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Fenomenos de transporte, ecuaciones basicas volumen control
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INTRODUCCION
Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos
son el balance de materia o ecuación de continuidad, las ecuaciones del
balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Pueden
escribirse en forma diferencial, mostrando las condiciones en un punto del
interior de un elemento de volumen, o bien en forma integrada, aplicables a un
volumen o masa finitos de fluido. No es necesario formular un balance de
cantidad de movimiento siempre que se comienza a trabajar con un nuevo
problema de flujo. Es más rápido, más fácil, y más seguro, partir de las
ecuaciones de conservación de la materia y la cantidad de movimiento,
expresadas en la forma general, y simplificarlas con el fin de adaptarlas al
problema de que se trate. Estas distintas ecuaciones de conservación se
denominan a veces ecuaciones de variación, ya que describen la variación de
la velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición
en el sistema. La ecuación de continuidad, se desarrolla mediante la aplicación
de la ley de la conservación de la materia a un pequeño elemento de volumen
situado en el seno de un fluido en movimiento. La ecuación de movimiento
también se deduce de manera análoga a la de continuidad. La ecuación de
movimiento se usa para deducir una expresión que describe la interconversión
de las distintas formas de la energía mecánica de un fluido en movimiento. Esta
ecuación es particularmente útil para describir la degradación de la energía
mecánica en energía calorífica, que acompaña a todos los procesos reales de
flujo. También es la base del importante balance macroscópico de energía
mecánica, o ecuación de Bernoulli.
DESARROLLO DEL TEMA
Balance de masa en un fluido en movimiento
Ecuación de continuidad
Esta ecuación se deduce aplicando un balance de materia a un elemento
estacionario de volumen xyz, a través del cual esta circulando el fluido:
⟨ velocidad deacumulación demateria⟩=⟨velocidad de entradademateria ⟩−⟨velocidad de salidade materia ⟩ 4.1
Comenzamos considerando el par de caras perpendiculares al eje x. La
velocidad de entrada de materia a través de la cara x es (ux)│xyz, y la
velocidad de salida de materia a través de la cara x + x es (ux)│x+x yz. Para
los otros dos pares de caras pueden escribirse expresiones análogas. La
velocidad de acumulación de materia en el elemento de volumen es (xyz)
(∂/∂t). El balance de materia queda por lo tanto
∆ x ∆ y ∆ z∂ ρ∂ t
=∆ y ∆z [ ρux|x− ρ ux|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ ρ u y|y− ρu y|y+∆ y ]+∆ x ∆ y [ ρuz|z− ρuz|z+∆z ]Dividiendo toda la ecuación por xyz, y tomando limites cuando estas
dimensiones tienden a cero, se tiene
∂ ρ∂t
=−( ∂∂ x
ρ ux+∂∂ y
ρ uy+∂∂ z
ρuz)Éstas es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad
para un punto fijo, como consecuencia de las variaciones del vector velocidad
másica u. La ecuación 4.3 puede escribirse en una forma más conveniente
utilizando notación vectorial:
∂ ρ∂t
=−(∇ ∙ ρu )
El término (∇ ∙ ρ u ) se denomina divergencia de u, y a veces se escribe div. u.
Véase que el vector u es la densidad de flujo de materia y que su divergencia
4.2
4.3
4.4
tiene un significado sencillo: representa la velocidad neta con que disminuye la
densidad de flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto la ecuación
4.4 establece simplemente que la velocidad con que aumenta la densidad en el
interior de un pequeño volumen fijo en el espacio, es igual a la velocidad neta
de entrada de densidad de flujo de materia en el elemento dividida por su
volumen. Generalmente, es preferible modificar la ecuación 4.3 efectuando la
diferenciación qué esta indicada y reuniendo todas las derivadas de en el
primer miembro:
∂ ρ∂t
+ux∂ ρ∂ x
+uy∂ ρ∂ y
+uz∂ ρ∂ z
=−ρ( ∂ux
∂x+∂uy
∂ y+∂uz
∂ z )El primer miembro de la ecuación 4.5 es la derivada substancial de la
densidad, es decir, la derivada con respecto al tiempo para un recorrido que
sigue el movimiento del fluido. De acuerdo con esto la ecuación anterior puede
expresarse brevemente en esta forma
DρDt
+ρ (∇ ∙u )
La ecuación de continuidad, expuesta en esta forma, describe la velocidad de
variación de la densidad tal como la ve un observador que flota con el fluido.
