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Universidade
Estadual de Londrina
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – SEED/PR
CADERNO DE ATIVIDADES - APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA:
DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO ALGÉBRICO
UTILIZANDO O ERRO COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO
MARIA JOSÉ FERREIRA MARQUES
Londrina 2008
1
MARIA JOSÉ FERREIRA MARQUES
CADERNO DE ATIVIDADES - APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA:
DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO ALGÉBRICO
UTILIZANDO O ERRO COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO
Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR sob orientação da Profa. Ms. Magna Natalia Marin Pires.
Londrina 2008
2
Caderno de atividades - Aprendizagem da Álgebra: desenvolvimento do
raciocínio algébrico.
TÍTULO: Desenvolvimento do raciocínio algébrico utilizando o erro como
estratégia de ensino.
PROBLEMATIZAÇÃO DO TEMA: Como os erros mais comuns, cometidos pelos alunos na
aprendizagem da álgebra, podem levá-los a superar suas dificuldades, e a aprender
significativamente esse conteúdo.
DEFINIÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO: Turmas do Ensino Fundamental do 2º ciclo de EJA
e o desenvolvimento do raciocínio algébrico para a aprendizagem de Álgebra.
3
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO .................................................................................... 04
1 INTRODUÇÃO .................................................................................. 04
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................... 07
3 AS ATIVIDADES ............................................................................... 13
4 OS ALUNOS ...................................................................................... 14
5 O PROFESSOR .................................................................................. 15
6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO ............................................ 17
7 ATIVIDADES .................................................................................... 19
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 36
OBRAS CONSULTADAS ......................................................................... 36
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APRESENTAÇÃO
Esse material é um Caderno de Atividades que apresenta uma proposta de trabalho
com o conteúdo de álgebra para o Ensino Fundamental, que posteriormente será
desenvolvido com alunos do ensino fundamental de EJA. Em seguida, será descrito e
analisados os resultados obtidos. Para realizar essa experiência, o Erro é utilizado como
uma estratégia de ensino. As atividades têm o objetivo principal de desenvolver o
raciocínio lógico matemático, preparando assim o aluno para desenvolver de maneira
significativa o conteúdo de Álgebra.
1 INTRODUÇÃO
De acordo com Lakatos (apud PONTES, 1997):
A Matemática não se desenvolve por um crescimento contínuo de teoremas indubitavelmente estabelecidos, mas pela correção de teorias, pelo melhoramento constante de conjecturas graças à especulação e à crítica, graças à glória de provas e refutações. Indica ainda que na produção de conhecimento matemático há uma adaptação constante de axiomas e definições, em simultâneo com uma incessante busca de conjecturas, demonstrações e refutações.
Ou seja, Matemática se desenvolve por meio de reelaboração de
teorias, sendo que o processo de crescimento se dá através de busca e verificação de
hipóteses.
A exploração, a descoberta de estratégias, a tentativa e o erro são
processos indispensáveis à aprendizagem.
Aprender é reconstruir com base na experiência, e o professor tem
papel fundamental nesse processo. O aluno é quem constrói o próprio conhecimento,
5
mas tal fato ocorre de maneira mais significativa, se o trabalho desenvolvido em sala de
aula privilegiar comunicação e as inter-relações aluno-aluno e aluno-professor.
Oportunizar situações em que os alunos questionem, reflitam, explorem
e estabeleçam conexões matemáticas são fundamentais, e nesse processo a tentativa e
o erro acontecem quase que de maneira natural, por isso são imprescindíveis ao
desenvolvimento da aprendizagem, pois leva o aluno a procurar e descobrir os
processos de resolução e os resultados. Atividades que estimulam a percepção e exigem
do aluno a organização de regularidades que a ele parecem reais e palpáveis, prepara o
aluno para a aprendizagem da Álgebra.
O pensamento algébrico pode ser desenvolvido desde as primeiras
séries de escolaridade. Para isso é preciso submeter o aluno a atividades que faça com
que ele:
� estabeleça relações;
� faça comparações entre padrões geométricos, numéricos, e
situações que apresentem regularidades;
� desenvolva algum tipo de processo de generalização;
� perceba e expresse regularidades;
� desenvolva uma linguagem que o torna capaz de expressar-se
matematicamente.
Porém para que isso aconteça, é importante que os alunos participem
de situações em que lhes seja possível explorar, experimentar, descobrir e testar.
Apesar de não existir uma “receita” pra um trabalho efetivo, existem
estratégias para que o professor possa conduzir as atividades em sala de aula de acordo
com objetivos estabelecidos.
Ainda hoje existe uma idéia de que Matemática é a área do
conhecimento que se reduz a números e cálculos. E mais, quando se fala em Álgebra, a
primeira idéia que surge é a de que, Álgebra é a parte da Matemática em que se
trabalha apenas com “cálculo literal”. Porém a idéia de que é a parte da matemática que
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se trabalha apenas com “letras” justifique talvez em parte, as dificuldades dos alunos
com a Álgebra, a contradição de ser Matemática, mas não trabalhar com números e sim
com letras.
É importante trabalhar com atividades Matemáticas a partir de “fatos e
coisas” que lhes sejam familiares, lógicas e coerentes. O desenvolvimento do
pensamento algébrico torna os alunos capazes de produzir significados se tiverem
participação efetiva nas atividades propostas.
Atividades de observação, análise e investigação de padrões favorecem
o desenvolvimento do raciocínio de generalização, desenvolvem a “concepção da
Álgebra como generalizadora de modelos”.
