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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES CÁTEDRA DE BIOFÍSICA

FACULTAD DE ODONTOLOGÍA

MANUAL DE ESTADÍSTICA PRÁCTICA

para estudiantes y profesionales de la salud

Prof. Dr. JUAN PEDRO HECHT

Edición v.1.02 (Marzo 2008)

AÑO 2008

MANUAL DE ESTADÍSTICA PRACTICA –J.P.Hecht- Biofísica - FOUBA – Ed. v.1.02 (2008) Página 2 -175

PROLOGO

La estadística es la matemática de la experimentación. Los experimentos son la base del progreso de las ciencias naturales, a las cuales pertenecen las disciplinas vinculadas al arte de curar. Este libro está dedicado especialmente a los profesionales (o futuros profesionales) de las ciencias de la salud que necesiten cubrir su formación básica en esta disciplina, pero también aporta lo suficiente como para capacitar con lo esencial al investigador que desee complementar sus conocimientos específicos con la base metodológica mínima de estadística aplicada. El objetivo de mínima es dar a conocer los fundamentos de la estadística que permitan orientar al lector en el amplio abanico de técnicas disponibles y permitirle consultar (llegado el caso) a la bibliografía específica o pedir el asesoramiento de docentes e investigadores vinculados a la práctica de la estadística. Los experimentos se llevan a cabo con el objeto de contestar alguna pregunta o preguntas en las cuales esté interesado el investigador, pero es raro que las respuestas a esos interrogantes se puedan conocer antes de efectuarse un análisis estadístico adecuado. Resulta que los resultados de los experimentos en ciencias naturales (física, química y biología entre otras) normalmente son afectados por muchos factores ajenos a los propios de interés, y en mayor o menor grado esos factores son desconocidos por el investigador. Cada uno de esos múltiples factores suele influir los resultados en modo reducido pero absolutamente impredecible y constituyen una fuente potencial y continua de errores en la interpretación de los resultados. La situación sería difícil de controlar si no existiese una herramienta que auxilie en el filtrado del “ruido” y la potenciación de las reales “señales” buscadas por el investigador. La estadística es la herramienta o la disciplina que se ocupa de describir en forma racional y objetiva los sistemas sometidos al azar y que permite la toma de decisiones con riesgo calculado en ambientes de incertidumbre. Los objetivos del análisis estadístico son (1) reducir la complejidad de los datos obtenidos que normalmente escaparían a la capacidad de comprensión del investigador y presentarlos como datos elaborados en un formato accesible y objetivo y (2) estimar el significado y la importancia de esos datos elaborados indicando adecuadamente la participación del azar involucrado en los experimentos y permitiendo por ende tomar decisiones independiente del mismo y fundamentadas sobre el comportamiento de los sistemas en estudio. La estadística no es buena ni mala, es simplemente una herramienta que mal usada puede servir para engañar, vender, ocultar o dominar mediante la desinformación y usada por inexpertos puede llevar a conclusiones tan falsas como complicadas. Bien usada es una panacea que permite tomar decisiones fundamentadas y objetivas, definiendo el progreso de todas las ciencias naturales. La estadística es uno de los factores más importantes que ayudan al progreso en cirugía, en farmacología o en


diagnóstico por imágenes. Si la medicina progresa con la velocidad con la cual lo hace, lo es en gran parte gracias a que cada día, en cada experimento, desde un hospital, desde el ignoto laboratorio de la Universidad o desde el centro de investigación y desarrollo de las grandes compañías farmacéuticas, se emplea estadística para todo tipo de investigación. Para el desarrollo de los tópicos, se trató de respetar la rigurosidad del tratamiento brindando todos los medios para que el lector pueda entender cada técnica y resolver por analogía cualquiera de los modelos aquí presentados, ya sea en forma manual o para validar los resultados que le brinden programas estadísticos de computación. Sin embargo este libro, aunque bien intencionado, es forzosamente incompleto. Sólo se pretende presentar lo clásico y fundamental, pero debe recordarse que la estadística es dinámica y continuamente se desarrollan nuevas técnicas y ensayos. Además, cuando requiera resolver temas específicos que no estén aquí cubiertos, recurra a la bibliografía de nivel intermedio que recomendamos, y cuando fuese posible recurra al asesoramiento y la guía de investigadores con experiencia. Se dio un énfasis particular a la inclusión de ejemplos numéricos resueltos paso a paso para cada ensayo o tema bajo estudio. El lector podrá reemplazar sus propios datos en cada modelo y obtener los resultados correspondientes en forma autosuficiente.


COMO LEER ESTE MANUAL Este libro sirve a un doble propósito: iniciar al lector en el criterio estadístico y servir como libro de consulta por los detalles de algún ensayo en particular, cuando se presente esa necesidad. Mas allá de lo que sucede con muchos libros de introducción a la estadística, esta obra no quiere quedarse a mitad de camino sacrificando la rigurosidad o los detalles en aras de una fácil (y a veces errada) comprensión superficial. Pero, la estadística es una parte de la matemática aplicada y por ende es una disciplina que posee un formalismo a veces oscuro para el lector inadvertido y otras veces exigente con algunos temas básicos del álgebra lineal, la combinatoria y el análisis matemático. Obviamente no podemos ni pretendemos enseñar matemáticas para lograr nuestro propósito, pero agregamos las aclaraciones del caso cuando recurramos a técnicas matemáticas no habituales para los estudiantes y graduados de las ciencias vinculadas a la salud. Además incluimos en la bibliografía libros de fácil lectura donde el lector interesado podrá adquirir lo que le falte por auto capacitación. Desde el punto de vista conceptual, este libro está claramente dividido en dos partes. Los Capítulos I, II y V son eminentemente formativos y los Capítulos III y IV informativos. Los primeros están dedicados a la formación de criterio estadístico y los segundos a servir como base de consulta.

Por lo tanto, recomendamos especialmente a los alumnos de pregrado y posgrado de las ciencias de la salud y que se recién se inician en estadística, a no dejarse llevar por los detalles computacionales sino más bien intentar captar los fundamentos y la esencia del criterio estadístico que se pretende enseñar. No hay posibilidad de comprensión de ninguna disciplina sin el consabido esfuerzo por parte del alumno o cursante. Deseamos haber sido útiles para facilitarles el camino.

Además, en el texto se han intercalado “bloques formales” que requieren ciertos conocimientos previos de matemáticas por parte del lector. Estos detalles pueden ser obviados en una primer lectura y ser consultados cuando sea menester entrar en detalles. Estor “bloques” aparecen con letra chica, recuadrados y grisados como el presente párrafo. No se preocupe por ellos si tiene dificultad en entenderlos, le serán útiles cuando decida profundizar el tema.


TABLA DE SIMBOLOS Y ABREVIATURAS FRECUENTES

Nota: En este libro nos tomamos la libertad literaria de usar determinados vocablos de la estadística como “test” y “standard” en su forma habitual y no traducida al español. Desde luego se trata de una excepción y en general estos términos aparecerán en itálicas y entre comillas. x, y, z Variables estadísticas N, n Tamaño muestral (cantidad de observaciones individuales que contiene)

∑=

n

iix

1 Sumatoria (suma) de las n observaciones individuales xi (donde 1 ≤ i ≤ n)

μ Media Poblacional

x Promedio muestral (=n

xn

ii∑

=1 )

2σ Varianza poblacional

s2 Varianza muestral (1

/)(1 1

22

−

−=

∑ ∑= =

n

nxxn

i

n

iii

)

N(μ, σ) Distribución normal (promedio, desvío standard) DS Desviación Standard muestral (=s) ES Error Standard muestral (= ns / )

z Variable normalizada N(0,1) (=s

xx − )

t Estadístico de ensayo de la prueba t-Student F Estadístico de ensayo de la prueba F-Snedecor (Fisher) χ2 Estadístico de ensayo de la prueba ji-cuadrado g.de l. Grados de libertad asociados a un estadístico de ensayo H0, H1 Hipótesis estadísticas nula y alternativa p Probabilidad α, β Error de Tipo I (nivel de significación), Error del Tipo II ANOVA, ANCOVA Análisis de varianza, análisis de covarianza SC (o SS), MC (o MS) Suma de cuadrados, Media cuadrada ex, exp(x) Función exponencial base e=2,7182818284590452353602874713527+ log(x), ln(x) Función logaritmo decimal (base 10), Función logaritmo natural (base e)


INDICE GENERAL PROLOGO............................................................................................................................2 COMO LEER ESTE MANUAL .............................................................................................4 TABLA DE SIMBOLOS Y ABREVIATURAS FRECUENTES.............................................5 INDICE GENERAL ...............................................................................................................6 CAPITULO 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.....................................................................9

1.1. ESTADÍSTICA BUENA Y ESTADISTICA MALA................................................10 1.2. DETERMINISMO Y AZAR..................................................................................11 1.3. NOCIONES ELEMENTALES DEL CALCULO DE PROBABILIDADES ............11 1.4. PROBABILIDADES COMPUESTAS: LEY DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE

PROBABILIDADES ............................................................................................12 1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL .......................................................................13 1.6. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA Y VARIABLES ESTADÍSTICAS ....................14 1.7. ESTADÍSTICA APLICADA A UNA MEDIDA INDIVIDUAL.................................14 1.8. ESTADÍSTICA APLICADA A UN GRAN NÚMERO DE MEDIDAS U

OBSERVACIONES INDIVIDUALES ..................................................................16 1.9. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS

OBTENIDOS A PARTIR DE UN CONJUNTO DE OBSERVACIONES INDIVIDUALES...................................................................................................17

1.10. DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS..................................................................21 1.11. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS .......................................................................22 1.12. DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS..........................................................25 1.13. PRECISION Y EXACTITUD DE UNA SERIE DE MEDIDAS REPETIDAS Y LA

CORRECTA EXPRESIÓN DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES........28 1.14. VALORES NORMALES EN MEDICINA.............................................................29

CAPITULO 2: GENERALIDADES DE LA ESTADISTICA INFERENCIAL ......................30 2.1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL ...........................................................................31 2.2. ENSAYOS O “TEST” ESTADÍSTICOS ..............................................................32 2.3. LAS HIPOTESIS ESTADISTICAS......................................................................33 2.4. ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II EN LA TOMA DE DECISIONES ..............34 2.5. TEST DE UNA COLA Y DE DOS COLAS..........................................................36 2.6. CÓMO ELEGIR LA H1 CORRECTA................................................................37 2.7. ACEPTACION Y RECHAZO DE HIPOTESIS Y EL PROGRESO DE LAS

CIENCIAS EXPERIMENTALES .........................................................................37 2.8. ENSAYOS APAREADOS Y ENSAYOS AGRUPADOS.....................................38 2.9. EL MUESTREO Y EL DISEÑO DE LAS PRUEBAS A CIEGO, DOBLE CIEGO Y

TRIPLE CIEGO...................................................................................................38 2.10. ARQUITECTURA GENERAL DE LAS PRUEBAS DE INFERENCIA................41 2.11. DISEÑOS SIMETRICOS, ASIMETRICOS Y MANEJO DE LOS DATOS

FALTANTES .......................................................................................................42 CAPITULO 3: TEST PARAMETRICOS.............................................................................44

3.1. POBLACIONES NORMALES : LA DISTRIBUCION ZETA................................45 3.2. COMPARACIÓN DE DOS GRUPOS NORMALES: TEST t-STUDENT............49 3.3. PRUEBA DE ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL ENTRE VARIABLES

CUANTITATIVAS ...............................................................................................52 3.4. CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN NO LINEAL ..............54 3.5. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON...............55 3.6. ANOVA: FUNDAMENTOS DEL FRACCIONAMIENTO DE LA VARIANZA......59 3.7. ANOVA DE UNA VÍA..........................................................................................66 3.8. ANOVA DE DOS VÍAS .......................................................................................68


3.9. ANOVA FACTORIAL ..........................................................................................69 3.10. ANCOVA: EL ANÁLISIS DE COVARIANZA ......................................................73 3.11. ENSAYO DE RECTAS PARALELAS: PRUEBA DE DOCIMASIA BIOLÓGICA75 3.12. GRÁFICOS DE CONTROL DE CALIDAD (6σ).................................................77 3.13. MUESTREO SECUENCIAL ...............................................................................81

CAPITULO 4: TEST NO PARAMETRICOS ......................................................................87 4.1. GENERALIDADES ACERCA DE LOS ENSAYOS NO PARAMÉTRICOS........88 4.2. TABLAS DE CONTINGENCIA: LA DISTRIBUCIÓN χ2 (JI-CUADRADO) ........89 4.3. PRUEBA DE McNEMAR PARA LA SIGNIFICACIÓN DE CAMBIOS................91 4.4. PRUEBA DE LOS SIGNOS................................................................................92 4.5. PRUEBA DE LOS RANGOS DE WILCOXON ...................................................93 4.6. PRUEBA U DE MANN-WHITNEY......................................................................95 4.7. PRUEBA DE UNA Y DOS MUESTRAS DE KOLMOGOROV-SMIRNOV .........96 4.8. PRUEBA DE LAS RACHAS DE WALD-WOLFOWITZ ......................................97 4.9. PRUEBA DE MOSES DE LAS REACCIONES EXTREMAS .............................98 4.10. PRUEBA DE WALSH .........................................................................................99 4.11. PRUEBA Q DE COCHRAN..............................................................................100 4.12. ANOVA DE DOS VÍAS POR RANGOS DE FRIEDMAN .................................101 4.13. ANOVA DE UNA VÍA POR RANGOS DE KRUSKAL-WALLIS........................102 4.14. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA C ...........................................................103 4.15. COEFICIENTE DE CORRELACION DE RANGOS DE SPEARMAN (rS) .......104 4.16. COEFICIENTE DE CORRELACION DE RANGOS DE KENDALL (τ).............106 4.17. COEFICIENTE DE CORRELACION PARCIAL DE RANGO DE KENDALL (rxy.z)

..........................................................................................................................107 4.18. COEFICIENTE DE CONCORDANCIA DE KENDALL (W) ..............................108

CAPITULO 5: NOCIONES DE EPIDEMIOLOGIA..........................................................110 5.1. DEFINICION DE LA EPIDEMIOLOGIA............................................................111 5.2. GENERALIDADES ACERCA DE LA EPIDEMIOLOGÍA..................................112 5.3. DEFINICION Y OBJETIVO DE LA SALUD PUBLICA......................................112 5.4. EL METODO DE LA EPIDEMIOLOGIA ...........................................................115 5.5. ESTRATEGIA EPIDEMIOLÓGICA...................................................................115 5.6. CONDICIONES BÁSICAS EN LA DEFINICIÓN, REGISTRO Y MEDICIÓN DE

VARIABLES......................................................................................................116 5.7. LAS MEDICIONES EN EPIDEMIOLOGIA .......................................................118 5.8. PRINCIPALES INDICADORES SANITARIOS.................................................119 5.9. INTRODUCCION AL ESTUDIO DE COHORTES............................................122 5.10. MEDIDAS OBTENIDAS DE LOS ESTUDIOS DE COHORTES (Riesgos e

Incidencias).......................................................................................................127 5.11. ANALISIS DE CASOS Y CONTROLES (C&C)................................................131 5.12. CALCULO DE LA RAZON DE CHANCES u “ODDS RATIO” (OR) .................135 5.13. INDICES HOSPITALARIOS .............................................................................139 5.14. ANALISIS DE CURVAS DE SUPERVIVENCIA ...............................................140

APÉNDICE: TABLAS ESTADISTICAS...........................................................................141 TABLA I: Numeros Aleatorios.....................................................................................142 TABLA II: Distribucion Normal (z)................................................................................143 TABLA III: Distribucion t-Student (test de dos colas) .................................................144 TABLA IV: Distribución F-Snedecor (p=0.05) ............................................................145 TABLA V: Distribución F-Snedecor (p=0.01) .............................................................146 TABLA VI: Distribución χ2-ji cuadrado (dos colas) .....................................................147 TABLA VII: Probabilidad Binomial Acumulada (para H0: p =q = 0,5) ........................150 TABLA VIII: Prueba de rangos señalados de Wilcoxon.............................................151 TABLA IX: Prueba U de Mann-Whitney (rango n2 3-8)...............................................152 TABLA X: Prueba U de Mann-Whitney (rango n2 9-20)..............................................155 TABLA XI: Prueba de dos muestras de Kolmogorov-Smirnov ...................................157


TABLA XII: Prueba de rachas de Wald-Wolfowitz ......................................................160 TABLA XIII: Prueba de Walsh .....................................................................................162 TABLA XIV: Prueba de Kruskal-Wallis (para muestras pequeñas) ...........................163 TABLA XV: Valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman..................166 TABLA XVI: Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación (tau) de Kendall167 TABLA XVII: Valores críticos para el coeficiente de correlación (r) de Pearson ........168 TABLA XVIII: Valores críticos de s en el coeficiente de concordancia de Kendall.....170

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................174

MANUAL DE ESTADISTICA PRÁCTICA para profesionales de la salud CAPITULO 1 – Estadística descriptiva


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CAPITULO 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA



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1.1. ESTADÍSTICA BUENA Y ESTADISTICA MALA La estadística no tiene valoración ética asociada. No es buena ni es mala, simplemente depende de cómo se la use. La estadística es sólo una herramienta, como lo es un martillo, muy útil para clavar un clavo y construir un mueble, usado sin experiencia puede resultar en un dedo golpeado y mal usado puede servir para matar intencionalmente de un golpe a una persona. La estadística es igualmente flexible: bien usada sirve para el progreso de las ciencias experimentales (a las cuales pertenece la medicina en todas sus fases), para el control de calidad de producción industrial o para desarrollar tecnologías novedosas. La estadística usada sin experiencia irá a entorpecerá el desarrollo ya que dará información falsa La estadística mal usada sirve para engañar a los inadvertidos, para falsear la realidad y vender una imagen engañosa con fines políticos o simplemente para lucrar en forma deshonesta. Veremos que la estadística inferencial se ocupa de demostrar que ciertas preguntas son ciertas y que otras son falsas. Es una herramienta muy poderosa y gran parte de la misma se automatiza a través de software específico en el cual se simplifica al máximo la obtención de resultados, por una punta entran datos y por la otra salen conclusiones. Muy poderoso y muy simple, pero sólo en buenas manos. Si se hace un abuso estadístico, podremos demostrar falsamente que lo blanco es negro, que el SIDA se cura tomando agua tibia, que la desocupación ha dejado de existir, que el nuevo medicamento DENTOPLUS cura cualquier clase de patología oral u otro absurdo. Por eso es necesario que todo profesional vinculado al arte de curar posea una capacitación mínima pero sólida en esta disciplina, simplemente para no ser víctima del consumo de estadística mendaz y estar en condiciones de entender y desarrollar investigaciones con rigurosidad. Muchas veces se confunden los objetivos, no es necesario que un médico, un odontólogo o un bioquímico sean estadísticos. Eso es poco rentable y altamente improbable. Simplemente se requiere que los profesionales vinculados al arte y ciencia de la salud posean un CRITERIO ESTADISTICO mínimo. Ese criterio no consiste en conocer fórmulas estadísticas ni recetas de métodos memorizadas. Eso sencillamente no sirve para nada. Lo que hay que lograr es:

• El profesional debe tener un mínimo conceptual de conocimientos de estadística descriptiva e inferencial, sin formulas memorizadas. Para esto es que se desarrolló este libro.

• El profesional debe saber a dónde recurrir y a quien consultar si llegado al caso debiese poner en práctica lo que conoce. Un asesoramiento oportuno por parte de docentes e investigadores más experimentados permitirán que el profesional se concentre en lo que más sabe que es su especialidad y deje los detalles de métodos y cálculos en manos y programas más expertos.

• El profesional debe saber interpretar resultados estadísticos, tanto propios como los ajenos, digamos que en especial a los ajenos. Una buena fuente de cultura informática surge de leer y analizar regularmente trabajos de investigación de revistas serias con referato de su especialidad. También el análisis crítico de fuentes poco confiables como ser los periódicos y los folletos de propaganda médica sirven por oposición a elaborar un criterio propio que permita separar lo útil de lo superfluo o simplemente dañino.

• El profesional debe saber formular la pregunta a ser analizada estadísticamente con suma claridad. Es importante tener en cuenta que si la pregunta está mal formulada, el método estadístico no dejara de otorgar una respuesta, el problema es que esa respuesta NO SERA VALIDA (al menos no lo será para la pregunta que se deseaba formular, aunque sea valida para la formulada).

En este capítulo comenzaremos tratando algunos conceptos y fundamentos básicos de la estadística para luego pasar a los temas más específicos vinculados a esta disciplina.



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1.2. DETERMINISMO Y AZAR ¿Qué es el determinismo? El determinismo o CAUSALIDAD es el modelo conceptual que define que a todo efecto le corresponde su causa. En las ciencias naturales (física, química, biología), la mayoría de las leyes macroscópicas (involucran una gran cantidad de partículas) y que explican el comportamiento de dichos sistemas son deterministas, es decir, se predice en forma exacta la dinámica de los mismos. Aquí si se da una causa, se producen sus efectos (Ej: ley de la gravedad, Principio de Arquímedes, etc.) ¿Qué es el azar o la aleatoriedad? Cuando sobre un sistema actúan causas desconocidas (CASUALIDAD) (generalmente múltiples) y que afectan su evolución, las predicciones se vuelven inseguras. Lo mismo sucede en los sistemas naturales microscópicos (involucran un numero reducido de partículas), en los cuales conocer la evolución precisa es imposible (Ej: principio de incertidumbre, trayectoria de una molécula en un gas ideal, etc.) Para lograr predicciones en esta clase de modelos, se recurre a dos ramas de la matemática: el cálculo de probabilidades y la estadística. 1.3. NOCIONES ELEMENTALES DEL CALCULO DE PROBABILIDADES Definicion teórica de probabilidad: Probabilidad Teórica de un suceso es la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles (donde cada uno de ellos tiene la misma esperanza de ocurrir). no de casos favorables p = no de casos posibles Esta definición es aplicable a los juegos de azar en los cuales se conocen de antemano las posibilidades que pueden presentarse, y a todos aquellos casos en los cuales el sistema se conoce a priori. Ejemplo: ¿qué probabilidad tenemos de extraer al azar una bolilla roja de un bolillero que contiene cinco bolillas rojas, tres verdes, y dos amarillas? 5 5 p = = = 0,5 5 + 3 + 2 10 Definición empírica de probabilidad: Cuando desconocemos de antemano si todas las posibilidades tienen la misma esperanza de ocurrir, no podemos utilizar para el cálculo de probabilidad la definición teórica. Lo que haremos será observar un buen número de casos en las mismas condiciones, y con los datos obtenidos de esta observación, calcular la frecuencia relativa. La frecuencia relativa (o probabilidad empírica) se acerca al verdadero valor de probabilidad teórica de un suceso cuando el número de observaciones o de experiencias tiende a infinito.



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Ejemplo: ¿qué probabilidad tiene un estudiante que ingresa a la facultad de Odontología de finalizar la carrera al cabo de 5 años, con el actual plan de estudios? Lo que haremos primero será investigar cuánto ha tardado en recibirse un número grande de odontólogos que hayan hecho la carrera con el mismo plan . La relación entre los que obtuvieron su título en 5 años y el total de individuos nos dará la probabilidad buscada. La probabilidad adquiere aquí un criterio experimental y se define a posteriori de la experiencia. La definición empírica de probabilidad es entonces: “Frecuencia relativa (FR) o probabilidad empírica, es la relación entre el número de casos favorables (cfav) y el número de observaciones o experiencias realizadas (nobs), La probabilidad teórica es su límite cuando el número de observaciones tiende a infinito”. La probabilidad es un número abstracto, que puede variar entre cero y uno: el uno representa la certeza absoluta de ocurrencia de un evento; y el cero la seguridad de que no ocurrirá. La probabilidad de que sí ocurra un evento, más la probabilidad de que no ocurra es siempre igual a uno. Por ejemplo, la probabilidad de que salga el número cinco al arrojar un dado es un sexto, y la probabilidad de que no salga el cinco es de cinco sextos. ¿Para qué sirve determinar la probabilidad de un suceso que ya ocurrió? Sirve para estimar la probabilidad de que ese hecho ocurra nuevamente en la población de la cual fue extraída la muestra en estudio. Probabilidades compuestas Son las probabilidades asociadas a la ocurrencia combinada (por unión o intersección) de dos o mas eventos, por ejemplo la probabilidad de ocurrencia de un evento entre dos sucesos (Tiramos dos dados y exactamente uno sale 3) o la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos (Tiramos dos dados y ambos salen 3). 1.4. PROBABILIDADES COMPUESTAS: LEY DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE

PROBABILIDADES

• La probabilidad que ocurra uno de entre varios sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades individuales.

EJEMPLO: Tirando un dado, la probabilidad que salga un 5 es EXCLUYENTE de que haya salido otro número (como el 6, por ejemplo); por lo tanto, la probabilidad que salga 5 ó 6 es la suma de ambas probabilidades (=1/6 + 1/6 = 1/3)

• La probabilidad que ocurran simultáneamente dos o más sucesos mutuamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

EJEMPLO: Tirando dos dados, la probabilidad que en uno salga un 5 es INDEPENDIENTE de que haya salido otro número (como el 6) en el segundo; por lo tanto, la probabilidad que salgan 5 y 6 simultáneamente en ambos es el producto de ambas probabilidades (= 1/6 x 1/6 = 1/36)

10;)(lim

; ≤≤∞→

== pFRnobs

pnobscfavFR



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En el siguiente punto se verán las leyes generales vinculadas a las probabilidades compuestas (por unión o por intersección de eventos de cualquier clase)

1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad que ocurra un suceso habiendo ocurrido otro: Sea A: hoy está nublado y B: hoy llueve, entonces p(B| A) = p (llueva si está nublado) = p(A y B)/p(A), es decir la probabilidad que esté nublado y que llueva al mismo tiempo, dividido a la probabilidad de estar nublado. Esto se lee como la probabilidad condicional que ocurra B si ya ocurrió A. Por ejemplo si p(A y B)=0.1 y p(A)=0.4 entonces p(B|A)=0.1/0.4=0.25

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si elegimos un punto al azar en A, p(B|A) es la probabilidad (condicional) que ocurra B habiendo ocurrido A, p(A y B) la probabilidad que ocurran ambos simultáneamente y la p(A) la probabilidad que ocurra A o sea el área de casos posibles.

A

p(A)

U

p(B|A)=p(A y B)/p(A)

B

es la probabilidad de un suceso habiendo ocurrido otro

La probabilidad condicional de dos sucesos mutuamente independientes es igual a su probabilidad absoluta: p(A|B)=p(A) (si A y B son independientes) Las leyes de la suma y del producto para las probabilidades compuestas se generalizan cuando se las aplica a sucesos de cualquier clase, sean excluyentes o no y sean independientes o no.

EN GENERAL:

p(A) p(B)

p(A y B)=p(A).p(B|A)=p(B).p(A|B)

p(U)=1

esta es la generalización de las leyes de la suma y delproducto para sucesos de cualquier clase

p(A o B)=p(A)+p(B)-p(A y B)

MUESTREOS CON O SIN REPOSICIÓN Al resolver problemas de probabilidades compuestas hay que tener en cuenta si se reponen (o no) las extracciones previas de un conjunto porque eso modifica las probabilidades de las extracciones consecuentes. Técnicamente hay que pensar si el primer resultado condiciona o no al segundo, es decir si hay que usar probabilidades condicionales (en caso de duda siempre hay que usarlas). Ejemplo: En una bolsa hay 3 bolillas negras y dos blancas



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a) Cual es la probabilidad de sacar dos bolillas negras? (Respuesta: p= (3/5)(2/4)=3/10 ) b) Cuál es esa misma probabilidad si después de sacar la primer bolilla se la repone en la bolsa? (Respuesta: p= (3/5)(3/5)=9/25 ) 1.6. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA Y VARIABLES ESTADÍSTICAS Definición de la estadística: “Es una herramienta matemática que permite describir y tomar decisiones de riesgo calculado en

sistemas afectados por la incertidumbre” Conceptos descriptivos de la estadística: “Es la rama de la matemática que permite conocer el comportamiento de la naturaleza a través de

la obtención de datos afectados por el azar, separando causas legítimas de la simple casualidad” “La estadística es la reina del método experimental, filtra la información útil del ruido (aleatorio

y/o sistemático) y permite transformar superstición o adivinación en ciencia sólida” “La estadística de por sí no prueba nada pero usada con criterio resulta ser una herramienta

valiosa al tomar decisiones” Objetivo de su estudio: La estadística tiene por objeto extraer información confiable de datos obtenidos de variables aleatorias. Una variable es aleatoria si fluctúa en forma impredecible o depende de factores fuera de control por parte del observador. Por ejemplo: el resultado del Quini6, el clima dentro de un mes, las mediciones físicas, químicas y biológicas de cualquier tipo y con cualquier instrumento, la duración de una pila, la aparición de una enfermedad, etc. VARIABLES ESTADÍSTICAS Son magnitudes sujetas al azar, pasibles de ser medidas y luego controladas por medio de técnicas estadísticas. Se clasifican de la siguiente manera: • CUALITATIVAS: sexo, nacionalidad, etc. • SEMICUANTITATIVAS : (escalas) tipo grande, mediano, chico, etc. • CUANTITATIVAS: (numéricas). Se pueden considerar dos casos:

DISCRETAS : (N° enteros) número de piezas dentales, de caries, etc. CONTINUAS : (N° reales) masa, longitud, peso, temperatura , etc

1.7. ESTADÍSTICA APLICADA A UNA MEDIDA INDIVIDUAL Medición es la comparación de una magnitud contra otra que se toma como patrón. En toda medición física, química y biológica, se cometen errores. Los errores pueden ser SISTEMÁTICOS (dependen de fallas del instrumento de medida o del observador que hace esas medidas) o



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ALEATORIOS (siempre presentes). Los errores sistemáticos se controlan calibrando (midiendo la falla del sistema de medición: observador + instrumento) y los aleatorios se controlan por medio de la estadística. Definiciones básicas de la teoría de errores de medición: Valor Verdadero o Teórico (VT): es el valor exacto de una medida, generalmente desconocido. Como el valor verdadero (en general) es un número real y posee infinitos decimales, siempre se lo indica como un número racional con una dada cantidad de cifras significativas, considerándose que el último dígito es aproximado (por ejemplo, la estatura real de una persona es 1,72453673 metros, el último 3 es aproximado) Cifras significativas: es el número total de dígitos empleados para expresar un resultado de una medida, nunca debe superar a lo que permita la sensibilidad del instrumento de medida (por ejemplo, si la estatura de una persona es 1,72453673 metros, se están empleando 9 cifras significativas) Importancia de la expresión de las medidas individuales:

no es lo mismo 2.31 que 2.310, 2.31000 o 2.3100000000 metros.

En esta sucesión, matemáticamente todos expresan el mismo número racional 231/100, pero si se trata de medidas, la sensibilidad del instrumento de medida ha aumentado ya que se supone que sólo el último dígito es aproximado (por redondeo). No es lo mismo medir un objeto muy pequeño con una regla milimetrada que con un microscopio con una lente con escala al diezmilésimo de milímetro. Los resultados de una medición que son transformados luego por operaciones matemáticas, no deben ser expresados con más decimales que la sensibilidad permitida por el instrumento de medida en la obtención de ese dato. Sensibilidad (de un instrumento de medida): La sensibilidad es directamente proporcional al número de decimales (o cifras significativas) con el cual se exprese el resultado de la medida. Es la mínima diferencia que el instrumento puede detectar. Por ejemplo, una regla milimetrada (cuya sensibilidad es 1 mm) no permite diferenciar entre las longitudes de 2 elementos que se diferencian entre sí en 0,1 mm; se requiere para ello un instrumento con mayor sensibilidad. Valor Medido (VM): es lo que se obtiene midiendo (intentando obtener el VT) Error Absoluto (EA): es la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido, en valor absoluto (es decir con signo positivo). La fórmula es EA= | VT-VM |, no importa el orden de los términos. Error Relativo (ER): es el cociente entre el EA y el VT. La fórmula es ER = EA/VT. Error Porcentual (EP): es el ER multiplicado por 100 y expresado como porcentaje Exactitud (de una medida): es inversamente proporcional al error absoluto. Una medida es más exacta cuanto más cercano es el valor medido al valor verdadero. Ejemplo de aplicación de errores de medición individuales: VT = 1,7234 m (altura de una persona, el último dígito – en negritas - es aproximado) Este resultado se está expresando con 5 (CINCO) dígitos o cifras significativas



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VM = 1,7420 m (lo que se midió al décimo de milímetro, que es la sensibilidad del instrumento) EA = | VT-VM | = 0,0186 m ER = EA / VT = 0,0108 (no tiene unidades y no se ponen más decimales que los que la

sensibilidad indicada por el instrumento de medida, aquí décimo de milímetro)

EP = ER . 100 = 1,08 % . Error relativo de aproximación (ERA) Es igual a la unidad dividida al valor medido expresado con todas sus cifras significativas (sin usar la coma decimal) Por ejemplo, si se mide una masa en una balanza analítica y se obtiene un valor de 23,6491 g, el ERA = 1/236491 Regla general de propagación de errores Cuando se efectúan operaciones matemáticas con valores medidos, vale la siguiente regla general para la mayoría de los casos: El ERA del resultado de una operación numérica (no el obtenido por una medición directa) tiene que ser mayor o igual al máximo ERA de los datos usados. Ejemplo: Se desea medir el volumen de un recipiente cilíndrico de 6,55 cm de altura y 5,3 cm2 de base. El producto de esas medidas da 34,715 cm3, cuantos decimales conservamos? El ERA de la altura es 1/655, el ERA de la base es 1/53. El mayor de estos ERA es 1/53, por lo tanto el volumen no puede tener un ERA menor que ese. Si conservaríamos (digamos) un decimal en el resultado, su ERA sería 1/347 pero ese valor es menor que el que se necesita, por eso quitamos una cifra significativa (el decimal 7) con lo cual el volumen (que se redondea) queda 35 cm3 y que tiene un ERA de 1/35 el que efectivamente es mayor que 1/53. 1.8. ESTADÍSTICA APLICADA A UN GRAN NÚMERO DE MEDIDAS U

OBSERVACIONES INDIVIDUALES Estas son las definiciones básicas y más importantes de la estadística. 1. Población:

Es el conjunto de todas las observaciones (o medidas) posibles correspondientes a individuos o cosas que son investigadas . En estadística la población no son los individuos sino las mediciones hechas sobre individuos o cosas. Ejemplo: El número de piezas dentales sanas de todos los habitantes de la República Argentina.

2. Muestra:

Como generalmente es imposible estudiar a toda una población, recabar los datos de cada uno de sus integrantes y procesarlos, se toma una muestra (subconjunto de tamaño finito “n”) de esa población. De las conclusiones obtenidas a partir del estudio de la muestra, tratamos de inferir una conclusión sobre la población. En la obtención de la muestra, sus integrantes se eligen al azar (en forma aleatoria), de modo tal que cada individuo tenga igual posibilidad de ser elegido. Y cuando mayor sea el tamaño de la muestra, más valederas serán las conclusiones acerca de la población total. Por ejemplo una muestra de la población ya definida podrá ser el número de piezas dentales sanas de 1.500 habitantes de la Provincia de Buenos Aires.

3. Observación individual: Es cada uno de los valores medidos dentro de una muestra.



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1.9. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS OBTENIDOS A PARTIR DE UN CONJUNTO DE OBSERVACIONES INDIVIDUALES

Los datos obtenidos se ordenan y se agrupan formando un cuadro o tabla de valores, o bien se representan mediante un gráfico. Si la variable es discreta lo que se construye es una tabla de frecuencias no agrupadas. Se ordenan las observaciones en orden creciente y en una columna contigua se explicita el número de veces que apareció cada una de las observaciones (frecuencia absoluta, Fi), en otra columna contigua se calcula la frecuencia relativa de cada observación (fi = Fi/n), donde n es el número total de observaciones). Obviamente:

ΣFi = n y Σfi = 1

A partir de esta tabla puede construirse un histograma de barras que consiste en graficar en ordenadas la Fi o fi de cada observación individual y en abscisas la observación correspondiente. Veamos un ejemplo: sea X: “calificación (nota) obtenida por alumnos de Biofísica de la Facultad de Odontología en la primera evaluación parcial”. Tabla de frecuencias no agrupadas

X Fi fi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 4 11 15 6 3 20 8 5 2 1

0 0.053 0.147 0.2 0.08 0.04 0.267 0.107 0.067 0.027 0.013

Histogramas de barras 0.30 20 fi Fi 0.15 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



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Si la variable es continua y se tiene un gran número de observaciones es muy poco probable que se repita un mismo valor muchas veces por lo que los datos se agrupan formando lo que se llama tabla de frecuencias agrupadas. Esta tabla consiste en agrupar las observaciones en intervalos de clase. Para construir esta tabla y a partir de ella graficar los valores en un histograma debemos hallar los intervalos de clase. Estos deben ser contiguos (el límite superior de cada uno de ellos debe coincidir con el límite inferior del siguiente) y excluyentes, es decir, que ninguna observación pertenezca a dos intervalos simultáneamente (“caiga” en un límite). Para construir los intervalos de clase vamos a adoptar un criterio que tiene en cuenta las dos características antes mencionadas y el número de observaciones individuales (n) realizadas. 1) se ordenan los datos en orden creciente y se calcula el rango (w) de la muestra, que es la diferencia entre los valores extremos. w = xmáx –x mín 2) se calcula el número de intervalos de clase (k) a través de la siguiente expresión: k = 1 + 3,3 log n k debe ser un número entero, por lo que el resultado en caso de no ser entero se trunca o redondea. 3) se calcula la longitud de cada intervalo de clase (h) dividiendo el rango por el número de intervalos de clase antes hallado: h = w/k h debe tener el mismo número de cifras decimales que los datos (obtenido con redondeo o truncado del resultado aritmético obtenido) 4) se verifica que todas las observaciones esten incluídas en los intervalos de clase, es decir que se cumpla que: xmín + k.h > xmáx Si esto no se cumple se incrementa h en una unidad de cifra decimal (si el muestreo de datos contiene cifras decimales) o entera (en caso que las observaciones sean números enteros) sin cambiar k. 5) se construyen los intervalos de clase aparentes tomando como límite inferior del primer intervalo la observación menor (xmín) y, sumando sucesivamente el tamaño del intervalo, se obtienen los límites inferiores de los intervalos aparentes sucesivos. Los límites superiores de los mismos se obtienen sumando al límite inferior de cada intervalo h menos una unidad de cifra decimal o entera (según corresponda dependiendo del muestreo de datos). Los intervalos aparentes asi construidos no son contiguos y excluyentes. 6) a partir de los intervalos aparentes se construyen los intervalos reales (estos sí son contiguos y excluyentes). Para obtener los intervalos reales, al límite inferior de cada intervalo aparente se le resta la mitad de unidad de cifra decimal o entera (dependiendo del muestreo de datos) y al límite superior de cada intervalo aparente se le suma la mitad de unidad de cifra decimal o entera. De esta forma los intervalos reales tienen todos longitud h, son contiguos (el límite superior de un intervalo coincide con el límite inferior del siguiente) y son excluyentes ya que los límites contienen una cifra significativa más que el muestreo de datos por lo que nos aseguramos que ninguna de las observaciones caiga en un límite.



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7) se halla la frecuencia absoluta (Fi) y relativa (fi = Fi/n) de cada intervalo de clase. La frecuencia absoluta de un intervalo de clase es el número de observaciones incluidas en ese intervalo de clase. 8) se calcula la marca de clase ( i) que es el punto medio del intervalo de clase : i = limite inferior + h/2 9) se calcula la frecuencia acumulada absoluta (Fi(a) ) y relativa (fi(a)) hasta el límite superior de cada intervalo sumando sucesivamente las frecuencias absolutas o relativas de los sucesivos intervalos. Entonces, la tabla de frecuencias agrupadas consistiría en un arreglo como el siguiente: Intervalos aparentes Intervalos reales Fi fi Fi(a) fi(a) marca de clase A partir de la tabla de frecuencias agrupadas se grafica el histograma ordinario que consiste en graficar en ordenadas Fi o fi de cada intervalo de clase y en absisas los intervalos de clase correspondientes. Sobre el histograma ordinario se traza el polígono de frecuencias agregando dos intervalos de clase mas (de Fi = 0) uno a la izquierda y otro derecha del histograma con sus respectivas marcas de clase, y uniendo con trazos rectos las marcas de clase de los sucesivos intervalos de clase. Por otra parte puede construirse el polígono de frecuencias acumuladas graficando el ordenadas Fi(a) o fi(a) y en absisas los intervalos de clase correspondientes. Tanto en el histograma de barras (para variable discreta) como en el histograma ordinario (para variable continua), si se representa en ordenadas las frecuencias relativas (fi) es posible visualizar la distribución en probabilidades de la variable. Un ejemplo detallado de estudio estadístico grafico: la talla de un conjunto de alumnos Supongamos X:“talla (en metros) de los alumnos de la facultad de Odontología”. Extraemos de esta población una muestra de tamaño 100, y obtenemos las tallas (no listadas aquí) de los 100 alumnos tomados al azar. Una vez ordenadas las mediciones observamos que xmin = 1,50 m y xmax = 1,92 m. -Hallamos el rango: w = 1,92-1,50 = 0,42 m -Calculamos el número de intervalos de clase: k = 1 +3,3.log100 =7,6 ⇒ k = 8 -Calculamos el tamaño de los intervalos de clase: h = w/k = 0,42/8 = 0,0525 ⇒ h =0,05 -Verificamos si todas las observaciones están incluidas en los intervalos de clase a construir: 1,50 + 8.0,05 = 1,90 <1,92 ∴la última observación no está incluida en los intervalos, entonces incrementamos el tamaño del intervalo en una unidad de cifra decimal, o sea: h= 0,06 m



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-Construimos los intervalos aparentes y luego los reales. Contamos las observaciones incluidas en cada intervalo (Fi), calculamos la frecuencia relativa (fi), la frecuencia acumulada absoluta y relativa (Fi(a) y fi(a)) y la marca de clase ( i ). Obtenemos la tabla de frecuencias agrupadas: Intervalos aparentes Intervalos reales Fi fi Fi(a) fi(a) i 1,50 - 1,55 1,495 - 1,555 2 0,02 2 0.02 1,525 1,56 - 1,61 1,555 - 1,615 6 0,06 8 0,08 1,585 1,62 - 1,67 1,615 - 1,675 11 0,11 19 0,19 1,645 1,68 - 1,73 1,675 - 1,735 33 0,33 52 0,52 1,705 1,74 - 1,79 1,735 - 1,795 28 0,28 80 0,80 1,765 1,80 - 1,85 1,795 - 1,855 12 0,12 92 0,92 1,825 1,86 - 1,91 1,855 - 1,915 7 0,07 99 0,99 1,885 1,92 - 1,97 1,915 - 1,975 1 0,01 100 1,00 1,945 -Graficamos el histograma ordinario, el polígono de frecuencias (panel izquierdo) y el polígono de frecuencias acumuladas (panel derecho) 40 100 Fi Fi(a) 30 75 20 50 10 25

1,435 2,035 1.495

intervalos de clase intervalos de clase Cuando el número de observaciones tiende a infinito, la longitud de los intervalos de clase tiende a cero (su tamaño es extremadamente pequeño, es decir infinitesimal) y el polígono de frecuencias relativas es una línea casi continua que se llama función distribución en probabilidades de la variable.



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1.10. DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS Cuando se representan muestras muy grandes o poblaciones (n ∞), la gráfica obtenida del polígono de frecuencias define el comportamiento característico de una variable aleatoria bajo estudio y se la conoce como la DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA de esa variable, tal como ha sido citado anteriormente. Obviamente, cuando el número de observaciones tiende a infinito, el polígono de frecuencias deja de ser una sucesión de segmentos y se transforma en una única curva continua (sin ángulos). Como el límite (n ∞) lo impone, en la ordenada del gráfico, la frecuencia relativa es remplazada por la probabilidad, Las distribuciones estadísticas reciben nombres específicos de acuerdo al perfil de sus gráficas, es así como se define a la distribución uniforme, la distribución triangular, la distribución de Poisson o la distribución de Gauss o Normal). Esta última resulta ser LA MAS IMPORTANTE para todas las ciencias naturales (Física, Química, Biología) y por ende de la Medicina y la Odontología. Las distribuciones estadísticas pueden clasificarse también en uni o multimodales (de acuerdo al número de “picos” que presenten), en simétricas o asimétricas (de acuerdo a la distribución de los datos alrededor del “pico”), etc. Tipos de Distribuciones: Unimodal Bimodal Simétrica Asimétrica

distribución de Gauss (Normal)distribución de Poisson

distribución triangulardistribución uniforme



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Como ejemplo, mostramos la distribución de una variable discreta bimodal (X: “calificación (nota) obtenida por alumnos de biofísica de la facultad de odontología en la primera evaluación”.) Como se observa en el histograma existen 2 valores (modas) de la variable que se repiten un gran número de veces (el 6 y el 3).

0.30 Fi 0.15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Polígono de frecuencias de calificaciones - Primera Evaluación Biofísica 1.11. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Son números que describe colectivamente a una muestra (o población). Hay dos clases: PARAMETROS CENTRALES y PARAMETROS DE DISPERSIÓN. Los primeros “condensan” muchos números en uno sólo. El más importante es el PROMEDIO o media aritmética, se usa para expresar en forma compacta el comportamiento de todo el conjunto de números (los individuos u observaciones individuales). Pero, como se trata de variables aleatorias, el promedio no es exactamente el valor de todos los individuos de esa colección. Por esa razón existen los parámetros de dispersión, que miden (en un solo número) el grado de confianza que se puede tener en el promedio como “representante” de su grupo.

