Geometry – Unit 4 Targets & Info Name: This Unit’s theme – Proving Triangles Congruent Approximately October 28 – November 19 Use this sheet as a guide throughout the chapter to see if you are getting the right information in reaching each target listed. By the end of Unit 4, you should know how to…

Target found in…

Did I reach the Target?

DIAGRAMS & EXAMPLES!

Identify and use correct vocabulary: SSS, SAS, ASA, AAS, HL, CPCTC (what does it stand for), postulate, corresponding angles, equiangular, equilateral, auxiliary line, alternate interior angles, congruent triangles

Chapter 4

Determine if triangles are congruent using SSS, SAS, ASA, AAS, and HL

Chapter 4 Sections 2-3, 6 pages 226-243 258-264

Calculate the measures of sides and angles of a triangle using the isosceles triangle theorem and its converse, 180o in a triangle, and equilateral triangles

Chapter 4 Section 5, pages 250-256

Prove triangles are congruent by providing statements and reasons to complete a partially completed two column proof

Chapter 4

Complete a blank two column proof about congruent triangles using given information and a diagram.

Chapter 4 Section 7 Pages 265-271

Lesson  1:    Congruent  Figures  and  Triangles    Classifying  Triangles:        

I. Side  Lengths                 Equilateral       Isosceles         Scalene      

II. Angle  Measurements                   Acute       Equiangular       Right       Obtuse      Be  as  specific  as  possible:        Classify:            Right  and  Isosceles  Triangles:                        Given:          ABC,  AB  ||  CD    Prove:    m∠1+ m∠2 + m∠3 = 180                    

1   2  

3  4   5  

A   B  

C   D  

Statements   Reasons  

Theorem:    The  sum  of  the  interior  angles  of  a  triangle  is  180o.    

Corollary:    The  acute  angles  of  a  right  triangle  are  complementary.                                      Congruence  in  Triangles:                        Writing  Corresponding  Parts:        Proving    Triangles  are  Congruent:                                  p.  222  10  –  20,  30  –  34,  36,  38  –  40,  45,  54,  57,  58,    

1  2  

3  

Theorem:    The  measure  of  an  exterior  angle  of  a  triangle  is  equal  to  the  sum  of  the  measures  of  the  two  nonadjacent  interior  angles.    

Lesson  1  Practice:    Congruent  Figures  and  Triangles    

Lesson  2:    Proving  Triangles  are  Congruent  Using  SSS,  SAS,  ASA,  AAS    Congruent  Triangles        All  six  parts  of  a  triangle  are  exactly  the  same  as  the  corresponding  six  parts  of  another  triangle    Ex:                XWY  ≅          YZX  

     Ways  to  Prove  Two  Triangles  Congruent  

 1)    SSS  (Side-­‐Side-­‐Side)      If  three  sides  of  one  triangle  are  congruent  to  the  corresponding  three  sides  of  another  triangle,  then  the  two  triangles  are  congruent.    2)    SAS  (Side-­‐Angle-­‐Side)      If  two  sides  and  the  included  angle  of  one  triangle  are  congruent  to  the  two  sides  and  the  included  angle  of  another  triangle,  then  the  two  triangles  are  congruent.      3)    ASA  (Angle-­‐Side-­‐Angle)      If  two  angles  and  the  included  side  of  one  triangle  are  congruent  to  two  angles  and  the  included  side  of  another  triangle,  then  the  two  triangles  are  congruent.        4)    AAS  (Angle-­‐Angle-­‐Side)      If  two  angles  and  a  non-­‐included  side  of  a  triangle  are  congruent  to  two  angles  and  the  non-­‐included  side  of  another  triangle,  then  the  two  triangles  are  congruent.                        

Z  X  

Y  W  

Name  the  included  angle  between  the  pair  of  sides  given.    1)    AB  and  CB    2)    DC  and  BD    3)    AE  and  CE    Determine  if  there  is  enough  information  to  prove  the  triangles  congruent.    If  yes,  then  state  the  postulate  or  theorem  that  would  prove  them  congruent.  

 4)                     5)                  6)                          

       

Statements   Reasons

A   B  

C   D  

E  

A   B  

C   D  

M  N  

P  

Q  

R  

X  

Y  

Z  

W  

V  

Given:     AB ≅ CD,AB CD    Prove:     ABC ≅CDA   1  

2  

A  

B  

D  

C  

   Is  it  possible  to  prove  the  triangles  congruent?    If  yes,  state  what  postulate  or  theorem  you  would  use  to  prove  it.    7)             8)                9)         10)                Given:    AD  ||  EC,  BD  ≅  BC  Prove:            ABD  ≅          EBC    Statements     Reasons                

1   2  

3  4  

A  

B  

C  

D  E  

Lesson  2  Practice:    Proving  Triangles  are  Congruent  Using  SSS,  SAS,  ASA,  AAS

Lesson  3:    Using  Congruent  Triangles    

𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝑋𝑌𝑍  

 

 

 

∠𝐴 ≅   ________     ∠𝐵 ≅  ________     ∠𝐶 ≅  ________  

𝐴𝐵 ≅    _________   𝐵𝐶 ≅    _________   𝐴𝐶 ≅    ________  

 

