UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA … · številu ponovitev v odvisnosti od dolžine niza in m etode analize. Razlike ... napetosti ob defektu veliko ve čje kot v homogenem materialu

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za fiziko

DIPLOMSKO DELO

Maša Gomilšek

Maribor, 2013

UNIVERZA V MARIBORU


Oddelek za fiziko

Diplomsko delo

WEIBULLOVA PORAZDELITEV IZMERJENIH TRDNOSTI

KERAMI ČNIH VZORCEV

Mentor: Kandidatka: doc. dr. Milan Ambroži č Maša Gomilšek

Maribor, 2013

Zahvala

Zahvaljujem se svoji družini, ki me je nenehno podpirala in vzpodbujala pri študiju.

Prav tako se zahvaljujem mentorju doc. dr. Milanu Ambrožiču za pomoč pri nastajanju in oblikovanju diplomskega dela.

Dr. Lovru Gorjanu iz Hidria AET, d.o.o, Tolmin se zahvaljujem za predstavitev izdelovanja in preizkušanja keramičnih izdelkov.

iii

UNIVERZA V MARIBORU


IZJAVA Podpisana Maša Gomilšek, roj. 18. avgusta 1989, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa Fizika in…, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Weibullova porazdelitev izmerjenih trdnosti keramičnih vzorcev pri mentorju Milanu Ambrožiču avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti in druge oblike zapisov niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

_________________________ (podpis študentke)

Maribor, 2013

iv

GOMILŠEK, M.: Weibullova porazdelitev izmerjenih tr dnosti keramičnih vzorcev. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za fiziko, 2013.

Mehanske napetosti, pri katerih izdelki iz keramike počijo, so odvisne od naključne razporeditve napak v materialu. Izmerjene zlomne napetosti ali trdnosti vzorcev pri večjem številu vzorcev so v večini primerov razporejene po dvoparametrični Weibullovi porazdelitvi. Skalni parameter σ0 porazdelitve je v zvezi s povprečno trdnostjo, Weibullov modul m pa je mera za širino porazdelitve. Podatka sta pomembna za raziskave novih materialov in kontrolo kakovosti v proizvodnji.

V diplomskem delu preučujem metode za določanje vrednosti Weibullovih parametrov iz niza meritev. Uporabljam niz 5100 meritev iz podjetja Hidria AET in meritve, simulirane z metodo Monte Carlo. Preizkusila sem štiri statistične metode: histogramsko metodo, metodo linearne regresije s tremi različicami, metodo maksimalne verjetnosti in metodo momentov; histogramska metoda je uporabna samo za zelo veliko število podatkov.

Izkazalo se je, da se izmerjene napetosti zelo dobro ujemajo z Weibullovo porazdelitvijo. Majhna odstopanja opazimo le pri največjih in najmanjših napetostih, to je v področjih, v katerih je zelo malo izmerkov.

Pri zelo velikem številu meritev se vrednosti Weibullovih parametrov, ki jih izračunamo po različnih metodah, le malo razlikujejo med seboj, posebno pri skalnem parametru. V praksi pa imamo običajno na voljo bistveno manj meritev, zato sem iz izmerjenih in simuliranih podatkov sestavila krajše nize meritev in za vsak niz izračunala vrednosti Weibullovih parametrov. Zanimala me je porazdelitev vrednosti izračunanih parametrov pri velikem številu ponovitev v odvisnosti od dolžine niza in metode analize. Razlike izračunanih vrednosti po različnih metodah se kažejo pri kratkih nizih, vrednost skalnega parametra lahko določimo bolj natančno in zanesljivo kot vrednost Weibullovega modula. Kot najbolj zanesljiva metoda se je izkazala metoda linearne regresije.

Najpomembnejši rezultat študije pa je, da dajo vse metode pri premešanih eksperimentalnih podatkih precej nižje vrednosti Weibullovega modula kot pri podatkih po časovnem vrstnem redu, kar je merilo za nihanje kvalitete proizvodnih serij keramičnih izdelkov.

v

GOMILŠEK, M.: Weibull distribution of the measured strength values of ceramic samples. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Department of physics, 2013.

The maximum stress a ceramic specimen can withstand depends on random distribution of defects in the material. A large set of experimental values can be described with two-parametric Weibull distribution; the scale parameter σ0 is proportional to the mean strength, the Weibull modulus m depends on the width of the distribution. Both values are important in research of new materials and in production quality control.

In the thesis, statistical methods for evaluation of the Weibull parameters are studied. A large set of 5100 experimental data from the company Hidria AET and Monte Carlo simulated data are used. Four statistical methods are tested: the histogram method, three variants of the linear regression, the maximum-likelihood and the method of moments. The histogram method can be used only for a large amount of the measured data.

The analysis proves that the measured data agrees very well with the Weibull distribution. However, there are small deviations at very small and very high strengths - in the regions with very small number of the measured data.

Due to the large set of the measured data all the tested methods yield similar values of the Weibull parameters, especially for the scale parameter. But in practice, only short sets are available. Therefore a large number of shorter sets of the measured and the simulated data are constructed and the Weibull parameters are calculated for each set. Results of the employed statistical methods differ for the short sets: the linear regression is the most reliable method; σ0 can be determined more reliably than m.

The most important result of this work is a decrease in the value of the Weibull modulus in sets with the shuffled experimental data relative to the values obtained from sets in chronometric order, reflecting quality oscillations in the production series of ceramic specimens.

1

KAZALO

1. UVOD .................................................................................................................................... 3

1.1 Keramika .......................................................................................................................... 4

2 EKSPERIMENT ..................................................................................................................... 6

2.1 Izdelava keramičnih izdelkov v serijski proizvodnji ........................................................ 6

2.2 Parametri upogibnega preizkusa ...................................................................................... 6

3 TEORETIČNI OPIS ................................................................................................................ 8

3.1 Teorija elastičnosti trdne snovi ........................................................................................ 8

3.2 Definicija deformacijskega tenzorja ................................................................................. 8

3.3 Definicija napetostnega tenzorja .................................................................................... 10

3.4 Upogib palice ................................................................................................................. 13

3.5 Štiri–točkovni test .......................................................................................................... 15

3.6 Teorija zloma .................................................................................................................. 18

3.7 Zvezna porazdelitev verjetnosti ..................................................................................... 19

3.8 Weibullova porazdelitev ................................................................................................ 21

3.9 Povprečna vrednost in standardna deviacija .................................................................. 24

3.10 Metoda momentov ........................................................................................................ 27

3.11 Histogramska metoda ................................................................................................... 28

3.12 Metoda maksimalne verjetnosti ................................................................................... 28

3.13 Linearna regresija ......................................................................................................... 29

4 REZULTATI RAZISKAVE ................................................................................................. 31

4.1 Primerjava histogramov ................................................................................................. 31

4.2 Primerjava enačb za računanje verjetnosti po različnih metodah .................................. 33

4.3 Primerjava korelacijskega koeficienta po različnih metodah ......................................... 34

4.4 Primerjava različnih metod z različno velikimi skupinami teoretičnih podatkov .......... 36

4.5 Primerjava rezultatov teoretičnih in eksperimentalnih podatkov ................................... 41

5 SKLEP ................................................................................................................................... 54

MATEMATI ČNI DODATEK ................................................................................................. 61

A1 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – y: ....................................... 61

A2 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – x: ....................................... 62

A3 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – xy: ..................................... 63

B1 Linearizacija Weibullove enačbe P(x): ........................................................................... 64

2

B2 Izpeljava odvisnosti lege σmax in višine maksimuma pmax Weibullove verjetnostne gostote od parametrov m in σ0: ............................................................................................. 64

C1 Izpeljava krivinskega radija krivulje .............................................................................. 65

3

1. UVOD

Pri raziskavah in pri proizvodnji krhkih strukturnih materialov, kot je npr. keramika, določamo trdnost materiala z mehanskimi preizkusi [1]. Eden od pogosto uporabljenih je tri- ali štiri-točkovni upogibni preizkus, pri katerem nosilec v obliki kvadra položimo na dve podpori in ga v navpični smeri obremenjujemo, dokler ne poči [2]. Meritev ponovimo na več vzorcih, saj je zlom posameznega vzorca odvisen od naključnih napak v njem, to je (mikro)razpok, por, faznih mej plasti ipd. [3, 4]. Realna trdnost izdelka iz keramike je za nekaj redov velikosti manjša od teoretične trdnosti v vzorcu brez napak, saj so mehanske napetosti ob defektu veliko večje kot v homogenem materialu [5–7]. Vzorec poči pri enem od največjih defektov - pri "najšibkejšem členu" [8].

Raziskovalec ali proizvajalec želi podati objektivno oceno trdnosti izdelka - ni dovolj samo povprečna vrednost trdnosti, ampak tudi, da lahko z določeno, npr. 95% gotovostjo zatrdi, da se nobeden izmed izdelkov ne bo zlomil pri nižjih obremenitvah od podane [2, 9].

Izkazalo se je, da se napetosti σ, pri katerih izdelki iz krhkega materiala počijo, zelo dobro prilegajo dvoparametrični Weibullovi porazdelitvi p(σ):

�� = �� ∙ � �� ∙ �� ,˙ (1)

pri tem je σ0 skalni parameter in m Weibullov modul [8]. Dobre keramike imajo relativno velik Weibullov modul, z vrednostmi okoli m ≈ 10. Pri teh vrednostih je porazdelitev tako ozka, da je podobna Gaussovi normalni porazdelitvi, le da ni simetrična, ampak je bolj položna pri majhnih napetostih in bolj strma pri velikih. Parameter σ0 je za nekaj odstotkov večji od povprečne vrednosti, relativna širina porazdelitve pa pada z naraščanjem modula m.

Trdnost keramičnih izdelkov torej podamo tako, da iz rezultatov serije preizkusov določimo oba parametra Weibulove porazdelitve, σ0 je mera za povprečno napetost, ki jo material zdrži, m pa za širino porazdelitve. Ker je lomljenje velikega števila izdelkov drago, je v realnih primerih število preizkusov majhno (standard [2] priporoča vsaj okoli 30, a v praksi je število vzorcev manjše), zato imajo izračunane vrednosti Weibullovih parametrov veliko nezanesljivost.

V podjetju Hidria AET, d.o.o, Tolmin, izdelujejo različne majhne keramične izdelke, predvsem za avtomobilsko industrijo (npr: razni grelniki v avtomobilskih motorjih) [1]. Nekaj značilnih izdelkov prikazuje slika 1.1. Tekom let so pri rednih tedenskih kontrolah kvalitete trdnost preizkusili pri že nad 5100 vzorcih iz istega materiala [10–14]. Izmerjene vrednosti dobro sledijo Weibullovi porazdelitvi, odstopanja opazimo le pri zelo velikih in zelo majhnih vrednostih - to je vrednostih z majhno verjetnostjo, ki se pojavljajo zelo redko. Za potrditev veljavnosti Weibullove porazdelitve tudi v teh območjih bi potrebovali še veliko več meritev.

4

a) b)

Slika 1.1: a) Komponente iz keramike, izdelane v podjetju Hidria AET. b) Končni izdelek.

V svojem diplomskem delu sem raziskovala, kaj vpliva na natančnost določanja vrednosti Weibullovih parametrov iz rezultatov meritev napetosti in katera metoda za določanje je najbolj primerna. Osredotočila sem se na primerjavo metod: linearna regresija, metoda maksimalne verjetnosti (maximum likelihood), metoda momentov in histogramska metoda. Zanimala me je natančnost določitve skalnega parametra σ0 in Weibullovega modula m ter velikost korelacijskega koeficienta R glede na:

- način, kako iz izmerjenih vrednosti tvorimo eksperimentalno verjetnostno porazdelitev,

- parametre posameznih metod (npr. širino predalčkov v histogramu pri histogramski metodi),

- uporabo različnih metod za določanje Weibullovih parametrov,

- velikost skupin računalniško generiranih podatkov,

- velikost skupin eksperimentalnih podatkov.

1.1 Keramika

Med najstarejšimi umetnimi materiali so anorganski nekovinski materiali, ki jim pravimo keramika [1, 15]. Dobimo jo iz finega prahu ali suspenzije finih delcev in dodatkov, tako da zmes zgoščujemo oz. sintramo. Temu sledi žganje pri visoki temperaturi z namenom, da se material zgosti in utrdi.

Sintranje je postopek, pri katerem povišamo temperaturo, da se izdelek iz finega mehkega prahu zgosti v trden izdelek [5]. Struktura materiala se pri tem močno spremeni in specifična površina se zmanjša. Temperatura ne sme narasti preko tališča materiala, saj le tako dosežemo ohranitev oblike izdelka. Taliti se lahko začne le majhen del materiala. Na koncu je keramika trden material, sestavljen iz kristalnih struktur. Želimo izdelati material s čim manjšo poroznostjo, s katerim dosežemo visoko trdnost, veliko obrabno obstojnost, visoko specifično upornost, nepropustnost za pline in kapljevine ter drugo. Keramika je tem bolj trdna, čim manjša zrna ima, čim gosteje so zložena in čim bolj enakomerno strukturo ima. Pomembno je, da imamo na začetku čim bolj fini prah, saj se zrnca skozi postopek večajo.

Sodobna ali tehnična keramika se je z ustrezno tehnologijo razvila šele v 20. stoletju. Posebnost te keramike je, da ni izdelana iz gline temveč iz raznih oksidov, nitridov, karbidov itd. Med oksidno keramiko je najpogosteje uporabljen aluminijev oksid (Al2O3), kateremu

5

zaradi izboljšanja mehanskih lastnosti in lažjega sintranja primešamo različne neoksidne materiale [1, 16]. Ta keramika ima visoko trdnost, obstojnost pri visokih temperaturah, korozijsko in obrabno obstojnost. Čeprav je slaba lastnost keramike relativna krhkost v primerjavi s kovinami, jo veliko uporabljamo.

Aluminijev oksid je zelo razširjen material, ki ga uporabljamo za izdelavo tehničnih izdelkov, zelo znan pa je tudi v protetiki (npr. za kolčne proteze). V obliki prahu ga imenujemo glinica. Keramika, izdelana iz aluminijevega oksida, je zgrajena iz heksagonalnih kristalov. Imenujemo jo korundna keramika in jo označujemo z oznako α - Al2O3. Kemijsko je odporna in ima zelo dobro relativno trdnost, tipičen razpon sega od 200 do 500 MPa [1, 17–19]. Pri visokih temperaturah ohranja svoje dobre lastnosti in ima tališče pri 2050 ºC. Uporabljamo jo tudi za električne izolatorje, gredi in ležaje za črpalke, mlevna telesa, lončke za termično analizo, šobe za pleskanje, rezila za stružnice, glavice za umetne kolke. Po sintranju je ta keramika bela ali rumenkasta in ima tipično prozornost.

Nizkotlačno brizganje je postopek, pri katerem brizgamo tekoče termoplastične keramične suspenzije v kalupe, da ustvarimo obliko izdelka [1]. Tekočina za vbrizgavanje je dispergirana velika količina prahu v organskem topilu. Obstaja več postopkov izdelave, vendar je pri vseh enak princip. Vročo zmes – suspenzijo vbrizgamo v hladen kalup, kjer se strdi ali zmrzne [20]. Tako prevzame želeno obliko (obliko kalupa), ki je v celoti homogeno napolnjen. Trdna zmes – oblikovanec – ima stabilno obliko, saj je njegova temperatura pod tališčem. Pomembno je odstraniti vezivo, kar najpogosteje dosežemo s kontroliranim segrevanjem. Na koncu sledi sintranje, po katerem se izdelek skrči, a vseeno ohrani obliko. Izdelek nato še poljubno obrusimo in spoliramo. Postopek omogoča kompleksne oblike izdelka in minimiziranje dodatne mehanske obdelave.

6

2 EKSPERIMENT

2.1 Izdelava keramičnih izdelkov v serijski proizvodnji

Konec aprila 2013 sem obiskala podjetje Hidria AET v Tolminu in si ogledala celoten proizvodni postopek za keramične izdelke in laboratorij za štiritočkovni test. Posnela sem tudi nekaj fotografij.