•De posición o centrales (OBJETIVO: obtener valores representativos) - Media aritmética (promedio) - Moda - Mediana •De dispersión (OBJETIVO: asignar confianza a los parámetros centrales) - Rango

- Varianza - Desviación standard - Error standard



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PARÁMETROS CENTRALES: 1) Media aritmética o promedio: dada una serie de valores (x) de una muestra referente a una variable, se busca un valor único representativo de los mismos. Se calcula :

1

n

ii

xx

n==∑

Cuando nos encontramos frente a una distribución simétrica como lo es la distribución normal, la media es el valor central y el más frecuente , y por lo tanto el más adecuado para caracterizar a todos los demás valores de la serie. La media aritmética es un estimador de la media poblacional (μ).

Propiedades de la media :

a) La sumatoria de las desviaciones de los valores respecto de la media es igual a cero . b) La sumatoria de las desviaciones elevadas al cuadrado da un valor mínimo cuando dichas

desviaciones se tomaron con respecto a la media . 2) Mediana: dada una serie de valores, una vez que ordenamos a éstos en forma creciente, llamamos mediana al valor central (si el tamaño de la muestra es impar) ,o al promedio de los valores centrales(cuando el tamaño de la muestra es par). Es la observación de la variable que deja mitad de las observaciones hacia un lado y mitad de las observaciones hacia el otro lado. La mediana es el mejor parámetro de posición en cualquier tipo de distribución ya que no es influenciado por las colas (valores extremos de una distribución) como lo es la media. 3) Modo o Moda: aquel valor que se repite con mayor frecuencia. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN: A) De las observaciones individuales alrededor de la media: 1) Rango

Es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de una muestra (xMAX – x MIN)

2) Desvío standard (DS ó s): para apreciar las variaciones en la distribución de la muestra , es necesario buscar un nuevo parámetro , índice de la mayor o menor agrupación de los valores alrededor de la media . Este parámetro es el desvío standard . Y se calcula (por computadora o calculadora científica) :

2 2 2

1 1 1

1 1( ) ( ) /1 1

n n n

i i ii i i

DS X X X X nn n= = =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑ ∑



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El desvío standard muestral (DS ó s) es un estimador de la desviación standard poblacional (σ). B) De las medias muestrales alrededor de la media poblacional Error standard (ES): Como generalmente es imposible estudiar a toda una población, nunca podremos conocer la media poblacional. A lo sumo se puede estimar un valor que tienda a ella. Experimentalmente pudo comprobarse que tomando distintas muestras de una misma población, las medias de esas muestras tenían una distribución normal, es decir, configuraban una curva de Gauss. El experimento es el siguiente: se repite m veces la obtención de n observaciones individuales. Para cada una de las m muestras se calcula un promedio y por último se promedian esos promedios. La media de la distribución de las medias muestrales (o sea el promedio de m promedios) se considera asintoticamente igual a la media poblacional:

, 1

1lim ;n

im n i

xdonde x x

m nμ

→∞=

= =∑ ∑

donde m es igual al número de muestras consignadas y x cada uno de los promedios considerados. Aquí el término asintoticamente se refiere a que se trata de una medida insesgada (sin error sistemático) y que se acerca monótonamente a su valor límite a medida que m y n tiendan a infinito. El error standard es la desviación standard de la distribución de medias muestrales alrededor de la media poblacional (μ). Cuanto menor sea el error standard más confiable es la media, es decir que la media muestral estima mejor a la media poblacional. El cálculo se efectúa por computadora o calculadora científica.

DSESn

=

El error standard depende fuertemente del tamaño de la muestra, y siempre que se calcula el error standard hay que indicar el tamaño de la muestra. Cuanto mayor sea el n y en consecuencia menor el valor de ES la media de esa muestra será mejor estimador de la media poblacional (μ). Existe una forma de inferir cuál sería el error standard de la media poblacional, a partir de los valores de la media y del desvío standard de una única muestra representativa: 1) se calcula la media de una única muestra 2) se calcula el DS de dicha muestra.

2 2 2

1 1 1

1 1( ) ( ) /1 1

n n n

i i ii i i

DS X X X X nn n= = =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑ ∑



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Es interesante destacar que el valor de DS de cualquier muestra de la misma población será el mismo, independientemente del tamaño de dicha muestra, y se considera como el DS de la distribución de la población. 3) Se calcula el error standard

DSESn

=

Intervalo de confianza: La expresión x ± ES nos dice dentro de qué límites fluctúan las medias del 68% de las muestras de tamaño n. Este es el intervalo de confianza en el que está contenida la media de la población o valor verdadero, con un 68% de probabilidad. Como la fórmula del ES lo indica, a medida que crece n, el intervalo se hace mas “angosto”, es decir crece la confianza que tenemos en que su valor central sea el promedio poblacional. En el límite (n ∞) el ES se hace cero y el único punto del intervalo ( x ) es EL PROMEDIO POBLACIONAL (μ ). Pasamos a ilustrar gráficamente la diferencia conceptual entre los INTERVALOS DE CONFIANZA x ± DS y x ± ES, ambos calculados con una muestras de tamaño n :

1.12. DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS En la inmensa mayoría de los fenómenos físicos, químicos y biológicos que se observan en la naturaleza, existe una única distribución estadística que los representa: es la distribución normal o curva de Gauss y por eso ocupa un papel central en la estadística. Como se observa en la figura:

p

El 68,27% de las observaciones individuales está dentro de este

intervalo x ± DS

Si repetimos el muestreo, el 68,27% de los promedios de n

observaciones individuales estará dentro de este intervalo

x ± ES

DS

punto de inflexión de la curva



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Es una distribución simétrica, con un eje de simetría vertical que pasa por el promedio. Se conoce como punto de inflexión de una curva y=f(x) al valor de x para el cual cambia el sentido de la curvatura de f(x) (La “cuchara para abajo” o concavidad se vuelve “cuchara para arriba” o convexidad). La desviación standard es gráficamente la distancia entre el promedio y el punto de inflexión de la curva de Gauss. En una distribución normal (curva de Gauss), acotar el desvío standard a la media , será trazar dos verticales , una restando 1 DS a la media, y otra sumando 1 DS a la media. Quedará subtendida entre ambas verticales un área que es igual al 68,27 % del área total .En el gráfico será así:

El área total bajo la curva representa al número total de observaciones de la muestra, o sea el 100 %. Si acotamos a ambos lados de la media un desvío standard, el área subtendida entre ambas cotas es el 68,27 % y esto significa que se obtienen dos valores entre los cuales hay un 68,27 % de los datos de la muestra . Entonces se puede estimar que hay un 68,27 % de probabilidades de que aparezca un valor de la población en ese intervalo: un 34,13 % a la derecha de la media, y un 34, 13 % a la izquierda. Análogamente, si sumamos y restamos a la media 2 DS , el área subtendida entre ambas cotas es del 95,4 % del total, o sea un 47,72 % a la derecha y un 47,72 % a la izquierda. Esto significa que sumando y restando 2 DS a la media obtenemos dos valores entre los que hay un 95,44 % de probabilidad de que aparezca un valor de la población en ese intervalo, y tan solo 4,56 % de probabilidad de que aparezca un valor de la población fuera de ese intervalo.

Por último, si sumamos y restamos a la media 3 DS, el área subtendida por ambas cotas es de 99,74 % del área total, o sea un 49,87 % a cada lado de la media. Esto significa que sumando y restando 3 DS a la media, obtenemos 2 valores entre los cuales hay un 99,74 % de probabilidad de que aparezca un valor de la población en ese intervalo, y tan solo un 0,26 % de probabilidad de que algún valor



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caiga fuera de ese intervalo. Entonces son pocas las probabilidades de que un valor tan alejado de la media pertenezca a la misma población.

En el APÉNDICE I, la Tabla II posee los valores precalculados de las áreas bajo la curva de Gauss. En el Capítulo 3 trataremos en detalle el uso práctico de la distribución normal y esta tabla. Características de la curva de Gauss De la misma manera que una recta determina su origen e inclinación por las constantes b y a de su ecuación lineal:

y = a . x + b

la curva de Gauss tiene sus características dadas por los parámetros . Recordemos que la estimación de la media poblacional ( μ ) es el promedio de promedios (o el único promedio si se calculó uno sólo) y la estimación del desvío standard poblacional (σ ) es DS. La ecuación que calcula la frecuencia (u ordenada y) de la distribución normal en función de una observación individual (o absisa x) es la siguiente

2121

2

x

y eμ

σ

σ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=

Por ejemplo, a una distribución con un DS (o sea σ ) grande , le corresponderá una curva de Gauss en forma aplastada, mientras que a una distribución con DS pequeño le corresponderá una curva de Gauss con un pico acentuado:

,μ σ



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1.13. PRECISION Y EXACTITUD DE UNA SERIE DE MEDIDAS REPETIDAS Y LA CORRECTA EXPRESIÓN DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

En general, aunque un instrumento de medida esté bien calibrado (es decir cuando el sistema formado por el aparato y el observador que lo opera no cometen errores sistemáticos), nunca una serie de medidas van a dar EXACTAMENTE los mismos valores, ya que todo proceso de medición queda afectado por errores aleatorios provocados por una infinidad de variables fuera del control del observador (pequeñas fluctuaciones de temperatura, presión, tiempo, humedad ambiente, etc.) Se ha tratado en detalle el concepto de sensibilidad y exactitud en las medidas individuales. Como ya se ha mencionado, la inmensa mayoría de las mediciones corresponden a variables distribuidas normalmente. Entonces, aprovechando los conocimientos adquiridos en el estudio de las muestras estadísticas, se pueden formular los conceptos de precisión y exactitud correspondientes a una serie repetida de mediciones y que reflejan la exactitud y precisión del método de medida utilizado. Al repetir varias veces una misma medida (buscando estimar un único valor verdadero), se obtiene un conjunto de valores parecidos. Si se construye un polígono de frecuencias con estos valores. Se verá que se agrupan simétricamente alrededor de su promedio, siguiendo una distribución normal. EXACTITUD DE UN METODO DE MEDIDA: Es inversamente proporcional al promedio del error absoluto cometido, es decir la diferencia en valor absoluto entre el PROMEDIO de las mediciones efectuadas y el VALOR VERDADERO (o teórico). Si no se cometieron errores sistemáticos, el promedio de las distintas mediciones debería ser prácticamente igual al valor verdadero para esa magnitud. PRECISION DE UN METODO DE MEDIDA: Es inversamente proporcional a la desviación standard de las mediciones efectuadas; es decir, cuanto más dispersos sean los datos alrededor de su media, más impreciso será el método de medida. EXPRESION DE RESULTADOS: X ± 3 DS: De repetirse nuevamente la medida, existe un 99,7 % de probabilidad de que esté incluída en este intervalo X ± 3 ES: Existe un 99,7 % de probabilidad de que el valor verdadero que se intenta conocer esté comprendido en este intervalo. Cuanto más chico es este intervalo, más confiable es el resultado de la medida. Ejercicio: Si comparamos dos instrumentos de medida , uno puede ser más preciso pero menos exacto que otro. Como ejemplo, tomemos dos termómetros. Uno está descalibrado y siempre marca 3 grados más que lo que corresponde (típico caso de error sistemático) y su desviación standard (típica o habitual) es de 0.0l °C. El segundo está mejor calibrado y marca sólo un grado más (menor error sistemático) pero su desviación standard típico es de 0.05 °C. ¿Cuál es el más exacto ? (Respuesta = el segundo) ¿Cuál es el mas preciso ? (Respuesta = el primero)



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1.14. VALORES NORMALES EN MEDICINA El estado de salud o enfermedad de un individuo es un concepto estadístico. Para comenzar, se define a un individuo como sano o normal solamente respecto a algún parámetro clínico (variable aleatoria), antes que el intentar definir la salud del mismo en forma global. O sea, una persona en un instante dado puede estar sana conforme a un conjunto de mediciones (temperatura corporal, glucemia, hematocrito, etc.) y enferma respecto a otros (eritrosedimentación, cantidad de glóbulos rojos, ácido úrico en sangre, etc.) Si la mayoría de los principales parámetros clínicos se encuentran en la zona de normalidad, al individuo se lo puede considerar sano. La zona de normalidad de un parámetro clínico es la definida por el promedio poblacional más (y menos) 1.96 DS, es decir es la franja de valores dentro de la cual se encuentra el 95% de la humanidad (en estado de salud clínica, es decir la población que no manifiesta o evidencia patología alguna) Cabe señalar que los valores medidos en un individuo y que se pretenden comparar contra los VN poblacionales, dependen de varios factores:

1) De la técnica empleada para medirlos, por ejemplo los VN de Glucemia en ayunas medidos por método colorimétrico están entre 0.70-1.10 g% en cambio los mismos valores normales para la Glucemia en ayunas medida por método enzimático (que es mas exacto y mas preciso como se podrá comprobar) están entre 0.65-1.00 g%.

2) Del ritmo circadiano que regula la actividad metabólico-hormonal de una persona a lo largo

del día, por eso hay que determinar con exactitud la hora y estado de la persona antes de medir esos parámetros (Para el caso de la glucemia los VN sirven para extracciones matinales y con 8 Horas de ayuno previo)

3) De la ingesta previa, normalmente los valores se toman en ayunas.

4) De factores iatrogénicos (provocados por la medicina) como ser la administración

concurrente de fármacos que alteran el metabolismo (Para el caso de la glucemia la ingesta de Metformina, que actúa como hipoglucemiante oral)

Si se controlan los factores para evitar errores (sistemáticos) como los mencionados, la obtención de valores extremos fuera de la zona 95%, permite sospechar una patología. Esta es la base de comprobación estadística que se usa universalmente en medicina y odontología clínica para el diagnóstico. Por ejemplo, si la glucemia de una persona en ayunas, medida por método enzimático fue de 1,45 g%, tendremos un diagnóstico presuntivo de diabetes, ya que la probabilidad que un individuo sano tenga (por el mero azar) un valor igual o superior al registrado es de p = 1 x 10-8 es decir esto debería ocurrir una vez entre cada 100.000.000 de personas, lo cual es altamente improbable y por eso se hace ese diagnóstico presuntivo. Si por el contrario, se verifica que la persona desayunó una hora antes de hacerse la extracción de sangre, se debe descartar el resultado y repetir el análisis porque ese valor sería perfectamente normal (o sea todas las personas tendrían valores o resultados más o menos similares). Existe una rama de la medicina y odontología clínicas muy vinculada con la estadística y que se dedica específicamente a la recolección de parámetros de salud de las poblaciones, tanto las normales como las afectadas por patologías específicas: es la EPIDEMIOLOGIA. Esta disciplina se ocupa de efectuar muestreos y relevamientos sanitarios en gran escala y su posterior análisis estadístico para la extracción de VN poblacionales y definir con cierta precisión el estado de salud de determinadas subpoblaciones. En el Capítulo 5 se desarrollan los conocimientos básicos de la Epidemiología práctica.

ESTADISTICA PRÁCTICA para profesionales de la salud CAPITULO 2 – Generalidades de la estadística inferencial


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CAPITULO 2: GENERALIDADES DE LA ESTADISTICA INFERENCIAL



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2.1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL

El objetivo de la estadística inferencial es permitir la toma de decisiones de riesgo calculado en un ambiente de incertidumbre.

• PORQUÉ TOMA DE DECISIONES? Porque permite decidir (con un grado de incertidumbre aceptado por el operador) si una determinada hipótesis o pregunta dicotómica, (es decir de respuesta binaria) es verdadera o falsa.

Por ejemplo; una pregunta puede consistir en querer dilucidar si el fármaco A es más activo que el fármaco B para reducir los síntomas de una patología. Esa pregunta se puede formular en términos estadísticos como una hipótesis que diga: el promedio de respuesta obtenida con el fármaco A es igual al promedio de respuesta obtenido con el fármaco B. La estadística inferencial ratificará o rechazará esta hipótesis estadística y por reflejo contestará la pregunta original.

• PORQUÉ AMBIENTE DE INCERTIDUMBRE? Porque interviene el azar y estamos tratando con variables contaminadas con elementos que la influencian en forma aleatorias. En el ámbito de la casualidad no hay certeza, en el ámbito de la causalidad sí. La estadística filtra el ruido estadístico para recuperar señales causales, pero siempre habrá incertidumbre en los juicios que se abran en esta clase de sistemas.

• PORQUE RIESGO? Porque cuando hay incertidumbre en un sistema, las conclusiones que

se adopten serán pasibles de ser equivocadas. Por ejemplo; sacamos la conclusión (falsa) que el fármaco A es más activo que el fármaco B para reducir los síntomas de una patología, en realidad tuvimos mala suerte en nuestro ensayo y las diferencias observadas se debieron exclusivamente al azar. Por supuesto para que este razonamiento sea válido debemos descartar primero que no hayan existido errores sistemáticos involucrados en esas determinaciones.

• PORQUE RIESGO CALCULADO? Porque no sólo nos interesa saber que nos podemos

equivocar al tomar decisiones, además nos interesa MEDIR ese riesgo. Por eso, la conclusión tomada como ejemplo debería ser: el fármaco A es más activo que el fármaco B para reducir los síntomas de una patología .y la probabilidad de equivocarnos al tomar esa decisión es de 1:20 (o sea p=0.05). Esto significa que estamos dispuestos de correr un riesgo de equivocarnos al tomar esa decisión de una vez por cada veinte ensayos similares al presente.

Hay varios tipos de preguntas que se intentan responder mediante la estadística inferencial, pero las más frecuentes suelen ser:

1) ¿LAS MUESTRAS SE COMPORTAN COMO ESENCIALMENTE IGUALES (a pesar de las diferencias aleatorias que se observaron)? Aquí la igualdad puede referirse tanto a medidas de tendencia central (p.ej.: promedios) como a medidas de dispersión (p.ej:



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varianzas), tanto para dos como para más muestras. A esta clase pertenecen pruebas de inferencia como el test t-Student y el ANOVA (análisis de varianza) (ver Capítulo 3)

2) ¿EXISTE ASOCIACION O VINCULACION ENTRE VARIABLES DE UNA MUESTRA?

Aquí se trata de vincular causalmente dos magnitudes de una muestra, cualitativa y cuantitativamente, tal vez para efectuar predicciones ulteriores por interpolación o extrapolación. A este grupo de preguntas pertenece el estudio de la relación funcional que liga a las variables (p.ej.: buscar la recta o la parábola o en general la función que mejor describe o se “ajusta a un conjunto de puntos). A esta clase pertenecen pruebas de inferencia como el test de contingencia X2 (ji-cuadrado) y el ensayo de correlación.

3) ¿LA VARIABLE EN CUESTION SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA

PARTICULAR (p.ej: la normal)? En este caso se intenta verificar en base a parámetros descriptivos la función de distribución general de dicha variable. A esta clase pertenecen pruebas de inferencia como test de asociación X2 (ji-cuadrado) y el ensayo de normalidad de Kolmogorov-Smirnov (ver Capítulo 4)

4) ¿DEL CONJUNTO DE VARIABLES ESTADISTICAS BAJO ESTUDIO, CUALES SON

LAS QUE SE VINCULAN MUTUAMENTE CON MAYOR INTENSIDAD? En este caso se busca comparar un conjunto de variables de una muestra para buscar similitudes y separar diferencias entre ellas. A esta clase pertenecen pruebas de inferencia como búsqueda de “cliques” o “clustering” y análisis de correlación múltiple. (Estos son temas avanzados, consultar la bibliografía sugerida, p.ejemplo el libro de SOKAL)

5) ¿EXISTE REGULARIDAD O PATRON DE COMPORTAMIENTO EN LA SERIE

TEMPORAL DE ESTA VARIABLE? Aquí se intenta detectar si en una serie de datos secuenciales existe alguna regularidad interna o se trata sólo de fluctuaciones azarosas. A esta clase pertenecen pruebas de inferencia como el test de rachas o el análisis de autocorrelación. (ver Capítulo 4 para el primero, y el libro de FISHMAN para el segundo tema)

2.2. ENSAYOS O “TEST” ESTADÍSTICOS Son técnicas matemáticas que permiten contestar preguntas de comparación o de vinculación sobre dos o más muestras. Además las respuestas vienen valorizadas con el riesgo que se comete al tomar justamente esa decisión y no otra (medido como probabilidad). Hay dos grandes categorías de ensayos estadísticos:

• Paramétricos • No Paramétricos

Dentro de cada categoría se hallan innumerables tipos diversos de ensayos. No existen ensayos “universales” que sirvan para cualquier caso que se presente. Se requiere estudiar y ganar experiencia de uso para aplicar estadística válida. Decidir cuando se debe usar una u otra clase depende del tipo de datos a analizar y requiere de cierto entrenamiento estadístico hallar la clase y tipo de prueba mas adecuada para un problema en particular. Cuando desee hacer un ensayo de inferencia, asesórese con docentes o investigadores con experiencia en estadística. Por otra parte, existen programas de computación que le permiten efectuar todos los cómputos sin errores e incluso graficar sus resultados. Lamentablemente también estos programas requieren cierto entrenamiento



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para su uso. Presentamos un cuadro que sintetiza las principales diferencias entre ensayos Paramétricos y No Paramétricos: (*) La potencia relativa es inversamente proporcional al tamaño muestral requerido en cada tipo

de test para poder arribar a conclusiones estadísticas equivalentes. 2.3. LAS HIPOTESIS ESTADISTICAS Estadística Inferencial: Dos es igual a Tres ? Supongamos que tenemos dos grupos (A y B) de diez pacientes elegidos al azar, al grupo A se le suministra un dentífrico con Flúor y a B un dentífrico sin Flúor. El experimento se prolonga durante dos años, al cabo de los cuales se mide la cantidad de caries en los veinte pacientes. Supongamos que los datos medidos fueron:

DATOS REALES Cantidad de caries en A : 0, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 0, 5, 3 cuyo promedio es = 20/10 = 2 Cantidad de caries en B : 1, 2, 4, 5, 4, 3, 6, 2, 1, 2 cuyo promedio es = 30/10 = 3

Observemos la fluctuación (dispersión) de los datos alrededor del promedio, si esa dispersión no existiese y los resultados hubiesen sido:

DATOS IMAGINARIOS Cantidad de caries en A : 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 cuyo promedio es = 20/10 = 2 Cantidad de caries en B : 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 cuyo promedio es = 30/10 = 3

En este caso imaginario, no hubiésemos requerido estadística para decidir que B tiene más caries que A (o sea 3 > 2), no hay azar y sólo hay efectos causales que provocaron esos resultados. Pero, en el mundo real de las ciencias naturales o experimentales, la probabilidad de obtener resultados sin dispersión sobre variables derivadas de sistemas biológicos es astronómicamente pequeña. Lo

EJEMPLOS

PREREQUISITOS

APLICABILIDAD SOBRE DATOS

POTENCIA RELATIVA (*)

Prueba de rangos, Prueba de signos, Ji-cuadrado, Prueba de Walsh, etc.

t-Student, Análisis de Varianza (ANOVA), F-Snedecor,

MANOVA, ANCOVA, etc.

Poblaciones de cualquier clase y datos de cualquier

tipo

• Obs. independientes • Poblaciones normales (z) • Varianzas proporcionales • Efectos aditivos de

causas deterministas sobre los promedios

CUALI/CUANTITATIVOS Escala Nominal, Ordinal, Intervalo o de Proporción

CUANTITATIVOS Sólo Escala de Intervalo o

Escala de Proporción

95%-65% 100%

TEST NO PARAMETRICOS

TEST PARAMETRICOS



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habitual es encontrar muestras como la primera y es allí donde hace falta alguna técnica que nos permita decidir si el Fluor (la única diferencia sistemática entre los tratamientos de A y B) previene o no las caries. Por eso se han desarrollado métodos que permiten tomar decisiones de riesgo calculado como que el promedio de caries en A es menor (o al menos distinto) que el promedio en B. Por eso, en nuestro ejemplo se puede sintetizar con una respuesta (valorizada) a la pregunta “DOS ES MENOR (O DISTINTO) A TRES?” En estadística, al contrario que en la aritmética, 2 puede ser “igual” a 3 si de promedios se trata. El motivo es que la diferencia entre ambos números se debe exclusivamente a la casualidad, pero en el fondo se trata de promedios equivalentes de una misma muestra o población. Por eso si un fármaco preventivo de caries como el Flúor da un promedio de respuesta 2 y los controles (individuos no tratados) da un promedio 3, son posibles dos casos mutuamente excluyentes: a. H0 (HIPOTESIS NULA)

“Los promedios son iguales, las diferencias se deben sólo al azar” O sea 2=3.

b. H1 (HIPOTESIS ALTERNATIVA) “Los promedios son distintos, existe una causa que provoca la diferencia” O sea 2 ≠ 3 o tal vez 2 < 3 (Ver ensayos de una o dos colas, presentado mas adelante).

2.4. ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II EN LA TOMA DE DECISIONES

Como se ha dicho, los ensayos estadísticos se diseñan para responder a una de estas dos alternativas mutuamente excluyentes: a. ACEPTAR H0 (HIPOTESIS NULA) (es decir, rechazar H1), equivale a concluir que las

discrepancias observadas entre las muestras en estudio se deben exclusivamente al azar y no existe una causa sistemática para esas discrepancias.

b. RECHAZAR H0 (HIPOTESIS NULA) (es decir, aceptar H1), equivale a concluir que las

discrepancias observadas entre las muestras en estudio no se deben exclusivamente al azar y si existe una causa sistemática para esas discrepancias.

Pero, cuando se toma una decisión (en un ambiente de riesgo generado por el azar) siempre hay riesgo de equivocarse. Se llama ERROR DE TIPO I o nivel de significación (simbolizado como alfa = α) a la probabilidad de equivocarse cuando se rechaza una H0 siendo que es realmente verdadera. Obviamente existe otra forma de equivocarse. Se llama ERROR DE TIPO II (simbolizado como beta = β) a la probabilidad de equivocarse cuando se acepta una H0 siendo que es realmente falsa. Al valor complementario de este valor (1-β) se lo conoce como POTENCIA DEL ENSAYO de inferencia, ya que es proporcional a la capacidad de detectar diferencias entre muestras (cuando existe un motivo real para las mismas). La POTENCIA DEL ENSAYO es (por definición) la probabilidad de rechazar una H0 siendo que es realmente falsa, o sea la probabilidad de detectar diferencias reales entre las muestras. Otro factor determinante para la potencia de los ensayos es el



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tamaño de la muestra empleada. La potencia de una prueba crece al aumentar el tamaño de la muestra empleada. Los errores α y β son inversamente proporcionales, al aumentar uno disminuye el otro. O sea no podemos optimizar simultáneamente ambos tipos de errores y debemos optar por reducir uno sólo (a expensas del otro). El tema es cuál conviene reducir, alfa o beta. En ciencias naturales (física, química, biología, etc.) la respuesta está bien definida. En general es más importante reducir el riesgo del error de tipo I que el error de tipo II, porque en ciencias naturales se adopta el punto de vista “CONSERVADOR” frente al punto de vista “LIBERAL”.

• Punto de vista “CONSERVADOR”: si algo es distinto a lo establecido, tiene que demostrarlo fehacientemente, caso contrario nos quedamos con lo que está establecido. En términos estadísticos, nos preocupa más rechazar una H0 siendo que es realmente verdadera (estamos detectando un falso positivo, es decir una diferencia entre muestras que no existe) y por ende nos preocupa mantener α en el mínimo posible.

• Punto de vista “LIBERAL”: si algo es igual a lo establecido, tiene que demostrarlo

fehacientemente, caso contrario nos quedamos con que es distinto. En términos estadísticos, nos preocupa más aceptar una H0 siendo que es realmente falsa (estamos detectando un falso negativo, es decir una igualdad entre muestras que no existe) y por ende nos preocupa mantener β en el mínimo posible.

Entonces, para la medicina, porqué no se fija α = 0 o en algún valor muy pequeño como α = 10-30 ? Ciertamente ese sería lo ideal para la hipótesis conservadora, pero como dijimos, alfa y beta están enlazados y si se elige un alfa demasiado pequeño beta crece demasiado (tiende a uno) y el complemento de beta (o sea la potencia del ensayo) tiende a cero. Que un ensayo de inferencia tenga potencia cercana a cero significa que será prácticamente incapaz de revelar diferencias reales entre muestras, o sea que pierde su utilidad práctica. Por ese motivo, se debe buscar un límite superior de alfa que sea suficientemente bajo como para ser “conservador” pero sin dañar la potencia del ensayo. ESTANDAR DE SEGURIDAD EN CIENCIAS NATURALES: siempre se mantiene a alfa (o sea el nivel de significación o error del tipo I) menor o igual a 0.05, nunca mayor a ese valor límite superior.



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Las decisiones de riesgo que permite tomar la estadística caerán en cuatro categorías

LA REALIDAD H0 ES

VERDADERA H0 ES FALSA

ACEPTAR H0 CORRECTA ERROR TIPO II (=beta) LA DECISION

(basada en un ensayo

inferencial) RECHAZAR H0 ERROR TIPO I

(=alfa)

CORRECTA (región de la potencia del

ensayo)

2.5. TEST DE UNA COLA Y DE DOS COLAS En general, los ensayos de significación estadísticos buscan diferencias entre parámetros estadísticos o entre atributos de comparación de dos o más muestras. Como ejemplo, los ensayos paramétricos, es decir los test aplicados a variables que se distribuyen “normalmente” alrededor de su promedio (como la propia distribución normal -Gauss- o la distribución de “t” de muestras pequeñas), se pueden formular en dos formas de H1 , como Test de una cola o como Test de dos colas. Estos nombres provienen de considerar que los datos que se desviaron del promedio pueden estar en una o en las dos “colas” de la curva normal:

TEST DE UNA COLA (2<3) TEST DE DOS COLAS (2≠3) El nivel de significación (alfa) (o sea el error de tipo I vinculado a la hipótesis nula) equivale al área de una cola de la campana de Gauss o de ambas, según el caso y representa la “región de rechazo” de la H0. Su complemento (=1-alfa) es la “región de aceptación” de la hipótesis nula. Supongamos que comparamos ( x ± DS ) dos muestras: 2 ± 1 y 3 ± 2 Entonces podemos formular: ( H1 : TEST DE UNA COLA) El primer promedio (2) es menor que el segundo (3) ( H1 : TEST DE DOS COLAS) El primer promedio (2) es distinto al segundo (3)

Alfa

Alfa/2 Alfa/2

1-Alfa1-Alfa



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2.6. CÓMO ELEGIR LA H1 CORRECTA El test de una cola es más preciso que el de dos colas, y debe ser aplicado siempre que A PRIORI exista la sospecha de una “causa sistemática” que generó esa diferencia. Por ejemplo si medimos el umbral de dolor de un grupo (una muestra) de pacientes medicados con un analgésico o probable analgésico respecto del observado en un grupo control (no medicado o medicado con un placebo), es razonable que el umbral de dolor sea mayor en los medicados que viceversa. En este caso se puede aplicar el test de una cola. Pero, si antes de comenzar con el ensayo estadístico no hay motivo para pensar que un dato será mayor a otro (no hay razón suficiente), se debe emplear siempre el Test de dos colas. Vamos a aclarar qué queremos decir con la frase “no hay razón suficiente”. Si se dispone de antemano de algún indicio del sentido que debería tener una diferencia entre el grupo de ensayo y el grupo control, entonces habrá razón suficiente para diseñar un ensayo de una cola (por ejemplo si probamos un hipotensor, la presión de los tratados debería ser con razón suficiente menor que la de los pacientes control) Pero, si no hubiese indicio a priori de cual debería ser la (supuesta) discrepancia entre los grupos bajo estudio, siempre se debe optar por una prueba de dos colas. Resumiendo todo lo dicho acerca de la significación y del tamaño de las muestras, deberán recordarse estos cinco puntos:

1. El nivel de significación (α) mide el error de tipo I (rechazar H0 siendo verdadera) 2. El valor beta (β) mide el error de tipo II (aceptar H0 siendo falsa) 3. La potencia de una prueba consiste en rechazar acertadamente una H0 siendo falsa (=1- β) 4. La potencia de una prueba está relacionada con su naturaleza y con la H1, las pruebas de

una cola son más potentes que las pruebas de dos colas. 5. En términos generales, la potencia de una prueba se incrementa al aumentar el tamaño de

las nuestras involucradas.

L muy importante!! L

2.7. ACEPTACION Y RECHAZO DE HIPOTESIS Y EL PROGRESO DE LAS

CIENCIAS EXPERIMENTALES La aceptación y rechazo de hipótesis traducidas al formato estadístico (recordemos que las hipótesis generalmente no son estadísticas pero que se formulan luego en formato estadístico para proceder al análisis inferencial) siempre se produce a través de un ensayo estadístico de inferencia (paramétrico o no paramétrico, según corresponda). Para decidir que clase y tipo de ensayo conviene usar, es recomendable el asesoramiento de docentes o científicos con experiencia en estadística. Los ensayos de inferencia estadística son el método mediante los cuales se ayuda muchas veces a descubrir nuevos fármacos, se mejoran los materiales de implante dental, se ayuda a prevenir las caries o se determina que una técnica quirúrgica es mejor que otra. También servirá para que el

Las hipótesis estadísticas H0 y H1 y el nivel de significación α de un ensayo de estadística inferencial SIEMPRE deben ser fijadas de antemano, es decir antes de efectuar el análisis propiamente dicho. Bajo ningún concepto se debe cambiar una hipótesis estadística o fijar el nivel de significación una vez conocidos los valores numéricos del ensayo. Las reglas del juego no se modifican sobre la marcha, se imponen antes de comenzarlo. Caso contrario el análisis estadístico se convierte de objetivo en subjetivo.



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profesional de la salud juzgue con criterio propio si una propaganda de un visitador es engañosa o no. Como se indicó previamente, la mejor manera de prevenirse para el consumo de estadística mendaz es capacitarse por medio de la lectura crítica de trabajos de investigación serios de su especialidad. “Actualmente, el progreso de la medicina se basa en la utilización de tests de inferencia estadísticos, no existe otra metodología que la suplante y es un real fundamento del progreso de toda ciencia experimental. Si no existiese, la medicina sería tema del curanderismo y la adivinación, no la ciencia que conocemos. Por eso es fundamental para la formación del futuro profesional de la salud aprehender sus fundamentos. No importa tanto la técnica numérica que llegado el caso se encuentra en la bibliografía específica, lo que si importa y mucho son los conceptos que le permitirán plantear dudas fundamentadas en su práctica profesional y acudir a las diferentes formas de información como el libro, Internet o el especialista llegado el caso.”

2.8. ENSAYOS APAREADOS Y ENSAYOS AGRUPADOS Cuando se comparan dos grupos y siempre que sea naturalmente posible, se debe trabajar sobre las diferencias (aparear los datos), y de esa forma el ensayo será más eficiente. (Ej: antes y después de un tratamiento en cada paciente) Del apareamiento surge que mediante el mismo cada observación de un grupo sirve como control para esa misma observación en el otro grupo haciéndolo así mas eficiente (requiere menos observaciones). Por ejemplo, si medimos la respuesta a un tratamiento antes de comenzarlo y al finalizarlo sobre un grupo de pacientes, medir las diferencias apareadas significa eliminar efectos sistemáticos no controlados dependientes del genotipo y del ambiente de desarrollo de cada paciente (obviamente variables que no están bajo nuestro control) y que determinan que cada paciente responda al tratamiento en forma mas o menos personal, aunque si el efecto sistemático y causal del tratamiento existe, este se verá reflejado en mayor o menor grado en cada uno de los pacientes y por ende en las diferencias registradas. Por otra parte si se mide el efecto de dos tratamientos distintos en dos grupos separados de pacientes seleccionados al azar, no existe motivo suficiente para aparear los pacientes del primer grupo con los del segundo o sea no se puede ni debe aparear datos en este caso. Por el contrario, debe quedar claro que se puede dejar de aparear datos apareables y simplemente agruparlos dentro de cada grupo al azar, aunque por razones de eficiencia obviamente esto no será recomendable. Se puede demostrar que si un ensayo de inferencia permite aparear datos (por ejemplo, el test paramétrico t-Student para medir diferencias de promedios entre dos grupos), la potencia del ensayo (1-β) apareado siempre será mayor o igual a la potencia del ensayo agrupado. Por ese motivo hay que aparear siempre que sea factible. 2.9. EL MUESTREO Y EL DISEÑO DE LAS PRUEBAS A CIEGO, DOBLE CIEGO Y

TRIPLE CIEGO Una de las condiciones más importantes para que una prueba de inferencia tenga valor es que las observaciones individuales sean extraídas al azar de su población de origen (población sobre la que se desean hacer inferencias). Esto se aplica tanto a ensayos paramétricos como a los no paramétricos y su incumplimiento atenta contra la validez fundamental del ensayo. Debe tenerse en cuenta que su



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incumplimiento no impedirá la generación de un resultado matemático, pero este resultado carecerá de validez. Supongamos que se necesitan seleccionar dos grupos de diez (10) pacientes para efectuar un ensayo comparativo de dos tratamientos dentro de un grupo de quinientos veintitrés (523) disponibles. El problema es cómo se seleccionan al azar, lo que es más fácil enunciar que concretar. Para comenzar indicaremos un método simple aunque menos riguroso respecto del que se indica más adelante. Simplemente vaya a la tabla de números aleatorios (TABLA I del APÉNDICE ) y apunte el dedo al azar (en lo posible sin mirar) sobre la misma y anote el dígito que quedó apuntando. Repita tantas veces como sea necesario hasta completar su muestra de números aleatorios. Ahora vamos a indicar un procedimiento más riguroso y que también usa la tabla de números aleatorios (Ver TABLA I del APENDICE)

a. Lo primero que tiene que hacer es asignar números a cada individuo (u observación individual extraíble) de su población. Por ejemplo, si se trata de pacientes argentinos, use los cinco últimos (o más si hace falta) dígitos del DNI de cada uno (o sea un 21.234.905 se transforma en 34905). Si dos pacientes resultasen con igual número, se modifica al segundo sumando uno a su número hasta que sea único. A este nivel no puede haber duplicados (Tenemos 523 números asignados). Si se tratase de animales de experimentación, simplemente se los debería identificar por marcas y numerar al azar.

b. Ordene secuencialmente (de menor a mayor) su lista de números de la población (de 00000 a 99999), de manera que Ud. terminará con una lista de pacientes numerada del 1 al 523.

c. Obtenga en la forma más casual que se le ocurra (o pídale a alguien ajeno al tema) cuatro números del 1 al 10 y anótelos (A, B, C y D). Después vaya a la TABLA I del APENDICE y seleccione la columna A (Observe que hay 10 columnas con números de 5 cifras). Ahora seleccione la fila B.C+D y si ese número fuese mayor que 50 réstele 50 (Observe que hay 50 filas de números, agrupadas de a cinco). Se acaba de seleccionar el primer número de su muestra que obviamente tiene 5 cifras. Supongamos que A=9, B=7, C=9 y D=2; entonces se acabó de seleccionar la columna 9 y la fila 7.9+2=65-50=15, o sea el número 45276. Olvídese de los dos últimos dígitos, se acaba de seleccionar el número 452. Como ese número es menor que el tamaño de la población (523) y como no ha sido elegido antes (por ser el primero!) se lo acepta y así resulta que el paciente #452 es el primer seleccionado de los diez buscados.

d. Ahora seleccione el número inmediato inferior a ese (06028). Repitiendo el procedimiento de selección resulta que el paciente #060 es el segundo elegido. Si se alcanza el último número de alguna columna, se avanza a la primer fila de la columna siguiente, y si se agota la última columna se va a la primer fila de la primer columna.

e. Repita ocho veces mas, salteando aquellos números que superen 523 y los que hayan sido elegidos antes. Al concluir se tendrá la muestra de 10 pacientes elegidas al azar.

Resulta fácil adaptar este procedimiento a cualquier tamaño de población y muestra y aún modificar el sistema cambiando las direcciones de avance, la selección de las coordenadas iniciales, los dígitos significativos a usar dentro del grupo de cinco, etc. Será válido cualquier método que conduzca a la selección de muestras en forma tal que a priori cualquier individuo posea la misma probabilidad que otro de pasar a integrar la muestra. Un problema potencial que altera dramáticamente los resultados aparece cuando un paciente conoce de antemano con qué ha sido tratado y por efecto psicosomático reacciona según la tendencia que él



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mismo espera. Por ejemplo, si un paciente sabe que se está haciendo un estudio sobre el poder analgésico de una droga y sabe que él esta ingiriendo esa droga y no un placebo (especie farmacéutica con igual aspecto y caracteres organolépticos que el tratamiento pero sin su principio activo), entonces es posible que espontáneamente sienta menos dolor (aún como mecanismo inconsciente). Este efecto alterará totalmente los resultados y falsea las conclusiones. Otro tema a considerar pasa cuando el observador que registra los datos de los pacientes conoce de antemano si los pacientes han sido tratados o son controles con placebos. En ese caso, es imposible que el observador (que conoce cuál es la respuesta deseada) no posea algún tipo de prejuicio sobre lo que está midiendo, conciente o inconsciente. Como hay que eliminar estos sesgos (en estadística se llama así a cualquier tendencia sistemática que desvía el valor de las mediciones) se han diseñado métodos que quitan esa fuente de problemas. En grado creciente de utilidad, los diseños se clasifican en:

• Ensayo CIEGO: El individuo no sabe a qué categoría pertenece, es decir si pertenece al grupo control o al grupo tratamiento y por ende no está prejuiciado a-priori.

• Ensayo DOBLE CIEGO: Ni el individuo ni el observador que registra las mediciones saben

a que categoría pertenece cada uno y por ende no están prejuiciados a-priori.

• Ensayo TRIPLE CIEGO: Ni el individuo ni el observador ni el estadístico que efectúa el análisis de inferencia saben a que categoría pertenece cada uno y por ende no están prejuiciados a-priori.



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2.10. ARQUITECTURA GENERAL DE LAS PRUEBAS DE INFERENCIA Las múltiples pruebas de inferencia responden todas a un patrón común, lo que simplifica enormemente su estudio sistemático. Cualquiera sea la clase de prueba de inferencia, ya sea paramétrica o no-paramétrica, existen reglas generales que permiten racionalizar su lógica y de esa manera ganar experiencia para capturar la esencia de cualquiera de ellas. En general los ensayos se efectúan por medios informáticos lo que simplifica todo el proceso y evita los errores computacionales. Vamos a dar un ejemplo de interpretación práctica de este cuadro. Supongamos que tenemos diez pacientes diabéticos y a cinco les suministramos u hipoglucemiante, a la hora las medidas de glucemia fueron (en g/l) 1,32 - 1,22 - 1,05 - 1,53 y 1.16. El resto control arrojó los resultados 1,55 - 1,69 - 2,13 - 1,62 y 1,81. Ingresamos los datos en dos columnas paralelas y fijamos la H0:tratados=control vs. H1:tratados<control (de 1 cola!). Además fijamos nuestro nivel de significación en 0,01. Ahora computamos el estadístico de prueba t-Student (agrupado) (ver Capítulo 3) y nos dá el valor t=5,76 con 8 grados de libertad y una probabilidad asociada de

INGRESO ORDENADO DE LOS DATOS DEL ENSAYO Y EL NIVEL DE

SIGNIFICACION A USAR

COMPUTO DEL ESTADISTICO DE ENSAYO

COMPUTO DE LA PROBABILIDAD ASOCIADA AL ESTADISTICO DE

ENSAYO

ACEPTAR O RECHAZAR H0

Los datos se ingresan según el protocolo del ensayo elegido, el α se fija siempre de antemano

Cada ensayo tiene algún parámetro de salida que

concentra la información. Por ejemplo puede ser x2, t, F, r, R,

H, W, etc.

El valor obtenido del estadístico de ensayo siempre posee una probabilidad asociada (p), en

general función de los tamaños muestrales. Esto se computa por

programa o se consulta en tablas como las del APENDICE.

Si el p obtenido alcanza o supera al α definido, se acepta Ho, si el p fuese menor que el

α, se rechaza H0



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0,00032. Como ese valor de probabilidad es menor que el nivel de significación, se rechaza H0 y se acepta H1.

2.11. DISEÑOS SIMETRICOS, ASIMETRICOS Y MANEJO DE LOS DATOS FALTANTES

Cuando se quiere comprobar el efecto de dos o mas intervenciones sobre una población, se puede optar por seleccionar muestras de igual tamaño para cada caso o dejar ese número librado al azar. Desde el punto de vista de la potencia de los ensayos de inferencia, la opción no admite dudas. La primer variante debe ser siempre la preferida y se la conoce como diseño experimental simétrico. El motivo de su mayor eficiencia es que al asignar el mismo tamaño a cada clase o categoría, todas las opciones reciben a priori el mismo peso estadístico y se optimiza la flexibilidad del ensayo frente a todas las alternativas. Por ejemplo, si un grupo A posee una respuesta débil frente a otro grupo B con una respuesta mucho más manifiesta y si la influencia del azar es proporcionalmente importante frente a la influencia causal medida, elegir un tamaño muestral más pequeño para A que el elegido para B debilitará sensiblemente la potencia del ensayo. Si se piensa en términos económicos, cada observación individual cuesta dinero además de otros recursos escasos como tiempo de trabajo y recursos humanos. Por eso, la mejor manera de distribuir el presupuesto para el ensayo es asignar recursos equivalentes para cada alternativa considerada. Esto es, todo experimento debe ser diseñado en forma simétrica a menos que exista una buena razón para no hacerlo. Sin embargo, a veces no se puede evitar que el diseño termine siendo asimétrico, aún a pesar del investigador. Muchas veces es imposible pensar en simetrizar un diseño a priori, por ejemplo si se estuviese efectuando un estudio sobre una enfermedad muy poco frecuente, es improbable que se pueda obtener suficientes recursos como para que el diseño quede simétrico. Otras veces los pacientes fallecen, se pierden o desaparecen de un ensayo. Hay factores imprevistos, las observaciones de destruyen o se agotan los recursos para obtenerlos. Entonces aparecen huecos o datos faltantes en diseños que de otra manera serían absolutamente simétricos. El tema es cómo completar esos huecos y cuándo decidir que es imprescindible hacerlo. En primer lugar, si se producen huecos en un diseño simétrico lo primero que debe considerarse es reponer el dato faltante. A veces es posible hacerlo, a veces no. Esta es la mejor opción, con un poco de esfuerzo adicional se consigue otro paciente y se repite su tratamiento o se adquiere por la vía habitual una nueva observación. Si eso no fuese posible, considere la alternativa de seguir adelante con el diseño asimétrico. Pero, si decide que la simetría debe ser recuperada a toda costa, existe una técnica que le permite simular uno o mas (nunca más del 5% del total) de los datos faltantes. El método es simple, el número o dato reemplazante debe provenir de una fuente (artificial en este caso) que tenga la misma estructura que la natural u original. Por eso, si el resto de los “datos colegas”, es decir aquellos que acompañan al faltante, posee una cierta estructura detectable, esa misma estructura debe ser empleada para generar al dato que falta. Por ejemplo, si dentro de un grupo o tratamiento debiesen existir 15 observaciones pero se perdieron 2, lo que hay que hacer es investigar la clase de distribución que cumplen los 13 “datos colegas”. Supongamos que esos datos responden a una distribución normal definida por una media y la varianza N(μ,σ2) lo que corresponde es generar dos nuevos números que respondan a esa misma distribución.