CPCTC:  

Corresponding  Parts  of  Congruent  Triangles  are  Congruent  

 

 

 

Given:    𝐹𝐿||𝐻𝑊,𝐹𝑌 ≅𝑊𝑌  

Prove:    𝐹𝐿 ≅𝑊𝐻  

 

 

  Statements           Reasons  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A  

B  C  X  

Y   Z  F  

L  

Y  

H  

W  

 

Auxiliary  Line:    a  line  added  to  a  picture  to  help  with  a  proof  

Given:    𝛥𝐹𝐺𝐻  is  an  isosceles  triangle  with  vertex  ∠𝐺  

Prove:    ∠𝐹 ≅∠𝐻  

 

  Statements           Reasons  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ISOSCELES  TRIANGLE  THEOREM:      If  two  sides  of  a  triangle  are  congruent,  then  the  angles  opposite  from  those  two  sides  are  also  congruent.                            x  =  ____________     y  =  _____________         x  =  ____________     y  =  _____________                       z  =  ____________    

G  

H  F  

xo  

yo  

65o  xo  

xo  

zo  

THEOREM    If  a  triangle  is  equilateral,  it  is  also  equiangular.        Given:    ∠𝐹 ≅ ∠𝐻    Prove:    𝐹𝐺 ≅ 𝐻𝐺                CONVERSE  OF  THE  ISOSCELES  TRIANGLE  THEOREM    If  two  angles  of  a  triangle  are  congruent,  then  the  sides  opposite  those  two  angles  are  also  congruent.                            

x  =  __________                 x  =  __________    

                         If  a  triangle  is  equiangular  it  is  also  equilateral.        

G  

H  F  

63o   63o  

5x  –  8    2x  +  7  4x  -­‐  6  

14  

18  

12  

y  

x  

x  =  __________      y  =  __________      z  =  __________  

Given:    ∠1 ≅ ∠2,∠3 ≅ ∠4    Prove:    𝐹𝐺 ≅ 𝐻𝐽                           Statements     Reasons                      

1   2  

4  31  

F1  

J1  

H  G  

Lesson  3  Practice:    Using  Congruent  Triangles    

                    1.   x  =  __________         2.   x  =  __________                   y  =  __________                                 3.   x  =  __________         4.   x  =  __________           y  =  __________           y  =  __________         z  =  __________                             5.   x  =  __________         6.   x  =  __________                      

40°  

x°   y°  4x  +  12  

5x  -­‐  2  6x  -­‐  4  x°  

y°  z°  

x°  

y°  65°  

(3x)°  

x°  

100°   x°  60°  60°  

75°  

  7.   Given:       AB  ≅  AC  

      AD  bisects  ∠BAC  

    Prove:     BD  ≅  CD  

 

        Statements     Reasons       1.   AB  ≅  AC     1.         2.   ∠B  ≅  ∠C     2.         3.   AD  bisects  ∠BAC   3.           4.   ∠1  ≅  ∠2     4.         5.   ΔABD  ≅  ΔACD   5.         6.   BD  ≅  CD     6.             8.   Given:       ∠1  ≅  ∠4         Prove:     AB  ≅  AC                 Statements     Reasons                        

D  B   C  

A  

1   2  

C  B  4  3  2  1  

A  

  9.   Given:       RV  ||  ST           QS    ≅  QT         Prove:     ∠1  ≅  ∠3           Statements     Reasons                                             10.   Given:    ∠ ≅∠ ∠ ≅∠1 2 3 4,       Prove:          BCE  ≅        DCE               Statements     Reasons                                

4  

3  

2  

1   V  R  

S   T  

Q  

1  2  

3  4   A  

B  

C  

D  

E  

Lesson  4:    Hypotenuse-­‐Leg  Theorem    

Can  you  prove  that  the  triangles  below  are  congruent?  

                 

Hypotenuse  Leg  Theorem  (HL)    If  the  hypotenuse  and  a  leg  of  a  right  triangle  are  congruent  to  the  hypotenuse  and  a  leg  of  a  second  right  triangle,  then  the  two  triangles  are  congruent.  

   

Are  the  following  triangles  congruent?    If  they  are,  state  the  reason  you  would  use  to  prove  them  congruent.      

              1.   __________   2.   __________   3.    ____________    

              4.   __________   5.   __________   6.    ___________  

A  

B  C  

X  

Y   Z  

RQ

P

S

RQ

P

S

 PLEASE  NOTE:    To  use  HL  in  a  proof,  you  must  have       1)   a  right  triangle     2)   the  hypotenuses  congruent     3)   a  pair  of  corresponding  legs  congruenT  

      Given:   PR  ⊥  QR  

    PS  ⊥  QS  

    QR  ≅  QS  

  Prove:   ΔPRQ  ≅  ΔPSQ  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Given:   PR  ⊥  QR  

    PS  ⊥  QS  

    PQ  bisects  ∠SPR  

  Prove:   ΔPRQ  ≅  ΔPSQ  

 

