Unidad 3 Geoemtria

7/26/2019 Unidad 3 Geoemtria

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N deLectura

Descripcin Pg.

Unidad 3:GEOMETRIA

11 Cuerpos geomtricos

12 Identidades y ecuacionestrigonometricas

13Cnicas

INDICE DE TEMAS SELECCIONADOS


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TEXTO 11

AREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMETRICOS

Los slidos geomtricos estn presentes en la vida y se expresan a travs de lasconstrucciones arquitectnicas como es el caso de las iglesias y los grandesedificios . .

Poliedros

Los cuerpos geomtricos que tienen las caras poligonales planas se llamanpoliedros.

En 1750 Leonard Euler pu!lic su teorema de poliedros" el cual indica larelacin entre el n#mero de caras" aristas y vrtices de un poliedro o!"e#o$sinorificios" ni entrantes% cualquiera" en el que tam!in concluye que slo pueden sercinco los slidos regulares y esta!lece para ellos una serie de relaciones&

1$ C % V & A % ''$ 1/n= (1/A)+(1/6)($ 1/r= (1/A)+(1/6))$ n.C= 2A*$ r.V= 2A+$ (2A/r) - A+ (2A/n) = 2,$ (1/n) + (1/r) = (1/2) + (1/A)

C' (#mero de caras V' (#mero de vrtices A' (#mero de aristas!' (#mero de lados del pol)gono regular r' (#mero de aristas que convergen en

los vrtices

La relacin $1% sigue cumplindose para todos los poliedros convexos.


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Los prismas son cuerpos polidricosque tienen por !ases dos pol)gonosiguales y sus caras laterales sonparalelogramos.Eleme!tos 2 arater3stias del

prisma4 Los lados de las !ases se llaman

aristas/5sias$ Los lados de las caras laterales se

llaman aristas laterales. -odasson congruentes y paralelas.

Alt.radel prisma es el segmentoperpendicular a las !asescomprendido entre stas.

Clasi6iai7! de los prismas !servando el di!u/o el prisma triangular tiene como !ase un tringulo+ elcuadrangular" un cuadriltero+ el prisma pentagonal" un pentgono+ elexagonal" un exgono y el cuadrangular" un cuadrado.

Tro!o de prisma reto

ada uno de los dos cuerpos geomtricos que se o!tienenal partir un prisma por un plano que corta a todas sus

aristas laterales se llama tronco de prisma.En este caso tenemos un tronco de prisma de !ase pentagonal

El 5rea lateralser la suma de las cras laterales y el 5rea totales la sumade las 5reas de las /ases 2 el 5rea lateral

0rea 2 Vol.me! DEL PRISMA
http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_394.Ges.SCO.png&imgrefurl=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/poliedros/elementos-prisma.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_297.Kes%26ap%3D0&h=519&w=555&sz=64&hl=es&start=68&tbnid=p-C1nPGtZjSE5M:&tbnh=124&tbnw=133&prev=/images%3Fq%3DPRISMAS%26start%3D60%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DN


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El 5rea lateralde un prisma es lasuma de las reas de sus caras laterales.E/emplo& Las caras laterales formanun rectngulo cuya !ase es el per)metrodel exgono de la !ase por la altura.

0rea lateral & per3metro de la /ase #alt.ra$

0rea Total' 0rea lateral m5s el 5rea delas ' /ases.

Vol.me! & 0rea de la /ase # alt.ra

El pi!tor2o!erto es dise3ador pu!licitario y le pidieron colocar so!re el teco deledificio donde vive dos letras 4efe tal como se muestran en la figura a manerade pu!licitar la peque3a empresa que aca!a de crear. 6a!iendo que un galnde pintura alcan,a para un rea de 1 m" determina cuntos galones depintura de!er comprar para pintar am!os paneles

Sol.i7!8ividimos las caras del slido1. aras laterales& 9$10x1% ' 90m

9. aras frontales& 9$10 x 0"5% : ;$5"5 x 0"5% ' 91m


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Las pir5midesson estructurasarquitectnicas de la civili,acinEgipcia constituye una estructura de

gran esta!ilidad.Las pirmides son poliedros cuyascaras laterales son tringulos y la!ase esta formada por pol)gonos

Eleme!tos de la pir5mide$

La cara que se apoya en el sueloes la !ase.