Escrever matematicamente, fazendo uso da simbologia adequada, é
ponto importante na construção do raciocínio algébrico. Essa habilidade é desenvolvida
quando o aluno é estimulado a realizar uma escrita que escreve o comportamento de
seqüências, ressaltando sua regularidade. Tal atividade faz com que os alunos
formalizem um pensamento de “caráter generalizador”, ou seja, desenvolve o
pensamento de generalização, e, portanto estimula o raciocínio algébrico, pois se utiliza
das letras para representar de forma simbólica, ou de forma geral o seu pensamento.
Não podemos nos esquecer que todo esse processo exige um tempo de
desenvolvimento, reflexão, análise e amadurecimento, e o Erro, será ação comum e
constante, principalmente no início do trabalho. Mais uma vez a postura do professor é
fundamental para que o trabalho obtenha resultados positivos e satisfatórios. É preciso
deixar claro para a turma, que o Erro é natural, e que a reflexão, compreensão e a
superação do mesmo é que contribuirá para a construção efetiva do conhecimento.
A principal intenção desse trabalho é desenvolver do raciocínio
algébrico, para propiciar o aprendizado do conteúdo de Álgebra, através dos erros
comumente cometidos.
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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A Matemática ao longo do tempo e do desenvolvimento da humanidade
contribuiu como ferramenta fundamental para o desenvolvimento da ciência, da cultura,
dos saberes e da tecnologia. Tradicionalmente falando, ainda é vista como um sistema
perfeito, e pelo modo com foi, e ainda é trabalhada, as pessoas a entendem como um
conhecimento cuja estrutura está pronta, acabada e estável. É tida quase que, como um
ente platônico, que existe por si só, que se basta em si mesma, e que os problemas que
nela existem não são dela, mas sim de quem com ela lida.
Entender que a Matemática não foi inventada, mas sim construída
dentro de uma necessidade, desenvolvida de maneira não linear, e que até hoje é usada
para resolver muito dos problemas da sociedade pode ajudar na compreensão dos
significados dos conteúdos matemáticos. Foi historicamente construída e desenvolvida
para atender necessidades sociais e teóricas de cada época em especial. Muito dos
estudos matemáticos chegaram a importantes e famosas teorias que hoje temos.
Outros não chegaram aos objetivos esperados, ou ainda, muitos outros, não chegaram
a lugar algum, sendo abandonados, ora retomados em outras épocas da história, ou
ainda, esquecidos e perdidos no tempo. A Matemática foi desenvolvida e sistematizada
dentro de uma ordem caótica, de maneira não linear e sem ordem definida. É muito
importante, que nós professores tenhamos clareza de tal fato. É preciso conduzir uma
prática em sala da aula, levando em consideração que o conhecimento matemático deve
ser situado historicamente.
Como diz Ubiratan D’Ambrósio,
Uma percepção da história matemática é essencial em qualquer discussão sobre a matemática e seu ensino. Ter uma idéia, embora imprecisa e incompleta, sobre porque e quando se resolveu levar o ensino da matemática à importância que se tem hoje são elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em educação matemática e educação em geral (1996, p.29).
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Os alunos precisam entender que a Matemática não é uma invenção
individual, mas sim faz parte de um contexto cultural e foi sendo desenvolvida a partir
da necessidade do homem e da sociedade.
A Matemática ensinada de maneira tradicional, cuja ênfase é na
memorização, na aplicação de fórmulas e desenvolvimento de algoritmos é pouco
interessante, desestimulante e distante da realidade do aluno.
Seu ensino deve de alguma forma, restabelecer laços com a realidade
atual ou histórica, e principalmente, deve privilegiar os diferentes significados e as
diferentes formas de ordenar as idéias. O conhecimento matemático deve ser capaz de
desenvolver no indivíduo, relações necessárias para a vida em sociedade deve subsidiar
o desenvolvimento de um pensamento criativo, e precisa dar suporte necessário para
que o aluno consiga lidar de maneira positiva com informações e com a tecnologia.
Hoje, de forma geral, as pessoas estão em contato com as tecnologias.
Parte dos nossos alunos tem um manuseio, e até um conhecimento tecnológico. É
preciso que a escola dê oportunidade às atividades didáticas que introduzam novos
procedimentos e recursos alternativos, diferentes dos utilizados tradicionalmente. Os
alunos da EJA, quando chegam à escola já tem uma noção mental das operações
matemáticas básicas. Porém, a Matemática para a maioria deles, é considerada, a
“matéria mais difícil”. É função primordial da escola e das aulas de Matemática melhorar
essa “autoformação e o desenvolvimento sócio afetivo”. É fundamental considerar o
conhecimento que eles já têm, e principalmente, compartilhar experiências, para
adquirir pré-requisitos para outras aprendizagens.
De acordo com Danyluk, Gomes e Moreira,
As interferências da cotidianidade dos indivíduos desafiam a educação escolar a estudar formas de renovar e transformar a dinâmica da sala de aula, de introduzir mecanismos que se aproximem mais das vivências dos educandos e possam interferir na prática educativa para conduzir o aluno ao processo de construção do conhecimento” (apud MORTARI, 2001, p. 105).
