170

Unitatearen aurkezpena

•Aurrekounitateanirudigeometrikoeiburuzhasidugunikasketaunitatehonetanosatukodugu,irudihorienbolumenakneurtuz.

•Hasteko,SistemaMetrikoHamartarrekobolumen-unitateak,ho-rienerlazioaketa,neurtunahidenakontuanhartuz,batzukedobesteakerabiltzeakomenidenlandukodugu(ikaslebatzuentzat,edukibatzukberrikusteaizangoda).Horiguztiagorputzgeome-trikonagusienbolumenakkalkulatzekoerabilikodugu.

•Unitatehonetakoedukiakhirubloketansailkaditzakegu:

–SistemaMetrikoHamartarra:

•Luzera-etaazalera-unitateakberrikustea.

•Bolumen-unitateak (eta edukiera-unitateak) ikasteaetahorienartekoerlazioaklantzea.

– Gorputzgeometrikoenbolumenak kalkulatzeko formulaklortzeaetaerabiltzea:

•Ortoedroa, paralelepipedoa, kuboa, prisma, zilindroa,piramidea,konoa,kono-etapiramide-enborrak,esferaetahoriekinlotutadaudengorputzgeometrikoak.

– Formulak irudi errealak kalkulatzeko erabiltzea (moduzehatzeanedohurbilduan):

•Irudi bat zer gorputz geometrikok osatzen dutenidentifikatzea,horiendimentsioaklortzeaetabolumenosoaemangodigutenatalenbolumenakkalkulatzea.

Gutxienekoezagutzak•SistemaMetrikoHamartarlineala,koadratikoaetakubikoamen-deratzea.

•Prisma,zilindro,piramide,konoetaesferenbolumenakkalkula-tzea,horretarakobehardirenneurriakjakinda.

•Kasubakoitzeanneurtzendenbolumenarenmagnitudearibegi-raegokienaizangodenunitateaerabiltzea.

Osagarrigarrantzitsuak•Cavalierirenprintzipioaetahorrenerabileraezagutzea.

•Kono-enborrenetapiramide-enborrenbolumenakkalkulatzea.

•Irudiezagunenbolumenetatikabiatuta,horiekbatutaedoken-duta,bestelakogorputzgeometrikoenbolumenakkalkulatzea.

•Luzerabatedogehiagozehaztutaedukibeharizatenduteniru-dienbolumenakkalkulatzea,etaluzerahoriekantzekotasunarenbidezetaPitagorasenteoremaedooinarrizkobestebiderenbaterabilizlortzea.

Gaiasakontzekoetaikerketarakobidemoduan,honakohauekproposatzendira:

•Cavalierirenprintzipioaerabiltzeakonoalderantzikatubaten,es-feraerdibatenetazilindrobatenbolumenakerlazionatzeko.

•Azaleraberaetabolumendesberdina,edobolumenberaetaazaleradesberdinadutengorputzgeometrikoenbikoteaklor-tzeaetadeskribatzea.

Unitatearen eskema

12 Bolumenaren neurria

170

BOLUMENA

IRUDIPRISMATIKOAKETAZILINDRIKOAK

formulaorokorhaudute

IRUDIESFERIKOAK

formulaorokorhaudute

BOLUMENUNITATEAK

hauenbidezneurtzenda hauena

hauenbidezkalkulatzenda

hauekdira

esaterako,kasuhauetan

V=AOINARRIA·h V= 31 ·AOINARRIA·h V= 3

4 ·πR3

GORPUTZGEOMETRIKOAK

FORMULAK

IRUDIPIRAMIDALAKETAKONIKOAK

formulaorokorhaudute

•km3

•hm3

•dam3

•m3

•dm3=l

•cm3

•mm3

171

•Azalerarenneurriarieutsiz,bolumenahandiagotzea;edobolumena-renneurriarieutsiz,azaleratxikiagotzea:

–Baldintzabatzukjarrita:adibidez,azaleraberadutenortoedroguztietan,kuboadabolumenikhandienaduena.

–Baldintzarikgabe:bolumenberadutengorputzenkasuan,esferadaazalerahandienaduengorputzgeometrikoa(xaboi-punpak).

Lanakaurreratu

•Gorputzgeometrikoaketahorienpropietateakgogoratzea.

•Etxekosukaldeanbolumenakneurtzekoizatendituguntresnakbilatzea.

•Antzinako bolumen-neurriei buruzko informazioa bilatzea.Adibidez,anega,lakaria...

•Tetrabrikak,ontziak,botilak,edalontziak,kopak, lorontziak...prestatu,saiakuntzakeginetabolumenenformulakegiaztatzeko.

•Oinarrianzuloadutenmetakrilatozkogorputzgeometrikoenbil-dumabilatu(etabestela,bestematerialbatekinegin)bolume-nakkonparatzeko:piramidearenaetaprismarena;zilindroarenaetakonoarena;etaesferarenaetazilindroarena.

Curriculumaegokitu

«Fotokopiatzekobaliabideak»atalean,ikaslearenliburuko12.unitatehonencurriculumegokituaagerida.Horretarako,he-menproposatzendirengutxienekoezagutzakhartuditugukontuan.

Hasierakoirakurgaiak,batetik,ulertuzirakurtzekogaitasunaindar-tzekobaliodu;eta,bestetik,matematikarenikasketajustifikatzendutenbialderdiaklantzeko:praktikoaetaintelektuala.

Edukiakeskatubeharrekogutxienetaraegokitutabadaude,edoezdutealdaketarikizan,edoapurbatmoldatudiraikasleekdutenmailakontuanhartuz.Gauzaberaesandezakeguproposatzendi-renariketapraktikoeiburuz.

Edukirenbateskatubeharrekogutxienetatikkanpobadago,edokendueginda,edoeskatzendenmailaraegokituda.

Azkenik,unitatearenamaieranageridirenariketaetaproblemeidagokienez,gutxiagojarridiraetamoldatuedoerraztuegindira,eskatubeharrekoraegokitzeko.Gauzaberaegindaautoebalua-zioarekin.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA241.or.P.D.-niradokitakoariketa 245.or.2.(*)ariketa 244.or.1.(*)ariketa 243.or.«Eurianolaneurtzenden»(*)

242.eta243.or.P.D.-niradokitakoariketa 246.or.P.D.-niradokitakoariketa 251.or.17.(*)ariketa

243.or.Pentsatuetaegin(*) 247.or.Ariketaebatzia(*) 252.or.20.ariketa

248.or.Pentsatuetaegin(*)etaP.D.-niradoki-takoariketa

248.eta249.or.P.D.-niradokitakoariketa

250.eta251.or.P.D.-niradokitakoariketa 248.or.Ariketaebatziak(*)

253.or.32.(*)eta34.(*)ariketaketaP.D.-niradokitakoariketa

249.or.Esferarenbolumenarenformulajusti-fikatzea(*)

254.or.Arkimedes(*)

IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI240.or.P.D.-niradokitakoariketa(*) 254.or.«Tetraedroarenbila»(*)ariketa I.L.-nproposatutakoproblemaguztiak.Hemenaipagarriakdirenbatzukadiera-

zikoditugu.

251.or.16.,17.,18.eta19.ariketak

252.or.«Ikasiproblemakebazten»(*)ariketa

253.or.«Ebatziproblemak»eta«+problema»ariketak

255.or.«Trebatuproblemakebatziz»(*)ariketa

Ondorengotaulahonetan,lankidetzanikastea,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenli-buruan(I.L.)proposatutadaude,eta,hemen,zerorrialdetandaudenetazerariketadirenadierazida.Bestebatzuk,argizehaztendenmoduan,ProposamenDidaktikoan(P.D.)iradokitadaude.

Iradokizunhauetakobatzukikurbatekinmarkatutadaudeikaslearenliburuan;hemen,(*)ikurraerabiliznabarmenduditugu.