V serijski proizvodnji za izdelavo keramičnih izdelkov uporabljajo suspenzijo. Keramični prah v suspenziji je sestavljen v 96% iz dveh vrst glinic (rude Al2O3), vsake s svojo velikostjo zrnc, in v 4 % iz steatita (lojevca). Za vezivo uporabljajo mešanico dveh vrst parafinskega voska z nekaj dodatki. Končano suspenzijo dajo v ogrevani krogelni mlin z mlevnimi telesi v obliki keramičnih krogel iz aluminijevega oksida. Pri temperaturi 90 ºC snov mešajo 4 ure. Zatem zmes nalijejo na pladnje, kjer se hladi in strjuje. Ko je trdna, jo razbijejo na kose. Pred končno uporabo kose stalijo, segrejejo na 65 ºC in nato 10 do 20 minut razplinjujejo z mešanjem v grobem vakuumu. Nato zmes brizgajo v kalupe. Dve napravi v proizvodnji, za ulivanje v kalupe in za odstranjevanje veziva, sta prikazani na sliki 2.1.

a) b)

Slika 2.1: a) Naprava za ulivanje v kalupe. b) Peč za odstranjevanje veziva.

2.2 Parametri upogibnega preizkusa

V podjetju Hidria AET po vsaki izdelani seriji izvedejo kontrolo kakovosti keramičnih izdelkov. Vsakič uporabijo 12 testnih vzorcev v obliki kvadra 4 mm x 3 mm x 45 mm. Za štiri–točkovni test upogibne trdnosti uporabljajo napravo, ki ima razmak med zunanjima nosilnima valjčkoma L2 = 40 mm (sliki 2.2 in 3.11). Nanju simetrično položijo vzorec. Razmik med notranjima valjčkoma, s katerima obremenjujejo vzorec, je L1 = 20 mm. Upogibna trdnost � se izračuna po enačbi [2, 21]

� = ��š�� , (2)

kjer je F zlomna sila, š je širina in d debelina vzorca.

7

a) b)

Slika 2.2: Štiritočkovni test. a) Celotna naprava. b) Označeni sta razdalji med obremenilnima in podpornima valjema.

L1

L2

8

3 TEORETIČNI OPIS

3.1 Teorija elastičnosti trdne snovi

Teorija elastičnosti trdne snovi predvideva Hookov zakon: sile F so sorazmerne deformaciji snovi: � ∝ �, kjer x označuje značilni premik telesa v določeni smeri. Pri kvantitativni obravnavi uporabljamo dva tenzorja – deformacijski tenzor e in napetostni tenzor σ [22]. Oba tenzorja zapišemo v obliki matrike 3 x 3, med njima obstaja linearna zveza.

3.2 Definicija deformacijskega tenzorja

Telo opazujemo pred majhno elastično deformacijo in po njej (slika 3.1). Pri zapisu upoštevajmo dogovor za indekse 1 ≡ x, 2 ≡ y, 3 ≡ z, u1 = ux, u2 = uy, u3 = uz, x1 = x, x2 = y, x3 = z, torej se delec z začetnim krajevnim vektorjem �� = ��, ��, �� premakne za vektor �� =��, ��, �� tako, da je njegov krajevni vektor po deformaciji enak !� = �� + �!� = �� +��, �� + ��, �� + ��. Zanimajo nas premiki posameznih delcev telesa: �!� = !� − ��.

Slika 3.1: Telo pred elastično deformacijo in premik točke.

Če se vsi delci premaknejo za isti vektor, je to togi premik brez deformacije telesa. Pri deformaciji pa se različni delci različno premaknejo, zanima nas torej, kako se spreminja premik delcev na različnih mestih, kar pri majhnih premikih opišemo s prvimi odvodi premikov, iz katerih sestavimo deformacijski tenzor e:

$% = �� &'(&)* + &'*&)(�. (3)

Zapišemo ga v obliki matrike:

=+,-

&'.&) �� /&'.&0 +&'1&) 2 �� /&'.&3 +&'4&) 2�� /&'1&) + &'.&0 2 &'1&0 �� /&'1&3 +&'4&0 2�� /&'4&) + &'.&3 2 �� /&'4&0 + &'1&3 2 &'4&3 567 (4)

r�

O

u�

R�

izhodišče

telo pred elastično deformacijo

premik

9

Upoštevajmo še dogovor pisanja indeksov in dobimo končno matriko deformacijskega tenzorja e:

=+,-

&'�&)�� /&'�&)� +&'�&)�2 �� /&'�&)8 +&'8&)�2�� /&'�&)� +&'�&)�2 &'�&)�

�� /&'�&)8 +&'8&)�2�� /&'8&)� +&'�&)82 �� /&'8&)� +&'�&)82 &'8&)8 567 (5)

Deformacijski tenzor je definiran za posamezno točko telesa in ni nujno enak za vse točke telesa.

Splošne značilnosti deformacijskega tenzorja e

a) simetričen: %$ = $% b) sled tenzorja 9�� = &'�&)� + &'�&)� + &'8&)8 = :;<�� pove, ali se telo v dani točki širi ali krči.

Če je sled deformacijskega tenzorja na določenem mestu pozitivna, pomeni da je prisotna natezna deformacija, telo se je tam raztegnilo; če je negativna, pomeni, da so prisotne tlačne deformacije, telo se je skrčilo; če je enaka nič, so prisotne kvečjemu strižne sile.

c) eliminirani sta translacija celega telesa in toga rotacija: če se telo samo premakne, je deformacijski tenzor enak nič:

- pri togi translaciji imajo premiki vseh delcev isto vrednost po celotnem telesu (�� = konst.), zato so vsi odvodi enaki nič.

- kot primer rotacije pokažimo, da je deformacijski tenzor enak nič, če telo zavrtimo za majhen kot ϕ okoli osi z (slika 3.2). Koordinate poljubnega delca telesa pred zasukom naj bodo

�� = ��, ��, �� = ��=�+ ��>�+ ��?!�, (6)

kjer so kji�

��

,, enotni vektorji v smeri vseh treh osi. Pri rotaciji za kot ϕ okoli osi z se enotni vektorji preslikajo v:

=�@ = =�cos�D� +>�sin�D�, (7)

>�@ =−=�sin�D� +>�cos�D�, (8)

?!�@ = ?!�. (9)

10

Slika 3.2: Vrtenje za kot ϕ okoli osi z.

Torej so koordinate delca po rotaciji:

!� = ��=�cos�D� +>�sin�D�� +��−=�sin�D� + >�cos�D�� + ��?!� , (10)

premik pa je enak �!� = !� − ��: �!� = =�� cos�D� −�� sin�D� − �� + >�� sin�D� + �� cos�D� − ��. (11)

Komponente premika

�� = �� cos�D� − �� sin�D� − �� , (12)

�� = �� sin�D�+�� cos�D�−�� , (13)

�� = 0 (14)

odvajamo po koordinatah in dobimo komponente deformacijskega tenzorja. Upoštevamo, da so koti zasuka majhni, torej je cos�D� ≈ 1. Dobimo:

&'�&)� = &'�&)� = cos�D� − 1 ≈ 0, (15)

&'�&)� + &'�&)� = −sin�D� + sin�D� = 0, (16)

prav tako so nič vsi odvodi, ki vsebujejo u3 ali odvod po x3. Ker si lahko koordinatno izhodišče in smer osi z poljubno izberemo, je pri vsaki majhni togi rotaciji deformacijski tenzor enak nič.

3.3 Definicija napetostnega tenzorja

Majhen del telesa naj ima obliko kocke z robovi dolžine a v smereh koordinatnih osi x, y in z (slika 3.3) in naj bo v ravnovesju. Na vsako ploskev telesa lahko deluje zunanja sila. Ker je delec majhen, lahko zanemarimo podrobnosti o prijemališčih sile. Rečemo, da na delec deluje 6 kontaktnih ploskovno porazdeljenih sil. Sile ne delujejo nujno pravokotno na ploskev.

y

x i�

'i�

j�

'j�

ϕ

ϕ

11

Slika 3.3: Nekatere sile na majhen del telesa.

Ker je delec v ravnovesju, velja:

a) sili na dve nasprotni ploskvi sta nasprotno enaki (ravnovesje sil),

b) ni nujno, da so sile pravokotne na ploskve, ampak lahko delujejo pod določenim kotom φ,

c) navori so v ravnovesju.

Definiramo komponente napetostnega tenzorja σij:

�$% =��(�K*, (17)

i - označuje komponento sile, j – opisuje, za katero ploskvico gre: dS1 opisuje obe ploskvici, ki sta pravokotni na os x. Velikost ploskvic je dS = a2. Enote za napetosti so Pa.

Slika 3.4: Sila na zgornjo ploskev.

Primer: sile na zgornjo ploskev ( j = 3) opišejo tri komponente napetostnega tenzorja (slika 3.4):

σ13 - opisuje komponento sile v smeri osi x

σ23- opisuje komponento sile v smeri osi y

σ33- opisuje komponento sile v smeri osi z

Ker so sile na nasprotne ploskve nasprotno enake, se dogovorimo, da gledamo samo 3 ploskve namesto 6 in sicer za vsako smer gledamo ploskev z večjo koordinato: sprednjo (večji x kot zadnja), desno in zgornjo (slika 3.5).

x

y

z

F22

F32

12

Slika 3.5: Natezna sila v smeri osi x.

Primer: σ11 > 0, v smeri x deluje natezna sila.

Slika 3.6: Velikost strižnih sil - ravnovesje navorov. Označene so velikosti sil.

Napetostni tenzor je vedno simetričen, kar pomeni, da ga opišemo s 6 komponentami (in ne z 9). Trditev ni očitna, izhaja pa iz ravnovesja navorov. Izvendiagonalni členi deformacijskega tenzorja opisujejo strižne sile, zato poglejmo le-te in upoštevajmo, da so vse ploskve enake. Za opis parov strižnih sil v smereh y in z poglejmo primer na sliki 3.6: na desno ploskev naj deluje strižna sila Fa v smeri osi z, torej deluje na levo ploskev nasprotna sila. Dvojica sil povzroča navor, zato na zgornjo ploskev deluje strižna sila Fb v smeri osi y, na spodnjo ploskev pa nasprotno enaka sila. Os vrtenja postavimo v sredino telesa, vsaka od dvojic sil Fb

in Fa povzroča navor. Ker je vsota navorov na telo enaka 0 in so vse ročice enake, morata biti sili Fa in Fb po velikosti enaki:

�L =�M. (18)

Ker je �� = �NK� in �� = �OK8 , velja �� = ��. Med komponentami tenzorja napetosti in tenzorja deformacij veljajo linearne zveze

$% = �P [�1 + R��$% − R ∙ �SS ∙ T$%], (19)

y

z

Fa

Fa

Fb

Fb

x

y

z

13

kjer je E elastični modul, ν Poissonovo razmerje in δ Kroneckerjev simbol. Pri zapisu smo upoštevali Einsteinovo konvencijo: kadar imamo dva enaka indeksa, je mišljeno, da seštevamo po vseh parih indeksov, torej je:

�� = �P [�1 + R�� − R�� +�� +��], (20)

�� = �P �1 + R�� , (21)

itd.

3.4 Upogib palice

Osredotočili se bomo na upogib palice pri 3- ali 4-točkovnem testu, saj je ta v praksi najbolj pogost.

Slika 3.7: Upogib palice.

Palico na sliki 3.7 obremenimo v navpični smeri, zato se palica upogne. Pri tem se na zgornji strani stisne in na spodnji raztegne (sliki 3.7 in 3.8). Na sredini ima homogena palica nevtralno ravnino (črto v 2D projekciji), kar pomeni, da ta del palice ne čuti napetosti. Tu je prehod med tlačno in natezno napetostjo. Če palica ni homogena, nevtralna črta ni na sredini. Omejili se bomo samo na homogeno palico.

Slika 3.8: Palica pred upogibom in smer sil na delec po upogibu.

Naj bo nevtralna črta na višini y = 0. Palica se ukrivi tako, da je R lokalni krivinski radij. Na dani koordinati x nas zanimajo samo napetosti v smeri osi x, torej σxx, ostale napetosti so

y

x y = 0

nevtralna os

nevtralna os

tlačne sile

natezne sile

14

zanemarljive. V območju tlačnih napetosti je sila na desno ploskev delca palice v obliki kocke usmerjena v levo in je torej negativna, v območju nateznih napetosti pa je pozitivna. Napetost σxx se spreminja po višini palice tako, da je najbolj negativna na vrhu, na nevtralni črti je nič, najbolj pozitivna je na spodnjem delu. Pri majhnih deformacijah predpostavimo, da se vmes linearno spreminja:

�)) =−0∙PV . (22)

Ta enačba izhaja tudi iz zveze med deformacijskim in napetostnim tenzorjem. Za celotno palico moramo upoštevati, da je ukrivljenost palice, torej lokalni krivinski radij, ovisen od koordinate x na palici:

�))��, W� = − 0∙PV�)�. (23)

Sila, s katero obremenjujemo palico, je povezana s krivinskim radijem palice preko Hookovega zakona.

Slika 3.9: Krivinski radij.

Odmik palice v navpični smeri iz začetne lege opisuje funkcija f(x)

�0 = X��, (24)

Lokalni krivinski radij R(x) je radij krožnice, ki se funkciji najbolje prilega v točki s koordinato x (slika 3.9).

Krožnica in funkcija imata pri izbranem x skupno koordinato uy, skupno tangento (prvi odvod u') in skupno ukrivljenosti (drugi odvod u''). Velja:

�V = '1YY

��Z'1Y �8� . (25)

Pri majhni upogibih lahko zanemarimo prvi odvod v imenovalcu (u' << 1):

�V = �0@@ . (26)

Velja povezava med obremenitvijo in ukrivljenostjo:

[ = P∙\V , (27)

x

uy

R

T

tangenta y

15

kjer je M navor, ki ga povzroča obremenitvena sila, I je ploskovni vztrajnostni moment, odvisen od oblike čelnega preseka prereza palice. Za palico s pravokotnim presekom z debelino d in širino š (slika 10) je

] = šM8�� . (28)

Enačba 27 je splošna enačba za majhen upogib poljubno obremenjene palice.

Slika 3.10: Štiritočkovna obremenitev palice.

Obravnavali bomo 4- točkovno obremenitev palice, ki jo kaže slika 3.10. Omenimo, da gre tukaj kljub imenu v resnici za linijsko porazdeljene sile (točkovna porazdelitev sil je le v 2D projekciji).

3.5 Štiri–točkovni test Pri štiritočkovnem testu palico na štirih mestih obremenimo z določeno silo na eni in drugi strani, kot prikazuje slika 3.11 [2].

Slika 3.11: Štiritočkovni test.

Na sliki so označena tri različna področja, kjer delujejo navori z različnimi odvisnostmi parametrov. Območje I je prikazano na sliki 3.12. Zajema točke v območju med levim

krajiščem palice in prijemališčem leve obremenitvene sile: 0 ≤ � ≤ _, kjer je _ = �� .

x = 0 x = L2

L2

x

+F/2 +F/2

-F/2

L1

-F/2

I II III

š d

16

Slika 3.12: Območje I.

Glede na točko x imamo na desni strani tri navore. Zapišemo jih z enačbo

[ = �� [�� − _� + �� + _ − `�� + �`� − ��]. (29)

Upoštevali smo, da sta navora obremenitvenih sil /− ��2 z velikostima ročic (a - x) in (L2 - a -

x) negativna, navor zaradi desne podpore z velikostjo ročice (L2 - x) pa je pozitiven. Med obremenitvijo in odmikom �a0 v navpični smeri v področju I velja zveza:

[ = b ∙ ] ∙ �a0@@ . (30)

Izrazimo drugi odvod odmika in upoštevamo enačbo 27

�a0@@ = ��∙P∙\ [�� − _� + �� + _ − `�� + �`� − ��] , (31)

�a0@@ = �∙)�∙P∙\ . (32)

Upoštevamo prvi robni pogoj pri � = 0

�a0@@ �0� = 0 . (33)

Ker je obremenitev simetrična, so enačbe za območje III enake kot za področje I, če računamo od desne proti levi. Zato je dovolj, da poiščemo napetosti in upogib samo do polovice dolžine palice.

Območje II je prikazano na sliki 3.13. Zajema točke v območju med prijemališčema obeh obremenitvenih sil: _ ≤ � ≤ `� − _.

Slika 3.13: Območje II.

