UNIVERSIDAD DE SALAMANCA FACULTAD DE …diarium.usal.es/termodinamica/files/2015/11/tesinaCarla.pdf · Me gustar a agradecer a todos los profesores del Area de F sica Aplicada su

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

FACULTAD DE CIENCIAS

Departamento de Fısica Aplicada

Optimizacion Termodinamica: criterios, cotas y

eficiencias de maquinas termicas de tipo Carnot

Carla de Tomas Andres

Junio 2011

3

D. Jose Miguel Mateos Roco, Profesor Titular del Departamen-

to de Fısica Aplicada de la Universidad de Salamanca, autoriza la

presentacion del presente trabajo con tıtulo:

Optimizacion Termodinamica: criterios, cotas y eficiencias de

maquinas termicas de tipo Carnot

realizado bajo su tutela por Carla de Tomas Andres, con DNI 70887159D.

Fdo. Jose Miguel Mateos Roco Fdo. Carla de Tomas Andres

En Salamanca, a 14 de Junio de 2011

Me gustarıa agradecer a todos los profesores del Area de Fısica

Aplicada su calida acogida y su confianza depositada en mı, quiero

expresar mi agradecimiento especialmente a Jose Miguel Mateos

Roco, quien ha hecho posible la realizacion de este trabajo con su

dedicacion, direccion y apoyo. Tambien quiero dar las gracias a

Antonio Calvo y a Antonio Gonzalez por su inestimable ayuda a lo

largo de este ano.

A mi familia y en especial a mis abuelos Manuel y Rafaela

Indice general

Introduccion 9

1. Maquinas termicas tipo Carnot: Modelizacion 13

1.1. Modelo Endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1. Motor tipo Carnot endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2. Frigorıfico tipo Carnot endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2. Modelo Irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.1. Motor tipo Carnot irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2. Frigorıfico tipo Carnot irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Criterios de optimizacion 31

2.1. El criterio de la funcion χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. El criterio de la funcion Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Aplicacion a motores 35

3.1. Motor tipo Carnot endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. Aplicacion del criterio de optimizacion de la funcion χ . . . . . . . . . 36

3.1.2. Aplicacion del criterio de optimizacion de la funcion Ω . . . . . . . . . 37

3.2. Motor tipo Carnot Irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



3.3. Analisis de los resultados obtenidos bajo ambos

criterios de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1. Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.3. Potencia perdida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7

8 INDICE GENERAL

3.4. Cotas para el rendimiento de un motor tipo Carnot . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1. Cotas para el rendimiento a maxima funcion χ . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2. Cotas para el rendimiento a maxima funcion Ω . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Aplicacion a frigorıficos 53

4.1. Frigorıfico tipo Carnot endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



4.2. Frigorıfico tipo Carnot irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56




criterios de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.2. Potencia de refrigeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.3. Potencia extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Cotas para la eficiencia de un frigorıfico tipo

Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.1. Cotas para la eficiencia a maxima funcion χ . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.2. Cotas de la eficiencia optimizada segun Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5. Conclusiones 69

Bibliografıa 72

Introduccion

El estudio de las maquinas termicas reales, cuyos ciclos se completan en un tiempo finito,

requiere la localizacion y el analisis de las irreversibilidades inherentes a los procesos reales

que configuran tales ciclos. En este contexto la publicacion en el ano 1975 por F. L. Curzon

y B. Ahlborn del trabajo ((Efficiency of Carnot Engine at maximum power output))1 [1] ha

tenido una importancia crucial en el desarrollo de modelos fısicos de convertidores energeticos

reales.

La publicacion de dicho trabajo dio lugar al nacimiento de una nueva rama de la Ter-

modinamica conocida con el nombre de Termodinamica de Tiempo Finito (TTF) [2, 3] que

fundamentada en la hipotesis de endorreversiblidad, tiene como finalidad extender la apli-

cacion de la Termodinamica Clasica del Equilibrio (TCE) para poder estudiar procesos mas

realistas en los cuales la duracion temporal de los mismos sea finita. Por ello algunos autores

se refieren a la TTF como Termodinamica Endorreversible [4].

El metodo de trabajo de la TTF se fundamenta en la aplicacion sucesiva de los tres puntos

siguientes [5]:

- Modelizacion de las ligaduras espacio-temporales asociadas a las diferentes causas de

irreversiblidad mediante parametros macroscopicos.

- Optimizacion de una funcion adecuada con respecto a los parametros caracterısticos del

modelo.

- Calculo de los estados termodinamicos del dispositivo que sean mas adecuados respecto

de la optimizacion planteada.

En la TTF se tiene, en principio, libertad para elegir la funcion que se va a optimizar

(denominada figura de merito en los textos anglosajones), este hecho ha dado lugar a la

1((Eficiencia de un motor de Carnot a maxima potencia de salida.))

9

10 CAPITULO 0. INTRODUCCION

proposicion de una gran variedad de criterios de optimizacion, no solo para motores sino

tambien para frigorıficos, tanto de tipo termodinamico como economico o de sostenibilidad

[6]. Una gran mayorıa de estos criterios son aplicables unicamente a un determinado tipo

de maquina termica, de manera que carecen de generalidad. Esta situacion queda patente

desde el inicio del desarrollo de la TTF cuando, siguiendo las ideas de Curzon y Ahlborn

[1], la aplicacion del criterio de maxima potencia de enfriamiento a un modelo de frigorıfico

endorreversible no permitıa obtener una expresion para la eficiencia analoga a la de Curzon y

Ahlborn, es decir, que dependiera solamente de las temperaturas Th y Tc de los focos termicos

externos.

Este problema condujo a la proposicion de diferentes criterios para frigorıficos entre los

cuales destacan los introducidos por Yang y Chen [7], que optimizan el producto de la potencia

de refrigeracion por la eficiencia del frigorıfico, y por Velasco et al. [8] que consideran la

eficiencia del frigorıfico por unidad de tiempo como figura de merito. En ambos trabajos se

obtiene una expresion para la eficiencia analoga a la de Curzon y Ahlborn para motores, que

presenta un mejor acuerdo con las eficiencias correspondientes a frigorıficos reales que la de

Carnot. Esta expresion para la eficiencia en el primero de los trabajos se obtuvo directamente

imponiendo la condicion de maxima figura de merito, y en el segundo fue obtenida como cota

superior a la eficiencia en condiciones de maxima eficiencia por unidad de tiempo.

Con estos resultados el problema de la obtencion de una cota realista para la eficiencia de

frigorıficos endorreversibles quedaba resuelto, pero todavıa quedaba por establecer un criterio

unificado que fuera aplicable a cualquier tipo de maquina termica y que diera lugar a cotas

para la eficiencia de la maquina proximas a las observadas para maquinas termicas reales.

Este problema quedo en gran medida resuelto en 2001 a partir del trabajo de Calvo

Hernandez et al. [9] con la proposicion de un criterio unificado aplicable a cualquier tipo de

convertidor energetico. En ese trabajo se proponıa como figura de merito una funcion, la fun-

cion Ω, que expresa un compromiso entre la energıa util aprovechada y la energıa util perdida

cuando un convertidor arbitrario realiza su trabajo especıfico. Una caracterıstica importante

de este criterio es que proporciona valores para la eficiencia del convertidor comprendidos

entre los valores de maxima eficiencia y maxima potencia. Este regimen de funcionamiento

proporciona valores de la eficiencia en muy buen acuerdo con los valores observados en diferen-

tes tipos de convertidores energeticos, que van desde las maquinas termicas tradicionales [12]

hasta los motores moleculares [13, 14].

A pesar de la importancia de estos resultados, la hipotesis de endorreversiblidad, en la

que se fundamentan todos estos trabajos, ha sido objeto de numerosas crıticas. Entre ellas

amd

Resaltado

11

destaca que es inconsistente con el tamano finito de los sistemas termodinamicos reales que

intercambian energıa en forma de calor con el fluido de trabajo (intercambiadores de calor), a

traves de la existencia de una diferencia de temperatura finita entre ambos sistemas [15]. En

ese sentido la proposicion de otras modelizaciones que permitan la evaluacion de las irrever-

sibilidades sin la necesaria consideracion de la hipotesis de endorreversibilidad, y susceptibles

de ser analizadas bajo un esquema de trabajo analogo al de la TTF, se hace especialmente

interesante.

Recientemente Esposito et al. [16] han propuesto un modelo para un motor tipo Carnot, en

el que la presencia de irreversibilidades en los procesos de intercambio de calor entre el sistema

de trabajo y las fuentes es evaluada sin tener en cuenta la hipotesis de endorreversiblidad.

Estos autores establecen una duracion finita para los procesos de intercambio de calor con los

focos termicos, y asumen que la generacion de entropıa en cada proceso de intercambio de ca-

lor es inversamente proporcional al tiempo de duracion del proceso en consideracion. De este

modo, los parametros caracterısticos del modelo son los tiempos asociados a los intercambios

de energıa en forma de calor con los focos. La optimizacion de la potencia producida por un

motor modelizado de esta forma da lugar a un rendimiento que, bajo la imposicion de ciertas

condiciones de simetrıa, coincide con el rendimiento de Curzon y Ahlborn.

Por todo ello, el objetivo del presente trabajo es doble. Por una parte, la proposicion y

utilizacion de criterios de optimizacion universales que puedan ser aplicados a cualquier tipo

de convertidor energetico, y por otra, siguiendo las ideas de Esposito [16], llevar a cabo la

extension de su modelo para evaluar las irreversibilidades en frigorıficos.

De este modo, proponemos un nuevo criterio de optimizacion unificado, valido tanto para

motores como para frigorıficos, a traves de la extension al caso de motores del criterio ya

introducido por Yang y Chen [7], al que denominaremos criterio de la funcion χ. Dicho criterio

permite presentar en un marco unificado los resultados de Curzon y Ahlborn para motores,

junto a los obtenidos por Yang y Chen [7] y por Velasco et al. [8] para frigorıficos, asumiendo

en todos los casos la hipotesis de endorreversiblidad. Ademas, la extension del modelo de

Esposito et al. [16] al caso de frigorıficos, unida a la validez del criterio χ para cualquier

tipo de maquina termica, permite obtener regımenes de funcionamiento optimos para estos

modelos de maquinas termicas tipo Carnot.

La comparacion de los regımenes de funcionamiento determinados con el criterio de la

funcion χ por una parte, con los observados tanto de plantas de potencia como de refrige-

amd

Resaltado

amd

Resaltado

12 CAPITULO 0. INTRODUCCION

radores reales y por otra, con los resultados obtenidos bajo otros criterios es especialmente

interesante. En ese sentido en el presente trabajo se lleva a cabo un estudio similar con el

criterio Ω, que al ser un criterio aplicable tambien a todo tipo de maquinas termicas permite

la comparacion de los resultados obtenidos bajo ambos criterios.

Con estos objetivos el trabajo queda estructurado de la siguiente forma:

En el Capıtulo 1 se presentan los modelos utilizados para maquinas termicas tipo Carnot:

el modelo endorreversible propuesto por Curzon y Ahlborn y el modelo irreversible propuesto

por Esposito, en ambos casos para motores tipo Carnot, y se lleva a cabo la extension de

ambos modelos para el caso de frigorıficos.

En el Capıtulo 2 se definen los criterios de optimizacion que van a ser aplicados a todos

los modelos anteriores: el criterio de la funcion χ y el criterio de la funcion Ω.

En el Capıtulo 3 se aplican ambos criterios de optimizacion para motores, y se comparan

los resultados obtenidos bajo estos criterios de optimizacion con resultados correspondientes

a plantas de potencias reales. Ademas se presentan cotas para el rendimiento de los motores

obtenidas tanto en condiciones de maxima funcion χ como de maxima funcion Ω.

En el Capıtulo 4 se presentan resultados analogos para frigorıficos.

Por ultimo, en el Capıtulo 5 se finaliza el trabajo presentado con un resumen de las

principales conclusiones del mismo.

Capıtulo 1

Maquinas termicas tipo Carnot:

Modelizacion

En su celebre trabajo de 1824, ((Reflexions sur la puissance motrice du feu))1 [17], Sadi

Carnot presento los resultados del primer estudio sistematico de los procesos fısicos que go-

biernan las maquinas de vapor. Carnot demostro que ningun ciclo motor que funcione entre

dos focos termicos de temperaturas Th y Tc , con Th > Tc , puede tener un rendimiento η

superior al rendimiento ηC correspondiente a un ciclo motor de Carnot que funcione entre los

mismos focos. Dicho rendimiento ηC se conoce como rendimiento de Carnot y viene dado por

ηC = 1− (Tc/Th) ≡ 1− τ , siendo τ ≡ Tc/Th.

Este resultado se puede extender a cualquier maquina termica que funcione entre dos focos

termicos de temperaturas Th y Tc , de modo que esta necesariamente ha de tener una eficien-

cia menor que la conocida como eficiencia de Carnot εC , correspondiente a una maquina de

Carnot que funcionase entre los mismos focos. La introduccion de la eficiencia de Carnot tuvo

una importancia crucial en el establecimiento de la Termodinamica Clasica del Equilibrio,

que proporciona una descripcion completa de los procesos reversibles, esto es, procesos cua-

siestaticos que tienen una duracion infinita. Este hecho, por el contrario, determino que las

implicaciones practicas del resultado de Carnot fueran mucho mas limitadas, pues para poder

llevar a cabo procesos reversibles los ciclos han de tener una duracion infinita, y por tanto la

potencia producida en este tipo de ciclos es nula. Por ello el establecimiento de cotas para la

eficiencia correspondientes a maquinas termicas reales sigue siendo en la actualidad objeto de

estudio.