172

12 Bolumenaren neurria Kuboen bolumenakErreparatu honako bi irudi hauei:Argi dago kubo nagusia horren eskuinekoa bezalako 8 kubok osatzen dutela.Kubo txikiaren bolumena unitate hartuz gero, handiaren bolumena 8 unitatekoa izango da. Hala ere, unitatea kubo nagusia baldin bada, txikiak bolumen unitatearen 1/8 izango du.

1 u

1 Erreparatu kubo nagusia hainbat eratan ebakiz ateratzen diren honako irudi hauei.A B C

a) Horietako zeinek du bolumenik handiena?b) Zenbat da bakoitzaren bolumena, kubo nagusia unitate hartuz gero?c) Barrutik hutsik dagoen plastikoz eginda daudela eta urez bete daitez

keela joko dugu. Zenbat kubo txiki bete daitezke bakoitzarekin?d) Zenbat da bakoitzaren bolumena kubo txikia unitate hartzen baldin bada?

Tetraedroa deskonposatuzTetraedro erregularra ertzen erdiguneetatik pasatzen diren eta aurpegiekiko paraleloak diren planoetatik ebakiz gero, oktaedro erregularra (gorriz) eta lau tetraedro txiki (horiz) lortzen dira.

2 Jatorrizko tetraedroa txikiak baino 8 bider handiagoa da. Tetraedro txiki bakoitzaren bolumena unitate hartuta, kalkulatu zenbat den honako irudi hauen bolumena:

Euklides eta Arkimedes antzinako Greziako geometriaren adierazga-rri nagusiak izan ziren. Horien lanaren garrantzia indarrean egon zen 20 mende luzetan.

Arkimedes (K.a. iii. mendea), matematikaria izateaz gain, fisikaria eta asmatzaile handia izan zen. Pentsaera gre-koaren ohiko jokabide espekulatiboan ez bezala, Arkimedes esperimentazioaz baliatu zen, gero zorrotz frogatzen zituen emaitza matematikoak lortzeko.

Gorputz konplexuen azalerak eta bolumenen kalkuluak egi-teko, Arkimedesek irudia zati txiki-txiki asko eta askotan des-konposatuta imajinatzen zuen; gero, zatitxook era egokian biltzen zituen berriz ere. Prozedura hori aurrerapauso handia izan zen aldi hartako matematikan.

Euklides Alexandrian bizi zen K.a. 300. urtea aldera. Gauza gutxi dakizkigu horren bizitzari buruz (non jaio eta non hil zen ere ez dakigu), baina horren lana ondo gorde da eta ondo ezagu-tzen dugu. Euklidesek bere aldiko jakituria mate-matikoa sistematizatu eta egitura logikoa eman zion Elementuak laneko 13 liburukietan. Horietako hainbatetan, gorputz geometrikoak lantzen dira.

Unitatearen hasiera• Euklidesosozorrotzaetasistematikoaizanzen.Elementuak izenekola-

neangaraihartakoezagutzaguztiasistematizatuzuen,etaerabilizituenarrazoibideakhainizanzirensendoaketahainzeudenondokateatuta,lanhareneraginakiagaureguneraarteiraundu.

• Arkimedes,asmatzaileetafisikarihandiaezezik,Antzinarokomatemati-karionenaereizanzelaesandezakegu.Harenmetodobikainekaurrera-penhandiaekarrizutengaraihartan.Azalerenetabolumenenkalkulura-ko formulak lortzeko erabili zuen prozedura kalkulu integralarenaurrerapenbatda.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• SistemaMetrikoHamartarrekobolumen-etaedukiera-unitateaktrebe

erabiltzea.

• Irudilaubatzuenazalerakkalkulatzea.

• Poliedroetabiraketa-gorputzbatzukezagutzea.

• Pitagorasenteoremaerabiltzea.

IKTak InternetenArkimedesekasmatuetaeraikitakotramankulueiburuzkoinfor-mazioabilatzea.

Lankidetzan ikasi Ariketahauiradokitzenda:

Ikasleek,taldetxikietanbanatuta,orrialdeanageridirenirudiakegingodi-tuzte.Taldebakoitzakirudibategingodu,eta,horretarako,zermaterialerabilierabakibeharkodu.Beraz,bakoitzarenekarpenaosogarrantzitsuaizangodaazkenemaitzaribegira.

Eraikitzekomodubat:atalengarapenakematea,fotokopienbidez.

Ariketen soluzioak

1 a)Denekbetetzendutebolumenbera.

b)Horietakobakoitzarenbolumenakubonagusiarenbolumenarener-diada.

c)Horietakobakoitzarekin4kubotxikibetedaitezke.

d)Horietakobakoitzarenbolumenakubotxikia4aldizizangoda.

2 Ezkerrekoirudiarenbolumenatetraedrotxikia7aldizizangoda;erdi-koirudiarenbolumena,tetraedrotxikia4aldiz;etaeskuinekoirudiare-na,tetraedrotxikia2aldiz.

OHARRAK

OHARRAK

173

Iradokizunak• Ikasleeieztabaidagaihauproposadiezaiekegu:zerezaugarrihartu

behardirenkontuanbolumen-unitateonbataukeratzekoorduan.Kuboaunitateegokiada,beteegitenbaituespazioa.Ezdahorrelager-tatzen,berriz,esferarekin.Unitatetzattenispilotabaterabilizgero,ezindugujakinkaxabatenbolumenazeinden.

• Zentimetrokubikotikabiatuta,bolumen-unitateenarteandaudenerla-zioakeraikikoditugu.Etadezimetrokubikoarenetazentimetrokubikoa-renartekoerlaziotik,ondoriohaulortubehardute:bolumen-unitateak1000tik1000rahandiagotzenetatxikiagotzendira.

•Osointeresgarriaizandaitekemetrokubikobatadierazteaetaho-rrenparean,bazterbatean,dezimetrokubikobatzehaztea,biakkon-paratzeko.Horrezgain, ikasgelaketabeste lekubatzuekdituztenmetrokubikoenedodezimetrokubikoenestimazioakereeginditza-kete.

• Litroaetadezimetrokubikoabaliokideakdirelaikusteko,litrobatekobotilabarrukouradezimetrokubikorabotakodugu.Ikasleeisinesgaitzegitenzaiebaliokidetasunhori,saiakuntzaeginaurretik.

• Unitateosoanzeharlandubeharrekobestealderdibathauizangoda:unitateaaukeratzean,kontuanhartubehardaneurtunahidenhorrentamaina.Unitateegokiaaukeratzekoirizpidealantzeak lehentasunaizangodu.

Lankidetzan ikasi Ariketahaueketa,orokorrean,ikasiberridirenedukiakfinkatzekohelbu-ruadutenariketaguztiakbakarkaegindaitezke,eta,gero,taldetxikianebatzi,emandakosoluzioakkonparatuzetaegondaitezkeendesadostasu-nakeurenarteankonponduz.Batezbadatozeneanbakarrikeskuhartukoduirakasleak.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:32.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.34.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:33.orrialdeko4.,5.,6.eta7.ariketak.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko:Afitxako2.eta3.ariketak

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)2123,052m3 b)29,32m3

c)226,7125m3 d)37012325,402m3

2 a)35m3297dm3853cm3 b)(4km3253hm3)·2000=8506km3

c)301,24mm3 d)34hm3583dam3200m3

3 a)Edontziarenedukiera:1/4 ledo,bestela,250ml

b)Koilarakadatxobat:6ml

c)Etxekobihilabeteanbehingokontsumoa:63,834m3

d)Urtegikoura:680hm3

4 48mm-koaltuerarairisteko,48 lerorikozirenm2-ko.

