113

Unidade G

Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I

Tecnologia em Construção de Edifícios IFRS – CAMPUS RIO GRANDE PROFª DÉBORA BASTOS

114

1. Taxa de variação

Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão

relacionados com taxa de variação.

Definição 1: Taxa de variação média. Considere x variável independente e y

variável dependente. Taxa de variação média de A(x1,y1) para B(x2,y2) é calculada

por:

tvm = 12

12

xx

yy

x

y

O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação (a taxa de variação

de uma reta é constante para quaisquer que sejam os pontos considerados),

velocidade e aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar

a variação da variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de

variação.

Definição 2: Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente e

y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x0,y0) para B(x,y) é a

variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende

a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x0.

tvi = 0

0

xx0z xx

yylim

x

ylim

0

Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y = f(x) e

y0 = f(x0), e:

tvi = 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

ou tvi =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo t

segundos após seu lançamento.

t(seg) 0 0,5 1 1,5 2

h(m) 2 6,25 8 7,25 4

Calcule as seguintes velocidades médias:

(a) de t = 0,5 para t = 1 (b) de t = 1 para t = 1,5

Observação: Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em

t = 1, pois não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo

decorrido.

Exemplo: Considere que altura da bola do exemplo anterior é descrita pela função:

h(t) = -5t² + 11t + 2

Determine a velocidade instantânea da bola em t = 1s.

115

2. Derivada de f(x) num ponto

Definição 3: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que

x = x0 é:

0

0

xx0

xx

)x(f)x(flim)x('f

0

ou f’(x0) =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Se o limite existir a função é dita derivável em x = x0. Se o limite não existir,

assim, a função não é derivável em x = x = x0.

Notações: f’(x0), y’(x0), )x(dx

dy0 , )x(

dx

df0

Veremos adiante, que a derivada pode não existir, pois a definição é a partir de

limite e o limite pode não existir, ou ser infinito.

Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como

a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto. Veremos adiante outra

importante relação da derivada de uma função num ponto com geometria.

Exemplo:1. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos:

(a) x = 1

(b) x = 2

2. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x = 0.

Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelhantes, podemos definir a função

derivada f’(x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas substituir

valores de x.

3. Função Derivada de uma função

Definição 4: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio,

f é dita derivável e a função derivada f’ é a função resultante do seguinte

limite:

f’(x) = h

)x(f)hx(flim

0h

116

Observação: A definição de função derivada vem da definição da derivada em um ponto,

pois apenas precisamos considerar que não queremos mais calcular a derivada num ponto

específico x0 e sim num ponto qualquer x.

Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são:

(a) f(x) = 2

(b) f(x) = 3x + 8

(c) f(x) = x²

(d) f(x) = x

Observações:

1. A notação da função derivada e derivada num ponto é questão de trocar x0 por

x. Então função derivada podemos usar as notações f’(x), y’, dx

dy,

dx

)x(df;

2. A notação dx

dy, faz referência a definição de derivada, que é uma taxa de

variação instantânea, um quociente de y por x, no limite de x 0. Na verdade

dy, dx são conceitos independentes, dy = ylim0x

e dx = xlim0x

, chamados de

diferenciais de y e de x, respectivamente. Retornaremos a esses conceitos mais

tarde1. A derivada de uma função É a divisão dos diferenciais de y por x.

1 Disciplina de Matemática II

117

4. Interpretação geométrica da derivada

Nas figuras abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos

P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q (reta azul) e o triângulo

retângulo PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o

coeficiente angular da reta s é dado por a = tan = x

y

. Ou seja, o coeficiente

angular da reta secante é a taxa de variação média da função entre P e Q.

A reta t (vermelha) é a reta tangente

à função y = f(x) no ponto P (x0, f(x0)).

Por definição esta reta só intersecciona a

função neste único ponto.

A medida que diminuímos x, ou melhor,

fazemos x 0, observamos que Q P e

assim, no limite, a reta secante (azul) é a

reta tangente (vermelha) à função no ponto

P. Deste modo f’(x0) como limite do

coeficiente angular da reta secante, é o

coeficiente angular da reta tangente.

Acompanhe o raciocínio abaixo para entender

melhor a interpretação geométrica da derivada.

Lembre-se que a seta significa “tende a”.

Q P reta secante reta tangente

as at t00x

sa)x('f

x

ylim

x

ya

Observação: A derivada de uma função num ponto,

ou seja, a taxa de variação instantânea no ponto

x = x0 é o coeficiente angular da reta tangente

à curva no ponto P(x0,f(x0)).

