Unidad Legaria UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIONES EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA

Unidad Legaria

UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta: Octavio Augusto Briceño Silva

Directora de Tesis Dra. Gabriela Buendía Ábalos

México, D. F., marzo de 2014.

Autorización de uso de obra

Instituto Politécnico Nacional P r e s e n t e Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Octavio Augusto Briceño Silva (se anexa

copia simple de identificación oficial), manifiesto ser autor y titular de los derechos

morales y patrimoniales de la obra titulada Una Secuencia de Modelación para la

Introducción Significativa de la Función Cuadrática, en adelante “La Tesis” y de la

cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el artículo

27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto

Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y

exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La Tesis” por un periodo

de (diez años) contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se

renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.

En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de

autor de “La Tesis”.

Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente

autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por

lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La

Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales,

secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier

derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y

económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.

México, D.F., 12 de marzo de 2014. Atentamente

____________________________


ÍNDICE

RESUMEN ....................................................................................................................... 5

ASTRACT ........................................................................................................................ 6

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 7

CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES ............................................................................ 12

1.1 El problema de investigación .............................................................................. 12

1.2 Antecedentes ....................................................................................................... 18

1.2.1 La modelación y función cuadrática ............................................................ 19

1.2.2 Otros estudios sobre función cuadrática ...................................................... 24

1.3 Aspectos variacionales de la función cuadrática ............................................. 27

1.4 La investigación ................................................................................................. 32

1.4.1 Objetivos .................................................................................................... 35

CAPÍTULO 2 ESTADO DEL ARTE ........................................................................ 37

2.1 La modelación .................................................................................................... 37

2.1.1 La modelación en el ambiente escolar .......................................................... 41

2.1.2 La modelación como competencia ............................................................... 45

2.1.3 La modelación en Colombia ......................................................................... 46

2.1.4 El papel de las gráficas en la modelación ..................................................... 48

2.1.5 Reflexión....................................................................................................... 52

2.2 La función cuadrática ......................................................................................... 54

2.2.1 La función cuadrática y la modelación ......................................................... 54

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO ........................................................................... 62

1


3.1 La modelación con un enfoque socioepistemológico ......................................... 62

3.2 Prácticas, resignificación y modelación ............................................................. 66

CAPÍTULO 4 EXPERIMENTOS DE DISEÑO ....................................................... 72

4.1 Descripción metodológica de los experimentos de diseño ................................. 72

4.2 La importancia de la investigación ..................................................................... 77

4.3 Cuestionario diagnóstico ..................................................................................... 80

4.3.1 Planeación cuestionario diagnóstico .................................................................. 83

4.3.2 Metodología prueba diagnóstica ......................................................................... 84

4.3.3 Análisis del cuestionario diagnóstico ................................................................. 85

4.4 Malla de análisis ................................................................................................. 93

4.5 Diseño de las secuencias ..................................................................................... 97

4.5.1 Secuencia 1 ............................................................................................... 101

4.5.2 Secuencia 2 ............................................................................................... 109

4.6 Aspectos metodológicos ................................................................................... 119

4.6.1 Planeación: secuencia 1 ........................................................................... 119

4.6.2 Planeación: secuencia 2 ........................................................................... 121

4.7 Descripción de la experiencia ........................................................................... 124

4.7.1 Secuencia 1 .............................................................................................. 125

4.7.2 Secuencia 2 .............................................................................................. 131

CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 1 ........................... 140

5.1 El tiempo como variable independiente ............................................................ 140

2


5.2 Uso de la gráfica: puntos clave ......................................................................... 145

5.3 Uso de la gráfica: intervalos ............................................................................. 153

5.4 Uso de tablas: secuencia numérica ................................................................... 161

CAPÍTULO 6 ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 2 ........................... 164

6.1 El tiempo como variable independiente ............................................................ 164

6.2 Uso de la gráfica: puntos clave ......................................................................... 171

6.3 Uso de la gráfica: intervalos ............................................................................. 179

6.4 Uso de tablas: secuencia numérica ................................................................... 187

6.5 Síntesis final ...................................................................................................... 191

COMENTARIOS FINALES ...................................................................................... 195

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................... 200

ANEXOS ...................................................................................................................... 212

LISTADO DE FIGURAS (fotografías) Y TABLAS1

Tabla 1. Perspectivas de modelación según Blomhøj (2008) .......................................... 38

Figura 1. Etapas de la modelación de acuerdo a Rodríguez (2007) ................................ 40

Figura 2. Representación de gráficas ............................................................................... 86

Figura 3. Esbozo de una gráfica lineal ............................................................................ 87

Figura 4. Trayectoria de un auto en línea recta ............................................................... 88

Figura 5. Trayectoria de un auto en una montaña ........................................................... 89

Figura 6. Argumentos verbales para describir una gráfica .............................................. 92

Figura 7. Movimiento de un auto de un punto (B) a otro (C) ....................................... 101

Tabla 2. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales ............................... 102

1 Las figuras expuestas en el capítulo 5 y 6 no son mencionadas en el índice, puesto que se especifican claramente en el capítulo y son parte del contexto de análisis

3


Figura 8. Movimiento del objeto verticalmente ............................................................ 110

Tabla 3. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales ............................... 112

Figura 9. Distribución de los estudiantes en el aula ...................................................... 121

Figura 10. Lanzamiento de la pelota con regleta ........................................................... 123

Figura 11. Toma de medidas directamente del applet ................................................... 126

Figura 12. Gestos con sus manos para indicar el movimiento del auto ........................ 127

Figura 13. Tomando mediciones ................................................................................... 128

Figura 14. Simulación utilizando el software de GEOGEBRA .................................... 128

Figura 15. Gráficas con pendiente positiva ................................................................... 129

Figura 16. Trazos realizado por estudiantes .................................................................. 130

Figura 17. Gráfica en el segundo cuadrante ................................................................. 130

Figura 18. Gráfica del movimiento del auto, pero separado la ida del regreso ............. 131

Figura 19. Lanzamiento de dos pelotas ......................................................................... 132

Figura 20. Movimientos de las manos realizada por los estudiantes............................. 132

Figura 21. Pruebas realizadas por los estudiantes para obtener la trayectoria y los puntos

clave ............................................................................................................................... 133

Figura 22. Gráfica con tiempo en la vertical ................................................................. 134

Figura 23. Explicación sobre el movimiento de la pelota ............................................. 135

Figura 24. Uso de implementos para tomar medidas .................................................... 135

Figura 25. Gráficas de ida y de vuelta ........................................................................... 136

Figura 26. Uso del applet de geogebra sobre el lanzamiento vertical .......................... 137

Figura 27. Tablas y toma de datos ................................................................................. 138

Figura 28. Gráfica en el segundo cuadrante .................................................................. 138

Figura 29. Gestos de poco entendimiento ..................................................................... 139

4


RESUMEN

La inquietud que surge en muchos investigadores en matemática educativa donde

constantemente hay un mundo cambiante en conocimiento y tecnología, ha llevado a

buscar alternativas de enseñanza como las didácticas que muestren los caminos y

permitan que el proceso enseñanza aprendizaje se logre de manera significativa.

Esta investigación fortalece el proceso didáctico dando a conocer secuencias didácticas

donde la modelación como práctica es el medio para obtener conocimiento matemático

escolar sobre la función cuadrática y sus aspectos variacionales (el tiempo como

variable independiente; uso de la gráfica a través del reconocimiento de puntos clave;

uso de la gráfica a través de intervalos y uso de tablas por medio de secuencias

numéricas). La aplicación a estudiantes de comienzos del bachillerato permite que

ellos interactúen entre sí, con el medio y el profesor, para que surjan compendios que

aporten al proceso enseñanza aprendizaje de la función cuadrática.

La investigación tiene en cuenta la práctica de modelación, pero además es enriquecida

y fortalecida por las contribuciones que se obtienen al usar Design Experiment (Cobb

et al. ,2003) como un aporte de la metodología y donde el marco teórico que sustenta la

investigación es la socioepistemología.

5


ABSTRACT

The concern that arises in many researchers in mathematics education where there is a

constantly changing world where knowledge and technology has led to seek alternative

teaching as didactic, showing roads and allow the teaching-learning process is achieved

significantly.

This research strengthens the learning process revealing didactic sequences where

practice is modeling as a means to obtain knowledge of school mathematics quadratic

function and its variational aspects (time as an independent variable, use of graphics

through recognition of key points, use of the graph through intervals and by using tables

of numerical sequences). The application of sequences early high school students,

allows them to interact with each other, with the environment and the teacher, so that

schemes that contribute to the teaching-learning process of the quadratic function arise.

The research takes into account the practice of modeling, but also is enriched and

strengthened by the contributions obtained by using Design Experiment (Cobb et al.,

2003) as a contribution to the methodology and where the theoretical framework

underpinning the research is the socioepistemology.

6


INTRODUCCIÓN

La necesidad de estructurar didácticas donde el estudio de la matemática se lleve fuera

de las cuatro paredes del aula estableciendo una interacción con el medio es una de las

ideas que enmarcan algunos investigadores para el proceso enseñanza aprendizaje de la

matemática. La práctica de modelación ofrece las herramientas necesarias para

establecer ese vínculo entre contextos diferentes a los establecidos en libros de texto y

en el discurso matemático escolar. La importancia de buscar alternativas de enseñanza

que propicien en nuestros estudiantes aprendizajes significativos en matemática,

rompiendo esos paradigmas donde consideran a la matemática como algo inalcanzable o

muy difícil de entender, nos lleva a retomar la modelación como práctica para obtener

los objetivos y llegar a las metas propuestas.

En el trabajo de investigación se toma la modelación como práctica porque permite

considerar argumentos, herramientas y significaciones. En la práctica de modelación

modelar es traer la realidad al aula en el sentido en que hay un conocimiento científico y

conocimiento escolar. Modelar significa generar una relación significativa y articulada

entre elementos de ambos mundos. Tomando casos concretos como los que se

desarrollan a través de la tesis, se sabe que los estudiantes modelaron, cuando

relacionan la forma de variar el fenómeno y los modelos matemáticos que se enseñan

en la escuela, de esta manera están dando significados a elementos que están formando

o llevando a que se desarrolle esta relación. O cuando se tiene un elemento del

conocimiento científico como las trayectorias visibles a la imaginación (conocimiento

científico) con un elemento como las gráficas cartesianas y las tablas (conocimiento

7


escolar), modelaron cuando el estudiante es capaz de desarrollar, proponer y articular

elementos, que favorecen esta relación es decir que se estén generando bases de

significados para estas relaciones. En el ejercicio intencional de la práctica de

modelación esas bases de significados para las relaciones del conocimiento científico y

el conocimiento escolar se dan para su desarrollo. Es decir para que con ellas se pueda

introducir elementos necesarios para llegar a la resignificación de la función cuadrática.

En la presente investigación se pretende dar a conocer secuencias de aprendizaje donde

se le da al estudiante un conjunto de significados, que provienen de haber puesto

intencionalmente actividades de modelación y dejar que los conocimientos matemáticos

se transformen en herramientas y argumentos, para estudiantes de un curso intermedio

del bachillerato entre 12 y 13 años. También se acreditará que a través de la práctica de

modelación puedo analizar aspectos variacionales de la función cuadrática tales como:

el tiempo como variable independiente; el uso de la gráfica en intervalos; el uso de la

gráfica en puntos clave y el uso de tablas.

En el ambiente escolar vivido en el aula los estudiantes realizan y experimentan

acciones como seres humanos que a través de la modelación como práctica y utilizando

la metodología adecuada son capitalizadas para crear ambientes ricos en significados.

Las expresiones, los gestos, las interacciones entre pares y profesor, los trabajos escritos

y todas aquellas acciones que realiza el estudiante son utilizadas para enmarcar un

conocimiento significativo sobre la función cuadrática en sus aspectos variacionales.

En la investigación los experimentos de diseño mirados desde una perspectiva de ayuda

metodológica son un aporte en el desarrollo del trabajo, porque brindan junto con la

práctica de modelación las herramientas y los argumentos para llegar a los objetivos

propuestos en la investigación.

8


La propuesta de secuencias didácticas de modelación para la introducción de la función

cuadrática en estudiantes donde el conocimiento del concepto es muy elemental por su

edad escolar es bastante probable que de sus frutos y se logren los objetivos como se

demuestra en esta investigación. Las secuencias propuestas están dirigidas y

organizadas de una manera que cualquier estudiante con o sin conocimientos previos

pueda realizarla. Dichas secuencias están estructuradas para llegar a entender que

cuando se habla de introducción significativa de la función cuadrática se refiere a

generar bases ricas de significados.

La investigación se estructura de una manera en que el lector pueda relacionar cada uno

de los capítulos e interactuar de forma adecuada con ellos.

CAPÍTULO 1. Titulado antecedentes, es aquí donde se determina la problemática de

investigación que se establece como la ausencia de herramientas didácticas que aborden

en forma introductoria el estudio de la función cuadrática en sus aspectos variacionales

para estudiantes que comienzan el trascurrir hacia el precálculo. Se prosigue con los

antecedentes que incluyen la modelación y la función cuadrática enmarcada en esta

práctica. Aparece también en el capítulo un recuento de los aspectos variacionales a

tratar de la función cuadrática y donde el pensamiento variacional es tomado como

aquel que interactúa con los demás pensamientos, el numérico, el estadístico, el

geométrico. Se mencionan los cuatro aspectos variacionales sobre los cuales se realiza

la investigación. Tiempo como variable independiente, Uso de la gráfica: intervalos,

Uso de la gráfica: puntos clave, Uso de tablas: secuencia numérica. Termina el

capítulo con una explicación sobre los fundamentos de la investigación.

9


CAPÍTULO 2. Titulado el estado del arte, donde se comenta lo relacionado con la

modelación como práctica en el ambiente escolar, la modelación como competencia, la

situación de la modelación en Colombia, el papel de las gráficas en la modelación y una

breve reflexión sobre la modelación. Seguidamente se describen algunas investigaciones

sobre función cuadrática teniendo como práctica la modelación.

CAPÍTULO 3. Titulado el marco teórico, en este capítulo se comenta la modelación

con un enfoque socioepistemológico y este enfoque se muestra como una teoría basada

en el reconocimiento de prácticas entre ellas la modelación. También se profundiza un

poco sobre la resignificación en matemática y modelación como práctica.

CAPÍTULO 4. Titulado los experimentos de diseño, en él se describen los experimentos

de diseño relacionado como metodología y que para nuestra investigación fortalece la

práctica de modelación porque brinda herramientas metodológicas que son

aprovechadas en el trabajo desarrollado. Seguidamente se hablará de la importancia de

la investigación y lo interesante de la propuesta. Inmediatamente después se tomará lo

relacionado con el cuestionario diagnóstico, el diseño, la metodología utilizada y el

análisis del cuestionario. Después se trata la malla de análisis con cada uno de los

aspectos variacionales nombrados en el capítulo 1, pero retomados nuevamente aquí.

Posteriormente se comenta el diseño de cada una de las secuencias con el análisis a

priori de cada una de ellas. Seguidamente aparecen los aspectos metodológicos donde

toma la planeación hacia la puesta en escena de cada una de las secuencias. Luego se

describe la dinámica que se llevó a cabo en la puesta en escena, donde se muestra las

reacciones, acciones, gestos, interacciones y trabajo de los estudiantes.

10


CAPÍTULO 5. Titulado análisis de resultados de la secuencia 1, en él se mostrará todos

los resultados de la primera puesta en escena de la secuencia con las opiniones de los

estudiantes, argumentaciones y respuestas. El análisis se realizó teniendo en cuenta los

aspectos variacionales de la función cuadrática nombrados en el capítulo 1. Para esto se

toman las preguntas que se relacionaron con cada uno de los aspectos variacionales y se

analizan las respuestas dadas por los grupos.

CAPÍTULO 6. Titulado análisis de resultados de la secuencia 2, en él se mostrará todos

los resultados de la puesta en escena de la secuencia con las opiniones de los

estudiantes, argumentaciones y respuestas. El análisis se realizó teniendo en cuenta los

aspectos variacionales de la función cuadrática nombrados en el capítulo 1. Para esto se

toman las preguntas que se relacionaron con cada uno de los aspectos variacionales y se

analizan las respuestas dadas por los grupos.

COMENTARIOS FINALES. En él se hacen comentarios referentes a la investigación

desarrollada que redundarán en seguir ampliando los diferentes aspectos de la

investigación.

11


CAPITULO 1

ANTECEDENTES

La función cuadrática como objeto de enseñanza en toda institución educativa y que

progresivamente se tomará como referencia para situaciones problema planteadas es el

objeto de estudio en esta investigación. Este capítulo mostrará los fundamentos del

porqué se desarrolla la investigación, que prácticas escolares se pueden poner en juego,

los aspectos variacionales en la función cuadrática (nos centraremos en reconocer los

aspectos variacionales de la función cuadrática a través de investigaciones referidas a

este pensamiento matemático) y por último hacia dónde se dirige la investigación.

Todo enmarcado en la práctica de modelación en el ámbito socioepistemológico. Con

base en lo anterior formularemos nuestros objetivos.

1.1 El problema de investigación

La enseñanza del concepto de función trigonométrica, exponencial, logarítmica, y en

especial las polinómicas lineal y cuadrática tiene relevancia especialmente en los

últimos grados del bachillerato (estudiantes entre los 15-17 años) y a comienzos de los

cursos universitarios. Pero si se quiere mirar el conocimiento sobre funciones que un

estudiante ha adquirido lo podemos observar en los niveles universitarios, donde el

estudiante retoma en profundidad los conceptos mostrados en el bachillerato y puede a

12


través de la modelación tomar casos de la vida real y aplicarlos a la matemática. Desde

inicios de los estudios secundarios, los estudiantes están expuestos a la enseñanza de

funciones comenzando con la lineal, cuadrática, polinómica, y ampliándose a las demás

a medida que avanza en los diferentes grados; debido a la manera de realizar el proceso

enseñanza aprendizaje muchos estudiantes terminan el bachillerato sin tener un

conocimiento claro de la variabilidad de las magnitudes que conforman la función; de

las diferentes relaciones que se pueden dar; cómo las puedo correlacionar con el mundo

real; cómo usarlas en las prácticas de modelación.

Dentro del trabajo de aula muchos profesores aplican nuevas alternativas o estrategias

que nos ayudan en el discurso matemático para la enseñanza de la función cuadrática.

Uno de estos casos es el trabajo presentado por Gómez y Carulla (2001) que nos

presentan una investigación en el campo de la matemática educativa, y su propuesta

hace relación a modelos pedagógicos para la enseñanza de la matemática. Proponen dos

herramientas que pueden aportar a una mayor comprensión de las matemáticas escolares

y a la construcción de estrategias para abordar los problemas a los que nos enfrentamos

en el aula de clase de matemáticas. Se trata de los sistemas de representación y los

mapas conceptuales. Como ejemplo para observar la aplicación de estas herramientas

toman la función cuadrática y con ella como concepto a tratar se organiza un mapa

conceptual teniendo en cuenta en establecer en dos bloques mayoritarios como las

representaciones y las aplicaciones. Las representaciones se subdividen en simbólicas y

geométricas y las aplicaciones en física, química, sociales, matemáticas y otras. El

trabajo se centra en el estudio del contenido matemático, pero con intención de servir de

base para explorar, analizar, y producir estrategias que aborden la problemática de la

enseñanza y aprendizaje del tema.

13


Para nuestra investigación este estudio me guía en cómo ligar las representaciones con

la práctica de modelación y qué clase de fenómenos puedo utilizar con más simplicidad

para realizar la propuesta.

El Ministerio de Educación Nacional (2006) nos dice en uno de sus apartes que es

necesario diseñar situaciones matemáticas donde el estudiante pueda tomar decisiones,

exponer sus criterios, establecer discusiones, proponer nuevos argumentos para un

mejor proceso enseñanza aprendizaje. Todavía en algunos colegios se sigue enseñando a

los estudiantes definiciones y algoritmos matemáticos sin ninguna relación entre el

discurso escolar y lo que el joven observa en el mundo que se mueve y se desenvuelve.

Nuestra investigación se encamina a brindar unas secuencias que propiciará alternativas

de discusión en la enseñanza de los aspectos variacionales de la función cuadrática en

un contexto real (fenómenos ida y vuelta de un auto, lanzamiento vertical de una

pelota).

En particular el aprendizaje de función cuadrática en los grados octavo y noveno (13-14

años) se rige por los estándares básicos de competencias del Ministerio de Educación

Nacional (2006) los cuales son organizados y detallados en el currículo de matemática

de las instituciones. La enseñanza del concepto de función cuadrática no es sencilla; el

tener en cuenta sus variaciones en el plano cartesiano, cómo puedo interpretar el

fenómeno propuesto para llegar al modelo, las diferentes relaciones que se pueden dar

como tabla-gráfica, toma de datos- fenómeno, variable independiente-dependiente,

magnitudes entre otras. Esto puede causar desánimo en algunos estudiantes como en

profesores. Nuestra investigación brinda algunas luces para que el estudiante ponga en

14


juego herramientas y argumentos variacionales de la función cuadrática, teniendo como

práctica la modelación enmarcada en la teoría socioepistemológica.

Oaxaca y Valderrama (sf) nos comentan como conclusión en su reporte, la manera

como se enseña la matemática en el aula de clase. Referente a la función cuadrática nos

dicen que el profesor induce al estudiante a conocer las formas de la ecuación cuadrática

olvidándose de sus representaciones geométricas en la obtención de la ecuación

partiendo de la gráfica. Continúan diciendo que de esta misma manera están diseñados

los libros de texto, manejando un pensamiento analítico- aritmético, dando solo una

introducción a sus representaciones de situaciones gráficas y la solución de los

problemas es de forma algorítmica para que el estudiante solamente memorice o

mecánicamente aplique los métodos matemáticos para la solución de las situaciones

problema planteadas.

El concepto de función a través del bachillerato es visto y tratado con regularidad. Se

extiende hacia los niveles tecnológicos y universitarios donde se amplía la visión de

aplicación, donde su gran importancia como herramienta modeladora de distintos

fenómenos matemáticos, físicos, químicos, económicos entre otros, permite que sea

usada en variadas situaciones problema, debido a la multiplicidad de sus

representaciones en diferentes contextos y a su forma algorítmica.

El estudiante de hoy en día tiene otra visión del mundo totalmente diferente al que se

tenía alguna década atrás, necesita otras alternativas de aprendizaje que lo ubiquen y le

hagan entender de mejor manera su vida, su aprendizaje, para qué de las cosas, porqué y

para qué aprender matemática. Existe una ausencia de herramientas didácticas

(propuestas didácticas) que aborden la función cuadrática más allá de ejercicios

15


rutinarios y de aplicaciones aisladas, donde aspectos cognitivos, epistemológicos y

prácticas escolares deben ser afrontados para que aporten a una mayor comprensión de

las matemáticas escolares dentro del aula de clase. Es necesario en nuestro ambiente

educativo realizar propuestas didácticas donde la práctica de modelación se haga

presente en los diseños y planificación de las actividades. Esto lo podremos observar en

el capítulo referente al diseño y puesta en escena que veremos más adelante.

En la enseñanza de la función cuadrática y en especial cuando se toma el tema de lo

variacional, surgen dificultades para obtener conocimiento sobre el comportamiento de

la función referente a la variación de una de sus variables. Dolores (1996) nos comenta

que en condiciones ordinarias de enseñanza el desarrollo del pensamiento y lenguaje

variacional, en especial del análisis del comportamiento de las funciones es deficiente.

Hablar del pensamiento y leguaje variacional es penetrar en un campo avanzado de la

matemática, pero que no implica que no se pueda dar a conocer a nuestros estudiantes.

Cantoral (1997) nos comenta que el pensamiento y lenguaje variacional (PLV) es parte

del pensamiento matemático avanzado y comprende las relaciones entre la matemática

del cambio por un lado y los procesos del pensamiento por otro; implica la integración

de sistemas numéricos, desde los naturales hasta los complejos. También involucra

conceptos de variable, función, derivada e integral, así mismo sus representaciones

simbólicas, sus propiedades y el dominio de la modelación elemental de los fenómenos

del cambio.

El tener en cuenta el pensamiento variacional en el proceso enseñanza aprendizaje se

debe hacer desde los primeros años con el propósito de ir introduciendo al estudiante en

el conocimiento y análisis de actividades referentes a este pensamiento. El Ministerio de

16


Educación Nacional (2006) nos manifiesta que uno de los propósitos de cultivar el

pensamiento variacional es construir desde la educación básica primaria distintos

caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y

procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con

sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo

diferencial e integral.

A nivel de estudiantes de bachillerato en el estudio de la función cuadrática, se

mencionan aspectos variacionales como: intervalos, constantes, variables, magnitudes,

relaciones gráfica-tablas, fenómenos-gráfica, modelación-gráfica-tablas. Al tratar estos

aspectos en el discurso escolar, se observará dificultad para su aprendizaje en

estudiantes.

De acuerdo a lo anterior nuestro problema de investigación se basa en la problemática

que se vive en el aula en la enseñanza del concepto de función cuadrática a nivel de

grados inferiores del bachillerato (12 a 13 años) y que se fundamenta en aquellos

aspectos que hacen relación a la variación. La pregunta que enmarca esta investigación

está conformada de la siguiente manera: ¿Cómo las prácticas escolares de modelación

me permiten favorecer lo variacional en la función cuadrática al momento del ingreso

del bachillerato para contribuir a una articulación significativa?

Esto me lleva a decir que hay una ausencia de herramientas didácticas que aborden el

estudio de la función cuadrática en sus aspectos variacionales para estudiantes que

comienzan el trascurrir hacia el precálculo. Se debe por estos motivos realizar

propuestas didácticas que afronten aspectos epistemológicos, cognitivos y de las

prácticas escolares desarrolladas al modelar.

17


Pensando en indagar cómo las prácticas escolares de modelación pueden dar una visión

más clara de los aspectos variacionales de la función cuadrática, me lleva a realizar esta

investigación apoyándome en la teoría socioepistemológica.

1.2 Antecedentes

Es muy popular en la actualidad hablar en las instituciones escolares sobre modelación

de fenómenos con un objetivo de aprendizaje de conceptos variados en la matemática.

Sin embargo la puesta en práctica está bastante lejos de llevarse a cabo por motivos que

no tienen que ver con la matemática en sí. La función cuadrática ha sido objeto de

estudio para muchos investigadores y en especial en la última década, donde se ha

ampliado el campo de acción en diferentes postulaciones. Entre los antecedentes

mostraremos algunos trabajos que han realizado en el campo de la modelación y el

objeto de estudio la función cuadrática. La modelación como práctica es considerada

dentro de la educación matemática como un pilar fundamental para el desarrollo de las

actividades. Gran cantidad de investigaciones se han realizado con el fin de mostrar las

virtudes de esta práctica en diferentes campos. El interés por trabajar con modelación

viene desde antiguo, pero en las últimas décadas los trabajos han sido de gran valor y

contenido.

En esta sección se comentará sobre la modelación como práctica y además se mostrarán

investigaciones sobre función cuadrática en diferentes aspectos. La modelación de la

función cuadrática teniendo como fundamento la teoría socioepistemológica

desarrollada en el ambiente de aula es una de nuestras prioridades.

18


1.2.1 La modelación y la función cuadrática

La modelación ha sido una herramienta muy utilizada no solo en matemática sino

también en otras áreas como la física, química y sociales. Referente a esta modelación

Rodríguez (2007) nos comenta en su trabajo que las etapas de modelación como son: el

dominio real, el dominio pseudo-concreto y el dominio matemático donde el pseudo

concreto permite estudiar cómo el estudiante pasa de una situación abierta (dominio

real) a un modelo matemático preciso (dominio matemático). El presentar diseños de

situaciones donde intervenga la modelación puede mostrar los alcances y limitaciones

que nos brindan esta clase de actividades en los estudiantes de bachillerato.

Los aportes que nos da el aplicar la modelación desde muchos otros campos en

situaciones físicas y geométricas, permite establecer relaciones entre el conocimiento

matemático y los diferentes fenómenos de la vida real. Hitt (2000) nos comenta que a

través de las diferentes funciones que se enseñan, se pueden modelar matemáticamente

fenómenos de la vida real, relacionar diferentes contextos sin necesidad de estar

realizando a cada instante una descripción verbal o cálculos dificultosos de los sucesos

que se están analizando.

Algunos investigadores en sus artículos nos aportan sobre la modelación matemática

opinando que ésta puede ser aplicada a estudiantes sin distinción de edad. Lesh y

Lehrer (2003), Lesh, Zawojewski y Carmona (2003) nos dicen que las actividades

donde la modelación se hace partícipe a menudo conducen a la obtención de logros

notables por parte de los estudiantes, sin importar que sean demasiado jóvenes o posean

19


poca capacidad para el desarrollo de esta clase de actividades concernientes al

pensamiento matemático.

Otros investigadores han realizado trabajos con estudiantes del nivel de primaria donde

utilizan la modelación para la enseñanza. Verschaffel y De Corte (1997) probaron y

proporcionaron apoyo a la hipótesis de que es factible de llevar a cabo en estudiantes

entre 10 – 11 años de edad, el papel del conocimiento de la modelización matemática.

Se quería además contribuir a favorecer en el estudiantado una disposición hacia la

modelación matemática más realista. En el programa experimental donde se llevó a

cabo el trabajo, se tomó como control una clase de la misma escuela donde se seguía el

programa tradicional. Las prácticas de ambas clases con una prueba inicial, una prueba

final y una prueba de retención y todas ellas con problemas similares. Revelaron

entonces un elevado efecto positivo del programa y de sus condiciones.

Estas investigaciones nos muestran que la enseñanza de las matemáticas utilizando la

práctica de modelación no solamente se debe dejar para la universidad o finales del

bachillerato, sino que es factible aplicarla desde una escolaridad primaria y en

estudiantes del comienzo del bachillerato.

Los autores de libros guía para el estudiante y profesor, que aportan a la enseñanza del

concepto de función en torno a la modelación, toman como referencia situaciones

donde relacionan el contexto físico-real; si lo llevamos al ambiente matemático esta

relación se considera como una correspondencia llamada función. Pero cuando

queremos dar la definición del concepto simplemente la llevamos a la relación entre dos

cantidades. Callahan y Hoffman (1995) afirman que una función está descrita como

aquello donde una de sus cantidades depende de la otra.

20


La modelación como práctica me permite estar en contacto con las demás personas y

poder interactuar con ellos y con los sucesos. Arrieta (2003) comenta que la modelación

reconocida como actividad humana es una manera particular de participar en el mundo,

también es una forma de establecer una relación con los otros y con los

acontecimientos. Menciona lo cuadrático, lineal, lo periódico y otras funciones

estableciéndolas como herramientas utilizadas en las prácticas sociales de modelación

desarrolladas en contextos sociales.

Reconocer la modelación como práctica escolar, nos brinda las herramientas para el

desarrollo de actividades donde se quiera dar las primeras bases para el concepto de

función cuadrática mirada desde la teoría emergente de la socioepistemología.

La función cuadrática ha sido objeto de estudio por una cantidad apreciable de

investigadores en matemática educativa, que centran sus trabajos a buscar maneras más

asequibles para la enseñanza mostrándolas a través de didácticas; otros toman la

modelación como práctica para enseñar el concepto o profundizar sobre función

cuadrática. Tomaremos en cuenta aquellos trabajos donde se utiliza la modelación como

práctica para el desarrollo de las propuestas. También tendremos en cuenta que la

tecnología juega en la actualidad un papel preponderante en el proceso enseñanza

aprendizaje de la matemática y en especial de la función cuadrática. Por tal motivo es

prudente mostrar trabajos que usan esta herramienta como ayuda para el desarrollo de

las actividades.