5 a)45125705,5l b)0,59l

c)317l d)2,753l

6 a)(4572m3100dm3)·30=137dam3163m3

b)(128m3452dm3350cm3)·0,03=3m3853dm3570,5cm3

c)(42dm3753cm3)·75=3m3206dm3475cm3

243242

Bazterrean, zentimetro kubikoa ageri da (1 cm3). 1 cmeko aldea duen kuboa da. Antzean definitzen dira dezimetro kubikoa (dm3), metro kubikoa (m3) eta gainerako bolumenunitateak ere. Honako hauek dira:

× 1000

× 1000 × 1000 × 1000

× 1000 × 10001 km3 1 hm3 1 dam3 1 m3 1 dm3 1 cm3 1 mm3

Unitate kubiko bakoitzak beheragoko 1 000 unitate zergatik dituen ikusiko dugu:Ilara bakoitzean 10 kubotxo daude. Maila bakoitzean

10 ilara daude.

1 cm3 × 10 = 10 cm3

1 dm

10 cm3 × 10 = 100 cm3

100 cm3 × 10 = 1000 cm3 = 1 dm3

Kuboan (1 dm3) 10 maila daude.1 dm

1 dm

Bolumenunitate bakoitza beheragoko unitatea 1 000 bider da eta goragoko hurrengo unitatearen milarena (0,001).

Unitateak transformatzeko, adibide batzuk ikusiko ditugu:a) 14 dam3 38 m3 = 14 · 106 dm3 + 38 · 103 dm3 = 14 038 000 dm3

b) 481,03 hm3 = 481,03 · 103 dam3 = 481 030 dam3

c) 0,001831 dam3 = 0,001831 · 109 cm3 = 1 831 000 cm3

Honako antolaera honek erraztu egiten du unitate batetik besterako pausoa:

hm3 dam3 m3 dm3 cm3

a) 1 4 0 3 8 0 0 0 → 14 038 000 dm3

b) 4 8 1 0 3 0 → 481 030 dam3

c) 0 0 0 1 8 3 1 0 0 0 → 1 831 000 cm3

1 Bolumen-unitateak

Ondorioz, 1 dm3ean, 1 000 cm3 daude.Eta, arrazoi beragatik:•1 m3 = 1 000 dm3

•1 dam3 = 1 000 m3

•…

1. Adierazi metro kubikotan:a) 2 dam3 123 m3 52 dm3

b) 29 320 000 cm3

c) (435 cm3 425 mm3) · 500 000d) 37 hm3 12 dam3 325 m3 402 dm3

2.Bihurtu konplexu.a) 35 297 853 cm3

b) (4 253 hm3) · 2 000c) 0,00030124 dm3

d) 34,5832 hm3

Pentsatu eta egin

Litroa, haren multiploak eta azpimultiploakLitroa (1 l ) 1 dm3en baliokide da.Litro bateko botila urez bete eta, gero, ura 1 dm3eko ontzian isuriz gero, osoan bete duela eta ez dagoela ezer sobera ikusiko dugu.

Litroak multiploak eta azpimultiploak ditu: kilolitroa (kl ) ⎯⎯→ 1 000 l dezilitroa (dl ) ⎯⎯→ 0,1 l hektolitroa (hl ) ⎯⎯→ 100 l zentilitroa (cl ) ⎯⎯→ 0,01 l dekalitroa (dal ) ⎯⎯→ 10 l mililitroa (ml ) ⎯⎯→ 0,001 lUnitate kubikoekin batera sartuko ditugu taulan:

m3 dm3 cm3 mm3

kl hl dal l dl cl ml

Edukiera eta bolumenaBolumen hitza gorputz batek espazioan okupatzen duena izendatzeko erabiltzen da eta, edukiera, ontzi baten barruan kabitzen dena izendatzeko. Baina magnitude berdinberdinak dira eta unitate berak erabiltzen dira horiek neurtzeko.Unitate kubikoak zein litroaren multiploak eta azpimultiploak bolumenak eta edukierak neurtzeko erabiltzen dira. Hala ere, neurtu behar denaren tamainaren araberako unitateak aukeratu behar dira.

Adibideak•Edontziaren edo botilaren bolumena: l, cl edo cm3tan.•Ontzi txikien bolumena: cm3tan.•Etxeko urkontsumoa: m3tan.•Urtegiaren edukiera: hm3 edo, beharbada, km3tan.

Euria nola neurtzen denLeku jakin batean denboraldi batean zehar zenbat euri erori den m2-ko li-trotan neurtzen da.Euri asko eginez gero, urak, erortzen den tokian gelditzen ez denez, uholde handiak eragiten ditu. Zer gertatuko litzateke ura erortzen den lekuan geldituko balitz?Litro bat ur metro karratu batean eroriz gero, zer altueratara iritsiko litzateke?•1 m2 = 10 000 cm2

•1 l = 1 000 cm3

cm2 bakoitzari 0,1 cm3 dagokio. Hau da, 0,1 cm = 1 mmeko altuerara iritsiko da.

1 cm

1 mm

1 cm

1 cm

Horregatik, erori den euri kantitatea mm-tan ere (altuera) adierazten da.

l1m2

= 1 mm

3.Kopiatu koadernoan eta gehitu honako bolumen hauek adierazteko erabiltzen den unitatea:a) Edontziaren edukiera: 1/4 , edo 250 .b) Koilarakadatxo bat: 6 .c) Etxeko bi hilabetean behingo kontsumoa:

63,834  .d) Urtegiko ura: 680 .

4.Atzo, m2ko 120 lko eurialdia egin zuen. Zenbat mmko altuerari dagokio? m2ko zenbat litro eroriko ziren 48 mmko altuerara iritsi baldin bazen?

5.Adierazi litrotan.

a) 45 dam3 125 m3 705 dm3 500 cm3

b) 590 000 mm3

c) 0,000317 dam3

d) 2 753 ml

6.Adierazi bolumenunitatetan (era konplexuan).

a) (457 210 dal ) · 30

b) (12 845 235 cl ) · 0,03

c) (42 753 ml ) · 75

Pentsatu eta egin

1 cm

1 cm

1 cm

1 l

1 dm3

Forma konplexua eta ez-konplexua

438 m3 eta 12 dm3 kantitatea era konplexuan adierazita dago.Kantitate berori unitate bakarra erabiliz adieraz dezakegu, era ez-kon-plexuan: 438 012 000 cm3.

Praktikatu bolumenunitateen arteko baliokidetasunak landuz.

Webgunean

174

245244

2 Cavalieriren printzipioaHonako eskultura hauek pilatutako kartoi mehez osatuta daude:

Eskuineko biak kartoi meheak irristatuz ezkerrekoa deformatzearen emaitza dira. Argi dago horien bolumenak bat datozela.Behaketa sinple hori era guztiz interesgarrian orokortzen da irudi batzuen bolumena kalkulatzeko.

cavalieriren printzipioa

Bi gorputz altuera berekoak baldin badira eta oinarrien plano paraleloz ebakiz azalera bereko irudiak lortzen baldin badira, bolumen berekoak dira.

azalera bera

hh

Goiko eskulturek, horien oinarrien plano paraleloz ebakiz gero, irudi lau bera sorrarazten dute. Hala ere, Cavalieriren printzipioak ez du beste baldintzarik jartzen horien azalerak bat etortzea baino.Ondoren ikusiko ditugun irudiek, oinarrien plano paraleloz ebakitzen baldin badira, irudi desberdinak baina azalera berekoak eragiten dituzte:

HiztegiaPrintzipio. Zientziaren atal edo zatiren bat aztertzeko oinarri gisa balio duen funtsezko proposizio edo egia.

Ohar historikoa

Galileoren dizipulua izan zen Bonaventura Cavalierik, jakin gabe, Arkimedesen metodoaren antzekoa erabili zuen (*); gorputzak xerra finfinetan deskonposatuz, bolumenei buruzko hausnarketak egin eta bere izena daraman proposizioa enuntziatu zuen 1635ean argitaratutako geometrialiburu batean.(*) Cavalieriren denboran, ez zen ezagutzen Arkimedesen lana.

