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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSECENTRO TECNOLÓGICO

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

ARTHUR SANT’ANNA DE ALVARENGA

LUCAS HENRIQUE COSTA

RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DEBENEFICIAMENTO MINERAL

NITERÓI

2015

1

ARTHUR SANT’ ANNA DE ALVARENGA


RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DE

BENEFICIAMENTO MINERAL

Projeto Final apresentado ao Curso deGraduação em Engenharia Química, oferecidopelo departamento de Engenharia Química e dePetróleo da Escola de Engenharia daUniversidade Federal Fluminense, comorequisito parcial para obtenção do Grau deEngenheiro Químico.

Orientador: Prof. Dr. DIEGO MARTINEZ PRATAALEXANDRE LANNES SAMPAIO, M. Sc.

Niterói2015

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

A473 Alvarenga, Arthur Sant’Anna de

Retificação de dados em plantas de beneficiamento mineral /

Arthur Sant’anna de Alvarenga, Lucas Henrique Costa. – Niterói,

RJ : [s.n.], 2015.

189 f.

Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia

Química e de Petróleo – Universidade Federal Fluminense, 2015.

Orientador: Diego Martinez Prata, Alexandre Lannes Sampaio.

1. Beneficiamento de minério. 2. Reconciliação de dados. 3.

Modelagem computacional. 4. Otimização de processo. I. Costa,

Lucas Henrique. II. Título.

CDD 622.7

Niterói

2/2015

ARTHUR SANTÁNNA DE ALVARENGA


“RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DE BENEFICIAMENTO

MINERAL”

Projeto Final apresentado ao Curso de Graduação em

Engenharia Química, oferecido pelo departamento de

Engenharia Química e de Petróleo, da Escola de

Engenharia, da Universidade Federal Fluminense,

como requisito parcial para obtenção do Grau em

Engenharia Química.

Aprovado em 10 de março de 2016.

BANCA EXAMINADORA

iii

AGRADECIMENTOS

Agradecemos aos nossos pais e irmãos por todo o amor e oportunidades que sempre

dispuseram-se a oferecer e também por todo o auxílio que nos deram durante nossas vidas.

Gratificamos também aos nossos amigos, os quais a engenharia química nos apresentou

e temos a certeza de que serão levados para a vida toda.

Aos orientadores Alexandre Lannes Sampaio e Diego Martinez Prata pela ajuda,

paciência e disponibilidade em todos os momentos em que nós precisamos. Sempre buscando

o crescimento e a expansão do conhecimento.

Agradecemos, também, a Universidade Federal Fluminense por ser a casa que nos

abraçou e que proporcionou todo o crescimento profissional que obtivemos até hoje.

A todos os nossos mais sinceros agradecimentos.

iv

RESUMO

A reconciliação de dados (RD) é um importante passo em otimização em tempo real e esquemas

de controle em processos industriais. Todavia, nem todas as variáveis de um processo são

medidas. Dessa forma para a correta aplicação do procedimento de RD se faz necessário saber

se o sistema analisado possui informação suficiente para ser resolvido, isto é, se todas as suas

variáveis não medidas são observáveis, através das restrições e das demais variáveis medidas.

Isto é conhecido como classificação de variáveis (CLAV). Neste trabalho os procedimentos de

CLAV e RD são aplicados em duas plantas de beneficiamento mineral. O software EMSO foi

utilizado para reconciliar as variáveis medidas e estimar as variáveis não medidas, enquanto o

método de Oliveira Júnior (2006) foi utilizado para classificar cada planta analisada. Os

resultados obtidos confirmam os benefícios da RD e CLAV em um ambiente industrial, o que

incentiva a utilização desse software nacional e gratuito para fins acadêmicos.

Palavras-chave: EMSO, reconciliação de dados, classificação de variáveis, minérios.

v

ABSTRACT

Data Reconciliation (DR) it is an important step in real-time optimization and control schemes

in industrial processes. However, not all variables of a process are measured. Thus for the

correct application of DR procedure is necessary whether the analyzed system has sufficient

information to be resolved, that is, if all unmeasured variables are observable through the

constraints and other measured variables. This is known as variable classification (CLAV). In

this work the CLAV and RD procedures are applied in two plants of mineral beneficiation. The

software EMSO was used to reconcile the measured variables and estimate unmeasured ones,

while Oliveira Junior method (2006) was used to classify each analyzed plant. The results

confirm the benefits of DR and CLAV in an industrial environment, which encourages the use

of this free national software for academic purposes.

Key-Words: EMSO, data reconciliations, variable classification, ore.

vi

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS .......................................................................................................... III

RESUMO................................................................................................................................ IV

ABSTRACT .............................................................................................................................V

SUMÁRIO.............................................................................................................................. VI

LISTA DE SIGLAS............................................................................................................ VIII

LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................ IX

1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................10

1.1. APRESENTAÇÃO ....................................................................................................10

1.2. MOTIVAÇÃO............................................................................................................11

1.3. OBJETIVO.................................................................................................................12

1.3.1. Objetivo Geral .......................................................................................................12

1.3.2. Objetivos Específicos ............................................................................................12

1.4. ESTRUTURA ............................................................................................................12

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.....................................................................................14

2.1. BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO....................................................................................14

2.1.1. Cominuição............................................................................................................15

2.1.2. Peneiração e Classificação.....................................................................................17

2.1.3. Concentração por Flotação ....................................................................................19

2.2. RETIFICAÇÃO DE DADOS.....................................................................................23

2.2.1. Classificação de Variáveis.....................................................................................26

2.2.2. Detecção de Erros Grosseiros................................................................................30

2.2.3. Reconciliação de Dados.........................................................................................30

2.3. RECONCILIAÇÃO DE DADOS EM BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO............32

2.4. FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE UM PROBLEMA DE RD ...................................33

2.5. SOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA CLÁSSICO DE RD......................34

3. APRESENTAÇÃO DOS CASOS E METODOLOGIA............................................40

3.1. O SIMULADOR EMSO.............................................................................................40

3.2. CASO 1: SERTH ET AL. (1987)..................................................................................41

vii

3.3. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973) ........................................................................44

3.4. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO...............................................46

3.4.1. Soma do quadrado do erro ....................................................................................46

3.4.2. Maior resíduo absoluto ..........................................................................................46

3.4.3. Soma dos resíduos absolutos .................................................................................47

3.4.4. Função objetivo .....................................................................................................47

3.5. RESUMO DA METODOLOGIA ..............................................................................47

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO..................................................................................49

4.1. CASO 1: SERTH ET AL. (1987)...................................................................................49

4.1.1. Classificação de Variáveis.....................................................................................49

4.1.2. Reconciliação de Dados.......................................................................................176

4.2. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973) ......................................................................178

4.2.1. Classificação de Variáveis...................................................................................178

4.2.2. Reconciliação de Dados.......................................................................................178

5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES.................................................................................181

5.1. CONCLUSÕES........................................................................................................181

5.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................................................182

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................183

viii

LISTA DE SIGLAS

Sigla Descrição (descrição original)

CLAV : Classificação de variáveis

EMSO: Ambiente para Modelagem, Simulação e Otimização.(Environment for Modeling, Simulation, and Optimization)

Fobj : Função Objetivo.

MARES : Maior Resíduo Absoluto

MQP : Mínimos Quadrados Ponderados (Weighted Least Squares)

RD : Reconciliação de Dados

RES : Resíduos das restrições

RTD : Retificação de Dados

SARES : Soma dos Resíduos Absolutos

SSE : Soma dos Erros ao Quadrado (Sum of Squarer Error)

ix

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo Descrição

COV Matriz de Covariâncias

ε Vetor de erros aleatórios de medida

εT Vetor de erros aleatórios de medida transposto

λ Sensibilidade em relação ao desvio de medida (local-shift sensitivity)

λ Vetor de multiplicadores de Lagrange

ξ Resíduo padronizado

σ Vetor dos desvios padrão dos erros de medida

σi Desvio padrão de cada variável medida i

Xi Vazão mássica da corrente i ou variável medida i

Yij Fração mássica do componente j na corrente i

y Vetor auxiliar

ui Variável não medida i

α Nível de confiança

L Lagrangeano

V matriz de variâncias (diagonal)

σ vetor dos desvios padrão (seu valor ao quadrado é chamado variância)

z vetor das variáveis medidas

z vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas

ϕ função objetivo

ix valor reconciliado da variável medida i

i,vx valor verdadeiro da variável medida i

ju valor reconciliado da variável não medida observável j

j,vu valor verdadeiro da variável não medida observável j

10

1. INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

Em um mundo empresarial cada vez mais concorrido, buscar o total planejamento e

controle do processo produtivo torna-se fundamental para as empresas se diferenciarem. Isto

faz com que haja redução de custos e ganho de performance e eficiência. Reflete na equipe de

trabalho, na qualidade do produto e na competitividade da empresa. Para isso, a busca pela

melhoria contínua não deve parar. É assim que as empresas evoluem e se mantém no mercado

(SILVEIRA, 2012).

Consequentemente, as indústrias precisam de confiabilidade, flexibilidade e agilidade

dentro de seu sistema. E para que isso seja mais forte é necessária a evolução do controle

produtivo industrial, principalmente nos ramos das redes de instrumentação e controle fabris

que precisam estar inseridos nas plantas industriais para realizarem o monitoramento e as

medições da melhor maneira possível (SILVEIRA, 2012).

O método de mensuração das vazões, composições, e demais variáveis do sistema não

é perfeito. Dados medidos por equipamentos são corrompidos por erros devido a problemas de

calibração, erros dos operadores na utilização da escala, erros na leitura da medida e também

efeitos das condições climáticas como temperatura, pressão, humidade e às características

intrínsecas aos instrumentos de medição utilizados, como por exemplo a resolução, a

estabilidade e a sensibilidade. Todos estes fatores podem prejudicar a precisão (ROMAGNOLI

E SÁNCHES, 2000).

Esses erros podem ser classificados em erros aleatórios ou grosseiros. Os primeiros se

originam, pois os sensores não são precisos o bastante para extrair as medidas exatas do

processo. Já os erros grosseiros são frutos de eventos não previstos e costumam ser de maior

11

magnitude. São erros díspares da realidade que acabam abortando a análise dos dados e a

estatística clássica, o que acarreta em interpretações errôneas (PRATA, 2009).

Estes erros grosseiros são originados por várias condições em que os elementos

medidores acabam sendo submetidos e isso os faz acarretar em mau funcionamento devido a

falhas mecânicas, incrustação nos instrumentos de medição, apagões elétricos e outras

interrupções aleatórias que surgem durante o processo (PRATA; 2009).

Assim, é de fácil conclusão que a aplicação do procedimento de retificação de dados é

muito importante, visto que nem sempre os dados medidos de um processo industrial satisfazem

os modelos matemáticos que são utilizados no monitoramento e controle do sistema como um

todo. Este procedimento objetiva, basicamente, fazer com que o observado na prática esteja de

acordo com a teoria: a retificação de dados (PRATA, 2009).

