Unidad IV: Estadística Descriptiva BivariadaEstadística Descriptiva Bivariada 129 Unidad IV III 4.2 MEDIDAS DE ASOCIACIÓN PARA VARIABLES CUANTITATIVAS. EJERCICIOS RESUELTOS 1.-

Unidad IV:

Estadística Descriptiva

Bivariada

Estadística Descriptiva Bivariada

121

Unidad IV

III

4.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CONJUNTA, MARGINALES Y

CONDICIONALES.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Se realizaron dos pruebas referidas a velocidad lectora (variable x) y comprensión

lectora (variable Y), a un grupo de 27 estudiantes que ingresaron a la carrera de Pedagogía

en Matemática de la Universidad Metropolitana de las Ciencias de la Educación.

Obteniéndose los siguientes resultados.

X Y X Y X Y

92 8 91 9 90 8

88 6 93 8 86 7

85 5 89 7 88 7

84 6 83 6 87 5

89 8 92 7 87 6

83 5 94 10 94 8

85 6 91 8 85 6

84 5 92 9 86 5

86 6 90 7 90 9

a. Exponga en una tabla de distribución de frecuencias conjunta de frecuencias con

amplitud 3 para la variable X y amplitud 2 para la variable Y.

b. Calcule e intérprete las distribuciones marginales de X y de Y.

Solución:

a.

Velocidad lectora

Com

pre

nsi

ón

lec

tora

[83 – 86[ [86 – 89[ [89 – 92[ [92 – 95] 𝑛𝑖⦁

[9 – 11] 0 0 2 2 4

[7 – 9[ 0 2 5 4 11

[5 – 7[ 7 5 0 0 12

𝑛⦁𝑗 7 7 7 6 27

b. La última fila contiene la distribución marginal que es el total de individuos de

la variable comprensión lectora, y la última columna contiene la distribución

marginal que es total de individuos de la variable velocidad lectora.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.

Sabias que...

𝑛𝑖⦁ Indica las

distribuciones

marginales de las

filas (variable X)

𝑛⦁𝑗 Indica las

distribuciones

marginales de las

columnas

(variable Y)


122

Unidad IV

III

2.- La siguiente tabla de frecuencias absolutas corresponde a una muestra de 200

observaciones de una variable bidimensional.

X \ Y 10 15 20 25 30 35

8 8 10 10 6 0 10

10 12 20 0 14 10 20

12 24 10 10 6 20 10

Calcule:

a. Las distribuciones marginales de X y de Y.

b. La distribución de X condicionada a que Y = 25.

c. La distribución de Y condicionada a que X = 12.

Solución:

a. La distribución marginal de X es:

X 𝑛𝑖.

8 44

10 76

12 80

total 200

La distribución marginal de Y es:

Y 𝑛.𝑗

10 44

15 40

20 20

25 26

30 30

35 40

Total 200

b. La distribución de X condicionada a que Y = 25 es:

X / Y = 25 𝑛(𝑥/𝑦 = 25)

8 6

10 14

12 6

Total 26

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


123

Unidad IV

III

c. La distribución de Y condicionada a que X = 12 es:

Y / X = 12 𝑛(𝑌/𝑋 = 12)

10 24

15 10

20 10

25 6

30 20

35 10

Total 80

3.- Con los datos del ejercicio anterior calcule las medias y varianzas marginales. ¿Cuál de

las dos variables presenta mayor variación?

Solución:

Las medias marginales son:

�̅� =(8 ∙ 44 + 10 ∙ 76 + 12 ∙ 80)

200= 10,36

�̅� =(10 ∙ 44 + 15 ∙ 40 + 20 ∙ 20 + 30 ∙ 30 + 35 ∙ 40)

200= 21,95

Las varianzas marginales:

𝑠𝑥2 = 2,35

𝑠𝑦2 = 86,45

Observando los coeficientes de variación

𝐶𝑉(𝑋) = 0,15

𝐶𝑉(𝑌) = 0,42

Vemos que la variable Y presenta más dispersión que la variable X.

Fuente: D. F.


124

Unidad IV

III 4.- Considere la siguiente tabla de doble entrada que muestra a los trabajadores de la

empresa W distribuidos según sus edades y años de experiencia.

Años de experiencia E

dad

es

X/Y [0-5[ [5-10[ [10-15[ [15-20[ [20-25[ Total

[20-25[ 1

[25-30[ 2 4

[30-35[ 5 10 15

[35-40[ 1 20 30

[40-45[ 6 5 10 15

Total 123

a. Interprete los siguientes 𝑛33 , 𝑛4⦁ 𝑦 𝑛⦁3

b. Calcule la edad media y la desviación estándar de los trabajadores con una

experiencia entre 5 y 10 años.

c. El 25 % de los trabajadores con más años de servicios recibirán un bono extra de

$180000 pesos. Si Juan Pérez tiene 14 años de servicio. ¿Tiene derecho el Sr. Pérez

al bono?

Observación: La antigüedad de un trabajador es medida por año cumplido

trabajando.

Solución:

a.

𝑛33 = 15; Significa que 15 trabajadores tienen entre 30 y 35 años de edad y entre 10 y 15

años de experiencia.

𝑛4⦁ = 51 ; Significa que 51 trabajadores tienen entre 35 y 40 años.

𝑛⦁3=50; Significa que 50 trabajadores tienen entre 10 y 15 años de experiencia.

b.

𝜇𝑛.2=

∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑁=

1462,5

41= 35,67 𝑎ñ𝑜𝑠

𝜎𝑛.2= √𝜎𝑛.2

2 = √∑ 𝑥𝑖

2 ∙ 𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑁− 𝜇𝑛.2

2

𝜎𝑛.22 = √

53056,25

41− 1272,3489 = 4,659 𝑎ñ𝑜𝑠

Fuente: D. F.


125

Unidad IV

III c. Buscar el 25% superior es equivalente a buscar el tercer cuartil o percentil 75.