1((Reflexiones sobre la fuerza motriz del fuego))

13

14 CAPITULO 1. MAQUINAS TERMICAS TIPO CARNOT: MODELIZACION

Th

Tc

Qh

Qc

W

T > h T cTh

Tc

Qh

Qc

W

Motor Frigorífico

Figura 1.1: Maquinas termicas tipo Carnot.

Siguiendo el esquema de Carnot muchos de estos estudios se han centrado en la modeliza-

cion de maquinas termicas que trabajando entre dos focos termicos realicen ciclos de duracion

finita. En lo sucesivo nos referiremos a estas maquinas con el nombre de maquinas termicas

tipo Carnot reales. En la figura 1.1 se representa el esquema de funcionamiento de un motor

tipo Carnot y de un frigorıfico tipo Carnot. Estas modelizaciones deben incorporar las inevi-

tables restricciones que se tienen en el mundo real, como son la irreversibilidad de los procesos

reales y la duracion finita de los mismos. Uno de los inconvenientes que tiene la presencia de

irreversibilidades en ciclos en los que un sistema intercambia calor con varios focos termicos

proviene del Teorema de Clausius [18, 19], que establece:

r∑i=1

Qi

Ti

≤ 0 (1.1)

donde Q1, . . . , Qr son las cantidades de calor que el sistema intercambia con los focos termicos

de temperaturas T1, . . . , Tr , satisfaciendose la igualdad cuando el ciclo es reversible.

De aquı que para una maquina termica de Carnot se ha de satisfacer:

Qh

Th

+Qc

Tc

= 0 (1.2)

1.1. MODELO ENDORREVERSIBLE 15

mientras que para una maquina termica real tipo Carnot se satisface:

Qh

Th

+Qc

Tc

< 0 (1.3)

lo cual determina que para las maquinas termicas tipo Carnot reales no se pueda establecer

una relacion entre las magnitudes Qh/Th y Qc/Tc en terminos de igualdad. Este hecho supone

un inconveniente importante a la hora de establecer cotas tipo Carnot para los rendimientos

reales, al no existir una relacion matematica que ligue directamente los calores Qh y Qc in-

tercambiados con los focos termicos.

En este trabajo se presentan dos modelos diferentes de maquinas termicas tipo Carnot que

hacen posible la obtencion de expresiones para las eficiencias de maquinas termicas reales.

Ambos modelos introducen hipotesis que permiten escribir el Teorema de Clausius en forma

de igualdad. En el primero de ellos esto se hace a traves de la hipotesis de endorreversibilidad,

mientras que en el segundo modelo se realiza a partir de la evaluacion de la generacion de

entropıa como consecuencia de las irreversibilidades.

Al primero de ellos, en el que ademas asumiremos que los intercambios de calor con los

focos termicos tienen lugar segun leyes de conduccion de calor lineales en la temperatura, nos

referiremos como Modelo Endorreversible con leyes de conduccion lineales. Por otra parte al

segundo de ellos, en el que ademas se asume que el crecimiento de la entropıa es inversamente

proporcional a los tiempos de duracion de los procesos de intercambio de calor con los focos

termicos, nos referiremos como Modelo Irreversible.

1.1. Modelo Endorreversible

Este modelo fue introducido por Curzon y Ahlborn [1] haciendo uso de una ley de trans-

ferencia lineal para los intercambios de energıa en forma de calor. Sin embargo, para poder

emplear el resultado del Teorema de Clausius en forma de igualdad, acotaron los procesos

irreversibles a los acoplamientos del sistema con los focos termicos externos. Para ello se in-

troducen dos focos termicos internos, uno a temperatura T ′h y el otro a temperatura T ′c , que

intercambian energıa en forma de calor con los focos termicos externos a temperaturas Th y

Tc respectivamente, y que ademas actuan como focos termicos de una maquina reversible de

Carnot que funciona entre ambos. Si los calores absorbidos/cedidos por estos focos termicos


Th

Tc

Th

Tc

Qh

Qh

Qc

Qc

W

(T` > h T > h T >c T´)c

Th

Tc

Th

Tc

Qh

Qh

Qc

Qc

W

(T > h T´ > h T´ >c T )c

Motor tipo Carnot Frigorífico tipo Carnot

Ciclos internamente reversibles

Figura 1.2: Maquinas termicas tipo Carnot endorreversibles con leyes de conduccion lineales.

internos de los focos termicos externos, son a su vez cedidos/absorbidos ıntegramente a/por

la maquina reversible de Carnot, se consigue que la maquina termica realice internamente un

proceso reversible. En la figura 1.2 se presentan los esquemas de un motor y un frigorıfico

tipo Carnot endorreversibles.

La aplicacion del Teorema de Clausius asumiendo la hipotesis de endorreversibilidad hace

que se verifique la igualdadQh

T ′h+Qc

T ′c= 0 (1.4)

1.1.1. Motor tipo Carnot endorreversible

En el modelo del motor endorreversible las temperaturas de los focos termicos verifican

Th > T ′h > T ′c > Tc , y los intercambios de energıa en forma de calor obedecen a leyes de

conduccion lineales, de manera que se tiene la siguiente expresion

Qh = σh(Th − T ′h)t (1.5)

para el calor intercambiado entre los focos termicos a temperaturas Th y T ′h ; y la consiguiente

expresion

−Qc = σc(T′c − Tc)t (1.6)


para el calor intercambiado entre los focos termicos a temperaturas T ′c y Tc .

Tanto en las ecuaciones (1.5) y (1.6) como en el resto del presente trabajo, las energıas

intercambiadas se evaluan desde el punto de vista del sistema de trabajo y se considera el

criterio que establece las energıas absorbidas por el sistema como positivas y las cedidas como

negativas.

En las ecuaciones (1.5) y (1.6), σh y σc son respectivamente las conductancias asociadas

a los procesos de intercambio de calor con los focos externos caliente y frıo, mientras que t

representa el tiempo de duracion del ciclo.

De este modo, fijadas las temperaturas de los focos termicos externosTh y Tc ,, el motor

endorreversible queda definido por los valores de las temperaturas de los focos internos T ′h y

T ′c , las conductancias σh y σc , y la duracion del ciclo t.

Si introducimos los siguientes parametros

τ ≡ Tc

Th

(1.7)

aMh ≡

Th

T ′h≥ 1 (1.8)

aMc ≡

T ′cTc

≥ 1 (1.9)

entonces las ecuaciones (1.5) y (1.6) pueden expresarse:

Qh = σhTh

(1− 1

aMh

)t (1.10)

−Qc = σcTc

(aM

c − 1)t (1.11)

El motor de Carnot se obtendrıa en este modelo como comportamiento lımite cuando

aMh → 1.


Como el ciclo que tiene lugar entre los focos a temperaturas T ′h y T ′c es reversible, a partir

de la ecuacion(1.4) se verifica:

σhTh

(1− 1

aMh

)t

T ′h+σcTc

(1− aM

c

)t

T ′c= 0 ; (1.12)

de donde se obtiene:

aMc =

1

1− σr (aMh − 1)

(1.13)

siendo σr la relacion entre las conductancias σh y σc:

σr ≡σh

σc

A partir de (1.10) el calor absorbido del foco caliente por unidad de tiempo se expresa:

Qh ≡| Qh |t

= σhTh

(1− 1

aMh

)(1.14)

y sustituyendo (1.13) en (1.11) el calor cedido al foco frıo por unidad de tiempo se expresa

de la forma:

−Qc ≡ −Qc

t= σhTh

[τ(aM

h − 1)

1− σr(aMh − 1)

](1.15)

La aplicacion del Primer Principio de la Termodinamica al ciclo considerado nos permite

obtener el trabajo producido por el motor a partir de los calores absorbido Qh y cedido Qc

por el mismo:

−W = Qh +Qc (1.16)

luego la potencia del motor sera:

−Wt≡ −W = Qh + Qc (1.17)

La sustitucion de (1.14) y (1.15) en (1.17) permite obtener la potencia producida por

el motor en terminos de las temperaturas y las conductancias a traves de los parametros

descritos:

−W = σhTh

(aMh − 1)

[1− σr(a

Mh − 1)− aM

h τ]

aMh (1 + σr)− (aM

h )2σr

(1.18)


El rendimiento η del motor se define:

η ≡ −WQh

=−WQh

(1.19)

y sustituyendo (1.14) y (1.18) en (1.19) se obtiene:

η = 1− τaMh

1− σr(aMh − 1)

(1.20)

De modo que tomando aMh = 1 en la expresion (1.20) se obtiene el rendimiento de Carnot:

ηC ≡ η(aMh = 1) = 1− τ (1.21)

Considerando que la entropıa ∆S es una variable termodinamica extensiva, se puede obtener la

variacion de la entropıa para el sistema termodinamico total compuesto por los focos termicos

externos a temperaturas Th y Tc , los dos focos internos a temperaturas T ′h y T ′c y el motor

M, durante el tiempo que dura el ciclo, de manera que:

∆S = ∆STh+ ∆STc + ∆ST′

h+ ∆ST′

c+ ∆SM (1.22)

en donde ∆SThrepresenta la variacion de entropıa del foco termico a temperatura Th y viene

dada por:

∆STh= − Qh

Th

(1.23)

y ∆STc representa la variacion de entropıa del foco termico a temperatura Tc y viene dada

por:

∆STc = − Qc

Tc

(1.24)

mientras que ∆ST′h

representa la variacion de entropıa del foco termico a temperatura T ′h y es

nula (∆ST′h

= 0), dado que el calor Qh que este foco absorbe del foco a temperatura Th lo cede

ıntegramente al motor M; de igual modo, ∆ST′c

representa la variacion de entropıa del foco

termico a temperatura T ′c, puesto que el calor Qc que este foco absorbe del motor M lo cede

ıntegramente al motor foco termico a temperatura Tc, es nula (∆ST′c

= 0); por ultimo ∆SM

representa la variacion de entropıa que experimenta el motor en el ciclo, la cual trivialmente

es cero (∆SM = 0).


Ası pues, habida cuenta de lo anterior, la sustitucion de las ecuaciones (1.23) y (1.24) en

la ecuacion (1.22) permite obtener la variacion de entropıa del sistema total por unidad de

tiempo que vendra dada por:

∆S ≡ ∆S

t= − Qc

Tc

− Qh

Th

(1.25)

en donde al sustituir las ecuaciones (1.14) y (1.15) finalmente se obtiene

Tc ∆S = σhTh

τ(aM

h − 1)2

(1 + σr)

aMh [1− σr (aM

h − 1)](1.26)

Las ecuaciones (1.14), (1.15) y (1.18) representan las energıa por unidad de tiempo inter-

cambiadas entre los distintos subsistemas termodinamicos que componen el sistema total, la

ecuacion (1.20) expresa el rendimiento de la maquina termica y la ecuacion (1.26), que expresa

el producto de la variacion de entropıa del sistema total por la temperatura del foco termico

externo frıo, representa la potencia perdida para un motor tipo Carnot debida a la presencia

de irreversibilidades [20]. Estas ecuaciones muestran que el modelo considerado, fijadas las

temperaturas de las focos externos Th y Tc , unicamente depende del parametro aMh y de las

conductancias termicas σh y σc ligadas a los procesos de transmision de calor.

1.1.2. Frigorıfico tipo Carnot endorreversible

En el modelo del frigorıfico endorreversible las temperaturas de los focos termicos verifican

T ′h > Th > Tc > T ′c , al igual que en el caso del motor, y los intercambios de energıa en forma

de calor obedecen a leyes de conduccion lineales, de manera que el calor intercambiado entre

los focos termicos a temperaturas Th y T ′h es de la forma

−Qh = σh(T ′h − Th)t (1.27)

mientras que para el calor intercambiado entre los focos a temperaturas T ′c y Tc se tiene

Qc = σc(Tc − T ′c)t (1.28)

En las ecuaciones(1.27) y (1.28) σh y σc, son respectivamente las conductancias asociadas

a los procesos de intercambio de calor con los focos externos caliente y frıo, mientras que t

representa el tiempo de duracion del ciclo.


De este modo, fijadas las temperaturas de los focos termicos externos, el frigorıfico endo-

rreversible queda definido por los valores de las temperaturas de los focos internos T ′h y T ′c ,

de las conductancias σh y σc , y de la duracion del ciclo t.

Si introducimos los siguientes parametros:

τ ≡ Tc

Th

(1.29)

aFh =

T ′hTh

≥ 1 (1.30)

aFc =

Tc

T ′c≥ 1 (1.31)

entonces las ecuaciones (1.27) y (1.28) pueden expresarse como sigue:

Qc = σcTc

(1− 1

aFc

)t (1.32)

−Qh = σhTh

(aF

h − 1)t (1.33)

Como el ciclo que tiene lugar entre los focos a temperaturas T ′c y T ′h es reversible, a partir

de la ecuacion (1.4) se verifica:

σhTh

(aF

h − 1)t

T ′h+σcTc

(1− 1

aFc

)t

T ′c= 0 (1.34)

de donde se obtiene:

aFc = 1 + σr −

σr

aFh

(1.35)

siendo σr la relacion entre las conductancias σh y σc:

σr ≡σh

σc

(1.36)

El frigorıfico de Carnot se obtendrıa en este modelo como comportamiento lımite cuando

aFh → 1.