6us caras laterales son tringulosque tienen un vrtice com#n que es elvrtice de la pirmide. La altura de la pirmide es elsegmento perpendicular a la !asetra,ado desde el vrtice. 6e llama apotema de una pirmideregular a al altura de uno cualquiera delos tringulos laterales.

AREA Y VOLUMEN DE PIRAMIDES

0rea Lateral' per)metro de la !ase. Apotema& 9

0rea total' >rea lateral : rea de la !ase

Vol.me! ' >rea de la !ase. Altura& o!aes6ria$

0rea 2 "ol.me! de .!a es6era

Atotal & ) ? r'

El ;emis6erio" si lacortamos por la mitad.

El as.ete es6rio" sicortamos la esfera con

una sola superficie planay no por el centro..

La >o!a es6ria" si lacortamos con dos

superficies planas yparalelas.


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La es6era terrestre6o!re ella tra,amos unas l)neasimaginarias" que nos permitirnprecisar la posicin de cualquier puntoso!re ella" por e/emplo" la situacin detu ciudad. Esas l)neas son& el e/eterrestre" el ecuador" los paralelos ylos meridianos.

El e/e de rotacin o e=e terrestre" encuyos extremos se sit#an el polo nortey el polo sur.El e.ador" que es la circunferenciamxima perpendicular al e/e terrestre.

Los paralelos" circunferenciasparalelas al ecuador" menores que l.

CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS GEOMETRICOS

Es aquel que se locali,a en el cuerpo donde es aplicada la resultante de lasuma de todas las fuer,as gravitatorias que act#an so!re el y en cada una de

sus part)culas siempre y cuando el cuerpo sea geomtrico y si es geomtricoser simtrico.

entro de gravedadLos cuerpos planos o figuras geomtricas no tienencentro de gravedad y solo tendrn E(-2H8E.

In cuadrado tiene centroide mientras un cu!o de maderatiene centro de gravedad.

-omando en cuenta el e!tro de -ra"edadun cuerpo puede tener equili!rio dela siguiente forma&

Equili!rio esta!le. Equili!rio inesta!le. Equili!rio indiferente.


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Es peculiar de las figuras esfricas o circulares $pelotas"esferas" canicas.%

Equili!rio indiferenteEn forma general" la esta!ilidad de un cuerpo apoyado en su!ase aumenta a medida que es mayor la superficie desustentacin" pero disminuye al ser mayor la altura de

gravedad.

PRACTICANDO LO APRENDIDO

1$H6-E2(AMuntos metros c#!icos de ormign sern necesarios paraconstruir una cisterna de forma c#!ica con capacidad para @.000litros de agua si las paredes an de tener 0"9 metros de grueso y elfondo 0"19 m.N

9. 2*E2=allar la cantidad de madera necesaria para forrar el ropero enforma de prisma exagonal regular cuyo lado de la !ase mide 0 cm.y la altura de 1;0 cm.


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5.EL *P6e construye un po,o como la figura .6i la altura es de 190cm"

el grosor es de ;0cm y el ueco mide 1m Mul es el volumendel po,oN

. LA A*HLLA La c#pula de una capilla es de forma semiesfrica .6i el radioexterior de la c#pula es de 9m.

a% alcula la superficie exterior de la c#pula.!% 6i el anco del teco es de 15cm. alcula el rea de la

superficie interior

TEXTO 1'