Prisotna sta dva navora: negativni navor desne obremenitvene sile /− ��2 z ročico (L2 - a - x)

in pozitivni navor sile v desni podpori z ročico (L2 - x), zato je enačba za odmik enaka

0

+F/2 +F/2

-F/2 -F/2

x

a a

L2

0

+F/2 +F/2

-F/2 -F/2

x

a

17

�aa0@@ = ��∙P∙\ [�_ + � − `�� + �`� − ��] , (34)

v krajši obliki

�aa0@@ = �∙L�∙P∙\ . (35)

V tem območju ukrivljenost v palici ni odvisna od koordinate x, vzorec je v celotnem območju II izpostavljen enakim napetostim in ima enak krivinski radij, torej je ukrivljen v obliki krožnice.

Upoštevamo še ostale robne pogoje. Funkcija odmika je na meji med področjima I in II (pri � = _) zvezna, zvezen je tudi prvi odvod funkcije:

�a0�� = _� = �aa0�� = _� , (36)

�a0@ �� = _� = �aa0@ �� = _� . (37)

Četrti robni pogoj je, da je primer simetričen glede na sredino palice, zato mora biti pri � = ��

v območju II odvod odmika enak nič:

�\\0@ �� = `22 � = 0 . (38)

Končna rešitev za odmik v območju II ima obliko:

�aa0 = − ��∙P∙\ [3� ∙ �`� − �� − _�] . (39)

Bolj kot oblika palice, ki pri obremenitvenem testu ni neposredno zanimiva, nas zanima drugi odvod, iz katerega lahko določimo napetosti.

Slika 3.14: Območje največjih nateznih napetosti.

Keramika ni občutljiva za tlačne, temveč za natezne napetosti. Na sliki 3.14 je označeno območje največje natezne napetosti �)), to je na spodnji strani palice v območju II. Tam velja:

�)) =− 0∙PV =−Wb�0@@ . (40)

Za največjo napetost v palici �� = �))�e_�� izračunamo:

� = ��∙Lš∙�� , (41)

kar se sklada z enačbo 2.

0

x = L2

L2

x

+F/2

-F/2

L1

-F/2

I II III

y

y = - d/2

+F/2

18

3.6 Teorija zloma

Vsak vzorec ima razpoke, kot je prikazano s črticami na sliki 3.15. Dolžina črtice prikazuje, kako velika je razpoka. Desni vzorec ima manjše razpoke kot levi. Zlom vzorca je odvisen od dolžine razpoke - pri večjih razpokah je za zlom potreba manjša sila. Ko merimo, pri kateri obremenitvi se palica zlomi, ne dobimo pri vseh vzorcih enakih napetosti, saj imajo vzorci različno število in različne velikosti razpok in zato počijo pri različnih napetostih [23–26]. Porazdelitev izmerjenih vrednosti ima zvonasto obliko: večina vzorcev poči v nekem razponu okoli povprečne vrednosti, majhen delež odpove že pri manjših obremenitvah, podobno majhen delež zdrži večje obremenitve. Porazdelitev je podobna Gaussovi krivulji, vendar je nekoliko bolj položna pri majhnih napetostih in bolj strmo pada pri velikih napetostih. Izkaže se, da jo najbolje opišemo z Weibullovo porazdelitveno funkcijo, ki jo bom predstavila v naslednjem poglavju.

Slika 3.15: Vzorca z razpokami.

Pri dejanski izvedbi testa dobimo več velikostnih redov manjšo trdnost keramike, kot jo izračunamo iz enačb za idealni material brez napak [6, 7]. Vzrok temu so razpoke, pore, fazne meje in podobno. Na različnih delih vzorca se zaradi geometrijske oblike, lastnosti vzorca in obremenitve pojavijo različno velike napetosti, torej napetost po celotnem vzorcu ni enaka. Za defekte preprostih geometrijskih oblik lahko napetosti izračunamo z linearno elastično teorijo deformacije. Pogoje, ki vplivajo na širjenje razpok, lahko izpeljemo z minimizacijo proste energije ali neposredno s primerjavo napetosti ob konici razpoke in kritične napetosti. V obeh primerih velja neenačba, ki pove, da je faktor intenzitete napetosti K večji ali enak kritičnemu faktorju intenzitete napetosti KC, ki ga imenujemo tudi zlomna žilavost in je inherentna lastnost snovi [6, 7, 27]:

f ≥ fh, (42)

Zlomno žilavost izrazimo z Youngovim modulom in površinsko energijo pri prelomu, povezana je z medatomskimi vezmi. Faktor intenzitete napetosti K pa je odvisen od napetosti � in dolžine razpoke a. Napetost � je privzeta takšna, kot bi bila v materialu brez defektov. Faktor intenzitete napetosti K se izračuna z enačbo, ki velja samo za homogene napetosti v materialu

f = i�√_, (43)

kjer je Y brezdimenzijski geometrijski faktor, odvisen je od orientacije in oblike defekta. Iz velikosti razpok lahko po obeh enačbah izračunamo, kakšna bo napetost pri zlomu vzorca. V njem je več razpok, vendar bo prišlo do zloma pri eni izmed večjih. Upoštevamo tudi, da je keramika bolj občutljiva na natezne napetosti, zato faktor intenzitete napetosti K izračunamo le na področjih nateznih napetosti. Prav tako je potrebno upoštevati termične napetosti zaradi razlik v temperaturni razteznostni komponent v keramiki, če so prisotne. V primeru, ko na različne dele vzorca delujejo različno velike napetosti, se faktor intenzitete K izračuna z integralom po dolžini razpoke produkta nehomogene napetosti in posebne utežne funkcije.

19

Izkaže se, da je porazdelitev trdnosti Weibullova, če imamo samo en tip napak, kot so robne razpoke, in je porazdelitev velikosti razpok a enaka

X�_� = Xk_�l, (44)

kjer je f verjetnostna porazdelitvena funkcija, f0 normalizacijski koeficient, q pa značilni eksponent [3]. Tedaj je Weibullov modul enak m = 2(q - 1). V primeru, da enačba 44 ne opisuje dejanske porazdelitve velikosti razpok, je potrebno posebej preveriti, če so trdnosti res porazdeljene po Weibullovi porazdelitvi. Prav tako dvoparametrična Weibullova porazdelitev ne velja, če je v materialu prisotnih več vrst napak.

3.7 Zvezna porazdelitev verjetnosti

Zvezno porazdelitev verjetnosti neke naključne fizikalne spremenljivke x imenujemo porazdelitvena funkcija [28]. Govorimo o verjetnostni gostoti p(x) in kumulativni verjetnostni funkciji P(x).

1)

Slika 3.16: Verjetnostna gostota p(x).

Verjetnost, da se bo i-ti rezultat meritve fizikalne količine xi nahajal na zelo ozkem intervalu med x in x + dx (slika 3.16), poda enačba

:m��, � + :�� = �� ∙ :�, (45)

verjetnostna gostota p(x) ima fizikalno enoto, ki je inverzna enoti spremenljivke x.

2) Verjetnost, da se bo naključni xi nahajal med izbranima vrednostma x1 in x2 (slika 3.17), poda enačba

m��$ ≤ � ≤ �� = n ��:�)�)� . (46)

20

Slika 3.17: Verjetnost, da se xi nahaja med x1 in x2, je enaka ploščini pod grafom verjetnostne gostote na intervalu med x1 in x2.

3) Verjetnost, da bo naključna vrednost xi manjša od vrednosti x (slika 3.18), poda enačba

m�� = m��$o , �� ( )∫=x

x

dxxpmin

, (47)

kjer je xmin najmanjša teoretično mogoča vrednost spremenljivke. Enačba 47 torej opredeljuje kumulativno verjetnostno funkcijo P. Obratno zvezo med funkcijama p in P zapišemo z odvodom:

�� = �p�)��) . (48)

Slika 3.18: Verjetnost, da je xi manjši od x.

4.) Verjetnostna gostota je normalizirana: verjetnost, da bo naključna vrednost xi med najmanjšo in največjo možno vrednostjo, je enaka 1:

m��L)� = n ��:� = 1)�N.)�(q . (49)

21

3.8 Weibullova porazdelitev

Omejili se bomo na dvo-parametrično Weibullovo porazdelitev, kjer je neodvisna spremenljivka (x) ekvivalentna upogibni trdnosti vzorca σ (x ≡ σ) [9, 29–51]. Predpostavimo, da je σmin enak 0. Weibullovo krivuljo prikazuje slika 3.19.

Slika 3.19: Weibullova porazdelitev.

Krivulja p(σ) ni simetrična, Weibullova enačba s parametroma Weibullov modul m in skalni parameter �k ima obliko:

�� = �� ∙ � �� ∙ �� . (50)

Odvisnost verjetnostne gostote od Weibullovega modula prikazuje slika 3.20.

Slika 3.20: Weibullova porazdelitev pri različnih vrednostih Weibullovega modula m.

Pri večjih vrednosti m je graf ožji in maksimum je višji (ker je ploščina pod krivuljo v vseh primerih enaka 1) - verjetnost je pri velikih m velika le v bližini σ0, drugje je blizu nič.

Odvisnost verjetnostne gostote od skalnega parametra prikazuje slika 3.21. Pri σ0 = 2 se graf začne in konča pri večjih vrednostih kot pri σ0 = 1 (porazdelitev ima maksimum blizu

p

σ

0 1 2 30

1

2

3

4

5

p(σ)

σ

σ0 = 1

m = 1 m = 2 m = 4 m = 8 m = 12

22

vrednosti σ = σ0), višina maksimuma se je zmanjšala (ker je ploščina pod vsako krivuljo enaka 1) [52].

Slika 3.21: Weibullova porazdelitev pri različnih vrednostih skalnega parametra σ0.

Verjetnostna gostota ima največjo vrednost pri σ = σ max, ki je podan z enačbo

��L) = �k ∙ �� . (51)

Razmerje σmax/σ0 v odvisnosti od parametra m je prikazano na sliki 3.22.

Slika 3.22: Razmerje σmax/σ0 v odvisnosti od parametra m.

Vidimo, da je vrh porazdelitve vedno pri napetostih, ki so manjše od σ0, pri velikih m, ki jih srečamo v praktičnih primerih, je blizu σ0.

Odvisnost višine maksimuma pmax od parametrov m in σ0 opisuje naslednja enačba

��L) = �� ∙ �� r�� ∙ ��r�� , (52)

ki je prikazana na grafu pmax·σ0 (m) (slika 3.23).

0 1 2 3 4

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

p(σ)

σ

m = 6 σ

0 = 1

σ0 = 2

0 5 10 15 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

σ ma

x /σ0

m

23

Slika 3.23: Odvisnost produkta višine maksimuma pmax in skalnega parametra σ0 v odvisnosti od modula m.

Višina maksimuma pri danem m je obratnosorazmerna σ0, saj večji skalni parameter pomeni, da je vrh porazdelitve pri višjih σ, celotna porazdelitev pa je različna od nič na širšem območju. Pri danem σ0 višina vrha skoraj linearno raste z m, pri večjih vrednostih Weibullovega modula je porazdelitev ožja.

Weibullovo verjetnostno gostoto integriramo od σmin = 0 do � in dobimo kumulativno verjetnostno funkcijo

m�� = 1 − �� , (53)

prikazano na sliki 3.24.

Slika 3.24: Kumulativna Weibullova verjetnostna funkcija.

Enačbi krivulje na grafu pravimo Weibullova enačba

m = 1 − �� , (54)

kjer sta spremenljivki upogibna trdnost σ in verjetnost P ter parametra Weibullov modul m in (umeritveni) skalni parameter σ0.

0 5 10 15 200

2

4

6

8

p(σ m

ax)σ

0

m

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P

σ

m = 10σ

0 = 1

24

Odvisnost kumulativne verjetnostne funkcije P od Weibullovega modula m prikazuje slika 3.25. To je integral p(σ): vrednost pri σ pove, kolikšna je verjetnost, da je (izmerjena) vrednost manjša ali enaka σ. Pri večjih vrednosti parametra m ima graf večjo strmino.

Slika 3.25: Kumulativna verjetnostna funkcija P v odvisnosti od Weibullovega modula m.

Odvisnost kumulativne verjetnostne funkcije od skalnega parametra σ0 prikazuje slika 3.27. Tako kot graf verjetnostne gostote se tudi graf kumulativne verjetnostne funkcije pri večjem skalnem parametru σ0 = 2 začne in konča pri večjih vrednostih σ, strmina je manjša.

Slika 3.26: Kumulativna verjetnostna funkcija P v odvisnosti od skalnega parametra σ0.

Kot zanimivost omenimo, da je Waloddi Weibull enačbo izpeljeval v obratni smeri, torej je odvajal enačbo oblike P(�) in dobil rešitev enačbe oblike p(�) [8]. Zato je enačba za kumulativno funkcijo P preprostejša kot tista za verjetnostno gostoto p.

3.9 Povprečna vrednost in standardna deviacija

Povprečno vrednost spremeljivke � (<�> ali ��) izračunamo kot

< � >= n � ∙ ��:� = �kΓ�1 + ��vk , (55)

kjer je funkcija gama definirana kot

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P(σ

)

σ

σ0 = 1

m = 1 m = 2 m = 4 m = 8 m = 12

0 1 2 3 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P(σ

)

σ

m = 6 σ

0 = 1

σ0 = 2

25

Γ�� = n w)�� x:wvk . (56)

Slika 3.27 prikazuje vrednost funkcije Γ(1+1/m) = < σ>/σ0 v odvisnosti od modula m. Vidimo, da je, razen za m = 1, funkcija manjša od 1, torej je povprečna vrednost Weibullove porazdelitve vedno manjša od skalnega parametra σ0, pri m = 2,17 povprečje doseže najnižjo vrednost 0,89·σ0, nato počasi narašča z m proti σ0.

Slika 3.27: Razmerje med povprečno vrednostjo porazdelitve <σ > in skalnim parametrom σ0 v odvisnosti od modula m.

Standardna deviacija meri tipično odstopanje posameznih vrednosti od povprečja. Definirana je kot koren iz povprečnega kvadrata razlik med vrednostmi in povprečjem:

T� = y< ��−< � >�� >, (57)

zapišemo jo tudi v obliki

T� = √< �� > −< � >�. (58)

Pri Weibullovi porazdelitvi dobimo

T� = �k ∙ zΓ /1 + ��2 −Γ� /1 + ��2 . (59)

Slika 3.28 prikazuje razmerje δσ/σ0 v odvisnosti od modula m. Kakor smo videli že na grafu 3.20, relativna širina verjetnostne gostote pada z m.

0 5 10 15 200,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,00<

σ>/σ

0

m

26

Slika 3.28. Razmerje med standardno deviacijo porazdelitve δσ in skalnim parametrom σ0 v odvisnosti od modula m.

Pogosto računamo tudi višje momente porazdelitve. Za povprečno vrednost <σ > oz. prvi moment (k = 1), povprečni kvadrat <σ 2 > oz. drugi moment (k = 2) in za vse višje momente <σ k > Weibullove porazdelitve velja enačba:

< �S >= �kSΓ�1 + S�� . (60)

Poglejmo primerjavo z bolj znano Gaussovo (normalno) verjetnostno gostoto. Gaussova verjetnostna gostota je definirana kot

�� = �{�√�| ��r�}� ��, (61)

kjer je σ0 povprečna vrednost spremenljivke σ, δσ pa standardna deviacija. Verjetnostna gostota doseže maksimum pri povprečni vrednosti σ0, δσ podaja širino krivulje. Primerjavo Gaussove in Weibulove verjetnostne gostote prikazuje slika 3.29, kjer so parametri prilagojeni tako, da imata obe funkciji enako povprečno vrednost in standardno deviacijo. Gaussova krivulja je simetrična okoli povprečne vrednosti, Weibullova krivulja pa ni nesimetrična, ampak je pri manjših σ bolj položna, pri večjih pa bolj strma.

0 5 10 15 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

δσ/σ

0

m

27

Slika 3.29: Primerjava Weibullove in Gaussove verjetnostne porazdelitve, obe porazdelitvi imata enako povprečno vrednost in enako standardno deviacijo.

3.10 Metoda momentov

Za dani niz meritev z metodo momentov (MM) iščemo parametre Weibullove porazdelitve tako, da se teoretična pričakovana vrednost spremenljivke in njena standardna deviacija ujemata z ustreznima eksperimentalnima vrednostma [53]. Za določitev obeh parametrov bomo zapisali dve enačbi. Prvo enačbo dobimo iz eksperimentalnih podatkov σ tako, da izračunamo povprečno vrednost porazdelitve

< � >= �~∑ �$~$�� (62)

in jo enačimo s teoretično vrednostjo, izraženo s še neznanima parametroma σ0 in m:

< � >= �kΓ /1 + ��2 . (63)

Drugo enačbo lahko dobimo na dva načina. Po prvem načinu izračunamo povprečni kvadrat meritev

< �� >= �~∑ �$�~$�� (64)

in ga enačimo z

< �� >= �k�Γ�1 + ��. (65)

Drugi način je, da izračunamo standardno deviacijo

T� = √< �� > −< � >� (66)

in jo enačimo z

T� = �k ∙ zΓ /1 + ��2 −Γ� /1 + ��2. (67)

V obeh primerih imamo dve neznanki m in σ0, ki ju izračunamo numerično iz obeh enačb (enačbe 63 in ene izmed enačb 65 ali 67).