𝑄3 = 𝐿𝑖−1 +

3 ∙ 𝑁4 − 𝑁𝑖−1

𝑛𝑖∙ 𝐴𝑖

𝑄3 = 10 +

3 ∙ 1234 − 48

50∙ 5 = 14,425 𝑎ñ𝑜𝑠

Puesto que los años de servicio son una variable discreta el resultado debe aproximarse al

entero siguiente para que tenga sentido la respuesta, así que el 25% de trabajadores con

más años de servicio sería de los 15 años de servicio en adelante, por lo tanto el Sr. Pérez

no tendría derecho al bono.


126

Unidad IV

III EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- En un aula con 25 hombres y 14 mujeres se les pregunta quién fuma, resultando la

siguiente tabla:

Fuma No fuma Total

Hombre 12 13 25

Mujer 8 6 14

Total 20 19 39

a. ¿Qué proporción de estudiantes fuma?

b. ¿Qué proporción de mujeres no fuma?

c. ¿Qué proporción de estudiantes son hombres y fumadores? ¿Qué sucede con el resto

de los alumnos?

d. Determine la distribución marginal de frecuencias relativas del sexo de los alumnos

e. Determine la distribución marginal de frecuencias absolutas del sexo de los alumnos

f. Determine la distribución de frecuencias relativas para la variable genero,

condicionada a que sean alumnos fumadores

2.- Se considera la variable bidimensional (X, Y) cuya distribución de frecuencias se

presenta en la tabla siguiente:

X / Y 15 24 27 30

12 3 4 2 5

15 6 8 4 10

19 9 12 6 15

a. Estudie si las dos variables son independientes utilizando la distribución conjunta y

las marginales.

b. Grafique la distribución conjunta de las variables. Interprete.

3.- La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable

X, que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable Y,

que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito.

Y = Número de compras por semana

X = Número de tarjetas 0 1 2 3 4

1 0,08 0,13 0,09 0,06 0,03

2 0,03 0,08 0,08 0,09 0,07

3 0,01 0,03 0,06 0,08 0,08

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


127

Unidad IV

III a. Si se sabe que en el estudio han participado 300 personas, halle la distribución

conjunta de frecuencias absolutas.

b. Halle la distribución marginal de Y ¿cuál es el número medio y la desviación

estándar del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito?

c. Obtenga la distribución del número de tarjetas de crédito que poseen las

personas de dicho estudio ¿cuál es el número más frecuente de tarjetas de

crédito que posee una de estas personas?

d. Calcule la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas

de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas ¿cuál es la media de

esta distribución?

4.- Se han clasificado 100 familias de Santiago, según el número de hijos e hijas, en la

siguiente tabla:

N° de mujeres

N°

de

hom

bre

s X/Y 0 1 2 3 4

0 4 6 9 4 1

1 5 10 7 4 2

2 7 8 5 3 1

3 5 5 3 2 1

4 2 3 2 1 0

a. Halle las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales.

b. Determine el número medio de hijas donde en aquellas familias tienen 2 hijos.

c. Determine el número medio de hijos donde en aquellas familias no tienen hijas.

d. Determine el número medio de hijos que tienen aquellas familias que a lo más

tienen 2 hijas.

5.- Para realizar un estudio sobre pacientes entre 14 y 30 años. Para ello tomamos una

muestra de aquellos pacientes que ingresaron al Hospital Traumatológico de Santiago

durante el mes de marzo por fracturas de menisco. Los datos han sido recogidos en la

siguiente tabla:

Y = Edad de pacientes ingresados en el Hospital Traumatológico de Santiago por fractura

de menisco.

X = Número de días que permanecen ingresados dichos pacientes.

Y

X

[14 – 18[ [18 – 22[ [22 – 26[ [26 – 30[

[3 – 5[ 0,00 0,01 0,09 0,40

[5 – 7[ 0,08 0,06 0,03 0,01

[7 – 9] 0,30 0,02 0,00 0,00

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


128

Unidad IV

III Obtenga Razonadamente y explique brevemente el por qué y el significado de todos y cada

uno de los resultados de las siguientes preguntas:

a. Distribuciones condicionadas:

𝑋 𝑌⁄ < 22

𝑋 𝑌⁄ > 26 ¿Cuál de las dos distribuciones condicionadas es más homogénea y por qué?

b. ¿Cuál es el porcentaje de pacientes con edad inferior a 26 años y mayores a 18

años?

c. Calcule la media aritmética de la siguiente distribución, sabiendo que se consideró

una muestra de 300 pacientes:

𝑌 5 < 𝑋 < 7⁄ d. Analice razonadamente la dependencia entre las variables.

e. En el mes de marzo una persona estuvo ingresada en el Hospital Traumatológico de

Santiago por una rotura de menisco 7 días y afirma tener 18 años. Comente la

posible veracidad y fiabilidad de la afirmación.

6.- Recientemente, el departamento de Investigación y Desarrollo de los laboratorios

farmacéuticos Balleras ha realizado un estudio sobre la influencia de la edad en el consumo

de medicamentos. Para ello, eligió una muestra de 100 individuos, cuyas edades, junto con

las cantidades, en miles pesos, que gastaron en medicinas durante un año, aparecen

recogidas en la siguiente tabla:

Edad (años)

Gasto (miles)

[0 – 15[ [15 – 30[ [30 – 60[ [60 – 100]

[0 – 30[ 5 7 5 3

[30 – 90[ 12 2 15 21

[90 – 180] 3 1 10 16

a. Obtenga la distribución de frecuencias de la variable gasto en medicinas y calcule el

promedio y mediana del gasto.

b. Halle la distribución de frecuencias de la variable edad y calcule el promedio y

desviación estándar de la edad.

c. ¿Cuál es la distribución de frecuencias de la edad condicionada a un nivel de gasto

comprendido entre 30 y 90 mil pesos?

d. Calcule la distribución de frecuencias del gasto para una edad comprendida entre 60

y 100 años.

Fuente: D. F.


129

Unidad IV

III

4.2 MEDIDAS DE ASOCIACIÓN PARA VARIABLES CUANTITATIVAS.


1.- Se han registrado las siguientes puntuaciones en las pruebas de Música (X) y de

Matemática (Y), obtenidas por una muestra de niños de 10 años de un colegio de la Zona

Austral.