Respecto a la enseñanza de la función y en especial la función lineal y cuadrática a nivel

escolar según los estándares se hace necesario comenzar a impartir el conocimiento en

los grados octavo y noveno. Cuando se comienza a observar lo interesante e importante

del concepto, aparecen personas curiosas (profesores-investigadores) y deseosas de

21


mirar alternativas para el proceso enseñanza aprendizaje de este concepto, con el objeto

de que el joven adquiera un aprendizaje significativo. Hay estudios que se centran en

encontrar secuencias que ayuden y se enfoquen hacia el aprendizaje. Pech y Ordaz

(2010) muestran una secuencia didáctica para la enseñanza de la función en estudiantes

de octavo grado, utilizando la metodología de ingeniería didáctica, en un contexto

socioepistemológico. Al analizar las producciones de los estudiantes en una situación

exploratoria observan que ellos construyen conocimiento matemático referente al

concepto de función, en situaciones variacionales pero los resultados podrían ser

mejores, si el estudiante no tuviera conocimientos previos sobre función es decir, estar

condicionado a ciertos procesos y conocimientos.

En otro estudio presentado por Mercado, Aguas y Arrieta (2010) nos muestran a través

de una secuencia didáctica la comprensión del concepto de función por parte de los

estudiantes, usando situaciones del contexto sociocultural en la práctica de modelación,

analizando inicialmente las dificultades que presentan los estudiantes aplicando un

diagnóstico y así poder establecer estrategias didácticas. Estas estrategias estuvieron

fundamentadas en talleres que fueron aumentando paulatinamente de complejidad. Se

logra mostrar que diseñar situaciones cercanas a un contexto real ayuda al aprendizaje

de los estudiantes, porque son aprovechadas y se vuelven interesantes para ellos.

Este estudio da una pauta muy interesante y es lo relativo al diagnóstico, el cual para

nuestra investigación se tomará en cuenta.

Siguiendo con estudios referentes a modelación de la función cuadrática nos

encontramos con el trabajo de Cordero y Suárez (2005) el cual muestra una

investigación para resignificación de la parábola utilizando gráficas. Se utiliza un

contexto físico para que el estudiante plasme este fenómeno en una gráfica. La

22


graficación es el medio por el cual la relación modelación-graficación-tecnología se

puede implementar en las aulas para construir conocimiento matemático. Se utiliza la

tecnología como apoyo para estudiar fenómenos de movimiento como actividades de

modelación.

En muchas ocasiones se hace evidente la utilización de las gráficas para poder

identificar un proceso, plasmar un fenómeno y poder a partir de ella obtener

información valiosa para la construcción de conocimiento, en nuestro caso el de función

cuadrática.

El aspecto variacional en la función cuadrática ha sido también de interés y es así que

Villa (2008) en su investigación se basa en el estudio del concepto de función cuadrática

como elemento necesario para el desarrollo del pensamiento variacional, poniendo

énfasis en la modelación de situaciones de variación. Considera que para lograr un

mejor conocimiento del concepto de función desde la perspectiva variacional hay que

tener en cuenta aspectos como la relación entre dos magnitudes, el llevar los datos a una

tabla, identificar la razón de cambio entre las magnitudes, el reconocer la variabilidad

de la razón de cambio y comprender la función como un modelo. Para la concepción del

concepto cuadrático parte del conocimiento de la función lineal donde la razón de

cambio es una constante; luego interpreta la función cuadrática desde una perspectiva

variacional, donde la razón de cambio varía en forma lineal. Concluye diciendo que los

fenómenos de variación en la función cuadrática son útiles para construcción del

concepto, concediendo ideas para el diseño de situaciones que ayudarán al estudiante a

obtener un conocimiento significativo sobre función cuadrática.

Entonces mirando estos aportes podemos reconocer que el proceso enseñanza

aprendizaje de la función cuadrática no es tan sencillo como generalmente nosotros

23


tratamos de darla a entender a los estudiantes por el método tradicional de algoritmación

y memorización. Sin embargo con dedicación y esfuerzo se puede lograr el cometido de

utilizar la modelación para la enseñanza de la función cuadrática.

Gaspar, Mederos y Mayén (2011) nos presentan una investigación donde una propuesta

didáctica es experimentada y evaluada para los estudiantes de bachillerato, donde el

concepto de parábola es manejado en diferentes representaciones, verbales, analíticas,

tabulares, y gráficas, usando la modelación como medio de obtención de conocimiento.

Para la implementación de la propuesta, se ha diseñado un instrumento de diagnóstico y

actividades que deberán servir para que los estudiantes reconozcan, construyan y

descubran los elementos de la parábola y sus diferentes representaciones.

1.2.2 Otros estudios sobre función cuadrática

El uso de herramientas informáticas para la enseñanza de la función cuadrática se hace

plausible en algunos estudios. Huapaya (2012) propone una serie de experimentos

donde aplica la modelación ayudado con el software FUNCIONSWIN32 y la hoja de

cálculo facilitando el aprendizaje de la función cuadrática en el marco teórico de la

teoría de representaciones semióticas (TRRS). Las diferentes situaciones problema

propuestas llevaron al estudiante a utilizar diversas representaciones facilitando la

práctica de modelación.

La tecnología en algunas ocasiones se hace necesaria para poder realizar las diferentes

representaciones. El uso de herramientas informáticas como GRAPH 4.3, GEOGEBRA,

CABRY GEOMETRY, MODELLUS, TRACKER-310, entre otras, da un impulso para

el desarrollo de las actividades y en otras facilitan la consecución de objetivos, porque

24


ayudan a la simulación que se relaciona directamente con la modelación. Es así como

Guevara (2011) realiza en su investigación una propuesta didáctica para el aprendizaje

significativo del concepto de función cuadrática a través de la modelación y simulación.

Para lograrlo utiliza las diferentes representaciones que conducen a la modelación de

funciones. Además a través de la reflexión donde se proponen módulos de actividades

de simulación y modelación con el objeto de integrar distintas representaciones de las

funciones en los cursos de precálculo.

El uso de nuevas tecnologías para el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas

es una ayuda bastante significativa, debido a que provee de los medios necesarios para

el profesor, y atractivos para los estudiantes. Medina, Buitrago y Mendible (2010) nos

comentan una propuesta didáctica aplicada a estudiantes universitarios, usando un

artefacto de ayuda como la calculadora graficadora para la enseñanza de funciones

reales, siguiendo el proceso de modelización matemática. La investigación parte de

conocer lo que el estudiante sabe y por eso inicia con un carácter evaluativo donde se

analizan los apuntes y toda producción escrita de los estudiantes para luego seguir con

la aplicación del curso taller. Las actividades programadas en el taller se refieren a

situaciones donde el estudiante tiene como ayuda la calculadora. Se realizó con el

objeto de que los estudiantes logren explorar, analizar, conjeturar, y validar

conocimientos matemáticos referentes a funciones. En el análisis de estos procesos se

logra que el estudiante se inmiscuya con el tema y además los individuos adquieren

competencias matemáticas relacionadas con el concepto tratado.

En la investigación realizada por Méndez y Sosa (2011) determinan una secuencia

didáctica usando como herramienta el software de Derive para la enseñanza de la

función cuadrática, potenciando representaciones de manera tabular, algebraica y

25


gráfica. Consiguen de esta manera que el estudiante fortalezca las diferentes

representaciones, estableciendo las transiciones respectivas entre ellas.

La enseñanza de la función cuadrática a través de la práctica de modelación brinda las

bases para poder entender otros conceptos que tienen relación con la función. La

investigación anterior con el lenguaje sencillo presentado y con las experiencias

indicadas, permite que el lector entienda claramente cada uno de los procesos y lo más

importante que lo pueda aplicar en diferentes contextos. El uso o no de los variados

recursos tecnológicos que tenemos a nuestra mano es una elección que puede facilitar el

desarrollo de las actividades propuestas; sin embargo esto no es camisa de fuerza para

poder desarrollar las actividades.

El gran conglomerado de investigaciones sobre funciones que se han realizado es

bastante extenso. Algunas de esas investigaciones aunque no utilizan la modelación

como práctica, sí utilizan secuencias didácticas que pueden ayudar al aprendizaje de

función cuadrática. Una de estas investigaciones la de Ibarra y Hernández (2007)

propone una secuencia didáctica para la enseñanza de la función cuadrática en el primer

año de bachillerato, tomando como teoría la semiosis de Raymond Duval, que consiste

en tomar el objeto matemático y representarlo en forma gráfica, tabular y algebraico

empleando como mediador el lenguaje matemático. La investigación tomó dos

momentos esenciales: una prueba piloto y la puesta en escena final. Éstas consistían en

la solución de un cuestionario en forma individual que contenía actividades relacionadas

con el tema tratado y sin límite de tiempo. De esta manera se observó en el estudiante

una mayor confianza para exponer sus criterios en grupos pequeños, se favoreció la

cooperación creando un conflicto cognitivo en el estudiante conduciéndolo al

razonamiento análisis y la resolución de situaciones problemáticas.

26


Otra de las investigaciones es la de Amaya y Gulfo (2010) que en su trabajo nos

muestra cómo relacionan lo lúdico manejando origami para el aprendizaje de funciones

cuadráticas en estudiantes de media académica. Se analiza las dificultades y aciertos que

ellos obtienen al estudiar la definición del concepto de función. Para el trabajo se halló

el área lateral de cada una de las figuras propuestas, teniendo en cuenta la familia de

figuras y el número de módulos para luego realizar tablas de acuerdo al módulo y su

respectiva gráfica. Con este trabajo se mostró que el origami se puede tomar como una

herramienta lúdica para la enseñanza de funciones en este caso la cuadrática.

1.3 Aspectos variacionales de la función cuadrática

Tomar los aspectos variacionales de la función cuadrática en el proceso enseñanza

aprendizaje, no es solo reconocer que las funciones se pueden representar a partir de un

algoritmo algebraico o a través de una gráfica o que a partir de una tabla podemos

reconocer la función, sino además qué relaciones podemos establecer entre las

variables, cómo puedo a través de un gráfico determinar parejas de variables, cómo

relaciono gráfica-tabla, cómo predigo entre otras. Esto es, considerar a la función y sus

variaciones de forma sistemática, articulada a través de diferentes registros y dándole

significado a lo anterior a través de diferentes prácticas.

Para un mejor análisis de situaciones es necesario establecer la diferencia entre cambio

y el término variacional. Reconocemos la definición de cambio como una modificación

de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo; mientras que

lo variacional es la cuantificación del cambio. Podemos decir que una persona utiliza

argumentos y estrategias de tipo variacional cuando hace uso de ideas, técnicas o

27


explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo

y cualitativo del cambio de un cuerpo, sistema u objeto que se esté estudiando

(Cantoral, Molina y Sánchez, 2005).

Referente a lo variacional Cantoral y Farfán (2003) nos comentan que el pensamiento y

el lenguaje variacional tenido en cuenta dentro del seno socioepistemológico, es

entendido como una línea de investigación. Desarrollar este pensamiento entre los

estudiantes va a llevar a que se adquiera resignificación de los conceptos de la

matemática básica y de los diferentes mecanismos de pensamiento relacionados. En este

mismo artículo nos ilustran sobre el significado de predicción como esa noción que se

construye socialmente a partir de lo vivido por el estudiante en su quehacer diario; esto

relacionándolo con situaciones donde al pasar el tiempo debo averiguar un dato de una

magnitud participante.

En los lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional

(1998) se plantea como propósito de la educación matemática de los niveles básica y

media, favorecer el desarrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones

problemas derivadas del contexto sociocultural de otras ciencias o de la misma

matemática. Dentro de los pensamientos se nombra el pensamiento variacional como

uno de los pilares para el desarrollo del conocimiento matemático en el aula.

Se propone el desarrollo del pensamiento variacional con la intención de estructurar los

conceptos y procedimientos que permitan organizar y modelar matemáticamente

situaciones problema tanto en el quehacer diario del hombre como en la ciencia.

Vasco (2006) señala que el propósito del pensamiento variacional es la modelación

matemática. Además nos dice que no es propiamente la resolución de problemas ni de

28


ejercicios; al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos

de modelar algún proceso. Señala también que para resolver un problema interesante se

debe armar primero un modelo de la situación, en donde las variables covaríen en forma

semejante a la de la situación problemática y no es posible realizarlo sin estar presente

el pensamiento variacional.

Este pensamiento variacional se establece como base del diseño curricular de la

matemática y no trabaja solo ni aislado, necesita del pensamiento métrico y el

pensamiento numérico que unidos entablan el conocimiento matemático para los

estudiantes de bachillerato.

Cantoral y Reséndiz (2003) comentan que en investigaciones realizadas por el Área de

Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Centro de

Investigación y Estudios Avanzados del IPN, sostienen que el actual discurso

matemático escolar dado en las escuelas, parece que inhabilita el desarrollo de ideas

variacionales en los estudiantes. Esto porque la enseñanza del cálculo ha sido entendida

como el desarrollo de habilidades algorítmicas algebraicas, para derivar, integrar y

optimizar variables, dando poco margen de escenarios para significar la variación. En

esta investigación centran la atención en el estudio de noción de variación.

Comprueban a través de la investigación que el fenómeno de envejecimiento de las

situaciones de enseñanza, se afecta por el papel que juegan las explicaciones como

medio de interacción discursiva en el aula. Opinan que es fundamental desarrollar

estudios sobre la vida cotidiana en el aula incluyendo lo que el estudiante pueda o no

pueda hacer como tarea matemática, en virtud de la dinámica del aula. Reséndiz y

Cantoral (2004) retoman el estudio teniendo como objetivo localizar y analizar las

29


maneras en que se introduce y desarrolla la noción de variación en situación de

enseñanza en el nivel superior.

Los estudios referentes a los aspectos variacionales en funciones es fortalecida por

grupos de investigadores que aclaran aspectos necesarios para un conocimiento amplio

de función. Dolores y Guerrero (2004) en su artículo reportan los resultados de una

investigación que explora las concepciones alternativas de profesores y estudiantes de

bachillerato acerca del comportamiento variacional de funciones. Para tal exploración se

diseñó un cuestionario en el que se usan los sistemas de representación verbal, gráfico y

analítico. En especial se exploraron concepciones relativas al comportamiento

variacional de funciones. Primeramente se diseñaron nueve (9) preguntas para aplicarla

a los profesores y luego a los estudiantes donde los profesores imparten clase. Dicho

cuestionario se estructuró para que permitiera extraer información sobre las

concepciones de los estudiantes al analizar el comportamiento de funciones por medio

de los sistemas de representación gráfico, analítico y verbal.

Esta investigación muestra que los aspectos variacionales son fundamentales para el

estudio de funciones, pero a la vez nos muestra que es donde tanto los profesores como

estudiante pueden tener dificultad para completar el estudio de la función, en nuestro

caso la cuadrática.

De la misma manera Díaz (2004) hace referencia en su investigación a los estudiantes

de secundaria donde sus representaciones cotidianas de variación tienen naturaleza

estática y discreta, como también dinámica y continua constituyendo conocimientos en

los que la noción de variación forma parte de dicho conocimiento. También nos dice

que el pensamiento variacional de los estudiantes remite a cosmovisiones cíclicas y

lineales (en el sentido de una sola dirección) y a ilustraciones de modo de pensar tanto

30


dinámicos como estáticos. Observando las nociones de variación del discurso escolar

las producciones de los estudiantes muestran dificultades para expresar variaciones en

una gráfica distancia-tiempo. Esto debido a que conciben el tiempo como una distancia

y al entrar a graficar encuentran dificultad con la dimensión de desplazamiento.

El reconocer en los estudiantes que sus representaciones son dinámicas y continuas, y

que a través de éstas crean conocimiento es prudente decir que las secuencias

propuestas sobre la modelación de función cuadrática en sus aspectos variacionales

llevan a que el individuo desarrolle esas representaciones.

Algunos trabajos realizados sobre función cuadrática se dirigen especialmente al estudio

de la función en sus aspectos variacionales, donde se indaga en cómo es el

comportamiento en forma tabular o gráfica de un fenómeno o situación problema, cómo

varía una de las magnitudes ante otra que se toma como variable independiente, además

el uso de fenómenos físicos para mostrar la variación de uno de los parámetros frente al

tiempo como variable independiente y el uso de software como instrumento de apoyo

o mediación en el desarrollo de las actividades. La función cuadrática es junto con la

función lineal un referente para la enseñanza del tema de funciones, al ser éstas las más

mostradas para éste tema. Las secuencias didácticas son herramientas que me permiten

o facilitan el proceso enseñanza aprendizaje.

Los aspectos variacionales en la función cuadrática permiten enlazar el conocimiento

de función cuadrática con la práctica de modelación, porque a través de esta práctica se

puede determinar de qué manera llego al conocimiento, qué relaciones utilizo, por qué

camino me dirijo, para qué del conocimiento, las herramientas utilizadas y otras. La

práctica de modelación lleva al estudiante a que descubra y ponga en práctica los

31


aspectos variacionales que se quieren introducir estableciendo una relación

modelación-aspectos variacionales.

Las propuestas didácticas donde interviene la función cuadrática son extensas. Los

aspectos variacionales de la función cuadrática nos puede dar las pautas para introducir

en el proceso enseñanza aprendizaje el concepto de función cuadrática. Entre los

investigadores se pueden mencionar a Villa 2008, Mesa y Villa 2007, Villarraga 2012 y

otros, proponen didácticas donde utilizan aspectos variacionales para la enseñanza de la

función cuadrática.

En nuestra investigación los aspectos variacionales son tenidos en cuenta en el diseño

de cada una de las secuencias y analizados en los reportes que presentan los estudiantes

al responder las preguntas de las secuencias. Dentro de estos aspectos se tendrá en

cuenta cuatro de ellos que en el capítulo de la metodología (malla de análisis) y en el

capítulo de análisis de secuencias se mencionará. Para nuestra investigación los aspectos

tenidos en cuenta son:

1. Tiempo como variable independiente

2. El uso de las gráficas teniendo en cuenta los puntos clave

3. El papel de los intervalos en el uso de las gráficas

4. Uso de tablas a través de secuencias numéricas

1.4 La investigación

32


La enseñanza de la función cuadrática a nivel de bachillerato se realiza con el objeto de

que el estudiante conozca el significado de función, manejando procesos algebraicos,

para conocer los términos que la conforman como son los parámetros (a, b c) partiendo

una expresión 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐; se da su gráfica pero generalmente está aislada de la

realidad y no se suele relacionar con la variación de los parámetros.

La importancia de evitar que el estudiante aprenda los conceptos enmarcados solamente

en procesos algorítmicos y memorísticos, lleva a que se desarrolle esta investigación

para fortalecer el conocimiento a través de los significados y diferentes contextos

expuestos en las secuencias. Esto permitirá abordar cuestiones como los aspectos

variacionales de la función cuadrática que se pueden dar en fenómenos físicos, la

interpretación y uso de los gráficos relacionándolos con el concepto, el uso de tablas y

su relación con los gráficos. En conclusión que pueda realizar una coordinación

significativa entre la gráfica, los fenómenos y aspectos analíticos, abordando cuatro

elementos variacionales que me dan una base de significados para la introducción

significativa de la función cuadrática.

Nuestra investigación se espera que brinde las herramientas necesarias para la

aplicación en el ambiente de aula de los procesos de enseñanza para que el estudiante

logre un aprendizaje significativo. Además, cómo a través de la práctica de modelación

se pueden favorecer los aspectos variacionales propuestos para la introducción de la

función cuadrática en estudiantes de inicio del bachillerato. La investigación también

mostrará un proceso de secuencia organizado con la aplicación metodológica adecuada

donde el estudiante observe y favorezca los diferentes aspectos variacionales de la

función cuadrática. La modelación como práctica y teniendo como marco teórico la

socioepistemología me ofrece las alternativas necesarias para que el estudiante obtenga

un conocimiento articulado y pleno sobre bases significativas de función cuadrática y

33


lo pueda aplicar en diferentes contextos. La investigación reconoce la importancia que

tiene el contexto sociocultural en el aprendizaje del individuo y por esto lo incluye en el

desarrollo de las actividades y en las diferentes interacciones que se pueden presentar.

A través de la modelación como práctica esperamos que el estudiante fundamente el

saber hacer en contexto, generando significados para el conocimiento matemático. Este

conocimiento se concibe no en función de la adquisición de un concepto sino en la

generación de significados a través de la práctica de modelación. A esto lo llamaremos

resignificación.

La modelación como práctica en esta investigación evidencia la resignificación de

conceptos que aportarán para un conocimiento significativo de la función cuadrática, en

la clase de matemática para estudiantes de octavo2 grado de bachillerato, teniendo en

cuenta los cuatro aspectos variacionales necesarias en el desarrollo de la investigación.

El trabajo se apoyará en las diferentes interacciones que se generan y suscitan en la

práctica, las cuales se analizarán a través de videos, audios, las creaciones orales y

escritas de los estudiantes.

En la presente investigación se tratará de generar una relación estrecha entre el saber

científico, el saber escolar y la matemática utilizada; lo cual se traduce en mejores

ambientes para adquirir conocimiento. El objeto de utilizar este engranaje no es que el

estudiante aprenda la matemática de una manera aislada de su ambiente; tampoco de

crear matemáticas, sino la de usarla en prácticas sociales en diferentes áreas del

conocimiento, en las ciencias, ingenierías, economías, en la vida diaria, etc.

2 . Jóvenes comprendidos entre los 12 y 13 años de edad.

34


La investigación, mirando la problemática que se plantea, se dirige en crear ambientes

ricos en significados y en argumentos partiendo de cada una de las acciones de los

individuos como seres humanos en las actividades matemáticas trazadas, donde las

prácticas, entre ellas la modelación, son utilizadas para producir los efectos que

queremos en el estudiante y así lleguen a obtener el conocimiento de la manera

acertada y práctica.

Entre los efectos que se quiere lograr en el estudiante tenemos:

Que el estudiante posea la capacidad de enlazar las ideas propuestas sobre los aspectos

variacionales-función cuadrática que se presentan en un fenómeno físico.

Que use los conocimientos adquiridos y aplique en otras áreas.

Que sea capaz de usar las diferentes herramientas pedagógicas para dar solución a

situaciones problema y a fenómenos matemáticos que se presenten.

Que el estudiante resignifique su saber y haga variaciones a partir de los preconceptos

que tenga.

1.4.1 Objetivos

Teniendo en cuenta la problemática planteada y la importancia que tiene los entes

tratados en el proceso enseñanza aprendizaje del concepto, nuestros objetivos son los

siguientes:

Objetivo general

35


Discutir el favorecimiento de aspectos variacionales de la función cuadrática a través de

la práctica escolar de modelación manejando fenómenos de variación y cambio.

Objetivos específicos

Describir la manera en que los estudiantes resignifican el concepto de la función en

general y la cuadrática en particular a través de la modelación de fenómenos.

Analizar las relaciones que se suscitan en la clase de matemáticas en las actividades de

la práctica escolar de modelación favoreciendo aspectos variacionales de la función

cuadrática.

Analizar el proceso que siguen los estudiantes de acuerdo a sus respuestas al tratar con

fenómenos del mundo real, en el conocimiento de los aspectos variacionales de la


36


CAPÍTULO 2

ESTADO DEL ARTE

La función cuadrática ha sido objeto de estudio en variedad de investigaciones desde

diferentes tópicos. El uso de la modelación como práctica está siendo tomada en muchas

investigaciones para adentrarla en el ámbito escolar.

En este capítulo informaremos lo referente a modelación en el ámbito escolar, la

modelación como competencia, la modelación en Colombia, el papel de las gráficas en

la modelación y una pequeña reflexión. Además trataremos como un segundo tópico lo

referente a función cuadrática en la modelación (propuestas didácticas sobre función

cuadrática teniendo en cuenta la modelación como práctica).

2.1 La modelación

En muchos países los trabajos sobre modelación son variados permitiendo que se haga

un avance significativo sobre el proceso de modelación, que repercute en la enseñanza

de las matemáticas. En Norte América las investigaciones que se han realizado en la

última década tienen conexión con las teorías del aprendizaje. Algunos autores como

Lesh y Doerr (2003), mencionado por Blomhøj (2008) han centrado sus estudios en el

desarrollo y prueba de diseños para el modelado de actividades, que se guían por seis

principios:

37


1) El principio de realidad: la situación debe aparecer significativa para los

estudiantes y conectarse a sus experiencias anteriores.

2) El principio de la construcción del modelo: la situación debe crear una necesidad

para que los estudiantes desarrollen construcciones gramaticales en matemática.

3) El principio de auto-evaluación: la situación debe permitir a los estudiantes evaluar

los modelos realizados.

4) El principio de documentación del constructo: la situación y el contexto deben

exigir que los estudiantes expresen sus pensamientos durante la solución del problema.

5) El principio de generalización del constructo: debe ser posible generalizar el

modelo que se produjo a otras situaciones similares.

6) El principio de simplicidad: la situación del problema debe ser simple.

Las diferentes perspectivas de investigación sobre modelación han abierto el campo de

visión y de trabajo en el aula y fuera de ella. Blomhøj (2008) nos resume en una tabla

cada una de las visiones que caracterizan las investigaciones.

TABLA 1. Perspectivas de modelación según Blomhøj (2008) PERSPECTIVA OBJETIVOS ANTECEDENTES ESTUDIOS EN

(TSG21) PREGUNTAS DEL OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN

ROL DEL CICLO DE MODELACIÓN

REALISTA Objetivos pragmáticos- utilitario

Pollak (1969) Kadijevich (Lombardo & Jacobini)

¿Qué Condiciones y apoyo (en forma de IT) son necesarias para modelar un problema en particular?

Se utiliza para el análisis de una práctica de la vida real o situación problemática.

CONTEXTUAL Asuntos relacionados con objetivos psicológicos

Lesh & Doerr (2003) Lesh & Caylor (2007)

Cómo diseñar contextos para los estudiantes con actividades significativas de modelado?

El proceso de modelado no es el estudio, sino las actividades que lo provocan.

EDUCACIONAL: APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

Modelado como medio para el

Niss (1987,1989) Blum & Niss (1991)

Lombardo & Jacobini Vom Hofe et al.

Cómo desafiar las concepciones de los estudiantes en

Se utiliza para diseñar y analizar las

38


aprendizaje de la matemática

Blum & Leiss (2005)

Ludwig & Xu; Meier Aravena & Caamaño Oliveira & Barbosa Rodríguez (Kadijevich

matemáticas (GVS) y cómo apoyar el aprendizaje matemático?

tareas de modelado con respecto a las intenciones particulares para el aprendizaje de los estudiantes.

EDUCACIONAL: APRENDIZAJE- MODELADO

Modelación de la competencia como meta educativa

Blum, Niss et al. (2006)

Lombardo & Jacobini vom Hofe et al. Ludwig & Xu; Meier Aravena & Caamaño Oliveira & Barbosa Rodríguez (Kadijevich)

¿Qué es una tarea de modelado bien hecha? ¿Qué dificultades específicas de aprendizaje se pueden detectar en las diferentes fases de modelado?

Se utiliza para definir la competencia de modelos matemáticos como un objetivo de aprendizaje.

EPISTEMOLÓGICO

Resignificación matemática a través de la modelación, RME, praxeología matemática

Freudenthal (1983) Traffers (1987) Chevallard

Andresen Tarp Siller

¿Cómo se puede utilizar el modelado en la resignificación del concepto de función?

Se enfatiza la matematización y la transición entre modelo – modelo. Usado para caracterizar la modelación praxeológica

COGNITIVO Análisis de los procesos cognitivos involucrados en la modelación matemática

Piaget, Skemp Boromeo Ferri (2006)

(Tarp) (Ludwig & Xu) Gamarena

¿Qué estructuras cognitivas están involucrados en la competencia de modelado, y que habilidades cognitivas se relacionan con las diferentes fases de ciclo de modelado?

Se utiliza para estructurar el proceso de modelado a fin de identificar las habilidades cognitivas necesarias para modelar una situación dada

SOCIOCULTURAL

La parte crítica, y reflexiva, la comprensión de la realidad, y el uso de modelación matemática

Skovsmose (1994, 2005) D’Ambrosio (1999)

Barbosa Araujo Caldeira

Descubrir el poder del formato de modelado en la matemática. ¿Cómo crear discursos reflexivos entre los estudiantes?

Estructura la crítica y reflexiones en relación con el proceso de modelado y los procesos aplicados.

Si observamos la tercera y cuarta perspectiva de investigación ambas van encaminadas a

que el estudiante aprenda conceptos matemáticos a través de modelos; son temas

importantes en el ámbito escolar, porque a través de estas iniciativas, se establecen

secuencias didácticas que ayudan en gran medida al proceso enseñanza aprendizaje.

Referente a las perspectiva epistemológica, cognitiva y sociocultural, se enmarcan en un

ambiente donde no solo es importante la consecución del modelo como parte esencial,

39


sino que además interesa el proceso de consecución del objetivo, el porqué del

concepto, cuáles son las habilidades y debilidades del estudiante, cómo trasciende el

concepto en otros contextos. En fin, la investigación en estas perspectivas se acomoda

en gran medida al objetivo que se piensa desarrollar en nuestra investigación.

La modelación ha sido una herramienta muy utilizada no solo en matemática sino

también en otras áreas como la física, química y sociales. Concerniente a esa

modelación Rodríguez (2007) en su investigación hace referencia a la introducción de

noción de la ecuación diferencial como herramienta para modelar en física. La

investigación se dirige en establecer un modelo a través de la modelación que constituya

una referencia para caracterizarlo posteriormente desde la perspectiva antropológica

para la clase de matemática y física. El proceso de modelación de referencia está

conformado por ocho etapas como lo muestra la siguiente figura:

Figura 1. Etapas de la modelación de acuerdo a Rodríguez (2007)

40


Se observa en el diagrama anterior que hay un dominio o etapa que sirve de enlace entre

el dominio real y el dominio matemático llamado pseudo-concreto, donde se pueden

analizar las representaciones mentales necesarias para que el estudiante adopte el

aprendizaje del objeto que se desarrolla.

2.1.1 La modelación en el ambiente escolar

Cuando se quiere obtener un modelo matemático a partir de ciertos fenómenos reales, el

proceso para la obtención recibe el nombre de modelación matemática. La modelación

matemática se puede mirar desde dos puntos de vista, uno como el medio para enseñar

un concepto matemático y el otro como herramienta para generar significados. En el

primero se establecen unas secuencias para enseñar cualquier concepto y en el segundo

se generan significados articulando diferentes contextos para afirmar el aprendizaje.

La modelación matemática si se mira desde el punto de vista como el proceso que ayuda

a obtener un modelo matemático es valiosa para los profesores cuando se quiere enseñar

un algoritmo o cuando se quiere llegar a que entiendan cómo modelar; esto debido a que

cuando se habla de matemática en algunas ocasiones se concentra el estudio en lo que

tradicionalmente se ha enseñado, que son fórmulas y procesos para obtención del

concepto. Sin embargo cuando se quiere dar a conocer en el modelo las diferentes

relaciones entre el concepto e individuo, contextos y medio, la modelación juega un

papel primordial porque forma un ciclo o red de actividades y de sucesos que lleva a

obtener el objetivo propuesto. La manera anteriormente mencionada es acogida en gran

medida en las investigaciones de matemática educativa porque brinda las herramientas

para que el profesor pueda analizar y valorar el conocimiento del concepto propuesto.

41


Rodríguez (2012) nos menciona que si se tiene como objetivo enseñar la matemática

para formar estudiantes capaces de aplicar la matemática fuera de la escuela y en

contextos diferentes, entonces la modelación matemática se convierte en una estrategia

adecuada para lograr los objetivos, creando un vínculo entre la matemática escolar y la

experiencia de vida.