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O trabalho com a Educação de Jovens e Adultos é muito rico. O
compartilhamento dos múltiplos saberes de que esses alunos são detentores, ao mesmo
tempo em que possibilita o resgate de sua auto-estima, fortalece a sua cidadania. É
papel da escola, transformar esse conhecimento prévio do aluno, em conhecimento
científico, e para isso a Matemática precisa ser significativa para eles, deve ser atual e
estar vinculada ao mundo do aluno. Trabalhar a Matemática associada ao cotidiano é
um referencial que dá condições pra que o aluno se sinta inserido no seu contexto, e
reconheça essa ciência como um saber vivo e real, como uma ferramenta para tomar e
justificar decisões, resolver os problemas da sociedade e até os seus próprios
problemas.
Imagino que na EJA, trabalhar o ERRO como estratégia é um trabalho
didático bem interessante. O aluno adulto, na maioria das vezes, é bem exigente
consigo mesmo. Para muitos deles, errar pode significar fracasso e incompetência. E
muitas vezes deixam de crescer como alunos e como pessoas, pois para não errar,
evitam arriscar-se.
Penso que trabalhar com essa estratégia, irá fazer com que esses
alunos entendam que errar é ação imprescindível e etapa a ser vencida no
desenvolvimento da aprendizagem. Para nós, professores é também diagnóstico da
aprendizagem, e quando tratado como estratégia didática, expressa o caráter
incompleto de um conhecimento, e nesse sentido, deve ter a função de buscar e
entender as dificuldades do aluno nas atividades do conteúdo proposto. É preciso
acabar com o “pré-conceito” de que, basicamente, aluno que ERRA, é aluno fraco ou
“tem dificuldade” de aprendizagem. Errar, nem sempre significa falta de conhecimento e
de aprendizagem.
O Erro pode denunciar uma falha, no processo de ensino e
aprendizagem, ou no processo de construção de conhecimento matemático. Os Erros,
além de apontarem as dificuldades, possibilitam a compreensão dos “motivos” das
dificuldades no conteúdo em questão, e auxiliam os professores na elaboração de
estratégias de ensino para uma aprendizagem significativa.
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Quando encarado de forma negativa é causador de baixa estima, e
ainda que silenciosamente, rotula muitos alunos de incapazes, e pode trazer como
conseqüência, evasão escolar e o triste sentimento de inaptidão e de incapacidade para
uma vida escolar e acadêmica. Falando num sentido mais amplo, o ERRO tratado de
forma negativa pode destruir a oportunidade de “uma vida melhor” de muitas pessoas.
A escola e a educação devem incluir e não excluir. É missão da escola e
também nossa, ensinar Matemática para a inclusão e para a cidadania. Tanto alunos
quanto professores, precisamos ter claro que é a partir da compreensão dos nossos
erros que crescemos como alunos, pessoas, cidadãos e seres humanos.
Escolhi Álgebra como foco deste trabalhado, pois acredito que o Erro
tratado como estratégia, pode contribuir de forma efetiva para a aprendizagem desse
conteúdo que é considerado difícil, quer seja pela forma como é ensinado, quer seja
pela dificuldade de linguagem específica que ele exige, ou pelo raciocínio automático
que hoje o mundo nos impõe. Enfim, Álgebra é considerada conteúdo difícil e várias
podem ser a razões. Mesmo assim, sua necessidade e relevância nos currículos de
matemática são inquestionáveis. Em certas épocas da história sua ênfase foi maior,
como ocorreu com o “Movimento da Matemática Moderna”, em outras, sua relevância
foi considerada menos importante, como ocorreu no movimento “back to basic”. No
entanto, sempre esteve nos currículos, como etapa fundamental para a formação do
conhecimento matemático.
A linguagem simbólica tem papel muito importante no raciocínio
algébrico, porém se for trabalhada privilegiando apenas o transformismo algébrico, de
maneira puramente abstrata, como algo já definido, sem significado “real” para o aluno,
seu estudo é penoso e pouco significativo. Hoje, a Álgebra é considerada como uma
forma específica de pensamento para se estabelecer padrões e expressar relações, ou
seja, devemos compreendê-la como uma linguagem, cuja principal função é comunicar
idéias gerais, ou seja, expressar o que é genérico.
A relação que existe entre o pensamento algébrico e a linguagem, é que
precisa ser “cuidadosamente” desenvolvida para que o aluno se torne capaz de
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expressar o pensamento algébrico, utilizando uma linguagem simbólica com significado
“real”.
Entre o pensamento algébrico e a linguagem, existe uma relação, que
apenas será compreendida quando forem “internalizados” pelos alunos, os elementos
que caracterizam o pensamento algébrico.
Segundo Consalter, tais elementos são, não necessariamente nessa
ordem:
� percepção de regularidades:
observar um padrão e fazer a generalização.
� tentativas de explicitar a estrutura de uma situação problema:
escrever simbolicamente uma situação de um problema (equação).
� percepções de aspectos invariantes em contraste com outros que
variam:
relacionar quantidades (função).
� a presença de processo de generalização:
manipular expressões, e justificar essa ação.
Atividades que levem o aluno a perceberem e explorarem regularidades
e a pensarem genericamente, contribuem significativamente, para a construção do
pensamento e da linguagem algébrica. É preciso fazer com que os alunos se
expressarem matematicamente, na forma oral e escrita. Estabelecer relações entre
grandezas variáveis, é uma boa alternativa para o desenvolvimento do pensamento e da
linguagem algébrica do aluno. Pois quando verdadeiramente acontece a apropriação
dessa linguagem, o aluno consegue expressar relações mais complexas e abstratas.