𝑋 𝑌 𝑋 ∙ 𝑌

5 6 30

7 8 56

8 7 56

5 6 30

9 10 90

4 5 20

5 5 25

5 7 35

7 6 42

8 9 72

�̅� = 6,3 �̅� = 6,9 ∑(𝑋 ∙ 𝑌) = 456

Calcule la covarianza. Interprete.

Solución:

𝑆𝑋𝑌 = ∑(𝑋 ∙ 𝑌)

𝑛− (�̅� ∙ �̅�) =

456

10− (6,3 ∙ 6,9) = 2,13

Interpretación: las variables puntaje de la prueba de música y puntaje de la prueba de

matemática están asociadas positivamente.

2.- Se tiene una muestra de las puntuaciones de 10 estudiantes en la primera y segunda

prueba del curso de Estadística Descriptiva y Nociones de Probabilidad.

Primera Prueba 60 74 66 34 60 66 57 71 39 57

Segunda Prueba 72 82 75 46 73 74 70 82 60 61

Calcule el coeficiente de correlación lineal e interprete el resultado.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


130

Unidad IV

III Solución:

Sean:

X: Puntaje de la primera prueba.

Y: Puntaje de la segunda prueba.

�̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛=

584

10= 58,4

𝑠𝑥2 =

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛=

1498,4

10= 149,84

𝑠𝑥 = √𝑠𝑥2 = √149,84 ≈ 12,2409

�̅� =∑ 𝑦𝑖

𝑛=

695

10= 69,5

𝑠𝑦2 =

∑(𝑦𝑖 − �̅�)2

𝑛=

1096,5

10= 109,65

𝑠𝑦 = √𝑠𝑦2 = √109,65 ≈ 10,4714

𝑠𝑥𝑦 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)

𝑛=

1207

𝑛= 120,7

Coeficiente de correlación:

𝑟 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥𝑠𝑦=

120,7

12,2409 ∙ 10,4714≈ 0,9416

Interpretación: si existe asociación lineal entre las variables porque 𝑟 = 0,9416, lo que

indica que hay una buena correlación lineal entre los puntajes de la primera y segunda

prueba, ya que esto se gráfico en un diagrama de dispersión y con eso se confirma lo

bueno de r.

3.- A un grupo de alumnos se les examina de teoría (X) y práctica (Y) de una asignatura.

La nota global de dicha asignatura (Z) se obtiene de la siguiente forma:

𝑍𝑘 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 𝑖 = 𝑗 = 𝑘

Compare la Homogeneidad de la distribución de la nota global en los dos casos siguientes:

a. Las variables X e Y están totalmente correlacionadas.

b. Las variables X e Y son totalmente independientes.


131

Unidad IV

III Solución:

Zk = Xi + Yj i = j = k

Z̅ =∑ Zknk

N=

∑(Xk + Yk)nk

N=

∑ Xknk

N+

∑ Yknk

N= X̅ + Y̅

Sz2 =

∑(Zk − Z̅)2

N=

∑ ((Xi + Yj) − (X̅ + Y̅))2

∙ nij

N=

∑ ((Xi − X̅) + (Yj − Y̅))2

∙ nij

N=

=∑(Xi − X̅)2 ∙ ni

N+

∑(Yj − Y̅)2

∙ nj

N+ 2

∑(Xi − X̅)(Yj − Y̅) ∙ nij

N= Sx

2 + SY2 + 2SXY

CV(Z) =SZ

Z̅

a.1 r = +1 ⇒ SXY > 0 ⇒ CV(Z) =√Sx

2+SY2 +2SXY

X̅+Y̅

a.2 r = −1 ⇒ SXY < 0 ⇒ CV(Z) =√Sx

2+SY2 −2SXY

X̅+Y̅

b. r = 0 ⇒ SXY = 0 ⇒ CV(Z) =√Sx

2+SY2

X̅+Y̅

La variable es más homogénea es aquella que tiene menor coeficiente de variación.

El 𝐶𝑉(𝑍) en el caso a.1 siempre será mayor que el 𝐶𝑉(𝑍) del caso b.

El 𝐶𝑉(𝑍) en el caso a.2 siempre será menor que el 𝐶𝑉(𝑍) del caso b.

Luego la más homogénea será cuando existe correlación perfecta negativa.

4.- La siguiente tabla expone la distribución de frecuencias bidimensional de las variables

X, ingresos en millones de pesos, en concepto de permisos de circulación, e Y, gastos en

mantenimiento de calles, en millones de pesos, de un grupo de municipalidades.

Gasto en mantenimiento de calles en millones

Ingre

so e

n m

illo

nes

Y

X [6,5 – 13,5[ [13,5 – 14,5[ [14,5 – 15,5]

[5 – 55[ 0,08 0,02 0,06

[55 – 65[ 0,02 0,13 0,04

[65 – 75] 0,12 0,13 0,22

Fuente: D. F.


132

Unidad IV

III a. ¿Cuál es el ingreso medio por municipalidad en concepto de permisos de

circulación en las municipalidades cuyos gastos en mantenimiento de calles están

comprendidos entre 13,5 y 14,5 millones de pesos?

b. Obtenga el gasto medio por municipalidad en mantenimientos de calles entre las

municipalidades con ingresos por permisos de circulación entre 65 y 75 millones de

pesos.

c. ¿Cuál de las dos medias es más representativa?

Solución:

a. El ingreso medio es la media de la distribución condicionada (�̅�/𝑌 = 𝑦2; 𝑓𝑖/2),

donde 𝑦2 es la marca de clase del intervalo 13,5 – 14,5.

Los valores de esta distribución de frecuencias son los valores de la variable X, siendo

la frecuencia relativa del valor genérico 𝑥𝑖, marca de clase del intervalo genérico.

𝑓𝑖/2 =𝑓𝑖2

𝑓⦁2

De este modo se obtiene la tabla de distribución de frecuencias condicionada:

𝑥𝑖/𝑌 = 𝑦2 𝑓𝑖/2

30 0,02

0,28= 0,072

60 0,13

0,28= 0,464

70 0,13

0,28= 0,464

Luego calculamos la media de la distribución condicionada con la información de la tabla.

