UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA148.206.53.84/tesiuami/UAMI15648.pdf · onda estacionaria formado por ondas confinadas en la cavidad. Los modos transversales se clasifican en tipos

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UNIVERSIDAD AUTONOMA

METROPOLITANA

U.E.A: Proyecto terminal I - II

Profesores:

Otón Gandarilla Carrillo

_____________________

Eleuterio Castaño Tostado

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Título del proyecto:

Cavidades resonantes cónicas

Alumno:

Fernández Rodríguez Javier

Fecha de entrega:

14/07/10

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Trimestre lectivo: 10-I

INDICE

Página 1.- Marco Teórico 3

1.1.- Introducción 3 1.1.1.- Principios de operación 4 1.1.2.- Aplicaciones 4

2.- Objetivos 4 3.- Metas a Alcanzar 5 4.- Análisis teórico 5

4.1.- Ondas Transversales Electromagnéticas 7 4.2.- Ondas Transversales Magnéticas 8 4.3.- Ondas Transversales Eléctricas 10 4.4.- Cavidades resonantes rectangulares 13 4.5.- Modo TMmnp 15 4.6.- Modo TEmnp 16 4.7.- Factor de calidad de las cavidades resonantes 16 4.8.- Cavidades resonantes cónicas y bicónicas 17

5.- Desarrollo 20 5.1.- Código Fuente 25 5.2.- Resultados obtenidos en Matlab 26

6.- Análisis de resultados 30 7.- Funciones asociadas de Legendre 31

7.1.- Código Fuente 33 8.- Construcción de las cavidades 38

8.1.- Primera cavidad resonante 38 8.2.- Segunda cavidad resonante 39

8.2.1.- Pruebas experimentales con la segunda cavidad 40

8.2.2.- Mediciones Experimentales con la segunda cavidad 41

8.2.3.- Resultados 42 8.3.- Tercera cavidad resonante 42

9.- Conclusiones 44 10.- Bibliografía 46

10.1.- Articulo Relacionado a las cavidades resonantes cónicas 47

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1. Marco teórico

Guías de onda rectangulares

1.1. Introducción.

Si bien es cierto algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, también se puede transmitir información mediante el confinamiento de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la transmisión de la información sea la adecuada y, por lo tanto, son poco útiles para aplicaciones HF (altas frecuencias) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de las señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, es decir, microondas. La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.

Este nombre, guías de onda, se utiliza para designar los tubos con una sección transversal que es rectangular, circular, elíptica, cónica, bicónica, etc. En los cuales la dirección de transmisión de la energía electromagnética es principalmente conducida a lo largo de la guía y limitada al interior de sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión, debido a la ley de Snell en la superficie así como también por efectos de frontera que señala la escasa o nula penetración de ondas electromagnéticas en buenos conductores; el interior del tubo puede estar vacío o relleno de un dieléctrico, el cual le da soporte mecánico al tubo y reduce la velocidad de propagación. En las guías de ondas tanto los campos eléctricos como los magnéticos se encuentran confinados en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia debido a la radiación y las perdidas por el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que las interferencias sean nulas en el campo por acción de otros objetos, de una forma contraria de lo que ocurriría en los sistemas de transmisión abiertos.

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En los sistemas de microondas existe otro sistema llamado cavidad resonante. Este se presenta en una forma geométrica que lo lleva a la resonancia. A estas cavidades se les agrega en su interior algunos elementos reflejantes para simular el comportamiento de los sistemas cuánticos.

1.1.1. Principios de operación.

Dependiendo de la frecuencia, las cavidades resonantes se pueden construir con materiales conductores o dieléctricos. Generalmente, cuanto más baja es la frecuencia, mayor es la guía de onda. Por ejemplo, el espacio entre la superficie terrestre y la ionosfera, la atmósfera, actúa como una guía de onda. Las dimensiones limitadas de la Tierra provocan que esta guía de onda actúe como una cavidad resonante para las ondas electromagnéticas en la banda ELF.

Las guías de onda también pueden tener dimensiones de pocos centímetros. Un ejemplo puede ser aquellas utilizadas por los satélites de EHF (Frecuencia extremadamente alta) y por los radares.

1.1.2. Aplicaciones.

Las guías de onda son muy adecuadas para transmitir señales debido a su bajas pérdidas, por esa razón se usan en microondas, a pesar de su ancho de banda limitado y volumen mayor que el de líneas impresas o coaxiales para la misma frecuencia. También se realizan distintos dispositivos en guías de onda, como acopladores direccionales, filtros, circuladores, antenas e incluso en los radares. Actualmente, son especialmente importantes, y lo serán más en el futuro, las guías de onda dieléctricas trabajando a frecuencias de la luz visible e infrarroja, habitualmente llamadas fibra óptica, útiles para transportar información de banda ancha, sustituyendo a los cables coaxiales y enlaces de microondas en las redes telefónicas y, en general, las redes de datos.

Guía de onda rectangular

2. Objetivos:

Diseñar algunas cavidades resonantes para medir coeficiente de reflexión en guías de onda con una carga.

Introducir una señal por medio de una antena en el circuito resonante.

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Realizar una serie de mediciones de los diferentes parámetros en el analizador de redes a varias frecuencias.

Modificar la geometría de la cavidad y repetir el paso anterior para diferentes posiciones de la antena y objetos dentro de la cavidad.

Interpretar los resultados recolectados en el laboratorio. Elaborar el reporte de Proyecto Terminal describiendo el comportamiento del

sistema consistente un circuito de alta frecuencia con cavidad resonante.

3. Metas a alcanzar:

I. Buscar información de aplicaciones de microondas actualmente utilizadas para estudiar sistemas quánticos.

II. Elección de los dispositivos para obtener las características de un sistema de cavidades resonantes óptimo para esta medición.

III. Armar el sistema de Radiofrecuencia y Microondas. IV. Interpretar los resultados por medio de tablas y gráficas para verificar el

comportamiento del coeficiente de reflexión como función de la frecuencia y la cavidad resonante.

V. Realizar un reporte.

4. Análisis Teórico.

Las guías de onda electromagnéticas se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones tienen soluciones múltiples, o modos, que son las auto-funciones del sistema de ecuaciones, cada modo es pues caracterizado por un valor, que corresponde a la velocidad de propagación axial de la onda en la guía.

Los modos de propagación dependen de la longitud de onda, de la polarización y de las dimensiones de la guía. El modo longitudinal de una guía de onda es un tipo particular de onda estacionaria formado por ondas confinadas en la cavidad. Los modos transversales se clasifican en tipos distintos:

modo TE (Transversal eléctrico), la componente del campo eléctrico en la dirección de propagación es nula.

modo TM (Transversal magnético), la componente del campo magnético en la dirección de propagación es nula.

modo TEM (Transversal electromagnético), la componente tanto del campo eléctrico como del magnético en la dirección de propagación es nula.

modo híbrido, son los que sí tienen componente en la dirección de propagación tanto en el campo eléctrico como en el magnético.

En guías de onda rectangulares el modo fundamental es el TE10 y en guías de onda circulares es el TE11, mientras que para otros tipos de guías depende del análisis realizado. El ancho de banda de una guía de onda viene limitado por la aparición de modos

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superiores. En una guía rectangular, sería el TE01. Para aumentar dicho ancho de banda se utilizan otros tipos de guía, como la llamada Double Ridge, con sección en forma de "H". Los elementos de parámetros concentrados a frecuencias de microondas, ya no son prácticos como elementos de circuito o como circuitos resonantes (como las inductancias y las capacitancias) conectados por alambres, debido a que las dimensiones de los elementos tendrían que ser muy pequeñas, debido a que las resistencias de los circuitos de alambres es muy elevada por el efecto de penetración, y a la radiación. Se puede usar una caja conductora hueca de dimensiones apropiadas como dispositivo resonante de Q muy alta. Esta caja, que en esencia es una sección de guía de ondas con los extremos cerrados, se denomina cavidad resonante.

El cálculo de cavidades resonantes se da a partir de las siguientes ecuaciones las cuales se mencionan a continuación:

Primero supondremos que las ondas se propagan en dirección +z con una constante de propagación γ = α + jβ que aún queda por determinar. Para el caso de la dependencia armónica con el tiempo con frecuencia angular ω, se puede describir la dependencia de zy t de todas las componentes del campo mediante la ecuación de onda con factor exponencial:

e- γz ejωt = e(jωt - γz) = e- αz ej(ωt - βz) ……(a)

Usaremos el coseno como referencia y así podremos escribir la expresión instantánea del campo E en coordenadas cartesianas como:

E(x, y, z; t) = ℜ[E0(x, y)e(jωt-γz)]…….(b)

Donde E0(x, y) es un fasor vectorial bidimensional que solo depende de las coordenada transversales, al usar una representación fasorial en las ecuaciones que relacionan las cantidades de campo podemos reemplazar las derivadas parciales con respecto a t y z por productos como (jω) y (-γ), respectivamente se puede eliminar el fasor común e(jωt - γz).

De acuerdo con las siguientes ecuaciones las intensidades de los campos eléctrico y magnético en la región dieléctrica interior libre de cargas satisface las ecuaciones vectoriales homogéneas de Helmholtz:

2E + k2E = 0…….(c)

Y

2H + k2H = 0…..(d)

Donde E y H son fasores vectoriales tridimensionales y k es el número de onda:

k = √…..(e)

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El operador laplaciano tridimensional 2 puede separarse en dos partes: 2u1u2 para las

coordenadas transversales y 2z para la coordenada longitudinal. Para las guías de ondas

con una sección transversal rectangular se usan coordenadas cartesianas:

2E = (∇ + ∇ )E = (∇ +

)E……(f)

∇ E + γ2 E……..(g)

Al combinar ambas ecuaciones (f) y (g) se obtiene:

∇ E + (γ2 + k2) E = 0……(1)

Y de manera similar par el campo magnético.

∇ H + (γ2 + k2) H = 0……(2)

En realidad las ecuaciones (1) y (2) son tres ecuaciones en derivadas parciales de segundo grado, una para cada componente de E y H. La solución exacta de estas ecuaciones para las componentes depende de la geometría transversal y de las condiciones de frontera, las diversas componentes de E y H no son todas independientes y no es necesario resolver las seis ecuaciones en derivadas parciales de segundo grado para las seis componentes de E y H. Al manipular estas ecuaciones podemos expresar las componentes de campo transversales , , y en términos de las dos componentes longitudinales y y haciendo algunos arreglos llegamos a las siguientes ecuaciones:

= − + !........(3)

= − − !……(4)

= − " − !….…(5)

= − " + !……(6)

Donde:

h2 = γ2 + k2……(7)

4.1. Ondas Transversales Electromagnéticas

Puesto que Ez = 0 y Hz = 0 en las ondas transversales electromagnéticas (TEM) en una guía, podemos ver que las ecuaciones (3) a (6) constituyen un conjunto de soluciones triviales a menos que el denominador h2 también sea igual a cero, las ondas transversales electromagnéticas únicamente existen cuando:

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#$ + k = 0 o #$ = jk = jω)µε

Que es exactamente la misma expresión para la constante de propagación de una onda plana uniforme en un medio ilimitado. La siguiente ecuación nos describe la velocidad de propagación de una onda TEM:

*+,#$- = ./ = √01 (m/s)

La impedancia de onda se calcula de la siguiente manera:

2#$ = 301 = η (Ω)

Se observa que ZTEM es igual que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico. Las guías de onda de un solo conductor no pueden transportar ondas TEM, las líneas de flujo magnético siempre se cierran sobre sí mismas, por lo tanto si una onda TEM existiera en una guía de ondas, las líneas de campo de B y H describirían trayectorias cerradas en un plano transversal. Si no hay conductor interno, no habrá corriente de conducción longitudinal en la guía de ondas. Por definición, una onda transversal electromagnética no tiene componente Ez; por lo tanto no hay corriente de desplazamiento longitudinal.

La ausencia total de una corriente longitudinal en la guía de ondas nos lleva a la conclusión de que no puede haber trayectorias cerradas de línea de campo magnético en ningún plano transversal, en conclusión las ondas electromagnéticas no pueden existir en una guía de ondas de un conductor hueco (o relleno con un dieléctrico), cualquiera que sea su forma.

4.2. Ondas Transversales Magnéticas Las ondas transversales magnéticas (TM) no tienen componente del campo magnético en la dirección de propagación, Hz = 0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TM resolviendo la ecuación (1) para Ez sujeto a las condiciones en la frontera de la guía, para después usar las ecuaciones (3) a (6) y determinar las otras componentes. Si escribimos la ecuación (1) para Ez tenemos: ∇ + , + 4- = 0 ó ∇ + ℎ = 0 (8) Una vez determinado , podemos hallar las otras componentes del campo usando las ecuaciones (3) a (6) con = 0. Es posible expresar la relación entre las componentes transversales de la intensidad de campo magnético, y , y las de la intensidad de campo eléctrico, y , en términos de la impedancia de la onda, ZTM para el modo transversal magnético.

