4.1.- DEFINICIN DE SERIEUnaseriees la generalizacin de la nocin desumaa los trminos de unasucesin infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los trminos:lo cual suele escribirse en forma ms compacta con el smbolo desumatorio:

4.1.1 FINITASLas series tienen una caractersticas fundamental con respecto a su lmite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestin las series finitas son objeto de anlisis.Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un anlisis de sus componentes encontramos el lmite superior determinado por N, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".4.1.2 INFINITAEs un arrglo ordenado de numeros reales, uno para cada entero positivo. Mas formal mente una sucesin infinita es una funcion cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de numeros reales. Podemos indicar una sucesion mediante a1 ,a2 ,a3,...., simplemete por {an}

Se puede especificar una sucesion dando suficientes terminos iniciales para establecer un patron como en

1, 4, 7, 10, 13, ....

mediante una formula explicita para el n-nesimo termino, como en

an= 3n-2, n 1

Para alguna, seay. Entonces

por definicin y lafrmula binomial. Dado que,formalmente,y, se ha demostrado que. Como el lmite del producto de Cauchy de dos seriesabsolutamente convergenteses igual al producto de los lmites de esas series, se ha demostrado por lo tanto la frmulaexp(a+b) = exp(a)exp(b)para todo.4.2 Serie numerica y convergencia

*La serie armonicaes la serie

La serie armnica es divergente* Una serie aternadaes una serie donde los trminos alternan el signo. Ejemplo:

*Unaserie telescpicaes la suma dondean=bnbn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fcilmente, ya que:

* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

que cumple que=Criterios de convergenciaClasificar una serie es determinar si converge a un nmero real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestin, mostrarn de que tipo es (convergente o divergente).Condicin del resto

Para que una serie sea divergente, una condicin suficiente es que

Esta afirmacin es muy til, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el lmite es distinto de cero.Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razn)tal queak> 0( serie de trminos positivos).

Si existe

el Criterio de D'Alembert establece que:

siL 1, entonces la serie diverge. siL= 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la suma infinita tiene sentido:La serie converge si lo hace su sucesion de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su termino general.

De la definicion y de las conocidas propiedades de los lmites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o aadimos un numero finito de terminos al principio de una serie, no se altera su caracter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferiran de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que empezamos a sumar; incluso escribiremos s olo sigma (no olvidando que son infinitos terminos).

Algunos tipos de series* Una serie geometricaes una serie en la cual cada trmino se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamadarazn. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geomtrica, de raznz, es convergente, slo si |z| < 1, a:Criterio de RaabeEn algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.Sea una serie como la mostrada tal queak> 0(serie de trminos positivos). Y supongamos que existe

Por tanto, siL> 1, entonces la serie es convergente y siL< 1, la serie es divergenteTened cuidado aqu, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raz.

Convergencia absolutaUna serie alternadaanconvergeabsolutamentesi

4.3 Series de potenciasLas series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de trminos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de trminos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalizacin de de una funcin polinomial. En las secciones restantes de este captulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)1/2, las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritmticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.Definicin de una serie de potencias:Una serie de potencias en x-a es una serie de la formaCo+C1(x-c)+C2(x-c)2++Cn(x-c)n+

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x= x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales [x][x2]*Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias x-a1.Aplique el criterio de la razon (o en ocaciones el criterio de la raiz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente paratodos los valores de x.2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R) y diverge para[x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R), por supuesto, nunguna conclucion acerca de la convergencia en los extremos puede inferirse del criterio de la razon o del criterio de la raiz.

4.4 Radio de convergencia

En matematicas, segn elteorema de Cauchy-Hadamard, elradio de convergenciade una seriede la forma

conviene dado por la expresin:

DefinicinSi nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma, con, recibe el nombre de serie de potencias centrada enx0. La serie converge absolutamentepara un conjunto de valores dexque verifica que|xx0|