Definição 5: Equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = f’(x0)(x-x0)

Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular à

reta tangente.

Definição 6: Equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = )x('f

1

0

(x-x0)

118

Exemplo 1. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da

função f(x) = -2x²+ 4x + 2 no ponto em que x = 0.

Exercício: Nas figuras acima foi usado o Geogebra2 para a função f(x) = x³ no

ponto em que x = 1. Faça a construção no Geogebra e visualize a equação da reta

tangente e normal ao ponto citado na Janela de Álgebra. Use as definições 5 e 6

e compare os resultados.

5. Funções derivadas de funções básicas

A partir dos resultados abaixo, constituiremos um formulário de derivadas.

Proposição 7: f(x) = k , k ℝ

dx

kd 0

Demonstração: Sendo f(x) = k, então f(x+h) = k. Usando a definição de função derivada.

0h

0lim

h

kklim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

CQD

Exemplo: y =

Proposição 8: f(x) = x

dx

xd 1

Demonstração: Sendo f(x) = x, então f(x+h) = x + h. Usando a definição de função derivada.

1h

hlim

h

xhxlim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

Observação: Note a notação em dx é coerente com o resultado, pois esta derivada

é a divisão de um número por ele mesmo (dx /dx), logo o resultado só pode ser 1.

Proposição 9: g(x)= af(x) dx

)x(dfa

dx

))x(af(d

Demonstração: Sendo g(x) = af(x), então g(x+h) = af(x+h). Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(falim

h

)x(af)hx(aflim

h

)x(g)hx(glim

dx

)x(dg

0h0h0h

= dx

)x(dfa

h

)x(f)hx(flima

0h

CQD

Exemplo: y = 5x

2 Baixe o programa em www.geogebra.org . O GegoGebra também possui versão para Android.

119

Proposição 10: u(x)= f(x) + g(x) dx

)x(dg

dx

)x(df

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração: Sendo u(x) = f(x) + g(x), então u(x+h) = f(x+h)+g(x+h). Usando a definição de função derivada.

h

)x(g)x(f)hx(g)hx(flim

h

)x(g)x(f)hx(g)hx(flim

dx

)x(du

0h0h

dx

)x(dg

dx

)x(df

h

)x(g)hx(glim

h

)x(f)hx(flim

h

)x(g)hx(g)x(f)hx(flim

0h0h0h

CQD

Observação: Aqui verificamos algo que podemos considerar trivial, mas não o é.

A derivada da soma é a soma das derivadas, mas a derivada do produto NÃO É o

produto das derivadas, muito menos a derivada do quociente é o quociente das

derivadas.

Exemplo: f(x) = 8x +

Proposição 11: f(x) = xn

dx

xdn

nxn-1

Exemplo: Faça as derivadas das funções abaixo por definição.

1. f(x) = x³

2. f(x) = x4

3. f(x) = x5

120

Observação: Todas essas funções com n natural tem um padrão que podemos

generalizar segundo a demonstração abaixo para este caso.

Demonstração: Considere o binômio de Newton

bba1-n

n...ba

3

nba

2

n+ ba

1

n + a=b)+(a

n1-n33-n22-n1-nnn

e que

k

n é o número do Triângulo de Pascal que está situado na linha n e na coluna k. Assim n

1n

n

1

n

.

Sendo f(x) = xn, então f(x+h) = (x+h)n e por sua vez :

(x + h)n= hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

n1-n33-n22-n1-nn

Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

x-hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

lim

nn1-n33-n22-n1-nn

0h

=

h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn

lim

n1-n33-n22-n1-n

0h

=

h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ nxh

lim

1n2-n23-n2-n1-n

0h

=

1n2-n23-n2-n1-n

0h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ nxlim nxn-1 CQD

Exemplo: f(x) = 4x³ - 3x + 5

Proposição 12: u(x) = f(x).g(x) dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração:

Anulam-se.