Porém, as dificuldades que atualmente os alunos e professores sentem
no processo ensino-aprendizagem durante todo o percurso do seu desenvolvimento são
inegáveis. Para alguns alunos é um processo penoso, para outros, em situações
extremas, chega a ser motivo de evasão escolar.
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O que acontece? Por que é assim na maioria das vezes? Por que quase
nunca, ouvimos um aluno falar que gosta de Álgebra?
Como descobrir “a pedra do sapato” do conteúdo da Álgebra?
Conforme afirma Booth,
Uma das maneiras de tentar descobrir o que torna a álgebra difícil é identificar os tipos de erros que os alunos comumente cometem nessa matéria e investigar as razões desses erros (apud COXFORD e SHULTE, 1995, p.23).
Assim, o Erro como estratégia de ensino para trabalhar o conteúdo de
Álgebra, será o foco desse trabalho. Espera-se, como tão bem relata o autor acima,
procurar descobrir, o que torna a Álgebra uma etapa difícil na vida escolar do aluno, e
propõe-se apresentar atividades para que seja realizado em sala de aula um trabalho
mais prazeroso e significativo.
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3 AS ATIVIDADES
Serão desenvolvidas desde o início do período letivo, utilizando um terço
da carga horária semanal (2h/s).
Deverão ser desafiadoras e provocativas.
Deverão estimular o aluno a justificar e provar as suas afirmações.
Deverão ser trabalhadas de forma que estimule a formalização do
conceito de sucessão.
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4 OS ALUNOS
Deverão trabalhar em duplas ou em grupo (pelo menos na maior parte
do tempo), pois assim será mais propícia a interação, para que possam discutir os
processos e os resultados, favorecendo assim a construção do conhecimento.
Deverão participar das aulas promovendo o respeito às opiniões dos
colegas e reflexões sobre as mesmas.
Deverão evidenciar diferentes formas de pensamento.
Deverão promover o respeito e a colaboração entre os colegas para o
desenvolvimento das atividades.
Deverão comparar as diferentes conjecturas e justificações, entre os
colegas dos grupos e entre os grupos.
Deverão registrar tudo que for possível (ainda que desordenadamente
no início das atividades) e ao final de cada atividade, deverão apresentar na forma
escrita as atividades desenvolvidas, explicitando as questões levantadas, o
desenvolvimento da atividade e as conclusões obtidas pelo grupo, (poderá ser na forma
de itens).
Deverão comunicar matematicamente as suas explicações e
argumentações.
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5 O PROFESSOR
O professor tem papel fundamental nesse trabalho. Da sua postura é
que dependerão as interações na sala da aula, a segurança e o encorajando dos alunos
na exposição de suas idéias e consequentemente o desenvolvimento da construção do
conhecimento matemático. Para desenvolver esse trabalho o professor deve:
conhecer as alternativas disponíveis e também se conhecer, pra que
possa trabalhar, com confiança e desembaraço, utilizando uma
estratégia de ensino que “não tem receita definida”;
ter objetivos bem definidos, e conduzir o trabalho para tal, mesmo
não podendo antecipar totalmente as reações dos alunos;
estar ciente que é a turma que vai definir o ritmo de
desenvolvimento;
conduzir o trabalho através de questionamentos, discussão e
reflexão;
estar sempre muito atento para que o diálogo e as discussões não se
desviem do objetivo principal da atividade;
encaminhar as atividades (conversando, levantando questões, e
oportunizando tempo para que eles reflitam) de forma que os alunos
consigam enxergar se estão concluindo de maneira adequada;
estimular o aluno a expressar-se matematicamente e desenvolver
argumentações perante os seus colegas e a turma;
provocar o confronto entre as diferentes conjecturas e justificações;
propiciar apoio aos alunos mais tímidos, a fim de auxiliá-los a
ultrapassar certos bloqueios que os impedem o conseguirem melhor
desenvolvimento;
estimular o diálogo, e desenvolver atividades que façam internalizar,
de maneira bem consistente, a idéia de regularidade;
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dar atenção e valorizar os processos de desenvolvimento e
construção do conhecimento, e não apenas o resultado final.
Durante o desenvolvimento do trabalho é importante que o professor
circule pela sala, converse com os alunos quando estes solicitam algum esclarecimento,
e acompanhem o desenvolvimento das atividades. Porém, esta atividade deve apenas
gerir a discussão de idéias, estimular a reflexão e incentivar a apresentação de
argumentos que justifiquem as conclusões obtidas. Durante esse processo, a partir das
observações dos Erros cometidos, é importante “sugerir” outros caminhos, talvez “mais
interessantes”, e que possibilitem aos alunos prosseguirem por “outras” estratégias,
certamente mais adequadas.
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6 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
Em um primeiro momento, essas atividades, poderão causar um pouco
de estranheza aos alunos, e por isso talvez eles possam apresentar certa dificuldade ou
até resistência. O aluno de EJA, mesmo do Ensino Fundamental, é muito crítico, já tem
um histórico escolar, muitas vezes de pouco ou nenhum sucesso. Na maioria dos casos
já chega à escola com certa resistência a tudo que diz respeito à disciplina de
Matemática.
Para desenvolver o raciocínio algébrico e facilitar a aprendizagem
conteúdo de Álgebra, foram escolhidas atividades que exigem observação de
regularidades a partir de seqüências e padrões.