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50,0

0,5

1,0

1,5

p(σ)

σ

Weibull, m = 6, σ0 = 2

Gauss, δσ = 0,36, σ0 = 1,86

28

3.11 Histogramska metoda

Pri tej metodi iščemo parametre tiste porazdelitve, ki se najbolje prilega meritvam, s pomočjo histograma. Najprej izmerjene vrednosti uredimo od najmanjše do največje. Nato jih razdelimo v N »predalčkov« z enako širino ∆σ in določimo število izmerjenih vrednosti ni v vsakem predalčku. Glede na skupno število izmerjenih vrednosti izberemo primerno širino predalčkov, tako da jih ni premalo ali preveč - da ne izgubimo preveč informacij o porazdelitvi zato, ker smo preveč meritev združili v isti predalček, pa tudi da imamo v posameznem predalčku dovolj meritev za računanje. Vsakemu predalčku priredimo točko (σi, ni), kjer je σi vrednost σ na sredini predalčka, in poiščemo vrednosti parametrov σ0 in m tako, da se funkcija f(σ), ki je produkt verjetnostne gostote, števila stolpcev N in širine stolpca ∆σ najbolje prilega tem točkam (slika 3.31):

X�� = � ∙ ∆� ∙ ��. (68)

V našem primeru je verjetnostna porazdelitev p(σ) Weibullova

X�� = � ∙ ∆� ∙ �� ∙ � �� ∙ �� . (69)

Slika 3.31: Histogram in porazdelitev, ki se histogramu najbolje prilega.

3.12 Metoda maksimalne verjetnosti

Metoda maksimalne verjetnosti se v angleščini imenuje Maximum likelihood method (ML) [53, 54]. Bistvo te metode je iskanje vrednosti parametrov (m in σ0 za Weibullovo porazdelitev) tako, da se krivulja najbolj prilega podatkom σi. Pri tem iz izmerjenih vrednosti, pričakovane oblike verjetnostne gostote in njenih neznanih parametrov sestavimo funkcijo Y:

i = ln�∏ ��e, �k; �$�~� � = ∑ ln�~� ��e, �k; �$��, (70)

kjer je p (m, σ0; σi) verjetnostna gostota s parametroma m in σ0, N pa število meritev. Funkcija Y je sorazmerna logaritmu produkta verjetnosti, da smo pri eni meritvi izmerili σ1, pri drugi σ2 itd. Pričakujemo, da je izmerjeni niz meritev najbolj verjeten, torej je produkt verjetnosti največji. Bolj se krivulja prilega meritvam, večjo vrednost funkcije Y dobimo. Če bi se funkcija popolnoma prilegala, bi bila verjetnost 1. V praksi to ni mogoče, dobimo pa lahko

0 400 800 1200 16000

20

40

n i

σ

m = 10, σ0 = 1200

p(σ)*N*∆σ

29

visoke verjetnosti, ki so blizu 1. Pri odvajanju enačbe po iskanih parametrih m in σ0 dobimo enačbi

�� =∑ ��(�∙�(�� ∑ �(��( − �~∑ ln��$�~� , (71)

�k = /∑ �(��~ 2 �� . (72)

Enačbi rešimo numerično. Najprej iz prve enačbe z iteracijo poiščemo m, nato iz druge izračunamo σ0.

3.13 Linearna regresija

Regresija meri odvisnost dveh slučajnih spremenljivk. Iščemo krivuljo, ki se najbolj prilega podatkom [17]. Pri linearni regresiji je ta krivulja kar premica y = k·x + n. Iščemo vrednosti parametrov k in n. Imamo torej N meritev, ki jih vstavimo v graf in poiščemo najbolje prilegajočo se premico (''fitamo'').

Za računanje po tej metodi moramo podatke linearizirati. Izmerjene vrednosti najprej razvrstimo po velikosti od najmanjše do največje, nato pa vsaki priredimo vrednost Pi. Najpreprostejši način je

m$ ≈ $~, (73)

saj P(σ) podaja verjetnost, da bo nova izmerjena vrednost manjša ali enaka σ. Če torej 1000 izmerjenih vrednosti razvrstimo po velikosti od najmanjše do največje, pričakujemo, da je približno 10% možnosti, da bo izmerjena vrednost manjša od vrednosti 100-tega izmerka po vrsti (100/1000 = 0,1). Verjetnost, da bo vrednost manjša ali enaka največjemu izmerku, je približno 100% (1000/1000 = 1).

Na ta način dobimo točke (Pi, σi), katerim se naj prilega funkcija P(σ)

m�� = 1 − �� . (74)

Funkcijo lineariziramo, kar pomeni, da jo izrazimo v obliki W = ? ∙ � + �, tako da jo dvakrat logaritmiramo

ln ln / ��p2 = e� ln � − ln �k�, (75)

torej izračunamo koordinate točk lineariziranega grafa

W$ = ln ln / ��p(2 , �$ = ln �$ . (76)

Točke morajo ležati na premici

W = e ∙ � − e ∙ ln �k, (77)

pri tem je smerni koeficient premice Weibullov modul k = m, začetna vrednost pa n = (– m·lnσ0). Z metodo linearne regresije torej izračunamo Weibullova parametra, pri katerih se premica najbolje prilega parom točk (xi, yi).

30

Kot je opisano v Matematičnem dodatku, lahko odstopanja od premice minimiziramo na več načinov: poiščemo minimalno odstopanje v smeri y, v smeri x ali pa v smeri pravokotno na premico (xy).

Kadar pričakujemo linearno odvisnost, je mera za kakovost meritev korelacijski koeficient R

= �)(0(��)(��0(�{.∙{1 , (78)

ki pove, kolikšna so odstopanja izmerjenih točk od najbolje prilegajoče se premice, torej kako korelirane meritve smo imeli. Če je R blizu vrednosti 1, imamo dobre meritve in obratno.

31

4 REZULTATI RAZISKAVE

Imamo niz 5100 izmerjenih vrednosti napetosti, pri katerih se testni keramični izdelek zlomi. Podatke so pridobili tekom let pri rednih kontrolah kakovosti v podjetju Hidria AET, najmanjša izmerjena vrednost je 137 MPa, največja 400 MPa. Pričakujemo, da so izmerki razporejeni po Weibullovi verjetnostni porazdelitvi. Zanima nas vrednost Weibullovega modula m, skalnega parametra σ0 in ocena, kako dobro se izmerki ujemajo s teoretično porazdelitvijo.

V tem poglavju opišem, kakšne rezultate dajejo različni postopki:

- histogramska metoda,

- različne metode za določevanje verjetnosti izmerjenih napetosti,

- metoda momentov,

- metoda največje verjetnosti,

- linearna regresija z minimalnim odstopanjem v smeri x, y ali xy.

Zanima me tudi, kakšni so rezultati in kako natančno so določeni, če vzamemo različno velike skupine izmerjenih ali z metodo Monte Carlo generiranih podatkov.

4.1 Primerjava histogramov

Podatke predstavimo s histogramom. Izberemo lahko različno široke predalčke in s tem različno število le-teh na intervalu izmerjenih vrednosti. Zanima nas odvisnost natančnosti rezultata, to je vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0, v odvisnosti od števila predalčkov. Ustreznost izbire širine predalčkov lahko vidimo na grafu kot raztresenost vrednosti v sosednjih predalčkih in kot ujemanje z najbolje prilegajočo se Weibullovo verjetnostno gostoto (slike 4.1, 4.2 in 4.3).

Slika 4.1: Histogram s širino predalčka ∆σ = 1 MPa, skupno 280 predalčkov in najbolje prilegajoča se Weibullova porazdelitev.

150 200 250 300 350 400

0,000

0,004

0,008

0,012

0,016

n i /(N

*∆σ)

[MP

a-1]

σ [MPa]

32

Slika 4.2: Histogram s širino predalčka 2 MPa, skupno 140 predalčkov in najbolje prilegajoča se Weibullova porazdelitev.

Slika 4.3: Histogram s širino predalčka 4 MPa, skupno 70 predalčkov in najbolje prilegajoča se Weibullova porazdelitev.

Vidimo, da pri večjem številu predalčkov vrednosti močneje odstopajo od najbolje prilegajoče se Weibullove porazdelitve, število meritev v zaporednih predalčkih se ne spreminja monotono - histogram je "bolj debel", saj je v posameznem predalčku kvečjemu nekaj deset vrednosti, zaradi naključne narave podatkov pa so pričakovana odstopanja relativno velika - reda velikosti kvadratnega korena iz števila vrednosti v predalčku. Tabela 4.1, prikazuje odvisnost Weibullovega modula m, skalnega parametra σ0 in njunih standardnih deviacij glede na širino predalčkov. Podan je tudi korelacijski koeficient R. Razlike v vrednostih izračunanih parametrov niso velike: manj kot 0,01% pri vrednosti skalnega parametra in okoli 0,2% v vrednosti modula m. Več izvemo iz vrednosti standardnih deviacij in korelacijskih koeficientov, ki - tako kot grafi - kažejo najmanjša odstopanja pri širših predalčkih. Vendar čezmerno povečevanje širine predalčkov ni smiselno, saj s tem izgubljamo število podatkov za določitev Weibullovih parametrov. V nadaljevanju bomo računali s 50 predalčki.

150 200 250 300 350 400

0,000

0,004

0,008

0,012

0,016

n i /(N

*∆σ)

[MP

a-1]

σ [MPa]

150 200 250 300 350 400

0,000

0,004

0,008

0,012

0,016

n i /(N

*∆σ)

[MP

a-1]

σ [MPa]

33

Tabela 4.1: Vrednosti Weibullovih parametrov σ0 in m ter njunih standardnih deviacij v odvisnosti od števila predalčkov. Podan je tudi korelacijski koeficient R.

Št. predalčkov σ0 δσ0 m δm R

280 305,09696 0,48475 9,24297 0,11055 0,95139

140 305,11139 0,48716 9,24189 0,11107 0,97494

70 305,08885 0,43844 9,22971 0,09970 0,98979

4.2 Primerjava enačb za računanje verjetnosti po različnih metodah

Izvedla sem direktno primerjavo štirih metod za določanje parametrov Weibullove porazdelitve. Te so linearna regresija (LR), metoda maksimalne verjetnosti (ML) (maximum likelihood), metoda momentov (MM) in histogramska metoda (HM). Osredotočila sem se na vrednosti rezultata Weibullovega modula m in skalnega parametra σ0. Zanimala me je tudi odvisnost rezultatov od štirih različnih enačb za računanje ocene verjetnosti (rank estimator):

1�m�;, �� = $�k,�~ (79)

2�m�;, �� = $~Z� (80)

3�m�;, �� = $�k,�~Zk,� (81)

4�m�;, �� = $�k,��~Zk,�� (82)

P(i,N) je vrednost kumulativne porazdelitvene funkcije, ki jo priredimo i-ti izmerjeni vrednosti iz niza N meritev, pri tem so izmerjene vrednosti urejene po velikosti od najmanjše do največje. Enačb za računanje verjetnosti je še več, vendar sem se omejila na zgornje štiri. Razlog za veliko enačb so simulacije Monte Carlo, ki dajejo za različne primere (predvsem za različno velikost vzorcev N) različne najboljše enačbe. Uporabila sem torej 4 enačbe za ''rank estimator'' in 3 načine računanja linearne regresije (x, y in xy), kar pomeni, da je 12 možnosti, kako dobiti rezultat z linerano regresijo, in še tri možnosti za ostale tri metode. V tabeli 4.2 je prikazana primerjava rezultatov.

34

Tabela 4.2: Weibullova parametra, dobljena po različnih metodah.

Opazimo, da so pri σ0 odstopanja reda velikosti 0,1% in pri m odstopanja reda velikosti 3%. Prav tako je razvidno, da regresiji x in xy dajeta podobne rezultate, ki se nekoliko razlikujejo od rezultatov regresije y. To je posledica tega, da sta velikostna reda vrednosti x in y različna - ker so vrednosti x večje od vrednosti y, pri xy prevlada komponenta x. Enako velja, da rezultati metode ML nekoliko odstopajo od rezultatov preostalih metod. Pri zadnjih treh metodah štiri enačbe za "rank estimator" ne vplivajo na končni rezultat, saj jih ne uporabimo pri računanju, zato je pri vsaki metodi podan samo po en rezultat.

4.3 Primerjava korelacijskega koeficienta po različnih metodah

Pomembno je vedeti, kako dobro metode opišejo porazdelitev. V ta namen je pomemben korelacijski koeficient R2, ki pove, koliko izračunane vrednosti najbolje prilegajoče se porazdelitve odstopajo od eksperimentalnih podatkov (tabela 4.3). Razen tega si pomagamo tudi z diagrami Q–Q, ki omogočajo dobro vizualizacijo ujemanja teorije in eksperimenta [55]. Koeficient R2 ima drugačen pomen kot prej omenjeni koeficient R pri linearni regresiji. Potem, ko že imamo izračunana Weibullova parametra, diagrame Q–Q in koeficient R2 dobimo na naslednji način. Eksperimentalne trdnosti najprej uredimo po naraščajočih vrednostih. Označimo jih s simbolom σi. Za vsako od teh vrednosti uporabimo izbrani ''rank estimator'', da izračunamo ustrezno verjetnost P(i,N). Nazadnje pa iz enačbe 54 za komulativno porazdelitveno funkcijo izračunamo ustrezno teoretično trdnost σi th. S pari (σi th , σi) narišemo diagrame Q–Q, kakršni so na sliki 4.4. Dobro ujemanje teorije in eksperimenta da točke na diagramu, ki so zelo blizu premici pod kotom 45º glede na vodoravno os. Koeficient R2 pa dobimo po enačbi:

� = 1 − ∑ ��(��(,��(��∑ ��(��(��(�� , (83)

P(i,N) = (i - 0,5) /N

P(i,N) = i /(N + 1)

P(i,N) = (i - 0,3) /(N + 0,4)

P(i,N) = (i - 0,375) /(N + 0,25)

Regresija x m = 9,3553 σ0 = 305,2191

m = 9,3228 σ0 = 305,2525

m = 9,3437 σ0 = 305,2340

m = 9,3478 σ0 = 305,2288

Regresija y m = 9,3372

σ0 = 305,2556

m = 9,3149

σ0 = 305,2807

m = 9,3277

σ0 = 305,2664

m = 9,3311

σ0 = 305,2635

Regresija xy m = 9,3551 σ0 = 305,2195

m = 9,3287 σ0 = 305,2528

m = 9,3435 σ0 = 305,2344

m = 9,3476 σ0 = 305,2292

Metoda ML m = 9,0483 σ0 = 305,504

Metoda MM m = 9,2528

σ0 = 305,393

Metoda HM m = 9,2430 σ0 = 305,097

35

kjer je < �$ > povprečna izračunana vrednost trdnosti iz eksperimentalnih podatkov. Vrednost R2 blizu 1 pomeni dobro ujemanje.

Tabela 4.3: Korelacijski koeficient R2 različne načine računanja Weibullovih parametrov.

N = 5100 P(i,N) = (i - 0,5) /N

P(i,N) = i /(N + 1)

P(i,N) = (i - 0,3) /(N + 0,4)

P(i,N) = (i - 0,375) /(N + 0,25)

Regresija x 0,99856 0,99864 0,99861 0,99859

Regresija y 0,99860 0,99870 0,99865 0,99863

Regresija xy 0,99856 0,99867 0,99861 0,99859

Metoda ML 0,99836 0,99849 0,99842 0,99840

Metoda MM 0,99871 0,99879 0,99875 0,99874

Metoda HM 0,99866 0,99874 0,99870 0,99868

Opazimo, da so razlike vrednosti korelacijskega koeficienta R2 na četrti decimalki. Prav tako vidimo, da so razlike manjše, če pri isti metodi uporabljamo različne enačbe za računanje verjetnosti P, kot pa so razlike med različnimi metodami. Zato sem se v nadaljevanju omejila na enačbo 1.

