UNIDAD 2.3 POLIGONOS.

POLIGONAL.- Es un conjunto de segmentos de recta unidos uno a continuación de otro, que solo se cortan en sus extremos.

Definición.

Existen dos tipos de poligonales.

•Poligonal abierta.

•Poligonal cerrada.

A

B

C

D

E

A B

C

DE

F

Un polígono se define como una poligonal cerrada. En un polígono hay que considerar:

• Vértices • Lados • Ángulos • Diagonales • Perímetro

•Diagonal.- es toda recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Se pueden clasificar los polígonos de dos formas: ÁNGULOS.-

Convexos.- son aquellos cuyos ángulos interiores son todos ángulos menores que 180°

A B

C

DE

F

Cóncavos.- son aquellos que tienen algún ángulo interior mayor que 180° o entrante.

A B

C

DE

F

NÚMEROS DE LADOS.-

•Triángulo (tres lados) •Cuadrilátero (cuatro lados) •… •Dodecágono (12 lados)

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados opuestos.

Cuadriláteros. PARALELOGRAMOS Lados opuestos paralelos.

Rectángulos: Tienen todos sus ángulos interiores rectos. Romboides: Tienen dos ángulos interiores obtusos y dos agudos.

Trapecios. Dos lados opuestos paralelos y dos oblicuos. Trapezoides. Lados apuestos oblicuos.

Isósceles: Tienen iguales los ángulos de sus bases. Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos. Escaleno: Todos sus ángulos diferentes.

Simétricos: Una de sus diagonales es eje de simetría. Asimétricos Carece de simetría.

A partir de un vértice se trazan diagonales a los otros vértices, de manera que la figura queda dividida en triángulos. Para cualquier polígono tenemos: n lados menos dos triángulos o (n- 2) triángulos Σ del ángulo interior = (n- 2) 180° Suma de los ángulos interiores del polígono.

Ángulos interiores de un polígono

n lados=4 triángulos =2

n lados=5 triángulos =3

n lados=6 triángulos =4

número de lados

Es decir: o Para cualquier polígono convexo, la suma se los ángulos interiores es igual al

número de lados menos dos, multiplicado por 180° o Para un cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 360° y si

los ángulos son iguales son rectos.

Ahora bien: “El número de diagonales de u polígono de “n” lados es igual a la mitad del producto “n” por ( n -3) D = n ( n – 3 ) 2 D= diagonales n = número de lados 2= (mitad del producto de n por (n-3))

la mitad del producto de n por (n-3)

número de diagonales

A B

CD

2

2

4

2

)1(4

2

)34(4D

A B

C

DE

F

9

2

18

2

)3(6

2

)36(6D

Ejemplo 1. Calcula el numero de diagonales de un rectángulo. Ejemplo 2. Calcula el número de diagonales de un hexágono irregular.

Ejemplo 3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1440°? •De la fórmula :

10

180

1800

180

3601440

1803601440

3601801440

180)2(1440

|180)2(

n

n

n

n

ns

multiplicamos

Resolvemos operaciones

Deducimos

Unimos términos semejantes

lados

El polígono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales, el valor “i” de uno de ellos se hace por la fórmula: Ejemplo 1. Encontrar el valor de un ángulo interior de un dodecágono (12 lados) regular.

Valor del ángulo interior de un polígono regular

12

180)2(ni

150

12

1800

12

180)10(

12

180)212(i Sustituimos valores

Resolvemos operaciones

Ejemplo 2. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 140°?

9

40

360

36040

360180140

360180140

180)2(140

n

n

n

nn

nn

n

nSustituimos valores

Resolvemos operaciones

lados, ENAGONO

La suma de los ángulos exteriores de todo polígono convexo es igual a 360°. Todos los ángulos exteriores de un polígono regular son iguales, para hallar el valor de “e” de un ángulo exterior, dividimos 360° entre el número de ángulos que hay: Ejercicio 1. Encontrar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados.

Valor del ángulo EXTERIOR de un polígono regular

ne

360

B

C

D

E

A

1820

360e

Ejercicio 2. Encuentra la longitud de cada lado del paralelogramo A, B, C, D sí su perímetro es de 40 metros.

4

10

40

4010

403232

x

x

x

mxxxx

Sustituimos valores en ecuaciones de primer grado.

Como sus lados son iguales:

Sustituimos:

12)4(3

8)4(2

)(2 x

Perímetro:

P=l+l+l+l

128128

A B

CD

3x

2x

3x

2x

Ejercicio 3. Encuentra el valor de los ángulos del trapecio A, B, C, D.

15

16

240

24016

12036012016

360102591055

x

x

x

x

xxx

Sustituimos valores en ecuaciones de primer grado.

Unimos términos semejantes Despejamos x

D C

BA

3x

2x

3x

5x 2x+10

9x+5105°

Sustituimos:

75)15(5

5x

Sustituimos:

Para A

401030

10)15(2

102x

Para B

401030

10)15(2

1405135

5)15(9

59x

Para C

105

140

40

75

D

C

B

A

Por lo tanto:

Calculo de áreas:

1234xA

bxhA

4

3

8

3

4

6

7

3

1

6

2

122

24

2

38

2

xA

bxhA

12

2

24

2

64

2

A

A

xA

bxhA

12

2

24

2

)3)(8(

2

)3)(17(

2

)(

A

A

A

A

xaBxbA

12

26

A

xA

bxhA

FORMULAS PARA EL CALCULO DE AREAS DE FIGURAS:

bxhA

Tomando la fórmula del área del rectángulo, pueden deducirse las fórmulas para calcular el área de otras figuras usuales.

•Paralelogramo. El área de un paralelogramo es el área de un rectángulo.

b

a

a

b b

a

bxaA

•Triangulo. El área del triangulo es la mitad del área de un paralelogramo.

•Trapecio. Se divide el trapecio en dos triángulos de diferente base pero de la misma altura y se suman sus áreas.

2

bxaA

a a

bb

a a

bb

B

b

altura

Área del trapecio:

2

)(

2

22

xabBA

bxaBxaA

bxaBxaA

•Rombo. El área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

•Polígonos regulares. Uniendo el centro con cada uno de los vértices, un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos iguales como lados tiene:

2

DxdA

Área del hexágono:

2

6

26

xlxaA

lxaxA

D

d

al

Como 6xl es igual al perímetro del hexágono, se tiene:

Área del hexágono: 2

pxaA

NOTA: Para cualquier polígono regular. 2

pxaA p= perímetro

a= apotema