Hoy en día el uso de tecnologías en cualquier ambiente y en nuestro caso el ambiente

escolar es una ayuda y en algunos casos prioritaria porque permite la interacción directa

entre estudiante-modelo-profesor. Ferreira y Jacobini (2008) nos comentan que la

modelación matemática establece una relación mutua con la tecnología, donde ésta es

un apoyo importante que contribuye a superar muchos desafíos en el aula de clase,

como la falta de interés del estudiante y ayuda en la deficiencia de habilidades de

algunos de ellos.

Para el desarrollo de nuestra investigación en algunos momentos se hace necesario

utilizar software matemático para realizar simulaciones de movimiento.

En las anteriores investigaciones se habla de la modelación matemática generalmente

para la obtención de un modelo y que habitualmente se utiliza a nivel universitario

cuando a través de simulaciones se busca esto. Debemos aclarar que con el desarrollo de

nuestra investigación queremos no solo obtener el modelo, sino que además reconocer

que la modelación es ese vínculo de unión entre la matemática escolar y el mundo real,

permitiendo llevar el quehacer diario del estudiante a nuestras aulas, donde se tiene en

cuenta el entorno del estudiante, la manera como realiza las actividades, con quién las

realiza, los recursos utilizados sus relaciones y sus acciones es decir todo mirado desde

la perspectiva socioepistemológica.

42


La modelación brinda una gran variedad de oportunidades para el aprendizaje en el aula

de clase, donde el estudiante es fuerza activa dentro del desarrollo y el proceso de

análisis de las actividades propuestas. Para implementar el proceso de modelación en el

aula de clase, Villa (2010) centra la discusión en dos aspectos importantes: el profesor y

el estudiante.

Respecto al primero es agente importante en la identificación y el diseño de las

situaciones desde contextos de los estudiantes y de las demás ciencias. El estudiante es

quien enfatiza la actividad de identificar situaciones y de investigar maneras de cómo

producir matemáticas a través de las situaciones planteadas; el estudiante es el

encargado de escoger el tema de trabajo de organizar de planear, lo cual conlleva a que

se fomente en él otras características como de responsabilidad, compromiso, y

participación.

Agregaría a lo anterior otro aspecto que hace relación al trabajo colaborativo, donde

intervienen el estudiante, los pares y el profesor tomándolos como grupo encargado de

la investigación. Este trabajo colaborativo donde se ligan los dos aspectos tratados en el

anterior párrafo es posible aplicarlo en el desarrollo de nuestra investigación teniendo en

cuenta los dos entes como son los estudiantes y profesor (investigador).

Respecto a la participación del profesor en la modelación en el ambiente escolar, Villa,

Rojas y Cuartas (2010) entre sus consideraciones nos dicen que las discusiones sobre

noción de realidad debe incluirse al profesor, debido a que no solamente la modelación

matemática tiene que ver con matemática y realidad, sino también la concepción que el

profesor tenga de realidad, pues van a determinar la situación problema o el fenómeno a

tratar; esto condiciona el punto de partida de la modelación para trabajo en el aula.

Además nos comentan que el papel de la modelación en el aula de clase debe permear

43


la perspectiva que los profesores tienen sobre la realidad social y cultural de su entorno;

claro está que esto se logrará siempre y cuando el profesor tenga la capacidad de

identificar contextos reales para llevarlos al aula.

Los comentarios dados anteriormente sobre la participación del profesor en las

actividades sobre modelación, permiten reconocer la importancia del docente como

profesor o como investigador en el desarrollo de cada una de las actividades propuestas.

Esto se retoma para el desarrollo de nuestra investigación porque no solamente está la

figura del profesor como tal, sino que además es parte activa de la investigación.

En la gran mayoría de los países latinoamericanos la matemática educativa ha sido

permeada por nuevas teorías y prácticas brindando una visión diferente a la enseñanza

de esta área. La modelación como práctica en las aulas de clase se da a conocer en

Colombia en 1998 con la promulgación de los lineamientos curriculares, donde se

propende desarrollar el pensamiento matemático a través de cinco procesos: el

razonamiento; la modelación; la resolución y planteamiento de problemas; la

comunicación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. Los

documentos del Ministerio de Educación Nacional, en la actualidad llevan propuestos

más de una década y sin embargo en algunas instituciones no se ha podido implementar

en el área de matemática estos procesos incluidos la modelación.

La práctica de modelación en un ambiente de aula conlleva a que el estudiante traiga

esos fenómenos de la vida real y los plasme en el medio escolar, encontrando una

conexión entre lo matemático y lo social. La modelación permitirá la consecución de los

conceptos estableciendo una relación estrecha entre el conocimiento- lo real- y lo

didáctico. El enseñar matemática en el aula de clase usando la modelación como

práctica puede dar las herramientas y la motivación suficiente para lograr los objetivos

44


propuestos en los currículos de las instituciones latinoamericanas. Nuestra propuesta

busca en dar a conocer unas secuencias donde la modelación como práctica es tenida en

cuenta y cuyas secuencias puedan servir de apoyo para la introducción significativa de

la función cuadrática manejando los aspectos variacionales.

2.1.2 La modelación como competencia

Cuando se comienza a nivel institucional a hacerse la pregunta ¿cómo saber hacer?

surge la modelación como proceso de aprendizaje, donde la competencia de modelación

es tomada como la capacidad de identificar preguntas relevantes, variables, relaciones o

supuestos en una situación del mundo real. Blum (2002) define la competencia de

modelación como la capacidad de estructurar, matematizar, interpretar y solucionar

problemas, además la toma como la capacidad de analizar o comprobar los modelos

obtenidos en la investigación de los supuestos.

Cuando en matemática se habla de competencia en muchos currículos lo relacionan con

procesos matemáticos y es por eso que Solar, Azcárate y Deulofeu (2009) nos dicen

que el interés por desarrollar procesos matemáticos no es nuevo; aparece una gran gama

de procesos como representar, argumentar, demostrar, clasificar, analizar, resolver,

conjeturar, razonar, visualizar, calcular, etc. Los procesos han estado presentes en los

planes de estudio de matemáticas, pero no tienen el papel sobresaliente en comparación

con los contenidos.

Aunque no es parte del desarrollo de nuestra investigación el profundizar en estos

procesos, si es recomendable tenerlos en cuenta porque sobre ellos se fundamenta el

estudiante para dar a conocer sus creaciones.

45


El hablar de aprendizaje por competencias es hablar de un aprendizaje significativo y

comprensivo. Las competencias matemáticas no se logran al azar, sino que necesitan de

ambientes de aprendizaje enriquecidos de situaciones problemas significativos. Es aquí

donde la modelación me facilita esos ambientes estableciendo ese canal de conexión

entre el fenómeno real- estudiante- y saber escolar.

En algunos países latinoamericanos entre ellos Colombia, retoman la modelación como

competencia porque coloca al estudiante en relación directa con el mundo real, donde él

puede relacionar, proponer, argumentar, realizar conjeturas y en conclusión no

solamente sabe (adquirir conocimiento), sino que también sabe hacer (aplicación a

contextos diferentes).

2.1.3 La modelación en Colombia

La competencia matemática tomada como el conjunto de conocimientos habilidades,

actitudes, comprensiones y comprensiones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras en

contexto relacionadas entre sí, ayudan al desarrollo de conocimiento en los individuos

de una manera clara y eficaz. Cuando en 1998 en Colombia se publican los lineamientos

curriculares con los cuales se rige el sistema educativo colombiano, se comienza a

tomar la matemática de una manera más abierta, donde el estudiante pueda relacionar

situaciones en contextos diferentes, analizando cada una de ellas y relacionarlas entre sí.

En estos mismos lineamientos el Ministerio de Educación Nacional (MEN), establece

cinco procesos de actividad matemática; 1) formular y resolver problemas; 2) modelar

procesos y fenómenos de la realidad; 3) comunicar; 4) razonar; 5) formular, comparar,

ejercitar procedimientos, y algoritmos. Aparece la modelación como herramienta

necesaria para un mejor proceso enseñanza aprendizaje.

46


El Ministerio de Educación Nacional (1998) nos comunica que es necesario realizar una

correlación entre los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana que tienen

los estudiantes, presentándolo y enseñándolos en un contexto determinado,

intercambiando los puntos de vista propuestos por ellos. De acuerdo con esta visión, se

afirma que uno de los propósitos de la matemática escolar es el desarrollo del

pensamiento matemático y por tanto, es por una parte la modelación y por la otra la

resolución de problemas los procesos fundamentales para alcanzar este propósito.

El Ministerio de Educación Nacional (2006) define la modelación como el proceso de

detección de esquemas que se observan en situaciones científicas, cotidianas y

matemáticas, para luego reconstruirlas mentalmente. En este mismo escrito relacionan

la modelación como sinónimo de la matematización, término del cual habla

Fraudenthal (1977); se entiende la modelación como la complejidad de una situación

real y llevarla a otra situación ya conocida, de forma que se pueda observar qué

esquema se le puede aplicar, qué relaciones se pueden establecer con otras situaciones

y qué operaciones matemáticas se pueden utilizar para responder a los interrogantes que

produce dicha situación. Respecto a lo que se entiende como modelo de acuerdo al

concepto formulado, nos dicen que se entiende como un sistema figurativo, mental,

gráfico o tridimensional que representa la realidad en forma de esquemas para hacerla

más comprensible al individuo. Es una estructura que puede usarse para mostrar lo que

se trata de comprender, una imagen analógica, que permite volver cercano y concreto un

concepto para la apropiación y manejo.

El mismo escrito comenta que cuando se tiene una situación problema la modelación

permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que

posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad, a partir

47


de los cuales se pueden hacer predicciones, utilizar procedimientos numéricos, obtener

resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales.

La variabilidad es un aspecto que se debe tener en cuenta en la práctica de modelación

porque brinda las pautas para establecer relaciones variadas en la situación presentada.

Esto puede crear en el estudiante una relación entre el conocimiento adquirido y la

práctica (el cómo hacerlo). Entonces podemos decir que la modelación en el ambiente

escolar colombiano es tomada como una competencia.

2.1.4 El papel de las gráficas en la modelación

La matemática educativa ha abierto el campo de acción de la investigación

permitiendo grandes avances en trabajos de investigación sobre modelación matemática

en el ambiente escolar. Existen variedad de trabajos donde la modelación es tomada

como práctica y donde las gráficas son parte esencial del desarrollo de los trabajos.

El uso de las gráficas para dar nuevos significados a conceptos matemáticos permite

establecer una relación armoniosa entre modelación- y graficación que puede dar buen

provecho para nuestro estudio relativo a función cuadrática. Los estudios realizados

sobre modelación referentes a la función cuadrática como la presentada por Cordero y

Suarez (2005) nos muestra una investigación para resignificación de la parábola

utilizando gráficas. La actividad mostrada se relaciona con una situación en un contexto

físico y al estudiante se le pide realizar una descripción de dicha situación en una

gráfica. La actividad se basa en dar una gráfica donde se representa el movimiento

explícito que realiza una persona y el estudiante debe determinar cuál debe ser el

48


movimiento real para que se presente esta gráfica; en este caso se usa la tecnología de

calculadoras con sensores. El uso de las gráficas debe ser predominante en el sistema

educativo debido a que hay una concentración en representar en forma algebraica. Sin

embargo el potencial de la graficación no se limita a esto sino va más allá porque puede

ser considerada en sí misma como modelación. Las características que debería cumplir

son:

1) Las gráficas se obtienen a partir de una simulación donde se pueden realizar ajustes

2) La gráfica es dinámica donde puedo crear modelos gráficos que ayudan para

describir nuevos movimientos

3) La gráfica propicia la búsqueda de explicaciones y enfatiza los comportamientos

invariantes en las situaciones

Los aportes de este estudio para nuestra investigación hacen relación al conocimiento de

la gráfica y sus usos; ello nos establece una relación modelación-gráfica-tecnología que

se puede implementar en las aulas para construir conocimiento matemático. Se utiliza la

tecnología como apoyo para estudiar fenómenos de movimiento como actividades de

modelación. A través de una gráfica podemos establecer relaciones de una manera más

coherente debido a la visualización del comportamiento del fenómeno tratado. La

gráfica es pilar importante en el proceso enseñanza aprendizaje cuando se quiere llevar

al medio escolar un concepto a través de la práctica de modelación, como sucede con la

función cuadrática. La misma gráfica me permite observar las variaciones que puede

sufrir un fenómeno cuando se tiene una variable independiente como el tiempo.

El reconocer las gráficas como parte importante en la interpretación de fenómenos es

una característica muy particular que es empleada por algunos investigadores. Radford

(2009) en su artículo trata la interpretación de movimientos a través de gráficos

49


cartesianos propuestos a estudiantes del grado 8°. Tiene en cuenta un marco teórico

sociocultural, prestando atención al proceso discursivo y semiótico que el estudiante

maneja para dar sentido a los gráficos. También es tenido en cuenta la interpretación

de procesos a partir de constructos teóricos, la objetivación, la configuración de signos

matemáticos, los gestos y palabras que usan los estudiantes para lograr un mayor nivel

de conceptualización. El uso de los videos y el análisis de los discursos a través del

audio ofrecen una visión general de las interpretaciones y versiones que dan los

estudiantes en el desarrollo de la actividad.

Las actividades fueron planeadas por un equipo de investigación incluido el profesor.

Se centró en la interpretación, reproducción y la construcción de gráficas. Se dividió el

grupo grande en otros más pequeños de tres estudiantes cada uno y el trabajo iba

aumentando en dificultad a medida que se iba avanzando. Se utilizaron herramientas

informáticas, calculadoras graficadoras, cintas métricas, cronómetro y sensores de

movimiento. La actividad consiste en dar a los estudiantes dos gráficas donde se

manifiesta el movimiento que hace Tina al caminar mostrando la distancia que recorre

en determinado tiempo y en la otra el movimiento que realiza Jean mostrando la

distancia que recorre respecto al tiempo. En cada una se les pide a los estudiantes

interpretar lo que sucede en el movimiento de las dos personas.

De acuerdo a lo mostrado en el trabajo se ve cómo el estudiante evoluciona en su

interpretación de las diferencias conceptuales entre espacio, lugar y origen. Poco a poco

los estudiantes toman el conocimiento distinguiendo los significados matemáticos.

Para formar y acceder a los niveles más profundos del conocimiento y

conceptualización, los estudiantes recurrieron a los gestos, símbolos y el habla. Estos

signos pertenecen a diferentes sistemas semióticos.

50


Es importante recordar que todo aquello real tiene que ser concebido en condiciones

espacio y tiempo jugando un papel preponderante en el análisis de la situación

presentada.

En la investigación el autor nos dice que el uso pedagógico de las diferentes formas en

que los estudiantes y los profesores recurren a los signos y artefactos en los procesos de

enseñanza y aprendizaje todavía merece más investigación. Los conocimientos y la

objetivación de los estudiantes como su relación con las actividades que ofrecemos a

ellos en el aula, puede ayudar a diseñar contextos más amplios en los que los

estudiantes pueden participar de manera significativa en los conceptos matemáticos.

En esta investigación podemos decir que es claramente observable la importancia de la

gráfica para poder responder qué es lo que sucede al moverse cada uno de ellos, qué

acciones realizan, qué significa las líneas paralelas al eje o qué significa las líneas

inclinadas o con pendiente cero, cómo transcurre el tiempo y cómo se relaciona el

desplazamiento con el tiempo.

En nuestra investigación aunque no se fundamenta en el uso de las gráficas en la

modelación sí se consideran tales usos, especialmente cuando se quiere mostrar un

fenómeno físico y llevarlo a una gráfica.

El empleo de videos y grabaciones de audio es bastante atractivo, porque a través de

ellos podemos captar movimientos, gestos, interacción con los compañeros, lo que

hablan y comentan, lo que analizan y deducen. Esto mirado desde la práctica escolar es

bastante atrayente para la aplicación en nuestra investigación. Los movimientos y gestos

que los estudiantes realizan me pueden dar información preponderante de cómo piensa,

relaciona, interpreta y quiere resolver cada una de las preguntas propuestas en la

51


secuencia. El uso de estas características para complementar la investigación son

permitidas en la práctica de modelación desde el enfoque teórico de la

socioepistemología en el cual se apoya nuestra investigación.

2.1.5 Reflexión

La modelación como práctica, permite en el ambiente de aula disponer de una

herramienta educativa que pueda ser usada sin ninguna restricción por todo el

profesorado estableciendo una estrecha relación entre estudiante-saber escolar- y

fenómeno.

La práctica de modelación me permite establecer una relación entre los modelos y los

fenómenos. Podemos decir que la práctica de modelación es el proceso de

matematización en el aula, que lleva a que los fenómenos de la naturaleza

(conocimiento científico) interactúen con el conocimiento escolar (modelos

matemáticos) dando las herramientas y argumentos que se van construyendo a medida

que los individuos realizan acciones, fundando los conceptos en forma progresiva. De

esta manera podemos establecer una relación estrecha entre modelación- modelos- y

fenómenos.

La modelación hace unas décadas era utilizada solamente a nivel universitario para

desarrollar simulaciones o para investigaciones. La socioepistemología la acoge como

práctica y le da un papel epistemológico en el proceso enseñanza aprendizaje de los

estudiantes, brindando oportunidades para el aprendizaje. Si lo consideramos a la luz del

quehacer en el aula, coincide en algunos aspectos con investigación que la presentan

como un método de enseñanza. En este sentido Hein y Biembengut (2006) nos dice que

52


el objetivo de la modelación como método de enseñanza es el de proveer al estudiante

de una mejor aprehensión de los conceptos enseñados, capacidad para comprender,

interpretar, formular y resolver situaciones problema, afianzando el sentido crítico y

creativo en el estudiante.

Las investigaciones desarrolladas sobre modelación han brindado herramientas para que

el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática sea más productivo.

Cantoral (2004) describe la socioepistemología de la siguiente manera:

La socioepistemología, o epistemología de las prácticas sociales relativas al saber,

es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar con los

fenómenos de producción y difusión del saber desde una perspectiva múltiple, pues

articula en una misma unidad de análisis a las interacciones entre la epistemología

del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos que le son

asociados y los mecanismos de su institucionalización vía la enseñanza (p. 1).

La socioepistemología en la matemática educativa es una teoría que se está incluyendo

en gran medida en las investigaciones relacionadas con la matemática. La parte teórica

de la socioepistemología y algunos puntos de vista se ampliarán en el capítulo 3

referente al marco teórico.

Resulta importante entonces reconocer el uso de las gráficas dentro de la visión

socioepistemológica y cómo impactan en la investigación. Tales uso de las gráficas

entonces permiten establecer una relación modelación-gráfica-tecnología- y mundo real

la cual se puede llevar a las aulas para construir conocimiento. Esto reconociendo los

conocimientos previos en el estudiante, sus relaciones con el medio, sus acciones, los

recursos utilizados y cómo interactúa entre lo real y el conocimiento.

53


2.2 La función cuadrática

La función cuadrática mirada desde el punto de vista escolar, hoy en día está

cambiando la visión de su conocimiento. Anteriormente solamente se centraba en dar a

conocer la forma algebraica olvidándose de todas sus relaciones. En la actualidad la

escuela está insistiendo en dar a conocer de la función cuadrática además de las formas

analíticas, también las gráficas y su manejo, que el estudiante conozca los fenómenos

asociados a lo cuadrático y así poder relacionar lo analítico con lo gráfico y lo

fenomenológico. Nuestra investigación quiere retomar la mirada sobre función

cuadrática de la actualidad a través de propuestas didácticas referente a la función

cuadrática utilizando la práctica de modelación.

2.2.1 La función cuadrática y la modelación

En esta sección del capítulo, se expondrán algunas propuestas didácticas sobre función

cuadrática usando la modelación como práctica. Al finalizar cada propuesta se hace un

pequeño análisis de cada una de ellas.

A través de la historia para desarrollar el concepto de función, algunas situaciones se

han basado en la modelación de los fenómenos de variación, llevando a que la

modelización sea útil en la construcción de conocimiento referente a función. Villa

(2008) considera que para lograr un mejor conocimiento del concepto de función desde

la perspectiva variacional, se deben tener en cuenta algunos aspectos importantes

como:

• La identificación de las relaciones de dependencia entre dos magnitudes.

54


• La cuantificación de la relación mediante tablas de valores.

• La identificación de la razón de cambio y la forma en cómo puede cambiar dicha

razón.

• El reconocimiento de la razón de cambio constante como elemento que identifica las

funciones lineales.

• El reconocimiento de la variación lineal de la razón de cambio como elemento que

identifica las funciones cuadráticas.

• La compresión de la función como un modelo que atrapa la covariación entre dos

magnitudes.

Mesa y Villa (2007) en su investigación nos presentan una propuesta didáctica mediante

la cual se pueda construir el concepto de función cuadrática utilizando la modelación de

fenómenos variacionales. La propuesta consiste en exponer un ejemplo sobre una

empresa de viajes donde se ofrece una serie de ofertas turísticas. La situación presentada

está dada de tal manera que el estudiante pueda identificar las cantidades que

intervienen tanto variables como constantes. Referente a la función cuadrática se

permite identificar características tales como: crecimiento, decrecimiento, punto de

máximo/mínimo, rapidez de cambio. El trabajo practicado en esta propuesta es el

colaborativo trabajando en grupos, permitiendo a los estudiantes discutir, reflexionar y

comunicarse entre sí. Las preguntas van dirigidas a que el estudiante establezca

relaciones utilizando el lenguaje natural. En un segundo momento se pretende que los

estudiantes identifiquen características de cómo cambian las variables, de tal forma que

a través del análisis pueda establecer un procedimiento que le permita construir la tabla

y a través de manejo de ésta pueda obtener conclusiones favorables o desfavorables

referente a los pasajeros o para la empresa.

55


En la anterior propuesta didáctica el estudiante debe de encontrar en el análisis de la

tabla cuáles variables intervienen en el problema y ya identificadas, poder desarrollar y

responder cada una de las preguntas propuestas. Al lograr utilizar la gráfica para

responder algunas preguntas, podemos establecer que a través de ella se puede realizar

modelación. Aunque las preguntas están relacionadas para usar en momentos solamente

las tablas y en otros la gráfica, se puede llevar al estudiante a que establezca una

relación importante entre modelación-tabulación-gráfica. El uso de las tablas y el uso de

las gráficas en la propuesta es necesaria para poder desarrollar el proceso de modelación

como se menciona en ella. En el desarrollo de nuestra investigación los aspectos

variacionales son necesarios para el planteamiento de las secuencias; por eso los

fenómenos variacionales que se tienen en cuenta en los trabajos anteriores, pueden dar

una luz para nuestra investigación.

Los fenómenos físicos y el uso de tecnología en la actualidad son utilizados para el

proceso enseñanza aprendizaje de la matemática con los cuales se puede establecer una

relación entre el conocimiento escolar y lo cotidiano. Villarraga (2012), en su propuesta

de investigación, nos propone una didáctica de la función cuadrática donde se modelan

situaciones de variación y cambio usando herramientas tecnológicas como instrumentos

de mediación. La propuesta es dirigida a estudiantes del grado noveno de bachillerato.

Basándose en los lineamientos curriculares dados por el ministerio de educación, la

propuesta plantea metas de enseñanza como: aprovechar las herramientas tecnológicas

como instrumentos de mediación para la conceptualización de función cuadrática a

través de la modelación; proporcionar experiencias significativas y estimular el uso y

traducción de diferentes representaciones funcionales (verbal, algebraica, gráfica,

visual, numérica); encontrar el modelo matemático a partir de un fenómeno físico o

situación real. La propuesta consta de tres actividades y en cada una se utiliza una

56


herramienta tecnológica adecuada para dar solución a algunas preguntas propuestas.

Divide las actividades por momentos. Llega a la conclusión que los instrumentos de

mediación son necesarios para articular los diferentes sistemas de representación. Las

nuevas tecnologías traerán beneficios al proceso de enseñanza dependiendo del uso que

se haga de ellas.

De acuerdo a lo visto en esta investigación, tratan de guiar a que el estudiante use de

manera primordial las herramientas tecnológicas que tienen a su disposición. Llevan al

estudiante a que realice tablas y gráficos usando los medios tecnológicos como

mediadores de la enseñanza en el concepto de función cuadrática. También el utilizar

los fenómenos físicos para modelar permite una mejor aprehensión del conocimiento.

Se lleva a que el estudiante establezca relaciones entre las variables que posee cada

actividad. Toman tanto en la actividad uno como en la actividad tres el tiempo como

una variable necesaria. La propuesta está dada para que se tome como referencia y

aplicarla en el medio escolar para poder así analizar las respuestas de los estudiantes y

tomar decisiones sobre las ventajas de la tecnología como mediadora de la enseñanza.

Las actividades muestran un gran potencial en el proceso enseñanza aprendizaje que se

puede explotar en la práctica de modelación usando las mismas herramientas como

mediadoras. Sin embargo las preguntas son encaminadas a que se resuelvan al estilo

tradicional y no establecen una relación clara con la práctica de modelación. Pero si a

las preguntas las direccionamos, podemos obtener buenos dividendos.

Otra investigación que también usa tecnologías para la conceptualización de la función

cuadrática a través de la práctica de modelación es la expuesta por Guevara (2011)

quien realiza en su investigación una propuesta didáctica para el aprendizaje

significativo del concepto de función cuadrática a través de la modelación y simulación.

57


Esta propuesta se visualiza desde una red conceptual, con la cual se puede facilitar la

enseñanza significativa del concepto de función para los estudiantes; con base en ésta se

facilitaría hacer la reestructuración de los contenidos de la asignatura matemáticas

básicas o precálculo en las lecciones referentes al tema de funciones. Se utiliza para

implementarlo herramientas informáticas como el GRAPH 4.3 y el programa de

GEOGEBRA, como apoyo a las diferentes actividades propuestas. Una de las

actividades propuestas es la de un triángulo rectángulo y en éste está inscrito un

rectángulo en el cual se puede variar sus dimensiones; con esta actividad se puede

modelar una función cuadrática de acuerdo a la variación del área del rectángulo y a

través de los programas mencionados se logra obtener la función cuadrática en forma

gráfica y algebraica. Otra de las actividades es la suma de áreas para maximizar o

minimizar, donde se toma una longitud cualquiera y con ella realizar dos cuadrados con

áreas diferentes variando las medidas para cada uno varias veces. También sirve esta

actividad para modelar funciones cuadráticas.

En la propuesta anterior se dan una serie de actividades que son aplicables a los

estudiantes y que llevando las preguntas menos dirigidas y tradicionales, podemos

sacar provecho de la modelación como práctica para la enseñanza de la matemática en

el aula. En las preguntas se lleva al estudiante a que establezca relaciones entre las

variables de la situación problema, a que use la gráfica para modelar, realice

tabulaciones y relacione con las gráficas, modele algebraicamente. Se centra en gran

medida en la simulación de las actividades. El uso de la tecnología como apoyo es

bastante aceptable y que para el desarrollo de secuencias como la propuesta en nuestra

investigación puede dar buenos dividendos. En el diseño de secuencias se debe tener

cuidado en no saturar las actividades de preguntas que pueden llevar a que la respuesta

se haga de manera tradicional para salir del paso.

58


De la misma manera el uso de software dinámico libre que se encuentra en el mercado

es una herramienta de ayuda para el desarrollo de las actividades matemáticas que

practicamos en la escuela. Esto nos lleva a decir que si usamos dichas herramientas

como recursos de la enseñanza de la matemática en el aula de clase nos puede arrojar

grandes beneficios. Ávila (2011) nos muestra que su investigación se basa en el trabajo

de los conceptos de función lineal y función cuadrática en el campo de estudio de casos,

usando software dinámico como el GeoGebra y el Modelllus. Las pruebas creadas se

aplicaron a estudiantes de grado décimo y la actividad referente tiene relación con un

applet del movimiento acelerado de un vehículo que se mueve de un punto determinado

a otro variando su velocidad. Se quiere con esta actividad que el estudiante obtenga el

comportamiento gráfico del fenómeno y luego use el software para compararlo. El

propósito era el de identificar características específicas del razonamiento relacionadas

con sus habilidades y conocimientos matemáticos, así como también los diferentes

procesos que involucran la covariación y las diferentes formas de trabajarlo. Las

actividades planteadas buscaban que el estudiante utilice herramientas (lápiz, papel,

software), como también aquellos conceptos y temáticas trabajadas, el uso de la

intuición, sus procesos analíticos y la forma como razona y reflexionan para realizar

operaciones.

El tomar fenómenos cotidianos para realizar investigaciones es bastante particular

porque coloca al estudiante a analizar situaciones que él no encuentra relacionadas con

la matemática. El software usado como herramienta de ayuda en la enseñanza es

bastante atrayente en especial para los estudiantes. Las relaciones de variación de

magnitudes físicas que se pueden establecer en el fenómeno físico del movimiento de

un auto pueden llevar a determinar cómo se modifica una magnitud cualquiera frente al

tiempo. Esto permite realizar modelación y determinar cómo varía una magnitud

59


referente a otra. Sin embargo el proponer secuencias donde utilice la modelación

solamente para hallar un modelo matemático, no es el fin de nuestra investigación más

bien es tomar todas las características del fenómeno y analizar cómo el estudiante llega

a responder cada una de las preguntas de manera acertada o no y el porqué de esto. Se

debe tener también cuidado en la planeación de las secuencias, que éstas usen la

práctica de modelación como base de la actividad.

Las calculadoras con sensores son usadas en educación matemática ofreciendo una

herramienta de ayuda tecnológica. Los estudios realizados sobre modelación referentes

a la función cuadrática como la presentada por Cordero y Suarez (2005) nos muestra

una investigación para resignificación de la parábola utilizando gráficas. Las

características de la propuesta son explicitadas en el numeral 2.1.4 el papel de las

gráficas en la modelación.

La propuesta de Huapaya (2012) muestra su trabajo de diseño de experimentos de

acuerdo a lo que indica Cobb et al. (2003) en su propuesta. Se ayuda del software

FUNCIONSWIN32 y de la hoja de cálculo EXCEL aplicando la modelación para la

enseñanza de la función cuadrática. La secuencia de actividades y tareas tienen por

objetivo observar si los estudiantes logran por medio de diferentes representaciones

transitar entre los siguientes registros (verbal, numérico, algebraico y verbal

nuevamente).

Esta propuesta aporta a la investigación sobre la importancia del uso de tecnología en la

enseñanza de la función cuadrática a través de la modelación, como también el diseño

de experimentos para la aplicación de las actividades. Sin embargo centra su

60


importancia en el manejo de los software y no es muy específico en presentar las

actividades dentro del campo de la modelación y en su análisis respectivo.

Arrieta (2003) en su investigación en una de las secuencias planteadas nos presenta lo

cuadrático usando la práctica de modelación. Para esta parte presenta dos actividades

una de caída libre y la otra de un plano inclinado. En la primera proporciona una tabla

con datos y en las preguntas propuestas se observa que toma el tiempo como variable

independiente. Además reconoce la graficación como parte en la modelación. En la

segunda proporciona el fenómeno y pide una tabla con datos usando la calculadora para

luego usarlos en la graficación. En esta última también retoma el tiempo como parte del

engranaje de la actividad.

Esta investigación nos proporciona una idea sobre la práctica de modelación en el

sentido cuadrático y lineal. En la propuesta se expone una unión entre gráfica-

modelación- y tabulación. El uso de las calculadoras como ayuda para la modelación es

aplicable en algunos trabajos. La toma del tiempo como variable es un aspecto que en

nuestra investigación también se tiene en cuenta.