Na sliki 4.4 so narisani diagrami Q–Q za vse 4 metode in premica y = x:

- samo za enačbo številka 2 (P(i,N) = i /(N + 1) ), ki daje najvišje R2

- za linearno regresijo samo za regresijo y, ki daje najvišji R2

Slika 4.4: Diagrami Q-Q za različne metode.

Opazimo, da so razlike med metodami majhne. Pri vseh metodah diagram Q-Q pokaže odstopanje meritev od teoretičnih vrednosti le pri zelo majhnih in zelo velikih vrednostih σi. Po vrednosti korelacijskega koeficienta R2 je najboljša metoda momentov (MM, R2 = 0,99879), nato histogramska metoda (HM, R2 = 0,99874), regresija y (R2 = 0,99870) in metoda največje verjetnosti (R2 = 0,99849).

150 200 250 300 350 400

150

200

250

300

350

400

σ i [MP

a]

σi, th

[MPa]

LR - y MM ML HM σ

i = σ

i,th

36

Iz dobljenih vrednosti m ≈ 9,3 in σ0 ≈ 305 MPa izračunajmo verjetnost Pmin, da bodo vsi izmerki večji od σmin = 137 MPa, kar je najmanjša eksperimentalna vrednost. To je produkt verjetnosti, da bo posamezni izmerek večji od σmin:

m�$o = � �/��(q� 2��~ = 0,05. (84)

Ta verjetnost je 5%, kar je malo - možnost za izmerjeni niz je 1 : 20. Možno je, da je rezultat naključen. Druga možnost je, da Weibullova statistika slabše velja za majhne vrednosti σ, kar je vidno iz tudi diagrama Q-Q.

Verjetnost Pmax, da nobena meritev ne bo nad σmax = 400 MPa, kar je najvišja izmerjena vrednost, izračunamo kot:

m�L) = �1 − �/��N.� 2��~ = 0,98 (85)

kar je v skladu s pričakovanji - možnost za izmerjeni niz je 50 : 1.

4.4 Primerjava različnih metod z različno velikimi skupinami teoretičnih podatkov

Naredila sem tudi simulacije meritev z metodo Monte Carlo. Izmerki v simulaciji so porazdeljeni po Weibullovi porazdelitvi s parametroma m = 9,3 in σ0 = 305 MPa, merilni nizi so različno dolgi:

- velike skupine meritev imajo nize po 1000, 2000, 3000 in 4000 meritev,

- srednje skupine imajo nize po 100, 200, 300, 400 in 500 meritev,

- majhne skupine imajo nize po 12, 24, 36, 48 in 60 meritev.

Niz dane dolžine sem simulirala 10000 krat. Vsakokrat sem izračunala vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0 po treh metodah (LR, ML in MM). Na koncu sem izračunala povprečno vrednost za vsako metodo.

37

1) velike skupine meritev

V tabelah 4.4 in 4.5 so prikazane izračunane povprečne vrednosti po treh metodah za velike skupine meritev - 1000, 2000, 3000 in 4000.

Tabela 4.4: Povprečne vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0 po 10000 ponovitvah nizov s 1000 in 2000 meritvami.

N = 1000 N = 2000

m(LR) 9,2900 m(LR) 9,2939

m(ML) 9,3151 m(ML) 9,3084

m(MM) 9,3205 m(MM) 9,3125

σσσσ0(LR) [MPa] 305,0361 σσσσ0(LR) [MPa] 305,0170

σσσσ0 (ML) [MPa] 304,9872 σσσσ0 (ML) [MPa] 304,9886

σσσσ0 (MM) [MPa] 304,9819 σσσσ0 (MM) [MPa] 304,9850


N = 3000 N = 4000

m(LR) 9,2960 m(LR) 9,2967

m(ML) 9,3056 m(ML) 9,3040

m(MM) 9,3097 m(MM) 9,3079




Opazimo, da se z večanjem števila podatkov v nizu manjša razlika med izračunano in pravo vrednostjo Weibullovih parametrov (m = 9,3 in σ0 = 305 MPa). Razvidno je, da metodi ML in MM dajeta zelo podobne rezultate, metoda LR pa malo odstopa. Tako je Weibullov modul pri metodah ML in MM nekoliko večji od prave vrednosti, pri metodi LR pa nekoliko manjši. Za skalni parameter pa velja ravno obratno.

38

2) srednje skupine meritev

V tabelah 4.6, 4.7 in 4.8 so prikazane izračunane povprečne vrednosti po treh metodah za srednje velike skupine meritev - 100, 200, 300, 400 in 500.


N = 100 N = 200

m(LR) 9,2835 m(LR) 9,2789

m(ML) 9,4405 m(ML) 9,3698

m(MM) 9,4597 m(MM) 9,3810





N = 300 N = 400

m(LR) 9,2841 m(LR) 9,2891

m(ML) 9,3492 m(ML) 9,3402

m(MM) 9,2588 m(MM) 9,3489




Tabela 4.8: Povprečne vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0 po 10000 ponovitvah nizov s 500 meritvami.

N = 500

m(LR) 9,2883

m(ML) 9,3328

m(MM) 9,3393

σσσσ0(LR) [MPa] 305,0707

σσσσ0 (ML) [MPa] 304,9861

σσσσ0 (MM) [MPa] 304,9784

Glede primerjave med različnimi metodami v tej skupini nizov veljajo podobne ugotovitve kot prej. Vidimo pa tudi, da so zaradi manjšega števila meritev v nizu večja odstopanja od pravih vrednosti.

39

3) majhne skupine meritev

V tabelah 4.9, 4.10 in 4.11 so prikazane izračunane povprečne vrednosti po treh metodah za majhne skupine meritev - 12, 24, 36, 48 in 60.

Tabela 4.9: Povprečne vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0 po 10000 ponovitvah nizov z 12 in 24 meritvami.

N = 12 N = 24

m(LR) 9,6972 m(LR) 9,4273

m(ML) 10,5513 m(ML) 9,9053

m(MM) 10,6552 m(MM) 9,9712





N = 36 N = 48

m(LR) 9,3409 m(LR) 9,3178

m(ML) 9,6839 m(ML) 9,5865

m(MM) 9,7298 m(MM) 9,6249




Tabela 4.11: Povprečne vrednosti Weibullovih parametrov m in σ0 po 10000 ponovitvah nizov s 60 meritvami.

N = 60

m(LR) 9,2962

m(ML) 9,5233

m(MM) 9,5527

σσσσ0(LR) [MPa] 305,1732

σσσσ0 (ML) [MPa] 304,7771

σσσσ0 (MM) [MPa] 304,7333

Tudi tukaj veljajo podobne ugotovitve kot pri večjih skupinah. Pri tako majhnih nizih so odstopanja od prave vrednosti že precejšna. Največja vrednost Weibullovega modula po metodi MM pri 12 meritvah je 10,66, izračunane vrednosti skalnega parametra pa se pri najmanjšem številu meritev raztezajo od 303,98 MPa do 305,23 MPa. Vidimo, da za dobre

40

rezultate potrebujemo veliko število meritev. Po vseh metodah je relativna napaka pri določanju vrednosti skalnega parametra precej manjša kot za Weibullov modul.

Na slikah 4.5, 4.6 in 4.7 so levo prikazani histogrami Weibullovih modulov m, izračunanih po različnih metodah, pri 10000 ponovitvah niza N = 12 meritev, ki sem jih simulirala po metodi Monte Carlo. Prikazana je tudi normalna (Gaussova porazdelitev), ki se histogramu najbolje prilega. Desno pa je prikazana ustrezna log-normalna (log-Gaussova) porazdelitev, pri kateri opazujemo porazdelitev vrednosti ln(m). Vidimo, da log-normalna porazdelitev bolje ustreza izračunanim vrednostim kot normalna porazdelitev.

Slika 4.5: Histogram izračunanih Weibullovih modulov m po metodi linearne regresije (LR) za 10000 ponovitev niza 12 meritev (levo) in ustrezni histogram ln(m) (desno). Prikazana je

tudi najbolje prilegajoča se Gaussova porazdelitev.

Slika 4.6: Histogram izračunanih Weibullovih modulov m po metodi največje verjetnosti

(ML) za 10000 ponovitev niza 12 meritev (levo) in ustrezni histogram ln(m) (desno). Prikazana je tudi najbolje prilegajoča se Gaussova porazdelitev.

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

n i

LR (m)0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

200

400

600

800

n i

logLR (m)

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

n i

ML (m)0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

200

400

600

800

n i

logML (m)

41

Slika 4.7: Histogram izračunanih Weibullovih modulov m po metodi momentov (MM) za

10000 ponovitev niza 12 meritev (levo) in ustrezni histogram ln(m) (desno). Prikazana je tudi najbolje prilegajoča se Gaussova porazdelitev.

Na sliki 4.8 je prikazan eden izmed grafov za skalni parameter σ0.

Slika 4.8: Histogram naravnih logaritmov izračunanih skalnih parametrov σ0 po metodi največje verjetnosti (ML) za 10000 ponovitev niza 12 meritev.

4.5 Primerjava rezultatov teoretičnih in eksperimentalnih podatkov

Da bi podrobneje spoznala učinke različnih računskih postopkov pri določanju Weibullovih parametrov, sem analizo simuliranih podatkov še razširila in nato iste postopke ponovila tudi na manjših skupinah eksperimentalnih podatkov, ki sem jih tvorila iz celotnega niza 5100 meritev. Pri obeh vrstah podatkov poznam vrsto porazdelitve in njene parametre: pri simuliranih podatkih sem jih sama nastavila, pri eksperimentalnih podatkih pa sem jih lahko dokaj dobro določila, saj imamo veliko število meritev.

V tabelah 4.4 – 4.11 sem že podala povprečne vrednosti Weibullovih parametrov za vsako skupino 10000 ponovitev niza simuliranih vrednosti, izračunanih po metodah LR, ML in MM. V tabelah 4.12 - 4.15 podajam še standardne deviacije. Za vsakega izmed primerov sem izračunala tudi povprečne vrednosti in standardne deviacije, ki jih dobimo iz logaritmiranih

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

n i

MM (m)0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

200

400

600

800

n i

logMM (m)

5,60 5,65 5,70 5,75 5,800

200

400

600

800

n i

logML (σ0)

42

vrednosti izračunanih parametrov. Povprečne vrednosti in standardne deviacije sem računala iz Gaussove porazdelitve, ki se najbolje prilega histogramu izračunanih vrednosti posameznega parametra ali njegovega logaritma, na dva načina:

- s programom v Pascalu v operacijskem sistemu DOS,

- v programu Origin.

Iz istih podatkov in z istimi programom sem povprečno vrednost in standardno deviacijo za modul m (in podobno za skalni parameter σ0) torej izračunala na dva načina:

- poiskala sem povprečno vrednost e� in standardno deviacijo Te nenormalizirane Gaussove porazdelitve

��e� = � ∙ ��r��}� �� , (86)

ki se najbolje prilega histogramu izračunanih e,

- poiskala sem povprečno vrednost ln�e�� in standardno deviacijo T��e�� log-Gaussove porazdelitve

��lne� = � ∙ ��r��}�� , (87)

pri kateri sem vrednosti m logaritmirala in nato poiskala najbolje prilegajočo se Gaussovo porazdelitev.

Rezultate, dobljene z log-Gaussovo porazdelitvijo, sem preoblikovala tako, da jih lahko primerjamo z rezultati Gaussove porazdelitve. Ker smo Weibullov modul logaritmirali, je:

e��~ = ��. (88)

Izračun standardne deviacije δLNm prikazuje graf 4.9, levo je prikazana Gaussova porazdelitev, desno pa log-Gaussova porazdelitev, obakrat sta označeni povprečni vrednosti in standardni deviaciji. Zanima nas, kateri vrednosti mmin pripada vrednost ��e��$o =��e�$o�, ki je za T��e�� manjša od ln�e�� = ln�e��~�: ln�e�$o� = ln�e��~� − T�ln�e��. (89)

Dobimo:

e�$o = e��~ ∙ �{�� . (90)

Weibullov modul zgornje meje dobimo po enačbi

e�L) = e��~ ∙ {��. (91)

Razlika Weibullovega modula zgornje in spodnje meje je

∆e = e��~ ∙ [ {�� − �{��]. (92)

Torej dobimo ustrezno standardno deviacijo po enačbi

T�~e = e��~ ∙ }�� r}�� . (93)

Ulomek v enačbi 93 predstavlja funkcijo sinh(δ(ln m)):

T�~e = e��~ ∙ sinh�T�lne��. (94)

43

Slika 4.9: Definicija standardne deviacije pri Gaussovi in Log-Gaussovi porazdelitvi.

V tabelah 4.12 - 4.15 ter na slikah 4.10 - 4.13 so prikazani rezultati iz simuliranih serij podatkov, pridobljeni iz histogramov v programih Origin in DOS.

Tabela 4.12: Weibullov modul m iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programu Origin.

�

LR ML MM

Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss e� Te e��~ T�~e e� Te e��~ T�~e e� Te e��~ T�~e 12 9,112 2,396 9,317 2,574 9,864 2,228 10,038 2,425 9,859 2,200 10,165 2,735

24 9,185 1,795 9,286 1,846 9,591 1,530 9,664 1,605 9,617 1,698 9,715 1,813

36 9,206 1,504 9,268 1,525 9,498 1,244 9,538 1,274 9,519 1,395 9,575 1,443

48 9,216 1,332 9,272 1,348 9,450 1,073 9,483 1,093 9,458 1,218 9,504 1,256

60 9,210 1,188 9,255 1,195 9,398 0,950 9,425 0,965 9,416 1,083 9,448 1,110

100 9,243 0,931 9,270 0,927 9,377 0,739 9,392 0,742 9,386 0,831 9,404 0,837

200 9,265 0,685 9,277 0,679 9,335 0,518 9,342 0,520 9,344 0,595 9,354 0,600

300 9,273 0,564 9,283 0,562 9,326 0,417 9,331 0,419 9,334 0,486 9,341 0,489

400 9,285 0,483 9,291 0,480 9,323 0,367 9,326 0,368 9,333 0,422 9,339 0,422

500 9,282 0,432 9,296 0,434 9,317 0,326 9,321 0,326 9,324 0,380 9,328 0,378

1000 9,286 0,312 9,289 0,312 9,307 0,232 9,309 0,233 9,312 0,270 9,314 0,270

2000 9,290 0,216 9,292 0,216 9,306 0,159 9,307 0,159 9,309 0,185 9,310 0,185

3000 9,294 0,177 9,296 0,176 9,304 0,131 9,305 0,131 9,307 0,152 9,308 0,152

4000 9,295 0,153 9,296 0,151 9,302 0,113 9,303 0,112 9,305 0,131 9,306 0,131

5000 9,296 0,136 9,297 0,136 9,303 0,102 9,303 0,102 9,305 0,117 9,306 0,117

8 9 10 11

0

400

800

1200g

m

δm

m2,1 2,2 2,3 2,4

0

200

400

600

ln(m)

ln(mmax

)

ln(mmin

)

log-g

ln(m)

δln(m)

44

Tabela 4.13: Weibullov modul m iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programu DOS.