�̅�/(𝑌 = 𝑦2) = ∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖2

= 62,48 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.

b. El gasto medio por municipalidad en mantención de calles entre las

municipalidades con ingresos por permisos de circulación entre 65 y 75 millones de

pesos es la media de la distribución condicional (𝑦𝑗/𝑋 = 𝑥3; = 𝑓𝑗/3), con 𝑥3 = 70,

marca de clase del intervalo 65-75.

Los valores de esta distribución son 10, 14, 15, marcas de clase de los intervalos en los que

están agrupados los datos de la variable Y, respondiendo a las frecuencias relativas a la

siguiente expresión:


133

Unidad IV

III

𝑓𝑗/3 =𝑓3𝑗

𝑓3⦁

Al aplicar ésta relación a cada uno de los valores de la variable se obtiene la siguiente

tabla de distribución condicionada.

𝑦𝑗/𝑋 = 𝑥3 𝑓𝑗/3

10 0,12

0,47= 0,255

14 0,13

0,47= 0,277

15 0,22

0,47= 0,468

La media de la distribución conjunta condicionada es:

�̅�/𝑋 = 𝑥3 = ∑ 𝑦𝑗 ∙ 𝑓𝑗3

= 13,448 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.

c. Para estudiar la representatividad se puede utilizar el coeficiente de variación de

cada una.

𝐶𝑉(�̅�/𝑌 = 𝑦2) =𝑠𝑋/𝑌=𝑦2

�̅�/(𝑌 = 𝑦2)

𝑠𝑋/𝑌=𝑦2

2 = ∑ 𝑥𝑖2 ∙ 𝑓𝑖/2 − (�̅�/(𝑌 = 𝑦2))2 = 105,05

𝑠𝑋/𝑌=𝑦2= √𝑠𝑋/𝑌=𝑦2

2 = √105,05 = 10,25 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.

Por lo tanto,

𝐶𝑉(�̅�/𝑌 = 𝑦2) =10,25

62,48= 0,16

Por otra parte,

𝐶𝑉(�̅�/𝑋 = 𝑥3) =𝑠𝑌/𝑋=𝑥3

�̅�/(𝑋 = 𝑥3)

𝑠𝑌/𝑋=𝑥3

2 = ∑ 𝑦𝑗2 ∙ 𝑓𝑗/3 − (�̅�/(𝑋 = 𝑥3))2 = 4,24

𝑠𝑌/𝑋=𝑥3= √𝑠𝑌/𝑋=𝑥3

2 = √4,24 = 2,06 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.


134

Unidad IV

III Por lo tanto,

𝐶𝑉(�̅�/𝑋 = 𝑥3) =2,06

13,448= 0,15

El coeficiente de variación de 𝐶𝑉(�̅�/𝑋 = 𝑥3) = 0,15 es más pequeño que 𝐶𝑉(�̅�/𝑌 =𝑦2) = 0,16, pero la diferencia es muy ínfima entre ambos coeficientes, por ende no

podemos afirmar que una de las medias es más representativa que la otra, en conclusión

ambas medias tienen similar coeficiente de variación.


135

Unidad IV

III

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Se está estudiando la relación entre el número de años que una persona está afiliada al

sindicato y el nivel de satisfacción con la actuación de dicho sindicato (nivel de

satisfacción de 1 a 10). Para ello se parte de los datos de 6 individuos tomados

aleatoriamente de personas adscritas a partidos políticos, obteniéndose:

Años 8 7 10 3 6 13

Satisfacción 7 5 8 5 9 9

a. Calcule el coeficiente de correlación lineal. Interprete el resultado obtenido.

b. Prediga el índice de satisfacción de una persona que lleva 11 años militando en el

sindicato. Conociendo que el índice de satisfacción es de 6 predecir los años que

lleva en el sindicato.

2.- Las siguientes son las calificaciones obtenidas por los 25 alumnos de un grupo de

Bachillerato en las asignaturas de Biología y Química:

B 4 5 5 5 6 6 6 5 5 7 7 7 7 7 7 5 4 3 2 2 7 7 6 5 5

Q 3 5 5 6 7 7 7 7 7 7 4 4 5 6 2 2 4 7 6 5 7 7 5 4 4

a. Obtenga la tabla de frecuencias conjunta.

b. ¿Qué proporción de alumnos obtienen más de un cinco en ambas asignaturas? ¿Qué

proporción de alumnos obtienen más de un cinco en Biología? ¿Qué proporción de

alumnos obtienen más de un cinco en Química?

c. Obtenga la distribución de frecuencias condicionales de la calificación en Biología

de los estudiantes que obtuvieron un 6 en Química ¿Qué proporción de estos

estudiantes obtuvieron la mejor nota en Biología?

d. Obtenga el coeficiente de correlación. Interprete el resultado.

3.- Se calculó el coeficiente de correlación entre las puntuaciones en dos test X e Y en dos

muestras de sujetos pertenecientes a dos países A y B. Para la muestra A se obtuvo un

𝑟𝑋𝑌 = 0,3 mientras que para la muestra B un 𝑟𝑋𝑌 = 0,6

a. ¿Qué se puede decir en términos comparativos acerca de la asociación entre X e Y

en ambos países?

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


136

Unidad IV

III 4.- La relación entre el precio de un producto y el volumen de consumo es la siguiente:

Precio 180 220 260 300 340

Consumo 1.905 2.370 2.835 3.300 3.765

Halle el valor del coeficiente de correlación.

5.- El departamento de Marketing de un grupo financiero ha realizado un estudio sobre la

influencia de la renta en las decisiones de inversión de sus clientes. Para ello eligió una

muestra de 20 clientes, cuya renta anual, junto con las cantidades invertidas en un cierto

año, en millones de pesos, aparecen recogidas en la siguiente tabla:

Inversión

Renta

[0 – 4[ [4 – 8[ [8 – 12]

[6 – 14[ 4 2 0

[14 – 26[ 2 2 3

[26 – 34] 0 1 6

a. Halle las medias y varianzas de las variables consideradas.

b. ¿Cuál es la covarianza entre la inversión y la renta?

c. ¿Cuál sería el valor de la covarianza si cada cliente aumentara su inversión en un

millón de pesos?¿Qué valor tendría la covarianza si la renta de cada cliente se

incrementa en un 6%?