1. Egia ala gezurra?Honako gorputz geometriko hauen bolumenak:a) Berdinak dira, altuera berekoak direlako.b) Ez dira berdinak, horien oinarriak poligono desberdinak direlako.c) Berdinak dira, horien oinarriek azalera bera dutelako.d) Berdinak dira, altuera bera eduki eta oinarriekiko plano paraleloz

ebakiz gero, azalera bereko irudiak lortzen direlako.

Pentsatu eta egin

3 Prismaren eta zilindroaren bolumenaEzkerreko bi gorputz geometrikoak irudi prismatikoak dira bi oinarri berdin eta paralelo dituztelako. Horrez gainera, irudi horietako bakoitza oinarrien plano paraleloz ebakiz gero, oinarrien sekzio berdinberdinak lortzen dira.Bi irudi prismatikoek altuera bera dute eta, horien oinarriekiko plano paraleloz ebakitzen baldin badira, azalera bereko sekzioak lortzen dira. Ondorioz, horien bolumenak bat datoz (Cavalieriren printzipioa).

Irudi prismatikoaren bolumena = Oinarriaren azalera · AltueraPrismak eta zilindroak irudi prismatikoak dira. Horien bolumenak hauek dira:

a a

r

prisma zuzena prisma zeiharra zilindroa V = Aoinarri · Altuera V = Aoinarri · Altuera = πr 2 · a

Ez ahaztuirudi prismatikoaren bolumena

V = Aoinarri · Altuera

Ariketa ebatziaHonako hauen bolumenak kalkulatzea:

a) 30 cm-ko oinarriko aldeko eta 1 m-eko altuerako prisma hexagonalarena.

b) 30 cm-ko erradioko eta 1 m-eko altuerako zilindroarena.

a) Hexagono erregularrean, erradioa eta aldea luzera berekoak dira. Ondorioz, seinalatu den triangelu zuzenaren kateto nagusia 15 cmkoa da.

apotema = 30 15–2 2 ≈ 26 cm

15 cm30 cm

ap

OINARRIA

Aoinarri = 230 6 26

2Perimetroa · apotema · ·= = 2 340 cm2

Vprisma = Aoinarri · Altuera = 2 340 · 100 = 234 000 cm3 = 234 litrob) Vzilindro = Aoinarri · Altuera = πr 2 · a = π · 302 · 100 ≈ 282 600 cm3 = 282,6 l

1. Kalkulatu honako gorputz geometriko hauen bolumena:

16 cm

11 cm

a) b) 90 mm

20 cm25 cm

2. Kalkulatu zenbat den honako forma hau duen zur zatiaren bolumena:

15 cm

7 cm 10 cm

16 cm20 cm

Pentsatu eta egin

• Praktikatu prismen eta zilindroen azaleren eta bolumenen kalkuluak eginez.

• Ebatzi «Ontziak 1» eta «Ontziak 3» deritzen problemak ebatziz.

Webgunean

Iradokizunak• Cavalierirenprintzipioainterpretatzenetajustifikatzenerrazada.Oinarri

berdinetaparaleloakdituenedozeingorputzenbolumenakalkulatzeko,oinarriarenazaleraaltuerarekinbiderkatubehardelabaieztatzekobaliodigu.Baieztapenhorrekbaiprismenbaizilindroenbolumenakkalkula-tzekometodoabateratzendu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)Gezurra b)Gezurra

c)Gezurra d)Egia

Iradokizunak• Zirkuluainfinitualdedituenpoligonotzathartzendugunmoduan,zilin-

droaereoinarrizirkularraduenprismatzathardezakegu.Beraz,zilin-droarenbolumenaprismarenabezalakalkulatukodugu.

• Ikasleeihonakogalderahauegindiezaiekegu,gogoetaegindezaten:Zergatikdirazilindroakfreskagarri-latak?

Industriakekoizpeneanahaliketagutxiengastatunahiizatendu,eta,argiegiaztatudaitezkeenez,xaflalauaerabilizegindaitezkeenbolumenjakinbateko(kasuhonetan,33 cl)ontzimotaguztienartean,zilindroadafabrikatzekomaterialgutxienbeharduena.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:35.orrialdeko1.ariketa.

Sakontzeko:35.orrialdeko2.ariketa.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko:Afitxako1.,4.,5.eta6.ariketak.

Sakontzeko:Afitxako7.,8.eta9.ariketak.Bfitxako2.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)V=11lb)V=5,0868l

2 V=3,48l

OHARRAK

OHARRAK

175

247246

4 Piramidearen eta piramide-enborraren bolumena

Ariketa ebatziak1. 30 cm-ko altuera duen pira-

mideak 24 cm-ko luzerako eta 26 cm-ko diagonaleko oinarri angeluzuzena du. Piramide horren bolumena kalkulatzea.

Laukizuzenaren beste aldearen (zabaleraren) neurria hau da:

c = 26 24 100–2 2 = = 10 cm24 cm

c26 cm

Aoinarri = 24 · 10 = 240 cm2

Vpiramide = 31 · 240 · 30 = 2 400 cm3

24 cm 10 cm

30 cm

2.Honako piramide-enbor ho-nen bolumena kalkulatzea:

Vpiramide handia = 31 · 82 · 12 = 256 cm3. Piramide txikia piramide handiaren

antzekoa da. Antzekotasunarrazoia 21 da. Ondorioz:

Vpiramide txikia = 21

3c m · Vpiramide handia = 8

1 · 256 = 32 cm3

Vpiramideenborra = 256 – 32 = 224 cm3

5 Konoaren eta kono-enborraren bolumenaPiramidearen kasuan bezala, konoaren bolumena oinarri eta altuera bereko zilindroaren herena da; hau da, oinarriaren azalera bider altueraren herena.

Konoaren bolumena da:

V = 31 · Oinarriaren azalera · Altuera = 3

1 · πr 2 · a

Piramideenborraren kasuan gertatzen zen eran, kono-enborraren bolumena zenbat den lortzeko, kono nagusiaren bolumenari txikiarena kentzen zaio.Antzekotasunez ere kalkula daiteke bolumena zenbat den, aurreko orrialdean piramidearekin egin den bezala.Konoenborraren erradioak eta altuera jakinez gero, antzekotasuna aplikatuz, kono txikiaren altuera aurki daiteke eta, ondorioz, baita handiarena ere. Hartu kontuan nola lortzen den honako ariketa ebatzi honetan.

1. Litro bateko botilaren edukiarekin, honako hau bezalako zenbat kopa bete ditzakegu horien bolumenaren erdiraino?

10 cm

14 cm

8 cm

2.Kalkulatu zenbat den loreontzian sartzen den lurraren bolumena, jakinik oinarrien barnediametroak 20 cm eta 16 cmkoak eta altuera 32 cmkoa direla.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia10 cm-ko altuera eta oinarrietako erradioak 6 cm eta 2 cm-koak di-tuen kono-enborraren bolumena kalkulatzea.

10 cm

2 cm

6 cm

VAB eta VA'B' triangeluen arteko antzekotasunaren bidez, bi konoen altuera zenbat den kalkula dezakegu:

x x610

2+ = → 2x + 20 = 6x → 4x = 20 → x = 5 cm

Ondorioz, kono handiaren altuera 15 cm da eta kono txikiarena, 5 cm.Vkono enborra = Vkono handia – Vkono txikia =

= 31 π · 62 · 15 – 3

1 π · 22 · 5 ≈ 544 cm3

6 cm

10 cm

2 cm2 cmx + 10

x

V

B'

BA

A'

a2

a1

Oinarri bereko eta altuera bereko prisma eta piramidea ditugu. Horien bolumenak konparatuko ditugu orain.Piramidea urez bete eta ura prismaren barruan isuriz gero, prismaren herena beteko du.Hau da, hiru piramide behar dira prismaren bolumena osatzeko.

Piramidearen bolumena honako hau da:

V = 31 · Oinarriaren azalera · Altuera

Piramide-enborraren bolumena piramide handiaren bolumena txikiarena kenduz lortzen da.Piramide txikia eta handia antzekoak dira. Antzekotasunarrazoia a

a2

1 da.