�

LR ML MM


24 9,427 1,949 9,229 1,923 9,905 1,733 9,761 1,669 9,971 1,817 9,796 1,847

36 9,341 1,583 9,208 1,576 9,684 1,332 9,595 1,302 9,730 1,495 9,619 1,458

48 9,318 1,387 9,215 1,386 9,587 1,146 9,520 1,126 9,625 1,286 9,541 1,263

60 9,296 1,246 9,213 1,243 9,523 1,015 9,471 0,993 9,553 1,141 9,486 1,121

100 9,284 0,964 9,233 0,964 9,441 0,754 9,410 0,753 9,460 0,851 9,421 0,854

200 9,279 0,684 9,254 0,684 9,370 0,524 9,355 0,522 9,381 0,601 9,362 0,598

300 9,284 0,563 9,267 0,564 9,349 0,425 9,340 0,424 9,359 0,489 9,346 0,487

400 9,289 0,488 9,276 0,488 9,340 0,367 9,333 0,366 9,349 0,424 9,339 0,423

500 9,288 0,437 9,278 0,437 9,333 0,325 9,327 0,324 9,339 0,377 9,332 0,376

1000 9,290 0,308 9,285 0,308 9,315 0,230 9,312 0,230 9,320 0,266 9,317 0,265

2000 9,294 0,215 9,291 0,215 9,308 0,162 9,307 0,161 9,312 0,185 9,311 0,185

3000 9,296 0,176 9,294 0,176 9,306 0,131 9,305 0,131 9,310 0,151 9,308 0,151

4000 9,297 0,151 9,295 0,151 9,304 0,114 9,303 0,114 9,308 0,130 9,307 0,130

5000 9,297 0,135 9,299 0,144 9,304 0,102 9,303 0,102 9,307 0,117 9,306 0,117

a) b)

Slika 4.10: Weibullov modul m iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programih Origin in DOS. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

2 3 4 5 6 7 8 99,0

9,2

9,4

9,6

9,8

10,0

10,2

10,4

10,6

10,8

m

ln(N)2 3 4 5 6 7 8 9

9,0

9,2

9,4

9,6

9,8

10,0

10,2

10,4

10,6

10,8

mL

N

ln(N)

LR - Origin ML - Origin MM - Origin LR - DOS ML - DOS MM - DOS

45

a) b)

Slika 4.11: Standardna deviacija Weibullovega modula m iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programih Origin in DOS. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

Za določeno število meritev in metodo izračunavanja statističnih vrednosti dobimo po metodah ML in MM bolj podobne rezultate kot po metodi LR. Vrednosti Weibullovega modula, dobljene po metodi LR, so večinoma nekoliko manjše od prave vrednosti 9,3, po drugih dveh metodah pa strogo večje. Večje je število meritev, bolj so izračunane vrednosti blizu pravi vrednosti in manjša je standardna deviacija. Z log-Gaussovo porazdelitvijo dobimo rezultate, ki so bližje pravim vrednostim.

Razlika med računanjem v programu Origin in DOS se kaže pri majhnem številu meritev (slika 4.10), pri katerih vprogramu DOS po vseh treh metodah dobimo prevelike vrednosti, večje kot v progamu Origin. Odvisnost povprečne vrednosti in standardne deviacije od podrobnosti računskega postopka je posledica tega, da porazdelitve izračunanih modulov iz 10000 ponovitev niso povsem Gaussove, ampak so nekoliko nesimetrične, z debelejšimi repi proti večjim vrednostim m, kar vidimo na slikah 4.5 - 4.7. Čeprav je povprečna vrednost m med 9 in 11 so pri N = 12 najmanjše izmed 10000 izračunanih vrednosti Weibullovega modula okoli 3, največje pa segajo celo do 35. S povečevanjem števila meritev se povprečna vrednost približuje pravi vrednosti, standardna deviacija pa pada. Slike 4.5 - 4.7 kažejo tudi, da se porazdelitev logaritmov izračunanih modulov m ujema z Gaussovo porazdelitvijo tudi pri majhnih N, kar se kaže v manjših razlikah med obema načinoma določevanja povprečja. Hkrati pa je povprečje bliže pravi vrednosti (slika 4.10).

Standardne deviacije Weibullovega modula pri vseh metodah približno enako padajo z N.

2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0δm

ln(N)2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

δ LN m

ln(N)


46

Tabela 4.14: Skalni parameter σ0 iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programu Origin.

�

LR ML MM Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss

�k�� T�k �k��~ T�~�k �k�� T�k �k��~ T�~�k �k�� T�k �k��~ T�~�k 12 305,61 10,16 305,87 10,15 304,59 10,03 304,82 9,99 304,43 10,10 304,66 10,04

24 305,46 7,26 305,65 7,28 304,76 7,09 304,94 7,17 304,68 7,13 304,83 7,17

36 305,37 5,91 305,56 5,93 304,84 5,79 305,02 5,78 304,78 5,81 304,95 5,82

48 305,28 5,07 305,45 5,07 304,84 4,98 305,02 4,98 304,78 4,97 304,97 4,96

60 305,24 4,53 305,41 4,54 304,84 4,44 305,03 4,44 304,82 4,43 304,99 4,45

100 305,21 3,50 305,36 3,50 304,94 3,42 305,10 3,44 304,91 3,44 305,07 3,45

200 305,11 2,50 305,27 2,50 304,97 2,46 305,12 2,46 304,94 2,47 305,10 2,47

300 305,11 2,06 305,26 2,06 305,00 2,00 305,16 2,00 304,98 2,03 305,14 2,01

400 305,08 1,79 305,24 1,79 305,00 1,74 304,90 1,73 304,99 1,75 305,14 1,75

500 305,08 1,58 304,96 1,60 305,01 1,54 304,92 1,37 305,00 1,55 304,87 1,55

1000 305.03 1.13 305,19 1,14 304,99 1,10 305,01 0,84 304,99 1,11 305,01 0,84

2000 305,02 0,80 305,17 0,80 304,99 0,78 304,84 0,78 304,99 0,79 304,83 0,79

3000 305,01 0,66 304,93 0,68 304,99 0,64 304,91 0,65 304,99 0,64 304,90 0,66

4000 305,00 0,57 305,09 0,63 304,99 0,55 305,21 0,44 304,99 0,55 305,21 0,44

5000 305,01 0,50 305,02 0,36 304,99 0,49 305,19 0,42 304,99 0,49 305,19 0,42

Tabela 4.15: Skalni parameter σ0 iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programu DOS.

�

LR ML MM

Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss Gauss Log-Gauss �k�� T�k �k��~ T�~�k �k�� T�k �k��~ T�~�k �k�� T�k �k��~ T�~�k 12 305,23 10,22 305,05 10,26 304,14 10,08 303,97 10,13 303,97 10,10 303,80 10,15

24 305,26 7,31 305,17 7,32 304,53 7,13 304,45 7,15 304,43 7,16 304,35 7,18

36 305,24 5,94 305,18 5,94 304,66 5,80 304,60 5,81 304,60 5,81 304,55 5,82

48 305,21 5,13 305,17 5,14 304,75 5,01 304,71 5,02 304,69 5,02 304,65 5,03

60 305,17 4,61 305,14 4,61 304,78 4,48 304,74 4,49 304,73 4,50 304,70 4,51

100 305,15 3,51 305,13 3,52 304,86 3,42 304,84 3,43 304,84 3,44 304,82 3,44

200 305,11 2,50 305,10 2,50 304,94 2,43 304,93 2,44 304,92 2,44 304,91 2,44

300 305,09 2,05 305,08 2,05 304,97 1,99 304,96 1,99 304,96 2,00 304,95 2,00

400 305,08 1,76 305,07 1,77 304,98 1,71 304,98 1,72 304,97 1,72 304,96 1,73

500 305,07 1,58 305,07 1,58 304,99 1,53 304,98 1,54 304,98 1,54 304,98 1,55

1000 305,04 1,13 305,04 1,13 304,99 1,09 304,98 1,10 304,98 1,10 304,98 1,11

2000 305,02 0,80 305,01 0,80 304,99 0,78 304,99 0,78 304,99 0,78 304,98 0,79

3000 305,01 0,65 305,01 0,66 304,99 0,69 304,99 0,64 304,99 0,63 304,99 0,64

4000 305,01 0,56 305,01 0,57 304,99 0,55 304,99 0,56 304,99 0,55 304,99 0,56

5000 305,01 0,50 305,01 0,51 305,00 0,49 304,99 0,50 304,99 0,49 304,99 0,50

47

a) b)

Slika 4.12: Skalni parameter σ0 iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programih Origin in DOS. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

a) b)

Slika 4.13: Standardna deviacija skalnega parametra iz histograma 10000 simulacij serij po N meritev v programih Origin in DOS. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

Pri skalnem parametru σ0 so ugotovitve podobne kot pri Weibullovem modulu, z razliko, da po metodi LR dobimo nekoliko večje vrednosti od prave vrednosti 305 MPa, pri drugih dveh metodah pa dobimo večinoma nekoliko manjše vrednosti.

Pri skalnem parametru σ0 ne opazimo pomembne razlike med obema načinoma izračunavanja povprečne vrednosti in standardne deviacije. Vzrok je v tem, da je skalni parameter povezan s povprečno vrednostjo izmerjene napetosti in ga je laže določiti kot Weibullov modul, ki je povezan s širino porazdelitve. Zato so dobljena odstopanja od prave vrednosti relativno majhna v vseh primerih in po vseh metodah. Napaka določitve pada z N, Gaussova porazdelitev daje celo nekoliko bolj pravilne rezultate kot log-Gaussova. Standardna deviacija je skoraj identična pri vseh metodah.

Na sliki 4.14 je prikazano vseh 5100 eksperimentalnih podatkov iz podjetja Hidria AET v takšnem vrstnem redu, kakor so bili izmerjeni. V tabelah 4.16 - 4.23 in na slikah 4.15 - 4.18 so prikazani rezultati, dobljeni iz teh podatkov. Najprej (tabeli 4.16 in 4.17) podatkov med

2 3 4 5 6 7 8 9303,5

304,0

304,5

305,0

305,5

306,0σ 0

[M

Pa

]

ln(N)2 3 4 5 6 7 8 9

303,5

304,0

304,5

305,0

305,5

306,0

σ 0 LN [M

Pa]

ln(N)

LR - Origin ML - Origin

MM - Origin LR - DOS ML - DOS MM - DOS

2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12

δσ0

[MP

a]

ln(N)2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12δ L

Nσ 0

[MP

a]

ln(N)


48

seboj nisem premešala, pač pa sem vseh 5100 podatkov po vrsti razdelila v skupine po N vrednosti. Dobila sem t = 5100/N skupin. Povprečne vrednosti in standardne deviacije sem izračunala v programu DOS.

Slika 4.14: Vseh 5100 meritev po vrsti, kakor so bile izmerjene [13].

Tabela 4.16: Weibullov modul m, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez mešanja.

�

LR ML MM


24 9,958 2,466 9,679 2,298 10,658 2,297 10,424 2,199 10,536 2,443 10,274 2,299

36 9,686 1,794 9,526 1,739 10,275 1,630 10,147 1,618 10,128 1,769 9,980 1,709

48 9,649 1,552 9,525 1,540 10,124 1,543 10,007 1,540 10,000 1,540 9,882 1,531

60 9,563 1,294 9,476 1,293 9,991 1,303 9,906 1,309 9,859 1,285 9,777 1,270

Vidimo, da so rezultati manj natančni, standardna deviacija pa je večja kot pri simuliranih podatkih. Vse vrednosti so prevelike, rezultati iz log-Gaussove porazdelitve so bližje pravim vrednostim kot rezultati iz Gaussove porazdelitve. Metoda LR daje nekoliko nižje vrednosti kot ostali dve metodi. Z večanjem N se vrednosti zmanjšujejo in približujejo tistim, ki sem jih izračunala iz porazdelitve vseh eksperimentalnih vrednosti.

49

Tabela 4.17: Skalni parameter σ0, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez mešanja.

�

LR ML MM


24 305,03 13,19 304,74 13,17 304,28 12,99 304,00 12,95 304,25 13,07 303,98 13,04

36 305,13 12,01 304,90 11,98 304,48 11,80 304,25 11,75 304,49 11,88 304,26 11,83

48 305,18 11,25 304,97 11,27 304,66 11,09 304,45 11,11 304,66 11,17 304,45 11,17

60 305,19 10,70 305,00 10,70 304,72 10,58 304,52 10,57 304,74 10,63 304,56 10,62

Pri skalnem parametru so ugotovitve enake kot pri Weibullovem modulu, le da se vrednosti z rastočim N povečujejo do končne vrednosti. Znova je standardna deviacija, torej raztros rezultatov, večja kot pri simuliranih vrednostih. Vzrok za tako obnašanje so dnevne spremembe merilnih pogojev v podjetju, to je variacije lastnosti materiala, vlažnost prostora, temperature, obnašanja naprav…

Da bi izločila dnevna nihanja, sem podatke med seboj naključno pomešala in ponovila postopek računanja. Rezultati so v tabelah 4.18 in 4.19.

Tabela 4.18: Weibullov modul m, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z mešanjem.

�

LR ML MM


24 9,404 1,827 9,231 1,786 9,795 1,961 9,606 1,911 9,898 1,868 9,728 1,814

36 9,345 1,484 9,231 1,454 9,457 1,558 9,322 1,625 9,660 1,475 9,552 1,436

48 9,349 1,324 9,256 1,325 9,383 1,422 9,268 1,497 9,585 1,316 9,495 1,314

60 9,348 1,218 9,270 1,206 9,481 2,024 9,346 1,438 9,512 1,174 9,441 1,160

Tabela 4.19: Skalni parameter σ0, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z mešanjem.

�

LR ML MM


24 305,50 7,30 305,42 7,35 304,93 7,18 304,84 7,20 304,92 7,22 304,74 7,27

36 305,48 5,50 305,43 5,52 305,22 5,60 305,15 5,64 305,03 5,54 304,98 5,56

48 305,43 4,69 305,39 4,70 305,29 4,81 305,26 4,81 305,09 4,72 305,06 4,72

60 305,42 4,23 305,39 4,23 305,37 4,21 305,34 4,20 305,18 4,22 305,15 4,23

50

Vidimo, da daje mešanje za oba Weibullova parametra bolj natančne rezultate in manjšo standardno deviacijo.

Zanimalo me je, ali bi z večkratnim mešanjem eksperimentalnih podatkov lahko še pridobila na natančnosti in se približala rezultatom iz simuliranih podatkov. Tabele 4.20 - 4.23 prikazujejo rezultate po 10-kratnem in 20-kratnem mešanju.

Tabela 2.20: Weibullov modul m, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z 10-kratnim mešanjem.

�

LR ML MM


24 9,373 1,793 9,207 1,749 9,755 1,824 9,594 1,744 9,859 1,807 9,701 1,745

36 9,315 1,418 9,209 1,399 9,553 1,528 9,441 1,443 9,639 1,390 9,541 1,361

48 9,304 1,230 9,224 1,217 9,405 1,365 9,317 1,269 9,541 1,186 9,469 1,169

60 9,298 1,086 9,235 1,084 9,400 1,371 9,320 1,172 9,478 1,038 9,421 1,033

Tabela 4.21: Skalni parameter σ0, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z 10-kratnim mešanjem.

�

LR ML MM


24 305,55 7,26 305,46 7,28 305,04 7,18 304,95 7,200 304,87 7,18 304,78 7,20

36 305,53 5,93 305,47 5,94 305,16 5,86 305,11 5,87 305,05 5,85 305,00 5,86

48 305,49 5,13 305,44 5,13 305,22 5,06 305,18 5,06 305,13 5,06 305,09 5,06

60 305,47 4,48 305,44 4,47 305,35 4,38 305,32 4,39 305,20 4,41 305,16 4,41

Tabela 4.22: Weibullov modul m, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z 20-kratnim mešanjem.

�

LR ML MM


24 9,372 1,809 9,204 1,755 9,744 1,828 9,585 1,734 9,860 1,820 9,700 1,750

36 9,315 1,416 9,209 1,398 9,544 1,497 9,437 1,409 9,640 1,389 9,543 1,361

48 9,303 1,230 9,222 1,217 9,406 1,314 9,322 1,239 9,541 1,185 9,469 1,167

60 9,299 1,103 9,234 1,096 9,371 1,266 9,298 1,144 9,480 1,055 9,422 1,045

51

Tabela 4.23: Skalni parameter σ0, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov z 20-kratnim mešanjem.