Las propuestas de didácticas vistas en esta sección del capítulo, ofrecen una variedad de

alternativas de las cuales se pueden sacar algunas proposiciones que ayudarán en el

desarrollo y puesta en escena de nuestra investigación. Recordando que nuestra

investigación no solo utilizará recursos informáticos, utilizará software, no solo se

quiere modelar para obtener un modelo, sino que además se generen significados a

través de la práctica de modelación, que con la práctica de modelación se establezcan

relaciones entre el saber científico-saber escolar- y la matemática utilizada y que pueda

traer el mundo real al aula.

61


CAPÍTULO 3

MARCO TEÓRICO

En una primera etapa, la modelación surge como herramienta para obtener un modelo

matemático y es aplicada originalmente en grados universitarios donde el nivel

conceptual está más fundamentado; más tarde se trata de introducir a niveles inferiores

con el mismo propósito. En estos niveles inferiores no solo se desea encontrar el modelo

matemático, sino además establecer las relaciones que puede tener el individuo al

desarrollar una actividad con todo aquello que lo rodea y consigo mismo.

3.1 La modelación con un enfoque socioepistemológico

El hablar de la Socioepistemología en Matemática Educativa es hablar de la teoría que

se ocupa específicamente del problema que plantea la construcción social del

conocimiento matemático y su difusión institucional. Debido a que este saber se ha

constituido socialmente en ámbitos no escolares, su transmisión hacia y desde el sistema

de enseñanza, hace que se realicen algunas modificaciones que afectan directamente su

estructura y funcionamiento, afectando también las relaciones que se establecen entre

los estudiantes y sus profesores (Alanís et al, 2000; Cantoral, 1999).

62


El hablar y tratar la teoría de la Socioepistemología nos lleva a establecer una

articulación entre cuatro componentes básicos en la construcción social del

conocimiento: la naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, la parte

cognitiva y los modos de transmisión vía enseñanza (Cantoral, 1999).

Para Cantoral y Farfán (2003) la socioepistemología es el eje fundamental de

investigación del pensamiento matemático y lenguaje variacional, donde el énfasis

teórico se pone en la importancia que se le da a las prácticas sociales, las cuales

adquieren sentido en el campo de la variación y del cambio en los diferentes sistemas

educativos.

En la socioepistemología se habla de analizar la matemática desde el punto de vista de

las prácticas sociales que permiten la generación de conocimiento matemático. Para

llegar a este conocimiento interactúan unas dimensiones como la didáctica, la

epistemología, la cognitiva y las prácticas sociales, conformando un bloque sistémico

en la construcción del conocimiento. La conjunción de estas cuatro dimensiones se le

ha llamado aproximación socioepistemológica (Cantoral y Farfán, 1998; Cantoral,

2000; Cordero, 2001).

La Socioepistemología como teoría permite mirar la educación matemática no como

una práctica donde solamente se transmiten conocimientos, se expresan postulados, se

solucionan problemas, se realizan demostraciones, sino además me permite mirar más

allá de los conceptos, cuál es el trasfondo de ellos, me permite transformar, me permite

llevar los conceptos a otros contextos, me acerca al mundo real. La socioepistemología

se basa fundamentalmente en cuatro grandes pilares que de acuerdo a Torrellas y

Romano (2009), los clasifica de la siguiente manera:

63


El primero ve el fenómeno de aprendizaje no solo como lo que está ocurriendo en las

cuatro paredes del aula o la escuela, sino que se transporta hacia la sociedad, cuando

ésta produce conocimiento.

El segundo no está viendo al contenido matemático desde el punto de vista formal,

rígido pegado a los cánones del conocimiento, y estrictamente organizado, sino más

bien como un conocimiento que es formado en instancias diferentes a la escuela, o sea

fuera de ella, donde lo importante es la experiencia y en donde se utilice ese

conocimiento.

El tercero ve la forma de enseñar a través de una resignificación continua, pero también

la forma de investigar involucra y ve el fenómeno de la didáctica no como el proceso de

transmisión de contenidos nada más, sino que involucra lo cognitivo, lo social, lo

cultural, lo didáctico de una manera integral.

El cuarto se refiere al aspecto epistemológico social es decir, cómo me llega el

conocimiento, de qué manera llegó a mí, cómo lo valido, cómo es el lugar donde surgen

las ideas sobre el concepto.

Se observa que estas cuatro áreas involucran todo el ámbito sociocultural del concepto a

enseñar, ampliando la visión, aplicación, y aprehensión del conocimiento.

Para Buendía y Montiel (2011) la socioepistemología se constituye como un enfoque

teórico para entender y comprender a la luz de la matemática educativa esos fenómenos

específicos que se relacionan con la transmisión de conocimiento matemático. Nos

dicen también que las investigaciones socioepistemológicas sobre matemática han

problematizado el saber matemático en al menos tres dimensiones de análisis: su

naturaleza epistemológica; su resignificación y sus procesos de transmisión.

64


Camacho (2006) cita a (Cantoral y Farfán, 2003) y dice que la socioepistemología

aparece como eje de investigación del pensamiento y el lenguaje variacional, donde las

prácticas sociales adquieren sentido dentro del estudio de la matemática de la variación

y el cambio en el sistema educativo. En esa investigación se sugieren actividades que

requieren que el estudiante construya gráficas, para desarrollar la noción de predicción a

través de fenómenos que involucran movimiento o cambio, retomando la fórmula del

binomio de Newton.

En el ambiente escolar la socioepistemología favorece crear situaciones usando

fenómenos para el aprendizaje de un concepto y a la luz de prácticas como la

modelación. Camacho (2006) citado en Cordero (2011) ordena las trayectorias de la

socioepistemología referentes al campo de la investigación así: una orientada hacia la

reconstrucción del conocimiento matemático escolar, teniendo como fundamento el

diseño de situaciones; la otra dirigida hacia la investigación experimental, donde la

simulación y la modelación son usadas con el fin de que el estudiante construya

conocimiento a través de la actividad de resignificación.

En Hernández y Arrieta (2005) tomando la socioepistemología en el sistema escolar, se

dice que confluyen cuatro dimensiones. La que tienen que ver con la naturaleza social

del conocimiento, su formación histórico cultural, la producción y reproducción del

mismo, que es la epistemología; la cognitiva, que hace relación a las interacciones de

aprendizaje, las dadas entre los actores y las referentes al mundo; la didáctica, referente

a las formas de intervención en los procesos escolares; lo social, cómo se desarrollan y

viven en nuestro entorno las prácticas que dan lugar a los conocimientos.

Considerando a la socioepistemología como una nueva base didáctica, sobre la cual la

matemática escolar debe reorganizar la obra matemática, podemos reconocer que en

65


esta teoría interesa no solamente analizar a los que intervienen en las actividades, los

conceptos a aplicar, la relación entre ellos, sino a la práctica social debido a que ésta

explica las formas de constituir conocimiento (Cordero, 2005).

Por esto los trabajos enmarcados en la socioepistemología no se circundan en los

conceptos, pero sí en las personas en un contexto sociocultural específico. Es decir en

cómo se usa el conocimiento, en la manera que se construye, qué razonamientos se

asocian y qué clase de significados se comparten.

3.2 Prácticas, resignificación y modelación

Cuando se habla de modelación inmediatamente se relaciona con la palabra modelo,

donde se considera como reproducción de algo ya establecido. La modelación en la

matemática es considerada como una herramienta didáctica que permitirá que el

estudiante realice representaciones eficientes del objeto matemático en estudio. Si se

tiene el objeto de estudio la función cuadrática y se quiere enseñar, se debe buscar la

didáctica adecuada para que el estudiante construya tal objeto usando las diferentes

representaciones como ecuación cuadrática, fórmulas, tablas y gráficas donde el

individuo debe transitar por cada una de ellas y la modelación juega como la

herramienta facilitadora de este tránsito. Esta es la modelación que busca un modelo

algebraico determinado centrándose en el uso de fórmulas, ecuaciones, tablas y gráficas,

mostrando el objeto enseñado basado en estas representaciones.

La enseñanza de las matemáticas se ha mirado como problemática de las teorías

educativas y psicológicas; pero si queremos que el estudiante tome el conocimiento

66


matemático a nivel social, debemos dejar de mirar cuál es la utilidad de este

conocimiento en la vida y más bien buscar la función de éste en el medio. Esto me

permite integrar el conocimiento a la vida para transformarla, llevando a que en toda

acción didáctica que se realice se construye conocimiento. Entonces podremos decir que

el estudiante aprende a través de nuevos significados del concepto tratado

(resignificación).

En la enseñanza de la matemática a diferentes niveles, se observa el desinterés, la

desmotivación del estudiante en el aprendizaje de los conceptos que conlleva a la

dificultad para que un profesor pueda impartir la enseñanza de los conceptos

matemáticos de acuerdo a lo estipulado en los lineamientos del currículo de cada

institución. Esto debido a que el estudiante no encuentra las relaciones entre teoría,

definiciones, teoremas, propiedades y aplicaciones porque generalmente no se establece

una liga entre ellas y esto hace que ellos no logren los significados relevantes para un

aprendizaje significativo. Entonces se debería favorecer la resignificación para que nos

demos cuenta que el conocimiento matemático tiene significados propios, contextos,

historia, e intención enriqueciendo el significado de conocimientos en un grupo

humano.

La modelación en el ambiente escolar no solamente debe ser una aplicación matemática,

sino más bien una argumentación del concepto tratado. La modelación tomada como

práctica lleva a que el estudiante establezca una relación estrecha entre el saber

científico-saber escolar- y herramientas matemáticas, para desarrollar de esta manera los

procesos mentales conduciendo a un aprendizaje significativo.

Es necesario e importante tener claro lo que significa resignificación, para poder

profundizar en el concepto que se quiere tratar. Buendía (2004) nos comenta que

67


resignificación no es establecer un significado nuevo en un contexto, para luego buscar

otro que resignifique lo ya significado; más bien es la construcción del conocimiento

mismo en la organización del grupo humano, y regulado por aspectos institucionales, y

culturales.

La modelación como práctica desde el enfoque socioepistemológico nos permite que los

estudiantes resignifiquen conceptos matemáticos de una manera diferente a la

tradicional. Esto lo podemos observar en la investigación de Córdoba (2011) quién nos

muestra la práctica de modelación en una perspectiva socioepistemológica, tratando el

fenómeno de enfriamiento de Newton, usando la ecuación diferencial de primer orden

como conocimiento matemático aplicado a estudiantes de nivel ingenieril. Él analiza

las diferentes interacciones de los estudiantes para obtener una resignificación del

conocimiento matemático tratado, ecuaciones diferenciales lineales. Las respuestas

dadas por los estudiantes llevaron a la conclusión de que se puede comprender un

conocimiento matemático de forma diferente a la tradicional como es conceptos

matemáticos sueltos fuera de contexto, sino más bien encadenados y estructurados

donde las prácticas de modelación favorecen la resignificación de estos conceptos.

Al tratar la socioepistemología como una visión teórica de la modelación, intervienen

cuatro dimensiones, y entre ellas la sociocultural que muestra cómo se desarrollan en

nuestro entorno las prácticas que ayudan a formar y/o transformar el conocimiento.

Las prácticas sociales dentro de la socioepistemología son tan importantes que éstas le

dan el fundamento necesario para tratarlo como una teoría emergente. Cordero (2006)

nos comenta sobre algunas prácticas mencionando la graficación que me permite

ampliar el campo de acción de la problemática como también la visión y perspectiva de

la matemática educativa. La resignificación como significación continua, motivada por

68


las prácticas donde el conocimiento como parte necesaria de la actividad por sí solo no

puede modificar el objeto, sino que requiere de la práctica para lograrlo. Menciona la

predicción también como práctica social y donde es el punto de apoyo para la

resignificación; es decir se pueden diseñar situaciones donde la predicción sea el

argumento para generar la resignificación.

Ferrari y Farfán (2008) nos comentan que las prácticas sociales son generadoras de

herramientas y representaciones sociales, que nos permiten generar conocimiento y

construirnos modificándolas y modificándonos. Para Arrieta (2003) en una práctica

social se comprende y transforma la naturaleza y es fuente que desarrolla procesos de

matematización, donde el estudiante construye argumentos, significados, herramientas y

nociones relacionadas con la matemática en la intervención con los fenómenos de la

naturaleza.

Hernández, Muñoz, y Buendía (2007) nos dicen que prácticas sociales como la

predicción y la interpolación en la modelación matemática de fenómenos, favorecen la

reconstrucción del cálculo escolar, donde la socioepistemología reconoce las prácticas

sociales como actividad humana y generadoras de conocimiento matemático.

Investigadores como Arrieta y Hernández (2005), Méndez (2006 y 2008) y Suárez

(2008), entre otros consideran la modelación como una práctica social y se ha

demostrado que al interactuar en diseños de situaciones problema basados en

modelación, es bastante posible que se construya conocimiento matemático por los

individuos que participan en el desarrollo de estas situaciones. Nos comentan que a

través de la modelación surgen conocimientos matemáticos como herramientas de

intervención; por ejemplo, se ha dado evidencia que a través de actividades que hacen

69


referencia a fenómenos físicos, los individuos construyen conocimiento usando

herramientas aplicando la modelación junto a la graficación.

En nuestra investigación se reconoce la modelación en un acercamiento

socioepistemológico, teniendo en cuenta el contexto en cual se desarrollan las diferentes

prácticas diseñadas. En las actividades desarrolladas interviene la naturaleza, la

experimentación, las diferentes relaciones, para resignificar, con el propósito de

elaborar procesos de conocimiento matemático en el aula referente a aspectos que

pueden variar en la función cuadrática. En muchas ocasiones se utiliza la modelación

para enseñar a modelar, para desarrollar teorías, o para realizar la medición de un objeto

matemático simplemente; en esta investigación se desarrollan situaciones didácticas

teniendo en cuenta la epistemología de lo cuadrático, la parte cognitiva, la didáctica y el

contexto social en el cual se desarrollan las actividades propuestas a través de la

argumentación e interacción de los estudiantes. Todo esto utilizando la modelación

como práctica, para así obtener un conocimiento significativo por parte de los

estudiantes en el concepto tratado.

Se puede comentar que la práctica de modelación es el proceso de matematización en el

aula, que lleva a que los fenómenos de la naturaleza (conocimiento científico)

interactúen con el conocimiento escolar (modelos matemáticos). En conclusión en

nuestra investigación la modelación no es solo una aplicación matemática sino algo más

sólido como una práctica, donde se argumente la situación tratada en nuestro caso la

introducción de la función cuadrática. Es así que podemos decir que a través de los

aspectos variacionales (el tiempo como variable independiente, el uso de puntos clave

en la gráfica, el uso de intervalos en la gráfica y sucesiones numéricas en tablas) se

manifiestan argumentos que se van construyendo a medida que el estudiante realiza

70


acciones, con las condiciones que ellos capturan y transforman y los conceptos que van

construyendo de manera progresiva.

Dentro del concepto tratado, la función cuadrática, en nuestra investigación aparecen los

aspectos variacionales, donde esos aspectos contribuirán a que se logre la

resignificación del concepto. En el capítulo 1, en aspectos variacionales de la función

cuadrática propusimos cuatro aspectos sobre los cuales se establecieron las secuencias a

aplicar a los estudiantes. Cada uno de estos aspectos tienen relación con la práctica de

modelación: el tiempo tomado como variable independiente, el análisis de los

intervalos teniendo la gráfica como soporte, los puntos clave que se toman en una

gráfica para poder dar respuesta a las preguntas propuestas y el uso de las tablas donde

los valores numéricos pueden establecer relaciones entre las magnitudes.

Entonces resignificar la función cuadrática en esta investigación es tomar todas aquellas

interacciones, proposiciones, determinaciones y relaciones dadas por los estudiantes

referentes al tiempo como variable independiente, el uso de las gráficas en los puntos

clave e intervalos y el uso de tablas.

Estos aspectos variacionales se tratan de evidenciar en cada una de las secuencias y en

las preguntas diseñadas para la investigación. Tomar el compendio de aspectos

variacionales permitirá, junto a la práctica de modelación y usando la metodología

adecuada resignificar la función en general que me llevará a una introducción

significativa de la función cuadrática.

71


CAPÍTULO 4

EXPERIMENTOS DE DISEÑO

En nuestra investigación se tendrán en cuenta los estudios realizados sobre

experimentos de diseño donde se dan pautas para conocer qué sucede en el aula. El

deseo de los profesores e investigadores ha conducido a buscar metodologías que sean

sensibles a la complejidad de los contextos del proceso enseñanza aprendizaje,

permitiendo entender la relevancia de las investigaciones en la práctica.

En este capítulo comenzaremos hablando de la metodología de los experimentos de

diseño, donde comentaremos también lo relevante de nuestra investigación junto con el

cuestionario diagnóstico como punto de partida de las secuencias. En nuestro trabajo se

propuso una serie de acciones y actividades necesarias para la consecución de los

objetivos de la investigación. Seguidamente se presentan los diseños de las secuencias

donde se hará un análisis a priori de estas actividades. A continuación se hablará de

cómo se planearon la puesta en escena de cada una de las secuencias. Después se

presentará la dinámica que se vivió en el desarrollo de cada actividad programada.

4.1 Descripción metodológica de los experimentos de diseño

Esta clase de metodología se basa en los aportes dados por Cobb et al. (2003) y otros

autores que han publicado artículos relacionados con la metodología.

72


Cuando se habla de investigación de diseño se puede relacionar con una metodología

cualitativa desarrollada dentro de las ciencias de aprendizaje (learning sciences) la cual

se nutre de un amplio campo multidisciplinar que incluye la antropología, la psicología,

la sociología, la neurociencia y otras didácticas (Confrey, 2006). El objetivo principal es

el de analizar el aprendizaje en contexto, mediante el diseño y estudio sistemático de

formas particulares de aprendizaje, de estrategias y herramientas de enseñanza de una

forma sensible a la naturaleza sistémica del aprendizaje, la enseñanza y evaluación. El

ambiente en que se desarrolla el aprendizaje y la actividad en la que participan los

estudiantes e investigadores ha hecho que surjan la necesidad de desarrollar

herramientas tecnológicas, currículum y teorías que ayuden a comprender y predecir

sistemáticamente cómo ocurre el aprendizaje. La investigación de diseño surge en este

contexto ante la necesidad de metodologías que permitan obtener argumentaciones

basadas en la evidencia de contextos naturales, de abordar cuestiones teóricas sobre la

naturaleza del aprendizaje en un determinado contexto y de producir resultados de

investigación a partir de la evaluación formativa.

Confrey (2006) nos comenta que referente a las investigaciones de diseño lo que se

quiere es documentar qué recursos y conocimientos previos ponen en juego los

estudiantes en las tareas, cómo interaccionan los alumnos y profesores, cómo son

creadas las anotaciones y registros, cómo brotan y evolucionan las nociones, qué

recursos se usan, y cómo es llevada a cabo la enseñanza a lo largo del curso de la

instrucción; todo ello mediante el trabajo de los estudiantes, grabaciones de vídeos y

audios recopilados durante el desarrollo de las actividades.

73


No se quiere solamente crear diseños efectivos para algún aprendizaje, sino que además

expliquen por qué el diseño instruccional propuesto funciona y sugerir formas con las

cuales puede ser adaptado a nuevas circunstancias.

Las características de los experimentos de diseño es que son complejos, multivariables,

multiniveles, intervencionistas, iterativos, orientados por la teoría y hacia la práctica y

generadores de modelos teóricos. Ocurren en contextos de la vida real donde

habitualmente se produce algún tipo de aprendizaje. Por lo consiguiente, las situaciones

que se pueden relacionar son variadas: un equipo de investigadores trabajando con un

pequeño grupo de alumnos; un grupo de investigadores trabajando en un aula en

colaboración con un profesor; un grupo de investigadores y formadores de profesores y

maestros en activo promoviendo conjuntamente el desarrollo de una comunidad

profesional.

La mayoría de los experimentos de diseño de aula se conceptualizan como casos del

proceso de apoyo a los grupos de aprendizaje de los estudiantes en un dominio de

contenido particular. La intención teórica, por lo tanto, es la de identificar y explicar los

patrones sucesivos de pensamiento del estudiante al relacionar estos patrones a los

medios por los cuales se desarrolló. Pero los experimentos de diseño en el aula pueden

ir dirigidos a diferentes zonas: una podría centrarse en relación a las normas del aula o

normas para la argumentación matemática o científica y el aprendizaje de los

estudiantes. Otra podría enfatizar la diversidad en que la experiencia previa de los

estudiantes puede ser aprovechada como recurso para garantizar que todos los

estudiantes pueden tener acceso a las ideas disciplinarias significativas.

Como parte de la preparación de un experimento de diseño del aula, el equipo de

investigación también especifica sus suposiciones acerca de los puntos de partida

74


intelectual y social de las formas previstas de aprendizaje. Para conseguir el programa

de instrucción, el equipo identifica las capacidades actuales de los estudiantes, las

prácticas actuales y otros medios que podría ser capaz de construir. En los zonas

relativamente bien investigadas se puede acudir a la literatura para desarrollar

conjeturas sobre interpretaciones y declaraciones iniciales de los estudiantes. Sin

embargo, en las zonas menos investigadas, el equipo de investigación necesita llevar a

cabo un trabajo piloto para documentar estos conocimientos y, por tanto, las

consecuencias de historias educativas previas de los estudiantes. Además es muy

importante que los investigadores comuniquen en su mayoría lo que se está logrando en

la investigación. Esto implica que se generen datos que apoyen el análisis sistemático

del fenómeno que se investiga. Para poder lograr estos datos se necesita la recopilación

y coordinación de una gama de fuentes de datos donde deben aparecer los productos del

aprendizaje (el trabajo de los estudiantes), el discurso en el aula, la postura corporal y

los gestos, las tareas y estructuras de la actividad, los patrones de interacción social,

inscripciones, anotaciones y otras herramientas, las respuestas a las entrevistas o

cuestionarios, pruebas u otras formas de evaluación. El apoyo tecnológico para la

generación de estos tipos de datos (por ejemplo, cámaras de video, sistemas de

grabación de audio sofisticados dispositivos electrónicos de almacenamiento en masa)

permite aunar esfuerzos, pero también impone sus propios desafíos (por ejemplo, el

desarrollo de herramientas y procedimientos para la gestión y el análisis de grandes

cantidades de datos).

Aparece un aparte muy interesante en este experimento de diseño y es el análisis

retrospectivo de los datos recogidos en la actividad de aula desarrollada. Mediante el

análisis de las grabaciones, audios o notas recogidas durante cada intervención, el

investigador-profesor puede reactivar sus recuerdos de las experiencias vividas en el

75


aula pudiendo así recordar las interpretaciones espontáneas que fueron realizadas en el

momento de la intervención, como respuesta a las acciones de los estudiantes. Además

esta retrospectiva permite recordar u observar las interacciones de las actividades de los

estudiantes que de pronto no fueron detalladas en el desarrollo de la investigación.

Los experimentos de diseño no solamente persiguen crear diseños prácticos, sino

también explicar por qué el diseño propuesto funciona y así poder sugerir cómo

adaptarlos a nuevas situaciones. Se incluye y refleja un compromiso para entender las

relaciones existentes entre teoría educativa, práctica e instrumentos (ya sean recursos

didácticos o herramientas conceptuales). Esto es posible porque, al mismo tiempo que

se estudia el proceso de aprendizaje, también se analizan los modos mediante los

cuales éste se sustenta y se organiza.

En nuestra investigación los experimentos de diseño no solamente forman parte del

conocimiento de una metodología, sino que además servirán para ponerlos en práctica

en el desarrollo y análisis de la investigación. Los experimentos de diseño aportarán al

trabajo aquellas acciones que en la recopilación de datos pasan inadvertidas y las cuales

aportan para la complementación de la investigación.

La observación directa, la escucha de los diálogos, reconocer las acciones que los

estudiantes realizan en el desarrollo de la actividad, las interacciones entre pares, los

gestos, el uso de los recursos son algunos parámetros que se tendrán en cuenta para el

avance de la investigación.

76


4.2 Importancia de la investigación

Dentro de la matemática educativa el campo de estudio de la función cuadrática tiene un

nivel de acogida bastante grande, mirada desde diferentes aspectos de investigación. Se

reconocen una gran variedad de investigaciones en didáctica de la función cuadrática

teniendo como herramienta la práctica de modelación como se menciona en este trabajo

a lo largo de cada uno de los capítulos expuestos. Pero esto no es impedimento para

seguir buscando alternativas de enseñanza de la función cuadrática en otros aspectos.

Lo interesante de nuestra propuesta es que se centra en estudiantes de inicio del

bachillerato entre 12 y 13 años, donde el conocimiento sobre función cuadrática hasta

ahora comienza a dar sus primeros pasos y están en tránsito hacia el precálculo. La tesis

está fortalecida hacia la propuesta de una didáctica realizable en el aula de clase lo cual

se reporta en el diseño de las secuencias y en el análisis de éstas. Se usan grupos

experimentales en el aula tanto en la prueba diagnóstica como en las dos secuencias.

El tomar como parte metodológica los experimentos de diseño hace que nuestra

propuesta se encamine en analizar aspectos de una manera diferente en el aula de clase.

Los experimentos de diseño, no son tareas de clase sino que están dentro de un diseño

pedagógico mirado hacia el aula de una manera inteligente y propositiva a partir de

resultados de la investigación, permitiendo además desarrollar teoría. Referente a lo

teórico es determinar cómo los aspectos variacionales pueden vivir en el aula de clase

con los estudiantes. Se propone una malla de análisis para observar a través de sus

componentes cómo está explicitada la función en general y cómo se introduce la

función cuadrática mirada desde los aspectos variacionales tomando la modelación

como práctica para el desarrollo de las secuencias.

77


No es solo ver que la modelación funciona con las secuencias, tampoco es solo ver que

a los estudiantes les gustó la función cuadrática y que a través de fenómenos físicos

pudieron reconocerla, sino que además se desarrolla teoría en el sentido de que la teoría

se puede ver en forma concreta y precisa en el aula.

Más allá de crear diseños efectivos para algún aprendizaje, se persigue explicar por qué

el diseño instruccional propuesto funciona y sugerir formas con las cuales puede ser

adaptado a nuevas circunstancias. Se incluye y refleja un compromiso para entender las

relaciones existentes entre teoría educativa, práctica e instrumentos (ya sean recursos

didácticos o herramientas conceptuales). Esto es posible porque, al mismo tiempo que

se estudia el proceso de aprendizaje, se analizan los modos mediante los cuales éste se

sustenta y se organiza (Cobb et al. 2003).

La meta teórica de los experimentos de diseño es la de desarrollar un marco

interpretativo que explique las relaciones entre las prácticas del profesor y el escenario

institucional en el cual se trabaja. Por ejemplo se puede analizar patrones en el

pensamiento del estudiante, las relaciones entre las normas del aula es decir relaciones

entre el profesor con los líderes, profesor con los demás y líderes con los demás.

También las relaciones de los estudiantes con el saber y con el fenómeno de

movimiento tanto el de ida y regreso como el de lanzamiento vertical. El realizar una

experiencia previa como el cuestionario diagnóstico puede capitalizarse como recurso y

con esta información la encaminamos hacia lo que puede suceder, teniendo en cuenta la

experiencia del investigador. Para Cobb et al. (2003) los trabajos previos son necesarios

para documentar los conocimientos.

Los experimentos de diseño nos dan el punto de unión entre la teoría-estudiante-

prácticas- y profesor; nos permitirán obtener argumentaciones basadas en la evidencia

78


procedente de contextos naturales, de abordar cuestiones teóricas sobre la naturaleza del

aprendizaje en contexto y de producir resultados a partir de evaluación formativa.

También nos aclara que a partir de fuente de datos como el trabajo de los estudiantes,

sus interacciones, sus posturas corporales, sus gestos, la interacción entre estudiantes,

las respuestas a las preguntas, se puede obtener información relevante para la

investigación. Otro aspecto interesante es que me permite el uso de recursos variados

(videos, audios, los trabajos escritos) para el análisis de la actividad propuesta. El papel

de investigador-profesor es crucial ya que puede tomar decisiones en los experimentos

formulados. Por último permite proponer secuencias donde interviene la práctica de

modelación para la función cuadrática teniendo en cuenta sus aspectos variacionales.

En nuestra investigación se mostrarán secuencias aplicables a estudiantes de cualquier

nivel del bachillerato que adaptadas también pueden llevarse a nivel universitario.

Nuestro trabajo está enmarcado en la socioepistemología y no solo se ciñe en el

concepto tratado de la función cuadrática o en las mismas personas, sino más bien en

cómo los estudiantes usan el conocimiento, cómo significan la función cuadrática a

través de tomar intencionalmente aspectos variacionales, qué razonamientos se asocian

y qué clase de significados se comparten.

Cuando se habla en la investigación de introducción de la función cuadrática, se

reconoce que se quiere dar al estudiante un conjunto de significados que provienen de

haber puesto intencionalmente una actividad de modelación y dejar que los

conocimientos matemáticos se transformen en herramientas y argumentos para el

estudiante. Argumentos como el de un comportamiento curvo es el que conforma los

significados para la función cuadrática rompiendo lo lineal y que me abre el horizonte

no solo para lo cuadrático sino para otros comportamientos.

79


Examinando que la investigación trata como primera medida que el estudiante genere

una base de significados, donde se empiece a romper con lo lineal y es por eso que se

quiere favorecer una base de elementos (aspectos variacionales). Es aquí donde

podemos hablar de introducción no como una introducción escolar, sino una que

favorezca la socioepistemología es decir que muestre significados articulados.

4.3 Cuestionario diagnóstico

Con este cuestionario se quiere indagar qué conocimiento posee el estudiante referente a

trayectorias, gráficas, relación distancia-tiempo y tratamiento de situaciones que reflejan

la modelación como práctica. Además analizar cuáles podrían ser las respuestas ante las

situaciones y preguntas propuestas. Cobb et al. (2003) propone que en las zonas menos

investigadas, el equipo de investigación necesita llevar a cabo un trabajo piloto para documentar

estos conocimientos.

El cuestionario consta de cinco preguntas y es aplicado a estudiantes de séptimo entre

los 11 y 12 años de edad, correspondiente a un grado menor al que se aplica las

secuencias 1 y 2 que se mostrarán más adelante. La población escogida pertenece a la

misma institución y a la misma sede. La prueba diagnóstica que aquí mostraremos es

aplicada como se mencionó anteriormente a estudiantes de un grado inferior a los que se

aplica la secuencia y que por ir en proyección se supone que tiene un menor

conocimiento sobre los aspectos matemáticos tratados. Como se desarrolla un mismo

sistema curricular aprobado por la institución, se sigue una secuencia progresiva de los

conocimientos matemáticos, en ambos grados se usa el mismo sistema de discurso

escolar, el sistema de evaluación es consensuado siguiendo el sistema de evaluación

80


establecido en la institución. Por estos criterios la información que pueden proporcionar

los estudiantes a los cuales se les aplica el cuestionario, sirven para tenerlos en cuenta

referidos a los estudiantes a los que se les aplica las secuencias. Cobb et al. (2003) nos

comentan que los medios para apoyar a los estudiantes son interpretados en términos

generales de acuerdo a la complejidad del proceso enseñanza-aprendizaje. Esto implica

que el grupo de investigación debe generar múltiples formas de datos para documentar

adecuadamente el aprendizaje. Si en el aprendizaje nos centramos en el aula de clase es

importante hacer hincapié en que el enfoque y la forma de documentación varían de

acuerdo con el marco institucional.

Las preguntas diseñadas para el cuestionario diagnóstico son las siguientes:

1. De acuerdo a sus conocimientos dibuje una gráfica cualquiera.

2. ¿Qué entiende por una gráfica lineal? Esbócela

3. Un automóvil se mueve en línea recta una distancia de 200m.Dibuje esta

trayectoria

4. El mismo auto después debe subir una montaña de 250m y 250 m de bajada.

Dibuja esta trayectoria.