Esta ecuación es sencillamente una formulación de la conservación de la
materia. Es preciso señalar que la deducción puede efectuarse igualmente para
un elemento de volumen de una forma arbitraria cualquiera, y no está por lo
tanto restringida para el caso del elemento paralepipédico que se ha
presentado aquí. Una forma especial muy importante de la ecuación de
continuidad, es la correspondiente a una fluido de densidad constante para el
que
(∇ ∙ u )=0
Aunque en realidad ningún fluido es totalmente incompresible, en la práctica se
puede admitir con mucha frecuencia que la densidad es constante, con lo que
se obtiene una considerable simplificación, sin cometer casi error. En flujo
estacionario, el balance de materia, es particularmente sencillo. La velocidad
de entrada de masa en el sistema de flujo, es igual a la de salida, ya que la
masa no puede acumularse ni vaciarse dentro del sistema de flujo en
condiciones estacionarias. El estudio de los fenómenos de flujo de fluidos se
4.5
4.6
4.7
facilita imaginando en la corriente del fluido, las trayectorias del mismo, que
reciben el nombre de líneas de corriente. Una línea de corriente es una línea
imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada de tal forma que
en cada punto de la curva, el vector velocidad neto u, es tangente a la línea de
corriente. A través de dicha línea no existe flujo neto. En el flujo turbulento, los
remolinos cruzan en una y otra dirección las líneas de corriente, pero el flujo
neto de tales torbellinos en cualquier dirección distinta a la de flujo es cero. Un
tubo de corriente, filamento de corriente, es un tubo de sección transversal
grande o pequeña, y de una forma transversal tal, que está totalmente limitado
por líneas de corriente. Un tubo de corriente puede suponerse como una
tubería imaginaria, situada en el interior de la masa de fluido en movimiento, a
través de cuyas paredes no hay flujo neto. El balance de materia da una
relación importante para el flujo que tiene lugar a través de un tubo de
corriente. Puesto que no puede existir flujo a través de las paredes del tubo, la
velocidad de flujo másico a la entrada del tubo, en un determinado período de
tiempo, ha de ser igual a la velocidad de flujo másico a la salida. Consideremos
el tubo de corriente, que se representa en la Figura 4.1. El fluido entra por un
punto en que la sección transversal del tubo es Sa, y sale por otro en que la
sección transversal es Sb. La velocidad y la densidad a la entrada son ua y a
respectivamente, y las magnitudes correspondientes a la salida ub y b.
Supongamos que la densidad en una determinada sección transversal es
constante y que el flujo a través del tubo es no viscoso o flujo potencial; por
consiguiente, la velocidad ua, es constante a través del área Sa, y la velocidad
ub, a través del área Sb. Entonces la masa de fluido que entra y sale del tubo
por unidad de tiempo se deduce a partir de la ecuación de continuidad
expresada en forma diferencial haciendo unos cuantos arreglos, y es
m=ρauaSa=ρbubSb
siendo m la velocidad de flujo de masa por unidad de tiempo. A partir de esta
ecuación se deduce para un tubo de corriente
m=ρuS=constante
4.8
4.9
La ecuación 4.9 es la ecuación de continuidad, y se aplica tanto para fluidos
compresibles como para no compresibles en estado estacionario.
Si el flujo a través del tubo de corriente no es flujo potencial, pero está
totalmente o en parte dentro de una capa límite, en la que hay esfuerzos
cortantes, la velocidad ua variará de un punto a otro de la sección Sa, y lo
mismo le ocurrirá a ub en la sección Sb. Es necesario por tanto distinguir la
velocidad local de la velocidad media. Si el fluido es caliente o se enfría, su
densidad varía también de un punto a otro, en una determinada sección
transversal. En los siguientes tratamientos despreciaremos las variaciones de
densidad en una determinada sección transversal del tubo de corriente, y a y b
son independientes de su localización en la misma. La velocidad de flujo de
masa a través de un área diferencial situada en la sección de un tubo de
corriente es
d m=ρudS
y la velocidad de flujo de masa total, a través de toda la sección es
m=ρ∫S
❑
udS
La integral significa que la integración esta extendida al área S. La velocidad
media, de la corriente total que fluye a través de la sección transversal de área
S, se define mediante la expresión
V ≡mρS
=1s∫S
❑
udS
El valor de V es también igual a la velocidad volumétrica de flujo dividida por el
área de la sección transversal de la conducción, y de hecho generalmente se
calcula en esta forma. Por tanto,
V=qs
Siendo q la velocidad volumétrica de flujo. La ecuación 4.12 también puede
escribirse así
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
V ρ=ms=G
Esta ecuación define la velocidad másica G, que se calcula dividiendo la
velocidad de flujo de masa por el área de la sección transversal de la
conducción. Las unidades de la velocidad másica son kilogramo por metro
cuadrado segundo. La ventaja de utilizar G, consiste en que es independiente
de la temperatura y la presión cuando el flujo es estacionario y la sección
transversal no varía Este hecho resulta especialmente útil, cuando se
consideran fluidos compresibles, en los cuales tanto V como varían con la
temperatura y la presión. La velocidad másica G, puede llamarse también
densidad másica de corriente o densidad de flujo de masa, donde la densidad
de flujo se define generalmente como una magnitud que pasa a través de la
unidad de área en la unidad de tiempo.
