UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS GUIA DE …³rico/Unidad-6/Guía... · de lecho semi-fluidizado continuo con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 60 W/m²-K

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR : Elton F. Morales Blancas

UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS

GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (Versión ALFA)

1) Una planta de alimentos congelados procesa cerezas de 18 mm de diámetro aproximadamente. La temperatura inicial del producto es 20 °C, y la temperatura del aire es - 35 °C. Se dispone de un túnel congelador de lecho semi-fluidizado continuo con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 60 W/m²-K. Considerar la temperatura del centro térmico al final del proceso igual a -10 °C. a) ¿Las cerezas congeladas cumplen con los requisitos de un producto I.Q.F.? b) Determine el tiempo efectivo de congelación. Cerezas Humedad = 82,6% Densidad = 1050 kg/m³ SOLUCION:

Para saber si las cerezas cumplen con los requisitos IQF (congelación rápida) se debe cumplir que:

5 10W cm< < / h wtrW = Ecuación 0.0

siendo: W: Velocidad de congelación

r: Distancia mínima desde la superficie hasta el centro térmico (cm) tw: Tiempo transcurrido desde que la superficie alcanza 0 ºC hasta que el centro térmico alcance 5 ºC por debajo de la temperatura inicial de formación del hielo (s)

En el siguiente esquema En el esquema se puede observar el tiempo tw que se pide (denominador)

t2

I

I

t1

w

12 tttw −=

t

Curva centro producto Curva superficie del prod

t

ucto

Ecuación 1.0

I

II

I
Tzc
Tzc -5

0

ºC

20

NOTA: Los puntos donde se quiebra la curva para centro (azul) indica las tres diferentes zonas que existen.

• Zona I : de pre-enfriamiento • Zona II: de cambio de fase • Zona III : de post-enfriamiento

- El tiempo se calcula en la zona I y III mediante cartas y en la zona II por medio de Plank, de acuerdo a los siguientes pasos. - Forma geométrica de la cereza corresponde a una esfera Paso 1

Cálculo de t1. - t1 corresponde al tiempo en que la superficie alcanza 0 ºC.

Datos: ti = 20 °C t∞ = -35 °C tf = -10 °C tzc = -1,39 °C (Foodproperty)

tzc (– 5) = -6,39 °C R = 9·10-3 m D = 0,018 m - Se calculan las propiedades termofísicas de la cereza basándose en composición binaria a 0 ºC y a 20 °C en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: densidad, calor específico y conductividad térmica.

Densidad promedio:

3)0(

3)20(

/3,1051

/1050

mKg

mKg

C

C

=

=

°

°

ρ

ρ 3/65,1050 mKg=ρ

Calor específico promedio:

( )

( )

20º

0º

3749,7 /

3779,1 /C

C

Cp J kgK

Cp J kgK

=

= 3764, 4 /Cp J kgK=

m

K W m K

=

=

Conductividad térmica promedio:

( )

( )

20º

0º

0,555 /

0,526 /c

C

K W K 0,5405 /K W m K=

- Mediante las cartas de Heissler se busca el tiempo (se puede realizar también con cartas de Gourney), ya que este tiempo t1 cae en la zona I. - Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

KLhN Bi

∗⋅= Ecuación 1.1

Siendo: : La longitud característica (m). ∗L : Coeficiente de conductividad térmica (W / mh 2 K).

K : Promedio de conductivita térmica (W / m K).

AVL =* Ecuación 1.2 3

34 RV π= Ecuación 1.3

24 RA π= Ecuación 1.4

Al reemplazar se obtiene:

3 64 (0.009 ) 3,054 103

V mπ −= = × 3m

m

2 24 (0,009 ) 0,001A mπ= =

6 3

2

3,054 10 0,0030,001

V mL mA m

−∗ ×= = =

260( / ) 0,003 0.33

0,5404( / )BiW m K mN

W mK⋅

= =

0,1 40BiN< < , por lo tanto se tiene una resistencia interna y externa apreciable.

Cálculo de la difusividad térmica α.

Cp

K⋅

=ρ

α Ecuación 1.5

Siendo: K : Conductividad térmica promedio (W/m K) ρ : Densidad promedio (kg/m3)

Cp : Calor especifico promedio (J/Kg K) Al reemplazar se obtiene

7 23

0,5405( / ) 1,37 10 /1050,65( / ) 3764,4( / )

W mK m sKg m J KgK

α −= = ×⋅

sJW =

Cálculo de Y.

∞

∞

−−

=TTTTY

0

Ecuación 1.6

Siendo: T: temperatura de enfriamiento a 0 °C (°C). T0: Temperatura inicial del producto (°C). T∞: Temperatura del medio (°C). Reemplazando se obtiene:

(0 ( 35))º 0,636

(20 ( 35))ºCYC

− −= =

− −

- Se debe buscar un Y cercano a este valor, esto se realiza probando mediante cartas hasta coincidir con esta cantidad.

- Para utilizar las cartas de Heissler se debe tener Fo’ y iB ′

1

2' = ⋅ tFoRα

Ecuación 1.7 1 K

Bi h R=′ ⋅

Ecuación 1.8

Siendo α : Coeficiente de difusividad térmica (m2/s)

t : Tiempo (s).

K : Conductividad térmica promedio (W/m K)

h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/ m2 K).

L* : La longitud característica (m). - Para calcular el tiempo en la superficie, se multiplica y1 (centro) por y2 (superficie), utilizando las cartas de Heissler

para esfera en centro y en superficie.