5. La gráfica siguiente describe el movimiento de una oruga tomando en cuenta el

tiempo y la distancia. Si a usted le muestran la siguiente gráfica y le piden que

debe describir con palabras dicho movimiento a sus compañeros que no han

visto la gráfica, ¿qué les dirías?

81


Mirando lo que nosotros como investigadores esperamos de este cuestionario, podemos

reconocer en las preguntas algunos parámetros importantes y a continuación los

daremos a conocer. Cobb et al. (2003) nos dicen que en la prueba diagnóstica, el equipo

también puede desarrollar nuevos métodos para evaluar aspectos del razonamiento del

estudiante que necesitan ser documentados, dados los efectos del experimento.

PREGUNTA 1

Esta pregunta se realiza para identificar el nivel de conocimiento que el estudiante posee

sobre gráficas. Además poder establecer si reconocen la diferencia entre una gráfica y

una figura cualquiera. Determinar si usa al realizar la gráfica puntos claves y de qué

forma los utiliza.

PREGUNTA 2

Con esta pregunta se quiere que el estudiante determine algunas formas geométricas de

las gráficas en este caso la lineal. Él reconocerá un punto de partida y un punto final,

82


estableciendo puntos clave para darle forma. También que relacione o establezca parejas

ordenadas.

PREGUNTA 3

Cuando se le dice al estudiante que dibuje una trayectoria se espera que realice un trazo

de línea sin interesar la inclinación que se le dé. Nuevamente se espera que en esta

trayectoria establezca un punto de inicio y un punto final para realizarla.

PREGUNTA 4

La pregunta se propone para que el estudiante establezca que el movimiento del auto

depende de la forma del trayecto. En el establecerá puntos clave como partida, llegada y

punto de cambio de dirección.

PREGUNTA 5

Se espera con esta pregunta que el estudiante pueda establecer una relación entre

lenguaje visual-gráfico y un lenguaje verbal. Para poder realizar la anterior acción debe

de identificar puntos claves de la gráfica partida y llegada, relación entre las variables

propuestas en la gráfica y realizar representaciones en tiempo real.

4.3.1 Planeación cuestionario diagnóstico

El cuestionario diagnóstico se concibió con el fin de aplicárselo a estudiantes de un

nivel inferior al que se aplica las secuencias y el propósito de esta prueba es la de

conocer aquello que los estudiantes saben sobre trayectoria, gráficas, relación distancia-

tiempo. Cada una de las preguntas se diseñaron dirigidas a estudiantes de entre 11 y 12

años con un lenguaje verbal y matemático acorde a esta edad.

83


El cuestionario se diseña pensando en averiguar cuál sería la reacción del estudiante

ante situaciones que de pronto en ninguna ocasión se les había mencionado y cómo

llegarían a la respuesta. Se realiza a la par con las secuencias teniendo en cuenta algunos

criterios como la edad y algunos conocimientos previos que pueden tener.

Los estudiantes se escogieron al azar de dos grupos conformados por 35 estudiantes

cada uno y pertenecientes al Instituto Integrado San Bernardo de la ciudad de

Floridablanca-Colombia.

En esta situación no se tuvieron en cuenta grabación de audio ni vídeo, solamente nos

interesa los comentarios y lo que ellos plasmen cada uno en sus respuestas. Se

desarrolló en el aula de clase en horas normales y en presencia de todos los demás

compañeros, los cuales realizaban otra actividad.

En la planeación del cuestionario aparecen más preguntas pero a medida que nos

concentramos en el objetivo de la investigación se reduce el cuestionario hasta quedar el

que se presenta a los estudiantes. En esta planeación se tiene en cuenta que son

estudiantes que de una u otra forma están en constante interacción con el medio y que

en este sentido también pueden desarrollar actividades que hacen relación a la

modelación.

4.3.2 Metodología Prueba diagnóstica

La prueba diagnóstica se aplicó a estudiantes del mismo instituto, pero de un grado

inferior como se mencionó anteriormente. Fue tomada por 27 estudiantes, los cuales

resolvieron y dieron su opinión sobre cada una de las preguntas propuestas de una

manera individual. Se les menciona que la prueba no es de carácter obligatorio y no

84


tiene una nota específica en el área. Al no tener ninguna presión de grabar audio ni

video me parece que la respondieron en un tiempo prudente de aproximadamente una

hora. Usaron reglas, lápices y lapiceros sin ningún inconveniente. Los interrogantes

presentados por los estudiantes fueron pocos, pero la pregunta que les causó más

inconveniente fue la referente a la oruga (pregunta 5) donde debían a través de palabras

comunicar una situación problema.

Entre los interrogantes que se hacían los estudiantes ante la pregunta 5 de la prueba era

que si se debían utilizar números para indicar a los otros lo que sucedía. Otros se

preguntaban que si podía hacerse como si fuera un problema (tipo de problema

matemático que comúnmente se les sugiere a los estudiantes que desarrollen). Referente

a las demás preguntas propuestas en la prueba no se presentó ningún inconveniente o

interpelación, lo cual se supuso que habían comprendido que hacer en cada una de

ellas.

Al observar el desarrollo del cuestionario se pudo detallar que los estudiantes de

acuerdo a sus conocimientos matemáticos sobre trayectoria y gráficas responden las

preguntas relacionadas. Los estudiantes estuvieron muy concentrados en dar respuesta a

las preguntas sin ningún llamado de atención por desorden o falta de interés en éstas.

Usaron artefactos para la construcción de las gráficas como reglas o escuadras.

4.3.3 Análisis del cuestionario diagnóstico

En este análisis mostraremos aquellas respuestas relevantes que dieron los estudiantes a

las cuales se les aplicó el cuestionario diagnóstico.

85


PREGUNTA 1

Los estudiantes demostraron a través de esta pregunta que tienen conocimiento aunque

no profundo sobre lo que es una gráfica, manifestando características importantes de

ella. Todos establecen ejes horizontal y vertical y en ellos proponen valores numéricos.

También en aquellas gráficas donde trazan una línea o una curva establecen parejas

ordenadas como puntos guía para realizar las uniones de puntos. Otros estudiantes

realizan diagramas de barras (en algunos momentos son tomadas como gráficas en el

discurso escolar) indicando también valores numéricos en sus ejes. Unos pocos

establecen en los ejes magnitudes.

Figura 2. Representación de gráficas

PREGUNTA 2

En esta pregunta los estudiantes en su mayoría esbozan una gráfica lineal, con valores

numéricos en los ejes. Algunos expresan verbalmente lo que es una gráfica lineal. La

86


mayoría establece parejas ordenadas para realizar la gráfica teniendo puntos clave. Uno

de los estudiantes explica lo que es una gráfica pero no la esboza y otro no tiene

conocimiento sobre lo que es una gráfica lineal.

Que es una grafica que al tener ya todos los resultados forme una línea recta

Figura 3. Esbozo de una gráfica lineal

PREGUNTA 3

Al resolver esta pregunta la mayoría de estudiantes establecen la trayectoria a través de

una línea recta horizontal mostrando un punto de partida y un punto de llegada. Algunos

estudiantes realizan divisiones numéricas en todo el trayecto. Muchos de ellos en el

trayecto pintan el auto. Dos estudiantes dibujan la trayectoria como si esta fuera una

gráfica estableciendo ejes y valores en ellos; podemos creer que la pregunta genera un

obstáculo, debido a que los estudiantes por cuestiones institucionalizadas toman una

trayectoria como un comportamiento rectilíneo. Otro estudiante realiza la trayectoria en

línea recta pero colocando una inclinación o pendiente.

87


Figura 4. Trayectoria de un auto en línea recta

PREGUNTA 4

Para responder a esta pregunta los estudiantes en su mayoría reconocen lo que es una

trayectoria que transcurre en forma curva y pintan una montaña con 250 m de subida y

250 m de bajada. Muchos de ellos pintan también en la montaña un auto y puntos de

partida, llegada y el punto en el cual el auto comienza a bajar. También en los dibujos

mostrados por estos estudiantes marcan el valor numérico de subida como el de bajada.

Dos de los estudiantes realizan un bosquejo pero usando ejes y parejas ordenadas; es

aquí donde podemos expresar que aparece un obstáculo, el de reconocer una trayectoria

curva como un comportamiento rectilíneo. Otro pinta una especie de triángulo

rectángulo para indicar el movimiento del auto y podemos determinar que los

estudiantes relacionan cualquier movimiento con líneas rectas. Establecen puntos de

apoyo para realizar o mostrar la respuesta.

88


Figura 5. Trayectoria de un auto en una montaña

PREGUNTA 5

En esta pregunta loa estudiantes encuentran gran dificultad en dar la respuesta. La

mayoría no tiene la fluidez verbal y el conocimiento para transformar un lenguaje

gráfico en un lenguaje verbal. Algunos optaron por escribir simplemente lo que se les

venía a la cabeza. Otros escribieron que la oruga partía de un metro de distancia y

llegaba hasta una distancia de 6 m en 10 horas. Algunos pocos escribieron que la oruga

recorría 1m cada 2 horas, dando una interpretación más acorde a lo observado. Otros

estudiantes mencionan que deben hacer una gráfica y dibujar una línea recta con

magnitudes de distancia y tiempo sin mencionar los puntos de partida ni de llegada. Sin

embargo unos pocos en su lenguaje tratan de proponer una especie de problema

recordando el discurso escolar sobre el cual han desarrollado conocimiento. Aunque

pocos comprenden la situación, sí la reportan de una manera aceptable en su escrito. Sin

89


intención unas copias dadas a los estudiantes no mostraban claramente los puntos de

unión del plano cartesiano que sí tenían la mayoría; esto parece que dificultó para que

relacionaran claramente la distancia con el tiempo y dieran respuestas coherentes y

acordes a la gráfica. Lo anterior nos muestra cómo la institucionalización de parejas

ordenadas en una gráfica, ayuda a encontrar resultados o puede ser un obstáculo el dar

siempre esta clase de guías para crear significados.

Una oruga se mueve en una distancia de 6 metros en un tiempo de 10 horas o sea en cada hora recorre 0,6m. la

grafica verticalmente tiene una distancia en mt y horizontalmente tiene un tiempo en horas determinado de 10.

Realice la grafica de acuerdo con los datos.

90


En la distancia de metros la oruga recorre 10 horas. En 1 metro la oruga recorre 1 hora. En 2 metros la oruga

recorre 2 horas, en 2,5 metros la oruga recorre 3 horas, en 3 metros la oruga recorre 4 horas, en 3,5 la oruga

recorre 5 horas, en 4 metros la oruga recorre 6 horas, en 4,5 metros la oruga recorre 7 horas, en 5 metros la oruga

recorre 8 horas,, en 5,5 metros la oruga recorre 9 horas y en 6 metros la oruga recorre 10 horas.

Una oruga que en un metro de distancia se demora una hora y en cuatro metros se demora cuatro horas.

Cuantas horas se demoraran en recorrer 10 metros.

91


El movimiento de la oruga el tiempo y distancia la oruga por 2 horas recorre una distancia de 1 metro.

Figura 6. Argumentos verbales para describir una gráfica

REFLEXIÓN

En esta prueba diagnóstica los resultados nos llevan a creer que los estudiantes a través

de situaciones cotidianas, con proposiciones claras, nos puede dar un indicio de que sí

se puede tener en cuenta la práctica de modelación en las diferentes actividades

programadas en matemática. Esta prueba me sirve de referente para la aplicación de las

secuencias y tener así un indicio del objetivo que se quiere obtener. Cuando se

establecen magnitudes en una gráfica, cuando establecen relaciones de dichas

magnitudes, cuando son capaces de diferenciar entre trayectoria y gráfica y cuando

transforma un lenguaje gráfico en verbal o viceversa se logra un conocimiento que guía

para la aplicación de las secuencias. También podemos analizar cuando se presentan

algunos obstáculos como el de relacionar movimientos con un comportamiento lineal

sin serlo o establecer que una trayectoria es lo mismo que una gráfica.

92


4.4 Malla de análisis

Nuestra investigación se centra en los aspectos variacionales de la función cuadrática,

los cuales encierran una serie de elementos necesarios para tener en cuenta en el análisis

de las secuencias diseñadas para este propósito.

Los aspectos variacionales en el estudio de la introducción de la función cuadrática se

establecen como elementos que van a beneficiar el análisis en el desarrollo de la

investigación. Cada uno de estos aspectos y el conjunto de ellos encierran el objetivo de

la investigación, el de discutir el favorecimiento de los aspectos variacionales en los

fenómenos físicos presentados en las secuencias.

Los aspectos variacionales a reconocer en el análisis de investigación y que conforman

la llamada malla de análisis son los siguientes:

1. Tiempo como variable independiente

2. Uso de la gráfica: intervalos

3. Uso de la gráfica: puntos clave

4. Uso de tablas: secuencia numérica

En la investigación aunque los aspectos variacionales fueron diseñados a la luz de

referencias, lecturas y argumentaciones dadas por autores, el objetivo no es la de poner

en funcionamiento los aspectos variacionales que se señalan, sino analizar qué pasa con

cada uno de ellos en las secuencias propuestas.

Tiempo como variable independiente. Las dos secuencias propuestas tienen el tiempo

como variable. El tomar fenómenos físicos para el estudio de la variabilidad de la

función cuadrática, implica reconocer el tiempo como variable independiente donde se

93


analiza la variación de otro componente como distancia o altura al poner un objeto

cualquiera en movimiento. El reconocer el tiempo como esa variable que transcurre sin

regresar, hace que en la propuesta se tenga en cuenta y forme parte del análisis a

realizar. En cada una de las preguntas siempre debe aparecer el tiempo como algo

tangible, aunque no se vea explícitamente y no esté escrito. Dolores, Alarcón y Albarrán

(2002) en su investigación comentan que las representaciones semióticas del

movimiento utilizadas con frecuencia en cinemática hacen visible las trayectorias y en

matemática escolar a las gráficas cartesianas. Reconocen el tiempo como variable en las

dos representaciones, pero las trayectorias son cercanas a lo que nosotros observamos,

mientras que las gráficas cartesianas están más alejadas de una percepción inmediata.

En otra investigación desarrollada por Díaz (2005) muestra el trabajo realizado a

estudiantes de décimo grado referente a las concepciones que tienen los estudiantes con

respecto al tiempo cuando se les da una actividad a desarrollar. La investigación de

Díaz recopila los textos de los estudiantes a través de bitácoras y el análisis lo realiza

identificando metáforas en los textos. A partir de los discursos de los estudiantes se

reconoce el tiempo como connatural donde tienen que ver con estados distintos de

acuerdo al paso del tiempo, donde hay un antes y un después de una misma cosa a la

que se le detectan estados diferentes y se describen dando cuenta del tipo de cambio

sucedido. En el análisis de las actividades se ve una concepción cotidiana en la que el

tiempo es la duración de las cosas sujetas a mudanza; pero a su vez es el tiempo que

dura algo o que transcurre entre el comienzo y el fin de un proceso. El reconocer la

representación matemática que concibe al tiempo como una distancia, compite a la hora

de graficarlos juntos.

94


Uso de la gráfica: puntos clave. Cuando se dan una serie de datos ya sea tabulados o

que se toman directamente de la realidad y los cuales se quieren llevar a una gráfica,

generalmente se usan puntos que son fundamentales para la graficación. En nuestro caso

el tomar puntos clave del movimiento del auto de ida y regreso como el lanzamiento

vertical de la pelota, lleva al estudiante a identificar más claramente el movimiento del

objeto y así poder realizar o desarrollar las preguntas propuestas y llevar a que el

estudiante obtenga el conocimiento sobre los aspectos variacionales de la función

cuadrática. Los puntos clave en algunas gráficas me indican cambios de dirección o

sentido del movimiento, dando una mejor visión del movimiento en forma gráfica.

Buendía (2012) comenta que otra estrategia de resolución de las preguntas propuestas

cuando se usa la gráfica es la identificación de puntos clave o significativos, ya sea

numéricamente para utilizarlos en fórmulas o de forma gráfica, para hallar las

coordenadas de intersección.

Con los puntos clave tomados y llevados a una gráfica facilita la consecución de los

intervalos de tiempo o distancia, porque estos puntos clave permiten realizar

interpretaciones y cálculos de movimiento del objeto. Los puntos clave están ligados

con los intervalos, porque lleva de una concepción local a una global. De acuerdo al

reporte del diagnóstico podemos pensar que los estudiantes toman puntos clave en la

horizontal y los relacionan con otros puntos en la vertical, pero siempre estableciendo

proporciones numéricas y guiándose por el plano cartesiano para localizar puntos en

especial cuando el plano proporciona una cuadrícula.

Uso de la gráfica: intervalos. Con el reconocimiento del tiempo como variable

independiente, el uso que podemos darle a la gráfica para la interpretación del

95


movimiento en el fenómeno de lanzamiento vertical y el de ida y vuelta del auto que se

proponen es bastante interesante porque a través de una gráfica podemos establecer

relaciones de una manera más coherente debido a la visualización del comportamiento

del fenómeno tratado. Además qué sucede cuando se toman intervalos de tiempo o

porciones del movimiento referente a la distancia o altura. Se puede detallar cuál es el

comportamiento del movimiento cuando se analiza cada uno de los intervalos

propuestos o cuando le piden hallar relaciones teniendo en cuenta un intervalo. La

gráfica me permite visualizar la manera que se realiza el movimiento referente a dos

magnitudes dadas y si una de ellas hace referencia al tiempo. Cuando se toman

intervalos en una gráfica se pueden analizar trozos de ésta es decir volver más pequeño

los trayectos, con el propósito de que el estudiante establezca las diferencias cuando se

tiene un porción grande de la gráfica referente a cuando es pequeña. Buendía (2012) en

su trabajo reconoce el uso de los intervalos en la gráfica como una estrategia de

resolución de la actividad propuesta, donde la acumulación de distancias de intervalos

da la proporción total. También podemos pensar que el estudiante para esbozar la

gráfica utiliza el plano cartesiano usando cuadrícula para establecer intersecciones entre

distancia-tiempo y de esta manera mostrarla. Cuando el estudiante utiliza los puntos de

la anterior manera, los convierte en puntos muy importantes para la graficación o

esbozo de una trayectoria.

Uso de tablas: secuencia numérica. Teniendo el tiempo como variable independiente

y la distancia o altura como variable dependiente, el uso de tablas para el manejo

ordenado de los datos es indispensable y necesario. Además algo muy importante es la

visualización que pueden dar las tablas, porque a partir de ellas se puede llegar a

determinar la proporcionalidad de los datos y en algunos casos el comportamiento del

movimiento. El tomar intervalos de tiempo iguales permite observar en las tablas si la

96


distancia o altura aumenta o disminuye en el transcurrir del tiempo. Arrieta (2003) en su

trabajo de investigación llama la numerización de los fenómenos a aquellas prácticas de

modelación donde se parte de la recolección de datos numéricos de un fenómeno para

construir modelos numéricos. Estas prácticas se centran en el uso de modelos

numéricos. Según Arrieta cuando el estudiante interactúa con el fenómeno identifican

las variables que intervienen en él, organizando los datos obtenidos en una tabla

numérica.

Esta malla de elementos propuestos para el análisis de las secuencias, me permitirá

puntualizar e interactuar con estos elementos y encaminar la investigación hacia los

objetivos presentados.

4.5 Diseño de las secuencias

Las investigaciones realizadas al seno de Matemática Educativa poseen muchos matices

donde se tratan de buscar respuestas a situaciones que den explicación de cómo

aprenden los estudiantes, cómo enseñar un objeto de estudio, los procesos mentales que

suceden en los estudiantes al realizar el aprendizaje, entre otras.

Nuestra investigación fundamenta la atención en las prácticas que nosotros como

humanos realizamos en la escuela para el aprendizaje de la función, teniendo en cuenta

cuáles de esas prácticas nos llevan a la construcción significativa del conocimiento del

objeto de estudio en nuestro caso la función cuadrática.

En esta etapa se busca desarrollar en forma intencional la modelación en el aula de

clase a través de las secuencias que se proponen.

97


Las secuencias diseñadas parten de fenómenos físicos extraídos de la observación

diaria donde sin tanto conocimiento de conceptos físicos el estudiante puede relacionar

y establecer procesos matemáticos para el aprendizaje referente a la introducción de la

función cuadrática. Cobb et al. (2003) nos dicen que los experimentos de diseño

ocurren en contextos de la vida real donde habitualmente se produce algún tipo de

aprendizaje.

Las secuencias son aplicadas a estudiantes del grado octavo3 del Instituto Integrado San

Bernardo Floridablanca (Colombia) siguiendo los lineamientos curriculares, y

estándares de matemática propuestos por el ministerio de educación nacional. Entre los

estándares se establece la aplicación de la modelación en el ambiente escolar para los

grados octavo y noveno en el pensamiento variacional, sistemas algebraicos, y

analíticos (MEN, 2006, p. 87).

El conocimiento que se tiene en este grado de función cuadrática es solamente

introductorio; se establecen relaciones entre gráfica-álgebra-tabulaciones, se toman

situaciones para explicar y se dan algunas aplicaciones al terminar la

conceptualización. El cuestionario diagnóstico refleja el nivel de profundidad propio de

estos estudiantes que tienen sobre función y función cuadrática y que se deben plasmar

en sus informes. Por tal motivo como se describió en los objetivos se piensa mostrar

cómo la modelación favorece la introducción a estudiantes de inicio del bachillerato el

concepto de función cuadrática. Las secuencias serán el medio por el cual se muestra

la intencionalidad de la modelación para que los estudiantes logren establecer

relaciones significativas entre gráfica-álgebra-tabulaciones, relaciones entre magnitudes

3 . Estudiantes comprendidos entre 12-13 años correspondientes a una grado intermedio del bachillerato.

98


variables, relaciones entre diferentes contextos e integre el mundo real al ámbito

escolar.

Con el diseño de estas secuencias se quiere despertar el interés de cada uno de los

estudiantes llevándolos a que desarrollen las preguntas propuestas, estableciendo las

diferentes relaciones matemáticas para lograr lo requerido. Además de acuerdo al

ambiente que se propicie entre ellos usen el método colaborativo, realicen discusiones

entre grupos y propongan soluciones a cada actividad.

El diseño de las secuencias se fortalece en el ámbito de lo cotidiano es decir en aquello

que el estudiante puede observar y relacionar con el medio ambiente en el que vive. Por

esto se plantean dos secuencias relacionadas con el movimiento de ida y regreso de un

auto y el lanzamiento vertical de una pelota. Respecto a los objetivos propuestos para la

investigación dados en el capítulo 1, se necesita de algunos aspectos a tener en cuenta y

que con la implementación y diseño de estas secuencias se pueden obtener. Entre esos

aspectos mencionaremos el de observar los comportamientos de los estudiantes en el

desarrollo de cada una de las actividades, el cómo llega a la solución de la situación, que

herramientas utiliza, la interacción entre sus compañeros. Podemos agregar además los

siguientes aspectos: el observar y analizar cómo el estudiante usa y desarrolla los

aspectos variacionales de función cuadrática formulando conjeturas, realizando

predicciones, identificando variables, usando gráficas, realizando tablas y mirando la

proporcionalidad de los datos y estableciendo relaciones entre tabulaciones-gráficas; el

relacionar cómo aprende el estudiante, qué herramientas y mecanismos usa para lograr

el objetivo a través de secuencias prácticas aplicadas a cada uno de ellos; cómo puede

el individuo relacionar el concepto de función cuadrática con la realidad, cómo

contextualiza, qué medios utilizan para relacionarlo con el entorno. Todo lo anterior

99


reunido brinda los elementos necesarios para el fortalecimiento de nuestra

investigación.

Los fenómenos que se ponen en escena en la investigación son idealizados. Una de las

fuerzas de la tesis es que el profesor investigador está analizando su actividad en el aula,

se idean las secuencias no se toman ya hechas, no son secuencia producto de la

investigación, son del quehacer diario del profesor. Las secuencias se fueron

modificando de acuerdo al quehacer en el aula del profesor más que a la investigación

misma.

Cuando se diseñan las dos secuencias el investigador se encamina hacia la búsqueda de

alternativas para el proceso enseñanza aprendizaje de la introducción significativa de la

función cuadrática enfocándose en todos aquellos argumentos y formas que el

estudiante usa para poder desarrollar su trabajo.

Cobb et al. (2003) nos comentan que la mayoría de los experimentos de diseño de aula

se conceptualizan como casos del proceso de apoyo a los grupos de aprendizaje de los

estudiantes en un dominio de contenido particular. La intención teórica, por lo tanto es

identificar y explicar un pensamiento variacional en el estudiante al relacionar estos

patrones con los medios por los cuales se desarrolla. Sin embargo, los experimentos de

diseño en el aula pueden fijar su atención en diferentes zonas de estudio. Entre las zonas

se puede mencionar la que trata la relación entre normas del aula o normas para la

argumentación matemática o científica, y el aprendizaje de los estudiantes. Otro estudio

podría enfatizar las formas en que la diversidad de las experiencias previas de los

estudiantes puede ser aprovechada como recurso.

Para el desarrollo de nuestra investigación nos centraremos en la zona que trata sobre

las normas en el aula.

100


4.5.1 Secuencia 1

En esta secuencia la actividad se basa en el estudio del desplazamiento que sufre un

automóvil de un punto determinado al otro. Este tipo de situaciones son presentadas con

alguna regularidad en aplicaciones del movimiento de cuerpos en física, en el tema

conocido como cinemática. Sin embargo generalmente son propuestas con el objeto de

que el estudiante aplique los algoritmos establecidos sobre movimiento ya sea de

desplazamiento y velocidad en función del tiempo y simplemente remplace valores sin

profundizar nada más. En esta secuencia se quiere que el estudiante tome el fenómeno

de movimiento de un auto y a través de ésta pueda instaurar comparaciones y establecer

relaciones tiempo- distancia. Además que se pueda analizar cómo el estudiante favorece

los aspectos variacionales de función cuadrática, si identifica variables, cómo realiza y

usa gráficas y tablas mirando la proporcionalidad de los datos. El binomio práctica de

modelación-gráfica podría servir como medio para el aprendizaje de función cuadrática.

La secuencia comienza mostrando la figura (7) en la que se pide observar cómo debería

ser el movimiento de un auto desde el punto (B) al punto (C) y luego también analizar

el regreso hasta (B).

Esta actividad tiene el propósito de que el estudiante analice el movimiento de un

objeto para que busque y encuentre las diferentes relaciones entre lo que ve y piensa

plasmándolo en el desarrollo de cada una de las preguntas propuestas.

Figura 7. Movimiento de un auto de un punto (B) a otro (C)

101


En el movimiento del auto se plasma la trayectoria que sigue a medida que avanza hacia

la izquierda y de la misma manera en su regreso al sitio de partida, todo con relación al

tiempo como variable independiente. El fenómeno propuesto del movimiento se simula

a través del software de GeoGebra.

El uso de ayudas tecnológicas en el desarrollo de las secuencias permitirá al estudiante

tener un poco más de visión del fenómeno tratado y que puede recordar los

movimientos y formas de éste. Cobb et al. (2003) nos dicen que una fuente de

discontinuidad en la especificación curricular es que los nuevos recursos, tales como

programas informáticos, pueden ser usados para apoyar la forma prevista de

aprendizaje.

La secuencia consta de 7 preguntas donde los aspectos variacionales de la función

cuadrática expuestos en la malla de análisis se consideran. Estos aspectos variacionales

se reconocerán en la secuencia donde las preguntas llevan a que se establezcan estos

aspectos para dar las respuestas. Asimismo podemos extraer a través de ellas cómo

podría el estudiante transformar el lenguaje visual en lenguaje matemático por medio de

las gráficas utilizando las prácticas escolares de modelación, articulando el

conocimiento del estudiante con lo cotidiano.

Tabla 2. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales

Pregunta/ Aspecto Tiempo como variable independiente

Uso de la gráfica: intervalos

Uso de la gráfica: puntos clave

Uso de tablas secuencia numérica

PREGUNTA 1

Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el tiempo

Las trayectorias brindan la oportunidad de tomar intervalos de distancia. Reconocer partes pequeñas del movimiento del

En dos trayectorias diferentes se toman puntos que marcan distancias equivalentes y las transfieren de una a la otra. Estos

102


transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Y se quiere llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al movimiento del auto en montaña. Discuta con sus compañeros dónde los localizaría. Márquelos

auto como intervalo en el transcurrir del tiempo y relacionarlo con la distancia

puntos son aquellos que el estudiante remarca con una simbología especial (número, letra o cualquier otra) y que establece una conexión entre un movimiento y el otro. Los puntos clave sirven de guía para realizar el bosquejo de la trayectoria. Los puntos pueden ser mediciones numéricas que pueden determinar con valores tomados al azar o del applet

PREGUNTA 2

Tomando el tramo B-G y el I-C de ida Al comparar los tiempos gastados en esos tramos ¿Cómo serían y porqué?

Reconocer el tiempo como variable independiente, reconociendo un antes y un después o un ida y vuelta, y llevarlo a un gráfico cartesiano junto a la distancia

En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como partecitas pequeñas de un todo para relacionarlos con la otra variable distancia

Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos de datos tabulados o de mediciones directas y que sirven como guía para realizar la trayectoria. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo o simplemente identificándolo con una letra

PREGUNTA 3

Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los tiempos con respecto al movimiento de ida?

Reconocer el tiempo como variable, determinando un antes y un después para tener la idea del esbozo de la gráfica. Reconocer el tiempo como algo que pasa y no regresa

En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como una parte que pertenece a un todo y relacionarlos con la distancia respectiva

Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos del movimiento del auto y realizar la trayectoria del movimiento. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra

PREGUNTA 4

Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como magnitudes el tiempo y la

Reconocer el tiempo como variable, a través de un antes y después

Intervalos de tiempo para la gráfica como partes equivalentes para

Puntos clave para realizar la gráfica a partir mediciones directas y que

103


distancia ¿Cómo lo haría? Esbócela

Reconocer en el fenómeno una ida y vuelta plasmándolo en una gráfica cartesiana junto a la distancia. Usar ejes para cada magnitud tratada

la graficación tiempo distancia

sirven como guía para realizar la gráfica cartesiana. Los puntos clave pueden indicar cambio de dirección La graficación se determina como una línea recta. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una marca especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y distancia

PREGUNTA 5

Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?

Reconocer el tiempo como variable. Determinar al tiempo como magnitud que se establece en uno de los ejes

Puntos de la gráfica similares y diferentes que muestran la similitud o diferencia de una gráfica. Reconocer los puntos clave como ayuda para el cambio de dirección. Puede identificar los puntos a través de señalamientos que el equipo de trabajo realiza

PREGUNTA 6

Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente

Tomar el tiempo como variable independiente estableciendo magnitudes donde aparece el tiempo como una de ellas

Tomar del fenómeno propuesto intervalos de tiempo y distancia de acuerdo al tamaño de la medida que decidan y establecerlo en forma progresiva.

Usar las tablas extrayendo los valores para relacionar parejas ordenadas y plasmarlos en la gráfica. Determinar las relaciones proporcionales entre tiempo y distancia

PREGUNTA 7 ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y de su opinión

Tomar el tiempo como variable independiente en uno de los ejes del plano cartesiano

Tomar intervalos de tiempo de las tablas para graficar y realizar uniones de parejas ordenadas

Establecer puntos clave para la gráfica con el propósito de realizar el esbozo Con ayuda de las parejas establecidas en la tabla entre tiempo

Tener en cuenta los datos numéricos para la graficación y reconocer las relaciones de proporcionalidad que se dan en la tabla

104


y espacio se esboza la gráfica. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una seña especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y distancia y además establece una cuadrícula para la unión de puntos

Análisis a priori

Reconociendo los conocimientos previos que posee el estudiante y estableciendo una

relación con lo cotidiano, determinamos lo que el joven puede y cómo responde a cada

pregunta estipulada referente a los aspectos variacionales.