Balance diferencial del momento
Para un elemento de volumen xyz, se puede escribir el siguiente balance de
cantidad de movimiento:
⟨ Velocidad deacumulación decantidad demovimiento
⟩=⟨Velocidad deentradadecantidad demovimiento
⟩−⟨Velocidad desalidad decantidad demovimiento
⟩+⟨ Sumade lasfuerzas queactuan sobreel sistema
⟩Es preciso resaltar que la ultima ecuación es la ecuación de un vector, con
componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas x, y, z. Para
mayor sencillez, comenzaremos considerando el componente x de cada uno de
los términos de la ecuación; los componentes y, z se pueden obtener por
analogía. Vamos a considerar en primer lugar las velocidades de flujo del
componente x de la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de
volumen que se indica en la figura 4.3. La cantidad de movimiento entra y sale
del elemento de volumen en virtud de dos mecanismos: por convección (es
decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a
causa de los gradientes de velocidad).
4.15
La velocidad con la que entra por convección el componente x de la cantidad
de movimiento por la cara situada en x es uxux│xyz, y la velocidad con la que
sale por x + x es uxux│x+xyz. La velocidad a la que entra por y es
uyux│yxz. Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares.
Vemos, por tanto que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de
movimiento x a través de las seis caras, y que el flujo convectivo neto, de la
cantidad de movimiento x, en el elemento de volumen es:
∆ y ∆ z [ ρux ux|x− ρ ux ux|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ ρ u yux|y− ρuyux|y +∆ y ]+∆x ∆ y [ ρ uzux|z− ρuzux|z+∆ z ]De igual forma, la velocidad con la que el componente x de la cantidad de
movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es xx│xyz,
y la con la que sale por x + x es xx│x+xyz. La velocidad con que entra por y
es yx│yxz; para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares.
Téngase en cuenta que yx es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x
a través de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis
contribuciones, se obtiene
∆ y ∆ z [ τ xx|x− τxx|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ τ yx|y− τ yx|y +∆ y ]+∆x ∆ y [ τ zx|z−−τ zx|z+∆ z ]Estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse
como esfuerzos. Por lo tanto, xx es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara
x, y yx es el esfuerzo tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara y en la
dirección x, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas. En la
4.16
4.17
4.19
mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes que actúan sobre el
sistema serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza
gravitacional por unidad de masa g. La resultante de estas fuerzas en la
dirección x será, evidentemente
∆ x ∆ z ( p|x− p|x+∆ x )+ρ gx∆ x ∆ y ∆ z
Finalmente la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento x en el
elemento es xyz(∂ux/∂t). Sustituimos ahora las anteriores expresiones en la
ecuación 4.15 Dividiendo toda la ecuación que resulta por xyz, y tomando el
limite cuando x, y e z, tienden a cero, se obtiene el componente x de la
ecuación de movimiento:
∂∂ t
ρux=−( ∂∂x
ρuxux+∂∂ y
ρu yux+∂∂ z
ρ uzux )−( ∂ τxx∂ x+∂ τ yx∂ y
+∂τ zx∂ z )−∂ p
∂ x+ρ gx
Las componentes y e z, que pueden obtenerse de una forma análoga, son
∂∂ t
ρu y=−( ∂∂ x
ρ uxuy+∂∂ y
ρ uy uy+∂∂ z
ρuzuy )−( ∂ τ xy∂x+∂ τ y y∂ y
+∂ τ zy
∂ z )−∂ p∂ y
+ρ gy
∂∂ t
ρuz=−( ∂∂ x
ρux uz+∂∂ y
ρu yuz+∂∂z
ρuzuz)−( ∂τ xz∂x+∂ τ yz∂ y
+∂ τ zz∂z )−∂ p
∂z+ρ gz
Las magnitudes ux, uy, uz son los componentes del vector velocidad másica
u; de igual forma gx, gy, gz, son los componentes de la aceleración
gravitacional g. Por otra parte ∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z, son los componentes del
vector p, denominado gradiente de p. Los términos uxux, uxuy, uxuz, uyuz,
etc., con los nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad
de movimiento uu, que es el producto diádico de u y u. Análogamente, xx, yx
y zx, etc., son los nueve componentes de , que es el tensor esfuerzo. Como
las ecuaciones 4.19,20 y21 ocupan mucho espacio, es conveniente desarrollar
la diferenciación indicada y pasar los términos que contengan derivadas de al
lado izquierdo, para después esta reordenarse con ayuda de la ecuación de
continuidad. Sumando vectorialmente los tres componentes, se llega a
ρDuDt
=−∇ p− [∇ ∙ τ ]+ ρ g
Masa por unidad de volumen, multiplicada por aceleración
Fuerza de presión sobre el elemento pro unidad de volumen
Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen
Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen
4.20
4.21
4.22
La ecuación de movimiento, expresada en esta forma, establece que un
pequeño elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las
fuerzas que actúan sobre el. En otras palabras, es una expresión de la
segunda ley de Newton, según la cual, masa x aceleración = suma de fuerzas.