Dessa maneira, a retificação de dados que contempla os procedimentos de classificação

de variáveis, detecção de erros grosseiros e reconciliação de dados (PRATA, 2009) assume

papel importante na mitigação dos erros dos dados medidos e, consequentemente, produz ganho

de tempo e minimização dos custos, ou seja, a maximização do sistema produtivo.

1.2. MOTIVAÇÃO

Ter uma despesa menor e uma maior receita. Essa é a meta que todas as empresas e/ou

pessoas físicas procuram atingir para aumentarem seus rendimentos. Porém, algumas vezes é

necessário investir para maximizar esses rendimentos, e é nesse contexto que se inclui a

retificação de dados.

Investindo nessa ferramenta melhora-se em desenvolvimento ambiental e social, já que

proporciona a redução do desperdício de matérias-primas, energia, maquinário, horas/trabalho.

Além disso, aprimora-se a padronização da qualidade do produto ofertado e, assim, se ganha

mercado.

Por meio disso, se consegue uma maior competitividade industrial em um panorama

empresarial cada vez mais disputado, o que valoriza o profissional com conhecimentos nessa

área e o coloca com forte poder de influência nos processos industriais.

Processos industrais de beneficiamento de minérios têm recebido pouca atenção de

pesquisadores da área de retificação de dados, principalmente para sistemas dinâmicos. Esses

processos são particulamente valiosos, pois muitos tratam diretamente com metais preciosos,

12

como por exemplo, ouro e prata e representam uma possível área de atuação para um engenheiro

químico de processamento. Isto motivou a elaboração e desenvolvimento deste trabalho.

Assim, o conhecimento de retificação de dados em plantas industriais é um grande

diferencial para o engenheiro químico no mercado de trabalho e um assunto muito importante

de ser estudado.

1.3. OBJETIVO

Os objetivos serão dividos em objetivo geral e objetivos específicos para melhor

compreensão do leitor.

1.3.1. Objetivo Geral

Este trabalho de conclusão de curso tem por objetivo fazer um estudo do procedimento

de retificação de dados utilizando o software EMSO (SOARES e SECCHI, 2003) para a

reconciliação de dados e o algoritmo baseado em ordenação matricial desenvolvido por Oliveira

Júnior (2006) para a classificação de variáveis. Para aplicação, foram utilizados dois estudos de

caso: Caso 1 – SERTH et al. (1987) e Caso 2 – Smith e Ichiyen (1973).

1.3.2. Objetivos Específicos

Caso 1 – Serth et al. (1987): utilizar a planta de beneficiamento de minério e os

valores verdadeiros e simulados das variáveis publicados pelos autores para

embasar um estudo de caso que culmine numa análise da importância do

precedimento de retificação de dados no ambiente industrial.

Caso 2 - Smith e Ichiyen (1973): utilizar a planta de beneficiamento de minério

e os dados de medição publicado pelos autores para resolver o problema de

reconciliação de dados, bem como efetuar uma análise comparativa entre os

resultados reportados e aqueles alcançados por meio da utilização do software

EMSO.

1.4. ESTRUTURA

13

Além dessa introdução como a contextualização, motivação e objetivos, este Trabalho

de Conclusão de Curso será organizado da seguinte maneira:

Capítulo 2: apresenta uma breve revisão de um processo de beneficiamento mineral,

abrangendo principais conceitos e equipamentos envolvidos. Também é feita uma introdução

às definições e conceitos do procedimento de retificação de dados, visando contextualizar o

leitor.

Capítulo 3: apresentação dos estudos de caso encontrados na literatura técnico-científica

que servirão de base para os procedimentos de classificação de variáveis e retificação de dados.

Neste capítulo também é realizado uma breve revisão sobre o software utilizado e um resumo

da metodologia.

Capítulo 4: explicitação e discussão dos resultados obtidos para os estudos de caso.

Capítulo 5: apresenta a conclusão obtida por este trabalho e sugestões para trabalhos

futuros.

Por último serão apresentadas as referências bibliográficas que foram utilizadas como

base para este trabalho de conclusão de curso.

Este trabalho foi desenvolvido durante a graduação do Departamento de Engenharia

Química e Petróleo da Universidade Federal Fluminense – UFF, e está inserido nas linhas gerais

de modelagem, simulação, controle e otimização de processos.

14

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo será realizado um apanhado geral de todo o processo de beneficiamento

mineral e do procedimento de retificação de dados. Detalha-se as operações do tratamento

mineral abordadas nos casos de estudo, dando ênfase aos processos e aos principais

equipamentos utilizados. Também aborda-se os pormenores da ferramenta de retificação de

dados, suas definições, seus principais componentes e as partes mais relevantes desse

procedimento muito importante para a otimização de processos industriais.

2.1. Beneficiamento de Minério

O minério é toda rocha constituída de um mineral ou agregado de minerais contendo

um ou mais minerais valiosos, possíveis de serem aproveitados economicamente. Eles são

divididos em minerais valiosos que podem ser aproveitados como bens úteis, os minerais-

minério, ou o conjunto de minerais não aproveitados chamados de ganga (CARRISSO e

CORREIA, 2004).

A separação seletiva entre os minerais-minério e as gangas ocorre pelas diferentes

propriedades desses materiais, destacando-se massa específica (ou densidade), suscetibilidade

magnética, condutividade elétrica, propriedades da química de superfície, cor, radioatividade,

forma dentre outras. Em situações nas quais se faz necessária a separação de dois ou mais

materiais de interesse são utilizadas as operações unitárias, muito presentes nos processos da

engenharia química. As operações unitárias utilizadas no beneficiamento mineral são assim

classificadas (SAMPAIO; DA LUZ. 2004):

Cominuição: britagem e moagem;

Peneiramento (separação por tamanhos) e Classificação (ciclonagem,

classificador espiral);

15

Concentração Gravítica, magnética, eletrostática, concentração por flotação etc.

Desaguamento: espessamento e filtragem;

Secagem: secador rotativo, spray dryer, secador de leito fluidizado; disposição

de rejeito.

Nos seguintes tópicos as operações que serão melhor detalhadas são aquelas abordadas

nos estudos de caso apresentados no capítulo 3.

2.1.1. Cominuição

A cominuição consiste na operação de fragmentar. No campo de beneficiamento de

minérios agrupa um conjunto de técnicas que tem por finalidade reduzir, por ação mecânica

externa e algumas vezes interna um sólido, de determinado tamanho em fragmentos de menores

dimensões (FIGUEIRA et al., 2004).

A fragmentação de um material heterogêneo, que constitui uma rocha, visa a liberar os

minerais-minério da ganga, ou no caso de um mineral homogêneo, reduzir até à dimensão

requerida pela utilização (FIGUEIRA et al., 2004).

O processo define o conjunto de operações unitárias mais importantes tanto em termos

de consumo energético quanto em relação ao desempenho global de uma planta de

beneficiamento de minério (WILLS, 2006).

Usualmente a operação é dividida em duas suboperações: a britagem e a moagem. A

britagem precede a moagem, ela é o conjunto de trabalhos que objetivam a fragmentação de

blocos de minérios vindos da mina, levando-os à granulometria compatível para utilização

direta ou para posterior processamento (FIGUEIRA et al., 2004).

Uma ilustração de um britador pode ser observada na Figura 2.1.

16

Figura 2.1 – Britador.Fonte: Vibratescreen (2014).

Fechando o processo de cominuição temos a moagem. Este processo consiste em deixar

as partículas reduzidas em tamanhos ideais para a liberação do mineral com menores custos. É

uma das partes mais importantes da planta de tratamento, pois envolve maior gasto de energia.

Utiliza-se os moinhos cilíndricos (barras, bolas ou seixos), moinhos de martelos, entre outros

(FIGUEIRA et al., 2004). A Figura 2.2 a seguir ilustra um moinho de bolas.

Figura 2.2- Moinho de Bolas.Fonte: Arquivo Pessoal.

17

2.1.2. Peneiração e Classificação

Na peneiração existe a separação pelos tamanhos geométricos das partículas em duas

ou mais classes e na classificação a separação se dá pela velocidade que as partículas atravessam

um meio fluido.

Na peneiração ocorre a separação do material através de uma peneira, o material retido

na tela da peneira é denominado sólidos grossos e o passante, sólidos finos (FIGUEIRA et al.,

2004).

As peneiras variam entre si por suas escalas granulométricas. As duas escalas mais

utilizadas são a de Tyler e a de Richards. Para se definir a abertura das peneiras para essas duas

escalas escolhe-se o número de malhas (mesh) que é o número de aberturas das peneiras num

comprimento de uma polegada. Na Figura 2.3 está ilustrada uma peneira industrial.

Figura 2.3 – Peneira em uma planta de beneficiamento mineral.Fonte: Arquivo Pessoal.

A Classificação é a separação realizada tomando-se como base a velocidade que os

grãos atravessam um meio fluido. No processamento mineral, o meio fluido mais utilizado é a

água. A Classificação a úmido é aplicada, habitualmente, para populações de partículas com

granulometria muito fina, onde o peneiramento não funciona de forma eficiente (CARRISO e

CORREIA, 2004).

18

Quando uma partícula cai livremente no vácuo, ela está sujeita a uma aceleração

constante e sua velocidade aumenta indefinidamente, qualquer que seja seu tamanho ou

densidade. Se, contudo, a partícula cai em outro meio que não o vácuo, este oferece uma

resistência ao seu movimento, a qual aumenta em razão direta com a velocidade, até atingir um

valor constante. Quando as duas forças que atuam na partícula (gravitacional e de resistência

do fluido) se tornam iguais, a partícula atinge uma velocidade denominada terminal e passa a

ter uma queda com velocidade constante (CARRISO e CORREIA, 2004).

Independentemente do regime que predomine, a aceleração da partícula tende a

decrescer rapidamente com o tempo, sob a ação das forças atuantes, e a velocidade terminal é

sempre atingida (CARRISO e CORREIA, 2004).

No cálculo da velocidade terminal, ou seja, a velocidade constante que uma partícula

adquire ao sedimentar em um meio fluido, obtém-se uma equação na qual a soma de todas as

forças que atuam sobre ela seja nula. Geralmente as forças que atuam sobre a partícula são: a

da gravidade, a de empuxo e a da resistência, sendo a força resultante, a combinação vetorial

de todas. Essas leis mostram que a velocidade terminal da partícula, em um dado fluido, é

função apenas do tamanho e da densidade da partícula, concluindo-se, portanto, que se duas

partículas têm a mesma densidade, aquela que possuir maior tamanho terá também maior

velocidade terminal. Seguindo a mesma lógica, quando duas partículas têm o mesmo tamanho,

aquela que for mais densa terá maior velocidade terminal (CARRISO e CORREIA, 2004). São

nestes conceitos que se baseiam a operação de classificação.

Os principais equipamentos classificadores são como colunas de separação, nos quais

há um fluido, seja ele gasoso ou líquido, que ascende e separa material mediante sua velocidade

terminal e/ou sua densidade. Dentre diversos tipos de classificadores, podemos citar como

principais exemplos os cones de sedimentação, classificadores mecânicos e hidrociclones

(WILLS, 2006).