O foco do trabalho será o desenvolvimento do pensamento lógico-
matemático. Por meio da exploração de idéias de seqüências bem simples, os vários
exemplos/modelos propostos, deverão ser trabalhados de forma que se estimule a
formalização do conceito de sucessão.
Para que os alunos observem, explorem, discutam, descubram,
compreendam e internalizem de maneira bem consistente a idéia de regularidade, eles
realizarão atividades com várias seqüências numéricas e não numéricas. Para cumprir
essas atividades, os alunos (que estarão organizados em duplas ou em grupos) deverão
discutir com os colegas, resolver as tarefas propostas, e logo em seguida, a partir de
debate promovido pelo professor, confrontar as idéias e defenderem suas conclusões.
Nesse momento o professor exerce um papel de moderador perante a turma, e faz com
que cada grupo apresente as conclusões obtidas.
Na discussão dos resultados obtidos, é fundamental que o professor
oportunize momentos para que os alunos façam a reflexão sobre o trabalho
desenvolvido, analisem as conclusões obtidas e escrevam os resultados encontrados.
Ao final dessa etapa do trabalho espera-se que os alunos possam
analisar e generalizar situações reais, desenvolver a compreensão dos diferentes
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significados do conceito de variável, e comparar diferentes formas de representação de
informações.
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7 ATIVIDADES
1ª Atividade – Seqüência de sons1
Objetivos
� Perceber regularidade de maneira auditiva,
� Descobrir e registrar a regularidade dos sons.
Tarefas:
1) Qual som vem na seqüência?
2) Por quê?
3) Pedir para cada 1º aluno de fila inventar uma seqüência de sons, e os colegas de
trás ir repetindo (todas as filas, uma de cada vez).
4) Pedir para os alunos escreverem as seqüências, que pode ser com desenhos, ou com
códigos que representem os sons (isso será determinado por eles).
Considerações sobre a atividade:
É uma atividade elementar, que pode ser trabalhada individualmente. É
importante desenvolver a habilidade auditiva dos alunos.
O ponto alto dessa atividade é lançar para sala e comparar as diferentes
respostas que poderão surgir
1 Atividade inspirada na Monografia: Seqüências, Padrões e Regularidades na Matemática Pré-Escola. Autora: Mara Lúcia Favaretto. Curso de Especialização em Educação Matemática da UEL – 1997.
Bate na carteira, duas palmas, bate pé, bate na carteira, duas palmas, bate o pé, e ....
20
2ª Atividade – Padrão Geométrico e regularidades de cores.2
Objetivos:
� Desenvolver a capacidade da observação;
� Observar e definir a regra geométrica na formação e na pintura do desenho;
� Buscar generalizações em situações de contexto geométrico,
Observe a seguinte figura:
> O que você observa nesse desenho?
> E na sua pintura, o que você observa?
> Qual é regra para forma a figura? E para colorir a figura?
> De acordo com a regra que você descobriu pinte a figura inteira.
Considerações sobre a atividade:
É importante conduzir o desenvolvimento dessa atividade, sempre
perguntando para os alunos quais os padrões que ele vai observando no desenho.
Proporcionar um tempo para que ele possa “olhar” e analisar o desenho
também é importante.
3ª Atividade – Padrão Geométrico e regularidade na natureza
Objetivos:
� Desenvolver a capacidade de observar a realidade e o cotidiano; 2 Atividade retirada da Monografia: Seqüências, Padrões e Regularidades na Matemática Pré-Escola. Autora: Mara Lúcia Favaretto. Curso de Especialização em Educação Matemática da UEL – 1997.
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� Descobrir e descrever, na foram oral e escrita, regularidades matemáticas;
� Procurar padrões e regularidades na natureza;
� Formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em contexto
numérico e geométrico;
� Compreender correspondência em situações concretas.
Essa atividade deverá:
• ser realizada em grupos (de até 4 alunos),
• introduzida como trabalho,
• ser desenvolvida em tempo paralelo às outras atividades desse caderno de
atividades, pois se espera que o desenvolvimento em sala de aula das outras
atividades propicie um desenvolvimento gradual e significativo do raciocínio algébrico
e matemático.
O professor deverá:
• fazer indicações bibliografias para o início da pesquisa, mas também deve “dar
liberdade” para que os alunos desenvolvam a própria pesquisa;
• oportunizar momentos de discussão com cada grupo também é importante. A
discussão dos resultados parciais encontrados durante a pesquisa e o
“direcionamento” do trabalho é um apoio necessário para que os alunos se
organizem, se sintam seguros e elaborem um bom trabalho para a sua apresentação
final.
É interessante que a apresentação final do trabalho seja em momento
próximo ao final do desenvolvimento da última atividade desse caderno (seqüência de
Fibonacci), pois certamente o desenvolvimento dessa atividade, caminhará para esse
assunto.
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Atividade:
Recebi um e-mail (de autor desconhecido) muito interessante sobre a
perfeição da natureza. Um dos slides apresentava a figura a seguir acompanhada das
seguintes informações:
� A melancia tem número par de franjas.
� A laranja possui número par de gomos.
� A espiga de milho tem número par de fileiras de grãos.
� O cacho de bananas tem, na última fila, número par de bananas, e
cada fila de bananas tem uma a menos que a anterior. Desse modo,
se uma fileira tem número par, a seguinte terá número ímpar.
Fig. 13
Tarefas:
1) Pesquisar e descobrir se essas informações apresentadas pelo e-mail são
verdadeiras. Apresentar as pesquisas, relatando o desenvolvimento do trabalho, e
justificando a conclusões obtidas.
