Unitat de Coordinació Acadèmica d'Economia i Empresa (UPF) - …84.89.132.1/~satorra/P/P2014L6.pdf · 2014. 11. 21. · -La distribuci o exponencial es adequada per a modelar el

Distribucions Contınues: Exponencial, Normal iassociades (log-normal, khi-quadrat)

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 1 / 56

Continguts

1 Distribucio Exponencial

2 Distribucio Normal

3 Distribucio relacionades amb la normal

4 Altres distribucions contınues notables

5 Transformacio de variables

6 Metode de Monte Carlo


Distribucio Exponencial

Tenim un proces de Poisson (per exemple, no. de cotxes que arriben a lagasolinera en una hora) i observem el temps X d’espera fins que apareixun exit (temps d’espera fins l’arribada d’un cotxe a la gasolinera)

Exemple

- A sobre un pont de l’autopista, el temps d’espera abans no passa unaltra cotxe.

- El temps d’espera fins que hi ha una falla en el sistema

- Temps d’espera abans no arriba la seguent trucada al mobil del’estudiant, un divendres el vespre...


Es diu que una variable aleatoria X segueix una distribucio exponencial deparametre λ > 0, que denotarem X ∼ exp(λ) si la seva funcio de densitates

fX (x) =

λ e−λx x ≥ 0

0 en cas contrari

. . . e es el no. 2.718281828459045 . . .

L’esperanca i la variancia d’una distribucio exp(β) son 1

E [X ] =1

λ, var [X ] =

(1

λ

)2

1http://www.econ.upf.edu/~satorra/P/ValorEsperatExponencial.pdfEl valoresperat de l’exponencial. Contribucio de l’estudiant Adrian Segura, Nov. 2014


http://www.econ.upf.edu/~satorra/P/ValorEsperatExponencial.pdf

La funcio de distribucio acumulada es,

FX (x) =

1− e−λx x ≥ 0

0 en cas contrari

- La distribucio exponencial es adequada per a modelar el temps entredos esdeveniments que es produeixen de forma independent, separadai uniforme per unitat de temps.

- Concretament si el nombre mitja d’esdeveniments que es produeixenen una unitat de temps es λ, la v.a. que mesura el temps d’esperaentre dos d’aquests esdeveniments segueix una exp(λ)


Exemple

Suposem que el temps de vida de unes components esta distribuıtexponencialment de mitja 10 hores. Trobeu,

1 La probabilitat que una component sobrevisqui > 10 hores.Sigui W la variable aleatoria que mesura el temps de vida d’unacomponent triada a l’atzar entre les de la poblacio. W ∼ exp(0.1).P(W > 10) = e−0.1·10 = e−1

2 La mediana del temps de vida.Cerquem m tal que 0.5 = P(W > m), per tant, 0.5 = e−0.1·m es a dirm = −ln(0.5) · 10 = 6.93

3 La desviacio standard del temps de vida.√var [W ] =

√102 = 10


Exemple

La durada en hores d’un component electronic X te funcio de distribucioF (x) = 1− e−

x100 , si x ≥ 0 i val 0 si x < 0.

1 Determineu la f.densitat de X . Derivant la de distribucio,

f (x) =

1

100 e−x

100 x > 0

0 altrament

2 Calculeu la probabilitat que component treballi mes de 200 h.P(X > 200) = 1− P(X ≤ 200) = 1− F (200) = e−2 = 0.1353

3 La durada mitjana dels components.Observem que X ∼ Exp(0.01) i per tant E [X ] = 100


Manca de memoria en la distribucio exponencial

Si X ∼ exp(λ), aleshores es verifica que ∀t, s > 0,

P(X ≥ t + s|X ≥ t) = P(X ≥ s)

Prova. Utilitzar P(X ≥ x) = e−λx

Exemple

A una botiga arriben una mitjana de 20 clients per hora.1.- Calculeu la probabilitat que passin com a mınim 5 minuts entrel’arribada de dos clients consecutius.2.- Quin es el temps esperat entre l’arribada de dos clients?3.- Fa 1/2 hora que no entra cap client a la botiga i volem fer una trucadaurgent de durada estimada 3 minuts. Probabilitat que entri un client enaquests 3 minuts?


