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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
El uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje de
Ecuaciones de la Recta, en 1° BGU de la Unidad Educativa Particular Adventista
Ciudad de Quito, en el periodo 2016 – 2017.
Trabajo de titulación presentado como requisito previo a la obtención del Grado de
Licenciada en Ciencias de la Educación, Mención: Matemática y Física
Autora: Sáenz Mantilla Gabriela Lizeth
Tutor: MSc. Edwin Vinicio Lozano
CARÁTULA
Quito, septiembre 2017
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Sáenz Mantilla Gabriela Lizeth en calidad de autora y titular de los derechos morales y
patrimoniales del trabajo de titulación: El uso de las fichas como recurso didáctico en el
proceso enseñanza aprendizaje de Ecuaciones de la Recta, en 1° BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito, en el periodo 2016 – 2017, modalidad,
de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL
DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la
Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el
uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor
todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.
Así mismo autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización
y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo
dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.
El autor declara que la obra que la obra objeto de la presente autorización es original en su
forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la
responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y
liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Sáenz Mantilla Gabriela Lizeth
C.I. 1721584173
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN
Yo, Edwin Vinicio Lozano, en mi calidad de tutor del trabajo de titulación modalidad
proyecto de investigación cuasi-experimental, elaborado por SÁENZ MANTILLA
GABRIELA LIZETH; cuyo título es ; EL USO DE LAS FICHAS COMO RECURSO
DIDÁCTICO EN EL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE ECUACIONES
DE LA RECTA, EN 1° BGU DE LA UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR
ADVENTISTA CIUDAD DE QUITO, EN EL PERIODO 2016 – 2017, previo a la
obtención de grado de Licenciada en Matemática y Física; consideró que el mismo reúne
los requisitos y méritos necesarios en el campo metodológico y epistemológico, para ser
sometido a la evaluación por parte del tribunal examinador que se designe, por lo que
APRUEBO, a fin de que el trabajo sea habilitado para continuar con el proceso de
titulación determinado por la Universidad Central del Ecuador.
En la ciudad de Quito, a los 21 días del mes de Agosto de 2017.
iv
APROBACIÓN DE LA PRESENTACIÓN ORAL/ TRIBUNAL
El tribunal está constituido por: MSc. Ana Lucía Arias, MSc. Stalyn Cazares, y MSc.
Ximena Pinos.
Luego de receptar la presentación oral del trabajo de titulación previo a la obtención del
título de Licenciada en Matemática y Física, presentado por la señorita Sáenz Mantilla
Gabriela Lizeth.
Con el título:
El uso de las Fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje de
Ecuaciones de la Recta, en 1° BGU de la Unidad Educativa Particular Adventista
Ciudad de Quito, en el periodo 2016 – 2017”.
Emite el siguiente veredicto: …………………………………………..
Fecha:……………………………………
Para constancia firman:
Nombre Apellido Calificación Firma
Presidenta MSc. Ana Lucía Arias …………………… …………………………
Vocal 1 MSc. Stalyn Cazares …………………… …………………………
Vocal 2 MSc Ximena Pinos …………………… …………………………
v
DEDICATORIA
A Dios por ser bondadoso y demostrar su infinito amor dándome la salud y vida y
permitiéndome lograr mis objetivos, por caminar junto a mí y darme la oportunidad de
llegar a finalizar mi carrera.
A mis padres Rita y Fabián por ser el pilar fundamental en mi vida, por su incondicional
apoyo en cada paso que doy, por sus consejos, sus valores, por la motivación constante que
me ha permitido ser una persona de bien y sobre todo por su inmenso amor.
Gracias infinitas papitos por ayudarme a lograr otra meta más en mi educación.
A mi esposo Byron por estar a mi lado en estos momentos, apoyarme y luchar junto a mí
en cada meta propuesta.
A mi hijo Iker por ser ahora el motivo más importante para salir adelante y cumplir
muchos más retos y ser un ejemplo para ti.
Con Mucho Cariño Gabriela Sáenz
vi
AGRADECIMIENTOS
Primero a Dios por darme la vida, a mis padres por quererme mucho, creer en mí y porque
siempre me apoyaron dedicandome su amor y tiempo incondicional, a mis hermanos que
por estar conmigo y apoyarme siempre, los quiero mucho.
A mi esposo por su paciencia y ayuda en la realización de esta investigación y a mi hijo
quien desde la barriguita estuvo conmigo.
A mis queridos maestros de la Carrera quienes me han transmitido sus conocimientos
académicos y personales, en especial a mi tutor MSc. Edwin Lozano por la paciencia y
apoyo en estos últimos meses.
Y a todas las personas que han contribuido en mi formación personal y profesional.
A todos de corazón, MUCHAS GRACIAS
Gabriela Sáenz
vii
ÍNDICE DE CONTENIDOS
CARÁTULA ....................................................................................................................................... i
DERECHOS DE AUTOR .................................................................................................................. ii
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN ............................................... iii
APROBACIÓN DE LA PRESENTACIÓN ORAL/ TRIBUNAL ................................................... iv
DEDICATORIA ................................................................................................................................ v
AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................... vi
ÍNDICE DE CONTENIDOS ........................................................................................................... vii
ÍNDICE DE TABLAS ....................................................................................................................... x
ÍNDICE DE GRÁFICOS .................................................................................................................. xi
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES ...................................................................................................... xii
ÍNDICE DE ANEXOS .................................................................................................................... xiii
RESUMEN ...................................................................................................................................... xiv
ABSTRACT ..................................................................................................................................... xv
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 1
CAPÍTULO I ...................................................................................................................................... 3
1. EL PROBLEMA ........................................................................................................................ 3
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................ 3
Contextualización. ................................................................................................................... 3
Análisis Crítico ........................................................................................................................ 7
Prognosis ................................................................................................................................ 10
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ................................................................................... 10
1.3. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN. .................................................................................... 11
1.4. OBJETIVOS. ......................................................................................................................... 11
Objetivo General. .................................................................................................................. 11
Objetivos Específicos. ........................................................................................................... 11
1.5. JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................. 11
CAPÍTULO II .................................................................................................................................. 13
2. MARCO TEÓRICO. ................................................................................................................ 13
2.1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA ................................................................................. 13
2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA........................................................................................ 15
Paradigma Educativo ............................................................................................................. 15
Tipos de paradigmas .............................................................................................................. 16
Modelo Pedagógico ............................................................................................................... 19
viii
Tipos de modelos pedagógicos .............................................................................................. 20
Teorías del aprendizaje .......................................................................................................... 24
Método pedagógico ................................................................................................................ 27
Método Didáctico ................................................................................................................... 27
Estrategias didácticas ............................................................................................................. 28
Técnicas (Recursos) .......................................................................................................... 29
Técnicas escritas ............................................................................................................... 30
Fichas ................................................................................................................................ 30
Enseñanza ......................................................................................................................... 38
Estrategias de enseñanza ................................................................................................... 39
Aprendizaje ....................................................................................................................... 39
Tipos de aprendizaje ......................................................................................................... 39
Proceso enseñanza aprendizaje ......................................................................................... 40
Evaluación de los aprendizajes ......................................................................................... 40
Tipos de evaluación .......................................................................................................... 41
Rendimiento Académico................................................................................................... 41
2.3. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS ........................................................................... 42
2.4. FUNDAMENTACIÓN LEGAL ............................................................................................ 43
2.5. CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES ............................................................................ 47
CAPÍTULO III ................................................................................................................................. 49
3. METODOLOGÍA .................................................................................................................... 49
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN. ................................................................................... 49
3.1.1. Enfoque de la investigación ................................................................................................... 49
3.1.2. Modalidad de la investigación ............................................................................................... 50
3.1.3. Nivel de profundidad ............................................................................................................. 50
3.1.4. Tipo de investigación ............................................................................................................. 51
3.1.5. Actividades del desarrollo del proyecto ................................................................................. 51
3.1.6. Pasos que se ejecutaron en el proceso de la aplicación de las fichas. .................................... 52
3.2. POBLACIÓN Y MUESTRA ................................................................................................. 53
3.2.1. Población ............................................................................................................................... 53
3.2.1. Muestra . ................................................................................................................................ 53
3.3. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES. ............................................................ 54
3.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS. ................................ 56
3.5. TÉCNICAS PARA EL PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE DATOS ............................ 56
3.5.1. Procesamiento de datos .......................................................................................................... 56
3.5.2. Análisis de datos .................................................................................................................... 57
ix
3.6. VALIDEZ Y CONFIABILIDAD DE LOS INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN .......... 57
3.6.1. Validez. ................................................................................................................................. 57
3.6.2. Confiabilidad.......................................................................................................................... 59
3.7. CRITERIO DE CONFIABILIDAD....................................................................................... 68
CAPÍTULO IV ................................................................................................................................. 69
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS .............................................................................................. 69
4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A LOS
ESTUDIANTES. ................................................................................................................... 69
4.1.1. Evaluación diagnóstica .......................................................................................................... 70
4.1.2. Evaluación Formativa 1 ......................................................................................................... 73
4.1.3. Evaluación Formativa 2 ......................................................................................................... 75
4.1.4. Evaluación Formativa 3 ......................................................................................................... 78
4.1.5. Evaluación Sumativa ............................................................................................................. 80
4.2. ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS ............................................................................. 83
4.2.1. Hipótesis de investigación ..................................................................................................... 83
4.2.2. Hipótesis nula......................................................................................................................... 83
4.2.3. Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo ................................................ 84
4.3. CÁLCULOS DE LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z ............................................................ 84
4.4. DETERMINACIÓN DE VALORES CRÍTICOS Y ZONAS DE RECHAZO. .................... 86
CAPÍTULO V .................................................................................................................................. 87
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ....................................................................... 87
5.1. CONCLUSIONES ................................................................................................................. 87
5.2. RECOMENDACIONES ........................................................................................................ 88
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 90
ANEXOS.......................................................................................................................................... 95
x
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla N° 1: Promedio de matemática en el periodo 2014-2015 ........................................... 8
Tabla N° 2: Promedio de matemática en el periodo 2015-2016. .......................................... 9
Tabla N° 3: Escala de calificaciones. .................................................................................. 42
Tabla N° 4: Población y muestra. ........................................................................................ 54
Tabla N° 5: Matriz de Operacionalización de Variables ..................................................... 55
Tabla N° 6: Validez del texto base. .................................................................................... 58
Tabla N° 7: Validez de instrumentos de evaluación. .......................................................... 58
Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica. .................................. 60
Tabla N° 9: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 1. ................................. 62
Tabla N° 10: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 2. ............................... 63
Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 3. ............................... 65
Tabla N° 12: Tabulación del instrumento de evaluación Sumativa .................................... 66
Tabla N° 13: Niveles de confiabilidad. ............................................................................... 68
Tabla N° 14: Interpretación de resultados. .......................................................................... 68
Tabla N° 15: Registro de resultados de la Evaluación Diagnóstica del Grupo Experimental.
............................................................................................................................................. 70
Tabla N° 16: Registro de resultados de la Evaluación Diagnóstica del Grupo Control. ..... 71
Tabla N° 17: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 1 del Grupo Experimental.
............................................................................................................................................. 73
Tabla N° 18: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 1 del Grupo Control. .... 73
Tabla N° 19:Registro de resultados de la Evaluación Formativa 2 del Grupo Experimental.
............................................................................................................................................. 75
Tabla N° 20: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 2 del Grupo Control ..... 76
Tabla N° 21: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 3 del Grupo Experimental
............................................................................................................................................. 78
Tabla N° 22: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 3 del Grupo Control ..... 78
Tabla N° 23: Registro de resultados de la Evaluación Sumativa del Grupo Experimental. 80
Tabla N° 24: Registro de resultados de la Evaluación Sumativa del Grupo Control. ......... 81
Tabla N° 25: Registro de valores obtenidos por evaluaciones del grupo experimental. ..... 83
Tabla N° 26: Registro de valores obtenidos por evaluaciones del grupo control. .............. 84
Tabla N° 27: Promedio de media aritmética y la desviación típica o estándar de
evaluaciones......................................................................................................................... 85
xi
ÍNDICE DE GRÁFICOS
Gráfico N° 1: Porcentaje de los promedio de los estudiantes de Primero BGU en el periodo
2014-2015. ............................................................................................................................. 8
Gráfico N° 2: Porcentaje de los promedio de los estudiantes de Primero BGU en el periodo
2015-2016. ............................................................................................................................. 9
Gráfico N° 3: Estadística Evaluación Diagnóstica. ............................................................. 72
Gráfico N° 4: Estadística Evaluación Formativa 1 .............................................................. 75
Gráfico N° 5: Estadística Evaluación Formativa 2. ............................................................. 77
Gráfico N° 6: Estadística Evaluación Formativa 3. ............................................................. 80
Gráfico N° 7: Estadística Evaluación Sumativa .................................................................. 82
Gráfico N° 8: Análisis de valores de la Z Teórico y Z Calculado. ...................................... 86
xii
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración N° 1: Tipos de paradigmas. ............................................................................... 16
Ilustración N° 2: Triangulo Humano ................................................................................... 22
Ilustración N° 3: Hexágono pedagógico .............................................................................. 23
Ilustración N° 4: Formas de las estrategias magistral, grupal e individual ......................... 29
Ilustración N° 5: Formas de las técnicas: audiovisual, escrita y verbal. ............................. 30
Ilustración N° 6: Técnica escrita fichas. .............................................................................. 31
Ilustración N° 7: Tipos de fichas ......................................................................................... 33
Ilustración N° 8: Ventajas y desventajas de las fichas ....................................................... 38
xiii
ÍNDICE DE ANEXOS
Anexo N° 1: Documento Base ............................................................................................ 95
Anexo N° 2: Oficio de asignación de tutor ....................................................................... 141
Anexo N° 3: Oficio aprobado de la aplicación de la Experimentación. ............................ 142
Anexo N° 4: Certificado de la Realización de la Investigación. ....................................... 143
Anexo N° 5: Certificado de Revisión y Corrección de Redacción, Ortografía y Coherencia
........................................................................................................................................... 144
Anexo N° 6: Certificado de Traducción del Resumen de Tesis. ....................................... 145
Anexo N° 7: Validación del Documento de Base por MSC. Paco Bastidas. .................... 146
Anexo N° 8: Validación del Documento de Base por MSc. Ángel Montaluisa. ............... 147
Anexo N° 9: Validación del Documento Base por Lic. Byron Rubio. .............................. 148
Anexo N° 10: Instrumento de Evaluación Diagnóstica ..................................................... 149
Anexo N° 11: Validación de la Evaluación Diagnóstica. .................................................. 151
Anexo N° 12: Instrumento de Evaluación Formativa 1 .................................................... 154
Anexo N° 13: Validación de Instrumento de Evaluación Formativa 1 ............................. 156
Anexo N° 14: Instrumento de Evaluación Formativa 2 .................................................... 159
Anexo N° 15: Validación de la Evaluación Formativa 2 .................................................. 161
Anexo N° 16: Instrumento de Evaluación Formativa 3 .................................................... 164
Anexo N° 17: Validación del Instrumento de Evaluación Formativa 3 ............................ 166
Anexo N° 18: Instrumento de Evaluación Sumativa ......................................................... 169
Anexo N° 19: Validación Instrumento de Evaluación Sumativa. ..................................... 171
Anexo N° 20: Diagrama “Uve Heurística” ....................................................................... 174
Anexo N° 21: Fotografías del Grupo Experimental. ......................................................... 175
Anexo N° 22: Fotografías del grupo de control ................................................................ 177
Anexo N° 23: Nómina de estudiantes ............................................................................... 178
Anexo N° 24: Certificado de notas entregadas por secretaría ........................................... 180
Anexo N° 25: Certificado de estudiantes suspendidos ...................................................... 181
Anexo N° 26: Fichas utilizadas en la experimentación. .................................................... 182
xiv
TEMA: El uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza
aprendizaje de Ecuaciones de la Recta, en 1° BGU de la Unidad Educativa Particular
Adventista Ciudad de Quito, en el periodo 2016 – 2017.
RESUMEN
En la Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de Quito” de la ciudad de Quito, se
evidenció dificultades de los estudiantes en la asignatura de Matemática lo cual se reflejó
en el bajo rendimiento académico. Por este motivo en la presente investigación se plantea
determinar la influencia del uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso
enseñanza aprendizaje de Ecuaciones de la Recta, en los estudiantes de primero BGU. Para
esto se ha diseñado un documento base y se aplicó instrumentos de evaluación para obtener
información. La presente investigación es de tipo cuasi-experimental, porque se trabajó
con dos grupos, el experimental donde se aplicaron las fichas y el grupo de control en el
cual se trabajó de forma normal. El enfoque utilizado en la investigación es cuantitativo y
con modalidad socio-educativo. Con el análisis de los resultados se concluye que aplicar
fichas como recurso didáctico influye positivamente en el proceso enseñanza aprendizaje
ya que el rendimiento del grupo experimental fue superior al del grupo de control.
PALABRAS CLAVES: MATEMÁTICA, FICHAS, PROCESO ENSEÑANZA
APRENDIZAJE, RENDIMIENTO ACADÉMICO, CUASI-EXPERIMENTAL,
ECUACIONES DE LA RECTA.
xv
TOPIC: Use of the sheets as didactic resource in the linear equations teaching
learning process, in 1° Bgu of the Adventist Particular Education Unit Ciudad
de Quito, in the period 2016-2017
ABSTRACT
In the Adventist Particular Education Unit “Ciudad de Quito” of the city of Quito, the
students demonstrated difficulties in the subject of Mathematics which was reflected in the
low academic performance. For this motive in the present investigation there considers
determining the influence of the use of sheets as didactic resource in the linear equations
teaching-learning process, in the students of first BGU year. For this a base document has
been designed and instruments of evaluation were applied to obtain information. The
present investigation is quasi-experimental type, because worked with two groups, the
experimental one where there were applied the sheets and the group of control which
worked in a normal form. The approach used in the investigation is quantitative and with
socio-educational modality. With the analysis of the results it concludes that to apply
sheets as didactic resource influences positively in the teaching-learning process since the
performance of the experimental group was superior of the group of control.
KEYWORDS: MATHEMATIC, SHEETS, TEACHING-LEARNING PROCESS,
ACADEMIC PERFORMANCE, QUASI-EXPERIMENTAL, LINEAR EQUATIONS.
1
INTRODUCCIÓN
La matemática es una de las asignaturas que presenta mayor dificultad en el aprendizaje de
los estudiantes, esto se evidencia con el bajo rendimiento académico que presentan, es por
eso que en la actualidad los docentes no deben aplicar métodos tradicionales en sus clases
y es de vital importancia manejar recursos o técnicas didácticas, para que de esta manera
los estudiantes no se aburran y lleguen a obtener un aprendizaje significativo y así alcanzar
las destrezas planificadas.
Por lo expresado anteriormente la intención de esta investigación es determinar la
influencia que produce el uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza
aprendizaje de ecuaciones de la recta en los estudiantes de primero de bachillerato de la
Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito, en el periodo 2016 – 2017. Esta
investigación se realiza en las instalaciones de la Unidad Educativa Particular Adventista
“Ciudad de Quito” que se encuentra ubicado al norte de Quito, calle Santa Lucia N7-143 y
Av. 6 de Diciembre.
Las fichas es un recurso didáctico que se puede utilizar para trabajar en formas individual o
grupal con la cual se puede motivar al estudiante para construir su propio conocimiento. La
importancia de esta investigación es motivar a los docentes a manejar fichas dentro de sus
clases y así los estudiantes se motiven y puedan subir su rendimiento académico.
La presente investigación está constituida de cinco capítulos que se resumen de la siguiente
manera:
Capítulo I, en el cual se plantea el problema y se realiza un análisis de las causas y se
menciona las posibles soluciones. Este capítulo presenta la siguiente estructura:
planteamiento del problema, formulación del problema, hipótesis de investigación,
objetivos y justificación.
Capítulo II, representa la parte teórica de la investigación, se comienza con los
antecedentes del problema en donde se redacta investigaciones realizadas anteriormente
que se relacionan con la investigación actual. En este capítulo se encuentra la
fundamentación teórica en donde se describen leyes, conceptos y teorías. También se
2
describe la fundamentación legal en la cual se basada la investigación y para concluir con
el capítulo se presenta la caracterización de variables.
Capítulo III, presenta la metodología utilizada, es decir el tipo de investigación, el
enfoque, la modalidad, el nivel de profundidad de la investigación, la población y muestra,
la operacionalización de las variables, las técnicas e instrumentos de recolección de datos,
la validez, confiabilidad de los instrumentos, las técnicas para el procesamiento y análisis
de datos.
Capítulo IV, muestra el análisis e interpretación de datos obtenidos de los instrumentos de
evaluación aplicados a los estudiantes involucrados en la experimentación. Se ocupa
tablas, gráficas y fórmulas para llegar al análisis y prueba de hipótesis mediante la prueba
paramétrica Z.
Capítulo V, trata sobre las conclusiones y recomendaciones en base al análisis e
interpretación de datos que se hace en el capítulo anterior.
Además al final también se cuenta con Bibliografía y Anexos.
3
CAPÍTULO I
1. EL PROBLEMA
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Contextualización.
- Necesidades de la educación contemporánea (Macro).
Con respecto a la educación Batalloso (2006) menciona, la educación es un fenómeno
complejo que está inmerso en prácticas personales, sociales, culturales e históricas muy
amplias. Todo acto educativo estará influenciado por dichas prácticas, en consecuencia, la
educación necesitará de un razonamiento cualitativo diferente, con el fin de evitar las
deformaciones y obstáculos que impiden el desarrollo pleno de la persona.
La educación es fundamental en el desarrollo de la humanidad ya que influye en el avance
y progreso de las personas y la sociedad. Se observa en la cita que la educación es un
fenómeno complejo que no solo provee de conocimiento si no también enriquece en
cultura, valores y todo lo que caracteriza a los seres humanos. Con el paso del tiempo ha
evolucionado el proceso enseñanza aprendizaje por la implementación de nuevas técnicas
y recursos que ayudan a que el estudiante llegue a un mejor aprendizaje.
Para Flotts et al. (2016), en su publicación Aportes para la enseñanza de la matemática en
la revista de la Organización de las Naciones Unidas mencionan:
“En la actualidad, resulta inconcebible no incluir la formación matemática
dentro de las competencias básicas que toda persona debe adquirir para
enfrentar los desafíos de la vida en sociedad. Una cotidianidad cada vez más
compleja, con mayores volúmenes de información disponibles para una
creciente cantidad de personas y con más interconexiones entre los distintos
4
ámbitos de la actividad y el conocimiento humano, pone exigencias también
cada vez mayores sobre la enseñanza de la matemática”.
Con lo expresado anteriormente se observa que la educación matemática es muy
importante ya que se abarca en algunos ámbitos de la vida cotidiana y es por eso que a lo
largo del tiempo la educación ha evolucionado, y dejado atrás una transmisión de
conocimientos a los estudiantes y dando paso al aprendizaje significativo y la formación
integral del ser humano en el cual el estudiante pasa a ser el autor intelectual del
aprendizaje. Por esta razón las instituciones educativas deben basar su enseñanza en el
manejo de diversas estrategias y técnicas didácticas.
Además, la enseñanza de las Matemática requiere la vinculación con los problemas de
situaciones de la vida cotidiana, de manera que estimule el interés en el estudiante sobre la
asignatura. Esta es una de las mayores falencias que se presenta en la educación
contemporánea, ya que los estudiantes no se involucran en este proceso.
De esta manera Rodríguez (2013) plantea como necesidades de la educación
contemporánea: el transformar a los sujetos involucrados (docente-alumno) en sujetos
actuantes, es decir se refiere a un proceso activo y participativo; una educación que
satisfaga las necesidades de formación de las generaciones actuales mediante los
requerimientos del mundo contemporáneo, una educación integral que capacite al
estudiante en todos los aspectos (conceptuales, procedimentales, actitudinales).
Durante mucho tiempo los docentes han trabajado en la asignatura de matemática de una
forma tradicional sin el uso de las técnicas o recursos didácticos y llevaron a los
estudiantes a una memorización y mecanización en el proceso de enseñanza aprendizaje.
Es necesario recordar que la educación contemporánea demanda que el proceso enseñanza
aprendizaje sea activo, que involucre las necesidades que presenta los estudiantes y en este
caso que genere el interés por la Matemática y para lograr que tengan un aprendizaje
integral los maestros deben trabajar con nuevas técnicas y recursos didácticos.
- Necesidades de la formación docente (Meso).
Según la LOEI en el Art. 112.- Del desarrollo profesional.- El desarrollo profesional es un
5
proceso permanente e integral de actualización psicopedagógica y en ciencias de la
educación. Promueve la formación continua del docente a través de los incentivos
académicos como: entrega de becas para estudios de postgrados, acceso a la
profesionalización docente en la Universidad de la Educación, bonificación económica
para los mejores puntuados en el proceso de evaluación realizado por el Instituto de
Evaluación, entre otros que determine la Autoridad Educativa Nacional.
En la cita anterior se puede observar la promoción de la formación del docente en forma
continua, lo cual ayudará al docente a mejorar sus conocimientos, habilidades y
competencias. Esta formación le traerá beneficios como se observa en el párrafo anterior,
pero lo más importante de la formación del docente es que se encuentre capacitado para
poder desarrollar sus actividades con los estudiantes dentro del aula de clases de una
manera adecuada.
A partir de la Ley Orgánica de Educación Intercultural en la actualidad en el país ha
aumentado el planteamiento de la formación de los docentes y se evidencia que es
necesaria la actualización continua de los docentes, pero es preocupante que a pesar de esto
los docentes no se están actualizando de una forma correcta y se demuestra en la falta de
interés que se produce en los estudiantes y en el número de pérdidas de año.
Latorre (2003) menciona que: "el maestro de hoy se enfrenta a grandes desafíos y la
sociedad es dinámica y se encuentra dentro de un mundo cambiante". Es por esto que los
docentes no deben conformarse solo con transmitir el conocimiento sino trascender en la
formación de los estudiantes para ello es necesario la capacitación constantemente en los
ámbitos pedagógicos y de conocimientos.
Una de las mayores falencias que se presenta en la educación ecuatoriana es que los
profesores no son profesionales graduados en áreas de docencia, sino en distintas áreas de
preparación, que trabajan en la docencia tal vez por comodidad personal. A pesar de la
buena preparación profesional que tengan los profesores no se evidencia un correcto
proceso de enseñanza aprendizaje, ya que es evidente que el aprendizaje de los estudiantes
es limitado y se aprecia en las bajas calificaciones, desánimo y hasta en la deserción de los
estudiantes en las unidades educativas. Y para evitar este tipo de inconvenientes los
docentes deben estar educándose continuamente.
6
Es importante fomentar el uso de estrategias y técnicas didácticas en la formación del
estudiante, pero para esto el docente debe estar consiente que su formación debe ser
durante toda su vida profesional, fortaleciendo sus métodos, destrezas estrategias y
técnicas didácticas, ya que se debe recordar que los docentes trabajan con seres humanos y
la formación de los mismos.
- Necesidad de la enseñanza en Matemáticas (Micro).
Según Mallart (2001), la enseñanza es la actividad humana intencional que aplica el
currículo y tiene por objeto el acto didáctico. Consta de la ejecución de estrategias
preparadas para la consecución de las metas planificadas, pero se cuenta con un grado de
indeterminación muy importante puesto que intervienen intenciones, aspiraciones,
creencias… elementos culturales y contextuales en definitiva. Esta actividad se basa en la
influencia de unas personas sobre otras. Enseñar es hacer que el alumno aprenda, es dirigir
el proceso de aprendizaje.
Es importante recalcar que la enseñanza debe ser transmitida en forma didáctica, como se
observa en la cita anterior, es hacer que los estudiantes aprendan y es por eso tan necesario
el apoyo de estrategias y técnicas de aprendizaje que faciliten este proceso de enseñanza
aprendizaje.
Si los docentes no manejan estrategias y técnicas de aprendizaje el proceso enseñanza
aprendizaje se convierte en la recepción de conocimiento sin estímulos, lo cual no permite
el desarrollo de la motivación y el rendimiento de los estudiantes, y al contario evidenciará
una actitud negativa de los estudiantes que generará que su aprendizaje sea memorístico y
sin un aprendizaje significativo.
El docente lleva un rol importante en el proceso enseñanza aprendizaje, ya que es un guía y
de él depende que los conocimientos adquiridos por los estudiantes sean significativos,
utilizados de manera correcta y le sirvan para solucionar problemas matemáticos o lo más
importante problemas de la vida cotidiana.
Cabero (2002) citado por Barroso (2003) menciona:
7
“aunque los cambios en la educación son más lentos que en otras instituciones
y sectores de la sociedad, no podemos dejar de olvidar que en las últimas
décadas, ha sufrido un cambio significativo, no sólo en lo que respecta a la
reforma de métodos, contenidos y estrategias docentes, sino también en lo que
aquí nos interesa, los recursos didácticos que el profesor ha tenido a sus
disposición para desarrollar su actividad profesional”.
En la actualidad se debe crecer constantemente en las actividades que se realiza, más aún
los docentes deben actualizarse en conocimientos, en herramientas de trabajo y en la
manera de comunicar la matemática y así poder lograr una educación de calidad que es la
que se busca, y para cumplir con este deber los docentes deben crear un ambiente
motivador donde las actividades sean atractivas ante los ojos de los estudiantes.
A la mayoría de estudiantes se le dificulta mucho aprender matemática y es evidente en la
cantidad de estudiantes que al finalizar el año lectivo se encuentran dentro de un grupo que
debe rendir un examen supletorio, por lo tanto es importante señalar que los docentes
deben estar conscientes que si desean lograr un aprendizaje significativo en sus estudiantes
deben implementar una variedad de estrategias y técnicas didácticas
Análisis Crítico
La Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de Quito” es una institución educativa
que abre sus puertas a partir 5 de Julio de 1983, se encuentra ubicada en la provincia de
Pichincha, en el cantón Quito, parroquia Belisario Quevedo en la calle Santa Lucia y
Avenida 6 de Diciembre, en el sector norte de la ciudad de Quito, funciona en la
modalidad presencial, en la jornada matutina, en la región sierra.
La institución proporciona los servicios educativos de Educación Inicial, Educación
General Básica y Bachillerato, consta con 45 aulas, laboratorios de química y
computación, auditorio, sala de profesores, local para servicio médico, biblioteca,
colecturía, departamento del DECE, inspección, secretaría, local para el bar y espacio de
recreación para los estudiantes.
8
El total de estudiantes es 700, además cuenta con una planta docente de 40 profesores
(específicamente 4 profesores de matemática), 8 personas en el área administrativa y 3 de
personal de aseo.
Los estudiantes que cursan el primer año de bachillerato en este año lectivo se encuentran
distribuidos en dos paralelos, 20 estudiantes en el paralelo A y 25 en el paralelo B.
Uno de los problemas de la Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de Quito” es
el bajo rendimiento académico en Matemática de los estudiantes de primero de
bachillerato. En el periodo 2014-2015 se realizó un análisis de los promedios en
matemática de primero de bachillerato “A” y “B” los cuales se presentan en la siguiente
tabla.
Tabla N° 1: Promedio de matemática en el periodo 2014-2015
Curso y paralelo Número de estudiantes Promedio
1° BGU A 31 6,99
1° BGU B 30 6,91
Fuente: Secretaría de la institución
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Gráfico N° 1: Porcentaje de los promedio de los estudiantes de Primero BGU en el
periodo 2014-2015.
Fuente: Secretaría de la institución
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
6,99 6,91
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1° BGU A 1° BGU B
Cal
ific
acio
ne
s
Promedios
Calificaciones periodo 2014-2015
9
En los resultados presentados por la tabla y gráfica se puede observar que en el periodo
2014-2015 el promedio de los dos cursos es de 6,99 sobre 10 y 6,91 sobre diez, según la
escala de calificaciones de la LOEI se encuentran entre 5-7 que significa que los
estudiantes está próximos a alcanzar los aprendizajes requeridos para ser promovido de año
Es evidente que en el período 2014 -2015 los estudiantes tiene un bajo rendimiento
académico y que con el promedio obtenido los estudiantes no podrían ser promovidos
directamente de año ya que están próximos a alcanzar los aprendizajes requeridos.