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Para generar una secuencia de números aleatorios con distribución uniforme, basta usar un programa generador de números seudoaleatorios por computadora o recurrir a la TABLA I del APENDICE. Aquí seudoaleatorio es un tecnicismo estadístico que se aplica a la generación determinista de secuencias caóticas, pero a los fines prácticos, cuando mencionemos esta palabra se deberá entender como equivalente a la palabra aleatorio.

Otra situación que suele repetirse y en la cual resulta de interés completar datos faltantes aparece en cuadros de frecuencia. Por ejemplo, en una matriz numérica (tabla rectangular de valores) donde cada celda contiene la frecuencia registrada para esa fila y esa columna y cuando lo que se busca comprobar es que esas frecuencias están distribuídas en forma uniforme, se calculan celdas faltantes de la misma forma que se procede para calcular frecuencias esperadas en la prueba no paramétrica de contingencia chi-cuadrado (χ2) (ver Capítulo 4). El método es simple, para cada fila y cada columna se suman los valores (esto se conoce como sumas marginales). Obviamente la suma de las sumas dan el total general. Entonces, si falta el dato de frecuencia de una columna cuya suma es m y la fila cuya suma es n, y además el total general es k, la frecuencia faltante (usando la hipótesis de independencia) será = (m.n)/k. En otros casos podría ocurrir que hiciese falta obtener números aleatorios distribuidos según cualquier otra función estadística. En esos casos se recomienda recurrir al libro que trata en profundidad este tema (FISHMAN, 1978).

Para generar una secuencia de números distribuidos normalmente con media μ y varianza σ2, se procede de la siguiente manera:

njUUX

UUX

UUUcomodefinidosITABLAazaralnúmerosnGenerar

jjj

jjj

n

,...,5,3,1)2sin()ln(2

)2cos()ln(2.2

)(.1

12

1

12

21

=⎪⎭

⎪⎬⎫

−+=

−+=

++

+

πσμ

πσμ

…

Los números de entrada Uj son números aleatorios uniformemente distribuídos entre cero y uno. Se puede usar la TABLA I para obtenerlos, simplemente agregue un punto decimal en donde prefiera. Los números de salida Xj estarán distribuídos N(μ,σ2) según lo requerido.

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD CAPITULO 3 – Test Paramétricos


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CAPITULO 3: TEST PARAMETRICOS



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3.1. POBLACIONES NORMALES : LA DISTRIBUCION ZETA

Vamos a comenzar con un análisis general de una técnica de transformación de variables en el formato de la distribución normal (Ver Capítulo 1) ¿Porqué es importante transformar datos provenientes de mediciones sobre sistemas biológicos en datos compatibles con la distribución normal? Porque esa distribución es la más importante de las ciencias experimentales y porque permite sacar fácilmente conclusiones acerca del comportamiento general de una muestra que de otra forma no sería posible o llevaría un esfuerzo considerable. Se conoce como distribución z a la distribución normalizada (media cero, desviación standard 1) de cualquier variable que cumpla con las hipótesis de la distribución normal o Gaussiana. Cuando una muestra de la cual se intuye de antemano que proviene de una población que sigue la distribución normal y ya se han calculado su media y la desviación standard, se normaliza la misma a través de la siguiente transformación de datos que pasan los valores x iniciales a valores z:

zx X

DS=

−

“z” indica la desviación del valor x respecto de la media , medida en unidades de DS, o sea, indica a cuántas DS está el valor x del promedio. Ejemplo: la cantidad de PABA (ácido p-amino benzoico) excretada por la orina en una muestra de 1000 hombres cuyas edades están comprendidas entre 50 y 55 años fue de 151,0± 15,0 Hsg 24/μ ( x = 151,0 Hsg 24/μ ; DS = 15,0 Hsg 24/μ ). Considerando que esa tasa de excreción se encuentra distribuida normalmente, ¿cuántos hombres de la muestra dada presentan una tasa de excreción de PABA ubicada entre 119,5 Hsg 24/μ y 155,5 Hsg 24/μ ? Antes de comenzar valga la acotación que si aquí no se aplica la transformación normal (z) arriba detallada, no sería posible responder a esta pregunta. La única forma viable de lograr esa respuesta es suponer que la tasa de excreción de ese metabolito por orina sigue una distribución Gaussiana. Una vez asumida esta hipótesis (que por otra parte resulta verificablemente verdadera) pasamos a resolver este interrogante. 1) Se calculan los valores de z para cada uno de los extremos del intervalo teniendo en cuenta que la variable es continua: Entonces : z1 = (119,5 –151) / 15 = -2,1 y z2 = (155,5-151)/ 15 = 0,3 lo que indica que el valor 119,5 está a 2,1 DS por debajo del promedio, y el valor 155,5 está a 0,3 DS por encima del promedio. 2 ) Luego se buscan las probabilidades respectivas para z1 y para z2 en la tabla correspondiente. Para obtenerlos, acudimos al APENDICE - TABLA II: DISTRIBUCION NORMAL (z) donde se encuentra la probabilidad de que un valor z dado esté entre cero y un límite a tabulado. Gráficamente:



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Para z1 = -2,1

• la probabilidad tabulada de z entre 0 y +2,1 que es 0,4821, pero la curva normal es simétrica, por eso el área entre 0 y +2,1 es igual al área entre -2,1 y 0. Se concluye que el 48,21 % de los individuos de la población excretan PABA por orina entre 119,5 y 151,0 Hsg 24/μ ).

Para z2 = 0,3

• La probabilidad tabulada es 0,1179 (11,79%) Se concluye entonces que el 11,79% de los individuos de la población tienen excreción urinaria de PABA entre 151,0 y 155,5 Hsg 24/μ ) 3 ) El número de hombres de la muestra que tienen excreción de PABA entre 119,5 y 155,5 Hsg 24/μ , se calcula sumando las dos probabilidades anteriores y multiplicando la probabilidad hallada por el tamaño de las muestra : n = [p( -2,1 ≥ z ≥ 0) + p( 0 ≤ z ≤ 0,3) ] x 1000 = (0,4821 +0,1179) x 1000 = 600 hombres. Pruebas de significación basadas en z Con frecuencia en medicina se plantea la siguiente pregunta: ¿cuándo un valor dado representa solamente una variación normal con respecto al promedio y cuándo ese valor se considera patológico? Entre los valores considerados normales hay un valor promedio y el resto de los valores se distribuyen alrededor del promedio según un valor de DS. Un valor alejado del promedio, ¿es necesariamente patológico o puede ser un valor normal con poca probabilidad de ocurrencia? Si bien no puede darse una respuesta absoluta, la estadística permite calcular cuál es la probabilidad de que un valor pertenezca a la población de los valores normales; si esa probabilidad es muy baja se asumirá que el valor es patológico. Como ya hemos indicado (en el ámbito biológico), se han fijado convencionalmente los siguientes niveles de significación :

• probabilidad ≥ 0,05 (≥5 % de probabilidad de que la diferencia del promedio de un grupo bajo estudio con respecto al promedio de otro grupo bajo estudio esté dentro del rango normal y se haya debido al azar) – NIVEL NO SIGNIFICATIVO – (N.S.), o sea,



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“LA DIFERENCIA NO ES SISTEMÁTICA, Y POR LO TANTO NO EXISTE ESTADÍSTICAMENTE HABLANDO”.

• probabilidad < 0,05 (5 % de probabilidad de que la desviación con respecto al promedio esté dentro del rango normal y se haya debido al azar) – NIVEL SIGNIFICATIVO – (*)

• probabilidad < 0,01 (1 % de probabilidad de que la desviación esté dentro del rango

normal y se haya debido al azar) – NIVEL MUY SIGNIFICATIVO - (**) • probabilidad < 0,001 (0,1 % de probabilidad de que la desviación esté dentro del

rango normal y se haya debido al azar) – NIVEL ALTAMENTE SIGNIFICATIVO - (***)

Para saber donde están los límites de significación de z, consultamos la tabla y vemos que: a) ENSAYO DE DOS COLAS z = 1,96 (p tabulada de 0.4750 x 2 = 0,95 = 95%, o sea entre las 2 colas suman 5%) z = 2,58 (p tabulada de 0.4951 x 2 = 0,99 = 99%, o sea entre las 2 colas suman 1%) z = 3,29 (p extraída de otra tabla mas extensa = 99,9%, o sea entre las 2 colas suman 0,1%)

Interpretación para el ensayo de dos colas: H0: “la desviación (z) observada es igual a cero” H1: “la desviación (z) observada es distinta a cero”

Si un z experimental se encuentra dentro del intervalo [-1,96, +1,96] el desvío registrado no es significativo y se acepta H0. Si el valor de z está dentro del intervalo [-2,58, -1,96) o dentro del intervalo [+2,58, +1,96) el desvío registrado es significativo y se rechaza H0 al nivel 5%. Si el valor de z está dentro del intervalo [-3,29, -2,58) o dentro del intervalo [+3,29, +2,58) el desvío registrado es muy significativo y se rechaza H0 al nivel 1%. Si el valor de z está dentro del intervalo (-∞, -3,29) o dentro del intervalo (+∞, +3,29) el desvío registrado es altamente significativo y se rechaza H0 al nivel 0,1%.

b) ENSAYO DE UNA COLA z = 1,65 (p tabulada de 0.4501 = 45%, o sea 1 cola es de 5%) z = 2,33 (p tabulada de 0.4901 = 49%, o sea 1 cola es de 1%) z = 3.08 (p tabulada de 0.4990 = 49,9%, o sea 1 cola es de 0,1%)

b1) Interpretación para el ensayo de una cola para el caso z positivo: H0: “la desviación (z) observada es igual a cero” H1: “la desviación (z) observada es MAYOR a cero”



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Si un z experimental se encuentra dentro del intervalo (0, +1,65] el desvío registrado no es significativo y se acepta H0. Si el valor de z está dentro del intervalo (+1,65, +2,33] el desvío registrado es significativo y se rechaza H0 al nivel 5%. Si el valor de z está dentro del intervalo (+2,33, +3,08] el desvío registrado es muy significativo y se rechaza H0 al nivel 1%. Si el valor de z está dentro del intervalo (+3,08, +∞) el desvío registrado es altamente significativo y se rechaza H0 al nivel 0,1%.

b2) Interpretación para el ensayo de una cola para el caso z negativo: H0: “la desviación (z) observada es igual a cero” H1: “la desviación (z) observada es MENOR a cero”

Si un z experimental se encuentra dentro del intervalo (0, -1,65] el desvío registrado no es significativo y se acepta H0. Si el valor de z está dentro del intervalo (-1,65, -2,33] el desvío registrado es significativo y se rechaza H0 al nivel 5%. Si el valor de z está dentro del intervalo (-2,33, -3,08] el desvío registrado es muy significativo y se rechaza H0 al nivel 1%. Si el valor de z está dentro del intervalo (-3,08, -∞) el desvío registrado es altamente significativo y se rechaza H0 al nivel 0,1%.

Vamos a ejercitar estos conocimientos con dos ejemplos de aplicación. El primero está referido a los “valores normales” que en medicina sirven para clasificar a los pacientes en sanos o enfermos respecto de distintas variables estadísticas o indicadores del estado de salud. Valores normales en medicina Por convención, se consideran normales a los valores de cualquier indicador que presenta el 95% de la población (humana) carente de toda sintomatología patológica evidente. Estos valores se distribuyen (normalmente) dentro de un rango conocido como intervalo de confianza 95% y deben ser medidos en condiciones bien estandarizadas por un protocolo universalmente aceptado (por ejemplo, para glucemia – glucosa circulante en sangre - se toma una muestra de sangre venosa en un tubo conteniendo un agente glucostático como flúor durante las primeras horas de la mañana y en condiciones de ayuno de 8 horas) Aceptando esa convención y volviendo al ejemplo de la excreción urinaria de PABA de los 1000 pacientes, ¿cuáles son los valores normales de este indicador? Obviamente, si miramos los valores límites de z con dos colas, el intervalo de confianza 95% se establece si z está dentro del intervalo [-1,96, +1,96]. Sólo nos resta traducir esos límites en términos de excreción: Límite Inferior 95% = x – 1,96 DS = 151,0 – 1,96 . 15,0 = 121,6 Hsg 24/μ (ensayo de 2 colas) Límite Superior 95% = x + 1,96 DS = 151,0 + 1,96 . 15,0 = 180,4 Hsg 24/μ (ensayo de 2 colas) O sea el intervalo de confianza 95% y rango de la normalidad es [121,6 a 180,4] Hsg 24/μ . Por lo tanto si una persona posee una tasa de excreción de PABA de 117,0 Hsg 24/μ se lo considera ANORMAL (patológico, al nivel 5% de dos colas) y si tuviese una excreción de 194,0 Hsg 24/μ ídem. Obsérvese que (por ahora) decimos que es ANORMAL y no aclaramos HIPOEXCRETOR o HIPEREXCRETOR respectivamente, ya que sólo hemos efectuado un ensayo de dos colas. Sin



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embargo, si nosotros tuviésemos la sospecha previa que se trata de un paciente HIPOEXCRETOR o HIPEREXCRETOR, entonces podríamos buscar los intervalos de confianza de una cola, sabiendo que los valores de z límites son ahora -1,65 y +1,65: Límite Inferior 95% = x – 1,65 DS = 151,0 – 1,65 . 15,0 = 126,3 Hsg 24/μ (ensayo de 1cola) Límite Superior 95% = x + 1,65 DS = 151,0 + 1,65 . 15,0 = 175,8 Hsg 24/μ (ensayo de 1 cola) Ahora sí podemos llamar al paciente de 117,0 Hsg 24/μ HIPOEXCRETOR (es menor a 126,3) y al de 194,0 Hsg 24/μ HIPEREXCRETOR (es mayor a 175,8). Esto parece ser una complicación adicional al tratar de definir patologías, porque aparte de definir un intervalo de confianza 95% de dos colas, aparentemente habría que definir además el intervalo de confianza 95% de una cola. Pero eso no es así, ya que siempre que un ensayo de 2 colas registre una diferencia significativa a un dado nivel, automáticamente también será significativa esa diferencia al mismo nivel para el ensayo de 1 cola. Resumiendo, si un paciente registra un valor menor al intervalo de confianza 95% de normalidad de un parámetro (por ejemplo Glucemia) será automáticamente Hipoglucémico al nivel 5% (en realidad lo es al nivel 2,5%) y si lo supera al intervalo, será Hiperglucémico (o Diabético) al nivel 5%. En realidad, vale la siguiente regla general de significación: Obviamente en estos cuadros se puede cambiar el valor 1% del cuadro de la izquierda por cualquier otro (≤5%) pero se deberá ajustar convenientemente el valor del cuadro de la derecha.

3.2. COMPARACIÓN DE DOS GRUPOS NORMALES: TEST t-STUDENT Cuando se trata de comparar el promedio de dos muestras provenientes de poblaciones distribuidas normalmente (recordemos que esa es una condición necesaria para poder aplicar ensayos de tipo paramétrico) disponemos de un ensayo muy eficaz conocido como el test t-Student. Este ensayo está basado en una distribución estadística de muestras de pequeño tamaño y se acerca asintoticamente a la distribución normal a medida que el número de observaciones comparadas tiende a infinito. A los fines prácticos si dos muestras independientes a comparar tienen más de 30 observaciones individuales en conjunto o si las dos muestras fuesen dependientes y se efectuasen más de 30 comparaciones entre ambas se las puede considerar distribuidas normalmente.

La distribución t-Student utiliza para el indicador “t” que se calcula:

1 2x xtES−

=

si un ensayo de 2 colas es significativo (rechazo de H0) al nivel

1%

su interpretación como ensayo de 1 cola será significativa (rechazo de

H0) al nivel 0,5%

si un ensayo de 1 cola es significativo (rechazo de H0) al nivel

1%

su interpretación como ensayo de 2 colas será significativa (rechazo de

H0) al nivel 2%



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“t” brinda la desviación del valor promedio 1x con respecto al valor promedio 2x , medida en unidades de ES (error standard). Los valores típicos de esta distribución están tabulados, en el APENDICE – TABLA III se presenta un extracto de esta tabla. En esta tabla de t-Student se encuentran las probabilidades que tiene el valor dado de pertenecer a la distribución “t”, según el valor de “t” calculado, y los grados de libertad. Los grados de libertad, término vinculado a los valores que se pueden elegir libremente una vez fijadas ciertas restricciones sobre los parámetros, toman valores vinculados a los tamaños de las muestras, como ser ν= n-1 o ν=n1+n2-2. Entonces se buscan en la primera columna esos grados de libertad y en el cuerpo de la tabla, se busca el valor “t” (que fuera calculado previamente) y para ese grado de libertad. Las probabilidades de que ese valor x pertenezca a la población se encontrarán en la parte superior, horizontalmente y encabezando la columna de “t” o interpolando. Básicamente existen dos variantes para la prueba de inferencia t-Student, el TEST AGRUPADO y el TEST APAREADO. Estas variantes se refieren al tema de apareamiento de datos que ya ha sido discutido en un punto previo del capítulo anterior. Sólo nos limitaremos a recordar dos hechos: el test apareado que trabaja sobre las diferencias entre dos grupos, es más potente que el agrupado pero sólo se puede efectuar si hay justificación para proceder a ese apareamiento. Vamos a ver ejemplos de ambas variantes. a) TEST t-STUDENT AGRUPADO

Tenemos dos muestras A y B cuyos promedios se desean comparar. En este caso (no hay razones para aparear), los tamaños de dos muestras A y B (que llamaremos nA y nB) pueden incluso llegar a ser diferentes. Lo primero que se hace es calcular el parámetro de dispersión que es el error standard de la diferencia:

1) Para asegurar una mejor estimación del significado de la diferencia entre las medias, se calcula un ES combinado a partir de los DS (desvío standard) de ambas muestras:

DSx X x X

n nn DS n DS

n ncombA A B B

A B

A A B B

A B=

− + −+ −

=− + −

+ −∑( ) ( ) ( ). ( ).

( )

2 2 2 2

21 1

2

2) Se calcula el error standard de la diferencia

ES DSn nn ndifA B

A B=

+.

.

3) Se calcula el estadístico o indicador “t”:

tX X

ESX XDS

n nn n

A B

dif

A B

comb

A B

A B=

−=

−+.



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Grados de libertad: son (n-1) para cada muestra, pues están dados por el número de diferencias independientes (x-X) utilizadas para determinar el DS. Si se consideran las 2 muestras, los grados de libertad serán:

ν = nA + nB - 2 Uso de la tabla de Student: • Se busca en la tabla el número de grados de libertad en la primera columna. • Se busca en la fila correspondiente a los grados de libertad, el valor más próximo al valor de

”t”calculado por la fórmula. • Se encontrará la probabilidad (correspondiente a las dos colas de la distribución t-Student)

encabezando la columna correspondiente. • Se interpreta estadísticamente la probabilidad hallada con respecto al nivel de significación fijado de

antemano de 0,05, 0,01 o bien, más estricto, de 0,001, para decidir aceptar o rechazar la hipótesis nula.

a) TEST t-STUDENT APAREADO

En medicina es frecuente considerar un mismo grupo de individuos que es a la vez sujeto de la acción que se está estudiando y control. Es el típico caso “antes y después”. Como ambas determinaciones son realizadas sobre el mismo individuo, se calcula la diferencia (d) entre los pares de valores de antes y después, para cada uno de los integrantes de la muestra:

d1 = x1 antes - x1 después d2 = x2 antes - x2 después d3 = x3 antes - x3 después ..................................... ..................................... dn = xn antes - xn después

Se calcula la media de la diferencias:

dd

n=

∑

Se calcula el parámetro de dispersión que es el error standard de las diferencias: 1) Se calcula el DS de las diferencias

DSd dn

=−−

( )2

1

2) Se calcula el error Standard



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ESDS

n=

3) Se calcula el indicador “t” como sigue: dtES

=

Cálculo de los grados de libertad: teniendo en cuenta que trabajamos con una sola muestra, los grados de libertad son:

ν = n - 1 Para interpretar el resultado, consultamos como antes la tabla t-Student. En la fila correspondiente al número de grados de libertad, buscamos en la tabla el valor más próximo al “t” calculado, y leemos la probabilidad que le corresponde. Luego interpretamos estadísticamente este valor de probabilidad comparado con el nivel exigido de antemano de 0,05, 0,01 o 0,001 para concluir si se cumple la hipótesis de nulidad H0 (diferencia nula) o si el tratamiento ha sido efectivo.

3.3. PRUEBA DE ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL ENTRE VARIABLES

CUANTITATIVAS

Nos enfrentamos en investigaciones científicas con el problema de medir el grado de relación existente entre dos variables de una misma población. Esto se define como una clase de análisis de asociación cuantitativo entre las variables. Este ANÁLISIS DE ASOCIACIÓN recibe el nombre de ANALISIS DE CORRELACIÓN cuando se desconoce la relación funcional entre las mismas y como ANALISIS DE REGRESIÓN si ya se conoce la relación funcional (recta, parábola, polinomio, exponencial, etc.) entre las variables. Generalmente se comienza con el Análisis de Correlación y una vez demostrada se pasa al Análisis de Regresión con un modelo lineal (recta) o no lineal (otra) Por ejemplo, queremos investigar si existe una relación entre el nivel de colesterol y la frecuencia de crisis cardiovasculares de un grupo de pacientes. Si esta relación existe y puede expresarse matemáticamente mediante la ecuación de una recta, se dirá: la correlación es lineal. Cabe aclarar que es el único tipo de correlación que estudiaremos en este trabajo. Gráfico: En principio, para visualizar la relación entre los dos grupos de valores, se le asigna cada grupo un eje de un par de ejes coordenados. A cada par de datos, formado por un dato de cada grupo que se correspondan entre sí, le asignamos un punto en el diagrama. y x Se obtiene así un conjunto de puntos del plano, que pueden estar alineados o no. Aunque todos los puntos no queden sobre una misma recta, supongamos que observamos por su ubicación una tendencia

*

*

*

*

**

*AC

B D

E

F

G



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lineal. Nos preguntamos: ¿existirá una recta que corresponda a la correlación lineal entre ambas variables? De existir esta recta, pasaría por todos los puntos si éstos no hubiesen sufrido desviaciones por azar. Para determinar si existe correlación lineal entre los dos grupos de datos de la muestra calculamos el así llamado coeficiente de correlación del producto-momento de Pearson ( r ) con la fórmula:

yx DSDS

yyxxnr

∑ −−=

))((1

El numerador es la “covarianza” de (x, y) donde n es el número de pares de puntos, y el denominador el producto de los desvíos standard de x y de y tomados en forma aislada. Interpretamos el valor de r para determinar en qué nivel se correlacionan las dos variables de la muestra, de la siguiente forma: Consultamos la TABLA XVII del APENDICE que para los grados de libertad involucrados nos da los límites inferiores de significación de r, si nuestro valor alcanza o supera algún límite tabulado se rechaza H0 de independencia (H0: r = 0 ) y aceptamos H1: r ≠ 0 (dos colas). Si r toma valores positivos, la recta tiene pendiente positiva, y se dice que la correlación es directa; si r toma valores negativos, la recta tiene pendiente negativa y la correlación se llama inversa. El coeficiente r es un estimador del coeficiente de correlación poblacional (ρ). Si queremos averiguar ahora si la correlación entre ambas variables es estadísticamente significativa verificamos la hipótesis nula H0: (r = 0), siendo la alternativa H1: (r ≠ 0). Como se puede apreciar, hemos planteado un ensayo de dos colas. Para ello, o bien consultamos la TABLA XVII o calculamos el siguiente estadístico “t” descripto en el apartado previo:

21

2

r

nrt−

−=

Se busca en la tabla de distribución de t-Student (APENDICE-TABLA III) para (ν=n-2) grados de libertad, qué probabilidad hay de que esa correlación fuera hallada por azar. Prueba de nivel Determinados los niveles de significación de 0,05, 0,01 y 0,001 (prueba de dos colas), según el criterio del profesional como exigencia impuesta al problema, resulta: - si la probabilidad es más alta que el nivel impuesto, se concluye que la correlación no es

significativa, o sea, la asociación fue por azar. - si en cambio, la probabilidad hallada fuera menor que el nivel marcado, la correlación es

significativa, es decir, hay un grado de asociación lineal entre las dos variables estudiadas. REGRESIÓN LINEAL Si la correlación lineal entre ambas variables fue aceptada, nos veremos en el problema de hallar la ecuación de la recta que las vincula (pendiente y ordenada al origen). La solución gráfica aproximada se obtiene trazando la recta que mejor se ajuste a la distribución de los puntos experimentales. Los cálculos de los parámetros a y b de la recta son:



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2 2

. ( . ) .. ( )

n x y x ya

n x x−

=−

∑ ∑ ∑∑ ∑

by a x

n=

− ∑∑ .

Conocidos los parámetros, la ecuación de la recta es:

y = a . x + b 3.4. CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN NO LINEAL Muchas veces surgen situaciones en las cuales se desea verificar la regresión lineal entre un conjunto de variables independientes (x1, x2, x3, …, xn) y una variable dependiente (y). Por ejemplo si se sospecha que el nivel de colesterol (x1), la presión arterial (x2) y la temperatura corporal (x3) definen linealmente el grado de obstrucción venosa (y), se podría plantear el siguiente modelo de correlación múltiple:

3322110 xaxaxaay +++=

donde a0 es el término independiente y a1, a2 y a3 son los coeficientes lineales, todos a determinarse si se dan como dato un conjunto de grupos de valores (x1, x2, x3, y) . Otras veces, surge la necesidad de buscar los coeficientes polinómicos que mejor se ajustan a un conjunto de puntos experimentales (x, y). Por ejemplo, si tuviésemos algún fundamento para pensar que la inflamación de un órgano (y) depende de una ecuación de tercer grado (polinomio cúbico) con respecto al número de leucocitos circulantes (x), podríamos plantear el siguiente modelo de correlación no lineal:

33

2210 xaxaxaay +++=

donde ahora a0, a1, a2 y a3 son respectivamente el término independiente, el término lineal, el término cuadrático y el término cúbico a determinar si se da como dato un conjunto de pares de valores (x, y). Si observamos las ecuaciones de los dos modelos planteados, surgen similitudes que nos hacen pensar en que ambos modelos se resuelven por la misma vía computacional. En efecto, apelamos a un procedimiento muy empleado en estadística que es el cambio de variables. Si a la variable lineal, en el segundo caso, la llamamos x x1, al cuadrado x2 x2 y al cubo x3 x3 vemos que precalculando el cuadrado y el cubo de cada x experimental, obtenemos el mismo caso del primer modelo. Correlación lineal múltiple y regresión no lineal son problemas isomorfos y poseen una misma solución. El método de resolución general se conoce como método de mínimos cuadrados (del cual la regresión lineal es sólo el caso particular para polinomios de grado uno), ya que busca minimizar los cuadrados de las distancias entre los puntos experimentales y los de la función que se calcula. Como caso particular vamos a resolver el modelo arriba planteado, aunque es fácil generalizarlo a cualquier grado de polinomio o cantidad de variables independientes. 1) Se comienza con el primer modelo (el de regresión lineal múltiple) y si hiciese falta se hace el cambio de variables para llegar a él. Vamos a considerar m=3 el número de variables independientes y n el número de repeticiones o puntos utilizados. Como primer paso se debe calcular la “matriz” (cuadro rectangular de valores) de covarianzas:



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∑ ∑∑ ∑ ∑ −=−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nx

xSSn

xxxxSSdonde

SSSSSSSSSSSSSSSSSS

iiii

jijiij

22

333231

232221

131211 )(;;

observar que la matriz es simétrica (respecto de la diagonal principal), o sea p.ej: SS31=SS13 y los elementos de la diagonal principal, p. ej: SS22 son las varianzas de cada variable. 2) Se calcula el “vector independiente” (columna de valores) de términos independientes:

∑ ∑ ∑−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nyx

yxSSdondeSSSSSS

iiiy

y

y

y

;

3

2

1

3) Se obtiene el “vector solución” de los tres coeficientes (a1 a2 a3) por “inversión matricial” (una operación numérica efectuada sobre matrices, normalmente realizada por medio de un programa de computación) y producto de la “matriz inversa” con el “vector independiente” (también efectuado por computadora)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

y

y

y

SSSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSS

aaa

3

2

11

333231

232221

131211

3

2

1

4) Habiendo resuelto los valores de (a1 a2 a3) obtenemos el valor del término independiente

nx

xyn

yydondexbya i

im ii∑∑∑ ==−= ;0

5) Se calcula la varianza residual del sistema

∑ ∑∑ −−=−=−== 1.).(;)(

;;2

2 mnldegny

ySSSSaSSSSdondeSS

Vm yyiyiyyr

ry ν

ν

6) Se calculan las varianzas asociadas a cada coeficiente ai

calculadainversamatrizladediagonalelementoésimoielescdondeVcV iiyiiai −= ;

7) Computar la significación (frente a cero, test de dos colas) de cada coeficiente ai por medio del test t-Student

1.).(; −−== mnldegconVa

tbi

i ν

y si alguno de estos coeficientes resultase N.S. (no significativo al nivel p=0,05) se lo debe eliminar del modelo. Por eso, suponiendo que a1, a2 son significativamente diferentes a cero pero a3 no lo fuese, el sistema quedaría reducido a

22110 xaxaay ++= o según el caso a

2210 xaxaay ++=

En caso de requerir la inversión matricial (y el producto matricial de esa matriz por un vector) puede emplear un programa matemático específico o una planilla de cálculos como Excel, Lotus, etc. Si no supiese operar con esos programas, simplemente consulte a quien pueda asistirlo.

3.5. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON A pesar que la distribución normal es en general la más utilizada en las ciencias experimentales, hay otras distribuciones de frecuencia estadística que también deben ser conocidas ya que su aplicación es



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mandatoria en muchos casos. Comencemos describiendo la distribución binomial. Supongamos que estamos estudiando un fenómeno dicotómico, es decir donde sus resultados pueden ocurrir sólo de dos formas mutuamente excluyentes. Por ejemplo, supongamos que en una población, la proporción teórica de enfermos de Mononucleosis Infecciosa (MI) es de 0,25%, es decir 25 de cada 10.000 individuos elegidos al azar. En término de probabilidades, podemos decir que la probabilidad que un individuo extraído al azar de esa población padezca MI es p=0,0025. Es inmediato deducir que la probabilidad que ese mismo individuo no tenga MI es q=0,9975, o sea se se cumple que

p + q = 1 Este es un típico ejemplo de dicotomía. Si pensamos podremos hallar cientos o miles de ejemplos equivalentes, y a estos sistemas se le aplica la distribución binomial. Su nombre deriva del desarrollo de las potencias del binomio.

Como en cada potencia del binomio la suma de todos sus términos sigue dando uno, es lógico pensar que cada uno de esos términos representa un valor de probabilidad y su conjunto (es decir esa expansión del binomio) una distribución estadística de frecuencias. Esto es así y a esa distribución se la conoce como binomial. Veremos que esa distribución (al igual que la normal) es simétrica y su forma tiende a la clásica “campana” de Gauss a medida que n ∞. Vamos a interpretar lo que significa cada término en una de esas expansiones. Por motivos de simplicidad, elegimos la expansión cúbica

(p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 Esto se interpreta así: p, q = probabilidades individuales (y complementarias) de cualquier dicotomía, en particular e caso de la MI (p=enfermo, q=sano) y 3 (el exponente)= tamaño de la muestra extraída al azar de la población (o sea 3 personas):

Es decir, considerando las sucesivas potencias del binomio (cualesquiera sean los valores p y q de probabilidad) serán:

∑=

−−−− =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

=+++=+

=++=+

=+

n

i

iinnnnnnnn qpin

qpnn

qpn

qpn

qpn

qp

qpqqppqpqpqpqp

qp

0

22110

32233

222

1210

)(

133)(12)(

1)(

…

En la última expresión aparecen los “coeficientes binomiales” que dependen de la “función factorial”, a saber:

1!0).1.....(3.2.1!;)!(!

!=−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛definiciónporynnndonde

inin

in



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[ p3 ]=probabilidad de ocurrencia de tres enfermos en el grupo de tres [3p2q]=probabilidad de de ocurrencia de dos enfermos y un sano en el grupo de tres [3pq2]= probabilidad de de ocurrencia de un enfermo y dos sanos en el grupo de tres [ q3 ]=probabilidad de ocurrencia de tres sanos en el grupo de tres

Es fácil comprobar que estos cuatro casos cubren todas las posibilidades existentes al elegir tres individuos de esa población y por lo tanto la suma de sus probabilidades da uno. Ahora podremos generalizar el tema y contestar preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de en una muestra de 215 personas elegidas al azar 2 estén enfermas de MI? Notar la relevancia de la aplicación de este tipo de análisis en áreas como la epidemiología. En particular notar su relevancia por ejemplo para determinar la aparición de enfermedades asociadas a periodos definidos del año o epidemias localizadas como el SARS o pandemias como el HIV. A partir de este tipo de evaluaciones es que los gobiernos deben tomar medidas precautorias decidiendo la generación de campañas de prevención para asistir a las poblaciones sujetas al riesgo. Aplicando los conceptos discutidos, vemos que:

14.0)9975.0((0.0025) 23005.2.1215.214

213215

)215,2( 23221322132 ≅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= qpqpp

¿y cuál es la probabilidad de en una muestra de 2150 personas elegidas al azar 2 estén enfermas de MI?

067.0)9975.0((0.0025) 23005.2.12150.2149

21482150

)2150,2( 214822148221482 ≅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= qpqpp

Obsérvese que esta última probabilidad nos sorprende por su bajo valor, el motivo es que en una población de ese tamaño sería raro encontrar tan pocos (sólo dos) enfermos de MI. Otro tipo de preguntas referidas a la distribución binomial requieren el cómputo de la distribución binomial acumulada. Estas probabilidades están registradas en la TABLA VII del APENDICE. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de en una muestra de 2150 personas elegidas al azar al menos 2 estén enfermas de MI? Podemos deducir que para contestar esta pregunta deberíamos calcular la probabilidad de aparición de 2, 3, 4, ….., 2150 enfermos en esa muestra y sumarlas porque todos esos casos son mutuamente excluyentes (recordemos la ley de la suma de probabilidades que ya ha sido vista). O sea:

97,02150

2150)2150,2(

2150

2

2150 ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=≥ ∑=

−

i

ii qpi

p

Este tipo de cuentas puede ser engorrosa de resolver y normalmente requiere la consulta a la TABLA VII del APENDICE o de una computadora con un programa estadístico adecuado como las planillas de cálculo fáciles de acceder como Excel o Lotus. Sin embargo, si se piensa un poco, muchas veces se



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pueden economizar los cómputos. Por ejemplo con esta última pregunta, la respuesta es más fácil de computar si se formula el caso complementario. La probabilidad de hallar dos o más enfermos de MI en 2150 personas es igual a uno menos la probabilidad de hallar 0 o 1 enfermos. Evidentemente esta versión requiere (manualmente) solo 2 cómputos, es decir:

97,021492150

21502150

1)2150,2( 21492150 ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=≥ pqqp

aunque con el programa se obtiene el resultado en fracción de segundos. La distribución binomial tiende a la distribución normal como caso límite cuando p 0 (o sea q 1) y n ∞. Nótese a esta altura la importancia de una correcta formulación de la pregunta ya que ello no solo contribuye a la obtención de la respuesta adecuada sino que nos permite aun simplificar la propuesta matemática de abordaje. Otra distribución estadística interesante es la distribución de Poisson, que se conoce como la “distribución estadística de los eventos raros” y que posee bastante aplicación en las ciencias naturales. A diferencia de lo que ocurre con la distribución normal y la binomial, esta es asimétrica, con la característica adicional que su media y su varianza (calculada como en la distribución normal) coinciden en un mismo valor. El nombre de “evento raro” se refiere a que la probabilidad de ocurrencia de casos favorables suele ser “relativamente” baja. Por ejemplo, si se hace una estadística del número de goles en partidos de football profesional, se vería que la probabilidad de goles crece desde cero por partido hasta un máximo (digamos 3 por partido) y luego decrece mucho más lentamente a medida que ese número tiende a infinito. Por ejemplo, la probabilidad de existencia de 200 goles (o más) en un partido ya es a todo efecto igual a cero. Este es un típico ejemplo de esta distribución. En medicina esta distribución aparece en el número de células por mm3 que se miden en un contador hematológico, el número de colonias bacterianas por placa de cultivo en medio sólido, el número de pacientes que concurren por día a un consultorio, número de óbitos hospitalarios por día, cantidad de cirugías efectuadas por semana, la tasa de mortalidad por accidentes, número de infecciones por área geográfica en epidemias, etc. La probabilidad de aparición de 0, 1, 2, 3, … casos favorables en la distribución de Poisson es respectivamente

,...!3

,!2

,,32

zzzz ezezzee −−−−

donde z es el promedio registrado (igual a su varianza, o sea el DS es su raíz cuadrada). Este es un hecho bastante inusual e interesante, para obtener toda la distribución basta calcular un promedio. Por ejemplo, vamos a ejercitar la distribución de Poisson con una estadística efectuada acerca del número de decesos quirúrgicos por año en intervenciones de transplante cardíaco que se han registrado en un pool de diez hospitales de alta complejidad, desde el año 1981 al 2000 inclusive ( o sea, se han censado 200 años de actividad).



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decesos quirúrgicos

número de años en los cuales ocurrieron ese número de decesos

0 109 1 65 2 22 3 3 4 1 5 0 6 0

En total tenemos 122 decesos, o sea el promedio (z) de muertes por hospital y por año es 0,61. En este caso, el valor de e-z ≈ 0,543 y el valor computado (teórico) de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 óbitos es en términos de probabilidades 0,543, 0,331, 0,101, 0,021, 0,003 , 0,0004 y 0,00004. Traducido en decesos (por 200 años de actividad) los valores computados (teóricos) son 109, 66, 20, 4, 0,6, 0,08 y 0,0008. Podemos comparar estos datos con los realmente registrados y vemos que la coincidencia es muy buena. Mas adelante se verá un método no paramétrico (prueba x2-Chi cuadrado de bondad de ajuste) que permitirá verificar objetivamente la H0: ajuste bueno versus H1: ajuste malo con un test de dos colas. También para esta distribución puede ser de interés conocer la probabilidad de la distribución acumulada. Nuevamente acceder a programas como Lotus o Excel resuelve ese problema con una simple función. Por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad que haya 3 o más decesos quirúrgicos por año en los servicios de transplante cardíaco?

024,0!

)61.0,3(3

≅==≥ ∑∞

=

−

i

zi

eizzp

Este cómputo se efectúa en forma simple e inmediata usando esas planillas de cálculo.

3.6. ANOVA: FUNDAMENTOS DEL FRACCIONAMIENTO DE LA VARIANZA ANOVA es una sigla universalmente adoptada y que significa análisis de varianza. Se refiere a una familia de técnicas estadísticas paramétricas destinada a la comparación simultánea de dos o más promedios muestrales, extrayendo toda la información estadística disponible de esas muestras siempre que se cumplan un mínimo de condiciones que vamos a detallar. Los ANOVA no son un ensayo estadístico más. Estamos frente a la metodología estadística más sofisticada disponible en el arsenal de la estadística inferencial paramétrica. Representan una familia muy potente de detección de diferencias muestrales, un muy eficiente filtro estadístico del “ruido aleatorio” y que permite recuperar y amplificar “señales causales” débiles pero reales. Con casi 80 años desde su creación por el padre de la estadística moderna R. A. Fisher, ha sido sucesivamente perfeccionada por generaciones de estadísticos.



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Las condiciones mínimas exigidas por el ANOVA para que se puedan comparar (por ensayos de una y dos colas) a un conjunto de muestras experimentales son las siguientes:

1) Las muestras provienen de poblaciones normalmente distribuidas. Existen ensayos específicos que responden a esta cuestión con precisión (prueba Kolmogorov-Smirnov, test Lilliefors y prueba W de Shapiro-Wilks amén del Chi-cuadrado de bondad de ajuste)

2) Las muestras poseen homogeneidad de varianza residual debida al error (aleatorio). Existe un test paramétrico (test de Bartlett) que permite controlar esta condición en caso de dudas.

3) Los efectos causales son aditivos, o sea que si hay causas que desplazan a los promedios de las muestras, estos se suman y restan algebraicamente (esta condición se cumple siempre que no exista el fenómeno de “interacción” que generalmente el propio ANOVA se encarga de controlar)

En general ninguna de estas condiciones (salvo la primera) es demasiado restrictiva ya que la casi totalidad de los fenómenos normalmente distribuidos en ciencias naturales cumplen el papel de “buenas” y permiten la aplicación del ANOVA. Por otra parte, cuando aparece alguna anomalía que atenta contra la validez del ANOVA, aparecen otras al unísono. ¿Porqué el ANOVA es tan eficiente en la comparación de varias muestras simultáneas? Queda claro que para dos muestras existe una sola comparación posible y esta la efectúa un test t-Student con toda eficiencia. Pero si tuviésemos tres muestras hay tres comparaciones internas posibles, por eso o se efectúa un ANOVA que las hace todas en un solo ensayo o se hacen 3 test t-Student. La situación se complica si comparamos más muestras simultáneas, por ejemplo diez muestras comparadas todas contra todas:

aquí se deberían efectuar 452

10=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ test t-Student o un único ANOVA

La elección es clara. Y la situación se complica cada vez más a medida que crece el número de muestras (y el número combinatorio) y esa es la razón principal de la eficiencia de un ANOVA. Otra razón se verá más adelante y consiste en que permite detectar y separar la acción de varios factores o causas independientes (y aditivas) sobre una misma muestra lo que no permite el test t-Student. Finalmente el ANOVA permite detectar desviaciones de la aditividad (interacciones) entre los factores en estudio, nada de esto se detecta con el t-Student. Resumiendo, el test t-Student se reserva exclusivamente a la comparación de dos grupos y nunca se replica para comparar un conjunto mayor de muestras, sencillamente se emplea un ANOVA. El lenguaje ANOVA Vamos a ilustrar ahora el lenguaje particular del ANOVA (análisis de varianza). Primero repasemos el concepto de varianza, una de las medidas de dispersión de los datos alrededor de su promedio.

)/)((1

11

)( 222

2 nxxnn

xxs ∑ ∑∑ −

−=

−

−=

Esta es la fórmula del estimador de la varianza poblacional (σ2) para muestras pequeñas (n<30), sencillamente llamada varianza muestral. Si observamos la fórmula desarrollada de la derecha vemos que la varianza se comienza obteniendo de la diferencia entre la suma de cuadrados y la suma al cuadrado dividida por el tamaño muestral. Finalmente la varianza muestral será esa diferencia dividida



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al tamaño muestral menos uno, lo que coincide con los grados de libertad de ese parámetro de dispersión. En el lenguaje ANOVA, estos términos reciben otros nombres:

../1..

/)( 22

LdeGSCMCnLdeG

nxxSC

=−=

−= ∑∑

A la varianza se la llama MEDIA CUADRADA (MC o MS siguiendo la notación sajona), a la suma de los cuadrados de x menos la suma de x elevada al cuadrado y dividida por n se la llama SUMA DE CUADRADOS CORREGIDA o como la llamaremos de aquí en adelante SUMA DE CUADRADOS (SC o SS siguiendo la notación sajona) y por último al denominador GRADOS DE LIBERTAD. O sea, una MEDIA CUADRADA se obtiene dividiendo una SC por los grados de libertad. Este lenguaje es útil para poder interpretar los cuadros ANOVA. Se llaman cuadros ANOVA a los resúmenes sintéticos de los resultados de este ensayo de inferencia. Tratamiento algebraico del fraccionamiento de la varianza Para llegar a entender más acabadamente la lógica del ANOVA se requiere profundizar en ciertos aspectos algebraicos vinculados al fraccionamiento de la varianza. Aquel lector que no se sienta demasiado cómodo con la formulación matemática puede saltear este apartado aunque resultaría provechoso realizar el esfuerzo de entenderlo. Hecha la advertencia, vamos a efectuar una aproximación más empírica que rigurosa al tema. Ante todo, como se discutirá más adelante, ANOVA es el fraccionamiento de variabilidad total y grados de libertad totales en partes linealmente aditivas (o sea que sumadas dan el total). Supongamos que comenzamos con una única observación de una variable x (=a). Obviamente, la media de esa muestra tan elemental será a, su varianza cero y los g. de l. también nulos.

01..;0;;1;)(: 2 =−==== nldegsaxnaData Esto nos sugiere que si dispusiésemos de una muestra de cualquier tamaño (n) en la cual todos los valores fuesen idénticos, la dispersión sería nula y no habría materia fraccionable, es decir la varianza total no sería distribuible (y los g. de l.) en términos aditivos menores (obviamente una varianza nunca será negativa). Supongamos que tenemos ahora dos valores distintos de x

2/)(2/)(/)(

;2

)(;1..);(:

221

221

22

21

22

2121

aaaaaanxxSC

aaxldegaaData

−=+−+=−=

+==

∑ ∑

Por lo expuesto, la suma de cuadrados con un solo grado de libertad corresponde a una única comparación entre a1 y a2.