A partir de (1.33) el calor cedido al foco caliente por unidad de tiempo se expresa:

−Qh ≡−Qh

t= σhTh(aF

h − 1) (1.37)


y sustituyendo (1.35) en (1.32) el calor absorbido del foco frıo por unidad de tiempo se expresa:

Qc ≡Qc

t= σhTh

τ(aF

h − 1)

aFh + σr (aF

h − 1)(1.38)

Aplicando el Primer Principio de la Termodinamica al ciclo considerado, podemos obtener

el trabajo que es necesario proporcionar al frigorıfico:

W = −Qh −Qc (1.39)

siendo

W ≡ W

t= −Qh − Qc (1.40)

La eficiencia del frigorıfico ε se define como:

ε ≡ Qc

W=Qc

W(1.41)

en donde se han tenido en cuenta (1.38) y (1.40). A partir de (1.37)-(1.40) se obtiene

ε =τ

(σr + 1)aFh − (σr + τ)

(1.42)

de modo que tomando aFh = 1 en la ecuacion (1.42) se obtiene la eficiencia de Carnot:

εC ≡ ε(aFh = 1) =

τ

1− τ(1.43)

Por otra parte la potencia de refrigeracion R se define como:

R ≡ Qc

t= Qc (1.44)

donde sustituyendo la ec. (1.38) obtenemos:

R = σhTh

τ(aF

h − 1)

aFh + σr (aF

h − 1)(1.45)

Del mismo modo, considerando que la entropıa ∆S es una variable termodinamica ex-

tensiva, se puede obtener la variacion de la entropıa para el sistema termodinamico total

compuesto por los focos termicos externos a temperaturas Th y Tc , los dos focos internos a

temperaturasT ′h y T ′c , y el frigorıfico F durante el tiempo que dura el ciclo, de manera que:

∆S = ∆STh+ ∆STc + ∆ST′

h+ ∆ST′

c+ ∆SF (1.46)

1.2. MODELO IRREVERSIBLE 23

en donde ∆SThrepresenta la variacion de entropıa del foco termico a temperatura Th y viene

dada por:

∆STh= − Qh

Th

(1.47)

∆STc representa la variacion de entropıa del foco termico a temperatura Tc y viene dada por:

∆STc = − Qc

Tc

(1.48)

Al igual que sucede en el caso del motor endorreversible las variaciones de entropıa de los

focos termicos internos y del frigorıfico son nulas.

Ası pues, la sustitucion de las ecuaciones (1.47) y (1.48) en la ecuacion (1.46) permite

obtener la variacion de entropıa del sistema total por unidad de tiempo que vendra dada por:

∆S ≡ ∆S

t= − Qh

Th

− Qc

Tc

(1.49)

en donde si sustituimos (1.37) y (1.38) finalmente se obtiene:

Th ∆S = σhTh (aFh − 1)

(1− 1

aFh + σr(aF

h − 1)

)(1.50)

Las ecuaciones (1.37), (1.38) y (1.40) representan las energıas por unidad de tiempo inter-

cambiadas entre los distintos subsistemas termodinamicos que componen el sistema total, la

ecuacion (1.42) expresa la eficiencia de la maquina termica, y la ecuacion (1.50), que expresa

el producto de la variacion de entropıa del sistema total por la temperatura del foco termico

externo caliente, representa la potencia extra que hay que suministrar a un frigorıfico tipo

Carnot debido a la presencia de irreversibilidades [21]. Estas ecuaciones muestran que el mo-

delo considerado, fijadas las temperaturas de las focos externos Th y Tc , unicamente depende

del parametro aFh y de las conductancias termicas ligadas a los procesos de transmision de

calor.

1.2. Modelo Irreversible

El modelo que se presenta fue introducido por M. Esposito et al. [16] para motores tipo

Carnot (vease figura 1.1) y considera que la presencia de irreversibilidades unicamente tiene

lugar en los procesos de intercambio de calor entre la maquina termica y los focos caliente y

frıo. Estos procesos tienen una duracion temporal finita caracterizada respectivamente por th

amd

Resaltado


para el intercambio de calor con el foco caliente, y por tc para el intercambio con el foco frıo,

de manera que el tiempo total de duracion del ciclo viene determinado por la suma de ambos

tiempos, tciclo = th + tc .

En el presente trabajo consideraremos este modelo para un motor tipo Carnot, al que

denominaremos motor tipo Carnot irreversible, y lo extenderemos para el caso de frigorıficos,

dando lugar al modelo que, analogamente, denominaremos frigorıfico tipo Carnot irreversible.

1.2.1. Motor tipo Carnot irreversible

En este modelo se considera que los intercambios de energıa en forma de calor entre los

focos termicos externos y el sistema de trabajo tienen lugar mediante procesos irreversibles.

Por ello debe existir necesariamente una generacion de entropıa como consecuencia de las irre-

versibilidades, que siguiendo las ideas de Esposito et al. [16], se asume que es inversamente

proporcional al tiempo de duracion del proceso considerado.

De este modo, la variacion de entropıa del foco caliente ∆SThpuede expresarse de la forma

∆STh= ∆SC

Th+

Σ

th(1.51)

y la variacion de entropıa ∆STc del foco a temperatura Tc puede expresarse, analogamente,

de la forma

∆STc = ∆SCTc

+Σ

tc(1.52)

en donde ∆SCTh

y ∆SCTc

son las respectivas variaciones de entropıa de los focos en el caso

de que el motor que trabajase entre ellos fuera un motor de Carnot, y Σ es la constante de

proporcionalidad que asumimos identica en ambos procesos.

Como para un motor de Carnot todos los procesos son reversibles la variacion de entropıa

del sistema total, esto es el compuesto por los dos focos y el motor de Carnot, es cero y por

tanto:

∆SCT = ∆SCTh+ ∆SCTc

= 0 ⇒ ∆SCTh= −∆SCTc

≡ −∆S (1.53)

Si se sustituye (1.53) en las ecuaciones (1.51) y (1.52) se obtiene:

∆STh= −∆S +

Σ

th(1.54)

amd

Resaltado


∆STc = ∆S +Σ

tc(1.55)

Habida cuenta que el motor absorbe ıntegramente el calor que le cede el foco a temperatura

Th , y que el foco a temperatura Tc absorbe ıntegramente el calor que le cede el motor, se

verifica:

∆STh= −Qh

Th

(1.56)

y

∆STc = −Qc

Tc

(1.57)

que sustituidas en respectivamente en (1.54) y (1.55) permiten obtener:

Qh

Th

= ∆S − Σ

th(1.58)

yQc

Tc

= −∆S − Σ

tc(1.59)

Las ecuaciones (1.58) y (1.59) y la aplicacion del Teorema de Clausius al motor irreversible

permiten obtener:

0 >Qh

Th

+Qc

Tc

= − Σ

th− Σ

tc(1.60)

De igual modo, a partir de (1.54) y (1.55), y teniendo en cuenta (1.60) se obtiene:

∆ST = ∆STh+ ∆STc =

Σ

th+

Σ

tc> 0 (1.61)

Las ecuaciones (1.60) y (1.61) muestran que el motor de Carnot puede obtenerse como caso

lımite del motor irreversible cuando la duracion de los procesos de intercambio de calor con

los focos termicos se hace infinita (th →∞, tc →∞).

A partir de la ecuacion (1.58) se obtiene

Qh = Th

(∆S − Σ

th

)(1.62)

mientras que a partir de (1.59) se obtiene

Qc = Tc

(−∆S − Σ

tc

)(1.63)


La aplicacion del Primer Principio de la Termodinamica al ciclo realizado por el motor permite

obtener:

−W = Qc +Qh (1.64)

de donde se obtiene la potencia generada durante un ciclo, considerando que ahora el tiempo

de duracion del mismo es tciclo = tc + th, de este modo

−W ≡ −Wt

=Qc +Qh

tc + th(1.65)

La sustitucion de las ecuaciones (1.62) y (1.63) en (1.65) permite obtener para la potencia

generada por el motor durante un ciclo:

−W =

(Th − Tc)∆S −(Th

th+Tc

tc

)Σ

tc + th(1.66)

Por otra parte, el rendimiento del motor se define como:

η ≡ −WQh

= 1 +Qc

Qh

(1.67)

Sustituyendo las ecuaciones (1.62), (1.63) en (1.67) se obtiene:

η = 1 +

Tc

(−∆S − Σ

tc

)Th

(∆S − Σ

th

) (1.68)

de modo que tomando el lımite th →∞, tc →∞ en (1.68), se puede comprobar que se obtiene

el rendimiento de Carnot ηC, ecuacion (1.21).

Las ecuaciones (1.61), (1.62), (1.63), (1.66) y (1.68) ponen de manifiesto que el modelo

irreversible utilizado para un motor tipo Carnot irreversible depende de cuatro parametros:

las variaciones de entropıa de los focos correspondientes a un motor de Carnot que trabajase

entre esos mismos focos ±∆S ; la constante que caracteriza los crecimientos de entropıa de los

focos termicos debido a las irreversibilidades Σ ; y los tiempos caracterısticos th y tc asociados

a los procesos de intercambio de energıa en forma de calor con los focos termicos externos.


1.2.2. Frigorıfico tipo Carnot irreversible

Al igual que para el motor tipo Carnot, se asume que la generacion de entropıa debida a las

irreversibilidades es inversamente proporcional al tiempo de duracion del proceso considerado.

Por ello, la variacion de entropıa del foco caliente ∆SThpuede expresarse de la forma:

∆STh= ∆SC

Th+

Σ

th(1.69)

y de igual modo la variacion de entropıa ∆STc del foco a temperatura Tc puede expresarse en

la forma:

∆STc = ∆SCTc

+Σ

tc(1.70)

en donde ∆SCTh

y ∆SCTc

son las respectivas variaciones de entropıa de los focos en el caso

de que el motor que trabajase entre ellos fuera un motor de Carnot, y Σ es la constante de

proporcionalidad que asumimos identica en ambos procesos.

Como para un frigorıfico de Carnot todos los procesos son reversibles, la variacion de

entropıa del sistema total, esto es el compuesto por los dos focos y el motor de Carnot, es

cero y por tanto:

∆SCT = ∆SC

Th+ ∆SC

Tc= 0 ⇒ ∆SC

Tc= −∆SC

Th= −∆S (1.71)

Si se sustituye (1.71) en (1.69) y (1.70) se obtiene:

∆STh= ∆S +

Σ

th(1.72)

∆STc = −∆S +Σ

tc(1.73)

Habida cuenta que el frigorıfico absorbe ıntegramente el calor que le cede el foco a tem-

peratura Tc, y que el foco a Th absorbe ıntegramente el calor que le cede el frigorıfico, se

verifican las expresiones:

∆STh= −Qh

Th

(1.74)

y

∆STc = −Qc

Tc

(1.75)

que sustituidas en respectivamente en (1.72) y (1.73) permiten obtener:

Qh

Th

= −∆S − Σ

th(1.76)


yQc

Tc

= ∆S − Σ

tc(1.77)

Las ecuaciones (1.76) y (1.77), y la aplicacion del Teorema de Clausius al frigorıfico irre-

versible permiten obtener:

0 >Qh

Th

+Qc

Tc

= − Σ

th− Σ

tc(1.78)

De igual modo, a partir de (1.54) y (1.55), y teniendo en cuenta (1.78) se obtiene:

∆ST = ∆STh+ ∆STc =

Σ

th+

Σ

tc> 0 (1.79)

Las ecuaciones (1.78) y (1.79) muestran que el frigorıfico de Carnot puede obtenerse como

caso lımite del frigorıfico irreversible cuando la duracion de los procesos de intercambio de

calor con los focos termicos se hace infinita (th →∞, tc →∞).

A partir de (1.76) se obtiene:

Qh = Th

(−∆S − Σ

th

)(1.80)

y a partir de (1.77) se obtiene:

Qc = Tc

(∆S − Σ

tc

)(1.81)

La aplicacion del Primer Principio de la Termodinamica al ciclo realizado por el frigorıfico

permite obtener:

W = −Qh −Qc (1.82)

Mientras que la eficiencia del frigorıfico viene dada por:

ε ≡ Qc

W=

Qc

−Qh −Qc

(1.83)

donde sustituyendo (1.80) y (1.81) obtenemos la expresion:

ε =

Tc

(∆S − Σ

tc

)−Th

(−∆S − Σ

th

)− Tc

(∆S − Σ

tc

) (1.84)


de modo que tomando el lımite th →∞, tc →∞ en (1.84), se puede comprobar que se obtiene

la eficiencia de Carnot εC, ecuacion (1.43). Por otra parte la potencia de refrigeracion de un

frigorıfico se define como:

R ≡ Qc

tc + th(1.85)

donde sustituyendo la ecuacion(1.81) se tiene:

R =Tc

(∆S − Σ

tc

)tc + th

(1.86)

Las ecuaciones (1.79), (1.80), (1.81), (1.84) y (1.86) ponen de manifiesto que el modelo

irreversible utilizado para un frigorıfico tipo Carnot irreversible depende de cuatro parame-

tros: las variaciones de entropıa de los focos correspondientes a un frigorıfico de Carnot que

trabajase entre esos mismos focos ±∆S ; la constante que caracteriza los crecimientos de en-

tropıa de los focos termicos debido a las irreversibilidades Σ ; y los tiempos caracterısticos th y

tc asociados a los procesos de intercambio de energıa en forma de calor con los focos termicos

externos.