( , ) (0, )

0 (0, )

( , ) r t t

t

T T T TT r t TT T T T T T

∞ ∞∞

∞ ∞

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡−= ×⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ 0 ∞

⎤⎥− ⎦

t (seg) Y10rr

1`Bi F0

’ 1`Bi Y2 1 2Y = Y ×Y

60 0,64 1 1,00 0,1 1,00 0,99 0,634 - Al suponer un tiempo de 60 s, se logra el objetivo de encontrar un Y cercano a 0.636, por lo tanto,

min160)020(1 ≈≈= °→° stt CC

C

°−° 39.120

Paso 2

Cálculo de t2. - t2 corresponde al tiempo en que el centro térmico de la cereza se demora en llegar a la temperatura de – 6.39 °C

desde la temperatura inicial de 20 °C. - Este tiempo esta dado por tres etapas:

a) , se calcula por cartas. CC tt °−° → 39.120

b) , se calcula por Plank. Ct °− 39.1

c) , se calcula por cartas. 1,39 6,39Ct t− ° − °→ ⇒ Etapa a)

t → CC t - Se obtienen las propiedades termofísicas de la temperatura inicial del producto (T0) y la temperatura inicial de

congelación del producto (TZC) en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: Densidad, Calor específico y Conductividad térmica.

Densidad promedio:

3)39.1(

3)20(

/2,1051

/1050

mKg

mKg

C

C

=

=

°−

°

ρ

ρ 3/6,1050 mKg=ρ


KgKJCp

KgKJCp

C

C

/4,3782

/7,3749

)39.1(

)20(

=

=

°−

° KgKJCp /05,3766=


mKWK

mKWK

C

C

/524,0

/555,0

)39.1(

)20(

=

=

°−

° mKWK /5395,0=

Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

KLhN Bi






3 64 (0.009 ) 3,054 103

V mπ −= = × 3m

m

2 24 (0,009 ) 0,001A mπ= =

6 3

2

3,054 10 0,0030,001

V mL mA m

−∗ ×= = =

33,0)/(5395,0

)(003,0)/(60 2

=⋅

=mKW

mKmWNBi


Cálculo de la difusividad térmica α.

7 23

0,5395( / ) 1,36 10 /1050,6( / ) 3766,05( / )

W mK m sKg m J KgK

α −= =⋅

× Ecuación 1.5

Cálculo de Y.

611,0))35(20((

))35(39.1((=

°−−°−−−

=C

CY Ecuación 1.6



1

2' = ⋅ tFoRα

Ecuación 1.7 1 K

Bi h R=′ ⋅

Ecuación 1.8

Por lo tanto se obtiene:

23

27,

0 )109()(1036,1

mtsmF −

−

⋅⋅⋅⋅

= 00,1`

1=

Bi

- Para calcular el tiempo de una esfera en el centro, se utiliza la carta de Heissler para centro. - Se prueban tiempos hasta obtener un valor de 611,0=Y

- Al asumir un tiempo de 184,63 s, se obtiene un y un 31,0,0 =F 61,0=Y .

- Por lo tanto se obtiene: 20 1.39 184,63C Ct t° − °→ = s

⇒ Etapa b) Ct °− 39.1

- Se obtiene el tiempo a -1.39 °C, mediante la ecuación de Plank (1941). Para ello se siguen los siguientes puntos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

−⋅

=∞ FZZC

UZc K

RDh

PDTT

Lt2ρ

Ecuación 1.9

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s). =L Calor latente del alimento (KJ/Kg). =UZρ Densidad del producto bajo el periodo de pre-enfriamiento a T0 (Kg/m3).

Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). =DyP D = Dimensión característica (diámetro para esfera) (m). = Temperatura inicial de congelación (°C).Tzc = Temperatura del medio (°C). ∞T h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). = Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/mK). ( CFZK °−10 )

Nota: Los factores de forma de la ecuación de Plank (1941) para esfera son:

241

61

== RP

Cálculo de L. OHwzyL

2λ⋅= Ecuación 2.0

siendo: Fracción de agua en el producto. =wzy =OH2

λ Calor latente del agua = 335000 [J/Kg] = 335 [KJ/Kg] = constante Reemplazando en la fórmula se obtiene:

)/(71,276

)/(335)/(826,0KgKJL

KgKJKgKgL=

⋅=

Cálculo de ct

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅

°−−−⋅

=)/(622,1

)018,0(241

)/(60)(018,0

61

))35(39.1()/(1050)/(276710 2

2

3

mKWm

KmWm

CmKgKgJtc

stc 2,504= 1.39 504,2Ct s− ° = ⇒ Etapa c) 1,39 6,39C Ct t− ° − °→

- Se obtienen las propiedades termofísicas de la temperatura inicial de congelación (TZC) y la temperatura de -6.39°C, en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: Densidad,

Calor específico y Conductividad térmica.

Densidad promedio:

3)39.6(

3)39.1(

/5,993

/2,1051

mKg

mKg

C

C

=

=

°−

°−

ρ

ρ 3/35,1022 mKg=ρ


KgKJCp

KgKJCp

C

C

/6,11221

/4,3782

)39.6(

)39.1(

=

=

°−

°− KgKJCp /7502=


mKWK

mKWK

C

C

/460,1

/524,0

)39.6(

)39.1(

=

=

°−

°− mKWK /992,0=

- Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

KLhN Bi






3 64 (0.009 ) 3,054 103

V mπ −= = × 3m

m

2 24 (0,009 ) 0,001A mπ= =

6 3

2

3,054 10 0,0030,001

V mL mA m

−∗ ×= = =

18,0)/(992,0

)(003,0)/(60 2

=⋅

=mKW

mKmWNBi


Cálculo del coeficiente de difusividad térmica α.