También en el periodo 2015-2016 se realizó un análisis de los promedios en matemáticas
de primero de bachillerato de los dos paralelos “A” y “B”, los cuales constan de 22
estudiantes y 26 estudiantes respectivamente, obteniendo los siguientes resultados.
Tabla N° 2: Promedio de matemática en el periodo 2015-2016.
Curso y paralelo Número de estudiantes Promedio
1° BGU A 22 7,54
1° BGU B 25 7,31
Fuente: Secretaría de la institución
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Gráfico N° 2: Porcentaje de los promedio de los estudiantes de Primero BGU en el
periodo 2015-2016.
Fuente: Secretaría de la institución
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
7,54 7,31
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1° BGU A 1° BGU B
Cal
ific
acio
ne
s
Promedios
Calificaciones periodo 2015-2016
10
En los resultados presentados por la tabla y gráfica se puede observar que en el periodo
2015-2016 el promedio de los dos cursos es de 7,54 sobre 10 y 7,31 sobre diez, según la
escala de calificaciones de la LOEI se encuentran entre 7-9 que significa que los
estudiantes alcanzan los aprendizajes requeridos para ser promovido de año.
Prognosis
En base a lo mencionado anteriormente, con este proyecto se pretende mejorar el
rendimiento académico en la asignatura de matemática de los estudiantes, el cual se
encuentra bajo debido a que los docentes de la institución continúan aplicando estrategias y
técnicas tradicionales para la enseñanza de la matemática, dejando de lado aspectos muy
importantes como son las estrategias y técnicas didácticas, por lo tanto los estudiantes no
se encuentran motivados y no pueden obtener el aprendizaje significativo que es lo que se
espera.
De seguir trabajando de esta manera en la institución a más de un bajo rendimiento, el
número de estudiantes que pierdan el interés en aprender matemática será cada vez mayor
y así se incrementará la perdida de año.
La solución que se pretende para este problema es mejorar el uso de técnicas o recursos
didácticos y así superar las dificultades que tienen los estudiantes mencionados
anteriormente. Tomando en cuenta que los beneficiados serán los estudiantes, el área de
matemática, la institución y la comunidad educativa.
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Basándose en todo lo descrito anteriormente en el planteamiento del problema es necesario
investigar:
¿Influye el uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje
de ecuaciones de la recta, en el Primero BGU de la Unidad Educativa Particular Adventista
Ciudad de Quito, en el periodo 2016-2017?
11
1.3. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN.
Hi: El uso de las fichas como recurso didáctico influye en el proceso enseñanza
aprendizaje de ecuaciones de la recta de los estudiantes del Primero BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito.
Ho: El uso de las fichas como recurso didáctico no influye en el proceso enseñanza
aprendizaje de ecuaciones de la recta de los estudiantes del Primero BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito.
1.4. OBJETIVOS.
Objetivo General.
Establecer la influencia del uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso
enseñanza aprendizaje de ecuaciones de la recta, en el Primero BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito en el periodo 2016-2017
Objetivos Específicos.
a. Construir un documento base para la enseñanza de Ecuaciones de la recta
b. Elaborar instrumentos de evaluación sobre Ecuaciones de la recta
c. Validar con expertos el desarrollo científico y redacción del texto base y los
instrumentos de evaluación construidos
d. Utilizar las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje de
Ecuaciones de la recta
1.5. JUSTIFICACIÓN
Ante los problemas de bajo rendimiento académico que presentan los estudiantes de
12
Primero de Bachillerato de la Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito que
han sido presentados en datos anteriormente facilitados por la secretaria de la institución,
es de gran necesidad realizar una investigación para identificar las falencias en el proceso
enseñanza aprendizaje de matemática y así contrarrestar el problema que se ha venido
presentando, ya que como se mencionó anteriormente conllevará a una deserción escolar o
una pérdida de año. Es por eso que esta investigación es de gran valor para solucionar
dichas falencias.
La investigación es factible ya que se cuenta con el apoyo de la institución, porque existe
un gran interés por parte de las autoridades en el uso de nuevas estrategias, técnicas o
recueros didácticos, en este caso el uso de las fichas, debido a que el objetivo de la
utilización de este recurso es mejorar el nivel académico de los estudiantes.
Además esta investigación beneficiara principalmente y directamente a los estudiantes, y a
los docentes en forma indirecta en el proceso enseñanza aprendizaje, ya que al momento de
utilizar las fichas se despertara el interés de los estudiantes por aprender y aumentar la
creatividad en la asignatura de Matemática, lo que conlleva a un beneficio de la Unidad
Educativa Adventista Ciudad de Quito por que se reconocerá de mejor manera su calidad
educativa y también favorecerá a la Comunidad Educativa por que se formaran estudiantes
con aprendizajes significativos listos para poner en práctica sus conocimientos en el diario
vivir.
13
CAPÍTULO II
2. MARCO TEÓRICO.
2.1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA
Para sustento de la presente investigación se muestra a continuación resultados de
investigaciones realizadas relacionadas con el problema de estudio.
Antecedente I
INFLUENCIA DEL USO DE TÉCNICAS DIDÁCTICAS (RECURSOS) EN EL
RENDIMIENTO ACADÉMICO EN LA ASIGNATURA DE GEOMETRÍA DE LOS
ESTUDIANTES DE TERCERO DE BACHILLERATO ESPECIALIDAD FÍSICO
MATEMÁTICO DEL COLEGIO MENOR UNIVERSIDAD CENTRAL, DURANTE
EL AÑO LECTIVO 2012-2013
Autor: Elda Teresa Quichimbo Cuenca
Metodología: enfoque cuanti-cualitativo, modalidad de Proyecto Socioeducativo, nivel de
una investigación exploratoria y descriptiva.
Conclusiones:
Según las encuestas aplicadas a los estudiantes se puede indicar que “casi nunca” se
utilizan técnicas audiovisuales en el desarrollo de las clases de Geometría ya el porcentaje
promedio es de 49%
Los estudiantes señalan que las técnicas escritas se utilizan “algunas veces” en el
desarrollo de las clases de Geometría, el porcentaje de utilización es del 61%.
14
En cuanto se refiere a las técnicas verbales los estudiantes manifiestan que se utilizan
“algunas veces” en el desarrollo de las clases de Geometría este porcentaje corresponde un
valor total del 66%.
Antecedente II
INFLUENCIA DE LAS TÉCNICAS ACTIVAS DE APRENDIZAJE EN EL
PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA EN LOS
ESTUDIANTES DE SEGUNDO DE BACHILLERATO DEL COLEGIO
PARTICULAR “ARISTÓTELES”
Autor: Andrea Karina Masabanda Querembás
Metodología: Tipo de investigación documental y de campo,
Conclusiones:
La influencia de las técnicas activas de aprendizaje las Técnicas Escritas, se obtuvo una
media aritmética de 4,03 equivalentes al 81% y de la opinión de los docentes se obtuvo una
media aritmética de 4,5 equivalente al 90%; por lo cual se concluye que su utilización es
de “casi siempre” en el proceso de enseñanza - aprendizaje de Matemática en el segundo
año de Bachillerato del Colegio Particular “Aristóteles”.
La influencia de las técnicas activas de aprendizaje en los Tipos de Aprendizaje, según la
opinión de los encuestados se obtuvo una media aritmética de 3,95 equivalentes al 79% y
de la opinión de los docentes se obtuvo una media aritmética de 4,3 equivalente al 87%;
por lo cual se concluye que su utilización es de “casi siempre” en el proceso de enseñanza -
aprendizaje de Matemática en el segundo año de Bachillerato del Colegio Particular
“Aristóteles”.
Antecedente III
LOS ORGANIZADORES GRÁFICOS COMO RECURSO DIDÁCTICO EN EL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA EN LOS
ESTUDIANTES DE OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA DE LA UNIDAD
15
EDUCATIVA SANTA MARÍA EUFRASIA, DURANTE EL AÑO LECTIVO 2012-
2013
Autor: Luis Fernando Panchez Morales
Metodología: enfoque cuanti – cualitativo, modalidades de investigación: Investigación de
Campo, Investigación Documental, Proyectos de Desarrollo, Proyectos Especiales
Conclusiones:
Para los organizadores gráficos conceptuales se observa un bajo uso en los mapas
semánticos y diagramas de Venn, que deja ver, una falencia en la enseñanza de la
matemática al usar poco los diagramas de Venn que son primordiales para el aprendizaje
numérico en el área de conjuntos.
En lo que respecta a uso de los organizadores gráficos secuenciales el de menor utilización
fue el diagrama de flujo, con una media de uso de 1,9 frente a la línea de tiempo con una
media de utilización de 2,6.
El tipo de aprendizaje más común entre los estudiantes de matemáticas de los estudiantes
de Octavo Año de Educación General Básica de la Unidad Educativa “Santa María
Eufrasia” durante el análisis realizado es el aprendizaje por descubrimiento guiado y
significativo, donde se observa una dependencia muy clara para el aprendizaje entre el
estudiante y el docente.
2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Paradigma Educativo
Según García (2008), en el desarrollo de las ciencias sociales, los paradigmas han
significado las experiencias, creencias y valores que permiten percibir la realidad, la forma
de responder a esta percepción y en general, la manera de entender el mundo y el
conocimiento.
16
Se puede concluir que un paradigma educativo es un modelo que cumple un rol importante
en las instituciones educativas, ya que forma una base en el que se desarrolla la ciencia y
nos permite aceptar leyes, teorías e instrumentaciones de una realidad educativa.
Tipos de paradigmas
Según Orozco (2009), los paradigmas que han sido considerados como modelos a seguir en
el proceso enseñanza aprendizaje se clasifican en cinco paradigmas psicopedagógicos:
Conductista, Humanista, Cognitivo, Sociocultural y Constructivismo:
A continuación se explica cada tipo de paradigma de formas más amplia:
Ilustración N° 1: Tipos de paradigmas.
Fuente: Cuadro comparativo- Paradigmas educativos (Orozco, 2009)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
2.2.3.1. Paradigma Conductista
El paradigma conductista estudia la conducta de los individuos, en este paradigma el
aprendizaje se realiza mediante repetición, es decir el estudiante repite lo que el docente le
enseña.
Tip
os
de
par
adig
mas
Conductista
Humanista
Cognitivo
Sociocultural
Constructivismo
17
Según Hernández (2010), el profesor es una persona dotada de competencias aprendidas,
que transmite conforme a una planificación realizada en función de objetivos específicos.
El estudiante en este paradigma actúa como el receptor de los conocimientos del profesor,
por lo que es un actor pasivo dentro del aprendizaje. Según Hernández (2010), un alumno
“es considerado como un receptor de las informaciones, su misión es aprenderse lo que se
le enseña”.
Otra de las características de este paradigma es que el docente proporciona información al
estudiante y esta debe ser adquirida. Según Hernández (2010), “el modelo de enseñanza
subyacente es un modelo que al condicionar facilita el aprendizaje”. Por lo cual se entiende
que el aprendizaje está basado en estimulo-respuesta.
2.2.3.2. Paradigma Humanista
Según Hernández (2010), el paradigma humanista aprecia que la personalidad humana está
en proceso de desarrollo, que es una totalidad y que ha de ser estudiada en el contexto
interpersonal y social. En este paradigma se considera que el ser humano es libre de crear
su propia personalidad a través de sus propias elecciones o decisiones y que éstas
continuamente las toma conforme se le van presentando retos y dilemas de la vida misma.
En el paradigma humanista el maestro es solamente un facilitador que apoya en el aula y
fomenta la cooperatividad entre las estudiantes, así como su creatividad y autoaprendizaje.
Mientras que el estudiante busca un aprendizaje significativo, solucionando problemas con
iniciativa siendo únicos y diferentes a los demás.
La forma de evaluación de este paradigma es la autoevaluación, la autocrítica para fomenta
la creatividad de los estudiantes.
2.2.3.3. Paradigma Cognitivo
El paradigma cognitivo señala que la educación debe orientarse al desarrollo de las
habilidades de aprendizaje. Erazo (2012) menciona, la enseñanza-aprendizaje se basa en
18
los procesos en que el estudiante aprende, procesa la información, da significación y
sentido a lo aprendido, el maestro es instructor, mediador y facilitador de los contenidos.
En este paradigma el estudiante en el proceso de enseñanza aprendizaje es un sujeto activo,
el cual procesa la información con el fin de aprender a solucionar problemas. El docente es
un facilitador que ayuda al estudiante a reflexionar y pensar.
En conclusión en el paradigma cognitivo el estudiante pasa a ser el actor principal y el
maestro un facilitador que tomara en cuenta las capacidades y necesidades del estudiante.
La evaluación en este paradigma es formativa y sumativa.
2.2.3.4. Paradigma Sociocultural
El paradigma sociocultural también llamado históricocultural, fue introducido por
Vygotsky a partir de la década de 1920.
Según Orozco (2009), en el paradigma sociocultural el individuo aunque importante no es
la única variable en el aprendizaje. Su historia personal, su clase social y
consecuentemente sus oportunidades sociales, su época histórica, las herramientas que
tenga a su disposición, son variables que no solo apoyan el aprendizaje sino que son parte
integral de él.
Medina (1996) citado en Hernández (2010), afirma que “El profesor debe ser entendido
como un agente cultural que enseña en un contexto de prácticas y medios
socioculturalmente determinados, y como un mediador esencial entre el saber sociocultural
y los procesos de apropiación de los alumnos”. El profesor en el proceso instruccional para
la enseñanza de algún contenido en un inicio debe ser sobre todo "directiva",
posteriormente con los avances del alumno en la adquisición del contenido, se va
reduciendo su participación al nivel de un "espectador empático".
Para Hernández (2010), “El alumno debe ser entendido como un ser social, producto y
protagonista de las múltiples interacciones sociales en que se involucra a lo largo de su
vida escolar y extraescolar”. Lo cual conlleva a entender que el alumno es un sujeto activo,
social, protagonista que participa en su desarrollo y reconstruye los saberes.
19
Mientras que Bruner (1988), citado en Hernández (2010), afirma que se deben entender los
procesos educativos en general como “foros culturales”. Esto es, como espacios en los que
los enseñantes y los aprendices negocian, discuten, comparten y contribuyen a reconstruir
los códigos y contenidos curriculares.
2.2.3.5. Paradigma constructivista
Según Luna (2011), el Paradigma Constructivista sostiene que el aprendizaje es
esencialmente activo. Una persona que aprende algo nuevo, lo incorpora a sus experiencias
previas y a sus propias estructuras mentales. El aprendizaje no es ni pasivo ni objetivo, por
el contrario es un proceso subjetivo que cada persona va modificando constantemente a la
luz de sus experiencias.
El papel del docente en este paradigma es de coordinador, facilitador, mediador, guía que
debe interesarse en promover el aprendizaje autogenerado en los estudiantes. Mientras que
los estudiantes son autores principales constructores de su propio conocimiento.
De los paradigmas presentados anteriormente la presente investigación se fundamente con
el paradigma sociocultural porque la actuación del profesor en el proceso de la enseñanza
de destrezas en un inicio debe ser directiva y después con los avances del alumno en la
adquisición de dichas destrezas su participación se reduce, lo que conlleva a entender que
el alumno es un sujeto activo en su desarrollo y además son muy necesarias las
herramientas que el estudiante tenga a su disposición. Se puede entender como
herramientas a las estrategias y recursos didácticos, en este caso las fichas.
Modelo Pedagógico
Gago (2002), señala que un modelo pedagógico es una representación arquetípica o
ejemplar del proceso de enseñanza-aprendizaje, en la que se exhibe la distribución de
funciones y la secuencia de operaciones en la forma ideal, que resulta de las experiencias
recogidas al ejecutar una teoría del aprendizaje.
Un modelo pedagógico es una síntesis de un enfoque pedagógico que orienta a los
docentes en la elaboración y análisis de programas de estudio, en la sistematización del
20
proceso de enseñanza-aprendizaje.
Tipos de modelos pedagógicos
De Zubiria (2006), afirma que los modelos pedagógicos se dividen en tres: modelo
heteroestructurante, modelo autoestructurante y modelo interestructurante.
2.2.5.1. Modelo Heteroestructurante
El modelo heteroestructurante de la escuela tradicional ha dominado la mayor parte de las
instituciones educativas a lo largo de la historia, siendo prácticamente la única hasta fines
del siglo XIX.
De Zubiría (2006), menciona que el estudiante es un elemento cognitivo pasivo del proceso
que debe aprender la lección enseñada. Como se supone que el estudiante siempre aprende
igual, el maestro debe enseñar siempre igual, es por esto que la explicación de los docentes
para los malos resultados escolares está relacionada con la atención y el cumplimiento de
los deberes: “No atiende a clase”, “se distrae con frecuencia”, “habla con los compañeros”.
También, expone que la disciplina creará ambiente el aprendizaje; garantizarla es asunto de
castigos severos a los infractores.
En conclusión en el modelo heteroestructurante se propone lograr el aprendizaje mediante
la transmisión de información, donde el docente es el que elige los contenidos y la forma
en que se dictan las clases, siendo un reproductor de saberes rígido y autoritario; donde se
tiene en cuenta las disciplinas de los estudiantes quienes son actores pasivos dentro del
proceso de formación, pues simplemente son receptivos, memoritas y acatan las normas
implantadas por el docente. La evaluación en este modelo es “al pie de la letra” los
conocimientos y las normas enseñadas
2.2.5.2. Modelo Autoestructurante
El modelo autoestructurante se analiza desde dos puntos de vista que son: la escuela activa
y el constructivismo.
21
En la escuela activa también llamada la escuela nueva según De Zubiría (2006), se debe
permitir al estudiante actuar y pensar a su manera, favoreciendo su desarrollo espontáneo,
en el cual el maestro cumpla un papel de segundo orden y se libere el ambiente de
restricciones y obligaciones propias de la Escuela Tradicional. El docente deja su
connotación de maestro y se convierte en guía, en acompañante o en facilitador
Este modelo defiende que se debe preparar al estudiante para enfrentar la vida, es por eso
que los contenidos no deben apartarse de ella; el estudiante debe ser feliz y la finalidad de
la educación no debe ser solamente cognitiva e instructiva, sino debe permitir al estudiante
observar, trabajar y experimentar con la realidad.
Según De Zubiría (2006), en el constructivismo la finalidad de la educación será alcanzar
la comprensión cognitiva, para favorecer el cambio conceptual.
El constructivismo ha reconocido el papel activo del estudiante en todo proceso de
aprendizaje, más que trabajar con los contenidos se enfoca en el proceso y actividades
desarrolladas por los estudiantes y debe ser mediante la investigación, exploración y
reflexión.
El docente es un facilitador que crear situaciones problema para que el estudiante
reflexione sobre sus propias conclusiones y llegue al conocimiento. La evaluación debe ser
cualitativa, integral e individualizada, ya que no se puede comprarse a los estudiantes.
2.2.5.3. Modelo Interestructurante
El modelo interestructurante está basado en el enfoque vygotskiano, el propósito de la
escuela no es el conocimiento y el aprendizaje, sino el desarrollo completo del ser humano
en las capacidades cognitivas, afectivas y praxeológicas.
En este modelo el proceso de aprendizaje se realiza por medio de fases y niveles de
complejidad crecientes, el conocimiento del estudiante debe ser la base para desarrollo. El
docente es un mediador; en el proceso de enseñanza aprendizaje se combina la clase
magistral y el dialogo y la metodología se adapta a los intereses del estudiante.
22
De los modelos pedagógicos mencionados la investigación se basa en el Modelo
Interestructurante debido al modelo pedagógico con el que se trabaja en la institución, que
es el Modelo Pedagógico Conceptual en el cual es muy importante la parte cognitiva,
afectiva y praxeológica.
2.2.5.4. Modelo Pedagógico del Colegio
El modelo pedagógico que utiliza la Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de
Quito” se basa en la aplicación del Modelo de Pedagogía Conceptual que es modelo
pedagógico colombiano implementado por Miguel De Zubiría apoyado en amplio número
de colaboradores y cuya orientación fundamental es el desarrollo de la inteligencia en
todas sus manifestaciones.
La estructura básica de la pedagogía conceptual está integrada por 2 postulados básicos,
uno psicológico y otro pedagógico, que incluyen 12 macro proposiciones (modelos
pedagógicos, 2012)
Postulados de la Pedagogía Conceptual:
Ilustración N° 2: Triangulo Humano
Fuente: Modelos pedagógicos. 2012
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Sistema cognitivo
Sistema afectivo
Sistema expresivo
23
Propósitos Enseñanzas
Evaluación Secuencia
Didáctica Recursos.
1. Triángulo humano: El ser humano está integrado por 3 sistemas: sistema cognitivo,
sistema afectivo y sistema expresivo.
Macro proposición 1: El sistema cognitivo aplica a la realidad instrumentos de
conocimiento para producir conocimientos mediante sus diversas operaciones
intelectuales.
Macro proposición 2: Los seres humanos disponen de múltiples y diversas inteligencias
para comprehender las realidades, cada una constituida por motivaciones, operaciones
intelectuales e instrumentos de conocimiento específicos a un campo significativo de la
actividad humana.
Macro proposición 3: Las operaciones valorativas desempeñan 3 funciones básicas:
valorar, optar y proyectar.
Macro proposición 4: El sistema afectivo evalúa hechos humanos al aplicarles
operaciones e instrumentos valorativos.
Macro proposición 5: Es necesario distinguir en el sistema expresivo, los códigos y los
textos.
Macro proposición 6: El aprendizaje agrupa a los mecanismos que operan al adquirir
instrumentos, o al consolidar operaciones intelectuales, valorativas y expresivas.
2. Hexágono pedagógico: Todo acto educativo incluye 6 componentes: propósitos,
enseñanzas, evaluación, secuencia, didáctica y recursos.
Fuente: Modelos pedagógicos. 2012
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
HEXÁGONO
PEDAGÓGICO
Ilustración N° 3: Hexágono pedagógico
24
Macro proposición 7: El propósito fundamental de la pedagogía conceptual es formar
hombres y mujeres amorosos, talentosos intelectualmente (analistas simbólicos) y
competentes expresivamente.
Macro proposición 8: Las enseñanzas que privilegia la pedagogía conceptual son los
instrumentos de conocimiento y las operaciones sobre los conocimientos, los valores sobre
las normas y valoraciones y el dominar códigos expresivos (lenguajes)
Macro proposición 9: La enseñanza conceptual ocurre en 3 momentos: fase elemental,
fase básica y fase de dominio.
Macro proposición 10: En la planeación del currículo es esencial respetar la secuencia
evolutiva, así como la secuencia inherente a toda enseñanza.
Macro proposición 11: La enseñanza de instrumentos de conocimiento (a diferencia del
enseñar información) está condicionada a hacer funcionar las operaciones intelectuales, de
ahí que existan tantas didácticas posibles.
Macro proposición 12: Los recursos didácticos deben apoyarse en el lenguaje o
representar realidades materiales, por cuanto el pensamiento está intrínsecamente ligado
con el lenguaje.
Teorías del aprendizaje
Según Castañeda (1987), mencionado por Escamilla (2000), define teoría de aprendizaje
como: “un punto de vista sobre lo que significa aprender. Es una explicación racional,
coherente, científica y filosóficamente fundamentada acerca de lo que debe entenderse por
aprendizaje, las condiciones en que se manifiesta éste y las formas que adopta; esto es, en
qué consiste, cómo ocurre y a qué da lugar el aprendizaje”
Urbina (2003), considera que la expresión “teorías del aprendizaje” se refiere a aquellas
teorías que intentan explicar cómo aprendemos.
Al revisar los párrafos anteriores se puede concluir que las teorías del aprendizaje son
aquellas que realizan la descripción de un proceso que permite que una persona aprenda
algo. Estas teorías pretenden entender, anticipar y regular la conducta a través del diseño
de estrategias que faciliten el acceso al conocimiento.
25
2.2.6.1. Teoría del Aprendizaje Significativo de David Ausubel
González (2000), menciona que el aprendizaje significativo constituye un aprendizaje
predominantemente externo, producido por la interiorización de contenidos determinantes
del medio físico y social.
Según Lejter de Balcones (2000), El aprendizaje significativo debe comprender la
estructuración cognitiva del educando, los esquemas que ya posee, que le servirán de base
y sustento para el nuevo conocimiento. Debe, además, implicar una disposición positiva
por parte del alumno, en el que jueguen su papel los procesos motivacionales y afectivos.
Duran (2012), indica que para que el aprendizaje significativo ocurra se necesitan las
siguientes condiciones:
- El contenido del aprendizaje debe ser potencialmente significativo, lo que significa que
debe permitir ser asimilado de manera significativa. Debe estar estructurado de tal
manera que cualquier ser humano sea capaz de aprender.
- El alumno debe poseer en sus estructuras cognitivas los conceptos básicos, previamente
formados, de manera que el nuevo conocimiento pueda vincularse con el anterior en
forma comprensible
- El alumno debe mostrar una actitud positiva hacia el aprendizaje significativo, es decir,
debe estar dispuesto para relacionarse con el material de aprendizaje con las estructuras
cognitivas que posee.
Se puede concluir de los párrafos anteriormente mencionados que el aprendizaje
significativo es la incorporación de nueva información a la estructura cognitiva del
estudiante, ya que se crea una asimilación de conocimientos entre los que tenía el
estudiante y los que obtendrá después, de esta manera se facilita la asimilación y el
aprendizaje .
26
2.2.6.2. Teoría del Constructivismo de Jean Piaget
Durán (2012), menciona “al constructivismo le interesa como el ser humano procesa la
información, de qué manera los datos obtenidos a través de la percepción, se organizan de
acuerdo a las construcciones mentales que el individuo ya posee como resultado de su
interacción con las cosas”.
Del párrafo anterior se puede entender que el constructivismo busca otorgar al estudiante
instrumentos que le permitan construir sus propios conocimientos para resolver situaciones
de la vida diaria, lo cual le permite seguir aprendiendo.
En esta teoría del aprendizaje el estudiante tiene un papel constructor y es el responsable
de su propio aprendizaje ya que construye conocimientos por sí mismo, enlazando sus
ideas con las de los demás y preguntando para comprender; por otro lado el docente es un
facilitador, coordinador que crea confianza entre el docente y el estudiante para estimularlo
por medio de material físico e interactivo, lo cual lleve al estudiante a la respuestas
reflexivas.
2.2.6.3. Teoría Histórico-Cultural de Vygotsky
Para Lucci (2006), la teoría histórico-cultural o sociocultural de Vygotsky, toma como
punto de partida las funciones psicológicas de los individuos, las cuales clasificó de
elementales y superiores, para explicar el objeto de estudio de su psicología: la conciencia.
Las funciones psicológicas elementales de origen biológico están presentes en los niños y
en los animales; se caracterizan por las acciones involuntarias, por las reacciones
inmediatas y sufren control del ambiente externo. En contrapartida, las funciones
psicológicas superiores son de origen social; están presentes solamente en el hombre; se
caracterizan por la intencionalidad de las acciones, resultan de la interacción entre los
factores biológicos (funciones psicológicas elementales) y los culturales, que
evolucionaron en el transcurrir de la historia humana.
27
En conclusión en esta teoría el estudiante se desarrolla en contexto social, no hace una
construcción individual del conocimiento, sino que es un producto de la práctica social y
cultural.
De las teorías expuestas en los párrafos anteriores la que sustenta la presente investigación
es la teoría sociocultural o histórico cultural de Vygotsky, porque en esta teoría se
manifiesta que los maestros que interactúan con el estudiante son responsables de que él
aprenda, sin embargo, el estudiante asumirá la responsabilidad de construir su
conocimiento. El uso de las fichas como recurso didáctico le permite al estudiante edificar
su propio conocimiento con la guía del docente.
Método pedagógico
La palabra método proviene de dos raíces griegas: meta que significa a lo largo o más allá,
y odos camino o vía. Lo que conlleva al significado “a lo largo del camino” o “camino
hacia”.
Para Olmedo (1985), citado por Bastidas (2004), el método pedagógico se refiere a un
aspecto mucho más amplio, como es una concepción filosófica y psicológica de la
educación, que abarca mucho más que el campo estrictamente didáctico.
El método pedagógico es un proceso que se usa para realizar una tarea en la clase o un
proceso que se adopta para enseñar.
Método Didáctico
Para Bassi (1945), citado por Bastidas (2004), el método didáctico es la dirección u
orientación seguida para ir hacia alguna cosa o lugar, para alcanzar algún objeto o fin, o
para cumplir con los objetivos del sistema enseñanza-aprendizaje.
El método didáctico es el conjunto de los procedimientos didácticos que tienden a dirigir el
aprendizaje, incluyendo en él la presentación de material, elaboración de material y
verificación del aprendizaje.
28
Estrategias didácticas
Para Bastidas (2004), “una estrategia es la habilidad para coordinar (dirigir) el sistema
Enseñanza- Aprendizaje”
Brenes (2003), manifiesta que las estrategias didácticas “ofrecen al educador diferentes
recursos didácticos para el trabajo escolar y para el desarrollo del currículo con un enfoque
centrado en los procesos de aprendizaje”
En conclusión las estrategias didácticas son acciones que toma el docente para que el
estudiante fabrique su aprendizaje. Las estrategias didácticas deben ser organizadas y
orientadas a la obtención de metas, que permitan conseguir el aprendizaje significativo del
estudiante.
2.2.9.1. Tipos de estrategias
Según Kindsvatter (1988), citado por Bastidas (2004), las estrategias de enseñanza pueden
ser:
- Estrategia Magistral.- Se refiere al modelo académico donde el docente dirige, controla
y desarrolla las actividades del sistema enseñanza-aprendizaje.
- Estrategia Grupal.- Enfatiza el trabajo conjunto de los estudiantes en actividades de
aprendizaje cooperativo, supeditadas a la tutoria del profesor y de los compañeros. El
rol del docente, en esta estrategia, difiere de las otras dos estrategias, ya que actúa como
facilitador del aprendizaje.
- Estrategia Individual.- Es un modelo de instrucción individualizado sobre la base de un
programa estructurado para cada alumno. El propósito de esta estrategia es el
cumplimiento de tareas de aprendizaje específicas, diseñadas para que sean ejecutadas
por los discentes de un determinado nivel.
29
Ilustración N° 4: Formas de las estrategias magistral, grupal e individual
Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas. (Bastidas 2004)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Técnicas (Recursos)
Busot (1991) citado por Bastidas (2004), menciona que la técnica es una forma particular
de emplear un instrumento y/ o recurso en el que se apoya la enseñanza. Responde a la
interrogante: ¿Con qué?”
Según Oviedo (1993), citado por Bastidas (2004), se presentan tres tipos de técnicas:
- técnica de estimulación audiovisual
- técnicas de estimulación escrita
- técnicas de estimulación verbal.
- Estudio documental
- Estudio independiente
- Inv. de campo
- Inv. de laboratorio
- Inv. documental
- Estudio dirigido
- Enseñanza programada
- Trabajo individual
…
Individual
- Mesa redonda
- Panel
- Simposio
- Debate
- Entrevista colectiva
- Phillios 66
- Seminario
-Debate
- Rejas
- Dramatización
- Taller
-Equipos de trabajo
- Asamblea
...
Grupal
- Conferencia
- Demostración
- Presentación
- Interrogatorio
- Estudio de casos
...
Magistral
30
Ilustración N° 5: Formas de las técnicas: audiovisual, escrita y verbal.
Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas. (Bastidas 2004)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Técnicas escritas
Según Chacón (2010), las técnicas escritas son todo aquel material que utiliza la escritura
como elemento central. Son elaboradas por un grupo, se caracterizan por ser el resultado
directo de lo que el grupo conoce, sabe o piensa sobre un determinado tema; es el producto
del trabajo colectivo en el momento mismo de su aplicación.