2) Procurar descobrir outras frutas, objetos da natureza, fenômenos naturais, e fatos e
acontecimentos do dia-a-dia que apresentem regularidades matemáticas. Apresentar
3 Figura retirada de um e-mail recebido. Autor: desconhecido.
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pelo menos cinco itens diferentes, e todas as observações numéricas obtidas pelo
grupo deverão ser apresentadas na forma escrita.
Considerações sobre a atividade:
Com essa atividade o aluno deverá:
� Compreender que existe matemática nas “coisas” da natureza;
� Desenvolver a capacidade de pesquisar;
� Perceber que a matemática que existe na natureza pode ter uma
regra ou um padrão;
� Desenvolver a escrita matemática;
� Se expressar matematicamente na forma oral e escrita.
4ª Atividade – Seqüências
Objetivos
� Desenvolver a capacidade de observar e descobrir padrões.
� A partir de seqüências de formas e números, expressar generalidades na forma oral
e escrita.
� A partir da “repetição” das seqüências, relacionar o elemento e sua posição na
seqüência, (correspondência)
a) Seqüência de padrões
• Observe a seqüência a seguir, e responda as seguintes questões propostas:
M W M W M W M W
• Que elementos formam essa seqüência?
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• A seqüência tem uma regra, descubra qual é e continue até obter uma seqüência de
12 elementos.
• Qual é o 9º elemento dessa seqüência?
• Qual seria o 17º elemento dessa seqüência?
• Sem escrever a seqüência, escreva qual seria o seu 45º elemento.
• Qual seria o 60º? Justifique sua resposta?
b) Seqüência de desenhos
• Observe a seqüência a seguir e escreva a sua regra.
• Qual é o 9º elemento da seqüência acima, justifique.
• Escreva o 19º e o 22º elementos dessa seqüência e justifique sua resposta.
• De acordo com as conclusões obtidas nas duas questões anteriores, escreva sem
desenhar, o 30º elemento dessa seqüência.
c) Seqüência de números
• Observe a seguinte seqüência, e responda as questões a seguir:
3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12 ...
• Essa seqüência numérica tem uma regra? Qual?
• Qual o 17º elemento dessa seqüência?
• Considerando a regra encontrada na primeira questão, sem escrever a seqüência,
descubra e escreva o 20º e o 30º elementos dessa seqüência.
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Considerações sobre a atividade:
Para levar o aluno a descobrir a regularidade, o professor deverá
levantar questões, apresentar e discutir as respostas dos alunos. A conclusão deve ser
apresentada pelos alunos, e nunca pelo professor, já que o ERRO como estratégia de
ensino, procura levar o aluno a descobrir. Cabe o professor direcionar a atividade com
essa intenção.
5ª Atividade – Completar tabela
Objetivos:
� Descobrir a regra/regularidade da seqüência numérica;
� Encontrar o valor desconhecido;
� Interpretar a tabelas e sua regra de formação;
� Descobrir as relações entre variáveis;
� Explicitar a lei de formação em linguagem corrente e em linguagem matemática (oral
e escrita).
a) Observe a seqüência numérica apresentada na tabela a seguir, e escreva
qual é a regra dessa seqüência, justifique sua resposta.
200 100 20
185 85 ☼
Tabela 1
• De acordo com a regra encontrada, escreva o valor de ☼?
b) Na tabela a seguir observe as seqüências numéricas e encontre o valor de
M e N, e responda as questões abaixo.
144 72 36 18 N
24 12 M 3 1,5
Tabela 2
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• Qual é o valor de M? Por quê?
• Qual é o valor de N? Por quê?
Considerações sobre essa atividade:
Deverá ser realizada em dupla. O professor deverá deixar o aluno
pensar, e tentar cumprir as mesmas etapas da atividade anterior. Para que eles
encontrem a regularidade, o professor poderá levantar questões, e discutir as respostas
dos alunos. A tabela da atividade b é diferente da tabela da atividade a? O professor
deve lançar essa questão para a turma e pedir que eles justifiquem essa diferença. A
conclusão deve ser apresentada pelos alunos, o professor deve direcionar as discussões
de modo que os alunos concluam de maneira correta.
6ª Atividade – Varal de dona Lúcia4
Objetivos:
� Desenvolver por meio da construção de tabelas, o raciocínio e a generalização;
� Procurar padrões e regularidades;
� Formular generalizações;
� Analisar as relações numéricas da situação apresentada;
� Apresentar mais de uma possibilidade de resposta.
Dona Lúcia é lavadeira e para prender uma camisa no varal, usa dois
prendedores de roupa. Quando pendura duas camisas no varal, usa 3
prendedores. Se pendura três camisas, usa 4 prendedores, e assim
sucessivamente. A partir da próxima segunda feira, ela lavará as camisas dos
jogadores de futebol de sua cidade, dos dois times.
4 Atividade inspirada na Monografia: Um outro caminho para se trabalhar a Álgebra no 1º Grau. Autora: Olívia Aparecida Soares Consalter. Curso de Especialização em Educação Matemática da UEL – 1994.
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Fig. 15
De acordo com as informações da situação acima complete a tabela logo a seguir e
responda as questões abaixo:
Número de
camisas
Número de prendedores
1 2 2 3 3 4 . .
9 10 . .
15 . .
20 . .