Beraz, txikiaren bolumena handiaren bolumenaren aa

2

13

e o da.

a

r

a

r

1. Keopsen piramide handia lauangeluar erregularra da. Oinarriaren aldea 230 mkoa da eta altuera, 146 mkoa.Kalkulatu zenbat den bolumena hm3tan.

2.Kalkulatu honako piramide hexagonal honen bolumena, kontuan hartuz oinarriaren apotema hexagono erregularrean r = l dela joz lor daitekeela.

Pentsatu eta egin

Praktikatu piramideen azalerak eta bolumenak kalkulatuz.

Webgunean

12 cm

8 cm

6 cm

Piramideenborren bolumenen kalkuluak egiteko ariketa gidatuak.

Webgunean

a

ap

a = 80 cml = 30 cm

l

Ebatzi «Ontziak 2» problema.Webgunean

Praktikatu konoen azaleren eta bolumenen kalkuluak eginez.

Webgunean

Iradokizunak• Piramideenbolumenakalkulatzekoformularairistekomodurikerrazena

oinarriberekoprismekinkonparatzeadelaustedugu.Litekeenadaikas-tetxeanoinarrianzuloadutenmetakrilatozkogorputzgeometrikoenbil-dumarenbategotea.Horrelabada,ikasleeihonakoariketahauproposadiezaiekegu:betedezatelaurezedohareazpiramidekarratubatetabo-tadezatela,gero,uredohareahoriprismara.

• Piramide-enborrarenbolumenakalkulatzea intuiziozko jardunada.Nahikoadutebipiramideenbolumenakkalkulatzeaetanagusiarenbo-lumenaritxikiarenbolumenakentzea.

Pentsamendu ulerkorra Atalhauetaariketaebatziakdituztengainerakoatalaklantzean,hasieran,ikasleeiorduraartedakitenarekinebaztekoesangodiegu.Zailtasunaketablokeoaknondituztenfinkatuetaidentifikatuondoren,testuanageridirenprozesuaktaldehandianaztertukoditugu.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:36.orrialdeko1.ariketa,a)etab)atalak.36.orrialdeko2.orrialdea.

Sakontzeko:37.orrialdeko3.ariketa,a)atala.37.orrialdeko5.ariketa.39.orrialdeko2.ariketa.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Sakontzeko:Bfitxako5.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 V=2,574hm3

2 V=62,4 l

Iradokizunak• Konoaetaoinarribaliokideaetaaltueraberadituenpiramidebatkon-

paratuzgero,bolumenarenformulaondorioztatukodugu.

• Piramideaketaprismakkonparatzeanjarraitutakoprozeduraerabilde-zakeguoinarrietaaltueraberekozilindroaketakonoakkonparatzeko.Konobarrukouraedohareazilindrorabotata,argietagarbiikusikodahirukonobehardirelazilindrobatbetetzeko.Beraz,horrenbolumenaoinarriarenazaleraren1/3bideraltueraizangoda.

• Kono-enborrarenbolumenapiramide-enborrarenbolumenakalkulatudugunmoduanlortukodugu,etakononagusiarenetatxikiarendimen-tsioakaurrekoataleanegindugunbezalakalkulatukoditugu.

Indartzeko eta Sakontzeko•MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:36.orrialdeko1.ariketa,c)etad)atalak.

Sakontzeko:37.orrialdeko3.ariketa,b)atala.37.orrialdeko4.ariketa.39.orrialdeko1.,3.eta4.ariketak.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Sakontzeko:Bfitxako1.eta3.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

3 12kopabeteditzakeguetaardoapurbatgeratukodasobera.

4 8,17l lursartzendaloreontzian.

OHARRAK

176

249248

6 Esferaren bolumenaEsferaren bolumena inskribatuta dagoen zilindroaren bolumenaren 3

2 da.

Zilindroaren oinarriaren erradioa esferarena bera denez, R, eta zilindroaren altuera 2R denez, zilindroaren bolumena hau izango da:

Vzilindro = Aoinarri · Altuera = πR 2 · 2R = 2πR 3

2R R

R erradioko esferaren bolumena hau da:

V = 32 · Vzilindro = 3

4 πR 3

1. 25 cm bider 20 cmko oinarria eta 16 cmko altuerako ortoedroaren forma duen kaxan, 2,5 cmko erradioko hirurogei bola sartu dira. Zenbat litro olio sartzen dira oraindik kaxa horretan?

2.Jakinik altzairuaren dentsitatea 7 850 kg/m3 dela, kalkulatu zer pisu duen kanpoko erradioa 20 cmkoa eta lodiera 1 cmekoa dituen esfera hutsak.

3.5 mmko erradioko zenbat bola egin ditzakegu 3 mko luzerako eta 5 mmko diametroko hari zilindrikoa urtuz?

4.Kalkulatu laranja baten 10 ataletako bakoitzaren bolumena, jakinik laranjaren diametroa 12 cmkoa dela eta azalak 0,8 cmko lodiera duela.

5.40 cmko ertzeko kuboaren forma duen kutxa dugu; kutxa horren hiru laurden zerrautsez beteta dago. Kutxan, 32 cmko diametroko baloia ezkutatu nahi dugu. Zerrautsaren zer bolumen dago sobera?

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak1. 9 cm-ko erradioko esferari

dagokion 60°-ko ziri esfe-rikoaren bolumena kalku-latzea.

°°

36060

61= . Sektorearen bolumena esferaren bolume

naren seirena izango da.

Vesferasektore = ·61

34 · π · 93 = 162π ≈ 509 cm3 60"9 cm

2.Baloi baten erradioa 25 cm-koa da, eta gomaren lodie-ra 3 mm-koa dela dakigu. Zenbat litro goma behar di-ra deskribatu dugun baloia bezalakoa fabrikatzeko?

Vbaloi = 34 · π · 253 ≈ 65 417 cm3

Vbarruko esfera = 34 · π · 24,73 ≈ 63 090 cm3

Vgoma = 65 417 – 63 090 = 2 327 cm3 ≈ 2,327 litro

Soluzioa: 2,33 litro goma, gutxi gorabehera, behar dira.

Esferaren bolumenaren formula justifikatzea Aurreko orrialdean, frogatu gabe, esferaren bolumena inskribatuta dagoen zilindroaren 2/3 dela baieztatu dugu. Orain, esferaren bolumena kalkulatzeko, piramide txikitan deskonposatuko dugu. Honela jokatuko dugu:

Pentsa ezazu esferan «ia» piramidearen forma duen zati txiki bat bereizi dela; zati horren oinarri kurbatua esferaren azalarena da eta altuera esferaren erradioa, R, da

Oinarria zenbat eta txikiagoa izan, orduan eta poligono lauaren antzekotasun handiagoa izango du eta zati hori gehiago hurbilduko da piramidera.

O

Esfera aurrekoaren antzeko zati txiki askotan banatuz (hexagonalak zein bestelakoak izan), esferaren bolumena «piramide txiki» guztien bolumenen baturaren parekoa izango da:

Vesfera = · · ·S R S R S R

3 3 31 2 3+ + + …

Horretan, S1, S2, S3… zatien oinarrien azalerak dira eta R, esferaren erradioa.

Vesfera = R3 (S1 + S2 + S3 + …)

Zati guztien oinarrien batura, S1 + S2 + S3 + …, esferaren azaleraren baturaren baliokidea denez, 4πR 2, orduan:

Vesfera = R3 · 4πR 2 = 3

4 · πR 3

Bolumenen arteko erlazioaErreparatu konoaren, esferaerdiaren eta zilindroaren bolumenen arteko honako erlazio bitxi honi:

+ =RR

R

R

R

Vkono + Vesferaerdi = VzilindroUrrunago joan gaitezke. Konoa, esferaerdia eta zilindroa (horrela jarrita) oinarrien paralelo diren bi planoz ebakiz gero, hiru gorputz lortuko ditugu: konoenborra, esferazona eta zilindroa. Lehenengo bien bolumena hirugarrenaren bolumenaren berdina da.