Fichas
Según Di Rosa G. (1974) cita por Alfaro y Chavarría (2003) la ficha “es un medio, el
mejor para adaptar la enseñanza a los escolares que la poseen y a las circunstancias
concretas en las cuales se encuentran”
Barrantes (1999), citado por Alfaro y Chavarría (2003), las fichas pueden ser contempladas
como un recurso didáctico e instrumento de trabajo que permite el desarrollo de “una
- Pregunta
- Anécdota
- Relatos de experiencias
- Discusión
…
Verbal
- Diagrama
- Esquema
- Fichas
- Ficha nemotécnica
- Flujogramas
- Guías de estudio
- Mapas conceptuales
- Solución de problemas
- Mentefacto
- Mapas
...
Escrita
- Retroproyector
- Fotografía
- Modelos y Maquetas
- Cartel
- Videoscasete
- Computador
- Televisión
Audiovisual
31
enseñanza individualizada que considera a cada niño como un ser muy especial, que
necesita atención particular. Enfatiza de modo primordial la libertad, con sus limitaciones
propias, que es necesaria para el desarrollo del individuo y para propiciar un ambiente de
trabajo indispensable si verdaderamente se quiere practicar la enseñanza por acción”
Mujica (1986), citado por Alfaro y Chavarría (2003), afirma que una ficha “es una
herramienta necesaria cuando se trabaja con alumnos que terminan más rápido que el resto
de la clase y cuando existen estudiantes que requieren recuperación”.
De las definiciones expresadas por los autores anteriormente se puede concluir que la ficha
es un instrumento para enseñar al estudiante a aprender ciertos contenidos por sí mismo, ya
que con las fichas se puede trabajar de una manera individualizada, viendo al estudiante de
manera integral, sin dejar de lado las diferencias existentes entre los estudiantes.
Ilustración N° 6: Técnica escrita fichas.
Fuente: Uso de las fichas didácticas en v grado de la educación primaria: Visión de los educadores en San Ramón.
Revista Educación (Alfaro y Chavarría 2003)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Fichas
un material
una forma de trabajar
un instrumento
una guía de trabajouna
oportunidad
una técnica
un apoyo
Un recurso complementa-
rio
32
Características de las fichas
Nieves (1998) citado por Bastidas (2004), indica las características que debe reunir una
ficha son:
1. Adaptación a los alumnos(redacción, nivel de dificultad, medios disponibles, etc)
2. Indicaciones claras y precisas (evitando excesivas aclaraciones).
3. Fomentar la creatividad y la iniciativa.
4. Estructurar el conocimiento.
5. Fomentar valores de trabajos personales y comunitarios.
6. Disponer de la documentación e instrumentos necesarios para poder realizar el trabajo.
7. Contener un final recapitulativo (síntesis).
Por otra parte Rodríguez (2013), alude que las características deben este recurso didáctico
son:
1. Tienen que ser sencillos de utilizar y fáciles de emplear.
2. Tener la capacidad de motivar a los niños y niñas, para despertar su interés.
3. Han de estar adaptados al nivel de desarrollo.
4. Deben permitir flexibilidad.
5. Potenciar el papel activo del alumno/a.
6. Tener un carácter lúdico que posibilite que los aprendizajes se construyan de forma
natural.
7. Han de servir para que los pequeños se involucren, hagan, practiquen y aprendan.
8. Tienen que potenciar el desarrollo y el aprendizaje, creando la estimulación adecuada.
Se observa en los párrafos mencionados con anterioridad las características que mencionan
los autores son muy similares y conlleva a concluir que las fichas didácticas deben ser
concretas en sus indicaciones, atractivas para animar al estudiante, claras en cuanto a los
contenidos y sobre todo animar la creatividad del estudiante para que construya su propio
aprendizaje.
Tipos de Fichas
Según Alfaro y Chavarría (2003), después de una investigación a docentes concluye que
los tipos de fichas más utilizados son: fichas de refuerzo, motivación, ejercicios, guía,
33
investigación, contenidos, información, documentación, extra clase, evaluación, prácticas,
resumen y repaso.
También Bastidas (2004) que cita a García (1981), las fichas pueden ser:
Ilustración N° 7: Tipos de fichas
Fuente: Estrategias y técnicas didácticas Bastidas (2004)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
1. De orientación o guía.- Señala el objetivo y el proceso que debe seguirse para realizar
una determinada actividad
2. Correctiva o Guía.- Sirven para corregir las deficiencias o superar los contenidos no
dominados.
3. De contenido.- Ofrecen explicaciones sobre contenidos que no se hallan en los textos de
clase.
Tipos de fichas
De orientación o guía
Correctiva o Guía
De contenido
De control o comprobación
De recuperación
De trabajo libre
34
4. De control o comprobación.- Contiene las respuestas correctas para que los alumnos
puedan comprobar si dominan o no unos contenidos determinados. Son eficaces porque
se conoce los resultados de su trabajo de inmediato y esto sirve de un fuerte estímulo
para continuar con su aprendizaje.
5. De recuperación.- Esta elaborado de tal modo que exige al alumno un nivel mínimo de
conocimiento.
6. De trabajo libre.- Sirve para realizar trabajos complementarios con los alumnos
avanzados, en un determinado tema.
Objetivos de las fichas
Según Bastidas (2004), los objetivos de las fichas son los siguientes:
- Fomentar hábitos de estudio, orden, organización personal del trabajo individual, etc.
- Facilitar la graduación del aprendizaje por medio de unidades temáticas.
- Desarrollar en el alumno la capacidad de observación, descripción, comparación,
análisis y síntesis.
- Permitir la integración del conocimiento
- Favorecer la creatividad
- Conducir a los alumnos en la búsqueda de soluciones
Elaboración de las fichas
Según Valero y Dottrens citados en Alfaro y Chavarría (2003), las fichas son preferible
elaborarlas utilizando cartulina o sea un material consistente y con un tamaño pequeño
(quince por veinte centímetros); que se presenten bien atractivas, con dibujos, gráficos; que
contengan un vocabulario al alcance de los niños.
Menciona Bastidas (2004), que las fichas deben ser elaboradas de la siguiente manera:
- Empleando una cartulina o papel de tamaño A4 o de (13,5x10,5)
35
- El texto debe tener un estilo sencillo: preguntas, órdenes o actividades fácilmente
comprensibles
- Presente datos informativos
- Escriba los objetivos que van a ser alcanzados
- Indique el material que se va a utilizar
- Escriba el proceso detalladamente
- Elabore un cuestionario para recapitular la información
- Solicite conclusiones de trabajo realizado
Metodología
Para Bastidas (2004), La metodología comprende dos partes: el trabajo individual y el
análisis grupal.
Trabajo individual
Durante un tiempo de 15 a 30 minutos, el estudiante debe realizar el trabajo de manera
individual, siendo el docente un mediador.
Análisis grupal
En una etapa de 15 a 30 minutos, se inicia con la participación y comunicación a los
demás, de lo aprendido o investigado. En esta parte el estudiante debe presentar como lo
hizo, que dificultades encontró y que hizo para superarlas.
En el análisis grupal el estudiante comunica los logros obtenidos. Y es una gran
oportunidad para que el estudiante aprenda a valorar las ideas de los demás. Para finalizar
se recoge las ideas de todos y se realiza una síntesis.
Ideas que se propone para el estudio y aplicación de las fichas
Según Bastidas (2004), Ideas que se propone para el estudio y aplicación de las fichas son:
- El contenido de las fichas debe abarcar un solo tema
- Las fichas pueden ilustrarse con dibujos, recortes, diagramas, etcc
36
- Las fichas responden a situaciones concretas de aprendizaje
- El cuestionario debe referirse al mismo tema.
- Debe ser sencilla, clara, ordenada y breve
- Las fichas sirven para despertar y desarrollar la capacidad de investigación personal del
alumno.
De acuerdo con Nieves (1998), citado por Bastidas (2004), el análisis grupal supone, para
el alumno, una ocasión de:
- Expresión personal
- Participación, comunicación y relación con todos.
- Manifestar y defender sus propias ideas.
- Valoración crítica de las ideas de sus compañeros.
- Respetar las opiniones con las que no esté de acuerdo.
- Compartir y recibir experiencias de aprendizaje.
- Vencer la timidez de hablar en público.
- Dialogar sin ánimo de imponer criterios o convicciones.
- Autoevaluar lo que de verdad sabe o no sabe.
Nieves (1998), citado por Bastidas (2004) menciona que el análisis grupal requiere del
profesor:
- Hablar menos, cediendo la palabra a los estudiantes
- Delegar, progresivamente, la responsabilidad de coordinar las reuniones de análisis
grupal a los alumnos.
- Equilibrar las intervenciones, moderando a los que más intervienen y animando a
hacerlo a los más tímidos
- Establecer aclaraciones.
Ventajas del uso de las fichas
Valero (2000), realiza una síntesis de las ventajas que ofrece las fichas a los alumnos y
profesores
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- Ventajas que ofrece al alumno
1. El propio alumno se ve responsabilizado y comprometido a realizar un trabajo señalado
o insinuado por la ficha.
2. Impulsa al alumno hacia un esfuerzo y superación constante.
3. Favorece la formación de los hábitos de destrezas, desenvolvimiento, concentración, de
lucha ante la dificultad, despierta el espíritu de observación y hace al alumno más
responsable
- Ventajas que ofrece al profesor.
1. Ahorro del esfuerzo del “rol magistral”, ya que se ve liberado de la lección expositiva.
2. Observa y dirige as los alumnos.
3. Examina las reacciones, capacidades y dificultades de cada estudiante.
4. Estimula la actividad de los alumnos
5. Mantiene la disciplina.
6. Se ahorra problemas de indisciplina o pérdida de tiempo.
Por otra parte para la Alfaro y Chavarría (2003), las ventajas que tiene el trabajo con
fichas, según los educadores, una de las más relevantes es el hecho de que con el empleo
de esta técnica se economiza tiempo. Por otro lado, con el empleo de las fichas didácticas
se refuerzan contenidos, se facilita el trabajo y se enriquece el aprendizaje con la
aplicación de diferentes ejercicios que se incluyan en las mismas. Además, abren la
posibilidad de enriquecer los contenidos para de esta manera avanzar más rápido y poder
atender las diferencias individuales.
Desventajas del uso de las fichas
Para la Alfaro y Chavarría (2003), según los educadores, también existen desventajas,
entre ellas que con el uso de las fichas el alumno no quiere hacer casi nada. Como
consecuencia directa de esto se da una redacción y ortografía de muy baja calidad. Por otra
parte, el niño busca hacer las cosas más sencillas y donde tenga que hacer el menor
esfuerzo. Lo anterior se ve reforzado por el uso de fichas, que conduce a un gasto
económico elevado para los padres de familia.
38
Con el uso abundante de las fichas se fomenta la copia que no genera producción por parte
de los alumnos.
Ilustración N° 8: Ventajas y desventajas de las fichas
Fuente: Uso de las fichas didácticas en v grado de la educación primaria: Visión de los educadores en San Ramón.
Revista Educación (Alfaro y Chavarría 2003)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Enseñanza
Para Pérez Gómez (1983), citado por Granata (2000), la enseñanza es una actividad
humana en la que unas personas ejercen influencias sobre otras.
También Granata (2000), menciona que la enseñanza se convierte así, en una práctica
social, en una actividad intencional que responde a necesidades y determinaciones que
están más allá de los deseos individuales de sus protagonistas.
Al observar lo que mencionaron los autores anteriormente se puede concluir que la
enseñanza es una transmisión de conocimientos, ideas, experiencias, habilidades o hábitos
de una persona a otra. Busca ayudar en el aprendizaje y facilitarlo, la enseñanza se
convierte en una guía que el profesor ofrece para favorecer el aprendizaje de los
estudiantes.
Ventajas
• Se economiza tiempo.
• Permite reforzar el conocimiento.
• Facilitan el trabajo, pues permiten hacer esquemas, resúmenes y ampliar contenidos.
• Se puede salir de la rutina y hacer menos tedioso el aprendizaje.
• Las fichas le permiten al educador hacer repasos para los exámenes.
• Los niños pueden expresar más y dependiendo de la ficha puede construir el conocimiento.
Desventajas
• Escriben poco al día, se hacen dependientes de las fichas.
• Problemas de ortografía y caligrafía.
• El gasto económico que resulta es alto.
• Fichas mal confeccionadas.
• Hay que dedicar mucho tiempo para hacerlas.
39
Estrategias de enseñanza
Díaz (2002), las define como "procedimientos que el agente de enseñanza utiliza en forma
reflexiva y flexible para promover el logro de aprendizajes significativos en los alumnos".
Son aliadas del docente en el proceso de enseñanza aprendizaje. Es parte esencial en el
proceso de enseñanza, pues el uso de estrategias adecuadas, permite alcanzar los objetivos
propuesto con más facilidad.
Para Díaz (2002), las principales estrategias de enseñanza son: objetivos o propósitos del
aprendizaje, resúmenes, ilustraciones, organizadores previos, preguntas intercaladas,
mapas conceptuales y redes semánticas, uso de estructuras textuales
Aprendizaje
Según Rojas (2001), Aprendizaje es un cambio duradero (o permanente) en la persona.
Parte de la aprehensión, través de los sentidos, de hechos o información del medio
ambiente.
También Torres y Girón (2009) mencionan que el aprendizaje se realiza a través de la
interacción con el ambiente. Como resultado de la relación con el medio, se obtiene
aprendizajes necesarios para modificarlo y satisfacer nuestras necesidades
Por lo tanto el aprendizaje es el proceso en que se adquiere conocimientos, habilidades,
valores y actitudes, posibilitado mediante el estudio, la enseñanza o la experiencia.
Tipos de aprendizaje
Según el psicólogo Ausubel citado por Camacho (2011), menciona que los tipos de
aprendizaje son:
1) Aprendizaje por recepción.- el alumno en su tarea se aprendizaje no tiene que
hacer ningún descubrimiento independiente, sólo tiene que internalizar el material
presentado. El propio Ausubel explica que el mayor número del material de estudio
se adquiere mediante este tipo de aprendizaje y puede llegar a ser significativo.
40
2) Aprendizaje por descubrimiento.- en este caso no se le suministra al estudiante lo
relevante de la tarea al alumno, sino que este lo descubre antes de incorporar lo
significativo a su estructura cognoscitiva, este tipo de aprendizaje permite resolver
los problemas cotidianos y facilitar que el contenido resulte significativo.
3) Aprendizaje por repetición o memorístico.- la tarea consta de asociaciones
arbitrarias, el alumno carece de conocimientos previos, internaliza de modo
mecánico, al pie de la letra.
4) Aprendizaje significativo.- el alumno relaciona sustancialmente, no al pie de la
letra, el material nuevo con su estructura cognoscitiva, obviamente este resulta ser
el aprendizaje más importante.
Proceso enseñanza aprendizaje
La enseñanza no puede entenderse más que en relación al aprendizaje; y esta realidad
relaciona no sólo a los procesos vinculados a enseñar, sino también a aquellos vinculados a
aprender.
Para Torres y Girón (2009), el proceso de enseñanza-aprendizaje atañe al quehacer
educativo, del profesor o profesora, por esa razón, debe comprender y afinar los procesos
de enseñanza aprendizaje e identificar las diferentes técnicas y métodos que existen entre
ambos, como también los procesos y las etapas que se dan dentro del mismo.
Evaluación de los aprendizajes
Según la Real Academia Española, evaluar es “señalar el valor de una cosa”. Un verbo
cuya etimología se remonta al francés évaluer y que permite indicar, valorar, establecer,
apreciar o calcular la importancia de una determinada cosa o asunto.
Para Rodríguez (2005), la evaluación educativa es un conjunto de procesos sistemáticos de
recogida, análisis e interpretación de información válida y fiable, que en comparación con
una referencia o criterio nos permita llegar a una decisión que favorezca a la mejora del
objeto evaluado.
41
El Reglamento de la Ley Orgánica de Educación Intercultural (2011) en el artículo 184,
menciona que la evaluación estudiantil “es un proceso continuo de observación,
valoración y registro de información que evidencia el logro de objetivos de aprendizaje de
los estudiantes y que incluye sistemas de retroalimentación, dirigidos a mejorar la
metodología de enseñanza y los resultados de aprendizaje.”
En conclusión se puede expresar la evaluación como un proceso continuo, permanente,
sistemático e integral que implica la recolección de información para su interpretación y
hacer posible la emisión de un juicio de valor que permita la toma de decisiones con el fin
de mejorar la metodología y resultados de aprendizaje.
Tipos de evaluación
Según el Reglamento de la Ley Orgánica de Educación Intercultural (2011) en el artículo
186 los tipos de evaluación según su propósito son:
1. Diagnóstica.- Se aplica al inicio de un período académico (grado, curso, quimestre o
unidad de trabajo) para determinar las condiciones previas con que el estudiante ingresa
al proceso de aprendizaje.
2. Formativa.- Se realiza durante el proceso de aprendizaje para permitirle al docente
realizar ajustes en la metodología de enseñanza, y mantener informados a los actores del
proceso educativo sobre los resultados parciales logrados y el avance en el desarrollo
integral del estudiante.
3. Sumativa.- Se realiza para asignar una evaluación totalizadora que refleje la proporción
de logros de aprendizaje alcanzados en un grado, curso, quimestre o unidad de trabajo.
Rendimiento Académico
Herrera (2003), manifiesta que el rendimiento académico hace referencia a la evaluación
del conocimiento adquirido en el ámbito escolar, secundario, universitario y post grados.
Un estudiante con buen rendimiento es aquel que obtiene calificaciones positivas en los
exámenes que debe rendir a lo largo de una cursada.
42
Por otra parte Figueroa (2004), define el rendimiento académico como “el conjunto de
transformaciones operadas en el educando, a través del proceso enseñanza-aprendizaje, que
se manifiesta mediante el crecimiento y enriquecimiento de la personalidad en formación”.
De los párrafos expuestos se puede observar que cada autor tiene un punto de vista sobre el
rendimiento académico, tomando en cuenta dos partes puntuales, calificaciones y también
desarrollo y madurez del estudiante.
Según el Reglamento de la Ley Orgánica de Educación Intercultural (2011), artículo 194
menciona la escala de calificaciones que hacen referencia al cumplimiento de los objetivos
de aprendizaje, la escala de calificación se presenta a continuación:
Tabla N° 3: Escala de calificaciones.
Escala Cualitativa Escala Cuantitativa
Domina los aprendizajes requeridos 9,00-10,00
Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00-8,99
Está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos 4,01-6,99
No alcanza los aprendizajes requeridos <4
Fuente: Reglamento de la Ley Orgánica de Educación Intercultural (2011)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
2.3. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS
A continuación se presentan términos utilizados en este proyecto especialmente en la
fundamentación teórica, con sus respectivas definiciones:
Enseñanza.- Proceso de asimilación de conocimientos y habilidades, así como de métodos
para la actividad cognoscitiva, que se realiza bajo la dirección de un educador durante la
práctica docente. (Enseñanza, 2003)
Aprendizaje.- El Aprendizaje es una actividad que uno mismo debe efectuar para adquirir
un conocimiento y para hacerlo es indispensable estudiar. (Esteves citado por Bastidas,
2004)
43
Proceso enseñanza aprendizaje.- El proceso de enseñanza - aprendizaje es el movimiento
de la actividad cognoscitiva de los alumnos bajo la dirección del maestro, hacia el dominio
de los conocimientos, las habilidades, los hábitos y la formación de una concepción
científica del mundo (Castellanos D, Castellanos B, 2000)
Paradigma.- los paradigmas son un conjunto de conocimientos y creencias que forman
una visión del mundo (cosmovisión), en torno a una teoría hegemónica en determinado
período histórico. Cada paradigma se instaura tras una revolución científica, que aporta
respuestas a los enigmas que no podían resolverse en el paradigma anterior. (Luna L.,
2011)
Modelo pedagógico.- el modelo pedagógico busca entender, orientar y dirigir la educación
(Ortiz A, 2005)
Estrategias.- Es un sistema de acciones que se realizan con un ordenamiento lógico y
coherente en función del cumplimiento de objetivos educacionales, es decir, constituye
cualquier método o actividad planificada que mejore el aprendizaje profesional y facilite el
crecimiento personal del estudiante. (Picardo O, 2005)
Técnicas (Recursos).- Es una forma particular de emplear un instrumento y/ o recurso en
el que se apoya la enseñanza. Responde a la interrogante: ¿Con qué? (Bastidas, 2004)
Ficha.- pueden ser contempladas como un recurso didáctico e instrumento de trabajo que
permite el desarrollo de una enseñanza individualizada.
Evaluación.- Evaluación es el proceso de obtener información y usarla para formar juicios
que a su vez se utilizarán en la toma de decisiones. (Tenbrink, 2006).
Rendimiento académico.- Medida que relaciona las calificaciones obtenidas por un
estudiante, englobando los procesos y los resultados. (Cadena, 2008).
2.4. FUNDAMENTACIÓN LEGAL
A continuación se presentan los artículos más relevantes de la Constitución de la República
44
del Ecuador, la Ley Orgánica de la Educación Superior (LOES), y la Ley Orgánica de
Educación Intercultural (LOEI) que respaldan esta investigación.
Constitución de la República del Ecuador
Art. 26.- Establece que la educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y
un deber ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria de la política
pública y de la inversión estatal, garantía de la igualdad e inclusión social y condición
indispensable para el buen vivir. Las personas, las familias y la sociedad tienen el derecho
y la responsabilidad de participar en el proceso educativo.
Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en
el marco del respeto a los derechos humanos, al medio ambiente sustentable y a la
democracia; será participativa, obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa,
de calidad y calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz;
estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y
comunitaria, y el desarrollo de competencias y capacidades para crear y trabajar.
Art. 29.- El Estado garantizará la libertad de enseñanza, la libertad de cátedra en la
educación superior, y el derecho de las personas de aprender en su propia lengua y ámbito
cultural.
Art. 68.- El sistema nacional de educación incluirá programas de enseñanza conformes a la
diversidad del país. Incorporará en su gestión estrategias de descentralización y
desconcentración administrativas, financieras y pedagógicas. Los padres de familia, la
comunidad los maestros y los educandos participarán en el desarrollo de procesos
educativos.
Art. 70.- La ley establecerá órganos y procedimientos para que el sistema educativo
nacional rinda cuentas periódicamente a la sociedad sobre la calidad de enseñanza y su
relación con las necesidades del desarrollo nacional.
Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de
capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población, que posibiliten el
45
aprendizaje, y la generación y utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y
cultura. El sistema tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera
flexible y dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.
Art. 349.- El estado garantizará al personal docente, en todos los niveles y modalidades,
estabilidad, actualización, formación continua, mejoramiento pedagógico y académico; una
remuneración justa de acuerdo a la profesionalización, desempeño y méritos académicos.
Art. 350.- El sistema educación superior tiene como finalidad la formación académica y
profesional con visión científica y humanista; la investigación científica y tecnológica; la
innovación, promoción, desarrollo y difusión de saberes y culturas; la construcción de
soluciones para los problemas del país, en relación con los objetivos del régimen de
desarrollo.
Art. 351.- El sistema de educación superior estará articulado al sistema nacional de
educación y al Plan Nacional de Desarrollo; la ley establecerá los mecanismos de
coordinación del sistema de educación superior con la Función Ejecutiva. Este sistema se
regirá por los principios de autonomía responsable, cogobierno, igualdad de oportunidades,
calidad, pertinencia, integralidad, autodeterminación para la producción del pensamiento y
conocimiento, en el marco del diálogo de saberes, pensamiento universal y producción
científica tecnológica global.
Ley Orgánica de la Educación Superior (LOES)
Art. 3.- Fines de la Educación Superior.- La educación superior de carácter humanista,
cultural y científica constituye un derecho de las personas y un bien público social que, de
conformidad con la Constitución de la República, responderá al interés público y no estará
al servicio de intereses individuales y corporativos.
Art. 4.- Derecho a la Educación Superior.- El derecho a la educación superior consiste en
el ejercicio efectivo de la igualdad de oportunidades, en función de los méritos respectivos,
a fin de acceder a una formación académica y profesional con producción de conocimiento
pertinente y de excelencia.
46
Las ciudadanas y los ciudadanos en forma individual y colectiva, las comunidades, pueblos
y nacionalidades tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso
educativo superior a través de los mecanismos establecidos en la Constitución y esta Ley.
Art. 5.- Derechos de las y los estudiantes.- Son derechos de las y los estudiantes los
siguientes:
Literal a.- Acceder, movilizarse, permanecer, egresar y titularse sin discriminación
conforme sus méritos académicos
Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI)
Art. 2.- Principios.- La actividad educativa se desarrolla atendiendo a los siguientes
principios generales, que son los fundamentos filosóficos, conceptuales y constitucionales
que sustentan, definen y rigen las decisiones y actividades en el ámbito educativo:
Literal h.- Interaprendizaje y multiaprendizaje.- Se considera al interaprendizaje y
multiaprendizaje como instrumentos para potenciar las capacidades humanas por medio de
la cultura, el deporte, el acceso a la información y sus tecnologías, la comunicación y el
conocimiento, para alcanzar niveles de desarrollo personal y colectivo;
Literal u.- Investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos.- Se
establece a la investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos como
garantía del fomento de la creatividad y de la producción de conocimientos, promoción de
la investigación y la experimentación para la innovación educativa y la formación
científica.
Art. 3.- Fines de la educación.- son fines de la educación:
Literal a.- El desarrollo pleno de la personalidad de las y los estudiantes, que contribuya a
lograr el conocimiento y ejercicio de sus derechos, el cumplimiento de sus obligaciones, el
desarrollo de una cultura de paz entre los pueblos y de no violencia entre las personas, y
una convivencia social intercultural, plurinacional, democrática y solidaria.
47
Literal b.- El fortalecimiento y la potencialización de la educación para contribuir al
cuidado y preservación de las identidades conforme a la diversidad cultural y las
particularidades metodológicas de enseñanza, desde el nivel inicial hasta el nivel superior,
bajo criterios de calidad.
Literal g.- La contribución al desarrollo integral, autónomo, sostenible e independiente de
las personas para garantizar la plena realización individual, y la realización colectiva que
permita en el marco del Buen Vivir o Sumak Kawsay.
Art. 4.- Derecho a la educación.- La educación es un derecho humano fundamental
garantizado en la Constitución de la República y condición necesaria para la realización de
los otros derechos humanos.
Art. 6.- Obligaciones.- La principal obligación del Estado es el cumplimiento pleno,
permanente y progresivo de los derechos y garantías constitucionales en materia educativa,
y de los principios y fines establecidos en esta Ley.
Literal e.- Asegurar el mejoramiento continuo de la calidad de la educación;
Literal m.- Propiciar la investigación científica, tecnológica y la innovación, la creación
artística, la práctica del deporte, la protección y conservación del patrimonio cultural,
natural y del medio ambiente, y la diversidad cultural y lingüística;
Literal n.- Garantizar la participación activa de estudiantes, familias y docentes en los
procesos educativos;
2.5. CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES
Arias (2006), señala que una variable es una característica o cualidad, magnitud o cantidad
susceptible de sufrir cambios y es objeto de análisis, medición, manipulación o control en
una investigación.
48
Variable N° 1. Variable independiente
Según Kerlinger y Lee (2002), la variable independiente, varía y es la causa supuesta de la
variable dependiente. Dentro del estudio experimental se convierte en la variable
manipulada. Dentro de los estudios no experimentales se convierte en la que tiene o guarda
relación lógica con la variable dependiente.
En la presente investigación la variable independiente es: El uso de las fichas como recurso
didáctico.
Cuando se enseña es indispensable contar con los recursos didácticos ya que le permiten al
estudiante la construcción del aprendizaje. El uso de las fichas como recurso didáctico, es
un medio que facilita el proceso enseñanza aprendizaje, porque motiva y dirige al
estudiante a realizar un trabajo de forma ordena y organizada, logrando el estudiante
comparar, analizar y sintetizar información obtenida sobre las ecuaciones de la recta,
siendo el docente solo un mediador del conocimiento.
Variable N° 2. Variable dependiente
Para Kerlinger y Lee (2002), variable dependiente es el resultado medido que el
investigador usa para determinar si los cambios en la variable independiente tuvieron
efecto.
Por otro lado la variable dependiente de la investigación es: Proceso enseñanza aprendizaje
de ecuaciones de la recta.
El proceso enseñanza-aprendizaje es una serie de procedimientos que el docente
implementa para avanzar de manera sistemática en el contenido de la clase, mediante la
construcción de un ambiente de aprendizaje. En este proceso el autor principal es el
estudiante y el profesor es un facilitador de los procesos de aprendizaje, con el fin de la
formación del estudiante, tomando en cuenta el rendimiento académico, el cual depende de
determinados factores.
49
CAPÍTULO III
3. METODOLOGÍA
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN.
Kerlinger y Lee (2002), sostiene que generalmente se llama diseño de investigación al
plan y a la estructura de un estudio. Es el plan y estructura de una investigación concebidas
para obtener respuestas a las preguntas de un estudio.
El diseño de investigación es el plan de acción, indica la secuencia de los pasos a seguir.
Permite al investigador precisar los detalles de la tarea de investigación y establecer las
estrategias a seguir para obtener resultados
3.1.1. Enfoque de la investigación
La investigación realizada, Influencia del uso de las fichas como técnica didáctica en el
proceso enseñanza aprendizaje de ecuaciones de la recta, en el Primero BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito, tiene un enfoque cuantitativo, ya que se
recolectan datos en función del proceso enseñanza aprendizaje para su análisis y medición,
y se utilizan dos grupos el primero denominado de análisis y el segundo grupo
denominado de control, de esta manera establecer conclusiones y responder el problema.
Blasco y Pérez (2007), señalan que la investigación cualitativa estudia la realidad en su
contexto natural y cómo sucede, sacando e interpretando fenómenos de acuerdo con las
personas implicadas.
Según Tamayo (2007), la investigación cuantitativa se caracteriza por la recolección y el
análisis de datos para contestar preguntas de investigación y probar hipótesis establecidas
50
previamente, y confía en la medición numérica, el conteo y frecuentemente el uso de
estadística para establecer con exactitud patrones de comportamiento en una población.
Hernández (2007), establece que se utiliza la recolección de datos fundamentada en la
medición, posteriormente se lleva a cabo el análisis de los datos y se contestan las
preguntas de investigación, confiando en la medición numérica, el conteo, y en el uso de la
estadística para intentar establecer con exactitud patrones en una población.
3.1.2. Modalidad de la investigación
La investigación desarrollada es de carácter educativo es por eso que tiene la modalidad
socioeducativa, la cual consiste en el proceso de desarrollo de habilidades y destrezas en
los estudiantes, para realizar procesos mentales y procesamiento de información en el
desarrollo del conocimiento científico creando así un aprendizaje significativo y
transformando su realidad social.
Según Pérez (2011) la intervención socioeducativa consiste en planear y llevar a cabo
programas de impacto social, por medio de actividades educativas en determinados grupos
de individuos, es cuando un equipo de orientación escolar interviene sobre un problema
social que afecta el desempeño y desarrollo escolar, éste aspecto se desarrolla dentro del
aula considerándolo como un método participativo de investigación-acción educativa para
lograr superar problemas académicos como equipo generador de una cultura de calidad
educativa.
3.1.3. Nivel de profundidad
Hernández (2007), el nivel de la investigación se refiere al grado de profundidad con que
se aborda un fenómeno o un evento de estudio. El nivel de profundidad con el que se
trabajó en la presente investigación es exploratoria y descriptiva.
Para Hernández, Fernández y Baptista (2006), los estudios exploratorios se emplean
cuando el objetivo consiste en examinar un tema poco estudiado o novedoso. La
investigación exploratoria tiene como propósito examinar un tema o problema de
investigación poco estudiado, del cual se tienen muchas dudas o no se ha abordado antes.
51
Para Hernández, Fernández y Baptista (2006), los estudios descriptivos buscan especificar
propiedades y características importantes de cualquier fenómeno que se analice. La
investigación descriptiva caracteriza un hecho o fenómeno de un grupo para establecer su
comportamiento, a través de la observación y cuantificación de características de cada
variable, determinando su asociación.
3.1.4. Tipo de investigación
El tipo de investigación es la forma de cómo abordar el fenómeno de estudio a través de
procesos propios, conformado por métodos estrategias técnicas propias de cada tipo de
investigación.