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Aquí la lógica indica que en cada comparación del tipo 1 se confrontan dos valores, en la del tipo 2 se confrontan un tercer valor con el promedio de los dos primeros y en la del tipo 3 se confronta el valor restante contra el promedio de los tres primeros que se han usado. Lo interesante es que esta no es la

La siguiente situación en grado de complejidad creciente consiste en tres valores diferentes de x

)(32

3/)(/)(

;3

)(;2..);(:

3231212

32

22

1

2321

23

22

21

22

321321

aaaaaaaaa

aaaaaanxxSC

aaaxldegaaaData

−−−++=

=++−++=−=

++==

∑ ∑

Ahora esta suma de cuadrados está basada en 2 grados de libertad o comparaciones. Como se ha visto, la comparación entre dos valores, digamos 1 y 2 es (a1–a2)2/2, por lo tanto podemos deducir el valor de la comparación restante como (a1+a2-2a3)2/6, dado que la suma de ambos términos reconstituye la SC. Si en vez de elegir 1 y 2 para la comparación original se elige cualquier otra de las tres posibles, las comparaciones restantes son

6/)2(;2/)(

6/)2(;2/)(

6/)2(;2/)(

23212

2321

23212

2311

23212

2211

aaaSCaaSC

aaaSCaaSC

aaaSCaaSC

++−=−=

+−=−=

−+=−=

Sólo nos resta interpretar que es lo que efectúa en cada caso la segunda comparación. Se puede deducir que se trata de una comparación entre el valor no considerado por la primera y el promedio de los dos primeros valores comparados. Resulta interesante saber que no son estas tres las únicas formas de particionar la SC, se pueden inventar otras menos obvias y menos útiles. Lo interesante es que vamos entendiendo paulatina e intuitivamente lo que es el análisis de varianza, un fraccionamiento de SC en tantas comparaciones como lo permitan los grados de libertad involucrados. Queda claro que las sumas de cuadrados son aditivas al igual que los grados de libertad (o comparaciones) particionados. Ahora analizaremos el caso de cuatro valores diferentes para x. No es difícil verificar que así como existen tres comparaciones posibles con dos grados de libertad, con tres grados de libertad hay doce comparaciones posibles de la clase vista hasta ahora:

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

12/)3(;6/)2(;2/)(

432132

43222

431

432132

43122

431

432132

43222

421

432132

42122

421

432132

43222

321

432132

32122

321

432132

43122

411

432132

32122

411

432132

43122

311

432132

32122

311

432132

42122

211

432132

32122

211

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

aaaaSCaaaSCaaSC

+++−=++−=−=

++−=++−=−=

+++−=+−=−=

+−+=++−=−=

+++−=−+=−=

−++=++−=−=

++−=+−=−=

+−+=+−=−=

++−=−+=−=

−++=+−=−=

+−+=−+=−=

−++=−+=−=



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única forma de particionar la SC, se pueden hacer otras comparaciones, como ser usar las dos primeras para comparar dos pares diferentes y en la restante el promedio de las dos primeras contra el promedio de las dos segundas, a saber:

4/)(;2/)(;2/)(

4/)(;2/)(;2/)(

4/)(;2/)(;2/)(

232413

2322

2411

242313

2422

2311

243213

2432

2211

aaaaSCaaSCaaSC

aaaaSCaaSCaaSC

aaaaSCaaSCaaSC

−−+=−=−=

−−+=−=−=

−−+=−=−=

Hay una forma adicional de particionar con tres grados de libertad y es usando todos los valores en cada comparación

4/)(;4/)(;4/)( 432134321243211 aaaaSCaaaaSCaaaaSC +−−=−+−=−−+= A pesar de no ser la mas intuitiva, esta forma de partición es una de las más usadas por el ANOVA. Además se puede demostrar que cada una de estas particiones sumadas da la SC total. Vamos a extraer conclusiones generales acerca de todo lo visto. Primero, la variabilidad total representada por la SC total puede ser fragmentada o particionada en un conjunto de contrastes o comparaciones entre los valores de la muestra. Segundo, el número de comparaciones es como mínimo igual a los grados de libertad existentes. Tercero, las comparaciones son ortogonales (o independientes) entre sí. Cuarto, se pueden “armar” comparaciones de distinto tipo, lo que permite por ejemplo contrastar los valores de un subconjunto de la muestra contra otro subconjunto de la misma muestra. En conjunto, estos cuatro atributos son el fundamento del análisis de varianza. El ANOVA será diseñado de tal forma que los contrastes que se armen permitan verificar la significación o no (frente al azar) de cualquier factor causal (y una regla simple que permita armar esos subgrupos internos de valores en la muestra). ¿En qué consiste un ANOVA? Esencialmente consiste en fraccionar (analizar= disgregar o repartir en fragmentos linealmente aditivos) la suma general de cuadrados (SC total del ensayo) en una suma de SC parciales atribuíbles a los distintos factores en estudio y verificar si esas SC parciales son estadísticamente significativas. En caso de serlo, los factores que las causaron existen realmente (aceptar H1) y esas fluctuaciones no se debieron al azar (rechazar H0) Junto con la fragmentación de la SC total, se reparten proporcionalmente los grados de libertad. La idea es que si en un grupo inicialmente homogéneo se gesta un cambio en los valores de un subgrupo, la varianza del conjunto aumenta. Por ejemplo, supongamos que tenemos un grupo de 20 pacientes con un cierto valor de colesterolemia normalmente distribuido. Obviamente, ese grupo será unimodal con una moda (= promedio) cercana al valor medio poblacional de ese parámetro y una dispersión (varianza) cercana a los valores poblacionales. Ahora supongamos que elegimos al azar la mitad de pacientes y les suministramos un fármaco que baja el tenor de colesterol en sangre. Después de un tiempo prudencial repetimos las medias de colesterol a los 20 pacientes (ahora se trata de 10 pacientes tratados y 10 pacientes control) y obtenemos nuevamente la media y la varianza del conjunto. Si el fármaco actuó, el promedio del conjunto debe haber disminuido (en realidad bajó en los 10 tratados y en el resto no se modificó, pero como conjunto hubo un descenso) y la varianza del conjunto aumentó. Es más, la distribución del conjunto pasó de unimodal a bimodal. Estrictamente hablando,



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como los grados de libertad (20-1=19) del conjunto no variaron, al aumentar la varianza (MC) lo que aumentó es la suma de cuadrados corregida (SC). Entonces podremos fraccionar (o analizar) la suma de cuadrados (SC Total) del conjunto de veinte pacientes en dos componentes aditivos:

SC total = SC factor + SC error experimental Donde la SC Factor es la dispersión debida al grupo tratado y SC error experimental la dispersión del grupo control (o del conjunto antes del tratamiento) y que recibe ese nombre particular en el lenguaje ANOVA. Cada vez que en ANOVA se mencione error experimental se estará haciendo referencia al efecto puro del azar. Si se dividen esas sumas de cuadrados por los respectivos grados de libertad, obtenemos las varianzas (MC) del factor y del azar o error experimental

MC total = SC Total / 19 MC factor = SC Factor / 1

MC error = ( SC Total- SC Factor)/(19-1)= SC error experimental / 18

Observemos que en total hay 19 grados de libertad (=20-1). Para el factor hay un solo grado de libertad, dado que su presencia divide al conjunto de pacientes en dos clases, los tratados y los controles (=2-1). Para el error experimental, tanto la SC como los grados de libertad se llevan el resto disponible del total inicial, o sea se obtienen por diferencia. Notemos estos hechos importantes:

• El ANOVA fracciona la variabilidad total (SC total) y los grados de libertad totales en tantas partes como factores haya bajo estudio, dejando como residuo de esa fragmentación una variabilidad residual (SC error experimental). Dividiendo esas SC por los g. de l. se obtienen las varianzas (MC) respectivas.

• Las SC y los g. de l. son siempre aditivos ( las MC no lo son, no tiene sentido sumarlas!).

• Cuanto mayor sea la varianza debida a algún factor (MC factor), menor será la varianza

residual (MC error experimental) por lo cual el cociente de varianzas (MC factor / MC error experimental) crece ( ∞) si el efecto del factor es significativo y disminuye ( 0) si el efecto no fuese significativo.

El último punto enunciado forma la base de las pruebas de inferencia que se efectúan en un ANOVA. El cociente de medias cuadradas (varianzas) se conoce como el estadístico de ensayo (o indicador) F de Snedecor (la F en honor de R.A. Fisher). Se han tabulado los valores críticos de probabilidad de F para los cuales una MC factor se vuelve significativamente mayor a la MC error experimental. Esto lógicamente sirve para aceptar o rechazar en un test de una cola a la H0: MC factor = MC error experimental. Uso de las tablas de la distribución F-Snedecor En el APENDICE – TABLA IV y TABLA V se presentan las tablas de los valores críticos de F para los niveles de significación del 5% y 1% respectivamente. Nuevamente hacemos hincapié que se pueden obtener valores para cualquier otra condición si se recurre a las funciones estadísticas incorporadas en



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una planilla de cálculo tipo Excel o Lotus. Sin embargo, estas tablas permitirán al lector buscar la significación de cualquier cociente de medias cuadradas (o varianzas) que aparezcan en los ANOVA en los dos niveles de significación mas frecuentes. Si se observan esas tablas, se ve que poseen doble entrada en función de los grados de libertad del numerador y denominador del cociente F. En la intersección de la fila con la columna que corresponda se hallará el valor critico de F que si fuese alcanzado o superado por el F obtenido, resultará en el rechazo de la H0 de igualdad de las medias cuadradas (varianzas) al nivel (5% o 1%) que corresponda a la tabla empleada. Ejemplo de uso de las Tablas F-Snedecor Supongamos que en un ANOVA se contrasta una MC tratamiento = 545.5 (g. de l.=3) contra una MC error experimental = 100.9 (g. de l.=20). El valor F obtenido = 545.5/100.9 = 5.41. Consultando en la TABLA IV (nivel 5%) el valor crítico de F(3,20)= 3.10 y en la TABLA V (nivel 5%) el valor crítico de F(3,20)=4.94. Dado que 5.41 supera a ambas, podemos rechazar la H0 de igualdad de ambas MC y concluir que el tratamiento manifiesta un efecto muy significativo frente a los controles al nivel de significación p=0.01. Esto es lo mismo que concluir que los datos de tratamiento provienen de una población con distinta media poblacional (μ) que los datos controles. El cuadro ANOVA Finalmente estamos en condiciones de presentar la estructura general del cuadro ANOVA. Según hemos dicho, en este cuadro se resumen los principales datos, resultados y conclusiones de este ensayo. Veamos un ejemplo genérico.

CUADRO ANOVA

FUENTE DE VARIACION SC g. de l. MC F SIGNIFICACION Factor N° 1 en estudio 445.0 3 148.3 13.9 ** (p<0.01) (rechazar H0) Factor N° 2 en estudio 21.0 2 10.5 0.98 No significativo (aceptar H0) Error experimental 1229.3 115 10.7 -.- -.- Total 1695.3 120 -.- -.- -.- Se puede verificar la aditividad de la suma de cuadrados y de los grados de libertad. Cada factor se contrasta independientemente contra la MC error experimental. Los ensayos F-Snedecor y su interpretación son muy simples de entender, el Factor N° 1 resulta muy significativo porque se superan holgadamente los límites F(3,60,p=0.01)=4.13 y F(3,120,p=0.01)=3.95. Queda claro que el valor crítico que se necesita F(3,115,p=0.01) se halla en el intervalo (4.13 , 3.95), pero el valor obtenido 13.9 supera holgadamente ese valor. Modelos teóricos en ANOVA Para el ANOVA, existe una MC general que estima a la varianza de la población (σ2). A esa varianza basal, cada efecto causal (significativo) la modifica (por alterar el promedio), ya sea en ascenso o en disminución. Se llama Modelo I en ANOVA a la interpretación teórica que el efecto causal en estudio modifica en forma fija esa varianza y Modelo II a la interpretación que la modifica en forma aleatoria (normalmente distribuida).



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Supongamos que en el cuadro ANOVA superior suponemos que el Factor N° 1 en estudio responde a un modelo teórico I de ANOVA y el Factor N° 2 al modelo II. Entonces, las medias cuadradas correspondientes al ensayo son estimadores de: FUENTE DE VARIACION MC Estimador

de:

Factor N° 1 en estudio 148.3 σ2 + 3 k2 Modelo I : k2 es el componente aditivo fijo a la varianza poblacional, se multiplica por el número de niveles del otro factor (número de datos fusionados para ese factor)

Factor N° 2 en estudio 10.5 σ2 + 4 σ22 Modelo II : σ2

2 es el componente aditivo fijo a la varianza poblacional, se multiplica por el número de niveles del otro factor (número de datos fusionados para ese factor)

Error experimental 10.7 σ2 Varianza poblacional teórica Ahora queda claro que para el primer factor el estadístico de Snedecor mide F= (σ2 + 3 k2)/ σ2. A partir de su significación podemos extraer el valor estimado de k2. De igual manera se procede con la segunda media cuadrada en el modelo II. Estos dos modelos son los básicos y los más importantes en ANOVA, aunque hoy día existen hasta cinco modelos teóricos diferentes. 3.7. ANOVA DE UNA VÍA Ahora que tenemos los conocimientos básicos del ANOVA podemos estudiar las variantes más importantes de esta familia de ensayos. Por ejemplo, en el ANOVA de una vía es una suerte de generalización del test t-Student agrupado al caso de más de dos muestras, aunque puede ser aplicado también con sólo dos muestras. Lo que sigue vale para diseños simétricos como para los asimétricos. Ejemplo ANOVA de una vía (diseño asimétrico): Supongamos que se prueban 8 fármacos (1,2,3,…,8) con supuesta actividad hipocalcemiante iónico oral (ingeridos reducen el nivel de calcio iónico en sangre) sobre ocho grupos de pacientes elegidos al azar. Se trata de un ensayo triple ciego en el cual uno de esos fármacos es un placebo (inactivo) que servirá como control de la actividad farmacológica. Los resultados de calcemia iónica (en mEq/l) post-tratamiento fueron los siguientes: TRATAMIENTO CALCEMIA SUMA ni promedios GRUPO 1 2.0 2.8 3.3 3.2 4.4 3.6 1.9 3.3 2.8 1.1 28.4 10 2.8 GRUPO 2 3.5 2.8 3.2 3.5 2.3 2.4 2.0 1.6 21.3 8 2.7 GRUPO 3 3.3 3.6 2.6 3.1 3.2 3.3 2.9 3.4 3.2 3.2 31.8 10 3.2 GRUPO 4 3.2 3.3 3.2 2.9 3.3 2.5 2.6 2.8 23.8 8 3.0 GRUPO 5 2.6 2.6 2.9 2.0 2.0 2.1 14.2 6 2.4 GRUPO 6 3.1 2.9 3.1 2.5 11.6 4 2.9 GRUPO 7 2.6 2.2 2.2 2.5 1.2 1.2 11.9 6 2.0 GRUPO 8 2.5 2.4 3.0 1.5 9.4 4 2.4 SUMA 152.4 56 SC=439.40



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El objetivo perseguido es someter estos datos a un ANOVA y detectar diferencias significativas entre los tres grupos al nivel 5%. Una vez concluido el análisis estadístico se dará a conocer cual de los ocho es el grupo control. Calculamos: C(corrección)=Suma(x)2/n = (152.4)2/56=414.75 SCTotal = Suma2(x)-C=2.02+2.82+…+1.52-C=439.40-414.75=24.65 SCTratamientos = Suma (SUMAS2/n)i-C=(28.4)2/10+(21.3)2/8+…+(9.4)2/4-C=422.23-414.75=7.48 SC Error experimental = SC Total – SC Tratamientos = 24.65-7.48=17.17 g.de l. Totales= 56-1=55 g.de l. Tratamientos=8-1=7 g. de l. Error Experimental = g.de l. Totales - g.de l. Tratamientos=55-7=48 y volcamos al cuadro ANOVA completando los cómputos de F y consultando la tabla 5%::

CUADRO ANOVA

FUENTE DE VARIACION SC g. de l. MC F SIGNIFICACION Tratamientos 7.48 7 1.07 2.97 * (p<0.05) (rechazar H0) Error experimental 17.17 48 0.36 -.- -.- Total 24.65 55 -.- -.- -.- O sea que hay una diferencia significativa al nivel 5% entre esos fármacos. Solo resta conocer entre qué tratamientos se verifica esa diferencia. Esta clase de análisis se conoce como post-hoc y está destinado a buscar los responsables de la diferencia registrada. Un ensayo típico de esta categoría es el test de Tukey o la prueba de secuencia de Keuls. Para efectuar la primera armamos un cuadro que ordena los 8 promedios de mayor a menor y calcula sus diferencias sucesivas

ANALISIS POST-HOC CUADRO DE DIFERENCIAS DE PROMEDIOS GRUPALES

GRUPO

N° p

(prom) p-2.0 p-2.4 p-2.7 p-2.8 p-2.9 p-3.0

3 3.2 1.2 0.8 0.5 0.4 0.3 0.2 4 3.0 1.0 0.6 0.3 0.2 0.1 6 2.9 0.9 0.5 0.2 0.1 1 2.8 0.8 0.4 0.1 2 2.7 0.7 0.3 5 2.4 0.4 8 2.4 0.4 7 2.0

Ahora calculamos el valor DSM (Diferencia de Significación Mínima) que nos marca el nivel mínimo de significación del cuadro de diferencias, aquellas que lo superen son significativas, caso contrario esas diferencias se deben al azar. Para ello necesitamos estimar el error standard. Conocemos la varianza global debida al azar MC error experimental = 0.36. Entonces DS=(0.36)0.5=0.6 y ES= 0.6/(48)0.5≈0.09 (valores estimados).



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DSM ≈ t0.05, ν=48 (ES) 1.41= 2.02 x (0.09) x 1.41 = 0.26 ≈ 0.3 Con lo cual todas las diferencias iguales o superiores a 0.3 son significativas, el resto no lo es. Observando la tabla vemos que el análisis post-hoc arroja:

1. El promedio del grupo 7 es significativamente menor al del todo el resto 2. Los promedios de los grupos 5 y 8 son significativamente menores al de los grupos 2, 1, 6,

4 y 3 y no difieren entre sí. 3. El promedio del grupo 2 es significativamente menor al de los grupos 4 y 3. 4. El promedio del grupo 1 es significativamente menor al del grupo 3. 5. El promedio del grupo 6 es significativamente menor al del grupo 3. 6. Ninguna otra comparación es significativa

Conclusiones finales Como último paso de este ensayo triple ciego se nos informa que el grupo control era el número 3, por lo cual deducimos que todos los hipocalcemiantes probados fueron efectivos, con excepción del usado en el grupo 4 cuyos resultados no difieren de los valores del control. Evidentemente el que tuvo resultados más marcados fue el hipocalcemiante del grupo 7. Por último una advertencia, el método de Tukey aquí empleado es aproximado cuando el número de grupos comparados es mayor a dos, para aquellos que requieran una prueba post-hoc más precisa se recomienda prueba de secuencia de Keuls (ver SNEDECOR, 1964) o recurrir a un programa estadístico adecuado como el Statistica© v.6.0 de StatSoft©. Sin embargo, vale advertir que el empleo de esta clase de herramienta de alta potencia requiere un cierto entrenamiento previo, tanto estadístico en general como en el empleo de las múltiples opciones que ofrece este software y otros equivalentes. De todas maneras el uso cauto de la técnica manual aquí descripta servirá en la mayoría de los análisis que se efectúen, basta incrementar el margen de seguridad usando DSM un 50% mayor al calculado, lo que disminuye el error de Tipo I y incrementa el error de Tipo II, bajando la potencia del ensayo. 3.8. ANOVA DE DOS VÍAS Este tipo de ensayo busca hallar diferencias significativas entre las filas y entre las columnas de una matriz de datos (o tabla numérica rectangular). Esta analogía geométrica permitirá reconocer muchos campos de aplicación del ANOVA de dos vías. Ejemplo ANOVA de 2 vías: Se administran tres medicamentos a un grupo de cuatro pacientes. En el siguiente cuadro se registran las respuestas farmacológicas medidas junto a los totales marginales.

PACIENTE FARMACO N°1

FARMACO N°2

FARMACO N°3 suma

PEREZ 23 44 34 101

GOMEZ 27 40 45 112

DIAZ 32 38 39 109

GIMENEZ 26 37 31 94

suma 108 159 149 416El investigador desea saber si los tres fármacos actúan en forma similar y si los pacientes responden de la misma manera a los medicamentos.



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Calculamos: C=(23+44+…+31)2/ 12= 4162/12=14421 SC Total = 232+442+…+312-C=3440 SC Farmacos = (1082+1592+1492)/4-C=366 SC Pacientes=(1012+1122+1092+942)/3-C=66 SC Error experimental= SS Total – (SS Tratamientos + SS Pacientes)=3008 g.de l. Totales= 12-1=11 g.de l. Farmacos=3-1=2 g.de l Pacientes=4-1=3 g. de l. Error Experimental = g.de l. Totales – (g.de l. Farmacos+ g.de l. Pacientes) =11-5=6 y volcamos al cuadro ANOVA completando los cómputos de F y consultando la tabla 5%::

CUADRO ANOVA

FUENTE DE VARIACION SC g. de l. MC F SIGNIFICACION Fármacos 366 2 183 0.36 N.S. (aceptar H0) Pacientes 66 3 22 0.04 N.S. (aceptar H0) Error experimental 3008 6 501 -.- -.- Total 3440 11 -.- -.- -.- En este caso, no se detectan diferencias significativas ni entre los fármacos ni entre los pacientes. En caso de haberse detectado alguna diferencia, hubiésemos aplicado el análisis post-hoc como en el ANOVA de una vía. 3.9. ANOVA FACTORIAL Este es uno de los ensayos más sofisticados de la familia ANOVA ya que es capaz de extraer toda la información extraíble de una muestra sometida a varios tratamientos independientes (ortogonales). Esta clase de ANOVA posee como condición ineludible que el diseño sea simétrico. Lógicamente, si por alguna causa se hubiese perdido esa simetría, se deberán completar los datos faltantes según lo detallado en el apartado correspondiente . En forma sintética, el ANOVA factorial se caracteriza por:

• Probar un conjunto (ilimitado) de factores (P.Ej.: tratamientos, agentes causales, variables independientes que modifican la media poblacional), todos ortogonales (independientes) entre sí.

• Cada factor está presente en un número (ilimitado) de niveles, al menos dos. • A cada combinación de factores le corresponde al menos un valor de una variable dependiente.

Esa variable es cuantitativa, continua y normalmente distribuida (para el ANOVA clásico, hay variantes no paramétricas que no requieren esta restricción)

• Puede haber réplicas de la variable dependiente, en ese caso las réplicas se tratan como un factor (aleatorio) adicional y su número de niveles será el tamaño de esa muestra replicada.

• El diseño es totalmente simétrico Hay dos clases de ANOVA factorial:



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• COMPLETO: Todas las combinaciones de factores y niveles están presentes y representadas por al menos un valor de la variable dependiente. Este es el diseño más simétrico y eficaz del ANOVA factorial

• INCOMPLETO y/o BALANCEADO: Sólo están presentes algunas de las combinaciones

posibles. Este diseño se prefiere si el número de factores y/o niveles fuese tan grande que dificulta su inclusión completa. A veces las dificultades o el costo en la obtención de datos de un espectro muy amplio de posibilidades obliga a recurrir a este diseño. El diseño recibe el nombre de BALANCEADO si los factores/niveles que sí se han incorporado al ensayo provienen de una selección aleatoria de todos los casos potencialmente posibles.

Un resultado interesante del ANOVA factorial es que se obtiene una cuantificación precisa de las interacciones entre factores. Esas interacciones pueden ser de primer orden si intervienen dos factores, segundo orden si intervienen tres, etc. Cada interacción representa una desviación de la aditividad del ensayo y por ende son efectos generalmente no deseados. Su presencia anula la eventual significación (rechazo de H0 de inexistencia o inefectividad) que pudiesen tener los efectos principales. Sin embargo, a veces el investigador persigue precisamente demostrar la existencia de esas interacciones. Una interacción entre dos factores se interpreta de la siguiente manera: supongamos que un factor A tiende a aumentar la media poblacional y un factor B no la modifica. Entonces una interacción significativa A x B implica que A aumenta el promedio en algunos niveles de B y lo mantiene constante o disminuye en otros niveles de B. Esto es claramente un efecto paradójico que merece ser investigado y que muchas veces se constituye en una conclusión más interesante para el observador que un simple resultado lineal y aditivo según lo esperado. El lector no debe memorizar procedimientos complejos como el que se expone a continuación. En una lectura general del presente Capítulo puede pasar por alto los detalles computacionales del siguiente ejemplo, sólo debe intentar entender la lógica general del ANOVA.



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Ejemplo ANOVA FACTORIAL COMPLETO 2x3x4: Un investigador desea probar la acción de dos fármacos (Levotonina y Metoformazina) (en distintas dosis) sobre una patología específica, tanto en hombres como en mujeres. Para cada factor y nivel, elige dos pacientes al azar (repeticiones) y registra los resultados de una variable vinculada a esa patología. El diseño del ANOVA factorial completo y los resultados obtenidos son:

Tratamientos o Factores Repeticiones

(variable dependiente medida)

L mg / día (Levotonina)

M mg / día (Metoformazina) Sexo Paciente 1 Paciente

2

Total

Masc 111 97 208 0 Fem 152 145 297 Masc 109 99 208 25 Fem 127 122 249 Masc 85 121 206

0

50 Fem 167 124 291 Masc 130 100 230 0 Fem 155 153 308 Masc 103 121 224 25 Fem 124 134 258 Masc 112 96 208

5


10


15

50 Fem 162 127 289 TOTAL 3150 2897 6047

Primero calculamos sobre la tabla principal: C=(6047)2/48=761796 SC Total= 1112+972+…+1622+1272 - C=20409 SC Tratamientos= (2082+2972+…+2892)/2 –C=12756 SC Repeticiones= (31502+28972)/24 – C=1334 SC Error= 20409-(12756+1334)=6319



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Ahora calculamos sobre la primer tabla resumen A:

L (Levotonina) M (Metoformazina) 0 5 10 15 Total

0 505 538 481 431 1955 25 457 482 536 533 2008 50 497 511 538 538 2084

Total 1459 1531 1555 1502 6047 Cada dato es la suma de 4 valores originales SC Total A = (5052+…+5382)/4 –C=3496 SC L, Levotonina= (14592+…+15022)/12 –C=427 SC M, Metoformazina=(19552+…+20842)/16 –C=526 SC LM (interacción)=3496-(427+526)=2543 Ahora calculamos sobre la segunda tabla resumen B:

S (Sexo) M (Metoformazina) Masc Fem Total

0 895 1060 1955 25 959 1049 2008 50 916 1168 2084

Total 2770 3277 6047 Cada dato es la suma de 8 valores originales SC Total B = (8952+…+11682)/8 –C=6702 SC S, Sexo= (27702+32772)/24 –C=5355 SC MS (interacción)=6702-(5355+526)=821 Finalmente calculamos sobre la tercera tabla resumen C:

L (Levotonina) S (Sexo) 0 5 10 15 Total

Masc 622 662 763 723 2770 Fem 837 869 792 779 3277 Total 1459 1531 1555 1502 6047

Cada dato es la suma de 6 valores originales SC Total C = (6222+…+7792)/8 –C=8181 SC LS (interacción)=8181-(427+5355)=2399 SC LMS (interacción)=12756-(427+526+5355+2543+821+2399)=685 y volcamos al cuadro ANOVA completando los cómputos de F y consultando la tabla 5%::



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CUADRO ANOVA

FUENTE DE VARIACION SC g. de l. MC F SIGNIFICACION Repeticiones (entre Pacientes) 1334 1 1334 4.85 * (p<0.05) (rechazar H0) L (Levotonina) 427 3 142 0.51 N.S. (aceptar H0) M (Metoformazina) 526 2 263 0.86 N.S. (aceptar H0) S (Sexo) 5355 1 5355 19.47 ** (p<0.01) (rechazar H0) LM (interacción) 2543 6 424 1.54 N.S. (aceptar H0) LS (interacción) 2399 3 800 2.91 N.S. (aceptar H0) MS (interacción) 821 2 410 1.49 N.S. (aceptar H0) LMS (interacción) 685 6 114 0.41 N.S. (aceptar H0) Error experimental 6319 23 275 -.- -.- (los g. de l. de las interacciones se obtienen multiplicando los g. de l. de los factores involucrados) Las conclusiones son: Hay una diferencia entre los pacientes 1 y 2, es como si el ordenamiento tuviese algún significado que el experimentador deberá evaluar. No existen diferencias significativas entre las interacciones, lo que brinda validez a las comparaciones de los efectos principales. Respecto a los mismos, no hay diferencias entre las dosis suministradas de Levotonina. Lo mismo ocurre con la Metoformazina, pero como una de esas dosis era 0 y servía de control podremos afirmar que a la luz del presente ensayo ambas drogas carecieron de efecto farmacológico significativo. El único factor significativo resultó ser el sexo. Inspeccionando las tablas resume podremos afirmar que la respuesta es muy significativamente menor en los hombres que en las mujeres. 3.10. ANCOVA: EL ANÁLISIS DE COVARIANZA Hemos visto los tipos principales de ensayos de la familia ANOVA. Ahora trataremos un caso especial de ANOVA aplicado a la correlación lineal conocido como análisis de covarianza o ANCOVA. En realidad se trata de una ampliación a los métodos de regresión lineal ya vistos. La medición del ambiente es la variable independiente X y el resultado de la medición la variable dependiente Y. Supongamos que hay dos tratamientos que supuestamente afectan a la relación (X, Y). El objetivo será entonces comparar el efecto de los dos tratamientos sobre Y. En otras palabras, dadas dos regresiones lineales debidas a dos tratamientos, el objetivo del ANCOVA es determinar si las regresiones de ambas son iguales o no. Las regresiones pueden diferir por su pendiente, por su ordenada al origen o por su correlación, el ANCOVA las verifica todas. Ejemplo ANCOVA: Se estudió el efecto de dos tratamientos de quimioterapia (Vinblastina y Hidroxiurea) en pacientes oncológicos y en ambos casos se midió la correlación entre dosis (mg/Kg peso) y la densidad del tumor a los 10 días del tratamiento. En la siguiente tabla están los resultados:

X (dosis) 29 20 14 21 6 V (Vinblastina) Y (respuesta) 22 22 20 24 12

X (dosis) 15 9 1 6 19 H (Hidroxiurea) Y (respuesta) 30 32 26 25 37 Si se grafican los datos se observa que las regresiones no están lejos de ser paralelas (igual pendiente) pero con distinta ordenada al origen. Luego pasamos al cuadro de covarianza para efectuar las verificaciones cuantitativas.



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0 5 10 15 20 25 30

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

DEN

SIT

OM

ETR

IA

DOSIS (mg/Kg Peso)

VINBLASTINA HIDROXIUREA

CUADRO ANCOVA

Fuente de variación f ∑ 2x ∑ xy ∑ 2y

b =

∑∑

2x

xy

(pendiente o coeficiente de

regresión)

ν SC =

∑ ∑ ∑− 222 /)( xxyy

MC

Recta V 4 294 134 88 0.456 3 26.93 8.98 Recta H 4 204 117 94 0.574 3 26.90 8.97 Dentro x Suma 6 53.83 8.97

b coeficientes de regresión

x Diferencia 1 1.66 1.66

coeficiente de regresión

común (x Suma de Rectas V y

H)

8 498 251 182 0.504 7 55.49 7.93

Medias ajustadas x Diferencia 1 372.56 372.56

Total (pool V y H) 9 658 51 432 8 428.05



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HOMOGENEIDAD DE

VARIANZA (las dos muestras provienen de poblaciones normales con σ2

comunes)

Para la diferencia de σ2

F(3,3) = 8.98/8.97 ≈1 N.S. (aceptar H0 de igualdad)

IGUALDAD DE INCLINACION (pendiente)

Para la diferencia de b (coeficientes de regresión) F(1,6) = 1.66/8.97 <1 N.S.

(aceptar H0 de igualdad)

IGUALDAD DE ELEVACION (ordenadas al origen)

Para la diferencia de medias ajustadas F(1,7) = 352.56/7,93 = 47.0 ** (p<0.01)

(rechazar H0 de igualdad)

Aquí observamos que los cómputos son algo más engorrosos que en el ANOVA, pero siguiendo cuidadosamente este modelo el lector podrá efectuar sus ANCOVA con toda facilidad. 3.11. ENSAYO DE RECTAS PARALELAS: PRUEBA DE DOCIMASIA BIOLÓGICA Una de las aplicaciones más importantes de la estadística inferencial en la medicina pertenece al campo de la farmacología experimental. El problema fundamental es valorar la potencia biológica de alguna partida de un preparado o contrastar la potencia de una droga contra los patrones internacionales. Esta clase de estudio se resuelve por medio de un ANOVA particularmente diseñado para contrastar diferencias. Como hipótesis se supone que la droga desconocida y el patrón de calibración poseen el mismo principio activo por lo cual es de suponer que el desconocido es una suerte de “concentrado” o “diluido” del patrón de calibración. Esto implica que las relaciones dosis-respuesta de ambos sean en principio paralelas (de igual pendiente) pero diferente ordenada al origen. Es decir la potencia intrínseca es la misma, varía la dosis efectiva suministrada. En el punto anterior vimos como un ANCOVA puede decidir si dos regresiones son paralelas y si difieren en su ordenada al origen. Ahora vamos a ver un caso similar pero orientado a calcular la “potencia relativa” del desconocido frente al patrón de calibración y validar todo con un ANOVA. La clase de ensayo que vamos a emplear se conoce como test de rectas paralelas (vamos a descontar por hipótesis que sí los son, caso contrario efectuamos un ANCOVA previo). Vale la pena acotar que este tema de la docimasia biológica tiene muchísimas variantes y para el que necesite profundizar este capítulo se le recomienda enfáticamente el libro de (FINNEY, 1964), íntegramente dedicado a estos temas. Vamos a resolver un caso práctico que ilustra lo principal del ensayo de rectas paralelas y del cálculo de potencia biológica. Ejemplo ENSAYO DE RECTAS PARALELAS (de 4 puntos): un farmacólogo responsable de un laboratorio de especialidades medicinales acaba de sintetizar una nueva partida de penicilina que desea valorar frente a su patrón internacional. Los ensayos se efectúan a través de antibiogramas, midiendo el diámetro del halo de inhibición de colonias (en décimas de mm) en un cultivo en placa de Petri. El investigador siembra 8 placas control y 8 desconocidos. 4 controles tienen un disco con 200 UI/ml del antibiótico, los otro 4 controles un disco con 50UI (dilución 1:4), 4 desconocidos un disco con la solución desconocida 1:1 y los 4 desconocidos restantes un disco con esa solución diluida 1:4 (la dilución D=4 es igual a la dilución de potencia del patrón). Los resultados y el análisis son los siguientes:



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ENSAYO DE RECTAS PARALELAS

(diámetros en décimas de mm de inhibición por penicilina)

STANDARD TEST (UI por ml) (Dilución) Placa N°

(al azar) 50 200 0.25 1

Lp= -S1-S2

+T1+T2

L1= -S1+S2 -T1+T2

L’1= +S1-S2 -T1+T2

I 92 108 68 90 -42 38 6 II 95 111 74 91 -41 33 1 III 93 108 72 91 -38 34 4 IV 90 107 75 88 -34 30 -4

Total 370 434 289 360 -155 135 7 Calculamos: R (potencia relativa del desconocido) = (Zs/Zt) antilog (Lp.logD/L1) =(200/1) antilog( -155. log 4 / 135)=200 x 0.2036= 40.7 O sea que la mejor estimación (promedio) para la potencia del desconocido es de 40.7 UI/ml. Ahora pasamos al cómputo del intervalo de confianza 95% (o límites fiduciarios 95%) de esta estimación. Primero calculamos la varianza poblacional usando las tres últimas columnas:

SC Lp =( (-42)2+(-41)2+(-38)2+(-34)2)/3= 38.75 SC L1 =( 382+332+342+302)/3= 32.75 SC L’1 =( 62+12+42+(-4)2)/3= 56.75 s2=(38.75+32.75+56.75)/(3+3+3)=3.562

Luego calculamos valores auxiliares usando t-Student (p=0.05, con 9 g. de l.) = 2.26 (ver TABLA III) N t2 s2 = 16 x (2.26)2 x 3.562 = 291.6

y por último el intervalo de confianza 95% de la potencia relativa

{ }0.52,3.30

)(loglog,

2221

2221

222110

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−+±=

sNtL

sNtLLsNtLLDanti

ZZ

RR pp

T

SUL

por lo tanto la potencia biológica del desconocido es de 40.7 y su intervalo de confianza 95% es (30.3 , 52.0). Esto completa la primer parte del ensayo. Ahora pasamos a la validación: Calculamos: SC Preparaciones= Lp

2 /N = (-155)2/16=1501.56 SC Regresión= L1

2 /N = 1352/16=1139.06 SC Paralelismo= L1

’2 /N = 72/16=3.06 SC Entre dosis= SC Preparaciones+ SC Regresión+ SC Paralelismo SC Total= ∑ ∑− nxx /)( 22 (para los 16 datos) = 2700.44 (g. de l.=15) MC Error =3.562 (fue calculada previamente) SC Error = MC Error x (g.de l.=9)=32.06 SC Entre placas= SC Total – (SC Entre dosis+SC Error) = 8.23



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CUADRO ANOVA

FUENTE DE VARIACION SC g. de

l. MC F SIGNIFICACION

Preparaciones 1501.56 1 1501,56 422 ** (p<0.01) (rechazar H0)

Regresión 1139.06 1 1139.06 320 ** (p<0.01) (rechazar H0)

Paralelismo 3.07 1 3.07 <1 N.S. (aceptar H0)

Entre dosis x Suma 2.643.69 3 881.23 247 ** (p<0.01)

(rechazar H0) Entre placas 24.69 3 8.23 2.31 N.S.

(aceptar H0) Error experimental (SC s2) 32.06 9 3.56

TOTAL x Suma 2700.44 15 Ahora podremos interpretar este ensayo. Primero, no es conveniente que ninguna de las tres primeras MC sean significativas, aquí parecen indicar un problema de linealidad de respuesta (lo que lógicamente no se prueba explícitamente en un ensayo de 4 puntos, ya que por dos puntos siempre pasa una recta óptima). Por suerte no hay falla de paralelismo y esa es la condición fundamental de validez de esta clase de ensayo. Es lógico que entre dosis haya habido diferencias, reflejo de lo ocurrido con los dos primeros contrastes. A su vez, no hay diferencias entre las réplicas (es decir las placas repetidas al azar) lo cual es conveniente y esperado. Esta es toda la información extraíble de esta clase de prueba de docimasia biológica. 3.12. GRÁFICOS DE CONTROL DE CALIDAD (6σ) Uno de los problemas principales en la medición de variables biológicas lo constituye la necesidad de controlar la calidad estadística de las mediciones. Este punto es crítico en un laboratorio de análisis clínicos que informa resultados a cientos de pacientes diarios y requiere conocer con que precisión y exactitud está produciendo esos resultados. Para resolver este problema (y similares que aparecen en cualquier proceso industrial de fabricación) se desarrollaron técnicas de control de calidad estadístico (SQC en inglés) de las cuales una de de las más simples se conoce como tablas seis sigma (6σ) en alusión al control de bandas de DS y que sirve para controlar la precisión de salida. Recordemos que la precisión de una serie de medidas es inversamente proporcional a la dispersión de esos datos, lo que en variables normalmente distribuidas se mide a través del desvío Standard (DS) como estimador de l valor poblacional sigma (σ). Quede claro que, en principio, esta técnica controla precisión pero no la exactitud o sesgo que puede tener el promedio respecto a su valor verdadero. La exactitud se controla en los laboratorios por medio del control de calidad externo (muestras valoradas de título secreto que remite un ente central a un conjunto de laboratorios) o por la calibración (o medición de patrones de valor conocido) de todas sus técnicas. Pero, de aquí en más, supondremos que la exactitud está relativamente garantizada por esos controles y por ende, las desviaciones que se registren podrán ser interpretadas como fallas de exactitud y de precisión del sistema de medición.



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Para controlar al sistema de medición se requiere repetir las mediciones y vamos a presentar los fundamentos del método de control seis sigma. Supongamos que un laboratorio desea controlar el funcionamiento de un aparato autoanalizador químico (bien calibrado en cuanto a exactitud) que entre otras mediciones calcula glucemia (glucosa sanguínea). Supongamos que, después de efectuar 1000 mediciones sobre pacientes clínicamente sanos (se descartan a los diabéticos) se obtuvieron los siguientes datos descriptivos:

promedio (μ) 82 mg% DS (σ) 7 mg%

n 1000 En este caso, el tamaño muestral justifica considerar a los valores de los parámetros como los poblacionales. Sobre estos datos podríamos efectuar verificaciones empleando la variable normalizada z (TABLA II del APENDICE). Por ejemplo, el intervalo de confianza 2 σ (82 ± 14 mg%) contiene al 95,5% de los datos y el intervalo de confianza 3 σ (82 ± 21 mg%) contiene al 99,7% de los datos. En control de calidad a los intervalos 2 y 3 σ se los conoce como bandas 4 y 6 σ porque cada intervalo ocupa 2 y 3 desvíos en cada dirección. Con esa definición, definimos los siguientes límites del cuadro de control de calidad:

LIMITES DE CONTROL 6 σ Límite de acción superior μ +3 σ 103 mg%

Límite de advertencia superior μ +2 σ 96 mg% Límite de advertencia inferior μ -2 σ 68 mg%

Límite de acción inferior μ -3 σ 61 mg% Debe quedar claro que si descontamos que la exactitud del método es aceptable, cualquier valor de glucemia fuera del rango 68-96 mg% es sospechosamente anormal (al nivel p=0.045 de dos colas) y cualquier valor de glucemia fuera del rango 61-103 mg% definitivamente anormal (al nivel 0=0.003 de dos colas). Esta es la base del Cuadro de Control de Calidad seis sigma. Sólo nos resta crear esa tabla y emplearla, graficando un punto por cada valor muestral. En la siguiente figura aparece el Cuadro:

CUADRO DE CONTROL DE CALIDAD 6 σ

N° DE ENSAYO

LIMITE DE ADVERTENCIA


LIMITE DE ACCION

LIMITE DE ACCION 61

68

82

96

103

GLU

CEM

IA (m

g%)



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Ahora se grafican sucesivamente los valores de glucemia de pacientes de la misma población, es decir se descartan los que clínicamente posean antecedentes o síntomas patológicos. Por supuesto que no se descartan datos de pacientes que sean patológicos pero sin antecedentes. El criterio de aceptación pasa por descartar pacientes con diagnóstico cierto de diabetes (en este caso no hay patología específica de hipoglucemia) y simplemente aceptar todo el resto. O sea, si usamos pacientes para controlar al sistema de medida, nos tenemos que asegurar que pertenezcan a una población homogénea y normal. Para cada medida, existen criterios adecuados para este fin. Por ejemplo, para la glucemia sabemos que hay dos clases de hiperglicémicos: Diabetes Tipo I (o juvenil) y Diabetes Tipo II (del adulto). La Diabetes Tipo I se manifiesta desde temprana edad, la Tipo II rara vez antes de los 50 años. Por lo tanto, si se seleccionan datos de personas clínicamente sanas entre 15 y 30 años de edad, obtenemos exactamente lo que buscamos, una población homogénea que nos servirá en nuestro control. Ahora vamos a la interpretación del Cuadro de Control. Si los datos oscilan en las bandas internas (entre los límites de advertencia) podemos estar tranquilos que el equipo está trabajando bajo control (exactitud y precisión medias de salida normales). Cuando un dato supera el límite de advertencia, y la frecuencia de esas desviaciones sea razonable (no superior al 20% de los datos, en promedio el 5% de los datos) no nos debe preocupar a menos que alcance o supere el límite de acción. Aún superado este límite, si el sobrepaso es esporádico (<5%) podrá ser ignorado. Lo principal a controlar son dos aspectos:

1. Cambios de exactitud: esta clase de sesgo o tendencia se detecta al analizar si hay cambios persistentes en los promedios obtenidos. Esto indica una descalibración del sistema de medida.

2. Cambios de precisión: se observan fluctuaciones (en ambos sentidos) superiores a las habituales, indicando un malfuncionamiento (inestabilidad) del sistema de medida.

Por ejemplo, vemos los siguientes patrones de comportamiento y su correspondiente interpretación:

CUADRO DE CONTROL NORMAL (Proceso bajo control)



LIMITE DE ACCION

LIMITE DE ACCION 61

68

82

96

103

GLU

CEM

IA (m

g%)



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PERTURBACION: CUADRO DE CONTROL SESGADO (Probable descalibración)

PERTURBACION: CUADRO DE CONTROL INESTABLE (Probable falla) De esta forma, el reconocimiento de patrones auxilia en el control de calidad de un sistema de medición. En la mayoría de los equipos autoanalizadores computarizados, estas funciones ya se encuentran incorporadas en forma automática y el propio equipo registra y advierte al operador sobre las perturbaciones que puede estar sufriendo.