L’arribada dels clients a la botiga, si la unitat de temps son hores,correspondra aproximadament a un proces de Poisson de mitjana λ = 20,sempre que es pugui suposar,-els clients arriben independentment-no arriben dos clients alhora-el nombre de clients arriba uniforme en tot el perıode

1.- X :=”temps (hores) entre dues arribades consecutives” ∼ exp(20).

P(X > 112) = e−

2012 = 0.1889

2.- E [X ] = 1/20 hores, es a dir 3 minuts.3.- P (X ≥ 0.55|X ≥ 0.5) = P(X ≥ 0.05) = e−20·0.05 = 0.3679.La probabilitat demanada es 1− 0.3679 = 0.6321


Problema de la setmana

Un autobus que opera normalment passa per una certa parada cada 8minuts. Aixı, si un usuari arriba a la parada, el temps que ha d’esperar esuna variable aleatoria amb funcio de densitat

f (x) =

18 0 < x < 8

0 en cas contrari

En algunes ocasions, l’autobus porta retard i el temps d’espera te densitat

g(x) =

0.1e−0.1x si x > 0

0 en cas contrari


1 Calculeu la probabilitat de que un usuari hagi d’esperar mes de 5minuts sabent que l’autobus no porta retard.

2 Calculeu la probabilitat de que un usuari hagi d’esperar mes de 5minuts sabent que l’autobus porta retard.

3 Coneixem que si agafem l’autobus a la mateixa hora, un de cada tresdias l’autobus porta retard. Calculeu la probabilitat de que un usuarihagi d’esperar mes de 5 minuts.


1. Sigui X1 la variable aleatoria que mesura el temps d’espera quanl’autobus no porta retard. La funcio de densitat de probabilitat X1 es f .Llavors,

P(X1 > 5) =

∫ 8

5

1

8dx =

8− 5

8=

3

8= 0.3750

2. Sigui X0 la variable aleatoria que mesura el temps d’espera quanl’autobus porta retard. X0 ∼ Exp(10). Aleshores,

P(X0 > 5) = 1− Fx0(5) = 0.6065

3. Sigui Y la variable aleatoria que val 0 si l’autobus no porta retard i 1 sien porta. Y ∼ Bern(13). Sigui A:=Un usuari hagi d’esperar mes de 5minuts. Aleshores,

P(A) = P(X1 > 5) · P(Y = 0) + P(X0 > 5) · P(Y = 1) = 0.4522


La Normal X ∼ N(µ, σ2) i el Deutsche Bundesbank

Figure : Bitllet de 10 marcs, Alemanya


Figure : histograma i fdp de les notes d’un test

histograma de 3000 obs. de la normal mu=47 variancia 12

x

Density

35 40 45 50 55

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


Distribucio de notes d’un examen

Histograma de notes de PAAU (3609 estudiants, any xx)

PAAU

Den

sity

2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

mitjana = 5.616

var. = 1.263

perc. 4 −− 8 = 0.913(aprox. normal = 0.908)

Figure : Histograma de les notes de PAAU, any x, amb la f.d. de la Normal(mitjana=5.616, var = 1.263)


Distribucio Normal

Hi ha una distribucio amb un paper central en probabilitat i estadıstica: ladistribucio de Gauss o distribucio Normal. Fou descoberta per A. deMoivre el 1733 (que la va fer servir per aproximar probabilitats de labinomial quan n es molt gran) i investigada per C.F. Gauss i P.S. Laplaceal final del segle XVIII i principis del XIX . Es una familia de distribucionsparametritzades per µ i σ.La funcio de densitat de probabilitat de la normal estandarditzada Z es

f (z) =1√2π

e−z2/2 −∞ < z < +∞

Les grafiques de f (z) i F (z) =∫ z−∞ f (u)du son


Funcio densitat de probabilitat (pdf) de la Normal, Corbade Gauss

!"#$

Figure : p.d.f de la Normal


Funcio de distribucio (cdf) de la Normal

F(x), Normal Est...ndard

F(x)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure : CDF of a N(0, 1), ZAlbert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 18 / 56