Vemos, por lo tanto, que el balance de cantidad de movimiento es totalmente
equivalente a la segunda ley de Newton del movimiento. Con el fin de utilizar
estas ecuaciones para determinar las distribuciones de velocidad, hay que
expresar los distintos esfuerzos en función de los gradientes de velocidad y las
propiedades del fluido. Para fluidos newtonianos, estas expresiones son:
τ xx=−2 μd vx
dx+( 23 ) μ(∇ ∙u)
τ yy=−2 μd v y
dy+( 23 )μ(∇ ∙ u)
τ zz=−2 μd vz
dz+( 23 ) μ(∇ ∙u)
τ xy=τ yx=−μ ( ∂vx∂ y+∂v y
∂ x )τ yz=τ zy=−μ ( ∂v y
∂ z+∂v z
∂ y )τ xz=τ zx=−μ ( ∂v z
∂ x+∂v x
∂ z )Estas ecuaciones, que constituyen un planteamiento más general de la ley de
Newton de la viscosidad se aplican a los casos complejos de flujo, en los que el
fluido circula en todas direcciones. Substituyendo las ecuaciones 4.23 a 4.28
en la 4.22 se obtienen las ecuaciones generales de movimiento para un fluido
newtoniano que presenta variación de densidad y la viscosidad.
ρD vx
Dt=−∂ p
∂ x+ ∂∂ x [2μ d v x
dx−( 23 )μ (∇ ∙ u)]+ ∂
∂ y [ μ( ∂v x
∂ y+∂v y
∂ x )]+ ∂∂ z [μ ( ∂vz
∂x+∂v x
∂ z )]+ ρgx
ρD v y
Dt=−∂ p
∂ y+ ∂∂x [μ ( ∂v x
∂ y+∂v y
∂x )]+ ∂∂ y [2 μ d v y
dy−( 23 ) μ(∇ ∙u)]+ ∂
∂ z [ μ( ∂v y
∂ z+∂vz∂ y )]+ρ gy
ρD vz
Dt=−∂ p
∂ z+ ∂∂ x [μ( ∂ vz
∂x+∂vx
∂z )]+ ∂∂ y [μ ( ∂v y
∂ z−∂vz
∂ y )]+ ∂∂z [2μ d v z
dz+( 23 )μ (∇ ∙ u)]+ρgz
Estas ecuaciones, juntamente con la ecuación de continuidad, la ecuación de
estado p=p(), la variación de la viscosidad con la densidad y las
4.23-28
4.29
4.30
4.31
condiciones iníciales y limite, determinan completamente la presión, densidad y
los componentes de la velocidad, para el flujo isotérmico de un fluido. Rara vez
se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamiento de
problemas de flujo, sino que generalmente resulta más conveniente emplear
formas restringidas de las mismas. (i) para y constantes, las ecuaciones4.29
a 4.31, pueden simplificarse mediante la ecuación de continuidad [(u)=0]
para obtener
ρD vDt
=−∇ p+μ∇2u+ ρ g
Esta última ecuación es conocida como la ecuación de Navier-Stokes, obtenida
inicialmente por Navier en Francia, en 1882 mediante consideraciones
moleculares. (ii) Para []=0, la ecuación 4.22 se reduce a
ρD vDt
=−∇ p+ρ g
La última ecuación es la famosa ecuación de Euler, deducida por primera vez
en 1775, y que ha sido utilizada para describir sistemas de flujo en los que los
efectos viscosos son relativamente poco importantes (flujo potencial).