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2#$ = 6"7 = − 7"6 = 89.1 (Ω)

Es importante observar que ZTM no es igual a /, ya que γ para las ondas transversales magnéticas no es igual a √, como en el caso de #$. Cuando iniciemos la tarea de resolver la ecuación homogénea bidimensional de Helmholtz (8) sujeta a las condiciones en la frontera de una guía de ondas determinada, descubriendo que las soluciones solo son posibles para valores discretos de h. Habrá una infinidad de estos valores discretos, pero las soluciones no son posibles para todos los valores de h. Los valores de h para los cuales existe una solución de la ecuación se denominan valores característicos o valores propios del problema de condiciones en la frontera. Cada uno de los valores característicos determina las propiedades características de un modo TM específico de la guía de ondas dada. A partir de la ecuación (7) tenemos: = √ℎ − 4 = )ℎ − ……(9) Si γ = 0 ; = ℎ ó <; = =√01……(10)

La ecuación (10) se denomina frecuencia de corte, el valor de fc para un modo específico en una guía de ondas depende del valor característico, h, del modo. Usando la ecuación (10) podemos escribir la ecuación (9) como:

= ℎ31 − ??@! ……(11)

a) ??@! > 1 B < > <; En este intervalo, > ℎ y γ es imaginaria. A a partir de las

ecuaciones (9) y (10) tenemos:

= 431 − ?@?……(12)

El modo se propaga con constante de fase β:

C = 431 − ?@? (rad/m)

La longitud de onda correspondiente en la guía es: DE = =F = G

3HI?@/?J……(13)

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Es la longitud de onda plana de frecuencia f en un medio dieléctrico ilimitado, podemos reagrupar la ecuación (13) para obtener una relación sencilla entre D, la longitud de onda en la guía DE y la longitud de onda de corte D; = */<; G = GK + G@……(14)

La velocidad de fase de la onda que se propaga en la guía es:

*+ = *)1 − ,<;/<- = DED * > *

Las guías de ondas de un solo conductor son sistemas de transmisión dispersivos, aunque un medio dieléctrico sin perdidas ilimitado sea no dispersivo. Al sustituir la ecuación (12) en la ecuación de la impedancia de la onda (ZTM).

2#$ = L31 − ?@?! (Ω)

La impedancia de la onda de los modos TM que se propagan en una guía de ondas con un dieléctrico sin perdidas es puramente resistiva y es siempre menor que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico

b) ??@! < 1 B < < <;. Cuando la frecuencia del modo es menor que la frecuencia de

corte, γ es real y la ecuación (11) puede escribirse como:

= N = ℎO1 − P<<;Q

Todas las componentes del campo contienen el factor de propagación RH8 = RHS, de manera que la onda disminuye rápidamente con z y se dice que es evanescente. Una guía de ondas exhibe la propiedad de un filtro pasa-altas, para un modo determinado, sólo las ondas con frecuencia superior a la de corte del modo pueden propagarse en la guía. La impedancia de la onda de los modos TM evanescentes a bajas frecuencias, inferiores a la de corte, es puramente reactiva, lo cual indica que no hay flujo de potencia asociado con las ondas evanescentes.

4.3. Ondas Transversales Eléctricas Las ondas transversales eléctricas (TE) no tienen componente del campo eléctrico en la dirección de propagación, Ez = 0. Podemos analizar el comportamiento de las ondas TE resolviendo primero la ecuación (2) para Hz.

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∇ + ℎ = 0 Hay que satisfacer las condiciones en la frontera en las paredes de la guía. Las componentes transversales del campo se determinan después sustituyendo Hz en las ecuaciones (3) a (6) con Ez igual a cero. Las componentes transversales de la intensidad de campo eléctrico, y , están relacionadas con las de la intensidad de campo magnético, y , a través de la impedancia de la onda. Tenemos:

2# = 67 = − "7"6 = 9.08 (Ω)……(15)

Observe que ZTE en la ecuación (15) es bastante diferente de ZTM para las ondas transversales magnéticas, ya que γ de las ondas TE no es igual a √, como sucede con #$ . Como no hemos cambiado la relación entre γ y h, las ecuaciones (9) a (14) e incluso la de la velocidad correspondientes a las ondas transversales magnéticas también se aplican a las ondas transversales eléctricas. A sí mismo, hay también dos intervalos distintos de γ que dependen de si la frecuencia del modo es mayor o menor que la frecuencia de corte, fc, expresada por la ecuación (10).

a) ??@! > 1 B < > <;. En este intervalo, γ es imaginaria y tenemos un modo que se

propaga. La expresión de γ es la misma que la presentada en la ecuación (12);

= C = 431 − ?@?……(16)

Las formulas de β, DEy *+ también son validas para las ondas TE. Si se usa la ecuación (16) en la ecuación (15) se obtiene: 2# = T)H,?@/?-……(17)

Esta ultima ecuación indica que la impedancia de onda de los modos transversales eléctricos (TE) que se propagan en una guía de ondas con un dieléctrico sin perdidas es puramente resistiva y siempre es mayor que la impedancia intrínseca del medio dieléctrico.

b) ??@! < 1 B < < <;.

En este caso, γ es real y tenemos un modo evanescente o que no se propaga:

= N = ℎ31 − ??@!……(18)

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Puesto que γ es puramente real en la ecuación (18) , la impedancia de la onda de los modos TE en la ecuación (15) con < < <;: 2# = .0)H,?/?@-……(19)

Es puramente reactiva, lo que indica una vez más que no hay flujo de potencia asociado a las ondas evanescentes. La componente tangencial del campo eléctrico debe desaparecer de la superficie de las placas conductoras perfectas, por lo cual se deben satisfacer las siguientes condiciones en la frontera:

(i) En y = 0, ,0- = 0. (ii) En y = b, ,V- = 0.

La condición en la frontera (i) requiere que Bn = 0, mientras que la condición en la frontera (ii) requiere que WRX ℎV = 0 o ℎV = XY, lo que determina el valor característico h: ℎ = Z=[ , n = 1, 2, 3,…..

Por lo tanto, ,\- debe tener la forma siguiente: ,\- = ]ZWRX Z=[ !……(20)

Donde la amplitud An depende de la intensidad de excitación de la onda TM. Las únicas otras componentes de campo distintas de cero se obtienen de las ecuaciones (3) a (6),

teniendo en cuenta que = 0 y que = 0.

,\- = 9.1 ]Z^BW Z=[ !……(21)

,\- = − 8 ]Z^BW Z=[ !……(22)

La variable γ es la constante de propagación, que se puede determinar mediante la siguiente ecuación:

= 3Z=[ ! − ……(23)

La frecuencia de corte es la frecuencia a la cual γ = 0. Tenemos: <; = Z[√01……(24)

Hay varios modos TM que se propagan (modos característicos o propios) posibles, dependiendo de los valores de n, que corresponden a los distintos valores característicos h,

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cada modo tiene sus propias características. Cuando n = 0, Ez = 0 y sólo pueden existir las componentes transversales Hx y Ey, por lo tanto, el modo TM0 es el modo TEM, un caso especial para el cual fc = 0.

4.4. Cavidades resonantes rectangulares: A continuación analizaremos el comportamiento de las guías de ondas rectangulares. Se considera que la propagación de las ondas con dependencia armónica con el tiempo es en la dirección +z, con una constante de propagación γ. Analizaremos los modos TM y TE, considerando los ejes como en la figura 1.

Figura 1.

Haciendo algunas consideraciones y manipulaciones con la ecuación (1) anteriormente vista se llega a una expresión para las ondas transversales magnéticas dado por la siguiente ecuación: ,_, \- = WRX `=a _! WRX Z=[ \! (V/m)……(25)

Donde se ha sustituido E0 por el producto A1B1, que se determinara a partir de las condiciones de excitación de la guía de onda. Las otras componentes del campo se obtienen de las ecuaciones (3) a (6), poniendo = 0. El valor característico y la constante de propagación γ están dados de la siguiente manera:

ℎ = `=a ! + Z=[ !……(26)

= C = √4 − ℎ = 3 − `=a ! − Z=[ !……(27)

Cada una de las combinaciones de los enteros m y n define un modo posible que puede designarse como el modo TMmn; por lo tanto, hay un número doblemente infinito de modos TM. El primer subíndice denota el número de variaciones de medio ciclo de los campos en la dirección x, y el segundo subíndice indica el número de variaciones de medio ciclo de los campos en la dirección y. El corte de un modo dado es la condición para la cual se anula γ. La frecuencia de corte del modo TMmn y la longitud de onda de corte son las siguientes:

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,<;-mn= bπ)µε = π)µε3cd ! + ef! ……(28)

(λc)mn =

3gh !ijk!……(29)

Para los modos TM en guías de ondas rectangulares m y n no pueden ser cero. Si así fuera, desaparecerían ,_, \- en la ecuación (25) y las demás componentes del campo, por lo tanto, el modo TM11 tiene la menor frecuencia de corte de todos los modos TM en una guía de ondas rectangular. Haciendo algunas consideraciones y manipulaciones con la ecuación (2) anteriormente vista se llega a una expresión para determinar las ondas transversales eléctricas dado por la siguiente ecuación: ,_, \- = ^BW `=a _! ^BW Z=[ \! (A/m)……(30)

Las otras componentes de campo se obtienen de las ecuaciones (3) a (6): ,_, \- = 9.0 Z=[ ! ^BW `=a _! WRX Z=[ \!……(31)

,_, \- = − 9.0 `=a ! WRX `=a _! ^BW Z=[ \!…..(32)

,_, \- = 8 `=a ! WRX `=a _! ^BW Z=[ \!……(33)

,_, \- = 8 `=[ ! ^BW `=a _! WRX Z=[ \!……(34)

Las ecuaciones para la frecuencia de corte y para la longitud de onda de corte correspondientes para este caso son: ,<;-TE10 =

a√01 = la (Hz)……(35)

,D;-TE10 = 2n (m)……(36) Modo con menor frecuencia de corte (longitud de onda de corte más larga) se denomina modo dominante. El modo de TE10 tiene importancia especial, ya que posee la constante de atenuación más baja de todos los modos en una guía de ondas rectangular y su campo eléctrico claramente polarizado en una dirección en todas las posiciones. En la figura (2) se muestran los ejes para el caso de una cavidad resonante rectangular.

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Figura 2.

Considere una guía de ondas rectangular con los dos extremos cerrados por una pared conductora. Las dimensiones interiores de la cavidad son a, b y d, como puede verse en la figura (2). Para nuestros fines elegiremos el eje z como referencia de la dirección de propagación, en realidad, la existencia de paredes conductoras en z = 0 y z = d genera reflexiones múltiples y crea ondas estacionarias; las ondas no se propagan en una cavidad cerrada. Se requiere un subíndice de tres símbolos (mnp) para designar una distribución de onda estacionaria TM o TE en una cavidad resonante.

4.5. Modo TMmnp Considere la componente transversal ,_, \, o-. Las condiciones en la frontera en las superficies conductoras requieren que sea cero en z = 0 y z = d. Esto significada que:

1) Su dependencia con z debe ser del tipo sen βz. 2) C = pY/q.

El mismo argumento se aplica a la otra componente del campo transversal eléctrico, ,_, \, o-. Las relaciones entre las componentes transversales , y , donde es nula para los modos TM. La presencia del factor (-γ) es el resultado de una diferenciación con respecto a z. Entonces, si ,_, \, o- depende de sen βz, podemos llegar a la conclusión de que ,_, \, o- debe variar de acuerdo con cos βz. Para el modo TMmnp tenemos: ,_, \, o- = ,_, \-^BW pYq o! = WRX rYn _! WRX XYV \! ^BW pYq o!

Las demás componentes del campo se escriben usando Ez, notando que la multiplicación por (-γ) representa una diferenciación parcial con respecto a z. Si se sustituye C = pY/q se

obtiene la frecuencia resonante de los modos TMmnp * = √0s!:

< Z+ = 0 3 a ! + Z[! + +u!……(Hz)

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De esta ecuación es evidente de que la frecuencia resonante aumenta al elevarse el orden del modo.

4.6. Modos TEmnp Se siguen las mismas reglas utilizadas para los modos TMmnp:

1) Las componentes del campo transversal eléctrico (tangencial) deben de desaparecer en z = 0 y z = d.

2) El factor γ indica una diferenciación parcial negativa con respectivo a z.

Para la primera regla se requiere un factor sen ,pYo/q- en ,_, \, o-, ,_, \, o- y ,_, \, o-; la segunda regla indica un factor cos ,pYo/q- en ,_, \, o- y ,_, \, o-. Tenemos

,_, \, o- = ,_, \-WRX pYq o!

= ^BW rYn _! ^BW XYV \! WRX pYq o!

Las demás componentes del campo se escriben usando Hz y observando que la multiplicación por (-γ) significa una diferenciación parcial con respecto a z. La expresión de la frecuencia resonante fmnp, es la misma que se obtuvo para los modos TMmnp. Los modos distintos que tienen la misma frecuencia resonante se denominan modos degenerados, de esta manera, los modos TMmnp y TEmnp siempre son degenerados si ninguno de los índices del modo es cero. El modo con menor frecuencia resonante para u tamaño dado de cavidad resonante se conoce como modo dominante.

Un modo determinado en una cavidad resonante puede excitarse a partir de una línea coaxial usando una pequeña sonda o una antena de bucle. Esta sonda es de hecho una antena que acopla la energía electromagnética a la cavidad resonante. Como alternativa, podemos excitar la cavidad resonante introduciendo una pequeña espira en lugar de un flujo magnético del modo deseado ligado a la espira sea máximo.

La frecuencia de la señal en la línea coaxial debe ser igual a la frecuencia de resonancia del modo deseado en la cavidad. Un método común para acoplar la energía de una guía de ondas a una cavidad resonante es introducir un agujero o un iris en la posición apropiada en la pared de la cavidad. El campo en la guía de ondas en el agujero debe tener una componente que sea favorable para la excitación del modo deseado en la cavidad resonante.