Distribucio Normal X ∼ N(µ, σ2)

Una v.a. X segueix la distribucio Normal de mitja µ i variancia σ2,X ∼ N(µ, σ2), si seva funcio de densitat de probabilitat es

fX (x) =1√

2πσ2e−

(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R

Podem veure que E [X ] = µ i Var [x ] = σ2.Quan posem N(3, 4) volem dir una normal de mitjana µ = 3 i varianciaσ2 = 4. Molt de compte: en R, rnorm(1000, 3,4) indica observacionsde una normal de µ = 3 pero desviacio estandar σ = 4.rnorm(1000) indica observacions aleatories de una Z . Tambe tenimpnorm(1.40), qnorm(0.2) ...

rnorm(12)

[1] -1.19091845 -0.04238734 0.78825318 0.90059809 -0.75633339 -0.09455597 0.78836556 -0.42159241

[9] -0.28610998 -1.41885245 -1.30371811 -0.31332491


Figure : Taules de la Normal: F (z) de Z ∼ N(0, 1)


La funcio de distribucio acumulada de X ∼ N(µ, σ2) es

FX (x0) =

∫ x0

−∞

1√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2 dx

Si a i b son dos possibles valors de X ∼ N(µ, σ2) i a < b,

P(a < X < b) = FX (b)− FX (a)

No existeix una expressio algebraica simple per a FX !!!pnorm(x0;µ;σ);pnorm(x0)


Llei normal dels 1-2-3 sigmas (σ):

Probabilitat (aproximada) que una Normal X ∼ N(µ, σ2) prengui valorsque difereixen de µ menys de

1 1 σ: 68%, P[µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ]

2 2 σ: 95%, P[µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ]

3 3 σ: 99%, P[µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ]

Si Z ∼ N(0, 1) normal estandard, o X estandarditzada Z = X−µσ

1 P[−1 ≤ Z ≤ 1] ≈ 68%

2 P[−2 ≤ Z ≤ 2] ≈ 95%

3 P[−3 ≤ Z ≤ 3] ≈ 99%


Funcio de distribucio Φ(z)En una Normal estandard, fora de [−3, 3] no hi ha practicamentprobabilitat, solament el 1%!La funcio de distribucio acumulada de la Z , P[Z ≤ z ] s’anomena Φ(z), enR es: pnorm(z). La inversa Φ−1(p) es: qnorm(p). Per exemple

> pnorm(1.3)

[1] 0.9031995

---> P(Z < 1.3) = 0.9031995

> qnorm(0.93)

[1] 1.475791

---> P(Z < 1.475791) = 0.93

> dnorm(0.4)

[1] 0.3682701

---> z=0.4 f(z) =0.3682

> pnorm(0.4, 1, 4)

[1] 0.3682701

---> z=0.4 f(z) =0.3682

> pnorm(0.4, mean = 1,sd = 2)

[1] 0.3820886 --> P(X < 0.4), quan E(X) = 1,sigma(X)=2Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 23 / 56

R Statistical Tables

Figure : Random variables in R


Z ∼ N(0, 1) segueix una distribucio normal estandard. La funcio dedistribucio acumulada de Z , que denotarem Φ(·) es troba tabulada.