Tamayo (2007), manifiesta que los tipos de investigación difícilmente se presentan puros,
generalmente se combinan entre sí y obedecen sistemáticamente a la aplicación de la
investigación. La investigación realizada es de tipo cuasi- experimental, de campo y
documental.
La investigación es cuasi- experimental porque se trabajó con un grupo de estudiantes de
primero de bachillerato de la Unidad Educativa Adventista Ciudad de Quito que fueron
monitoreados, a través de procesos sistemáticos continuo para comprobar la incidencia del
uso de la ficha como técnica didáctica en el proceso de enseñanza aprendizaje y otro grupo
denominado de control el cual por medio de procesos cuantitativos permite confrontar
resultados para establecer relaciones entre variables y responder a los objetivos de la
investigación.
Se utilizó una investigación de campo cuando se aplicaron las evaluaciones a los
estudiantes y así se pudo recolectar información directamente interactuando con los
estudiantes de la Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito.
La investigación documental se utilizó cuando se realizó el Capítulo II Marco Teórico
porque se tomó información de varias fuentes documentales.
3.1.5. Actividades del desarrollo del proyecto
Para el progreso de la presente investigación se prosiguió con los siguientes pasos:
52
1. Aprobación del tema del proyecto.
2. Elaboración del texto base e instrumentos de evaluación.
3. Validación del texto base e instrumentos de evaluación por expertos.
4. Aplicación de la prueba piloto a 10 estudiantes.
5. Estudio del coeficiente de confiabilidad de los instrumentos de evaluación con las
pruebas piloto.
6. Aplicación de la prueba diagnóstica al grupo de control y experimental.
7. Realización de la experimentación aplicando el recurso fichas al grupo experimental.
8. Aplicación de los instrumentos de evaluación al grupo de control y experimental
(Formativas y sumativa).
9. Tabulación, Análisis e interpretación de resultados.
10. Conclusiones y recomendaciones.
11. Presentación del informe final del proyecto.
3.1.6. Pasos que se ejecutaron en el proceso de la aplicación de las fichas.
El recurso didáctico fichas se aplicó en el grupo experimental (1° BGU “B”) de la
siguiente manera:
1. Elaboración de 2 fichas de trabajo libres sobre ecuaciones y vectores antes de recibir la
explicación de los temas.
2. Entrega de las fichas de contenido a los estudiantes al comienzo de la explicación de
cada uno de los temas (9 fichas).
53
3. Realización de las fichas de orientación después de la explicación de los temas (9
fichas).
4. Revisión de las fichas de orientación, entrega y resolución de fichas correctivas (3
fichas) al finalizar las unidades 2, 3 y 4 del texto base.
5. Rectificación de las fichas correctivas por medio de las fichas de control (3 fichas).
6. Resolución de una ficha de recuperación y elaboración de una ficha de trabajo libre que
engloba todos los contenidos trabajados.
3.2. POBLACIÓN Y MUESTRA
3.2.1. Población
Tamayo (2007), define la población como la “totalidad del fenómeno de estudio, incluye la
totalidad de unidades de análisis o entidades de población que integran dicho fenómeno y
que debe cuantificarse para un determinado estudio integrando un conjunto N de entidades
que participan de una determinada característica, y se le denomina población por constituir
la totalidad del fenómeno adscrito a un estudio o investigación”
En la presente investigación se tomó como población a los estudiantes de 1° BGU de la
Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de Quito” distribuidos en paralelos, 20
estudiantes del paralelo “A” y 25 estudiantes en el paralelo “B” que conforman un total de
45 estudiantes, pero debido a problemas internos en la institución en el paralelo “A” fue
suspendido un estudiante y retirado un estudiante, mientras que en el paralelo “B” tres
estudiantes fueron suspendidos y uno retirado, por lo cual no intervinieron en el proceso de
experimentación y la población real que se tomo es de 39 estudiantes.
3.2.1. Muestra
Según Hernández, Fernández y Baptista (2006), La muestra es un subgrupo de la
población, es el subconjunto de elementos que pertenecen a ese conjunto definido en sus
características al que se llama población.
54
Debido a que la población es pequeña y no sobrepasa los 200 estudiantes no es necesario
utilizar una muestra, es por eso que se trabaja con toda la población.
Tabla N° 4: Población y muestra.
Grupo Población Muestra
Experimental (1° BGU “B”) 21 21
Control (1°BGU “A”) 18 18
TOTAL 39 39
Fuente: Listas de 1° BGU “A” y “B” (secretaria de la Institución)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
3.3. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES.
Según Arias (2006), la operacionalización de variables se representa en cuadros, ejemplo
donde se indica la variable, dimensiones e indicadores.
La operacionalización de las variables de esta investigación se presenta a través de la
siguiente tabla con sus respectivas dimensiones e indicadores:
55
Tabla N° 5: Matriz de Operacionalización de Variables
VARIABLE DIMENSION INDICADORES ACTIVIDADES V
AR
IAB
LE
N°
1.
Va
ria
ble
In
dep
end
ien
te
El uso de
las fichas
como
recurso
didáctico
Fichas
La recta y ecuaciones Ficha de trabajo libre
Vectores y operaciones con
vectores
Ficha de trabajo libre
Ecuación vectorial de la
recta.
Ficha de contenido y orientación
N°1
Ficha correctiva y de control N°1
Punto medio de un
segmento
Ficha de contenido y orientación
N°2
Ficha correctiva y de control N°1
Ecuaciones paramétricas de
la recta.
Ficha de contenido y orientación
N°3
Ficha correctiva y de control N°1
Ecuación continua de la
recta
Ficha de contenido y orientación
N°4
Ficha correctiva y de control N°2
Ecuación general de la
recta
Ficha de contenido y orientación
N°5
Ficha correctiva y de control N°2
Ecuación explicita de la
recta
Ficha de contenido y orientación
N°6
Ficha correctiva y de control N°2
Ecuación punto pendiente
de la recta
Ficha de contenido y orientación
N°7
Ficha correctiva y de control N°3
Ecuación canónica de la
recta
Ficha de contenido y orientación
N°8
Ficha correctiva y de control N°3
Rectas paralelas y
perpendiculares
Ficha de contenido y orientación
N°9
Ficha correctiva y de control N°3
VA
RIA
BL
E N
° 2
. V
ari
ab
le D
epen
die
nte
Proceso
enseñanza
aprendizaje
de
ecuaciones
de la recta
Enseñanza
Estrategias de enseñanza
- Resúmenes
- Ilustraciones
- Organizadores
Documento Base
Instrumentos de Evaluación
Aprendizaje
Tipos de Aprendizajes
- Recepción
- Descubrimiento
- Repetición
- Significativo
Instrumentos de Evaluación
Ecuaciones de
la recta
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Ecuación general
Ecuación explicita
Ecuación punto pendiente
Ecuación canónica
Ejercicios propuestos
(Documento Base)
Rendimiento
Académico
Evaluación diagnóstica
Evaluación Formativa 1
Evaluación Formativa 2
Evaluación Formativa 3
Evaluación Sumativa
Instrumentos de Evaluación
Fuente: Proceso de investigación
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
56
3.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS.
Arias (2006), menciona que las técnicas de recolección de datos son las distintas formas de
obtener información.
Por otra parte según Arias (2006), los instrumentos son los medios materiales que se
emplean para recoger y almacenar la información.
Por el tipo de investigación es necesario la utilización de técnicas e instrumentos para la
recolección la datos con el fin de mostrar el cumplimiento de los objetivos generales y
específicos planteados al inicio de la investigación, utilizando instrumentos medibles, con
el fin de obtener una visión más amplia de los hechos permitiendo que sean comprobables.
Para recoger datos e información en la investigación se utilizó como instrumentos de
recolección de datos las pruebas de base estructurada, las cuales nos permitieron medir los
conocimientos adquiridos en los estudiantes. Las evaluaciones que se utilizó en la
investigación fueron: diagnóstica, formativa y sumativa.
Los formatos aceptados para la construcción de ítems de opción múltiple son: simple,
ordenamiento, relación de columnas, completamiento, elección de elementos y asociación
a un contexto.
3.5. TÉCNICAS PARA EL PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE DATOS
Consiste en procesar los datos obtenidos de la población en estudio durante la
investigación y tiene como propósito organizar los resultados, a partir de los cuales se
realizará el análisis según los objetivos de hipótesis de la investigación realizada.
3.5.1. Procesamiento de datos
Para Ramos (2008), el Procesamiento de Datos es definido como la técnica que consiste en
la recolección de los datos primarios de entrada, los cuales son evaluados y ordenados,
para obtener información útil, que luego serán analizados por el usuario final, para que
pueda tomar las decisiones o realizar las acciones que estime conveniente.
57
Las herramientas estadísticas utilizadas en el procesamiento de datos son:
- Análisis de Pareto
- Diagrama de causa efecto
- Graficas de control
- Distribución de frecuencias y representaciones graficas
- Medidas de tendencia central
- Medidas de dispersión
- Pruebas estadísticas
De las herramientas estadísticas nombradas anteriormente, en la presente investigación se
utilizaron:
- Distribución de frecuencias y representaciones graficas
- Medidas de tendencia central
- Medidas de dispersión
3.5.2. Análisis de datos
Según Arias (2006), "en este punto se describen las distintas operaciones a las que serán
sometidos los datos que se obtengan"
En el análisis de datos se examina y se transforman los datos, con la finalidad de destacar
toda la información que sea de gran utilidad, a fin de poder elaborar conclusiones.
3.6. VALIDEZ Y CONFIABILIDAD DE LOS INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
3.6.1. Validez
Elousa (2003), considera la validez como el aspecto de la medición psicopedagógica
vinculado a la comprobación y estudio de las puntuaciones obtenidas por el test.
58
Por otra parte para Cohen y Swerdlik (2006), la validez aplicada a una prueba, es un juicio
o estimación acerca de que tan bien una prueba mide lo que pretende medir en un
determinado contexto.
En la presente investigación la validez aplicada al texto base y los instrumentos de
evaluación fueron expuestos a juicio de tres expertos, a quienes se les entrego una
solicitud, los instrumentos de evaluación y la matriz para las observaciones y que así
puedan emitir su opinión.
En las siguiente tabla se detalla cómo se realizó el proceso de validación del texto base y
de los instrumentos de evaluación.
Tabla N° 6: Validez del texto base.
EXPERTO LUGAR DE TRABAJO CARGO PUNTAGE
OBTENIDO
MSc. Bastidas
Paco
Universidad Central del
Ecuador
Docente de la Carrera
de Matemática y Física 93
MSc. Ángel
Montaluisa
Universidad Central del
Ecuador
Docente de la Carrera
de Matemática y Física 95
Lic. Byron
Rubio Colegio Simón Bolivar Docente de Matemática 94
Fuente: Documentos de validación del texto base
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Tabla N° 7: Validez de instrumentos de evaluación.
EXPERTO ÁREA LUGAR DE TRABAJO
MSc. Bastidas Paco Matemática Universidad Central del Ecuador
Lic. Byron Rubio Matemática Unidad Educativa Simón Bolívar
MSc. Janneth Toaquiza Lenguaje y
Literatura
Unidad Educativa Particular
Adventista “Ciudad de Quito”
Fuente: Documentos de validación del texto base
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
59
3.6.2. Confiabilidad
Para Pick y López (2000), la confiabilidad se puede definir como la estabilidad o
consistencia de los resultados obtenidos.
Después de validar los instrumentos de evaluación se procedió a comprobar el grado de
confiabilidad de los instrumentos y para esto se aplicó una prueba piloto a 10 estudiantes y
se analizó los resultados obtenidos utilizando el cálculo del coeficiente de Kuder-
Richardson.
Cálculo de la Confiabilidad de los Instrumentos de Evaluación
Para el cálculo del Alfa de Cronbach se utilizaron las siguientes formulas:
Cálculo del Alfa de Cronbach
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
Media aritmética
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑝𝑎𝑟 =Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
Desviación típica
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
Diferencia de las Desviaciones Típicas
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
60
Calculo de la Desviación Típicas Total.
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
Para lo cual se trabajara con la siguiente simbología:
n = Número de ítem.
Σ = Sumatoria.
𝒙 ̅ = Media aritmética.
σ= Desviación estándar o típica.
imp. = Ítems impares.
par = Ítems pares.
𝜸𝑫 = Diferencia de desviaciones estándar o típica.
𝜸𝑻= Desviación estándar o típica total.
α= Alfa de Cronbach
Instrumento de Evaluación Diagnóstica
Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica.
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 9 3,83 14,69
2
5 1,33 1,78
3 6 0,83 0,69
4
1 2,67 7,11
5 6 0,83 0,69
6
4 0,33 0,11
7 2 3,17 10,03
8
1 2,67 7,11
9 7 1,83 3,36
10
6 2,33 5,44
11 1 4,17 17,36
12
5 1,33 1,78
Σ 31 46,83 22 23,33 Fuente: Instrumento de evaluación Diagnostica
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora).
61
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad Instrumento de diagnóstico
NÚMERO DE ITEM
n = 6
MEDIA ARITMÉTICA
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =31
6 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
22
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,17 𝑋𝑝𝑎𝑟 = 3,67
DESVIACION TÍPICA
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √46,83
6 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
23,33
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 2,79 𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,97
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,97 − 2,79
𝛾𝐷 = −0,82
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √46,83 + 23,33
12
𝛾𝑇 = 2,42
ALFA
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,675
5,85
𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟒
62
Instrumento de Evaluación Formativa 1
Tabla N° 9: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 1.
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 3,33 11,11
2
4 1,17 1,36
3 2 1,67 2,78
4
6 0,83 0,69
5 2 1,67 2,78
6
1 4,17 17,36
7 4 0,33 0,11
8
6 0,83 0,69
9 5 1,33 1,78
10
6 0,83 0,69
11 2 1,67 2,78
12
8 2,83 8,03
Σ 22
21,33 31
28,83 Fuente: Instrumento de evaluación Formativa 1
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora).
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad Instrumento de Evaluación Formativa
1
NÚMERO DE ITEM
n = 6
MEDIA ARITMÉTICA
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =22
6 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
31
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 3,67 𝑋𝑝𝑎𝑟 = 5,17
DESVIACION TÍPICA
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √21,33
6 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
28,83
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,89 𝛿𝑝𝑎𝑟 = 2,19
63
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 2,19 − 1,89
𝛾𝐷 = 0,31
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √21,33 + 28,83
12
𝛾𝑇 = 2,04
ALFA
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,094
4,18
𝜶 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟖
Instrumento de Evaluación Formativa 2
Tabla N° 10: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 2.
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 9 3,50 12,25
2
9 5,33 28,44
3 2 3,50 12,25
4
7 3,33 11,11
5 12 6,50 42,25
6
5 1,33 1,78
7 1 4,50 20,25
8
1 2,67 7,11
9 8 2,50 6,25
10
0 3,67 13,44
11 1 4,50 20,25
12
0 3,67 13,44
Σ 33
113,50 22
75,33 Fuente: Instrumento de evaluación Formativa 2
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora).
64
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad Instrumento de Evaluación Formativa
2
NÚMERO DE ITEM
n = 6
MEDIA ARITMÉTICA
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =33
6 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
22
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,50 𝑋𝑝𝑎𝑟 = 3,67
DESVIACION TÍPICA
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √113,50
6 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
75,33
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 4,35 𝛿𝑝𝑎𝑟 = 3,54
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 3,54 − 4,35
𝛾𝐷 = −0,81
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √113,50 + 75,33
12
𝛾𝑇 = 3,97
ALFA
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,650
15,74
𝜶 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟗
65
Instrumento de Evaluación Formativa 3
Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación Formativa 3.
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 6 2,17 4,69
2
2 1,17 1,36
3 5 1,17 1,36
4
5 1,83 3,36
5 4 0,17 0,03
6
2 1,17 1,36
7 1 2,83 8,03
8
6 2,83 8,03
9 7 3,17 10,03
10
3 0,17 0,03
11 0 3,83 14,69
12
1 2,17 4,69
Σ 23
38,83 19
18,83 Fuente: Instrumento de evaluación Formativa 3
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora).
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad Instrumento de Evaluación Formativa
3
NÚMERO DE ITEM
n = 6
MEDIA ARITMÉTICA
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =23
6 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
19
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 3,83 𝑋𝑝𝑎𝑟 = 3,17
DESVIACION TÍPICA
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √38,83
6 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
18,83
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 2,54 𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,77
66
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,77 − 2,54
𝛾𝐷 = −0,77
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √38,83 + 18,83
12
𝛾𝑇 = 2,19
ALFA
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,597
4,81
𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟔
Instrumento de Evaluación Sumativa
Tabla N° 12: Tabulación del instrumento de evaluación Sumativa
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 5 1,67 2,78
2
1 1,33 1,78
3 2 1,33 1,78
4
1 1,33 1,78
5 4 0,67 0,44
6
4 1,67 2,78
7 2 1,33 1,78
8
2 0,33 0,11
9 4 0,67 0,44
10
1 1,33 1,78
11 3 0,33 0,11
12
5 2,67 7,11
Σ 20
7,33 14
15,33 Fuente: Instrumento de evaluación Sumativa
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora).
67
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad Instrumento de Evaluación Sumativa
NÚMERO DE ITEM
n = 6
MEDIA ARITMÉTICA
𝑋𝑖𝑚𝑝 =Σ𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
Σ𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =20
6 𝑋𝑝𝑎𝑟 =
14
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 3,33 𝑋𝑝𝑎𝑟 = 2,33
DESVIACION TÍPICA
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝
𝑛 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
Σ x2𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √7,33
6 𝛿𝑝𝑎𝑟 = √
15,33
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,11 𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,60
DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,60 − 1,11
𝛾𝐷 = 0,49
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL
𝛾𝑇 = √Σ x2𝑖𝑚𝑝 + Σ x2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √7,33 + 15,33
12
𝛾𝑇 = 1,37
ALFA
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,243
1,89
𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟏
68
3.7. CRITERIO DE CONFIABILIDAD
Según Hernández, Fernández y Baptista (2006), requiere de una sola administración del
instrumento de medición y produce valores que oscila entre cero y uno. La escala de
valores que determinan la confiabilidad está dada por los siguientes valores:
Tabla N° 13: Niveles de confiabilidad.
CONFIABILIDAD ESCALA
No es confiable -1 a 0
Baja confiabilidad 0.01 a 0.49
Moderada confiabilidad 0.5 a 0.75
Fuerte confiabilidad 0.76 a 0.89
Alta confiabilidad 0.9 a 1
Fuente: Metodología de la investigación (Hernández, Fernández y Baptista, 2006).
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Este coeficiente establece la confiabilidad y consistencia interna de un instrumento, cuanto
más se acerca el coeficiente a la unidad, mayor es la consistencia interna de los indicadores
en el instrumento evaluado.
Tabla N° 14: Interpretación de resultados.
INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
ALPHA DE
CROMBACH
CONFIABILIDAD
Diagnóstica 0,884 FUERTE
Formativa 1 0,978 ALTA
Formativa 2 0,959 ALTA
Formativa 3 0,876 FUERTE
Sumativa 0,871 FUERTE
Fuente: Instrumentos de evaluación
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Se puede determinar, según las escalas de niveles de confiabilidad tomadas como
referencia, que los instrumentos de evaluación poseen confiabilidad ALTA y FUERTE,
llegando así a concluir que los instrumentos de evaluación son confiables para la su
aplicación y recolección de información.
69
CAPÍTULO IV
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A
LOS ESTUDIANTES.
Después de terminar con la experimentación y aplicación de los instrumentos de
evaluación a los estudiantes de grupo de control y experimental, se procedió con la
organización y tabulación de los resultados por medio de medidas descriptivas como son:
Distribución de frecuencia, porcentajes, medias aritméticas, desviación y varianza. En lo
cual se tomó en cuenta los siguientes pasos.
En los instrumentos de evaluación se revisó cada pregunta y se estableció una
calificación según la estructura y grado de dificultad.
Los resultados de los instrumentos de evaluación (diagnostica, formativa 1,
formativa 2, formativa 3 y sumativa) conseguidos en la aplicación a los grupos
experimental y de control se organizaron en tablas para orden la información.
Los resultados de los instrumentos de evaluación fueron procesados en el programa
Microsoft Excel en una hoja de cálculo.
Se procedió a realizar los cálculos de la media aritmética, la desviación estándar, la
varianza y los gráficos estadísticos.
Los resultados obtenidos fueron estudiados en términos descriptivos para poder
interpretarlos y encontrar respuestas a la hipótesis planteada en la investigación.
En la comprobación de la hipótesis se escogió la prueba estadística de distribución
normal Z, denotada por Zt o simplemente Z; al valor crítico que separa las áreas de
70
rechazo y de aceptación de la hipótesis nula. En un ensayo a dos colas, para un
nivel de significancia α=0,05 equivalente al 5%.
En seguida se puede observar las tablas estadísticas del grupo experimental y el grupo de
control realizadas con los instrumentos de evaluación. Para este análisis se debe tomar en
cuenta la simbolización que se presenta a continuación:
𝐍 = Número total de casos.
𝒙𝒊= Variable de calificaciones.
𝒇𝒊= Frecuencias.
Σ𝐟 = Sumatoria de las frecuencias.
𝐞 = Grupo experimental.
𝐜= Grupo control.
𝒙 = Media aritmética.
𝛔 = Desviación típica.
4.1.1. Evaluación diagnóstica
Grupo experimental
Tabla N° 15: Registro de resultados de la Evaluación Diagnóstica del Grupo
Experimental.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 1,67 1 1,67 2,7889 2,7889
2 2,5 3 7,5 6,25 18,75
3 3,33 2 6,66 11,0889 22,1778
4 4,17 3 12,51 17,3889 52,1667
5 5 6 30 25 150
6 5,83 3 17,49 33,9889 101,9667
7 6,67 1 6,67 44,4889 44,4889
8 7,5 2 15 56,25 112,5
Σ 21 97,5 197,2445 504,839
Fuente: Evaluaciones Diagnósticas (Grupo experimental)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
71
Grupo control
Tabla N° 16: Registro de resultados de la Evaluación Diagnóstica del Grupo Control.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 1,67 1 1,67 2,7889 2,7889
2 2,5 1 2,5 6,25 6,25
3 3,33 2 6,66 11,0889 22,1778
4 4,17 4 16,68 17,3889 69,5556
5 5 5 25 25 125
6 6,67 2 13,34 44,4889 88,9778
7 7,5 2 15 56,25 112,5
8 8,33 1 8,33 69,3889 69,3889
Σ 18 89,18 232,6445 496,639
Fuente: Evaluaciones Diagnósticas (Grupo control)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
1.- Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental
𝑥𝑒̅̅ ̅ =𝛴𝑓𝑥𝑒𝑛𝑒
=97,5
21= 4,64
Grupo de control
𝑥�̅� =𝛴𝑓𝑥𝑐𝑛𝑐
=89,18
18= 4,95
2.- Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental
𝜎𝑒 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥 𝑒
2
𝜎𝑒 = √504,839
21− (4,64)2
𝜎𝑒 = √2,48
𝜎𝑒 = 1,57
72
Grupo de control
𝜎𝑐 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑐− 𝑥 𝑐
2
𝜎𝑐 = √496,639
18− (4,95)2
𝜎𝑐 = √3.04
𝜎𝑐 = 1,74
Gráfico N° 3: Estadística Evaluación Diagnóstica.
Fuente: Evaluaciones Diagnóstica
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Al analizar el gráfico estadístico del promedio de la evaluación diagnóstica sobre 10
puntos del grupo experimental y de control se obtuvo lo siguiente: 4,64 y 4,95 para el
grupo experimental y de control respectivamente de lo que se puede observar que el grupo
experimental tiene un promedio inferior al grupo de control. Pese a estos resultados el
promedio no varía con mucha diferencia y se podría decir que parten con un mismo nivel
de conocimientos.
4,644,95
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Experimental Grupo de Control
CA
LIF
ICA
CIO
NE
S
DIAGNÓSTICA
Rendimiento
73
4.1.2. Evaluación Formativa 1
Grupo experimental
Tabla N° 17: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 1 del Grupo
Experimental.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 4,17 3 12,51 17,3889 52,1667
2 5 2 10 25 50
3 5,83 4 23,32 33,9889 135,9556
4 6,67 2 13,34 44,4889 88,9778
5 7,5 5 37,5 56,25 281,25
6 8,33 2 16,66 69,3889 138,7778
7 9,17 2 18,34 84,0889 168,1778
8 10 1 10 100 100
Σ 21 141,67 430,5945 1015,3057
Fuente: Evaluaciones Formativa 1 (Grupo experimental)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Grupo control
Tabla N° 18: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 1 del Grupo Control.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 0,83 2 1,66 0,6889 1,3778
2 2,5 1 2,5 6,25 6,25
3 3,33 1 3,33 11,0889 11,0889
4 4,17 2 8,34 17,3889 34,7778
5 5 3 15 25 75
6 5,83 2 11,66 33,9889 67,9778
7 6,67 3 20,01 44,4889 133,4667
8 7,5 1 7,5 56,25 56,25
9 8,33 1 8,33 69,3889 69,3889
10 9,17 2 18,34 84,0889 168,1778
Σ 18 96,67 348,6223 623,7557
Fuente: Evaluaciones Formativa I (Grupo control)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
74
1.- Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental
𝑥𝑒̅̅ ̅ =𝛴𝑓𝑥𝑒𝑛𝑒
=141,67
21= 6,75
Grupo de control
𝑥�̅� =𝛴𝑓𝑥𝑐𝑛𝑐
=96,67
18= 5,37
2.- Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental
𝜎𝑒 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥 𝑒
2
𝜎𝑒 = √1015,3057
21− (6,75)2
𝜎𝑒 = √2,84
𝜎𝑒 = 1,68
Grupo de control
𝜎𝑐 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑐− 𝑥 𝑐
2
𝜎𝑐 = √623,7557
18− (5,37)2
𝜎𝑐 = √5,81
𝜎𝑐 = 2,41
75
Gráfico N° 4: Estadística Evaluación Formativa 1
Fuente: Evaluaciones Formativa 1
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Al analizar el grafico estadístico del promedio de la evaluación formativa 1 sobre 10
puntos del grupo experimental y de control se obtuvo lo siguiente: 6,75 y 5,37 para el
grupo experimental y de control respectivamente, de lo que se puede observar que el grupo
experimental es superior al grupo de control, por lo que se puede establecer que la técnica
de la ficha es favorable en el rendimiento de los estudiantes.
4.1.3. Evaluación Formativa 2
Grupo experimental
Tabla N° 19:Registro de resultados de la Evaluación Formativa 2 del Grupo Experimental.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 4,17 1 4,17 17,3889 17,3889
2 5 1 5 25 25
3 5,83 4 23,32 33,9889 135,9556
4 6,67 0 0 44,4889 0
5 7,5 3 22,5 56,25 168,75
6 8,33 4 33,32 69,3889 277,5556
7 9,17 4 36,68 84,0889 336,3556
8 10 4 40 100 400
Σ 21 164,99 430,5945 1361,0057
Fuente: Evaluaciones Formativa 2 (Grupo experimental)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
6,75
5,37
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Experimental Grupo de Control
CA
LIF
ICA
CIO
NE
S
FORMATIVA 1
Rendimiento
76
Grupo control
Tabla N° 20: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 2 del Grupo Control
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 0,83 1 0,83 0,6889 0,6889
2 2,5 1 2,5 6,25 6,25
3 4,17 1 4,17 17,3889 17,3889
4 5 3 15 25 75
5 5,83 4 23,32 33,9889 135,9556
6 6,67 3 20,01 44,4889 133,4667
7 7,5 2 15 56,25 112,5
8 8,33 2 16,66 69,3889 138,7778
9 9,17 1 9,17 84,0889 84,0889
Σ 18 106,66 337,5334 704,1168
Fuente: Evaluaciones Formativa 2 (Grupo control)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
1.- Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental
𝑥𝑒̅̅ ̅ =𝛴𝑓𝑥𝑒𝑛𝑒
=164,99
21= 7,86
Grupo de control
𝑥�̅� =𝛴𝑓𝑥𝑐𝑛𝑐
=106,66
18= 5,93
2.- Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental
𝜎𝑒 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥 𝑒
2
𝜎𝑒 = √1361,0057
21− (7,86)2
𝜎𝑒 = √3,08
𝜎𝑒 = 1,76
77
Grupo de control
𝜎𝑐 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑐− 𝑥 𝑐
2
𝜎𝑐 = √704,1168
18− (5,93)2
𝜎𝑐 = √4,00
𝜎𝑐 = 2,00
Gráfico N° 5: Estadística Evaluación Formativa 2.
Fuente: Evaluaciones Formativa 2
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Al analizar el gráfico estadístico del promedio de la evaluación formativa 2 sobre 10
puntos del grupo experimental y de control se obtuvo lo siguiente: 7,86 y 5,93 para el
grupo experimental y de control respectivamente, de lo que se puede observar que el grupo
experimental es superior al grupo de control, por lo que se puede establecer que la técnica
de la ficha es favorable en el rendimiento de los estudiantes
7,86
5,93
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Experimental Grupo de Control
CA
LIF
ICA
CIO
NE
S
FORMATIVA 2
Rendimiento
78
4.1.4. Evaluación Formativa 3
Grupo experimental
Tabla N° 21: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 3 del Grupo Experimental
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 3,33 1 3,33 11,0889 11,0889
2 4,17 1 4,17 17,3889 17,3889
3 5 1 5 25 25
4 5,83 2 11,66 33,9889 67,9778
5 6,67 2 13,34 44,4889 88,9778
6 7,5 4 30 56,25 225
7 8,33 4 33,32 69,3889 277,5556
8 9,17 4 36,68 84,0889 336,3556
9 10 2 20 100 200
Σ 21 157,5 441,6834 1249,3446
Fuente: Evaluaciones Formativa 3 (Grupo experimental)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Grupo control
Tabla N° 22: Registro de resultados de la Evaluación Formativa 3 del Grupo Control
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 0,83 1 0,83 0,6889 0,6889
2 2,5 2 5 6,25 12,5
3 4,17 1 4,17 17,3889 17,3889
4 5 3 15 25 75
5 5,83 2 11,66 33,9889 67,9778
6 6,67 2 13,34 44,4889 88,9778
7 7,5 3 22,5 56,25 168,75
8 8,33 2 16,66 69,3889 138,7778
9 9,17 1 9,17 84,0889 84,0889
10 10 1 10 100 100
Σ 18 108,33 437,5334 754,1501
Fuente: Evaluaciones Formativa 3 (Grupo control)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
79
1.- Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental
𝑥𝑒̅̅ ̅ =𝛴𝑓𝑥𝑒𝑛𝑒
=157,5
21= 7,5
Grupo de control
𝑥�̅� =𝛴𝑓𝑥𝑐𝑛𝑐
=108,33
18= 6,02
2.- Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental
𝜎𝑒 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥 𝑒
2
𝜎𝑒 = √1249,3446
21− (7,5)2
𝜎𝑒 = √3,24
𝜎𝑒 = 1,80
Grupo de control
𝜎𝑐 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑐− 𝑥 𝑐
2
𝜎𝑐 = √754,1501
18− (6,02)2
𝜎𝑐 = √5,68
𝜎𝑐 = 2,38
80
Gráfico N° 6: Estadística Evaluación Formativa 3.
Fuente: Evaluaciones Formativa 3
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Al analizar el gráfico estadístico del promedio de la evaluación formativa 3 sobre 10
puntos del grupo experimental y de control se obtuvo lo siguiente: 7,5 y 6,02 para el grupo
experimental y de control respectivamente, de lo que se puede observar que el grupo
experimental es superior al grupo de control, por lo que se puede establecer que la técnica
de la ficha es favorable en el rendimiento de los estudiantes
4.1.5. Evaluación Sumativa
Grupo experimental
Tabla N° 23: Registro de resultados de la Evaluación Sumativa del Grupo Experimental.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 3,33 1 3,33 11,0889 11,0889
2 4,17 2 8,34 17,3889 34,7778
3 5 2 10 25 50
4 5,83 0 0 33,9889 0
5 6,67 3 20,01 44,4889 133,4667
6 7,5 3 22,5 56,25 168,75
7 8,33 4 33,32 69,3889 277,5556
8 9,17 4 36,68 84,0889 336,3556
9 10 2 20 100 200
Σ 21 154,18 441,6834 1211,9946
Fuente: Evaluaciones Sumativa (Grupo experimental)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
7,5
6,02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Experimental Grupo de Control
CA
LIF
ICA
CIO
NE
S
FORMATIVA 3
Rendimiento
81
Grupo control
Tabla N° 24: Registro de resultados de la Evaluación Sumativa del Grupo Control.