7 23

0,992( / ) 1,29 10 /1022,35( / ) 7502( / )

W mK m sKg m J KgK

α −= =⋅

× Ecuación 1.5

Cálculo de Y.

85,0))35(39.1(())35(39.6((

=°−−−°−−−

=CCY Ecuación 1.6



1

2' = ⋅ tFoRα

Ecuación 1.7 1 K

Bi h R=′ ⋅

Ecuación 1.8


2

1 0.992( / )` 60( / ) 0,009

1 1,84`

W mKBi W m K

Bi

=⋅

=

m

7 2,

0 3 2

1,29 10 ( )(9 10 )

m s tFm

−

−

⋅ ⋅ ⋅=

⋅

- Para calcular el tiempo de una esfera en el centro, se utiliza la carta de Heissler para centro. - Se prueban tiempos hasta obtener un valor de 85,0=Y

- Al asumir un tiempo de 157,59 s se obtiene un y un ,0 0, 25F = 85,0=Y .

- Por lo tanto se obtiene: 1,39 6,39 157,59C Ct t− ° − °→ = s

Cálculo de t2 2 (184,63 504,2 157,59)t s= + + 2 846,42t s= 2 14,11 mint =

Cálculo de wt

Ecuación 1.0

2 1

14,11min 1min13,11min0,22

w

w

w

w

t t tttt h

= −= −==

Cálculo de W

wtrW = Ecuación 0.0

Reemplazando se obtiene

0,9 4,09 /0,22

cmW ch

= = m h

- De acuerdo al velocidad de congelación de las cerezas, estás no cumplen con los requisitos de un producto IQF, ya que no se encuentran en el rango permitido, por lo tanto, el producto se encuentra en la clasificación de congelación semi-rápida.

b) Determine el tiempo efectivo de congelación. - Para calcular el tiempo efectivo de congelación se utiliza método de Cleland y Earle (1979a), el que sirve para una figura geométrica de esfera, por lo tanto se siguen los siguientes pasos. Paso 1

Cálculo de 10Hv∆ 101010 −− ⋅−⋅=∆ ρρ hhH TZTZv Ecuación 2.1 Siendo: = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C (J / Kg). 10Hv∆

TZh : Coeficiente convectivo de transferencia de calor a temperatura inicial de congelación (W/m2K).

TZρ : Densidad a temperatura inicial de congelación (Kg/m3).

10h− : Coeficiente convectivo de transferencia de calor a -10 ºC (J/Kg).

10ρ− : Densidad a -10 ºC (Kg/m3). Estos valores se obtienen de Foodproperty

h(-1.39°C)= 334054 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-1.39°C) = 1051,2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

h(-10) = 84783 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-10) = 988,5 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

Al reemplazar los datos se obtiene:

)/(6,267349)/(3,267349569

)/(5,988)/(84783)/(2,1051)/(33405433

10

3310

mKJmJH

mkgKgJmKgKgJH

V

V

≈=∆

⋅−⋅=∆

Por lo tanto 1010 −−=∆Η hhTZ Ecuación 2.2

)/(249271

)/(84783)/(334054

10

10

KgJHKgJKgJH

=∆−=∆

Paso 2

Cálculo de números adimensionales.

Cálculo del Número de Biot.

FZ

hDBiK

= Ecuación 2.3

Siendo: h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). D : Dimensión característica (diámetro para una esfera), (m). : Conductividad térmica bajo el punto de congelación a -10 °C (W/m K). FZK

Reemplazando los datos obtenidos con Foodproperty se obtiene:

666,0)/(622,1

)(018,0)/(60 2

=

⋅=

BimKW

mKmWBi

Cálculo del Número de Plank.

( )0

10

UZ ZCCp T TPk

H−

=∆

Ecuación 2.4

siendo: : Calor específico bajo el periodo de pre-enfriamiento a (J/Kg K) UZCp 0T : Temperatura inicial del producto ºC. 0T ZCT : Temperatura inicial de congelación ºC.

: Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -10 ºC (J/Kg) 10H∆ Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

322,0)/(249271

))39.1(20()/(7,3749

=

°−−°⋅=

PkKgJ

CCKgKJPk

Cálculo del Número de Stefan.

10

)(∆Η

−⋅= ∞TTCp

Ste ZCFZ Ecuación 2.5

siendo: : Calor especifico bajo el punto de congelación a -10 ºC (J/Kg K) FZCp ZCT : Temperatura en el punto inicial de congelación ºC.

: Temperatura del medio ºC. T∞

: Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -10 ºC (J/Kg) 10∆Η Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

779,0)/(249271

))35(39.1()/(4,5775

=

°−−°−⋅=

SteKgJ

CCKgKJSte

Paso 3

Cálculo de los factores de forma para una esfera mediante el método de Cleland y Earle (1979a). → Cálculo de P.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++= 6739,03114,0231,00924,01084,0

BiPkStePkP Ecuación 2.6

siendo: P: Factor de forma. Pk: Número de Plank. Ste: Número de Stefan. Bi: Número de Biot.

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

357,0

6739,0666,0

3114,0322,0231,0779,0322,00924,01084,0

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⋅+⋅+=

P

P

→ Cálculo de R.