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

El rasgo ms importante de la matemtica ra!e fue la formacin de latri-o!ometr3a" teniendo lugar la s)ntesis de diversos elementostrigonomtricos& el clculo de cuerdas y las ta!las de los antiguos" en particularlos resultados de *tolomeo y Genelao" las operaciones de los antiguosind#es" la acumulacin de experiencias de mediciones astronmicas.6o!re la !ase de este material eterogneo los matemticos de los pa)ses delGedio riente y el Asia entral introdu/eron todas las l)neas trigonomtricasfundamentales. En relacin con los pro!lemas de astronom)a" confeccionaronta!las de las funciones trigonomtricas con gran frecuencia y alto grado deexactitud. Los datos acumulados fueron tantos que result posi!le estudiar laspropiedades de los tringulos planos y esfricos" y los mtodos de suresolucin. 6e o!tuvo un sistema de trigonometr)a armonioso" rico en ecos"tanto plana como esfrica....Q=oy en dia tiene una enorme importancia so!re todo nos ayuda a medirdistancias inaccesi!les como es en la astronom)a" etc.

1$ RAONES TRIGONOMETRICAS.
http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Walraversijde53.jpg/250px-Walraversijde53.jpg&imgrefurl=http://dictionary.sensagent.com/pozo/es-es/&h=188&w=250&sz=14&hl=es&start=4&usg=__3olS7aX7eLTRbHIgrKmI_pzqD3k=&tbnid=Sr2wGmjNCTOaWM:&tbnh=83&tbnw=111&prev=/images%3Fq%3Dpozo%2Bde%2Bagua%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DN


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8ada una circunferencia de radio r" si tomamos un arco A*" donde A es unpunto del semie/e positivo de las x + *$x"y%" el punto del extremo" se definenlas ra,ones trigonomtricas del ngulo en la forma&

Se!o sen RS' ordenada O radio ' y O r

Cose!o cos R ' a!scisa O radio ' x O r

Ta!-e!te tg R S Sseno O coseno ' ordenada O a!scisa ' y O x

Cota!-e!te cotg ' coseno O seno ' a!scisa O ordenada ' x O y

Sea!te sec S1 O coseno ' 1 O $x O r% ' r O x

Cosea!te cosec S 1 O seno ' 1 O $y O r% ' r O y

'$ Si-!o de las ra>o!es$ En cada cuadrante" dependiendo del signo de lasa!scisas y ordenadas" las ra,ones presentan los siguientes signos&

($ IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

H8E(-H8A8E6 -2HT(G-2HA6

*itagricas 6en9x:cos9x '1 1:tan9x'sec 9x1:cot9x'csc 9x

8e suma 6en$x:y% ' senx.coy : cosx.senyos$x:y% ' cosx.cosy U senx.seny

yx

yxyx

tan.tan1

tantan)tan(

+=+

>ngulo 8o!le 6en9x ' 9senx.cosxos9x ' cos9x V sen 9x ' 9cos9x V 1 '1 U 9sen 9x

>ngulo mitad2

2cos12 xxsen

=

2

2cos1cos2

xx

+=


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Aditivas)

2cos().

2(2

yxyxsensenysenx

+=+

)2

cos().2

cos(2coscos yxyx

yx +

=+

Gultiplicativas )]cos()[cos(21. yxyxsenysenx +=

)]cos()[cos(2

1cos.cos yxyxyx ++=

)]()([2

1. yxsenyxsensenysenx ++=

)$ ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

*ara resolver ecuaciones trigonomtricas" de!emos sustituir las frmulas de los

ngulos que nos vayan apareciendo.Ina e.ai7! tri-o!omtriaes aquella en la que las incgnitas aparecenformando parte de los argumentos de funciones trigonomtricas.

omo las incgnitas son ngulos" si existe alguna solucin" stas van a serinfinitas $todos los ngulos coterminales con el que allemos%" peronormalmente nos !astar con dar la solucin comprendida entre 0W y


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tra forma solucin alterna $grafica% requiere la determinacin del sitio endonde la grafica corta la l)nea ori,ontal Z '1O9 .

