzatora, prema usvojenim referentnim smerovima, dobija se
VC
QUc 13
1
11
== , VC
QUc 3
2
22
−== i VC
QUc 5
3
33
==
77
Napomena: U elektrostatskoj mreži nemogu postojati strujni generatori jer bi to protivrečilo definiciji elektrostatičke mreže. Ako postoje otpornici oni se po teoremi kompenzacije mogu zameniti kratkim vezama, jer kroz njih ne teče struja (napon između njihovih krajeva jednak je nuli).
6.3. Bilans energije u kolima sa kondenzatorima
Punjenje (opterećivanje) kondenzatora Posmatramo kolo na slici 6.5. Posle dovoljno dugo vremena nakon zatvaranja prekidača P,
napon na krajevima kondenzatora postaje EUc = (nema više proticanja naelektrisanja,
kondenzator je opterećen, tj. pun), a energija kondenzatora 2
2
CEWc = .
Slika 6.5. Priključivanje neopterećenog kondenzatora na naponski generator
(opterećivanje kondenzatora)
Rad idealnog naponskog generatora (videti odeljak 4.1) je 2CEQEAA Eg === , jer je CECUQ ==
Po zakonu o održanju energije, energija generatora utrošena je na pretvaranje u toplotu na otporniku i na energiju sadržanu u kondenzatoru, pa važi
cjE WAA +=
Imajući u vidu prethodne izraze za EA i cW , sledi da je rad pretvoren u toplotu
ECEj ACEWAA2
1
2
1 2 ==−=
Dakle, u ovom slučaju se rad ING deli na dva jednaka dela, bez obzira na vrednost R, (jedan deo (pola) energije se akumulira u kondenzatoru (energija kondenzatora), a drugi deo (pola) na Džulove gubitke u otporniku). Ako je kondenzator C, pre zatvaranja prekidača P, bio opterećen sa Qo, tada je (slika 6.6), posle zatvaranja prekidača:
cjEg WAAA ∆+==
gde je cW∆ razlika energije kondenzatora posle i pre zatvaranja prekidača (promene stanja), tj.
preCposleCc WWW −=∆
odnosno
preCposleCjEg WWAAA −+== (6.2)
78
pa je
Ej AA21≠ , ali je
2
2
CEW posleC =
Slika 6.6. Priključivanje opterećenog kondenzatora na naponski generator
Pražnjenje (rasterećivanje) kondenzatora Ako u kolu nema generatora, već samo kondenzator opterećen sa Qo, tada je u relaciji (6.2)
Ag = 0, jer je E = 0 . Takođe je WC posle = 0, jer se kondenzator nakon dovoljno dugo vremena, posle zatvaranja prekidača P, potpuno rastereti (isprazni), pa je rad pretvoren u toplotu
2
2
c
preCj
CUWA ==
U ovom slučaju (slika 6.7), možemo smatrati da se kondenzator u odnosu na otpornik ponaša kao generator (ali samo dok se ne isprazni, nije pravi generator). Celokupna energija akumulirana u kondenzatoru se, u procesu rasterećivanja, pretvori u toplotu na otporniku.
Slika 6.7. Rasterećivanje kondenzatora
Ako u kolu ima više kondenzatora onda je preCW jednako sumi energija u svim
kondenzatorima pre promene stanja. Analogno važi i za energiju kondenzatora posle promene stanja u kolu (naravno potrebno je odrediti opterećenosti kondenzatora posle promene stanja). Kolo sa dva kondenzatora Posmatrajmo situaciju u kolu na slici 6.8, sa dva kondenzatora identične kapacitivnosti C, u kome je jedan kondenzator (C1) prethodno opterećen a drugi (C2) nije, a nema generatora u kolu.
Pre zatvaranja prekidača energija kondenzatora C1 je bila C
QW o
c 2
2
1= , a kondenzatora C2 je
bila jednaka nuli (neopterećen), pa je ukupna energija oba kondenzatora, pre zatvaranja prekidača P, bila
79
C
QWWWW o
cccc 2
2
1020100==+=
Slika 6.8. Primer kola sa dva kondenzatora od kojih je jedan opterećen
Posle zatvaranja pekidača P, i uspostavljanja stacionarnog stanja, možemo pisati sistem jednačina (prema istom referentnom smeru za q, Q1 i Q2, u smeru kazaljke na satu):
qqq == 21 ,
02
2
1
1 =+C
Q
C
Q,
011 QqQ += i qQ =2
čijim rešavanjem se dobija
021
2 QCC
Cq
+−=
odakle se za C1 = C2 = C dobija
20Q
q −=
pa je (prema istom referentnom smeru)
20
1
QQ = i
20
2
QQ −=
Sada je energija kondenzatora C1 i C2:
C
Q
C
QWW o
cc 82
22
21===
pa je ukupna energija u oba kondenzatora
C
QWWW o
ccc 4
2
21=+=
Iz zakona o održanju energije (relacija 6.2, imajući u vidu da je Ag=0) sledi
ccj WWAo
−=
gde je Aj rad pretvoren u toplotu u toku prelaznog procesa (promene stanja), koji je, našem slučaju, jednak
C
QA o
j 4
2
=
80
LITERATURA
1. Đorđević R. A.: Osnovi elektrotehnike 1. deo, stalne struje, Akademska misao, Beograd, 2006.
2. Milatović B.: Osnovi elektrotehnike 1, Svjetlost, Sarajevo, 1983. 3. Pinter V.: Osnove elektrotehnike, knjiga prva, Tehnička knjiga, Zagreb, 1978. 4. Pokorni S.: Osnovi elektrotehnike 1, vremenski konstantne električne struje, skripta,
Elektrotehnički fakultet, Istočno Sarajevo, 2009. 5. Pokorni S.: Osnovi elektrotehnike 1, elektrostatika, skripta, Elektrotehnički fakultet, Istočno
Sarajevo, 2014. 6. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 1 i 2, praktikum, Elektrotehnički
fakultet, Istočno Sarajevo, 2012. 7. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz elektrotehnike i teorije električnih kola (praktikum),
Univerzitet Vojske Jugoslavije, Beograd, 1993. 8. Popović B.: Osnovi elektrotehnike 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1976. 9. Popović B., Đorđević A.: Osnovi elektrotehnike 3, zbirka pitanja i zadataka, Građevinska
knjiga, Beograd, 1981. 10. Purcell M. E., Morin J. D.: Electricity and Magnetism, Cambridge University Press, third
edition, 2014. 11. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, Građevinska knjiga, Beograd, 1968.
81
PRILOZI
SPISAK UPOTREBLJENIH SKRAĆENICA I OZNAKA ρ – specifična otpornost q – protekla (pomerena) količina naelektrisanja (opterečenosti) σ – specifična provodnost C – kapacitivnost kondenzatora E – intenzitet električnog polja, elektromotorna sila ems – elektromotorna sila I – vremenski konstantna struja ING – idealni naponski generator ISG – idealni strujni generator KS – konturne struje PČ – potencijali čvorova R – otpornost otpornika RNG – realni naponski generator RSG – realni strujni generator t – vreme, temperatura Q – naelektrisanje (opterećenost) U – vremenski konstantan napon