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


137

Unidad IV

III

4.3 ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE.


1.- La siguiente tabla muestra las edades en años de hombres y mujeres a la hora de casarse.

Esposo 40 36 20 18 60 50

Esposa 27 25 17 16 37 32

a. Halle las rectas de regresión de las variables.

b. Halle e interprete el grado de correlación.

Solución:

a.

X: Edad esposo. Y: Edad esposa.

Esposos(X) Esposas(Y) 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌

40 27 1600 729 1080

36 25 1296 625 900

20 17 400 289 340

18 16 324 256 288

60 37 3600 1369 2220

50 32 2500 1024 1600

Total 224 154 9720 4292 6428

�̅� =∑ 𝑌𝑗

𝑁=

154

6= 25,7 𝑎ñ𝑜𝑠

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑁=

224

6= 37,3 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑌𝑗2

𝑁− �̅�2 =

4292

6− (25,7)2 = 54,84 𝑎ñ𝑜𝑠2

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑋𝑖2

𝑁− �̅�2 =

9720

6− (37,3)2 = 228,71 𝑎ñ𝑜𝑠2

𝑆𝑌 = +√𝑆𝑌2 = +√54,84 = 7,41 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑋 = +√𝑆𝑋2 = +√228,71 = 15,12 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑋𝑌 =∑ 𝑋𝑖𝑌𝑗

𝑁− �̅��̅� =

6428

6− (25,7)(37,3) = 112,72


138

Unidad IV

III

𝑏 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑋2 =

112,72

228,71= 0,49

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 25,7 − 0,49 ∙ 37,3 = 7,42

Recta: �̂� = 7,42 + 0,49𝑋

b.

𝑟 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑥𝑆𝑌=

112,72

(7,41)(15,12)= 1 𝑟2 = 1

Hay una fiabilidad de un 100%, lo que nos indica que es muy buena la relación lineal entre

ambas variables.

2.- Con objeto de analizar si existe relación lineal entre el consumo de energía eléctrica

(kw. hora), variable X y el volumen de producción en millones de pesos, variable Y, de una

empresa se ha obtenido la siguiente información:

�̅� = 0,151; �̅� = 94,6; 𝑆𝑥 = 0,055; 𝑆𝑦 = 56,248; 𝑆𝑥𝑦 = −2,870

Ajuste la recta de regresión lineal que explica el consumo de electricidad en 𝑓𝑖 del volumen

de producción. Interprete la validez de la recta ajustada.

Solución:

𝑏 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑋2 =

−2,870

0,0552 = −948,76 𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 94,6 − (−948,76) ∙ (0,151) = 237,86

Recta: �̂� = 237,86 − 948,76𝑋

La validez de la recta se puede interpretar por medio del coeficiente de correlación

𝑟 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑥𝑆𝑌=

−2,870

(0,055)(56,248)= −0,93

Al ser -0,93 nos indica que hay una alta asociación lineal inversa entre las variables


139

Unidad IV

III 3.- Se está estudiando la relación existente entre los años de estudio realizados por los

padres y los estudios realizados por los hijos en 14 personas.

Entrevistados Padres Hijos

A 12 12

B 10 8

C 6 6

D 16 11

E 8 10

F 9 8

G 12 11

Analice y establezca la posible dependencia y correlación entre ambas variables. Ajuste un

modelo de regresión.

Solución:

Entrevistados Padres(X) Hijos(Y) 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌

A 12 12 144 144 144

B 10 8 100 64 80

C 6 6 36 36 36

D 16 11 256 121 176

E 8 10 64 100 80

F 9 8 81 64 72

G 12 11 144 121 132

Total 73 66 825 666 720

�̅� =∑ 𝑌𝑗

𝑁=

66

7= 9,43 𝑎ñ𝑜𝑠

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑁=

73

7= 10,43 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑌𝑗2

𝑁− �̅�2 =

666

7− (9,43)2 = 6,2 𝑎ñ𝑜𝑠2

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑋𝑖2

𝑁− �̅�2 =

825

7− (10,43)2 = 9,07 𝑎ñ𝑜𝑠2

𝑆𝑌 = +√𝑆𝑌2 = +√6,2 = 2,49 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑋 = +√𝑆𝑋2 = +√9,07 = 3,01 𝑎ñ𝑜𝑠

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


140

Unidad IV

III


𝑁− �̅��̅� =

720

7− (9,43)(10,43) = 4,5

𝑟 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑥𝑆𝑌=

4,5

(3,01)(2,49)= 0,60

𝑟2 = (0,60)2 = 0,36

Hay un 36% de fiabilidad. Aunque no es muy grande nos indica que no es demasiado

buena la relación lineal entre ambas variables. De todas formas podemos establecer la

siguiente relación:

𝑏 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑋2 =

4,5

9,07= 0,49

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 9,43 − 0,49 ∙ 10,43

Recta: �̂� = 4,32 + 0,49𝑋

6.- Demuestre que, si existe dependencia lineal perfecta entre las variables X e Y, esto es si

𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋

donde 𝑎 y 𝑏 son números reales, 𝑏 ≠ 0, entonces,

|𝑆𝑥𝑦| = 𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦

Solución:

Por las propiedades de la varianza, si 𝑠𝑥2 es la varianza de la variable X, entonces, la

varianza de la variable Y es

𝑠𝑦2 = 𝑏2 ∙ 𝑠𝑥

2

y en consecuencia, su desviación típica es

𝑠𝑦 = |𝑏| ∙ 𝑠𝑥

Para calcular la covarianza entre Xe Y, hay que considerar que para cada valor de la

variable X, 𝑥𝑖, existe un valor de la variable 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥𝑖, con lo cual, puede escribirse

un único sumatorio en la expresión de 𝑠; además, por las propiedades de la media

aritmética, se cumple que �̅� = 𝑎 + 𝑏 ∙ �̅�. Teniendo en cuenta estos comentarios, la

covarianza entre las variables X e Y es

𝑆𝑥𝑦 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ [(𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥𝑖) − (𝑎 + 𝑏 ∙ �̅�)] ∙ 𝑓𝑖 = 𝑏 ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ 𝑓𝑖 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑥2


141

Unidad IV

III Por tanto, tomando módulos en la expresión anterior, se tiene, por un lado,

|𝑆𝑥𝑦| = |𝑏| ∙ 𝑠𝑥2

y, por otro lado, el producto de las desviaciones típicas es

𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦 = 𝑠𝑥 ∙ |𝑏| ∙ 𝑠𝑥 = |𝑏| ∙ 𝑠𝑥2

En definitiva, comparando ambas expresiones:

|𝑆𝑥𝑦| = 𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦

según queríamos demostrar.