0 0 0 0

121

Sendo u(x) = f(x).g(x), então u(x+h) = f(x+h).g(x+h). Usando a definição de função derivada.

h

)x(g)x(f)hx(g)hx(flim

dx

)x(du

0h

=

h

)x(g)x(f)x(g)hx(f)x(g)hx(f)hx(g)hx(flim

0h

=

h

)x(f)hx(f)x(g)x(g)hx(g)hx(flim

0h

=

h

)x(f)hx(f)x(glim

h

)x(g)hx(g)hx(flim

0h0h

=

dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

h

)x(f)hx(flim)x(g

h

)x(g)hx(glim)x(f

0h0h

. CQD

Exemplo:1. h(x) = 4x2³xx

2. u(x) = (x2-3x+1)2

Proposição 13: f(x) = senx xcosdx

)senx(d

Demonstração: Sendo f(x) = senx, então f(x+h) = sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x). Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()x(senlim

h

)x(sen)xcos()h(sen)hcos()x(senlim

0h0h

h

)xcos()h(senlim

h

1)hcos()x(senlim

0h0h

1)xcos(1)hcos(

1)hcos(

h

1)hcos(lim)x(sen

0h

=

)xcos(1)hcos(h

)h(senlim)x(sen

2

0h

)xcos(

1)hcos(

)h(sen

h

)h(senlim)x(sen

0h

xcos0)senx(xcos1)hcos(

)h(senlim)x(sen

0h

= cosx CQD

0 Exemplos: 1. h(x) = (x+1).senx

Somar ZERO

Colocar f(x+h) em evidência Colocar g(x) em evidência

Fundamental do seno!!!

Fundamental do seno!!!

122

2. h(x) = sen2x

Proposição 14: f(x) = cosx senxdx

)x(cosd

Demonstração: Sendo f(x) = cosx, então f(x+h) = cos(x+h) = cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h). Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

)h(sen)x(sen)xcos()hcos()xcos(lim

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()xcos(lim

0h0h

h

)h(senlim)x(sen

h

1)hcos(lim)xcos(

h

)h(sen)x(senlim

h

1)hcos()xcos(lim

0h0h0h0h

=

0 (já resolvemos)

= )x(sen1)x(sen0)xcos( CQD

Exemplos: 1. h(x)=(senx).(cosx)

2. h(x)= cos2x

Proposição 15: f(x) = ax alnadx

)a(d x

x

Fundamental

do seno!!!

123

Demonstração: Sendo f(x) = ax, então f(x+h) = ax+h. Usando a definição de função derivada.

h

aaalim

h

aalim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(dfxhx

0h

xhx

0h0h

=

aln.ah

1alima

h

1aalim

x

h

0h

x

hx

0h

CQD

Exemplo: Derive a função f(x) = 1x .

Corolário 16: f(x) = ex x

x

edx

)e(d

Demonstração:

Sendo f(x) = ex, basta aplicar a proposição 15, com a = e.

xxx

x

e1eelnedx

)e(d

Proposição 17: Regra da cadeia Suponhamos que sejam deriváveis a função f(x)

e g(x) em relação à variável x, sendo elas f’(x) e g’(x), então:

dx

)x(gd)x(g

dx

df

dx

)x(fogd

Demonstração:

fog’(x)=h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

=

)x(g)hx(g

)x(g)hx(g.

h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

h

)x(g)hx(g.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

(1)

Sabemos que h

)x(g)hx(glim

0h

= g’(x). Precisamos resolver:

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h

Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+h) – g(x). Com h 0, teremos t 0. Isolando g(x+h) = g(x) + t. Substituindo isso no limite:

t

))x(g(f)t)x(g(flim

0t

. Já temos aqui o que queremos provar, mas não enxergamos. Assim, faremos o uso da notação y

= g(x) para visualizar.

t

))x(g(f)t)x(g(flim

0t

)x(g

dx

df

dx

)y(df

t

)y(f)ty(flim

0t

Voltando a (1):

dx

)x(fogd

h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

=

dx

)x(gd)x(g

dx

df CQD

Proposição do último limite fundamental!!!

124

Observação: 1. Sabendo as derivadas f’(x) e g’(x), a derivada da composta é o

produto de derivada de f, substituindo x por g(x), )x(gdx

df, por g’(x).

2. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g’(x). Ela

é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA.

Exemplo: Derive as funções abaixo:

(a) h(x) = )x5(sen

(b) u(x) = sen(x²)

(c) h(x) = sen(ex)

(d) u(x) = )x5(sen2

125

(e) h(x) = 5senx

(f) u(x) = sec(x)

(g) h(x) = cos(3x²)

(h) u(x) = sen4(cos(e2x))

126

(i) h(x) = )x5(sen

2

2

Corolário 18: Seja f(x) e g(x)=xn, considerando a função f(x) derivável, ou seja,

f’(x) existe, então a derivada da função gof(x) = g(f(x)) = f(x)n é dada por:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(x):

dx

)x(fd)x(f

dx

dg

dx

)x(gofd

Considere g(x) = xn e f(x) qualquer função de x. gof(x) =f(x)n. A derivada de g(x) é : dx

)x(dg= nxn-1, então

1n)x(nf)x(f

dx

dg . Substituindo na regra da cadeia:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:

(a) f(x)= (x2 + 1)100

127

(b) g(x)= 3²x4

(c) h(x)= 22

x3x

1

(d) u(x) = cos3(2x)

Proposição 19: u(x) = )x(g

)x(f

)²x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

)x(f

dx

d

Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso.