�

LR ML MM


24 305,56 7,23 305,47 7,25 305,03 7,14 304,95 7,15 304,87 7,15 304,79 7,17

36 305,53 5,93 305,47 5,94 305,18 5,86 305,12 5,87 305,05 5,86 305,00 5,87

48 305,49 5,13 305,45 5,14 305,25 5,06 305,21 5,07 305,13 5,07 305,09 5,07

60 305,47 4,43 305,44 4,43 305,35 4,35 305,32 4,36 305,19 4,37 305,16 4,38

Z večkratnim mešanjem pridobimo na številu izmerjenih nizov. Rezultati so zato natančnejši, standardne deviacije pa manjše, vendar so razlike glede na enkratno mešanje majhne, kar vidimo tudi iz slik 4.15 - 4.18. Predvsem je bistvena razlika med rezultati brez mešanja in tistimi z mešanjem. Število mešanj pa ni tako pomembno. Pokažejo se razlike med metodami: metoda LR se najbolj približa vrednostim, ki jih izračunamo iz celotnega nabora meritev, in to že pri enkratnem mešanju.

a) b)

Slika 4.15: Weibullov modul m, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez mešanja (črno), z 1-kratnim (rdeče), 10-kratnim (zeleno) in 20-kratnim (modro) mešanjem, kvadrati označujejo metodo LR, krogi metodo ML in trikotniki metodo MM. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

10 20 30 40 50 609,0

9,5

10,0

10,5

11,0

11,5

12,0

m

N10 20 30 40 50 60

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

11,5

12,0

mL

N

N

52

a) b)

Slika 4.16: Standardna deviacija Weibullovega modula, izračunana v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez (črno), z 1-kratnim (rdeče), 10-kratnim (zeleno) in 20-kratnim (modro) mešanjem, kvadrati označujejo metodo LR, krogi metodo ML in trikotniki metodo MM. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

a) b)

Slika 4.17: Skalni parameter σ0, izračunan v programu DOS iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez mešanja (črno), z 1-kratnim (rdeče), 10-kratnim (zeleno) in 20-kratnim (modro) mešanjem, kvadrati označujejo metodo LR, krogi metodo ML in trikotniki metodo MM. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

10 20 30 40 50 60

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5δm

N10 20 30 40 50 60

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

δmL

N

N

10 20 30 40 50 60

303,0

303,5

304,0

304,5

305,0

305,5

σ 0 [M

Pa]

N10 20 30 40 50 60

303,0

303,5

304,0

304,5

305,0

305,5

σ 0 LN [M

Pa]

N

53

a) b)

Slika 4.18: Standardna deviacija skalnega parametra, izračunana v programu DOS, iz t serij po N eksperimentalnih podatkov brez mešanja (črno), z 1-kratnim (rdeče), 10-kratnim (zeleno) in 20-kratnim (modro) mešanjem, kvadrati označujejo metodo LR, krogi metodo ML in trikotniki metodo MM. a) Gaussova porazdelitev, b) log-Gaussova porazdelitev.

10 20 30 40 50 60

4

6

8

10

12

14

16δσ

0 [MP

a]

N

10 20 30 40 50 60

4

6

8

10

12

14

16

δ LNσ 0 [

MP

a]

N

54

5 SKLEP

Pri raziskovanju novih keramičnih materialov in pri kontroli kakovosti v proizvodnji nas zanima njihova trdnost, to je, kolikšno napetost materiali zdržijo oziroma pri kateri napetosti počijo, kar lahko preizkusimo s štiri–točkovnim obremenitvenim testom. Obremenitev, pri kateri preizkušani vzorec odpove, je odvisna od napak v njem in je manjša od teoretične vrednosti v homogenem materialu, zato preizkusimo več vzorcev. Največkrat je porazdelitev izmerjenih trdnosti porazdeljena po dvoparametrični Weibullovi porazdelitvi, zato podajamo vrednosti obeh parametrov: skalnega parametra σ0, ki je mera za povprečno vrednost trdnosti, in Weibullovega parametra m, ki je mera za širino porazdelitve. Ker imamo ponavadi na razpolago le majhno število meritev, tipično 10–30, je lahko napaka pri določitvi vrednosti obeh parametrov znatna. V svojem delu proučujem, kaj vpliva na natančnost določanja vrednosti obeh parametrov in katera metoda je za to najbolj primerna.

V delu sem uporabila 5100 meritev, ki so se nabrale tekom let v kontroli kakovosti v podjetju Hidria AET. Izredno veliko število meritev omogoča natančno preučevanje verjetnostne porazdelitve. Razen izmerjenih trdnosti sem uporabljala tudi podatke, dobljene s simulacijo Monte Carlo Weibullove porazdelitve s podobnimi vrednostmi parametrov σ0 in m. Primerjala sem 4 različne metode za določanje parametrov porazdelitve: histogramsko metodo (HM), linearno regresijo (LR), metodo maksimalne verjetnosti (ML - maximum likelihood) in metodo momentov (MM).

Pri histogramski metodi razpon vrednosti od najmanjše do največje razdelimo na enako široke razrede, preštejemo število meritev v posameznih predalčkih (stolpcih v histogramu) in poiščemo parametre najbolje se prilegajoče verjetnostne porazdelitve. Pri tem je pomembno uporabiti ustrezno širino predlačkov oz. število stolpcev. Prevelika širina pomeni, da je stolpcev malo in imamo malo vrednosti za določitev parametrov porazdelitve. Prav tako ni priporočljiva premajhna širina predalčkov, saj je število meritev v predlačku majhno in se močno pozna vpliv naključne narave meritev: višine stolpcev se ne spreminjajo gladko, temveč tvorijo širok "pas", zanesljivost določitve parametrov je slabša. V našem primeru sem uporabila 50 predalčkov.

Za določanje verjetnostne porazdelitve z metodo linearne regresije izmerjene trdnosti razporedimo po velikosti od najmanjše do največje in jim pripišemo oceno verjetnosti, da je trdnost manjša ali enaka izmerjeni: najmanjši trdnosti tako pripišemo verjetnost okoli 0, največji okoli 1, srednji okoli 0,5 itd.. V statistiki se uporablja več enačb za določitev ocene verjetnosti, preizkusila sem 4 med njimi. Nato verjetnost z dvakratnim logaritmiranjem lineariziramo in poiščemo premico, ki se lineariziranim vrednostim najbolje prilega. To sem naredila na 3 načine: tako, da sem minimizirala odstopanja v smeri ordinatne osi (y), abcisne osi (x) in v smeri pravokotno na premico (xy).

Pri metodi maksimalne verjetnosti predpostavimo, da je izmerjeni niz trdnosti najbolj verjeten, zato iščemo take parametre porazdelitve, ki dajejo največji produkt verjetnosti, da izmerimo posamezne vrednosti iz niza. Dobimo enačbi za parametra porazdelitve, ki ju rešimo numerično.

Povprečna vrednost in standardna deviacija vrednosti, ki so porazdeljene po Weibullovi porazdelitvi, se izražata z vrednostima Weibullovih parametrov. Pri metodi momentov izračunamo povprečno vrednost in standardno deviacijo izmerjenih trdnosti in iz njiju izračunamo Weibullova parametra.

Po vseh metodah sem določila parametra Weibullove porazdelitve za eksperimentalne vrednosti. Za skalni parameter σ0 sem dobila vrednosti med 305,2 MPa in 305,5 MPa, za

55

Weibullov modul m pa med 9,05 in 9,36. Odstopanja med metodami so relativno majhna. Opazila sem, da uporaba različnih enačb za računanje ocene verjetnosti skoraj ne vpliva na rezultat. Prav tako se rezultati pri računanju različnih metod linearne regresije (x, y in xy) zelo malo razlikujejo. Rezultati po metodi največje verjetnosti še najbolj odstopajo od rezultatov preostalih metod.

Korelacijski koeficient R2 opisuje, kako dobro se izmerjene napetosti ujemajo z Weibullovo porazdelitvijo z izračunanimi parametri. Izračunala sem vrednosti med 0,9984 in 0,9988, torej so korelacijski koeficienti pri vseh metodah zelo veliki in se razlikujejo komaj na četrti decimalki. To pomeni, da se porazdelitev izmerjenih napetosti zelo dobro ujema z Weibullovo porazdelitvijo.

Za nazorno predstavo sem narisala tudi diagrame Q-Q, kjer za vsako izmerjeno trdnost določimo oceno verjetnosti po eni izmed statističnih enačb, iz te verjetnosti pa izračunamo napetosti, ki bi jo dala Weibullova porazdelitev z izračunanima Weibullovima parametroma. Nato narišemo graf, kjer na vodoravno os nanašamo izračunane vrednosti, na navpično pa izmerjene. Če se meritve ujemajo s predpostavljeno porazdelitvijo, je graf premica pod kotom 45º. Tudi ta graf za vse metode pokaže, da je porazdelitev izmerjenih napetosti res Weibullova, majhna odstopanja od premice opazimo le pri zelo majhnih in zelo velikih napetostih, to je v področjih, kjer je zelo malo izmerkov.

Weibullova verjetnostna gostosta ni simetrična funkcija: verjetnostna gostota narašča od 0 proti največji napetosti počasneje, kot pa pada nad največjo vrednostjo. V našem nizu je bila najmanjša izmerjena napetost 137 MPa, največja pa 410 MPa. Izračunala sem, da je za Weibullovo porazdelitev s parametroma m ≈ 9,3 in σ0 ≈ 305 MPa verjetnost, da nobena izmerjena trdnost ne bo večja od 410 MPa (največje vrednosti v dejansko izmerjenem nizu), enaka 98%; verjetnost, da nobena napetost ne bo manjša od 137 MPa, pa 5%. Prva vrednost je v skladu s pričakovanji, druga pa nekoliko preseneča - če Weibullova porazdelitev velja tudi pri majhnih napetostih, je verjetnost za naš izmerjeni niz le 1 : 20. Za potrditev veljavnosti Weibullove porazdelitve tudi v tem področju napetosti bi potrebovali še več meritev.

Ker imamo običajno na razpolago bistveno krajše nize meritev, sem statistične metode primerjala tudi na manjših vzorcih podatkov. Podatke z vrednostima Weibullovih parametrov m = 9,3 in σ0 = 305 MPa sem simulirala z metodo Monte Carlo. Sestavila sem različno velike skupine: velike skupine s 1000, 2000, 3000 in 4000 podatki, srednje s 100, 200, 300, 400 in 500 podatki ter majhne z 12, 24, 36, 48 in 60 podatki. Pri vsaki sem izračunala Weibullov modul in skalni parameter z metodo linearne regresije, metodo največje verjetnosti in metodo momentov ter postopek 10000 krat ponovila, da sem dobila porazdelitev izračunanih vrednosti Weibullovih parametrov. Izkazalo se je, da se vse izračunane porazdelitve dobro ujemajo z log-Gaussovo porazdelitvijo, tiste pri večjih skupinah podatkov pa se ujemajo tudi z Gaussovo porazdelitvijo. Povprečno vrednost in standardno deviacijo sem za vsako skupino 10000 podatkov in vsako metodo izračunala na dva načina: s fitanjem histograma v programu Origin in v programu DOS.

Pri simuliranih podatkih natančno vemo, kolikšni sta pravilni vrednosti Weibullovih parametrov, zato lahko opazujemo odstopanja za vsako metodo in število podatkov v skupini posebej. Z večanjem števila podatkov v skupini se povprečne vrednosti izračunanih Weibullovih parametrov pri vseh metodah približujejo pravi (izhodiščni) vrednosti, standardne deviacije porazdelitev pa padajo - kakor smo pričakovali, zanesljivost določitve vrednosti Weibullovih parametrov narašča s številom meritev. Pri manjših skupinah podatkov so odstopanja od prave vrednosti večja: pri skupini 12 meritev dobim po različnih metodah povprečno vrednost Weibullovega modula med 9,1 in 10,7 s standardno deviacijo okoli 3,

56

medtem ko so pri 5000 podatkih povprečja med 9,29 in 9,31 s standardno deviacijo okoli 0,1. Skalni parameter lahko določim bolj natančno: pri 12 meritvah dobim povprečja med 303,8 MPa in 305,8 MPa s standardno deviacijo okoli 10 MPa, pri 5000 meritvah pa med 304,9 MPa in 305,1 MPa s standardno deviacijo okoli 0,5 MPa.

Pri majhnem številu podatkov se pokažejo tudi razlike med statističnimi metodami: linearna regresija daje prenizke vrednosti Weibullovega modula in prevelike vrednosti skalnega parametra, metoda največje verjetnosti in metoda momentov pa ravno obratno: prevelik modul in premajhen skalni parameter. Weibullov modul najbolj pravilno določim z metodo linearne regresije, ostali dve metodi sta približno enakovredni. Pri določanju skalnega parametra ni bistvenih razlik med metodami.

Pomemben del moje raziskave je primerjava rezultatov simuliranih in eksperimentalnih podatkov. Na vrednost izmerjenih napetosti razen naključnih razpok v materialu vpliva še veliko drugih dejavnikov: serije izdelkov se lahko z leti razlikujejo v kakovosti izdelka, v vrsti vhodnih sestavin, njihovem razmerju, spreminjajo se tudi dejavniki okolja, kot sta vlaga in temperatura, spreminja se lahko tudi sama merilna naprava: lahko se kaj zatakne, zarjavi, obrabi ali zaradi kakšnega drugega vzroka neha delovati.

Podoben postopek kot pri simuliranih podatkih sem izvedla tudi pri 5100 eksperimentalnih podatkih, ki sem jih razdelila v skupine po 12, 24, 36, 48 in 60 podatkov. Najprej sem jemala podatke po vrsti, kakor so bili izmerjeni, nato pa sem analizo ponovila tako, da sem podatke med seboj pomešala in s tem izbrisala razlike v merilnih pogojih med posameznimi dnevi. Nazadnje sem izvedla še 10-kratno in 20-kratno mešanje, kar pomeni, da sem postopek naključnega mešanja večkrat ponovila in s tem pridobila 10 oz. 20 krat večje število skupin podatkov. Znova sem za vsak primer izračunala vrednosti Weibullovih parametrov po treh metodah ter izračunala povprečne vrednosti in standardne deviacije. Zanimalo me je, koliko se vrednosti izračunanih parametrov razlikujejo od tistih, ki sem jih izračunala, ko sem vse podatke obravnavala kot eno skupino, in kolikšna so povprečna odstopanja.

Izkazalo se je, da rezultati, ki jih dobim brez mešanja, bolj odstopajo od pravih, kot tisti iz skupin z mešanjem, tudi standardne deviacije so večje. Večje število mešanj daje boljše rezultate, vendar razlike med 1–, 10 – in 20– kratnim mešanjem niso zelo velike. Vse metode in vsa mešanja dajejo pri majhnih skupinah podatkov prevelike vrednosti Weibullovega modula in večinoma premajhne vrednosti skalnega parametra. Podobno kot pri simuliranih podatkih se z večanjem velikosti skupin izračunane vrednosti približujejo pravim, standardne deviacije pa padajo; relativna odstopanja pri vrednosti Weibullovega parametra so večja kot pri vrednosti skalnega parametra; porazdelitvi izračunanih parametrov se log-Gaussova porazdelitev prilega bolj kot Gaussova. Znova daje metoda linearne regresije najboljše rezultate.

Potrdilo se je torej, da so izmerjene trdnosti porazdeljene po Weibullovi porazdelitvi in da simulirane vrednosti dobro opišejo eksperimentalne podatke. Možna majhna odstopanja meritev od Weibullove porazdelitve pri majhnih in velikih vrednostih niso pomembna, saj nastopajo izredno redko. S simuliranimi podatki sem določila natančnost izračunanih vrednosti parametrov v odvisnosti od števila meritev. V praksi namreč izmerimo le en niz napetosti, statistična napaka določitve parametrov pa ni mera za njihovo natančnost, saj so izmerjene napetosti rezultat naključne razporeditve napak v vzorcu. Pri našem tipu keramike so vrednosti Weibullovega parametra s povprečno vrednostjo m = 9,3 določene na približno ±3 pri 12 podatkih, ±1 pri 100 podatkih in ±0,3 pri 1000 podatkih, ustrezna vrednost skalnega parametra σ0 = 305 MPa pa na ±10 MPa; ±3 MPa in ±1 MPa.

57

Najpomembnejši rezultat te študije je ta, da dajo vse metode pri premešanih eksperimentalnih podatkih precej nižje vrednosti Weibullovega modula kot pri podatkih po časovnem vrstnem redu, kar je merilo za nihanje kvalitete proizvodnih serij keramičnih izdelkov.

58

LITERATURA

[1] Gorjan L., Odstranjevanje veziva iz nizkotlačno brizganih oblikovancev, Doktorska disertacija, Ljubljana, junij 2012.

[2] ASTM C 1161-94: Standard Test Method for Flexural Strength of Advanced Ceramics at Ambient Temperature, Philadelphia; American Society for Testing and Materials, 1994.

[3] Danzer R., Lube T., Supancic P., Monte Carlo simulations of strength distributions of brittle materials – type of distribution, specimen – and sample size, Z. Metall., 92, 773 (2001).

[4] Danzer R. Some notes on the correlation between fracture and defect statistics: Are Weibull statistics valid for very small specimens?, J Eur Ceram Soc, 26, 3043 (2006).

[5] Kolar D., Tehnična keramika, Ljubljana: Zavod za šolstvo in šport, 455, 1993.

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Fracture_mechanics. Pridobljeno 11.6.2013.