A ilustração de um classificador pode ser observada na Figura 2.4.

19

Figura 2.4 – Representação esquemática de um classificador.Fonte: adaptado de Wills (2006).

2.1.3. Concentração por Flotação

Flotação é, sem dúvida, a mais importante e versátil técnica de processamento mineral,

e tanto o seu uso e aplicação estão sendo continuamente ampliados para tratar maiores

quantidades e para cobrir novas áreas. A flotação é um processo de separação físico-química

que utiliza a diferença de propriedades de superfície dos minerais valiosos e a ganga indesejada

mineral. A teoria de flotação de espumas é complexa, envolve três fases (sólidos, água e

espuma) com muitos processos e interações que não são completamente compreendidos

(WILLS, 2006).

O processamento do material que está sendo recuperado por flotação a partir da polpa é

composta por três mecanismos: ligação seletiva a bolhas de ar (ou "flutuação verdadeira"),

arrastamento na água que passa através da espuma e aprisionamento físico entre as partículas

na espuma ligando a bolhas de ar muitas vezes referida como "agregação" (WILLS, 2006).

O processo de flotação do idioma inglês “froth flotation” e alguns processos correlatos

a ele se baseiam então em separação mediante às diferentes propriedades dos materiais. É uma

separação feita numa suspensão em água, conhecida como polpa. Como nos demais, as

partículas são obrigadas a percorrer um trajeto e num dado instante as partículas que se deseja

flotar são levadas a abandoná-lo, tomando um rumo ascendente. A diferenciação entre as

espécies minerais é dada pela capacidade de suas partículas se prenderem (ou prenderem a si)

a bolhas de gás. Se uma partícula consegue capturar um número suficiente de bolhas, a

20

densidade do conjunto partícula-bolhas torna-se menor que a do fluido e o conjunto se desloca

verticalmente para a superfície, onde fica retido e é separado numa espuma, enquanto que as

partículas das demais espécies minerais mantêm inalterada a sua rota (CHAVES e FILHO,

2004).

Para se otimizar a hidrofobicidade ou a hidrofilicidade, e, consequentemente, a flotação,

é necessária a introdução de substâncias adequadas no sistema. Podemos mesmo afirmar, com

certeza, que qualquer substância mineral pode ser tornada hidrofóbica mediante a adição

judiciosa de substâncias conhecidas como coletores à polpa. Ainda mais, é possível, estando

presentes duas espécies minerais, induzir a hidrofobicidade em apenas uma delas, mantendo a

outra hidrofílica, ou seja, é possível induzir uma hidrofobicidade seletiva (CARVALHO e

BRINCK, 2004).

Como em toda operação de concentração, também para a flotação é difícil obter o teor

e a recuperação desejados numa única etapa. Genericamente, executa-se uma primeira flotação,

chamada “rougher” onde se obtém um concentrado pobre e um rejeito que ainda contém teores

consideráveis dos minerais úteis. O concentrado desta primeira flotação é reprocessado numa

segunda flotação, denominada "cleaner", onde é produzido um concentrado final e um rejeito

de teor elevado de impurezas. O rejeito rougher é repassado numa outra flotação, chamada

“scavenger”, onde se obtém um rejeito muito pobre (rejeito final) e um concentrado que reúne

os minerais úteis que estavam no rejeito rougher, mas que é pobre para ser considerado produto

final. Tanto o rejeito cleaner como o concentrado scavenger ainda contêm minerais úteis e por

isso são retornados à célula rougher. Conforme observado na figura 2.5.

Figura 2.5 – Esquema Flotação.Fonte: Chaves, 2004.

21

Flotação é um processo contínuo que ocorre por meio de uma célula ou um conjunto de

células de células chamados bancos. A Figura 2.6 ilustra uma célula de flotação.

Figura 2.6 – Célula de Flotação.Fonte: De Lima, 2006.

Essas células recebem a polpa (fluido + material particulado) por uma de suas faces

laterais e a despejam do lado oposto. Mediante rotação do rotor, se cria uma pressão negativa

e, assim, suga-se o ar e deixa a espuma em suspensão. As espumas na superfície do líquido

transbordam em calhas dispostas do longo da extensão do conjunto da célula (CHAVES e

FILHO, 2004).

As células geralmente são dispostas em série. A polpa entra na primeira célula do banco

e libera alguns de seus minerais valiosos como espuma; o excesso desta célula é transferido

para a segunda célula, onde a espuma mais mineralizada é removida, e assim por diante, até

rejeitos estéries irem a última célula do sistema (MONTE e PERES, 2004).

A concepção de um fluxograma adequado para uma planta de flotação, depende

basicamente da granulometria da corrente de alimentação e das características hidrofílicas (ou

fóbicas) do mineral-minério e da ganga (WILLS, 2006). As Figuras 2.7, 2.8 e 2.9, ilustram

diferentes tipos de circuitos de flotação que são utilizados na industria.

22

Figura 2.7 – Circuito simples.Fonte: Wills, 2006.

O circuito da Figura 2.7 pode ser utilizado somente quando a ganga é de difícil flotação,

o que exige um maior controle na separação das fases do concentrado mineral para ocorrer

menor perda possível do mineral de interesse. O sistema consiste em diluir o concentrado a

partir da primeira célula e consequentemente pelas demais células do circuito, em que o nível

do concentrado é mantido baixo para proporcionar uma flotação consistente e

consequentemente produzir um concentrado de alto grau de pureza (MONTE e PERES, 2004).

Figura 2.8 – Sistema Rougher – Scavengers – Cleaners.Fonte: Wills, 2006.

Alimentação ResíduoScavengers

Células

Concentrado Final

Alimentação

Concentrado Final

Scavengers

Cleaners

ResíduoRoughers

23

No sistema da Figura 2.8, as células recebem uma limpeza comparativamente dificil de

realizar, ao passo que a secção de eliminação pode ser executada com um excesso de ar, de

modo a obter o máximo de recuperação. Rejeitos das células cleaners, geralmente contendo

partículas minerais, podem ser recirculadas para as células roughers.

Figura 2.9 – Circuito de flotação com recleaner.Fonte: Wills, 2006.

Eventualmente, a indústria se depara com minerais que para serem devidamente

concentrados necessitam da utilização de vários estágios de purificação, chamados de

recleaning. É o caso da fluorita grau ácido, que tem teores de contaminantes (SiO2 e CaCO3)

admissíveis muito baixos. E, por isso, exige de 4 a 6 estágios de cleaning sucessivos (CHAVES

e FILHO, 2004). A Figura 2.9 ilustra um circuito de flotação com recleaner.

De posse destes conceitos, o leitor já possui conhecimento requerido sobre

beneficiamento de minério para total compreensão dos estudos de casos que serão apresentados

no capítulo 3 e discutidos no capítulo 4.

2.2. RETIFICAÇÃO DE DADOS

Dando sequencia à revisão bibliográfica, também, é essencial para o entendimento dos

conceitos referentes ao procedimento de retificação de dados.

Alimentação

Scavengers ResíduoRe-cleaners Cleaners Rougher

Concentrado Final

24

Nas plantas industriais é de suma importância o monitoramento em tempo real das

variáveis do processo para que a produção tenha sempre o maior aproveitamento dos recursos,

o maior retorno financeiro e também que o controle da qualidade do produto seja maior.

Para monitorar efetivamente uma planta industrial, controlar a produção e garantir sua

operação é necessário que se saiba o estado real do processo em qualquer momento desejado.

Com este propósito, um grande número de variáveis de processo são medidas e seus valores

armazenados em banco de dados em tempo real. Com o avanço das técnicas de medição e

modelagem, atreladas ao avanço das técnicas computacionais, a quantidade de dados de

processo armazenada só tende a aumentar (KONGSJAHJU et al., 2000).

Utilizam-se dispositivos de medição para supervisionar a atividade industrial e estes

aparelhos, cuja precisão é finita, estão sujeitos a falhas. Dessa forma a informação das variáveis

medidas, ou seja, os dados de processamento estão corrompidos por erros aleatórios pequenos

e/ou grosseiros.

Prata (2009) afirmou que erros aleatórios pequenos se originam da incapacidade de se

obter dos sensores as informações exatas do processo. Com isso, de acordo com a estatística

clássica, os erros de medição dos dados considerados independentes, com distribuição Normal,

com variância conhecida e média nula. Já os erros grosseiros são originados de eventos não

aleatórios, sendo discrepantes dos dados reais, invalidando a estatística tradicional e

prejudicando a análise das informações, podendo levar a tomadas de decisões errôneas do

sistema de controle.

Os erros grosseiros podem ainda ser divididos em outras duas subclasses: os desvios

sistemáticos, também chamados permanentes, e os valores espúrios (CHEN e ROMAGNOLI,

1998). O desvio sistemático pode ser definido como valores medidos que estão constantemente

acima ou abaixo de seus valores “verdadeiros”, fazendo com que o valor médio do erro neste

caso seja não nulo. Estes erros derivam da instalação ou calibração incorreta dos instrumentos

de medida (LIEBMAN et al., 1992; McBRAYER e EDGAR, 1995). A Figura 2.10 ilustra erros

do tipo desvios sistemáticos.

25

Figura 2.10 – Desvio sistemático.(▪) Valores “Verdadeiros” e (○) Valores medidos.

Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).

Já os valores espúrios são aqueles obtidos a partir de alguma anomalia no sistema que

pode ser resultada de perturbações não medidas. Um valor espúrio é uma medida que não segue

qualquer distribuição estatística representativa do conjunto dos dados (CHEN e ROMAGNOLI,

1998). Conforme ilustra a figura 2.11.

Figura 2.11 – Valor espúrio.(▪) Valores “Verdadeiros”, (○) Valores medidos com erros aleatórios,

(Δ) Valores medidos com erro grosseiro tipo outliers.Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).

Var

iáve

l

Tempo

Var

iáve

l

Tempo

26

Um tipo especial de erro grosseiro é o tipo “falha” completa (NARASIMHAN e

JORDACHE, 2000). Neste erro os valores medidos estão completamente afastados dos “valores

verdadeiros”, não seguem uma tendência e são característicos quando o medidor está fora do

seu uso normal. Conforme ilustra a figura 2.12.

Figura 2.12 – Falha Completa(▪) Valores “Verdadeiros” e (◊) Valores medidos (falha completa).

Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).

O campo de estudo que lida com a finalidade de tratar estes erros é amplo e conhecido

como retificação de dados, o qual nos últimos 50 anos tem conquistado importante espaço no

meio acadêmico e também no ambiente industrial. Portanto, é notável a importância deste

procedimento para validar as informações contidas nas variáveis medidas, tornando-as

aplicáveis aos processos industriais (PRATA, 2009).

De posse destes conceitos, o leitor encontra-se embasado o suficiente para um maior

detalhamento sobre cada etapa do procedimento retificação de dados (classificação de variáveis,

detecção de erros grosseiros e reconciliação de dados).