A proposição 12 nos diz que dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

. Nela, faremos a seguinte adaptação:

1)x(g)x(f

)x(g

)x(f . Assim substituindo na proposição 12:

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

))x(g)x(f(d

)x(g

)x(f

dx

d 1

11

. (1)

128

Conhecemos f(x) e g(x), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é a derivada de [g(x)]-1 = )x(g

1.3

Agora, usando o corolário 18, temos que

dx

)x(gd)x(g

dx

)x(gd)x(g1

dx

)x(gd 211

1

.

Precisamos voltar para a equação (1):

)x(g

)x(f

dx

d

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(g).x(f

12 =

dx

)x(df

)x(g

1

dx

)x(gd

)x(g

)x(f2

.

Neste ponto do desenvolvimento para chegar na resposta, só precisamos manipular algebricamente a expressão.

)x(g

)x(f

dx

d

222)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

dx

)x(gd)x(f

)x(g

dx

)x(fd

dx

)x(gd

)x(g

)x(f

dx

)x(fd

)x(g

1

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:

(a) f(x)= x43

1x2

(b) h(x)= tanx

(c) h(x) = )1x2cos(

31x2

3 Não podemos confundir [g(x)]-1 com g-1(x). Como por exemplo, se g(x) = ax, então

[g(x)]-1 = a-x e g-1(x)=logax. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos matemáticos

totalmente diferentes.

129

6. Derivada da Função Inversa

Funções inversas entre si tem a seguinte característica

f: A B e g: B A

y = f(x) y= g(x)

Então

gof: A A e fog: B B

gof(x)=x fog(x)=x

Veremos como calcular a derivada de uma função conhecendo a derivada de

sua inversa. Por exemplo, f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[ são funções inversas.

Vejamos: f’(x) = 2x e g’(x)= x2

1

Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f-1(x)= x

g’(x)= y2

1=

)y('f

1

Teorema 20: Teorema da função inversa Seja f: I ℝ uma função derivável e

crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) 0 para

todo x I, então f-1 é derivável em f(I) e (f-1)’(f(x))= )x('f

1.

Demonstração: Considerando a regra da cadeia para fof-1(x) = x, derivaremos cada membro da equação, o primeiro pela regra da cadeia e o segundo pela derivada de x em relação a x.

dx

)x(fd)x(f

dx

df

dx

)x(offd11

1dx

)x(fd)x(f

dx

df1

Passando f’(x) dividindo o segundo membro:

dx

)x(fd

1)x(f

dx

df1

CQD

Observação: Nota-se que o primeiro membro significa que a derivada da inversa de

f está composta com f e é isso que é o inverso da derivada de f. O que realmente

queremos é dx

)x(df1

e não )x(fdx

df1

. Para isso devemos ter conhecimento de funções

compostas.

Exemplo: Determine as derivadas das funções abaixo, pelo teorema da função

inversa.

a) f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[

130

(b) f: ℝ ℝ+∗ f-1: ℝ+

∗ ℝ

f(x)= ax f-1(x) = logax

(b) f: [0,2] [-1,1] f-1: [-1,1] [0,2]

f(x) = sen(x) f-1(x) = arcsen(x)

(c) f:

2,

2

ℝ f-1: ℝ

2,

2

f(x) = tan(x) f-1(x) = arctan(x)

131

7. Funções não deriváveis

Existem funções que não possuem

derivadas em alguns pontos e também que não

são deriváveis em nenhum ponto. Vamos

analisar a característica geométrica da

função que não é derivável em algum ponto.

Como sabemos, a derivada em um ponto

é o coeficiente angular da reta tangente

ao gráfico da função no ponto dado. Para a

derivada não existir, o limite que a define

não existe, ou seja:

0

0

xx0

0

xx xx

)x(f)x(flim

xx

)x(f)x(flim

00

O coeficiente da reta tangente que se

aproxima do ponto em que x = x0 pela

esquerda é diferente do coeficiente da reta

tangente que se aproxima pela direita.