Balance macroscópico de momento
Para el volumen de control de la Figura 4.1, puede expresarse un balance de
cantidad de movimiento, semejante al balance de materia total, suponiendo que
el flujo es estacionario y unidireccional en la dirección x. La suma de todas las
fuerzas que actúan sobre el fluido en la dirección x, de acuerdo con el principio
de la cantidad de movimiento, es igual al aumento con el tiempo de la cantidad
de movimiento del fluido que circula. Es decir, que la suma de las fuerzas que
actúan en la dirección x es igual a la diferencia entre la cantidad de movimiento
que sale con el fluido por unidad de tiempo y la que, también por unidad de
tiempo, entra con el mismo
∑ F=M B−M A
La velocidad de flujo de la cantidad de movimiento M de una corriente de
fluido, con una velocidad de flujo de masa m, y que todo él se mueve con una
velocidad u es mu. Si embargo, si u varía de un punto a otro de la sección
transversal de la corriente, el flujo total de cantidad de movimiento no será el
producto de la velocidad de flujo de masa por la velocidad media,m, sino que
4.33
4.34
en general es algo superior. El necesario factor de corrección se obtiene mejor
a partir del flujo de momento convectivo, es decir, el momento transportado por
el fluido que circula a través de la unidad de área de la sección transversal del
canal en la unidad de tiempo. Esto corresponde al producto de la velocidad
lineal normal a la sección transversal por la velocidad de masa (o flujo de
masa). Por lo tanto, para un área diferencial de la sección transversal dS, el
flujo de momento es
d MdS
=( ρu )u= ρu2
El flujo de momento de toda la corriente, para un fluido de densidad constante,
es
MS
=ρ∫
S
❑
u2dS
S
El factor de corrección de momento se define por la relación
β=M /SρV 2
Al sustituir a partir de la ecuación 4.36 se obtiene
β=1S∫S
❑
( uV )2
dS
Para encontrar para cualquier situación de flujo dado, se debe conocer la
variación de u con la posición en la sección transversal. Por lo tanto la ecuación
4.34 se escribe de la manera siguiente precaución
∑ F=m (βbV b−βaV a )Al utilizar esta expresión, hay que tener cuidado en identificar e incluir en la
sumatoria de fuerzas todos los componentes de las fuerzas que actúan sobre
el fluido en la dirección del componente de la velocidad en la ecuación. Quizá
intervengan varias de estas fuerzas: 1) cambio de presión en la dirección de
flujo; 2) esfuerzo cortante en el limite entre la corriente de fluido y el conducto,
o bien (si el conducto en si mismo se considera como parte del sistema), las
fuerzas externas que actúan sobre la pared solida; 3) si la corriente esta
inclinada, el componente apropiado de la fuerza de gravedad. Si se considera
en la dirección x, una situación típica se representa por la ecuación siguiente:
∑ F=paSa−pbSb+Fw−Fg
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
Donde pa y pb son las presiones a la entrada y salida, respectivamente; Sa y Sb
las secciones transversales a la entrada y salida, respectivamente; Fw la fuerza
neta de la pared del canal de conducción sobre el fluido y Fg la componente de
la fuerza de gravedad (expresada para flujo en dirección ascendente)
Ecuación de la energía mecánica
Una ecuación que describe las interconversiones de la energía que ocurren en
un fluido en movimiento, puede derivarse formando el producto escalar de la
velocidad con la ecuación de movimiento correspondiente a la ecuación 4.22
ρD (12 u2)
Dt=− (u ∙∇ p )−[u ∙ (∇ ∙ τ ) ]+ ρ (u ∙ g )
Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la energía cinética
por unidad de masa (1/2 u2) para un elemento del fluido que se mueve con la
corriente. Para el tratamiento que se hace a continuación, resulta más
conveniente escribir esta ecuación en función de ∂/∂t, utilizando la ecuación de
continuidad; separando también en dos términos cada una de las
contribuciones viscosas y de presión. Los términos de la ecuación que resulta
pueden interpretarse en función de un elemento estacionario de volumen a
través del que circula el fluido.
∂∂ t ( 12 ρ u2)=−(∇ ∙
12ρu2u)−(∇ ∙ pu )−p (−∇ ∙u )−(∇ ∙ [ τ ∙ u ] )−(−τ :∇u )+ p (u ∙g )
Ecuación de energía para flujo potencial unidireccional; ecuación de Bernoulli
sin fricción
Aquí las derivaciones son inicialmente restringidas al flujo de fluidos
unidireccional en dirección x, de densidad constante y viscosidad cero.