2.2.1. Classificação de Variáveis

A etapa de classificação de variáveis tem por objetivos especificar o conjunto necessário

de variáveis para realizar a reconciliação de dados, definir se o problema pode ser reduzido de

tamanho e avaliar como esse procedimento pode ser realizado.

Var

iáve

l

Tempo

27

A primeira etapa de classificação de variáveis envolve a determinação de quais variáveis

são não medidas observáveis ou não observáveis e quais variáveis medidas são redundantes ou

não redundantes.

Vários autores têm publicado algoritmos para classificação de variáveis (CROWE,

1986; MAH, 1990; OLIVEIRA JR, 2006). Para fins didáticos, a Figura 2.13 traz um fluxograma

explicativo.

Figura 2.13 – Classificação das variáveis .Fonte: Oliveira Júnior (2006).

As variáveis medidas se dividem em redundantes ou não redundantes.

Variável Redundante: uma variável medida é denominada redundante se, e

somente se, a observabilidade do sistema não for alterada pela sua exclusão.

Variáveis Não Redundantes: são aquelas que, em caso de falha do medidor, não

podem ser calculadas a partir das demais variáveis

As variáveis não medidas são divididas em observáveis e não observáveis.

Variáveis Observáveis: uma variável não medida é chamada observável se, e

somente se, pode ser calculada através de outras variáveis medidas em conjunto

com as restrições do sistema (modelo matemático do processo).

Variável não observável: quando o seu cálculo não é possível.

28

Se o sistema obtiver uma única variável não medida e não observável (indeterminável),

o sistema não será globalmente observável. Aquelas variáveis que são indeterminadas não são

disponíveis para melhoria dos dados. Para o sistema ser globalmente observável terá que possuir

todo o seu conjunto de variáveis observáveis, para assim, o sistema ser reconciliável. Essas

variáveis devem ser removidas do sistema. Novos dispositivos de medição devem ser

providenciados (PRATA,2009).

2.2.1.1. O método de ordenação matricial para classificação de variáveis

Oliveira Júnior (2006) propõe um algoritmo para classificação de variáveis que é

composto por dez etapas e baseia-se em ordenação matricial. Para que a classificação de

variáveis possa ser estudada de forma profunda, o algoritmo será apresentado detalhadamente

e, posteriormente utilizado para resolver o problema de classificação de variáveis do Caso 1

que será apresentado no capítulo 3.

1ª etapa: Elaboração do modelo

Nessa etapa devem ser formuladas as equações que integram o modelo matemático que

representa o sistema. Deve-se garantir que as equações geradas sejam linearmente

independentes.

2ª etapa: Identificação das variáveis

Nesta etapa deve-se identificar as variáveis que compõem o modelo, além de classificá-

las como medidas, aquelas as quais temos condições de medir através de algum equipamento,

e não medidas, que só podem ser determinadas algebricamente.

3ª etapa: Elaboração da Matriz de Ocorrência

Para a construção da matriz de ocorrência (A) deve-se tomar cada linha como

correspondente a uma equação do modelo matemático que representa o sistema, e cada coluna

a uma variável, seja esta medida ou não medida. Os elementos que fazem parte da matriz podem

adquirir os valores 0 ou 1. O valor nulo é atribuído para o elemento aij da matriz quando a

variável ou parâmetro j não aparece na equação i. Caso contrário atribui-se a unidade.

4ª etapa: Validação da Matriz de Ocorrência

Após construída deve-se conferir cada elemento da matriz para garantir a

verossimilhança com o processo estudado. Feito isso todos os elementos da matriz que estejam

29

nas colunas das variáveis medidas são anuladas ao passo que os elementos pertencentes às

colunas referentes às variáveis não medidas não devem sofrer alteração.

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência

Nesta etapa deve-se procurar alguma equação (linha) na qual apareça somente uma

variável não medida. Isso cria a possibilidade de provar a observabilidade desta variável em

questão. Caso isso, de fato, aconteça deve-se zerar todos os elementos da coluna desta variável.

Este procedimento deve ser repetido até que não existam mais linhas com a ocorrência

de somente uma variável. Se a observabilidade de todas as variáveis puder ser determinada diz-

se que o sistema é totalmente determinável. Caso não seja possível fazê-lo deve-se adicionar

uma variável de corte, o que é explicado detalhadamente na oitava etapa deste modelo.

6ª etapa: Classificação de variáveis

Esta etapa resume-se a listar a classificação de todas as variáveis analisadas.

Se o processo obtiver pelo menos uma variável medida não redundante, ou uma variável

não medida não observável, ele não é totalmente determinável e não pode ser reconciliado sem

que o sistema passe por alguma adaptação.

7ª etapa: Grau de sobredeterminação

O grau de sobredeterminação é dado pela quantidade de equações que não foram

utilizadas, até o presente momento.

8ª etapa: Escolha da variável de corte

Quando na 5° etapa não for possível determinar todas as variáveis não medidas,

devemos introduzir uma variável de corte para dar prosseguimento ao algoritmo.

A escolha da variável de corte deve partir do princípio de que esta deve ser aquela que

possui a maior quantidade de ocorrências de valor 1, ou seja, aquela que aparece em um maior

número de equações. Na prática, deve-se substituir, na coluna da variável escolhida, o valor 1

pelo valor 2, e então repetir o algoritmo a partir da quinta etapa até que não haja mais nenhuma

linha com apenas uma ocorrência de valor 1.

Caso seja necessário, pode-se atribuir mais de uma variável de corte.

9ª etapa: Eliminação da variável de corte

30

Esta etapa visa determinar se a variável de corte é uma variável não medida observável.

Na prática, desfaz-se a troca da etapa 8 (de valor 2 para 1) e verifica-se a possibilidade

determinar esta variável através de alguma equação ainda não utilizada. Caso seja viável a sua

determinação, esta variável não medida que foi utilizada como variável de corte é classificada

como observável.

Em contrapartida, quando não há mais equações disponíveis para a sua determinação,

ela é classificada como não observável.

No caso de haver mais de uma variável de corte, faz-se uma eliminação por vez.

10ª etapa: Classificação final do modelo

Esta é a última etapa do algoritmo. Depois que todas as demais etapas foram concluídas,

obtém-se a classificação de todas as variáveis do processo, o grau de sobredeterminação e a

matriz de ocorrência final.

2.2.2. Detecção de Erros Grosseiros

A segunda etapa da retificação de dados é a de detecção de erros grosseiros (DEG) e ela

é crucial para o bom resultado da reconciliação de dados. Quando existem erros grosseiros, o

conjunto de dados não pode ser submetido à etapa de reconciliação de dados (da maneira

clássica) porque este serão espalhados pelo conjunto de dados. Existe uma variedade muito

grande de métodos, com características diferentes para lidar com a presença de erros grosseiros

nas variáveis medidas. A maioria destes é baseada em testes estatísticos para detecção,

localização e estimação dos erros grosseiros, de maneira independente à solução do problema

de reconciliação. Entretanto, existem alguns métodos em que o problema de reconciliação é

resolvido simultaneamente com o problema de DEG sendo tratado como um problema de

estimação pura baseados em estatística robusta (PRATA, 2009).

O interesse do leitor em maiores detalhes acerca da estatística robusta e seus estimadores

pode procurar as referências de Özyurt e Pike(2004), Prata (2009) ou Sampaio (2015).

2.2.3. Reconciliação de Dados

A terceira e última etapa da retificação de dados é a reconciliação propriamente dita.

Ela trata de um problema advindo da evolução das técnicas de medição, aquisição e

31

armazenamento de dados. Esta tem o papel de garantir a consistência destes dados, utilizando

a redundância das variáveis medidas e um modelo estatístico da medição para aumentar a

precisão dos dados. O procedimento completo tem por objetivo que as equações de conservação

sejam satisfeitas, tratando dos erros aleatórios inerentes ao processo de medição e que eventuais

erros grosseiros sejam detectados e corrigidos (PRATA, 2009).

A reconciliação visa à solução de um problema de otimização e tem como objetivo

estimar o estado mais provável das variáveis de maneira que satisfaçam o modelo do processo.

Assim, a reconciliação de dados (RD) pode ser definida como a estimação dos

“verdadeiros” valores das variáveis medidas (corrompidas por erros), de modo a satisfazer as

restrições impostas ao sistema, como balanços de massa, energia e outras, enquanto minimiza

um critério que pondere os desvios observados entre os valores medidos e os preditos

(reconciliados). E ainda, sempre que possível este procedimento deve fornecer os valores das

variáveis não medidas, estados e parâmetros físicos do problema, de preferência em tempo real

(PRATA, 2009).

É válido observar que na literatura existe certo conflito entre as palavras retificação e

reconciliação, sendo muitas vezes usadas como sinônimos. Essa consideração não é correta,

visto que a retificação de dados deve ser avaliada como um conceito mais amplo

(HIMMELBLAU, 1978).

A maioria das técnicas de reconciliação de dados encontradas na literatura admite que

as restrições do processo sejam lineares e que este esteja em condições de regime permanente

(estado estacionário), limitando, assim, o escopo do problema (MAH, 1990; CAO e

RHINEHART, 1995). Porém, para que seja realizada a reconciliação de dados, esta hipótese

não é de fato necessária, visto que as restrições podem também ser não lineares (KNEPPER e

GORMAN, 1980), dinâmicas (DAROUCH e ZASADZINSKY, 1991, BAGAJEWICZ e

JIANG, 1997) e até ambos simultaneamente (LIEBMAN et al., 1992; ALBUQUERQUE e

BIEGLER, 1996; PRATA et al., 2010).

O desenvolvimento do modelo correto é de suma importância para a continuidade do

processo de retificação de dados. Com ele tem-se a sua categorização quanto à dependência no

tempo e tipo de restrição, incluindo limites nas variáveis, e a possibilidade de haver parâmetros

desconhecidos que necessitam ser estimados.

32

O procedimento conjunto de reconciliação de dados e estimação de parâmetros que

dependiam de condições operacionais, foram analisados por Prata et al (2009) e também com

DEG por Prata et al (2010), para um sistema dinâmico de polimerização de propeno.

2.3. RECONCILIAÇÃO DE DADOS EM BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO

A reconciliação de dados aproxima os valores medidos pelos instrumentos ao valor mais

fidedigno possível (uma vez que o valor real é sempre desconhecido) e estima valores das

variáveis não medidas desde que o sistema seja globalmente observável. Este é um aspecto de

extrema importância para a indústria de processamento metalúrgico e de beneficiamento de

minérios, já que, em muitos casos, as variáveis estratégicas são medidas com precisão limitada,

ou simplesmente não são medidas devido a fatores econômicos (SBARBARO e DELVILLAR,

2010).

A primeira aplicação de RD em beneficiamento de minério operando em estado

estacionário foi realizada por Weigel (1972), especificamente para um sistema de flotação Cu-

Zn.

A RD foi aplicada em plantas de beneficiamento de minério de várias maneiras

diferentes. Em estado estacionário por aplicações, tais como trituração (HODOUIN et al.,

1981), cominuição e classificação (MULAR et al., 1976; WHITE et al., 1977), extração de ouro

(DE ANDRADE, 2006), hidrometalurgia (BAZIN et al., 2005), pirometalurgia (EKSTEEN et

al., 2002; BAZIN et al., 1998; BAZINetal., 2003) e preparação de cimento/clinquer

(HODOUIN et al., 1982).