R RR

R Rh h

S1 S2S3

Zabaltzea: Arkimedes eta esferaren bolumena.

Webgunean

Iradokizunak• Esferarenbolumenakalkulatzekoaurkeztendugunprozeduraulertzeko

etagogoratzekoerrazairuditzenzaigu.Zilindrobaturezbetetzenbadu-gu,etabarruanzilindroanahokatutageratukodenesferabatsartzenba-duguesperahorrenbolumenazilindroarenbolumenaren2/3delaikusi-kodugu.

• Eskuinekoorrialdean,esferarenbolumenarenformulariburuzkointui-ziozkoegiaztapenaegitenda,altueratzaterradioadutenpiramidetxi-kietanzatituzesfera.

• Gaihausakontzeko,kono,esferaerdietazilindroarenbolumenenartekoerlazioaaztertzenda;baitakono-enbor,esfera-zonaetazilindroarenbo-lumenenartekoerlazioaere.Azkenhorieklehenengoakoinarriarekikoparalelodirenbiplanotatikebakitzeanlortzendira.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetanetaproblema-sortakplanteatzendituztenorrialdeguz-tietan,honakourratshauekemateairadokitzenda:

• Ikasleekproblemariburuzkogogoetabakarkaegitea,zeresatendenulertzekoetaebazpen-prozesuazeinizangodenpentsatzeko.

• Bateratze-lanaegitea,blokeatutanongelditudirenazalduzetazerpro-zesujarraitunahidutenadieraziz.

• Problemabakarkaebaztea.

• Soluzioakbateratzeaetazuzentzea,akatsaknonegindirentopatuzetaadostasunetarairitsiz.

Pentsamendu ulerkorra Atalhauetaariketaebatziakdituztengainerakoatalaklantzean,hasieran,ikasleeiberaiekdakitenarekinebaztekoesangodiegu.Zailtasunaketablo-keoaknondituztenfinkatuetaidentifikatuondoren,testuanageridirenprozesuaktaldehandianaztertukoditugu.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK4.koadernotik:

Indartzeko:38.orrialdeko1.ariketa,a)etab)atalak,eta2.ariketa.

Sakontzeko:38.orrialdeko1.ariketa,c)etad)atalak.

• ANIZTASUNARENTRATAMENDUAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko:Bfitxako4.ariketa

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 3,4206loliosartzendiraoraindik.

2 Esferahutsak37,49kgditu.

3 900bolaeginditzakegu,gutxigorabehera.

4 Atalbakoitzarenbolumena0,05887lda.

5 Zerrautsaren1,1486l dagosobera.

OHARRAK

177

250 251

Ariketak eta problemak

Bolumen-unitateak. Eragiketak

1. Bihurtu metro kubiko honako kantitate hauek:a) 0,025 hm3 b) 459 hm3

c) 45 214 dm3 d) 0,015 km3

e) 23 dam3 f ) 58 000 l

2. Bihurtu litro.a) 400 000 hm3 b) 0,000047 hm3

c) 6 dam3 318 m3 d) 8 562 m3 1 749 cm3

e) 14 350 dl f ) 0,32 hl

3. Kopiatu koadernoan eta osatu honako berdintza hauek:a) 0,0037 km3 = … m3

b) 0,36 hm3 = … dm3

c) 1,8342 dam3 = … m3 = … dm3

d) 0,0007 m3 = … dm3 = … cm3

e) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = … m3

f ) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = … l

4. Adierazi honako kantitate hauek era konplexuan:a) 45 125 145 dm3 b) 0,45124568 km3

c) 451,14521 dm3 d) 183 000 dam3

e) 527 002 045 m3 f ) 183 070 693 002 cm3

5. Kopiatu eta osatu koadernoan honako berdintza hauek:a) 1 hm3 = … hl b) 1 dam3 = … dalc) 1 m3 = … l d) 1 dm3 = … dle) 1 cm3 = … cl f ) 1 mm3 = … ml

6. Egin honako eragiketa hauek eta adierazi emaitzak hektolitrotan. Horretarako, bihurtu ezkonplexu, adierazi kantitate guztiak unitate beretan eta egin kalkuluak.a) 0,34 dam3 + 84 m3 + 1 284 m3

b) 0,00035 km3 + 0,45 hm3 + 65 dam3

c) 0,541 dam3 – 421 m3 300 dam3

d) 4 500 m3 : 25e) 24 hm3 123 dam3 128 m3 : 40f ) 568 kl – 0,508 dam3

Bolumenen kalkulua

7. Kalkulatu honako poliedro hauen bolumena. Adierazi bolumen guztiak litrotan.a) b)

c) d)

e) f )

33 cm12 m

24 dm

30 cm

15 cm

30 cm

40 dm

80 dm

40 dm20 cm

20 cm

22 m22 m

16 m

8 m70 cm

120 cm

45 m

34,6 dm

16,5 dm

8. Kalkulatu eta adierazi litrotan zer bolumen duten honako biraketagorputz hauek:

a) b)

c) d)

10 m

42 hm

42 h

m40 m

10 cm

4 cm

12 cm8 cm

50 k

m

9. Kalkulatu dimentsioak 9 dm × 15 dm × 8 dm dituen ortoedroaren bolumena.

10. Zer bolumen du 25 cmko ertzeko kuboak?

11. Prisma zuzen baten oinarria triangelu zuzena da eta horren katetoak 12 cm eta 15 cmkoak dira. Prismaren altuera 2 dm da. Kalkulatu zer bolumen duen.

12. Prisma baten oinarriek erronboaren forma dute eta diagonalak 40 dm eta 28 dmkoak dira. Altuera 1,2 m da. Kalkulatu bolumena.

13. Kalkulatu zenbat den 10 cmko erradioa eta 20 cmko altuera dituen zilindroaren bolumena.

14. Kalkulatu 12 cmko diametroa duen esferaren bolumena.

15. Kalkulatu oinarriaren erradioa 6 dmkoa eta 15 cmko altuera dituen konoaren bolumena.

16. Kalkulatu, litrotan, honako gorputz geometriko hauen bolumena:a) b)

c) d)

30 c

m 30 c

m

12 cm

12 cm

18 cm30 cm

30°

40 cm

17. Kono bat, marrazkian ageri den eran, plano batetik ebakita, bi gorputz geometriko sor tzen dira. Kalkulatu zenbat den bi gorputz horien bolumena. 32 cm

25 c

m

40 cm

18. Kalkulatu honako konoenbor honen bolumena:

6 cm

12 cm

16 cm

19. Kalkulatu honako gorputz geometriko hauen bolumena:a) b)

c)

d)

f )

e)

6 cm

8 cm

10 cm

13 cm

22 c

m

12 cm

16 cmOINARRIAK

21 cm

13 cm3 dm

10 cm

15 cm

20 cm

8 cm

15 cm

6 dm

1 m

12 dm

5 m

7 m

3 m

4 m

4 m

Lankidetzan ikasi Ariketahaueketa,orokorrean,ikasiberridirenedukiakfinkatzekohelbu-ruadutenariketaguztiakbakarkaegindaitezke,eta,gero,taldetxikianebatzi,emandakosoluzioakkonparatuzetaegondaitezkeendesadostasu-nakeurenarteankonponduz.Batezbadatozeneanbakarrikeskuhartukoduirakasleak.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)25000m3 b)459000000m3 c)45,214m3