40 . .
n Tabela 3
• Se Dona Lúcia for estender apenas uma camisa, quantos prendedores deverá usar?
• Se for estender 2 camisas, quantos prendedores utilizará?
5 DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas. 4ª ed. São Paulo: Ática, 1994.
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• Se for estender 3 camisas, quantos prendedores utilizará?
• E se for estender 4 camisas, quantos prendedores utilizará?
• E se for estender 5 camisas, quantos prendedores utilizará?
• Você consegue perceber alguma regularidade matemática nessa situação? Qual?
• O que acontece com o número de prendedores cada vez em se que aumenta uma
camisa? Aumenta ou diminui? Em quanto?
• Na casa de dona Lúcia existem para o uso diário 150 prendedores de roupa. Ela
deverá comprar mais prendedores para estender no varal todas as 44 camisas? Por
quê?
• Com os 150 prendedores, até quantas camisas dona Lúcia poderá estender de uma
só vez?
• Essa situação pode ser representada por uma regra matemática. Escreva essa regra.
Dica: substitua na tabela o número de camisas pela letra n, e de acordo com o
desenvolvimento da tabela descubra genericamente o número de prendedores.
Considerações sobre a atividade:
Deverá ser desenvolvida em grupos de no máximo 3 alunos. O
professor deverá conduzir os questionamentos de forma a levar os alunos a
encontrarem a generalização.
Como a quantidade de varal poderá ser mais de uma (questão não
apresentada no enunciado) várias respostas corretas poderão surgir. Cada uma dessas
respostas deve ser lançada para toda a turma. O professor poderá sugerir que se
delimite a quantidade de varais, ou não. Ou ainda apresentar as respostas nos dois
casos.
7ª Atividade - Distribuição das balas
Objetivos:
� Buscar a regularidade da situação apresentada;
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� Analisar as relações numéricas;
� Encontrar a relação numérica da situação apresentada;
� Explicitar as relações numéricas em linguagem matemática, na forma escrita e oral;
� Construir tabelas de valores de acordo com a regra da situação apresentada.
Dona Rosa é uma senhorinha que adora ir ao parque todas as semanas para
brincar com as crianças que lá vão, e assim tentar matar um pouco das
saudades de seus netos, que atualmente estão morando com os pais em
outro país. Para a próxima semana, ela decidiu então levar pra crianças do
parque, um grande pacote de balas, de 480 unidades, que pretende dividir em
partes iguais, o número total de balas, para as crianças que lá estiverem.
• Se imaginarmos que apenas duas crianças estarão no parque, quantas balas
receberão cada uma delas?
• Organize uma tabela, e descubra quantas balas receberá cada criança, se houverem
3, 4, 5, 10, 15 ou 16 crianças.
• Observe a tabela, analise, pense e encontre a regra matemática que representa a
quantidade de balas que cada criança receberá.
• E se houver no parque muitas crianças (n crianças)?
Considerações sobre a atividade.
Deverá ser realizada em grupos de no máximo três alunos. O professor
deverá questionar, sem nunca apresentar respostas. Lançar para toda a turma as
questões apresentadas pelos colegas faz com que eles pensem e analisem outras
possibilidades de respostas. O professor também pode pedir para um dos alunos vir até
o quadro e construir a tabela com a ajuda com os colegas.
Não esquecer: a tentativa e o erro são processos indispensáveis à aprendizagem.
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8ª Atividade – As mesas da festa
Objetivos:
� Representar geometricamente (com desenho) a situação apresentada;
� Organizar uma tabela com o número de mesas e o número de lugares;
� Descobrir a regra da situação apresentada;
� Expressar a situação matematicamente (nas formas oral e escrita).
No final da semana passada foi o casamento de um amigo. Junto com minha
família, que é formada por 3 pessoas, levei mais 5 amigos. Na festa, as mesas
eram quadradas e tinham lugares para quatro pessoas. Para que ficássemos
sentados todos juntos o garçom juntou as mesas.
Responda:
a) Caso o garçom colocasse 2 mesas juntas, haveria lugar suficiente para que eu,
minha família e meus amigos ficássemos todos juntos? Faça o desenho, e justifique
sua resposta.
b) Quantas mesas foram colocadas juntas linearmente, para que eu, minha família e
meus amigos ficássemos todos juntos? Faça o desenho e justifique sua resposta.
c) Quantos lugares teriam se o garçom colocasse junto 4 mesas?
d) Construa uma tabela e complete escrevendo quantos lugares existirão para 3, 4, 5, 6
e 10 mesas. Explique como encontrou esses valores.
e) Suponha ser você um garçom que precise juntar mesas nesta seqüência para
acomodar 20 pessoas, quantas mesas seriam necessárias?
f) Caso houvesse 100 mesas juntas quantos seriam os lugares?
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g) Observe a tabela organizada por você, e escreva matematicamente a quantidade de
lugares para qualquer número n de mesas enfileiradas seqüencialmente.
Comentários sobre a atividade:
É importante pedir aos alunos que faça o desenho das mesas para
completarem a tabela. Essa informação na forma visual facilita a generalização. Sugerir
que o número de lugares deve ser representado pela letra L, e que o número de mesas
deve ser representado pela letra m, também é interessante, pois é uma forma de
trabalhar a idéia de generalização, para se concluir que L = 2m + 2
9ª Atividade – Seqüências de bolinhas
Objetivos:
� Observar e buscar regularidades;
� Desenvolver a linguagem e o pensamento algébrico;
� Explorar e discutir diferentes conjecturas, descobertas e argumentações;
� Descobrir relações numéricas e entre variáveis.