Diferentemente, Bazin et al. (1995), Makni et al. (1995), Hodouin e Makni (1996) e

Vasebi et al. (2012) propuseram abordagens de RD para lidar com a dinâmica de plantas de

beneficiamento de minério.

Bazin et al. (1995) avaliaram a solução dinâmica de um problema de RD em um circuito

de flotação industrial simplesmente descrito por balanço material com restrição linear.

Makni et al. (1995) desenvolveram um método de RD dinâmica para aplicação em

tempo real, que considera as taxas de variação de inventário como variáveis aleatórias,

oferecendo um interessante compromisso entre a precisão das estimativas e a complexidade do

modelo adotado. Este método é chamado imbalanço nodal (do idioma inglês “node

imbalance”).

33

Posteriormente, Hodouin e Makni (1996) propuseram um novo método de RD dinâmica

para aplicação em tempo real em plantas significativamente complexas de beneficiamento de

minério, incluindo modelos bilineares. Os modelos estacionários previamente estudados são

simplesmente descritos por equações de conservação, enquanto que os modelos dinâmicos,

propostos por Hodouin e Makni (1996), são baseados em funções de transferência empíricas e

tempo morto. Neste novo método, os modelos não são explicitamente dinâmicos, mas sim

modificações de modelos estacionários para, indiretamente, levar em conta o comportamento

dinâmico do processo.

Estes métodos de resolução de RD dinâmica melhoraram significativamente os

resultados de problemas de RD em beneficiamento de minério e, consequentemente,

aproximaram da realidade os dados utilizados pelos operadores nas plantas, o que gera um

resultado mais coerente com a realidade.

2.4. FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE UM PROBLEMA DE RD

De acordo com o que foi abordado até este tópico, temos em mente que o processo de

reconciliação de dados é a busca pela correção dos valores medidos para que estes reflitam a

realidade de maneira mais fidedigna possível, satisfazendo as restrições do sistema como

balanços de massa, energia, quantidade de movimento, limites nas variáveis, entre outros. Para

atingir esse objetivo, é necessário minimizar os critérios que ponderem os desvios observados

entre os valores medidos e os preditos, também como estimar parâmetros, estados e variáveis

não medidas sempre que possível, preferencialmente em tempo real.

O critério frequentemente utilizado é o estimador de Mínimos Quadrados Ponderados

(MQP) (KUEHN e DAVIDSON, 1961). Ele é fruto da formulação do método de máxima

verossimilhança, Equação (2.1), aplicado à distribuição Normal (Gaussiana), dos erros de

medição. Este estimador corresponde à função objetivo, que é sujeito às restrições do sistema.

i

iPP maxmax (2.1)

Sendo Pi a probabilidade de ocorrência de cada variável medida zi, com desvio σi.

Para a distribuição Normal, supondo os erros de medição não correlacionados,

34

i i

ii

iii

zzP 2

2

2êxp

21maxmax

ou

i ii

i

ii zz

2ln2

êxplnmin 2

2

ou

i i

ii zz2

2

2ˆmin

(2.2)

Dessa maneira, a otimização de uma função objetivo do tipo soma de quadrados

ponderados de Kuehn e Davidson (1961) resulta no estimador:

zzVzz T

zˆˆ

21min 1

ˆ (2.3)

Em que:

V = matriz de variâncias (diagonal);

σ = vetor dos desvios padrão (seu valor ao quadrado é chamado variância);

z = vetor das variáveis medidas;

z= vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas;

ϕ = função objetivo.

Será exposto a seguir o procedimentos normalmente usado na solução do problema de

RD em estado estacionário e linearmente restrito.

2.5. SOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA CLÁSSICO DE RD

Seguindo Kuehn e Davidson (1961) na resolução do problema de RD, se obtém na

Equação 2.3 as condições que devem satisfazer aos balanços de massa e energia do sistema

(Equação 2.4):

35

0ˆ zA (2.4)

Onde:

A= matriz de restrições lineares (modelo em estado estacionário)

z= vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas

O valor medido é igual a soma do valor “verdadeiro” mais o erro aleatório na medida:

vzz (2.5)

Onde:

z = vetor das variáveis medidas

vz = vetor dos valores verdadeiros (livres de erro)

ε = vetor de erros aleatórios de medida (livres de erros grosseiros)

Considere que o vetor vz é inferido através de z, Assim, a Equação (2.5) pode ser

reescrita como:

zz ˆ ou zz (2.6)

Admite-se que o erro aleatório ε não apresenta erros grosseiros e, assim, oscila em torno

do zero. Dessa forma:

0E (2.7)

Em que E é operador esperança (média).

A matriz de covariância dos erros de medida (COV) é definida como:

36

TEVCOV . (2.8)

Quando os erros de medição puderem ser considerados independentes entre si (não

correlacionados), a matriz de covariâncias torna-se diagonal (V), como:

2

2

2

0000.........0...00...0

2

1

n

V

(2.9)

Onde:

i = desvio padrão

2i = variância

Obtêm-se que a variância é a inversa da ponderação do termo ε2 na função soma dos

quadrados. Quando se adiciona o erro de medida na restrição do processo, dá-se

matematicamente da Equação (2.4) por meio da Equação (2.6).

0)( zA (2.10)

Tomando como nota essa consideração, a questão de maximização descrita

anteriormente pelas Equações (2.3) e (2.4) se resume a:

1

21min VT

’(2.11)

sujeito a restrição:

37

0)( zA (2.12)

A partir disto, torna-se possível resolver analiticamente o problema acima usando a

técnica de Multiplicadores de Lagrange (PRATA, 2009), desde que todas as variáveis sejam

medidas. Para este problema o Lagrangiano pode ser expresso como:

)(221 1 AAzVL TT (2.13)

Como a matriz V é positiva definida (MAH, 1990) - quadrática, simétrica, com e

ɛTVɛ>0, sendo todos os seus valores maiores que zero e inversível (existe V-1) – e as restrições

são lineares, as condições necessárias e suficientes para a minimização são:

0L (2.14)

0L (2.15)

Destaca-se que para quaisquer vetores zi e zj e qualquer matriz B, o produto iTj Bzz é um

escalar. Dessa forma, as derivadas parciais descritas pelas Equações (2.14) e (2.15) devem

obedecer à regra do produto, como na Equação (2.16):

jT

i

Ti

ii

Tj

i

iTj zB

zzBz

zz

zBzz

(2.16)

Como neste caso a matriz B é simétrica e os vetores zi e zj são similares (zi= zj = z)

obtém-se:

BzzBzzT

2 (2.17)

38

Resolve-se as derivadas parciais descritas pelas Equações (2.14) e (2.15), obtendo-se:

0)(221 1

AAzV TT

02221 1

AAzV TTT

0.2.2..2

T

TTT

TT

AAAzAz

022 AAz

(2.18a)

AzA (2.18b)

0)(221 1

AAzV TT

02221 1

AAzV TTT

0.2.2.2.2.221 1

T

TTT

TT

AAAzAzV

021 TAV

TAVVV .2. 1

(2.19a)

TVA2 (2.19b)

Substituindo-se a Equação (2.19b) na Equação (2.18b), pode-se explicitar λ:

AzAVA T 1)(21 (2.20)

e substituindo-se a Equação (2.20) na Equação (2.19), pode-se explicitar ε:

39

AzAVAVA TT 1)( (2.21)

Com isso, obtém-se a estimativa do processo, z, pela substituição da Equação (2.21) na

Equação (2.6):

AzAVAVAzz TT 1)(ˆ (2.22)

Esta equação consiste na solução do problema de RD linearmente restrito, considerando

que todas as variáveis do processo são medidas. Porém, pode ser que algumas variáveis do

processo sejam não medidas, e neste caso é possível representar essas variáveis como função

das demais de maneira adequada utilizando, por exemplo, a técnica de Matriz de Projeção

(CROWE et al., 1983).

Dessa maneira, após descrever o processo de beneficiamento mineral com suas

operações e seus equipamentos utilizados nas plantas industriais dos estudos de caso e também

definir e detalhar a ferramenta de retificação de dados se conclui a revisão bibliográfica desse

trabalho.

No capitulo 3 serão apresentados em detalhes os dois (2) problemas de RD aplicados

em tratamento mineral que serão utilizados como base de estudo neste trabalho, assim como a

metodologia utilizada.

40

3. APRESENTAÇÃO DOS CASOS E METODOLOGIA

Neste capítulo serão apresentados e detalhados os problemas de beneficiamento mineral

estudados, utilizados como estudos de caso neste trabalho de conclusão de curso. Será feito

também uma breve introdução do software utilizado, bem como um resumo da metodologia

aplicada.

3.1. O SIMULADOR EMSO

Como parte do projeto ALSOC (Ambiente Livre para Simulação, Otimização e Controle

de Processos) um simulador de processos chamado EMSO (do idioma inglês “Environment for

Modeling, Simulation and Optimization”) foi desenvolvido no Brasil em 2001 com o intuito de

oferecer um ambiente computacional com linguagem simples e eficiente que pudesse ser

utilizada por instituições de ensino e centros de pesquisa de forma gratuita.

O programa citado tem gerado soluções eficientes em problemas de reconciliação de

dados com e sem a presença de erros grosseiros em plantas operando em regime estacionário.

Tendo como pressuposto o fato de que um problema de reconciliação de dados também

é um problema de otimização, tem-se utilizado o conhecido e eficiente otimizador IPOPT que

se encontra disponível nas sub-rotinas dos pacotes de otimização e reconciliação do simulador

EMSO (WÄCHTER, 2002).

41

3.2. CASO 1: SERTH et al. (1987)

Este primeiro caso basea-se no trabalho publicado por Serth et al. (1987), cujo objetivo

principal é estender o algoritmo de detecção de erro “teste de medida iterativa modificado”, do

idioma inglês “MIMT”, normalmente utilizado para detecção de erros grosseiros em sistemas

linearmente restritos, para sistemas não lineares. A Figura 3.1 mostra a planta de

beneficiamento de minério utilizada pelos autores para a aplicação prática da metodologia.

Figura 3.1 – Circuito de moagem metalúrgica (adaptada).Fonte: adaptado de Serth et al. (1987).

O circuito em questão, originalmente publicado por Mular et al. (1976), foi escolhido

para o estudo devido a sua relativa simplicidade, relevância industrial e conhecimento de todos

os valores verdadeiros das variáveis. Neste sistema (base da simulação), minério fino (corrente

4) é alimentado juntamente com água no moinho barras (corrente 1). A descarga deste (corrente

5) é combinada com a descarga do moinho de bolas (corrente 6) e água (corrente 2) e inseridas

na alimentação de uma bomba que movimenta a lama até um grupo de ciclones (corrente 7). A

saída superior dos ciclones (corrente 9) é direcionada a uma unidade de flotação, ao passo que

a saída inferior (corrente 8), combinada com água (corrente 3), constitui a alimentação do

moinho de bolas.