Capıtulo 2

Criterios de optimizacion

El capıtulo anterior pone de manifiesto que la evaluacion de las irreversibilidades se realiza

a traves de la introduccion de un conjunto reducido de parametros. De este modo el regimen

de funcionamiento de la maquina termica modelizada queda en cada caso determinado por

los valores que toman estos parametros caracterısticos. En este sentido, resulta de especial

interes obtener los valores de dichos parametros que conduzcan al regimen de funcionamiento

optimo de la maquina termica considerada.

La obtencion del regimen de funcionamiento optimo requiere la eleccion de un criterio bajo

el cual este quede establecido. En el presente trabajo se utilizan dos criterios que pueden ser

aplicados de manera unificada a motores termicos y frigorıficos.

La introduccion del primero de ellos, basado en la funcion χ, permite obtener regımenes

de funcionamiento optimos tanto para motores como para frigorıficos tipo Carnot. En el caso

de motores, este criterio es equivalente al criterio de maxima potencia introducido por Curzon

y Ahlborn [1] para el modelo endorreversible con leyes de transferencia de calor lineales, y

tambien es utilizado por Esposito et al. [16] para el motor tipo Carnot irreversible.

El segundo de ellos, basado en la funcion Ω, fue propuesto por Calvo Hernandez et al. [9] y

representa un compromiso entre la energıa util aprovechada y la energıa util perdida cuando

un convertidor energetico arbitrario realiza su trabajo especıfico. Por su propia definicion es

por tanto tambien aplicable a motores y a frigorıficos.

31

32 CAPITULO 2. CRITERIOS DE OPTIMIZACION

2.1. El criterio de la funcion χ

El trabajo pionero de Curzon y Ahlborn [1] establecio para el motor endorreversible con

leyes de conduccion lineales en la temperatura, que el rendimiento es unicamente funcion de

las temperaturas de los focos termicos externos (ηCA = 1−√Tc/Th) en condiciones de maxima

potencia. Este importante resultado proporciono una expresion sencilla alternativa al rendi-

miento de Carnot, y presentaba un acuerdo mucho mejor con los valores de los rendimientos

observados en plantas de potencia reales.

La obtencion de un resultado similar para frigorıficos, igualmente modelizados a traves

de las hipotesis de endorreversibilidad y leyes de conduccion lineales en la temperatura, ha

sido objeto de continua discusion desde la publicacion del trabajo de Curzon y Ahlborn hasta

finales de los anos noventa.

A lo largo de este periodo, los trabajos de Yang y Chen [7] y de Velasco et al. [8] dieron

lugar a una expresion para frigorıficos endorreversibles con leyes de conduccion lineales en la

temperatura analoga a la obtenida por Curzon y Ahlborn, en dicha expresion la eficiencia era

unicamente funcion de las temperaturas de los focos frıo y caliente, ε =(

1/√

1− Tc

Th

)− 1.

El criterio propuesto por Yang y Chen para frigorıficos endorreversibles con leyes de con-

duccion lineales en la temperatura ha sido utilizado recientemente como criterio de optimiza-

cion para un modelo de frigorıfico cuantico [22]. En este trabajo se concluye que el mencionado

criterio es el equivalente al de Curzon y Ahlborn para el modelo de frigorıfico cuantico consi-

derado.

En el presente trabajo mediante la introduccion de la funcion χ se presenta un criterio

unificado para maquinas termicas, que para el modelo endorreversible con leyes de conduccion

lineales coincide con el criterio de maxima potencia introducido por Curzon y Ahlborn para

motores, y para frigorıficos coincide con el introducido por Yang y Chen. Esta funcion se

define como el producto de la eficiencia de la maquina termica y el calor absorbido por dicha

maquina dividido por el tiempo de duracion del ciclo:

χ = zQabsorbido/tciclo (2.1)

en donde z representa la eficiencia de la maquina termica definida, a su vez, como el cociente

entre la energıa util que produce la maquina y la necesaria para que la maquina funcione, y

tciclo es el tiempo de duracion del ciclo.

2.2. EL CRITERIO DE LA FUNCION Ω 33

2.2. El criterio de la funcion Ω

Este criterio fue propuesto por Calvo Hernandez et al. [9] y responde a la necesidad de

plantear un criterio de optimizacion valido para todo tipo de convertidores energeticos. Entre

sus caracterısticas mas relevantes podemos destacar los siguientes:

Es muy facil de implementar para cualquier dispositivo termico.

Su implementacion no necesita un conocimiento explıcito de la generacion de entropıa,

un problema a menudo difıcil y sutil en la mayorıa de los sistemas fuera del equilibrio.

No requiere la consideracion de parametros del entorno como sucede con otros criterios

de optimizacion, tales como la funcion ecologica [10] o la exergıa [11].

Estas caracterısticas pueden observarse facilmente a partir de su definicion, detallada mas

adelante, y que es general para cualquier dispositivo termico convertidor energetico. Cualquier

convertidor energetico tiene como finalidad producir una energıa util Eu(x; α) mediante

la transformacion de una energıa de entrada Ei(x; α), en donde x representa al conjunto

de parametros independientes que caracterizan los procesos que tienen lugar en el convertidor,

y α representa a un conjunto de parametros de control. Para este convertidor se define la

eficiencia z(x; α) como el cociente entre la energıa util producida y la energıa de entrada:

z(x; α) ≡ Eu(x; α)Ei(x; α)

(2.2)

Si zmin(α) y zmax(α) representan respectivamente los valores mınimo y maximo de

z(α) en los intervalos de valores permitidos para las variables del conjunto x, y fijados

los valores de las variables de control α, entonces se verifica:

zmin(α) ≤ z(x; α) ≤ zmax(α) (2.3)

Teniendo en cuenta (2.2) y (2.3) se obtiene:

zmin(α)Ei(x; α) ≤ Eu(x; α) ≤ zmax(α)Ei(x; α) (2.4)

Estos lımites sugieren definir la energıa util efectiva Eu,eff(x; α) como

Eu,eff(x; α) ≡ Eu(x; α)− zmin(α)Ei(x; α) (2.5)

34 CAPITULO 2. CRITERIOS DE OPTIMIZACION

y la energıa util perdida como

Eu,L(x; α) ≡ zmax(α)Ei(x; α)− Eu(x; α) (2.6)

A partir de estas definiciones se introduce la funcion Ω(x; α) como sigue:

Ωu,L(x; α) ≡ Eu,eff(x; α)− Eu,L(x; α) =

=2z(x; α)− zmin(α)− zmax(α)

z(x; α)Eu(x; α) (2.7)

La ecuacion (2.7) muestra que la funcion Ω(x; α) representa el mejor compromiso entre

la energıa util y la energıa perdida.

Capıtulo 3

Aplicacion de los criterios de

optimizacion a motores

3.1. Motor tipo Carnot endorreversible

Las ecuaciones (1.10), (1.14), (1.18) y (1.26) muestran que las potencias evaluadas a partir

de este modelo se expresan en unidades de σhTh. Con la finalidad de analizar el comportamien-

to de las mismas en terminos de los parametros del modelo es conveniente adimensionalizar

estas potencas. De este modo introducimos las potencias adimensionalizadas a traves de las

siguientes expresiones:

Qh(aMh ) ≡ Qh

σhTh

= 1− 1

aMh

(3.1)

Qc(aMh ;σr, τ) ≡ Qc

σhTh

=τ(1− aM

h )

1− σr(aMh − 1)

(3.2)

−W (aMh ;σr, τ) ≡ − W

σhTh

=(aM

h − 1)[1− σr(a

Mh − 1)− aM

h τ]


h )2σr

(3.3)

Tc ∆S(aMh ;σr, τ) ≡ Tc ∆S(aM

h ;σr, τ)

σhTh

=τ(aM

h − 1)2

(1 + σr)

1− σr (aMh − 1)

(3.4)

35

36 CAPITULO 3. APLICACION A MOTORES

3.1.1. Aplicacion del criterio de optimizacion de la funcion χ

La ecuacion (2.1) define de manera general la funcion χ. Para el motor endorreversible se

tiene z ≡ η, Qabsorbido ≡ Qh y tciclo = t, con lo que:

χ = ηQh

t=−Wt

= −W (3.5)

en donde se ha tenido en cuenta la definicion del rendimiento del motor, ecuacion (1.19).

La ecuacion (3.5) muestra que la funcion χ para el motor endorreversible con leyes de

conduccion de calor lineales en la temperatura coincide con la potencia producida por el

motor.

La sustitucion de la ecuacion (3.3) en la ecuacion (3.5) permite obtener la funcion χ en

unidades de σhTh

χ(aMh ;σr, τ) ≡ χ

σhTh

=(aM

h − 1)[1− σr(a

Mh − 1)− aM

h τ]


h )2σr

(3.6)

Con la finalidad de llevar a cabo la determinacion del regimen de funcionamiento optimo

del motor bajo el criterio de la funcion χ consideraremos que las temperaturas de los focos

externos tienen valores fijos determinados por Th y Tc y que los valores de las conductancias

σh y σc asociadas a los procesos de intercambio de calor entre los focos termicos tampoco

varıan. De este modo el regimen de funcionamiento optimo lo obtendremos determinando para

que valores del parametro aMh la funcion χ(aM

h ;σr, τ) toma un valor maximo. Esta condicion

se expresa matematicamente: (∂χ

∂aMh

)∣∣∣∣aM

h =ahmaxχ

= 0(∂2χ

∂aMh

2

)∣∣∣∣∣aM

h =ahmaxχ

< 0 (3.7)

La imposicion de las condiciones (3.7) en la ecuacion (3.6) conduce a que la funcion

χ(aMh ;σr, τ) presente un valor maximo para:

aMhmaxχ

=1 + σr

σr +√τ

(3.8)

Por otra parte, sustituir la ecuacion (3.8) en la ecuacion (1.20) permite obtener para el

rendimiento del motor endorreversible en condiciones de maxima funcion χ, la expresion:

ηMEmaxχ ≡ η(aM

h = aMhmaxχ

) = 1−√τ ≡ ηCA (3.9)

3.1. MOTOR TIPO CARNOT ENDORREVERSIBLE 37

Encontramos que, debido al hecho de que la funcion χ coincide con la potencia producida por

el motor, este rendimiento es el rendimiento de Curzon-Ahlborn.

La potencia a maxima funcion χ la obtenemos sustituyendo (3.8) en la expresion de la

potencia generada por un motor endorreversible (3.3), entonces obtenemos

−WME

maxχ ≡ −W (aMh = aM

hmaxχ) =

(√τ − 1)2

σr + 1(3.10)

Analogamente, calculamos la potencia perdida a maxima funcion χ sustituyendo (3.8) en

(3.4), obteniendo:

Tc ∆SME

maxχ ≡ Tc ∆S(aMh = aM

hmaxχ) =

√τ

σr + 1(√τ − 1)2 (3.11)

3.1.2. Aplicacion del criterio de optimizacion de la funcion Ω

La ecuacion (2.7) define de manera general la funcion Ω, donde para el motor endorrever-

sible se tiene z ≡ η, zmin = 0, zmax = ηC , donde ηC es el rendimiento de Carnot, y Eu = −W ,

con lo cual:

Ω ≡ (2η − ηC)W

η= (2η − ηC)Qh (3.12)

en donde se ha tenido en cuenta la definicion del rendimiento del motor ecuacion (1.19).

La sustitucion de la ecuaciones (3.3) y (1.20) en la ecuacion (3.12) permite obtener la

funcion Ω ≡ Ω/t, siendo

Ω(ah;σr, τ) ≡ Ω

σhTh

=

(1 + τ − 2ahτ

1− σr(1− ah)

)(1− 1

ah

)(3.13)

Con la finalidad de llevar a cabo la determinacion del regimen de funcionamiento optimo del

motor bajo el criterio de la funcion Ω consideraremos, al igual que en el criterio de la funcion

χ, que las temperaturas de los focos externos tienen valores fijos determinados por Th y Tc, y

que los valores de las conductancias σh y σc asociadas a los procesos de intercambio de calor

entre los focos termicos no varıan. De este modo, el regimen de funcionamiento optimo lo

obtendremos determinando para que valores del parametro aMh la funcion Ω(aM

h ;σr, τ) toma

un valor maximo. Esta condicion se expresa matematicamente:(∂ ¯Ω

∂aMh

)∣∣∣∣∣aM

h =ahmaxΩ

= 0

38 CAPITULO 3. APLICACION A MOTORES(∂2 ¯Ω

∂aMh

2

)∣∣∣∣∣aM

h =ahmaxΩ

< 0 (3.14)

La imposicion de las condiciones (3.14) en la ecuacion (3.13) proporciona que la funcion

Ω(aMh ;σr, τ) presente un valor maximo para:

aMhmaxΩ

=1 + σr

σr +√

2τ1+τ

(3.15)

Sustituyendo (3.15) en (1.20) obtenemos el rendimiento a maxima Ω:

ηMEmaxΩ ≡ η(aM

h = aMhmaxΩ

) = 1−√τ(1 + τ)

2(3.16)

La potencia a maxima funcion Ω la obtenemos substituyendo (3.15) en la expresion de la

potencia generada por el motor (3.3):

WME

maxΩ ≡ W (aMh = aM

hmaxΩ) =

2(1 + τ)−√

2τ1+τ

(3 + τ)

2(1 + σr)(3.17)

La potencia perdida a maxima funcion Ω la obtenemos substituyendo (3.15) en (3.4):

Tc ∆SME

maxΩ ≡ Tc ∆S(aMh = aM

hmaxΩ) =

1

2(1 + σr)