( 1694,00386,00784,0 )−+= PkSteR Ecuación 2.7 Reemplazando en la fórmula se obtiene

( )

044,01694,0322,00386,0779,00784,0

=−⋅+=

RR

Paso 4

Cálculo de tc.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∆

=°−∞ )10(

210

)( CFZZC

Vc K

DRhDP

TTHt Ecuación 2.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s) = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C.(J/m10Hv∆ 3)

= Temperatura inicial de congelación (°C).Tzc = Temperatura del medio (°C). ∞T Factores de forma de la ecuación de Cleland y Early (1979a). =RyP h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). D = Dimensión característica (diámetro para esfera) (m). Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K). =°− )10( CFZK Al reemplazar en la ecuación se obtiene:

min4,1584,921

)/(622,1)018,0(044,0

)/(60018,0357,0

))35(39.1()/(3,267349569 2

2

3

≈=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−−°−

=

st

mKWm

KmWm

CCmJt

c

c

2) Una planta de alimentos procesa cortes de zanahoria de las siguientes dimensiones: 4 x 2 x 1 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 20 °C. La temperatura del aire es -40 °C. Considerar la temperatura en el centro térmico al final del proceso igual a -20°C. a) Con la finalidad de estimar el coeficiente convectivo de transferencia de calor se registró experimentalmente mediante unas termouplas y un registrador de temperatura el tiempo de enfriamiento del punto superficial más cercano al centro geométrico desde la temperatura inicial hasta el punto de congelación del producto. El tiempo registrado fue de 4 min. b) Calcule el tiempo efectivo de congelación. Zanahoria: Humedad = 89 % Densidad = 1030 kg/m3 SOLUCIÓN: - Primero se debe conocer a que figura corresponde el corte de zanahoria.

a b

c

Como: a = 1 c/a = 4 < 6

b = 2 c/b = 2 < 6 c = 4 b/a = 2 < 6

- El corte de la zanahoria corresponde a un paralelepípedo. - Por lo tanto, primero se deben calcular las propiedades termofísicas del alimento y para ello existen dos métodos:

• Mediante el uso de fórmulas (Unidad 4). • Mediante el uso del programa computacional on- line Wamfoodlab (Foodproperty).

- En este caso el método escogido es el uso del programa computacional on- line, por lo tanto, para poder obtener el coeficiente convectivo (h) del corte de zanahoria se deben seguir los siguientes pasos Paso 1: Cálculo de las propiedades termofísicas de la zanahoria basándose en composición binaria.

- Humedad: 89 % - Temperatura inicial: 20 ºC - Densidad: 1030 Kg/m3.

El resultado nos entrega las propiedades termofísicas del producto a: - La temperatura inicial del producto Ti = 20 ºC y - La temperatura inicial de congelación Tzc = -0.81 ºC De acuerdo a estos resultados, se deben obtener los promedios de: densidad, calor específico y conductividad térmica de la siguiente forma.

Densidad promedio:

( )

( )3

Cº81.0

3Cº20

m/Kg3,1031

m/kg1030

=ρ

=ρ

−

3m/kg65,1030=ρ


( )

( ) kgK/J2,3944CpkgK/J5,3910Cp

Cº81.0

Cº20

=

=

−

kgK/J35,3927Cp =


( )

( ) KmWKKmWK

C

C

/554,0/587,0

º81.0

º20

=

=

−

Km/W5705,0K =

Paso 2:

Cálculo del coeficiente de difusividad térmica mediante la siguiente fórmula.

KKg/J35,3927m/Kg65,1030

Km/W5705,03 ⋅

=α Ecuación 1.5

s/m1041,1 27−⋅=α

Paso 3: Cálculo de Y mediante la fórmula.

)40(20

)40(81,0−−−−−

=Υ Ecuación 1.6

65,0Y =

- De acuerdo a los datos obtenidos anteriormente se calcula el coeficiente convectivo simulando valores de h hasta llegar a obtener el valor más cercano a Y = 0,65, para ello, esto se realiza utilizando las cartas de Heissler. Nota: Cada una de las dimensiones del paralelepípedo se toman como planchas infinitas, así se tendrá una plancha

infinita para a, para b y para c.

- Es importante buscar el punto más cercano al centro geométrico, en este caso los puntos son: x = 0 y = 0 z = a/2 - Para calcular x e y se utiliza cartas de Heissler en el centro, para a/2 se necesita utilizar simultáneamente carta para el centro y para la superficie. - Para utilizar las cartas de Heissler se necesita calcular primero Fo’ y 1/Bi’:

2' = ⋅ tFoLα

Ecuación 1.7 Lh

KiB ⋅=

′1

Ecuación 1.8

siendo α : Coeficiente de difusividad térmica. (m2/s)

t : Tiempo. (s)

K : Conductividad térmica promedio.(W/mK)

h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor. (W/m2K)

L : La mitad del espesor, por lo tanto para m 3105 −⋅=→ La

01,0=→ Lb m

02,0=→ Lc m

- Utilización de las cartas de Heissler para plancha infinita.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

∞°

∞

TTTtaT ),2,0,0(

=

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

∞°

∞

TTTtxT ),0(

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

∞°

∞

TTTtyT ),0(

x ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

∞

∞

TT

TtazT

t ),0(

),2(x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

∞°

∞

TTTtzT ),0(

F0’= 2

7

02,02401041,1 ⋅⋅ −

F0’= 2

7

01,02401041,1 ⋅⋅ −

Lx

=1 F0’= 23

7

)105(2401041,1

−

−

⋅⋅⋅

F0’= 0,09 F0

’= 0,34 F0’= 1,35

,

1Bi

=02,0

5705,0⋅h

,

1Bi

=01,0

5705,0⋅h

,

1Bi

= 23 )105(5705,0

−⋅⋅h ,

1Bi

= ( )31055705,0

−⋅⋅h

Al asumir valores de h obtenemos los siguientes valores de Y para cada plancha.