PREGUNTA 1

1. Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose

de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el

tiempo transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Se quiere

llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al

movimiento del auto en montaña. Discuta con sus compañeros dónde los localizaría Márquelos.

Se espera con esta pregunta que el estudiante dibuje las trayectorias seguidas por los dos

autos y pueda establecer las diferencias y similitudes entre los dos movimientos; que

pueda observar que en dos movimientos que visualmente son diferentes se pueden

tomar puntos de uno y llevarlos al otro, reconociendo que éstos marcan una trayectoria

con intervalos de distancias equivalentes para las dos trayectorias; que sepa localizar

puntos clave que le ayudarán a determinar la trayectoria.

105


Referente a los puntos clave responderán de acuerdo a lo que ellos conocen que son

puntos que sirven de guía para realizar construcciones en este caso una trayectoria.

Relacionarán estos puntos con mediciones numéricas que generalmente es lo que ellos

conocen. En la toma de intervalos tratarán de hacer mediciones de la manera más

sencilla relacionando el tiempo con la distancia. El estudiante reconoce las trayectorias

como medio para mostrar un movimiento en este caso el de ida y regreso. Esperamos en

algún caso que los estudiantes enmarquen la trayectoria curva como un comportamiento

curvo que les puede estar creando un obstáculo para el conocimiento pleno de función o


PREGUNTA 2

2. Tomando el tramo B-G y el I-C de ida Al comparar los tiempos gastados en esos tramos ¿cómo

serían y porqué?

En esta pregunta se quiere que el estudiante comience a comparar fracciones de tiempo

en tramos diferentes y pueda establecer sus diferencias o similitudes. Es importante que

a través del movimiento mostrado establezca el tiempo como variable y comience a

reconocer intervalos de tiempo como parte necesaria para el trabajo. Nuevamente en

esta pregunta los puntos en la trayectoria son necesarios para responderla.

Se quiere reconocer el tiempo como un todo sabiendo que hay una ida y vuelta y que el

tiempo no tiene regreso. Relacionar el tiempo con la distancia atribuyendo partes

pequeñas para el análisis. Los puntos clave los tomarán de manera directa del fenómeno

de movimiento presentado en el applet.

PREGUNTA 3

106


3. Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los

tiempos con respecto al movimiento de ida?

Ahora con la pregunta se quiere establecer una comparación y llevar al estudiante a

determinar que estos tiempos tanto de ida como de regreso son similares en cada tramo

nombrado. Es determinante que el estudiante tome el tiempo como variable

independiente. Los puntos claves establecidos en el análisis del movimiento pueden

determinar la guía para la realización de una gráfica adecuada.

Se quiere que el estudiante reconozca el tiempo como algo que pasa y que no tiene

regreso. Los intervalos son parte de algo más grande y que se puede dividir. Los puntos

clave son esos que se marcan y que sirven de guía para hacer la trayectoria.

PREGUNTA 4

4. Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como magnitudes el tiempo

y la distancia. ¿Cómo lo haría? Esbócela

Con esta pregunta se lleva a que el estudiante establezca la gráfica del movimiento del

auto teniendo en cuenta el tiempo como variable independiente, el uso de puntos clave

para realizarla y los intervalos de tiempo servirán de guía para el boceto de la gráfica.

Se busca que el estudiante establezca las diferencias entre lo que observa y lo que puede

plasmar en el lenguaje matemático que en muchas ocasiones no es lo mismo.

Se busca reconocer en el fenómeno una ida y vuelta plasmándolo en una gráfica

cartesiana junto a la distancia. Determinar los intervalos para realizar uniones entre

parejas que representan puntos guías estableciendo proporciones que determinan el

bosquejo de la gráfica cartesiana. Realizar la gráfica usando ejes donde dispone las

magnitudes de tiempo y distancia. Reconocer que algunos puntos clave indican cambio

107


de dirección. También esperamos que los estudiantes siempre linealicen cualquier

movimiento y establezcan que el fenómeno de ida y regreso al graficarlo es una línea

recta.

PREGUNTA 5

5. Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?

El propósito es que el estudiante dialogue, discuta y compare su trabajo con los demás

compañeros para que se dé cuenta de sus aciertos y dificultades. De esta manera pueda

usar la gráfica para determinar movimientos, relaciones en las cuales el tiempo es

preponderante y determine los puntos clave de la gráfica.

Se busca tomar el tiempo como magnitud y que se puede llevar a uno de los ejes de la

gráfica cartesiana. Los puntos clave pueden indicar un cambio de dirección. Reconocer

parejas ordenadas unidas con líneas para realizar la gráfica. Determinar la diferencia de

gráficas por tamaño y forma.

PREGUNTA 6

6. Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso

medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los

datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente

Con esta pregunta se espera que el estudiante tome el tiempo como variable

independiente, mida intervalos de tiempo y los relacione con la distancia, use las tablas

para mostrar la toma de secuencias numéricas. Además reconozca relaciones como las

de proporcionalidad entre las magnitudes.

108


Se busca establecer el tiempo como magnitud para relacionarlo con la distancia

realizando una tabla donde la toma de datos usando el applet se hace presente. Tomar el

tiempo como algo que va aumentando progresivamente plasmándolo en la tabla. Los

intervalos sean iguales para cada uno de los datos tomados.

PREGUNTA 7

7. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral

anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y

de su opinión.

Con esta pregunta se espera que el estudiante realice comparaciones y determine las

diferencias o similitudes que puede existir entre la gráfica propuesta y el modelo

obtenido a través del fenómeno de movimiento del auto. También que el estudiante

realice comparaciones de los fenómenos cotidianos y sus diferencias o similitudes al

llevarlos a un lenguaje matemático.

Se busca ubicar el tiempo como magnitud en uno de los ejes de la gráfica cartesiana.

Tomar los intervalos dados en la tabla y ubicarlos en el plano cartesiano estableciendo

uniones con líneas. Reconocer las proporciones establecidas en la tabla manteniendo un

orden en la gráfica. Los movimientos de ida y vuelta los establece en una gráfica.

Los estudiantes al observar la forma de la gráfica establezcan que no todos los

movimientos son líneas rectas, sino que también se pueden presentar de otra manera

entre ellas un comportamiento curvo que manifiesta una función no lineal.

4.5.2 Secuencia 2

109


En esta secuencia se presenta una actividad también de movimiento pero ahora en

desplazamiento diferente a la primera actividad: el lanzamiento de una pelota de

manera vertical. En los estándares, y lineamientos curriculares de Colombia están

propuestas competencias en el área de física referente a estos movimientos. Son muy

pocas las ocasiones en las cuales se trata con situaciones como ésta en el laboratorio por

motivos variados que no vienen al caso mencionarlos, pero que impiden que el

estudiante pueda relacionar, analizar y profundizar en estos fenómenos del mundo real.

La secuencia comienza presentando en la figura (8) sobre cómo sería el lanzamiento de

la pelota; para realizar el experimento se colocará un fondo especial con el fin de captar

con mayor nitidez el movimiento del objeto lanzado. Se coloca una regleta graduada

con el propósito de poder tomar en el análisis los datos de distancia correspondiente a

cada tiempo referido.

Figura 8. Movimiento del objeto verticalmente

Este movimiento ejecutado por el cuerpo que se lanza me permite realizar un análisis

profundo de sus características y poderlo llevar a la clase de matemática donde el

estudiante a través de la observación, de la manipulación, de tomar la modelación como

110


práctica y así poder obtener nuevos significados para la introducción de función

cuadrática.

El estudio de la matemática relacionándola con el mundo real es una forma de mostrar

la matemática no como algo abstracto sino más bien algo que puedo comprender y así

aplicar el concepto de manera asertiva.

Para el análisis del fenómeno de lanzamiento vertical se utilizará el software Tracker-

310 y el software Modellus, programas de libre acceso que ayudan a realizar

modelaciones de esta clase de situaciones de movimiento.

Nuevamente en esta secuencia la ayuda tecnológica aparece en el manejo de los dos

software. En los currículos de las instituciones los nuevos recursos, tales como

programas informáticos, pueden ser usados para apoyar la forma prevista de aprendizaje

(Cobb et al., 2003).

Esta secuencia se diseña con el propósito de que el estudiante con los conocimientos

escolares que posee los relacione con lo cotidiano y a través de la práctica de

modelación desarrolle significados sobre la función cuadrática y sus aspectos

variacionales. Como en la anterior secuencia en esta se busca que el estudiante articule

los aspectos variacionales de la función cuadrática tratados en la investigación, para

adquirir conocimiento. La actividad además de la articulación de aspectos es dinámica,

busca que el estudiante esté en constante consulta de sus conocimientos y aparición de

conflictos cognitivos que lo lleven al conocimiento tratado. Consta de siete preguntas

relacionadas con el fenómeno de lanzamiento vertical.

Tabla 3. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales

111


Pregunta/ Aspecto Tiempo como

variable independiente

Uso de la gráfica: intervalos

Uso de la gráfica: puntos clave

Uso de tablas secuencia numérica

PREGUNTA 1 Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos trayectorias y localiza los puntos.

Tomar intervalos de distancia para responder la pregunta Reconocer partes pequeñas del movimiento de la pelota como intervalo en el transcurrir del tiempo y relacionarlo con la altura

Los puntos clave en la trayectoria permiten realizar las comparaciones Los puntos clave tomados como guía para realizar el bosquejo de la trayectoria. Estos puntos son los que el estudiante remarca con una simbología especial (número, letra o cualquier otra) y que establece una conexión entre un movimiento y el otro. Determinar los puntos como valores numéricos extraídos al azar del applet u observados en el lanzamiento que hacen de la pelota

PREGUNTA 2 ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?

Reconocer el tiempo como variable a través de un antes y después Reconocer en el fenómeno un subida y bajada plasmándolo en una gráfica

Uso de puntos clave para realizar la gráfica a partir mediciones directas y que sirven como guía para realizar la gráfica cartesiana Reconocer puntos clave de cambio de dirección. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una marca especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y altura.

PREGUNTA 3 Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un instante antes de llegar la pelota al punto donde se regresa y

Reconocer el tiempo como variable reconociendo un antes y un después o un subida y

En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como algo que se puede partir en porciones de un todo para

Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta tomándolos de mediciones directas del applet

112


ese mismo intervalo de tiempo después que se regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué sucede eso?

bajada, y llevarlo a un gráfico cartesiano estableciendo relaciones con la distancia

relacionarlos con la otra variable altura

o del movimiento real que realizan y que sirven como guía para realizar la trayectoria. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra de acuerdo a lo observado en el applet.

PREGUNTA 4 Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese mismo momento de tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?

Reconocer el tiempo como variable determinando un antes y un después para tener la idea del esbozo de la gráfica. Reconocer el tiempo como algo que va siempre progresando sin regresar

Intervalos de tiempo para el análisis Reconocer los intervalos como algo que se puede partir en partes de un todo para relacionarlo con otra magnitud la altura

Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos del movimiento de la pelota y realizar la trayectoria del movimiento. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra de acuerdo a lo observado en el applet.

PREGUNTA 5 Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente

Reconocer el tiempo como variable independiente estableciendo magnitudes donde aparece el tiempo como una de ellas. Establecer el tiempo como algo que no regresa

Tomar parejas ordenas teniendo como base intervalos de tiempo y altura de acuerdo al tamaño de la medida que decidan establecer el tiempo como algo progresivo

Usar tablas numéricas para ordenar datos y extraer información Relacionar parejas ordenadas para plasmarlos en la gráfica. Determinar las relaciones proporcionales entre tiempo y altura

PREGUNTA 6 ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión

Tomar el tiempo como variable independiente en uno de los ejes del plano cartesiano Reconocer el tiempo como algo que siempre progresa aumentando

Tomar los intervalos de tiempo ya establecidos y graficar Establecer parejas ordenadas

Establecer puntos clave para esbozar la gráfica Con ayuda de las parejas establecidas en la tabla entre tiempo y espacio se esboza la gráfica Establecer puntos guía donde muestre el momento de

Usar los datos numéricos de las tablas para la graficación y reconocer las relaciones de proporcionalidad que se dan en la tabla

113


regreso de la pelota. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una seña especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y altura y además establece una cuadrícula para la unión de puntos

PREGUNTA 7 Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?

Tomar el tiempo como variable independiente Reconocer el tiempo como una variable que no tiene regreso y siempre progresa

Tomar intervalos de tiempo para relacionar con la altura Tomar los intervalos dados en la tabla y comprarlos con el fenómeno real

Observar los puntos clave Establecer puntos que sirven para hacer la comprobación entre el fenómeno presentado y la gráfica. Toma puntos específicos de la tabla o del movimiento en el vídeo, los señala con algún símbolo para llevarlos a la gráfica y hacer las comparaciones

Tener en cuenta los datos numéricos para comparar Establecer proporciones que faciliten la toma de datos del fenómeno real

Análisis a priori

PREGUNTA 1

1. Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una

curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma

altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento

vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos

trayectorias y localiza los puntos.

En la pregunta se quiere que el estudiante pueda establecer las diferencias entre las dos

trayectorias y además que al escoger unos puntos cualesquiera en una figura pueda

trasladarlos a la otra observando que poseen en esos intervalos de tiempo la misma

114


altura. La pregunta además se introduce con el propósito de que el estudiante comience

a establecer las comparaciones pertinentes a tiempo y movimiento. La toma de puntos

clave es fundamental para poder dar respuesta al interrogante planteado.

Se busca reconocer los intervalos como parte de algo mayor. Determinar el tiempo

como progresivo. Determinar los puntos clave como valores numéricos que se toman de

la simulación del movimiento o del lanzamiento de la pelota que realizan. Usar los

puntos clave para determinar la trayectoria del objeto.

Para algunos estudiantes al presentársele una trayectoria curva, pueden estar

relacionándola con un comportamiento curvo, produciendo un obstáculo entre la

diferencia de trayectoria y gráfica.

PREGUNTA 2

2. ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de

partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?

En la pregunta se lleva al estudiante a utilizar sus conocimientos sobre magnitudes y

teniendo en cuenta los puntos de apoyo dados en la figura y así establecer la gráfica con

115


o sin utilizar valores numéricos. Los aspectos variacionales como el uso de gráficas y el

uso de puntos claves son bastante notorios. Aunque no se espera en general que tomen

el tiempo como variable, se estima que aparezca en algún análisis.

Se busca determinar el tiempo como aquello que no regresa. Reconocer en el fenómeno

una subida y bajada plasmándolo en una gráfica. Usar los puntos clave como guías para

realizar la gráfica cartesiana. Reconocer algunos puntos como inflexiones mostrando el

cambio de dirección. Una de las tendencias de los estudiantes es la de creer que todos

los movimientos se grafican en línea recta como se manifiesta en el fenómeno real.

PREGUNTA 3

3. Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un instante antes de

llegar la pelota al punto donde se regresa y ese mismo intervalo de tiempo después que se

regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué

sucede eso?

Con la exposición de la pregunta se espera que el estudiante se dé cuenta que hay

alturas iguales en tiempos diferente en un punto determinado. Además que establezca el

tiempo como variable, que a través de la observación manifieste la importancia de

localizar puntos estratégicos para obtener la información requerida y vea necesaria la

figura para el análisis de la situación.

Se quiere reconocer un antes y un después. Determinar la subida y bajada estableciendo

puntos clave que ayudan a dar forma a la trayectoria. Reconocer intervalos de tiempo

como algo que se puede desmenuzar en partes de un todo. Tomar la posición de la

pelota como clave para relacionarla con el tiempo.

PREGUNTA 4

116


4. Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese mismo momento de

tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?

Nuevamente con la pregunta esperamos que el estudiante manifieste que hay alturas

iguales en tiempos diferentes. Además que establezca el tiempo como variable

independiente, la utilización de puntos clave en el análisis son necesarios.

Se busca tomar el tiempo como algo que pasa y que no tiene regreso. Los intervalos se

pueden tomar de algo más grande. Los puntos clave son esos que se marcan y que

sirven de guía para hacer la trayectoria del movimiento de la pelota.

PREGUNTA 5

Para realizar la siguiente actividad los estudiantes toman una pelota y realizan un

lanzamiento vertical hacia arriba. Con anterioridad se han marcado en una regleta que se

coloca valores numéricos con el propósito de medir las alturas en un determinado

tiempo.

5. Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una

tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del

tiempo referente a la altura? Comente

Con esta pregunta se espera que el estudiante no solamente establezca relaciones usando

las gráficas sino también que pueda establecerlas a través de tablas numéricas. Que

determine las relaciones que se pueden dar entre tiempo y altura observando la serie

numérica del tiempo y comparándola con la altura. Que además pueda establecer

relaciones entre tiempo y altura, observando alguna variabilidad en ellas.

Se busca establecer magnitudes, entre ellas el tiempo que se instaura como variable.

Establecer el tiempo como algo que no regresa. Tomar relaciones entre tiempo y altura

117


estableciendo proporciones. Establecer el tiempo como algo progresivo. Reconocer

parejas de valores entre el tiempo y la altura.

PREGUNTA 6

6. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral

anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su

gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión

Se espera que el estudiante establezca una relación tabular-gráfica determinando

visualmente las variaciones que se dan en el tiempo y altura. Con el conocimiento

adquirido lleve las parejas numéricas y las localice en una gráfica, reconociendo de esta

manera intervalos de tiempo y puntos en parejas. Además que observe la variación de la

altura con respecto al tiempo tomado como variable independiente. Se lleva a que el

estudiante además establezca puntos clave y pueda establecer una gráfica continua.

Tomar el tiempo como variable independiente y graficarlo en el plano cartesiano.

Reconocer el tiempo como algo que siempre progresa aumentando. Establecer puntos

guía donde muestre el momento de regreso de la pelota. Reconocer las relaciones de

proporcionalidad que se dan en la tabla. Esperamos que los estudiantes establezcan que

no todos los movimientos son líneas rectas, sino que también se pueden presentar de

otra manera entre ellas un comportamiento curvo que manifiesta una función no lineal.

PREGUNTA 7

7. Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno

mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?

Esta pregunta se realiza con el objeto que el estudiante tome parejas ordenadas de la

gráfica y las corrobore con los datos tomados. Es decir que tomando el tiempo como

118


variable mida la altura y la compare con la tomada en la gráfica. También podría ser que

mencione un modelo algebraico para comprobarlo. Con esto debe el estudiante

establecer relación entre lo tabular-y gráfica.

Se espera que tomen los intervalos dados en la tabla y comparen con el fenómeno real.

Establecer puntos que sirven para hacer la comparación con el fenómeno presentado.

Establecer proporciones que faciliten la toma de datos del fenómeno real. Reconocer el

tiempo como una variable que no tiene regreso y siempre progresa.

4.6 Aspectos metodológicos

Las puestas en escena de las secuencias son importantes para poder lograr los objetivos

que se proponen. No basta con proponer y diseñar una buena secuencia sino que además

se necesita desarrollarla y llevarla a término.

4.6.1 Planeación: secuencia 1

Esta secuencia se comienza a planear mirando aquellos fenómenos más cercanos al

estudiante o que diariamente los presencian. Esto se logra dialogando con ellos e

intercambiando ideas, hasta observar que fenómenos como los propuestos son bastante

conocidos por ellos.

Inicialmente se piensa introducir la velocidad como magnitud, pero traería confusión y

dificultad en las respuestas a las preguntas. El número preliminar de preguntas aparecen

12, de las cuales se comienzan a unir y a conformar de mejor manera hasta quedarnos

con siete preguntas.

119


Ya seleccionadas las siete preguntas con las que se forma la actividad de la secuencia,

se dispone a elegir a los estudiantes participantes. La escogencia fue voluntaria y de los

que aspiraban se eligió a 12 de ellos al azar para la aplicación. Después a estos doce se

les habló de cómo era la dinámica del desarrollo de la actividad y de las herramientas a

utilizar. Lo anterior se realizó en una hora diferente a la clase formal de matemáticas.

Entre las herramientas utilizadas se tuvo en cuenta el software de GEOGEBRA, el cual

sirvió para realizar el diseño del movimiento del auto de ida y regreso.

Se escogió el lugar para desarrollar la secuencia propuesta, que sería un aula de clase y

el día 12 de Julio como fecha en horas de no clase para ellos, es decir solamente estarían

en la institución los doce estudiantes.

Los doce estudiantes se dividirían en cuatro grupos de tres integrantes, el profesor no

intervino en la selección de los grupos sino que ellos mismos lo conformaron de

acuerdo a su libre albedrio.

Se dispuso de equipos de computación, audio y video para las evidencias en el

desarrollo de la actividad. Cada grupo tuvo una grabadora de audio y un computador.

Se posicionó una cámara de video en un lugar fijo que estuvo controlada por una

persona y otra cámara rodante que tomó videos cortos y fotografías manejada por una

persona, a la cual se le indicará los momentos o instantes que debe realizar las tomas.

Cobb et al. (2003) nos dicen que el apoyo tecnológico para la generación de los datos

(por ejemplo, cámaras de video, sistemas de grabación de audio sofisticados

dispositivos electrónicos de almacenamiento en masa) permite aunar esfuerzos, pero

también impone sus propios desafíos (por ejemplo, el desarrollo de herramientas y

procedimientos para la gestión y el análisis de grandes cantidades de datos).

120


El bosquejo de la ubicación de los estudiantes en el aula con sus respectivos

instrumentos se da en la figura 9.

Figura 9. Distribución de los estudiantes en el aula

Antes de la aplicación de la actividad de la secuencia se instruyó a los estudiantes

seleccionados sobre el uso del applet del movimiento de ida y regreso del auto. Se les

informó la manera de usarlo, cuando podían parar, o iniciar nuevamente el movimiento.

Referente al manejo de GEOGEBRA, ya se tenían algunos indicios sobre éste, porque

en anteriores oportunidades se había trabajado con el software.

4.6.2 Planeación: secuencia 2

Teniendo como punto de partida la secuencia 1 y estableciendo aquellos aspectos que

no debían ir en el diseño de la secuencia, se trabajó para conformar una actividad que

llamara la atención al estudiante y que generalmente pudiera observar cotidianamente el

121


fenómeno a tratar. Entonces fluye la idea del fenómeno de lanzamiento vertical de una

pelota con todas sus características de desplazamiento y de transcurrir del tiempo. Esto

se da cuando se intercambian ideas con los estudiantes.

Se comienza diseñando una variedad de preguntas ajustadas al fenómeno, pero que a

medida que se trataba el caso y se relacionaba con los objetivos propuestos, éstas se

iban depurando hasta lograr siete preguntas correspondientes al fenómeno elegido.

Para la aplicación de la secuencia a los estudiantes, se mantuvieron los mismos doce

seleccionados para la primera secuencia. Con anterioridad se le preguntó a cada

estudiante si querían colaborar para la aplicación de esta secuencia y su respuesta fue

afirmativa.

Se eligieron las herramientas informáticas con las cuales se quería desarrollar la

actividad. Se tomó nuevamente GEOGEBRA y se adicionaron dos nuevos software

como ayuda para simular el movimiento, el Modellus y el Tracker-310 de libre

adquisición. El adiestramiento de estos software se realizó en una clase extra solamente

para los estudiantes escogidos para la aplicación de la secuencia. Cobb et al. (2003)

nos comentan los nuevos recursos, tales como programas informáticos, pueden ser

usados para apoyar la forma prevista de aprendizaje.

El lugar escogido para la aplicación de la secuencia fue el aula de informática y

tecnología de la institución dispuesta de mesas y sillas adecuadas para el ejercicio de las

actividades. Cada mesa estaba equipada con un computador y audio; una cámara de

video fija controlada por una persona y otra móvil también controlada por otra persona.

La disposición del ambiente de trabajo fue similar al mostrado en la figura 4.

122


La actividad se aplicó el día 19 de Julio en horas extraclase con el fin de que los

estudiantes dispusieran del tiempo que desearan para la actividad.

En un tiempo prudente fuera de la hora de matemática se tomaron una serie de videos

donde el estudiante realizaba un lanzamiento de una pelota en forma vertical y

observaba cómo se hacía el lanzamiento, qué sucedía con la pelota, qué características

se podrían observar. Los videos tomados tienen al fondo una regleta que les

proporcionó las mediciones de altura. El punto que se observa es el punto cero y las

demás líneas indican 5 centímetros. Esta toma se realizó unas horas antes de la

aplicación de la secuencia con el fin de que el estudiante tuviera más tiempo para

desarrollar la actividad programada.

Figuras 10. Lanzamiento de la pelota con regleta

Los estudiantes de cada grupo realizaron lanzamientos que son tomados en video y

algunos movimientos no resultaron adecuados, pero entre ellos mismos escogieron los

más acertados y son llevados para el desarrollo de las secuencias.

Referente al investigador en las dos secuencias fue el encargado de organizar los

grupos, de buscar los lugares adecuados, de dirigir el desarrollo de las actividades. Es el

123


diseñador de las dos secuencias y las pone en escena. Es el encargado de guiar a las

personas que ayudan en la logística. Fue un partícipe activo en cada sección de trabajo.

Además es el agente para guiar al estudiante cuando haya perdido el rumbo, debe ser

partícipe directo en la alimentación y retroalimentación de conocimiento. No es el que

tenga que decirle al estudiante la respuesta porque ellos no son capaces o no quieren

realizarlo. A través de su observación se podrán obtener datos valiosos necesarios en el

desarrollo de la investigación. Además de toda la logística y andamiaje que debe

realizar será el motivador para que las actividades se desarrollen y cumplan los

objetivos trazados. El profesor es el encargado de diseñar cada una de las secuencias de

acuerdo a su quehacer diario con las herramientas y argumentos necesarios para lograr

el proceso enseñanza aprendizaje.

Para Cobb et al. (2003) el profesor también es parte importante en el desarrollo de las

actividades programadas y de acuerdo al alcance de las actividades las subdividen en

grupos de trabajo. Para nuestro caso se relaciona con el modelo uno-a-uno (profesor -

investigador y estudiante) experimentos de diseño en el que un equipo de investigación

lleva a cabo una serie de sesiones de enseñanza con un pequeño número de estudiantes.

Debemos reconocer que en nuestro trabajo el grupo tomado es experimental donde se

quiere crear a pequeña escala la ecología de aprendizaje.

4.7 Descripción de la experiencia

En esta parte del capítulo mostraremos una descripción de la dinámica en la cual se

llevó a cabo las secuencias con todos aquellos aspectos matemáticos relacionados con

las respuestas que los estudiantes dieron en el desarrollo de cada una de ellas.

124


4.7.1 Secuencia 1

Dadas las indicaciones pertinentes los estudiantes comienzan a desarrollar la actividad

sin ningún problema. Al inicio poco hablan debido al miedo escénico porque estaban

siendo grabados en video y audio a pesar de que con anterioridad se les había indicado

que todo esto se iba a hacer. Interviene el profesor para motivarlos a que hablen y

realicen la actividad sin ninguna restricción. Después comienzan a tomar confianza y se

sueltan más realizando diálogos y haciendo propuestas.

Un inconveniente que se presentó este día fue el lugar elegido; es un sitio bastante

fresco con condiciones aceptables para la aplicación de las secuencias. Sin embargo

hubo un poco de ruido, debido a que los vecinos decidieron ese día realizar algunos

trabajos externos en sus viviendas entorpeciendo en alguna medida el desarrollo de la

actividad. No se pensó en cambiar de lugar porque las aulas de clase mejor dotadas

están construidas en todo el contorno del colegio y el problema sería de igual manera

en todas las demás aulas.

En cada uno de los grupos se observa un líder que es el encargado de guiar, de realizar

preguntas, de animar. Sin embargo para alguno de los líderes el accionar no fue el más

adecuado porque no escuchaba opciones de los demás y la intervención del investigador

se hizo evidente.

En la primera pregunta: dos grupos usaron las reglas para medir la distancia que

recorría el auto en forma rectilínea y saber cuánto era la distancia. Otro grupo después

de realizar la medición con la regla optó la comparación con los dedos mostrando el

movimiento rectilíneo y el movimiento curvo. El grupo faltante tomó un hilo realizó la

125


medida del movimiento rectilíneo en el applet y lo plasmó en el movimiento de la

curva.

Figura 11. Toma de medidas directamente del applet

El movimiento de las manos es muy particular en los estudiantes para indicar

desplazamiento, para mostrar el movimiento que realiza el auto que va en la montaña y

compararlo con el que se mueve en forma recta. El uso de las manos daba a entender lo

que conocían sobre el movimiento y trataban de representarlo con ellas. Las expresiones

gestuales que intercambiaban entre ellos les permitían explicar mejor lo que querían

comunicar. Cobb et al. (2003) comentan que es necesario generar datos que apoyen el

análisis del fenómeno que se investiga y para esto se necesita la recopilación y

coordinación de fuentes de datos donde aparezcan los productos del aprendizaje entre

los que se encuentra el discurso de aula, la postura corporal, los gestos, las

interacciones, las tareas entre otros.

126


Figura 12. Gestos con sus manos para indicar el movimiento del auto

Aunque en las primeras preguntas no pedían realizar mediciones, ellos las toman con la

intención de realizar comparaciones y de esa manera retoman el discurso escolar

impartido en el aula donde para ellos la matemática es todo lo relacionado con números.

Algo particular, tomaban las reglas y medían en la pantalla del computador las

distancias. En este aspecto podemos evidenciar la participación activa de los estudiantes

en la solución de la pregunta propuesta.

127


Figura 13. Tomando mediciones

Un grupo usa el software para hacer una simulación con el movimiento del auto en la

montaña y así compararlo

con el que se mueve en

forma rectilínea.

Figura 14. Simulación utilizando el software de GEOGEBRA

Cobb et al. (2003) nos comentan que las tareas realizadas por los estudiantes en el aula,

la manera como las hacen, las interacciones entre ellos se hacen necesarias tenerlas en

cuenta para el logro de los objetivos.

128


En la segunda pregunta: todos los grupos se fijan y manipulan el applet

proporcionado para la actividad con el propósito de observar el movimiento y poder dar

respuesta a lo pedido.

En la tercera pregunta: sucede lo mismo que en la segunda pregunta usan el applet de

movimiento del auto para responderla.

En la cuarta pregunta: referente al uso del software, los estudiantes le dan un uso

adecuado manipulándolo de la mejor manera para responder los interrogantes

propuestos en la secuencia y lo referente a la pregunta. Los estudiantes usan escuadras y

reglas para realizar los trazos de la gráfica. Todos los grupos reconocen el movimiento

del auto al llevarlo a la gráfica con una recta de pendiente positiva.

Figura 15. Gráficas con pendiente positiva

En la quinta pregunta: los estudiantes de cada grupo establecen diálogo con otros

grupos y observan las diferencias y similitudes de la gráfica y lo plasman en su escrito.

En la sexta pregunta: en esta pregunta los estudiantes se dedican a tomar datos usando

el applet como ayuda. Usan escuadras y reglas para realizar tablas como también el uso

de calculadoras aunque no las necesitaran. En la toma de datos muy juiciosos la realizan

129


estableciendo la relación distancia-tiempo en cada tabla. Un grupo toma a parte los

datos de ida y los de regreso.

Figura 16. Trazos realizado por estudiantes

En la séptima pregunta: Al realizar la gráfica un grupo no toma el primer cuadrante

como generalmente se hace para realizar la gráfica, sino que toma el segundo cuadrante

y establece las magnitudes en los ejes. Lo hacen sin preguntarse si lo están haciendo o

no bien. Es decir espontáneamente.

Figura 17. Gráfica en el segundo cuadrante

Otro grupo al llevar los datos recopilados en la tabla toma los datos de ida y grafica con

estos. Luego los de regreso y grafica de la misma manera, proporcionando dos gráficas.