Exemple

Z ∼ N(0, 1). Aleshores,

P(Z < 1.96) = Φ(1.96) = 0.9750P(Z < −0.75) = Φ(−0.75) = 0.2266P(Z > 0.75) = 0.2266 = 1− Φ(0.75)P(Z < 0.75) = Φ(0.75) = 0.7734(= 1− 0.2266)P(−0.75 < Z < 1.96) = Φ(1.96)− Φ(0.75) = 0.7484


Estandarditzacio en la normal

Probabilitats acumulades per a N(µ, σ2) en base a la normal estandard,

X ∼ N(µ, σ2)⇔ Z =X − µσ

∼ N(0, 1)

Exemple

Una companyia de reparacio de fotocopiadores considera que el tempsinvertit en un servei pot representar-se com una variable aleatoriaN(75, 202). Proporcio de serveis en menys d’una hora?X :=”temps invertit en un servei triat a l’atzar”.Volem determinar P(X < 60). Sigui Z ∼ N(0, 1); aleshores,

P

(X − 75

20<

60− 75

20

)= P(Z < −0.75) = pnorm(−0.75) = 0.2266

El 23% dels serveis es fan en menys d’una hora.


Exemple

El perıode de gestacio en humans, des de la fecundacio de l’ovul fins alnaixement del nado, te una distribucio aproximadament normal de mitjana266 dies i d.tıpica 16 dies. Aleshores, quina durada (aproximada) tenen el2, 5% dels embarassos mes llargs?X:=”perıode gestacio nado triat a l’atzar”. Z ∼ N(0, 1). x0

0.025 = P(X > x0)⇔ x0 0.025 = P(Z >x0 − 266

16)

Taules: 0.025 = Φ(1.96); x0 = 266 + 1.96 · 16 = 297.36 ≈ 297 d i 8 h

Amb R:qnorm(0.975)

qnorm(0.975, 266, 16)


Exemple

La Meritxell va obtenir 680 punts en una prova de acces al Conservatori deMusica (C).La Sara, vol estudiar a l’Escola de Musica (E), va passar una prova ambresultat de 27 punts.La distribucio dels resultats a C es considera N(500, 1002) i la distribuciodels resultats a E es considera N(18, 62).Aleshores, suposant que tots dos examens son comparables, quina de lesseguents afirmacions es falsa,

1 La Meritxell es troba entre el 5% amb millor nota a C

2 La Sara es troba entre el 10% amb millor nota a E

3 La Meritxell va puntuar, dins C, millor del que la Sara a E

4 La Sara va puntuar, dins E, millor que la Meritxell dins C


Per a poder comparar les estudiantes, necessitem estandarditzar lespuntuacions obtingudes per totes dues.

La puntuacio estandarditzada Meritxell es (680-500)/100 = 1.8

La puntuacio estandarditzada de la Sara es (27-18)/6 = 1.5Φ(1.8) = 0.9641 i Φ(1.8) = 0.9332: a) i b) son certes.

Com la puntuacio estandarditzada de la Meritxell es superior a la de laSara, l’opcio c) tambe es certa i l’opcio d) es la falsa.


Exemple

Es considera que el temps que una famosa banda de rock esta a l’escenaridurant els seus concerts segueix una distribucio normal de mitjana 200minuts i desviacio estandard 20 minuts.

1 Calculeu la proporcio de concerts d’aquesta banda que duren entre180 i 200 minuts.

2 Aquesta temporada, la banda te programats 150 concerts. Quantss’espera que durin entre 180 i 200 minuts? Simuleu i representeugraficament la durada dels 150 concerts de la gira.

3 Una persona de l’audiencia vol gravar el concert en una cinta de 245minuts. Quina es la probabilitat de que no tingui espai suficient pergravar el concert complet?


Sigui X :=” la durada d’un concert triat a l’atzar”∼ N(200, 202).

1 La proporcio de concerts entre 180 i 200 minuts es del 34%:

P(180 < X < 200) = 0.5− 0.1587 = 0.3413

2 Dels 150 concerts, s’espera que 0.3413 · 150 = 51.195 ≈ 51 entre 180i 200 minuts (Bin(150; 0.3413)).

x=rnorm(150, 200, 20)

hist(x, col="blue", main="Rock", prob=T)

y=seq(120, 260, 0.01)

lines(y, dnorm(y, 200, 20), col="red")

3 La probabilitat de no poder gravar el concert complet en la cinta de245 minuts la calculem com,

P(X > 245) = pnorm(2.25, lower .tail = F ) = 0.0122


Salaris (en escala original)