LIMITE DE ACCION

LIMITE DE ACCION 61

68

82

96

103 G

LUC

EMIA

(mg%

)



LIMITE DE ACCION

LIMITE DE ACCION 61

68

82

96

103

GLU

CEM

IA (m

g%)



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3.13. MUESTREO SECUENCIAL Una interesante aplicación de la investigación operativa aplicada a la optimización de la información adquirida la representa el muestreo secuencial. En principio se trata de un sistema que permite tomar decisiones acerca de alternativas dicotómicas (bueno/malo, sano/enfermo, etc.) mediante la inspección sucesiva. Vamos a analizar primero el caso del muestreo de inspección en el control de calidad industrial. Supongamos que el Departamento Producción de un Laboratorio Farmacéutico elabora ampollas de Ampicilina y el Departamento de Control de Calidad desea revisar los lotes elaborados para aprobarlos (si no detecta un número insatisfactorio de fallas en él) Aquí tenemos un clásico modelo de intereses contrapuestos, Producción desea que se apruebe el lote (así justifica su trabajo y razón de ser) y Control de Calidad exactamente lo opuesto por idéntico motivo. Cómo se resuelve este dilema de la forma más eficiente y económica? A través del esquema de muestreo. Existen varios esquemas de muestreo clásico, simple y doble. En la bibliografía se puede hallar amplia información al respecto (MORONEY, 1968). Aquí nos limitaremos a describir el sistema más eficiente conocido: el muestreo secuencial. La idea básica es la siguiente: Control de Calidad inspecciona ampolla tras ampolla producida y las clasifica en dos categorías: “V°B°” o “DEFECTUOSO”. Supongamos que se fabricaron 1500 ampollas, ese es el lote a inspeccionar y calificar. Si el número acumulado de “DEFECTUOSOS” supera un cierto límite, se rechaza a todo el lote de ampollas. Si el número de defectuosos alcanza otro límite (esta vez inferior), se acepta a todo el lote. El siguiente esquema ilustra el proceso de muestreo secuencial: Podemos describir este cuadro de la siguiente manera: posee dos líneas, la superior es llamada la línea de rechazo, la inferior de aceptación. El muestreo comienza desde Y (N° defectuosos hallados)=0 y X (N° de piezas inspeccionadas, o sea tamaño acumulativo de la muestra o n)=0. Se inspecciona la primer ampolla. Supongamos que se califica “V°B°”, entonces graficamos el primer punto del cuadro en la

h1

h2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

EN ESTA LINEA O POR DEBAJO DE ELLA, ACEPTACION (d=s n - h1)

EN ESTA LINEA O POR SOBRE ELLA, RECHAZO (d=s n + h2)

Num

ero

tota

l de

defe

ctuo

sos

enco

ntra

dos

Tamaño acumulativo de la muestra (=n)

0

10

2

0

30

40

5

0



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coordenada (X, Y) = (1, 0). Supongamos que el segundo objeto inspeccionado se rechaza, entonces el segundo punto se ubicará en (X, Y) = (2, 1). Se continúa así hasta alcanzar una de las rectas límites. Supongamos que después de 65 inspecciones y sólo 3 rechazos se alcanza la recta inferior en (X, Y) = (65, 3). Entonces se suspende el proceso de inspección y se acepta a todo el lote de 1500 ampollas. Por el contrario, si con (X, Y) = (43, 32) se hubiese alcanzado el límite de rechazo, se rechaza a todo el lote. Por supuesto, los número aquí usados sólo sirven como ejemplo didáctico. Demás está por decir que la selección de muestras a inspeccionar dentro de todo el lote debe ser lo más aleatoria posible, de manera que la probabilidad de pasar a integrar el control sea a priori igual para todos los objetos. Observemos los parámetros que definen el Cuadro de Inspección, se trata de dos líneas paralelas, cuyas ordenadas al origen son respectivamente h2 y h1 y cuya pendiente es s. Como en toda función lineal, estos dos parámetros alcanzan para definir estas rectas. La fórmula de las rectas para las líneas de rechazo y aceptación están indicadas a la derecha de cada una. Lo que se necesita ahora es un criterio para definir esos parámetros de la mejor manera posible. En el método de muestreo secuencial se halló que bastaban cuatro valores o parámetros para definir un plan de muestreo como el descripto, a saber

La calidad aceptable, expresada como máxima fracción de defectuosos permitida (BUENA CALIDAD) p1

La probabilidad de rechazar un lote de calidad aceptable (Riesgo del Productor) α

La calidad inaceptable, expresada como mínima fracción de defectuosos tolerada (MALA CALIDAD) p2

La probabilidad de aceptar un lote de calidad inaceptable (Riesgo del consumidor) β

En base a la definición de lotes buenos y malos, junto a los errores de Tipo I y II enunciados, obtenemos los parámetros del plan secuencial de muestreo:

21

2

212

211

2

12

1

21 )1log()1log()

11

log()log(

ggg

sgg

ahgg

bh

bapp

gpp

g

+=

+=

+=

−=

−=

−−

==β

αα

β

O sea, calculando tres valores auxiliares (en la primer línea) obtenemos los tres parámetros que nos permiten obtener el plan secuencial buscado y que va a cumplir con lo requerido. Vamos a poner un ejemplo concreto. Supongamos que se tolera una fracción de defectuosos del 1% (p1=0.01) y se acepta un riesgo de rechazo de lotes de esa o mejor calidad del 10% (α = 0.10). Supongamos además que se considera inaceptable una fracción de defectuosos del 5% (p2=0.05) y que el riesgo de aceptar un lote así o peor sea también del 10% (β = 0.10).



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Resulta ser: g1=0.699 g2=0.017 a=b=0.954

entonces :

h1=h2= 1.32 s=0.024

En el gráfico siguiente presentamos el cuadro de inspección resultante:

0 20 40 60 80 100

-1

0

1

2

3

4

aquí se alcanza la decisión

LIMITE DE ACEPTACION DEL LOTE LIMITE DE RECHAZO DEL LOTE CAMINO DE LA INSPECCION

NU

ME

RO

AC

UM

ULA

DO

DE

DE

FEC

TUO

SO

S

TAMAÑO ACUMULATIVO DE MUESTRA (n)

Supongamos que se inspeccionó el lote y al llegar a 15 inspeccionados aparece el segundo defectuoso, como se cruza la línea, se rechaza el lote. Otra pregunta que se puede formular el investigador del Departamento de Control de Calidad es saber cómo opera en general este sistema, es decir cuáles serán las probabilidades de aceptación de lotes de calidades diferentes. La respuesta la brinda la Curva Operativa del esquema y que se computa en base a cinco puntos característicos:

FRACCION DE DEFECTUOSOS DEL LOTE PROBABILIDAD DE ACEPTACION 0 1 p1 1-α s h2 / (h1 + h2) p2 β 1 0



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Si graficamos con los datos de nuestro ejemplo, obtenemos la siguiente Característica Operativa:

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

CARACTERISTICA OPERATIVADEL PLAN DE INSPECCION

PO

RC

EN

TAJE

DE

LO

TES

QU

E S

ER

A

AC

EP

TAD

O P

OR

LA

MU

ES

TRA

PORCENTAJE DE DEFECTUOSOSEN LOS LOTES ENTREGADOS

Además al investigador le interesa conocer la CMS (Calidad Media de Salida) y la Curva de Números Muestrales Medios (NMM) (Cantidad media de inspección antes de llegar a una decisión), la que se obtiene a partir de los siguientes datos:

FRACCION DE DEFECTUOSOS DEL

LOTE 0 p1 s p2 1

FRACCION REMANENTE POST-

INSPECCION DE DEFECTUOSOS

(CMS)

0 p1(1-α) sh2 / (h1+h2) βp2 0

NUMEROS MUESTRALES

MEDIOS (NMM) h1/s (h1-α(h1+h2)) / (s-p1) h1h2 / (s(1-s)) (h2-β(h1+h2)) / (p2-s) h2/(1-s)

Así obtenemos los gráficos buscados:



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0 2 4 6 8 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

CALIDAD MEDIA DE SALIDA (CMS)

CM

S C

OM

O %

DE

FEC

TUO

SO

S R

EM

AN

EN

TES

DE

SP

UE

S D

E L

A IN

SP

EC

CIO

N


Obsérvese que la CMS tiene como máximo al valor 1.19% de salida para s=2.38 % de entrada, o sea que es imposible que salgan lotes con peor calidad. Respecto al número medio a inspeccionar antes de llegar a una decisión será:

0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

NUMEROS MUESTRALES MEDIOSESPERADOS POR EL PLAN

CA

NTI

DA

D M

ED

IA IN

SP

EC

CIO

NA

DA

AN

TES

DE

LLE

GA

R A

UN

A D

EC

ISIO

N




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Se puede observar que en base a los cuatro parámetros iniciales, se obtuvo toda la información. Otra aplicación interesante del mismo concepto lo ofrece el análisis secuencial para diferencia de pares. Se comienza en el casillero (0, 0) de un cuadriculado (X, Y). En este caso, la idea es comparar el efecto de dos fármacos (A, B) tomando dos pacientes y dándole al azar uno a cada uno. Luego se comparan los resultados y se decide cuál de los dos tuvo mejor. Si fuese A se avanza un casillero a la derecha (Δ X = +1), si fuese B un casillero para arriba (Δ Y = +1). Si hubiese empate, no se avanza. Luego se continúa hasta llegar a un límite prefijado. Hay tres límites: Superior (B es mejor), Central (Empate) e Inferior (A es mejor). La ubicación de esos límites depende del nivel de significación que se desee fijar. Como se trata de tomar decisiones dicotómicas, el mismo sistema puede servir para decidir estas dos opciones (o ninguna en caso de límite de empate) respecto a un único sistema. Ejemplo: Calificación de alumnos en un examen oral por análisis secuencial de pares Si queremos tomar una decisión más objetiva acerca de la calificación de un alumno en un examen oral, le formulamos una serie de preguntas en un cuadro de análisis secuencial. Desde (0, 0), cada vez que contesta “BIEN” avanzamos un casillero hacia arriba, si contesta “MAL” un casillero a la derecha (podemos permutar las direcciones) y si no podemos decidir acerca de la respuesta formulamos otra pregunta. Cuando se alcancen los límites, el alumno saldrá “APROBADO” (sale arriba), “SIN DECIDIR” o que pase con otro docente (sale por el centro) y “DESAPROBADO” (sale a la derecha). A continuación presentamos un Cuadro de Análisis Secuencial de Pares adaptado de la bibliografía (DOCUMENTA GEIGY, 1965, Folia Médica Geigy N° 3) 0 5 10 15 20 25

05

1015

2025 H1: Y > X

α≈0.05 H0: Y = X α≈0.05

H1: X > Y α≈0.05

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD CAPITULO 4 – Test No Paramétricos


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CAPITULO 4: TEST NO PARAMETRICOS



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4.1. GENERALIDADES ACERCA DE LOS ENSAYOS NO PARAMÉTRICOS Entramos ahora en un mundo diferente de las pruebas de inferencia estadística. Un mundo que ofrece pruebas rápidas, simples, menos restrictivas en sus requerimientos y un poco menos potentes. Por supuesto que estamos hablando en términos generales, una prueba no paramétrica correctamente aplicada será más potente que una paramétrica en la cual no se han tomado todos los recaudos del caso. En inglés diríamos que la estadística no-paramétrica ofrece las soluciones “QUICK & DIRTY” al investigador, es decir las “sucias y rápidas” en alusión a ser soluciones muchas veces usadas como de aproximación inicial para ganar información acerca del comportamiento global del sistema, o soluciones de “screening” (paneo). Pero muchas veces, el método no paramétrico resuelve problemas que son inabordables por otra vía. La cuestión es simple de entender si releemos las diferencias entre ambas categorías de ensayo. La aplicabilidad es universal, datos de cualquier especie y distribuciones de prácticamente cualquier tipo. En el desarrollo de los métodos estadísticos modernos, las primeras técnicas de inferencia que aparecieron fueron las paramétricas y que hacían muchas suposiciones acerca de las poblaciones y datos bajo estudio. El problema es que tales técnicas conducen a conclusiones muchas veces condicionales en función del cumplimiento de esas premisas. Más recientemente se ha visto aparecer el desarrollo de un gran número de técnicas no paramétricas que iban planteando paulatinamente menos condiciones restrictivas y ampliando con ello el horizonte de la estadística aplicada. Mientras las pruebas paramétricas fijan su atención sobre el comportamiento de las medias y las varianzas, muchas veces las pruebas no paramétricas se concentran en medianas y rangos. Es decir, se desplaza el centro de gravedad de lo cuantitativo y Gaussiano a lo semicuantitativo y a veces cualitativo de los datos.

EJEMPLOS

PREREQUISITOS

APLICABILIDAD SOBRE DATOS

POTENCIA RELATIVA

Prueba de rangos, Prueba de signos, Ji-cuadrado, Prueba de Walsh, etc.

t-Student, Análisis de Varianza (ANOVA), F-Snedecor,

MANOVA, ANCOVA, etc.

Poblaciones de cualquier clase y datos de

cualquier tipo

• Obs. independientes • Poblaciones normales (z) • Varianzas proporcionales • Efectos aditivos de

causas deterministas sobre los promedios

CUALI/CUANTITATIVOS Escala Nominal, Ordinal,

Intervalo o de Proporción

CUANTITATIVOS Sólo Escala de Intervalo o

Escala de Proporcion

95%-65% 100%

TEST NO PARAMETRICOS

TEST PARAMETRICOS



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Vamos a presentar los modelos y ensayos más importantes de esta categoría con la esperanza que el lector pueda apreciar su utilidad y llegue a emplearlos en su propio entorno. 4.2. TABLAS DE CONTINGENCIA: LA DISTRIBUCIÓN χ2 (JI-CUADRADO) La primera distribución estadística no paramétrica y tal vez la más importante es la conocida como χ2 (ji-cuadrado o “chi-square” en inglés). Frecuentemente el investigador está interesado en el número de sujetos, objetos o respuestas que se clasifican en diferentes categorías en una tabla general de clasificación. La prueba ji-cuadrado es adecuada para analizar datos de esta clase. La técnica básica es la de medir bondad de ajuste, es decir justipreciar si las frecuencias observadas en cada celda de la tabla de clasificación difieren significativamente de las frecuencias esperadas para esa celda en base a alguna suposición o hipótesis teórica. Supongamos por ejemplo que al terminar a un tratamiento médico sobre 60 pacientes de una dada patología (con un grupo control de otros 60 pacientes tratado con placebo), se efectúa un censo final y se obtiene el siguiente cuadro de clasificación de frecuencias observadas (a este tipo de cuadro se lo llama cuadro o tabla de contingencia 2x2):

TABLA DE CONTINGENCIA 2x2

PACIENTES CURADOS

PACIENTES NO CURADOS

PACIENTES TRATADOS A=35 B=25

PACIENTES NO TRATADOS C=12 D=48

Aquí nos interesa saber si el tratamiento ha sido efectivo frente al grupo no tratado (controles con placebo) y para verificarlo planteamos la H0: independencia Tratamiento vs. Resultados, o sea que tratados y no tratados responden igual lo que equivale a que las filas y las columnas son independientes. Si esa H0 fuese cierta, deberíamos esperar proporciones iguales de curados y no curados en ambos casos, o sea que las frecuencias esperadas de cada celda deberían ser 30 en los cuatro casos. La pregunta es, ¿cómo medimos las discrepancias entre las frecuencias observadas en la tabla superior y las esperadas según la H0 de independencia? Para responder a esta cuestión se desarrolló un test no paramétrico (ji-cuadrado) y una distribución correspondiente que se presenta en la TABLA VI del APENDICE. Se computa un indicador o estadístico de prueba conocido como χ2 (ji-cuadrado):

∑=

−=

k

i i

ii

EEO

1

22 )(

χ

en el cual Oi y Ei representan las frecuencias observadas y esperadas en la celda i-ésima, esto se repite para todas las k celdas. Podemos observar que el valor χ2 nunca puede ser negativo por elevarse todas las diferencias al cuadrado. Por ejemplo, en nuestro caso el valor de χ2 será:



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27.2330

)3048(30

)3012(30

)3025(30

)3035( 22222 =

−+

−+

−+

−=χ

En la práctica, el ji-cuadrado de la tabla de contingencia 2x2 (con una corrección de continuidad de Yates incorporada) se calcula por esta fórmula mas simple:

1..;2121

)2/|(| 22 =

−−= ldeg

FFCC

NBCADNχ

donde N es el total general, C1 y C2 son los totales de columnas y F1 y F2 los totales de filas. A este valor siempre se le asocian grados de libertad calculados como el número de filas menos uno de la tabla de contingencia multiplicado por el número de columnas menos uno de la misma tabla y que en nuestro caso por ser una tabla 2x2 resulta:

1)1)(1(.).( =−−= CFldegν Ahora consultamos la TABLA VI del APENDICE y vemos que para 1 grado de libertad el valor límite de ji-cuadrado para un nivel de significación α=0.001 es de 10.83. Nuestro χ2 supera ese valor por lo cual rechazamos la H0 al nivel p=0.001 y concluimos que el tratamiento ha sido eficaz en la curación de los pacientes. Este cómputo se generaliza rápidamente para tablas de contingencia de cualquier dimensión, lo único que se deberá ajustar el es número de grados de libertad. Vamos a describir cómo se calculan las frecuencias esperadas en una tabla de contingencia 2x3 de acuerdo a la H0 de independencia. Si las dimensiones de la tabla fuesen mayores, se repite este procedimiento.

FRECUENCIAS OBSERVADAS (Oi)

TABLA 2x3 COLUMNA 1

COLUMNA 2

COLUMNA 3 SUMA

FILA 1 a b c F1=a+b+c FILA 2 d e f F2=d+e+f SUMA C1=a+d C2=b+e C3=c+f T=a+b+c+d+e+f

FRECUENCIAS ESPERADAS (Ei) DE ACUERDO A H0 INDEPENDENCIA

TABLA 2x3 COLUMNA 1

COLUMNA 2

COLUMNA 3 SUMA

FILA 1 (F1C1)/T (F1C2)/T (F1C3)/T F1 FILA 2 (F2C1)/T (F2C2)/T (F2C3)/T F2 SUMA C1 C2 C3 T

Por ejemplo, si F1=32, C1=17 y T=54, entonces la frecuencia esperada para la celda a sería 10.1 Observar que las sumas marginales no varían, lo que sirve para controlar los cómputos. Finalmente se obtienen los g. de l. = (F-1)(C-1)=(2-1)(3-1)=2



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Prueba de bondad de ajuste La H0 de independencia no es la única que puede ser verificada por el test ji-cuadrado. Si tuviesemos por ejemplo un histograma de frecuencias de clase en una distribución cualquiera (por ejemplo, altura de pacientes sexo masculino)

ALTURA (cm) 140-149

150-159

160-169

170-179

180-189

190-199

200-209

FRECUENCIA 13 23 44 65 38 21 9 Podríamos probar la H0: Distribución Normal N(μ,σ) en base a la estadística descriptiva previa. Entonces podremos calcular las frecuencias esperadas en cada celda del histograma (usando la distribución z – TABLA II del APENDICE). Una vez calculadas las frecuencias de celda correspondientes a la distribución normal, calculamos el valor χ2 de la misma manera que lo efectuado con una tabla de contingencia (en este caso de una fila y 7 columnas). Para tablas como ésta que poseen una sola fila, los grados de libertad se calculan como el número de celdas menos uno (g. de l. = k-1 = 7-1 = 6). Si ese χ2 supera al valor límite de 12.59 (g.de l.=6, p=0.05), rechazamos la H0 de normalidad al nivel p=0.05. Caso contrario concluimos que las alturas se distribuyen normalmente. Por supuesto que este mismo método de medida de bondad de ajuste se puede aplicar a cualquier distribución esperada: Poisson, Uniforme (es decir sin moda) o la que quisiéramos considerar. Se trata en síntesis de un ensayo muy poderoso. La prueba χ2 es una de las mas empleadas en ciencias experimentales y la volveremos a ver en numerosas aplicaciones. Limitación de frecuencias esperadas pequeñas Cuando k=2 (o sea g. de l.=1) cada frecuencia esperada deberá ser de al menos 5. Cuando los g. de l. > 1, es decir cuando k>2, la prueba χ2 no debe usarse si más del 20% de las frecuencias esperadas es menor que 5 o si cualquier frecuencia esperada fuese menor a 1. Para evitar esta limitación se recomienda agrupar aquellas celdas (sumando las frecuencias observadas) cuyas frecuencias esperadas fuesen pequeñas hasta eliminar las condiciones que atenten contra la restricción de frecuencias pequeñas.

4.3. PRUEBA DE McNEMAR PARA LA SIGNIFICACIÓN DE CAMBIOS Esta prueba es particularmente apropiada para los diseños de “antes y después”, es decir donde cada persona, objeto unidad de medida es su propio control. Por lo tanto se puede usar para medir la eficacia de un tratamiento (en una tabla de contingencia), como lo veremos en este ejemplo donde las frecuencias se expresan algebraicamente:

DESPUES PRUEBA DE SIGNIFICACION DE LOS CAMBIOS REGISTRADOS NEGATIVO POSITIVO

POSITIVO A B ANTES NEGATIVO C D Para esta prueba, sólo nos interesa el valor A+D que es el número de individuos que cambiaron. Se calcula un ji-cuadrado de McNemar con la siguiente fórmula:



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1.).(;(

)1|(| 22 =

+−−

= ldegDA

DAνχ

Esta fórmula incluye una corrección por continuidad de Yates al ji-cuadrado clásico. Obsérvese que a la diferencia de A y D en valor absoluto le restamos uno antes de elevar al cuadrado. Veamos un ejemplo numérico:

EFECTO DE UN FARMACO APLICADO A UNA

POBLACION DE PACIENTES DURANTE UN MES

SANOS A LOS 30 DIAS

ENFERMOS A LOS 30 DIAS

ENFERMOS AL DIA 0 14 4 SANOS AL DIA 0 3 4

5.41881

414)1|414(|

()1|(| 22

2 ==+

−−=

+−−

=DA

DAχ

Consultando la TABLA VI vemos que para g. de l. = 1 ese valor supera el primer límite pero no al segundo. Como es este caso se requiere un test de una cola y la tabla contiene los valores de probabilidad de dos colas, en vez de interpretar que el ji-cuadrado es significativo al nivel p=0.05 concluimos que se rechaza H0 y acepta H1, los cambios registrados en este caso son significativos al nivel p=0.025, el tratamiento es eficaz en su acción de cambio de estado enfermo a sano. Mayores precisiones sobre esta y demás pruebas no paramétricas pueden consultarse en la bibliografía (SIEGEL, 1990). 4.4. PRUEBA DE LOS SIGNOS Supongamos que se quieren comparar N pares (en cualquier orden) de dos series (A y B) de resultados que ni siquiera necesitan ser cuantitativos, simplemente necesita existir una cierta relación de orden (mayor, igual o menor) en cada comparación. Si la comparación del par i-ésimo resultase en que Ai > Bi se le asigna el signo (+). Si la comparación fuese opuesta, se le asigna al par el signo (-). En caso de empate, se desecha el par. En este caso, la prueba de los signos medirá la significación de las diferencias globales entre ambas series y para determinarlo usa la distribución binomial. Vamos a ilustrar el cómputo con un ejemplo. Un investigador prueba dos antibióticos Alfamicina y Betamicina sobre 20 placas de cultivo de antibiograma (10 por cada antibiótico) y asigna un valor de escala (de 0=ausente a 5=maximo) al halo de inhibición de colonias a cada placa. Los resultados y los signos de comparación son:



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N° PAR

COMPARADO ALFA BETA SIGNO

1 0 2 - 2 2 1 + 3 3 2 + 4 4 4 0 5 3 2 + 6 4 2 + 7 1 3 - 8 5 2 + 9 4 3 + 10 3 1 +

De los 10 pares comparados, uno da empate y se descarta por lo cual N=9. Ahora elegimos como valor x a la menor de las frecuencias de cualquier signo. Como hay 7 (+) y 2 (-) asignamos x=2. Ahora consultamos la TABLA VII del APENDICE y en la fila 9 columna 2 leemos que la probabilidad (H0: p=q=½) de obtener un x igual o menor al registrado es de 0.090. Como esa probabilidad es >0.05, aceptamos H0 de igualdad de efecto entre ambos antibióticos. Sin embargo, el p obtenido se acerca lo suficiente a 0.05 que uno debería seguir ensayando con muestras mayores para volver a decidir. Este es el procedimiento habitual recomendado cuando los resultados son limítrofes.

Puede observarse que esta prueba se efectuó comparando valores de escala y esto indica la utilidad de esta clase de ensayos. Además apreciamos que la tabla maneja valores de N hasta 25. Para valores de N>25, usar

NNxz

5.05.0)5.0( −±

=

que está distribuida normalmente con promedio cero y varianza uno N(0,1) (Usar el signo + si x<0.5N, y – en caso opuesto. La significación de z se consulta como siempre en la TABLA II del APENDICE. 4.5. PRUEBA DE LOS RANGOS DE WILCOXON

Si aparte de comparar las dos series como se hizo en la prueba de los signos se aporta un dato cuantitativo acerca del valor de cada diferencia, se dispone de una prueba más eficiente, la prueba de los rangos señalados y pares igualados de Wilcoxon. Vamos a seguirlo con un ejemplo. Supongamos que en un ejemplo similar al de los antibióticos usados en la prueba de los signos, el investigador no se limita a comparar los valores de escala sino que calcula para cada par de placas comparadas la diferencia de los diámetros de los halos de inhibición. Los resultados podrían ser:



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N° PAR COMPARADO

Diámetro del halo de inhibición

(en 0.1mm)

Rango de signo menos

frecuente

ALFA BETA

Diferenciadi

Rango de di

(asignar valores de 1 a N, a las diferencias, de menor a

mayor, con signo) (el menos!)

1 82 63 19 7 2 69 42 27 8 3 73 74 -1 -1 +1 4 43 37 6 4 5 58 51 7 5 6 56 43 13 6 7 76 80 -4 -3 +3

N=8 65 82 3 2 Valor de suma de rangos T 4

Nota: si hubiese empate de rangos, se les asigna a cada uno de ellos el promedio de los rangos que les hubiese correspondido. O sea, supongamos que los pares 4, 5, 6 hubiesen dado igual diferencia (di=6), entonces se les habría asignado a cada uno el rango 5 (=promedio de 4,5 y 6). Consultando la TABLA VIII del APENDICE, vemos que para N=8 el valor T=4 alcanza (en general se controla que alcance o rebase) el valor tabulado de p=0.05 para una prueba de dos colas, por lo cual se rechaza H0 de igualdad entre ambos antibióticos al nivel p=0.05. Cuando N es mayor que 25 no se puede usar la TABLA VIII. En ese caso, el valor de suma de rangos T está distribuido normalmente N(μ, σ) pudiendo computarse:

24)12)(1(;

4)1( ++

=+

=NNNNN

σμ

Por lo tanto

24)12)(1((

4)1(

++

+−

=NNN

NNTz

está distribuida normalmente con media 0 y Desvío Standard 1. Para ver lo excelente que es esta aproximación y practicar este cómputo, lo aplicaremos al caso de los dos antibióticos:

96.1

24)17)(9)(8(

4)9)(8(4

24)12)(1((

4)1(

−=−

=++

+−

=NNN

NNTz



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La TABLA II nos informa que un valor tan extremo de z posee un p= 1 - 2(0.4744)=0.05 para una prueba de dos colas, el mismo valor arrojado por medio de la tabla T de Wilcoxon.

4.6. PRUEBA U DE MANN-WHITNEY Si se comparan dos grupos independientes y se ha logrado al menos una medida ordinal, se puede emplear la prueba U de Mann-Whitney. Es una de las pruebas no paramétricas más poderosas y la alternativa más útil ftrente al test t-Student si no están dadas las condiciones para la misma. Supongamos que un investigador desea comparar los puntajes asignados al estado de salud bucodental por un odontólogo a dos grupos de pacientes, uno de 3 pacientes y otro de 4 pacientes. Definimos como n1 al número de casos del grupo más pequeño (=3) y n2 al número de casos del grupo mayor (=4). Los puntajes asignados varían de 0: estado pésimo a 15: estado óptimo, y los resultados obtenidos fueron:

PUNTAJES ASIGNADOS (ordenados de menor a mayor)

PACIENTES A 9 11 15 PACIENTES B 6 8 10 13

Ahora generamos una lista ordenada de menor a mayor con todos los datos anotando el grupo al que pertenece

6 8 9 10 11 13 15 B B A B A B A

Ahora se obtiene el indicador o estadístico de prueba U: es la suma del número de A que preceden a cada B de esa lista. Al primer B no lo precede ninguna A (0), al segundo B tampoco (0), al tercero lo precede un A (1) y al cuarto (y último) B lo preceden 2 A (2). Por lo tanto

U=0+0+1+2=3 La distribución de U respecto a la H0 de igualdad es conocida y está tabulada en las TABLAS IX y X del APENDICE, según el tamaño de la muestra mayor (n2). En nuestro caso n1=3, n2=4 y U=3. En la TABLA IX vemos que la p(U≤3) p=0.200 razón por la cual se acepta H0 de igualdad de puntajes. Los valores de p de la TABLA IX son de una cola, para usarlos en ensayos de dos colas hay que duplicar esos valores. Supongamos que hubiésemos contado la suma de precedencias de B a valores A. La suma hubiese dado U’=2+3+4=9 valor que excede a la TABLA IX. Ese valor se vuelve a “normalizar” con la transformación

U = n1n2 - U’=12 - 9 = 3 Para muestras grandes con valores de n2 > 20, se reemplaza la consulta de tablas por la siguiente transformación:



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12)1)()((

2

2121

21

++

−=

nnnn

nnU

z

que lleva el estadístico U a una distribución normal N(0,1). La prueba U puede a veces ser más potente que su par paramétrico la prueba t-Student, lo que representa un logro muy importante para este ensayo no paramétrico.

4.7. PRUEBA DE UNA Y DOS MUESTRAS DE KOLMOGOROV-SMIRNOV La prueba de dos muestras puede confirmar que esas dos muestras independientes han sido extraídas de la misma población o por el contrario que difieren significativamente. La prueba está basada en la distribución de frecuencias acumuladas de las dos muestras. Supongamos que el investigador ha relevado el numero de pacientes curados a lo largo de 55 meses de tratamiento (cuando se curaron todos) con dos fármacos A y B. Cada grupo tenía 10 pacientes. El investigador registró los meses que requirió cada paciente en remitir sus síntomas y luego construyó esta tabla comparativa de frecuencias acumuladas de casos registrados en cada categoría:

FRECUENCIA ACUMULADA DE CASOS REGISTRADOS CON REMISION A LOS MESES INDICADOS EN CADA CELDA

24-27 28-31 32-35 36-39 40-43 44-47 48-51 52-55 TRATAM A 1/10 2/10 5/10 7/10 10/10 10/10 10/10 10/10 TRATAM B 0/10 0/10 0/10 0/10 3/10 5/10 8/10 10/10 discrepancia 1/10 2/10 5/10 7/10 7/10 5/10 2/10 0/10 La máxima discrepancia es D = 7/10, su numerador se define como KD=7. La TABLA XI del APENDICE muestra que para N=10 el valor de KD=7 es significativo al nivel p=0.01 en un ensayo de una cola. Concluimos que el tratamiento A cura a los pacientes significativamente más rápido que el tratamiento B al nivel p=0.01. La prueba de una muestra es esencialmente una prueba de bondad de ajuste entre una distribución y otra teórica (puede ser la normal, Poisson, etc.) que se fija por hipótesis nula (el objetivo es similar a la prueba de ji-cuadrado de bondad de ajuste). Los cómputos son iguales a la prueba de dos muestras, salvo que se en la primer fila van las frecuencias observadas y en la segunda las frecuencias esperadas por hipótesis. Lo que varía es la consulta en la parte final de la TABLA XI dedicada a muestras únicas. Cuando las muestras son grandes (N > 40), se debe usar la siguiente transformación que es independiente de la igualdad o no de los tamaños muestrales:

2..;;421

2122 =+

== ldegconnn

nnHdondeHDχ



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generando un valor ji-cuadrado que medirá la significación de la máxima discrepancia (D) en las frecuencias acumuladas. También podemos consultar la parte final de la TABLA XI que tiene tabulados los valores de la máxima discrepancia permitida para varios niveles de significación.

4.8. PRUEBA DE LAS RACHAS DE WALD-WOLFOWITZ Esta prueba es aplicable cuando deseamos probar una hipótesis de nulidad que supone dos muestras extraídas de la misma población frente a a una hipótesis alternativa que plantea la diferencia de ambas. También puede ser aplicada a una única muestra en la cual se quiera verificar si las rachas generadas a a lo largo del tiempo de algún suceso dicotómico (o binario) como + y -, verdadero y falso, sano y enfermo, etc. están distribuidas al azar o si se encuentran agrupadas por alguna causa. Esta prueba tiene como base que la variable medida sea al menos de escala ordinal y su distribución continua. Como ejemplo, un docente quiere controlar si dos grupos o comisiones de alumnos han respondido de igual forma cierto examen. Supongamos que elige al azar 12 exámenes al azar de cada comisión (calificados de 00-100) y los resultados obtenidos (en cualquier orden) son:

COMISION A 86 69 72 65 100 65 92 45 94 91 41 50

COMISION B 55 40 22 58 16 07 09 16 26 36 20 15

Ahora ordenamos todos los datos de menor a mayor registrando la clase de pertenencia

07 09 15 16 16 20 22 26 36 40 41 45 B B B B B B B B B B A A 50 55 58 65 65 69 72 86 91 92 94 100 A B B A A A A A A A A A

Observar que esta sucesión ordenada tiene 4 rachas de longitud 10, 3, 2 y 9 (suma = 24). O sea definimos r=4. Consultamos en la TABLA XII del APENDICE y vemos en la primer tabla (de valores menores a) que para n1=12 y n2=12 un r límite de 7 es significativo al nivel p=0.05 (ensayo de dos colas). Como el r obtenido es menor que ese límite se concluye que la calificación de ambas comisiones difiere significativamente al nivel p=0.05. Cuando las muestras son grandes (n>20) no puede usarse la TABLA XII, pero se puede usar una transformación normal:

)1()()2(2

5.0|)12

(|

212

21

212121

21

21

−++−−

−++

−=

nnnnnnnnnn

nnnn

rz

En este caso, se obtiene un z (corregido por continuidad) distribuido normalmente N(0,1) que se prueba (una o dos colas) como se ha indicado previamente. Por ejemplo, si en un ensayo con n1=8 y n2=21 se detectaron 8 rachas, resulta z = 2.92, para z ≥2.92, H0 tiene una p=0.0018. Como este



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valor es menor a α =0.01, se decide rechazar H0 de igualdad de comportamiento, las muestras provienen de poblaciones diferentes. Vamos a ver un ejemplo aplicado a las rachas de una única muestra. Supongamos que en un consultorio médico se quiere ver si el sexo de los pacientes que concurren está distribuído al azar o si existe algún orden interno. Supongamos que los últimos 30 varones y las últimas 20 mujeres que concurrieron lo hicieron en este orden (aquí ya los agrupamos en rachas):

M F M F MMM FF M F M F M F MMMM F M F M F… …MM FFF M F M F M F MM F MM F MMMM F M F MM

Este orden determina que r=35 (compruébelo!). Para verificar si este número es significativo, calculamos p con la fórmula para n grandes y obtenemos:

z (r=35, n1=20, n2=30) =2.98 para z ≥2.98, H0 tiene una p=0.0028. Como este valor es menor a α =0.01, se decide rechazar H0 de igualdad de comportamiento, las muestras provienen de poblaciones diferentes, es decir la distribución de llegada de los hombres difiere de la distribución de llegada de mujeres. Desempates de valores de distintos grupos Los empates dentro de un mismo grupo no representan problema para esta prueba. Un problema potencial con esta prueba aparece si hay empates entre valores de distintos grupos. En ese caso las rachas se pueden descomponer de forma múltiple. Supongamos una serie empatada de 3 valores A-A-B, pero este podría generar rachas adicionales si se la ordena A-B-A o B-A-A. La solución es tantear todas las combinaciones posibles de desempate y ver si coinciden las conclusiones. Si no coincidiesen las decisiones entonces se tendrá un problema difícil. Si no queda otra alternativa disponible y se está obligado a decidir, el investigador podrá promediar las p obtenidas de los ensayos y basarse en ese promedio para decidir acerca de H0. Sin embargo, si el número de empates fuese grande, se hace inviable la aplicación de esta prueba.

4.9. PRUEBA DE MOSES DE LAS REACCIONES EXTREMAS Bajo ciertas circunstancias, es posible esperar respuestas diametralmente opuestas en dos grupos, por ejemplo un grupo control y un grupo experimental. Supongamos que a un grupo de nN=9 pacientes neuróticos y a otro grupo de nC=9 pacientes sanos se los somete a un corto pero intenso ejercicio aeróbico y al finalizar se les pide que califiquen subjetivamente su estado de cansancio en una escala de 0 (min.) a 25 (máx.). Se espera que los neuróticos reaccionen subestimando o sobrestimando su grado de cansancio frente a los normales de comportamiento mas equilibrado, o sea que incrementen la variabilidad de sus respuestas. Antes de comenzar el análisis el experimentador elige un número entero h (pequeño) de descarte de rangos extremos del control, si no hay otro motivo se elige h=1. Los resultados fueron los siguientes:

NEUROTICOS 25 5 14 19 0 17 15 8 8 CONTROL 12 16 6 13 13 3 10 10 11

Si ordenamos por rango estos valores conservando el grupo de pertenencia:



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0 3 5 6 8 8 10 10 11 N C N C N N C C C 12 13 13 14 15 16 17 19 25 C C C N N C N N N

De la sucesión de rangos NC…N se descartan los h valores (en nuestro caso = 1) extremos de los controles, o sea aquí se eliminan las 2 casillas grisadas que ocupaban la posición 2 y 15. El rango extremo residual de los controles lo forman las casillas recuadradas y su distancia es sh=12-4+1=9. El mínimo valor que puede tener esa distancia es (nC-2h)=9-2=7. Computamos ahora el valor g que es el exceso de sh sobre el valor mínimo, o sea g=sh- nC-2h=9-7=2. Ahora se determina la probabilidad de ocurrencia conforme a H0 de igualdad de sh ≤ 9, cuando nN=9, nC=9 y g=2

077.0

918

710

27

811

16

912

051222

)2( 0 ≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

=+−≤∑

=

C

NC

g

i N

NC

Ch

nnn

inihn

ihni

ghnsp

Como este valor es superior a α=0.05, se acepta H0 de igualdad de criterio para ambos grupos, aunque los neuróticos están cerca de diferenciarse significativamente por sus reacciones extremas. En caso de empates de rangos de valores entre grupos se procede como se indicó en el apartado anterior.

4.10. PRUEBA DE WALSH Si el investigador está en condiciones de suponer que los puntajes en diferencia observados entre dos muestras relacionadas se tomaron de una población simétrica, puede usar una prueba muy potente desarrollada por Walsh. Se destaca que no se supone que las diferencias di provengan de poblaciones normales (como en el test de t-Student apareado). La prueba de Walsh requiere la medición de por lo menos una escala de intervalo para los datos. Supongamos que un docente compara el número de respuestas incorrectas a un cuestionario de 5 preguntas dadas por un grupo de 15 alumnos, antes y después de recibir una clase de instrucción sobre el tema. La idea es medir la eficacia de esa instrucción. Las respuestas incorrectas de los 15 alumnos antes y después fueron:

ANTES 5 4 3 5 2 4 2 2 4 4 3 1 5 3 1 DESPUES 2 2 0 3 3 2 3 1 1 3 4 2 2 4 0 diferencia 3 2 3 2 -1 2 -1 1 3 1 -1 -1 3 -1 1

diferencias ordendas por valor creciente

(di) d12 d9 d13 d10 d1 d11 d2 d6 d14 d7 d3 d4 d15 d5 d8



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En la TABLA XIII del APENDICE están tabuladas las condiciones de significación de esta prueba. Consultamos las casillas correspondientes a N=15 para una prueba de una cola ya que suponemos que la enseñanza reduce el número de incorrecciones (¡y nunca debería aumentarlo!) o sea en nuestro caso la media de la diferencia debe ser positiva. Tenemos entonces que

0:;0: 1110 >= μμ HH (una cola) En la tabla vemos que para una cola y p=0.047 la condición es:

0)](2/1;)(2/1min[ 112121 >++ dddd

min o mínimo significa que hay que elegir el menor valor de los dos considerados para comparar si es mayor a cero. En nuestro caso resulta min[½ (-1+3), ½(-1+2)]= ½ (1)=0.5>0. Por lo tanto se cumple la condición y podemos concluir que la instrucción ha mejorado significativamente el número de errores al nivel 0.05.

4.11. PRUEBA Q DE COCHRAN La prueba de McNemar para dos muestras relacionadas puede extenderse para k muestras vinculadas. Esta generalización que concreta la prueba Q de Cochran permite decidir si tres o mas conjuntos apareados de frecuencias difieren significativamente entre sí. Supongamos que el investigador está interesado en saber si un entrevistador amistoso puede influenciar las respuestas de los pacientes a un cuestionario. Para ello se efectúan tres tipos de entrevistas (1=muy amistosas 2=simplemente cortes 3=seco y cortante) . En días separados se consulta (tres veces, una por día) a 18 pacientes por su grado de satisfacción por la atención recibida. En cada caso se usa una pregunta diferente pero con igual interpretación. Los resultados son los siguientes donde 1=Satisfactorio, 0=No satisfactorio:

PACIENTE Entrevista 1

Entrevista 2

Entrevista 3 Li Li

2

1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 2 4 3 0 1 0 1 1 4 0 0 0 0 0 5 1 0 0 1 1 6 1 1 0 2 4 7 1 1 0 2 4 8 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 11 1 1 1 3 9 12 1 1 1 3 9 13 1 1 0 2 4 14 1 1 0 2 4 15 1 1 0 2 4 16 1 1 1 3 9 17 1 1 0 2 4 18 1 1 0 2 4 G1=13 G2=13 G3=3 ∑ iL =29 ∑ 2

iL =63



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En nuestro cuadro, llamamos Li a las sumas por paciente y Gi a las sumas por muestra. Ahora computamos el indicador o estadístico de prueba Q de Cochran como sigue, considerando que en este caso k= 3 (el número de muestras) y N=18 (tamaño de la muestra de valores apareados):

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

−

−−= N

i

N

iii

k

j

k

jjj

LLk

GGkkQ

1 1

2

1

2

1

2 ])()[1(

y usamos Q como un χ2 (ji-cuadrado) con ν = k-1 grados de libertad. En nuestro caso, obtenemos Q=16.7 con 2 grados de libertad. Consultando la TABLA VI vemos que supera al valor límite 13.82 con p=0.001, con lo cual concluimos rechazando H0 de igualdad y aceptando H1 de diferencia significativa entre los sistemas de entrevista al nivel p=0.001.

4.12. ANOVA DE DOS VÍAS POR RANGOS DE FRIEDMAN Cuando los datos de k muestras igualadas (de igual tamaño) están por lo menos en una escala ordinal, el ANOVA de Friedman es útil para probar la hipótesis de nulidad de que las k muestras provienen de una misma población. Es interesante comparar la utilidad del test de Friedman con el ANOVA paramétrico de dos vías, aquí no hacen falta datos normalmente distribuidos y de categoría escala de proporción (proporcionalidad absoluta), bastan datos de cualquier distribución conocida o desconocida que pertenezcan a escalas ordinales (relación mayor/menor). Supongamos que el investigador está interesado en conocer si tres grupos de ratas cepas distintas responden igual frente a la irradiación con cuatro equipos de rayos X a igual intensidad de radiación.. En cada cepa y tratamiento irradiamos 4 ratas y le asignamos un store de daño (0=ausente 1=leve 2=moderado 3=intenso) después del tratamiento. En cada cepa y tratamiento sumamos los “scores” de las cuatro ratas y obtenemos el siguiente cuadro:

TRATAMIENTOS POR IRRADIACION (suma de “scores”) RATAS RX EQUIPO 1 RX EQUIPO 2 RX EQUIPO 3 RX EQUIPO 4

CEPA ALFA 9 4 1 7 CEPA BETA 6 5 2 8

CEPA GAMMA 9 1 2 6 El primer paso en esta prueba es asignar una clasificación por rango de 1 a 4 en cada fila, asignando 1 al dato menor y 4 al dato mayor:

TRATAMIENTOS POR IRRADIACION (rangos) RATAS RX EQUIPO 1 RX EQUIPO 2 RX EQUIPO 3 RX EQUIPO 4

CEPA ALFA 4 2 1 3 CEPA BETA 3 2 1 4

CEPA GAMMA 4 1 2 3 Suma de rangos por columna (Rj)

11 5 4 10



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Cuando el número de filas o de columnas o de ambos no es demasiado pequeño (N=2, k=2 y 4 en total), se puede calcular un indicador o estadístico de prueba χR

2 de Friedman:

)1(3)1(

121

22 +−+

= ∑=

kNRkNk

k

jjRχ

donde N = número de filas, k = número de columnas y Rj = la suma de rangos de la columna j. Este valor se distribuye como un un χ2 (ji-cuadrado) con ν = k-1 grados de libertad. En nuestro ejemplo, resulta χR

2 = 7.4. Este valor, consultado en la TABLA VI con 2 grados de libertad, supera al valor límite de p=0.05 pero no al valor límite de 0.01. Por lo tanto, se rechaza la H0 de igualdad de comportamiento de las tres cepas de ratas frente a los cuatro aparatos de Rx al nivel p=0.05. En la bibliografía (SIEGEL, 1990) se presentan tablas de valores exactos de límites de significación para muestras pequeñas aunque rara vez hará falta consultarlas.