Partiendo con estas simplificaciones a partir de la ecuación de energía
mecánica y eliminando todos los términos que son cero tenemos:
ρ( ∂ (u2/2 )∂t
+u∂ (u2/2 )∂x )=−u
∂ p∂x
+ ρugx
Velocidad de incrementode energía cinética por Unidad de volumen
Velocidad neta de entrada de energíacinética debida alflujo global
Velocidad de trabajo producido por la presión de los alrededores sobre el elemento de volumen
Velocidad de conversión reversible en energía interna
Velocidad de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen
Velocidad de conversión irreversible en energía interna
Velocidad de trabajo producido por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen
4.41
4.42
4.43
Que es lo mismo que si hubiéramos partido de la ecuación de Euler en la
dirección x y hubiéramos hecho el producto escalar de esta con la velocidad.
LA ecuación deducida es la ecuación de energía mecánica para el flujo
potencial unidireccional de fluidos de densidad constante cuando la velocidad
de flujo varía con el tiempo. Considere ahora un elemento de volumen de un
tubo de corriente dentro de una corriente mayor de fluido, que circula con flujo
estacionario, como se muestra en la figura 4.4. Suponga que la sección
transversal del tubo aumenta continuamente en la dirección del flujo, y que el
eje del tubo es recto e inclinado hacia arriba formando un ángulo con la
vertical. Represente la presión, la velocidad del fluido y la elevación a la
entrada por pa, ua y Za, respectivamente, y sean las correspondientes
magnitudes a la salida pb, ub y Zb. Considere el eje x paralelo al eje del tubo.
Como el flujo es estacionario, el término en el lado izquierdo de la ecuación
4.43 desaparece. No hay variación en la velocidad del fluido a través de la
sección transversal, así que el flujo es unidireccional y la velocidad u es sólo
función de x. Para la sustitución en la ecuación 4.43, puesto que la gravedad
actúa en la dirección negativa x, entonces gx=-g cosSi Z es la elevación en
cualquier parte de la sección transversal a lo largo del tubo, entonces Z=Za+ x
cosdZ=cosdx y cosdZ/dx. Las diferenciales parciales se vuelven
diferenciales totales. Por lo tanto, de la ecuación 4.43
ud ( ρu2/2 )
dx+u dp
dx+ ρug cos∅=0
4.44
Entonces para el flujo estacionario es posible dividir entre la velocidad u. Al
hacer esto y también dividir entre y sustituir cosla ecuación 4.44 se
convierte en
d (u2/2 )dx
+ 1ρdpdx
+g dZdx
=0
La ecuación 4.45 es el punto formado de la ecuación de Bernoulli sin fricción.
Aunque para el caso especial de una sección transversal en expansión y con
flujo ascendente, esta ecuación es aplicable a secciones transversales de
contracción o constantes y flujo horizontal o descendente. Cuando la sección
transversal y la densidad son constantes, u no cambia con la posición, el
termino d(u2/2)/dx es cero, y la ecuación 4.45 se vuelve idéntica a la ecuación
2.2 para un fluido estacionario. Entonces, en el flujo potencial unidireccional a
una velocidad constante, la magnitud de la velocidad no afecta la caída de
presión en el tubo; la cada de presión depende sólo de la velocidad del cambio
de elevación. En consecuencia, en un tubo recto horizontal, no hay caída de
presión en el flujo potencial de velocidad constante estacionario. Integrando la
ecuación 4.45 sobre el sistema mostrado en la figura 4.4 da
pa
ρ+g Za+
ua2
2=
pb
ρ+gZb+
ub2
2
Esta última ecuación es conocida como la ecuación de Bernoulli sin fricción. Es
una forma particular de un balance de energía mecánico, pero debido a las
condiciones especiales que permiten dividir la ecuación 4.44 entre la velocidad
para formar la ecuación 4.45, la ecuación 4.46 también puede derivarse de un
balance de concha de momento en el elemento de la figura 4.4. Sin embargo,
esto no es cierto para las formas más completas de la ecuación de Bernoulli.