Segundo Serth et al. (1987), por questões de simplificação, as nove frações de sólidos

que eram medidas neste sistema, foram agregadas em apenas três. Assim, o problema engloba

um total de 24 variáveis, sendo todas medidas, e 12 equações constituem o modelo matemático

que será detalhadamente explicitado ainda neste tópico.

42

De posse apenas dos valores verdadeiros publicados por Serth et al. (1987), os valores

medidos das variáveis foram gerados aleatoriamente, com o auxílio do desvio padrão fornecido

(2,5% do valor verdadeiro), de forma que não se caracterizasse a presença de erros grosseiros.

As variáveis do sistema são definida por Xi e Yij, onde Xi a vazão mássica da corrente

i e Yij a fração mássica do componente j na corrente i.

A Tabela 3.1 apresenta os valores verdadeiros publicados por Serth et al. (1987), seus

desvios padrão e, por fim, os valores medidos gerados aleatoriamente por este trabalho.

Tabela 3.1 – Dados de medição do Caso 1.

Verdadeiros Desvios Padrão Medidos

X1 99,7000 2,49250 98,5783X2 320,0000 8,00000 321,2000X3 25,0000 0,62500 24,8125X4 257,0000 6,42500 259,5700X5 357,6000 8,94000 362,0700

Y15 0,0679 0,00169 0,0668Y25 0,3964 0,00991 0,3993Y35 0,2570 0,00642 0,2596X6 1109,4000 27,73500 1131,5880

Y16 0,0103 0,00025 0,0105Y26 0,4622 0,01155 0,4576Y36 0,2826 0,00706 0,2893X7 1787,0000 44,67500 1746,7925

Y17 0,0200 0,00050 0,02025Y27 0,3663 0,00915 0,3704Y37 0,2268 0,00567 0,2248X8 1084,3000 27,10750 1093,7876

Y18 0,0328 0,00082 0,03206Y28 0,5566 0,01391 0,5607Y38 0,1831 0,00457 0,1849X9 702,7000 17,56750 700,0648

Y19 0,0002 0,00000 0,0002Y29 0,0721 0,00180 0,0724Y39 0,2947 0,00736 0,2983

Conforme sugerido por Serth et al. (1987), o balanço material em estado estacionário

para este sistema por ser escrito conforme Equações (3.1) até (3.12).

43

Equipamento 1 - Moinho de Barras

Balanço para água

0)352515(*551 YYYXXX (3.1)

Balanço para sólidos totais

0)352515(*54 YYYXX (3.2)

Equipamento 2 - Bomba

Balanço para água

0)372717(*7)362616(*6)352515(*57652

YYYXYYYXYYYXXXXX (3.3)


017*716*615*5 YXYXYX (3.4)

027*726*625*5 YXYXYX (3.5)

037*736*635*5 YXYXYX (3.6)

Equipamento 3 - Moinho de bolas

Balanço para água

0)382818(*8)362616(*683 YYYXYYYXXX (3.7)


0)362616(*6)382818(*8 YYYXYYYX (3.8)

Equipamento 4 - Associação de Ciclones

Balanço para água

0)392919(*9)382818(*8)372717(*7987

YYYXYYYXYYYXXXX (3.9)


019*918*817*7 YXYXYX (3.10)

029*928*827*7 YXYXYX (3.11)

039*938*837*7 YXYXYX (3.12)

44

De posse dessas informações, pode-se utilizar este problema para a aplicação do

procedimento retificação de dados, a fim de avaliar seus benefícios num ambiente industrial.

Será utilizado o algoritmo desenvolvido por Oliveira Júnior (2006) para a classificação de

variáveis e o simulador EMSO para a reconciliação de dados.

3.3. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973)

Este segundo caso basea-se num problema de reconciliação de dados que foi

originalmente proposto por Smith e Ichiyen (1973). Posteriormente foi estudado por Hodouin

e Makni (1996), Schraa e Crowe (1998), Hodouin et al. (1998), Tong (1995) e Berton e Hodouin

(2007), o que mostra a sua importância na área da reconciliação de dados aplicada ao tratamento

de minério. A Figura 3.2 ilustra o problema em questão.

Figura 3.2: Circuito de flotação de cobre, zinco e ferro de Smith e Ichiyen (1973)Fonte: adaptado de Tong (1995).

Esta planta de flotação é formada por um rougher, por um misturador que recebe a

corrente de alimentação e outras duas correntes de reciclo provenientes de um cleaner e de um

scavanger. Consideram-se os três componentes: cobre, zinco e ferro. A ganga (material sem

valor econômico) também está presente no processo, mas não necessita ser considerada no

balanço.

Alimentação ResíduoFinal

1 2 3 4

6

8

Rougher 2

Cleaner 4

Scavanger 3

Produto Final

Misturador 1

57

45

A vazão de alimentação é considerada como unitária (chamada de vazão mássica

adimensional), o que corresponde ao total mássico de material adicionado ao sistema. As

demais vazões não são medidas, mas as composições dos 3 minerais úteis são medidas em todas

as correntes. Assim, o sistema engloba um total de 31 variáveis, destas 25 variáveis são medidas

e 6 variáveis não medidas. Um total de 16 equações representam o modelo matemático, que é

descrito apenas por balanço de massa total e por componentes em cada equipamento. A Tabela

3.2 apresenta os valores medidos e suas variâncias.

Tabela 3.2 – Dados de medição do Caso 2

Valor Medido VariânciasCorrente 1 (fixa) Vazão# 1,00

Composição Cobre 0,1630 0,01Zinco 3,9300 0,26Ferro 11,5700 0,76

Corrente 2 Vazão*Composição Cobre 0,4470 0,03

Zinco 11,6300 0,76Ferro 12,7900 0,84


Zinco 8,1100 0,53Ferro 14,3500 0,94


Zinco 0,4900 0,03Ferro 13,0900 0,86


Zinco 34,6400 2,27Ferro 14,3700 0,94


Zinco 52,0700 3,42Ferro 14,6700 0,96


Zinco 42,7300 2,8Ferro 14,6600 0,96


Zinco 11,8600 0,78Ferro 13,7500 0,9

46

As variâncias são calculadas por meio do coeficiente de proporcionalidade fornecido

pelos autores, 6,56% do valor medido de cada variável.

De posse destas informações e dos resultados de Smith e Ichiyen (1973), pode-se utilizar

este problema para promover uma comparação do desempenho da reconciliação executada pelo

software EMSO e por Smith e Ichiyen (1973).

3.4. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO

3.4.1. Soma do quadrado do erro

O critério soma do quadrado do erro (SSE) (do idioma inglês “Sum of Squarer Error”)

foi elaborado por Wang (2000) apud Zhou et al. (2006) é descrito pela Equação (3.13).

i j

jvjivi uuxxSSE 2,

2, ˆˆ (3.13)

Onde ix é o valor reconciliado da variável medida i, i,vx é o valor verdadeiro da variável

medida i, ju é o valor reconciliado da variável não medida observável j e j,vu é o valor

verdadeiro da variável não medida observável j.

Este critério é geralmente utilizado para avaliar o quão próximo dos valores verdadeiros

as variáveis reconciliadas estão, e, por isso, é amplamente utilizado para comparar desempenho

de métodos de resolução de problemas de reconciliação de dados. Observando sua estrutura

matemática, nota-se que, quanto menor for o SSE, melhor o resultado.

3.4.2. Maior resíduo absoluto

O critério do Maior Resíduo Absoluto (MARES) evidencia, dentre as equações do

modelo matemático, qual foi o valor do maior resíduo. Quanto maior for o MARES, pior o

resultado da reconciliação, pois mais longe os valores reconciliados estarão dos valores

verdadeiros das variáveis do sistema.

47

3.4.3. Soma dos resíduos absolutos

O critério Soma dos Resíduos Absolutos (SARES) é definido pela Equação (3.21).

iRESSARES (3.21)

Onde RESi representa o resíduo da equação i do modelo matemático. Assim, é notório

que, quanto maior for o SARES, pior terá sido o resultado da reconciliação, uma vez que mais

longe os valores reconciliados estarão dos valores verdadeiros das variáveis do sistema.

3.4.4. Função objetivo

O critério do valor da Função Objetivo (Fobj) visa possibilitar uma comparação de

desempenho entre métodos de resolução de problemas de RD, uma vez que avalia qual técnica

chegou mais próxima do mínimo da função objetivo. Logo, quanto menor for o valor do critério

Fobj obtido com as variáveis reconciliadas, melhor terá sido o método. É importante salientar

que este critério deve ser utilizado em conjunto com outro que avalie os resíduos das equações

do modelo matemático, no caso deste trabalho, SARES e MARES. Observa-se também que,

para ser coerente, este critério só deve ser utilizado quando as técnicas de resolução do problema

baseam-se a mesma função objetivo.

3.5. RESUMO DA METODOLOGIA

A metodologia empregada nesse trabalho de conclusão de curso está relacionada com a

implementação de problemas de reconciliação de dados no pacote computacional EMSO. Para

a avaliação dos valores retificados pelo software citado foram usados critérios de avaliação

como a função objetivo e a soma dos erros.

48

As Tabelas (3.3) e (3.4) aprofundam a metodologia utilizada em cada um dos dois casos.

Tabela 3.3 – Resumo da metodologia para o Caso 1: Serth et al. (1987)

Característica/Item DescriçãoProcesso Cominuição de minérios.

Característica do processo Fluxograma ilustrado na figura 3.1.Restrições do sistema 12 bilineares.Número de equações 12.Número de variáveis 24 variáveis, sendo 18 medidas e 6 não medidas.Limite nas variáveis Devem ser todas positivas.Modelo matemático Representado pelas equações 3.1 a 3.12

Valores exatos Sim, fornecidos pela literatura.Desvio padrão 2,5% dos valores medidos.

Software de resolução EMSO - Ambiente para Modelagem, Simulação eOtimização.

Sub-rotina(pacote do programa) Flowsheet e Otimização (Optimization).

Otimizador IPOPT (Wächeter, 2002), “ipopt_emso”. Tolerância:10-8.Objetivo específico Retornar aos valores reais após distorcê-los.

Critério de avaliação Função Objetivo, SARES e MARES.

Tabela 3.4 – Resumo da metodologia para o Caso 2: Smith e Ichiyen (1973)

Característica/Item DescriçãoProcesso Cominuição e flotação de cobre, zinco e ferro.

Característica do processo Fluxograma ilustrado na figura 3.2.Restrições do sistema 12 bilineares e 4 lineares.Número de equações 16.Número de variáveis 25 medidas e 7 não medidas, num total de 32 variáveis.Limite nas variáveis Devem ser todas positivas.Modelo matemático Representado pelas equações 3.13 a 3.28

Valores exatos Somente os propostos pelos autores.Desvio padrão 6,54% dos valores exatos.

Software de resolução EMSO - Ambiente para Modelagem, Simulação eOtimização.

Sub-rotina(pacote do programa) Flowsheet e Otimização (Optimization).