4.13. ANOVA DE UNA VÍA POR RANGOS DE KRUSKAL-WALLIS Esta es una prueba extraordinariamente útil para decidir si k muestras independientes provienen de poblaciones diferentes. La metodología es bastante similar al ANOVA de Friedman. Veamos un ejemplo: Un investigador administra tres tratamientos a un conjunto de pacientes. Al cabo de un tiempo efectúa una evaluación de acuerdo a una escala de score (0-200). Quiere saber si hay diferencia entre los tres tratamientos. Los datos obtenidos de scores registrados fueron:

GRUPO FENOTIAZINA

GRUPO BENZODIAZEPAM

GRUPO HALOPIDOL

96 82 115 128 124 149 83 132 166 61 135 147 101 109

Estos datos se pasan a valores relativos de rangos del 1 a 14 en toda la tabla:

GRUPO FENOTIAZINA

GRUPO BENZODIAZEPAM

GRUPO HALOPIDOL

4 2 7 9 8 13 3 10 14 1 11 12 5 6

R1=22 R2=37 R3=46 Ahora calculamos el indicador o estadístico de prueba H de Kruskal-Wallis:



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∑=

+−+

=k

j j

j NnR

NNH

1

2

)1(3)1(

12

En el cual k = número de grupos (aquí 3), nj = número de datos en el grupo j, N es la suma de todos los nj (en nuestro caso 14) y como antes Rj la suma de rangos por grupo. Como era de esperar, este H se distribuye como un un χ2 (ji-cuadrado) con ν = k-1 grados de libertad para tamaños muestrales suficientemente grandes. En nuestro caso H = 6.4 con 2 g. de l., nuevamente consultamos la TABLA VI y vemos que ese valor supera al límite 0.05 pero no al límite 0.01. Por lo tanto concluimos que los tres grupos provienen de poblaciones diferentes, rechazando la Ho de igualdad al nivel p=0.05. Para valores muestrales pequeños y hasta 3 grupos (con tamaños n1, n2 y n3) en la TABLA XIV del APENDICE se presentan los valores límites de H para los niveles de significación indicados. Observaciones empatadas Cuando en esta prueba aparecen valores iguales, se les asigna a los mismos el promedio de los rangos que les hubiesen correspondido, como ya se ha hecho en otros ensayos. Ya que el valor de H es influido en cierto grado por los empates, se corrige el H calculado:

NNT

HH corregido

−−

=∑

21

donde T = t2 – t (t es el número de observaciones empatadas en algún valor) y ∑T = suma de todos los T obtenidos de los empates. Sin embargo, esta corrección no es muy significativa, por ejemplo si hubiese a lo sumo un 25% de empates, el efecto de la corrección no supera al 10% de la probabilidad asociada al H.

4.14. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA C Este valor es una medida del grado de asociación o relación entre dos conjuntos de atributos. Es especialmente útil cuando solamente tenemos información clasificatoria (escala nominal) acerca de uno o de ambos conjuntos de atributos. Esto es, puede usarse cuando la información acerca de los atributos consiste en una serie no ordenada de frecuencias. Para calcular este coeficiente ni siquiera se necesita ordenar las categorías de ninguna manera particular. El coeficiente toma el mismo valor si se reordenan filas y columnas de los conjuntos considerados. En general, los datos se presentan en un cuadro rectangular (o cuadrado) de valores en los cuales se quiere ver qué asociación hay entre las Filas con las Columnas. Como ejemplo, el investigador quiere conocer que grado de asociación hay entre grupo socio-económico de pacientes y su concurrencia a cuatro bocas de atención (consultorios) diferentes. Los resultados en número de pacientes por grupo y consultorio fueron:



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CONCURRENCIA A CONSULTORIOS GRUPO SOCIO-

ECONOMICO HOSPITAL

I HOSPITAL

II HOSPITAL

III HOSPITAL

IV TOTAL

A1 23 40 16 2 81 A2-B-C 11 75 107 14 207

D-F 1 31 60 10 102 TOTAL 35 146 183 26 N=390

Se comienza calculando el valor χ2 (ji-cuadrado) con ν = k-1 grados de libertad (ji-cuadrado) de esta tabla de contingencia de 3x4 bajo la H0 de independencia (ver distribución ji-cuadrado), con ν = (R-1)(C-1)= 2.3 = 6 grados de libertad, lo que en nuestro caso da χ2 = 69.2, valor que supera holgadamente al límite tabulado de p=0.001, por lo cual se rechaza la H0 de independencia (filas x columnas) al nivel p=0.001, o sea la concurrencia a las distintas bocas de atención está significativamente determinada por el grupo socio-económico al cual pertenece cada paciente. Ahora computamos el coeficiente de contingencia (C):

39.02.69390

2.692

2

=+

=+

=χ

χN

C

Obviamente este coeficiente debe variar entre cero y uno como el coeficiente de correlación lineal. Sin embargo, esta suposición es teórica, puede llegar a cero si no hay correlación pero no puede (en la práctica) llegar a uno en correlación ideal (el ji-cuadrado debería ser ∞). Otra limitación de C es que requiere el cómputo previo del ji-cuadrado, o sea sólo se puede calcular C si menos del 20% de las celdas tiene frecuencias esperadas menores a cinco y ninguna menor a uno. Por último, no es directamente comparable con otras medidas de correlación como el clásico r de Pearson (la clásica correlación momento-producto), rS de Spearman o el r de Kendall. A pesar de esas limitaciones este valor es extremadamente útil debido a su aplicabilidad casi universal.

4.15. COEFICIENTE DE CORRELACION DE RANGOS DE SPEARMAN (rS)

Esta es históricamente la primer medida de asociación desarrollada. Aquí reservamos la notación de SPIEGEL (1990) rS, aunque antiguamente se lo conocía como (ρ) rho. Esta medida también requiere que ambas variables sean medibles por lo menos en una escala ordinal. Supongamos que el investigador desea medir el grado de asociación entre el grado de optimismo (medido por un test sicológico con un score de 0-120) de pacientes afectados por una enfermedad crónica y su respuesta favorable a un tratamiento a los 120 días (medido por otro score 0-100 derivado de sus datos clínicos y de laboratorio). Los datos obtenidos fueron:

SCORES PACIENTE N° OPTIMISMO CURACION1 82 42 2 98 46 3 87 39 4 40 37 5 116 65 6 113 88



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7 111 86 8 83 56 9 85 62 10 126 92 11 106 54 12 117 81

Clasificando cada columna por rangos (1 a 12) , calculando las diferencias de rango, sus cuadrados y la suma de esos cuadrados:

SCORES PACIENTE N° OPTIMISMO CURACION di di

2

1 2 3 -1 1 2 6 4 2 4 3 5 2 3 9 4 1 1 0 0 5 10 8 2 4 6 9 11 -2 4 7 8 10 -2 4 8 3 6 -3 9 9 4 7 -3 9 10 12 12 0 0 11 7 5 2 4 12 11 9 2 4

SUMA 52 Ahora calculamos el coeficiente de correlación de rangos de Spearman:

82.01212)52(61

61 22

1

2

=−

−=−

−=∑

=

NN

dr

N

ii

S

Para verificar la significación de este coeficiente frente a la H0 de independencia, consultamos la TABLA XV del APENDICE y observamos para N=12 que este valor supera el valor crítico tabulado para p=0.01 (prueba de una cola), por lo cual concluimos rechazando la H0 al nivel p=0.01y aceptando que el grado de optimismo del paciente influye favorablemente en su evolución.. Para muestras grandes se puede emplear la siguiente transformación:

212

SS r

Nrt−

−=

parámetro que está distribuido como t-Student con ν = N – 2 grados de libertad. Por lo tanto, consultando la TABLA III del APENDICE se puede verificar en un test de una cola la significación del coeficiente de Spearman.



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4.16. COEFICIENTE DE CORRELACION DE RANGOS DE KENDALL (τ) El coeficiente de correlación de rangos de Kendall (τ – tau), es una medida de asociación de la misma clase que la de Spearman. Sólo requiere medidas ordinales a las variables bajo inspección. Supongamos que dos odontólogos asignaron un rango (del 1:peor al 4:mejor) respecto al estado de salud bucodental de cuatro pacientes. El investigador desea verificar el grado de concordancia entre ambos juicios, con una H0 de igualdad de criterios entre los odontólogos. Los resultados fueron:

PACIENTE a b c d JUICIO DEL

ODONTOLOGO X 3 4 2 1

JUICIO DEL ODONTOLOGO Y 3 1 4 2

a. Primero reordenamos los pacientes de la muestra en orden natural según el Odontólogo X

PACIENTE d c a b

JUICIO DEL ODONTOLOGO X 1 2 3 4

JUICIO DEL ODONTOLOGO Y 2 4 3 1

Ahora que los valores de X están ordenados, computamos un valor S de ordenamientos apareados en Y (S comienza en 0 y se le van sumando +1 o -1 según el caso)

b. A partir del 2 (primer valor de Y) controlamos el número de pares “bien ordenados”

(ascendientes como 2-4 o 2-3) y el número de pares “mal ordenados” (inversiones como 2-1). Vemos que: 2-4 es bueno, 2-3 es bueno, 2-1 es malo. Sumamos un +1 por los dos buenos y un -1 por el malo. S = 0 +1+1-1=+1.

c. A partir de 4 (segundo valor de Y) repetimos el proceso anterior. S tenía el valor +1 y se

modifica S = +1-1-1= -1 porque hubo dos malos o inversiones (4-3, 4-1) d. A partir de 3 (tercer valor de Y) repetimos y obtenemos S= -1-1=-2 (hubo otro malo 3-1). Este es

el último valor comparable con otros en Y, por ello el valor final de S = -2. Entonces, tomando N como el número de entes comparados, computamos el coeficiente de correlación de rangos tau de Kendall:

33.0)3)(4(

)2()1( 2

12

1−=

−=

−=

NNSτ

Ahora consultamos la TABLA XVI para controlar si el valor τ = 0.33 (en valor absoluto) supera a los límites tabulados. Vemos que para ν = N-1 = 3 grados de libertad no hay tabulación disponible, por lo cual deducimos que no podemos rechazar la H0 de igualdad de criterio al nivel p=0.05. Por supuesto, si con 8 g. de l. hubiésemos obtenido un tau=0.705, rechazaríamos la H0 de igualdad de criterio al nivel p=0.05 (pero no al nivel p=0.01).



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Respecto a las repeticiones, se asignan los rangos promedio de los que les hubiese correspondido a los involucrados y se aplica una fórmula corregida al valor de tau:

∑ −=

−−−−=

menterespectivaYenoXenempatestdegruposlostodosparattTdonde

TNNTNNS

YX

YX

)1(

)1()1(

21

,

21

21

τ

Si el número de grados de libertad fuese grande se puede emplear la aproximación

)1(9)52(2

−+

=

NNN

z τ

distribuida normalmente con N(0,1).

4.17. COEFICIENTE DE CORRELACION PARCIAL DE RANGO DE KENDALL (rxy.z) Cuando se encuentra una correlación entre dos variables, existe la posibilidad que esta correlación sea debida a la vinculación oculta entre cada una de las variables asociadas con una tercera. Por ejemplo, se puede verificar que el número de dientes de un niño varía con su estatura, pero en realidad ambas variables dependen de la edad. Este tipo de interrogante se contesta a través de estudio de correlaciones parciales. En la correlación parcial, se eliminan los efectos de la tercera variable (Z) sobre las dos variables en estudio (X, Y). En otras palabras se computa la correlación entre dos variables manteniendo constante a la tercera. Supongamos que obtenemos tres rangos de evaluación comparada (por medio de tres variables clínicas) sobre cuatro pacientes, a los que reordenamos para que queden los rangos de Z en orden natural:

PACIENTE a b c d VARIABLE Z 1 2 3 4 VARIABLE X 3 1 2 4 VARIABLE Y 2 1 3 4

Al considerar las evaluaciones por pares efectuadas por cada variable, podemos clasificarlas en + (si el rango mas bajo precede a uno mas alto) o – en caso contrario. Resulta:

PAR a,b a,c a,d b,c b,d c,d VARIABLE Z + + + + + + VARIABLE X - - + + + + VARIABLE Y - + + + + +

Ahora se puede construir un cuadro de contingencia 2x2 en el cual se incluyan las concordancias y discrepancias de X e Y con Z:



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Pares de Y

concordantes con Z

Pares de Y discrepantes

con Z TOTAL

Pares de X concordantes con Z A=4 B=0 4

Pares de X discrepantes con Z C=1 D=1 2

TOTAL 5 1 6 Entonces calculamos el coeficiente de correlación parcial de rango de Kendall:

))()()((.

DBCADCBABCADr zxy

++++

−=

lo que en nuestro caso da rXY.Z = 0.63. Desafortunadamente aún no se conoce la distribución exacta de este parámetro y por ende no podremos medir la significación de este coeficiente.

4.18. COEFICIENTE DE CONCORDANCIA DE KENDALL (W)

Esta es una generalización de la comparación de dos (ver apartado previo) a k juicios u ordenamientos de rangos. Supongamos que un grupo de 3 jueces (investigadores) han calificado a 6 postulantes a una beca través de un orden de mérito relativo. Nos interesa saber si el juicio de los tres investigadores es concordante (H0) o no (H1). Los resultados fueron los siguientes:

POSTULANTE A LA BECA INVESTIGADOR QUE JUZGÓ a b c d e f

X 1 6 3 2 5 4 Y 1 5 6 4 2 3 Z 6 3 2 5 4 1

Rj (suma de rangos) 8 14 11 11 11 8 Ahora calculamos (s) como la suma de cuadrados (SC) de los valores Rj:

∑ ∑−= NRRs jj /)( 22 donde N es el número de entes comparados (=6), en este caso resulta s=25.5 y con ese valor calculamos el coeficiente de concordancia:

)( 3212

1 NNksW

−=

en nuestro caso k=3 (el número de juicios) y W=0.16. Para determinar la significación de ese grado de concordancia consultamos la TABLA XVIII del APENDICE y vemos que para k=3 y N=6 el valor crítico al 5% de s está en 103.9. Como el valor obtenido es menor (25.5), se rechaza H0 de



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concordancia de criterios entre los tres investigadores al nivel p=0.05, o sea los jueces no han tenido criterios concordantes. En esta prueba un valor significativamente alto de s (y de W) indica concordancia de criterios. Hay que tener cuidado que esto no prueba que el juicio concordante sea el correcto, pueden estar todos equivocados con el mismo criterio uniforme. Pero si confiamos en el buen criterio de los jueces, una concordancia significativa presta aval a la conclusión general. Cuando N sea mayor a 7, se puede usar la aproximación

..1;)1(12

1

2 ldegNNkN

s−=

+= νχ

y consultar la tabla ji-cuadrado tal como ya se ha indicado en otros apartados. Cuando ocurren empates se corrige el W de manera similar a lo efectuado en el caso del coeficiente de correlación de rangos de Spearman (rS) :

igualesvaloresdegrupoporempatesdenúmeroty

ttTdonde

TkNNksW

=

−=

−−= ∑

∑ 12)(

;)(

2

3212

1

Con este valioso ensayo se puede verificar la asociación entre cualquier número de clasificaciones por rango.

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD CAPITULO 5 – Nociones de epidemiología


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CAPITULO 5: NOCIONES DE EPIDEMIOLOGIA



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5.1. DEFINICION DE LA EPIDEMIOLOGIA La epidemiología es, en la acepción más antigua, el "estudio de las epidemias" es decir, de las "enfermedades que afectan transitoriamente a muchas personas en un sitio determinado". Su significado deriva del griego “Epi” (sobre) “Demos” (Pueblo) “Logos” (ciencia). Una definición técnica es la que propone que la epidemiología es "el estudio de la distribución y determinantes de enfermedades en poblaciones humanas". Ambas definiciones, se corresponden con el significado que la disciplina ha tenido en dos momentos históricos muy distintos. Es así como la primera definición corresponde a la conceptualización surgida en los albores de la epidemiología, cuando ésta centró su interés en el estudio de procesos infecciosos transmisibles (pestes) que afectaban grandes grupos humanos. Estas enfermedades, llamadas epidemias, resultaban en un gran número de muertes frente a las cuales, la medicina de aquella época no tenía nada efectivo que ofrecer . La literatura científica reconoce en el Inglés John Snow al padre de la epidemiología. Snow, utilizando magistralmente el método científico, aportó importantes avances al conocimiento de la epidemia de cólera que, en aquella época, afectaba a la ciudad de Londres. Las acertadas conclusiones de Snow acerca de la etiología, forma de transmisión y control de la enfermedad se anticiparon a los progresos que en este sentido hicieran la microbiología, la infectología y la clínica . La segunda definición constituye una más actualizada y en ese sentido de mayor amplitud y especificidad. Es posible afirmar que la evolución científica, tecnológica y el cambio en el nivel de vida de las poblaciones, modificaron el tipo de enfermedades que afectaban en mayor número y más gravemente a la población. Esta modificación puso de relieve enfermedades no infecciosas cuya elevada frecuencia de aparición no era consecuencia de los mecanismos clásicos de transmisión conocidos para las enfermedades infecciosas transmisibles. Estas enfermedades son conocidas hoy como enfermedades crónicas no transmisibles (ECNT. “Non Commmunicable Diseases” en (NCD en Inglés) y también son materia importante de estudio en la epidemiología moderna. De acuerdo con lo expuesto, hoy en día se acepta la siguiente definición de epidemiología como la más simplificada y completa:

“Epidemiología es la disciplina que estudia la enfermedad en poblaciones humanas” A partir de ella se mencionan sus principios implícitos: La epidemiología es una disciplina médica o de las ciencias de la salud. El sujeto de estudio de la epidemiología es un grupo de individuos (colectivo) que comparten alguna(s) característica(s) que los reúne. La enfermedad y su estudio toman en esta definición la connotación más amplia. Salud y enfermedad son uno y en ese sentido deben ser entendidos. El concepto o noción de enfermedad no existe en ausencia del de salud y viceversa. Sin embargo, esta afirmación, simple en apariencia, encuentra serias limitaciones al momento de materializar conceptos. La medicina tradicional ha operado considerando a la salud como la ausencia de enfermedad y en esa consideración ha perdido la identidad de la salud. Esto tiene profundas raíces filosóficas que no analizaremos en este capítulo. Baste decir que la enfermedad ha sido un fenómeno vital de fácil identificación y de aparente fácil delimitación. En cambio, la salud tiene límites más imprecisos y significados más erráticos. La epidemiología concibe el fenómeno salud y enfermedad como un proceso dinámico. El individuo pasa de un estado a otro, repetidamente, a lo largo de su vida y en este continuo, identificar los límites de uno u otro se transforma en un problema de orden técnico. La epidemiología se aboca como desafío científico, a estudiar el proceso salud-enfermedad en su más amplia conceptualización.



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5.2. GENERALIDADES ACERCA DE LA EPIDEMIOLOGÍA La epidemiología es una rama de la bioestadística médica aplicada especialmente a describir el estado de salud de la población humana y encargada de efectuar los catastros de patologías que permitan almacenar censos históricos, monitorear el estado de salud mundial del presente, clasificado por estratos y por regiones geográficas y lo que es mas importante brindar señales tempranas en la aparición de brotes epidémicos o riesgos agudos y crónicos de toda clase que puedan atentar contra la salud de las personas. Podemos decir que hoy día la epidemiología es universal, no es el problema de un país o de un continente. La globalización y la revolución de los medios de transporte que hoy día unen en contacto potencialmente riesgoso a las regiones mas distantes, hacen que un brote de una especie de neumonía fatal como el SARS (Sídrome respiratorio agudo y severo) acaecida en un lugar tan distante como una provincia de China, obligue a tomar medidas defensivas en Sudamérica. Hoy día, la OMS (Organización Mundial de la Salud) pilotea y normaliza la actividad epidemiológica mundial. A través de programas de computación como el EPI-INFO, releva continuamente y en escala mundial, el estado de salud de las personas. La OMS comienza por la base, con su nomenclador universal de patologías, el CIE (Código Internacional de Enfermedades) de 4 dígitos y que es periódicamente actualizado y mejorado (ver http://www.who.int/whosis/icd10/). Este Nomenclador permite que un enfermo de cólera en Taiwan sea reportado y computado igual que un enfermo del mismo mal en Uganda. No hay ambigüedades, la epidemiología es unívoca y universal, exactamente lo que se necesita. Las publicaciones anuales de censos y estadísticas sanitarias de la OMS permiten detectar cuales son las regiones del planeta más expuestas para sus habitantes para afectar su viabilidad, por ejemplo para fallecer por inanición, por mortalidad infantil, por paludismo, por obesidad, por SIDA, por cáncer de útero o por tabaquismo. Todo se registra y todo se evalúa, se discrimina por edad, por sexo y si fuese posible por status socioeconómico. Las predicciones de longevidad por región del planeta son otras de las valiosas y muy importantes estadísticas resultantes de la epidemiología. Hoy día las compañías de seguros de riesgo personal, o los gobiernos interesados en fijar las edades mínimas de retiro o jubilación, se basan exactamente en estos resultados epidemiológicos. La epidemiología es esencialmente ESTADISTICA DESCRIPTIVA, pero lo hace a través de parámetros propios, generalmente índices o indicadores de estado sanitario. Sin embargo, otra parte de la epidemiología se dedica a ESTADISTICA INFERENCIAL como ser la predicción de series temporales o el cálculo de curvas de supervivencia. Las aplicaciones más importantes de la epidemiología son la vigilancia epidemiológica y el empleo de la epidemiología en la planificación sanitaria. En este capítulo haremos hincapié sobre los conceptos básicos de la epidemiología y sobre los principales métodos estadísticos por ella aplicados.

5.3. DEFINICION Y OBJETIVO DE LA SALUD PUBLICA "La enfermedad es el experimento de la naturaleza. Sólo vemos sus resultados, ignorando las condiciones en que se realizó el experimento". (Klemperer)



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La definición más conocida de salud pública, señala que es ésta una rama de la medicina cuyo interés fundamental es la preocupación por los fenómenos de salud en una perspectiva colectiva, vale decir, de aquellas situaciones que, por diferentes circunstancias, pueden adoptar patrones masivos en su desarrollo. En 1920, Winslow definió la salud pública en los siguientes términos: "la salud pública es la ciencia y el arte de prevenir las enfermedades, prolongar la vida y fomentar la salud y la eficiencia física mediante esfuerzos organizados de la comunidad para sanear el medio ambiente, controlar las infecciones de la comunidad y educar al individuo en cuanto a los principios de la higiene personal; organizar servicios médicos y de enfermería para el diagnóstico precoz y el tratamiento preventivo de las enfermedades, así como desarrollar la maquinaria social que le asegure a cada individuo de la comunidad un nivel de vida adecuado para el mantenimiento de la salud". Posteriormente, Winslow cambió el término "salud física" por el de "salud física y mental". La definición de salud propuesta por la Organización Mundial de la Salud (OMS: 1946), que señala que "salud no es solamente la ausencia de enfermedad, sino el estado de completo bienestar físico, mental y social del individuo", determina que una buena parte del quehacer de la salud pública se expanda hacia áreas nuevas y emergentes en las sociedades contemporáneas. Significa, en buenas cuentas, la manifestación explícita de que la medicina debe preocuparse tanto de enfermos como sanos. Siguiendo a Milton Terris, quien propone en 1990 una adaptación contemporánea a la definición de Winslow, la salud pública queda definida como: "La ciencia y el arte de prevenir las dolencias y las discapacidades, prolongar la vida y fomentar la salud y la eficiencia física y mental, mediante esfuerzos organizados de la comunidad para sanear el medio ambiente, controlar las enfermedades infecciosas y no infecciosas, así como las lesiones; educar al individuo en los principios de la higiene personal, organizar los servicios para el diagnóstico y tratamiento de las enfermedades y para la rehabilitación, así como desarrollar la maquinaria social que le asegura a cada miembro de la comunidad un nivel de vida adecuado para el mantenimiento de la salud". La salud pública así considerada se constituye a partir del reconocimiento de la existencia de procesos y problemas colectivos de enfermedad. Esto implicaba que organizaciones, grupos o instituciones debían hacerse cargo de los mismos, pues éstos no podían ser resueltos en el nivel de los individuos. Como especialidad no clínica de la medicina, esta disciplina enfoca el tema de la salud en un contexto colectivo, buscando mediante la aplicación de diversos enfoques de intervención, influir positivamente para evitar a ocurrencia de enfermedad. Por el carácter "no clínico" de la salud pública, pudiera pensarse que la acción médica es susceptible de ser fragmentada en un ambiente individual, de orden clínico, y otro de carácter colectivo, con menos protagonismo técnico, representado por la salud pública. Sin embargo, hoy es universalmente aceptado que la salud de los individuos transcurre en un eje vital continuo, en el que se producen momentos de interacción individual entre éste y su medio así como complejas relaciones colectivas sustentadas por una intrincada malla de interacciones sociales que los individuos desarrollan en sus comunidades. Luego, es lógico percibir al individuo como integrante de un colectivo, sin que por ello pierda su carácter de persona individual. Por tanto desde la perspectiva del cuidado de la salud de los individuos, conviene enfatizar que sólo existe un tipo de medicina, en la que está presente el quehacer de disciplinas con alcances diversos y complementarios, que se despliegan de acuerdo a la naturaleza y desarrollo de los acontecimientos de salud. Sin embargo el término "salud pública" está, a juicio de otros autores, cargado de significados ambiguos e imprecisiones diversas. En su historia han sido prominentes cinco connotaciones.



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La primera equipara el adjetivo "pública" con la acción gubernamental, esto es, con el sector público o estatal. Un segundo significado es aún más amplio al incluir no tan sólo la participación del estado sino la de la comunidad organizada. El tercer uso identifica a la salud pública con los llamados "servicios no personales de salud", es decir, aquellos que se aplican al medio ambiente (por ejemplo, el saneamiento ambiental) o a la colectividad (por ejemplo la educación masiva en salud) y que por lo tanto no son apropiables por un sólo individuo en forma específica, como podría ser una consulta médica o la aplicación de un procedimiento diagnóstico. El cuarto uso es una ampliación del tercero en tanto se le añaden una serie de servicios personales de naturaleza preventiva dirigidos a grupos vulnerables (por ejemplo, los programas de atención materno-infantiles). Por último, a menudo se utiliza la expresión "problema de salud pública", sobre todo en el lenguaje no técnico, para referirse a padecimientos de alta frecuencia o peligrosidad en la población. También existen asociaciones entre estos diferentes significados. Por ejemplo, en algunos países industrializados ha habido una tendencia a que el sector privado de salud preste la mayor parte de los servicios terapéuticos personales, mientras que el sector público o estatal ha asumido la responsabilidad por los servicios preventivos y no personales, tan necesarios para la comunidad. Ello ha reforzado la idea de la salud pública como un subsistema separado de servicios proporcionados por el estado y paralelos a la corriente principal de la medicina curativa de alta tecnología. Recientemente ha surgido un punto de vista más integral sobre el concepto de salud pública. Este sostiene que el adjetivo "pública" no denota un conjunto de servicios en particular, ni una forma de propiedad, ni un tipo de problemas, sino; Un nivel específico de análisis, a saber un nivel poblacional. A diferencia de la medicina clínica, la cual opera en un nivel individual, y de la investigación biomédica, que analiza el nivel subindividual, la esencia de la salud pública consiste en que adopta una perspectiva basada en grupos humanos o poblaciones. Esta perspectiva poblacional inspira sus dos aplicaciones, como campo del conocimiento y como ámbito para la acción. La salud pública requiere para su adecuado desarrollo de la colaboración activa de un conjunto de disciplinas, sin las cuales, la explicación e intervención sobre los problemas de salud sería materialmente imposible, además de incompleta. Desde sus inicios como materia de estudio y durante el transcurso de este siglo, la salud pública se ha visto como una ciencia social a la que concurren un conjunto de disciplinas. Es el aporte conjunto de éstas el que finalmente determina un nivel de comprensión más integral de los procesos de Salud-enfermedad. Como eje central de estos aportes se encuentran las disciplinas médico biológicas y particularmente la epidemiología, que tiene un rol central para la comprensión de una gran parte de los fenómenos de Salud. Entre éstas disciplinas pueden señalarse algunas ligadas directamente al ámbito biomédico, a las que se han sumado necesariamente otras provenientes de otras áreas del conocimiento, particularmente las del campo de las ciencias sociales, postergadas inexplicablemente por largo tiempo. Un obstáculo importante para lograr la integración de estas diferentes disciplinas ha sido la tendencia a identificar cada nivel de análisis con alguna de estas disciplinas. Por ejemplo, existe la confusión de que las ciencias básicas son sólo aplicables a los niveles individuales y subindividual, mientras que el poblacional es patrimonio absoluto de las ciencias sociales. Todas las poblaciones humanas se organizan en sociedades, de ahí que las Ciencias Sociales sean indispensables para una cabal comprensión de la salud de las poblaciones, es decir, de la salud pública. En este ámbito, las Ciencias Sociales han ejercido notable influencia en el estudio de algunos determinantes psico-sociales de salud que comenzaron siendo explorados en forma muy reduccionista en el ambiente epidemiológico. A modo de ejemplo, en estos últimos años la contribución de estas disciplinas en el estudio de determinantes socioeconómicos y desigualdades en salud han abierto un mundo nuevo en la comprensión de interacciones entre factores biológicos y sociales. Sin embargo, también existe una dimensión biológica de las poblaciones humanas, expresada en sus características genéticas, la



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inmunidad grupal y la interacción de la población humana con otras poblaciones, como por ejemplo la interacción microbiológica (dimensión que da origen a la seroepidemiología, bioepidemiología y a la epidemiología genética). La salud pública del futuro En el plano recién dibujado se sitúa la actual Salud Pública, acuñando y consolidando los logros del pasado y proyectando su quehacer en propuestas para el futuro. La salud pública tiene la gran responsabilidad social de promover el desarrollo pleno y sano de los individuos y las comunidades en las que ellos se insertan (promoción de la salud). La actual realidad desafía a la salud pública para que ésta señale los rumbos a seguir en la sociedad en materia de atención y cuidado de la salud en un escenario de extraordinaria complejidad. En nuestras comunidades hoy se suceden situaciones muy heterogéneas, en las que coexisten enfermedades infecciosas con otras crónicas, debiendo adaptarse los sistemas de salud para poder abarcar el control de ellas. Los problemas de salud del medio ambiente ofrecen otro campo de interés y desafío para esta disciplina. El estudio y manejo de la salud ambiental constituye una especialidad de la Salud Pública. Finalmente, la introducción del componente social en el análisis de la situación de salud y de las condiciones de vida de la población requiere de una salud pública versátil y creativa para poder enfrentar estos y otros desafíos futuros.

5.4. EL METODO DE LA EPIDEMIOLOGIA La epidemiología cuenta con un método específico para lograr sus propósitos, constituido por el denominado método epidemiológico, el que corresponde a una secuencia circular de etapas. Con fines didácticos podemos interrumpir este círculo para señalar cada una de ellas:

• En un primer momento la epidemiología observa rigurosamente la realidad sin intentar modificarla (Nivel descriptivo)

• En una segunda etapa, se elaboran hipótesis explicatorias sobre la base de los paradigmas imperantes (nivel analítico)

• En un siguiente paso la epidemiología intenta verificar la validez de su(s) hipótesis(s) sometiéndola a la verificación de acuerdo con la estrategia escogida para el caso particular (Utilizando diferentes diseños de investigación)

• Luego prosigue la etapa de conclusión, de acuerdo a los resultados obtenidos, aceptándose o rechazándose la(s) hipótesis original.

• Con la nueva evidencia la epidemiología elabora nuevas hipótesis que seguirán el mismo análisis descrito, alimentando el conocimiento y abriendo un nuevo ciclo de investigación.

La secuencia descrita es indistinguible de aquella utilizada por el método científico y en este sentido es posible afirmar que el método epidemiológico es una aplicación particular del método científico. La particularidad del método epidemiológico está representada por el carácter propio de su estrategia y del cuerpo de conocimientos que produce.

5.5. ESTRATEGIA EPIDEMIOLÓGICA La estrategia epidemiología constituye la operacionalización del método epidemiológico. Esto se logra reconstituyendo la realidad, mediante la formulación de modelos teóricos que ayudan a entender la ocurrencia natural de los fenómenos. Estos diferentes modelos son conocidos como



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diseños de investigación epidemiológica los que se corresponden con las etapas descritas para el método epidemiológico. Es así como la observación de los fenómenos naturales es rigurosa y sistemáticamente registrada, consolidada y resumida mediante técnicas incluidas en el gran capítulo de la epidemiología descriptiva. Para ello utiliza procedimientos propios y otros derivados de disciplinas relacionadas como la bioestadística, la clínica, las ciencias sociales y la informática. La observación de los fenómenos y la consecuente formulación de hipótesis descansan en el juicio crítico y creativo del investigador y se apoyan en los llamados estudios de prevalencia y de incidencia. La verificación de la(s) hipótesis ocupan la atención de la epidemiología analítica la que cuenta con los diseños de casos y controles, de cohorte y experimentales. Cada uno de ellos genera evidencia objetivable por indicadores de naturaleza matemática validados por procedimientos estadísticos de complejidad variable. El conjunto inédito de estos modelos o diseños y la producción de conocimientos que ha originado su aplicación, han dado identidad y estatura científica a la epidemiología.

5.6. CONDICIONES BÁSICAS EN LA DEFINICIÓN, REGISTRO Y MEDICIÓN DE VARIABLES

Al registrar los valores de una variable, existen al menos dos características que la variable definida debe poseer. En primer término, una variable debe ser exhaustiva, vale decir, debe considerar todas las posibles alternativas u opciones de respuesta. Si al aplicar un cuestionario e indagar acerca de las características del nivel socioeconómico como ser tipo de empleo, previamente categorizado, de no incluirse todas las posibles opciones se corre el riesgo de una errónea clasificación u omisión del dato.

Simultáneamente los atributos de una variable deben ser mutuamente excluyentes, lo que significa que un sujeto no debiera identificarse con mas de una categoría al ser encuestado. En el caso de indagar, por ejemplo, acerca de la situación laboral ofreciendo las siguientes opciones:

• Empleado

• Desempleado

• Buscando empleo

Una persona empleada que desea aumentar su ingreso con un segundo empleo, podría estar en condiciones de responder a más de una opción en las categorías propuestas arriba.

Unidades de análisis

La unidad de análisis corresponde a la entidad mayor o representativa de lo que va a ser objeto específico de estudio en una medición y se refiere al qué o quién es objeto de interés en una investigación. Por ejemplo: Debe estar claramente definida en un protocolo de investigación y el investigador debe obtener la información a partir de la unidad que haya sido definida como tal, aun cuando, para acceder a ella, haya debido recorrer pasos intermedios. Las unidades de análisis pueden corresponder a las siguientes categorías o entidades:

• Personas

• Grupos humanos



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• Poblaciones completas

• Unidades geográficas determinadas

• Eventos o interacciones sociales (enfermedades, accidentes, casos de infecciones intrahospitalarias, etc)

• Entidades intangibles, susceptibles de medir (exámenes, días camas)

El tipo de análisis al que se someterá la información es determinante para elegir la unidad de análisis. Por ejemplo, si el objetivo es dar cuenta de la satisfacción del usuario de un servicio médico, la unidad de análisis natural es el paciente atendido, o la persona que se atiende en ese servicio médico.

La unidad de muestreo corresponde a la entidad básica mediante la cual se accederá a la unidad de análisis. En algunos casos, ambas se corresponden. Por ejemplo, si se desea estimar la prevalencia de daño auditivo en relación con niveles de ruido ambiental en una muestra de trabajadores de una fábrica, la unidad de muestreo puede corresponder a la entidad "sujeto", si se dispone de un registro detallado de cada sujeto. La unidad de análisis es por cierto el trabajador de la fábrica.

Si en el mismo ejemplo se conoce de secciones de la fábrica con distinto nivel de exposición al ruido, podría obtenerse una muestra de cada sección (estratos). En este caso, la unidad de muestreo corresponde a la "sección", de donde se obtendrá a los sujetos a estudiar de acuerdo a algún procedimiento aleatorio de selección. La unidad de análisis es también en este caso, el trabajador.

En el caso de encuestas de morbilidad, una tendencia clásica es trabajar con hogares como unidad de muestreo e individuos de dichos hogares, como unidad de análisis.

Correspondencia entre unidades de análisis y de muestreo

Unidades de muestreo y de análisis deben corresponderse entre sí. En un enfoque "clínico", por ejemplo, si se desea estudiar el comportamiento de las infecciones hospitalarias de un establecimiento, la unidad de análisis podría corresponder al evento "infección hospitalaria" o a "paciente con infección intrahospitalaria". Es evidente que la cifra en ambos casos puede ser diferente: un "paciente" con infección intrahospitalaria puede tener más de un "evento" de infección intrahospitalaria.

¿Cómo llegar a identificar estas unidades de análisis?

Si es necesario realizar un muestreo de la población en estudio, la pregunta es ¿Cómo llegar a identificar a las unidades de análisis propuestas? En este caso es posible obtener un listado detallado de los pacientes del hospital en un momento determinado. Un muestreo aleatorio simple o estratificado según servicio clínico permitirá identificar tanto a pacientes afectados como eventos de infección intrahospitalaria. Si el estudio tiene carácter nacional, es decir, representará el comportamiento global de la infección intrahospitalaria a partir de una muestra de establecimientos, la unidad de muestreo podrá ser el establecimiento.

Los estudios ecológicos constituyen un caso particular de investigación en los cuales la unidad de análisis está constituida por agregados poblaciones, generalmente comunidades completas, ubicadas espacialmente en un lugar definido. También el meta-análisis es una forma particular de investigación observacional en la cual la unidad de análisis puede ser el "estudio" seleccionado o los sujetos contenidos en dicho estudio.



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5.7. LAS MEDICIONES EN EPIDEMIOLOGIA La observación y registro de eventos en epidemiología da origen a un conjunto de medidas que permiten su descripción, la identificación de asociaciones, la constatación de efectos (riesgo - protección) así como la estimación de su magnitud. Un conjunto de diferentes mediciones es utilizado con esta finalidad.

Medidas de frecuencia de enfermedad:

• Prevalencia

• Incidencia

Medidas de Riesgo:

• Riesgo

• Chance u “odds” Riesgo: probabilidad inminente de ocurrencia individual de un evento, por ejemplo, un daño. Note que es un concepto "prospectivo" y condicionado, por ejemplo, a una determinada exposición. Factor de Riesgo: condición, característica o atributo que condiciona una mayor probabilidad de experimentar un daño o problema de salud Medidas relacionadas con el efecto:

• Riesgo relativo

• Riesgo absoluto

Como se ha mencionado en otros capítulos, la definición de "caso" es crucial. Se define como tal aquel individuo portador de un daño, enfermedad o problema de salud o aquel que sufre el evento. La definición epidemiológica de caso no siempre es equivalente a la definición clínica (por ejemplo, en el estudio de un brote epidémico, un caso puede ser definido por la constatación de un determinado cuadro clínico, más el antecedente de un tipo de exposición determinada o referido a un periodo de tiempo).

Así, un caso "sospechoso" de intoxicación alimentaria podría corresponder a un cuadro diarreico agudo determinado, en una persona con antecedente de exposición a una situación de riesgo. Es importante también la distinción entre casos y eventos. En algunas circunstancias podremos estar interesados simultáneamente en la determinación de ambas cosas. Es crucial recordar que ambos, caso o eventos dan cuenta de la variable dependiente u “outcome”, lo que exige absoluta claridad en relación con lo que se mide y también en cómo se mide.



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Ejemplos de formas de medición de variables dependientes

Foco de estudio Variable dependiente (“outcome”)

Casos Eventos Estudio de brote epidémico + - Evaluación de sobrevida en ensayo clínico + - Reducción de lípidos séricos en la prevención de infarto al miocardio + + Magnitud de infecciones intrahospitalarias + + Recurrencia de trastornos emocionales en familias con distintos tipos de intervención - +

La epidemiología necesita evaluar el origen a partir del cual los casos se originan y el tiempo durante el cual los datos fueron recogidos.

5.8. PRINCIPALES INDICADORES SANITARIOS Un indicador sanitario es un dato de interés para la epidemiología. En la medición de sucesos de interés sanitarios se utilizan un conjunto reducido de indicadores, los que a su vez se pueden fragmentar en múltiples subgrupos. En todos los ejemplos numéricos que siguen usaremos datos simulados para la Provincia de Buenos Aires, Argentina. Para representar adecuadamente un suceso puede ser necesario, y hasta recomendable, la utilización combinada de alguna de los siguientes indicadores:

1. Cifras absolutas: éstas dan una idea de la magnitud o volumen real de un suceso. Tienen utilidad para la asignación de recursos (por ejemplo, el número mensual de partos en un establecimiento hospitalario da una idea del número de camas, personal y recursos físicos necesarios para satisfacer esta demanda). Al efectuar comparaciones, el uso de cifras absolutas tiene limitaciones, puesto que no aluden a la población de la cual se obtienen (así, 40 defunciones anuales en una población de 15.000 habitantes, puede ser proporcionalmente mayor que 50, ocurridas en una población de 20.000 habitantes). Sin embargo, la comparación de cifras absolutas referidas a la misma población en periodos cortos de tiempo puede ser un buen estimador de riesgo al mantenerse constante el denominador.

2. Tasas: están compuestas por un numerador que expresa la frecuencia con que ocurre un

suceso (por ejemplo, 973 muertes por cáncer de mama en 1999 en la Provincia de Bs. Aires, Argentina) y un denominador, dado por la población que está expuesta a tal suceso (7.583.443 mujeres). De ésta forma se obtiene un cociente que representa la probabilidad matemática de ocurrencia de un suceso en una población y tiempo definido. En el ejemplo, la tasa obtenida estima el riesgo de cada mujer mayor de 30 años en la Provincia de Buenos Aires, Argentina de fallecer de cáncer de mama en el curso de 1999. Cuando en el denominador se trata de población general, para fines del cálculo de la población expuesta, se usa como convención la existente al 30 de junio en ese lugar durante ese año (mitad de año) y a esa clase de tasa se la define como tasa resumen. Por razones prácticas, el cociente obtenido se amplifica por algún múltiplo de 10 (ya sea 1.000, 10.000, 100.000). De ésta forma, la tasa de mortalidad por cáncer de mama en mujeres en 1999 fue de 12,8 muertes por 105 mujeres (12,8 muertes por cada 100.000 mujeres).



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3. Razones: expresan la relación entre dos sucesos. A diferencia de las tasas el numerador no está incluido en el denominador y no hacen referencia a una población expuesta. En éste caso, la interpretación del cociente no alude a una probabilidad o a un riesgo, como es el caso de la tasa. Un ejemplo es la razón de masculinidad, que es el cociente entre la población de sexo masculino y la población de sexo femenino en un lugar y periodo determinado (amplificado por 100. En la Provincia de Buenos Aires, Argentina, el año 2000 la razón de masculinidad fue de 98,1%, es decir, "por cada 100 mujeres había 98 hombres".

4. Proporciones: Expresan simplemente el peso (frecuencia) relativo que tiene un suceso

respecto a otro que lo incluye (el denominador incluye al numerador). Por ejemplo, ¿Qué proporción de las muertes ocurridas en la Provincia de Buenos Aires, Argentina el año 1999 fue causada por enfermedades cardiovasculares? Esto se calcula construyendo el cociente entre el número de muertes ocurridas por causa cardiovascular (22.730) y el número total de muertes ocurridas ese año (81.984) amplificado por 100 (27.7% de las muertes de 1999 fueron causadas por enfermedades cardiovasculares). Las proporciones no se interpretan como una probabilidad ni tampoco otorgan un riesgo puesto que no se calculan con la población expuesta al riesgo.

5. Índices: Surgen de la comparación de dos tasas o dos razones. Por ejemplo, el cociente entre

la tasa de mortalidad general en varones respecto de las mujeres en 1999. Este indicador da una idea de la existencia de mayor o menor riesgo de una condición dependiendo si su valor es mayo o menor de 1 (o de 100%). En este caso, se tiene para la Provincia de Buenos Aires: Defunciones Población Tasa x 1000 Índice

Hombres 44.424 7.434.317 5.97 Mujeres 37.560 7.583.443 4.95 1.20 (120%)

A continuación se describen en un cuadro resumen algunos indicadores y su forma de cálculo: Indicadores de natalidad Definición / Cálculo Amplificación

Tasa bruta de natalidad Nº de recién nacidos vivos / Población estimada a mitad de periodo 1.000 habitantes

Tasa de Fecundidad General Nº nacimientos/ Nº mujeres en edad fértil (15-49 años) 1.000 mujeres

Tasa de Fecundidad por edad Nº nacimientos por grupo de edad/ Nº mujeres por grupo de edad 1.000 mujeres

Tasa recién nacidos de bajo peso

Recién nacidos vivos < 2.500 g/ Nº recién nacidos vivos 1.000 nacidos vivos

Tasa de mortalidad general Total de defunciones / Población total a mitad de periodo 1.000 habitantes

Tasa mortalidad según sexo Total defunciones por sexo/ Pobl. masculina o femenina mitad de periodo

1.000 hombres o mujeres

Tasa mortalidad por grupo de edad

Total defunciones por grupo de edad / Población del mismo grupo de edad 100.000 personas

Tasa de mortalidad Infantil Defunciones de menores de un año/ Total de recién nacidos vivos

1.000 recién nacidos vivos

Tasa de mortalidad neonatal Defunciones niños menores de 28 días / Total de recién nacidos vivos


Tasas de mortalidad infantil tardía

Defunciones niños > 28 días > 1 año/ Total de recién nacidos vivos




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Indicadores de morbilidad Definición / Cálculo Amplificación

Tasa de morbilidad por causa Nº enfermos por causa / Población total a mitad de periodo 1.000 habitantes

Tasa de morbilidad específica por edad, sexo

Nº enfermos según edad o sexo/ Pobl. total a mitad de periodo según edad o

sexo 100.000 habitantes

Tasa de incidencia Nº de casos nuevos de enfermedad/ Población expuesta Variable

Tasa de prevalencia Nº casos (nuevos y antiguos)/ Población total expuesta Variable

Tasa ataque primaria Nº casos enfermedad transmisible / Población expuesta 100 expuestos

Tasa de ataque secundario Nº casos enfermedad transmisible aparecidos

después de casos 1arios/ Población expuesta

100 contactos

Las poblaciones utilizadas en el cálculo de tasas globales y específicas (subgrupos poblacionales) suelen referirse a aquellas estimadas a mitad del período de observación (por ejemplo, a mitad de año calendario). Este acuerdo se establece para poder neutralizar la posible inestabilidad de los denominadores en cuanto a sucesos demográficos tales como migraciones, mortalidad y crecimiento poblacional. La amplificación de las tasas utilizando múltiplos de 10 constituye sólo un artificio matemático para facilitar su comprensión y comparación. Las tasas, que matemáticamente corresponden a probabilidades, pueden tener valores que oscilan entre el valor cero (nula probabilidad de ocurrencia) y uno (certeza absoluta de ocurrencia). En ocasiones, sea porque los numeradores son de pequeña magnitud o bien los denominadores son cuantiosos, se obtienen valores reales de tasas que son difíciles de interpretar y comparar. Por ejemplo, si se desea calcular la tasa de mortalidad específica por pericarditis aguda en 1991 en la Provincia de Buenos Aires de la República Argentina y ver la importancia relativa de ella con respecto al total de muertes cardiovasculares, obtendríamos lo siguiente:

• Muertes por todas las causas cardiovasculares: 14.628 defunciones (códigos 140.0- 208.0 de la Clasificación Internacional de Enfermedades (CIE), 9ª Revisión).