Se concluye, por lo tanto, que, si la relación entre la variables es creciente, esto es, si 𝑏 >

0, entonces,

𝑆𝑥𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑥2

es una cantidad positiva, con lo cual, |𝑆𝑥𝑦| = 𝑆𝑥𝑦 , y

𝑆𝑥𝑦 = 𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦

siendo, en tal caso, el coeficiente de correlación lineal,

𝑟 =𝑆𝑥𝑦

𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦

igual a 1.

Por el contrario, si la relación entre X e Y es decreciente, es decir, si 𝑏 < 0, entonces,

𝑆𝑥𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑥2

es menor que cero, siendo, en ese caso, |𝑆𝑥𝑦| = −𝑆𝑥𝑦 y verificándose que

𝑆𝑥𝑦 = −𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑦

con lo cual, el coeficiente de correlación lineal, 𝑟, toma el valor -1.


142

Unidad IV

III EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Las notas obtenidas por 9 alumnos en las pruebas finales del primer semestre y del

segundo son:

1° 5 7 6 7 3 4 2 4 6

2° 6 5 6 6 4 2 4 3 7

a. Existe correlación entre los resultados.

b. Realice las rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y

2.- En una empresa se toma una muestra de 100 trabajadores con la finalidad de estudiar si

hay relación entre su edad X y los días que están con licencia en el año Y. Se obtuvieron los

siguientes resultados:

X / Y [0 – 20[ [20 – 40[ [40 – 60] Total

[20 – 30[ 28 2 0 30

[30 – 40[ 26 15 4 45

[40 – 50] 6 14 5 25

a. ¿Es simétrica la distribución del número de días de licencia de los trabajadores?

b. ¿Cuál es la edad más frecuente de los trabajadores que piden licencia en el año?

c. Ajuste un modelo de regresión lineal.

3.- En un depósito cilíndrico, la altura del agua que contiene varia conforme pasa el tiempo

según esta tabla:

Tiempo (h) 8 22 27 33 50

Altura (m) 17 14 12 11 6

a. Obtenga el coeficiente de correlación lineal entre el tiempo y la altura e interprételo.

b. ¿Cuál será la altura del agua cuando hayan transcurrido 40 horas?

c. Cuando la altura del agua es de 2m, suena una alarma ¿Qué tiempo ha de pasar para

que avise la alarma?

4.- En un determinado estudio médico se pretende medir la relación existente entre la

exposición al ruido y la hipertensión. Se obtuvieron los siguientes datos:

Y 1 0 1 2 5 1 4 6 2 3 5 4 6 8 4 5 7 9 7 6

X 60 63 65 70 70 70 80 80 80 80 85 89 90 90 90 90 94 100 100 100

Donde X representa la presión sonora en decibeles, e Y el aumento de la presión sanguínea

en Miligramos.

a. Realice un diagrama de dispersión de Y respecto a X.

b. Realice el modelo de regresión lineal simple. Interprete.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


143

Unidad IV

III

5.- El consumo y la renta mensual de 100 familias expresadas en miles de pesos, son los

siguientes: X= (Consumo) Y = (Renta)

Renta en miles

Co

nsu

mo

en m

iles

𝑋 𝑌⁄ 150 250 350 450

300 10 15 0 0

400 5 20 25 0

500 0 15 5 5

a. Calcule la recta de regresión lineal de la renta sobre el consumo.

b. ¿Cuánto explica el modelo de regresión lineal?

c. ¿Cuál es el consumo para una renta de 241.000?

Fuente: D. F.


144

Unidad IV

III

4.4 GRÁFICOS QUE MUESTRAN ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES.


1.- Los puntajes de 10 estudiantes de las clases de Matemática y en Física han sido las

siguientes:

Matemática 7 6 4 5 9 10 3 1 10 6

Física 8 6 3 6 10 9 1 2 10 5

Represente los datos mediante una nube de puntos e indique cuál de estos valores es más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; -0,37; -0,94.

Solución:

De la representación gráfica se observa que el coeficiente de correlación es positivo y alto,

por lo tanto, 𝑟 = 0,94.

Matemática

Fís

ica

Fuente: D. F.


145

Unidad IV

III

2.- Los números 0,1; 0,99; 0,6 y 0,89 son los valores absolutos del coeficiente de

correlación de las distribuciones bidimensionales cuyas nubes de puntos están dibujadas a

continuación. Asigne a cada diagrama su coeficiente de correlación correspondiente,

cambiando el signo cuando sea necesario.

Solución:

a. 𝑟 = 0,89

b. 𝑟 = 0,1

c. 𝑟 = −0,6

d. 𝑟 = −0,99

3.- Dada la distribución Bidimensional.

𝑋 10 20 30 40 50

𝑌 200 180 150 120 100

a. Ajuste una recta de regresión lineal. ¿tiene sentido el modelo? Apoye su respuesta

gráficamente.

b. Calcule el coeficiente de correlación.

Solución:

a.

X Y 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌

10 200 100 40000 2000

20 180 400 32400 3600

30 150 900 22500 4500

40 120 1600 14400 4800

50 100 2500 10000 5000

Total 150 750 5500 119300 19900

�̅� =∑ 𝑌𝑗

𝑁=

750

5= 150

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑁=

150

5= 30

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


146

Unidad IV

III

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑌𝑗2

𝑁− �̅�2 =

119300

5− (150)2 = 1360

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑋𝑖2

𝑁− �̅�2 =

5500

5− (30)2 = 200

𝑆𝑌 = +√𝑆𝑌2 = +√1360 = 36,88

𝑆𝑋 = +√𝑆𝑋2 = +√200 = 14,14


𝑁− �̅��̅� =

19900

5− (150)(30) = −520

𝑏 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑋2 =

−520

200= −2,6

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 150 − (−2,6) ∙ 30 = 228

Recta: �̂� = 228 − 2,6𝑋

b.