h(W/m2k) `

1Bi

F0’ Y1 `

1Bi

F0’ Y2 `

1Bi

n Y3 `

1Bi

F0’ Y4

Y= Y1·Y2·Y3·Y4

35 0,82 0,09 1 1,63 0,34 0,90 3,26 1 0,86 3,26 1,35 0,78 0,60

30 0,95 0,09 1 1,90 0,34 0,92 3,80 1 0,88 3,80 1,35 0,80 0,65 Luego, teniendo un respectivo valor de Yi para cada plancha, los valores se multiplican obteniéndose un Y que debe ser igual o muy similar al valor deseado de Y = 0,65, por lo tanto, el coeficiente convectivo buscado es:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡≈

kmWh 230

NOTA: Todas estas estimaciones de tiempo realizadas de esta manera puede estar sometida a errores por la aproximación visual del evaluador.

b) Calcule el tiempo efectivo de congelación. - Para calcular el tiempo efectivo de congelación utilizamos la ecuación de Cleland y Earle (1979b), para un paralelepípedo. - De acuerdo a los siguientes pasos se calcula el tiempo efectivo de congelación hasta una temperatura final de -10 °C, posteriormente se realizaran los cálculos hasta una temperatura final de -20 °C. Paso 1.

Cálculo de 10Hv∆ 101010 −− ⋅−⋅=∆ ρρ hhH TZTZv Ecuación 2.1 Estos valores se obtienen de Foodproperty.

h(-0,81)= 364563 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-0,81) = 1031,3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

h(-10) = 75806 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-10) = 961,8 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg


( ) ( )3 310 364563 / 1031,3 / 75806( / ) 961,8( / )Hv J Kg Kg m J kg Kg m∆ = ⋅ − ⋅

310 303063611,1( / )Hv J m∆ = 3303063,61( / )KJ m≈


( )10 364563 / 75806( / )J Kg J kg∆Η = −

10 288757( / )J Kg∆Η = Paso 2

Cálculo del número de Biot.

FZ

hDBiK

= Ecuación 2.3

Reemplazando los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

230( / ) 0,011,881( / )W m K mBi

W mK⋅

=

0,160Bi =

Cálculo del número de Plank.

( )0

10

UZ ZCCp T TPk

H−

=∆

Ecuación 2.4

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

3910,5( / )(20º ( 0,81º ))288757( / )

0,281

J KgK C CPkJ Kg

Pk

− −=

=

→ Cálculo del número de Stefan.

10

)(∆Η

−⋅= ∞TTCp



4464,2( / ) ( 0,81º ( 40º ))288757( / )

0,605

J KgK C CSteJ Kg

Ste

⋅ − − −=

=

Paso 3 Cálculo de factores de forma para un paralelepípedo (Cleland y Earle, 1979b )

→ Cálculo de P

( )2121

21

2 ββββββ

++⋅⋅

=P Ecuación 2.9

siendo : β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña. Por lo tanto 1 2 /1 2β = =

2 4 /1 4β = = Reemplazando en la fórmula se obtiene:

2 42(2 4 2 4)0,286

P

P

⋅=

⋅ + +=

→ Cálculo de P1.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= 1050,00182,02296,05808,0026,11 Bi

PkStePkPP Ecuación 3.0


1

1

0,01820,286 1,026 0,5808 0,281 0,605 0,2296 0,281 0,10500,160

0,389

P

P

⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅ + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

=

→ Cálculo de P2.

(([ 242,1766,51136,012 ))]−++= PStePPP Ecuación 3.1 Reemplazando se obtiene:

( )( )2

2

0,389 0,286 0,1136 0,605 5,766 0,286 1,242

0,492

P

P

⎡ ⎤= + + ⋅ −⎣ ⎦=

→ Cálculo de Q.

( )[ 2/122121 )1()1(41−+−−= ββββ

Q] Ecuación 3.2


( ) 1/ 221 4 2 4 (2 1) (4 1)

0,094QQ

⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de m.

[ ]{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−+++= ββββββm Ecuación 3.3

Reemplazando se obtiene:

{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)33,215

m

m

⎡ ⎤= + + + − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de n.

[ ]{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−−++= ββββββn Ecuación 3.4


{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)31,451

n

n

⎡ ⎤= + + − − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de R.

)122(721

1ln))()(1(

1ln))()(1(

2 212121 −++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−= ββββββ

nnnnn

mmmmmQR

Ecuación 3.5 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

0,094 3, 215 1, 451(3, 215 1)(2 3, 215)(4 3, 215) ln (1,451 1)(2 1,451)(4 1, 451) ln2 3,215 1 1, 451 11 (2 2 2 4 1)72

0,081

R

R

⎛ ⎞ ⎛= − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜⎞⎟− −⎝ ⎠ ⎝

+ ⋅ + ⋅ −

=

⎠

]

→ Cálculo de R1.

[ )7336,0410,3(202,11 ++= PkSteRR Ecuación 3.6 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

[ ]1

1

0,081 1,202 0,605 (3,410 0,281 0,7336)0,180

RR= + ⋅ ⋅ +

=

→ Cálculo de R2.

( )( )[ ]900,289,497344,012 −++= RSteRRR Ecuación 3.7 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

( )( )2

2

0,180 0,081 0,7344 0,605 49,89 0,081 2,900

0,295

R

R

⎡ ⎤= + + ⋅ −⎣ ⎦=

Paso 4 → Cálculo de tc.