Assim temos duas retas tangentes distintas

para o mesmo ponto.

Quando isso acontece? Observe o

gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta

tangente ao gráfico no ponto A(2,0) pela

esquerda. A reta b (vermelha) é a reta

tangente ao gráfico no ponto A pela direita. O gráfico possui um “bico” neste

ponto, assim como no ponto B(-2,0). A função f não é derivável nos pontos A e B.

Para uma função ser derivável o comportamento do gráfico não pode ter

mudanças abruptas. Outro fator que torna uma função não derivável num ponto é a

descontinuidade. Pelo mesmo motivo dos “bicos”, quando a função é descontínua

num ponto, as retas tangentes pela esquerda e pela direita deste ponto não

coincidem.

No gráfico à esquerda, a função é

descontinua no ponto O(0,0). A reta tangente à

função no ponto O pela esquerda é a reta

horizontal d (verde) e a reta tangente à função

no ponto O pela direita é a reta vertical e

(vermelha). Também não é derivável.

Proposição 21: Se a função y = f(x) não é

contínua no ponto x = x0, então f(x) não é

derivável no ponto x = x0.

Corolário 22: (Contra recíproca) A função

derivável no ponto x = x0 é contínua no ponto

x = x0

8. Derivadas Laterais

Definição 23: Derivada lateral à direita da função y=f(x) no ponto x = xo é dado por f’+(x0) = 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

.

Definição 24: Derivada lateral à esquerda da função y=f(x) no ponto x = xo é dado por f’-(x0) = 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

.

132

Importante definição para, por exemplo, determinarmos retas tangentes a curvas

em ponto com “picos”, ou em pontos de descontinuidade, cujas derivadas não

existem, mas as laterais podem existir.

Exemplos: Verifique se há pontos em que a função f(x) não é derivável.

(a) f(x) = x

(b)f(x)= 1)1x(32

133

(b) g(x) = 2

32x3

Observação: Rigorosamente o limite não sendo finito ele não existe, mas se a

derivada por infinita significa que o coeficiente angular da reta tangente é

infinito??? Sim, pois a = tan e se o ângulo correspondente a “tangente infinita” é 90º. Ou seja, quando a derivada é infinita num ponto, a reta tangente à função

nesse ponto é vertical.

9. Derivadas Sucessivas

O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a

derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada

segunda e assim por diante.

Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) "y"fdx

fd

2

2

Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) 3

3

dx

fd= f”’ = y”’

Observações:

1. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n vezes. Existem

funções que são infinitamente deriváveis e outras não existe se quer a derivada

de ordem.

2. Podemos relacionar este fato com a continuidade das funções.

3. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo. Por sua

vez, velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo, ou seja,

a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo.

Exemplo: Determine as derivadas indicadas:

134

(a) Derivada segunda de f(x)= (x2 + 1)100

(b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x))

10. Alguns exercícios

Atenção: Os exercícios aqui indicados são apenas uma amostra.

RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos para

complementar teu estudo.

Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se

existirem:

1- f(x) = x³ determine f’(1)

2- f(x) = x²+x

1 determine f’(1)

3- f(x) = x2 determine f’(2)

4- f(x) = 1²x

1

determine f’(0)

Determine a equação da reta tangente às funções abaixo, nos pontos indicados:

5- f(x) = x²- 3x – 4 no ponto em que x = -1

6- f(x) = x

1 no ponto em que x = 1

7- f(x) = 1x no ponto em que x = 5

135

8- Um projétil é lançado de um penhasco de 122,5 metros de altura. O

deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é

descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do

projétil nos instantes:

(a) t = 0 s (b) t = 1 s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo.

Determine as funções derivadas das funções abaixo:

9- f(x) = 3x(8x³-2)

10- g(x) = 3²x

1x

11- h(x) = 3 2x7²x6

12- f(x) = e(x³+2)³

13- g(x) = )1x2ln(

1x2

14- h(x) = 1x

ex

15- f(x) = 4

x21

1x3

16- g(x) = x11

17- h(x) = cos(4x²-1)

18- f(x)=

2

9x4²sen

19- g(x)=ln(cos(5x))

20- h(x) = tan(x)

21- f(x) =

x4²x3

senxln

22- g(x) =

2

xe

²x9ln

23- h(x) = (3x²+5)4x+1

24- f(x) = )x5(tan12