Cada término en la ecuación 4.46 es escalar y tiene las dimensiones de la
energía por unidad de masa, lo que representa un efecto de la energía
mecánica basado en una unidad de masa del fluido en movimiento. Los
términos gZ y u2/2 son la energía potencial y cinética, respectivamente, de una
unidad de masa de fluido; y p/ representa el trabajo mecánico realizado sobre
el fluido por las fuerzas externas a la corriente, que lo empujan dentro del tubo
o por el trabajo recuperado del fluido que sale del tubo. La ecuación de
Bernoulli tiene un amplio intervalo de validez que la que se desprende de su
deducción. Por otra parte, aunque en la deducción se ha hecho la suposición
4.45
4.46
de que el tubo de corriente es recto, el principio de la conservación de la
energía permite ampliar la ecuación al flujo potencial en tubos de corriente
curvos. Si el tubo es curvo, la dirección de la velocidad cambia y en la ecuación
de Bernoulli se utiliza una valor escalar de la velocidad, en vez del vector
velocidad. En todas las situaciones reales hay algunas perdidas por fricción en
el fluido y algunas variaciones de velocidad dentro de una sección transversal
del tubo, pero en algunos casos son suficientemente pequeñas para ser
ignoradas. En otras situaciones, al emplear factores de corrección, puede
modificarse la ecuación para su utilización en el flujo de capa limite, donde
existen variaciones de velocidad dentro de una sección transversal y se
producen efectos de fricción. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a un
problema especifico, es esencial identificar la línea de corriente o el tubo de
corriente y elegir unos puntos definidos de corriente de salida o entrada. Los
puntos a y b se seleccionan con base en su conveniencia y, por lo general, se
toman en localizaciones donde se dispone de la mayor información acerca de
las presiones, velocidades y alturas. En la mayoría de los problemas de flujo de
fluidos que se presentan en ingeniería, intervienen corrientes que están
influenciadas por superficies sólidas y que por lo tanto contienen capas limite.
Esto ocurre especialmente en el flujo de fluidos a través de tuberías y otros
equipos, en los que es posible que la corriente entera posea flujo de capa
limite. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a estos casos prácticos, son
necesarias dos modificaciones. La primera, normalmente de menor
importancia, es una corrección del término de la energía cinética debida a la
variación de la velocidad local con la posición en la capa limite; la segunda, de
mayor importancia, consiste en una corrección de la ecuación debida a la
existencia de fricción del fluido, la cual aparece cada vez que se forma una
capa limite. Además, la ecuación de Bernoulli corregida resulta de mayor
utilidad en la resolución de problemas de flujo de fluidos no compresibles, si se
incluye en la ecuación el trabajo realizado sobre el fluido mediante una bomba.
Ecuación de Bernoulli: corrección debida a energía cinética de la corriente
El término u2/2 de la ecuación 4.45 es la energía cinética por unidad de masa
de fluido cuando todo el se mueve a la misma velocidad u. Cuando la velocidad
varía a través de la sección transversal de la corriente, la energía cinética se
encuentra de la siguiente manera. Considere un elemento del área dS en la
sección transversal. La velocidad de flujo de masa a través del mismo es udS.
Cada unidad de masa de fluido que se mueve a través del área dS, transporta
una cantidad de energía cinética igual a u2/2, y la velocidad de flujo de energía
a través del área dS es por consiguiente
d Ek= ( ρudS ) u2
2= ρ u3dS
2
Donde Ek representa la velocidad de flujo de energía cinética por unidad de
tiempo. La velocidad de flujo total de la energía cinética a través de toda la
sección transversal S, suponiendo que la densidad es constante, es la
siguiente
E k=¿ ρ2∫S
❑
u3dS
La velocidad total de flujo de masa está dada por las ecuaciones 4.12 y 4.10; y
la energía cinética por unidad de masa del fluido en movimiento, la cual
reemplaza a u2/2 en la ecuación de Bernoulli es
Ek
m=
12∫S
❑
u3dS
∫S
❑
udS=
12∫S
❑
u3dS
V S
Es conveniente eliminar la integral de la ecuación 4.49 multiplicando el término
V 2/2 por un factor, para proporcionar el valor correcto de la energía cinética
que se calcula a partir de la ecuación 4.48. Este factor, llamado factor de
corrección de la energía cinética, se representa por y se define por la
ecuación siguiente
αV 2
2=Ek
m=∫S
❑
u3dS
2V S
α=∫S
❑
u3dS
V 3S
Si se conoce , puede utilizarse la velocidad promedio para calcular la energía
cinética empleando V 2/2en lugar de u2/2. Para calcular el valor de a partir de
4.48
4.49
4.50
4.51
la ecuación 4.51, debe conocerse la velocidad local, como una función de la
localización en la sección transversal, de tal manera que puedan evaluarse las
integrales de dicha ecuación. El mismo conocimiento de la distribución de la
velocidad es necesario para calcular el valor de V por medio de la ecuación
4.12. Por lo regular es 2 para el flujo laminar y cerca de 1.05 para el flujo
altamente turbulento.