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∞−∆

=°− CFZ

c KDR

hDP

TTzcHvt

10

2

2210 Ecuación 3.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s) = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C. (J/m10VH∆ 3)

= Temperatura inicial de congelación (°C).ZCT = Temperatura del medio (°C). ∞T P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica. (m)

h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K). )10( CFZK °−


( )3 2

2

303063611,1( / ) 0,01 (0,01 )0, 492 0, 2950,81º ( 40º 30( / ) 1,881( / )

1389,5 23min

c

c

J m m mtC C W m K W mK

t s

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦= =

Ahora se debe extender hasta -20°C con la fórmula de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros método de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

' 1,651 lnc cFZ

Tf TStet tK Tref T

∞⎡ ⎛ ⎞−= − ⋅ ⎜⎢

⎤⎟ ⎥− ∞⎝ ⎠⎣ ⎦

Ecuación 3.9

siendo: tc

’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. (s) Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC. Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene

1,65 0,605 20º ( 40º )1389,5 1 ln1,881( / ) 10º ( 40º )

1688,528,1min

c

c

c

C Ct sW mK C C

t st

⎡ ⎛⋅ − − −= − ⋅ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎣ ⎝==

⎞ ⎤

⎠ ⎦

3) Una planta de congelación de carne trabaja con cortes de carne bovina de 12 cm. x 6 cm. x 3 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 15 °C. La temperatura del medio de enfriamiento es -35 °C. Se dispone de un túnel congelador de aire forzado con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 25 W/m²-K. Uno de los parámetros utilizados para caracterizar el daño producido durante la congelación de piezas de carne es el "TIEMPO CARACTERISTICO 7" definido como el necesario para que la temperatura en el centro térmico de la muestra cambie desde su punto inicial de congelación hasta que se congele el 80% del agua libre existente. a) Calcule el "tiempo característico 7". Carne Bovina Humedad = 72,7% Densidad = 1060 Kg/m³ SOLUCIÓN Datos: Ti = 15°C T∞= -35°C h = 25[W/m2 K] TZC= -2,63°C ( Foodproperty)

- Se debe conocer a que figura corresponde el corte de carne bovina.

c

a

b

como: a = 3 c/a = 4 < 6

b = 6 c/b = 2 < 6 c = 12 b/a = 2 < 6

- El corte de carne bovina corresponde a un paralelepípedo. - Se deben tener presentes los siguientes datos:

Fracción total de agua ≈ YWZ = 0,727[kg/kg] Fracción del contenido de sólidos totales ≈ YS = 0,273[kg/kg]

Calculo de fracción de agua no congelable (o ligada) 3,0⋅= sb YY Ecuación 4.0 Reemplazando se obtiene:

)/(082,0

3,0)/(273,0KgKgYkgKgY

b

b

=⋅=

Cálculo de agua libre

Ecuación 4.1 bWZ YYlibreAgua −= Reemplazando se obtiene:

)/(645,0

)/(082,0)/(727,0KgKglibreAgua

KgKgKgKglibreAgua=

−=

Por lo tanto: 0,645 → 100 % X → 80 % X = 0,516 representa la fracción del 80 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el tiempo característico 7. t1 t2 t

T(°C)

15°C TZc

-11,8°C

- Para buscar la temperatura que corresponde a la fracción del 80 % del agua libre se utiliza Foodproperty. Al observar la segunda columna de Foodproperty se obtiene YW (agua no congelada), que corresponde a toda el agua que está en el alimento menos el hielo, por lo tanto se debe realizar lo siguiente:

Cálculo de YW YWZ =YI + YW Ecuación 4.2 Siendo: YWZ = Fracción total de agua. [Kg/Kg] YI = Fracción de hielo. [Kg/Kg] Al reemplazar se obtiene: YW = 0,727 - 0,516 [Kg/Kg] YW = 0,211 [kg/kg]

- Otra forma de calcular es según la ecuación YW = YWA + Yb siendo: YWA = Fracción que corresponde al 20 % de agua libre [kg/kg] Yb = Fracción de agua no congelable. [kg/kg] Al reemplazar se obtiene: YW = 0,129 + 0,082 [kg/kg] YW = 0,211[kg/kg] - Posteriormente al simular temperaturas (t2) para que corresponde la fracción de agua de 0,211[Kg/Kg], lo que se observa en Foodproperty es -11,8 °C, como se observa a continuación:

Temperatura (°C) Fracción de agua Fracción de hielo -11,8 0,211 0,516

- Al obtener la temperatura, se calculan las propiedades termofisicas en Foodproperty, para luego calcular el tiempo efectivo de congelación mediante el método de Cleland y Earle (1979 b), el cual se utiliza para paralelepípedos, mediante los siguientes pasos. Paso 1

Cálculo de 10VH∆ 101010 −− ⋅−⋅=∆ ρρ hhH TZTZv Ecuación 2.1 Estos valores se obtienen de Foodproperty.

h(-2.63°C)= 275029 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-2.63°C) = 1060,2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

h(-10°C) = 96969 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-10°C) = 1014,2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg


)/(8,193239)/(193239786

)/(2,1014)/(96969)/(2,1060)/(27502933

10

3310

mKJmJH

mkgKgJmKgKgJH

V

V

≈=∆

⋅−⋅=∆


)/(178060

)/(96969)/(275029

10

10

KgJHKgJKgJH

=∆−=∆

Paso 2 Cálculo de números adimensionales.


FZ

hDBiK

= Ecuación 2.3


664,0)/(130,1

)(03,0)/(25 2

=

⋅=

BimKW

mKmWBi


( )0

10

UZ ZCCp T TPk

H−

=∆

Ecuación 2.4


347,0)/(178060

))63.2(15()/(0,3501

=

°−−°⋅=

PkKgJ

CCKgKJPk

Cálculo del número de Stefan.

10

)(∆Η

−⋅= ∞TTCp



409,1)/(178060

))35(63.2()/(4,7748

=

°−−°−⋅=

SteKgJ

CCKgKJSte

Paso 3 Cálculo de los factores de forma para un paralelepípedo definido por (Plank, 1941) → Cálculo de P.