d)15000000m3 e)23000m3 f)58m3

2 a)400000000000000litro b)47000litro c)6318000litro

d)8562001,749litro e)1435litro f)32litro

3 a)3700000m3 b)360000000dm3

c)1834,2m3=1834200dm3 d)0,7dm3=700cm3

e)15013432m3 f) 15013432000litro

4 a)45dam3125m3145dm3 b)451hm3245dam3680m3

c)451dm3145cm3210mm3 d)183hm3

e)527hm32dam345m3 f) 183dam370m3693dm32cm3

5 a)107hl b)105dal c)103l

d)10dl e)10–1cl f) 10–3ml

6 a)17080 hl b)8650000hl

c)1197hl d)1800hl

e)6030782hl f)600 hl

7 a)V=277,2 l b)V=768000l

c)V=332160l d)V=10,5l

e)V=7260000l f)V=13200l

8 a)V=12560000l b)V=77545440000000l

c)V=32708330000000000l d)V=1,95936l

9 V=1,08m3

10 V=3,375l

11 V=1,8l

12 V=6,720m3

13 V=6,28l

14 V=904,32cm3

15 V=56,52dm3

16 a)V=20,79936l b)V=8,13888l

c)V=5,53896l d)V=30,7022l

17 VKONO TXIKIA=565,2cm3

VKONO-ENBORRA=10152,67cm3

18 VENBORRA=348,54cm3

19 a)V=1549,1cm3 b)V=220cm3

c)V=6660cm3 d)V=4555dm3

e)V=4212,8cm3 f)V=162,3m3

178

252 253

Ariketak eta problemak

Pentsatu, kalkulatu, zenbatetsi

20. Ondoren aipatzen diren ontzietako bakoitzarentzat, hiru bolumen eman dira. Horietako bat bakarrik da zentzuzkoa. Kasu bakoitzean, adierazi zein den:a) Urtegiaren bolumena: 71 hm3 387 000 l 4 000 000 000 cm3

b) Etxebizitza bateko urdepositua: 2 dam3 0,8 m3 45 000 lc) Edontzi arrunta: 2 dm3 0,2 dm3 0,02 dm3

d) Koilarakada bat kafe: 3 dl 3 cm3 3 mm3

Ebatzi problemak

21. 3/4 lko zenbat botila bete daitezke 0,4 dam3rekin?

22. Urtegi baten edukiera 0,19 km3 da. Orain edukieraren % 28 dago beterik. Zenbat litro ur daude urtegian?

23. Urak urtegi batera isurtzen dituen ibaiarroa 62 km2koa da. Azken eurietan, 27 l erori dira metro karratuko. Erori den uraren % 43 urtegian biltzen da. Zenbat hektometro kubiko bildu dira urtegian eurien ondorioz?

24. Depositu baten pisua, hutsik, 27 kgkoa da eta, olioz beterik, 625,5 kgkoa. Zenbat litro olio ditu? Olio horren dentsitatea 0,95 kg/dm3koa da.

25. Kalkulatu zer bolumen duen 2,8 mko altuera duen gelak, horren oinplanoa honako forma eta dimentsioak baldin baditu:

10 m

4 m2 m 2 m

26. Kalkulatu zenbat hormigoi behar izan den honako tunel hau egiteko:

8 m10 m 20 m

27. Kalkulatu zer bolumen duen ortoedroaren forma eta dimentsioak 6 m × 3,8 m × 2,6 m dituen gelak. Zenbat dutxa har ditzakezu gela horretan kabitzen den urarekin? Dutxa bakoitzean 80 l ur behar dituzula joko dugu.

28. Urez bete da 208 m2ko azalera duen sotoa. Ura 1,65 mko altuerara iristen da. Ura ateratzeko, minutuko 6 hl ateratzen dituen ponpa erabiliko dute. Zenbat denbora beharko da ur guztia ateratzeko?

29. Zilindroaren forma duen eta 15 cmko luzera eta 55 mmko diametroa dituen barra bat urre erabiliz, 1/4 mmko diametroko haria fabrikatu nahi da. Zer luzera izango du hariak?

30. 7,5 m bider 5,6 mko azalerako eta 30 cmko lodierako horma eraiki nahi da. 15 cm × 10 cm × 6 cmko zenbat adreilu beharko dira, zementuak bolumenaren % 15 hartzen baldin badu?

31. Basaltozko zutabe batek prisma hexagonal erregularraren forma du. Oinarriaren aldea 15 cmkoa da eta zutabeak 2,95 mko altuera du. Kalkulatu zer pisu duen, jakinik 1 m3 basaltoren pisua 2 845 kg dela.

32. Harri txiki baten bolumena neurtzeko, honela jokatu dugu: ura edontzi zilindriko baten erdiraino bota dugu, gutxi gorabehera. Harria murgildu eta maila 22 mm igo da. Zer bolumen du harriak?edontziaren datuak:Kanpoko diametroa: 9 cmBarruko diametroa: 8,4 cmAltuera: 15 cm(Erabili behar dituzun datuak bakarrik).

«+» problemak33. Oinarriaren diametroa 8 cm eta altuera 6 cm

dituen kopa koniko bat horren bolumenaren erdiraino bete da. Zer altueratara iritsi da likidoa?

34. 32. ariketan ikusi dugunaz bestelakoa den metodoa erabiliko dugu harriaren bolumena neurtzeko.Edontzi bera urez beterik jarriko dugu hutsik dagoen ontzi zilindrikoan. Harria botako dugu edontzian eta gainezka egingo duen ura 2,3 cmko altuerara iritsiko da ontziaren barruan.

Kalkulatu zer bolumen duen harri horrek, jakinik ontziaren barruko diametroa 24 cmkoa dela.

35. Kalkulatu honako esferazona honen bolumena: Erabili unitatean ikasi du-zun konoaren, esferaerdia-ren eta zilindroaren bolu-menen arteko erlazioa.

51020 cm

Ikasi problemak ebazten

Zer datu eman dizute? Zer jakin nahi duzu?

Aneri eta Markori eskuinekoa bezalako kopan atera diete irabiakia. Anek edan du lehe-nengo eta Marko haserre dago arrebak gehiegi edan duelako. Neurtu eta maila 2,5 cm jaitsi dela ikusi dute. Erdia baino gehiago edan al du Anek?

Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

6 cm

10 cm

Zer eskatu dizute? Nondik hasiko zara?

Jakina. Eta hori kalkulatzeko, ba al dituzu behar dituzun datuak?

Baina... ez dizute hori eskatzen.

Itxaron! Ez al da errazago izango utzi duen bolumena zenbat den kalkulatzea?

Ondorioz…

Eta triangeluen antzekotasunaren bidez kalkulatuz gero?

— Ez dakit. Anek koparen erdia baino gehiago edan duen ala ez kalkulatzeko eskatu didate. Beterik zenbat likido zuen kalkulatuz hasiko al naiz?

— Bai, badakigu kopa konikoaren altuera eta erradioa zenbat diren. Bolumena hau da: V = 3

1 π · 32 · 10 = 30π

— Bai, baina informazio hori behar nuen bakoitzari zenbat dagokion jakiteko: 30π : 2 = 15π ≈ 47,12 cm3.

— Orain, Anek zenbat irabiaki hartu duen kalkulatu behar dut. Horretarako…

— Bai, arrazoi duzu. Badakit zer altuera duen beste kono batek, 10 – 2,5 = 7,5 cm, eta horren bolumena kalkulatu behar dut, baina ez dakit erradioa. Nola kalkulatuko dut?

— Edontziaren bolumenaren erdia, 47,12 cm3, Markorentzat geratu dena baino handiagoa denez, orduan, Anek erdia baino gehiago edan duela ziurta dezakegu.

— Egia! Bi triangeluak erlaziona ditzaket eta erradioa triangeluen antzekotasunaren bidez aterako dut:

,r

106

7 52= → 2r = , ·10

7 5 6 = 4,5 → r = 2,25 cm

Gelditzen den likidoaren bolumena, beraz, honako

hau da: V = 31 π · 2,252 · 7,5 = 39,76 cm3

10 cm7,5 cm2,5 cm

6 cm

2r

• Praktikatu azalerak eta bolumenak kalkulatuz.• Ebatzi «Ontziak 4» problema.

Webgunean

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

20 a)71hm3b)0,8m3 c)0,2dm3 d)3cm3

Ikasi problemak ebazten Atalhonetan,adibidebatenjarraipenaeginez,ikasleeiproblemakebazte-koereduak,estrategiaketajarraibideakeskurajarrikodizkiegu.