130


Figura 18. Gráfica del movimiento del auto, pero separado la ida del regreso

Este mismo grupo toma el tiempo como variable en el eje vertical, mientras los demás

en el eje horizontal.

El tiempo aproximado para el desarrollo de la actividad fue de 221 horas. Uno de los

grupos le tomó más del tiempo que los demás 243 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜.

4.7.2 Secuencia 2

Dadas las indicaciones los estudiantes comienzan a realizar la actividad programada

para la secuencia 2. El sitio que se eligió para el desarrollo de la actividad se encuentra

en un segundo piso y corresponde a la sala de tecnología e informática, perteneciente al

contorno de la institución. Este día no hubo interrupciones de ningún tipo.

El líder de cada grupo anima a comenzar, la relación entre los integrantes es más

confiada, ya no tienen tanto miedo a las grabaciones. Una de las personas que poco

participó en la anterior secuencia en esta lo hace más asiduamente y sus aportes

colaboran en las respuestas de las preguntas.

Iniciando la actividad los compañeros hacen lanzamientos de pelotas en sentido vertical

y formando un ángulo, con el fin de hacer comparaciones entre los movimientos.

131


Figura 19. Lanzamiento de dos pelotas

En la primera pregunta: El movimiento de las manos es muy particular en los

estudiantes para mostrar la trayectoria de la pelota cuando sube y baja. Luego para

reconocer que ese movimiento se representa en una gráfica en forma curva. Estos gestos

se presentan en todos los grupos, unos lo realizan con más vehemencia que otros.

Figura 20. Movimientos de las manos realizada por los estudiantes

132


En la metodología experimentos de diseño los gestos, las anotaciones, las interacciones

de los estudiantes son parte del análisis para lograr los objetivos propuestos

(Cobb et al.2003).

Cuando se les pide comparar la trayectoria del lanzamiento vertical con la pelota

lanzada con ángulo y llevar los puntos de una a la otra, algunos grupos no captan de

entrada la pregunta y realizan dibujos hasta encontrar la correcta.

Figura 21. Pruebas realizadas por los estudiantes para obtener la trayectoria y los puntos clave

Referente a los ejes un grupo no toma el tiempo en el eje horizontal y la altura en el

vertical sino al contrario, pero manteniendo la relaciones entre altura-tiempo.

133


Figura 22. Gráfica con tiempo en la vertical

En la segunda pregunta: todos los grupos en esta pregunta usan el applet de un

movimiento de lanzamiento vertical diseñado para la actividad. Algunos grupos piden

más explicación sobre el movimiento que realiza la pelota o ellos mismos tratan de

simular nuevamente el movimiento.

134


Figura 23. Explicación sobre el movimiento de la pelota

Usan las escuadras para tomar medidas directamente del applet presentado para

responder esta pregunta. Estos datos les sirven de guía y punto de partida para responder

alguna pregunta del movimiento.

Figura 24. Uso de implementos para tomar medidas

Uno de los grupos dibuja la gráfica aparte la de ida y aparte la de vuelta. Fue el mismo

grupo que la dibujó de esa manera en la primera secuencia.

135


Figura 25. Gráficas de ida y de vuelta

En la tercera pregunta: en esta pregunta los estudiantes no se demoran mucho tiempo

en responderla y solamente utilizan el applet para observar los puntos que les pueden

guiar para responder la pregunta.

En la cuarta pregunta: sucede algo parecido a la pregunta dos usan el applet para

observar el movimiento y marcar los puntos de apoyo. Para todos los grupos el uso del

applet del movimiento de la pelota hacia arriba y hacia abajo fue una ayuda que les

proporcionó directrices para desarrollar las preguntas y la cual utilizaron con bastante

solvencia.

136


Figura 26. Uso del applet de geogebra sobre el lanzamiento vertical

En la quinta pregunta: Cuando se les pide realizar las tablas las organizan de una

manera muy especial, algunos enumeran cada una de las tomas, otros antes de escribir

los datos en la tabla realizan operaciones en hojas diferente.

137


Figura 27. Tablas y toma de datos

En la sexta pregunta: Dos grupos no grafican en el primer cuadrante sino lo hacen en

el segundo cuadrante pero manteniendo las magnitudes de tiempo en la horizontal y la

altura en la vertical.

Figura 28. Gráfica en el segundo cuadrante

Los estudiantes intercambian información y observan las gráficas obtenidas por los

grupos para responder la pregunta propuesta.

138


En la séptima pregunta: en esta pregunta los grupos establecen poco diálogo para dar

la respuesta. En forma general los grupos en su mayoría demuestran gran alegría y

entusiasmo para realizar las actividades entregándose de lleno a dar solución a cada una

de las preguntas. El entusiasmo decae en un grupo cuando ya querían terminar debido al

cansancio que presentaban, respondiendo ante un compañero que los anima a realizar

las cosas bien que es mejor dejar las cosas así como están. Para otros la incertidumbre al

no entender la pregunta de qué hacer para resolverla se manifestaba en los gestos. El

profesor se acerca y aclara las dudas en el grupo.

Figura 29. Gestos de poco entendimiento

El tiempo utilizado por los grupos fue de aproximadamente 3 horas. Recordando que

tanto en la primera como en la segunda secuencia no había límite de tiempo para

desarrollar las secuencias. El audio en dos grupos se terminó un par de minutos antes de

culminar la actividad.

Estos comentarios muestran en forma global lo que pasó en el desarrollo de las dos

secuencias propuestas a los estudiantes, donde se manifiesta los apartes más

sobresalientes en cada una de ellas.

139


CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 1

En este análisis se tomaron en cuenta los aspectos variacionales explicitados en el

capítulo cuatro en la malla de análisis.

La información que aquí se detalla es la más relevante y que ofrece elementos que dan

significado.

5.1 El tiempo como variable independiente

Para el análisis de este aspecto variacional se toman las preguntas 2, 3, 4, 5, 6, 7.

En las respuestas dadas por los estudiantes, referente a la pregunta 2 y 3, hacen

mediciones de tiempo de acuerdo al applet dado. Reconocen la diferencia entre los

tramos en distancia de acuerdo a los datos tomados por ellos y también las diferencias

de tiempo que se dan en los tramos. Se dan cuenta en forma numérica que los tiempos

gastados en los tramos son diferentes. Los estudiantes reconocen el tiempo como algo

que transcurre en forma progresiva cuando toman valores numéricos y realizan

comparaciones. Reconocen a partir de un punto dado que hay un antes y un después, en

nuestro caso un ida y un regreso. Dan opinión de porqué en el tramo C-I se demora más,

estableciendo que el movimiento en el tramo C-I es más lento.

140


G-B = 1.01 segundos C-I =3.38 segundos. Igual sino que de C a I se demora un poco ya que buelve a arranca y

mientras arranca se demora.

Para esbozar la gráfica que se pide en la pregunta 4, los estudiantes dibujan una gráfica

representando en los ejes las variables dadas en la pregunta. En uno de estos ejes

colocan el tiempo como variable. Algunos establecen valores numéricos para el tiempo

donde éste siempre va hacia adelante aumentando. No todos establecen parejas

ordenadas realizando las uniones. Reconocen al menos en sus diálogos que hay una ida

y vuelta.

141


I: que hace el auto cuando pasa el tiempo

E1: si subimos el tiempo va cambiando

E1: a medida que va subiendo cambia el tiempo y la distancia

I: observen lo que hace el auto en el applet

E2: el auto va hasta una distancia y vuelve

En la comparación referente a la pregunta 5 de las gráficas con los demás compañeros

generalmente manifiestan que unas gráficas son más grandes que las otras; para esto se

fijaron en los ejes, las variables y los valores numéricos los cuales hacen relación al

tiempo como variable independiente.

Me parece que las diferencias son: que mis compañeros se enfocaron en que el carro no se detenia e hicieron

una línea recta.

142


En la pregunta 6 los grupos de estudiantes establecen para la tabla dos magnitudes,

tiempo y distancia. Tres de los grupos le dan unidades a estas magnitudes como

segundos para el tiempo y metros para la distancia. Saben que el auto se mueve y la

distancia aumenta lo mismo el tiempo, pero llega un punto donde se regresa y el tiempo

sigue su curso. Reconocen la relación que existe entre el tiempo y la distancia,

estableciendo una correlación directa hasta un punto y una correlación inversa en otro

punto. Reconocen una ida y vuelta en el movimiento del auto y al tiempo como algo

progresivo.

I: el intervalo de tiempo que quieren lo desean de 0,5 más pequeño o más grande?

E1: ¿se puede de 1?

I: como ustedes quieran

E1: el tiempo recorre de segundo en segundo

E2: en el tiempo 1 segundo

E2: la distancia es 3,5

E3: no, es 3,75

143


E3: entonces queda en distancia 16 y tiempo 8

E3: entonces ahí voltea

E2: se está regresando

E3: regresa por la misma distancia

E2: la distancia va aumentando con el tiempo

E3: a partir del regreso la distancia vuelve a ser la misma pero el tiempo va

aumentando

Con la pregunta 7, todos los grupos de estudiantes reflejan en la gráfica propuesta que el

tiempo es una variable al establecerla en uno de sus ejes. Reconocen al tiempo como

algo progresivo dándole valores numéricos que siempre van en aumento. En la

comparación que se propone, manifiestan que el tiempo sigue aumentando siempre,

mientras que la distancia aumenta en un momento y después empieza a disminuir. Se

aprecia en sus gráficas cartesianas que tratan de establecer una ida y una vuelta

determinando el tiempo en el momento que sucede.

144


I: ¿por qué la gráfica que anteriormente ustedes dibujaron creyeron que era de esa

manera y ahora aparece de otra?

E1: en la primera nos da una recta

I: ¿a qué se debe eso?

E1: porque no tomamos el regreso

E3: ah, ya se

E2: a lo que retrocede, la distancia

E3: sigue siendo la misma

E3: al regreso vuelve a recorrer la misma distancia, pero con tiempo aumentando

5.2 Uso de la gráfica: Puntos clave

145


Referente a este aspecto variacional las preguntas que hacen relación son la pregunta 1,

2, 3, 4, 5 y 7.

En la pregunta 1 los estudiantes toman los puntos representándolos con letras (B, G, H,

I) necesarios para realizar la trayectoria del auto, reconociendo que estos puntos forman

parte de dicha trayectoria sin hacer distinción en su localización y sin determinar que

existe un movimiento de ida y otro de vuelta. En sus representaciones se observa que

toman los puntos en una sola dimensión ya sea en línea recta o en la montaña. Toman la

recta con los puntos marcados con letras y simplemente le dan forma curva. Reconocen

que los movimientos tienen formas diferentes, pero al localizar puntos clave no los

colocan en los puntos adecuados. Toman una recta unidimensional marcando los puntos

con letras y le dan la forma de curva para representar la montaña.

Reconocen el movimiento de la montaña como si solo se realizara del Punto B al C

olvidándose del regreso del auto y cuando se hace la comparación de los puntos

marcados, simplemente distribuyen al azar estos puntos más o menos equidistantes a los

mostrados en el movimiento horizontal. Se evidencia un obstáculo al tratar de llevar

puntos que se muestran en un movimiento recto a una curva, debido a que el estudiante

siempre relaciona cualquier movimiento con una recta.

146


Reconocen que los dos movimientos son diferentes, pero tratan de que las distancias

recorridas por ambos autos sean similares para poder localizar los puntos.

E1: uno que sube una montaña y otro que va horizontal

E1: Es una trayectoria, como la mostrada por el gusanito

E2: hágale una carretera una con una curva y otra derecha

E3: ya entendí, uno va de B a C y el otro va a través de una montaña ese que va y no

vuelve más

E3: es una trayectoria

E3: como la montaña se eleva más debe ser más cortica, claro

E1: da lo mismo porque si fuera una montaña empinada ahí sí tendría que hacer

esfuerzo para subir

E3: tendría que ser más cortica, porque se aplasta la montaña

E3: si usted tiene el dedo así y yo lo estiro se va para adelante

Toman como base para responder la pregunta 2 y 3 puntos especiales que son dados en

la pregunta para poder mostrar su respuesta. Utilizan valores numéricos para

147


determinar la posición de los puntos clave tomándolos del applet o directamente a

través de mediciones que ellos realizan, usando un hilo como magnitud para obtener la

longitud. Tres de los grupos utilizan valores numéricos para expresar sus respuestas

indicando los puntos clave a que corresponde.

Tomando el tiempo de B_G dura 1 segundo y la distancia es 4. Y el tramo de I-C dura 4 segundos y la distancia

es 5,30 de distancia porque de B-G duran 1 segundo la que distancia tiene 4 y de I-C dura 4 segundos de ida y

mientras mas larga sea la distancia mas tiempo demora en llegar.

G-B = 1.01 segundos C-I =3.38 segundos. Igual sino que de C a I se demora un poco ya que buelve a arranca y

mientras arranca se demora.

Cuando en la pregunta 4 se les pide realizar una gráfica cartesiana, toman puntos de

partida y algunos grupos puntos de llegada remarcando puntos guías para el esbozo de

la gráfica. Al establecer ejes cartesianos y ubicar en ellos valores numéricos pueden

obtener parejas ordenadas que guían para hacer la gráfica, mostrando que estos puntos

determinados con letras y números establecen puntos bidimensionales. Aquí podemos

opinar que el estudiante está resignificando el concepto de punto clave en una gráfica

al pasar de puntos unidimensionales a bidimensionales. La falta del uso del punto de

inflexión en este caso el de regreso del auto, causa que los estudiantes dibujen la gráfica

como una línea recta. Sin embargo en sus diálogos mencionan que el auto se regresa

indicando de esta manera que existe un punto clave para este proceso. Uno de los

148


grupos realiza una inflexión donde muestra el momento que el auto se detiene para

devolverse, pero prosiguen con la recta ascendente. Se evidencia con las respuestas de

los estudiantes un obstáculo en graficar cualquier movimiento en línea recta.

E3: ¿qué es esbozar?

E3: ah pues pintar

E3: aquí va a estar la distancia y aquí el tiempo

E3: ¿cuál es el tiempo?

E1: el tiempo está acá (deslizador en el applet)

E3: déjelo que recorra

149


E2: ¿y la distancia?

E3: la distancia es también de 16

E2: porqué le hizo más (valores en el tiempo)

E2: no importa eso no se usa

E3: profe ¿esto cada metro que recorre en un segundo se uniría?

I: ¿cómo cree que sería la gráfica? observen el movimiento

E2: no dicen que paran en ningún punto

E3: sino que se devuelve

Referente a la pregunta 6 aunque no la habíamos determinado para este aspecto en el

análisis a priori, un grupo de estudiantes para realizar la tabla toman puntos clave como

el de regreso y cuando se menciona que el auto va hasta un punto determinado y luego

se devuelve también explicitan como punto clave. Esto me manifiesta que el estudiante

comienza a romper el obstáculo de considerar que cualquier fenómeno se muestra en

una gráfica linealizada.

Creo que como se debuelve también disminulle la distancia asta la partida y seria la distanciade 16 segundos =

0 metros.

150


E1: vamos a medir la distancia y el tiempo

E1: ahora vamos para atrás (se refiere a voltear la hoja para continuar el trabajo)

E3: ahora vamos a comparar esto

I: estas tablas que son

E1: la tabla de ida

E2: y la tabla de vuelta

Otro grupo establecen en un momento el siguiente diálogo.

I: el intervalo de tiempo que quieren lo desean de 0,5 más pequeño o más grande?

E1: ¿se puede de 1?

I: como ustedes quieran

E1: el tiempo recorre de segundo en segundo

E2: en el tiempo 1 segundo

E2: la distancia es 3,5

E3: no, es 3,75

E3: entonces queda en distancia 16 y tiempo 8

E3: entonces ahí voltea

E2: se está regresando

151


E3: regresa por la misma distancia

En la pregunta 7 la representación de la gráfica en el plano cartesiano lleva a los

estudiantes a establecer parejas ordenadas que sirven de guía para realizar el bosquejo

de la gráfica. Aunque las divisiones de distancia no son tan precisas reconocen la

necesidad de tomar datos como parejas y marcarlos en la gráfica. Los estudiantes

manifiestan al hacer la comparación con la gráfica que ellos realizaron con anterioridad,

que la diferencia se debe a que en la primera no se toma el momento del regreso y que

en la segunda lo determinan como un punto clave. Con la manifestación de los

estudiantes podemos decir que la creencia de linealidad de las gráficas de cualquier

fenómeno se comienza a romper y se tienen las bases para juzgar que algunos

fenómenos de movimiento pueden ser curvos, aunque uno de los grupos realiza la

gráfica utilizando líneas rectas. Uno de los grupos determina al realizar la comparación

con la gráfica hecha anteriormente que son similares, esto debido a que en la primera

toman un punto para el regreso y lo marcan.

152


Que tuvimos en cuenta la de ida y la de regreso. Tambien en la primera grafica hicimos una línea reta y en 2

una curbiada.

Tiene una similitud ya que como la una aumenta y despues comienza a disminuir la otra tambien hizo lo mismo.

I: ¿por qué la gráfica tomada de los datos les da de esa manera?

I: que no tuvieron en cuenta en la primera y en la segunda sí.

E1: ah que para y regresa

E2: si, regresa

E1: que en la primera solo tenemos el movimiento de ida y en la segunda tomamos

también el de regreso

E3: ah en esta tenemos en cuenta la de ida y regreso

5.3 Uso de la gráfica: intervalos

Para el análisis de este aspecto de acuerdo a nuestra malla de análisis las preguntas que

hacen relación son la 1, 2, 3, 4, 6, 7.

En la pregunta 1, los estudiantes reconocen tramos pequeños de uno grande en un

movimiento y los transportan a otro que tiene forma diferente. Reconocen que el

153


movimiento que realiza el auto se hace en dos tramos grandes uno de ida y otro de

vuelta. Usan las medidas para ayudarse y establecer las diferencias y similitudes entre

las dos trayectorias. Uno de los grupos para realizar esas mediciones usa un hilo y

directamente del applet toman la medida; los otros toman los intervalos de distancia

mostrados en el applet y los llevan al movimiento que realiza el auto en la montaña. Los

intervalos los plasman solamente en una dirección olvidándose que existe la ida y

regreso. Algunos tratan de pintar la montaña más corta para simular que como es el

mismo tramo debe ser más reducida y esto lo mencionan en sus diálogos.

I: que están ustedes haciendo?

E1: estamos haciendo la figura para estirarla para saber cuánto mide

I: ¿como la plasmó allá?

El estudiante con un hilo muestra al investigador la manera como lo está tomando

E1: esto es para calcular en cuanto es la medida de la montaña

154


I: le piden las medidas?

E1. No pero piden las trayectorias y dibújelas

E2: pero usted cortó la medida acá y debe llegar hasta acá

E1: ahí está bien, lo que yo estoy mirando es la trayectoria

E2: está la línea recta, ahora vamos hacer la montaña

En el análisis de la pregunta 2 y 3, los estudiantes reconocen que los puntos marcados

en el movimiento del auto que se simula en el applet marcan pedazos de distancias que

los caracterizan como intervalos. Al realizar las comparaciones de los tramos elegidos

toman valores numéricos del tiempo dado en el simulador que sirven para reconocer

cuál tramo se demora más y cuál menos. Uno de los grupos toma para el análisis los

intervalos grandes el de ida y vuelta, pero no los dados en la pregunta.

Son iguales porque tienen el mismo trayecto de hida y de regreso.

El die ida fue 8 segundos y el de vuelta solo se demoro 7,84 segundos

E1: de B a G dura un segundo ya que es solo 4 de distancia y de I a C dura más ya que

son 5,30 de distancia.

E1: y entre más larga sea la distancia más tiempo se demora en llegar.

155


I: que distancia hay de B-G y de I-C

E1: de B-G hay 4 y de I-C hay 4 de distancia

I: es decir

E1: tienen la misma distancia

E1: pero uno se demora más que el otro

Otro pequeño diálogo que hace referencia de otro grupo.

E3: los tiempos serían iguales

E2: todos van a ser iguales?

E3: claro, porque si de I a C gastan digamos 5 minutos de C a I sería la misma cosa

Referente a la pregunta 4, establecen relaciones entre el tiempo y la distancia

manifestándola a través de valores numéricos. Reconocen la necesidad de usar ejes

cartesianos para mostrar intervalos numéricos tanto del tiempo como la distancia. Uno

de los grupos establece parejas ordenadas para indicar los tramos en los cuales se

divide tanto el tiempo como la distancia; los otros grupos marcan divisiones en ambos

ejes pero no establecen relación con ninguno de ellos. Los grupos de estudiantes no

toman sino un tramo del movimiento del auto aunque algunos si lo mencionan en sus

diálogos que hay un tramo de ida y otro de vuelta. Un grupo trata de simular el

movimiento de regreso estableciendo una pequeña inflexión cuando se devuelve.

Nuevamente podemos mencionar que el estudiante no concibe que el movimiento se

manifieste en forma curva y por eso los intervalos de distancia siempre son ascendentes.

156


E3: ¿qué es esbozar?

E3: ah pues pintar

E3: aquí va a estar la distancia y aquí el tiempo

E3: ¿cuál es el tiempo?

E1: el tiempo está acá (deslizador en el applet)

E3: déjelo que recorra

E2: ¿y la distancia?

E3: la distancia es también de 16

E2: porqué le hizo más (valores en el tiempo)

E2: no importa eso no se usa

157


E3: profe ¿esto cada metro que recorre en un segundo se uniría?

I: ¿cómo cree que sería la gráfica? observen el movimiento

E2: no dicen que paran en ningún punto

E3: sino que se devuelve

Con respecto a la pregunta 6, la mayoría de estudiantes establecen intervalos de tiempo

determinando valores enteros para facilitar la consecución de las tomas. Uno de los

grupos toma intervalos de tiempo al azar y establecen sus parejas referente a la

distancia. Todos los grupos establecen magnitudes y en algunos les asignan unidades.

Cuando se les indaga por la relación entre los datos numéricos de tiempo referente a la

distancia, establecen al tiempo como un todo y a la distancia como algo que aumenta y

luego disminuye. Un grupo trata de establecer una proporción numérica entre distancia

y tiempo. Se manifiesta que los estudiantes pueden determinar intervalos en especial

cuando sucede la inflexión, rompiendo con la creencia de intervalos crecientes sin que

suceda un cambio de dirección.

158


Cada distancia que recorre el auto va subiendo el doble del tiempo que es 24.

I: ¿estas tablas que son?

E1: la tabla de ida

E2: y la tabla de vuelta

I: que pasa con el tiempo

E3: va aumentando

I: que pasa con la distancia?

E1: aumenta

I: ¿hasta qué momento?

E1: ah, hasta aquí

E1: luego la distancia disminuye

I: ¿hasta dónde?

E1: ah ya, hasta el punto de partida

En la pregunta 7, los grupos toman en la gráfica intervalos numéricos del tiempo y los

relacionan con la distancia también numéricamente. Un grupo toma los ejes diferentes a

los demás colocando la variable de tiempo en la vertical y la distancia en la horizontal,

pero estableciendo que la gráfica es una curva. Este mismo grupo divide las gráficas en

ida y vuelta. Otro grupo toma los ejes no en el primer cuadrante sino en el segundo y

nuevamente se manifiesta una curva en su gráfica. Dos grupos al realizar la pregunta de

159


comparación de la gráfica con la que habían hecho anteriormente responden que son

diferentes porque en la segunda toman en cuenta la ida y vuelta, mientras que en la

primera no. Otro grupo dice que si son similares, esto debido a que ellos son los que

hacen una pequeña inflexión del regreso del auto. Otro simplemente responde que no

son similares porque una es curva.

160


I: ¿por qué la gráfica tomada de los datos les da de esa manera?

I: que no tuvieron en cuenta en la primera y en la segunda sí.

E1: ah que para y regresa

E2: si, regresa

E1: que en la primera solo tenemos el movimiento de ida y en la segunda tomamos

también el de regreso

E3: ah en esta tenemos en cuenta la de ida y regreso

E1: en la primera nos da una recta

E1: en la segunda es una línea curveada

5. 4 Uso de tablas: secuencia numérica

Para el análisis de este aspecto las preguntas que hacen relación son las preguntas 6 y 7.

En la pregunta 6, casi la totalidad de los grupos establecen una secuencia numérica,

iniciando con la variable independiente del tiempo y buscando a partir de ésta la

relación con la distancia. Esto debido a que el tiempo es medible a través de un cursor

que se establece en la simulación y se puede establecer en forma entera o como decida

el usuario. Uno de los grupos no toma una secuencia numérica para el tiempo sino que

161


lo toma a su arbitrio. En las tablas un grupo establece el momento de la inflexión de

regreso del auto marcando dicho momento, determinando a la tabla como un medio para

mostrar puntos especiales para la graficación o análisis.

Respecto a la pregunta 7, todos los grupos toman como referencia la tabla y su

secuencia numérica para realizar la gráfica. En cada una de las gráficas que realizan los

grupos plasman los valores numéricos estableciéndolos en los ejes de forma ascendente

en el caso del tiempo y de la misma manera con la distancia, teniendo en cuenta que ésta

regresa a partir de uno de sus valores. Con el uso adecuado de las secuencias numéricas

pueden establecer el punto de regreso del auto, estableciendo una ida y vuelta. Tratan

con los instrumentos que poseen realizar la gráfica en el plano cartesiano de la mejor

manera. En cada una de las relaciones establecidas logran establecer parejas y unirlas a

través de líneas punteadas.

162


163


CAPÍTULO VI

ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 2

Para el desarrollo del capítulo se tomaron cada uno de los aspectos variacionales y a

partir de ellos las respuestas que hacen relación al aspecto.

La información que aquí se detalla es la más relevante y que ofrece elementos que dan

significado.

6.1 El tiempo como variable independiente

Las preguntas que tienen relación con el aspecto son las preguntas 2, 3, 4, 5, 6, 7 y a las

cuales analizaremos.

Referente a la pregunta 2, los grupos reconocen que el movimiento de la pelota se

realiza de dos formas una hacia arriba y otra hacia abajo. Tres grupos consideran que el

tiempo es continuo. Uno de los grupos entre ellos discuten y aclaran que cuando la

pelota sube el tiempo va avanzando, pero cuando se regresa el tiempo retrocede y este

mismo grupo hace la gráfica una para la subida y otra para la vuelta. Se observa que los

estudiantes en esta situación están tomando el tiempo como una distancia. Establecen el

tiempo como variable al dibujarla en uno de los ejes de la gráfica. Tres de los grupos

suponen valores numéricos para la variable del tiempo y el otro simplemente realiza el

164


bosquejo. Un grupo realiza la gráfica colocando el tiempo en el eje vertical, pero

conservando el movimiento que hace la pelota. Con lo anterior establecen el tiempo

como algo que siempre va avanzando.

E1: coloquemos el tiempo aquí y la distancia en la otra

E1: las distancias en k tienen un tiempo pero para L tienen otro tiempo, y para llegar a

P tiene otro tiempo.

E1: aquí estamos representando tanto el de subida como el de bajada

165


E1: el tiempo total es 8 segundos, tenemos que saber la distancia

E1: tomemos la distancia de dos en dos

E2: más o menos se debe dar es la gráfica

Otro grupo expresa lo siguiente referente al tiempo

I: ¿tomaron el movimiento bajando y subiendo?

E2:¿ ahh tocaba bajando también?

E1: hagamos otra gráfica pero con el regreso

I: ¿por qué no la hacen en la misma gráfica?

E1: sí

E2: según lo que entendí el tiempo aumenta pero cuando se regresa el tiempo va

retrocediendo

En la pregunta 3 y 4, tres grupos reconocen que el tiempo transcurre a medida que se

realiza el movimiento y este va aumentando en cada momento. Un grupo dice que el

tiempo va avanzando a medida que la pelota sube, pero cuando ésta baja el tiempo

retrocede; parece ser que toman el tiempo como un movimiento que se puede realizar en

los dos sentidos. Sin embargo entre ellos mismos se corrigen y determinan que el

tiempo va avanzando. Un grupo introduce las palabras de velocidad y aceleración para

referirse al movimiento de subida y de bajada.

166


La pelota inicia del punto P hasta llegar al punto K y a la medida que se va moviendo la pelota el tiempo va

avanzando.

I: ¿qué pasa con el tiempo de subida?

E3: el tiempo es 4

E3: que es el mismo de bajada

I: ¿cómo serían las alturas en ese punto tomado como referencia?

E1: las alturas son las mismas lo que cambia es el tiempo

E3: lo que cambia es el tiempo

E2: si

E1, E2: sucede porque la altura es fija y el tiempo cambia

Otro aporte de un grupo es el siguiente

I: ¿cómo serían las alturas en un punto que ustedes eligen?

167


E2, E1: la misma

I: ¿y el tiempo?

E2: distintos

E1: la pelota que pasa por un punto el tiempo es diferente tanto en el de subida como el

de bajada

E1: ¿por qué?

E2: porque, cuando va subiendo la pelota el tiempo va avanzando y cuando baja el

tiempo va retrocediendo

E1: no, de todos modos el tiempo va aumentando siempre, solo que la pelota sube y

baja

Respecto a la pregunta 5, los grupos reconocen que el tiempo siempre aumenta

mientras la otra variable en unos momentos aumenta y en otros disminuye. Dos grupos

establecen unidades de tiempo y distancia (segundos y centímetros), mientras que los

otros dos simplemente mencionan las variables tiempo y distancia. Reconocen un antes

y después en el tiempo cuando establecen el punto donde la pelota se regresa.

La altura va aumentando pero a la vez va disminuyendo pero el tiempo siempre aumenta.

168


E2: a partir del tiempo 12 comienzan los mismos datos de altura

E3: cuando la pelota sube, el tiempo y la altura aumentan, pero cuando baja el tiempo

sigue

I:¿qué pasa con la altura en el punto de regreso?

E2: se retrocede

En la pregunta 6, los grupos reconocen el tiempo como algo que siempre avanza, en

especial cuando realizan las gráficas y proponen las magnitudes en los respectivos ejes.

Cuando utilizan valores numéricos y los plasman en la gráfica están determinando que

el tiempo siempre prosigue. Al determinar un punto de inflexión donde la pelota se

regresa y graficarlo, están estableciendo un antes y después. Cuando se les pide

comparar la gráfica con la de sus compañeros contestan que son parecidas; esto porque

se fijan en la forma de la gráfica y tienen en cuenta los ejes donde se manifiesta el

tiempo como variable. Parece que solamente se fijan en la forma de la gráfica y no

reconocen que unas son esbozadas en el segundo cuadrante o que otra es realizada en

dos secciones, una de subida y otra de bajada. Esto enmarcado en lo que el estudiante

conoce y de acuerdo al diagnóstico reportado podemos decir que poco les interesa

donde realizar una gráfica en el plano cartesiano; lo fundamental para ellos es hacerla y

darle forma.

169


Creo que la grafica aumenta asta cierto punto la altura pero disminuye despues y el tiempo sigue aumentando.

I: ¿Qué pasa con el tiempo?

E1: va aumentando

I: ¿qué pasa con la altura?

E1: va aumentando

E1: y llega a un punto y cambia

Referente a la pregunta 7, tres grupos en su respuesta reconocen la necesidad de tomar

el tiempo como variable para poder comprobar que el modelo gráfico es correcto. El

otro no menciona el tiempo directamente en su respuesta pero si señala que se miran las

proporciones para determinar la validez del modelo. Un grupo al responder la pregunta

170


hace una relación fenómeno-gráfica para comprobar que un punto o coordenada

cualquiera del movimiento de la pelota, pertenece al modelo gráfico obtenido.

Determinan que a partir de un tiempo obtienen una altura y la pueden llevar a la gráfica

para su comprobación. Toman el tiempo como aquello que relaciona en este caso el

movimiento con la gráfica cartesiana.