( )2121

21

2 ββββββ

++⋅⋅

=P Ecuación 2.9

Siendo :β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña.

Por lo tanto 43

12236

21 ==== ββ

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

( )29,0

4242242

=++⋅

⋅=

P

P

→ Cálculo de P1.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= 1050,00182,02296,05808,0026,11 Bi



( )[ ]703,0

1050,0664,0347,02296,0409,1347,05808,0026,129,0

1

1

=++⋅+⋅+=

PP

→ Cálculo de P2

( )([ ]242,1766,51136,012 )−++= PStePPP Ecuación 3.1


( )( )[ ]

912,0242,129,0766,5409,11136,029,0703,0

2

2

=−⋅++=

PP

→ Cálculo de Q

( )[ 2/122121 )1()1(41−+−−= ββββ

Q] Ecuación 3.2


( )[ ]094,0

)14()12(4241 2/12

=

−+−−=

QQ

→ Cálculo de m

[ ]{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−+++= ββββββm Ecuación 3.3


{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)33,215

m

m

⎡ ⎤= + + + − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de n

[ ]{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−−++= ββββββn Ecuación 3.4


{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)31,451

n

n

⎡ ⎤= + + − − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de R.

)122(721

1ln))()(1(

1ln))()(1(

2 212121 −++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛


nnnnn

mmmmmQR

Ecuación 3.5 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

0,094 3, 215 1, 451(3, 215 1)(2 3, 215)(4 3, 215) ln (1,451 1)(2 1,451)(4 1, 451) ln2 3,215 1 1, 451 11 (2 2 2 4 1)72

0,081

R

R

⎛ ⎞ ⎛= − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜⎞⎟− −⎝ ⎠ ⎝

+ ⋅ + ⋅ −

=

⎠

]

→ Cálculo de R1. [ )7336,0410,3(202,11 ++= PkSteRR Ecuación 3.6


[ ]316,0

)7336,0347,0410,3(409,1202,1081,0

1

1

=+⋅+=

RR

→ Cálculo de R2. ( )( )[ ]900,289,497344,012 −++= RSteRRR Ecuación 3.7


( )( )[ ]506,0

900,2081,089,49409,17344,0081,0316,0

2

2

=−⋅++=

RR

Paso 4 Cálculo del tiempo efectivo de congelación hasta la temperatura de -10 °C .

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∆

=°−∞ )10(

2

2210

CFZZC

VC k

DRhDP

TTHt Ecuación 3.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s) = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C.(J/m10Hv∆ 3)

= Temperatura inicial de congelación (°C).Tzc ∞T = Temperatura del medio (°C). P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica.(m) h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K). ( CFZK °−10 ) Reemplazando en la fórmula se obtiene:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−−°−

=)/(130,1

)03,0(506,0)/(25

)(03,0912,0)35(63.2)/(193239786 2

2

3

mKWm

KmWm

CCmJtC

min1491,8939 ≈= stc Paso 5

Ahora, se debe extender hasta -11,8 °C, por el método de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros métodos de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞−

−⋅⎢

⎣

⎡−′= ∞

TTrefTTf

KStett

FZcc ln65,11 Ecuación 3.9

siendo: tc

’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC. Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene:

⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−−°−°−−°−

⋅⎢⎣

⎡ ⋅−=

)35(10)35(8,11(ln

)/(130,1409,165,111,8939

CCCC

mKWstc

min9,1714,10313 ≈= stc Así el “tiempo caracteristico 7” es 171,9 min Nota: Es importante destacar que el tiempo calculado también se puede calcular utilizando las Cartas de Heisller o Gourney interceptando las temperaturas adimensionales de planchas infinitas.

4. Una planta de congelación trabaja con cortes de carne de cordero de 12 x 6 x 3 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 10°C. La temperatura del aire es -35°C y el coeficiente convectivo de transferencia de calor es igual a 35 W/m²-K. Calcule el tiempo para que un 15% del agua libre del producto no se congele. Carne de Cordero: Humedad = 70% Densidad = 1060 Kg/m³ El corte de carne de cordero corresponde a un paralelepípedo.

a

c

b

Datos: Ti = 10 C T∞= -35°C h = 35[W/m2 K] TZC= -3,07°C (Foodproperty)

- Se deben tener presentes los siguientes datos:

Fracción total de agua ≈ YWZ = 0,70[kg/kg] Fracción del contenido de sólidos totales ≈ YS = 0,30[kg/kg]

Cálculo de fracción de agua no congelable (o ligada) 3,0⋅= sb YY Ecuación 4.0 Reemplazando se obtiene:

)/(09,0

3,0)/(3,0KgKgY

kgKgY

b

b

=⋅=

Cálculo de agua libre Ecuación 4.1 bWZ YYlibreAgua −= Reemplazando se obtiene:

)/(61,0

)/(09,0)/(70,0KgKglibreAgua

KgKgKgKglibreAgua=

−=

Por lo tanto: 0,61 → 100 % X → 15 % X = 0,0915 representa la fracción del 15 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el tiempo característico 7.

10°C TZC=-3,07°C TA

T(°C)

t(Y=0,1812)

- Foodproperty calcula, en la segunda columna el agua no congelable, la cual está compuesta por el agua libre (o congelable) más el agua no congelable (o ligada), por lo tanto se debe calcular el YW, ya que esta fracción entrega la temperatura en la cual el 15 % del agua libre del producto no se congela. Esto se realiza de la siguiente forma.