Otimizador IPOPT (Wächeter, 2002), “ipopt_emso”. Tolerância:10-8.

Objetivo específico Comparar os valores obtidos com o software EMSO aos propostos porSmith e Ichiyen.

Critério de avaliação Resíduos absolutos e função objetivo.

49

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Neste capítulo será exposto ao leitor como foram realizadas a retificação de dados para

ambos os casos e a classificação de variáveis para o primeiro caso. A classificação de variáveis

para o segundo caso foi omitida dado que este caso é clássico e já foi amplamente estudado,

por isso, parte-se do pressuposto de que o sistema é notoriamente observável.

4.1. CASO 1: SERTH et al. (1987)


A etapa inicial do procedimento de retificação de dados, conforme definido no capítulo

2, é a classificação de variáveis do sistema que visa determinar se este é reconciliável ou não.

Para esta, utilizou-se a técnica de ordenação matricial previamente detalhada no capítulo 2.

1ª Etapa: Formulação do modelo matemático

O fluxograma do processo é ilustrado na Figura 3.1 e o modelo matemático do problema

é descrito pelas equações (3.1) a (3.2).

2ª Etapa: Identificação das variáveis

O problema é composto por um total de 24 variáveis (X1, X2, X3, X4, X5, Y15, Y25,

Y35, X6, Y16, Y26, Y36, X7, Y17, Y27, Y37, X8, Y18, Y28, Y38, X9, Y19, Y29 e Y39). Note

que a descrição do problema, item 3.2 deste trabalho, informa que todas as variáveis são

medidas. Entretanto, visando uma aplicação mais abrangente do algoritmo desenvolvido por

Oliveira Júnior (2006), mas não invalidando a classificação de variáveis do problema, assume-

se a existência de 6 variáveis não medidas (Y15, Y25, Y35, Y16, Y26 e Y36).

50

Prosseguindo para a terceira etapa, por convenção, inicia-se pela classificação das

variáveis não medidas para posteriormente checar a redundância de cada variável medida.

3ª Etapa: Construção da matriz de ocorrência

A Tabela 4.1 explicita a Matriz (4.1), chamada matriz ocorrência do sistema.

Tabela 4.1 - Matriz de ocorrência do caso 1.

X1

X2

X3

X4

X5

Y15

Y25

Y35

Y6

Y16

Y26

Y36

X7

Y17

Y27

Y37

X8

Y18

Y28

Y38

X9

Y19

Y29

Y39

Eq3.1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.5 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.6 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq3.7 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

Eq3.8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

Eq3.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Eq3.10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

Eq3.11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Eq3.12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.

Nesta etapa todas as colunas das variáveis medidas são zeradas. Para uma melhor

organização, ocultam-se todas as colunas das variáveis medidas. Na etapa de verificação da

redundância das variáveis medidas as colunas de variáveis medidas continuarão ocultas, salvo

a da variável medida que estiver em análise.

51

Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36

Eq 3.1 1 1 1 0 0 0

Eq 3.2 1 1 1 0 0 0

Eq 3.3 1 1 1 1 1 1

Eq 3.4 1 0 0 1 0 0

Eq 3.5 0 1 0 0 1 0

Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1

Eq 3.8 0 0 0 1 1 1

Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0

Eq 3.11 0 0 0 0 0 0

Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.2)

Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a etapa 8.

8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.

Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36

Eq 3.1 2 1 1 0 0 0

Eq 3.2 2 1 1 0 0 0

Eq 3.3 2 1 1 1 1 1Eq 3.4 2 0 0 1 0 0

Eq 3.5 0 1 0 0 1 0

Eq 3.6 0 0 1 0 0 1

Eq 3.7 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1

Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0

Eq 3.11 0 0 0 0 0 0

Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.3)

52

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das

linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.4, variável Y16.

Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36

Eq 3.1 2 1 1 0 0 0

Eq 3.2 2 1 1 0 0 0

Eq 3.3 2 1 1 0 1 1

Eq 3.4 2 0 0 0 0 0

Eq 3.5 0 1 0 0 1 0

Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1

Eq 3.8 0 0 0 0 1 1

Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0

Eq 3.11 0 0 0 0 0 0

Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.4)



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36

Eq 3.1 2 2 1 0 0 0

Eq 3.2 2 2 1 0 0 0

Eq 3.3 2 2 1 0 1 1Eq 3.4 2 0 0 0 0 0

Eq 3.5 0 2 0 0 1 0

Eq 3.6 0 0 1 0 0 1

Eq 3.7 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1

Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0

Eq 3.11 0 0 0 0 0 0

Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.5)

53



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 2 2 1 0 0 0Eq 3.2 2 2 1 0 0 0Eq 3.3 2 2 1 0 0 1Eq 3.4 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 2 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.6)



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 2 2 1 0 0 0Eq. 3.2 2 2 1 0 0 0Eq. 3.3 2 2 1 0 0 0Eq. 3.4 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 1 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.7)

54



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 2 2 0 0 0 0Eq. 3.2 2 2 0 0 0 0Eq. 3.3 2 2 0 0 0 0Eq. 3.4 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.8)


9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da

observabilidade da variável de corte - Y15.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.9)

55




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.10)




Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36

Eq 3.1 0 1 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.11)

56




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.12)


Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)







Grau de sobreterminação: 6

Visto que as equações Eq (3.6), Eq (3.8), Eq (3.9), Eq (3.10), Eq (3.11) e Eq (3.12) não

foram utilizadas.

Partindo do princípio de que as variáveis não medidas são observáveis pode ser feita a

verificação da redundância das variáveis medidas.

57

Verificação da redundância de Y1

Será feita a verificação da redundância de cada variável medida de maneira separada.

Nesta parte o algoritmo pode ser iniciado já a partir da quarta etapa. Este procedimento será

repetido para todas as variáveis medidas deste caso.

4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.

X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.13)

Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava

etapa.

8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso foi escolhida Y15.

X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.3 0 2 1 1 1 1 1Eq. 3.4 0 2 0 0 1 0 0Eq. 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq. 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0

Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.14)

58


linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.15)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.16)

59


linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5 – Y26.


Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.17)

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7 – Y36.


Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.18)

60


linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6 – Y35.


Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.19)


linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.1 - X1.


Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.20)

Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona

etapa.

61



X1 Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.21)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.22)


etapa.

62




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.23)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.24)

O sistema é observável mesmo com a variável X1 sendo assumida como não medida.

Então ela é uma variável medida redundante.




63





X1 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.1)


Grau de sobredeterminação: 5

Até aqui, as equações Eq. (3.8), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não

foram utilizadas.

Verificação da redundância de X2

4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.25)


etapa.

64



Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.26)

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.27)

Como não há mais linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava

etapa.

65



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.28)

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.8, variável Y26.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.29)

66




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.30)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.31)

67


linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.3, variável X2.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.32)


etapa.

9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y15.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.33)

68


linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.2, variável Y15.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.34)

Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a nona etapa.




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.35)

69


linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.7 - Y36.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.36)




• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)






• X2 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.3)


• Grau de sobredeterminação: 5

Até aqui, as equações Eq. (3.1), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram

utilizadas.

70


4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.37)


etapa.



Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.38)

71


linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.39)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.40)

72




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.41)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.42)

73




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.43)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.44)


etapa.

74




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.45)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.46)


etapa.

75




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.47)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.48)






76









utilizadas.




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.49)


etapa.

77



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.50)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.51)


etapa.

78



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.52)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.53)

79




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.54)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.55)

80




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.56)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.57)

81




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.58)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.59)

82




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.60)














utilizadas.

83




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.61)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.62)

Como ainda não há linhas com apenas uma ocorrência, determina-se mais uma variável

de corte.

84



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.63)


de corte.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.64)

85




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.65)


linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4, variável X5.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.66)

86




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.67)


linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.6, variável Y35.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.68)


etapa.

87




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.69)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.70)


etapa.

88




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.71)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.72)


etapa.

89




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.73)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.74)






90









utilizadas.



Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 1 0 0Eq 3.5 0 1 0 1 0 1 0Eq 3.6 0 0 1 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.75)


etapa.

91



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.76)


de corte.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.77)

92


linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.6, variável X6.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.78)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.79)

93




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.80)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.81)

94




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.82)


etapa.




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.83)

95




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.84)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.85)

96




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.86)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.87)

97




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.88)














utilizadas.

98



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 1Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.89)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.90)


etapa.

99



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.91)

5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.92)


etapa.

100



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.93)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.94)

101




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.95)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.96)


etapa.

102




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.97)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.98)


etapa.

103


observabilidade da variável de corte – Y15.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.99)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.100)






104









utilizadas.




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.101)

105




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.102)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.103)

106




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.104)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.105)

107




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.106)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.107)

108




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.108)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.109)

109




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.110)


etapa.

9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.111)

110




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.112)














utilizadas.

111




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.113)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.114)


etapa.

112



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.115)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.116)


etapa.

113



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.117)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.118)

114




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.119)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.120)


etapa.

115




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.121)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.122)


etapa.

116




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.123)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.124)






117









utilizadas.



Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1

Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.125)

118




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.126)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.127)

119




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.128)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.129)

120


linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variávelY35.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.130)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.131)

121




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.132)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.133)

122


linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variávelY36.


Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.134)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.135)

123




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.136)

O sistema é observável mesmo com a variável Y17 sendo assumida como não medida.









• Y17 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)




utilizadas.

124




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.137)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.138)


etapa.

125



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.139)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.140)


etapa.

126



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.141)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.142)

127




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.143)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.144)


etapa.

128




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.145)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.146)


etapa.

129




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.147)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.148)






130









utilizadas




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.149)

131




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.150)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.151)

132




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.152)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.153)

133




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.154)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.155)

134




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.156)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.157)

135




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.158)


etapa.




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.159)

136




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.160)














utilizadas

137




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.161)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.162)


etapa.

138



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.163)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.164)


etapa.

139



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.165)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.166)

140




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.167)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.168)

Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a etapa

seguinte.

141




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.169)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.170)


etapa.

142




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.171)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.172)





143










utilizadas




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.173)

144




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.174)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.175)

145




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.176)

Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.177)

146




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.178)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.179)

147




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.180)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.181)

148




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.182)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.183)

149




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.184)














utilizadas

150




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.185)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.186)


etapa.

151



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.187)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.188)


etapa.

152



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.189)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.190)

153




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.191)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.192)


etapa.

154




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.193)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.194)


etapa.

155




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.195)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.196)






156









utilizadas




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.197)

157




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.198)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.199)

158




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.200)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.201)

159




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.202)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.203)

160




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.204)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.205)

161




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.206)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.207)

162




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.208)














utilizadas

163




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.209)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.210)


etapa.

164



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.211)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.212)


etapa.

165



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.213)



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.214)

166




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.215)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.216)


etapa.

167




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.217)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.218)


etapa.

168




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.219)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.220)






169









utilizadas




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1

Matriz (4.221)

170




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.222)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.223)

171




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.224)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.225)

172




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.226)




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.227)

173




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.228)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.229)

174




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.230)


etapa.



Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.231)

175




Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0

Matriz (4.232)














utilizadas.

176

Resposta Final do Sistema

10ª etapa: Classificação final do modelo

A Tabela 4.2 mostra a classificação de todas as variáveis.

Tabela 4.2 – Classificação des variáveis do caso 1.

Variável Classificação Variável ClassificaçãoY15 Não medida observável X7 Medida redundanteY25 Não medida observável Y17 Medida redundanteY35 Não medida observável Y27 Medida redundanteY16 Não medida observável Y37 Medida redundanteY26 Não medida observável X8 Medida redundanteY36 Não medida observável Y18 Medida redundanteX1 Medida redundante Y28 Medida redundanteX2 Medida redundante Y38 Medida redundanteX3 Medida redundante X9 Medida redundanteX4 Medida redundante Y19 Medida redundanteX5 Medida redundante Y29 Medida redundanteX6 Medida redundante Y39 Medida redundante

Uma vez que todas as variáveis não medidas foram classificadas como observáveis, e

todas as variáveis medidas foram classificadas como redundantes, pode-se concluir que o

sistema avaliado é globalmente observável e, portanto, reconciliável.

Um fato importante é que: uma vez que as 6 variáveis ditas não medidas (apenas para a

aplicação mais abrangente do algoritmo) receberam a classificação final de não medidas

observáveis, quando consideradas novamente como variáveis medidas, tal qual originalmente

apresentado no capítulo 3, receberão a classificação de medidas redundantes, permanecendo,

assim, o sistema globalmente observável e passível de ser reconciliável.


Concluída a classificação de variáveis e determinada a observabilidade do sistema, a

reconciliação de dados pôde ser realizada, produzindo os resultados apresentados na terceira

coluna da Tabela 4.3.

177

Tabela 4.3 – Resultados do Caso 1.

Variável Valor medido Valor ReconciliadoX1 98,5784 98,5273X2 321,2000 318,5770X3 24,8125 24,8015X4 259,5700 260,2230X5 362,0700 358,7500Y15 0,0669 0,0670Y25 0,3994 0,4001Y35 0,2596 0,2583X6 1131,5880 1117,3800Y16 0,0105 0,0105Y26 0,4576 0,4624Y36 0,2893 0,2851X7 1746,7925 1794,7100Y17 0,0203 0,0199Y27 0,3704 0,3678Y37 0,2248 0,2291X8 1093,7876 1092,5800Y18 0,0321 0,0326Y28 0,5608 0,5577Y38 0,1849 0,1849X9 700,0649 702,1290Y19 0,0002 0,0002Y29 0,0725 0,0724Y39 0,2984 0,2980

Para uma melhor avaliação destes resultados, a Tabela 4.4 apresenta os valores obtidos

para os critérios de avaliação SARES, MARES e SSE, quando calculados com os valores

medidos, reconciliados e verdadeiros, sendo os verdadeiros inclusos no SSE.

Tabela 4.4 – Critérios de avaliação de desempenho do Caso 1.

Critérios de Avaliação Medidos ReconciliadosSARES 35,7852 0,0094MARES 7,8138 0,0026

SSE 457,7318 207,1588

Pode-se observar, com o auxílio dos critérios SARES e MARES, que os resíduos das

equações do modelo matemático do sistema, quando calculados com as variáveis reconciliadas,

178

se mostram extremamente inferiores àqueles calculados com as variáveis medidas. Quanto ao

critério SSE seguiu a mesma linha, seu valor quando calculado com os dados reconciliados, foi

menos da metade daquele calculado com os dados medidos.

Analisando estes resultados, observa-se que a reconciliação de dados, neste caso, se

mostrou extremamente eficiente, pois, ao tratar os dados medidos, minimizou seus erros

aleatórios e aproximou as variáveis dos seus valores verdadeiros. Este fato indica que a

reconciliação de dados pode ser extremamente benéfica num ambiente industrial, uma vez que

seus resultados tem o potencial de promover alicerces mais firmes para as malhas de controle e

suas funções de tomada de decisão, estabelecendo um ambiente mais seguro e um produto de

melhor qualidade.

4.2. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973)


Neste segundo caso, por se tratar de um problema clássico e amplamente estudado de

reconciliação de dados, como citado no capítulo 3, não foi necessário a realização da etapa de

classificação de variáveis, uma vez que a observabilidade do sistema é conhecida. Todas as

variáveis medidas são redundantes e todas as variáveis não medidas são observáveis.


Sabendo que o sistema é globalmente observável, a reconciliação de dados foi realizada.

A tabela 4.5. apresenta os valores reconciliados obtidos por Smith e Ichiyen (1973) e aqueles

alcançados com o software EMSO.

179

Tabela 4.5 – Resultados do Caso 2.

Variável EMSO Smith e IchiyenX1 1,0000 1,0000Y11 0,1594 0,1700Y21 3,6094 3,8560Y31 12,3984 12,3350X2 3,8255 5,2530Y12 0,3595 0,4620Y22 12,3932 11,7260Y32 13,5602 13,5570X3 3,3087 4,7290Y13 0,2624 0,4060Y23 8,2156 8,7180Y33 13,4173 13,4550X4 0,9393 0,9340Y14 0,1272 0,1360Y24 0,5178 0,4910Y34 12,2576 12,1790X5 0,5168 0,5240Y15 0,9811 0,9640Y25 39,1388 38,8520Y35 14,4746 14,4820X6 0,0607 0,0657Y16 0,6582 0,6490Y26 51,4797 51,7030Y36 14,5797 14,5620X7 0,4562 0,4590Y17 1,0240 1,0090Y27 37,4976 37,0110Y37 14,4606 14,4700X8 2,3694 3,7940Y18 0,3160 0,4730Y28 11,2674 10,7440Y38 13,8771 13,7690

Para uma melhor avaliação destes resultados, a Tabela 4.6 mostra os valores obtidos

para os critérios de avaliação SARES, MARES e Fobj, para a reconciliação de dados de Smith

e Ichiyen (1973), bem como a realizada com o software EMSO.

180

Tabela 4.6 – Critérios de avaliação de desempenho do Caso 2.

Critério de Avaliação EMSO Smith e IchiyenSARES 0,0008 0,0876MARES 0,0002 0,0265

Fobj 13,0163 12,6849

Conforme detalhado no capítulo 2 deste trabalho, matematicamente a reconciliação de

dados é feita através da minimização de uma função objetivo de maneira que haja simultânea

satisfação do modelo matemático representativo do processo. Assim, estes três critérios, quando

utilizados em conjunto, visam justamente promover uma comparação entre as estratégias de

resolução do problema de RD, já que o SARES e MARES avaliam os resíduos do modelo

matemático e o Fobj avalia o valor da função objetivo quando calculada com os dados

reconciliados.

Desta forma, pode-se observar na Tabela 4.6 que, o método utilizado por Smith e Ichien

(1973) para a solução do problema de RD alcançou uma função objetivo menor, porém na

mesma ordem de grandeza que o EMSO. Entretanto, ao avaliar este dado em conjunto com os

critérios SARES e MARES, observa-se que os resultados de Smith e Ichiyen (1973) produziram

resíduos bem maiores que o EMSO. A menor função objetivo possível apresenta valor zero

(nulo) e isso ocorre unicamente quando os valores reconciliados são idênticos aos valores

medidos. Isso reforça o comentário de que não se pode utilizar a Fobj sem previamente avaliar

os critérios de SARES e MARES.

Assim, os resultados conduzem à conclusão de que o software EMSO, utilizado em

conjunto com o otimizador IPOPT, mostrou-se mais eficiente do que a técnica utilizada por

Smith e Ichiyen (1973) para a resolução deste problema de RD, pois mesmo que sua função

objetivo esteja ligeiramente mais elevada, seus resultados melhor satisfizeram o modelo

matemático do processo.

181

5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES

Este quinto capítulo apresenta as conclusões finais alcançadas com a execução deste

trabalho de conclusão de curso e ainda aborda sugestões para trabalhos futuros, com base nas

dificuldades obtidas e no conhecimento adquirido durante sua elaboração.

5.1. CONCLUSÕES

Utilizando o software EMSO em conjunto com o otimizador IPOPT, este trabalho

apresentou um estudo de retificação de dados em plantas de beneficiamento de minério

operando em estato estacionário.

Nos primeiros capítulos, com o objetivo de embasar o leitor com os conhecimentos

necessários, foi feita uma breve revisão bibliográfica sobre o tema, onde foram apresentados os

principais conceitos envolvidos nos processos de beneficiamento de minério, bem como

introduzido o procedimento de retificação de dados.

Para aplicação dos conceitos, foram utilizados dois estudos de casos baseados em

problemas previamente publicados na literatura técnico científica. No Caso 1, por não se tratar

de um problema explicitamente de retificação de dados, foi aplicado um algoritmo de

classificação de variáveis por ordenação matricial desenvolvido por Oliveira Júnior (2006), que

foi crucial para a determinação da observabilidade do sistema. Concluindo, ao final, que este

era globalmente observável, condição suficiente para aplicação do procedimento de

reconciliação de dados. Realizou-se a reconciliação de dados do problema visando avaliar os

benefícios da retificação de dados no ambiente industrial. Por meio da utilização dos critérios

SARES, MARES e SSE, observou-se que tal procedimento é extremamente benéfico, já que

possui a capacidade de, por exemplo, aumentar a segurança do processo e a qualidade do

produto final, uma vez que reduz os erros dos dados medidos de forma a torná-los mais

condizentes com a realidade.

182

Objetivando, por fim, uma análise do software utilizado neste trabalho, o Caso 2, que

trata de um problema de RD em beneficimaneto de minério amplamente estudado na literatura,

foi utilizado para promover uma comparação entre o método de solução do autor original e o

EMSO. Através dos critérios de avaliação de desempenho SARES, MARES e Fobj, concluiu-

se que a técnica utilizada por Smith e Ichiyen (1973), a princípio, foi inferior ao software

EMSO, uma vez que as funções objetivos de ambos mostraram ter a mesma ordem de grandeza,

mas os resíduos das restrições que representam o sistema foram muito maiores que os

alcançados pelo software EMSO. Isso mostra, também, a qualidade do otimizador IPOPT, parte

integrante das rotinas de reconciliação de dados e otimização no ambiente EMSO.

5.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Conforme exposto nesse trabalho de final de curso algumas sugestões para futuros

trabalhos podem ser consideradas; tais como:

Avaliação do algoritmo de Oliveira Júnior (2006) para problemas dinâmicos,

particularmente em sistemas de beneficiamento de minérios.

Avaliação do procedimento de reconciliação de dados em problemas dinâmicos de

beneficiamento de minérios, particularmente com detecção de erros grosseiros via

estimadores-M robustos [não realizado na literatura ainda];

Avaliação do software EMSO em ambiente industrial real, particularmente em sistemas

de beneficiamento de minérios [ existe a interface dessa aplicação no software EMSO];

A realização dessas sugestões podem contribuir de maneira significativa no campo de

retificação de dados, especificamente em sistemas de beneficiamento de minérios.

183

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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