• Muertes por pericarditis aguda : 5 (código 420.0 de la misma clasificación)

• Población Pcia. Bs. As. en 1991, ambos sexos: 13.385.817 habitantes.

Resultando los índices:

Tasa de mortalidad específica por pericarditis =

5 casos / 13.385.817 personas = 0,000000373

Tasa de mortalidad específica por enf. cardiovascular =

14.628 defunciones / 13.385.817 personas =0,001093



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Numéricamente es complejo evidenciar tan bajos órdenes de magnitud, y más difícil aún, intentar establecer la importancia relativa de la pericarditis aguda como causa de muerte en relación al total de muertes cardiovasculares.

En este caso, la amplificación por un múltiplo de 10, podría superar esta dificultad en la interpretación. El orden de magnitud de dicho múltiplo de 10 dependerá de cuan pequeña es la cifra obtenida. En este caso, por la baja frecuencia de sujetos considerados en el numerador, conviene amplificar por un múltiplo de 10 del orden de 100.000, con lo cual las tasas obtenidas se transforman en:

Tasa de mortalidad específica por pericarditis =

0,037 muertes por 100.000 habitantes .

Tasa de mortalidad específica por enfermedades. cardiovasculares =

109,3 muertes por 100.000 habitantes

Por convención, en la amplificación de tasas brutas, globales o generales se suele utilizar 1.000 como múltiplo amplificador. En estos casos, dado que se trata de tasas resúmenes, los numeradores suelen ser importantes en número. Ejemplo, tasa de mortalidad general (TMG) en la Provincia de Buenos Aires de la República Argentina, 1991:

TMG = 74.682 def. x 10 /13.385.817 personas = 5,58 defunciones por 10 hbts.

La mortalidad infantil y aquellas vinculadas con ella (perinatal, neonatal, infantil tardía) suelen amplificarse también por 1.000 recién nacidos vivos. En aquellos casos en los cuales se trate de construir tasas específicas por algún atributo, sea sexo, edad, lugar de residencia, tipo de enfermedad u otro, se suele amplificar por 100.000 la tasa pues los numeradores habitualmente son ser de menor magnitud que el caso anterior.

Ejemplo: tasa de mortalidad por enfermedades del aparato circulatorio en la Pcia. de Bs. Aires Argentina, 1999 (TM Cv): . TM Cv. 1999= 22.730 defunc. x 100.000/15.017.760 personas = 151,3 muertes por 100.000 hbts. Las tasas destinadas a medir hechos vinculados con el ámbito obstétrico, (como mortalidad materna o mortalidad por aborto), suelen amplificarse por 10.000. Las tasas de letalidad se amplifican por convención por 100 (10 ) puesto que el máximo daño que una enfermedad puede producir en términos de muerte es en el peor de los casos de 100%. 5.9. INTRODUCCION AL ESTUDIO DE COHORTES A lo largo de su desarrollo, la epidemiología se ha preocupado de dos objetivos fundamentales:

• Probar causalidad e, • Identificar riesgo.

La preeminencia de cada uno de estos objetivos ha estado determinada por el modelo conceptual de salud-enfermedad imperante. Es así como la causalidad encuentra su mayor protagonismo en las relaciones mórbidas, entre agente y huésped, formuladas en los modelos de las enfermedades



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infecciosas. El énfasis en el riesgo, en cambio, se desarrolla fuertemente con relación al concepto de enfermedades crónicas. El logro de los dos objetivos señalados ha obligado a la epidemiología a formular diseños de investigación de distinto grado de complejidad. Entre estos diseños el estudio experimental es reconocido como el único capaz de probar causalidad. En cambio una buena aproximación al riesgo puede obtenerse con los estudios observacionales de casos y controles y, más rigurosamente desde el punto de vista conceptual, con los estudios de cohorte. Los estudios de cohorte son planteados una vez que se dispone de información acerca de eventuales factores asociados al daño a investigar. Por lo tanto, previamente deben haberse recorrido las etapas propias del ciclo de investigación epidemiológica. Definición: Los estudios de cohorte consisten en el seguimiento de una o más cohortes (o grupos de individuos sanos) que presenta diferentes grados de exposición a un factor de riesgo en quienes se mide la aparición de la enfermedad o condición en estudio. Estos diseños de investigación se clasifican, según los criterios taxonómicos clásicos, como estudios observacionales analíticos y longitudinales prospectivos. La categoría de los observacionales analíticos se refiere a la imposibilidad que el investigador tiene de manipular la(s) variable(s) independiente(s), lo cual los distingue de los estudios experimentales. Por tratarse de estudios cuyos resultados permiten un análisis más sofisticado que el de los estudios descriptivos, son considerados estudios analíticos. Por definición, deben permitir la verificación de hipótesis de trabajo. Por el contrario, los estudios longitudinales prospectivos se basan en un seguimiento en el tiempo de uno o más grupos humanos que difieren entre sí por la presencia de una o más variable(s) independiente(s). Por esta razón se les denominan estudios prospectivos, concepto que incorpora implícitamente el carácter longitudinal de los mismos. Otros estudios longitudinales son los de casos y controles (ver 8.11.), sin embargo en éstos el sentido de la observación es retrospectivo. Diseño Los estudios de cohorte tienen un diseño o formato fundamental. Se trata del seguimiento de individuos caracterizados por estar libres del daño en estudio al inicio de la observación. Entre estos individuos se observa, a medida que pasa el tiempo, la aparición de casos de enfermedad (“outcome”) a lo largo del tiempo según posean o no un atributo (variable independiente o exposición) que se cree asociado al desenlace (“outcome”) en estudio. Sólo en contadas ocasiones la constitución de los grupos considera la exposición como un suceso dicotómico (sí/no o expuesto/no-expuesto). Por su estructura y complejidad el investigador aprovecha este diseño para evaluar con mayor detalle el resultado de una exposición, lo que supera las limitaciones de exposiciones dicotómicas del tipo Expuesto/no expuesto. Lo habitual es que el estudio permita la subdivisión de la cohorte expuesta según diferentes niveles de exposición (ejemplo de exposición: tabaquismo, el que puede ser categorizado en diferentes niveles de consumo o tiempo de exposición; exposición laboral a elementos tóxicos, que pueden categorizarse en magnitud y tiempo de exposición) Para estos efectos los individuos son agrupados de tal manera que los grupos tengan el máximo de características similares entre si y puedan ser comparables y así difieran, idealmente, sólo en la variable independiente en estudio.



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Esquema básico de estudios de cohorte

Lo habitual en un estudio de cohorte es que el investigador sea contemporáneo con el inicio del seguimiento de los grupos, vale decir, asista a la agrupación de los individuos sanos. En este caso se acuña el término de estudio concurrente. Por el contrario, si el investigador no participa en forma contemporánea de la formación de las cohortes y ésta se formó en el pasado pero es susceptible de ser seguida en el tiempo, se habla de un estudio no concurrente (“Historical cohort studies”) Los elementos básicos de un estudio de cohorte pueden resumirse en el siguiente listado:

• Formulación clara de una hipótesis de trabajo a investigar

• Identificación de los grupos a ser estudiados

• Definición de la exposición y de la forma en que ésta será medida

• Definición y medición de las posibles variables involucradas

• Definición de la(s) variable(s) dependiente(s) (“outcomes”), así como de la forma en que será(n) medida(s)

• Análisis de datos

• Interpretación de resultados Estructura adoptada por los estudios de cohortes Los estudios de cohorte pueden adoptar algunas variaciones en su diseño básico, dependiendo del número de cohortes involucradas y su origen. Se reconocen en general las siguientes variaciones:

1. Cohorte única (antes y después): el ejemplo más citado para ilustrar esta variante lo constituye el estudio de incidencia (casos nuevos) de leucemia linfática aguda en la población Japonesa residente en Hiroshima después de la explosión nuclear. La frecuencia de casos nuevos se comparó con la existente en el mismo grupo de personas antes de ocurrida la explosión y posterior exposición masiva a radiación. Como se advierte en el ejemplo, la cohorte única corresponde a un grupo de individuos que comparten (o compartieron) una misma condición (exposición) en los cuales se mide la presencia de una variable dependiente predefinida (“outcome”). En este caso se compara la incidencia (casos nuevos) de la enfermedad en los mismos individuos antes y después de ocurrida la exposición a la variable independiente.

2. Dos cohortes: corresponde al formato clásico ya descrito en el cual se seleccionan dos grupos de individuos sanos que sólo difieren en que uno presenta el factor de exposición (cohorte expuesta) y el otro no lo presenta (cohorte no expuesta).



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3. Cohortes múltiples: en este caso se trata de generar múltiples grupos, de individuos sanos, con diferentes grados de exposición al factor de riesgo. En este caso se compara la incidencia de enfermedad de cada grupo en relación a una cohorte de control, de preferencia la de menor o con nula exposición al factor de riesgo. Son útiles en la evaluación de relaciones de dosis-respuesta.

4. Estudio de casos y controles anidados (“nested case & control studies”): Los estudios de cohorte permiten la identificación de un pool de sujetos enfermos concluido el periodo de observación o seguimiento (“follow-up”). El investigador conoce detalladamente las características más relevantes de este grupo de personas en cuanto a eventuales exposiciones y otras covariables. Aprovechando este hecho, es posible constituir un esquema de diseño de casos y controles seleccionando aleatoriamente controles entre el grupo de sujetos no afectados después del periodo de seguimiento (Ver el esquema abajo). Tiene especial aplicación en aquellas situaciones en que los procedimientos diagnósticos para detectar casos son de elevado costo, en particular en el estudio de enfermedades ocupacionales. Este diseño híbrido contribuye al control de sesgos, particularmente los vinculados con medición, problema frecuente de los estudios de caso y controles.

Esquema de un estudio de casos y controles anidados (“nested case& control studies”)

Principales usos de los estudios de cohorte

• Ensayar hipótesis de causalidad y de riesgo: los estudios de cohorte son, entre los diseños observacionales, los que proveen la más rigurosa información en favor de la causalidad y del riesgo. Como ya se ha mencionado, la certeza absoluta del proceso causal sólo es capaz de proporcionarla el diseño experimental. Tienen la ventaja adicional de seguir el mismo sentido de la lógica del pensamiento clínico (la exposición precede al desenlace).

• Medir la incidencia de una enfermedad o condición: uno de los productos de mayor interés en un estudio de cohorte es la obtención de tasas de incidencia de la enfermedad o condición en estudio. La tasa de incidencia de una enfermedad corresponde al total de casos nuevos de enfermedad que se presentan en un grupo de individuos en un período de tiempo determinado. Dado que una condición indispensable en estos diseños es que las cohortes



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estén constituidas por individuos sanos, en la práctica un estudio de esta naturaleza permite medir tres tipos de tasas de incidencia : tasa de incidencia de la enfermedad para la cohorte expuesta al factor de riesgo, para la cohorte no expuesta y para ambos grupos en conjunto.

• Permiten la cuantificación del riesgo: la relación entre tasa de incidencia de sujetos expuestos con relación a la de los no expuestos da origen al llamado riego relativo que permite establecer la magnitud de riesgo asociado a la exposición analizada.

• Estudiar la historia natural de la enfermedad: los estudios de cohorte permiten realizar un seguimiento de individuos sanos con criterios y métodos diagnósticos estandarizados. De ésta manera es posible reconocer precozmente los elementos característicos de una enfermedad, así como también factores asociados a sus etapas más tempranas.

• Explorar el efecto de exposiciones de baja frecuencia poblacional: en el campo de enfermedades ocupacionales, es posible observar el comportamiento de cohortes de sujetas sometidos a exposiciones de rara ocurrencia en la población general.

• Estudiar mas de una consecuencia para la salud derivado de exposiciones: en un estudio de cohorte el investigador puede definir mas de un “outcome” de interés. Por ejemplo, en la determinación del efecto de un factor de riesgo se puede emplear medidas de incidencia o de mortalidad. En estudios prospectivos destinados a evaluar el rol de parámetros antropométricos al nacer y asma bronquial, pueden utilizarse diferentes formas (fenotipos) para evaluar dicho “outcome” (sibilancias, sibilancias nocturnas, valores espirométricos o combinaciones entre éstos).

Algunas limitaciones propias de estos diseños • No prueban necesariamente causalidad (recordar que la exposición no es asignada

aleatoriamente en la(s) cohorte(s) estudiadas).

• Pueden requerir de un largo período de seguimiento de la(s) cohorte(s). Esto conspira contra la integridad del estudio pues durante el seguimiento individuos pueden perderse y/o puede alterarse su condición de exposición (el sujeto que no fumaba al inicio del seguimiento, comenzó a hacerlo posteriormente).

• Tienen utilidad limitada en el estudio de enfermedades de baja prevalencia o de prolongado período de incubación pues el seguimiento debe ser más prolongado.

• Son generalmente estudios de mayor complejidad (en cuanto a diseño, costo y análisis) comparados con otros estudios analíticos.

• Pueden ser negativamente afectados por la pérdida de sujetos en el seguimiento. Además de la reducción en la potencia del estudio, si la pérdida de sujetos afecta heterogéneamente a las cohortes, puede generarse sesgo de selección.

• Pueden ser afectados por otras exposiciones, eventualmente no consideradas en el diseño que puedan influir en un mayor o menor riesgo de presentación del desenlace u outcome.

Volveremos más adelante a detallar estos aspectos, pero vale la pena destacar de antemano los conceptos claves en el estudio de las cohortes: 1. Las cohortes pueden tener una estructura cerrada (igual tiempo de seguimiento) o abiertas o

dinámicas (diferente tiempo de seguimiento)



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2. Cohortes cerradas permiten el cálculo de Incidencia acumulada 3. Cohortes abiertas o dinámicas deben incorporar el concepto de tiempo-persona de exposición en

su análisis. 4. Este diseño proporciona una vasta gama de indicadores de frecuencia, de riesgo absoluto y

relativo. 5. Por su estructura los estudios de cohorte son capaces de proveer tasas de incidencia.

5.10. MEDIDAS OBTENIDAS DE LOS ESTUDIOS DE COHORTES (Riesgos e

Incidencias) Un estudio de cohorte permite obtener información sobre incidencia y a partir de ésta, indicadores de riesgos absoluto y relativo.

Tipos de cohorte

Se denomina cohorte cerrada a aquella cuyos miembros son reclutados en el mismo periodo de tiempo y a la cual no ingresan personas durante el periodo de seguimiento. En consecuencia, en esta modalidad el total de miembros de la cohorte tiene períodos de seguimiento que comienzan al mismo tiempo.

Cohorte abierta o dinámica es aquella en la cual sus integrantes pueden ingresar a seguimiento en diferente momento durante el periodo que este dure. Por tanto, los miembros de esta cohorte pueden tener tiempos de exposición heterogéneos.

Incidencia

El seguimiento de individuos sanos por un período determinado de tiempo permite medir el número de casos de una enfermedad que aparecen en dicho período. Esta cifra constituye la tasa de incidencia de la enfermedad en estudio que puede ser medida para la cohorte expuesta (TI exp), la no expuesta (TI noexp) y para ambas en conjunto (TI).

La incidencia acumulada se calcula considerando todos los sujetos que presentaron el “outcome” en estudio independientemente del momento en el cual lo presentaron (“cumulative risk”). Su cálculo aplica cuando se trate de una cohorte cerrada.

Para el caso particular de un diseño de cohorte en que se permita eliminar o ingresar individuos a las cohortes después de haber iniciado el seguimiento (cohortes abiertas) seguimiento), se prefiere el término densidad de incidencia. (“incidence rate”)

La densidad de incidencia suma todos los tiempos con que efectivamente contribuyeron los individuos estudiados. El indicador se construye dividiendo el total de enfermos encontrados a lo largo del estudio por el total del tiempo de seguimiento (tiempo -persona) y amplificando según corresponda.

Riesgo

El cálculo de incidencia de la enfermedad en expuestos y no expuestos permite evaluar riesgo asociado a la condición de exposición. La relación matemática que se establezca entre estas dos medidas permite el cálculo de a lo menos seis expresiones de riesgo:

• Riesgo Relativo (en la literatura anglosajona el término “Risk Ratio” corresponde al cálculo utilizando incidencia acumulada)



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• El término “Rate Ratio” se utiliza cuando se utiliza densidad de incidencia en el cálculo

• Riesgo Atribuible,

• Riesgo Atribuible Porcentual (fracción etiológica)

• Riesgo Atribuible Poblacional.

• Riesgo Atribuible Poblacional Porcentual

Para explicar el sentido de cada una de estas medidas se puede recurrir a la tabla tetracórica, de doble entrada y que nosotros hemos llamado tabla de contingencia 2x2, en este caso, utilizando incidencia acumulada como medida de riesgo:

ENFERMOS SANOS EXPUESTOS A B A+B

NO EXPUESTOS C D C+D A+C B+D A+B+C+D

Observe que en este diseño el sentido de lectura de esta tabla de 2 x 2 es horizontal (filas), a diferencia del diseño de casos y controles, que en este caso sería vertical (columnas).

Se debe notar que a diferencia de los estudios de caso y controles, el investigador fija el total de ambas filas, (A + B) y (C + D) respectivamente)

• Celda A: expuestos que desarrollan la enfermedad (“outcome” positivo)

• Celda B: expuestos que no desarrollan la enfermedad (“outcome” negativo)

• Celda C: no expuestos que desarrollan la enfermedad (“outcome” positivo)

• Celda D: no expuestos que no desarrollan la enfermedad (“outcome” negativo)

- Tasa de incidencia en expuestos: Casos nuevos detectados en el seguimiento en la cohorte de personas expuestas.

TI Exp = A / (A + B)

- Tasa de incidencia en no expuestos. Corresponde al cociente entre el total de casos detectado en relación en la cohorte no expuesta a. factor.

TI No Exp = C / (C + D)

- Riesgo Relativo (Risk Ratio): Es el cociente entre la tasa de incidencia de la enfermedad en expuestos y la incidencia en no expuestos. Permite conocer la magnitud de riesgo o protección asociada a la exposición estudiada. Carece de unidades de medida.

RR= (A /(A+B)) / (C /(C+D) )



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El Cálculo del Intervalo de confianza para el valor del Riesgo Relativo:

- Riesgo Atribuible (RA): Es la diferencia aritmética entre la incidencia de la enfermedad en expuestos y la incidencia en no expuestos. Expresa la magnitud de la tasa de incidencia en los expuestos que es atribuible sólo al factor en estudio. Tiene unidades de medidas.

RA = ( A / (A +B) ) - ( C / (C + D) )

- Riesgo Atribuible Porcentual o fracción etiológica:(RA%): es el cociente entre el Riesgo Atribuible y la incidencia de la enfermedad en expuestos, amplificado por 100. Expresa el porcentaje que representa el Riesgo Atribuible respecto de la incidencia de enfermedad en expuestos.

RA% = (( A / (A+B) ) - (C / (C+D) )) / ( A / (A+B) ) x 100

O bien:

RA% = RA / (A/(A+B))

- Riesgo Atribuible Poblacional (RAP): es la diferencia aritmética entre la incidencia de la enfermedad en la población general y la incidencia en la población no expuesta al factor de riesgo. Expresa el valor teórico de incidencia imputable al factor de riesgo en la población.

RAP = ( (A+C) / (A+B+C+D) ) - ( C / (C+D) )

- Riesgo Atribuible Poblacional Porcentual: Es el cociente entre el Riesgo Atribuible Poblacional (RAP) y la incidencia de la enfermedad en la población total, amplificado por 100. Expresa el porcentaje que representa el Riesgo Atribuible Poblacional respecto de la incidencia de la enfermedad en el total de individuos.

RAP%= ( (A+C) / (A+B+C+D) ) - (C /(C+D)) / ((A+C) / (A+B+C+D)) x 100

Ejemplo: Un estudio de cohorte diseñado para estudiar en 200 sujetos el riesgo de desarrollo de cáncer del pulmón según el hábito de fumar de ellos, arrojó los siguientes resultados después del seguimiento:

CÁNCER SANOS EXPOSICIÓN + 20 80 100 EXPOSICIÓN - 5 95 100 25 175 200



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De acuerdo a estos valores se obtienen los siguientes resultados:

• Riesgo Relativo (“Risk Ratio”)= (20/100)/(5/100) = 4 • Riesgo Atribuible = (20/100) - (5/100) = 15 casos por cada 100 personas

• Riesgo Atribuible porcentual (RA%) = ((20/100) - (5/100))/ (20/100) = 0,75 (75%)

• Riesgo Atribuible Poblacional (RAP) = (25/200) - (5/100) = 0,075

• Riesgo Atribuible Poblacional Porcentual (RAP%) =((25/200) - (5/100))/ (25/200)= 0,60 (60%)

Si se utiliza en el seguimiento de los individuos el concepto de tiempo-persona, se puede calcular densidad de incidencia para los grupos expuestos y no expuestos respectivamente. La estructura de la tabla de contingencia adopta una forma diferente a la del caso de incidencia acumulada.

CASOS TOTAL TIEMPO-PERSONA SEGUIMIENTO EXPOSICIÓN + A T1 EXPOSICIÓN - B T2

En este caso el cálculo de densidad de incidencia corresponde a:

Densidad de incidencia en expuestos = a/ T1 Densidad de incidencia en no expuestos = b/ T2

« Rate Ratio » = (a/T1) / ( b/T2 )

Otra forma de presentar los resultados de un estudio de cohortes es mediante la utilización de la razón de mortalidad estandarizada (RME). La RME compara el número de casos o de muertes por enfermedad con una población de referencia o estándar y representa la razón entre el número de casos observados respecto del número de casos esperados de tener la población estudiada el mismo riesgo de morbilidad o mortalidad de la población de referencia.

A modo de ejemplo, en el siguiente hipotético ejemplo se tiene la información acerca de las tasas de incidencia, medidas en tiempo-persona de trabajadores expuestos a un determinado agente ambiental, según tres categorías de edad:

Casos observados después de un periodo t de seguimiento en trabajadores varones, según grupo de edad

GRUPOS DE EDAD MUERTES OBSERVADAS AÑOS-PERSONA DE SEGUIMIENTO

30 A 39 6 10,000 40 A 49 12 10,000 50 A 59 35 10,000 TOTAL 53

Si se utiliza una población de referencia, por ejemplo, proveniente de la población general, de la cual se conoce las tasas de incidencia, es posible estimar el número esperado de muertes en la población estudiada.



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Casos esperados de enfermedad de acuerdo a tasas de incidencia de población de referencia, según grupo de edad

GRUPOS DE EDAD

MUERTES

OBSERVADAS

(A)

AÑOS-PERSONA DE

SEGUIMIENTO (B)

TASA MORTALIDAD POBLACIÓN

REF ( 10 ) (C)

MUERTES

ESPERADAS (C X B)/1000

30 A 39 6 10,000 0,5 5 40 A 49 12 10,000 1,0 10 50 A 59 35 10,000 2,5 25 TOTAL 53 40

Para este ejemplo, la RME corresponderá a:

RME = (53 /40)x 100 = 132,5

En este caso, en comparación con la población de referencia, la población estudiada presenta un exceso de riesgo de 32,5%, controlado el efecto de la edad en esta comparación. 5.11. ANALISIS DE CASOS Y CONTROLES (C&C) La lógica de este diseño consiste en comparar la frecuencia de exposición a la(s) variable(s) independiente(s) estudiadas en casos y controles. Esta comparación, apoyada por la hipótesis de trabajo, busca encontrar evidencia de una mayor tasa de exposición entre los sujetos casos en comparación con los controles si el factor estudiado se comporta como un "factor de riesgo". Si la presencia del factor de exposición reduce el riesgo (factor protector), la frecuencia de exposición entre los controles debiera ser mayor que la encontrada entre los casos. El análisis dependerá de la existencia de pareamientos (emparejamientos) o “matching” en el diseño. En el caso no pareado, la unidad de análisis corresponde a cada individuo en ambos grupos y la comparación de individuos de uno y otro grupo se efectúa libremente. Si hay “matching” la comparación de las unidades de análisis se establece entre pares de observaciones (un caso, un control), tríos si la relación entre casos y controles es 1:2 ( un caso, dos controles) y así sucesivamente. El esquema general de análisis en una tabla tetracórica o de contingencia 2x2, en un estudio de casos y controles es el siguiente

Esquema básico de información en un estudio de Casos y Controles (C&C)

VARIABLE INDEPENDIENTE VARIABLE DEPENDIENTE

PRESENTE AUSENTE TOTAL PRESENTE A B F1 (A+B) AUSENTE C D F2 (C+D)

TOTAL C1 (A+C) C2 (B+D) N



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En este caso, cada celda corresponde a:

Celda A: Sujetos enfermos con antecedente de exposición Celda B: Sujetos sanos con antecedente de exposición Celda C: Sujetos enfermos sin antecedente de exposición Celda D: Sujetos sanos sin antecedente de exposición. Celda C1: Total de casos Celda C2: Total de controles Celda F1 : Total de sujetos expuestos Celda F2 : Total de sujetos no expuestos.

Nótese que el número total de sujetos en ambos grupos (Casos y Controles) son fijados a priori por el investigador (C1 y C2). Un primer análisis de esta tabla, considerando la hipótesis de trabajo, permite una rápida evaluación de la tendencia de los resultados. Si la exposición estudiada confiere riesgo, se espera encontrar una concentración de individuos en la celda a (expuestos y enfermos) y celda d (no expuestos y sanos). En estas celdas se produce concordancia con la hipótesis de trabajo (exposición / daño, no exposición / no daño). Caso no pareado: estructura de la tabla tetracórica En este caso, la comparación de individuos se realiza libremente, comparando la totalidad de los casos con la totalidad de los controles. Esto es válido independientemente del número de controles seleccionados por cada caso. Veamos la estructura de los datos en situaciones hipotéticas de estudios con relación 1:1 y 1:2 entre casos y controles respectivamente:

Caso no pareado, relación 1:1 entre casos y controles. CASOS CONTROLES 1 E N 2 E N 3 N N 4 N N 5 E E 6 E N 7 E N 8 E N 9 N E 10 N E

(E = expuesto N = No expuesto)

Exposición Casos Controles Positiva 6 3 9 Negativa 4 7 11 10 10 20



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Caso no pareado, relación 1:2 entre casos y controles. CASOS CONTROLES

1 E 1-N 11-N 2 E 2-N 12-E 3 N 3-N 13-E 4 N 4-N 14-N 5 E 5-E 15-N 6 E 6-N 16-N 7 E 7-N 17-E 8 E 8-N 18-N 9 N 9-N 19-N 10 N 10-E 20-N

EXPOSICIÓN CASOS CONTROLES

POSITIVA 6 5 11 NEGATIVA 4 15 19

10 20 30 Caso no pareado: estructura de la tabla tetracórica En la situación de pareamiento o “matching”, cambia la estructura de la base de datos, las tablas de distribución de frecuencias, así como las tablas de contingencia (que sólo es de 2 x 2 para el caso de matching 1 : 1), varían en su estructura general. Se presentan figuras con la apariencia en casos de matching 1 : 1 y más de un control por cada caso:

Caso pareado, relación 1:1 casos-controles CASOS-CONTROLES 1 E-N (CASO EXPUESTO; CONTROL NO EXPUESTO) 2 E-N 3 N-N (CASO Y CONTROL NO EXPUESTOS) 4 N-N 5 E-E (CASO Y CONTROL EXPUESTOS) 6 E-N 7 E-N 8 E-N 9 N-N

10 N-E Originando la siguiente tabla tetracórica:

CONTROLES EXP + EXP - CASOS EXP + 1 5 6 EXP - 1 3 4 2 8 10*

(*): 10 pares de comparaciones, equivalentes a 20 sujetos



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Caso pareado, relación 1:2 entre casos y controles. CASOS-CONTROLES

1 E-N-N 2 E-N-E 3 N-N-N 4 N-N-N 5 E-E-E 6 E-N-N 7 E-N-N 8 E-N-N 9 N-N-E 10 N-E-N

Distribuyéndose de esta manera en la tabla de contingencia

CONTROLES EXPUESTOS 0 INDIV 1 INDIV 2 INDIV TOTAL

CASOS EXP + 4 1 1 6 EXP - 2 2 0 4

6 3 1 10* (*): 10 tríos de observaciones (30 observaciones)

Cálculo de la tasa de exposición El primer cálculo a desarrollar es el de las tasas de exposición entre los sujetos casos y los controles, de acuerdo al siguiente planteamiento:

Esquema básico de información en un estudio de casos y controles VARIABLE DEPENDIENTE

(enfermedad) VARIABLE INDEPENDIENTE

(exposición) PRESENTE AUSENTE TOTAL PRESENTE A B F1 (A+B) AUSENTE C D F2 (C+D)

TOTAL C1 (A+C) C2 (B+D) N Tasa Exposición en casos = A / C1 x 100 o bien = A/(A+C)

Tasa Exposición en controles =B / C2 x 100 o bien = B/ (B+D) La valoración estadística de las tasas de exposición encontradas puede efectuarse mediante la aplicación de un test de comparación de proporciones, la que determinará si la diferencia existente puede o no se explicada por el azar (H0) o por la presencia de la variable independiente en estudio (H1). Establecimiento de asociación entre las variables en estudio Luego del paso anterior se procede a establecer la existencia de asociación utilizando el test de ji-cuadrado, con su correspondiente corrección de continuidad de Yates, según fuese explicado en el capítulo previo para las clásicas tablas de contingencia 2x2:



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1..;2121

)2/|(| 22 =

−−= ldeg

FFCC

NBCADNχ

Teniendo como punto de corte 5,991 para este valor, con un 95% de confianza. Vale decir, si el valor de ji-cuadrado calculado excede este valor, se está en condiciones de poder rechazar la hipótesis de nulidad H0 (falta de asociación) en favor de H1 (asociación), con 95% de confianza. Habitualmente en todo caso, la hipótesis de asociación suele haber sido comprobada previamente al desarrollo del protocolo. El paso siguiente es el cálculo del “odds ratio”. El “odds ratio” tiene la característica de cuantificar la magnitud de riesgo y a continuación se lo explica en detalle. 5.12. CALCULO DE LA RAZON DE CHANCES u “ODDS RATIO” (OR) En la literatura epidemiológica esta medida de riesgo es reconocida con las siguientes denominaciones: “odds ratio”, razón de disparidad, razón de desigualdades, razón de productos cruzados, riesgo relativo estimado, desigualdad relativa, razón de momios y otras más. Elaboración de los componentes de esta razón:

La "chance" (“odds”) de tener la enfermedad (Odds1), según se esté o no expuesto al factor corresponde a:

Odds1 = A/C1 (enfermos expuestos en relación con el total de enfermos) / C/C1 (enfermos no expuestos en relación con el total de enfermos) = (A/(A+C))/(C/(A+C))

Equivalentemente la "chance" de no tener la enfermedad, según se esté o no expuesto al factor (Odds2) corresponde a :

Odds2 = B/ C2 (sanos expuestos en relación con el total de sanos) / D/ C2 (sanos no expuestos en relación con el total de sanos)= (B/(B+D))/(D/(B+D))

Por tanto, el valor del “Odds Ratio”, que corresponde al cociente (razón ) entre estas dos "chances (u “Odds”), corresponde a:

simplificando, obtenemos la fórmula final del OR (“Odds Ratio”)

cbdaOR..

=



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Este indicador de riesgo es llamado también "razón de productos cruzados", aludiendo así a la distribución que adoptan en la tabla 2 x 2 los términos del numerador y denominador 4 . El valor calculado carece de unidades de medidas. Interpretación del valor de OR calculado Estrictamente hablando el “odds ratio” indica la magnitud de asociación entre exposición y “outcome” (en otras palabras, el riesgo de haber estado expuesto dada la enfermedad). Esta interpretación es compleja y difícil de entender, por lo que se permite su interpretación considerando el riesgo asociado o no a la exposición. Como el “odds ratio” es un buen estimador del riesgo relativo (calculado en estudios prospectivos), se utiliza esta propiedad para facilitar la comprensión del indicador. Si el cuociente calculado determina un valor de 1, esto significa que no hay asociación entre las variables analizadas (la exposición positiva o negativa no hace diferencia respecto al riesgo de enfermar). Un valor mayor que 1 indica una mayor frecuencia de exposición de la variable independiente entre los enfermos (casos). Por tanto, el factor actúa asociándose con un mayor riesgo de enfermar. Finalmente, si el valor del OR calculado es inferior a 1, esto indica mayor frecuencia de exposición entre los sujetos sanos (controles). En este caso, la presencia del factor se asocia reduce el riesgo de enfermar (actuando como un factor de protección). La valoración estadística de las asociaciones encontradas debe realizarse mediante el cálculo de los correspondientes intervalos de confianza. De acuerdo con esto, la interpretación final del OR queda dada por el siguiente esquema:

INTERVALO DE CONFIANZA VALOR ”Odds Ratio” INFERIOR SUPERIOR

TIPO DE ASOCIACIÓN

1 NO EVIDENCIA DE ASOCIACIÓN

MAYOR DE 1 >1 >1 SIGNIFICATIVA, RIESGO

MAYOR DE 1 < 1 > 1 NO SIGNIFICATIVA

MENOR DE 1 < DE 1 < DE 1 SIGNIFICATIVA, PROTECCIÓN

MENOR DE 1 < DE 1 > DE 1 NO SIGNIFICATIVA

Para el cálculo del intervalo de confianza se recurre a diferentes métodos. Uno de los más utilizado es el Woolf que utiliza la siguiente fórmula

IC OR = Exp (Ln OR ± z. Ln (ES))

donde z =parámetro de distrib. normal y Ln(ES)= RaizCuadrada(1/a+1/b+1/c+1/d) y Exp(x) es ex Ejemplo: Un grupo de investigadores estudian y difunden el resultado de una investigación destinada a valorar el nivel de protección conferido por la vacuna antisarampionosa utilizando un diseño de estudio de casos y controles. Para ello, los autores identifican a 48 niños con el antecedente de sarampión y 48 controles, en quienes indagan por el antecedente de vacunación previa, obteniendo los siguientes resultados:



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Asociación sarampión con antecedente de vacunación: casos y controles

ENFERMEDAD (SARAMPIÓN) EXPOSICIÓN

SI NO TOTAL

VACUNACIÓN + 34 46 80 VACUNACIÓN - 14 2 16

TOTAL 48 48 96 En este caso, la "tasa de exposición a la vacuna" equivale a: Entre los casos : ( 34/48) * 100 = 71% Entre los controles : (46/48) * 100 = 96%

El cálculo del valor de odds ratio (OR) para este caso en particular está dado por la expresión: OR=(34x2)/(14x46)=0.10 Respecto al intervalo de confianza para el OR calculado: . Ln OR = -2.30 Ln (ES)= RaizCuadrada(1/a+1/b+1/c+1/d)= RaizCuadrada(0.62)=0.789 Intervalo de confianza (IC) calculado al 95%, equivale a: IC OR = Exp(Ln OR ± z. Ln (ES))= Exp (Ln OR ± 1,96 (0,789)) = Exp (-2.30 ± 1,55) IC OR = IC OR = 0,021- 0,470 Luego el intervalo en el cual se mueve el valor de OR calculado fluctúa entre 0,021 y 0,47, ambos valores inferiores a 1, con un 95% de confianza. Por lo tanto, la asociación encontrada es de carácter significativo e indica una disminución significativa del riesgo de contraer sarampión en presencia del factor "vacunación" antisarampionosa. El test de ji-cuadrado efectuado entre la variable vacunación y sarampión (en la tabla de contingencia 2x2 tal como se indicó) arroja un valor de p=0.002 (valor de 10,8, con un grado de libertad), lo que permite rechazar H0 (variables no asociadas) en favor de H1 (las variables están asociadas). Esto es coincidente con lo obtenido a través del OR. Finalmente, si quisiéramos calcular el nivel de protección conferido por esta vacuna en la población estudiada, ésta estaría dada por la siguiente expresión:

Porcentaje de protección = 1 – OR

siendo el valor 1 el valor basal asumiendo que la vacuna no ejerce ningún tipo de protección. En nuestro caso, se obtiene un valor de 0,9 equivalente a un 90% de protección entre los niños estudiados en presencia del antecedente de vacunación. Los límites del intervalo de confianza corresponderían a:



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Límite inferior: 1 - 0,47 = 53% de protección Límite superior: 1 - 0,021 = 97,9% de protección En términos de notación, este resultado se expresa en términos de nivel de protección, como 90% (Intervalo de confianza al 95%: entre: 53% - 97,9%) Direccionalidad de la asociación estudiada Dado que este diseño se inicia a partir de la variable dependiente y explora retrospectivamente en el tiempo la presencia o ausencia de exposición en ambos grupos, no es posible conocer entre los casos la tasa de incidencia de la enfermedad o daño en cuestión. Para conocer el número de casos nuevos de la enfermedad o condición en estudio en un período de tiempo determinado se requiere iniciar un seguimiento de individuos sanos o libres de la condición en estudio, observando la aparición de eventos a lo largo de un período de tiempo preestablecido. En el diseño de casos y controles, el estudio se inicia a partir de un número fijo de sujetos enfermos o portadores de la condición a estudiar, ignorándose el momento en el cual apareció la enfermedad. Por tanto, por definición, dada la direccionalidad del estudio (retrospectiva), no es posible el cálculo de tasas de incidencia. Consideración de variables de confusión Siendo el objetivo de este diseño establecer la existencia de asociaciones entre variables, es de suma importancia descartar que las asociaciones evaluadas no estén dadas por variables independientes que participan indirectamente en la cadena causal pero que en último tiempo, no la explican. Nos referimos específicamente a aquellas variables que se encuentran vinculadas simultáneamente con la variable dependiente e independiente en estudio. Estas variables de confusión pueden dar origen al establecimiento de asociaciones espurias, derivadas del efecto de estas variables. Para su control, se puede recurrir a:

• Control a priori de las variables, en la etapa de diseño del estudio (“matching”)

• Análisis de la exposición y el “outcome” de acuerdo a los niveles o estratos que adopte la variable de confusión (análisis estratificado),

• Ajustando los datos, a posteriori utilizando ajuste directo o indirecto,

• Utilizando técnicas estadísticas multivariadas (análisis multivariado), tratado en textos avanzados como REMINGTON (1974) o SOKAL (1981),

• En diseños experimentales, asignando aleatoriamente la exposición entre los sujetos participantes.



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5.13. INDICES HOSPITALARIOS Para medir la eficiencia en volumen de atención de los servicios de internación, existe un conjunto de índices desarrollados específicamente con ese fin. A continuación damos una lista de alguno de los mismos:

Las causas de internación se estudian a través de:

Diagnóstico principal al egreso, de acuerdo a la Clasificación Internacional de Enfermedades (CIE) novena Revisión (8), y agrupados en los siguientes capítulos (por ejemplo): Respiratorio, Digestivo, Neurológico, Nefro-urinario, Hemato-oncológico, Alergias-mesenquimopatías, Accidentes y Miscelánea (enfermedades metabólicas, endocrinológicas, cardiovasculares, dermatológicas, etcétera).

Para evaluar producción y rendimiento de un servicio hospitalario se usan siguientes indicadores:

Número de camas totales (CT) en cada año (período habitual de estudio) del organismo dedicadas a internación

Número de camas disponibles (CD) en cada año (período habitual de estudio)es decir contando sólo las operativas

Egresos totales incluyendo altas, pases a otros servicios y fallecidos.

Días-camas disponibles (DCD) como el número de camas disponibles (CD) por los días del período considerado

Días-camas ocupadas (DCO) como el número de Días-camas ocupados por pacientes internados durante los días del período considerado

Porcentaje de ocupación expresado por la relación entre los días-camas ocupadas y los días-camas disponibles (DCO/DCD). Se calcula para el total del período así como su distribución anual y mensual.

Tiempo de estadía definido como la duración de la internación de los pacientes en el servicio. Se calculó la media global del período y por año. Normalmente se clasifica en cuatro categorías: < 2 días, de 3 a 7, de 8 a 15 y más de 15.

Giro cama expresado como la relación existente entre el número de pacientes que egresaron del servicio y las camas disponibles en el período.

Reingresos. Se considera como tal si había tenido una hospitalización previa, independientemente de la causa y del tiempo transcurrido. Queda entendido que estos índices reflejan el volumen de atención y no la calidad de la misma. La medición de la calidad de atención es sujeta hoy día a un profundo debate en el cual se buscan definir parámetros que reflejen no sólo el mejoramiento de salud del público cliente del organismo o servicio hospitalario sino además reflejar el grado de satisfacción que tienen los pacientes sobre la atención médica recibida.