N° Calificaciones
(xi)
Frecuencia
(fi) Fixi xi2 fixi2
1 0,83 1 0,83 0,6889 0,6889
2 3,33 2 6,66 11,0889 22,1778
3 4,17 3 12,51 17,3889 52,1667
4 5 3 15 25 75
5 5,83 3 17,49 33,9889 101,9667
6 6,67 3 20,01 44,4889 133,4667
7 7,5 2 15 56,25 112,5
8 8,33 1 8,33 69,3889 69,3889
Σ 18 95,83 258,2834 567,3557
Fuente: Evaluaciones Sumativa (Grupo control)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
1.- Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental
𝑥𝑒̅̅ ̅ =𝛴𝑓𝑥𝑒𝑛𝑒
=154,18
21= 7,34
Grupo de control
𝑥�̅� =𝛴𝑓𝑥𝑐𝑛𝑐
=95,83
18= 5,32
2.- Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental
𝜎𝑒 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥 𝑒
2
𝜎𝑒 = √1211,9946
21− (7,34)2
𝜎𝑒 = √3,81
𝜎𝑒 = 1,95
82
Grupo de control
𝜎𝑐 = √Σ𝑓𝑥𝑖2
𝑛𝑐− 𝑥 𝑐
2
𝜎𝑐 = √567,3557
18− (5,32)2
𝜎𝑐 = √3,18
𝜎𝑐 = 1,78
Gráfico N° 7: Estadística Evaluación Sumativa
Fuente: Evaluaciones Sumativa
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Al analizar el gráfico estadístico del promedio de la evaluación sumativa sobre 10 puntos
del grupo experimental y de control se obtuvo lo siguiente: 7,34 y 5,32 para el grupo
experimental y de control respectivamente, de lo que se puede observar que el grupo
experimental es superior al grupo de control, por lo que se puede establecer que la técnica
de la ficha es favorable en el rendimiento de los estudiantes.
7,34
5,32
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Experimental Grupo de Control
CA
LIF
ICA
CIO
NE
S
SUMATIVA
Rendimiento
83
4.2. ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS
4.2.1. Hipótesis de investigación
Hi: El uso de las fichas como técnica didáctica influye en el proceso enseñanza aprendizaje
de ecuaciones de la recta de los estudiantes del Primero BGU de la Unidad Educativa
Particular Adventista Ciudad de Quito.
Lenguaje Matemático
Hi: 𝑥 𝑒 ≠ 𝑥 𝐶 :
A1: 𝑥 𝑒 > 𝑥 𝐶
A2: 𝑥 𝑒 < 𝑥 𝐶
4.2.2. Hipótesis nula
Ho: El uso de las fichas como técnica didáctica no influye en el proceso enseñanza
aprendizaje de ecuaciones de la recta de los estudiantes del Primero BGU de la Unidad
Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito.
Lenguaje Matemático
Ho:𝑥 𝑒 = 𝑥 𝐶
A continuación por medio de una tabla se realiza el análisis y prueba de hipótesis con los
cálculos de media aritmética y desviación típica de las evaluaciones aplicadas a los
estudiantes.
Tabla N° 25: Registro de valores obtenidos por evaluaciones del grupo experimental.
No Evaluaciones Media aritmética (𝒙𝒄̅̅ ̅) Desviación típica o estándar (𝝈𝒄)
1 Formativa 1 6,75 1,68
2 Formativa 2 7,86 1,76
3 Formativa 3 7,50 1,80
4 Sumativa 7,34 1,95
PROMEDIO 7,36 1,80
Fuente: Instrumento de evaluación grupo experimental
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
84
Tabla N° 26: Registro de valores obtenidos por evaluaciones del grupo control.
No Evaluaciones Media aritmética (𝒙𝒄̅̅ ̅) Desviación típica o estándar (𝝈𝒄)
1 Formativa 1 5,37 2,41
2 Formativa 2 5,93 2,00
3 Formativa 3 6,02 2,38
4 Sumativa 5,32 1,78
PROMEDIO 5,66 2,14
Fuente: Instrumento de evaluación grupo control
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
4.2.3. Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo
Con la prueba de distribución normal Z se puede saber a cuántas unidades de desviación
estándar del promedio está un puntaje determinado, en la cual se puede establecer la zona
de aceptación o rechazo de la hipótesis nula
El nivel de significancia es un nivel de probabilidad de equivocarse y corresponde a
=5%, como la distribución es bilateral se tiene: =5%
2= 2,5%.
Para descarta la hipótesis nula el valor calculado 𝑍𝐶 se debe encontrar en las zonas de
rechazo, es decir: 𝑍𝐶 < −𝑍𝑇 , 𝑍𝐶 = −1,96 equivalente al 2,5% o también si 𝑍𝐶 > 𝑍𝑇 ,
𝑍𝐶 = 1,96 equivalente al 2,5%.
El valor teórico de Z tienen un nivel de significación =0,05, equivalente a 5%, con una
zona de aceptación del 95%, en lo cual se rechaza la hipótesis nula.
4.3. CÁLCULOS DE LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z
En el cálculo de la prueba paramétrica puntaje Z, se toma en cuenta la media aritmética y
deviación típica o estándar de las evaluaciones formativas y sumativa del grupo
experimental y de control, para lo cual se realiza una tabla de resumen:
85
Tabla N° 27: Promedio de media aritmética y la desviación típica o estándar de
evaluaciones.
N°
Evaluaciones
Grupo experimental Grupo de control
Media
aritmética 𝒙𝒆̅̅ ̅
Desviación
estándar 𝝈𝒆
Media
aritmética 𝒙𝒄̅̅ ̅
Desviación
estándar
𝝈𝒄
1 Formativa 1 6,75 1,68 5,37 2,41
2 Formativa 2 7,86 1,76 5,93 2,00
3 Formativa 3 7,50 1,80 6,02 2,38
4 Sumativa 7,34 1,95 5,32 1,78
PROMEDIO
GENERAL 7,36 1,80 5,66 2,14
Fuente: Instrumento de evaluación grupo control
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
Los datos obtenidos para el cálculo son:
𝒙𝒆̅̅ ̅ = 7,36
𝒙𝒄̅̅ ̅ = 5,66
𝒆 = 1,80
𝒄 = 2,14
𝒏𝒆 = 21
𝒏𝒄 = 18
𝑍 =𝑥𝑒̅̅ ̅ − 𝑥�̅�
√𝜎𝑒2
𝑛𝑒+𝜎𝑐2
𝑛𝑐
𝑍 =7,36 − 5,66
√(1,80)2
21 +(2,14)2
18
𝑍𝑐 =1,7
0,64
𝒁𝒄 = 𝟐, 𝟔𝟔
86
4.4. DETERMINACIÓN DE VALORES CRÍTICOS Y ZONAS DE RECHAZO.
En la comparación de los valores del puntaje 𝑍𝑐 calculado y el puntaje 𝑍𝑡 teórico, se
obtiene:
𝑍𝑐 = 2,66
𝑍𝑡 = 1,96
Por lo tanto se observa que: 2,66 > 1,96
Y se concluye que: 𝑍𝐶 > 𝑍𝑇
El valor de 𝑍𝐶 es 2,66 y se encuentra ubicado en la zona de rechazo de la hipótesis nula,
esto conlleva a rechazar la hipótesis nula 𝑯𝟎: �̅�𝒆 = �̅�𝑪 y aceptar la hipótesis de
investigación Hi: �̅�𝒆 ≠ �̅�𝑪 con la alternativa A1: �̅�𝒆 > �̅�𝑪 , lo cual significa:
El uso de las fichas como técnica didáctica influye en el proceso enseñanza aprendizaje de
ecuaciones de la recta de los estudiantes del Primero BGU de la Unidad Educativa
Particular Adventista Ciudad de Quito.
Gráfico N° 8: Análisis de valores de la Z Teórico y Z Calculado.
Fuente: Programa Geogebra (Cálculo de Z)
Elaborado por: Sáenz Gabriela (Investigadora)
87
CAPÍTULO V
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Una vez terminado el proceso de experimentación y de análisis de resultados se procede a
redactar las conclusiones y recomendaciones con el fin de mejorar el proceso enseñanza
aprendizaje de matemática de la Unidad Educativa Particular Adventista “Ciudad de
Quito”
5.1. CONCLUSIONES
Al finalizar la investigación en la Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito
se plantean varias conclusiones, sobre el uso de fichas como recurso didáctico en el
proceso enseñanza aprendizaje de ecuaciones de la recta, a estudiantes del primero de
Bachillerato las cuales se presentan a continuación:
1) Al observar el rendimiento que se obtuvo en los instrumentos de evaluación
después de la utilización de fichas por parte del grupo experimental (1BGU”B”), se
concluye que el uso de fichas influyó positivamente en el proceso enseñanza
aprendizaje de la temática sobre ecuaciones de la recta.
2) Al comparar los promedios de evaluación formativa I, el grupo experimental
obtuvo un promedio de calificación de 6,75, mientras que el grupo de control
obtuvo un promedio de 5,37; en la evaluación formativa II el grupo experimental
obtuvo un promedio de calificación de 7,86, mientras que el grupo de control
obtuvo un promedio de 5,9; en la evaluación formativa III el grupo experimental
obtuvo un promedio de calificación de 7,5, mientras que el grupo de control obtuvo
un promedio de 6,02; y para finalizar en la evaluación sumativa el grupo
experimental obtuvo un promedio de calificación de 7,34 mientras que el grupo de
control obtuvo un promedio de 5,32; por lo que se puede concluir que el uso de las
88
fichas como recurso didáctico favorece al proceso enseñanza aprendizaje de los
estudiantes del grupo experimental (1°BGU “B”).
3) Al trabajar con las fichas los estudiantes desarrollar varias habilidades, sobre todo
el trabajo individual y el aprendizaje autónomo. También en los estudiantes se
fomentó el interés por aprender matemática al momento de trabajar con material
didáctico.
4) Para los estudiantes trabajar con fichas fue de gran ayuda ya que pudieron realizar
retroalimentación de la temática vista en clase.
5) Gracias a las fichas los estudiantes del grupo experimental en la evaluación
sumativa obtuvieron mejores calificaciones ya que pudieron realizar una
retroalimentación de contenidos de una manera didáctica y divertida.
6) Al terminar la investigación se concluye que influye positivamente el uso las fichas
como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje de ecuaciones de la
recta, en el Primero BGU de la Unidad Educativa Adventista “Ciudad de Quito” en
el año lectivo 2016-2017, en el Municipio de Quito.
5.2. RECOMENDACIONES
En base a la investigación y las conclusiones expuestas anteriormente se puede dar las
siguientes recomendaciones que ayudaran al mejoramiento en el proceso enseñanza
aprendizaje de la asignatura de matemática:
1) Fomentar en los docentes de la Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de
Quito la utilización de la técnica fichas, debido a que es una forma didáctica de
trabajar con los estudiantes y de esta manera ellos puedan llegar al aprendizaje
significativo y elevar el rendimiento académico.
2) Los docentes deben tomar en cuenta los tipos de fichas para trabajar de una manera
didáctica y ser una guía en la elaboración de las mismas.
89
3) Para mejorar el proceso enseñanza aprendizaje es importante que los docentes de la
Unidad Educativa Particular Adventista Ciudad de Quito trabajen con un
documento base ya que este puede ayudar a los estudiantes a tener un aprendizaje
significativo
4) Estimular a los estudiantes a trabajar con fichas porque se alejan de los materiales
tradicionales, son favorables en los procesos de enseñanza aprendizaje y el
aprendizaje significativo, y además con el uso de fichas se consigue que los
estudiantes se involucren, piensen para llegar al resultado.
5) Sugerir a la institución educativa que se promuevan capacitaciones a los docentes
sobre técnicas didácticas en la enseñanza de matemática para generar interés en los
estudiantes y así poder motivarlos.
90
BIBLIOGRAFÍA
Alfaro, A., Chavarría, G. (2003). Uso de las fichas didácticas en v grado de la educación
primaria: Visión de los educadores en San Ramón. Revista Educación 27(2): 103-119
Arias, F. (2006). Proyecto de investigación: introducción a la metodología científica. 5ta
edición. Editorial Epísteme. Caracas, Venezuela.
Bastidas, P. (2004). Estrategias y técnicas didácticas. (2ª ed.). Quito: S&A Editores.
Barroso, J. (2003): Las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación y la
formación del profesorado universitario. III Congreso Internacional Virtual de Educación.
Abril, 2003.
Batalloso, J.M. (2006). La educación como responsabilidad social. Bases para un nuevo
paradigma educativo. Editorial San Marcos. Lima (Perú).
Blasco, J. E., Pérez, J. A. (2007): Metodologías de investigación en las ciencias de la
actividad física y el deporte: ampliando horizontes. Editorial Club Universitario. España.
Brenes, O. (2003). Estrategias didácticas. Costa Rica: Edit. Universidad de Costa Rica
Cadena, J. (2008). Glosario sobre Evaluación y Acreditación de la Educación Superior.
Quito: Prograf Grupo Gráfico.
Castellanos D, Castellanos B. (2000). El proceso de enseñanza aprendizaje desarrollador
en la secundaria básica. La Habana: Centro de Estudios Educacionales, ISPEJV.
Chacón M, L. M. (2010). Técnicas didácticas aplicables al trabajo de aula en las
lecciones de Educación Religiosa. Costa Rica: Edición San José. Disponible en:
http://www.mep.go.cr/sites/default/files/recursos/archivo/antologia_tecnicas_didacticas_ed
ucacion_religiosa.pdf
91
De Zubiría, M. (2006). Los modelos pedagógicos. Hacia una pedagogía dialogante.
Bogota: Cooperativa Editorial Magisterio
Durán M., J. C. (2012). Teorías del Aprendizaje y Modelos Pedagógicos. Ediciones
Opción.
Enseñanza. (2003). En: Diccionario Pedagógico AMEI-WAECE. [en línea] Disponible en:
http://waece.org/diccionario/index.php
Erazo, N. (2012). Tendencias pedagógicas. Paradigma cognitivo (Modelo activista y
constructivista). Recuperado el 30 de Octubre de 2016. Disponible en
http://es.slideshare.net/natyerazo/paradigma-cognitivo-nataly-erazo
Escamilla, J. G. (2000). Selección y Uso de Tecnología Educativa. México: Trillas.
Estrada, M. (Julio 2010). Paradigmas en psicología de la educación. Obtenido de
https://www.uv.mx/pampedia/numeros/numero-7/Paradigmas-de-psicologia-de-la-
educacion.pdf
Elousa, P.(2003). Sobre la validez de los test. Psicothema, 15 (2), 315-321 Obtenido de
http://www.psicothema.com/pdf/1063.pdf
Figueroa, C. (2004). Sistemas de Evaluación Académica. El Salvador: Universitaria. Págs.
87-100
Flotts, P., Manzi, J., Barrios, C., Saldaña, V., Mejías, N., Abarzúa, A. (2016). Aportes para
la enseñanza de la Matemática. UNESCO. Obtenido de
http://unesdoc.unesco.org/images/0024/002448/244855s.pdf
Gago, H. (2002). Apuntes acerca de la evaluación educativa. México. Secretaría de
Educación Pública
92
García, M. (2008). Paradigma Contemporáneo en Investigación Educativa. Ponencia
presentada en las IV Jornadas de Investigación, Universidad Simón Rodríguez.
Barquisimeto
Granata et al. (2000). La enseñanza y la didáctica. Aproximaciones a la construcción de
una nueva relación. Fundamentos en Humanidades. Enero-junio año 1, número 1.
Universidad Nacional de San Luís. Pp. 40-49.
González S., D. (2000). Una concepción integradora del aprendizaje humano, en Revista
Cubana de Psicología, v.17, n.2.
Hernández, G. (2010). Paradigmas en psicología de la educación. México: Editorial
Paidós Educador Mexicana, S. A.
Hernández, R.; Fernández, C. y Baptista, P. (2006). Metodología de la Investigación.
México. Editorial McGraw Hill.
Hernández, R. (2007). Fundamentos de la Metodologia de la Investigacion. McGraw Hill/
Interamericana de España.
Herrera, F. (25 de Octubre de 2003). Investigaciones- filosofía de ansiedad. Obtenido de
http://www.filosofia.uchile.cl/investigacion/51916/francisco-herrera
Kerlinger, F. y Lee, H. (2002). Investigación del comportamiento: Métodos de
Investigación en Ciencias Sociales. México: McGraw Hill Interamericana.
Latorre, A. (2003). La investigación- acción: conocer y cambiar la práctica educativa.
Barcelona: Grao.
Lejter de B., J. (2000). Instrucción y aprendizaje significativo, Ediciones Universidad
Pedagógica Experimental Libertador.
Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI). (25 de 08 de 2015). Ley Orgánica de
Educación Intercultural. Obtenido de http://educacion.gob.ec/wp-
93
content/uploads/downloads/2015/09/Ley-Organica-Reformatoria-a-la-Ley-Organica-de-
Educacion-Intercultural-LOEI.pdf
Ley Orgánica de Educación Superior. (2010). Ley Orgánica de Educación Superior. Quito:
eSilec.
Lucci, M.A. (2006). Revista de currículum y formación del profesorado. Obtenido de
http://www.ugr.es/~recfpro/rev102COL2.pdf
Luna, L. (19 de Mayo de 2011). Teorías Conductistas Y Cognitivas del Aprendizaje.
Obtenido de http://teoriasconductistasdelaprendizaje.blogspot.com/2011/05/paradigmas-
concepto-evolucion-tipos.html
Mallart, J. (2001) Didáctica: Concepto, objeto y finalidades. En Sepúlveda, F., Rajadell,
N.( Coords) Didáctica General para Psicopedagogos. Madrid: UNED. Pp. 23-57.
Modelos pedagógicos. 2012. Obtenido
de http://modelospedagogicos.webnode.com.co/modelo-pedagogico-conceptual/
Orozco, A. M. (Mayo de 2009). Cuadro Comparativo-Paradigmas Educativos. Obtenido
de Centro de Estudio en Comunicación y Tecnología Educativa: https://etic-
grupo10.wikispaces.com/file/view/14863409-PARADIGMASEDUCATIVOS.pdf
Ortiz, A. (2005) Modelos pedagógicos: hacia una escuela del desarrollo integral.
Barranquilla-Colombia: Centro de Estudios Pedagógicos y Didácticos. CEPEDID.
Pérez, M. E. (16 de Septiembre de 2011). Intervención educativa. Obtenido de
http://uvprintervencioneducativa.blogspot.com/2011/09/la-intervencionsocioeducativa-
por.html
Picardo, O. (2005). Diccionario Enciclopédico de Ciencias de la Educación. San Salvador:
Colegio García Flamenco
Pick, S. y López A. (2000) Cómo investigar en ciencias sociales. México: Trillas.
94
Ramos, F. (2008). Procesamiento de Datos e Informática Educativa. [Blog] Blooger.
Available at: http://fabiola2424.blogspot.com/2008/07/qu-es-un-procesamiento-de-
datos.html [Accessed 6 Oct. 2017].
Rodríguez, C. (29 de Octubre de 2013). Educa y aprende. Obtenido de
http://educayaprende.com/el-valor-fichas-didacticas/
Rodríguez, J. (Enero-Junio 2013). Una mirada a la pedagogía tradicional y humanista.
Obtenido de
http://eprints.uanl.mx/3681/1/Una_mirada_a_la_pedagog%C3%ADa_tradicional__y_hum
anista.pdf
Rodríguez, M. J. (2005). Aplicación de las TIC a la evaluación de alumnos universitarios.
Revista Electrónica Teoría de la Educación, Disponible en:
http://campus.usal.es/~teoriaeducacion/rev_numero_06_2/n6_02_art_rodriguez_conde.htm
Rojas, F. (2001). Enfoques sobre el aprendizaje humano. Universidad Simón Bolívar,
Caracas-Venezuela.
Tamayo, M. (2007). El proceso de la Investigación Científica. México. Editorial Limusa
Tenbrink, T. (2006). Evaluación, Guía práctica para profesores. Madrid: Narcia S.A.
Ediciones.
Torres, H., Girón, D. (2009). Didáctica general. San José, C.R.: Coordinación Educativa y
Cultural Centroamericana.
Urbina, S. (2003). Informática y Teorías del Aprendizaje. Obtenido de Universitat de les
Illes Ballears
https://campusvirtual.univalle.edu.co/moodle/pluginfile.php/126087/mod_resource/content
/0/informatica_y_teorias_-_urbina.pdf
Valero, J. M. (2000). Educación personalizada. México: Editorial Progreso.
95
ANEXOS
Anexo N° 1: Documento Base
96
INTRODUCCIÓN
La geometría es una parte de la matemática que, por su esencia misma (estructura, lógica,
formalidad, demostración como su método y lenguaje preciso) posibilita el desarrollo del
pensamiento para resolver problemas de la vida diaria ya que estudia las propiedades y las
medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de
la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o
axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman
cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y
puntos, entre otras.
Además, la sociedad del conocimiento científico en la que vivimos requiere de individuos
capaces de adaptarse a los cambios que ésta fomenta; así, las destrezas matemáticas son
capacidades fundamentales sobre las cuales se cimientan otras destrezas requeridas en el
mundo laboral.
En el primero de bachillerato se desarrollan destrezas de las cuales se desglosan una de
serie de contenidos como: Ecuaciones de la recta, ecuación vectorial, ecuación
paramétrica, ecuación general y explicita de la recta, ecuación canónica, ecuación punto
pendiente, rectas paralelas y perpendiculares. Destrezas con el objetivo de ser herramientas
en la solución de problemas modelándolos con lenguaje matemático, resolviéndolos
eficientemente e interpretando su solución en un marco inicial para enfrentan nuevos retos
en el campo investigativo que conlleven un desarrollo profesional.
El presente documento es una propuesta pedagógica que busca desarrollar y potenciarlas
destrezas como analizar, razonar, interpretar y resolver problemas en el campo de la
geometría, y a su vez proporcionar al docente un material didáctico de apoyo que permita
avanzar con seguridad en los contenidos referentes a la ecuación de la recta.
Este documento base es una recopilación de contenidos, definiciones, ejemplos,
aplicaciones y actividades propuestas referentes a ecuaciones de la recta: ecuación
vectorial, ecuación paramétrica, ecuación general y explicita de la recta, ecuación
canónica, ecuación punto pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, que fortalece el
aprendizaje del tema.
Los ejemplos están desarrollados con procesos detallados, imágenes claras y precisas que
constituyen una base fundamental para el razonamiento de los estudiantes.
“Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado, un esfuerzo total es
una victoria completa”- Mahatma Gandhi
97
OBJETIVOS
Desarrollar la curiosidad y la creatividad en el uso de herramientas matemáticas al
momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad
Conocer las diferentes formas de expresar una recta mediante una ecuación.
Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta para
escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta.
Determinar la posición relativa de dos rectas en R2 (rectas paralelas, que se cortan,
perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones
o de barcos para determina si se interceptan).
Aplicar las diferentes ecuaciones de la recta en la resolución de problemas
98
ÍNDICE
99
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN A LA
RECTA
Debido a la precaria salud que padecía
desde niño, René Descartes tenía que pasar
innumerables horas en cama. Aprovechaba
para pensar en filosofía, matemáticas,
divagar e incluso se permitía perder el
tiempo pensando en las musarañas.
Teniendo su vista perdida en el techo de la
estancia fue una mosca a cruzarse en su
mirada, cosa que hizo que la siguiera con la
vista durante un buen rato, mientras
pensaba y se preguntaba si se podría
determinar a cada instante la posición que
tendría el insecto, por lo que pensó que si se
conociese la distancia a dos superficies
perpendiculares, en este caso la pared y el
techo, se podría saber.
Mientras le daba vueltas a esto se levantó
de la cama y agarrando un trozo de papel
dibujó sobre él dos rectas perpendiculares:
cualquier punto de la hoja quedaba
determinado por su distancia a los dos ejes.
A estas distancias las llamó coordenadas
del punto: acababan de nacer las
Coordenadas Cartesianas, y con ellas, la
Geometría Analítica. Extraído de: http://goo.gl/u5VqML
100
LA RECTA
Noción
La recta se entiende como una sucesión infinita de puntos alineados en una
única dirección (unidimensional)
Las rectas no tienen comienzo ni final: son líneas compuestas de puntos que
se suceden de manera indefinida y se nombran mediante dos de sus puntos o
por una letra minúscula.
Una recta es la representación gráfica de una función de
primer grado.
Toda función de la forma y=ax + b de IR en IR representa
una línea recta.
La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la
variable independiente ya que puede tomar cualquier valor,
mientras que y se llama variable dependiente, ya que su
valor está determinado por el valor que tome x.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que
ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo:
El punto (7,2) satisface la ecuación y=x-5, ya que al reemplazar queda
2=7-5 ⇒ 2=2 lo que resulta verdadero.
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de
coordenadas IR x IR, siendo “x” el valor de la abscisa e “y” el valor de la ordenada.
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo:
El punto (-3, 5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5.
¿Te acuerdas?
El nombre que recibe
la expresión algebraica
(función) que
determine a una recta
dada se denomina
Ecuación de la Recta.
¡Sabías que!
La recta es un
término no definido
en la geometría así
como el punto y
plano
101
Tipos de ecuaciones de la recta
Existen distintas formas para expresar la ecuación de una recta y son las que veremos a
continuación:
Vectorial
Paramétrica
Continua
Ecuaciones de la recta General
Explicita
Punto-pendiente
Canónica
DEFINICIONES IMPORTANTES
Es importante conocer algunas definiciones previas antes de presentar la ecuación de la
recta, como son:
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones que contiene términos conocidos y una o más
variables.
102
primer miembro segundo miembro
3𝑥 − 1 = 9 + 𝑥
Para resolver una ecuación debemos despejar la variable
como veremos en los siguientes ejemplos:
Encuentre el valor de x en la siguiente ecuación
2𝑥 − 3 = 6 + 𝑥 2𝑥 − 𝑥 = 6 + 3
𝑥 = 9
Ejercicios resueltos de ecuaciones
Resuelva las siguientes ecuaciones
1) 𝑥−1
6−
𝑥−3
2= −1
𝑥 − 1 − 3(𝑥 − 3) = −6
𝑥 − 1 − 3𝑥 + 9 = −6
𝑥 − 3𝑥 = −6 − 9 + 1
−2𝑥 = −14
𝑥 =14
2
𝑥 = 7
2) 4(𝑥 − 10) = −6(2 − 𝑥) − 6𝑥
4𝑥 − 40 = −12 + 6𝑥 − 6𝑥
4𝑥 − 6𝑥 + 6𝑥 = −12 + 40
4𝑥 = 28
𝑥 =28
4
𝑥 = 7
3) 𝑥−1
4−
𝑥−5
36=
𝑥+5
9
9(𝑥 − 1) − (𝑥 − 5) = 4(𝑥 + 5) 9𝑥 − 9 − 𝑥 + 5 = 4𝑥 + 5
9𝑥 − 𝑥 − 4𝑥 = 20 + 9 − 5
4𝑥 = 24
𝑥 =24
4
𝑥 = 6
¿Te acuerdas?
Variable es un término
desconocido que
también lleva el
nombre de incógnita.
103
4) 3𝑥+1
7−
2−4𝑥
3=
−5𝑥−4
14+
7𝑥
6
6(3𝑥 + 1) − 14(2 − 4𝑥) = 3(−5𝑥 − 4) + 49𝑥
18𝑥 + 6 − 28 + 56𝑥 = −15𝑥 − 12 + 49𝑥
18𝑥 + 56𝑥 + 15𝑥 − 49𝑥 = −12 − 6 + 28
40𝑥 = 10
𝑥 =10
40
𝑥 =1
4
5) 5
𝑥−7=
3
𝑥−2
5(𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 7) 5𝑥 − 10 = 3𝑥 − 21
5𝑥 − 3𝑥 = −21 + 10
2𝑥 = −11
𝑥 = −11
2
6) 6 (𝑥+1
8−
2𝑥−3
16) = 3 (
3
4𝑥 −
1
4) −
3
8(3𝑥 − 2)
6(𝑥 + 1)
8−6(2𝑥 − 3)
16=9
4𝑥 −
3
4−9
8𝑥 +
6
8
6𝑥 + 6
8−12𝑥 − 18
16=9
4𝑥 −
3
4−9
8𝑥 +
6
8
2(6𝑥 + 6)− (12𝑥 − 18) = 36𝑥 − 12 − 18𝑥 + 12 12𝑥 + 12 − 12𝑥 + 18 = 36𝑥 − 12 − 18𝑥 + 12
12 + 18 = 36𝑥 − 18𝑥
18𝑥 = 30
𝑥 =30
18
𝑥 =5
3
104
Ejercicios propuestos de ecuaciones
1. 2𝑥 + 5 – 𝑥 = 5 – 2𝑥 + 6
2. 4𝑥 + 6 + 𝑥 = 5 + 9𝑥 + 9
3. 8𝑥 + 5 + 𝑥 = −7 + 3𝑥 + 1
4. 2 + 3 (1 − 2𝑥) = 2 (2 + 3𝑥) − 3
5. −3(−6𝑥 + 5) = −3𝑥 + 9 − 2 (8 + 𝑥)
6. 2 (4𝑥 + 5) = −4𝑥 + 1 − 2(−6 + 𝑥)
7. 2(−4𝑥 − 2) + 4(3 + 𝑥) = 7𝑥 + 4
8. −3 (−3𝑥 − 6) + 2(6 + 𝑥) = −2𝑥 + 6
9. −2 (−8𝑥 − 5) = 9𝑥 + 5 − 2(9 + 𝑥)
10. −1 + 4𝑥 + 1 = −9𝑥 – 1 + 𝑥
105
Vector
Es un elemento de un espacio vectorial, se define como un segmento de recta orientado que
va desde un punto P hasta un punto Q
Operaciones con vectores
Suma.- La suma de dos vectores 𝐴 = (𝐴𝑥; 𝐴𝑦) y �⃗⃗� = (𝐵𝑥; 𝐵𝑦) es el
vector
𝐴 + �⃗⃗� = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥; 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)
Resta.- Para restar dos vectores, usamos el concepto de elemento
opuesto de la suma. Por ello, dados dos vectores 𝐴 𝑦 �⃗⃗�, para obtener
𝐴 𝑦 − �⃗⃗�, basta con construir el vector – �⃗⃗�, y sumarlo al vector 𝐴 . Así,
𝐴 − �⃗⃗�=𝐴 + (−�⃗⃗�)
Si 𝐴 = (𝐴𝑥; 𝐴𝑦) y �⃗⃗� = (𝐵𝑥; 𝐵𝑦) entonces 𝐴 − �⃗⃗� = (𝐴𝑥 − 𝐵𝑥; 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦)
¿Te acuerdas?
