Unidad Didáctica 4 - ETSINF · Unidad Didáctica 4 Distribuciones de Probabilidad (Parte I) Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad. DEIOAC –Estadística

Unidad Didáctica 4

Distribuciones de Probabilidad(Parte I)

Departamento de Estadística e Investigación

Operativa Aplicadas y Calidad

DEIOAC – Estadística Fuentet: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

UD 4 Distribuciones de Probabilidad

Esta presentación corresponde a la Parte I de la Unidad Didáctica 4

de la asignatura, disponible en PoliformaT, y a los capítulos 4 y 5 del

libro Métodos estadísticos para Ingenieros.

La presentación se utilizará en clase durante las clases del 21 al 28

de febrero. En la sesión del día 21 se trabajará el apartado 1 de la

unidad (Introducción y Conceptos básicos) y en las dos sesiones

siguientes se estudiarán las distribuciones Binomial y Poisson. El

contenido de esta unidad se completa con la sesión de prácticas.

DEIOAC – Estadística Fuentet: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

UD 4 - Distribuciones de Probabilidad I

� Distribuciones de Probabilidad

� Distribuciones de probabilidad discretas

� Distribuciones de probabilidad continuas

� Esperanza matemática. Media y Varianza

� Pricipales distribuciones discretas

• Distribución Binomial

• Distribución de Poisson

DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

UD 4 - Distribuciones de Probabilidad (II-III)

� Principales distribuciones continuas

• Distribución Uniforme

• Distribución Exponencial

• Distribución Normal (Parte III, UD4)

Parte II, UD4 (4-8 de marzo)

(11-22 de marzo)


Distribuciones de Probabilidad

� X, P(X)

� Discreta: P(X=xi)

� Continua: Probabilidad de que la variable X tome

valores comprendidos en un intervalo

� A toda variable le corresponde una forma de

distribuir sus probabilidades en el conjunto de

valores posibles � Caracterización de la distribución

* Función de Probabibilidad P(X)

* Función de densidad f(x)

�


Distribuciones de probabilidad Discretas

� Una variable aleatoria es discreta cuando el conjunto de valores que puede tomar es discreto

� Caracterización de la distribución de probabilidad:

Función de probabilidad , P(x)(Función de cuantía o masa)

� Proporciona la probabilidad de cada uno de los valores

posibles de la variable X �� P(X=xi)

� La probabilidad de que la variable X tome todos los

valores menores o iguales a x viene expresado por

P( X ≤≤≤≤ x ) =

i xi

x

P( x )∀ ≤

=∑ X


Distribuciones de probabilidad Discretas

� AUTOEVALUACIÓN: Sea la población constituida portodos los posibles lanzamientos de dos monedassimétricas. A cada individuo de la población, es decira cada lanzamiento de las dos monedas, se le asociala variable aleatoria "número de caras obtenidas".

* ¿Cuál es el conjunto de valores posibles de lavariable aleatoria?

* ¿Es dicha variable discreta?

* Calcular la función de probabilidad de dichavariable aleatoria.

* Dibujar la función de probabilidad de dichavariable.


Distribuciones de probabilidad Continuas

� De manera informal, una variable aleatoria es

continua si el conjunto de valores que puede tomar

es un conjunto infinito continuo

� Las distribuciones de probabilidad continuas (o devariables aleatorias continuas) vienen caracterizadaspor la función de densidad f(x)

b

af(x)dx P(a X b) P(X b) - P(X a)= < ≤ = ≤ ≤∫

El área comprendida bajo la función

de densidad de una variable X entre

dos valores "a" y "b" coincide con la

probabilidad que la variable aleatoria

tome valores en ese intervalo:

a b

P(a<X≤b)

X

f(x)


20

Ejemplo: Dureza en nw. de respaldos de poliuretano: X

��

f(x)

Distribuciones de probabilidad Contínuas


Esperanza Matemática: Media y Varianza

� X

� h(X)

� E(h(X)) : Esperanza matemática (idealización de media)

� Si X es discreta:

� Si X es continua:

i iE(h(X)) h(x )P(X x )= =∑

i iE(X) xP(X x )= =∑

E(h(X)) h(x)f(x)dx+∞

−∞

= ∫

E(X) xf(x)dx+∞

−∞

= ∫


� Media de la distribución:

Media=m= E(X)

• Ejemplo: Calcular la media del número de puntos

obtenidos al lanzar un dado

� Propiedad de la media:


1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Si Y aX b E Y aE X b

Si Y X X E Y E X E X

= ± ⇒ = ± = ± ⇒ = ±

E(a0+a1X1+...+anXn)= a0+a1E(X1)+...+anE(Xn)


� Varianza de la distribución:

Varianza= σσσσ2(x)= E(X-m)2

Desviación Típica = σσσσ , raíz cuadrada (+) de la σσσσ2

* Si X es discreta:

* Si X es continua:

σ = − =∑2 2i i

i

(x) (x m) P(X x )

2 2(x) (x m) f(x)dxσ+∞

−∞

= −∫



� Ejemplo: Calcular la varianza del número de puntos obtenidos al lanzar un dado.

� Propiedades de la varianza

1.- σσσσ2 (aX)= a2 σσσσ2(X)

2.- Si X , Y son independientes:

� Ejemplos*.- Calcular la media de la suma del número de puntos obtenidos al lanzar dos dados

*.- Calcular la varianza de la suma de puntos obtenidos al lanzar dos dados


2 2 2X Y X Y( ) ( ) ( )σ σ σ± = +


� Varianza de la suma de dos variables X1, X2

2 21 2 1 2 1 2(x x ) E((x x ) (m m ))σ + = + − + =

21 1 2 2E((x m ) (x m ))= − + − =

2 21 2 1 2(x ) (x ) 2Covx ,xσ σ= + +



� Varianza de una combinación lineal de variables

(Formulario)

21 ,21222

2122

12

2211

2211

2)()()(

)()()(

XXCovttXtXtY

XEtXEtYE

XtXtY

±+=

±=

±=

σσσ



Distribución Binomial

� Dado un suceso A de probabilidad p asociado a un

determinado experimento aleatorio. Se llevan a cabo nrepeticiones independientes del experimento, y sea X el

número de veces que se presenta el suceso A

� La variable X así definida sigue una distribución

denominada distribución binomial que depende de

los dos parámetros mencionados n y p

X ∼∼∼∼ B(n,p)

� Los valores posibles de X son: 0, 1, 2,.........., n

� Ejemplo



� Se demuestra que la función de probabilidad o masa de una variable X que sigue una distribución Binomial (n , p) es:

− = = −

k knnP(X ) p (1 p)k

k

E(X) np= 2(X) np(1 p)σ = −

Nota: = −

n n!

k!(n k)!k



� Autoevaluación: Interpretar la fórmula de la función de

probabilidad de una distribución binomial.

Calcular directamente (sin aplicar las fórmulas dadas) la

media y la varianza de una distribución binomial de

parámetros n=1 y p.

Constatar que una variable Binomial (n, p) coincide con

la suma de n variables binomiales (1, p)

independientes.

1 1

2 2

1 2 1 2

X B(n ,p)

X B(n ,p)

X X X X B(n n ,p)

= + +⇒ Independientes

∼

∼

∼



� Cuando el producto np(1-p) es grande (del orden de 9

ó más) las probabilidades correspondientes a una

variable binomial pueden también aproximarse usando

las tablas de la distribución normal

� El SGPlus permite representar la Función de

Probabilidad o Masa de las variables binomiales.

También calcula las probabilidades asociadas a valores

de estas distribuciones.

Describe � Distributions � Probability Distributions



Event prob.,Trials0,1,100,15,200,3,30

Binomial Distribution

x

prob

abili

ty

0 5 10 15 20 25 300

0,1

0,2

0,3

0,4np(1-p)=0.9

np(1-p)=2.55

np(1-p)=6.3



Cumulative Distribution-----------------------

Distribution: Binomial

Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,0 0,0 0,0 2 0,736099 0,175558 0,000312331 3 0,929809 0,404897 0,00211318

Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,348678 0,0387595 0,0000225393 2 0,19371 0,229339 0,00180085 3 0,0573956 0,242829 0,00720339

Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,651322 0,96124 0,999977 2 0,0701906 0,595103 0,997887 3 0,012795 0,352275 0,990683

B(n=10, p= 0.1) B(n=20, p= 0.15) B(n=30, p= 0.3)

P(X=xi)

P(X<xi)

P(X>xi)



� Ejercicio 1: Calcular la probabilidad de rechazar una

partida con un 5% de piezas defectuosas a partir del

control de 40 piezas, y con el criterio de rechazo

“Rechazar la partida si el número de piezas defectuosas

en la muestra es mayor que 1”.