Corrección de la ecuación de Bernoulli debido a la fricción del fluido
La fricción se manifiesta por la desaparición de energía mecánica. En el flujo
con fricción, la magnitud
pρ+ u2
2+gZ
No es constante a lo largo de una línea de corriente, sino que siempre
disminuye en la dirección del flujo; y de acuerdo con el principio de
conservación de la energía, se genera una cantidad de calor equivalente a la
pérdida de energía mecánica. La fricción de un fluido se define como una
conversión de la energía mecánica en calor que tiene lugar en una corriente en
movimiento. En el caso de fluidos no compresibles, la ecuación de Bernoulli se
corrige por la fricción, añadiendo un término al lado derecho de la ecuación
4.46. Entonces, al introducir también los factores de corrección de la energía
cinética a y b, la ecuación se convierte en
pa
ρ+g Za+
αaV a2
2=
pb
ρ+g Zb+
α bV b2
2+hf
Las unidades de hf y las de los términos restantes en la ecuación 4.53 son las
de energía por unidad de masa. El término hf representa toda la fricción que se
produce por unidad de masa del fluido (y por consiguiente, toda la conversión
de la energía mecánica en calor) que tiene lugar en el fluido entre los puntos a
y b. Ésta difiere de los términos restantes en la ecuación en dos aspectos:
1. Los términos mecánicos representan las condiciones en puntos
específicos, es decir, los puntos de entrada y salida a y b, mientras que
hf representa la pérdida de la energía mecánica para todos los puntos
comprendidos entre las posiciones a y b.
2. La fricción no es interconvertible con las magnitudes de la energía
mecánica.
4.52
4.53
El signo de hf, como se define en la ecuación 4.53 siempre es positivo. Por
supuesto, en el flujo potencial, es igual a cero. La fricción se produce en las
capas limite, debido a que el trabajo realizado por las fuerzas de corte para
mantener los gradientes de velocidad, tanto e el flujo laminar como en el
turbulento, se convierte finalmente en calor por la acción viscosa. La fricción
que se genera en las capas limite no separadas se llama fricción de superficie.
Cuando las capas limite se separan y forman estelas, se produce una
disipación adicional de energía en la estela, y a la fricción de este tipo se le
llama fricción de forma, ya que es una función de la posición y de la forma del
solido. La fricción total hf en al ecuación 4.53 incluye ambos tipos de pérdidas
por fricción.
Trabajo de bomba en la ecuación de Bernoulli
Se utiliza una bomba en un sistema de flujo para aumentar la energía mecánica
de un fluido en movimiento; dicho aumento se emplea para mantener el flujo,
proveer energía cinética, para compensar las pérdidas de fricción y incrementar
la energía potencial. Suponga que se instala una bomba entre los puntos a y b
de acuerdo con la ecuación 4.53. Sea Wp el trabajo realizado por la bomba por
unidad de masa de fluido. Puesto que la ecuación de Bernoulli es sólo un
balance de la energía mecánica, se debe tomar en cuenta la fricción que tiene
lugar en la bomba. En una bomba real no sólo existen todas las fuentes de
fricción activa del fluido, sino que también hay fricción mecánica en los
cojinetes y sellos o prensaestopas. La energía mecánica suministrada a la
bomba como trabajo de eje negativo hay que descontarla de esas pérdidas por
fricción para obtener la energía mecánica neta realmente disponible para el
fluido en movimiento. Sea hfl, la fricción total en la bomba por unidad de masa
de fluido. Entonces el trabajo neto suministrado al fluido es W l- hfl. En la
practica, en lugar de hfl se utiliza una eficiencia de bomba, que se representa
por y está definida por la ecuación
W p−hfl≡W p
La energía mecánica distribuida al fluido es, por lo tanto Wp donde <1. La
ecuación 4.53corregida para el trabajo de bomba es
pa
ρ+g Za+
αaV a2
2+W p=
pb
ρ+g Zb+
αbV b2
2+hf
4.54
4.55
La ecuación 4.55 es una expresión final de la ecuación de Bernoulli para el
tratamiento de problemas sobre el flujo de fluidos no compresibles.
CONCLUSIONES
Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos
son el balance de materia o ecuación de continuidad, las ecuaciones del
balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Estas
ecuaciones son muy importantes, porque describen la variación de la
velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición en
el sistema; además, mediante esta serie de ecuaciones se pueden resolver la
mayoría de los problemas de flujo de fluidos. A partir de estas ecuaciones se
puede deducir la ecuación de Bernoulli la cual nos permite hacer un balance
energético entre las formas de energía que posee un sistema; como ejemplo de
la aplicación de Bernoulli a casos prácticos tenemos cuando hay paso de
fluidos en tuberías, cuando hay flujo de fluidos hacia, desde y entre tanques,
receptáculos, pozos y unidades de proceso.