Elementos del vector
son: módulo, dirección
y sentido
106
Producto de un número real por un vector.- Llamamos producto de un número real k
por un vector 𝐴 y lo representamos por k ⋅ 𝐴
𝑘𝐴 = (𝑘𝐴𝑥; 𝑘𝐴𝑦)
Producto escalar entre dos vectores.- El producto escalar o también conocido como
producto punto, entre dos vectores, es un número real que se obtiene al multiplicar los
módulos de los vectores considerados entre sí, por el coseno del ángulo formado entre
estos vectores o también con la suma de los productos de las componentes en x e y
𝐴. �⃗⃗� = 𝐴 . 𝐵 cos 𝜃
𝐴. �⃗⃗� = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦
Ejercicios resueltos de ecuaciones
1) Dados los siguientes vectores:
�⃗⃗� = (2, −1); �⃗� = (3,4) Calcular:
a) �⃗⃗� + �⃗�
b) �⃗⃗� − �⃗�
c) 4�⃗⃗�
d) 3�⃗⃗� − �⃗�
Solución:
a) �⃗⃗� + �⃗� = (2,−1) + (3,4) = (2 + 3, −1 + 4) = (5,3)
b) �⃗⃗� − �⃗� = (2,−1) − (3,4) = (2 − 3, −1 − 4) = (−1.−5)
c) 4�⃗⃗� = 4(2,−1) = (8,−4)
d) 3�⃗⃗� − �⃗� = 3. (2, −1) − (3,4) = (6,−3) − (3,4) = (6 − 3,−3 − 4) = (3.−7)
2) Dados los siguientes vectores:
�⃗⃗� = (1,1); �⃗� = (−1,2); �⃗⃗⃗� = (3,1) Calcular:
a) �⃗⃗� + �⃗�
b) −�⃗⃗⃗� + 2�⃗�
c) 3�⃗�
d) 2(�⃗⃗� + �⃗�) − 4�⃗⃗⃗�
Solución:
a) �⃗⃗� + �⃗� = (1,1) + (−1,2) = (0,3)
b) −�⃗⃗⃗� + 2�⃗� = −(3,1) + 2(−1,2) = (−3,−1) + (−2,4) = (−5,3)
c) 3�⃗� = 3(−1,2) = (−3,6)
107
d) 2(�⃗⃗� + �⃗�) − 4�⃗⃗⃗� = 2[(1,1) + (−1,2)] − 4(3,1) = 2(0,3) − 4(3,1) = (0,6) − (12,4) = (−12,2)
3) Halla el producto escalar de los siguientes vectores.
a) �⃗⃗� = (1, −3); �⃗� = (4,2) b) �⃗⃗� = (3,5); �⃗� = (−2,0)
Solución:
a) �⃗⃗� = (1, −3); �⃗� = (4,2) �⃗⃗�. �⃗� = (1,−3). (4,2) = 1.4 + (−3). 2 = 4 − 6 = 2
b) �⃗⃗� = (3,5); �⃗� = (−2,0) �⃗⃗�. �⃗� = (3,5). (−2,0) = 3. (−2) + 5.0 = −6 + 0 = −6
Ejercicios propuestos de vectores
1) Sean los vectores �⃗⃗� = (1, −3); �⃗� = (2,−1); �⃗⃗⃗� = (1,1). Calcule las componentes de los siguientes vectores:
a) �⃗⃗� + �⃗� + �⃗⃗⃗�
b) 2. �⃗⃗⃗�. �⃗⃗�
c) 2. �⃗� − �⃗⃗� − �⃗⃗⃗�
d) −4. �⃗� + �⃗⃗� − 2�⃗⃗⃗�
2) Sabemos que el vector �⃗� tiene estas componentes: (-10, 8). Halla un vector �⃗⃗⃗� tal
que �⃗⃗⃗� + �⃗� = (7, 2)
3) Calcula las componentes del vector �⃗⃗�=2⋅�⃗� -3⋅�⃗⃗⃗�, sabiendo que �⃗� = (−3𝑖 + 6𝑗) y
�⃗⃗⃗� = (7𝑖 − 3𝑗).
4) Calcula el producto escalar de los vectores �⃗� = (−5, 12) y �⃗⃗⃗� = (8, 15)
5) Dados los vectores �⃗⃗� = (−2, 5) y �⃗� = (−5, 7), halla (2 ⋅ �⃗⃗�) ⋅ (−3 ⋅ �⃗�).
6) Dados los vectores �⃗⃗� = (2,5), �⃗� = (−3, 4) y �⃗⃗⃗� = (5, 12) a) Hallar 2. �⃗⃗� + 3. �⃗� − 5. �⃗⃗⃗�
b) Hallar (2. �⃗⃗�). (3. �⃗�)
7) Las coordenadas de los puntos A,B,C y D son: A(-1,3) ; B(0,6); C(4,-7); D(-4,0)
Calcular el resultado de estas operaciones
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
c) 𝐶𝐷 − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
d) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
e) 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
108
f) −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
8) Sabiendo que 𝐴 = (−3,3) calcular k. 𝐴 , cuando:
a) k=2
b) k=-4
c) k=1/2
9) Calcular el producto punto entre los siguientes vectores
a) 𝐴 = (0,−5) y �⃗⃗� = (4,3)
b) 𝐴 = (2,2) y �⃗⃗� = (−3,−1)
c) 𝐴 = (3,−4) y �⃗⃗� = (−3,5)
10) Sabemos que las componentes del vector �⃗�son (8, - 6). Halla un vector �⃗⃗⃗� tal que �⃗⃗⃗�
+ 3 · �⃗� = (1, 4).
109
UNIDAD II
ECUACIÓN VECTORIAL
Y PARAMÉTRICA DE
LA RECTA
El cálculo vectorial alcanzo su pleno
desarrollo gracias a Jovial Gibbs, que en su
libro Elements of Vector Analysis
(1863) introdujo la notación vectorial más
común en la actualidad. La gran claridad en
la exposición de conceptos físicos que
permite dicho formalismo quedo plasmada
por JamesClerk Maxwell en su obra
maestra
Treatise on Electricity and Magnetismo
(1873), donde sentó las bases del
electromagnetismo clásico.
110
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que
conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de
la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto A y un vector de
posición �⃗�, que indica su dirección.
Si P=(x, y) es un punto cualquiera de la recta y 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Son vectores posición de P y A
respectivamente, aplicando la suma de vectores se verifica que cualquier punto P cumplirá:
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Como el vector 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tiene la misma dirección que el
vector �⃗� existe un número t tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 . �⃗�, siendo t
un número real; también 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =�⃗⃗� y 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴,
reemplazamos en la igualdad anterior y tenemos la
Ecuación Vectorial de la Recta:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
Que se puede expresar también:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥, 𝑣𝑦)
Ejemplo:
1. Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene como
vector de dirección �⃗� = (2,1)
Solución:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (2,3) + 𝑡(2,1) (𝑥, 𝑦) = (2,3) + 𝑡(2,1)
2. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(-2,3) y R(1,4)
Solución:
Graficando se obtiene:
111
Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el
vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta
�⃗� = 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − 𝐴 = (1,4) − (−2,3) = (3,1)
Luego la ecuación vectorial es:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (−2,3) + 𝑡(3,1) (𝑥, 𝑦) = (−2,3) + 𝑡(3,1)
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Para hallar el punto medio del segmento que une dos puntos P y Q, podemos utilizar la
ecuación vectorial de la recta.
Sea el vector posición del punto medio del segmento PQ.
�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� +1
2 . 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 , 𝑃𝑦) +1
2(𝑄𝑥 − 𝑃𝑥 , 𝑄𝑦 − 𝑃𝑦)
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 +1
2(𝑄𝑥 − 𝑃𝑥) , 𝑃𝑦 +
1
2(𝑄𝑦 − 𝑃𝑦))
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 + 𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦 + 𝑄𝑦
2)
Mediante esta demostración se puede mencionar la definición de punto medio a
continuación:
¡Recuerda!
Para hallar un vector
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ se debe restar el
punto final menos el
inicial.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴
Definicion.- El punto medio M de un
segmento PQ es la semisuma de las
coordenadas de P y Q.
112
Ejemplo:
Calcular el punto medio del segmento PQ si P=(5,3) y Q=(-2,4)
𝑀 = (5 + (−2)
2,3 + 4
2)
𝑀 = (5 − 2)
2,3 + 4
2)
𝑀 = (3
2,7
2)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial:
Si expresamos la ecuación vectorial de la recta utilizando las componentes de los vectores
y operamos, se obtiene:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑡 . 𝑣𝑥 , 𝑡 . 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦)
Igualamos las componentes
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
Del mismo modo, si queremos saber si un punto concreto
pertenece a la recta, sustituiremos el punto en la ecuación dada
y resolveremos. El punto pertenecerá a la recta si el valor de t
obtenido es el mismo para ambas ecuaciones.
Ejemplo:
La ecuación vectorial de una recta en el plano es (x,y)=(2,3)+t(-2,1) determina su ecuación
paramétrica
Solución:
Despejemos igualando componente a componente
(𝑥, 𝑦) = (2,3) + (−2𝑡, 1𝑡) (𝑥, 𝑦) = (2 − 2𝑡 , 3 + 1𝑡)
{𝑥 = 2 − 2t𝑦 = 3 + 1t
¡Sabías que!
Igual que en la
ecuación vectorial, los
diferentes puntos de la
recta se obtienen dando
valores al parámetro t.
113
Ejercicios resueltos
1) Una recta pasa por el punto 𝐴 (3, −2) y tiene un vector
director �⃗� = (−1, 3). Escribir su ecuación vectorial.
Solución:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (3, −2) + 𝑡(−1,3) (𝑥, 𝑦) = (3,−2) + 𝑡(−1,3)
2) Una recta pasa por el punto 𝐴(−1, 3) y tiene un vector director �⃗� = (2, 5). Escribir
su ecuación vectorial.
Solución:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (−1,3) + 𝑡(2,5) (𝑥, 𝑦) = (−1,3) + 𝑡(2,5)
3) Dados los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(−1,1) de una recta. Calcular la ecuación vectorial.
Solución:
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − 𝐴 = (−1,1) − (−2,5) = (1,−4)
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (−2,5) + 𝑡(1,−4) (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(1,−4)
4) Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los
dados puntos 𝐴(−1, 3) 𝑦 𝐵(6, 5).
Solución:
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 + 𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦 + 𝑄𝑦
2)
(𝐶𝑥, 𝐶𝑦) = (−1 + 6
2 ,3 + 5
2)
(𝐶𝑥, 𝐶𝑦) = (5
2 , 4)
5) Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (−2,4). Si un extremo del
segmento es 𝐴 (1, −1). Hallar las coordenadas de B.
Solución:
114
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥+𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦+𝑄𝑦
2) Partimos de la ecuación del punto medio
(−2,4) = (1+𝑄𝑥
2 ,−1+𝑄𝑦
2) Reemplazamos los valores del punto medio y punto dado
−2 =1+𝑄𝑥
2 𝑦 4 =
−1+𝑄𝑦
2 Igualamos componentes
𝑄𝑥 = −5 𝑦 𝑄𝑦 = 9 Despejamos valores en x e y
𝐵(−5,9)
6) Dados el punto 𝐴 (−3; 2) y el vector director 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗ = (2 , − 5) hallar las ecuaciones
paramétricas
Solución:
Hemos visto que la recta que pasa por el punto 𝐴(−3; 2) y es paralela al vector director
𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗ = (2;− 5) tiene como ecuación vectorial
(𝑥, 𝑦) = (−3; 2) + 𝑡(2;−5).
De dicha ecuación se sigue que:
(𝑥, 𝑦) = (−3; 2) + 𝑡(2;−5) (𝑥, 𝑦) = (−3 + 2𝑡; 2 − 5𝑡 ),
De donde, por la igualdad de pares ordenados se concluye que
{𝑥 = −3 + 2𝑡𝑦 = 2 − 5𝑡
son las ecuaciones paramétricas de la recta.
Es claro que si damos valores al parámetro t,
obtendremos en cada caso un punto de la recta. Así
por ejemplo, si:
• t = 1, obtenemos en la recta el punto 𝑃1 =(−1;−3) . • t = 2, obtenemos en la recta el punto 𝑃2 = ( 1; −8) • t = 0, obtenemos evidentemente el punto A.
• t = −1, obtenemos en la recta el punto 𝑃3 =(−5; 7)
7) Dados el punto 𝐴(−2,5) y 𝐵(−1,1) de una recta:
a) Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas
b) Estudia si el punto 𝐶(−1,9) pertenece a la recta
Solución:
115
Como la recta pasa por los puntos A y B, podemos tomar como vector director de la recta
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−1—(−2) , 1 − 5) = (1.−4)
a) La ecuación vectorial es:
(𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(1,−4) Las ecuaciones paramétricas:
{𝑥 = −2 + 𝑡𝑦 = 5 − 4𝑡
b) En las ecuaciones paramétricas sustituimos las coordenadas del punto C por x y:
{−1 = −2 + 𝑡9 = 5 − 4𝑡
Despejamos t en las dos ecuaciones:
{𝑡 = −1 + 2 = 1
𝑡 =9 − 5
−4= 1
Como en ambos casos se obtiene el mismo valor, se determina que C (-1,9)
pertenece a la recta
8) Calcular las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los puntos
𝐴 (−3;−4) y 𝐵 (2; 5)
Solución:
Calculando el vector director tenemos:
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (2—(−3) , 5 − (−4)) = (5,9)
Su ecuación vectorial está dada por:
(𝑥 , 𝑦) = (−3;−4) + 𝑡 (5; 9), donde se deduce que sus ecuaciones paramétricas son:
{𝑥 = −3 + 5𝑡𝑦 = −4 + 9𝑡
116
Ejercicios propuestos
1) Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por:
a. 𝐴 (3
4,1
2) 𝑦 �⃗� = (0,75; 0,15)
b. �⃗� = (0,75; 0,15)y el punto 𝐵(−8,−5)
2) Hallar las coordenadas del punto B si son conocidos los puntos 𝐴(−1, 3) y puntos
𝐶(1; 5) del punto medio del segmento AB.
3) Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos determinados por los
siguientes pares de puntos:
a. (−4; 8) 𝑦 (−3,−7) b. (4, −6) 𝑦 (1; 5)
4) Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos
son los puntos 𝐴 (−3, 5) 𝑦 𝐵 (4, −5).
5) Dados los puntos 𝑃 (−2, 7) 𝑦 𝑄 (10,−1). Sea M el punto medio de PQ y N el
punto medio de PM. Encuentra las coordenadas de N.
6) Si M (5, -3) es el punto medio del segmento de recta que une a (x, -2) y (6, y).
Encuentra los valores de x e y.
7) Dadas la siguiente ecuación vectorial de una recta:
(𝑥, 𝑦) = (4,8) + 𝑡(−3,5) , Indica un punto de esta recta
y su vector director.
8) Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones
paramétricas de la recta que pasa por los puntos
𝐴(−5,2) 𝑦 𝐵(0,1)
9) Estudia si los puntos 𝐴(7,4) , 𝐵(1,2) 𝑦 𝐶(0,0) pertenecen o no a la recta:
{𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = 2𝑡
10) En cada uno de los siguientes casos halle una ecuación vectorial y las ecuaciones
paramétricas de la recta que pasa por:
a. El punto (0,1) y es paralela al vector �⃗� = (2,5) b. Los puntos A(-1,0) y B(4,-2)
c. Los puntos P(0,0) y Q(3,0)
11) Una recta pasa por el punto 𝐴(−1, 3) y tiene un vector director vector �⃗� = (2,5). Escribir su ecuación vectorial y sus ecuaciones paramétricas.
12) Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto
𝐴(1 , −3) y es paralela al vector �⃗� = (2,1)
117
13) Calcular todas las ecuaciones de la recta definidas por :
𝐴(1,2) 𝑦 �⃗� = (3,4) 𝐴(−1,4)𝑦 �⃗� = (−3,2) 𝐴 ( 2, −1 ) 𝑦 𝐵( −1,4) 𝐶(−4,0) 𝑦 𝐷(−2,2)
118
UNIDAD III ECUACIÓN CONTINUA
Y GENERAL DE LA
RECTA
Euclides, el padre de la geometría Euclides
(325 a. C. -265 a. C.) fue un matemático y
geómetra griego, autor de la obra Los
elementos en la que describe de manera
formal el estudio de elementos del plano,
resumidos en cinco postulados. En ella
aparece la primera definición de la línea
recta: «Es aquella que yace por igual
respecto de los puntos que están en ella».
119
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e
igualando expresiones resultantes:
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
Despejando t
{
𝑡 =𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
𝑡 =𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
Igualando ambas expresiones 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
Esta última igualdad sería la ecuación continua de la recta.
EJEMPLO:
Dada a la recta expresada en forma vectorial: (𝑥, 𝑦) = (2,1) + 𝑡(4,3). Hallar la ecuación
en forma continua.
Solución:
Con ayudad e la formula puedo expresar esta ecuación en forma directa de la siguiente
manera:
¡Recuerda!
La ecuación continua
solo tiene sentido si las
componentes del vector
director de la recta son
distintas de cero
120
𝑥 − 2
4=𝑦 − 1
3
En caso de no recordar al fórmula directa podemos resolver primero hallando las
ecuaciones paramétricas y después despejar t e igualar, de la misma forma que se realizó la
formulación de esta ecuación. Entonces:
Las ecuaciones paramétricas son:
(𝑥; 𝑦) = (2 + 4𝑡 ; 1 + 3𝑡) 𝑥 = 2 + 4𝑡 𝑦 = 1 + 3𝑡
Despejando t en cada ecuación paramétrica se
obtiene:
𝑡 =𝑥 − 2
4
𝑡 =𝑦 − 1
3
Igualando t obtenemos la ecuación continua.
𝑥 − 2
4=𝑦 − 1
3
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta, también llamada cartesiana o implícita la obtenemos a
partir de la ecuación continua. 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
(𝑥 − 𝑥1)𝑣𝑦 = (𝑦 − 𝑦1) 𝑣𝑥
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 = 𝑦. 𝑣𝑥 − 𝑦1. 𝑣𝑥
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 − 𝑦. 𝑣𝑥 + 𝑦1. 𝑣𝑥 = 0
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑦. 𝑣𝑥 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 + 𝑦1. 𝑣𝑥 = 0
Si realizamos cambios A por 𝑣𝑦 , B por −𝑣𝑥 , y C por
−𝑥1 . 𝑣𝑦 + 𝑦1. 𝑣𝑥 obtenemos la ecuación general de la recta
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Donde A, B y C son números reales
El vector director de la recta es �⃗� = (−𝐵, 𝐴)
Ejemplo:
Hallemos la ecuación general de la recta cuyo vector director es �⃗� = (3, − 5) y pasa por el
punto 𝑃 = (1, − 2).
¡Sabías que!
La pendiente de la
recta es 𝑚 = −𝐴
𝐵
El corte con el eje y
es 𝑛 = −𝐶
𝐵
121
Solución:
Obtendremos la ecuación general calculando los parámetros A, B y C a partir del vector
director y del punto P de la recta.
Calculemos los parámetros A y B a partir del vector director:
�⃗� = (3, −5) = (−𝐵, 𝐴) ⇒ 𝐵 = − 3 𝑦 𝐴 = − 5
Sustituimos estos valores en la ecuación general: −5𝑥 − 3𝑦 + 𝐶 = 0.
Calculemos C imponiendo que la recta pase por el punto P:
− 5 · 1 − 3 · (− 2) + 𝐶 = 0 − 5 + 6 + 𝐶 = 0 𝐶 = − 1
La recta es: − 5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0. O también 5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
Podemos ver que la ecuación es correcta sustituyendo el vector director y el punto en la
ecuación continua, y transformándola en la ecuación general.
𝑥 − 1
3=𝑦 + 2
−5
−5𝑥 + 5 = 3𝑦 + 6
−5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Si despejamos y de la ecuación continua de la recta, tendremos:
𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑦 =(𝑥 − 𝑥1). 𝑣𝑦
𝑣𝑥+ 𝑦1
𝑦 =𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥 −
𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥1 + 𝑦1
Sustituyendo 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥 , 𝑛 = −
𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥1 + 𝑦1, obtenemos la ecuación explícita de la recta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
¡Sabías que!
Si tenemos el vector
director la pendiente
es 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
122
Ejemplo:
Hallemos la ecuación explicita de la recta cuyo vector director es �⃗� = (3, − 5) y pasa por
el punto 𝑃 = (1, − 2).
Solución:
Obtenemos la ecuación general de la recta y despejamos la variable y
𝑥 − 1
3=𝑦 + 2
−5
−5𝑥 + 5 = 3𝑦 + 6
−5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
𝑦 =−5𝑥 − 1
3
Ejercicios resueltos
1) Determina la ecuación continua de una recta que pasa por el punto 𝐴(7, −2) y
posee un vector director �⃗� = (−3,5)
Solución:
Sustituyendo las coordenadas del punto y las componentes del vector en la ecuación
continua de una recta cualquiera obtenemos la solución:
𝑥 − 7
−3=𝑦 + 2
5
m es la pendiente de la recta y b
es su ordenada en el origen
123
2) Sabiendo que 𝐴(−1,2) y 𝐵(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación
continua
Solución:
Para poder calcular la ecuación continua de la recta debemos utilizar un punto y un vector
director de dicha recta. No disponemos del vector director pero si podemos calcularlo a
partir de los dos puntos A y B, que llamaremos vector director �⃗�
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5 − (−1), 0 − 2) = (6, −2)
A continuación basta con sustituir en la expresión de la ecuación continua
𝑥 + 1
6=𝑦 − 2
−2
3) Dado el punto 𝐴(2,1) y �⃗� = (−1,3) calcular la ecuación continua y averiguar si los
puntos 𝑃(0 , 7) y 𝑄(1 , 3) pertenecen a la recta
Solución:
La recta tiene por ecuación continua 𝑥 − 2
−1=𝑦 − 1
3
El punto P(0 , 7) si pertenece a r porque satisface la relación 0 − 2
−1=7 − 1
3
2 = 2
El punto Q(1 , 3) no es un punto de la recta r porque no satisfacen esa relación sus
coordenadas: 1 − 2
−1≠3 − 1
3
1 ≠2
3
4) Expresar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,−2) y 𝑄(0,3)
Solución:
Calculamos el vector director: �⃗� = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0 − 1 , 3 − (−2)) = (−1,5)
(−𝐵, 𝐴) = (−1,5) ⇒ 𝐵 = 1 𝑦 𝐴 = 5
Por lo tanto la ecuación es: 5𝑥 + 𝑦 + 𝐶 = 0
Sustituimos uno de los puntos dados para hallar el valor de C
5.0 + 3 + 𝐶 = 0 𝐶 = −3 La ecuación general es: 5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
Para comprobar podemos partir de la ecuación continua
124
𝑥 − 0
−1=𝑦 − 3
5
5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
5) Halla la ecuación general de la recta que pasa por 𝑃(−1,−4) y cuyo vector de
dirección es �⃗� = (1,−2)
Solución:
Como un vector de dirección es �⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces 𝐴 = −2, 𝐵 = −1 .
La ecuación general será de la forma: −2𝑥 − 𝑦 + 𝐶 = 0
Ahora imponemos que P pertenece a la recta sustituyendo sus componentes en la ecuación
−2(−1) − (−4) + 𝐶 = 0 𝐶 = −6
Luego la ecuación pedida es −2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0
6) Escriba la ecuación de la recta general que corta el eje de la abscisa en 4 y el de las
ordenadas en -3
Solución:
La recta pasa por los puntos (0, −3) 𝑦 (4,0) por
tanto debemos encontrar el vector dirección
�⃗� = (4 − 0 , 0 − (−3)) = (4,3)
�⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces 𝐴 = 3, 𝐵 = −4
La ecuación general es: 3𝑥 − 4𝑦 + 𝐶 = 0
Encontramos el valor de C reemplazando en la
ecuación los valores de cualquiera de los puntos
dados en la ecuación
3(0) − 4(−3) + 𝐶 = 0 𝐶 = −12
La ecuación general de la recta es: 3𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0
7) Escribir la ecuación general de la recta que pasa por los puntos medios de los
segmentos AB y CD siendo 𝐴 = (5,2), 𝐵 = (3,2), 𝐶 = (0,−2) 𝑦 𝐷 = (2,4)
Solución:
Utilizando la fórmula antes vista de punto medio encontramos los puntos medios de AB y
CD
(𝑀𝐴𝐵𝑥, 𝑀𝐴𝐵𝑦) = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥
2 ,𝐴𝑦 + 𝐵𝑦
2) = (
5 + 3
2,2 + 2
2) = (4,2)
(𝑀𝐶𝐷𝑥, 𝑀𝐶𝐷𝑦) = (0 + 2
2,−2 + 4
2) = (1,1)
125
Debemos encontrar el vector dirección
�⃗� = (1 − 4 , 1 − 2) = (−3,−1) �⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces 𝐴 = −1, 𝐵 = 3
La ecuación general es: −𝑥 + 3𝑦 + 𝐶 = 0
Encontramos el valor de C reemplazando en la ecuación los valores de cualquiera de los
puntos dados en la ecuación
−1 + 3(1) + 𝐶 = 0 −1 + 3 + 𝐶 = 0 𝐶 = −2 La ecuación general de la recta es: −𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0 ; 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
8) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación paramétrica es:
{𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
A la vista de la ecuación paramétrica podemos afirmar que la recta pasa por 𝑃(1,−1) y
tiene como vector de dirección �⃗� = (−1;−2)
Calculando la pendiente 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥=
−2
−1= 2
La ecuación explicita será de la forma 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 , reemplazamos los valores de P y se
tiene:
−1 = 2(1) + 𝑛 𝑛 = −3
La ecuación explicita es: 𝑦 = 2𝑥 − 3
9) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación general es:
2𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0
En este caso basta con despejar y
2𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 −5𝑦 = −2𝑥 − 15
𝑦 =−2𝑥
−5−15
−5
𝑦 =2𝑥
5+ 3
126
Ejercicios propuestos
1) Determina la ecuación continua de la recta que pasa por 𝐴(2 , −2) y tiene por
vector director el vector �⃗� = (3, −1)
2) Una recta pasa por el punto 𝐴(−1, 3) y tiene un vector director vector �⃗� = (2, 5). Escribir su ecuación continua
3) Determina la ecuación continua de una recta que pasa por los puntos
𝐴(4,−2) 𝑦 𝐵(3,−1)
4) Dados el punto 𝐴(2,− 3) y el vector director �⃗� = (6, 4) a. Hallar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta r
b. ¿Pertenecen los puntos 𝐵 = (5, −1) 𝑦 𝐶 = (4, 2) a la recta r?
5) Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,2) 𝑦 𝐵(−2,3)
6) A partir de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 de una recta, hallar el vector director
7) ¿Cuál es la ecuación general de la recta cuya ecuación es 𝑦 = 3𝑥 + 4?
8) Indicar la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:
a. 𝑦 = 4𝑥 b. 𝑦 = −2𝑥 c. 𝑦 = 5𝑥 − 3 d. 𝑦 = −3𝑥 + 1
9) Escribe la ecuación de una recta en forma explícita sabiendo que la pendiente es -2
y su ordenada en el origen es -5.
10) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta
3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.
11) Dado el triángulo ABC, de coordenadas
𝐴(0, 0), 𝐵(4, 0) 𝑦 𝐶(4, 4); calcula la ecuación general de
la mediana que pasa por el vértice C.
12) Hallar la ecuación de la recta que pasa por
𝐴(1, 3) 𝑦 𝐵(2,−5).
13) Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la
recta que pasa por los puntos 𝐴(1, 2) 𝑦 𝐵(−2, 5).
127
UNIDAD IV
ECUACIÓN PUNTO
PENDIENTE Y CANÓNICA
DE LA RECTA Y RECTAS
PARALELAS Y
PERPENDICULARES
“Un sacerdote egipcio le pregunta
sonriendo cuál puede ser la altura de la
pirámide del rey Khufu (la pirámide de
Keops). Tales reflexiona y a continuación
contesta que no se conforma con calcularla
a ojo, sino que la medirá sin ayuda de
ningún instrumento. Se echa sobre la arena
y determina la longitud de su propio
cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que
está pensando, y Tales les explica: ‘Me
pondré simplemente en un extremo de esta
línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y
esperaré hasta que mi sombra sea igual de
larga. En ese instante, la sombra de la
pirámide de vuestro Khufu también ha de
medir tantos pasos como la altura de la
pirámide.’
El sacerdote, desorientado por la extrema
sencillez de la solución, se pregunta si
acaso no hay algún error, algún sofisma,
Tales añade: ‘Pero si queréis que os mida
esa altura, a cualquier hora, clavaré en la
arena mi bastón.”
El método que utilizó Tales de Mileto para
calcular la altura de la Pirámide de Keops
es lo que conocemos como Teorema de
Tales
Extraído de http://bit.ly/2nTlCOY
128
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
Partiendo de la ecuación continúa de la recta:
𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑦 − 𝑦1 =(𝑥 − 𝑥1). 𝑣𝑦
𝑣𝑥
Tomando en cuenta que 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Obtenemos la ecuación punto pendiente de la recta
Ejemplo:
1) Una recta pasa por el punto 𝐴(−1, 3) y tiene un vector director vector �⃗� = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.
Solución:
Encontramos la pendiente recordando 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
𝑚 =5
2
Reemplazamos en la fórmula
𝑦 − 3 =5
2(𝑥 + 1)
Geométricamente la pendiente se calcula
de la siguiente manera:
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
𝑚
129
2) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos 𝐴(−2,−3) 𝑦 𝐵(4,2).
Solución:
Encontramos la pendiente recordando 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =2 − (−3)
4 − (−2)=5
6
𝑦 + 3 =5
6(𝑥 + 2)
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA RECTA
Otra forma de expresar una recta es a partir de sus cortes con los ejes. Si, por ejemplo, esta
pasa por 𝐴 = (𝑎, 0) y 𝐵 = (0, 𝑏), hallamos un vector director:
�⃗�=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0 − 𝑎 , 𝑏 − 0) = (−𝑎, 𝑏)
Si sustituimos un punto y el vector director en la ecuación continua y operamos,
obtenemos la ecuación canónica de la recta
𝑥 − 𝑎
−𝑎=𝑦 − 0
𝑏
𝑥
−𝑎−
𝑎
−𝑎=𝑦
𝑏−0
𝑏
−𝑥
𝑎+ 1 =
𝑦
𝑏
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
Esta expresión solo tiene sentido si la
recta corta los dos ejes de coordenadas,
es decir, siempre que no pase por el
centro de coordenadas.
130
Ejemplo:
1) Halla la ecuación canónica de la recta que pasa por 𝐴(2,0) y 𝐵(0,3)
Solución:
Solo debemos reemplazar en la ecuación 𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
𝑥
2+𝑦
3= 1
2) Escriba la ecuación canónica de la recta 𝑟 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
Solución:
Para poder escribir la ecuación canónica entendemos que deben haber puntos de corte con
los ejes, por lo tanto analizamos cuando y=0 y x=0
Si y = 0 → x = −4 = a.
Si x = 0 → y = 4 = b.
La ecuación canónica es: 𝑥
−4+𝑦
4= 1
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas.- Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma
pendiente.
�⃗⃗� = �⃗�
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 ∥ 𝑠 {𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴)
131
Rectas perpendiculares.- Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y
cambiadas de signo:
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ . 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑟 ⊥ 𝑠 {𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0−𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐶2 = 0
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴) 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (𝐴, 𝐵)
Ejemplos:
1) Hallar una recta paralela y otra perpendicular a 𝑟 ≡ 𝑥 + 2 𝑦 + 3 = 0, que
pasen por el punto 𝐴(3,5).
Solución:
Para que dos rectas sean paralelas
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 = −1
2
𝑦 − 5 = −1
2(𝑥 − 3)Ecuación punto pendiente
2𝑦 − 10 = −𝑥 + 3
𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0
Para que dos rectas sean perpendiculares
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
𝑚𝑟 = −1
2
𝑚𝑠 = −1
−12
132
𝑚𝑠 = 2
𝑦 − 5 = 2(𝑥 − 3) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
2) Calcula k para que las rectas 𝑟 ≡ 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 y 𝑠 ≡ 𝑥 − 𝑘𝑦 + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares
Solución:
Para ser paralelas deben tener la misma pendiente
𝑚𝑟 = −1
2; 𝑚𝑠 =
1
𝑘
Entonces k=-2
Para que sean perpendiculares cumplir con
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
1
𝑘= −
1
−12
1
𝑘= 2
𝑘 =1
2
APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA
Pero, ¿qué tiene que ver la geometría con la vida diaria? Todo, según los expertos. Ya que
se ha aplicado desde la antigüedad en las diferentes culturas. “
Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A
modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se compra de Pan
en mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en esta”.
“En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra
tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía”
Solución:
Es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y “n”
la cantidad de personas que se encuentran en la casa.