𝑟 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑥𝑆𝑌=

−520

(14,14)(36,.88)= −0,99

𝑟2 = (−0,99)2 = 0,98

Hay un 98% de fiabilidad. Es un valor muy cercano a 1, lo que nos indica que es

demasiado buena la relación lineal entre ambas variables, pero como el valor de 𝑟 es

menor que cero la relación lineal es inversa.

Variable X

Var

iab

le Y


147

Unidad IV

III 4.- Dadas las variables estadísticas correspondientes a las edades de 5 niños y sus pesos

respectivos, hallar las rectas de regresión, su representación gráfica y su coeficiente de

correlación.

Edad en años 2 4 6 7 8

Peso en Kg. 15 19 25 33 34

Solución:

X Y 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌

2 15 4 225 30

4 19 16 361 76

6 25 36 625 150

7 33 49 1089 231

8 34 64 1156 272

Total 27 126 169 3456 759

�̅� =∑ 𝑌𝑗

𝑁=

126

5= 25,2 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

�̅� =∑ 𝑋𝑖

𝑁=

27

5= 5,4 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑌𝑗2

𝑁− �̅�2 =

3456

5− (25,2)2 = 56,16

𝑆𝑌2 =

∑ 𝑋𝑖2

𝑁− �̅�2 =

169

5− (5,4)2 = 4,64 𝑘𝑔2

𝑆𝑌 = +√𝑆𝑌2 = +√56,16 = 7,49 𝑎ñ𝑜𝑠2

𝑆𝑋 = +√𝑆𝑋2 = +√4,64 = 2,15


𝑁− �̅��̅� =

759

5− (5,4)(25,2) = 15,72

𝑏 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑋2 =

15,72

4,64= 3,39

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 25,2 − 3,39 ∙ 5,4 = 6,8

Recta: �̂� = 6,89 + 3,39𝑋

Fuente: D. F.


148

Unidad IV

III

𝑟 =𝑆𝑋𝑌

𝑆𝑥𝑆𝑌=

15,72

(2,15)(7,49)= 0,976

𝑟2 = (0,976)2 = 0,952

Hay un 95,2% de fiabilidad. Es un valor muy cercano a 1, lo que nos indica que es

demasiado buena la relación lineal entre ambas variables, la relación lineal es directa.

Edad

Pes

o


149

Unidad IV

III

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- En un estudio sobre el sexismo en el trabajo se contrastaron las variables sexo y nivel de

ingresos. Los resultados obtenidos sobre una muestra de 528 individuos se presentan en la

siguiente tabla de doble entrada:

Nivel de ingreso

Alto Medio Bajo Bajo Total G

éner

o Hombre 50 135 78 263

Mujer 20 147 98 265

Total 70 282 176 528

a. Represente gráficamente las variables en estudio.

b. ¿Qué medida descriptiva del nivel de asociación entre ambas variables es posible

calcular? Justifique.

2.- Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre 20 grupos

musicales, a saber, el número de conciertos dados este verano y las ventas de discos de

estos grupos (en miles de LPs), obteniendo los siguientes datos:

Número de conciertos

Ven

tas

LPs [10 – 30[ [30 – 50[ [50 – 70]

[1 – 6[ 3 2 1

[6 – 11[ 1 4 1

[11 – 16] 2 1 5

a. Calcule el número medio de LPs vendidos por estos grupos.

b. Obtenga la recta de regresión que explica la dependencia lineal

c. Si un grupo musical ha vendido 1800 LPs, ¿Qué número de conciertos se prevé que

dé este verano?

3.- El consumo de productos farmacéuticos y sanitarios y la renta mensual familiar en una

muestra de 5 hogares son los siguientes:

Consumo 100 150 180 200 210

Renta 20.000 25.000 35.000 40.000 45.000

a. Identifique la variable independiente y dependiente.

b. Realice una representación gráfica de la nube de puntos.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


150

Unidad IV

III 4.- En el departamento de personal de un determinado Banco del centro de Santiago, se ha

realizado un estudio queriendo constatar si la edad de los empleados está en relación con el

número de días que no se asiste al trabajo. Los resultados numéricos son:

Edad

[20 – 29[ [29 – 38[ [38 – 47[ [47 – 56[ [56 – 65[

Día

s de

Au

sen

cia [65 – 72[ 0 1 8 7 16

[58 – 65[ 2 6 10 2 4

[51 – 58[ 5 9 5 0 1

[44 – 51] 14 6 2 2 0

a. Establezca una función lineal que relacione las dos variables.

b. Grafique la función establecida.

5.- La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico de

un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:

N° de Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

N° de gérmenes 20 26 33 41 47 53 56 58 61 65 67 69 70 75 78 82

a. Determine la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por centímetro

cúbico en función del tiempo.

b. Grafique la función establecida.

c. ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico es predecible encontrar cuando

hayan transcurrido 6 horas? ¿Es buena esa predicción?

Fuente: D. F.


151

Unidad IV

III 6.- La siguiente noticia fue extraída del diario Publimetro, con la información expuesta en

ella responda las preguntas:

Fuente: Diario Publimetro, 2015.

a. Determine las rectas de regresión de Lectura sobre Matemática y Matemática sobre

Lectura, de los colegio con mejores promedio en sus resultados.

b. Grafique y calcule el centro de gravedad de la distribución.

c. ¿Existe relación entre las variables puntaje de Matemática y puntaje de Lectura?

Sabías que…

El punto de

intersección de

las rectas de

regresión es

llamado centro

de gravedad de

la distribución.