Figure : histogram de salarisAlbert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 32 / 56

Transformada log dels salaris

Figure : la transformada logaritmica dels salarisAlbert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 33 / 56

DistribucioLog-Normal

Direm que una variable aleatoria X segueix una distribucio Log-Normal sila variable Y = ln(X ) ∼ N(µ, σ2). Tenim,

E [X ] = eµ+12σ2

var [X ] =(

eσ2 − 1

)e2µ+σ

2

Moda = eµ−σ2

Mediana = eµ

Exemple

Sigui X una variable aleatoria Log-Normal t.q ln(X ) ∼ N(2, 12).Determina P(X > 10).

P(X > 10) = P(ln(X ) > ln(10)) = P

(ln(X )− 2

1>

ln(10)− 2

1

)=

= φ(−0.3026) = pnorm(−0.3026) = 0.3810974


Exemple

La renda del pais X segueix una distribucio log–normal amb E [ln(X )] = 6y var [ln(X )] = 2. Aleshores, quina es la probabilitat que un individu triat al’atzar tingui una renda superior a 3000 euros?

P(X > 3000) = P(ln(X ) > ln(300)) = P

(ln(X )− 6√

2>

ln(3000)− 6√2

)=

= φ(−1.419) = pnorm(−1.419) = 0.07794951


Distribucions relacionades amb la Normal: χ2

Siguin Z1,Z2, . . .Zk v.a. independents ∼ N(0, 1). Aleshores,

Y = (Z1)2 + (Z2)2 + . . . (Zk)2

segueix distribucio chi-quadrat amb k graus llibertat, Y ∼ χ2k . Es dona en

la distribucio de l’estadıstic χ2 (Estadıstica)L’esperanca i la variancia d’una distribucio χ2

k son,

E [Y ] = k var [Y ] = 2 k

Fet rellevant: Y1 ∼ χ2k1

, Y2 ∼ χ2k2

i Y1, Y2 son independents:

Y1 + Y2 ∼ χ2k1+k2


Exemple

Tirem una moneda a l’aire 1000 vegades. Obtenim

Observades

C 553X 447

Hi ha evidencia de que la moneda esta trucada?

Calculem l’estadıstic χ2,

T =k∑

i=1

(Oi − Ei )2

Ei∼ χ2

k−1


En aquest cas k = 2 i doncs χ21...

Oi Ei Oi − Ei (Oi − Ei )2/Ei

C 553 500 53 5.618X 447 500 −53 5.618

L’estadıstic T = 11.236.Podem interpretar aquesta magnitud com una distancia entre el modelteoric (la moneda esta equilibrada) i l’observat: es elevada?


Es extrem el valor observat de 11.236?Per saber si la distancia es gran o petita, simulem la distribucio χ2

1:

> round(rchisq(1000, 1),2)

[1] 0.01 0.01 0.63 2.14 0.90 0.17 0.02 0.65 3.00 5.34 0.58

[12] 0.02 0.03 0.50 0.81 0.32 0.40 0.03 3.18 2.22 1.50 0.24

[23] 1.04 0.43 0.18 2.65 0.51 0.26 4.06 1.05 0.16 2.90 0.05

[34] 0.48 1.55 3.93 0.06 0.01 0.02 0.02 0.31 0.09 1.84 0.73

[45] 0.59 0.05 0.27 0.17 0.25 0.00 1.48 0.55 0.28 0.13 0.27

[56] 0.89 3.37 0.01 0.86 0.96 0.01 0.38 0.05 0.03 0.05 1.08

[67] 3.20 0.32 1.14 0.01 0.39 3.76 1.37 2.06 0.31 0.65 0.25

[78] 5.56 1.50 2.44 0.25 0.15 0.04 0.28 0.19 0.42 0.11 0.30

[89] 0.90 0.18 0.39 0.79 0.29 0.00 0.64 1.53 0.60 0.57 0.45

[100] 0.39 0.23 0.24 1.17 1.15 0.08 0.01 0.75 0.00 1.40 2.65

[111] 4.03 0.36 1.38 0.14 0.29 0.01 0.37 0.30 0.31 4.09 1.97

[122] 1.20 0.02 0.03 8.88 4.47 0.16 1.81 2.03 0.28 0.69 1.43

[133] 0.08 0.04 2.09 8.23 0.64 0.11 0.03 1.81 2.39 4.28 0.67

[144] 1.31 0.00 3.51 1.27 1.26 2.93 3.76 0.05 1.44 0.21 0.03

> max(rchisq(1000, 1))