Con una persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería:
P(1) = 2(1) + 3 = 5 , de la misma forma
P(2) = 2(2) + 3 = 7
P(3) = 2(3) + 3 = 9
P(4) = 2(4) + 3 = 11
Por lo tanto podemos deducir que P(n) = 2n + 3 representa la cantidad a comprar de pan
cuando en mi casa se encuentran “n” Personas.
De esta forma Y = 2x + 3 representa la ecuación de la recta, la cual nos muestra la cantidad
de pan que debe comprarse de pan en mi casa.
133
Por otra parte tenemos el siguiente ejemplo:
En el rally safari, competición de
automóviles debido a los problemas
meteorológicos hay grandes riesgos
de choque entre autos y animales.
Para intentar evitarlos, dos de los
participantes trazan en sus caravanas
un plano del recorrido que van a
realizar el día siguiente.
Un participante francés va a salir
desde el punto de coordenadas A
(2,1), seguirá una trayectoria recta
pasando por el punto B (-15, 18)
hasta que el coche aguante.
La participante española saldrá desde el punto C (5,-1) y con trayectoria recta pasará por
un pueblo de coordenadas (-20,24).
Si salen a la misma hora y van a la misma velocidad, ¿crees que hay posibilidades de que
lleguen a chocar?
Solución:
Se trata de saber si las rectas que definen sus trayectorias son incidentes o no (es decir, se
cortan en un punto o no). Para ello, veamos cómo quedan determinadas ambas rectas.
Las rectas para el competidor francés y la española serían:
Ecuación de la recta para el competidor francés; 𝑥 − 2
−17=𝑦 − 1
17
17𝑥 − 34 = −17𝑦 + 17
17𝑥 + 17𝑦 − 17 = 0
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
Ecuación de la recta para la competidora española será; 𝑥 − 5
−25=𝑦 + 1
25
25𝑥 − 125 = −25𝑦 − 25
𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
Las pendientes de las rectas son:
𝑚𝑓 = −1; 𝑚𝑒 = −1
Las pendientes son la misma entonces, resulta que ambas rectas son paralelas, y por lo
tanto no hay ninguna posibilidad de que choquen
134
RESUMEN
Ecuaciones de la recta
Sea un punto A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) de la recta r y un vector �⃗⃗⃗� = (𝒗𝒙, 𝒗𝒚). La pendiente es 𝒎 =𝒗𝒚
𝒗𝒙
Tipo de ecuación Ecuación
Vectorial �⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
Paramétrica {𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
Continua 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
General 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
�⃗� = (−𝐵, 𝐴) Explicita 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
Punto-pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Canónica Pasa por P(a,0) y Q(0,b)
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
135
Ejercicios resueltos
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4, 3) con pendiente –1
Solución:
𝑦 – 3 = −1(𝑥 – (−4)) 𝑦 − 3 = −𝑥 – 4 𝑦 = −𝑥 − 1
2) Determina la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos
𝑃(1, 2) 𝑦 𝑄(3, 4)
Solución:
Encontramos la pendiente recordando 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =4 − 2
3 − 1=2
2= 1
𝑦 − 2 = 1(𝑥 − 1) 𝑦 = 𝑥 + 1
3) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
Solución:
Transformar de ecuación general a punto pendiente
2𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑦 = −3
2𝑥 +
7
2
𝑚 = −3
2; 𝑏 =
7
2
4) La ecuación canónica de la recta que pasa por 𝑃(−2, 1) y tiene por vector director
�⃗� = (3,−4) es:
Solución:
Hallamos la ecuación en forma continua: 𝑥 − (−2)
3=𝑦 − 1
−4
𝑥 + 2
3=𝑦 − 1
−4
Pasamos a la general:
−4𝑥 − 8 = 3𝑦 − 3 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0
Si y = 0 entonces 𝑥 = −5
4 = 𝑎.
136
Si x = 0 entonces 𝑦 = −5
3= 𝑏.
Ecuación canónica es: 𝑥
−54
+𝑦
−53
= 1
5) Una recta pasa por el punto A(3, 2) y que determina sobre los ejes coordenados,
segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas. Hallar la
ecuación de esta recta.
Solución:
Reemplazo en la ecuación canónica los valores
del punto que en este caso serán los valores x e y
y en los puntos de intersección de los ejes los
valores que observamos en la grafica
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
3
2𝑏+2
𝑏= 1
Despejamos el valor de b
3 + 4 = 2𝑏
𝑏 =7
2
Sustituimos en la ecuación anterior para encontrar a 3
𝑎+2
72
= 1
𝑎 = 7
Y reemplazamos nuevamente en la ecuación canónica los valores de a y b 𝑥
7+𝑦
72
= 1
Cambiamos a la ecuación general
𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
6) Determinar para que valores de k las rectas kx+y+1=0 y ky+4x=2 son paralelas
Solución:
Primero se determina la pendiente de cada recta, llevándolas a la forma pendiente
orde3nada al origen. Se despeja y en la primera
𝑦 = −𝑘𝑥 + 1 ya está en forma 𝑚1 = −𝑘
Se despeja y en 𝑘𝑦 + 4𝑥 = 2
𝑘𝑦 = 2 − 4𝑥
𝑦 =2 − 4𝑥
𝑘
137
𝑦 =2
𝑘−4𝑥
𝑘
La pendiente de la segunda recta es 𝑚2 = −4
𝑘
Segundo se plantea la ecuación 𝑚1 = 𝑚2
−𝑘 = −4
𝑘
Finalmente, se resuelve la ecuación con incógnita k
𝑘2 = 4
𝑘 = ±2
7) Averigüe si 𝑦 − 8𝑥 − 5 = 0 ; 8𝑦 − 𝑥 = 16 son paralelas, perpendiculares o
ninguna de las dos Solución: Primero se determina la pendiente de cada recta, llevándoles a la forma pendiente ordenada al origen. Se despeja y en la primera 𝑦 = 8𝑥 + 5 ya está en esta forma, 𝑚1 = 8
Se despeja y en 8𝑦 − 𝑥 = 16
𝑦 =16 + 𝑥
8
𝑦 =𝑥
8+ 2
La pendiente de la segunda recta es 𝑚2 =1
8
Vemos que el producto de las pendientes no es igual a -1
𝑚1. 𝑚2 = −1
8 (1
8) ≠ −1
1 ≠ −1 Por tanto, las rectas no son perpendiculares.
Como 𝑚1 ≠ 𝑚2, las rectas no son paralelas.
8) Ver si 𝑦 − 2𝑥 − 1 = 0 ; 3𝑦 − 6𝑥 = 5 son paralelas, perpendiculares o ninguna de
las dos.
Solución:
Primero se determina la pendiente de cada recta, llevándoles a la forma pendiente ordenada al origen. Se despeja y en la primera 𝑦 = 2𝑥 + 1 ya está en esta forma, 𝑚1 = 2
Se despeja y en 3𝑦 − 6𝑥 = 5
𝑦 =5 + 6𝑥
3
𝑦 =6𝑥
3+5
3
138
La pendiente de la segunda recta es 𝑚2 = 2
Como 𝑚1 = 𝑚2, las rectas son paralelas.
Ejercicios propuestos
1) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) con pendiente 2.
2) Halle la ecuación de la recta que pasa
por (2, -9) con pendiente 1
2
3) Halle la ecuación de la recta que pasa
por:
a) (3, -5) y (-4, 6).
b) (1, -2) y (3, 2).
c) (-1, -2) y (-3, 2).
4) Escriba la ecuación canónica de la recta
que pasa por P(3,2) y tiene por vector director
�⃗� = (1,−1)
5) Hallar la ecuación canónica de la recta
que pasa por P(2, 1) y tiene por vector director
�⃗� = (3, 5):
6) Sabemos que una recta pasa por el punto A(1, 2) y que determina sobre los ejes
coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de ordenadas, que en el de
abscisas. Hallar la ecuación de esta recta.
7) Consiga la ecuación de la recta que corta el eje x en 6 y es paralela a la recta que
pasa por (1,2) y (4,5).
8) Consiga la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta 3x – 4y =2 y
corta el eje y en –3 .
9) Obtenga la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta 3y−x−4=0 y
pasa por el punto de intersección de las rectas y−3x=1 y 2y+3x=2.
10) Encuentre la ecuación general de la recta que es paralela a la recta 3x−4=0 y que
pasa por el punto (2,4).
11) Determine la ecuación que es perpendicular a la recta 2y−x−6=0 y tiene la misma
ordenada al origen. Escriba su respuesta en la forma pendiente ordenada al origen.
12) Consiga la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,7) y es paralela a la recta
que pasa por (5,5) y (5,3)
13) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las
anteriores.
139
a. 2y−3x=5 y 6x−4y−2=0;
b. 2y−3x=7 y 2x−3y=9;
c. 3x−2y=4 y 3y=4−2x
14) Determine los valores de k para que las rectas ky−3x=4 y kx−4y=7 sean paralelas.
15) Consiga el valor de k para que las rectas 2y−5x=4 y kx+4y=7 sean perpendiculares.
16) Los vértices de un triángulo son A = (-3, 6), B = (13, 8) y C = (3, -2). Calcula el
punto de intersección entre la recta r que pasa por A y es paralela al lado BC y la
recta s que pasa por B y es perpendicular a r.
17) En un radar se observa la trayectoria de dos submarinos. Uno de ellos se encuentra
en el punto de coordenadas (2, 5) y se desplaza siguiendo la dirección del vector
�⃗� = (−3,4). La trayectoria del segundo queda determinada por la recta de ecuación
4x + 3y - 10 = 0. Si continúan avanzando de forma indefinida, ¿chocarán en algún
momento?
18) Halla la ecuación de las siguientes rectas:
a. Pasa por el punto A (1, 3) y es paralela a la recta de ecuación 3x - y + 5=0.
b. Pasa por el punto B (7, -3) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x+6y - 2=0.
140
Bibliografía:
Matemática 1 BGU. (2016), Ecuador. Editorial Don Bosco
I, Jorge Lara. 2015. Matemática segundo de Bachillerato
Zambrano Orejuela, (2015); Matemática segundo de Bachillerato, Sangolquí
Ecuador.
Webgrafia:
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/ecuacion-vectorial-recta/ecuacion-vectorial-
recta.pdf
http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/vectores_plano/problemas/p_escalar.ht
ml
http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/vectores_plano/problemas/p_modulo.ht
ml
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuacion_recta/ecuaci
on_recta1.htm
http://matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S6.html
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-continua-recta#contenidos
http://www.vitutor.com/geo/rec/d_10.html
141
Anexo N° 2: Oficio de asignación de tutor
142
Anexo N° 3: Oficio aprobado de la aplicación de la Experimentación.
143
Anexo N° 4: Certificado de la Realización de la Investigación.
144
Anexo N° 5: Certificado de Revisión y Corrección de Redacción, Ortografía y Coherencia
145
Anexo N° 6: Certificado de Traducción del Resumen de Tesis.
146
Anexo N° 7: Validación del Documento de Base por MSC. Paco Bastidas.
147
Anexo N° 8: Validación del Documento de Base por MSc. Ángel Montaluisa.
148
Anexo N° 9: Validación del Documento Base por Lic. Byron Rubio.
149
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CUIDAD DE QUITO”
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
TEMA: Ecuación de la recta
NOMBRES Y APELLIDOS: EVALUACIÓN: /12
AÑO LECTIVO: 2016-
2017 SECCIÓN:
Matutina DOCENTE: Gabriela Sáenz
EVALUACIÓN:
Diagnóstica
FECHA: CURSO: Primero BGU TIEMPO: 40 min PARALELO:
Indicaciones Generales 1. La evaluación debe realizarse a esfero.
2. Todo tipo de tachón anula su respuesta.
Instrucción: A continuación se presenta una serie de preguntas, lea detenidamente cada una de ellas y
encierre el literal de la respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
1) ¿Cuál es la representación gráfica de una función lineal?
A) Una parábola
B) Una hipérbola
C) Una recta
D) Un punto
2) ¿Cuál de las siguientes es una función lineal?
A) 𝑓(𝑥) = 5
B) 𝑓(𝑥) = 5𝑥
C) 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 2
D) 𝑓(𝑥) =1
𝑥
3) ¿Cuántos puntos son necesarios para graficar una recta?
A) Dos puntos
B) Un punto
C) Infinitos puntos
D) Tres puntos
4) ¿Cuál es el eje de las ordenadas?
A) Es el eje vertical, eje y
B) Es el eje horizontal, eje x
C) La recta y=x
D) Es el eje vertical, eje x
5) ¿Cuál de los siguientes puntos corresponden a la gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏?
A) (1,0)
B) (2,0)
C) (1,1)
D) (0,2)
6) Para despejar existen algunas reglas, ¿cuál de las siguientes no es una de ellas?
A) Si está con raíz en el primer miembro de la igualdad al segundo pasa a multiplicar
B) Lo que está sumando en el primer miembro de la igualdad pasa restando al segundo
miembro.
C) Lo que está multiplicando en el primer miembro de la igualdad pasa dividiendo al segundo
miembro
D) Si está con exponente en el primer miembro de la igualdad pasa como raíz al segundo
miembro
Anexo N° 10: Instrumento de Evaluación Diagnóstica
150
7) Simplifica la expresión 𝒙−𝟒
𝒙−𝟐+
𝟐−𝟏𝟏𝒙
𝟐−𝒙
A) 12𝑥−6
𝑥−2
B) −10𝑥−6
𝑥−2
C) −10𝑥−2
𝑥−2
D) −10
8) Despeja “ r ” de la fórmula 𝑽 = 𝝅𝒉𝒓𝟐
A) 𝑟2 = 𝑉𝜋ℎ
B) 𝑟 = √𝑉𝜋ℎ
C) 𝑟 = √𝑉
𝜋ℎ
D) 𝑟2 =𝑉
𝜋ℎ
9) ¿Cuál es la gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐?
A) B) C) D)
Instrucción: A continuación se presenta una serie de afirmaciones, en las cuales se han suprimido palabras
escoja la respuesta correcta según corresponda. Valoración: 1 punto c/u
10) Si la pendiente de una recta es _______________ la función es creciente
A) Positiva
B) Negativa
C) Infinita
D) Constante
11) Si m < 0 la función es ___________ y el ángulo que forma la recta con el eje x es
________
A) Creciente – obtuso
B) Negativa – recto
C) Decreciente - agudo
D) Decreciente – obtuso
12) El _____________de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la
variable independiente.
A) Recorrido
B) Rango
C) Dominio
D) Codominio
151
Anexo N° 11: Validación de la Evaluación Diagnóstica.
152
153
154
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CUIDAD DE QUITO”
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN FORMATIVA 1
TEMA: Ecuaciones de la recta
NOMBRES Y APELLIDOS: EVALUACIÓN: /12
AÑO LECTIVO:
2016-2017 SECCIÓN:
Matutina DOCENTE: Gabriela Sáenz
EVALUACIÓN:
Formativa 1
FECHA: CURSO: Primero BGU TIEMPO: 40 min PARALELO:
Indicaciones
Generales
1. La evaluación debe realizarse a esfero.
2. Todo tipo de tachón anula su respuesta.
3. Si se le encuentra copiando se aplicará el art.226 por deshonestidad académica 01/10
Instrucción: A continuación se presenta una serie de preguntas, lea detenidamente cada una de ellas y
encierre el literal de la respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
1) ¿Cuántos puntos son necesarios graficar un recta?
A) Dos puntos
B) Un punto
C) Infinitos puntos
D) Tres puntos
2) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 𝒙−𝟏
𝟔−
𝒙−𝟑
𝟐= 𝟏?
A) x=7
B) x=1
C) x=-2
D) x=-8
3) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación -3 (-3x - 6) + 2(6 + x) = -2x + 6?
A) 𝑥 = −24
13
B) 𝑥 = −12
5
C) 𝑥 = 4
D) 𝑥 =24
13
4) Dados los siguientes vectores:�⃗⃗⃗� = (𝟏, 𝟏); �⃗⃗⃗� = (−𝟏, 𝟐); �⃗⃗⃗⃗� = (𝟑, 𝟏). Calcular𝟐(�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�) − 𝟒�⃗⃗⃗⃗�
A) (7,-1)
B) (12,10)
C) (-8,2)
D) (-12,2)
5) Calcula el producto escalar de los vectores �⃗⃗⃗�=(-5, 2) y �⃗⃗⃗⃗�= (8, -5)
A) (-40,-10)
B) (-10,-40)
C) -50
D) 50
6) Sabemos que las componentes del vector �⃗⃗⃗� son (8, - 6). Halla un vector �⃗⃗⃗⃗� tal que:�⃗⃗⃗⃗� + 3 •
�⃗⃗⃗� = (1, 4).
A) (-23,22)
B) (25,-14)
C) (9,-2)
D) (1,4)
Anexo N° 12: Instrumento de Evaluación Formativa 1
155
Instrucción: A continuación se presenta una serie de afirmaciones, en las cuales se han suprimido palabras
escoja la respuesta correcta según corresponda. Valoración: 1 punto c/u
7) Un vector es un segmento ______________
A) de la recta
B) del plano
C) de recta orientado que va desde un punto P hasta un punto Q
D) de la recta con una sagita
8) Para restar dos vectores, usamos el concepto de ________________
A) Suma de vectores
B) diferencia
C) negativo de un vector
D) elemento opuesto de la suma.
9) Al producto escalar se lo conoce como _________________
A) Cruz
B) Punto
C) Vectorial
D) Multiplicación
10) La respuesta del producto punto es__________
A) Un vector
B) Una recta
C) Un escalar
D) Una incógnita
Instrucciones: A continuación se presenta una serie de procesos, ordene correctamente y escoja la
respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
11) Proceso para resolver las operaciones 𝟐�⃗⃗⃗� . (−𝟑�⃗⃗⃗�) + �⃗⃗⃗⃗�
1. Resolver el producto de un escalar por un vector
2. Hallar el vector opuesto
3. Calcular la suma
4. Resolver el producto punto
A) 1,2,3,4
B) 1,3,2,4
C) 1,2,4,3
D) 1,3,4,2
12) Pasos para resolver una ecuación
1. Ubicar las incógnitas de un solo miembro de la ecuación
2. En caso de existir realizar términos semejantes
3. Despejar la incógnita o variable
4. Identificar los miembros de la ecuación
A) 1,2,3,4
B) 1,3,2,4
C) 4,1,2,3
D) 1,3,4,2
156
Anexo N° 13: Validación de Instrumento de Evaluación Formativa 1
157
158
159
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CUIDAD DE QUITO”
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN FORMATIVA 2
TEMA: Ecuación de la recta
NOMBRES Y APELLIDOS: EVALUACIÓN: /10
AÑO LECTIVO: 2016-
2017 SECCIÓN:
Matutina DOCENTE: Gabriela Sáenz
EVALUACIÓN:
Formativa 2
FECHA: CURSO: Primero BGU TIEMPO: 40 min PARALELO:
Indicaciones
Generales
1. La evaluación debe realizarse a esfero.
2. Todo tipo de tachón anula su respuesta.
3. Si se le encuentra copiando se aplicará el art.226 por deshonestidad académica 01/10
1) Vector de dirección se puede determinar a partir de _____________ de la recta
A) Tres puntos
B) Un punto
C) Dos puntos
D) El vector
2) Para hallar la ecuación vectorial de la recta debemos conocer _______________
A) Los vectores de la recta
B) Las operaciones con vectores
C) Un punto
D) Un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta
3) El punto medio M de un segmento PQ es la ____________________ de las coordenadas
de P y Q.
A) Suma
B) Semisuma
C) Resta
D) División
4) Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación ________
A) Vectorial
B) General
C) Explicita
D) Canónica
5) Para hallar un vector director 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se debe __________________ el punto final y el inicial
A) Restar
B) Sumar
C) Multiplicar
D) Dividir
6) En las ecuaciones paramétricas cuando se da valores al parámetro t se obtiene_________
A) un punto de la recta
B) las ecuaciones paramétricas
C) la ecuación continua
D) los puntos de toda la recta
Instrucción: A continuación se presenta una serie de afirmaciones, se han suprimido palabras escoja la
respuesta correcta según corresponda. Valoración: 1 punto c/u
Anexo N° 14: Instrumento de Evaluación Formativa 2
160
Instrucción: A continuación se presenta una serie de preguntas, lea detenidamente cada una de
ellas y encierre el literal de la respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
7) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponden a las ecuaciones paramétricas
A) (𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
B) �⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
C) 𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
D) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
8) Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados
puntos A(-1, 3) y B(6, 5).
A) (5
2 , 4)
B) (7
2 , 4)
C) (5,8)
D) (−7
2 , −1)
9) ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene como vector
de dirección �⃗⃗⃗� = (𝟐, 𝟏)?
A) (𝑥, 𝑦) = (2,3) + 𝑡(2,1)
B) (𝑥, 𝑦) = (2,3) + (2,1)
C) (𝑥, 𝑦) = (2,1) + 𝑡(2,3)
D) (𝑥, 𝑦) = (4,4)
10) Dados el punto A = (−3;2) y el vector director �⃗⃗⃗� =(2 ,- 5) hallar las ecuaciones
paramétricas
A) (𝑥, 𝑦) = (−3; 2) + 𝑡(2;−5).
B) 𝑥 = −3 − 2𝑡; 𝑦 = 2 + 5𝑡
C) (𝑥, 𝑦) = (−3 − 2𝑡; 2 + 5𝑡 )
D) 𝑥 = −3 + 2𝑡; 𝑦 = 2 − 5𝑡
11) Dados el punto A(−2,5) y B(-1,1) de una recta, hallar la ecuación vectorial y las
ecuaciones paramétricas
A) 𝐸. 𝑉: (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(−1,−1); 𝐸. 𝑃: 𝑥 = −2 − 𝑡; 𝑦 = 5 − 𝑡
B) 𝐸. 𝑉: 𝑥 = −2 − 𝑡; 𝑦 = 5 + 4𝑡 ; 𝐸. 𝑃: (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(−1,4)
C) 𝐸. 𝑉: (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(1,−4); 𝐸. 𝑃: 𝑥 = −2 + 𝑡; 𝑦 = 5 − 4𝑡
D) 𝐸. 𝑉: (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(−1,4); 𝐸. 𝑃: 𝑥 = −2 − 𝑡; 𝑦 = 5 + 4𝑡
Instrucciones: A continuación se presenta una serie de procesos, ordene correctamente y escoja la
respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
12) Proceso para hallar las ecuaciones paramétricas de la recta
1. Sumar componente a componente
2. Igualar pares ordenados
3. Calcular la ecuación vectorial de la recta
4. Multiplicar por el parámetro por el vector director
A) 1,2,3,4
B) 3,4,1,2
C) 4,3,2,1
D) 1,3,4,2
161
Anexo N° 15: Validación de la Evaluación Formativa 2
162
163
164
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CUIDAD DE QUITO”
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN FORMATIVA 3
TEMA: Ecuaciones de la recta
NOMBRES Y APELLIDOS: EVALUACIÓN: /12
AÑO LECTIVO: 2016-
2017 SECCIÓN:
Matutina DOCENTE: Gabriela Sáenz
EVALUACIÓN:
Formativa 3
FECHA: CURSO: Primero BGU TIEMPO: 40 min PARALELO:
Indicaciones
Generales
1. La evaluación debe realizarse a esfero.
2. Todo tipo de tachón anula su respuesta.
3. Si se le encuentra copiando se aplicará el art.226 por deshonestidad académica 01/10
Instrucciones: A continuación se presenta una serie de procesos, ordene correctamente y escoja la
respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
1) Proceso para hallar la ecuación continua sin necesidad de la fórmula
1. Calcular las ecuaciones paramétricas
2. Despejar el parámetro
3. Calcular la ecuación vectorial de la recta
4. Igualar expresiones
A) 1,2,3,4
B) 3,4,1,2
C) 4,3,2,1
D) 3,1,2,4
2) La ecuación general de la recta también llamada_____________
A) Punto pendiente
B) Paramétrica
C) Vectorial
D) Cartesiana
3) En la ecuación explícita de la recta determinamos directamente la________y la ordenada
al origen
A) Pendiente
B) Abscisa al origen
C) Intersección con el eje x
D) Intersección con el punto (0,0)
4) La ecuación general de la recta se obtienen a partir de la ecuación _______________
A) Vectorial
B) Continua
C) Explicita
D) Canónica
5) Si tenemos el vector director la pendiente de la recta es_____________________
A) 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
B) 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣
Instrucción: A continuación se presenta una serie de afirmaciones, se han suprimido palabras escoja la
respuesta correcta según corresponda. Valoración: 1 punto c/u
Anexo N° 16: Instrumento de Evaluación Formativa 3
165
C) 𝑚 =𝐵
𝐴
D) 𝑚 = −𝐴
𝐵
6) La ecuación continua solo tiene sentido si _________________ del vector director de la
recta son distintas de______________
A) Los números - uno
B) Las componentes – cero
C) El ángulo - cero
D) Las componentes – uno
Instrucción: A continuación se presenta una serie de preguntas, lea detenidamente cada una de
ellas y encierre el literal de la respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
7) El vector director en la ecuación general, ¿de qué manera está definido?
A) (𝑣𝑥; 𝑣𝑦)
B) (-B,A)
C) En un punto
D) −𝐴
𝐵
8) ¿Cuál de las siguientes es la ecuación explicita?
A) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
B) 𝑥−𝑥1
𝑣𝑥=
𝑦− 𝑦1
𝑣𝑦
C) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
D) �⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
9) Dada a la recta expresada en forma vectorial: (x,y)=(2,1)+t(4,3). ¿Cuál es la ecuación en
forma continua?
A) 𝑥−2
4=
𝑦−1
3
B) 𝑥 = 2 + 4𝑡; 𝑦 = 1 + 3𝑡
C) 𝑥+2
4=
𝑦+1
3
D) 3𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0
10) Sabiendo que A(-1,2) y B(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua
A) 𝑥+1
−6=
𝑦−2
2
B) 𝑥+1
6=
𝑦−2
−2
C) 𝑥−6
−1=
𝑦+2
2
D) 𝑥−1
6=
𝑦+2
−2
11) Hallar la ecuación general de la recta cuyo vector director es �⃗⃗⃗�=(3,-5) y pasa por el punto
P(1,-2).
A) 5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
B) 𝑥−1
3=
𝑦+2
−5
C) 𝑦 =−5𝑥−1
3
D) −5𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0
12) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación paramétrica es: {𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
A) 𝑦 = 2𝑥 − 3
B) 𝑦 = 2𝑥
C) 1 − 𝑥 =𝑦+1
−2
D) 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
166
Anexo N° 17: Validación del Instrumento de Evaluación Formativa 3
167
168
169
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CUIDAD DE QUITO”
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN SUMATIVA
TEMA: Ecuaciones de la recta
NOMBRES Y APELLIDOS: EVALUACIÓN: /12
AÑO LECTIVO: 2016-
2017 SECCIÓN:
Matutina DOCENTE: Gabriela Sáenz
EVALUACIÓN:
Sumativa
FECHA: CURSO: Primero BGU TIEMPO: 40 min PARALELO:
Indicaciones
Generales
1. La evaluación debe realizarse a esfero.
2. Todo tipo de tachón anula su respuesta.
3. Si se le encuentra copiando se aplicará el art.226 por deshonestidad académica 01/10
Instrucción: A continuación se presenta una serie de preguntas, lea detenidamente cada una de
ellas y encierre el literal de la respuesta correcta. Valoración: 1 punto c/u
1) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponden a la ecuación punto pendiente
A) �⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
B) 𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
C) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
D) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
2) Determina la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
A) 𝑦 = 𝑥 + 1
B) 𝑦 − 2 = 1(𝑥 − 1) C) 𝑦 = 𝑥 − 1
D) 𝑦 = 3𝑥 − 4
3) Las rectas y-2x-1=0 ; 3y-6x=5 son:
A) Paralelas
B) Perpendiculares
C) Secantes
D) Iguales
4) ¿Cuál es la ecuación general de la recta perpendicular a la recta 3x–4y=2 y corta el eje y
en -3?
A) 𝑦 = −3 B) 3𝑥 − 4𝑦 = −3
C) 𝑦 = −4
3𝑥 − 3
D) 4𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0
5) Dados el punto A(−2,5) y B(-1,1) de una recta, hallar las ecuaciones paramétricas
A) 𝑥 = −2 − 𝑡; 𝑦 = 5 − 𝑡
B) (𝑥, 𝑦) = (−2,5) + 𝑡(−1,4)
C) 𝑥 = −2 + 𝑡; 𝑦 = 5 − 4𝑡
D) 𝑥 = −2 − 𝑡; 𝑦 = 5 + 4𝑡
6) Sabiendo que A(-1,2) y B(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua
A) 𝑥+1
−6=
𝑦−2
2
B) 𝑥+1
6=
𝑦−2
−2
C) 𝑥−6
−1=
𝑦+2
2
D) 𝑥−1
6=
𝑦+2
−2
Anexo N° 18: Instrumento de Evaluación Sumativa
170
7) Hallar la ecuación general de la recta cuyo vector director es �⃗⃗⃗�=(3,-5) y pasa por el punto
P(1,-2).
A) 5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
B) 𝑥−1
3=
𝑦+2
−5
C) 𝑦 =−5𝑥−1
3
D) −5𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0
8) Dos rectas son paralelas si tienen el mismo___________________ o la misma pendiente
A) Punto
B) Vector director
C) Valor de intersección en y
D) Valor de intersección en x
9) Dos rectas son perpendiculares si tienen sus _________________ y cambiadas el signo
A) Pendientes inversas
B) Vectores directores
C) Valor de intersección en y
D) Valor de intersección en x
10) La ecuación canónica solo tiene sentido si la recta corta _____________________, es
decir, que no pase por el ______________ de coordenadas
A) Los dos ejes de coordenadas - (1,1)
B) El eje x - (0,0)
C) Los dos ejes de coordenadas - centro
D) El eje y - centro
11) Geométricamente la pendiente se calcula ________________________
A) 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
B) 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
C) 𝑚 =𝐵
𝐴
D) 𝑚 = −𝐴
𝐵
12) Las situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ____________________
A) ecuaciones de la recta
B) ecuaciones paramétricas de la recta
C) ecuación vectorial de la recta
D) ecuación general de la recta
Instrucción: A continuación se presenta una serie de afirmaciones, se han suprimido palabras escoja la
respuesta correcta según corresponda. Valoración: 1 punto c/u
171
Anexo N° 19: Validación Instrumento de Evaluación Sumativa.
172
173
174
¿Influye el uso de las fichas como recurso didáctico en el proceso enseñanza aprendizaje de
ecuaciones de la recta, en el Primero BGU de la Unidad Educativa Particular Adventista
Ciudad de Quito, en el periodo 2016-2017?
FILOSOFIA
"La buena didáctica
es aquella que deja
que el pensamiento
del otro no se
interrumpa y que le
permite, sin notarlo, ir
tomando buena
dirección." Enrique
Tierno Galván
TEORIAS
Aprendizaje
Significativo
Constructivista
PRINCIPIOS
El recurso didáctico fichas es
un instrumento para enseñar
al estudiante a aprender
ciertos contenidos por sí
mismo
CONCEPTOS
Fichas
Recursos didácticos
Proceso enseñanza
aprendizaje
Rendimiento académico
ACONTECIMIENTO
Fichas como recurso didáctico en el
proceso enseñanza aprendizaje de
ecuaciones de la recta
Anexo N° 20: Diagrama “Uve Heurística”
REGISTRO Confiabilidad de los
instrumentos con el
Alfa de Cronbach
Instrumentos de
evaluación:
Diagnóstica,
Formativas y Sumativa.
TRANFORMACIONES
Análisis de resultados
estadísticos a partir de la
recolección de datos.
Media aritmética, tablas
de frecuencia, graficaos
estadísticos
CONCLUSIONES
El promedio del grupo
experimental en los
instrumentos de
evaluación es mayor al
grupo de control.
El uso de las fichas como
recurso didáctico en el
proceso enseñanza
aprendizaje de ecuaciones
de la recta influye
positivamente
RECOMENDACIONES
Emplear como recurso
didáctico las fichas
175
Anexo N° 21: Fotografías del Grupo Experimental.