No desenho a seguir, existe uma relação matemática entre a forma como a
seqüência de bolinhas é construída, e a quantidade de bolinhas em
determinada posição e a sua posição na seqüência.
(1) (2) (3)
• Desenhe as 3 próximas figuras dessa seqüência.
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• Qual é a regra usada para formar essa seqüência? Escreva matematicamente essa
regra.
• De acordo com a regra que você descobriu, complete a tabela seguinte:
Posição Número de
pontos
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
.
.
.
10ª
Tabela 4
• Como seria a regra matemática para a 100ª posição?
• E para uma posição qualquer?
Dica: chame essa posição de n
Comentários sobre a atividade:
Deverá ser realizada em duplas. Para descobrir a lei (generalização) de
formação o professor, é preciso que o professor faça questionamentos de modo que
direcione o raciocínio dos alunos. Escrever a tabela no quadro, perguntar para os alunos
como fica, e dar um tempo para que eles discutam, é fundamental. Cada resposta dada
pelos alunos deve ser apresentada para toda a sala para que analisem e apresentem as
próprias conclusões.
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10ª Atividade - Reprodução dos coelhos
Objetivos:
� Interpretar matematicamente uma situação apresentada;
� Descobrir a relação entre o número de casais de coelho de cada mês em relação ao
mês anterior;
� Buscar generalização;
� Expressar na forma oral e escrita a generalização da situação apresentada.
Para iniciar uma cultura de coelhos, o senhor Raul comprou um casal desses
bichos. Os coelhos são animais que se reproduzem de forma muito rápida, e a
cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal atinge a maturidade e
dá origem a outros coelhos.
Supondo que:
� cada casal de coelhos fértil gera um casal de filhos a cada mês;
� nenhum dos coelhos morra;
� o senhor Raul fique com todos os coelhos, sem vender, nem doar, ou
sem perder nenhum.
Quantos casais de coelhos senhor Raul terá em seis meses?
Veja a figura:
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Fig. 26
• Escreva na forma de seqüência o número de casais obtidos, no 2º mês, no 3º mês,
no 4º mês e no 5º mês. (Se preferir anote esses valores em um tabela).
• Observe esses valores numéricos, analise e procure encontrar a relação matemática
existente entre eles.
• Agora que você já descobriu a regra matemática dessa seqüência, descubra quantos
coelhos o senhor Raul terá em 10 meses.
• E em um ano, quantos coelhos ele terá?
• Como você escreveria matematicamente essa situação?
• No primeiro item dessa atividade você escreveu uma seqüência numérica que é
famosa. Essa seqüência é a seqüência de Fibonacci. Agora você deverá pesquisar
quem foi Fibonacci, descobrir porque a seqüência descoberta por ele foi muito
importante para o campo das ciências, e apresentar para turma as coisas
interessantes que você descobriu.
6 http://www.euseiescrever.com.br/coluna.php?b=199020 – 05 de fevereiro de 2008 às 23:50.
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Comentários sobre a atividade:
No desenvolvimento dessa atividade o professor deve direcionar os
questionamentos de forma que leve os alunos a perceberem que o número de casais
adultos em cada mês.
Construir uma tabela no quadro e pedir um dos alunos virem no quadro para completá-
la com a ajuda dos alunos também é interessante, pois facilita a visualização do número
de casais de cada mês. Na apresentação do trabalho sobre Fibonacci, o professor
poderá retomar os resultados e descobertas encontradas na realização da TAREFA 3
desse Caderno.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CONSALTER, Olívia Aparecida Soares. Um outro caminho para se trabalhar a Álgebra no 1º Grau. Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Educação Matemática da UEL. Londrina,1994.
DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas. 4. ed. São Paulo: Ática, 1994.
http://www.euseiescrever.com.br/coluna.php?b=199020. Acesso em 05 de fevereiro de 2008, 23h 50 min.
PONTE, J. P., BOAVIDA, A., GRAÇA, M., & ABRANTES, P. Didáctica da Matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.
OBRAS CONSULTADAS
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BANDARRA, Laura. Tarefas de investigação em álgebra. 2005. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/temporario/SEM-LB/Laura-tarefas1.doc. Acesso em 25 nov. 2007, 16h 35 min.
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BURIASCO, Regina L. C. de. Algumas considerações sobre avaliação educacional. Estudos em avaliação educacional. São Paulo, n. 22, jul. a dez. 2000.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996.
37
DANYLUK, Ocsana; GOMES, Carmem, MOREIRA, Magda I.L. Educação de jovens e de adultos: investigando os atos de leitura e de escrita da linguagem matemática. 2005.
FAVARETO, Mara Lúcia. Seqüências padrões e regularidades na Matemática pré-escolar. Monografia apresentada no curso de Especialização em Educação Matemática. UEL, Londrina, 1997.
FELTES, Rejane Zeferino. Análise dos erros em potenciação e radiciação: um estudo com alunos de Ensino Fundamental e Médio. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) - Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, 2007.
FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. Zetetiké, Campinas, ano três, n. 4. 1995.
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GÓMEZ, Ulises M. Herramientas para la educación de adultos: comunicación educativa y aprendizaje cooperativo. 2004. Disponível em: http://www.serprofessoruniversitario.pro.br/ler.asp?TEXTO=679. Acesso em 10 jan. 2004, 12h17min.
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38
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