Cálculo de YW

YW = YWA+ Yb Ecuación 4.2

Por lo tanto al reemplazar en la fórmula se obtiene: YW = 0,0915[kg/kg] + 0,09[kg/kg] YW = 0,1815 [kg/kg] Este valor se consigue probando con diferentes temperaturas y lo expuesto por Foodproperty resulta ser finalmente:

Temperatura (°C) Fracción de agua Fracción de hielo -17,2 0,181 0,1519

Así, TA = -17,2°C

Este tiempo se calcula de acuerdo a los siguientes pasos mediante el método de Cleland y Earle (1979b), el cual se utiliza para paralelepípedos. Paso 1

Cálculo de 10VH∆ 101010 −− ⋅−⋅=∆ ρρ hhH TZTZv Ecuación 2.1 Estos valores se obtienen de Foodproperty.

h(-3,07°C)= 260493 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-3,07°C) = 1059,7 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

h(-10°C) = 100935 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ

ρ(-10°C) = 1018,4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg


)/(2,173252)/(1,173252228

)/(4,1018)/(100935)/(7,1059)/(26049333

10

3310

mKJmJH

mkgKgJmKgKgJH

V

V

≈=∆

⋅−⋅=∆


)/(159558

)/(100935)/(260493

10

10

KgJHKgJKgJH

=∆−=∆

Paso 2 Cálculo de números adimensionales.


FZ

hDBiK

= Ecuación 2.3


020,1)/(029,1

)(03,0)/(35 2

=

⋅=

BimKW

mKmWBi


( )0

10

UZ ZCCp T TPk

H−

=∆

Ecuación 2.4


281,0)/(159558

))07,3(10()/(2,3433

=

°−−°⋅=

PkKgJ

CCKgKJPk

Cálculo del número de Stefan.

10

)(∆Η

−⋅= ∞TTCp



672,1)/(159558

))35(07,3()/(2,8356

=

°−−°−⋅=

SteKgJ

CCKgKJSte

Paso 3 Cálculo de los factores de forma para un paralelepípedo definido por Cleland y Earle (1979b). → Cálculo de P.

( )2121

21

2 ββββββ

++⋅⋅

=P Ecuación 2.9

Siendo :β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña.

Por lo tanto 43

12236

21 ==== ββ


( )29,0

4242242

=++⋅

⋅=

P

P

→ Cálculo de P1.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= 1050,00182,02296,05808,0026,11 Bi



436,0

1050,0020,10182,0281,02296,0672,1281,05808,0026,129,0

1

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⋅+⋅+=

P

P

→ Cálculo de P2.

( )([ 242,1766,51136,012 )]−++= PStePPP Ecuación 3.1


( )( )[ ]

678,0242,129,0766,5672,11136,029,0436,0

2

2

=−⋅++=

PP

→ Cálculo de Q.

( )[ 2/122121 )1()1(41−+−−= ββββ

Q] Ecuación 3.2

Al reemplazar en la formula se obtiene:

( )[ ]094,0

)14()12(4241 2/12

=

−+−−=

QQ

→ Cálculo de m.

[{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−+++= ββββββm ] Ecuación 3.3


{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)33,215

m

m

⎡ ⎤= + + + − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de n.

[{ }2/12212121 )1()1)((1

31

−+−−−++= ββββββn ] Ecuación 3.4


{ }1/ 221 2 4 1 (2 4)(2 1) (4 1)31,451

n

n

⎡ ⎤= + + − − − + −⎣ ⎦

=

→ Cálculo de R.

)122(721

1ln))()(1(

1ln))()(1(

2 212121 −++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛


nnnnn

mmmmmQR

Ecuación 3.5


0,094 3, 215 1, 451(3, 215 1)(2 3, 215)(4 3, 215) ln (1,451 1)(2 1,451)(4 1, 451) ln2 3,215 1 1, 451 11 (2 2 2 4 1)72

0,081

R

R

⎛ ⎞ ⎛= − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜⎞⎟− −⎝ ⎠ ⎝

+ ⋅ + ⋅ −

=

⎠

]

→ Cálculo de R1.

[ )7336,0410,3(202,11 ++= PkSteRR Ecuación 3.6 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

[ ]326,0

)7336,0281,0410,3(672,1202,1081,0

1

1

=+⋅+=

RR

→ Cálculo de R2.

( )([ 900,289,497344,012 )]−++= RSteRRR Ecuación 3.7 Reemplazando en la fórmula se obtiene:

( )( )[ ]540,0

900,2081,089,49672,17344,0081,0326,0

2

2

=−⋅++=

RR

Paso 4 Cálculo del tiempo efectivo de congelación hasta la temperatura de -10 °C.

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∆

=°−∞ )10(

2

2210

CFZZC

VC k

DRhDP

TTHt Ecuación 3.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación. (s). = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C. (J/m10Hv∆ 3)

= Temperatura inicial de congelación (°C).Tzc ∞T = Temperatura del medio (°C). P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica. h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K). ( CFZK °−10 )


( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−−°−

=)/(029,1

)03,0(540,0)/(35

)(03,0678,0)35(07,3)/(1,173252228 2

2

3

mKWm

KmWm

CCmJtC

min3,955716 ≈= stc

Paso 5

Ahora, se debe extender hasta -17,2°C, por el método de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros métodos de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞−

−⋅⎢

⎣

⎡−′= ∞

TTrefTTf

KStett

FZcc ln65,11 Ecuación 3.9

siendo: tc

’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC. Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene

⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°−−°−°−−°−

⋅⎢⎣

⎡ ⋅−=

)35(10)35(2,17(ln

)/(029,1672,165,115761

CCCC

mKWstc

min5,1835,11007 ≈= stc

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UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS GUIA DE …³rico/Unidad-6/Guía... · de lecho semi-fluidizado continuo con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 60 W/m²-K