 

y°

x°

140°

y°150° x°

60°150°(3x+15)°

(2x-15)°

(2x-10)°

Lesson  4  Practice:    Hypotenuse-­‐Leg  Theorem    Determine  if  each  pair  of  triangles  is  congruent.    If  they  are,  tell  which  postulate  or  theorem  you  could  use  to  prove  them  congruent.    Mark  the  picture  with  congruence  markings  if  necessary.                         1.   ____________   2.   ____________   3.   ____________                 4.   ____________   5.   ____________   6.   ____________                     7.   ____________   8.   ____________   9.   ____________      

 

 

 

 

  10.   ____________   11.   ____________   12.   ____________                     13.   x  =  __________   14.   x  =  __________   15.   x  =  __________             y  =  __________     y  =  __________      

Y

X

Z

W

21

K

F A

L

J

  16.   Given:   ∠W  is  a  right  angle  

      ∠Y  is  a  right  angle  

      WX  ≅  YX  

    Prove:       WZ  ≅  YZ  

 

 

    Statements     Reasons       1.   ∠W  is  a  right  angle   1.       ∠Y  is  a  right  angle       2.   ΔXWZ  and  ΔXYZ  are  right  triangles   2.       3.   WX  ≅  YX  3.       4.   XZ  ≅  XZ     4.       5.   ΔXWZ  ≅  ΔXYZ   5.           6.   WZ  ≅  YZ     6.         17.   Given:   LF  ≅  KF  

      LA  ≅  KA  

    Prove:    LJ  ≅  KJ  

 

    Statements     Reasons         1.   LF  ≅  KF     1.  

    LA  ≅  KA       2.   FA  ≅  FA     2.       3.   ΔFAL  ≅  ΔFAK   3.       4.   ∠1  ≅  ∠2     4.       5.   FJ  ≅  FJ     5.       6.   ΔFJL  ≅  ΔFJK   6.       7.   LJ  ≅  KJ     7.    

H

E

G

F

(2x - 12) ft (x + 5) ft z°y°

x°y°

x°40°

                  18.   x  =  __________   19.   x  =  __________   20.   x  =  __________             y  =  __________     y  =  __________             z  =  __________           21.   Given:   EF  ⊥  EG  

      HG  ⊥  EG  

      EH  ≅  GF  

    Prove:     ∠H  ≅  ∠F  

 

 

    Statements     Reasons          

   

 

Unit  4  Test  Review    Tell  if  each  pair  of  triangles  can  be  proved  congruent.    If  the  answer  is  yes,  state  a  reason  you  would  use  to  prove  them  congruent.    Mark  each  pictures  with  the  appropriate  congruence  signs.                       1.   ____________   2.   ____________   3.   ____________                     4.   ____________   5.   ____________   6.   ____________                     7.   ____________   8.   ____________   9.   ____________                       10.   ____________   11.   ____________   12.   ____________                        

z°

y°

x°x°6

66

(3x-10)°(x+30)°

60°3x+24

5x

y°

x°

120°

55°

x° 50°

x

37 cm

33 cm

54° 63°

x°(2x)°

(4x+10)°

(5x+5)°

y°x°25°65°

70°

y°x°

52°

87°

31°

                    13.   x  =  __________   14.   x  +  y  +  z  =  ________   15.   x  =__________                           16.   x  =  __________   17.   x  =  ____________   18.   x  =__________                           19.   x  =  __________   20.   x  =  ____________   21.   x  =____________         y  =  __________     y  =  ____________     y  =  ___________                     22.   x  =  __________   23.   x  =__________                    

432

1ZX

Y

T   F   24.   A  corollary  is  a  statement  that  is  very  easy  to  prove  from  a  theorem.    T   F   25.   A  theorem  is  a  statement  that  we  accept  without  proof.    T   F   26.   If  two  sides  of  one  triangle  are  congruent  to  two  sides  of  another  triangle,  then  the  third  

sides  are  congruent  also.    T   F   27.   An  equilateral  triangle  is  also  equiangular.    T   F   28.   We  can  draw  auxiliary  lines  in  a  diagram  to  help  us  with  a  proof.         29.   Name  5  ways  to  prove  triangles  congruent.         1.     2.     3.         4.     5.         30.   CPCTC  stands  for  ______________________________________________________       31.   The  measure  of  the  vertex  angle  of  an  isosceles  triangle  is  118°.    What  is  the  measure  of  a  base  

angle?       32.   In  ΔQRS,  ∠Q  ≅  ∠S,  QR  =  3t  +  4,  RS  =  5t  –  8,  and  QS  =  4t  –  12.    Find  t  and  the  perimeter  of  the  

triangle.         33.   Given:    XY  ≅  ZY         Prove;    ∠1  ≅  ∠4                   Statements   Reasons                              

4321

Y

QS

X

R

C

MB D

A

     34.   Given:      ∠1  ≅  ∠3           RX  ≅  RY         Prove:   ΔRXS  ≅  ΔRYS           Statements   Reasons                                           35.   Given:   AM  ≅  CM           AB  ⊥  BD           CD  ⊥  BD         M  is  the  midpoint  of  BD         Prove:   ∠A  ≅  ∠C           Statements       Reasons