[1] 10.70115

> max(rchisq(10000, 1))

[1] 15.47877

> sum(rchisq(100000, 1)> 11.237)/100000

[1] 0.00088

> 1-pchisq(11.236, 1)

[1] 0.0008022587


Contrast chi-quadrat: Hi ha biaix a sample ? (biaix en undau?)

n = 100

O=table(sample(1:6,n, replace=TRUE))

E=n*rep(1/6,6)

T=sum(((O-E)^2)/E)

signific = 1-pchisq(T, 5)

> O

1 2 3 4 5 6

14 16 9 25 18 18

> E

[1] 16.66667 16.66667 16.66667 16.66667 16.66667 16.66667

> T

[1] 8.36

> signific

[1] 0.1374797


Distribucio t-Student

“The derivation of the t-distribution was first published in 1908 by WilliamSealy Gosset, while he worked at a Guinness Brewery in Dublin. Due toproprietary issues, the paper was written under the pseudonym Student.The t-test and the associated theory became well-known through the workof R.A. Fisher, who called the distribution ”Student’s distribution”.”WikipediaSorgeix en l’estimacio de la mitjana poblacional quan desconeixem lavariancia. La t de Student de r graus de llibertat es:

tr =Z√χ2r /r

on Z ∼ N(0, 1).


Distribucio t-Student comparada amb la Normal

Figure : Distribucio t - Student

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

X

pdf

t1t5t100Norm


Distribucio t-Student

> rt(10,4)

[1] 1.3499174 -0.7918188 1.7990769 1.0624056 0.2052549 1.3976543 -0.1952794 -1.1263405

[9] 2.0617611 0.6975450

Valor esperat: E (tr ) = 0 per r > 1 (per r = 1 no existeix)

Varianciat: V (tr ) = rr−2 per r > 2 (per r = 1, 2 infinita)

CA : 0 per r > 3 (per r = 1, 2, 3 no existeix)

Excess de kurtosis= CAp -3: 6r−4 per r > 4.


Comparacio de distribucions

Figure : Normal, ts, Cauchy

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normal, t's (df=2, and df=20) and Cauchy

densitat


Distribucio F

Tenim

F(d1,d2) =χ2d1/d1

χ2d2/d2

on les dues chi-squadrats es consdieren son independents. Els valors d1 id2 s’anomenen graus de llibertat del numerador i denominadorrespectivament.

> pf(2.4,3,24)

[1] 0.907244


Distribucio F

Figure : Distribucio F


Taula de distribucions

Figure : Taula de distribucions de probabilitat


Transformacions de v.a.

Sigui X una v.a. i Y = g(X ) amb g funcio 1-a-1 i diferenciable (d’uninterval obert I a un altre interval obert J)Aleshores,

fY (y) = fX (g−1(y))1

|g ′(g−1(y)))|, y ∈ J


. . . mes simple

Suposeu, per exemple, la v.a. X amb funcio de densitat uniforme a [0, 10].Considerem la ransformada Y = X 2. Quina es la distribucio de Y ?; es adir, quina es la seva funcio de densitat de probabilitat fY (y)?. ConeixemfX (x) que en el nostre cas es fX (x) = 1/10, x ∈ [0, 1]; fX (x) = 0 forade [0, 1]. Considereu la igualtat de masses de probabilitat seguent:

fX (x)dx = fY (y)dy

que implica

fY (y)dy = fX (x)dx

dy= fX (x)

1

y ′

De manera que, en el nostre problema,

fY (y) =1

10× 1

2x=

1

10× 2×√y=

1

20√

y, y ∈ [0, 100]

fY (y) = 0 fora de [0, 100]


Exemple

Exemple

Sigui X una v.a. amb funcio de densitat fX (x) = c · (1 + x2) si 0 < x < 1i 0 altrament.a.- Determineu el valor de la constant c.b.- Sabent que X es mes gran que 1

3 , determineu la probabilitat que siguiinferior a 2

3 .c.- Quina es la funcio de densitat de la variable aleatoria Y = X 2 + 3?