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5.14. ANALISIS DE CURVAS DE SUPERVIVENCIA En epidemiología descriptiva muchas veces es necesario realizar un control de sobreviva de post-operatorios, lo que suele vincularse a la eficiencia de una técnica en particular o a la calidad de atención en ese servicio y sirve como patrón de comparación entre distintas bocas de atención quirúrgicas. Este no es necesariamente el único uso que se les puede dar a las curvas de supervivencia, toda vez que sea necesario controlar como evolucionan en el tiempo los individuos o clientes de un centro de atención, este es un método adecuado para hacerlo. En esencia se trata de un método inventarial, basado en el censo periódico de los pacientes (o clientes) del sistema. Hay que considerar que el tema no es sencillo dado que los pacientes no se operan todos al unísono como en un diseño experimental, las fechas de operación están distribuidas a lo largo de años de trabajo del servicio. El sistema se basa en el mantenimiento de un archivo (de tarjetas o base de datos por computadora) en el cual se registra (entre otras cosas) la fecha en la cual se reporta (vivo o muerto) ese paciente. No se descartan las fichas de los pacientes muertos. Cuando llega la oportunidad de efectuar una estadística actualizada se procede con los siguientes pasos: 1. Clasificar los fallecidos por último registro de años completos sobrevividos, así se obtienen los

números de pacientes m0, m1, m2, … (pacientes muertos con 0,1,2, … años completos de sobrevida)

2. Lo mismo se efectúa con los pacientes vivos según el último registro, obteniendo los números

de pacientes v0, v1, v2, … (pacientes vivos con 0, 1, 2, … años completos de sobrevida) 3. Se construye la TABLA DE SOBREVIDA siguiente:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

ULTIMO REGISTRO AÑOS COMPLETOS

DE SOBREVIDA MUERTO VIVO

TOTAL VIVOS (AL COMIENZO DEL AÑO)

PACIENTES EXPUESTOS

A SOBREVIDA

PROBABILIDAD DE MORIR EN

EL AÑO

TASA DE SOBREVIDA

(%)

0 m0 v0 t0 q0 p0 r0 1 m1 v1 t1 q1 p1 r1 2 m2 v2 t2 q2 p2 r2 3 m3 v3 t3 q3 p3 r3 … … … … … … …

10 O MAS m10 v10 t10 -.- -.- r10 Las flechas indican la dirección de completamiento de cada columna en la tabla.

COLUMNAS:

(2) y (3) Salen del control efectuado (4) t10 = m10 + v10; luego continuar hacia arriba t9=t10+m9+v9, t8=t9+m8+v8, … (5) qi = ti – vi/2; para todas las filas salvo la final (6) pi = mi / vi; para todas las filas salvo la final (7) r=100 y luego para todas las filas ri = ri-1(1- pi-1)

4. Por último se grafican los datos de la TABLA DE SOBREVIDA (Columna 7 vs. Columna 1)

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD APENDICE: TABLAS ESTADISTICAS


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APÉNDICE: TABLAS ESTADISTICAS



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TABLA I: Numeros Aleatorios

39634 62349 74088 65564 16379 19713 39153 69459 17986 24537 14595 35050 40469 27478 44526 67331 93365 54526 22356 93208 30734 71571 83722 79712 25775 65178 07763 82928 31131 30196 64628 89126 91254 24090 25752 03091 39411 73146 06089 15630 42831 95113 43511 42082 15140 34733 68076 18292 69486 80468

80583 70361 41047 26792 78466 03395 17635 09697 82447 31405 00209 90404 99457 72570 42194 49043 24330 14939 09865 45906 05409 20830 01911 60767 55248 79253 12317 84120 77772 50103 95836 22530 91785 80210 34361 52228 33869 94332 83868 61672 65358 70469 87149 89509 72176 18103 55169 79954 72002 20582

72249 04037 36192 40221 14918 53437 60571 40995 55006 10694 41692 40581 93050 48734 34652 41577 04631 49184 39295 81776 61885 50796 96822 82002 07973 52925 75467 86013 98072 91942 48917 48129 48624 48248 91465 54898 61220 18721 67387 66575 88378 84299 12193 03785 49314 39761 99132 28775 45276 91816

77800 25734 09801 92087 02955 12872 89848 48579 06028 13827 24028 03405 01178 06316 81916 40170 53665 87202 88638 47121 86558 84750 43994 01760 96205 27937 45416 71964 52261 30781 78545 49201 05329 14182 10971 90472 44682 39304 19819 55799 14969 64623 82780 35686 30941 14622 04126 25498 95452 63937

58697 31973 06303 94202 62287 56164 79157 98375 24558 99241 38449 46438 91579 01907 72146 05764 22400 94490 49833 09258 62134 87244 73348 80114 78490 64735 31010 66975 28652 36166 72749 13347 65030 26128 49067 27904 49953 74674 94617 13317 81638 36566 42709 33717 59943 12027 46547 61303 46699 76243

46574 79670 10342 89543 75030 23428 29541 32501 89422 87474 11873 57196 32209 67663 07990 12288 59245 83638 23642 61715 13862 72778 09949 23096 01791 19472 14634 31690 36602 62943 08312 27886 82321 28666 72998 22514 51054 22940 31842 54245 11071 44430 94664 91294 35163 05494 32882 23904 41340 61185

82509 11842 86963 50307 07510 32545 90717 46856 86079 13769 07426 67341 80314 58910 93948 85738 69444 09370 58194 28207 57696 25592 91221 95386 15857 84645 89659 80535 93233 82798 08074 89810 48521 90740 02687 83117 74920 25954 99629 78978 20128 53721 01518 40699 20849 04710 38989 91322 56057 58573

00190 27157 83208 79446 92987 61357 38752 55424 94518 45205 23798 55425 32454 34611 39605 39981 74691 40836 30812 38563 85306 57995 68222 39055 43890 36956 84861 63624 04961 55439 99719 36036 74274 53901 34643 06157 89500 57514 93977 42403 95970 81452 48873 00784 58347 40269 11880 43395 28249 38743

56651 91460 92462 98566 72062 18556 55052 47614 80044 60015 71499 80220 35750 67337 47556 55272 55249 79100 34014 17037 66660 78443 47545 70736 65419 77489 70831 73237 14970 23129 35483 84563 79956 88618 54619 24853 59783 47537 88822 47227 09262 25041 57862 19203 86103 02800 23198 70639 43757 52064

15502 36243 56944 74196 11016 47992 83321 36844 95655 37905 63006 20667 29630 18387 82927 92682 50480 74759 19689 27553 22617 26922 23633 98168 32839 42724 31717 35929 30727 38385 60684 98736 22731 72376 49551 04266 06183 84547 37418 80532 94628 93492 72197 34526 10422 55226 87063 14437 57439 33802



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TABLA II: Distribucion Normal (z)

P(0 z a)

a 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990



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TABLA III: Distribucion t-Student (test de dos colas) Probabilidad conforme a H0 que el |t| calculado > límite tabulado Grados de

Libertad (ν) 0.10 0.05 0.01 0.001 1 6.31 12.71 63.66 636.62 2 2.92 4.30 9.93 31.60 3 2.35 3.18 5.84 12.92 4 2.13 2.78 4.60 8.61 5 2.02 2.57 4.03 6.87 6 1.94 2.45 3.71 5.96 7 1.89 2.37 3.50 5.41 8 1.86 2.31 3.36 5.04 9 1.83 2.26 3.25 4.78 10 1.81 2.23 3.17 4.59 11 1.80 2.20 3.11 4.44 12 1.78 2.18 3.06 4.32 13 1.77 2.16 3.01 4.22 14 1.76 2.14 2.98 4.14 15 1.75 2.13 2.95 4.07 16 1.75 2.12 2.92 4.02 17 1.74 2.11 2.90 3.97 18 1.73 2.10 2.88 3.92 19 1.73 2.09 2.86 3.88 20 1.72 2.09 2.85 3.85 21 1.72 2.08 2.83 3.82 22 1.72 2.07 2.82 3.79 23 1.71 2.07 2.82 3.77 24 1.71 2.06 2.80 3.75 25 1.71 2.06 2.79 3.73 26 1.71 2.06 2.78 3.71 27 1.70 2.05 2.77 3.69 28 1.70 2.05 2.76 3.67 29 1.70 2.05 2.76 3.66 30 1.70 2.04 2.75 3.65 60 1.67 2.00 2.66 3.46 120 1.66 1.98 2.62 3.37 ∞ 1.65 1.96 2.58 3.29



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TABLA IV: Distribución F-Snedecor (p=0.05)

ν1 = Grados de libertad en el numerador ν2 = Grados de libertad en el denominador

ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

ν2 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 254,32 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,503 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,41 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,26

∞ 3,84 3,00 2,61 2,4 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,40 1,32 1,22 1,03

Tabla extraída y adaptada de “Bioestadística aplicada a Bioquímica y Farmacia”, de J.C. Azzimonti Renzo



Pag 146-175

TABLA V: Distribución F-Snedecor (p=0.01)

ν1 = Grados de libertad en el numerador ν2 = Grados de libertad en el denominador

ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

ν2 1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6107 6157 6209 6234 6260 6286 6313 6340 63662 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49 99,503 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 26,134 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,465 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,01 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,49 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,13 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,10 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,07 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,04 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,81 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60 120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38

∞ 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,19 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,48 1,33 1,05




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TABLA VI: Distribución χ2-ji cuadrado (dos colas) probabilidad conforme a H0 que χ2 calculado > límite tabulado

g.de l. p= 0.05 p = 0.01 p = 0.001

1 3.84 6.64 10.83 2 5.99 9.21 13.82 3 7.82 11.35 16.27 4 9.49 13.28 18.47 5 11.07 15.09 20.52 6 12.59 16.81 22.46 7 14.07 18.48 24.32 8 15.51 20.09 26.13 9 16.92 21.67 27.88 10 18.31 23.21 29.59 11 19.68 24.73 31.26 12 21.03 26.22 32.91 13 22.36 27.69 34.53 14 23.69 29.14 36.12 15 25.00 30.58 37.70 16 26.30 32.00 39.25 17 27.59 33.41 40.79 18 28.87 34.81 42.31 19 30.14 36.19 43.82 20 31.41 37.57 45.32 21 32.67 38.93 46.80 22 33.92 40.29 48.27 23 35.17 41.64 49.73 24 36.42 42.98 51.18 25 37.65 44.31 52.62 26 38.89 45.64 54.05 27 40.11 46.96 55.48 28 41.34 48.28 56.89 29 42.56 49.59 58.30 30 43.77 50.89 59.70



Pag 148-175

(cont.)

g.de l. p= 0.05 p = 0.01 p = 0.001 31 44.99 52.19 61.10 32 46.19 53.49 62.49 33 47.40 54.78 63.87 34 48.60 56.06 65.25 35 49.80 57.34 66.62 36 51.00 58.62 67.99 37 52.19 59.89 69.35 38 53.38 61.16 70.71 39 54.57 62.43 72.06 40 55.76 63.69 73.41 41 56.94 64.95 74.75 42 58.12 66.21 76.09 43 59.30 67.46 77.42 44 60.48 68.71 78.75 45 61.66 69.96 80.08 46 62.83 71.20 81.40 47 64.00 72.44 82.72 48 65.17 73.68 84.03 49 66.34 74.92 85.35 50 67.51 76.15 86.66 51 68.67 77.39 87.97 52 69.83 78.62 89.27 53 70.99 79.84 90.57 54 72.15 81.07 91.88 55 73.31 82.29 93.17 56 74.47 83.52 94.47 57 75.62 84.73 95.75 58 76.78 85.95 97.03 59 77.93 87.17 98.34 60 79.08 88.38 99.62 61 80.23 89.59 100.88 62 81.38 90.80 102.15 63 82.53 92.01 103.46 64 83.68 93.22 104.72 65 84.82 94.42 105.97



Pag 149-175

(cont.)

g.de l. p= 0.05 p = 0.01 p = 0.001 66 85.97 95.63 107.26 67 87.11 96.83 108.54 68 88.25 98.03 109.79 69 89.39 99.23 111.06 70 90.53 100.42 112.31 71 91.67 101.62 113.56 72 92.81 102.82 114.84 73 93.95 104.01 116.08 74 95.08 105.20 117.35 75 96.22 106.39 118.60 76 97.35 107.58 119.85 77 98.49 108.77 121.11 78 99.62 109.96 122.36 79 100.75 111.15 123.60 80 101.88 112.33 124.84 81 103.01 113.51 126.09 82 104.14 114.70 127.33 83 105.27 115.88 128.57 84 106.40 117.06 129.80 85 107.52 118.24 131.04 86 108.65 119.41 132.28 87 109.77 120.59 133.51 88 110.90 121.77 134.74 89 112.02 122.94 135.96 90 113.15 124.12 137.19 91 114.27 125.29 138.45 92 115.39 126.46 139.66 93 116.51 127.63 140.90 94 117.63 128.80 142.12 95 118.75 129.97 143.32 96 119.87 131.14 144.55 97 120.99 132.31 145.78 98 122.11 133.47 146.99 99 123.23 134.64 148.21 100 124.34 135.81 149.48



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TABLA VII: Probabilidad Binomial Acumulada (para H0: p =q = 0,5) Muestras pequeñas ( n < 26) (prueba de una cola)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n 5 31 188 500 812 969 6 16 109 344 656 891 984 7 8 62 227 500 773 938 992 8 4 35 145 363 637 855 965 996 9 2 20 90 254 500 746 910 980 998

10 1 11 55 172 377 623 828 945 989 999 11 6 33 113 274 500 726 887 967 994 12 3 19 73 194 387 613 806 927 981 997 13 2 11 46 133 291 500 709 867 954 989 998 14 1 6 29 90 212 395 605 788 910 971 994 999 15 4 18 59 151 304 500 696 849 941 982 996 16 2 11 38 105 227 402 598 773 895 962 989 998 17 1 6 25 72 166 315 500 685 834 928 975 994 999 18 1 4 15 48 119 240 407 593 760 881 952 985 996 99919 2 10 32 84 180 324 500 676 820 916 968 990 99820 1 6 21 58 132 252 412 588 748 868 942 970 99421 1 4 13 39 95 192 332 500 668 808 905 961 98722 2 8 26 67 143 262 416 584 738 857 933 97423 1 5 17 47 105 202 339 500 661 798 895 95324 1 3 11 32 76 154 271 419 581 729 846 92425 2 7 22 54 115 212 345 500 655 788 885

NOTA: Los valores de probabilidad se obtienen dividiendo por 1000 los de cada celda. Ejemplo: Si n = 23 y x = 7 la probabilidad binomial acumulada p(x≤7|N=23) es 47/1000 = 0,047

Para valores de N>25, usar N

Nxz5.0

5.0)5.0( −±= ; distribuida normalmente N(0,1) (Usar signo + si x<0.5N)




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TABLA VIII: Prueba de rangos señalados de Wilcoxon


Niveles de significación

de una cola

0,025 0,01 0,005

Niveles de significación

de dos colas

N 0,05 0,02 0,01

6 0

7 2 0

8 4 2 0

9 6 3 2

10 8 5 3

11 11 7 5

12 14 10 7

13 17 13 10

14 21 16 13

15 25 20 16

16 30 24 20

17 35 28 23

18 40 33 28

19 46 38 32

20 52 43 38

21 59 49 43

22 66 56 49

23 73 62 55

24 81 69 61

25 89 77 68



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TABLA IX: Prueba U de Mann-Whitney (rango n2 3-8)

(ensayo de una cola) n2 = 3 n2 = 4 n1 n1

U 1 2 3 U 1 2 3 4 0 0,25 0,1 0,05 0 0,2 0,067 0,028 0,014 1 0,5 0,2 0,1 1 0,4 0,133 0,057 0,029 2 0,75 0,4 0,2 2 0,6 0,267 0,114 0,057 3 0,6 0,35 3 0,4 0,2 0,1 4 0,5 4 0,6 0,314 0,171 5 0,65 5 0,429 0,243 6 0,571 0,343 7 0,443 8 0,557

n2 = 5 n2 = 6 n1 n1

U 1 2 3 4 5 U 1 2 3 4 5 6 0 0,167 0,047 0,018 0,008 0,004 0 0,143 0,036 0,012 0,005 0,002 0,0011 0,333 0,095 0,036 0,016 0,008 1 0,286 0,071 0,024 0,01 0,004 0,0022 0,5 0,19 0,071 0,032 0,016 2 0,428 0,143 0,048 0,019 0,009 0,0043 0,667 0,286 0,125 0,055 0,028 3 0,571 0,214 0,083 0,033 0,015 0,0084 0,429 0,196 0,095 0,048 4 0,321 0,131 0,057 0,026 0,0135 0,571 0,286 0,143 0,075 5 0,429 0,19 0,086 0,041 0,0216 0,393 0,206 0,111 6 0,571 0,274 0,129 0,063 0,0327 0,5 0,278 0,155 7 0,357 0,176 0,089 0,0478 0,607 0,365 0,21 8 0,452 0,238 0,123 0,0669 0,452 0,274 9 0,548 0,305 0,165 0,09 10 0,548 0,345 10 0,381 0,214 0,12 11 0,421 11 0,457 0,268 0,15512 0,5 12 0,545 0,331 0,19713 0,579 13 0,396 0,242 14 0,465 0,294 15 0,535 0,35 16 0,409 17 0,469 18 0,531



Pag 153-175

n1

U 1 2 3 4 5 6 7 0 0,125 0,028 0,008 0,003 0,001 0,001 0 1 0,25 0,56 0,017 0,006 0,003 0,001 0,001 2 0,375 0,111 0,033 0,012 0,005 0,002 0,001 3 0,5 0,067 0,058 0,021 0,009 0,004 0,002 4 0,625 0,25 0,092 0,036 0,015 0,007 0,003 n2 =7 5 0,333 0,133 0,055 0,024 0,011 0,006 6 0,444 0,192 0,082 0,037 0,17 0,009 7 0,556 0,258 0,115 0,053 0,026 0,013 8 0,333 0,158 0,074 0,037 0,019 9 0,417 0,206 0,201 0,051 0,027 10 0,5 0,264 0,134 0,069 0,036 11 0,583 0,324 0,172 0,09 0,049 12 0,394 0,216 0,117 0,064 13 0,464 0,265 0,147 0,082 14 0,538 0,319 0,183 0,104 15 0,378 0,223 0,13 16 0,438 0,267 0,159 17 0,5 0,314 0,191 18 0,562 0,365 0,228 19 0,418 0,267 20 0,473 0,31 21 0,527 0,355 22 0,402 23 0,451 24 0,5 25 0,549



Pag 154-175

n2 = 8 n1

U 1 2 3 4 5 6 7 8 t Normal 0 0,11 0,022 0,006 0,002 0,001 0 0 0 3,308 0,001 1 0,022 0,044 0,012 0,004 0,002 0,001 0 0 3,203 0,001 2 0,333 0,089 0,024 0,008 0,003 0,001 0,001 0 3,098 0,001 3 0,444 0,133 0,042 0,014 0,005 0,002 0,001 0 2,993 0,001 4 0,556 0,2 0,067 0,024 0,009 0,004 0,002 0 2,888 0,002 5 0,267 0,097 0,036 0,015 0,006 0,003 0 2,783 0,003 6 0,356 0,139 0,055 0,023 0,01 0,005 0 2,678 0,004 7 0,444 0,188 0,077 0,033 0,015 0,007 0 2,573 0,005 8 0,556 0,248 0,107 0,047 0,021 0,01 0,01 2,468 0,007 9 0,315 0,141 0,064 0,03 0,014 0,01 2,363 0,009 10 0,387 0,184 0,085 0,041 0,02 0,01 2,258 0,012 11 0,461 0,23 0,111 0,054 0,027 0,01 2,153 0,016 12 0,539 0,285 0,142 0,071 0,036 0,02 2,048 0,02 13 0,341 0,177 0,091 0,047 0,03 1,943 0,026 14 0,404 0,217 0,114 0,06 0,03 1,838 0,033 15 0,467 0,262 0,141 0,076 0,04 1,733 0,041 16 0,533 0,311 0,172 0,095 0,05 1,628 0,052 17 0,362 0,207 0,116 0,07 1,523 0,064 18 0,416 0,245 0,14 0,08 1,418 0,068 19 0,472 0,286 0,168 0,1 1,313 0,094 20 0,528 0,331 0,198 0,12 1,208 0,113 21 0,377 0,232 0,14 1,102 0,135 22 0,426 0,268 0,16 0,998 0,159 23 0,475 0,306 0,19 0,893 0,185 24 0,525 0,347 0,22 0,788 0,215 25 0,389 0,25 0,683 0,247 26 0,433 0,29 0,578 0,282 27 0,478 0,32 0,473 0,318 28 0,522 0,36 0,668 0,356 29 0,4 0,263 0,396 30 0,44 0,158 0,437 31 0,48 0,052 0,481 32 0,52




Pag 155-175

TABLA X: Prueba U de Mann-Whitney (rango n2 9-20) (ensayo de una y dos colas)

Valores críticos de U para una cola : α = 0,025 y para dos colas: α = 0,05

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127



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Valores críticos de U para una cola : α = 0,05 y para dos colas: α = 0,10

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 9 11 12 13 15 15 18 19 20 22 23 25 6 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54

10 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 42 48 54 60 65 71 77 83 89 95 101 107 17 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138




Pag 157-175

TABLA XI: Prueba de dos muestras de Kolmogorov-Smirnov Valores críticos para Kα

Una Cola Dos Colas N α = 0.05 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.01 3 3 4 4 4 5 4 5 5 5 6 5 6 5 6 7 5 6 6 6 8 5 6 6 7 9 6 7 6 7 10 6 7 7 8 11 6 8 7 8 12 6 8 7 8 13 7 8 7 9 14 7 8 8 9 15 7 9 8 9 16 7 9 8 10 17 8 9 8 10 18 8 10 9 10 19 8 10 9 10 20 8 10 9 11 21 8 10 9 11 22 9 11 9 11 23 9 11 10 11 24 9 11 10 12 25 9 11 10 12 26 9 11 10 12 27 9 12 10 12 28 10 12 11 13 29 10 12 11 13 30 10 12 11 13 35 11 13 12 14 40 11 14 13 14



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Prueba de dos muestras de Kolmogorov-Smirnov (cont.)

Para muestras grandes (n > 40)

α Valores de D > D máx

para rechazar Ho

0,10 1.22 H

0,05 1,36 H

0,025 1,48 H

0,01 1,63 H

0,005 1,73 H

0,001 1,95 H

Donde el factor es: H2 = (ν1 + ν2) / (ν1 ν2)

Las muestras pueden ser iguales o distintas




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Tabla de valores críticos de D (máxima discrepancia de frecuencias acumuladas) para una prueba de una muestra de KOLMOGOROV-SMIRNOV

(prueba de dos colas)

Nivel de significación para D

Tamaño de la

muestra (N) 0.05 0.01

1 0.975 0.995 2 0.842 0.929 3 0.708 0.828 4 0.624 0.733 5 0.565 0.669 6 0.521 0.618 7 0.486 0.577 8 0.457 0.543 9 0.432 0.514 10 0.410 0.490 11 0.391 0.468 12 0.375 0.450 13 0.361 0.433 14 0.349 0.418 15 0.338 0.404 16 0.328 0.392 17 0.318 0.381 18 0.309 0.371 19 0.301 0.363 20 0.294 0.356 25 0.27 0.32 30 0.24 0.29 35 0.23 0.27

Más de 35 N/36.1 N/63.1



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TABLA XII: Prueba de rachas de Wald-Wolfowitz

Prueba de rachas para una muestra: α = 0,05 (dos colas)

Tabla para Ho de menor o igual (todo r ≤ límite tabulado es significativo 5%)

n2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 7 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 9 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 10 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 11 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 12 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 13 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 14 2 2 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 15 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 16 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 17 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 13 18 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 19 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 13 20 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 13 13 14



Pag 161-175

Tabla para Ho de mayor o igual (todo r ≥ límite tabulado es significativo 5%)

n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n1 3 4 9 9 5 9 10 10 11 11 6 9 10 11 12 12 13 13 13 13 7 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 15 8 11 12 13 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 9 13 14 14 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18 10 13 14 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 11 13 14 15 16 17 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21 12 13 14 16 16 17 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 13 15 16 17 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 22 23 23 23 24 15 15 16 18 18 19 20 21 22 22 23 23 24 24 25 16 17 18 19 20 21 21 22 23 23 24 25 25 25 17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 25 26 26 18 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 26 26 27 19 17 18 20 21 22 23 23 24 25 26 26 27 27 20 17 18 20 21 22 23 24 25 25 26 27 27 28




Pag 162-175

TABLA XIII: Prueba de Walsh Pruebas Nivel de

significación de las pruebas Dos colas: acéptese μ1 ≠ 0 si ambas N

1 cola 2 colas Una cola: acéptese μ1 < 0 si Una cola: acéptese μ1 > 0 si 4 0.062 0.125 d4<0 d1>0

5 0.062 0.031

0.125 0.062

½(d4+d5)<0 d6<0

½(d1+d2)>0 d1>0

6 0.047 0.031 0.016

0.094 0.062 0.031

max[d5, ½(d4+d6)]<0 ½(d5+d6)<0

d6<0

min[d2, ½(d1+d3)]>0 ½(d1+d2)>0

d1>0

7

0.055 0.023 0.016 0.008

0.109 0.047 0.031 0.016

max[d5, ½(d4+d7)]<0 max[d6, ½(d5+d7)]<0

½(d6+d7)<0 d7<0

min[d3, ½(d1+d4)]>0 min[d2, ½(d1+d3)]>0

½(d1+d2)>0 d1>0

8

0.043 0.027 0.012 0.008 0.004

0.086 0.055 0.023 0.016 0.008

max[d5, ½(d4+d8)]<0 max[d6, ½(d5+d8)]<0 max[d7, ½(d6+d8)]<0

½(d7+d8)<0 d8<0

min[d3, ½(d1+d5)]>0 min[d3, ½(d1+d4)]>0 min[d2, ½(d1+d3)]>0

½(d1+d2)>0 d1>0

9

0.051 0.022 0.010 0.006 0.004

0.102 0.043 0.020 0.012 0.008

max[d6, ½(d4+d9)]<0 max[d7, ½(d5+d9)]<0 max[d8, ½(d6+d9)]<0 max[d8, ½(d7+d9)]<0

½(d8+d9)<0

min[d4, ½(d1+d6)]>0 min[d3, ½(d1+d6)]>0 min[d2, ½(d1+d5)]>0 min[d2, ½(d1+d3)]>0

½(d1+d2)>0

10

0.056 0,025 0.011 0.005

0.111 0.051 0.021 0.010

max[d6, ½(d4+d10)]<0 max[d7, ½(d5+d10)]<0 max[d8, ½(d6+d10)]<0 max[d9, ½(d6+d10)]<0

min[d5, ½(d1+d7)]>0 min[d4, ½(d1+d6)]>0 min[d3, ½(d1+d5)]>0 min[d2, ½(d1+d5)]>0

11

0.048 0.028 0.011 0.005

0.097 0.056 0.021 0.011

max[d7, ½(d4+d11)]<0 max[d7, ½(d5+d11)]<0

max[½(d6+d11), ½(d8+d9)]<0 max[d9, ½(d7+d11)]<0

min[d5, ½(d1+d8)]>0 min[d5, ½(d1+d7)]>0

min[½(d1+d6), ½(d3+d4)]>0 min[d3, ½(d1+d5)]>0

12

0.047 0.024 0.010 0.005

0.094 0.048 0.020 0.011

max[½(d4+d12), ½(d6+d11)]<0 max[d8, ½(d5+d12)]<0 max[d9, ½(d6+d12)]<0

max[½(d7+d12), ½(d9+d10)]<0

min[½(d1+d9), ½(d2+d8)]>0 min[d5, ½(d1+d8)]>0 min[d4, ½(d1+d7)]>0

min[½(d1+d6), ½(d8+d4)]>0

13

0.047 0.023 0.010 0.005

0.094 0.048 0.020 0.010

max[½(d4+d13), ½(d6+d12)]<0 max[½(d5+d13), ½(d6+d12)]<0 max[½(d6+d12), ½(d9+d10)]<0

max[d10, ½(d7+d13)]<0

min[½(d1+d10), ½(d2+d9)]>0 min[½(d1+d9), ½(d2+d8)]>0 min[½(d1+d8), ½(d4+d5)]>0

min[d4, ½(d1+d7)]>0

14

0.047 0.023 0.010 0.005

0.094 0.048 0.020 0.010

max[½(d4+d14), ½(d5+d13)]<0 max[½(d6+d11), ½(d6+d13)]<0

max[d10, ½(d5+d14)]<0 max[½(d7+d14), ½(d10+d11)]<0

min[½(d1+d11), ½(d2+d10)]>0 min[½(d1+d10), ½(d2+d9)]>0

min[d5, ½(d1+d9)]>0 min[½(d1+d8), ½(d4+d5)]>0

15

0.047 0.023 0.010 0.005

0.094 0.048 0.020 0.010

max[½(d4+d15), ½(d6+d14)]<0 max[½(d6+d15), ½(d6+d14)]<0 max[½(d8+d15), ½(d10+d11)]<0

max[d11, ½(d7+d15)]<0

min[½(d1+d12), ½(d2+d11)]>0 min[½(d1+d11), ½(d2+d10)]>0 min[½(d1+d10), ½(d5+d6)]>0

min[d5, ½(d1+d9)]>0



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Tabla extraída de Walsh, J.E. (1949) TABLA XIV: Prueba de Kruskal-Wallis (para muestras pequeñas)

Tamaño de Tamaño de muestras muestras

n 1 n 2 n 3 H p n 1 n 2 n 3 H p

2 1 1 2,700 0,500 5 2 1 5,250 0,036 5,000 0,048 2 2 1 3,600 0,200 4,450 0,071 4,200 0,095 2 2 2 4,571 0,067 4,050 0,119 3,714 0,200 5 2 2 6,533 0,008 3 1 1 3,200 0,300 6,133 0,013 5,160 0,034 3 2 1 4,286 0,100 5,040 0,056 3,857 0,133 4,373 0,090 4,293 0,122 3 2 2 5,357 0,290 4,714 0,480 5 3 1 6,400 0,012 4,500 0,067 4,960 0,048 4,464 0,105 4,871 0,052 4,018 0,095

3 3 1 5,143 0,043 3,840 0,123 4,571 0,100 4,000 0,129 5 3 2 6,910 0,009 6,822 0,010 3 3 2 6,250 0,011 5,251 0,049 5,361 0,032 5,106 0,052 5,139 0,061 4,651 0,091 4,556 0,100 4,495 0,101 4,250 0,121 5 3 3 7,079 0,009

3 3 3 7,200 0,004 6,982 0,011 6,489 0,011 5,649 0,049 5,689 0,029 5,515 0,051 5,600 0,050 4,533 0,097 5,067 0,086 4,412 0,109 4,622 0,100



Pag 164-175


5 4 1 6,955 0,008 4 1 1 3,571 0,200 6,840 0,011 4,986 0,044 4 2 1 4,821 0,057 4,860 0,056 4,500 0,076 3,987 0,098 4,018 0,114 3,960 0,102

4 2 2 6,000 0,014 5 4 2 7,205 0,009 5,333 0,033 7,118 0,010 5,125 0,052 5,273 0,049 4,458 0,100 5,268 0,050 4,167 0,105 4,541 0,098 4,518 0,101

4 3 1 5,833 0,021 5,208 0,050 5 4 3 7,445 0,010 5,000 0,057 7,395 0,011 4,056 0,093 5,656 0,049 3,889 0,129 5,631 0,050 4,549 0,099

4 3 2 6,444 0,008 4,523 0,103 6,300 0,011 5,444 0,046 5 4 4 7,760 0,009 5,400 0,051 7,744 0,011 4,511 0,098 5,657 0,049 4,444 0,102 5,617 0,050 4,619 0,100

4 3 3 6,745 0,010 4,553 0,102 6,709 0,013 5,791 0,046 5 5 1 7,309 0,009 5,727 0,050 6,836 0,011 4,709 0,092 5,127 0,046 4,700 0,101 4,909 0,053 4,109 0,086

4 4 1 6,667 0,010 4,036 0,105 6,167 0,022



Pag 165-175


4,967 0,048 5 5 2 7,339 0,010 4,867 0,054 7,269 0,010 4,167 0,082 5,339 0,047 4,067 0,102 5,246 0,051 4,623 0,097

4 4 2 7,036 0,006 4,508 0,100 6,873 0,011 5,455 0,046 5 5 3 7,578 0,010 5,236 0,052 7,543 0,010 4,555 0,098 5,706 0,046 4,445 0,103 5,626 0,051 4,545 0,100

4 4 3 7,144 0,010 4,536 0,102 7,136 0,011 5,599 0,049 5 5 4 7,823 0,010 5,576 0,051 7,791 0,010 4,545 0,099 5,666 0,049 4,477 0,102 5,643 0,050 4,523 0,990

4 4 4 7,654 0,008 4,520 0,101 7,539 0,011 5,692 0,049 5 5 5 8,000 0,090 5,654 0,054 7,980 0,100 4,654 0,097 5,780 0,049 4,500 0,104 5,660 0,051 4,560 0,100

5 1 1 3,857 0,143 4,500 0,102




Pag 166-175

TABLA XV: Valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman

(prueba de una cola)

nivel de significación (una cola) N

0.05 0.01 4 1.000 5 .900 1.000 6 .829 .943 7 .714 .893 8 .643 .833 9 .600 .783 10 .564 .746 12 .506 .712 14 .456 .645 16 .425 .601 18 .399 .564 20 .377 .834 22 .359 .508 24 .343 .485 26 .329 .465 28 .317 .448 30 .306 .432

Tabla extraída y adaptada de “Estadística No Paramétrica”, de S. Siegel



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TABLA XVI: Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación (tau) de Kendall (prueba de una cola para |τ| )

α 0,1 0,05 0,01

ν=Ν−1 4 1,000 5 0,800 1,000 6 0,733 0,867 1,000 7 0,619 0,714 0,905 8 0,571 0,643 0,786 9 0,500 0,556 0,722 10 0,467 0,511 0,644

11 0,418 0,491 0,600 12 0,394 0,455 0,576 13 0,359 0,436 0,564 14 0,363 0,407 0,516 15 0,333 0,390 0,505

16 0,317 0,383 0,483 17 0,309 0,368 0,471 18 0,294 0,346 0,451 19 0,287 0,333 0,439 20 0,274 0,326 0,421

21 0,267 0,314 0,410 22 0,264 0,307 0,394 23 0,257 0,296 0,391 24 0,246 0,290 0,377 25 0,240 0,287 0,367

26 0,237 0,280 0,360 27 0,231 0,271 0,356 28 0,228 0,265 0,344 29 0,222 0,261 0,340 30 0,218 0,255 0,333

31 0,213 0,252 0,325 32 0,210 0,246 0,323 33 0,205 0,242 0,314 34 0,201 0,237 0,312 35 0,197 0,234 0,304

36 0,194 0,232 0,302 37 0,192 0,228 0,297 38 0,189 0,223 0,292 39 0,188 0,220 0,287 40 0,185 0,218 0,285




Pag 168-175

TABLA XVII: Valores críticos para el coeficiente de correlación (r) de Pearson (correlación de 2 variables: fórmula del producto-momento)

ν=N−2 α ν=N−2 α 1 0,05 0,997 24 0,05 0,388 0,01 1,000 0,01 0,496 2 0,05 0,950 25 0,05 0,381 0,01 0,990 0,01 0,487 3 0,05 0,778 26 0,05 0,374 0,01 0,959 0,01 0,478 4 0,05 0,811 27 0,05 0,367 0,01 0,917 0,01 0,470 5 0,05 0,754 28 0,05 0,361 0,01 0,874 0,01 0,463 6 0,05 0,707 29 0,05 0,355 0,01 0,834 0,01 0,456 7 0,05 0,666 30 0,05 0,349 0,01 0,798 0,01 0,449 8 0,05 0,632 35 0,05 0,325 0,01 0,765 0,01 0,418 9 0,05 0,602 40 0,05 0,304 0,01 0,735 0,01 0,393

10 0,05 0,576 45 0,05 0,288 0,01 0,708 0,01 0,372

11 0,05 0,553 50 0,05 0,273 0,01 0,684 0,01 0,354

12 0,05 0,532 60 0,05 0,250 0,01 0,661 0,01 0,325

13 0,05 0,514 70 0,05 0,232 0,01 0,641 0,01 0,302

14 0,05 0,497 80 0,05 0,217 0,01 0,623 0,01 0,283

15 0,05 0,482 90 0,05 0,205 0,01 0,606 0,01 0,267



Pag 169-175

ν=N−2 α ν=N−2 α 16 0,05 0,468 100 0,05 0,195 0,01 0,590 0,01 0,254

17 0,05 0,456 125 0,05 0,174 0,01 0,575 0,01 0,228

18 0,05 0,444 150 0,05 0,159 0,01 0,561 0,01 0,208

19 0,05 0,433 200 0,05 0,138 0,01 0,549 0,01 0,181

20 0,05 0,423 300 0,05 0,113 0,01 0,537 0,01 0,148

21 0,05 0,413 400 0,05 0,098 0,01 0,526 0,01 0,128

22 0,05 0,404 500 0,05 0,088 0,01 0,515 0,01 0,115

23 0,05 0,396 1.000 0,05 0,062 0,01 0,505 0,01 0,081




Pag 170-175

TABLA XVIII: Valores críticos de s en el coeficiente de concordancia de Kendall

N Valores adicionales para N=3 k

3 4 5 6 7 k s Valores al nivel de significación 0.05

3 64.4 103.9 157.3 9 54.0 4 49.5 88.4 143.3 217.0 12 71.9 5 62.6 112.3 182.4 276.2 14 83.8 6 75.7 136.1 221.4 335.2 16 95.8 8 48.1 101.7 183.7 299.0 453.1 18 107.7 10 60.0 127.8 231.2 376.7 571.0 15 89.8 192.9 349.8 570.5 864.9 20 119.7 258.0 468.5 764.4 1158.7

Valores al nivel de significación 0.01 3 75.6 122.8 185.6 9 75.9 4 61.4 109.3 176.2 265.0 12 103.5 5 80.5 142.8 229.4 343.8 14 121.9 6 99.5 176.1 282.4 422.6 16 140.2 8 66.8 137.4 242.7 388.3 579.9 18 158.6 10 85.1 175.3 309.1 494.0 737.0 15 131.0 269.8 475.2 758.2 1129.5 20 177.0 364.2 641.2 1022.2 1521.9

Tabla extraída y adaptada de “Estadística No Paramétrica”, de S. Siegel

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD INDICE ALFABETICO


Pag 171-175

A

alfa · 34 ANALISIS DE CASOS Y CONTROLES · 131 ANÁLISIS DE COVARIANZA · 73 análisis de varianza · 59 análisis secuencial de pares · 86 ANCOVA · 73 ANOVA · 59 ANOVA DE DOS VÍAS · 69 ANOVA DE DOS VÍAS POR RANGOS · 101 ANOVA de Friedman · 101 ANOVA DE UNA VÍA · 66 ANOVA DE UNA VÍA POR RANGOS · 102 ANOVA FACTORIAL · 70 asociación entre las variables en estudio · 134 ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL · 52 azar · 11

B

Binomial Acumulada · 150

C

Calidad Media de Salida · 84 Cantidad media de inspección · 84 casos y controles · 131

Ch

chance · 135

C

CIEGO, DOBLE CIEGO Y TRIPLE CIEGO · 38 Cifras significativas · 14 cociente de medias cuadradas · 64 COEFICIENTE DE CONCORDANCIA · 108 COEFICIENTE DE CONTINGENCIA C · 103 coeficiente de correlación · 53 COEFICIENTE DE CORRELACION DE RANGOS · 106 COEFICIENTE DE CORRELACION PARCIAL DE

RANGO · 107 Cohorte abierta · 127 cohorte cerrada · 127 COHORTES · 122 concordancia · 170 Control de Calidad · 81 CONTROL DE CALIDAD · 77 CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE · 54 CORRELACIÓN NO LINEAL · 54 covarianza · 53 CRITERIO ESTADISTICO · 10 cuadro ANOVA · 65 CUADRO DE CONTROL DE CALIDAD 6 σ · 78

curva de Gauss · Ver Distribución Normal CURVAS DE SUPERVIVENCIA · 140

D

desenlace · 123 Desviación standard · 22 Desviación Standard · 5 determinismo · 11 Diagnóstico principal · 139 Días-camas disponibles · 139 Días-camas ocupadas · 139 diferencias entre ensayos Paramétricos y No Paramétricos · 33 DISEÑOS SIMETRICOS · 42 DISTRIBUCIÓN χ2 (JI-CUADRADO) · 89 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL · 56 DISTRIBUCIÓN DE POISSON · 56 Distribucion Normal · 143 distribución normal · 25 DISTRIBUCION ZETA · 45 distribuciones estadísticas · 21 DOCIMASIA BIOLÓGICA · 75

E

Egresos totales · 139 ENSAYO DE RECTAS PARALELAS · 75 ENSAYOS · 32 ENSAYOS AGRUPADOS · 38 ENSAYOS APAREADOS · 38 ENSAYOS NO PARAMÉTRICOS · 88 EPIDEMIOLOGIA · 111 Error Absoluto · 15 Error Relativo · 15 Error standard · 22 Error Standard · 5 errores · 14 ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II · 34 estadística · 2, 4, 10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL · 31 estrategia epidemiología · 115 estudios de cohorte · 123 EXACTITUD · 28

F

factor causal · 63 Factor de Riesgo · 118 FRACCION DE DEFECTUOSOS DEL LOTE · 83 frecuencia relativa · 12 frecuencias esperadas · 91 F-Snedecor · 65, 145

G

Giro cama · 139 GRADOS DE LIBERTAD · 61 GRÁFICOS DE CONTROL DE CALIDAD · 77



Pag 172-175

H

HIPOTESIS ALTERNATIVA · 34 HIPOTESIS ESTADISTICAS · 33 HIPOTESIS NULA · 34 histograma de barras · 19

I

Incidencia · 127 Indicadores de morbilidad · 121 Indicadores de natalidad · 120 INDICADORES SANITARIOS · 119 Índices · 120 INDICES HOSPITALARIOS · 139 interacciones · Ver ANOVA factorial Intervalo de confianza · 25

J

ji cuadrado · 147 ji-cuadrado · 89

K

Kendall · 167, 170 KENDALL · 108 KENDALL (τ) · 106 Kolmogorov-Smirnov · 157 KOLMOGOROV-SMIRNOV · 96 Kruskal-Wallis · 163 KRUSKAL-WALLIS · 102

L

LIMITES DE CONTROL 6 σ · 78

M

matriz · 55 Media aritmética · 22 MEDIA CUADRADA · 61 Mediana · 22 MEDICIONES EN EPIDEMIOLOGIA · 118 METODO DE LA EPIDEMIOLOGIA · 115 Moda · 22 Modelos teóricos en ANOVA · 66 Muestra · 16 MUESTREO · 38 MUESTREO SECUENCIAL · 81

N

Número de camas disponibles · 139 Número de camas totales · 139 Numeros Aleatorios · 142

O

Observación individual · 16 odds · Ver Chance ODDS RATIO · Ver Razón de Chances OR · Ver Razón de Chances ortogonales · 63 outcomes · Ver desenlace

P

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS · 22 pareamientos · 131 Pearson · 168 plan secuencial de muestreo · 82 Población · 16 POBLACIONES NORMALES · 45 polígono de frecuencias · 19 Porcentaje de ocupación · 139 POTENCIA DEL ENSAYO · 34 potencia relativa · 75 PRECISION · 28 probabilidad · 11 producto-momento · 168 Proporciones · 120 Prueba de bondad de ajuste · 91 PRUEBA DE LAS RACHAS · 97 PRUEBA DE LOS RANGOS · 93 PRUEBA DE LOS SIGNOS · 92 PRUEBA DE McNEMAR · 91 PRUEBA DE MOSES · 98 PRUEBA DE WALSH · 99 PRUEBA Q DE COCHRAN · 100 PRUEBA U DE MANN-WHITNEY · 95

Q

Q de Cochran · 100

R

r · 53 rachas · 98 Rango · 22 RAZON DE CHANCES · 135 razón de mortalidad estandarizada · 130 razón de productos cruzados · Ver Razón de Chances Razones · 120 REACCIONES EXTREMAS · 98 RECHAZO DE HIPOTESIS · 37 REGRESIÓN LINEAL · 53 Reingresos. · 139 Riesgo · 118 Riesgo absoluto · 118 Riesgo Atribuible · 128, 129 Riesgo Atribuible Poblacional · 128 Riesgo Atribuible Porcentual · 128 RIESGO CALCULADO · 31 Riesgo relativo · 118 Riesgo Relativo · 127, 128 Risk Ratio · Ver Riesgo Relativo



Pag 173-175

RME · Ver Razón de mortalidad estandarizada

S

sensibilidad del instrumento de medida · 15 sobrevida · 140 Spearman · 166 sucesos mutuamente excluyentes · 13 sucesos mutuamente independientes · 13 SUMA DE CUADRADOS · 61

T

tabla de contingencia 2x2 · 89 tabla tetracórica · Ver tabla de contingencia 2x2 TABLAS DE CONTINGENCIA · 89 tasa de exposición · 134 tasa de incidencia · 127 Tasa de morbilidad · 121 Tasa de mortalidad específica · 122 Tasa de prevalencia · 121 tasa resumen · 119 Tasas · 119 tau · 167 tau de Kendall · 106 TEST DE UNA COLA Y DE DOS COLAS · 36 TEST t-STUDENT · 49 t-Student · 144

U

U de Mann-Whitney · 152 unidad de análisis · 116 unidad de muestreo · 117

V

Valores normales · 48 VALORES NORMALES · 29 variables aleatorias · 14 Varianza · 5, 22 vector · 55

W

Wald-Wolfowitz · 160 WALD-WOLFOWITZ · 97 Walsh · 162 WILCOXON · 93

Z

ZETA · 45

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD BIBLIOGRAFIA


Pag 174-175

BIBLIOGRAFIA LIBROS INTRODUCTORIOS DE FACIL LECTURA Y COMPRENSION Para estudiantes, graduados e investigadores del área de las ciencias de la salud ,

el mejor texto introductorio de estadística disponible: 1. NORMAN G.R. & STREINER D.L., Bioestadística, Harcourt-Mosby, 1ra Ed., (1996)

2. MORONEY, M. J., Hechos y estadísticas, EUDEBA, 2da Ed., (1968)

3. LISON, L., Estadística aplicada a la biología experimental, EUDEBA, (1976)

4. MACCHI, R. L.,Introducción a la estadística en ciencias de la salud, Ed. Panamericana,

(2001)

5. JENICEK, M. y CLÉROUX, R., Epidemiología, Ed. Científicas y Técnicas SA, (1993)

6. JUEZ MARTEL, P. y DÍEZ VEGAS, F. J., Probabilidad y estadística en medicina, Ed. Díaz de

Santos, Madrid, (1996)

7. IRALA, J., FERNÁNDEZ-CREHUET, R. Apuntes de Epidemiología general: conceptos

teóricos y ejercicios prácticos. Pamplona: Newbook Ediciones, (1996)

LIBROS DE NIVEL INTERMEDIO QUE REQUIEREN CIERTA EXPERIENCIA

ESTADISTICA PREVIA

1. SNEDECOR, G. W., Métodos estadísticos, Ed. Continental (México), 5ª Ed, (1964)

2. SIEGEL, S., Estadística no paramétrica, Ed. Trillas (Venezuela), 3ra Ed., (1990)

3. MATHER, K., Statistical Analysis in biology, Chapman & May, 5th Ed., (1972)

4. SOKAL, R. R. y ROHLF, F. J., Biometry, WH Freeman & Co, 2ª Ed., (1981)

5. LEWIS, A. E., Bioestadística, Ed. CECSA, (1969)

6. CONOVER, W. J., Practical Nonparametric Statistics, 3rd Ed., J. Wiley & Sons, (1999)

7. REMINGTON, R. y SCHORK, M., Estadística Biométrica y Sanitaria, Prentice Hall, (1974)

LIBROS AVANZADOS PARA CONSULTA O PERFECCIONAMIENTO

1. CRÁMER, H., Teoría de probabilidad y aplicaciones, Ed. Aguilar, (1966)

ESTADISTICA PRÁCTICA PARA PROFESIONALES DE LA SALUD BIBLIOGRAFIA


Pag 175-175

2. PUGACHEV V .S., Introducción a la teoría de probabilidades, MIR (Moscú), (1973)

3. HOLLANDER, M. y WOLFE, D., Nonparametric Statistical Methods, J. Wiley & Sons, (1973)

4. FINNEY, D. J., Statistical method in biological assay, Griffin & Co,2nd Ed., (1964)

5. FEINSTEIN , A. R., Principles of Medical Statistics, Chapman & Hall/CRC, (2002)

6. PAPOULLIS, A., Probability & Statistics, Prentice Hall, (1990)

7. FISHMAN, G. S., Conceptos y métodos en la simulación digital de eventos discretos, Ed.

Limusa, México, (1978)

8. PARZEN, E., Procesos estocásticos, Ed. Paraninfo (Madrid), 1ra Ed., (1972)

9. RIFFEMBURG, R. H.; Statistics in Medicine, Academic Press, (1999)

10. STEEL, R. G. D. y TORRIE, J. H., Bioestadística: Principios y Procedimientos, McGraw-Hill,

(1985)

11. ARMITAGE, P. y BERRY, G., Statistical Methods in Medical Research, Blackwell Science,

Pub., Oxford (London), (1987)

12. DOCUMENTA GEIGY (Sección Estadística-TABLAS ESTADISTICAS), VI Edición, Basilea

(SUIZA), (1965)

LIBROS DE FACIL LECTURA PARA APRENDER LA BASE MATEMÁTICA QUE

REQUIERE LA ESTADISTICA

1. BOUTELOUP, J., Cálculo de matrices, Cuadernos EUDEBA, (1966)

Una fácil introducción al álgebra lineal que no presume ningún conocimiento previo 2. KEMENY, J. G, MIRKIL, H.,SNELL, J, L.,THOMPSON, G. L. Estructuras matemáticas finitas,

Manuales EUDEBA, (1967)

Excelente y muy ameno libro de introducción al álgebra lineal, el análisis combinatorio, la lógica y el cálculo de probabilidades y que tampoco presume ningún conocimiento previo por parte del lector más allá de las cuatro operaciones aritméticas. Es la mejor opción para complementar la cultura matemática. Altamente recomendable.

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