176
177
Anexo N° 22: Fotografías del grupo de control
178
Anexo N° 23: Nómina de estudiantes
Grupo de Control
179
Grupo Experimental
180
Anexo N° 24: Certificado de notas entregadas por secretaría
181
Anexo N° 25: Certificado de estudiantes suspendidos
182
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación vectorial de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación vectorial de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación vectorial de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto
de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a
partir de un punto A y un vector de posición �⃗�, que indica su dirección.
Si P=(x, y) es un punto cualquiera de la recta y 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Son
vectores posición de P y A respectivamente, aplicando la suma de
vectores se verifica que cualquier punto P cumplirá:
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Como el vector 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tiene la misma dirección que el vector �⃗� existe
un número t tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 . �⃗�, siendo t un número real; también
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =�⃗⃗� y 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴, reemplazamos en la igualdad anterior y tenemos
la Ecuación Vectorial de la Recta:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
Que se puede expresar también:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥, 𝑣𝑦)
Ejemplos:
Anexo N° 26: Fichas utilizadas en la experimentación.
183
1. Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene como
vector de dirección �⃗� = (2,1)
Solución:
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗�
�⃗⃗� = (2,3) + 𝑡(2,1) (𝑥, 𝑦) = (2,3) + 𝑡(2,1)
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación vectorial de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
184
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Punto medio de un segmento
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer el punto medio de un segmento
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema punto medio de un segmento. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Para hallar el punto medio del segmento que une dos puntos P y Q, podemos utilizar la ecuación vectorial de la recta. Sea el vector posición del punto medio del segmento PQ.
�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� +1
2 . 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 , 𝑃𝑦) +1
2(𝑄𝑥 − 𝑃𝑥 , 𝑄𝑦 − 𝑃𝑦)
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 +1
2(𝑄𝑥 − 𝑃𝑥) , 𝑃𝑦 +
1
2(𝑄𝑦 − 𝑃𝑦))
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 + 𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦 + 𝑄𝑦
2)
Definición.- El punto medio M de un segmento PQ es la semisuma de las coordenadas de P y Q. Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento PQ si P=(5,3) y Q=(-2,4)
𝑀 = (5 + (−2)
2,3 + 4
2)
𝑀 = (5 − 2)
2,3 + 4
2)
𝑀 = (3
2,7
2)
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante. 2. Realice un organizador gráfico. 3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto. 4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO 1. ¿Qué se debe conocer para determinar el punto medio de la recta? 2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque? 3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
185
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer las ecuaciones paramétricas de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuaciones paramétricas de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial: Si expresamos la ecuación vectorial de la recta utilizando las componentes de los vectores y operamos, se obtiene:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑡 . 𝑣𝑥 , 𝑡 . 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦)
Igualamos las componentes
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
Del mismo modo, si queremos saber si un punto concreto pertenece a la recta, sustituiremos el punto en la ecuación dada y resolveremos. El punto pertenecerá a la recta si el valor de t obtenido es el mismo para ambas ecuaciones. Ejemplo: La ecuación vectorial de una recta en el plano es (x,y)=(2,3)+t(-2,1) determina su ecuación paramétrica Despejemos igualando componente a componente (𝑥, 𝑦) = (2,3) + (−2𝑡, 1𝑡) (𝑥, 𝑦) = (2 − 2𝑡 , 3 + 1𝑡)
{𝑥 = 2 − 2t𝑦 = 3 + 1t
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar las ecuaciones paramétricas de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación continua de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación continua de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación continua de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e
igualando expresiones resultantes:
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
Despejando t
{
𝑡 =𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
𝑡 =𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
Igualando ambas expresiones 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
Esta última igualdad sería la ecuación continua de la recta.
EJEMPLO:
Dada a la recta expresada en forma vectorial: (𝑥, 𝑦) = (2,1) + 𝑡(4,3). Hallar la ecuación en forma
continua.
Con ayudad e la formula puedo expresar esta ecuación en forma directa de la siguiente manera: 𝑥 − 2
4=𝑦 − 1
3
En caso de no recordar al fórmula directa podemos resolver primero hallando las ecuaciones
paramétricas y después despejar t e igualar, de la misma forma que se realizó la formulación de
esta ecuación. Entonces:
Las ecuaciones paramétricas son:
187
(𝑥; 𝑦) = (2 + 4𝑡 ; 1 + 3𝑡)
𝑥 = 2 + 4𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
Despejando t en cada ecuación paramétrica se obtiene:
𝑡 =𝑥 − 2
4
𝑡 =𝑦 − 1
3
Igualando t obtenemos la ecuación continua.
𝑥 − 2
4=𝑦 − 1
3
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación continua de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación continua de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación general de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación general de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta, también llamada cartesiana o implícita la obtenemos a partir de la
ecuación continua. 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
(𝑥 − 𝑥1)𝑣𝑦 = (𝑦 − 𝑦1) 𝑣𝑥
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 = 𝑦. 𝑣𝑥 − 𝑦1. 𝑣𝑥
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 − 𝑦. 𝑣𝑥 + 𝑦1. 𝑣𝑥 = 0
𝑥. 𝑣𝑦 − 𝑦. 𝑣𝑥 − 𝑥1 . 𝑣𝑦 + 𝑦1. 𝑣𝑥 = 0
Si realizamos cambios A por 𝑣𝑦 , B por −𝑣𝑥 , y C por −𝑥1 . 𝑣𝑦 + 𝑦1. 𝑣𝑥 obtenemos la ecuación
general de la recta
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Donde A, B y C son números reales
El vector director de la recta es �⃗� = (−𝐵, 𝐴)
Ejemplo:
Hallemos la ecuación general de la recta cuyo vector director es �⃗� = (3,− 5) y pasa por el punto
𝑃 = (1, − 2).
Obtendremos la ecuación general calculando los parámetros A, B y C a partir del vector director y
del punto P de la recta.
Calculemos los parámetros A y B a partir del vector director:
�⃗� = (3, −5) = (−𝐵, 𝐴) ⇒ 𝐵 = − 3 𝑦 𝐴 = − 5
Sustituimos estos valores en la ecuación general: −5𝑥 − 3𝑦 + 𝐶 = 0.
189
Calculemos C imponiendo que la recta pase por el punto P:
− 5 · 1 − 3 · (− 2) + 𝐶 = 0
− 5 + 6 + 𝐶 = 0
𝐶 = − 1
La recta es: − 5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0.
O también 5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
Podemos ver que la ecuación es correcta sustituyendo el vector director y el punto en la ecuación
continua, y transformándola en la ecuación general.
𝑥 − 1
3=𝑦 + 2
−5
−5𝑥 + 5 = 3𝑦 + 6
−5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación general de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación continua de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación explícita de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación explícita de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Si despejamos y de la ecuación continua de la recta, tendremos: 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑦 =(𝑥 − 𝑥1). 𝑣𝑦
𝑣𝑥+ 𝑦1
𝑦 =𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥 −
𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥1 + 𝑦1
Sustituyendo 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥 , 𝑛 = −
𝑣𝑦
𝑣𝑥𝑥1 + 𝑦1, obtenemos la ecuación explícita de la recta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Ejemplo: Hallemos la ecuación explicita de la recta cuyo vector director es �⃗� = (3, − 5) y pasa por el punto 𝑃 = (1, − 2). Obtenemos la ecuación general de la recta y despejamos la variable y 𝑥 − 1
3=𝑦 + 2
−5
−5𝑥 + 5 = 3𝑦 + 6 −5𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
𝑦 =−5𝑥 − 1
3
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación explícita de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación punto pendiente de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación punto pendiente de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación punto pendiente de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
Partiendo de la ecuación continúa de la recta: 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑦 − 𝑦1 =(𝑥 − 𝑥1). 𝑣𝑦
𝑣𝑥
Tomando en cuenta que 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Obtenemos la ecuación punto pendiente de la recta Ejemplo: Una recta pasa por el punto 𝐴(−1, 3) y tiene un vector director vector �⃗� = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.
Encontramos la pendiente recordando 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
𝑚 =5
2
Reemplazamos en la fórmula
𝑦 − 3 =5
2(𝑥 + 1)
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación punto pendiente de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación canónica de la recta
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer la ecuación canónica de la recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema ecuación canónica de la recta. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA RECTA
Otra forma de expresar una recta es a partir de sus cortes con los ejes. Si, por ejemplo, esta pasa
por 𝐴 = (𝑎, 0) y 𝐵 = (0, 𝑏), hallamos un vector director: �⃗�=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0 − 𝑎 , 𝑏 − 0) = (−𝑎, 𝑏) Si sustituimos un punto y el vector director en la ecuación continua y operamos, obtenemos la ecuación canónica de la recta
𝑥 − 𝑎
−𝑎=𝑦 − 0
𝑏
𝑥
−𝑎−
𝑎
−𝑎=𝑦
𝑏−0
𝑏
−𝑥
𝑎+ 1 =
𝑦
𝑏
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
Ejemplo:
1) Halla la ecuación canónica de la recta que pasa por 𝐴(2,0) y 𝐵(0,3) Solo debemos reemplazar en la ecuación
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
𝑥
2+𝑦
3= 1
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar la ecuación canónica de la recta?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: rectas paralelas y perpendiculares
OBJETIVO: Comprender, definir y reconocer rectas paralelas y perpendiculares a una recta dada.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: A continuación se presenta la ficha de contenido con el tema rectas paralelas y perpendiculares. Lea las actividades planteadas que se presentan a continuación del texto y realice el trabajo utilizando hojas adicionales.
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas.- Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.
�⃗⃗� = �⃗� 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑟 ∥ 𝑠 {𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴) Rectas perpendiculares.- Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo:
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ . 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑟 ⊥ 𝑠 {𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0−𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐶2 = 0
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴) 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (𝐴, 𝐵)
Ejemplo: Hallar una recta paralela y otra perpendicular a 𝑟 ≡ 𝑥 + 2 𝑦 + 3 = 0, que pasen por el punto 𝐴(3,5). Para que dos rectas sean paralelas 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 = −1
2
𝑦 − 5 = −1
2(𝑥 − 3)Ecuación punto pendiente
2𝑦 − 10 = −𝑥 + 3 𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0
194
Para que dos rectas sean perpendiculares 𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
𝑚𝑟 = −1
2
𝑚𝑠 = −1
−12
𝑚𝑠 = 2 𝑦 − 5 = 2(𝑥 − 3) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
ACTIVIDADES:
1. Lea detenidamente el texto anterior y subraye lo más importante.
2. Realice un organizador gráfico.
3. Cree un ejercicio propio y resuelva, puede guiarse en el ejemplo del texto.
4. Investigue y resuelva un ejercicio interesante.
CUESTIONARIO
1. ¿Qué se debe conocer para determinar rectas paralelas y perpendiculares?
2. ¿Encontró alguna dificultad en la realización de su propio ejercicio, porque?
3. ¿Por qué escogió ese ejercicio en su investigación?
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° de FICHA:
TEMA: Ecuación vectorial de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación vectorial de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación vectorial de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en la ecuación vectorial de la
recta.
CUESTIONARIO
1. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta pasa por el punto 𝐴 (3, −2) y tiene un vector
director �⃗� = (−1, 3)?
2. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que tiene un vector director �⃗� = (2, 5) y pasa
por el punto 𝐴(−1, 3)?
3. Dados los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(−1,1) de una recta. Calcular la ecuación vectorial.
4. Resuma los pasos para encontrar la ecuación vectorial de la recta
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
196
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Punto medio de un segmento
OBJETIVO: Aplicar conocimientos del punto medio de un segmento. Resolver ejercicios de punto medio de un segmento.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo del punto medio de
un segmento.
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los
puntos 𝐴(−1, 3)𝑦 𝐵(6, 5)?
2. ¿Cuáles son las coordenadas de B?, si las coordenadas del punto medio del segmento AB
son (−2,4). Si un extremo del segmento es 𝐴 (1,−1).
3. Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos determinados por los
siguientes pares de puntos (4,-6) y (1,5)
4. Resuma los pasos para encontrar el punto medio de un segmento
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
197
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de las ecuaciones paramétricas de la recta. Resolver ejercicios de las ecuaciones paramétricas de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de las ecuaciones
paramétricas de la recta.
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son los pasos para encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. ¿De qué manera se puede saber que un punto pertenece a una recta?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3. ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta dados el punto 𝐴 (−3; 2) y el vector
director 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗ = (2 , − 5)?
4. Dados el punto 𝐴(−2,5) y 𝐵(−1,1) de una recta:
a) Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas
b) Estudia si el punto 𝐶(−1,9) pertenece a la recta
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NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación continua de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación continua de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación continua de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la ecuación
continua de la recta.
CUESTIONARIO
1. ¿De qué formas se puede hallar la ecuación continua?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. ¿De qué manera se puede saber que un punto pertenece a una recta en la ecuación
continua?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3. ¿Cuál es la ecuación continua de una recta que pasa por el punto 𝐴(7,−2) y posee un
vector director �⃗� = (−3,5)?
4. Sabiendo que A(-1,2) y B(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua
¿el punto 𝑄(1 , 3) pertenece a la recta?
199
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación general de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación general de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación general de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la ecuación
general de la recta
CUESTIONARIO
1. ¿Cuáles son las formas para hallar la ecuación general de la recta?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por 𝑃(−1,−4) y cuyo vector de
dirección es �⃗� = (1,−2)?
3. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,−2) y 𝑄(0,3)?
4. Escriba la ecuación de la recta general que corta el eje de la abscisa en 4 y el de las ordenadas en -3
200
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación general de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación explicita de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación explicita de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la ecuación
explicita de la recta
CUESTIONARIO
1. ¿Cuál es ecuación explícita de la recta cuya ecuación paramétrica es {𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡?
2. ¿Cuál es la ecuación explícita de la recta cuya ecuación general es 2𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0?
3. ¿De qué maneras se puede hallar la ecuación explícita? _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4. Resuma los pasos para hallar la ecuación general de la recta
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
201
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación punto pendiente de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación punto pendiente de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación explicita de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la ecuación punto
pendiente de la recta
CUESTIONARIO
1. Hallar la ecuación punto pendiente de la recta que pasan por los puntos
𝐴(−2,−3) 𝑦 𝐵(4,2).
2. Hallar la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto (-4, 3) con pendiente –1
3. ¿De qué maneras se puede hallar la ecuación punto pendiente? _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4. Resuma los pasos para hallar la ecuación punto pendiente de la recta
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
202
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación punto canónica de la recta
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de la ecuación canónica de la recta. Resolver ejercicios de la ecuación canónica de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la ecuación
canónica de la recta
CUESTIONARIO
1. Escriba la ecuación canónica de la recta 𝑟 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
2. La ecuación canónica de la recta que pasa por 𝑃(−2, 1) y tiene por vector director �⃗� =(3,−4) es:
3. Una recta pasa por el punto A(3, 2) y que determina sobre los ejes coordenados,
segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas. Hallar la
ecuación de esta recta.
4. Resuma los pasos para hallar la ecuación canónica de la recta
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
203
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Rectas paralelas y perpendiculares
OBJETIVO: Aplicar conocimientos de rectas paralelas y perpendiculares. Resolver ejercicios de rectas paralelas y perpendiculares
BIBLIOGRAFÍA: Matematica 1. (2016). Quito: Editorial Don Bosco.
Lara, J. (s.f.). Matemática Segundo de Bachillerato. Quito, Pichincha, Ecuador.
Zambrano, J. (2015). Matemática 2. Quito.
Instrucciones: Lea las actividades planteadas que se presentan y resuelva el cuestionario en la ficha
ACTIVIDADES
1. En una cartulina A4 resuma las fórmulas que se utilizan en el cálculo de rectas paralelas y
perpendiculares
CUESTIONARIO
1. Calcula k para que las rectas 𝑟 ≡ 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 y 𝑠 ≡ 𝑥 − 𝑘𝑦 + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares
2. Averigüe si y-8x-5=0 ; 8y-x=16 son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos
3. Explicar cuál es la clave para saber cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “ “ FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz
TEMA: Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Quito. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta.
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗� Que se puede expresar también:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
El vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − 𝐴 1) Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por: �⃗� = (0,75; 0,15)y el
punto 𝐵(−8,−5)
2) Dadas la siguiente ecuación vectorial de una recta: (𝑥, 𝑦) = (4,8) + 𝑡(−3,5) , Indica un punto de esta recta y su vector director.
3) Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−5,2) 𝑦 𝐵(0,1)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial: Si expresamos la ecuación vectorial de la recta utilizando las componentes de los vectores y operamos, se obtiene:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑡 . 𝑣𝑥 , 𝑡 . 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦)
Igualamos las componentes
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
𝐴: Es el punto
t: es un número real
�⃗�: es el vector directo.
La ecuación vectorial se muestra en términos de t
Si queremos saber si un punto pertenece a la recta, sustituiremos el punto en la ecuación dada y resolveremos. El punto pertenecerá a la recta si el valor de t obtenido es el mismo para ambas ecuaciones.
muestra en términos de t
205
1) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0,1) y es paralela al vector �⃗� = (2,5)
2) Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(-1,0) y B(4,-2)
3) Estudia si los puntos 𝐴(7,4) , 𝐵(1,2) 𝑦 𝐶(0,0) pertenecen o no a la recta:
{𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = 2𝑡
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Para hallar el punto medio del segmento que une dos puntos P y Q, podemos utilizar la ecuación vectorial de la recta. Se encuentra el punto medio de un segmento con la siguiente fórmula
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 + 𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦 + 𝑄𝑦
2)
1) Hallar las coordenadas del punto B si son conocidos los puntos 𝐴(−1, 3) y puntos 𝐶(1; 5)
del punto medio del segmento AB.
2) Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos 𝐴 (−3, 5) 𝑦 𝐵 (4, −5).
206
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “ “ FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz
TEMA: Ecuación continua, general y explicita de la recta
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación continua, general y explicita de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Ecuador. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución de los ejercicios. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e igualando expresiones resultantes:
𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
1) Dada a la recta expresada en forma vectorial: (𝑥, 𝑦) = (3,2) + 𝑡(1,3). Hallar la ecuación
en forma continua.
2) Determina la ecuación continua de una recta que pasa por el punto 𝐴(1,−2) y posee un vector director �⃗� = (−5,2)
3) Sabiendo que 𝐴(−1,2) y 𝐵(−4,1) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta, también llamada cartesiana o implícita la obtenemos a partir de la ecuación continua y se expresa de la siguiente forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Donde A, B y C son números reales y el vector director de la recta es �⃗� =(−𝐵, 𝐴)
1) Halla la ecuación general de la recta que pasa por 𝑃(2,−4) y cuyo
vector de dirección es �⃗� = (−3,−2)
¡Recuerda! La ecuación continua solo tiene sentido si las componentes del vector director de la recta son distintas de cero
¡Sabías que!
La pendiente de la recta
es 𝑚 = −𝐴
𝐵
El corte con el eje y es
𝑛 = −𝐶
𝐵
207
2) Expresar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,−2) y 𝑄(0,3)
3) A partir de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 de una recta, hallar el vector director
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Para hallar la ecuación explicita de la recta se puede despejamos y de la ecuación continua de la recta y obtendremos:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
1) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación paramétrica es: {𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
2) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación general es: 2𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0
3) Indicar la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a. b. 𝑦 = −3𝑥 + 1
4) Escribe la ecuación de una recta en forma explícita sabiendo que la pendiente es -2 y su ordenada en el origen es -5.
5) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.
¡Sabías que!
m es la pendiente de la recta b es su ordenada en el origen.
Si tenemos el vector director la pendiente es 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
208
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FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas
actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “ “ FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz
TEMA: Ecuación punto pendiente y canónica; Rectas paralelas y perpendiculares
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación punto pendiente y canónica a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
Determinar si dos rectas son perpendiculares o paralelas
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Ecuador. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución de los ejercicios. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Donde: 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
1) Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3 , 2) y B(1 ,
-1)
2) Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director �⃗�= (2,5). Escribir su
ecuación punto pendiente.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA RECTA
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
Donde: �⃗� = (−𝑎, 𝑏)
3) Escriba la ecuación canónica de la recta que pasa por P(3,2) y tiene por vector director �⃗� = (1,−1)
¡Recuerda! Geométricamente la pendiente se
calcula de la siguiente manera:
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
¡Sabías que!
Esta expresión solo tiene sentido si la recta corta los dos ejes de coordenadas, es decir, siempre que no pase por el centro de coordenadas.
209
4) Escriba la ecuación canónica de la recta r ≡ x - 2y + 4 = 0
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas.- Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴) 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
Rectas perpendiculares.- Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo:
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
O si sus vectores directores son perpendiculares. 𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴); 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (𝐴, 𝐵)
5) ¿Cuál es la ecuación general de la recta perpendicular a la recta 3x–4y=2 y corta el eje y
en -3?
6) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las
anteriores.
a) 2y−3x=5 y 6x−4y−2=0;
b) 2y−3x=7 y 2x−3y=9;
c) 3x−2y=4 y 3y=4−2x
210
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Quito. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta.
�⃗⃗� = 𝐴 + 𝑡 . �⃗� Que se puede expresar también:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
El vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − 𝐴
1) Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por: �⃗� = (0,75; 0,15)y el punto 𝐵(−8,−5)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (−8,−5) + 𝑡 (0,75; 0,15)
2) Dadas la siguiente ecuación vectorial de una recta: (𝑥, 𝑦) = (4,8) + 𝑡(−3,5) , Indica un punto de esta recta y su vector director.
Punto: 𝐴 = (4,8) Vector: �⃗� = (−3,5)
3) Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−5,2) 𝑦 𝐵(0,1) �⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (0 − (−5); 1 − 2) = (5;−1)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡 (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (−5,2) + 𝑡 (5;−1)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen a partir de la ecuación vectorial: Si expresamos la ecuación vectorial de la recta utilizando las componentes de los vectores y operamos, se obtiene:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦)
(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑡 . 𝑣𝑥 , 𝑡 . 𝑣 ) (𝑥, 𝑦) = (𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥 ; 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦)
𝐴: Es el punto
t: es un número real
�⃗�: es el vector directo.
La ecuación vectorial se muestra en términos de t
Si queremos saber si un punto pertenece a la recta, sustituiremos el punto en la ecuación dada y resolveremos. El punto pertenecerá a la recta si el valor de t obtenido es el mismo para ambas ecuaciones.
muestra en términos de t
211
Igualamos las componentes
{𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
4) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0,1) y es paralela al
vector �⃗� = (2,5) 𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
𝑥 = 0 + 𝑡 (2)𝑦 = 1 + 𝑡(5)
𝑥 = 2𝑡
𝑦 = 1 + 5𝑡
5) Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(-1,0) y B(4,-2)
�⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (4 − (−1);−2 − 0) = (5,−2)
𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 . 𝑣𝑥𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 . 𝑣𝑦
𝑥 = −1 + 𝑡 (5)𝑦 = 0 + 𝑡(−2)
𝑥 = 1 + 5𝑡𝑦 = −2𝑡
6) Estudia si los puntos 𝐴(7,4) , 𝐵(1,2) 𝑦 𝐶(0,0) pertenecen o no a la recta:
{𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = 2𝑡
𝑥 = 3 + 2𝑡 𝑦 = 2𝑡 7 = 3 + 2𝑡 4 = 2𝑡 4 = 2𝑡 𝑡 = 2 𝑡 = 2 Parámetro igual entonces el punto si pertenece a la recta
𝑥 = 3 + 2𝑡 𝑦 = 2𝑡 1 = 3 + 2𝑡 2 = 2𝑡 −2 = 2𝑡 𝑡 = 1 𝑡 = −1 Parámetro no es igual entonces el punto no pertenece a la recta
𝑥 = 3 + 2𝑡 𝑦 = 2𝑡 0 = 3 + 2𝑡 0= 2𝑡 −3 = 2𝑡 𝑡 = 0
𝑡 =−3
2
Parámetro igual entonces el punto si pertenece a la recta
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Para hallar el punto medio del segmento que une dos puntos P y Q, podemos utilizar la ecuación vectorial de la recta. Se encuentra el punto medio de un segmento con la siguiente fórmula
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥 + 𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦 + 𝑄𝑦
2)
7) Hallar las coordenadas del punto B si son conocidos los puntos 𝐴(−1, 3) y puntos 𝐶(1; 5)
del punto medio del segmento AB.
(𝑀𝑥 ,𝑀𝑦) = (𝑃𝑥+𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦+𝑄𝑦
2) Partimos de la ecuación del punto medio
(1,5) = (−1+𝑄𝑥
2 ,3+𝑄𝑦
2) Reemplazamos los valores del punto medio y
punto dado
1 =−1+𝑄𝑥
2 𝑦 5 =
3+𝑄𝑦
2 Igualamos componentes
𝑄𝑥 = 3 𝑦 𝑄𝑦 = 7 Despejamos valores en x e y
𝐵(3,7) 8) Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son
los puntos 𝐴 (−3, 5) 𝑦 𝐵 (4, −5).
(𝑀𝑥, 𝑀𝑦) = (𝑃𝑥+𝑄𝑥
2 ,𝑃𝑦+𝑄𝑦
2)
(𝐶𝑥, 𝐶𝑦) = (−3 + 4
2 ,5 + (−5)
2)
(𝐶𝑥, 𝐶𝑦) = (1
2 , 0)
UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE
QUITO”
212
FICHA DE MATEMÁTICA Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Quito. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución de los ejercicios. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua de la recta despejando t en sus ecuaciones paramétricas e igualando expresiones resultantes:
𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
4) Dada a la recta expresada en forma vectorial: (𝑥, 𝑦) = (3,2) + 𝑡(1,3). Hallar la ecuación
en forma continua. �⃗� = (1,3) 𝐴 = (3,2) 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑥 − 3
1=𝑦 − 2
3
5) Determina la ecuación continua de una recta que pasa por el punto 𝐴(1,−2) y posee un vector director �⃗� = (−5,2)
𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑥 − 1
−5=𝑦 − (−2)
2
𝑥 − 1
−5=𝑦 + 2
2
6) Sabiendo que 𝐴(−1,2) y 𝐵(−4,1) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua
�⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (−4 − (−1); 1 − 2) = (−3;−1) 𝑥 − 𝑥1𝑣𝑥
=𝑦 − 𝑦1𝑣𝑦
𝑥 − (−1)
−3=𝑦 − 2
−1
𝑥+1
−3=
𝑦−2
−1
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta, también llamada cartesiana o implícita la obtenemos a partir de la ecuación continua y se expresa de la siguiente forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
¡Recuerda! La ecuación continua solo tiene sentido si las componentes del vector director de la recta son distintas de cero
¡Sabías que!
La pendiente de la recta
es 𝑚 = −𝐴
𝐵
El corte con el eje y es
𝑛 = −𝐶
𝐵
213
Donde A, B y C son números reales y el vector director de la recta es �⃗� = (−𝐵, 𝐴)
4) Halla la ecuación general de la recta que pasa por 𝑃(2,−4) y cuyo vector de dirección es �⃗� = (−3,−2)
Como un vector de dirección es �⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces 𝐴 = −2,𝐵 = 3 . La ecuación general será de la forma: −2𝑥 + 3𝑦 + 𝐶 = 0 Ahora imponemos que P pertenece a la recta sustituyendo sus componentes en la ecuación −2(2) + 3(−4) + 𝐶 = 0 𝐶 = 16 Luego la ecuación pedida es −2𝑥 + 3𝑦 + 16 = 0
5) Expresar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,−2) y 𝑄(0,3)
�⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (0 − 1; 3 − (−2)) = (−1,5)
Como un vector de dirección es �⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces 𝐴 = 5, 𝐵 = 1 . La ecuación general será de la forma: 5𝑥 + 𝑦 + 𝐶 = 0 Ahora imponemos que P pertenece a la recta sustituyendo sus componentes en la ecuación 5(1) + (−2) + 𝐶 = 0 𝐶 = −3 Luego la ecuación pedida es 5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
6) A partir de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 de una recta, hallar el vector director Como un vector de dirección es �⃗� = (−𝐵, 𝐴) entonces �⃗� = (3,2)
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Para hallar la ecuación explicita de la recta se puede despejamos y de la ecuación continua de la recta y obtendremos:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
6) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación paramétrica es: {𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
𝑡 = 1 − 𝑥 𝑦 + 1
−2= 𝑡
1 − 𝑥 =𝑦 + 1
−2
−2 + 2𝑥 = 𝑦 + 1 𝑦 = 2𝑥 − 3
7) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación general es: 2𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 5𝑦 = 2𝑥 + 15
𝑦 =2
5𝑥 + 3
8) Indicar la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: b. b. 𝑦 = −3𝑥 + 1
m=5 m=-3 b=-3 b=1
9) Escribe la ecuación de una recta en forma explícita sabiendo que la pendiente es -2 y su ordenada en el origen es -5.
𝑦 = −2𝑥 − 5 10) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.
𝑦 = −3
2𝑥 +
7
2
𝑚 UNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR ADVENTISTA “CIUDAD DE QUITO”
FICHA DE MATEMÁTICA
¡Sabías que!
m es la pendiente de la recta b es su ordenada en el origen.
Si tenemos el vector director la pendiente es 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
214
Corintios 12:5-7 Se puede servir al Señor Jesús de distintas maneras, pero todos sirven al mismo Señor. Se pueden realizar distintas
actividades, pero es el mismo Dios quien da a cada uno la habilidad de hacerlas.
NOMBRES Y APELLIDOS:
CURSO: 1° BGU “B” FECHA: DOCENTE: Gabriela Sáenz N° DE FICHA:
TEMA: Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta
OBJETIVO: Escribir y reconocer la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
BIBLIOGRAFÍA: Matemática 1 BGU. (2016), Quito. Editorial Don Bosco
Instrucciones: A continuación se presenta una guía para la resolución de los ejercicios. Lea cada una de las siguientes actividades y resuelva en el espacio en blanco.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Donde: 𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥,
7) Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3 , 2) y B(1 , -
1)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =−1 − 2
1 − 3=−3
−2=3
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 =3
2(𝑥 − 3)
8) Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director �⃗�= (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.
𝑚 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
𝑚 =5
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =5
2(𝑥 + 1)
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA RECTA
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
Donde: �⃗� = (−𝑎, 𝑏)
9) Escriba la ecuación canónica de la recta que pasa por P(3,2) y tiene por vector director �⃗� =
(1,−1) 𝑎 = −1; 𝑏 = −1
¡Recuerda! Geométricamente la pendiente se
calcula de la siguiente manera:
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
¡Sabías que!
Esta expresión solo tiene sentido si la recta corta los dos ejes de coordenadas, es decir, siempre que no pase por el centro de coordenadas.
215
𝑥
𝑎+𝑦
𝑏= 1
𝑥
−1+
𝑦
−1= 1
−𝑥
1−𝑦
1= 1
10) Escriba la ecuación canónica de la recta r ≡ x - 2y + 4 = 0 Para poder escribir la ecuación canónica entendemos que deben haber puntos de corte con los
ejes, por lo tanto analizamos cuando y=0 y x=0 Si y = 0 → x = −4 = a. Si x = 0 → y = 2 = b.
La ecuación canónica es: 𝑥
−4+
𝑦
2= 1
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas paralelas.- Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴) 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
Rectas perpendiculares.- Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo:
𝑚𝑠 = −1
𝑚𝑟
O si sus vectores directores son perpendiculares.
𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝐵, 𝐴); 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ = (𝐴, 𝐵)
¿Cuál es la ecuación general de la recta perpendicular a la recta 3x–4y=2 y corta el eje y en -3?
𝑚𝑟 =3
4
𝑚𝑠 = −4
3
𝑦 = −4
3𝑥 − 3
4𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 11) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las anteriores. d) 2y−3x=5 y 6x−4y−2=0;
𝑚𝑟 = −−3
2=3
2
𝑚𝑠 = −6
−4=3
2
Las rectas son paralelas e) 2y−3x=7 y 2x−3y=9;
𝑚𝑟 = −−3
2=3
2
𝑚𝑠 = −2
−3=2
3
No son paralelas ni perpendiculares f) 3x−2y=4 y 3y=4−2x
𝑚𝑟 = −3
−2=
3
2
𝑚𝑠 = −2
3
3
2 . −
2
3= −1
Son perpendiculares