'$ Determi!arlas sol.io!es de la e.ai7! ) se!F #$ta!# ta!# & H .e se

e!.e!tra! e! el i!ter"alo X0" 9?X

Dactori,ando tanx$;senFx U1% ' 0senFx '1O; [ senx ' :1O9 y senx ' U1O9

E.aio! sol.i7!-anx ' 0 0" K

6enx ' \ KO "5KO

6enx' U1O9 7KO "11KO

*or lo tanto la ecuacin -iene soluciones

Pratia!do lo Apre!dido

1$ 8eterminar las soluciones de la ecuacin en forma general

a% .tan x ' U1

!% cos9x ' 0

c% senx. tanx' senx

d% 9senFx Vcosx ' 1

9. 8eterminar las soluciones de la ecuacin en el intervalo X0" 9K X

a% a% 9cos x : < ' 9

!% sen


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a% .senx Vcosx ' 0

!% cos9x ' senx

c% senx.'cscx

d% 9senx Vcosx ' 0

;. =alle los valores de x en el intervalo X0" 9K X

a% cos9x :cosx '0!% sen9x :sen x ' 0c% cosx Vsen9x '0d% sen 5x :senx '0e% osx Vcos


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8ado un tringulo AC" siendo ]" ^" _" los ngulos" y a" b" c" los ladosrespectivamente opuestos a estos ngulos entonces&

E=emplo4

8etermina las partes restantes del tringulo si = 20 " = 130 y ! ' .

Sol.i7!4

rdena los datos del pro!lema como se te indica a continuacin.

1% La suma de los ngulos internos de cualquier tringulo ' 1@0`

( ) =+= 3020130180

9% !servamos que tenemos los valores de y ! las colocamos en nuestrafrmula y !uscamos el lado a.

a=

20sin

6130sin

a= 44.13

6

20sin130sin=

a c=

20sin

630sin c= 77.8

PRACTICO LO UE APRENDIDO

1. Encuentre Los elementos restantes de cada uno de los tringulos.

a% = 90`" = @0` y c ' 7

!% = ;0`" = 7` y a ' 10

c% a ' 10 cm. !' 19 cm. '


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9. 8etermina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo" conocidoslos lados m" n y el ngulo entre ellos.


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El gran arquitecto Antonio Taud)$1@59 U 19% utili,profusamente la curva catenariaen los arcos" para asegurar la

distri!ucin uniforme y segura delas cargas" aunando eficacia y!elle,a.

En las l)neas de ferrocarril" los ca!lescolgantes del tendido elctrico entrepostes adoptan esa misma forma y

los ferroviarios llaman a eseca!leado la catenaria. Es la curva

naturalque sigue una cuerdasuspendida entre dos puntos que no

est sometida a otra fuer,a que supropio peso o un peso uniforme.

U!a sei7! 7!ia" es la curva de interseccin de un plano con un conocircular recto. Existen tres tipos de curvas que se o!tienen de esta manera& Lapar!ola" la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial y laipr!ola

E.aio!es de las 7!ias

1$ Cir.!6ere!ia

Ina circunferencia de centro Cy radior es el lugargeomtrico de los puntos del plano cuya distancia a es r.


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Ejemplo:.=alla la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el puntode interseccin de la rectas x :


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Eleme!tos

Docosentro de la elipse6emie/e mayor y menos8istancia focal

Excentricidad & cOa

E=emplo4 allar la e.ai7! de la elipse de 6oo BK,< '@< de "rtie AK< '@ 2 dee!tro CK)< '@$

3. Hiprbola


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De6i!ii7!4Lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia delas distancias a los focos es una cantidad constante F

4. Parbola

De6i!ii7!$ Lugar geomtrico de los puntos * del plano que equidistan de ladirectri, y del foco

Eleme!tos4

8istancia focalDocoentro de la par!ola


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8irectri,

PRACTICANDO

1. Escri!e la ecuacin de la circunferencia de centro *$


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a%

!%


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