• Enuntziatuabehinetaberrizirakurri,ondoulertuarte.

• Prozesuariburuzkogogoetaegin.Soluzioraheltzekodatuaketatartekourratsakerabaki.

• Prozesuadeskribatu.Eragiketabakoitzarenetahortiklortzendendatubakoitzarenesanahiaazaldu.

• Soluzioaadierazi.

Atalhonetakohelburuakahalikgehienustiatzeko,ikasleeiproblemabe-raiekbakarrikebaztekoeskadiezaiekeguhasieran,bakoitzakberebideabilatuz.Gero,taldehandian,jarraitutakoprozesuak,emandakoazalpenak,etab.konparatukoditugu.Azkenik,orrialdeanageridengarapenaazter-tukodugu.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetanetaproblema-sortakplanteatzendituztenorrialdeguztietan,honakourratshauekemateairadokitzenda:

• Ikasleekproblemariburuzkogogoetabakarkaegitea,zeresatendenulertzekoetaebazpen-prozesuazeinizangodenpentsatzeko.

• Bateratze-lanaegitea,blokeatutanongelditudirenazalduzetazerpro-zesujarraitunahidutenadieraziz.

• Problemabakarkaebaztea.

• Soluzioakbateratzeaetazuzentzea,akatsaknonegindirentopatuzetaadostasunetarairitsiz.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

21 3/4l-ko533333botilabetedaitezke.

22 53200000000lurdaude.

23 0,71982hm3bildudira.

24 630lolioditu.

25 V=202,8m3

26 V=282,6m3

27 741dutxaharditzakezu.

28 Urguztiaateratzeko,9ordueta32minutubeharkodira.

29 Hariak60m-koluzeraizangodu.

30 11900adreilubeharkodira.

31 Zutabeak491kg-kopisuadu.

32 Harriak121,86cm3-kobolumenadu.

33 Likidoa4,76cm-koaltuerarairitsida.

34 Harriak893,72cm3-kobolumenadu.

35 V=3794,17cm3

OHARRAK

179

254 255

1. Bihurtu metro kubiko honako kantitate hauek:a) 450 dam3 b) 1,2 dam3 1 253 dm3

c) 0,11 km3 d) 35 840 dm3

e) 500 hl f ) 30 000 l

2.Adierazi era konplexuan.a) 75 427 038 m3 b) 32,14962 dm3

c) 0,0000084 km3 d) 832 000 dam3

3.Kalkulatu zer bolumen duten honako gorputz geometriko hauek:

12 cm

6 cm

3 cm

9 cm

5 cm

4 cm8 cm

4 cm

15 c

m

12 cm

5 cm

a) b)

c) d)

9 cm

4.Igerileku batek honako forma hau du:

6 m

12 m

5 m

3,5 m

1,2

m

a) Zer edukiera du?b) Minutuko 120 litroko emaria duen txorrota igeri

leku hori betetzen hasi da. 9 ordu barru, itxi egin da. Ertzetik zer distantzia dago uraren mailara?

5.Irudiko edontziaren barruko diametroa 8 cmkoa da eta altuera, 12cmkoa. Urez erdi beteta dago. 3 cmko diametroa duten 20 puxtarri bota dira edontzian.a) Gainezka egingo al du

urak? Horrela baldin ez bada, zer altueratara iritsiko da?

b) Eta 22 puxtarri botaz gero?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz •Kalkulatu zenbat diren, zentimetro karratutan,

honako irudi hauen azalerak:

1 cm2AB

•Kalkulatu, zentimetro kubikotan, honako irudi hauen bolumenak:

1 cm3

8 cm4cm

3cm

6 cm

C D

•Erreparatu honako irudi honi:

a) Lau karratu eratzeko eta txanpona horietako baten barruan gera dadin, mugitu bi zotz.

b) Lau karratu eratzeko, baina, oraingo honetan, txanpona horietako biren barruan gera dadin, mugitu bi zotz.

Matematika-lantegia

Tetraedroaren bilaKalkatu eta handiagotu eskuineko irudia. Tolestu trazuen lerroetatik eta poliedroa egingo duzu.Eraiki horren berdina. Tetraedro erregularra egiteko, bi poliedroak lotzeko forma dago.Saiatu.

Irakurri eta jo informazio bilaArkimedes Geometriaren eremuan, aurreko unitatean ikasi duzun esferaren azaleraren eta esfera hori barruan duen zilindroaren aldeko azaleraren arteko erlazioa aurkitu zuen.Asmakizunen eremuan, ura jasotzeko balio duen honako tresna honen diseinua egin zuen. Zer deritzozu?

Baloi poliedrikoakPentsatu al duzu inoiz futbolean edo saskibaloian tetraedroarekin edo kuboarekin jolasten ari zarela? A zer aldrebeskeria! Esferaren antz handiagoa duten dodekaedroa eta ikosaedroa ere pilotaren ordezko baldarrak izango lirateke.Hala ere, badaude horretarako erabiltzen diren poliedroak:

Pentagonoz eta hexagonoz eginda dagoen poliedro hori, ikosaedroa oinarri hartuta egiten da erpinak ebakiz (moztuz). Puzten denean, nahiko ondo hartzen du esferaren forma. Horrela egiten dira gaurko baloiak.Hartu kontuan zer ehuneko hartzen duen poliedro mota bakoitzak, bete nahi duen esferari dagokionez:

% 66,55 % 66,49 % 86,74 % 94,33Azken poliedroa, erronbikosidodekaedro izen bitxia duena, baloi bihurtzeko kandidatu bikaina dugu. Baina bere aukeraren zain dago oraindik.

8 cm

12 c

meta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

Irakurri eta jo informazio bila

Arkimedes

Ikasleaktresnahorrekbiratzendueneanuranolaigotzendenargitzenaha-legindu daitezke. Horrez gain, interesgarria izango da ikasleekArkimedesekeraikitakotresnagehiagobilatzeaInternetenetahorieknoladabiltzanikastea.

Tetraedroaren bila Puzzleantzekohauosoezagunabadaere,beharbadaikasleekezduteezagutuko.Horrensoluzioaaurkitzealanentretenigarriada.

Trebatu problemak ebazten Atalhonetan,formulazioteorikoetatiketaedukienprogramatikkanpodaudenzenbaitproblemaetaerronkaematendira.Helburuadalogikamatematikoariburuzkoproblemakebaztekonorkbereestrategiaklanduetagaratzea.Beraz,ikasleekmatematikaarloanikasitakoezagutzakerabi-likodituzte,bainabaitasaiakuntza,haztamukajotzea,saio-errorebidezkoaurkikuntzaedosoluzioalortzenlagundukodietenbesteedozeinbideere.Horrezgain,programatikkanpokoesparruhonetan,ariketaetaegoeraarinetajostagarrihauenbidez,arrazoitzeazgozatzekomoduaetaerronkakgaindituetagogobetetzekoaukeraemannahizaie.

Soluzioak

• A-ren azalera=24cm2;B-renazalera=16cm2

• C-ren bolumena=96cm3;D-renbolumena=96cm3

• a) b)

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)450000m3 b)201,253m3

c)110000000m3 d)35,84m3

e)50m3 f)30m3

2 a)75hm3427dam338m3 b)32dm3149cm3620mm3

c)8dam3400m3 d)832hm3

3 a)V=1404cm3 b)V=504cm3

c)V=216cm3 d)V=680,33cm3

4 a)V=106500l

b)Ertzetik0,695mdaudeurarenmailara.

5 a)Urakezdugainezkaegingo,puxtarriaksartuondorenere,oraindik18,84cm3geratzenbaitirabetetzeko.

Ura11,625cm-rairitsikoda.

b)Urarenetapuxtarrienbolumena612,3cm3-koaizangoda,eta,be-raz,gainezkaegingodu.

OHARRAK