� Ejercicio 2: Calcular la probabilidad de sacar al menos

un seis en seis lanzamientos de un dado.

� Ejercicio 3: Calcular el número medio de piezas

defectuosas (Ejercicio 1). Calcular el número medio de

seises (Ejercicio 2).


Distribución de Poisson

� En algunas aplicaciones se manejan variables aleatorias binomiales con un valor muy elevado de n y un valor muy bajo de p. Frecuentemente de estas variables sólo se conoce su valor medio m = λλλλ = np

X ∼∼∼∼ Poisson(λλλλ)

� La distribución de Poisson se describe como el límite al que tiende la distribución Binomial cuando :

� n es grande (n →→→→ ∞∞∞∞) y p es pequeño (p →→→→ 0)

� el producto np es constante (λλλλ = np)

� Ejemplos



� Esta distribución viene caracterizada por un único parámetro que es la media y la varianza de la distribución.

� La función de probabilidad o masa de una variable que sigue una distribución de Poisson de parámetro se obtiene a partir de:

2(X)σ λ=

λ

E(X) λ=

λ

− −

→∞→

→

= = − =

n λ

np 0np λ

kk kn λ

Prob(Poisson(λ) ) lim p (1 p) ekkk !


� Para valores de λλλλ moderadamente elevados (del orden

de 9 o mayores), las probabilidades de una distribución

de Poisson pueden aproximarse utilizando las tablas de

una distribución normal.

� El SGPlus permite representar la Función de Probabilidad

o Massa de las variables de Poisson. También calcula las

probabilidades asociadas a valores de estas

distribuciones:

Describe � Distributions � Probability Distributions




λ

Mean0,83,510

Poisson Distribution

x

prob

abili

ty

0 5 10 15 20 25 300

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5Valors de λ



Cumulative Distribution-----------------------

Distribution: Poisson

Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,0 0,0 0,0 1 0,449329 0,0301974 0,0000453999 4 0,99092 0,536633 0,0103361

Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,449329 0,0301974 0,0000453999 1 0,359463 0,105691 0,000453999 4 0,00766855 0,188812 0,0189166

Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0,550671 0,969803 0,999955 1 0,191208 0,864112 0,999501 4 0,00141131 0,274555 0,970747

P(X<xi)

P(X=xi)

P(X>xi)

Poisson(λ = 0,8) Poisson(λ= 3,5) Poisson(λ= 10)



� Ejercicio 4: siendo X la variable número de abolladuras

en los capós de los coches una variable de Poisson de

media 0.8,

* ¿qué porcentaje de coches no tendrá ningunaabolladura?

* ¿qué porcentaje tendrá más de una abolladura?

* ¿cuál es la probabilidad de que un coche tenga másde cinco abolladuras?



Curvas de probabilidad acumulada de la distrib. de Poisson

Valor de λλλλ

Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) con X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)

C=50,9998



� Ejercicio 5: Sabiendo que en las carreteras españolas

se producen en promedio tres accidentes mortales

diarios (excluyendo fines de semana). ¿Cuál es la

probabilidad de que el próximo martes no se produzca

ningún accidente mortal?

Con los mismos datos anteriores calcular la probabilidad

de que el próximo martes haya más de 7 accidentes

mortales.



Curvas de probabilidad acumulada de la distrib. de Poisson

Valor de λλλλ

Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) con X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)

C=7

0,985

=3λλλλ



� Ejercicio 6: Suponiendo que son independientes las

variables asociadas a los diferentes días de las semanas

y que el número medio de accidentes mortales los fines

de semana (sábado+domingo) es igual a 15, calcular la

probabilidad de que a lo largo de la próxima semana se

produzcan menos de 25 accidentes mortales.