4.7. Factor de calidad de las cavidades resonantes.

Una cavidad resonante almacena energía en los campos eléctrico y magnético para cualquier configuración particular de un modo. Toda cavidad resonante práctica tiene paredes con conductividad finita (resistencia superficial distinta de cero) y la pérdida de potencia resultante ocasiona una disminución de la energía almacenada. El factor de

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calidad, Q de una cavidad resonante, como en cualquier circuito resonante, es una medida del ancho de banda de la cavidad resonante y se define como:

v = 2YXRwxín rRqzn RrpBwn| n|rn^RXnqnn *Xn <wR^*RX^zn wRWBXnXRXRwxín qzWzpnqn RX *X pRwzBqBqR RWn <wR^*RX^zn

4.8. Cavidades resonantes cónicas y bicónicas.

El problema de las guías de onda cónicas es muy importante para entender el comportamiento básico de las ondas a través de un dipolo en una antena y en cierto tipo de cavidades resonantes. En particular, es muy importante considerar que una onda se propaga a través del cono a la velocidad de la luz y que no tiene componentes de campo en la dirección radial, esto es análogo a una onda en una línea de transmisión en sistemas cilíndricos.

Figura 3.

Esta onda básica es simétrica con el eje de las guías como se muestra en la figura (3) por esa razón las dos relaciones que se obtienen a partir de las ecuaciones de Maxwell son escritas en coordenadas esféricas por ese motivo las variaciones de ϕ son eliminadas, se puede ver claramente que hay una dependencia entre las variables y los campos Eθ, Hϕ y Er obteniendo las siguientes ecuaciones: ,~- − + ∅ = 0 ……(37)

e ,sin ∅- − = 0……(38)

− ,"∅- − = 0……(39)

Ahora solo nos queda pensar en la forma de atacar estas ecuaciones directamente, estas pueden ser resultas por la substitución de las siguientes soluciones que satisfacen las tres ecuaciones:

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= 0……(40)

w = Te ]R9,.H/- + R9,.i/-……(41)

w∅ = e ]R9,.H/- − R9,.i/-…..(42)

Estas ecuaciones muestran el comportamiento de propagación ya conocido, el primer término representa una onda que viaja radialmente hacia el exterior con una velocidad de la luz en el material dieléctrico que rodea los conos, el segundo término representa una onda que viaja radialmente al interior con la misma velocidad. El radio del campo magnético y eléctrico esta dado por +η para una onda que viaja en dirección positiva y –η para una onda que viaja en dirección negativa. No hay componente de campo en la dirección radial, la cual es la dirección de propagación. Por encima de la onda se ve muy similar a un sistema ordinario de líneas de transmisión para un caso cilíndrico uniforme. Esta remembranza es de gran importancia si nosotros notamos que el Eθ corresponde a los diferentes voltajes entre los dos conos.

= − wq=H

= −L qsin ]R9,.H/- + R9,.i/-=H

= 2L ln cot ]R9,.H/- + R9,.i/-…..(43)

Donde se trata el caso en donde son iguales los ángulos en los conos como en la figura 3. Este voltaje el cual es independiente de r, excepto por el término de propagación R±9/. Similarmente el campo magnético acimutal corresponde al flujo de corriente en los conos. = 2Yw∅ sin

= 2Y]R9,.H/- − R9,.i/-……(44)

Esta corriente es independiente del radio, excepto por el termino de propagación. Un estudio de la relación de señal muestra que la dirección radial es opuesta en los dos conos para cualquier radio dado. El radio de voltaje a corriente en una onda simple viaja en dirección al exterior, una cantidad la cual nosotros llamaremos impedancia característica en una línea ordinaria de transmisión es obtenida con la condición de B=0 en (43) y (44). 2 = T e /= …..(45)

Para una onda que viaja en dirección negativa, el radio de voltaje a corriente es una cantidad negativa. Este valor de impedancia es una constante, independiente del radio.

19

Nosotros podríamos suponer que esto se obtiene del concepto familiar de 2 = )/, desde la inductancia y capacitancia entre los conos por unidad de longitud radial son independientes del radio. Esto se debe a que la superficie de área aumenta proporcionalmente con el radio, y la distancia de separación del cono a lo largo de la trayectoria del campo eléctrico, incluso se incrementa proporcionalmente al radio. Hasta ahora esta onda es interesante, el sistema se deriva dos conductores ideales coaxiales cónicos que pueden ser considerados como una línea de transmisión uniforme. Todas las formulas familiares de impedancia de entrada, voltaje y corriente a lo largo de la línea se debe directamente a la impedancia característica por la ecuación (45) y con una fase constante correspondiente a la velocidad de la luz en el dieléctrico. C = =G = √ ……(46)

Si los conos conductores tienen resistencia, hay una salida a causa de la uniformidad debido al término de resistencia pero esto no es muy grave para casos prácticos donde se usan los sistemas cónicos. Por supuesto un largo número de ondas de orden mayor pueden existir en este sistema cónico y en sistemas similares. Estos en general tienen componente de campo en la dirección radial y no se propagan a la velocidad de la luz.

Figura 4.

Considere una guía de ondas cónicas o bicónicas con uno de los dos extremos cerrado por una pared conductora. Como en la figura (4), se obtiene una forma diferente con una capa pequeña que cube un extremo de la cavidad resonante, formada por un tipo esférico de radio a como fue estudiado anteriormente. Si este es visto como una línea uniforme se aplica la siguiente formula con la siguiente condición C = 4 − 1. La impedancia intrínseca queda de la siguiente manera:

2 = T= |X^B …..(47)

Cuando se tiene el límite de capacitancia cero (los 2 conos están separados por una capa infinitesimal), el radio a viene exactamente en un cuarto de onda. Las componentes de

20

campo en este caso, se obtienen de forma de una onda estática dadas las siguientes expresiones:

= ;Z ;/ …..(48)

H∅ = cjηsinθ sinkrr … . . ,49-

El factor de calidad para dicho resonador esta dado por la siguiente expresión:

Q = §¨©ª« × eI,®/-JeI,®/-Ji.¯°×,®-…..(50)

5. Desarrollo.

Se implementaron las formulas anteriormente mencionadas en Matlab (MATrix Laboratory, “laboratorio de matrices”)11 que es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M), con ayuda de dicho software de se obtuvo un código que nos mostrara mediante gráficas y esquemas de alguna manera el comportamiento físico tanto del campo eléctrico como del campo magnético, también se obtuvieron algunos cálculos que son necesarios para la construcción de la cavidad resonante cónica o bicónica.

Para esto primeramente se implemento la fórmula para obtener la impedancia intrínseca para varios valores, esta se obtuvo mediante la siguiente fórmula:

2 = T= |X^B …..,47-

Para obtener el resultado deseado es necesario que algunos valores sean definidos dentro del mismo programa y que otros sean dados por el usuario, en este caso:

µ = 4*pi*10e-7; en donde pi ya está determinado en el programa como un valor definido dentro de este.

Mientras que el usuario proporciona el valor de θ, dicho valor es un ángulo que va de 0° a 360°, esta función es obtenida con el comando de input y por ultimo dado este valor se realiza una conversión a radianes mediante la siguiente función:

Tetarad = tetacero*pi/180; cambio a radianes

En Matlab se obtiene la siguiente fórmula:

zeta0 = ((mu/pi)*(log(cot(tetarad/2))))

1 Matlab cuyo fabricante es Mathworks, cuya página se puede visitar en el sitio www.mathworks.es/

21

Otro factor importante es el cálculo de la resistencia de carga o interna la cual se calculo con la siguiente fórmula:

² = )Y</w;…..(51)

Implementándola en el programa obtenemos:

Rs = (sqrt((pi*frecuencia*mu)/rc))

Donde mu nuevamente es obtenida con la siguiente relación y rc está determinada con un valor de:

mu = 4*pi*10e-7;

rc = 5.8e7, el comando sqrt se refiere a la raíz cuadrada.

En cuanto a la frecuencia esta es pedida al usuario nuevamente con el comando input, de esta manera el usuario determina la frecuencia que el desee y será realizado el cálculo necesario.

Después se implemento la fórmula para obtener el campo eléctrico, pero en este caso no se obtuvo un resultado numérico si no que se obtiene una representación grafica de dicho campo, también se encuentran valores que el usuario proporciona y otros que tienen que ser definidos dentro del programa, la fórmula para el campo es la siguiente:

= ;Z ;/ …..,48-

Al implementarla en el programa queda de la siguiente forma:

Eteta(numang,numradio)=(c/sin(tetarad(numang)))*((cos(k*r(numradio)))/r(numradio));

La cual está en función tanto del ángulo como del radio del cono, en este caso los parámetros conocidos o determinados dentro del programa son:

c = 3x108 m/seg2

k = omega*sqrt(mu*eps); nuevamente sqrt es la raíz cuadrada de mu x eps

Donde:

omega = 2*pi*frecuencia;

frecuencia = es pedida al usuario mediante el comando input

mu = 4*pi*10e-7;

eps = 1e9/(36*pi);

Los demás valores son pedidos al usuario mediante el comando input, estos valores son:

tetarad = tetacero*pi/180; cambio a radianes

22

Donde:

tetacero = mediante el comando input y el usuario pide un ángulo de 0° a 360°

numang = es un ciclo for (para), que va desde 1 y aumenta en pasos de 1 hasta tamteta

Donde:

tamteta = length(tetarad); tamaño de tetarad

Y por último se tiene:

numradio = es un ciclo for (para), que va desde 1 y aumenta en pasos de 1 hasta tamr

Donde:

tamr = length(r); tamaño de r

r = 0:pasorad:radio;

pasorad=radio/numdat;

numdat = es pedido al usuario mediante el comando input y este determina el tamaño de la matriz para obtener la gráfica deseada.

radio = es pedido al usuario mediante el comando input

Teniendo todos los valores se procede a realizar el código que permita obtener la gráfica deseada para el campo eléctrico y esto se realiza de la siguiente manera:

figure(1);

%[X,Y]=meshgrid(numang,numradio);

surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Eteta(1:tamr,1:tamteta));

%surf(X,Y,Eteta)

figure(2);

plot3(tetarad,r,Eteta);

Ahora para obtener la gráfica del campo magnético se realiza lo siguiente, mediante la siguiente fórmula:

H∅ = ´§e eµ¶¶ …..(49)

En Matlab se obtiene:

Hfi(numang,numradio)=((c/(j*mu*sin(tetarad(numang)))))*((sin(k*r(numradio)))/r(numradio));

23

En este caso también depende tanto del ángulo como del radio, nuevamente casi todos los valores pedidos para obtener la gráfica son similares a los descritos anteriormente para el campo eléctrico, solo basta agregar o complementar el siguiente valore como lo es el valor complejo y de ahí obtener la magnitud del campo magnético y así obtener valores reales y enteros.

j=sqrt(-1); numero complejo

Hfimag=abs(Hfi);

Para obtener el comportamiento del campo magnético se realiza lo siguiente donde los valores pedidos fueron descritos igualmente para el campo eléctrico:

figure(3);

surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Hfimag(1:tamr,1:tamteta));

figure(4);

plot3(tetarad,r,Hfimag);

Otro aspecto importante para determinar la construcción de la cavidad resonante es el factor de calidad el cual se obtiene mediante:

Q = §¨©ª« × eI,®/-JeI,®/-Ji.¯°×,®-…..(50)

En Matlab se obtiene lo siguiente:

q=((mu*pi)/4*rs)*((log(cot(tetac/2))/(log(cot(tetac/2)))+0.825*csc(tetac)))

Nuevamente hay valores que ya se pidieron con anterioridad por lo que no es necesario volver a ponerlos, solo se necesita agregar el ángulo de conicidad y el valor de resistencia de carga como se muestra a continuación:

tetaconica = mediante el comando input el usuario determina el valor del ángulo de conicidad, este ángulo va de 0° a 180°

tetac = tetaconica*pi/180; cambio a radianes

rs= mediante el comando input el usuario determina un valor para la resistencia de carga.

Calculo de la diferencia de potencial vista como rebanadas de pastel en el cual se obtiene el valor numérico de este.

Formula necesaria o propuesta para la realización del cálculo:

= ·∗us ∗¹…..(52)

Formula obtenida en Matlab:

v = ((carga*d)/(eps*A))

24

En donde se deben especificar dentro del programa que:

carga = 1; %Coulomb/seg

d = h/N

N = 4;

h = mediante el comando input el usuario determina la altura del cono en metros.

El área se obtiene mediante:

A = ((D-(h*sin(tetac)^2)*pi)); tetac fue descrita anteriormente y no es necesario volver a especificarla

Donde:

D = mediante el comando input se le pide que el usuario determine el valor de la base en metros.

Y por último se determina la diferencia de potencial vista de otra forma, como una ecuación que está en función del ángulo de conicidad y el ángulo de la base del cono.

Formula necesaria para obtener el valor numérico de la diferencia de potencial es:

= º»∗¼ ,aZ~@» !-¼ ,aZ~@ !- …..(53)

En Matlab se obtiene lo siguiente:

V2=((v0*log(tan(tetaconici)/2))/(log(tan(tetacono)/2)))

En este caso se le piden al usuario tanto el ángulo de conicidad como el de la base del cono mediante el comando input y se obtiene lo siguiente:

tetaconica = mediante el comando input el usuario determina un ángulo entre 0° y 360°.

tetacono = tetaconica*pi/180; conversión a radianes

tetaco = mediante el comando input el usuario determina un ángulo entre 0° y 90°.

tetaconici= tetaco*pi/180; conversión a radianes

v0 = mediante el comando input el usuario decide qué valor ponerle al voltaje inicia.

5.1. Código Fuente:

clear all %Cálculo de la impedancia intrínseca mu=4*pi*10e-7;

25

tetacero=input('Dame el valor de teta en número entero entre 0 y 360'); tetarad=tetacero*pi/180; zeta0=((mu/pi)*(log(cot(tetarad/2)))) frecuencia=input('Dame la frecuencia en Hz'); rc=5.8e7 Rs=(sqrt((pi*frecuencia*mu)/rc)) radio=input('Dame el valor de radio en metros'); numdat=input('Dame el número de datos de la matriz cuadrada'); pasoang=360/numdat; pasorad=radio/numdat; r=0:pasorad:radio; teta=0:pasoang:360; tetarad=teta*pi/180; c=3e8; tamr=length(r); tamteta=length(tetarad); omega=2*pi*frecuencia; mu=4*pi*10e-7; eps=1e9/(36*pi); k=omega*sqrt(mu*eps); for numang=1:1:tamteta for numradio=1:1:tamr Eteta(numang,numradio)=(c/sin(tetarad(numang)))*((cos(k*r(numradio)))/r(numradio)); end end figure(1); %[X,Y]=meshgrid(numang,numradio); surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Eteta(1:tamr,1:tamteta)); %surf(X,Y,Eteta) figure(2); plot3(tetarad,r,Eteta); %Cálculo del campo magnético j=sqrt(-1); eps=1e9/(36*pi); k=omega*sqrt(mu*eps); Hfi(numang,numradio)=((c/(j*mu*sin(tetarad(numang)))))*((sin(k*r(numradio)))/r(numradio)); Hfimag=abs(Hfi); figure(3); surf(tetarad(1:tamteta),r(1:tamr),Hfimag(1:tamr,1:tamteta)); figure(4); plot3(tetarad,r,Hfimag); %Cálculo del factor de calidad tetaconica=input('Dame el valor de conicidad en número entero entre 0 y 180'); tetac=tetaconica*pi/180; rs=input('Dame el valor de resistencia'); q=((mu*pi)/4*rs)*((log(cot(tetac/2))/(log(cot(tetac/2)))+0.825*csc(tetac)))

26

%Cálculo de diferencia de potencial carga=1; %Coulomb/seg h=input('Dame la altura en metros'); %N=input('Dame el número de rebanadas'); N=4; d=h/N D=input('Dame el valor de la base en metros'); A=((D-(h*sin(tetac)^2)*pi)); v=((carga*d)/(eps*A)) %Cálculo de diferencia de potencial tetaconica=input('Dame un ángulo de 0 a 360'); tetacono=tetaconica*pi/180; tetaco=input('Dame un ángulo de 0 a 90'); tetaconici=tetaco*pi/180; v0=input('Dame un valor para el voltaje inicial'); V2=((v0*log(tan(tetaconici)/2))/(log(tan(tetacono)/2))) %Cálculo del campo E1=-(v0/((r*sin(tetaconici)*(log(tan(tetaco)/2)))))

5.2. Resultados obtenidos en Matlab:

• Primera prueba:

Valor dado por el usuario teta = 100°

zeta0 = -7.0170e-007 valor calculado impedancia característica

Valor dado por el usuario frecuencia = 1000Hz

rc = 58000000 valor fijo

Rs = 2.6090e-005 valor calculado para resistencia de carga

Valor dado por el usuario radio en metros r = 0.95m

Valor dado por el usuario número de la matriz = 20

27

Gráfica 1: Esta gráfica nos muestra un Campo Gráfica 2: Esta gráfica nos muestra un Campo Eléctrico muy inestable, donde se ve no es Magnético estable, solo que en cierta región se constante en ningún punto. dispara.

Valor dado por el usuario conicidad = 30°

Valor dado por el usuario resistencia= 150Ω

q = 0.0039 valor calculado para el factor de calidad

Valor dado por el usuario altura = 10m

d = 2.5000 valor calculado para la distancia

Valor dado por el usuario base = 5m

v = -9.9070e-008 valor calculado para la diferencia de potencial

Valor dado por el usuario ángulo del cono = 150°

Valor dado por el usuario ángulo de conicidad = 70°

Valor dado por el usuario voltaje inicial = 50V

V2 = -1.7284 - 4.3702i valor calculado para la diferencia de potencial

• Segunda prueba:


zeta0 = -1.4255e-006 +1.2566e-005i valor calculado impedancia característica



Rs = 3.6896e-004 valor calculado para la resistencia de carga

Valor dado por el usuario radio en metros r = 10m

02

46

8

0

0.5

1-2

-1

0

1

2

x 1025

02

46

8

0

0.5

10

2

4

6

8

x 1028

28


Gráfica 3: Esta gráfica nos muestra un Campo Gráfica 4: Esta gráfica nos muestra un Campo Eléctrico más estable, solo se puede observar Magnético estable, solo que en cierta región se una discontinuidad. dispara dicho campo, muy parecido a la gráfica 2.


Valor dado por el usuario resistencia = 300Ω









V2 = -61.3828 valor calculado para la diferencia de potencial

• Tercera prueba:


zeta0 = 2.1972e-006 +1.2566e-005i valor calculado para la impedancia característica



02

46

8

0

5

10-3

-2

-1

0

1

x 1024

02

46

8

0

5

100

1

2

3

4

5

x 1027

29

Rs = 0.0020 valor calculado para la resistencia de carga

Valor dado por el usuario radio en metros r = 25m


Gráfica 5: Esta gráfica nos muestra un Campo Gráfica 6: Esta gráfica nos muestra un Campo Eléctrico algo inestable, donde se aprecia una Magnético estable, solo que en cierta región se forma de seno cardinal, el cual tiene un máximo. dispara. Igual que en las gráficas 2 y 4. y va decayendo, dependiendo de la región.











V2 = -1.2885 -28.1410i valor calculado para la diferencia de potencial

• Cuarta prueba:


zeta0 = 8.1104e-006 +1.2566e-005i valor calculado para la impedancia característica

Valor dado por el usuario frecuencia=1000000000000Hz

02

46

8

0

10

20

30-4

-2

0

2

4

6

x 1023

02

46

8

0

10

20

300

0.5

1

1.5

2

x 1027

30


Rs = 0.8250 valor calculado para la resistencia de carga

Valor dado por el usuario radio en metros r = 0.25m


Gráfica 7: Esta gráfica nos muestra un Campo Gráfica 8: Esta gráfica nos muestra un Campo Eléctrico muy inestable, donde se ve no es Magnético estable, solo que en cierta región se constante en ningún punto. Presenta un dispara. Comportamiento similar a la gráfica 1.




Valor dado por el usuario altura = 0.50m


Valor dado por el usuario base = 0.25m

v = 6.9767e-008 valor calculado para la diferencia de potencial




V2 = 0.0222 + 0.0287i valor calculado para la diferencia de potencial

6. Análisis de resultados:

02

46

8

0

0.1

0.2

0.3

0.4-1

-0.5

0

0.5

1

x 1026

02

46

8

0

0.1

0.2

0.3

0.40

1

2

3

4

x 1029

31

Mediante las gráficas se puede ver claramente que el campo eléctrico depende del ángulo y no del radio. En cuanto al campo magnético se puede observar que las gráficas obtenidas para este no varían mucho en cuanto a su forma, al parecer esta si depende más del radio que del ángulo dado, en este caso se tiene que obtener la magnitud ya que la formula nos da el calculo que esta dado por el uso de un complejo.

En cuanto al factor de calidad se puede decir que este tiene una gran dependencia del ángulo de conicidad y de la resistencia, mientras más chica sea la resistencia y el ángulo este entre 0° y 180° tendremos un valor un poco grande.

La diferencia de potencial dentro del cono depende tanto de la base del cono como de la altura de este, mientras menor sean estos valores la diferencia de potencial no dará un valor positivo y viceversa mientras más grandes sean dichos valores se obtendrán valores negativos.

Por último para el cálculo del campo se necesitan tanto el voltaje inicial, los ángulos de conicidad y el ángulo que forma al cono y si estos valores son grandes se tendrá un valor de campo entero positivo o negativo dependiendo de los valores, en otro caso se obtendrán valores en números complejos.

7. Funciones asociadas de Legendre:

La ecuación asociada a Legendre es: 1sin qq sin q\q + ½¾,¾ + 1- − r²WzX²¿ \ = 0 … ,54-

Para coordenadas esféricas y cavidades esféricas, tenemos el caso donde v es un entero n y θ están dentro de, 0 ≤ θ ≤ π. En este caso, las dos soluciones independientes de (54) son las funciones asociadas de Legendre del primer tipo ÁZ ,cos-y del segundo tipo vZ ,cos-. Dado que vZ es singular en cos = ±1, no es útil para describir campos en cavidades esféricas. Por lo tanto, de aquí en adelante solo consideraremos ÁZ . La ecuación (54) se puede poner en otra forma útil haciendo la sustitución * =cos. El resultado es el siguiente:

,1 − *²- q²\q*²− 2u q\q* + ½X,X + 1- − r²1 − *²

¿ \ = 0 . . . ,55-

Consideremos primero el caso, m=0, donde (55) se reduce a la ecuación ordinaria de Legendre:

,1 − *²- q²\q*²− 2u q\q* + X,X + 1-\ = 0 . . . ,56-

32

La solución para (56) que es finita sobre el rango -1 ≤ u ≤ 1, son los polinomios de Legendre ÁZ,*-, que pueden ser escritos como una suma finita.

ÁZ,*- = Ä ,−1-Å,2n − 2l-!ÇÅÈ2Z|! ,X − |-! X − 2l! *ZÅ … ,57-

Donde L=n/2 o (n-1)/2, en todo caso es un entero, una expresión alterna para los polinomios de Legendre está dada por la formula de Rodríguez:

ÁZ,*- = 12ZX! qZq*Z ,*² − 1-Z . . . ,58-

Los primeros polinomios de Legendre de bajo orden son: Á,*- = 1 . . . ,59-Á,*- = *

Á,*- = 12 ,3u² − 1-ÁÊ,*- = 12 ,5u⁵ − 3u-Á©,*- = 18 ,35u⁴ − 30u² + 3-

La ecuación (59) puede ser escrita en términos de θ: Á,cos- = 1 . . . ,60-Á,cos- = cos

Á,cos- = 14 ,3cos2 + 1-ÁÊ,cos- = 18 ,5cos3 + 3cos-Á©,cos- = 164 ,35cos4 + 20cos2 + 9-

Son soluciones a la ecuación asociada de Legendre se pueden obtener diferenciando el polinomio de Legendre.

ÁZ ,*- = ,−1-`,1 − *²-` ⁄ q`ÁZ,*-q*` . . . ,60-

Para m>n, ÁZ ,*- = 0. También, ÁZ,*- = ÁZ,*-. El orden bajo de las funciones asociadas de Legendre con n=3, son:

33

Á,*- = −,1 − *²- ⁄ . . . ,61-Á,*- = −3,1 − *²- ⁄ *Á,*- = 3,1 − *²- ⁄ÁÊ,*- = − 32 ,1 − *²- ⁄ ,1 − 5u²-ÁÊ,*- = 15,1 − *²-*ÁÊÊ,*- = −15,1 − *²- ⁄

Una manera útil de calcular un número mayor de funciones asociadas de Legedre es por relaciones recurrentes. Una formula de recurrencia en n está dada por: ,r − X − 1-ÁZi` ,*- + ,2n + 1-*ÁZ ,*- − ,r + X-ÁZH` = 0 … ,62- Una formula recurrente en m está dada por:

ÁZ i,*- + 2mu,1 − *²- ⁄ ÁZ ,*- + ,r + X-,X − r + 1-ÁZ ,l-È. . . ,63-

Existen algunas formulas para derivar con respecto al argumento:

ÁZ 9,*- = 11 − *²[−X*ÁZ ,*- + ,X + r-ÁZ ` ,*-]

= 11 − *²[,X + 1-*ÁZ ,*- − ,X − r + 1-ÁZi` ,*-]

= − r*1 − *²ÁZ ,*- + ,X + r-,X − r + 1-,1 − *²- ⁄ ÁZ ,*-

= − r*1 − *²ÁZ ,*- − 1,1 − *²- ⁄ ÁZ i. . . ,64-

Las formulas recurrentes (62) y (63) y las formulas derivadas en (64) también se aplican a las funciones asociadas de Legendre del segundo tipo.

7.1. Código Fuente:

clear all; clc; P = legendre(3,.7); P2=legendre(2,0:0.1:0.2); %%%%%%%% X3 = rand(2,4,5); n3 = 2; P = legendre(n3,X3); %%%%%%%%%%% %n=2 %x=rand(.5,.7,.9)

34

%P4=legendre(n,x); %%%%%%%%%% tetacono=0:1:90; teta=tetacono(21)*pi/180+1e-6; m=0; ntope=25; ntopemas=ntope+1; Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0; Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0; x=cos(teta); for nconta=1:1:ntope; Pnm=legendre(nconta,x); ndis=nconta-1; Pnmdism=legendre(ndis,x); [renP colP]=size(Pnm); [renPdis colPdis]=size(Pnmdism); for nval=1:1:renP Pnm2(nval,nconta)=Pnm(nval,colP); end for nvaldis=1:1:renPdis Pnm2dis(nvaldis,nconta)=Pnmdism(nvaldis,colPdis); end n(nconta)=nconta; nmas=nconta+1; QPrim(nconta)=[nconta*cos(teta)*Pnm2(1,nconta)*(cos(teta))-(m+nconta)*Pnm2dis(1,nconta)*(cos(teta))]/sin(teta); %Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta)) Q(nconta)=Pnm2(1,nconta); Q1(nconta)=nconta*(nconta+1)*Q(nconta); end figure(1);plot(n,QPrim) figure(2);plot(n,Q) figure(3);plot(n,Q1) %%%%%%%%%% m=0; ntope=25; ntopemas=ntope+1; Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0; Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0; nconta1=6; nconta2=15; nconta3=24; contador=0; for tetacono=0:1:20; teta=tetacono*pi/180+1e-6; contador=contador+1; tetagr(contador)=tetacono;

35

x=cos(teta); Pnm=legendre(nconta1,x); ndis=nconta1-1; Pnmdism=legendre(ndis,x); [renP colP]=size(Pnm); [renPdis colPdis]=size(Pnmdism); for nval=1:1:renP Pnm2(nval,nconta1)=Pnm(nval,colP); end for nvaldis=1:1:renPdis Pnm2dis(nvaldis,nconta1)=Pnmdism(nvaldis,colPdis); end n(nconta1)=nconta1; nmas=nconta1+1; QPrimtet(contador)=[nconta1*cos(teta)*Pnm2(1,nconta1)*(cos(teta))-(m+nconta1)*Pnm2dis(1,nconta1)*(cos(teta))]/sin(teta); %Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta)) Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta1); Q1tet(contador)=nconta1*(nconta1+1)*Qtet(contador); end figure(4);plot(tetagr,QPrimtet) figure(5);plot(tetagr,Qtet) figure(6);plot(tetagr,Q1tet) %%%%%%%%%%%%%%%% for tetacono=0:1:20; teta=tetacono*pi/180+1e-6; contador=contador+1; tetagr(contador)=tetacono; x=cos(teta); Pnm=legendre(nconta2,x); ndis=nconta2-1; Pnmdism=legendre(ndis,x); [renP colP]=size(Pnm); [renPdis colPdis]=size(Pnmdism); for nval=1:1:renP Pnm2(nval,nconta2)=Pnm(nval,colP); end for nvaldis=1:1:renPdis Pnm2dis(nvaldis,nconta2)=Pnmdism(nvaldis,colPdis); end n(nconta2)=nconta2; nmas=nconta2+1; QPrimtet(contador)=[nconta2*cos(teta)*Pnm2(1,nconta2)*(cos(teta))-(m+nconta2)*Pnm2dis(1,nconta2)*(cos(teta))]/sin(teta); %Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta)) Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta2); Q1tet(contador)=nconta2*(nconta2+1)*Qtet(contador);

36

end figure(7);plot(tetagr,QPrimtet) figure(8);plot(tetagr,Qtet) figure(9);plot(tetagr,Q1tet) %%%%%%%%%%%% for tetacono=0:1:20; teta=tetacono*pi/180+1e-6; contador=contador+1; tetagr(contador)=tetacono; x=cos(teta); Pnm=legendre(nconta3,x); ndis=nconta3-1; Pnmdism=legendre(ndis,x); [renP colP]=size(Pnm); [renPdis colPdis]=size(Pnmdism); for nval=1:1:renP Pnm2(nval,nconta3)=Pnm(nval,colP); end for nvaldis=1:1:renPdis Pnm2dis(nvaldis,nconta3)=Pnmdism(nvaldis,colPdis); end n(nconta3)=nconta3; nmas=nconta3+1; QPrimtet(contador)=[nconta3*cos(teta)*Pnm2(1,nconta3)*(cos(teta))-(m+nconta3)*Pnm2dis(1,nconta3)*(cos(teta))]/sin(teta); %Q1(teta) = - (Q''(teta) + cot(teta)Q'(teta)) Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta3); Q1tet(contador)=nconta3*(nconta3+1)*Qtet(contador); end figure(10);plot(tetagr,QPrimtet) figure(11);plot(tetagr,Qtet) figure(12);plot(tetagr,Q1tet) %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %(1/2) [1/(?r3) J±(n+1/2)(k r) ± k/(?r) (J±(n-1/2)(k r) - J±(n+3/2)(k r))] frec=input('Dame la frecuencia'); omega=2*pi*frec; %r1=input('Dame el radio menor'); %r2=input('Dame el radio mayor'); toper=input('Dame el tope del radio'); C=3e8; %k=2*pi*frec/C; k=2; topealfa=.7; topord=3; contalfa=0; contar=0; alfa=.16;

37

%alfa=.44; %alfa=.58; %for n=1:1:topord %n=6.38323; n=0; for r=0+1e-4:.001:toper contar=contar+1; valradio(contar)=r; ord1=n+.5; ord2=n-.5; ord3=n+1.5; rfunmas(contar,1)=(1/2)*[(1/sqrt(r^3))*besselj(ord1,k*r)+(k/sqrt(r))*(besselj(ord2,k*r)-besselj(ord3,k*r))]; rfunmen(contar,1)=(1/2)*[(1/sqrt(r^3))*bessely(-ord1,k*r)+(k/sqrt(r))*(bessely(-ord2,k*r)-bessely(-ord3,k*r))]; runoalfa(contar,1)=cos(alfa)*rfunmas(contar,1)+sin(alfa)*rfunmen(contar,1); end % end figure(13);plot(valradio,runoalfa(:,1)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %B = -R±(r) Q'(?) e? %E== (c2/?) [(1/r) R±(r) Q1(?) er + R±1(r) Q'(?) e? ] contateta=0 contar=0; for r=0+1e-4:.001:toper contar=contar+1; valradio(contar)=r; contador=0; for tetacono=0:1:20; teta=tetacono*pi/180+1e-6; contador=contador+1; tetagr(contador)=tetacono; Bmas(contar,contador)=-rfunmas(contar,1)*QPrimtet(contador); Bmen(contar,contador)=-rfunmen(contar,1)*QPrimtet(contador); Emasr(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmas(contar,1)*Q1tet(contador)]; Emenr(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmen(contar,1)*Q1tet(contador)]; Emastet(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmas(contar,1)*QPrimtet(contador)]; Ementet(contar,contador)=((C^2)/omega)*[(1/r)*rfunmen(contar,1)*QPrimtet(contador)]; end end figure(14);plot(Bmas); figure(15);surf(Bmas); figure(16);plot(Bmen); figure(17);surf(Bmen);

38

figure(18);plot(Emasr); figure(19);surf(Emenr); figure(20);plot(Emastet); figure(21);surf(Ementet); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for r=0+1e-4:.001:toper contar=contar+1; for tetacono=0:1:20; teta=tetacono*pi/180+1e-6; contador=contador+1; tetagr(contador)=tetacono; x=cos(teta); contafi=0; for angfi=1e-6:1:360 contafi=contafi+1; fi=angfi*pi/180; for mval=1:1:renP ord2=nval+0.5; ord3=nval+1.5; Erad(contar,contador,contafi,mval)=((nval*(nval+1)*k)/((k*r)^1.5))*besselj(ord3,k*r)*Pnm2(nval,colP)*cos(x)*cos(mval*fi); G(contar)=(k/((k*r)^1.5))*((nval+1)*besselj(ord2,k*r))-k*r*besselj(ord3,k*r); Erad(contar,contador,contafi,mval)=-G(contar)*(m/sin(x))*Pnm2(nval,colP)*cos(x)*sin(mval*fi); Erad(contar,contador,contafi,mval)=((nval*(nval+1))/((k*r)^1.5))*besselj(ord3,k*r)*Pnm2(nval,colP)*cos(x)*cos(mval*fi); end end ndis=nconta3-1; Pnmdism=legendre(ndis,x); [renP colP]=size(Pnm); [renPdis colPdis]=size(Pnmdism); end end

8. Construcción de las cavidades:

8.1. Primera cavidad resonante:

Para el diseño de la primera cavidad resonante, se pensó en realizar una cavidad que no fuera tan grande como del tamaño de una regla de plástico de 30cm y que solo serviría para hacer pruebas experimentales, para esta cavidad se determino una base con un diámetro de 20cm y una altura de 35cm, el diseño de esta cavidad se planeo para que fuera

39

truncada por la parte superior y con tapa plana, mientras que la parte inferior contaba con una tapa plana, el material usado para la construcción de esta cavidad fue papel cartoncillo, pegamento, cinta adhesiva y aluminio, para su formación se realizó un circulo de cartón de 20cm de diámetro el cual serviría como la base inferior del cono, para que este fuera resistente se pegaron 3 pliegos de papel cartoncillo uno encima de otro, de esta manera obtenemos mayor resistencia en lo que sería el cuerpo del cono, por ultimo solo basta con pegar el aluminio para que por dentro esta se comportara como un conductor, una vez que se tuvo esto se le dio la forma de cono y se obtuvo por fin el primer diseño de la cavidad aunque este fue fallido ya se presentaron algunos inconvenientes.

El primero y más importante fue que el aluminio que forma parte fundamental de la cavidad estaba demasiado arrugado y esto podría generar que no resonara la cavidad, el segundo problema fue que a la parte trunca superior no se le pudo dar un valor de diámetro ya que no se genero un círculo perfecto y quedaba un poco deforme, y el tercero fue que la cavidad no tenía la forma de un cono como tal así que esta se tuvo que desechar se pensó en la forma de hacer otra que si funcionara.

8.2. Segunda cavidad resonante:

Al ver que la primera cavidad construida tenía muchas deficiencias, se diseño una nueva cavidad resonante, sola que esta vez tendría algunas variantes tanto en el material, como para su construcción y el diseño de la misma, en esta ocasión se pensó una vez más en realizarla trunca de la parte superior y con tapa plana, mientras que la tapa inferior contaría con una base un poco esférica ya que si se hacía plana podría haber problemas con el campo eléctrico o que no resonara, ahora el material implementado sería cartón caple, cinta adhesiva y papel aluminio más grueso como si fuera para repujado en cuanto a las medidas que se utilizaron en esta nueva cavidad corresponden a las siguientes:

La base mayor tiene un radio de 20cm, para realizar la tapa y que esta fuera cóncava se tomo como muestra una tapa de un recipiente de vidrio, dicha tapa era algo cóncava así que se utilizo como molde y sobre esta se hizo la tapa inferior del cono. La base superior tiene un radio de 5cm y la tapa se hizo con el mismo cartón y de forma plana, mientras que la altura con la que cuenta este cono es de 25cm, para encontrar el ángulo de conicidad se utilizo la siguiente fórmula:

= a × 360°…..(65)

Donde:

r = radio de la base mayor del cono

a = altura del cono (25cm)

Sustituyendo los valores en la formula obtuvimos un ángulo de:

Para el diseño y construcción devez obtenido el trazo se corto y de esta manera se obtuvo el molde, después a este se le adhirió el papel aluminio lo más estirado posible para que este no presentara arrugas, una vez obtenido el diseño completo se enrollo de tal forma que nos dejo una pestaña para que pudiera ser pegado finalmente con cinta adhesiva, para la realización de las tapas se procedió de la siguiente manera, circulo de diámetro de 5cm en el mismo papel caplque este fuera utilizado como pestañas y así embonara en el cono, este círculo también fue forrado con aluminio para que funcionara como conductor, la capa inferior se explico hace rato que debía de ser cóncava y que diseño y así poder hacerla cóncava, para su construcción se utilizo papel caple nuevamente y también se forro con papel aluminio pero a la hora de pegarla a esta nueva tapa dicho papel aluminio se tuvo que empalmar un poco para que no hubiera perdidas, esta tapa también contaba con pestañas y embonaba perfectamente en la parte inferior del cono, por último se construyo el cono uniendo ambas tapas, cabe mencionar que estas eran desmontables, este cono tenia mejor diseño y solo faltaba probarlo en el laboratorio.

8.2.1. Pruebas experimentales

Para la realización de las pruebas experimentales al cono se le tuvieron que hacer unas perforaciones, en la tapa superior se le hizo una, la cual serviría como la fuente de transmisión, los orificios que servirían para la fuente de recepción se encontraba

Figura para realización del cono

r = radio de la base mayor del cono (10cm)


= 144°

Para el diseño y construcción del cono se trazo la figura de arriba en el papel vez obtenido el trazo se corto y de esta manera se obtuvo el molde, después a este se le adhirió el papel aluminio lo más estirado posible para que este no presentara arrugas, una vez obtenido el diseño completo se enrollo de tal forma que nos diera el cono, a este se le dejo una pestaña para que pudiera ser pegado finalmente con cinta adhesiva, para la realización de las tapas se procedió de la siguiente manera, para la tapa superior se trazo un circulo de diámetro de 5cm en el mismo papel caple, dejándole medio centímetro más para que este fuera utilizado como pestañas y así embonara en el cono, este círculo también fue forrado con aluminio para que funcionara como conductor, la capa inferior se explico hace rato que debía de ser cóncava y que se utilizo una tapadera de un molde de vidrio para su diseño y así poder hacerla cóncava, para su construcción se utilizo papel caple nuevamente y también se forro con papel aluminio pero a la hora de pegarla a esta nueva tapa dicho

que empalmar un poco para que no hubiera perdidas, esta tapa también contaba con pestañas y embonaba perfectamente en la parte inferior del cono, por último se construyo el cono uniendo ambas tapas, cabe mencionar que estas eran

nia mejor diseño y solo faltaba probarlo en el laboratorio.

experimentales en el laboratorio con la segunda cavidad:

Para la realización de las pruebas experimentales al cono se le tuvieron que hacer unas perforaciones, en la tapa superior se le hizo una, la cual serviría como la fuente de transmisión, los orificios que servirían para la fuente de recepción se encontraba

40

de arriba en el papel caple, una vez obtenido el trazo se corto y de esta manera se obtuvo el molde, después a este se le adhirió el papel aluminio lo más estirado posible para que este no presentara arrugas, una

diera el cono, a este se le dejo una pestaña para que pudiera ser pegado finalmente con cinta adhesiva, para la

para la tapa superior se trazo un e, dejándole medio centímetro más para

que este fuera utilizado como pestañas y así embonara en el cono, este círculo también fue forrado con aluminio para que funcionara como conductor, la capa inferior se explico hace

se utilizo una tapadera de un molde de vidrio para su diseño y así poder hacerla cóncava, para su construcción se utilizo papel caple nuevamente y también se forro con papel aluminio pero a la hora de pegarla a esta nueva tapa dicho

que empalmar un poco para que no hubiera perdidas, esta tapa también contaba con pestañas y embonaba perfectamente en la parte inferior del cono, por último se construyo el cono uniendo ambas tapas, cabe mencionar que estas eran

nia mejor diseño y solo faltaba probarlo en el laboratorio.

en el laboratorio con la segunda cavidad:

Para la realización de las pruebas experimentales al cono se le tuvieron que hacer unas perforaciones, en la tapa superior se le hizo una, la cual serviría como la fuente de transmisión, los orificios que servirían para la fuente de recepción se encontraban alrededor

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del cuerpo del cono y otros tantos en la tapa inferior de este. Para realizar las mediciones correspondientes se trabajo con un equipo llamado analizador de redes el cual trabaja con frecuencia que van desde los 40MHz hasta los 3.8GHz, este aparato cuenta con varios tipos de mediciones estas las obtiene haciendo un barrido entre las frecuencias antes mencionadas, en donde el usuario determina la frecuencia de inicio y la de parada de dicho barrido.