Yo miraría en el video que tiempo va el numero de la regla en la pared y miraría los centimetros y el tiempo que

se han demorado la pelota en bajar o subir según mi nesesidad .

El lanzamiento vertical del video la distancia aumenta y el tiempo aumenta y a la vez disminuye si es el indicado

a la grafica.

6.2 Uso de la gráfica: Puntos clave

Para el análisis de este aspecto variacional se tendrán en cuenta las preguntas 1, 2, 3, 4,

6, 7.

En la pregunta 1, tres grupos reconocen que los puntos del movimiento de lanzamiento

vertical se pueden llevar al otro movimiento curvo y que los puntos que se toman en los

dos movimientos tanto de subida como de bajada son los mismos porque la pelota pasa

por esos puntos. Estos grupos usan como puntos clave los mostrados en el applet para

transportarlos de un movimiento al otro. Dos de estos grupos realizan la trayectoria

curva muy cerrada, tal vez creyendo que si la realizan más abierta el tiempo que

171


transcurre es mayor. En cambio otro de los grupos la hace más ancha sin mencionar en

sus comentarios el porqué. El otro grupo cuando se le pide dibujar la trayectoria curva la

plasma como sucedió el movimiento en forma real, donde el punto P o de partida está

más alto que el punto de llegada, simbolizando uno de los puntos la altura de la persona

que lo lanza y el otro el suelo.

172


E1: hagamos la trayectoria con rayitas

E2: los puntos de la trayectoria vertical la llevamos a la trayectoria curva

E1: ah, si

E1: los puntos de subida son los mismos que de bajada

E2: si pasan por el mismo punto deben ir al mismo nivel

E3: igual que el carrito

E2: Sebastián para que necesitan valores si solamente nos piden localizar

E1: ah, si

Referente a la pregunta 2, tres de los grupos marcan en el plano cartesiano puntos clave

(K, L, M, N, P) como guías para realizar la gráfica. Establecen valores numéricos en

uno de los ejes (tiempo) para hacer la correspondencia con los puntos nombrados

anteriormente que indican para ellos valores de altura y uno de los grupos establece

parejas ordenadas y las indica con líneas punteadas. De esta manera determinan una

relación entre tiempo y altura que muestran en sus gráficas. El otro de los grupos en su

gráfica no establece ningún valor en el eje del tiempo y tampoco en el de altura. Dos

grupos identifican el punto en el cual la pelota cambia de dirección. Otro grupo aunque

realiza la gráfica de subida y bajada por separado localiza el punto de regreso de la

pelota. En síntesis para ellos los puntos clave son necesarios para el esbozo de la

gráfica, pero además podemos reflexionar que toman estos puntos en forma

bidimensional estableciendo correlaciones entre el tiempo y la altura. Con los puntos

173


establecen una continuidad que les muestra el movimiento de la pelota. Los grupos

usan los puntos para unir segmentos de recta y así dar la apariencia de la curva.

E1: la altura es diferente para tiempos diferentes

E1: coloquemos el tiempo aquí y la distancia en la otra (se refiere colocar el tiempo en

la vertical y la altura en la horizontal)

E1: las distancias en k tienen un tiempo pero para L tienen otro tiempo, y para llegar a

P tiene otro tiempo.

E1: aquí estamos representando tanto el de subida como el de bajada

E1: el tiempo total es 8 segundos, tenemos que saber la distancia

E1: tomemos la distancia de dos en dos

E2: más o menos se debe dar es la gráfica

174


Respecto a la pregunta 3 y 4, los grupos reconocen que a través de los puntos mostrados

en el movimiento de la pelota visto en el applet sirven de guía y con ellos poder

esbozar la gráfica. Al poner en movimiento la simulación los grupos toman datos de

tiempo del deslizador mostrado en la simulación y a partir de estos determina el valor

respectivo para la altura.

E2: el punto donde se regresa es el K

E1: de para arriba disminuye la velocidad y de para abajo va aumentando

E1: para ese movimiento es el mismo intervalo de tiempo

E3: las alturas serían las mismas

Otro comentario es el siguiente

E1: ah, es lo mismo que arriba

E2: un intervalo de tiempo, es decir como en el punto M

E1: es el mismo punto para subida y bajada

E2: el tiempo sería más largo porque va pasando

E2: es lo mismo que lo de arriba pero ahora empezando

175


I: ¿Qué pasaría con las alturas?

E1, E2: serían las mismas

E1: pero el tiempo más largo

En la pregunta 6, todos los grupos reconocen en los puntos el medio como guía para

realizar la gráfica. Establecen ejes donde colocan magnitudes y distribuyen valores

numéricos que sirven de guía y unión para indicar puntos que van a dar forma a la

gráfica. Establecen un punto de regreso de la pelota y lo marcan en la parte superior de

la gráfica. A partir de este punto pueden establecer un antes y un después. Para tres

grupos las parejas ordenadas establecidas en un sentido sirven para el otro, simplemente

prolongando las líneas. Aunque el otro grupo no une las parejas como los anteriores a

través de líneas, si establece los puntos y los marca en la gráfica. En esta pregunta se

puede observar que los puntos son usados para determinar el comportamiento curvo del

movimiento y romper lo de linealidad en los fenómenos de movimiento.

176


I: ¿Qué pasa con el tiempo?

E1: va aumentando

I: ¿qué pasa con la altura?

E1: va aumentando

E1: y llega a un punto y cambia

Otro grupo comenta lo siguiente:

E3: haga las mismas rayitas que el tiempo pero coloca las medidas

E3: ahora unimos los puntos del tiempo con la altura

E3: ahora una al revés

E2: ¿cómo así?

E3: este con este y este con este así todos (se refiere a que los datos de altura ya

marcados se unen con los otros datos de tiempo pero esta vez cuando baja la pelota)

177


E2: nos van a sobrar

E3: no, porque el cero también se toma

E2: ¡nos quedo como una montaña¡

Con respecto a la pregunta 7, los grupos para determinar la comprobación de modelo

gráfico toman como base unos puntos que sirven como claves para desarrollar la

pregunta. Uno de los grupos dice que tomando datos del fenómeno se puede comprobar

en la gráfica. Otro menciona que mirando el video y tomando tiempo y altura podría

comprobar lo más probable en la gráfica si estos puntos corresponden. Otro grupo trata

también de explicar que a través del video se pueden tomar datos que ayudarán a

conseguir lo que se quiere. Cuando mencionan la toma de datos están relacionándola

con puntos necesarios para realizar la comprobación.

Pues mirariamos las proporciones y la grafica y veriamos si es correcta

178


6.3 Uso de la gráfica: intervalos

Para el análisis de este aspecto variacional se tuvo en cuenta las preguntas 1, 3, 4, 5, 6,

7.

En la pregunta 1, todos los grupos reconocen en los intervalos como la parte necesaria

para poder mostrar la trayectoria pedida. Reconocen que dividir una porción grande en

otras pequeñas, facilita realizar la trayectoria del movimiento de la pelota. Los grupos

toman en el lanzamiento vertical intervalos más o menos equidistantes teniendo en

cuenta la inflexión de regreso de la pelota. Uno de los grupos discuten entre ellos la

forma como sería la trayectoria y la posición de los puntos que marcan los intervalos

tomados para realizarla. Dos grupos toman los intervalos del movimiento vertical y los

transportan de idéntica manera a la curva. El otro grupo aunque toma intervalos

marcados con los puntos en el lanzamiento vertical, no los transporta de igual manera a

la curva.

179


E1: hagamos una línea recta para el lanzamiento vertical

E1: ustedes tienen alguna otra manera de hacerla?

E1: así está bien?

E3: sí

E2: sí

I: cuando la pelota sube pasa por estos puntos y ¿cuándo baja?

E3: pasa también por esos puntos

E2: verticalmente bajan por los mismos puntos y la otra no

E1: ¡no¡, si pasan por los mismos puntos

E3: no pasan por los mismos puntos

E1: si porque empiezan en P y vuelve otra vez a P

E3: entonces la K sería arriba

E1: pasaría por P dos veces, por M dos veces, por N dos veces, por L dos veces

180


Referente a la pregunta 2, los grupos realizan la gráfica reconociendo que una porción

grande, ya sea altura o tiempo se puede dividir en otras más pequeñas; esto se puede

observar cuando realizan su gráfica, donde señalan a través de valores numéricos o

alfabéticos posiciones que me indican intervalos, pero siempre marcando y uniendo

éstos con segmentos rectos mostrando que la linealidad en sus conceptos sigue estando

presente. Cada vez que los estudiantes reconocen puntos marcados con números o

letras están diciendo que estos pequeños pedazos de un todo son importantes en la

gráfica para realizarla.

Referente a las preguntas 3 y 4, los grupos toman el tiempo como variable y además

reconocen que este se puede dividir en pedazos pequeños como lo demuestran sus

respuestas a las preguntas y determinando con esto una correspondencia con la altura.

Para tomar estos intervalos usan puntos que demarcan las posiciones de estos intervalos.

Reconocen que hay una subida y una bajada, y con esto están demarcando dos

porciones del movimiento.

181


E1: debemos saber cuánto tiempo hay desde L hasta K

E1: para M, N, P de bajada el tiempo va aumentando

I: ¿qué pasa con el tiempo de subida?

E3: el tiempo es 4

E3: que es el mismo de bajada

I: ¿cómo serían las alturas en ese punto tomado como referencia?

E1: las alturas son las mismas lo que cambia es el tiempo

E3: lo que cambia es el tiempo

E2: si

E1, E2: sucede porque la altura es fija y el tiempo cambia

Respecto a la pregunta 5, los grupos toman intervalos de tiempo para poder hallar los

valores correspondientes a la altura. Tres de los grupos toman intervalos de tiempo de

acuerdo a lo que le muestra el simulador de 0,033 segundos y a cada uno de ellos su

correspondiente altura. El otro grupo aunque toma intervalos de tiempo con valores de

0,66 segundos halla su equivalente a la altura en cada valor de tiempo marcado. Un

182


grupo hace relación no solo entre el tiempo y la altura sino también con el número de

divisiones o tomas que hacen. Todos los grupos establecen magnitudes para realizar la

tabla y dos de ellos establecen unidades tanto para el tiempo (segundos) como la altura

(centímetros). El dividir un todo en partes iguales o diferentes como los estudiantes lo

hacen, determinan que la toma de intervalos es necesaria en el desarrollo de la pregunta.

E2: las tomas las vamos hacer para la regla, la altura y el tiempo

E2: algunas alturas tienen diferentes medidas, no van de cinco en cinco

E2: ¿el tiempo lo tomamos de 0,033?

E1: si

I: ¿para la altura que hacen?

E2: contamos las líneas para saber dónde queda la pelota

E1: ¿la altura siempre aumenta?

183


I: observen bien el movimiento

E1: ah, en la 13 toma empieza a disminuir

En la pregunta 6, los grupos para realizar la gráfica toman los intervalos de tiempo con

su correspondiente altura escritos en el numeral anterior en la tabla y los instauran en

dos ejes uno para el tiempo y el otro para la altura y establecen una relación

bidimensional. Establecen parejas ordenadas tiempo vs altura. Dos de los grupos

dibujan la gráfica en el segundo cuadrante, las otras dos en el primer cuadrante y una de

ellos no une puntos con líneas. Cuando se les indaga la comparación entre la gráfica

realizada por cada grupo con la de sus compañeros determinan diferencias como la de

cifras numéricas ya que unos toman los intervalos de tiempo como 0, 033 segundos y

otros como 0,066 segundos (recordando que uno de los grupos no escribe 0,066 sino

0,66 segundos). En uno de los grupos se admiran al observar la forma de la gráfica

como de una montaña; se puede creer que los estudiantes empiezan a romper el

comportamiento lineal de estos fenómenos. Otro dice que al unir parejas ordenadas

quedan como una escalera. Con lo anterior los estudiantes afirman la necesidad de usar

intervalos para dibujar la gráfica.

184


Las graficas son iguales lo unico que las diferencian es el tamaño y las cifras.

185


Las graficas son casi iguales se diferencian solamente en su tamaño

E2: la gráfica es como la de la vez pasada

E2: ¿cómo hacemos la altura?

E3: haga las mismas rayitas que el tiempo pero coloca las medidas

E3: ahora unimos los puntos del tiempo con la altura

E3: ahora una al revés

E2: ¿cómo así?

E3: este con este y este con este así todos (se refiere a que los datos de altura ya

marcados se unen con los otros datos de tiempo pero esta vez cuando baja la pelota)

E2: nos van a sobrar

E3: no, porque el cero también se toma

E2: ¡nos quedo como una montaña¡

E1: eso queda así

E3: esto no va siempre recto

E3: tenemos que comparar con los demás

Otro grupo opina sobre la forma de la gráfica lo siguiente:

I: unan la gráfica de subida y la de bajada en una sola

186


E3: esto queda como una escalera

E2: hay que unir los puntos, de ida y vuelta

E2: arriba se va volviendo más pequeña

Referente a la pregunta 7, los grupos mencionan siempre el tiempo como parte

fundamental para comprobar la validez del modelo y para esto tienen en cuenta

intervalos de tiempo con valores numéricos para obtener el respectivo valor en altura.

Un grupo menciona las proporciones tomadas de la gráfica para realizar la

comprobación lo más probable con el vídeo. Dos grupos mencionan el vídeo como

recurso para tomar intervalos numéricos de tiempo para hallar la altura y comprobarlos

en la gráfica.

6.4 Uso de tablas: secuencia numérica

Para el análisis de este aspecto variacional se tuvo en cuenta las preguntas 5, 6, 7.

En la pregunta 5, los grupos establecen una secuencia numérica para realizar la tabla,

donde se muestra el tiempo como variable independiente y la altura como la otra

variable. Establecen a partir de un intervalo de tiempo su respectivo valor para la altura.

187


Miden el tiempo a través del simulador utilizado, donde pueden tomar el tiempo de

acuerdo al intervalo que ellos deseen. Los grupos a través de la tabla establecen puntos

que indican el momento en el cual se devuelve la pelota. Reconocen en la tabla

momentos como un antes y un después. Uno de los grupos toma los datos del tiempo

como 0,66 y no como 0,066 pero la relación de alturas si la dan correcta.

En la pregunta 6, todos los grupos toman como referencia la tabla y su secuencia

numérica para realizar la gráfica. En cada una de las gráficas que realizan los grupos

plasman los valores numéricos estableciendo el eje horizontal para el tiempo y la altura

para la vertical. Establecen parejas ordenadas tomadas de las tablas y las unen a través

de líneas para localizar el punto bidimensional. Ordenadamente colocan los valores

188


numéricos en sus respectivos ejes. Con el uso adecuado de las secuencias numéricas

pueden establecer el punto de regreso de la pelota.

¿Se comienza desde cero?

E3: si, desde cero hasta el dato 26

E3: de cuanto en cuanto vamos a tomar los datos

189


E1: 0,066 en tiempo

Otro grupo opinan lo siguiente:

E1: vamos hacer tiempo-altura en la gráfica

E1: ya me acordé el tiempo abajo y la altura arriba

E1: no entiendo cómo hacer la gráfica

I: tomen los datos y los grafican

E2: ahí no tiene que bajar

E1: si tienen que bajar porque estamos en la de bajada

Referente a la pregunta 7, tres de los grupos establecen que tomando valores numéricos

del vídeo de tiempo y midiendo la altura se puede comprobar el modelo gráfico. El otro

grupo dice que estableciendo proporciones es decir a través de valores numéricos se

puede comprobar la validez del modelo. Los grupos toman en cuenta que con

secuencias numéricas tomadas del vídeo o tabla de valores se puede comprobar si el

modelo es válido para la gráfica. Aunque ninguno de los grupos menciona directamente

el uso de las tablas para comprobar el modelo, reconocen el uso de datos y para esto se

necesita ordenarlos en una tabla. Uno de ellos menciona las proporciones, las cuales

son más fáciles de observar en datos tabulados.

190


Que cada tiempo tiene su distancia como en el video que vimos.

E3: miraríamos la gráfica para comprobar y el movimiento en el video

E2: la pelota para y se devuelve, volviéndose más lenta

E3: miraríamos las proporciones y la comparamos con la gráfica

6.5 Síntesis final

Al realizar el análisis de cada una de las secuencias y sus respectivas preguntas,

debemos reconocer el interés puesto por los estudiantes en el desarrollo de las

actividades que se plasman en cada uno de los argumentos escritos o comentados a

través de los audios y videos.

Los aspectos variacionales propuestos son los encargados de darle al estudiante la

dinámica para que inicie el proceso de indagación de conocimiento mostrando las

secuencias como un reto realizable.

En el desarrollo de las secuencias el estudiante a través de sus acciones favorece los

cuatro aspectos variacionales, los cuales proporcionan una introducción al conocimiento

de función cuadrática enlazada con la práctica de modelación, estableciendo relaciones,

creando inquietudes sobre el conocimiento y eligiendo las herramientas que lo llevan a

la consecución de este conocimiento.

191


Cada uno de los aspectos variacionales analizados contribuyeron y aportaron para

resignificar el concepto de función cuadrática desde la práctica de modelación.

El análisis de las propuestas didácticas donde los cuatro aspectos variacionales son

descubiertos y utilizados por los estudiantes, permitieron formar un engranaje entre

estudiante-práctica de modelación- ambiente-y profesor para llegar a la consecución de

los logros propuestos en nuestro trabajo de investigación.

Un análisis variacional es cuando se proponen argumentos herramientas y estrategias

para estudiar el cambio, analizarlo, cualificarlo, cuantificarlo y graficarlo. En este

sentido Cantoral, Molina y Sánchez (2005) nos comentan que una persona utiliza

argumentos y estrategias de tipo variacional cuando hace uso de ideas, técnicas o

explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo

y cualitativo del cambio de un cuerpo, sistema u objeto que se esté estudiando.

Se pudo observar que el estudiantado utiliza algunas propiedades y características para

significar el tiempo estableciendo que es independiente, se le puede dar valores

numéricos, lo toman como intervalos y como un todo. Si se toma el tiempo en una

dimensión lo reconocen como ese algo que siempre avanza representándolo como un

punto y cuando la toman en forma bidimensional ya sea para relacionarla con la

distancia del auto o la altura de la pelota, establecen intersecciones señalando puntos

donde esto sucede. Los estudiantes reconocen el tiempo como variable independiente y

son capaces de analizar una trayectoria, pero cuando se piensa relacionar el tiempo en

una gráfica se les dificulta y no lo perciben fácilmente (Dolores, Alarcón y Albarrán,

2003). El tiempo es algo que avanza y es progresivo. A través del análisis del tiempo se

puede establecer un antes y un después. Un grupo en sus comentarios y respuestas trata

de manifestar el tiempo como una distancia, estableciendo que si un objeto va hacia un

192


punto y nuevamente regresa el tiempo también lo hace es decir aumenta y luego se

regresa. Un acercamiento a lo que este grupo quiso decir con esto del tiempo puede ser

que querían significarlo como una variable (distancia) que se puede recorrer en ambos

sentidos.

De acuerdo a lo visto y analizado en cada una de las secuencias se puede comentar que

las gráficas en el caso que nos compete son básicas para observar las variaciones de las

magnitudes establecidas, determinar el comportamiento del fenómeno, establecer

relaciones distancia-tiempo o altura-tiempo, establecer proporcionalidad, establecer

puntos clave, establecer parejas ordenadas y reconocer intervalos (algo que se puede

partir en porciones). Por esto tomamos como aspecto variacional los intervalos y los

puntos clave; el uso de las gráficas se percibe como una herramienta para que dichos

aspectos sean significativos. Con los intervalos al tomar partes pequeñas de un todo

están permitiendo analizar un cambio que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Cualitativo en el momento que el estudiante establece el intervalo en el cual el objeto

regresa o baja y cuantitativo cuando reconoce que el objeto se detiene aludiendo que no

hay movimiento y su velocidad es cero. El estudiante para responder las preguntas

propuestas usa la gráfica identificando puntos clave o significativos, ya sea

numéricamente o posicionales utilizándolos para hallar las coordenadas de intersección,

reconociendo que son clave porque muestran las características del cambio sucedido en

el punto. La utilización de intervalos en la gráfica le permite al estudiante dar solución

a las actividades propuestas, donde el cúmulo de intervalos da la proporción final

(Buendía, 2012).

Las tablas sirven de organizador de los datos numéricos para llevarlos a la gráfica; pero

también me dan indicios de la proporcionalidad, del comportamiento del fenómeno,

193


permite establecer magnitudes y unidades y muestra en forma global el camino para la

construcción de la gráfica. En ella se establecen relaciones entre sus magnitudes. Son un

punto de unión entre el fenómeno real y el esbozo de una gráfica. Las tablas les permite

un ordenamiento de datos y observar su relevancia en la graficación estableciendo una

relación sucesiones numéricas-gráfica y la de fenómeno-sucesiones numéricas. El

estudiante interactúa con el fenómeno identificando las variables que intervienen en él,

tomando y organizando los datos obtenidos en una tabla numérica (Arrieta, 2003).

Se sugiere que cuando se quiera analizar o buscar los aspectos variacionales para

diseños instruccionales primero se debe realizar una prueba diagnóstica que le va a dar

luces para comenzar a establecer estos aspectos. Seguidamente cuando se esté

diseñando las actividades incluir de manera implícita los aspectos variacionales que se

quieran dar en las actividades propuestas. Después del diseño en la metodología para la

obtención de los datos debe tener en cuenta todo aquello que el estudiante realiza

durante el desarrollo de las actividades (la manera como pregunta y responde, los gestos

que realiza, los movimientos que hace, las relaciones que establece con los compañeros,

el uso de los recursos, los escritos, audios que puede obtener de ellos y/o vídeos). Lo

anterior facilita la obtención de datos que por otro medio no se puede lograr. En el

análisis de los resultados es muy importante tener claro los aspectos variacionales y

tomando lo dicho anteriormente sobre el reconocer en el análisis todo lo que el

estudiante hace para obtener los resultados satisfactorios.

194


COMENTARIOS FINALES

La propuesta de una secuencia didáctica a través de la práctica de modelación para

estudiantes que están en transición hacia el precálculo enmarcada en la

socioepistemología, tuvo entre sus proposiciones crear ambientes ricos en significados

y en argumentos partiendo de cada una de las acciones de los individuos como seres

humanos en las actividades matemáticas trazadas, donde la modelación es utilizada

como práctica en la obtención de conocimiento.

Las secuencias diseñadas fueron ideadas con el fin de discutir y favorecer en el

desarrollo de las actividades los aspectos variacionales de la función cuadrática, donde

la práctica de modelación toma parte activa en el proceso enseñanza aprendizaje de la

función cuadrática. La investigación ha contribuido a formar un marco de referencia

que involucra la modelación, la teoría (aspectos variacionales, uso de gráficas), la

metodología y el uso de la tecnología como recurso. La perspectiva motivó a que el

estudio para la introducción de la función cuadrática en sus aspectos variacionales se

dirigiera a la generación de conocimiento.

Las respuestas dadas por los estudiantes favorecieron los aspectos variacionales

propiciando la resignificación de función cuadrática como una introducción.

El tiempo como variable independiente. Se estableció que los estudiantes reconocen

que el tiempo es una magnitud que siempre es positiva y no tiene regreso, siempre va

aumentado. Aunque algunos al graficar no tomaban el tiempo en el eje horizontal

generalmente la reconocieron como variable en todas la preguntas de las secuencias que

195


hacían alusión al tiempo dándole un significado. La concepción del tiempo en el eje

horizontal, el estudiante lo acepta como algo que se debe aprender simplemente. A

través del análisis del tiempo se puede establecer un antes y un después en las acciones

realizadas por los estudiantes. Toman el tiempo en algunas ocasiones como si fuera una

distancia que puede aumentar y en otras regresar.

En la investigación es relevante que se tome el tiempo como variable independiente,

debido a que en la escuela está institucionalizado de este modo y el objetivo de la tesis

se dirige tenerlo en cuenta de esta manera. Recordando que es a través de la

modelación que se quiere relacionar el conocimiento científico (trayectorias visibles a la

imaginación) con el conocimiento escolar (el tiempo como variable independiente). Se

recomienda en otras investigaciones tomar el tiempo como variable simplemente. Y de

esto nuestra investigación da luces que pueden ser el punto de partida.

Uso de la gráfica: Puntos clave. La mayoría reconoció la diferencia entre trayectoria y

gráfica, y en ambas situaciones identificó y estableció puntos necesarios para

realizarlas, como también puntos de partida y de llegada. Aunque inicialmente cuando

se les pide el bosquejo de una gráfica de acuerdo al fenómeno dado, no determinan su

comportamiento, pero sí reconocen que existen puntos necesarios para realizarla. Con

el uso de puntos clave determinan lugares donde establecen a través de la variable

independiente (tiempo) un antes y un después. Los puntos clave ayudan a que el

estudiante rompa con la linealidad en los fenómenos que se presentan, reconociendo que

no todos los fenómenos tienen comportamiento lineal. Los puntos clave permiten al

estudiante visualizar cambios.

Uso de la gráfica: intervalos. La palabra intervalos para ellos era ajena al discurso

matemático escolar, sin embargo toman divisiones iguales del tiempo para realizar

196


tomas de datos como también para realizar la graficación y establecer correlación con la

distancia o altura a través de la cuadrícula. Al tomar un intervalo de tiempo

inmediatamente lo relacionan en la gráfica con otra magnitud ya sea distancia o altura

de acuerdo al fenómeno que se estudió. Establecen parejas ordenadas y reconocen

intervalos (algo que se puede partir en porciones) para en conjunto realizar los

bosquejos de la gráfica. Los intervalos son ayuda para que el estudiante reconozca los

cambios que sufren los objetos en movimiento ya sean cualitativos o cuantitativos.

Uso de tablas: secuencia numérica. Establecieron magnitudes como variables que se

tienen en cuenta para realizar una tabla. Algunos reconocieron dentro de la tabla puntos

clave y usaron intervalos de tiempo para establecer los valores de la variable

dependiente. Con las secuencias numéricas constituidas en la tabla se establecen

relaciones y proporcionalidad. Éstas son un punto de unión entre el fenómeno real y el

esbozo de una gráfica. El uso de secuencias numéricas les permitió un ordenamiento de

datos y observar su relevancia en la graficación estableciendo una relación de

fenómeno-sucesiones numéricas y sucesiones numéricas-gráfica.

Cuando se hace la comparación de las gráficas que los estudiantes en grupo realizaron

inicialmente como bosquejo y luego con los datos de la tabla, se admiraron de ver el

comportamiento de la gráfica en forma de curva. Algunos comentan que al establecer

parejas ordenadas se observa como si fueran escaleras que le dan forma a la gráfica.

Esto manifiesta que los estudiantes reconocen que no todo fenómeno se representa en

forma de línea recta en una gráfica rompiendo con la linealidad en los fenómenos.

El cuestionario diagnóstico a parte de haber servido como preámbulo para determinar el

conocimiento sobre gráficas y aspectos variacionales, nos mostró que las secuencias

eran adecuadas para la aplicación en el grado establecido.

197


También en esta investigación la metodología “experimentos de diseño” permitió

obtener información determinante y adecuada, porque es a través de esta metodología

que se recopilaron datos, argumentaciones procedentes de contextos naturales, se

abordaron aspectos teóricos relativos a la variación y al uso de las gráficas de la función

cuadrática.

La intervención del investigador dentro del desarrollo investigativo permitió una

interacción directa entre los estudiantes y motivó a que se despertara esa dinámica entre

ellos.

El tener como referente los experimentos de diseño permitió reconocer las posturas de

los estudiantes en las secuencias expuestas. Esto ayudado con los gestos, movimientos,

acciones, intervenciones y proposiciones que realizaron los estudiantes captado en

videos y audios; es el complemento necesario que se tuvo en cuenta en el análisis de

resultados.

La investigación nos lleva a creer que las bases de significados alrededor de cuatro

elementos variacionales para el conocimiento de la función cuadrática y donde es tenida

en cuenta la práctica de modelación en una perspectiva socioepistemológica y a través

de la aplicación de secuencias es realizable en el aula de clase para estudiantes entre 12-

13 años, que hasta ahora comienzan el trasegar en el precálculo.

Esta propuesta de investigación en matemática educativa se encamina a ser un referente

en el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática a nivel de bachillerato y con sus

adaptaciones a otros niveles. Donde la modelación sea tomada como una práctica a

partir de la cual se resignifica conocimiento matemático usando los experimentos de

diseño como complemento, de forma que no solo es valioso lo que el estudiante plasma

198


en un escrito, sino que además sus relaciones con el medio y con sus semejantes, sus

formas de expresar, de proponer brindarán respuestas a algunos interrogantes de la

investigación no observables en el discurso escolar cotidiano. Así podemos creer que

estableciendo una interacción acorde a cada uno de los momentos entre fenómeno-

modelación- experimento de diseño podemos formar un conglomerado que directa o

indirectamente contribuyen a la resignificación de conocimiento en nuestro caso el de


199


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211


ANEXOS

ANEXO 1

Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas

OCTAVO A NOVENO

212


ANEXO 2

CUESTIONARIO DIAGNÓSTICO: TRAYECTORIA Y GRÁFICA

El siguiente cuestionario puede ser aplicado a estudiantes comprendidos entre los 10- 11 años de los grados sexto y séptimo.

1. De acuerdo a sus conocimientos dibuje una gráfica cualquiera.

2. ¿Qué entiende por una gráfica lineal? Esbócela

3. Un automóvil se mueve en línea recta una distancia de 200m.Dibuje esta

trayectoria

4. El mismo auto después debe subir una montaña de 250m y 250 m de bajada.

Dibuja esta trayectoria.

5. La gráfica siguiente describe el movimiento de una oruga tomando en cuenta el

tiempo y la distancia. Si a usted le muestran la siguiente gráfica y le piden que

debe describir con palabras dicho movimiento a sus compañeros que no han

visto la gráfica, ¿qué les dirías?

213


214


ANEXO 3

SECUENCIA 1

MOVIMIENTO DE IDA Y REGRESO

En esta actividad se da un Applet a los estudiantes donde se muestra un automóvil que

se mueve a través de una autopista partiendo del punto (B) hasta un punto (C)

efectuando un movimiento donde se detiene en (C) y se devuelve hacia el punto (B). En

cada punto marcado se toman distancias y velocidades. De acuerdo a estos criterios

dados precisar las siguientes preguntas, observando el movimiento del auto.

1. Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el tiempo transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Se quiere llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al movimiento del auto en montaña. ¿Discuta con sus compañeros dónde los localizaría? Márquelos

2. Tomando el tramo B-G y el I-C de ida ¿Al comparar los tiempos gastados en esos tramos cómo serían y porqué? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los tiempos con respecto al movimiento de ida? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

215


4. Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como

magnitudes el tiempo y la distancia ¿Cómo lo haría? Esbócela

5. Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación

del numeral anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y de su opinión.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

216


ANEXO 4

SECUENCIA 2

LANZAMIENTO VERTICAL

Se lanza una pelota hacia arriba en forma vertical observando su movimiento hasta que

nuevamente llegue al lugar de lanzamiento. Cada grupo de estudiantes debe precisar las

preguntas expuestas respondiendo de manera clara, y argumentativa.

1. Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos trayectorias y localiza los puntos.

2. ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?

3. Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un

instante antes de llegar la pelota al punto donde se regresa y ese mismo intervalo

217


de tiempo después que se regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué sucede eso?

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

4. Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese

mismo momento de tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Para realizar la siguiente actividad los estudiantes toman una pelota y realizan un lanzamiento vertical hacia arriba. Con anterioridad se han marcado en una regleta que se coloca valores numéricos con el propósito de medir las alturas en un determinado tiempo.

5. Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

218

Documents

Unidad Legaria UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA