UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

UNIVERSIDADE GAMA FILHOPROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Disciplina de Controle IIProf. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

“Projetar usando o método do Lugar das raízes, significa redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e de zeros na função de

transferência de malha aberta do sistema, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano complexo”.

Ogata

Projeto de Sistemas de Controle pelo Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das RaízesMétodo do Lugar das Raízes

Compensação de Sistemas

Compensação é a modificação da dinâmica de um sistema para satisfazer determinadas especificações de desempenho.

O dispositivo que será inserido no sistema com a finalidade de satisfazer essas especificações, é chamado de compensador.

O compensador compensa a deficiência do sistema original.

Os compensadores e controladores mais utilizados são os de Avanço e Atraso de fase e os Controladores PID.

Efeitos da adição de Pólos e Zeros no lugar das raízes

Efeito da adição de pólos: a adição de pólos, tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade do sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta.


Efeitos da adição de Pólos e Zeros no lugar das raízes

Efeito da adição de zeros: a adição de um zero tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida com a acomodação da resposta.


Amplificadores Operacionais

Também chamados abreviadamente de Amp-ops.São utilizados para amplificar sinais em sensores de circuitosTambém são utilizados em filtros com a finalidade de compensação de sistemas.

onde as entradas e podem ser sinais cc ou ca e é o ganho diferencial (ganho de tensão).

O valor de é cerca de 105 a 106 para freqüências de até 10 Hz e torna-se aproximadamente unitário para freqüências entre 1 MHz e 50 MHz.


1e 2e K

K

O Ampop amplifica a diferença entre e .Como o ganho geralmente é muito alto é necessário haver uma realimentação negativa da saída para a entrada, afim de tornar o amplificador estável.A equação para esse circuito será:


1e 2e

Amplificadores inversores

Como e nesse caso e

será uma valor muito pequeno, quase zero, portanto:

Neste caso temos:

Como , neste caso temos:


Amplificadores não-inversores


Resumindo

Podemos considerar as impedâncias resistivas, capacitivas e indutivas nos cálculos para facilitar a obtenção de funções de transferência.

Como , temos:


Uso da impedância para obtenção de funções de transferência

21 Z

sEsE

Z

sEsE oi

''

1

2

Z

Z

sE

sE

i

o

0sE'

A figura mostra um circuito eletrônico com Amplificador Operacional.Sabemos que:

e que,

portanto,

Com a adição do circuito inversor teremos:


Redes de Avanço ou Atraso com Amplificadores Operacioanais

1

2

Z

Z

sE

sE

i

Rede de Avanço ou Atraso Inversor de sinal

3

4

R

R

sE

sEo Fazendo...

Ficamos com:

Essa rede será uma Rede de Avanço de fase se ou

Essa rede será uma Rede de Atraso de fase se

Rede de Avanço de Fase Rede de Atraso de Fase

Uma das formas de se construir um Compensador de avanço de fase é usar amplificadores operacionais para a construção de redes de avanço de fase conforme exposto.

Considere o sistema mostrado

Vê-se que a função de transferência de malha aberta é:

Compensadores de Avanço de fase

A função de transferência de malha fechada é

Os pólos de Malha fechada estão situados em:

Deseja-se modificar os pólos de malha fechada de modo que n = 4 rad/s, sem que

haja alteração no valor do coeficiente de amortecimento.

60o

n=2 rad/s


Portanto, temos que redimensionar o lugar das raízes do sistema da figura anterior para

que n seja 4 rad/s, e que seja igual a 0,5.

1º Passo: Determinar a localização do pólo de malha fechada desejado. Com base nas especificações acima, o pólo é:

Percebe-se que para esse pólo, um simples ajuste do ganho não resolverá o problema.

Por essa razão, vamos inserir um compensador de avançoDe fase no ramo direto.

2º Passo: Determinar a soma dos ângulos junto a um dos pólos de malha fechada na posição desejada, com ospólos e zeros de malha aberta do sistema original e em seguida encontrar o ângulo necessário a ser acrescentadoPara que a soma total dê .

x

x

12180 ko


1218030210

12180210

12180120900

k

k

k

oo

oo

ooo

Vemos que pela condição de ângulo, para que o gráfico do lugar das raízes passe o ponto desejado a função de transferência do compensador tem que ser tal que acrescente 30º no lugar das raízes original.

Agora devemos determinar localização dos pólos e zeros do compensador de avanço de fase. Há muitas possibilidades de fazer isso.

Uma possibilidade bem simples seria fazer a função de transferência do Compensador igual a

Isso nos daria os 30º necessários para deslocar o lugar das raízes de tal forma que atenda aos requisitos de desempenho desejados.

- j1-2

jω

σ- 1 +2

j2

- j2

- j3

j3x

x

90o 120o

x x

oarctag 602

4631

,

4

2

s

s

Mas queremos o ângulo no sentido anti horário, então:

ooo 12060180 Pela condição de ângulo temos:

60o


1 Passo: Trace uma reta horizontal passando pelo ponto do pólo desejado.2 Passo: Trace outra reta conectando o pólo desejado a origem.3 Passo: Agora trace uma bissetriz entre essas duas retas.4 Passo: Desenhe por fim duas retas que façam os ângulos de com a bissetriz.

As intersecções dessas retas com o eixo real negativo fornecem os pontos

Como o sistema é de avanço de fase, então:Z= - 2,9 e P= - 5,4

O sistema compensado ficará assim:

Método geral para encontrar a função de transferência do compensador

- j1-2

jω

σ- 1 +2

j2

- j2

- j3

j3

120o

x

x

15o

- 2,9- 5,4

15o

2/

x

x

x

x

x


Análise de Resposta em Análise de Resposta em FrequenciaFrequencia

Análise de Resposta em FrequenciaAnálise de Resposta em Frequencia

O termo Resposta em Freqüência representa a resposta de um sistema no regime estacionário quando aplicamos uma entrada senoidal.

As informações obtidas aqui serão diferentes das informações obtidas com a analise do lugar das raízes.

Os métodos de resposta em freqüência foram desenvolvidos por NYQUIST, BODE, NICHOLS e muitos outros.

Pela Análise da Resposta em Freqüência, a resposta em regime estacionário de uma determinada função de transferência de um sistema, pode ser obtida diretamente a partir da sua função de transferência senoidal.

Resposta em Frequencia

jGsG


sXsGsY

jsjs

XsG

sXsGsY

22

Aplicando Frações parciais

js

b

js

asY

j

jGXjs

s

XsGa

js 222

Então:

j

jGXjs

s

XsGb

js 222

jsj

jGX

jsjjGX

sY

22

Fazendo:

j

j

ejGjG

ejGjG


jsj

ejGX

jsj

ejGX

sY

jj

22 Aplicando transformada inversa teremos:

tjj

tjj

ej

ejGXe

j

ejGXty

22

j

eejGXty

tjtj

2

tsenjGXty

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