Algunas de las mediciones que este equipo maneja son la magnitud lineal, logarítmica, exponencial, el uso de la carta Smith, la forma polar de la señal, el coeficiente de reflexión, entre otras, cuenta con una fuente que en este caso es el transmisor y dos salidas que sirven como receptores, para obtener las mediciones es necesario tener los cables necesarios estos son del tipo de cable coaxial pero deben de manejar una impedancia de 50Ω para que la señal no se vea afectada o atenuada en demasía, dichos cables tienen en un extremo un conector BCN y por el otro extremo se debe de tener un poco de más cuidado ya que se tiene que pelar el cable de tal forma de dejar la punta lo más conductora posible y de ponerle esmalte, dichos cables van conectados al analizador de redes pero para esto es necesario tener un conector para que las entradas concuerden con las del tipo BCN.

Una vez teniendo estas consideraciones se procede a medir, poniendo un cable en la entrada que dice fuente, este ira a la tapa superior de la cavidad, el otro cable ira en la entrada que dice receptor y se irá cambiando de orificio para obtener los resultados necesarios en cada punto tanto del cuerpo del cono como de la tapa inferior, por último se debe de tener mucho cuidado a la hora de realizar las mediciones ya que si las puntas no están bien aisladas e introducirlas en los orificios estas podrían no dejar observar nada en la pantalla del analizador o no conducir.

8.2.2. Mediciones que se obtuvieron experimentalmente con esta cavidad:

Muestra Frecuencia GHz Volts Capacitivo Inductivo Polar deg

Relación de

Onda

Estacionaria

A 3.391 099 294 56.316m 8.170pF

59.191m

1,480

B 3.378 254 807 53.548m 12.701pF

45.576m -116.22 1,467

C 2.969 319 301 48.311m

117.025pH 40.379m 135.16 1,240

D 3.391 099 294 84.114m

303.367pH 66.324m 75.79 1,428

E 3.403 992 617 60.366m 12.784pF

44.645m -99.81 1,414

F 3.416 934 961 65.560m

82.212pH 25.535m 40.54 1,417

G 3.469 198 296 65.153m 7.220pF

69.258m -72.78 1,422

H 3.302 203 135 39.934m 31.813pF

14.734m -87.19 1,431

I 3.026 198 532 37.416m 28.915pF

34.703m -148.36 1,415

J 3.469 198 296 69.337m 6.884pF

63.306m -88.24 1,423

K 3.456 057 994 84.520m

291.432pH 69.815m 103.31 1,420

L 3.469 198 296 80.311m

389.914pH 88.968m 86.05 1,428

42

Nota: El coeficiente de reflexión se puede obtener por medio de la siguiente fórmula:

Donde: Z1 = impedancia de carga al final de la línea. Z0= impedancia característica de la línea de transmisión.

8.2.3. Resultados:

Analizando los valores obtenidos en las mediciones de forma experimental se obtuvieron 30 puntos de recepción y experimentalmente podemos notar que esta cavidad si cumplió su objetivo, ya que si resonó, las frecuencias a las que trabaja esta cavidad van desde 2.456 132 269GHz hasta los 3.391 099 294GHz, algunos de los orificios de recepción se comportan como si fueran capacitivos y otros como inductivos, además se puede ver que obtuvimos valores en forma polar y que el ángulo de recepción dependiendo de cada orificio variaba ya que en algunos casos era positivo y en otros era negativo, por último se obtuvo el valor del coeficiente de reflexión, el cual se obtuvo con un mínimo de 1.218 mientras que el máximo fue un valor de 1.480, con estos valores se pudo observar que la construcción de esta cavidad fue buena y que en su interior si conduce y por lo tanto resuene.

M 3.469 198 296 83.552m

357.230pH 81.334m 88.93 1,427

N 3.469 198 296 71.476m 6.671pF

69.933m -71.21 1,426

O 3.014 736 182 45.257m 12.416pF

43.706m -72.71 1,411

P 3.469 198 296 99.905m 13.499pF

40.117m -63.38 1,422

Q 3.403 992 617 40.760m

147.287pH 36.307m 56.1 1,429

R 2.456 132 269 75.230m 20.311pF

73.448m -19.82 1,218

S 3.630 833 723 2.078m 93.147pF

6.684m -129.44 1,465

T 2.958 072 393 122.614m 11.463pF

101.811m -29.51 1,238

U 2.958 072 393 59.122m 47.321pF

51.273m -18.38 1,233

V 2.958 072 393 150.045m 34.513pF

71.544m -12.04 1,238

W 3.327 361 532 20.035m

7.701pH 15.702m 176.14 1,432

X 2.958 072 393 85.300m 16.254pF

45.717m -149.04 1,231

Y 2.958 072 393 122.417m 14.900pF

116.456m -20.86 1,236

Z 2.958 072 393 13.707m

34.517pH 57.413m 163.51 1,239

AA 2.958 072 393 147.600m 19.160pF

142.570m -6.5 1,242

BB 2.958 072 393 110.554m 11.442pF

108.015m -29.43 1,243

CC 2.958 072 393 123.301m 6.491pF

136.877m -30.87 1,245

DD 2.958 072 393 110.808m 25.635pF

114.358m -14.85 1,272

43

8.3. Tercera Cavidad Resonante:

Al ver que los resultados de la cavidad construida anteriormente fueron satisfactorios, se pensó en diseñar una cavidad que fuera optima, es decir que tuviera las medidas correctas para una frecuencia dada. Para determinar las medidas optimas se planteo despejar a r y θ de las siguientes ecuaciones, para después ser derivadas e igualadas a cero y encontrar el máximo.

= ;Z ;/ ….. (48)

H∅ = ´§e eµ¶¶ ….. (49)

De la ecuación A se despeja a θ y se considero:

sin = ;~ / …..(66)

Y considerando que = 1 RXRrBW: sin = ; / …..(67)

= sinH ; / …..(68)

Ahora derivando a θ con respecto a r se obtiene:

u~u = 3H @ ®Ò« Ó ! × −^ / + µe / …..(69)

Igualando a cero la derivada tenemos:

u~u = 3H @ ®Ò« Ó ! − ^ / + µe / = 0…..(70)

Pero en esta parte se presento un problema, al tratar de despejar r se tienen muchos problemas ya que esta variable está en función del seno y de la misma r así que esta idea de sacar el radio óptimo para la cavidad se tuvo que descartar.

Al notar que la cavidad construida anteriormente manejaba frecuencias entre 2GHz y 3.8GHz se pensó en diseñar ahora una con el doble de altura y con mayor base de esta manera será posible manejar otro rango de frecuencias.

Nuevamente el material de la nueva cavidad cambio un poco, en esta ocasión se utilizó papel caple, periódico, cinta adhesiva, engrudo, una bola de unicel del número 16 y pintura metálica de plata, para su realización se corto la bola de unicel a la mitad, esta sirvió como

molde para hacer la base inferior del cono y así lograr que fuera más cóncpreparo el engrudo y se fue rodeando la media bola base cóncava, esta base tiene un diámetro de 22cmplata metálica, esta tapa se puede quitar y poner cuando elelaboración de tapa superior igual que en la cavidad anterior se corto un circulo de diámetro de 6cm al cual también se le dejo un espacio de más el cual serviría como pestañas y que dicha tapa fuera desmontablela altura esta fue de 36cm, para diseñar el cuerpo del cono se trazo la misma figura anteriormente mencionada la fórmula antes vista:

Fórmula para la conicidad:

Donde:


a = altura del cono (36cm)


Teniendo todas las medidasse cubrió con pintura de plata metálicapoco y se dejo una pestaña forma del cono deseada, finalmente se le añaden las tapas de ambos lados y la construcción del cono quedara finalizada.las perforaciones necesarias para nuestros receptoresesta nueva cavidad realmente funciona.

molde para hacer la base inferior del cono y así lograr que fuera más cóncpreparo el engrudo y se fue rodeando la media bola con papel periódico base cóncava, esta base tiene un diámetro de 22cm y después fue cubierta con la pintura de plata metálica, esta tapa se puede quitar y poner cuando el usuario lo desee para la elaboración de tapa superior igual que en la cavidad anterior se corto un circulo de diámetro de 6cm al cual también se le dejo un espacio de más el cual serviría como pestañas y que dicha tapa fuera desmontable, esta tapa también fue pintada con plata metálicala altura esta fue de 36cm, para diseñar el cuerpo del cono se trazo la misma figura

en el papel caple y se calculo el ángulo de conicidad, mediante

Figura para realización del cono

=

a ¬ 360°…..(65)



& 11

36 ¬ 360°

= 110°

Teniendo todas las medidas necesarias y el trazo en el papel caple, se corto el dibujo y este se cubrió con pintura de plata metálica en un extremo, para unir el cuerpo se enrollo un poco y se dejo una pestaña para poderlo pegar mediante la cinta adhesiva

, finalmente se le añaden las tapas de ambos lados y la construcción del cono quedara finalizada. Para realizar las mediciones correspondientes basta con hacer las perforaciones necesarias para nuestros receptores y comprobar experimentalmente si esta nueva cavidad realmente funciona.

44

molde para hacer la base inferior del cono y así lograr que fuera más cóncava, para esto se con papel periódico hasta obtener la

y después fue cubierta con la pintura de usuario lo desee para la

elaboración de tapa superior igual que en la cavidad anterior se corto un circulo de diámetro de 6cm al cual también se le dejo un espacio de más el cual serviría como pestañas y que

esta tapa también fue pintada con plata metálica en cuanto a la altura esta fue de 36cm, para diseñar el cuerpo del cono se trazo la misma figura

y se calculo el ángulo de conicidad, mediante

y el trazo en el papel caple, se corto el dibujo y este , para unir el cuerpo se enrollo un

para poderlo pegar mediante la cinta adhesiva y obtener la , finalmente se le añaden las tapas de ambos lados y la construcción

Para realizar las mediciones correspondientes basta con hacer obar experimentalmente si

45

9. Conclusiones:

Este trabajo muestra básicamente lo que se trabajo y realizo en el proyecto terminal tanto en el I como en el II, como se puede observar la primera parte se baso en la recopilación y búsqueda de toda la información posible relacionada con las cavidades resonantes, para esto se usaron medios como libros tanto de física, comunicaciones y microondas, así como de artículos de revista, internet, etc, esta parte del proyecto fue un poco difícil ya que tanto en los libros e internet no hay mucha información sobre este tema o es muy escasa, a pesar de que estas cavidades resonantes cónicas tienen gran cantidad de aplicaciones como en antenas, radares, propulsores, etc. Una vez obtenida la información necesaria se fue desarrollando la teoría de lo que sería este reporte la cual inicia desde el concepto de una cavidad resonante y como es que esta surge hasta la teoría y formulas matemáticas de las cuales se obtiene un análisis de ellas, una vez planteado esto, se analizan las formulas que podrían ser útiles para su construcción y análisis.

Dichas formulas tendrían que ser las adecuadas para así determinar el comportamiento de las cavidades, las cuales deben de estar en función de alguna variable para determinar cómo se comportan con diferentes valores o como pueden afectar o no a las cavidades, las formulas implementadas y que nos ayudarían en este caso son la del campo eléctrico y magnético, la resistencia de carga, la impedancia intrínseca, el factor de calidad, la constante de propagación, entre otras. Para implementarlas se codificaron por así decirlo en un programa llamado Matlab el cual nos muestra el comportamiento de estas dependiendo de los valores que el usuario decida y hasta poder obtener el comportamiento mediante un método grafico.