Suposem X amb fX (x) = 3x2, x ∈ [0, 1]. Considerem la transformada(no-lineal) Y = X 2. Determineu la funcio de densitat de la nova variableY . Com que tenim una transformacio g(x) = x2 monotona (bijectiva)g : [0, 1]→ [0, 1]:

fY (y)dy = fX (x)dx ⇒ fY (y) = fX (x) | 1

y ′|

⇒ fY (y) = 3x2 1

2x=

3

2x =

3

2

√y

En general, si Y = g(X ), X = g−1(Y ), amb g(.) bijectiva i continuamentdiferentiable2,

fY (y) = fX (x)× 1

|g ′(x)|= fX (g−1(y))

1

|g ′(g−1(y))|, y ∈ B

D’aquı s’en despren el metode de Monte Carlo per generar observacionsd’una distribucio qualsevol.

2C1 a un interval obert A en un altre interval obert BAlbert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 51 / 56

Metode de Monte Carlo

Si X es v.a. continua amb funcio de distribucio F (x), aleshores

U = F (X ) ∼ U[0, 1]

uniforme a [0, 1]. De manera que F−1(U) ∼ fX . 3

Si volem simular observacions de X , cal nomes simular X = F−1(U), on Ute distribucio uniforme a [0, 1].

3F (.) es diferentiable amb derivada f (.), de manera que

fU(u) = fX (x)1

|F ′(x)| = fX (x)1

|fX (x)| = 1, u ∈ [0, 1]


Metode de Monte Carlo: exemple

Obtenir 1000 observacions aleatories de X ∼ f (x) = 2x , x ∈ [0, 1]. Comque F (x) = x2, F−1(u) =

√x , de manera que X ∼

√U on U ∼ U(0, 1).

En R:

> U= runif(10)

> U

[1] 0.53739263 0.68816987 0.88647438 0.53192244 0.71055824 0.05436115 0.90868059 0.14912553

[9] 0.64718433 0.75310826

> X = sqrt(U)

> X

[1] 0.7330707 0.8295600 0.9415277 0.7293301 0.8429462 0.2331548 0.9532474 0.3861677 0.8044777

[10] 0.8678181

son 10 observacions aleatories de X. Si simulem mes observacions, podemfer un histograma


Histograme de les dades simulades

histogram of n=100000 replications of X: sqrt(runif(n))

X

Density

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure : simulacio n = 10000 ) observacions de X ∼ f (x) = 2x , x ∈ [0, 1]


Exemple de Metode de Monte Carlo.

Exemple 2: Volem bservacions aleatories de la variable X ∼ f (x) = 3x2.Tenim que U = F (x) = x3, per tant cal simplement transformar X = U1/3

les observacions U d’una distribucio uniforme. La simulacio de 10observacions de X es:

> u=runif(10)

> x=u^(1/3)

> x

[1] 0.2058851 0.7937641 0.9666047 0.7647873 0.7218360 0.5965476 0.9699959

0.4529079 0.6111965

[10] 0.9792118

>

El histograme de la simulacio de n = 10000 observacions de X es el de lafigura seguent


Histograme de les dades simulades

Histogram of y

y

Density

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Figure : Histograma (simulacio n = 10000 ) i funcio de densitat deX ∼ f (x) = 3x2


Documents

Unitat de Coordinació Acadèmica d'Economia i Empresa (UPF) - …84.89.132.1/~satorra/P/P2014L6.pdf · 2014. 11. 21. · -La distribuci o exponencial es adequada per a modelar el