Independientes

1 1

2 2

n n

1 2 n Y 1 2 n

X Poisson( )

X Poisson( )

..........

X Poisson( )

Y X X X Y Poisson( ... )

λλ

λλ λ λ λ

= + + ........ + = + + ⇒ +

∼

∼

∼

∼



Ábaco de Poisson. Curvas de probabilidad acumulada

Valor de λλλλ

Proporciona la P(X ≤≤≤≤ c) X ∼∼∼∼ POISSON (λλλλ)

C=24

0,16

Ejercicios

DEIOAQ – Estadística Font: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

Ejercicios de repaso de la

unidad

Una vez estudiada la unidad,

intenta resolver los siguientes

ejercicios. Si tienes dificultad en

su resolución, habla con tu

profesor.


Ejercicios

� Ejercicio 7: Los responsables de la sección de informáticade un gran centro de documentación desean garantizarque el porcentaje de registros erróneos en sus bases dedatos sea inferior al cinco por mil. Para ello,periódicamente seleccionan al azar n registros de una desus bases de datos, también al azar, comprobando suvalidez. Si la información de alguno de estos registrosfuera incorrecta, se impedirá el acceso de los usuarios adicha base de datos y pasaría a ser actualizada.

Determinar el valor mínimo del número de registros ainspeccionar, si se desea que la probabilidad de aceptarcomo correcta una base de datos que no satisfaga elrequisito exigido, sea inferior al uno por mil.


� Ejercicio 8: Una industria que utiliza masivamente ensus productos cierto componente electrónico, deseagarantizar que el porcentaje de componentes defectuosos encada partida que compra es inferior al 10%. Por ello pruebaen cada partida N unidades seleccionadas al azar, aceptandoesta sólo si todas las unidades resultan correctas.

A).- Cuánto valdrá N para que la probabilidad de admitir unapartida con un 10% o más de unidades defectuosas nosupere el 5%?

B).- Una partida se considera satisfactoria si el porcentajede unidades defectuosas en la misma es menor o igual al2%. Qué probabilidad tiene el sistema de control establecidoen A) de rechazar una partida con un 2% de unidadesdefectuosas?

Ejercicios


Ejercicios

� Ejercicio 9 : Un fabricante de circuitos integrados

desea garantizar que la proporción de chips defectuosos

en los lotes que vende no supera el 5 por mil. Para ello

selecciona al azar N chips de un lote, rechazando el lote

en caso de que (dos casos diferentes):

A) Haya algún chip defectuoso.

B) Tres o más de los chips sean defectuosos.

Determinar en ambos casos (A y B) el valor mínimo de

N si se desea que la probabilidad de rechazar un lote

que no satisfaga el requisito exigido sea al menos del

99%.

Ejercicios


� Ejercicio 10: Una empresa dedicada a la fabricación de

piezas para aviones está interesada en el estudio de la

calidad en producción de una de las piezas que fabrica. La

calidad de este tipo de piezas viene determinada por un

parámetro de longitud de una de sus partes. Para realizar

el estudio de calidad la empresa ha decidido realizar para

dicha pieza un control estadístico de calidad, midiendo,

para ello, dicha característica clave (longitud). Se fija un

límite de tolerancia mínimo y máximo para la

característica a medir y se conoce que, en condiciones

normales de fabricación, el 99% de las piezas fabricadas

están dentro de las tolerancias admitiéndose, por tanto,

como correctas.

Ejercicios


Se pide:

a) Si se extrae al azar una muestra de 5 piezas, ¿cuál

es la probabilidad de obtener 2 defectuosas?

b) Si se extrae una muestra al azar 50 piezas, calcular

la probabilidad de encontrar al menos 3 piezas

defectuosas (utilizar la aproximación a la distribución

de Poisson).

DEIOAC – Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en Ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

� Fuentes: R. Romero y L. Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería” | A. Webster “Estadística aplicada a los negocios y la economía” | Material docente de los profesores de la asignatura (DEIOAC - UPV)

� Estas transparencias NO son unos apuntes, constituyen un guión de las explicaciones hechas en clase con algunos ejemplos adicionales.

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