La segunda parte del proyecto consistió en la construcción de las cavidades resonantes, para esto primero se diseño una cavidad cónica la cual no fue nada buena y presentaba muchos errores, tales como que el conductor no era perfecto y las medidas fueron tomadas por puro método inductivo, sin realización de cálculo alguno, al ver que los resultados no fueron satisfactorios, se realizo una segunda cavidad la cual vario bastante en relación con la primera, ya que tanto el diseño como el material utilizado para su construcción de esta fue muy diferente y las tapas en esta ocasión serían diferentes, la tapa inferior tendría que ser un poco cóncava mientras que la superior seria plana, en este caso se implementaron formulas y se pensó mejor en las medidas de esta, las tapas se propusieron de esa manera para evitar pérdidas por parte del campo eléctrico y que si resonara, esta cavidad fue probada en el laboratorio y se pudo ver experimentalmente mediante un analizador de redes, este aparato sirvió para realizar las pruebas necesarias y así comprobar que realmente si funcionaba nuestra cavidad ya que esta manejaba frecuencias muy cercanas a la de las microondas, estas frecuencias van desde 2.456 132 269GHz hasta los 3.391 099 294GHz, y

referente a las otras mediciones se obtuvieron los valores deseados, se presentaron problemas

como el de las puntas necesarias para realizar las mediciones ya que estas debían de ser como del

tipo de cable coaxial pero con una impedancia de 50Ω, del cual un extremo consta de una

terminación BNC mientras que el otro es el filamento que sale de este cable, este filamento tenía

que ser metido totalmente vertical y estar perfectamente aislado en su parte baja ya que si no, no

se obtenía medición alguna debido a que el conductor entraría en contacto con el conductor

interno de la cavidad resonante, una vez resuelto este problema se pudo verificar que esta cavidad

46

cónica si servía y tuvo mayor éxito que la primera. Los datos obtenidos en el laboratorio se

tabularon y se obtuvo un pequeño análisis de estos los cuales también fueron agregados en el

reporte.

Al ver que esta cavidad realmente si funcionó, pero que las frecuencias no eran las deseadas, se planeó construir una que tuviera las medidas óptimas y trabajará para una cierta frecuencia, para eso se pensó en trabajar directamente con las ecuaciones de campo tanto eléctrico cómo magnético de ahí despejar el radio y teta para después derivarlos e igualarlos a cero para obtener tanto el radio optimo como el ángulo, pero los cálculos se complicaron y por esa razón se tuvo que descartar la idea de obtenerlo por ese medio, se trato de hacerlo mediante las funciones de Legendre, de las cuales se realizo un programa que las calculara y nos graficara su comportamiento, pero tampoco ayudaron de mucho, así que mejor se planeó construir una al doble de las medidas de la segunda cavidad, pero esto no fue posible debido a que el material para su construcción no cumplía con las medidas necesarias.

Así que esta nueva cavidad fue muy semejante a la segunda solo que las medidas fueron un poco más grandes, en cuanto al material esta ocasión se utilizó pintura metálica de plata para que esta sirviera como conductor, el diseño de esta cavidad es esencialmente el mismo que la anterior solo que la tapa inferior ahora era mucho más cóncava.

Por último se realizo un reporte que conlleva todo lo realizado durante ambos proyector en cual se muestra un marco teórico, introducción, objetivos y metas a alcanzar, los cuales se cumplieron en cierta medida, un desarrollo, resultados experimentales y su análisis, así como la manera en que se construyeron las cavidades y los códigos que se realizaron e implementaron en Matlab. Este proyecto si cumplió su mayor objetivo que a mi parecer fue el diseño y construcción de las cavidades resonantes cónicas.

10. Bibliografía:

Introduction to Microwaves Simon Ramo Mc-Graw-Hill book company, Inc. First Edition, 1945 New York and London

Fields and waves in communication electronics Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer John Wisley & Sons, Inc. New York, London, Sydney

Fundamentos de la Teoría Electromagnética J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy Addison Wesley

47

4a. Edición.

Microwave Transistors Amplifiers: Analysis and Design G. Gonzalez Ed. Prenctice Hall

ED-3000 MICROWAVE TRAINES: manual for experiments ED-Laboratory ED Co. Ltd.

Sistemas electrónicos de comunicaciones. Tomasi Ed. Prentice Hall

Elementos de Electromagnetismo Matthew N. O. Sadiku

Ed. Prentice Hall Tercera Edición

10.1. Artículo relacionado al cálculo analítico de los campos en cavidades cónicas:

Este artículo se encuentra en formato pdf, su nombre es “Analytical calculation of wake fields in conical cavity” (Calculo analítico de los campos en cavidades cónicas), el cual fue escrito por Andranik Tsakanian y publicado por ELSEVIER, se encuentra disponible en la página www.sciencedirect.com.

Dicho artículo se encuentra adjunto con este documento.

ARTICLE IN PRESS

0168-9002/$ - se

doi:10.1016/j.ni

E-mail addre

Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305

www.elsevier.com/locate/nima

Analytical calculation of wake fields in conical cavity

Andranik Tsakanian

Yerevan State University, Alex Manugyan 1, 375025 Yerevan, Armenia

Received 1 February 2005; received in revised form 15 April 2005; accepted 19 April 2005

Available online 13 June 2005

Abstract

The paper is devoted to the interaction of the charged particles with cavity of conical geometry. The excited

electromagnetic fields in the cavity are obtained as the expansion over the resonant modes of empty cavity. The

analytical expressions for the longitudinal and transverse wake potentials of a closed conical cavity with perfectly

conducting walls are given. The loss factor for a single mode is calculated.

r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

PACS: 41.60.m

Keywords: Wake fields; Cavity; Beam; Eigenmodes

1. Introduction

The knowledge of the analytical presentation ofa wake-potential other than that of the well-knownpillbox cavity [1], could serve as an effectiveinstrument to test the order of convergence ofcomputer programs for wake field computationwith conformal meshing. The analytical presenta-tion for the wake potential of a spherical cavity isgiven in Ref. [2].

In this paper, the analytical presentation of thewake potentials of a conical cavity is given. Theconical geometry of the pipe is the usual transitiongeometry used for the vacuum chamber of thecollimators or small gap insertion devices in

e front matter r 2005 Elsevier B.V. All rights reserve

ma.2005.04.061

ss: [email protected].

accelerators. After general treatment of the pro-blem, the spherical coordinates are used to definethe resonant modes of the empty conical cavity.The induced fields in cavity are then represented bythe expansion over the cavity modes. Further, theanalytical representation of the longitudinal andtransverse wake potentials of relativistic pointcharge is derived. The modification of the Panofs-ky–Wenzel theorem for the conical cavity isdiscussed. The numerical example for the long-itudinal wake potential of Gaussian bunch is given.

2. The modes of the empty conical cavities

Consider the empty cavity of conical geometry(Fig. 1). The solutions of the frequency domain

d.

www.elsevier.com/locate/nima

ARTICLE IN PRESS

Fig. 1. Geometry of the conical cavity.

A. Tsakanian / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305 299

Maxwell equations for the TM modes of emptyclosed conic cavity in spherical coordinates ðr; y;jÞcan be expressed as [3]

Er ¼q2V

qr2þ k2V ; Ey ¼

1

r

q2V

qrqy,

Ej ¼1

r sin yq2V

qrqj

Hr ¼ 0; Hy ¼ ik

r sin yqV

qj; Hj ¼

ik

r

qV

qy(1)

where k ¼ o=c is the wave number, o is thefrequency, c is the velocity of light, V ¼ rU andthe function Uðr; y;jÞ satisfies the wave equation

DU þ k2U ¼ 0. (2)

The solution of the wave (2) in spherical geometryis given by combination of the Bessel functionsJnþ1=2 of argument (kr), associate Legendre poly-nomials Pm

n of argument ðcos yÞ and the azimuthalmultipoles cos mj. The function V ðr; y;jÞ is thengiven by

V ðr; y;jÞ ¼rffiffiffiffiffikr

p Jnþ1=2ðkrÞPmn ðcos yÞ cos mj. (3)

The indexes m of Legendre polynomials are integernumbers as the single valued variation of the fieldswith coordinate j has the periodicity of 2p. TheLegendre polynomials of positive and negativeindexes m are related as

Pmn ðxÞ ¼

Gðn m þ 1Þ

Gðn m þ 1Þ

Pmn ðxÞ

2

peipm sinðpmÞQm

n ðxÞ

ð4Þ

where Qmn ðxÞ are the Legendre polynomials of the

second kind [4]. For the integer values of upper

indexes m and non-integer lower indexes n, theLegendre polynomials of positive and negativeindexes m become linear dependent:

Pmn ðxÞ ¼

Gðn þ m þ 1Þ

Gðn m þ 1ÞPm

n ðxÞ (5)

and the fundamental solutions are given by theLegendre polynomials of the positive indexes m.

The electric field components of the TM modesin conical cavity are then given by

Er ¼nðn þ 1Þk

ðkrÞ3=2Jnþ1=2ðkrÞPm

n ðcos yÞ cos mj

Ej ¼ GnðrÞm

sin yPm

n ðcos yÞ sin mj

Ey ¼ GnðrÞdPm

n ðcos yÞdy

cos mj (6)

with

GnðrÞ ¼dffiffiffiffiffikr

pJnþ1=2ðkrÞ

kr dr

¼k

ðkrÞ3=2ðn þ 1ÞJnþ1=2ðkrÞ krJnþ3=2ðkrÞ

.

The complete set of the cavity eigenmodes withindexes n is determined by the boundary condi-tions. We assume the perfect conducting boundaryconditions that are given by vanishing of thetangential component of electric field at the cavitywalls Ey;jjr¼r0

¼ 0; Er;jjy¼y0¼ 0. In our geometry

the boundary conditions are read as

Pmn ðcos y0Þ ¼ 0

ðn þ 1ÞJnþ1=2ðkr0Þ kr0Jnþ3=2ðkr0Þ ¼ 0. (7)

The boundary conditions (7) define the infinite setof cavity eigenmodes with the indices n ¼ fm; p; lg.For any integer m ðm ¼ 0; 1; 2 . . .Þ, the first equa-tion defines the non-integer valuesnp ðy0op=2; p ¼ 1; 2; 3 . . .Þ, while the second equa-tion for given np defines the wave numberskn ¼ ompl=c, thus providing the infinite numberof eigenmodes with indices n ¼ fm; p; lg.

In future, the normalized eigenmodes will beused

~En;N ¼1ffiffiffiffiffiffiffiffiffi2U n

p ~En; U n ¼02

ZV

~E2

vð~rÞdV (8)

ARTICLE IN PRESS

Fig. 2. Electrical field and equipotential lines of fundamental

mode.

A. Tsakanian / Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 548 (2005) 298–305300

where V is the cavity volume, 0 is the vacuumdielectric constant. Note, that from the definition ofU n it represents the energy stored in excited modeTMn up to a multiplicative constant. Taking intoaccount the boundary conditions (7) and theintegrals derived in Ref. [5], the normalizationcoefficients U n are given by the following expression:

U n ¼ 0dm

nðn þ 1Þ

W p;mkn½k2

nr20 nðn þ 1ÞJ2

nþ1=2ðknr0Þ

(9)

where

W p;m ¼ ð2n þ 1ÞGðn m þ 1Þ

Gðn þ m þ 1Þ

Pm

n ð cos y0Þ

sin½ðn þ mÞpqqx

Pmx ðcos y0Þjx¼n

with n np.

From here the indices p for roots np are omitted.Fig. 2 shows the electric field lines of fundamentalTM mode in conical cavity.

3. Beam loading and longitudinal wake potential

Consider the ultrarelativistic charge Q enteringinto the cavity of conical geometry along the axesy ¼ y1 (Fig. 1). In spherical coordinates the chargedensity rð~r; tÞ is given by rð~r; tÞ ¼Qðr2 sin yÞ1dðjÞdðy y1Þdðr ctÞ and the current~jð~r; tÞ has only the r component jrð~r; tÞ ¼ crð~r; tÞ. Asusual [1,2], we present the excited electric field inthe cavity as the superposition of the transverse ~E

t

and longitudinal ~El

fields satisfying the metallic

boundary conditions.

~Eð~r; tÞ ¼ ~Etð~r; tÞ þ ~E

lð~r; tÞ. (10)

By a ‘‘transverse’’ field we mean here the one withzero divergence everywhere, by ‘‘longitudinal’’ wemean the one with zero curl everywhere. In termsof cavity modes and scalar potential, the excitedfields can be expanded as

~Eð~r; tÞ ¼Xn

anðtÞ~Enð~rÞ þXn

bnðtÞrfnð~rÞ (11)

where ~En are the cavity normalized modes (8), fnsatisfy the wave equation (2) with the wavenumbers k0

n and fn ¼ 0 on the cavity metallicsurface. The fn are orthogonal and complete andthey can be used to compose any longitudinal ~E

l

satisfying the metallic boundary conditions.The scalar unknown quantities anðtÞ, bnðtÞ

describe the instantaneous amplitudes and fromMaxwell equations are given by

€an þ o2nan ¼

ZV

qjr

qtErn dV

bnðtÞ ¼ 1

T n

ZV

rfn dV (12)

with T n ¼ k02n 0R

Vf2n dV . The solutions are

anðtÞ ¼ Q

Z minðct;r0Þ

0

Er;nðr; y1; 0Þ

cosðknr ontÞdr ð13Þ

bnðtÞ ¼

0; to0; tXr0=c

Q

Tnfnðr ¼ ct; y1; 0Þ; 0otor0=c:

8<:

(14)

Let us assume that the ultrarelativistic test chargeq enters the cavity along the direction ðy;jÞ withthe time delay t with respect to exciting charge Q.The longitudinal wake potential defines the netenergy gain (lost) of the test charge q in wake fieldsexcited by the driving charge Q in the cavity. Thelongitudinal wake potential is then defined as

w==ðy;j; tÞ ¼1

Q

Z r0

0

Erðr; y;j; t ¼ tþ r=cÞdr.

(15)

ARTICLE IN PRESS


As the scalar potential contribution is vanished forrXr0 ct ðtXr0=cÞ, the expression for the long-itudinal wake potential is given by

w==ðy;j; tÞ ¼ Xn

Z r0

0

Z minðrþct;r0Þ

0

gnðr; r0; tÞdr0 dr

Xn

Z r0ct

0

f nðr; tÞdr ð16Þ

where

gðr; r0; tÞ ¼ Ernðr; y;jÞErnðr0; y1; 0Þ

cos½knðr þ ct r0Þ

f ðr; tÞ ¼1

T n

qfn

qrðr; y;jÞfnðr þ ct; y1; 0Þ.

If the test charge enters after the exciting chargehas already left the cavity ðt4r0=cÞ, the contribu-tion of scalar potential is vanished ðbnðtÞ ¼ 0Þ andthe amplitudes anðtÞ of excited cavity modes aregiven by

anðtÞ ¼ Qffiffiffiffiffiffiffiffiffi2U n

p knV nðr0; y1; 0Þ sinðont knr0Þ.

(17)

The wake potential is then expressed as

w==ðy;j; tÞ ¼ Xn

k2nV nðr0; y1; 0ÞV nðr0; y;jÞ

2Un

cosðontÞ. ð18Þ

In Ref. [6] it is proven that the presentation (18)for the longitudinal wake potential excited incavity of arbitrary shape is valid for any t40 if thedriving and the test charges follow the same path.Here we show that in conical cavity the presenta-tion (18) is valid also for the time delay 0otor0=c

if the driving and test charges follow at the pathsðy1; 0Þ and ðy;jÞ respectively.

In the region 0otor0=c the longitudinal wakepotential is given by

w==ðtÞ ¼1

Q

Z r0ct

0

Erðy;j; r; tþ r=cÞdr

þ1

Q

Z r0

r0ctErðy;j; r; tþ r=cÞdr ð19Þ

where the first integral corresponds to tor0=c (theexciting charge is still in cavity), the second

integral to t4r0=c (the exciting charge has leftthe cavity). Using (16) the potential is thenmodified to

w==ðtÞ ¼ Xn

k2nV nðr0; y1; 0ÞV nðr0; y;jÞ

2U n

cosðontÞ IðtÞ ð20Þ

where

IðtÞ ¼Xn

Z r0ct

0

f ðr; tÞdr Xn

Z r0ct

0

dr

Z r0

rþctgðr; r0; tÞdr0.

In the interval r0=coto0 (test charge enter thecavity before the exciting charge) the potential isgiven by

w==ðtÞ ¼1

Q

Z ct

0

Erðy;j; r; tþ r=cÞdr

þ1

Q

Z r0

ctErðy;j; r; tþ r=cÞdr. ð21Þ

The first integral is equal to zero as the fields in theintegrand correspond to to0 ð0oro ctÞ (nofields in cavity). As in conical geometry the fieldsand the potential have the translation symmetry,i.e. F ðr; y;jÞ ¼ pðrÞqðy;jÞ, the second integral ismodified to

1

Q

Z r0

ctErðy;j; r; tþ r=cÞdr ¼ JðtÞ ¼ IðtÞ,

r0=coto0. ð22Þ

From causality principle in conical cavity thepotential JðtÞ is zero as for the time delayr0=coto0 the ultrarelativistic test charge movesahead the wavefront of exciting charge radiatedfields. Thus, IðtÞ ¼ 0 for 0otor0=c and thelongitudinal potential for the conical cavity isgiven by (18) for any time delay t40 of the testcharge. The explicit analytical form of the long-itudinal wake potential in conical cavity is thengiven by

w==ðy;j; tÞ ¼ Xn

knr0

2U nJ2

nþ1=2ðknr0ÞPmn ðcos y1Þ

Pmn ðcos yÞ cos mj cosðontÞ; t40.

ð23Þ

ARTICLE IN PRESS


The amount of the energy deposited in mode n bythe exciting charge Q is given by Pn ¼ Q2Kn withthe loss factor KnðtÞ defined as

Kn ¼k2nV

2nðr0; y1; 0Þ

4U n. (24)

4. Transverse wake potential

The transverse wake potential ~w?ðtÞ defines thenet transverse kick of the test charge in wake fieldsexciting by driving charge Q. It is given by theintegrated transverse wake fields Lorenz forceacting on the test charge and is read as

~w?ðtÞ ¼1

Q

Z r0

0

f~E? þ c½~er ~H?gt¼tþr=c dr (25)

where ~er is the unit vector along the coordinate r.Let us first derive the relation between thetransverse and longitudinal wake potentials inconical geometry in analogues to the Panofsky–-Wenzel theorem for the cylindrically symmetricstructures [7]. The derivative of Eq. (25) withrespect to t is given by

qqt

~w?ðtÞ

¼1

Q

Z r0

0

qqt

~E? þ c ~er qqt

~H

t¼tþr=c

dr.ð26Þ

From the Maxwell equation r E ¼ qH=qt weobtain

~er qqt

~H ¼1

r

qqr

ðr~E?Þ ~r?Er

(27)

where ~r? ¼ rr is given by

~r? ¼ ~eyqqy

þ~ej1

sin yqqj

. (28)

Since the total derivative of the transversecomponent of the electric field with respect to r

is given by

d

dr~E? ¼

qqr

þ1

c

qqt

~E?. (29)

The derivative of the transverse wake potentialwith respect to t can be rewritten as

q~w?

qt¼

c

Q

Z r0

0

drd

dr~E? þ

1

rð~E? ~r?ErÞ

t¼tþr=c

.

(30)

As the transverse electrical component ~E?

vanishes at the boundaries ðr ¼ 0; r ¼ r0Þ, we getthe following expression:

q~w?

qt¼

c

Q

Z r0

0

dr

rð~E? ~r?ErÞt¼tþr=c. (31)

Let us evaluate the Eq. (31) for the time delayt4r0=c. In terms of function V ðr; y;jÞ the expres-sion (31) is rewritten for each mode as

q~w?n

qt¼

c

Q~r?

Z r0

0

dranðtþ r=cÞ

1

r

1

r

qV n

qr

q2V n

qr2 k2

nV n

ð32Þ

where

anðtþ r=cÞ ¼ Qknffiffiffiffiffiffiffiffiffi2U n

p V nðr0; y1; 0Þ½cosðontÞ

sinðknr knr0Þ þ sinðontÞ

cosðknr knr0Þ.

In terms of function V ðr; y;jÞ the boundaryconditions at r ¼ 0; r ¼ r0 are read as r1qV=dr ¼

0 and the following presentation of the integralsare valid:Z r0

0

sinðkr kr0Þ

cosðkr kr0Þ

( )1

r2

qV

qr

1

r

q2V

qr2

1

rk2V

dr

¼ k

1

r0V ðr0Þ þ

Z r0

0

cosðkr kr0ÞV

r2dr

R r0

0 sinðkr kr0ÞV

r2dr:

8>>><>>>:

ð33Þ

Based on the expression (3) for the functionV ðr; y;jÞ and using the following integrals forthe Bessel functions:Z a

0

sin x

cos x

Jnþ1=2ðxÞ

x3=2dx ¼

ffiffiffia

pJnþ1=2ðaÞ

nðn þ 1Þ

cos a

sin a

(34)

ARTICLE IN PRESS


the integrals in the right-hand side of the expres-sions (33) are modified to

Z r0

0

cosðkr kr0Þ

sinðkr kr0Þ

( )V

r2dr ¼ k

0

kV ðr0Þ

nðn þ 1Þ

8<: .

(35)

Finally we getZ r0

0

sinðkr kr0Þ

cosðkr kr0Þ

( )1

r2

qV

qr

1

r

q2V

qr2

1

rk2V

dr

¼

k

r0V ðr0Þ

k2V ðr0Þ

nðn þ 1Þ

8>>><>>>:

. ð36Þ

Eq. (32) is then modified to

qqt

~w?nðy;j; tÞ

¼ ~r?

ck2n

2U nV nðr0; y1; 0ÞV nðr0; y;jÞ

1

r0cosðontÞ þ

kn

nðn þ 1ÞsinðontÞ

. ð37Þ

In terms of the wake potentials, Eq. (37) isrewritten as

q~w?n

qt¼ ~r?

c

r0w==n

1

nðn þ 1Þ

qw==n

qt

(38)

which is the analogous of the Panofsky–Wenzeltheorem for the conical geometry. The transversewake potential is then given by

~w? ¼Xn

Pmn ðcos y1Þ

U nJ2

nþ1=2ðknr0ÞSnðtÞ

~eyqPm

n ðcos yÞqy

cos mj

þ~ejmPm

n ðcos yÞsin y

sin mj

ð39Þ

where

SnðtÞ ¼knr0 cosðontÞ

nðn þ 1Þ sinðontÞ.

Note, that in comparison with the wake fieldexcitation in the structures of cylindrical symmetrywhere the monopole term ðm ¼ 0Þ of transverse

wake potential vanishes [6] for any transverseoffset of the exciting and test charges, in conicalcavity the monopole transverse wake vanishes onlyfor the test charge moving along the axis of thestructure ðy ¼ 0Þ as dPnðcos yÞ=dy ¼ 0 for y ¼ 0. Ifthe exciting charge moves along the axis of thestructure ðy1 ¼ 0Þ, the transverse wake potential isgiven by

wyðtÞ ¼Xn

1

U nJ2

nþ1=2ðknr0ÞqPnðcos yÞ

qy

knr0 cosðontÞ

nðn þ 1Þ sinðontÞ

ð40Þ

as P0nð1Þ ¼ 1 and Pm

n ð1Þ ¼ 0 for ma0. The testcharge following along ðy;jÞ is then experienceonly the monopole transverse wake potential givenby the index n ¼ f0; n; lg.

5. Longitudinal wake potential of Gaussian bunch

The longitudinal wake potential W ==ðtÞ in-duced by the arbitrary bunch is given by theconvolution of the point wake potential w==ðtÞand the bunch longitudinal distribution pðtÞ. Inparticular, for the longitudinal wake potentialwe have

W ==ðtÞ ¼Z t

1

w==ðt t0Þpðt0Þdt0. (41)

Consider the exciting bunch of Gaussian shapeand the test charge following along the axis of theconical cavity y ¼ 0. We chose t ¼ 0 in the centerof the Gaussian bunch, thus the test charge followsat the distance s ¼ ct behind the center of thedriving bunch. As mentioned in the previoussection, then the test charge experiences only thelongitudinal monopole wake potential. Accordingto (19) and (25) the longitudinal wake potential atthe distance s is then given by

W ==ðsÞ ¼1ffiffiffiffiffiffi2p

ps

Xn

2Kn

Z s

1

exp s02

2s2

!

cos½knðs s0Þds0 ð42Þ

ARTICLE IN PRESS


with s—the rms length of the bunch and,Kn ¼ k2

nV2nðr0; 0; 0Þ=4Un—the loss factor of the

mode n ¼ f0; n; lg.We assume the Gaussian bunch extended at the

interval ð5s; 5sÞ that contains 499:99% of thebunch population. The wake potential behind thebunch ðs45sÞ is then modified to

W ==ðsÞ ¼Xn

4Knffiffiffiffiffiffi2p

ps

cosðknsÞ

Z 5s

0

exp s02

2s2

!

cosðkns0Þds0

Xn

2Kn expðk2ns

2=2Þ cosðknsÞ. ð43Þ

The main contribution to the wake potential isdominated by the cavity modes with the frequenciesup to kns1. The numerical simulations for theclose conic of length r0 ¼ 0:4m and opening angley0 ¼ p=6 have been performed when the fields areexcited by Gaussian bunch of r.m.s. length s ¼

10mm and the total charge of Q ¼ 1 pC. The lowestcavity mode frequency is o011 ¼ 733:9167MHz(wavelength l011 ¼ 40:858 cmÞ, thus the bunchlength s5l011 and the multi-mode behavior of thewake potential dominates. Fig. 3 presents thelongitudinal wake potential within the bunch (left)and behind the driving bunch (right). For the wakepotential within the bunch the convergence of themodes summation is presented. The shapes of thewake potential for the first 20, 40, 60, 80 and 100excited in cavity modes are given. As it is seen, forthe given cavity geometry and the bunch length, the

Fig. 3. Longitudinal wake potentials within (left) an

100 excited modes fully describe the longitudinalpotential. The maximum retarding potential is seenby the bunch center, while the tail particles of thebunch experience the accelerating field excited bythe head of the bunch. The maximum longitudinalwake potential behind the bunch does not exceedtwice of the maximum retarding potential within thebunch in agreement with the beam loading theorem[8]. The sharp echoes at the distance of about 0.8mðs ¼ 2r0Þ and 1.6m ðs ¼ 4r0Þ are caused by thereflection of the excited in cavity fields from thespherical wall of the cavity. The consequent peaksfollow at the distance s ¼ 2nr0 ðn ¼ 3; 4 . . .Þ behindthe center of the bunch.

6. Summary

The analytical presentation of the electromag-netic fields induced by the point charge in conicalcavity is determined. The induced fields arerepresented by the expansion over the resonantmodes of the empty cavity. The analytical for-mulas for the resonant modes and the loss factorare given. The longitudinal and transverse wakepotentials are calculated. The relation betweenlongitudinal and transverse single mode wakepotentials for the conical cavity is derived. Theobtained expressions for the induced fields havebeen used for simulation of the longitudinal wakepotential, induced by Gaussian bunch.

d behind the Gaussian driving bunch (right).

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Author expresses his thanks to Michael Ivanianand Vasili Tsakanov for the permanent support ofthe work and many helpful discussions. Specialthanks to Martin Dohlus for stimulating discus-sions on the wake fields excitations in resonantstructures.

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