152

Unidad IV

III

CONTROL UNIDAD

1.- Demuestre que:

a. 𝑆𝑥𝑦 = 𝑥𝑦̅̅ ̅ − �̅��̅�

b. ∑ ∑ 𝑛𝑖𝑗𝑓𝑖=1

𝑐𝑗=1 = 𝑛

c. ∑ ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑓𝑖=1

𝑐𝑗=1 = 1

d. ∑ 𝑛𝑖⋅𝑓𝑖=1 = 𝑛

e. ∑ 𝑛⋅𝑗𝑐𝑗=1 = 𝑛

2.- Demuestre que el coeficiente de correlación lineal de la distribución (𝑥𝑖, 𝑦𝑗; 𝑓𝑖𝑗) es igual

a la covarianza de las variables tipificadas.


153

Unidad IV

III

EJERCICIOS TIPO PRUEBA

1.- En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del

tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una clasificación de

Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una clasificación de Muy

grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de 525 individuos que habían

sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de

contingencia (tabla de doble entrada):

Tipo accidente

Muy Grave Grave Lesiones Medias Leves

Háb

ito d

e

fum

ar

Muy Fumador 0,038 0,019 0,019 0,057

Fumador 0,057 0,076 0,038 0,095

Fumador Esporádico 0,019 0,114 0,152 0,114

No Fumador 0,009 0,038 0,057 0,095

a. Represente los datos anteriores gráficamente.

b. Calcule las distribuciones marginales para cada una de las variables de estudio.

c. Construya una tabla de distribución de frecuencias porcentuales donde aparezcan las

distribuciones marginales de cada variable.

2.- De una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de

ventas (en miles de millones de pesos) y al gasto en publicidad (en millones de pesos) de

los últimos 6 años:

Volumen de Ventas Gastos Publicidad

10 16

15 32

20 48

22 56

30 64

32 80

a. ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad?

Interprete la respuesta.

b. Obtenga la recta de regresión lineal.

c. ¿Qué volumen de ventas de la empresa se podría esperar en un año que se gaste de

publicidad 60 millones de pesos? ¿Y para un volumen de ventas de 20 mil millones

de pesos?

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


154

Unidad IV

III d. Si lo único que interesara es la evolución del volumen de ventas en términos de

gastos en publicidad, sin tener en cuenta la cantidad concreta de cada uno de ellas,

¿Existe correlación lineal entre ambas variables?

3.- Dados los siguientes conjuntos de datos:

U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V 3 5 6 5 7 9 10 9 10 10

W 4,543 4,543 4,543 4,543 4,543 4,543 4,543 4,543 4,543 14,117

X 6,646 6,646 6 6 6 7 7 5,684 8,838 14,186

a. Dibuje el diagrama de dispersión de cada uno de los conjuntos de datos,

considerando las siguientes combinaciones de variables independientes y

dependientes respectivamente: U/V, U/W, U/X, V/W, V/X y W/X.

b. Calcule la recta de regresión de cada uno de los conjuntos de datos y dibujarla en el

diagrama de dispersión, considerando las siguientes combinaciones de variables

independientes y dependientes respectivamente: U/V, U/W, U/X, V/W, V/X y W/X

c. Calcule el coeficiente de correlación lineal para cada uno de los conjuntos.

d. ¿Qué podemos observar?

4.- Dada la siguiente distribución de frecuencias bidimensional:

Y

X 5 7

2 1 0

3 0 1

Describa, sin hacer operaciones, cuál es el valor del coeficiente de determinación lineal

entre X e Y.

Fuente: D. F.

Fuente: D. F.


155

Unidad IV

III

5.- Se ha hecho un test a 100 atletas del Centro de Entrenamiento Olímpico de Santiago

(CEO), sobre sus marcas en 100 y 400 metros. Se he obtenido que la marca media en 100

metros es de 12,2 segundos con una desviación típica de 0,5 segundos, mientras que la

marca media en 400 metros es de 61,3 segundos con una desviación típica de 1 segundo. Si

el coeficiente de correlación lineal entre ambas pruebas es de 0,9.

a. ¿Puede asegurar que los corredores que son mejores en 100 metros lo son también

en 400 metros? Justifique su respuesta.

b. Halle y grafique la recta de regresión apropiada.

c. ¿Qué marca en 400 metros puede esperarse de un atleta que corre 100 metros en 11

segundos?

6.- Demuestre que las rectas de regresión de X sobre Y y de Y sobre X se cortan en el

punto (�̅�, �̅�).


156

Unidad IV

III LECTURA COMPLEMENTARIA.

1.- Algunas notas históricas sobre la correlación y regresión y su uso en el aula.

Antonio Estepa, María Gea, Gustavo Cañadas y José Contreras. Madrid, España.

Resumen

Los currículos actuales nos aconsejan introducir los conocimientos matemáticos a partir

de situaciones reales donde intervengan con sentido los objetos matemáticos a estudiar.

Una fuente importante de casos reales la proporciona la historia, donde podemos

encontrar las situaciones que dieron origen al descubrimiento de los objetos matemáticos e

identificar algunas dificultades en su desarrollo que podrían reproducirse en los

estudiantes. En este trabajo se analizan brevemente algunos hechos que dieron lugar a la

creación de las nociones de correlación y regresión y se hace una reflexión general sobre

los posibles usos de la historia de la matemática en la enseñanza.

2.- La estimación de la correlación: variables de tarea y sesgos de razonamiento.

María Gea, Carmen Batanero, Gustavo Cañadas, Pedro Arteaga y José Contreras.

Universidad de Venezuela, Caracas.

Resumen

La correlación es un concepto estadístico central, pues extiende la idea de dependencia

funcional a variables estadísticas. Sin embargo, la investigación previa ha descrito sesgos

de razonamiento y dificultades asociadas a su comprensión. En este trabajo se analiza la

importancia de la correlación como idea estocástica fundamental y su lugar en el currículo

español. Seguidamente nos centramos en las tareas de estimación de la correlación,

describiendo las principales variables que determinan su dificultad. Se resumen los

resultados de las investigaciones sobre concepciones erróneas y sesgos de razonamiento

identificados en las mismas. Finalmente se presentan algunas implicaciones para la

investigación y la enseñanza.

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Unidad IV: Estadística Descriptiva BivariadaEstadística Descriptiva Bivariada 129 Unidad IV III 4.2 MEDIDAS DE ASOCIACIÓN PARA VARIABLES CUANTITATIVAS. EJERCICIOS RESUELTOS 1.-