√2τ(τ + 1)

(1−

√2τ

1 + τ

)(3.18)

3.2. Motor tipo Carnot Irreversible

Las ecuaciones (1.61), (1.62), (1.63), (1.66) y (1.68) ponen de manifiesto que fijadas las

temperaturas de los focos termicos externos, el modelo irreversible utilizado para un motor

tipo Carnot irreversible depende de dos parametros independientes: los tiempos caracterısti-

cos th y tc asociados a los procesos de intercambio de energıa en forma de calor con los focos

termicos externos; y dos parametros de control: las variaciones de entropıa de los focos corres-

pondientes a un motor de Carnot que trabajase entre esos mismos focos ±∆S, y la constante

que caracteriza los crecimientos de entropıa de los focos termicos debido a las irreversibilidades

Σ. Ası pues a partir de (1.61), (1.66) y (1.68) se definen:

∆ST(tc, th; Σ) ≡ ∆ST = Σ

(1

th+

1

tc

)> 0 (3.19)

3.2. MOTOR TIPO CARNOT IRREVERSIBLE 39

−W (tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ −W =

(Th − Tc)∆S −(Th

th+Tc

tc

)Σ

tc + th(3.20)

η(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ η = 1 +

Tc

(−∆S − Σ

tc

)Th

(∆S − Σ

th

) (3.21)


Como ya hemos visto, la ecuacion (2.1) define de manera general la funcion χ. Para el

motor irreversible se tiene z ≡ η, Qabsorbido ≡ Qh ytciclo = tc + th, con lo que:

χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ ηQh

th + th=−Wth + th

≡ −W (tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) (3.22)

en donde se ha tenido en cuenta la definicion del rendimiento del motor, ecuacion (1.19). La

ecuacion (3.22) muestra que la funcion χ para el motor irreversible coincide con la potencia

producida por el motor. Con la finalidad de llevar a cabo la determinacion del regimen de

funcionamiento optimo del motor bajo el criterio de la funcion χ consideraremos que las tem-

peraturas de los focos externos tienen valores fijos determinados por Th y Tc y que los valores

de los parametros de control ±∆S y Σ no varıan. De este modo, el regimen de funcionamiento

optimo lo obtendremos determinando para que valores de los parametros tc y th la funcion

χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) toma un valor maximo. Esta condicion se expresa matematicamente:(∂χ

∂tc

)∣∣∣∣∣ tc = tcmaxχ

th = thmaxχ

= 0

(∂χ

∂th


th = thmaxχ

= 0

(∂χ

∂tc

)(∂χ

∂th

)−[(

∂2χ

∂tc∂th

)]2∣∣∣∣∣ tc = tcmaxχ

th = thmaxχ

< 0 (3.23)

La imposicion de las condiciones (3.23) en la ecuacion (3.22) conduce a que la funcion

χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) presente un valor maximo para:

tcmaxχ = 2Tc Σ

(Th − Tc )∆S(1 +

√τ) (3.24)


thmaxχ = 2Th Σ

(Th − Tc )∆S(1 +

√τ) (3.25)

donde

τ ≡ Tc

Th

(3.26)

Sustituyendo las ecuaciones (3.24) y (3.25) en la ecuacion (3.21) podemos obtener la

expresion del rendimiento del motor irreversible en condiciones de maxima funcion χ:

ηMImaxχ = 1−

√τ ≡ ηCA (3.27)

Este resultado fue obtenido por Esposito et al. [16] para este modelo imponiendo condi-

ciones de maxima potencia, y corresponde al rendimiento de Curzon y Ahlborn.

Finalmente sustituyendo (3.24) y (3.25) en (1.66) obtenemos la expresion de la potencia

maxima generada por ciclo:

−WMImaxχ =

Th∆S2

4Σ

(1−√τ)2

(3.28)

y sustituyendo (3.24) y (3.25) en la ecuacion(3.19) tenemos la expresion de la potencia perdida

a maxima funcion χ:

Tc ∆SMITmaxχ

=Th(∆S)2

4Σ

√τ(1−√τ)2

(3.29)

Las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29) coinciden respectivamente con las ecuaciones (3.9),

(3.10) y (3.11) en la dependencia en τ , el factor Th(∆S)2/4Σ unicamente proporciona las

dimensiones de energıa en el presente modelo. Por lo tanto el Modelo Endorreversible y el

Modelo Irreversible dan lugar a los mismos resultados para el regimen optimo de funciona-

miento del motor bajo el criterio de la funcion χ.


Como se ha descrito anteriormente, la ecuacion (2.7) define de manera general la funcion

Ω. Para el motor irreversible se tiene z ≡ η, zmin = 0, zmin = ηC, donde ηC es el rendimiento

de Carnot, y Eu = Qc, con lo cual:

Ω(Σ,∆S, Tc, Th) = (2η − ηC)Qc (3.30)

Como el tiempo de duracion de un ciclo es tciclo = tc + th, la funcion Ω por unidad de

tiempo sera de la forma:

Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ Ω(Σ,∆S, Tc, Th)

tc + th= (2η − ηC)

Qc

(tc + th)(3.31)

3.2. MOTOR TIPO CARNOT IRREVERSIBLE 41

donde sustituimos Qc por la expresion definida en (1.63), η por la ecuacion (1.68), y ηC es

el rendimiento de Carnot, entonces la funcion Ω por unidad de tiempo queda expresada de la

siguiente forma:

Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) =∆S tcth(Th − Tc)− Σ[2thTc + tc(Th + Tc)]

tcth(tc + th)(3.32)


del motor bajo el criterio de la funcion Ω, consideraremos que las temperaturas de los focos

externos tienen valores fijos determinados por Tc y Th, y que los valores de los parametros de

control ±∆S y Σ no varıan. De este modo, el regimen de funcionamiento optimo se obtiene al

determinar los valores de los parametros tc y th para los cueles la funcion Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th)

toma un valor maximo. Esta condicion se expresa matematicamente de la siguiente forma:(∂Ω

∂tc

)∣∣∣∣∣ tc = tcmaxΩ

th = thmaxΩ

= 0

(∂Ω

∂th


th = thmaxΩ

= 0

(∂Ω

∂tc

)(∂Ω

∂th

)−

[(∂2Ω

∂tc∂th

)]2∣∣∣∣∣ tc = tcmaxΩ

th = thmaxΩ

< 0 (3.33)

La imposicion de las condiciones (3.33) en la ecuacion (3.32) nos lleva a que la funcion

Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) presente un valor maximo para:

tcmaxΩ=

2Σ(

2τ +√

2τ(τ + 1))

∆S(1− τ)(3.34)

thmaxΩ=

2Σ(

1 + τ +√

2τ(τ + 1))

∆S(1− τ)(3.35)

donde, una vez mas, hemos utilizado τ ≡ Tc

Th.

Sustituyendo (3.34) y (3.35) en la ecuacion del rendimiento (1.68), se encuentra que el

rendimiento optimizado segun este criterio es el siguiente:

ηMImaxΩ = 1−

√τ(1 + τ)

2(3.36)


y coincide con el rendimiento optimizado segun este mismo criterio para el Modelo Endo-

rreversible, vease (3.16). Por otra parte, sustituyendo (3.34) y (3.35) en la ecuacion(1.66)

tenemos la expresion de la potencia a maxima Ω:

−WMImaxΩ =

Th(∆S)2

4Σ

[1

2

(2(τ + 1)− (τ + 3)

√2τ

τ + 1

)](3.37)

y sustituyendo (3.34) y (3.35) en la ecuacion(3.19) tenemos la expresion de la potencia perdida

optimizada:

Tc ∆SMITmaxΩ

=Th(∆S)2

4Σ

1

2

√2τ(τ + 1)

(1−

√2τ

1 + τ

)(3.38)


(3.17) y (3.18) en la dependencia en τ , donde el factor Th(∆S)2/(4Σ) unicamente proporciona

las dimensiones de energıa en el presente modelo. Por lo tanto el Modelo Endorreversible y

el Modelo Irreversible dan lugar a los mismos resultados para el regimen optimo de funciona-

miento del motor bajo el criterio de la funcion Ω.


criterios de optimizacion

3.3.1. Rendimiento

Las ecuaciones (3.9) y (3.27) muestran que bajo el criterio de la funcion χ se verifica:

ηmaxχ ≡ ηMEmaxχ = ηMI

maxχ = 1−√τ (3.39)

mientras que las ecuaciones (3.16) y (3.36) muestran que bajo el criterio de la funcion Ω se

verifica:

ηmaxΩ ≡ ηMEmaxΩ = ηMI

maxΩ = 1−√

(1 + τ)τ

2(3.40)

En la figura 3.1 se representan con respecto a τ los rendimientos a maxima funcion χ, ηmaxχ, y

a maxima funcion Ω, ηmaxΩ, y el rendimiento de Carnot, junto con los datos correspondientes

a rendimientos de plantas de potencia reales recogidos en el cuadro 3.1. En dicha figura

se observa que tanto ηmaxχ como ηmaxΩ presentan valores mas proximos a los rendimientos

observados en plantas reales que el rendimiento de Carnot, el cual proporciona valores mucho

mas elevados. Ademas ηmaxΩ es mayor que ηmaxχ para los mismos valores de τ .

3.3. ANALISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS BAJO AMBOS CRITERIOS 43

Cuadro 3.1: Rendimientos reales [23, 24, 25] y rendimientos obtenidos bajos los criterios de

optimizacion considerados.

Planta Th(K) Tc(K) τ ηexp ηmaxχ = ηCA ηmaxΩ ηC

Doel 4 (Nuclear, Belgica) 566 283 0.50 0.35 0.31 0.39 0.5

Almaraz II (Nuclear, Espana) 600 290 0.48 0.34 0.31 0.40 0.52

Sizewell B (Nuclear, UK) 581 288 0.50 0.36 0.30 0.39 0.50

Cofrentes (Nuclear, Espana) 562 289 0.51 0.34 0.29 0.38 0.49

Heysham (Nuclear, UK) 727 288 0.40 0.40 0.37 0.47 0.60

West Thurrock (Carbon, UK) 838 298 0.36 0.36 0.40 0.51 0.64

CANDU (Nuclear, Canada) 573 298 0.52 0.30 0.28 0.37 0.48

Larderello (Geotermica, Italia) 523 353 0.68 0.16 0.18 0.25 0.32

Calder Hall (Nuclear, UK) 583 298 0.51 0.19 0.29 0.38 0.49

(Vapor/Mercurio, USA) 783 298 0.38 0.34 0.38 0.49 0.62

(Vapor, UK) 698 298 0.43 0.28 0.35 0.45 0.57

(Turbina de gas, Suiza) 963 298 0.31 0.32 0.44 0.55 0.69

(Turbina de gas, Francia) 953 298 0.31 0.34 0.44 0.55 0.69


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

τ

η

Figura 3.1: Rendimiento de un motor tipo Carnot a maxima funcion χ, ηmaxχ (——), a maxima

funcion Ω, ηmaxΩ (——), y el rendimiento de Carnot, ηC (- - -), junto a los rendimientos

correspondientes a plantas de potencia reales (vease cuadro 3.1).

3.3.2. Potencia

Las ecuaciones (3.10) y (3.28) muestran que para el criterio de la funcion χ se verifica:

−Wmaxχ ≡ −(1 + σr)WME

maxχ = − 4Σ

(∆S)2Th

WMI

maxχ =(√

1− τ)2

(3.41)

Las ecuaciones (3.17) y (3.37) muestran que para el criterio de la funcion Ω se verifica:

−WmaxΩ ≡ −(1 + σr)WME

maxΩ = − 4Σ

(∆S)2Th

WMI

maxΩ =2(1 + τ)−

√2τ

1+τ(3 + τ)

2(3.42)

En la figura 3.2 se representan frente a τ las potencias a maxima funcion χ, Wmaxχ y

a maxima funcion Ω, WmaxΩ. Ambas funciones son monotonas decrecientes con τ , siendo

siempre WmaxΩ menor que Wmaxχ para los mismos valores de τ .


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

τ

Wopt

.

Figura 3.2: Potencia generada por un motor tipo Carnot a maxima funcion χ, Wmaxχ (——),

y a maxima funcion Ω, WmaxΩ (——).

3.3.3. Potencia perdida

Las ecuaciones (3.11) y (3.29) muestran que

Tc ∆Smaxχ ≡ (1 + σr)Tc ∆SMEmaxχ =

4Σ

(∆S)2Th

Tc ∆SMImaxχ =

√τ(√τ − 1)2 (3.43)

mientras que las ecuaciones (3.18) y (3.38) muestran que:

Tc ∆SmaxΩ ≡ (1 + σr)Tc ∆SME

maxΩ =4Σ

(∆S)2Th

Tc ∆SMI

maxΩ =1

2

√2τ(τ + 1)

(1−

√2τ

1 + τ

)(3.44)

En la figura 3.3 se muestra la potencia perdida a maxima χ junto a la potencia perdida

a maxima Ω, Tc ∆SmaxΩ y Tc ∆Smaxχ. En ella se aprecia que para los mismos valores de τ la

potencia perdida es mayor en el regimen de maxima funcion χ que en el de maxima funcion Ω.

Los valores de τ correspondientes a plantas de potencia reales (cuadro 3.1) se encuen-

tran en el intervalo [0,30; 0,52], estos valores corresponden a potencias razonablemente altas

segun ambos criterios de optimizacion y a perdidas de potencia sustancialmente menores a

las maximas predichas por ambos criterios.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.05

0.10

0.15

τ

(TcΔ

S)op

t.

Figura 3.3: Potencias perdidas para motores endorreversibles optimizadas segun el criterio χ,

Tc ∆Smaxχ (—), y el criterio Ω, Tc ∆SmaxΩ en color azul (—). Para los mismos valores de τ se

aprecia que el criterio χ produce mayores perdidas de energıa que el criterio Ω.

3.4. Cotas para el rendimiento de un motor tipo Carnot

Al depender unicamente de τ , las expresiones de los rendimientos a maxima funcion χ,

ηmaxχ, y a maxima funcion Ω, ηmaxΩ, se pueden obtener en terminos del rendimiento de Carnot.

El analisis del comportamiento lımite de ηmaxχ y ηmaxΩ en terminos de ηC permite la obtencion

de cotas para los mismos.

3.4.1. Cotas para el rendimiento a maxima funcion χ

La ec. (3.39) muestra que el rendimiento es una funcion monotona decreciente en τ , de

modo que se verifica:

lımτ→1

ηmaxχ(τ) = 0 (3.45)

lımτ→0

ηmaxχ(τ) = 1 (3.46)

0 ≤ ηmaxχ(τ) ≤ 1 (3.47)

3.4. COTAS PARA EL RENDIMIENTO DE UN MOTOR TIPO CARNOT 47

y teniendo en cuenta que ηC = 1− τ entonces se tiene:

ηmaxχ(τ)

ηC

=1−√τ

1− τ(3.48)

A partir de (3.48) se obtiene

lımτ→1

ηmaxχ(τ)

ηC

=1

2(3.49)

lımτ→0

ηmaxχ(τ)

ηC

= 1 (3.50)

Por ser ηmaxχ(τ)/ηC una funcion monotona decreciente, el lımite cuando τ → 1 nos pro-

porciona una cota inferior para la misma:

1

2≤ ηmaxχ(τ)

ηC

(3.51)

luego1

2ηC ≤ ηmaxχ(τ) (3.52)

Con la finalidad de obtener una cota superior en primer lugar expresamos ηmaxχ en funcion

del rendimiento de Carnot

ηmaxχ(ηC) = 1−√

1− ηC (3.53)

A continuacion desarrollamos ηmaxχ(ηC) en serie de Taylor en un entorno de ηC = 0:

ηmaxχ(ηC) =1

2ηC +

1

8η2

C +6

96η3

C + ϑ(η4C) (3.54)

luego

ηmaxχ(ηC) =1

2ηC +

∞∑k=2

akηkC (3.55)

como ηmaxχ(ηC) ≤ 1 entonces se tiene:

1

2ηC +

∞∑k=2

akηkC ≤ 1 (3.56)

y dado que ηC ≤ 1 y ak > 0,∀k entonces:

1

2+∞∑k=2

ak ≤ 1 (3.57)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

η

η

C

Figura 3.4: ηsupmaxχ (——) y ηinf

maxχ (- - -), junto a los rendimientos correspondientes a plantas

de potencia reales recogidos en el cuadro (3.1).

luego∞∑k=2

ak ≤1

2(3.58)

Con todo esto se tiene que:

ηmaxχ(ηC) =1

2ηC + η2

C

∞∑k=2

akηk−2C ≤ 1

2ηC + η2

C

∞∑k=2

ak (3.59)

y teniendo en cuenta (3.58):

ηmaxχ(ηC) ≤ 1

2ηC + η2

C

∞∑k=2

ak ≤1

2ηC +

1

2η2

C (3.60)

Finalmente a partir de (3.52) y (3.60) obtenemos:

ηinfmaxχ ≡

1

2ηC ≤ ηmaxχ(τ) ≤ 1

2ηC(1 + ηC) ≡ ηsup

maxχ (3.61)

En la figura 3.5 se representan ηinfmaxχ y ηsup

maxχ frente a ηC, junto a los rendimientos corres-

pondientes a plantas de potencia reales recogidos en el cuadro 3.1. En dicha figura se pone

de manifiesto que los rendimientos correspondientes a plantas de potencia reales estan en su

mayorıa comprendidos entre ηinfmaxχ y ηsup

maxχ.


3.4.2. Cotas para el rendimiento a maxima funcion Ω

La ec. (3.40) muestra que ηmaxΩ(τ) es una funcion monotona decreciente en τ , de modo

que se verifica:

lımτ→1

ηmaxΩ(τ) = 0 (3.62)

lımτ→0

ηmaxΩ(τ) = 1 (3.63)

0 ≤ ηmaxΩ(τ) ≤ 1 (3.64)

A partir de (3.40) se obtiene:

ηmaxΩ(τ)

ηC

=1

(1− τ)

(1−

√τ(τ + 1)

2

)(3.65)

de modo que

lımτ→1

ηmaxΩ(τ)

ηC

=3

4(3.66)

lımτ→0

ηmaxΩ(τ)

ηC

= 1 (3.67)

Al igual que en el apartado anterior, el lımite cuando τ → 1 nos proporciona una cota

inferior para ηmaxΩ:3

4≤ ηmaxΩ(τ)

ηC

(3.68)

luego3

4ηC ≤ ηmaxΩ(τ) (3.69)

Para obtener una cota superior para ηmaxΩ y siguiendo un procedimiento analogo al desarro-

llado en el apartado anterior, en primer lugar, expresamos ηmaxΩ en funcion del rendimiento

de Carnot:

ηmaxΩ(ηC) = 1−√

(1− ηC)(2− ηC)

2(3.70)

A continuacion lo desarrollamos en serie de Taylor en un entorno de ηC = 0:

ηmaxΩ(ηC) =3

4ηC +

1

32η2

C +3

128η3

C + ϑ(η4C) (3.71)

luego

ηmaxΩ(ηC) =3

4ηC +

∞∑k=2

bkηkC (3.72)


como ηmaxΩ(ηC) ≤ 1 entonces

3

4ηC +

∞∑k=2

bkηkC ≤ 1 (3.73)

y dado que ηC ≤ 1 y bk > 0,∀k entonces se tiene

3

4+∞∑k=2

bk ≤ 1 (3.74)

luego∞∑k=2

bk ≤1

4(3.75)

con todo esto se tiene:

ηmaxΩ(ηC) =3

4ηC + η2

C

∞∑k=2

bkηk−2C ≤ 3

4ηC + η2

C

∞∑k=2

bk (3.76)

y teniendo en cuenta (3.75), obtenemos la cota superior:

ηmaxΩ(ηC) ≤ 3

4ηC(1 +

1

3ηC) (3.77)

A partir de (3.69) y (3.77) se obtiene:

ηinfmaxΩ ≡

3

4ηC ≤ ηmaxΩ(τ) ≤ 3

4ηC(1 +

ηC

3) ≡ ηsup

maxΩ (3.78)

En la figura 3.5 se representan ηinfmaxΩ y ηsup

maxΩ frente a ηC, junto a valores de rendimientos

correspondientes a plantas de potencias reales recogidos en el cuadro 3.1. En esta figura se

observa que los rendimientos correspondientes a plantas de potencia reales son inferiores a

ambas cotas y por tanto a los rendimientos predichos en regimen de maxima funcion Ω.

Esta discrepancia se puede adscribir a la simplicidad de las modelizaciones utilizadas, que

unicamente incluyen la presencia de irreversibilidades en los procesos de transferencia de calor

entre los focos termicos externos y el sistema de trabajo. La inclusion de irreversibilidades,

tanto debidas a fenomenos de naturaleza disipativa en el sistema de trabajo, como a trans-

mision directa de energıa en forma de calor entre los focos termicos, proporciona valores de

los rendimientos a maxima funcion Ω mas bajos y por tanto mas proximos a los rendimientos

reales [26].


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

η

η

C

Figura 3.5: ηsupmaxΩ (——) y ηinf

maxΩ (- - -), junto a los puntos correspondientes a rendimientos

de plantas de potencia reales recogidos en el cuadro 3.1.

Capıtulo 4

Aplicacion de los criterios de

optimizacion a frigorıficos

4.1. Frigorıfico tipo Carnot endorreversible

Las ecuaciones (1.37), (1.38), (1.39) y (1.50) muestran que las potencias evaluadas a partir

de este modelo se expresan en unidades de σhTh. Con la finalidad de analizar el comportamien-

to de las mismas en terminos de los parametros del modelo es conveniente adimensionalizar

estas potencias. De este modo introducimos las potencias adimensionalizadas a traves de las

siguientes expresiones:

Qh(aFh) ≡ Qh

σhTh

= aFh − 1 (4.1)

Qc(aFh ;σr, τ) ≡ Qc

σhTh

=τ(aF

h − 1)

aFh + σr(aF

h − 1)(4.2)

R(aFh ;σr, τ) ≡ Qc

σhTh

=τ(aF

h − 1)

aFh + σr(aF

h − 1)(4.3)

Th ∆S(aFh ;σr, τ) ≡ Tc ∆S(aF

h ;σr, τ)

σhTh

=(aF

h − 1)(

1− 1

aFh + σr (aF

h − 1)

)(4.4)

53

54 CAPITULO 4. APLICACION A FRIGORIFICOS


Segun la ec. (2.1), que define de manera general la funcion χ, para el frigorıfico endorre-

versible se tiene z ≡ ε, Qabsorbido ≡ Qc y tciclo = t, con lo que:

χ = εQc

t(4.5)

La sustitucion de las ecuaciones (4.2) y (1.42) en la ecuacion (4.5) permite obtener la funcion

χ para

χ(aFh ;σr, τ) ≡ χ

σhTh

=τ 2(aF

h − 1)

(aFh + σr(aF

h − 1))(aFh − τ + σr(aF

h − 1))(4.6)


del frigorıfico bajo el criterio de la funcion χ consideraremos que las temperaturas de los focos

externos tienen valores fijos determinados por Th y Tc y que los valores de las conductancias σh

y σc asociadas a los procesos de intercambio de calor entre los focos termicos no varıan. De este

modo el regimen de funcionamiento optimo lo obtendremos determinando para que valores

del parametro aFh la funcion χ(aF

h ;σr, τ) toma un valor maximo. Esta condicion se expresa

matematicamente: (∂χ

∂aFh

)∣∣∣∣aF

h =aFhmaxχ

= 0(∂2χ

∂aFh

2

)∣∣∣∣∣aF

h =aFhmaxχ

< 0 (4.7)


χ(aFh ;σr, τ) presente un valor maximo para:

aFhmaxχ

= 1 +

√1− τ

1 + σr

(4.8)

donde recordamos que τ ≡ Tc

Th.

Sustituyendo la ecuacion (4.8) en la ecuacion (1.42) permite obtener la expresion de la

eficiencia del frigorıfico endorreversible en condiciones de maxima funcion χ:

εFEmaxχ ≡ ε(aF

h = aFhmaxχ

) =τ

1− τ +√

1− τ(4.9)

4.1. FRIGORIFICO TIPO CARNOT ENDORREVERSIBLE 55

Ademas, la potencia de refrigeracion a maxima funcion χ es de la forma

RFE

maxχ = R(aFh = aF

hmaxχ) =

τ

(1 + σr)

√1− τ

(1 +√

1− τ)(4.10)

Finalmente podemos obtener la potencia extra a maxima funcion χ sustituyendo ahmaxχ en

(4.4), siendo

Th∆SFEmaxχ ≡ Th∆S(aF

h = aFhmaxχ

) =(1− τ)

(1 + σr)(1 +√

1− τ)(4.11)


La funcion Ω estaba definida de manera general por la ecuacion (2.7), y para ella en este

caso se tiene z ≡ ε, zmin = 0, zmin = εC, donde εC es la eficiencia de Carnot (1.43), y Eu = Qc,

con lo que a partir de la ecuacion (2.7):

Ω = (2ε− εC)Qc

ε(4.12)

Luego sustituyendo (1.42),(4.2) y la eficiencia de Carnot, podemos obtener la funcion

Ω = Ω/t, y finalmente:

Ω(aF

h ;σr, τ)≡ Ω

σhTh

=(aF

h − 1)τ(τ − 2 + aFh − σr + aF

hσr)

aFh(aF

h − σr + aFhσr)(τ − 1)

(4.13)


frigorıfico bajo el criterio de la funcion Ω, consideraremos que las temperaturas de los focos

externos tienes valores fijos determinados por Th y Th, y que los valores de las conductancias σh

y σc asociadas a los procesos de intercambio de calor entre los focos termicos no varıan. De este

modo el regimen de funcionamiento optimo lo obtendremos determinando para que valores

del parametro aFh la funcion Ω

(aF

h ;σr, τ)

tomo un valor maximo. Esta condicion se expresa

matematicamente como sigue: (∂ ¯Ω

∂aFh

)∣∣∣∣∣aF

h =aFhmaxΩ

= 0

(∂2 ¯Ω

∂aFh

2

)∣∣∣∣∣aF

h =aFhmaxΩ

< 0 (4.14)


Al imponer de las condiciones (4.14) en la ecuacion (4.13) obtenemos que la funcion Ω(aF

h ;σr, τ)

presenta un valor maximo para:

aFhmaxΩ

=σr +

√2− τ

1 + σr

(4.15)

Sustituyendo (4.15) en (1.42) encontramos la siguiente expresion de la eficiencia a maxima

funcion Ω:

εFEmaxΩ ≡ ε

(aF

h = aFhmaxΩ

)=

τ√2− τ − τ

(4.16)

La potencia de refrigeracion a maxima funcion Ω es

RFE

maxΩ ≡ R(aF

h = aFhmaxΩ

)=

τ

(1 + σr)

(1− 1√

2− τ

)(4.17)

y finalmente podemos obtener la potencia extra a maxima Ω sustituyendo ahmaxΩen (4.4)

siendo

Th∆SFE

maxΩ ≡ Th∆S(aF

h = aFhmaxΩ

)=

(1−√

2− τ)2

(1 + σr)√

2− τ(4.18)

4.2. Frigorıfico tipo Carnot irreversible

Las ecuaciones (1.79), (1.80), (1.81), (1.84) y (1.85) ponen de manifiesto, que fijadas las

temperaturas de los focos termicos externos, el modelo irreversible utilizado para un frigorıfico

tipo Carnot irreversible depende de dos parametros independientes: los tiempos caracterısti-

cos th y tc asociados a los procesos de intercambio de energıa en forma de calor con los

focos termicos externos; y dos parametros de control: las variaciones de entropıa de los fo-

cos correspondientes a un motor de Carnot que trabajase entre esos mismos focos ±∆S, y

la constante que caracteriza los crecimientos de entropıa de los focos termicos debido a las

irreversibilidades Σ. Ası pues, a partir de (1.79), (1.85) y (1.84) se definen:

∆ST(tc, th; Σ) ≡ ∆ST = Σ

(1

th+

1

tc

)> 0 (4.19)

R(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ R =

Tc

(∆S − Σ

tc

)tc + th

(4.20)

ε(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ ε =

Tc

(∆S − Σ

tc

)−Th

(−∆S − Σ

th

)− Tc

(∆S − Σ

tc

) (4.21)

4.2. FRIGORIFICO TIPO CARNOT IRREVERSIBLE 57


La ecuacion (2.1) define de manera general la funcion χ. Para este caso se tiene la eficiencia

z ≡ ε, el calor absorbido Qabsorbido ≡ Qc, y el tiempo de duracion de un ciclo tciclo = tc + th,

con lo que:

χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) ≡ εQc

(tc + th)(4.22)


frigorıfico bajo el criterio de la funcion χ, consideraremos que las temperaturas de los focos


control ±∆S y Σ no varıan. De este modo el regimen de funcionamiento optimo lo obtendre-

mos determinando para que valores de los parametros tc y th la funcion χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th)

toma un valor maximo. Esta condicion se expresa matematicamente de la siguiente forma:(∂χ

∂tc


th = thmaxχ

= 0

(∂χ

∂th


th = thmaxχ

= 0

(∂χ

∂tc

)(∂χ

∂th

)−[(

∂2χ

∂tc∂th

)]2∣∣∣∣∣ tc = tcmaxχ

th = thmaxχ

< 0 (4.23)

La imposicion de las condiciones dadas por (4.23) en la ecuacion (4.22) proporciona que

la funcion χ(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) presente un valor maximo para:

tcmaxχ =2Σ

∆S

(1 +

1√1− τ

)(4.24)

thmaxχ =2Σ

∆S

1√1− τ

(4.25)

donde τ ≡ Tc

Th.

Al sustituyendo las ecuaciones (4.24) y (4.25) en la ecuacion (1.84) obtenemos la expresion

de la eficiencia en condiciones de maxima funcion χ:

εFImaxχ =

τ

1− τ +√

1− τ(4.26)


Este resultado coincide con el obtenido para la eficiencia optimizada segun el mismo criterio

de la funcion χ en el Modelo Endorreversible (vease ecuacion(4.9)).

Finalmente sustituyendo (4.24) y (4.25) en (1.86) obtenemos la expresion de la potencia

de refrigeracion a maxima χ:

RFImaxχ =

∆S2Th

4Σ

τ√

1− τ(1 +

√1− τ)

(4.27)

Sustituyendo (4.24) y (4.25) en la ecuacion(1.79) obtenemos la expresion de la potencia

extra a maxima χ:

Th∆SFImaxχ =

(∆S)2Th

4Σ

(1− τ)

(1 +√

1− τ)(4.28)

Las ecuaciones (4.26), (4.27) y (4.28) coinciden respectivamente con las ecuaciones (4.9), (4.10)

y (4.11) en su dependencias con τ , donde el factor (∆S)2Th/(4Σ) unicamente proporciona las

dimensiones de energıa en el presente modelo. Por tanto el Modelo Endorreversible y el Modelo

Irreversible dan lugar a los mismos resultados para el regimen de funcionamiento del frigorıfico

bajo el criterio de la funcion χ.


La ecuacion(2.7) define de manera general la funcion Ω. Para el frigorıfico irreversible se

tiene z ≡ ε, zmin = 0, zmin = εC, donde εC es la eficiencia de Carnot, y Eu = Qc, con lo que a

partir de la ecuacion(2.7):

Ω(Σ,∆S, Tc, Th) = (2ε− εC)Qc

ε(4.29)

Como el tiempo de duracion de un ciclo es tciclo = tc + th, la funcion Ω por unidad de

tiempo sera de la forma:

Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) = (2ε− εC)Qc

ε(tc + th)(4.30)

donde sustituimos Qc por la expresion definida en (1.81), ε por la expresion definida en

(1.84), y εC por (1.43), entonces la funcion Ω por unidad de tiempo queda expresada de la

siguiente forma:

Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) =Tc

tc + th

[∆S +

Σ

Tc − Th

(2Th − Tc

tc+Th

th

)](4.31)


frigorıfico bajo el criterio de la funcion Ω, consideraremos que las temperaturas de los focos

4.2. FRIGORIFICO TIPO CARNOT IRREVERSIBLE 59


control ±∆S y Σ no varıan. De este modo el regimen de funcionamiento optimo lo obtendre-

mos determinando para que valores de los parametros tc y th la funcion Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th)

toma un valor maximo. Esta condicion se expresa matematicamente de la siguiente forma:(∂Ω

∂tc


th = thmaxΩ

= 0

(∂Ω

∂th


th = thmaxΩ

= 0

(∂Ω

∂tc

)(∂Ω

∂th

)−

[(∂2Ω

∂tc∂th

)]2∣∣∣∣∣ tc = tcmaxΩ

th = thmaxΩ

< 0 (4.32)


Ω(tc, th; Σ,∆S, Tc, Th) presente un valor maximo para:

tcmaxΩ=

2Σ(2− τ +√

2− τ)

∆S(1− τ)(4.33)

thmaxΩ=

2Σ(1 +√

2− τ)

∆S(1− τ)(4.34)

donde τ ≡ Tc

Th.

Sustituyendo estos resultados, (4.34) y (4.33), en la ecuacion (1.84) obtenemos la expresion

de la eficiencia de un frigorıfico irreversible a maxima funcion Ω:

εFImaxΩ =

τ√2− τ − τ

(4.35)

La potencia de refrigeracion generada durante un ciclo en regimen de maxima funcion Ω

la obtenemos sustituyendo (4.34) y (4.33) en la ecuacion (1.86):

RFImaxΩ =

(∆S)2Th

4Στ

(1− 1√

2− τ

)(4.36)

y la potencia extra a maxima funcion Ω se obtiene al sustituir (4.34) y (4.33) en la ecuacion

(1.69) es:

Th∆SFImaxΩ =

(∆S)2Th

4Σ

(√

2− τ − 1)2

√2− τ

(4.37)



(4.10) y (4.18) en su dependencias con τ , el factor (∆S)2Th/(4Σ) unicamente proporciona

las dimensiones de energıa en el presente modelo. Por tanto el Modelo Endorreversible y el

Modelo Irreversible dan lugar a los mismos resultados para el regimen de funcionamiento del

frigorıfico bajo el criterio de la funcion Ω.


criterios de optimizacion

4.3.1. Eficiencia

Las ecuaciones (4.9) y (4.26) muestran que para el criterio χ se verifica:

εmaxχ ≡ εFEmaxχ = εFI

maxχ =τ

1− τ +√

1− τ(4.38)

mientras que para el criterio Ω las ecuaciones (4.16) y (4.35) verifican:

εmaxΩ ≡ εFEmaxΩ = εFI

maxΩ =τ√

2− τ − τ(4.39)

En el cuadro 4.1 se muestran datos experimentales para un frigorıfico de compresor de flujo

axial trabajando en regimen de alta temperatura.

En la figura 4.1 se representan con respecto a τ las eficiencias a maxima funcion χ, εmaxχ,

y a maxima funcion Ω, εmaxΩ, y la eficiencia de Carnot junto con los datos correspondientes

a las eficiencias del frigorıfico considerado (vease cuadro 4.1). En esta figura se observa que

para valores altos de τ , εmaxΩ presenta valores muy proximos a los observados en frigorıficos

reales, mientras que εmaxχ presenta valores claramente inferiores a los observados.

4.3.2. Potencia de refrigeracion

Las ecuaciones (4.10) y (4.27) muestran que para el criterio χ se verifica:

Rmaxχ ≡ (1 + σr)RFE

maxχ =4Σ

(∆S)2Th

RFImaxχ =

τ√

1− τ(1 +√

1− τ) (4.40)

Las ecuaciones (4.17) y (4.36) muestran que para el criterio de la funcion Ω se verifica:


Cuadro 4.1: Datos experimentales para frigorıficos de altas temperaturas [27].

Tc(K) Th(K) τ εexp ε−1exp εC

283 293 0.967 14.085 0.071 28.300

283 298 0.950 11.111 0.090 18.867

283 303 0.934 9.009 0.111 14.150

283 308 0.919 7.407 0.135 11.320

283 313 0.904 6.135 0.163 9.433

273 293 0.932 8.333 0.120 13.650

273 298 0.916 7.407 0.135 10.920

273 303 0.901 6.135 0.163 9.100

273 308 0.886 5.102 0.196 7.800

273 313 0.872 4.255 0.235 6.825

263 293 0.898 6.135 0.163 8.767

263 298 0.883 5.000 0.200 7.514

263 303 0.868 4.545 0.220 6.575

263 308 0.854 3.610 0.277 5.844

263 313 0.840 2.950 0.339 5.260

253 293 0.864 4.292 0.233 6.325

253 298 0.849 3.610 0.277 5.622

253 303 0.835 3.021 0.331 5.060

253 308 0.821 2.538 0.394 4.600

253 313 0.808 2.183 0.458 4.217

233 293 0.795 1.792 0.558 3.883

233 298 0.782 1.471 0.680 3.585

233 303 0.769 1.203 0.831 3.329

233 308 0.757 0.982 1.018 3.107

233 313 0.744 0.784 1.275 2.913


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

τ

ε-1

Figura 4.1: Eficiencia de un frigorıfico tipo Carnot a maxima funcion χ, εmaxχ (——), a maxima

funcion Ω, εmaxΩ (——), y la eficiencia de Carnot (- - -), junto a las eficiencias correspondientes

al frigorıfico real en regimen de alta temperatura considerado (. . . )(vease cuadro 4.1).

RmaxΩ ≡ (1 + σr)RFE

maxΩ =4Σ

(∆S)2Th

RFImaxΩ =

1

(1 + σr)τ

(1− 1√

2− τ

)(4.41)

En la figura 4.2 se representan frente a τ la potencia de refrigeracion a maxima funcion χ,

Rmaxχ, y a maxima funcion Ω, RmaxΩ. Ambas funciones son monotonas crecientes para valo-

res pequenos de τ , a continuacion presentan un valor maximo y finalmente decrecen con τ .

Segun se puede observar en el cuadro 4.1, los regımenes de funcionamiento del frigorıfico real

considerado presentan valores de τ comprendidos en el intervalo [0,74; 0,97], estos valores pre-

dicen altas potencias de refrigeracion en ambos criterios, siendo mucho mayor la potencia de

refrigeracion a maxima funcion χ.

4.3.3. Potencia extra

Las ecuaciones (4.11) y (4.28) muestran que:

Th∆Smaxχ ≡ (1 + σr)Th∆SFE

maxχ =4Σ

(∆S)2Th

Th∆SFImaxχ =

(1− τ)

(1 + σr)(1 +√

1− τ)(4.42)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

τ

Ropt

Figura 4.2: Potencia de refrigeracion a maxima funcionχ, Rmaxχ (——) y la maxima funcion Ω,

RmaxΩ (——).

y las ecuaciones (4.18) y (4.37) verifican:

Th∆SmaxΩ ≡ Th∆SFE

maxΩ =4Σ

(∆S)2Th

Th∆SFImaxΩ =

(1−√

2− τ)2

(1 + σr)√

2− τ(4.43)

En la figura 4.3 se representa la potencia extra de refrigeracion a maxima χ, Th∆Smaxχ,

y a maxima funcion Ω, Th∆SmaxΩ, con respecto a τ . Ambas funciones son monotonas decre-

cientes con τ , y para los valores de τ correspondientes al frigorıfico real considerado (vease

cuadro 4.1) presentan valores bajos.

Estos resultados junto con los presentados en la figura 4.2 muestran que los datos de

funcionamiento de dicho frigorıfico corresponderıan a regımenes de alta potencia de refrige-

racion y efectos disipativos pequenos. Este hecho se pone de manifiesto especialmente en el

regimen de funcionamiento a maxima Ω, pues la optimizacion de esta funcion conlleva una

minimizacion de los efectos disipativos.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5(T

hΔS)

τ

opt

.

Figura 4.3: Potencia extra de refrigeracion a maxima funcion χ, Th∆Smaxχ (——), y a maxima

funcion Ω, Th∆SmaxΩ (——).

4.4. Cotas para la eficiencia de un frigorıfico tipo

Carnot

Al igual que en el caso de motores, se pueden obtener expresiones para εmaxχ y εmaxΩ en

terminos de la eficiencia de Carnot. El analisis del comportamiento lımite de estas eficiencias

en terminos de εC permite establecer cotas para las mismas.

4.4.1. Cotas para la eficiencia a maxima funcion χ

La ecuacion (4.38) muestra que εmaxχ es una funcion monotona creciente en τ para la cual,

ademas , se verifica:

lımτ→1

εmaxχ(τ) =∞ (4.44)

lımτ→0

εmaxχ(τ) = 0 (4.45)

0 ≤ εmaxχ(τ) ≤ ∞ (4.46)

Ademas teniendo en cuenta (4.38) y que εC = τ/(1− τ) se tiene

εmaxχ(τ)

εC

=1− τ

1− τ +√

1− τ; (4.47)

4.4. COTAS PARA LA EFICIENCIA DE UN FRIGORIFICO TIPO CARNOT 65

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

ε

ε

C

Figura 4.4: εsupmaxχ (——) y εinf

maxχ ≡ 0 junto a los datos correspondientes a eficiencias de

frigorıficos reales de alta temperatura, (. . . ), recogidos en el cuadro (4.1).

de manera que a partir de (4.47) la funcion εmaxχ/εC es una funcion monotona decreciente

en τ para la que ademas se verifica:

lımτ→1

εmaxχ(τ)

εC

= 0 (4.48)

lımτ→0

εmaxχ(τ)

εC

=1

2(4.49)

con lo cual

0 ≤ εmaxχ(τ)

εC

≤ 1

2(4.50)

y por tanto se obtiene

εinfmaxχ ≡ 0 ≤ εmaxχ ≤

1

2εC ≡ εsup

maxχ (4.51)

En la figura 4.4 se representa εsupmaxχ y εinf

maxχ junto a las eficiencias correspondientes al

frigorıfico real considerado, cuadro 4.1. En esta figura se observa que las eficiencias reales

correspondientes a valores de τ comprendidos en el intervalo [0,74; 0,80] (εC ε [2,90; 4,20]) pre-

sentan valores comprendidos entre las cotas calculadas. Este hecho indica que en los casos

mencionados anteriormente los comportamientos observados para el frigorıfico real correspon-

derıan a regımenes optimos de la funcion χ.


4.4.2. Cotas de la eficiencia optimizada segun Ω

La ecuacion (4.39) es una funcion monotona creciente con τ que verifica:

lımτ→1

εmaxΩ(τ) =∞ (4.52)

lımτ→0

εmaxΩ(τ) = 0 (4.53)

0 ≤ εmaxΩ(τ) ≤ ∞ (4.54)

A partir de (4.39) y teniendo en cuenta que εC = τ/(1− τ) se tiene

εmaxΩ(τ)

εC

=1− τ√

2− τ − τ; (4.55)

de manera que

lımτ→1

εmaxΩ(τ)

εC

=2

3(4.56)

lımτ→0

εmaxΩ(τ)

εC

=1√2

(4.57)

Ası pues, obtenemos2

3≤ εmaxΩ(τ)

εC

≤ 1√2

; (4.58)

de donde finalmente se obtienen las cotas superior e inferior para εmaxΩ:

εinfmaxΩ ≡

2

3εC ≤ εmaxΩ(τ) ≤ 1√

2εC ≡ εsup

maxΩ (4.59)

En la figura 4.59 se representan εinfmaxΩ y εsup

maxΩ junto con las eficiencias correspondientes al fri-

gorıfico real cuyos datos se recogen en el cuadro 4.1. En esta figura se observa que las eficiencias

reales correspondientes a valores de τ en el intervalo [0,85; 0,92] , (εC ε [5,62; 11,31]), presentan

valores proximos a los limitados por ambas cotas. Este hecho indica que en los casos mencio-

nados anteriormente los comportamientos observados para el frigorıfico real corresponderıan

a regımenes optimos de la funcion Ω.

4.4. COTAS PARA LA EFICIENCIA DE UN FRIGORIFICO TIPO CARNOT 67

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

ε

εC

Figura 4.5: εinfmaxΩ (- - - ) y εsup

maxΩ (——), junto con las eficiencias correspondientes a frigorıficos

reales de alta temperatura (. . . ) recogidas en el cuadro 4.1.

Capıtulo 5

Conclusiones

El presente trabajo se encuentra englobado dentro de la lınea de investigacion corres-

pondiente a Optimizacion Termodinamica de convertidores energeticos. En particular nuestro

interes se centra en las maquinas termicas tipo Carnot optimizadas a traves de criterios aplica-

bles a cualquier tipo de ellas. En este contexto las principales conclusiones del trabajo pueden

resumirse en los siguientes puntos:

1. Se presentan dos modelizaciones tanto para motores como para frigorıficos. La primera

de ellas esta fundamentada en la hipotesis de endorreversibilidad unida a leyes newto-

nianas de conduccion de calor para modelizar los intercambios de calor con los focos

termicos; y la segunda se basa en una modelizacion de la generacion de entropıa en los

intercambios de calor con los focos termicos inversamente proporcional a los tiempos de

duracion de dichos procesos.

2. Se obtienen los regımenes optimos bajo dos criterios de optimizacion aplicables a motores

y frigorıficos. Esto conlleva la introduccion del criterio de la funcion χ y la consideracion

del criterio de la funcion Ω.

3. El modelo endorreversible presenta un parametro de optimizacion constituido por la

relacion entre las temperaturas de los focos termicos externo e interno de alta tempera-

tura. Por su parte, el modelo irreversible consta de dos parametros de optimizacion: los

tiempos de duracion de los procesos de intercambio de calor del sistema de trabajo con

los focos termicos.

4. Los criterios aplicados dan lugar a regımenes de funcionamiento optimos que son identi-

cos para ambas modelizaciones. De este modo, en condiciones de maxima χ los motores

69

70 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

endorreversibles e irreversibles presentan identicas expresiones para el rendimiento, la

potencia y la generacion de entropıa. Lo mismo sucede para estos motores en condicio-

nes de maxima funcion Ω. De igual modo en condiciones de maxima χ los frigorıficos

endorreversibles e irreversibles tipo Carnot considerados presentan identicas expresiones

para la eficiencia, la potencia de refrigeracion y la generacion de entropıa. Lo mismo

sucede para estos frigorıficos en condiciones de maxima funcion Ω. Esto nos permite con-

cluir que ambos modelos son equivalentes con respecto a los criterios de optimizacion

utilizados.

5. La expresion del rendimiento de los motores tipo Carnot considerados en condiciones

de maxima χ unicamente depende de la relacion entre las temperaturas de los focos

termicos externos frıo y caliente. Esto permite expresar este rendimiento en funcion del

rendimiento de un motor de Carnot que trabajase entre los mismos focos, y obtener

cotas inferiores y superiores para este rendimiento optimizado.

6. La expresion del rendimiento de los motores tipo Carnot en condiciones de maxima Ω

unicamente depende de la relacion entre las temperaturas de los focos termicos externos

frıo y caliente. Esto permite expresar este rendimiento en funcion del rendimiento de

un motor de Carnot que trabajase entre los mismos focos, y obtener cotas inferiores y

superiores para este rendimiento optimizado.

7. La comparacion de las cotas obtenidas con el criterio de la funcion χ para el rendimiento

con valores del rendimiento correspondientes a plantas de potencia reales, pone de ma-

nifiesto que la mayorıa de estos rendimientos estan comprendidos entre las cotas inferior

y superior del rendimiento en regimen optimo. Para el caso de la funcion Ω ambas cotas

tienen valores superiores a los correspondientes a plantas de potencia reales.

8. La comparacion de las cotas obtenidas con el criterio de la funcion Ω para la eficiencia

con valores de la misma correspondientes a frigorıficos reales, pone de manifiesto que

de estas eficiencias tienen valores proximos a los predichos por el regimen optimo. Para

el caso de la funcion χ ambas cotas tienen valores inferiores a los correspondientes a

frigorıficos reales.

9. La comparacion entre los resultados correspondientes a estos criterios con datos corres-

pondientes a maquinas termicas reales permite extraer las siguientes conclusiones:

71

El rendimiento de los motores tipo Carnot en condiciones de maxima Ω es superior

al correspondiente a maxima χ, y a su vez ambos son inferiores al rendimiento de

Carnot. Los valores de los rendimientos correspondientes a ambas optimizaciones

presentan un acuerdo razonable con los valores de los rendimientos observados en

plantas de potencia reales.

La eficiencia de los frigorıficos tipo Carnot en condiciones de maxima Ω es superior

a la correspondiente a maxima χ, y ambas son inferiores a la eficiencia de Carnot.

Los valores de las eficiencias a maxima funcion χ presentan un acuerdo razonable

con las eficiencias observadas para el frigorıfico real en regımenes correspondientes

a τ mas bajos. Los valores de las eficiencias a maxima funcion Ω presentan un

acuerdo razonable con las eficiencias observadas para el frigorıfico real en regımenes

correspondientes a τ mas altos.

La potencia producida por motores tipo Carnot en condiciones de maxima χ es

superior a la correspondiente a maxima Ω.

La potencia de refrigeracion producida para frigorıficos tipo Carnot en condiciones

de maxima χ es superior a la correspondiente a maxima Ω. Los comportamien-

tos observados para el frigorıfico real corresponden a potencias de refrigeracion a

maxima χ y a maxima Ω elevadas.

La potencia perdida para motores tipo Carnot en condiciones de maxima χ es

superior a la correspondiente a maxima Ω.

La potencia extra para frigorıficos tipo Carnot en condiciones de maxima χ es

superior a la correspondiente en condiciones de maxima Ω. Los comportamientos

observados para el frigorıfico real corresponden a regımenes de funcionamiento a

maxima χ y a maxima Ω para los cuales los efectos disipativos son bajos.

Bibliografıa

[1] F. L. Curzon y B. Ahlborn, Am. J. Phys., 43, 22-24 (1975).

[2] B. Andresen, P. Salamon y R. S. Berry, J. Chem. Phys. 66, 1571 (1997).

[3] B. Andresen, P. Salamon y R. S. Berry, Phys. Today 37, 62 (1984).

[4] A. De Vos, Endorreversible Thermodynamics of Solar Energy Conversion. Ed. Oxford

University Press, Oxford (1992).

[5] S. Sieniutyczn, P. Salamon y R. S. Berry, Finite-Time Thermodynamics and Thermoe-

conomics. Ed. Taylor and Francis, Nueva York (1990).

[6] B. Gaveau, M. Moreau y L. S. Shulman, Phys. Rev. Lett. 1052, 060601-1-060601-4

(2010).

[7] Z. Yang y J. Chen, J. Phys. D 23, 136 (1990).

[8] S. Velasco, J. M. M. Roco, A. Medina y A. Calvo Hernandez, Phys. Rev. Lett. 78, 3241

(1997).

[9] A. Calvo Hernandez, A. Medina, J. M. M. Roco, J.A. White y S. Velasco, Phys. Rev. E

68, 037102-1 (2001).

[10] F. Angulo-Brown, J. App. Phys, 69, 7465 (1991).

[11] C. Fernandez y S. Velasco, Termodinamica. Ed. universitaria Ramon Areces, Madrid, pp.

228-230 (2010).

[12] J. Chen, J. Phys. D 27, 1144 (1994).

[13] A. Parmeggiani, F. Julicher, A. Ajdary y J. Prost, Phys. Rev. E 60, 2127 (1999).

73

74 BIBLIOGRAFIA

[14] I. Derenyi, M. Bier y R. D. Astumian, Phys. Rev. Lett. 83, 903 (1999).

[15] D. P. Sekulic, J. App. Phys. 83, 4561 (1998).

[16] M. Esposito, R. Kawai, K. Lindenberg y C. Van den Broeck, Phys. Rev. Lett. 105,

150603-1 (2010).

[17] S. Carnot, Reflexions sur la puissance motrice du feu. Paris: Bachelier (1824).

[18] R. Clausius, Theorie Mecanique de la Chaleur. Gauthier-Villars. Paris (1888).

[19] J. Kestin, The Second Law of Thermodynamics. Ed. Dowden, Hutchingson and Ross,

Inc., Pennsylvania, pp. 87-98, 133-161 y 162-193 (1976).


214-216 (2010).


227-228 (2010).

[22] A. E. Allahverdhyan, K. Hovhannisyian y G. Mahler, Phys. Rev. E 82, 051129-1-051129-

11 (2010).

[23] S. Velasco, J. M. M. Roco, A. Medina, J. A. White y A. Calvo Hernandez, J. Phys. D:

Appl. Phys. 33, 355-359 (2000).

[24] H. B. Callen, Thermodynamics and an introduction to Thermostatistics. Ed. Wiley, Nueva

York (1985).

[25] A. Bejan, Advanced Engineering Thermodynamics. Ed. Wiley, Nueva York (1997).

[26] N. Sanchez Salas, S. Velasco y A. Calvo Hernandez, Energy Conversion and Management

43, 2341 (2002).

[27] J. M. Gordon y C. N. Kim, Cool Thermodynamics. Cambridge Int. Science Publishing,

Cornwall, Reino Unido (2000).

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UNIVERSIDAD DE SALAMANCA FACULTAD DE …diarium.usal.es/termodinamica/files/2015/11/tesinaCarla.pdf · Me gustar a agradecer a todos los profesores del Area de F sica Aplicada su