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UNIDAD 2
Clase 3.2
Tema: DESIGUALDADES LINEALES Y SISTEMAS DE
DESIGUALDADES LINEALES
Matemática Básica para Economistas MA99
OBJETIVOS:
• Reconocer una desigualdad de dos variables
• Graficar el conjunto solución de una desigualdad lineal de dos variables.
• Reconocer a un sistema de desigualdades lineales.
• Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineal de dos variables.
pag.: 302 - 306
Una aplicación muy importantede las desigualdades a losnegocios y a las ciencias sociales es en la ProgramaciónLineal la cual se utiliza para encontrar el costo mínimo, la máxima ganancia, la cantidadmáxima de ingresos que pueden obtenerse en condiciones dadas, etcétera. Los procedimientos para resolver problemas de programación lineal los concibió en 1947 el matemático norteamericano George Dantzig, mientras trabajaba en un problema sobre como asignar recursos para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos de manera que se minimizara el costo total.
INTRODUCCIÓN George Dantzig
Si cada lapicero cuesta S/. 2 y cada lápiz S/.1,5 ¿cómo expresa el gasto que puede realizar si dispone de S/.100?
¿Cómo expresa esta situación?
Una desigualdad lineal con dos variables “x” y “y” puede escribirse en la forma:
ax+by+c < 0 (puede ser >, > , < )
Donde a y b son constantes, con a y b noambas cero.
Definición:
Geométricamente, la solución de una
desigualdad lineal en x e y consiste en todos
los puntos (x;y) en el plano cuyas coordenadas
satisfacen dicha desigualdad. Esta corresponde
a una región del plano.
y > mx +b
y
x
y < mx +b
y = mx +b
Gráfica de una desigualdad lineal
1. Se grafica la
ecuación y=mx+b
2. La gráfica de y >mx+b es la región que se encuentra sobre la recta y =mx+b.
3. La gráfica de y <mx+b es la región que se encuentra debajo de la recta y=mx+b.
Si la desigualdad contiene a > ó < se considera todos los puntos de la recta como parte de la región solución.
Determine la región que representa al conjunto solución de la desigualdad :
2(2x-y)<2(x+y)-4
La desigualdad es
equivalente a:
4x-2y < 2x +2y – 4
y > x/2 +1
y
x
1
-2
y > x/2 +1
Ejemplo:
Solución:
Ejemplo:
Graficar todas las soluciones de la desigualdad:
2x+3y 6
• Grafique la recta 2x +3y= 6
• Tome algunos puntos al azar para ver si satisface la desigualdad.
Solución:
2x + 3y 6
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
1
-1
(-1,1) . . (3,1)
(-1,1) 2(-1) +3(1) 6 está en la gráfica
(3, 1) 2(3) +3(1) > 6 no está en la gráfica
Sistema de desigualdades
La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simultánea todas las desigualdades dadas.
Geométricamente es la región común a todas las regiones determinadas por las desigualdades.
Conjunto de dos o mas desigualdades
Graficar la región que corresponde al conjunto solución del sistema :
y -2x +10 y x - 2
y = x-2
y = -2x +10
y----------
- - - - - - - - - - -
Recuerde:
Una recta continua está incluida en la solución mientras que una recta punteada no lo está
Solución:
1. Graficar el conjunto solución del sistema:
2x - y > 3 x y2y - 3 > 0
EJERCICIOS:
2. Un accionista planea invertir a lo más $30 000
en dos inversiones A y B. La acción A está
valuada actualmente en $165 y la acción B en
$90 por acción. Si el accionista compra x
acciones de A y y acciones de B, grafique la
región del plano XY que corresponde a las
posibles estrategias de inversión.
Resuelva ud.:
pag.: 306 - 307
Ejercicios: 21, 22, 23, 27 y 29