[7] http://www.srmuniv.ac.in/downloads/griffith_theory_of_brittle_fracture.pdf. Pridobljeno 11.6.2013.

[8] W. Weibull, A statistical distribution function of wide applicability, J. Appl. Mech., 18, 293 (1951).

[9] ReliaSoft's Weibull, Life Data Analysis Reference, ReliaSoft Publishing, 1992.

[10] Gorjan L., Ambrožič M., Upogibna trdnost korundne keramike: Primerjava različnih teoretičnih porazdelitev na osnovi eksperimentalnih podatkov, Materiali in tehnologije 46, 419–422 (2012).

[11] Gorjan L., Ambrožič M., Reliability of a Weibull analysis using the maximum-likelihood method, J Mater Sci 46, 1862-1869 (2011).

[12] Ambrožič M., Vidovič K., Weibullova statistika pri gradbenih elementih, interno gradivo

[13] Gorjan L., Ambrožič M., Weibullova in druge porazdelitve trdnosti keramičnih materialov, Vakuumist 32, št. 3., 12 (2012).

[14] Ambrožič M., Vidovič K., Reliability of the Weibull analysis of the strength of construction materials, J. Mater. Sci. 42, št. 23, 9645 (2007).

[15] Kingery W. D., Indroduction To Ceramic, New York: John Wiley & Sons, 781. 1963.

[16] Dörre E., Hubner H., Aluminia: processing, properties and applications, Heidelberg: Springer-Verlag, 329, 1984.

[17] Lange F. F., Transformation Toughening, Parts 1−5”, J. Master. Sci. 17, 225−262 (1982).

[18] Kladnik W., Gritzner G., Bend Strength Al2O3−ZrO2 Composites, J. Mater. Sci. Lett. 6, št. 10, 1235−1237 (1987).

[19] Barnett-Ritcey D. D., Nicholson P. S., Failure Prediction Maps for a Model Al2O3c-ZrO2/Al2O3Al2O3 Brittle Polycrystalline Trilayer Comnposite, J. Am. Ceram. Soc. 86, št. 1, 121−128 (2003).

[20] German R. M., Powder Injection Molding – Design and Applications, State College: Innovative Materials Solutions, 260, 2003.

59

[21] Gorjan L., Ambrožič M., Bend strength of alumina ceramics: A comparison of Weibull statistics with other statistics based on very large experimental data set, Journal of the European Ceramic Society 32, 1221–1227 (2012).

[22] Landau L.D., Lifshitz E.M., Course of Theoretical Physics 7, Theory of Elasticity, 1958.

[23] Peterlik H., Orlovskaja N., Steinkellner W., Kromp K., Prediction of strength of recrystallized siliconcarbide from pore size measurement– Part I – The bimodality of the distribution, J. Mater. Sci., 35, 707 (2000).

[24] Li Q. S., Fang J. Q., Liu D. K., Tang J., Failure probability prediction of concrete components, Cem. Concr. Res., 33, 1631 (2003).

[25] Lu C., Danzer R., Fischer F.D., Scaling of fracture strength in ZnO: effects of pore/grain-size interaction and porosity, J Eur Ceram Soc, 24, 3643 (2004).

[26] Pascual J, Lube T, Danzer R. Fracture statistics of ceramic laminates trengthened by compressive residual stresses, J Eur Ceram Soc, 28, 1551 (2008).

[27] Ambrožič M, Porazdelitev trdnosti keramičnih materialov, interno gradivo.

[28] Kuščer I., Kodre A., Matematika v fiziki in tehniki, DMFA – založništvo, Ljubljana, 2006.

[29] Lu C., Danzer R., Fracture statistics of brittle materials: Weibull or normal distribution, Physical Review E, 65, 067102 (2002).

[30] Kittl P., Diaz G., Weibull’s fracture statistics or probabilistic strength of materials: State of art, Res. Mech., 24, 99 (1988).

[31] Orlovskaja N., Peterlik H., Marczevski M., Kromp K., The validity of Weibull estimators – experimental verification, J. Mater. Sci., 32, 1903 (1997).

[32] Davies I. J., Best estimate of Weibull modulus obtained using linear least squares analysis: An improved empirical correction factor, J. Mater. Sci., 39, 1441 - 1444 (2004).

[33] Wu D., Zhou J., Li Y., Unbiased estimation of Weibull parameters with the linear regression method, J. Eur. Ceram. Soc., 26, 1099 (2006).

[34] Curtis R. V., Juszczyk A. S., Analysis of strength data using two- and three-parameter Weibull models, J. Mater. Sci., 33, 1151 (1998).

[35] Orlovskaja N, Peterlik H, Marczewski M, Kromp K., The validity of Weibull estimators – experimental verification, J Mater Sci, 32, 1903 (1997).

[36] Wu D., Zhou J., Li Y., Methods for estimating Weibull parameters for brittle materials, J. Mater. Sci., 41, 5630 (2006).

[37] Peterlik H., The validity of Weibull estimators, J Mater Sci, 30, 1972 (1995).

[38] Bergman B., On the estimation of the Weibull modulus, J. Mater. Sci. Lett., 3, 689 (1984).

[39] Khalili A., Kromp K., Statistical properties of Weibull estimators, J. Mater. Sci., 26, 6741 (1991).

[40] Gong J., A new probability index for estimation Weibull modulus for ceramics with the least-square method, J. Mater. Sci. Lett., 19, 827 (2000).

60

[41] Barbero E., Fernandez-Saez J., Navarro C., Statistical distribution of the estimator of Weibull modulus, J. Mater. Sci. Lett., 20, 847 (2001).

[42] Davies I. J., Empirical correction factor for the best estimate of Weibull modulus obtained using linear least squares analysis, J. Mater. Sci. Lett., 20, 997 (2001).

[43] Song L., Wu D., Li Y., Optimal probability estimators for determining Weibull parameters, J. Mater. Sci. Lett., 22, 1651 (2003).

[44] Griggs J. A., Zhang Y., Determining the confidence intervals of Weibull parameters estimated using a more precise probability estimators, J. Mater. Sci. Lett., 22, 1771 (2003).

[45] Tanaka T., Nakayama H., Sakaida A., Imamichi T., Evaluation of Weibull parameters for static strengths of ceramics by Monte Carlo simulation, Mater. Sci. Res. International, 1, 51 (1995).

[46] Faucher B., Tyson W. R., On the determination of Weibull parameters, J. Mater. Sci. Lett., 7, 1199 (1988).

[47] Langlois R., Estimation of Weibull parameters, J. Mater. Sci. Lett., 10, 1049 (1991).

[48] Cacciari M., Mazzanti G., Montanari G. C., Comparison of maximum likelihood unbiasing methods for the estimation of the Weibull parameters, IEEE Trans. On El. Ins., 3, 18 (1996).

[49] ASTM C 1239 – 95, Standard practice for Reporting Uniaxial Strength Data and Estimating Weibull Distribution Parameters for Advanced Ceramics, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1995.

[50] Hirose H., Bias correction for the maximum likelihood estimates in the twoparameter Weibull distribution, IEEE Trans Dielect El Ins, 6, 66 (1999).

[51] Kantar Y.M., Senoglu B., A comparative study for the location and scale parameters of the Weibull distribution with given parameter, Comput Geosci, 34, 1900 (2008).

[52] Gibbons J. D., Chakraborti S., Nonparametric statistical inference, CRC Press, (2003).

[53] Wu D., Li Y., Effects of the number of testing specimens and the estimation methods on theWeibull parameters of solid catalysts, Chemical Engineering Science, 56, 7035-7044 (2001).

[54] Jacquelin J., Generalization of the method of maximum-likelihood., IEEE Trans El Ins, 28, 65 (1993).

[55] Gnanadesikan R., Wilk M. B, Probability plotting methods for the analysis of data, Biometrika, 55, 1 (1968).

[56] http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets.html. Pridobljeno 16.2.2012

61

MATEMATI ČNI DODATEK

A1 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – y:

Uporabimo linearno regresijo W, kar pomeni, da od podanih točk narišemo navpične črte do premice (kot prikazuje slika A1, zadnja točka nima črte, ker je preblizu premice).

Slika A1: Linearna regresija y.

Splošna enačba premice je: y = k·x + n. Poznane so koordinate točk i = (xi, yi). Posamezne kvadrate razdalj, ki smo jih vrisali, zapišemo z enačbo

:$� = �? ∙ �$ + � −W$�� . (1)

Vsota kvadratov vseh razdalj točk do premice je

¢0 =∑ :$� =~$�� ∑ �?�$ + � −W$��~$�� . (2)

Iščemo najbolje prilegajočo se premico, torej minimum funkcije Dy, zato funkcijo odvajamo enkrat po parametru k in enkrat po parametru n:

&£1&S = 0, &£1&o = 0. (3)

Dobimo dve enačbi z dvema spremenljivkama:

? ∑ �$� + �∑ �$~$�� −∑ �$W$ = 0~$��~$�� , (4)

? ∑ �$ + �� −∑ W$ = 0~$��~$�� . (5)

Iz enačbe 5 izrazimo n in ga vstavimo v enačbo 4. Dobimo enačbi za parametra k in n oblike

? = ∑ )(∙0(�(�� ∑ )(�∙�(�� ∑ 0(��(��∑ )(��(�� ∑ )(��(�� , (6)

� = �~∑ �W$ − ? ∙ �$�~$�� . (7)

Zanima nas tudi korelacijski koeficient, ki pove, v kolikšni meri sta spremenljivki x in y korelirani, torej kako dobro lahko njuno odvisnost opišemo z linearno funkcijo. Označujemo ga z R in izračunamo po enačbi:

-2 0 2 4

-2

0

2

4y

x

62

= �)(0(��)(��0(�{.∙{1 , (8)

kjer zapis <…> pomeni povprečno vrednost, δ je oznaka za standardno deviacijo.

A2 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – x:

Pri linearni regresiji x je postopek enak, le da na začetku ne narišemo navpičnih črt, temveč vodoravne.

Slika A2: Linearna regresija x.

Vsota kvadratov razdalj točk od premice y = kx + n je:

¢) =∑ �� − �$�� =∑ �0(�oS −�$��~$��~$�� . (9)

Iz slike A2 in iz enačbe 9 vidimo, da sta v Dx spremenljivki x in y zamenjali vloge glede na Dy iz enačbe 2 tako, kakor da bi med seboj zamenjali koordinatne osi. Strmino k' premice

��W� = ?′W + �′ = �0�o�S (10)

dobimo, če v rezultatu za k iz prejšnje metode vse xi zamenjamo z yi in vse yi z xi. Iskani k pa je enak k' -1:

? = ∑ 0(��(�� ∑ 0(��(�� ∑ )(∙0(�(�� ∑ )(�∙�(�� ∑ 0(��(�� . (11)

Enačbo za parameter n dobimo tako, da Dx odvajamo po n in odvod izenačimo z nič. Dobimo

� = ∑ 0(�S∑ )(�(��(�� ~ . (12)

-2 0 2 4

-2

0

2

4

y

x

63

A3 Izpeljava enačbe za parameter k in n z linearno regresijo – xy:

Manj znana je linearna regresija �W, kjer računamo z najkrajšo razdaljo točke od premice, torej v smeri pravokotno na premico [56].

Slika A3: Linearna regresija xy.

Najprej zapišemo vsoto kvadratov razdalj točk od premice (slika A3)

¢)0 =∑ �S∙)(Zo�0(��S�Z�~$�� , (13)

nato jo odvajamo po parametru � in odvod enačimo z nič. Dobimo

� = ∑ 0(�S∑ )(�(��(�� ~ . (14)

Prav tako moramo odvajati tudi po parametru k. Račun je dokaj dolg. Odvod po k enačimo z nič, v izraz vstavimo zgoraj izračunano zvezo med k in n, in dobimo kvadratno enačbo za k:

?� + ? ��∑ )(�Z��∑ )(��(�� Z∑ 0(��(�� ∑ 0(��(�� (�� ∑ )(�(�� ∑ 0(�∑ )(�(�� 0(�(�� − 1 = 0. (15)

Zaradi lažjega računanja del enačbe, ki je v oklepaju, zapišemo kot 2B. Dobimo dve vrednosti za k, ena opisuje strmino premice, ki jo iščemo, drugi pa strmino premice, ki je očitno videti nepravilna. Prava rešitev je:

? = −¥ + √¥� + 1. (16)

-2 0 2 4

-2

0

2

4

y

x

64

B1 Linearizacija Weibullove enačbe P(x):

Za lažje računanje Weibullovo enačbo lineariziramo, to je izrazimo v obliki y = kx + n. Po dvakratnem logaritmiranju dobimo

ln ln / ��p2 = e� ln � − ln �k�, (17)

torej sta novi spremenljivki

W = ln ln / ��p2 , � = ln �. (18)

Poenostavljena enačba je

W = e ∙ � − m ∙ ln �k. (19)

Ker enačba izhaja iz logaritma kvocienta ln(σ/σ0), ni potrebno paziti na velikostni red enot; poskrbeti moramo le, da izrazimo vse eksperimentalne podatke v istih enotah, na primer v megapaskalih pri merjenju trdnosti materiala. Eksperimentalni podatki σi v ustreznih enotah morajo biti urejeni po velikosti od najmanjše do največje vrednosti, i =1, 2, 3, …, N. Številske vrednosti logaritmiramo in dobimo

�$ = ln �$. (20)

Po eni izmed statističnih metod eksperimentalnim podatkom priredimo kumulativno verjetnostno funkcijo Pi ≈ i/N in izračunamo vrednosti yi:

W$ = ln ln / ��p(2 . (21)

Strmina premice k, ki opisuje pare točk (xi, yi), je kar Weibullov modul m (m = k). Začetna vrednost odvisne spremenljivke je

� = − ln �k ∙ e. (22)

Enačbo antilogaritmiramo in dobimo

�k = �q�. (23)

B2 Izpeljava odvisnosti lege σmax in višine maksimuma pmax Weibullove verjetnostne gostote od parametrov m in σ0:

Weibullovo enačbo

�� = �� ∙ / ��2�� ∙ �/��2� (24)

odvajamo po spremenljivki σ, malo uredimo in zahtevamo, da je odvod enak nič:

�� ∙ / ��2�� ∙ �/ ��2� ∙ [�e − 1� − e ∙ / ��2�] = 0. (25)

Iz dela enačbe, ki je v oglatih oklepajih, dobimo enačbo za σmax

��L) =�k /�� 2 ��, (26)

nato ��L) vstavimo v Weibullovo enačbo in dobimo pmax

65

��L) = �� ∙ /�� 2�r�� ∙ �/�r�� 2. (27)

C1 Izpeljava krivinskega radija krivulje

Iščemo krivinski radij krivulje u(x), to je polmer kroga R, ki se v dani točki T najbolje prilega krivulji (slika C1). Središče kroga je točka S. Ukrivljenost krivulje K v dani točki je definirana kot obratna vrednost krivinskega radija:

f = �V. (28)

a) b)

Slika C1: a) Krivinski radij krivulje v točki T. b) Izpeljava.

Na krivulji v okolici točke T izberemo dve bližnji točki T1 in T2, razdalja med točkama naj bo ds. Tangenti na krivuljo v točkah T1 in T2 se sekata pod majhnim kotom dθ, ki je enak razliki naklonskih kotov obeh tangent. Ker sta tangenti pravokotni na polmer pripadajočega kroga, je središčni kot kot T1ST2 tudi enak dθ in velja

:§ = :¨, (29)

�V = f = �©�ª = �©�) �)�ª. (30)

Velja tudi:

:§ = y�:�� + �:�� = :�z1 + /�'�)2� = :�√1 + �′�. (31)

Naklonski kot tangente izrazimo z odvodom funkcije:

tan ¨ = �′, (32)

zato je:

¨ = arctan��@�, (33)

�©�) = ��) �arctan��@�� = ��Z'Y� �'

Y�) = 'YY�Z'Y� . (34)

Dobimo:

x

u

R T1

y

T2 ds dθ

dθ

S

x

u

R

T

tangenta y

S

66

�V = f = �©�ª = �©�) �)�ª = 'YY

��Z'Y��8�. (35)

Običajno nas zanima samo absolutna vrednost krivinskega radija, zato pišemo:

�|V| = |f| = |'YY|

��Z'Y��8�. (36)

Documents

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA … · številu ponovitev v odvisnosti od dolžine niza in m etode analize. Razlike ... napetosti ob defektu veliko ve čje kot v homogenem materialu