1

Probabilidad II

Unidad 1

Arreglos aleatorios

Clave

50920415

Octubre de 2011

2

II. Desarrollo de contenidos por unidad

Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Presentación de la unidad

Cuando se analizan situaciones aleatorias del entorno, generalmente no se interesa en

un espacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen

una característica común, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no

ocurrencia de tal evento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer análisis

cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, para su interpretación es

necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos teóricos

sobre arreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de

ocurrencia y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que

permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.

Propósitos

Al finalizar la unidad:

Clasificarás elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos.

Determinarás una función de densidad conjunta mediante la distribución de dos

variables.

Utilizarás variables aleatorias condicionadas para obtener una distribución

condicional.

Competencia específica

Generar un sentido teórico y práctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de

resultados en las diversas situaciones que así lo requieran en problemas de su profesión.

3

1.1. Definiciones básicas

Dentro de la ciencia de las matemáticas, la teoría de la probabilidad es responsable del

estudio de los experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que al repetirse

bajo las mismas condiciones iniciales, no produce el

mismo resultado.

Partiendo de esto, la teoría de la probabilidad es

responsable de modelar matemáticamente cualquier

experimento aleatorio ubicando arreglos aleatorios.

Un arreglo aleatorio es un conjunto, agrupación o

zona de almacenamiento continuo, que contiene una

serie de elementos o variables del mismo tipo,

asociados a un proceso, cuyo resultado no es

previsible más que en razón de la intervención del

azar. El estudio de los fenómenos aleatorios queda

dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad.

1.1.1 Sigmas álgebras

Sigma álgebra denotado por - algebra es una colección de subconjuntos del espacio

muestral que contiene el conjunto vacío ø y es cerrada bajo uniones contables y

complementación de esos subconjuntos.

Observa que el conjuntó potencia 2x siempre es un una - álgebra del conjunto X

Un espacio muestral puede tener más de un -álgebra, y puede aplicar con las

operaciones de conjuntos más comunes (unión, intersección, complemento, diferencia,

etc.)

Notación (conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto.

Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos

de X, este conjunto se le llama conjunto potencia de X

Definición de σ-algebra, espacio medible o evento. Una colección F de

subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si cumple las siguientes condiciones:

4

X ∈ F.

F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \A∈ F.

F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y

B =i∈N Ai, entonces B ∈ F.

Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene

como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en

cuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω, y matemáticamente

se le considera entonces como un conjunto arbitrario.

Espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, F, P), en donde Ω

es un conjunto arbitrario, F es una σ-algebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de

probabilidad definida sobre F.

1.1.2. Ejemplos

Ejemplo 1.

Se tiene S= 1, 2, 3, 4

Evaluar si S=Ǿ, 1, 2, 3, 4 es -álgebra

Para resolver este planteamiento, Tendríamos que consultar las tres condiciones que nos

permiten verificar su pertenece a un -álgebra o no.

Solución:

La condición 1 se cumple, si A= Ǿ entonces su complemento Ac = 1, 2, 3, 4, y de

esta manera también se cumple la condición 2.

Verificando la condición 3 si A1 = Ǿ, A2 = 1, 2, 3, 4 entones la condición de ambos

conjuntos también pertenece al -álgebra An € S

Ejemplo 2.

Sea el conjunto S = 1, 2, 3, 4,

2. Evaluar si el conjunto S es -álgebra: S = Ǿ, 1, 2, 2, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4

Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fácilmente. Para

el caso de la segunda condición A=2, su complemento Ac está en el conjunto S y todo

esto se da para todo conjunto potencial A.

5

Actividad 1. Sigma álgebra

Al finalizar la actividad serás capaz de:

Identificar un sigma álgebra.

Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.

De acuerdo a lo descrito en el tema 1.1 Definiciones básicas. Realiza lo siguiente:

1. Descarga el documento sigma álgebra. Ubicado en la pestaña de la unidad 1.

2. Observa la imagen y clasifica los elementos que pueden ser un conjunto y una

sigma álgebra.

3. Entra al foro sigma álgebra y presenta tu propuesta en el foro.

4. Entra al foro, lee con atención las propuestas de tus compañeros y comenta una

de las propuestas de tus compañeros. No olvides que debes realizar tus

comentarios con claridad, precisión y respeto.

5. Concluye la actividad del foro mencionando un ejemplo de conjuntos con los

elementos que lo componen.

6. Consulta la Rúbrica de participación del foro en la sección Material de apoyo.

1.2. Distribuciones

Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de

probabilidad, en donde está implícito el azar y donde podemos tener diversas variables

para dar solución o enfoque a los resultados solicitados.

Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:

Distribución Uniforme

Distribución de Bernoulli

b,axab

1)x(f

)b,a(x

ab

ax)x(F

)1,0(xP1)x(F)x1)(P1(Px)x(f

6

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución Hipergeométrica

Distribución Multinomial

Distribución Gamma

Distribución Exponencial 0xa1)x(Fae)x(f axax

Distribución Beta

Distribución de Weibull

Distribución de Gumbel

Distribución Logística

Distribución de Pareto

rnr )P1(Pr

n)rS(P)r(f

!ke)kX(P

kλλ

kx x

k

x

1

k1

kk11 PPxx

!n)xX,,xX(P

0x,dueu)a(

1)x(Fex

)a(b

1)x(f

b/x

0

u1ab

x

1a

a

ΓΓ

)1,0(x)x1(x)b,a(

1)x(f 1b1a

β

0x0)X(F

0xe1)X(F

0x0)x(f

0xxea2)x(f

22

22

xa

xa2

xb

xaexpexp)X(F

xb

xaexp

b

xaexp

a

1)x(f

x

b

axexp1

1)x(F

x

b

axexp1b

b

axexp

)x(f

bx0)x(f

bxxab)x(f 1aa

)!nN!*(n

!N

)!knN)!*(kn(

!N

)!kN!*(k

!N

n

N

kn

N

k

N

)xX(p 2

2

1

121

7

Distribución de Laplace

Distribución de Cauchy

Distribución Geométrica

Distribución Erlang

f x x x x( ; , )

( )exp( / ),

101

1.2.1. Distribución conjunta

Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad común (£.A, P ).

Se les llama función de distribución conjunta o simplemente distribución conjunta de X y

Y, a la función.

F(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)

Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y(x, y) o en su caso F(x,y). Estas dos

formas indican que es una distribución conjunta de X e Y.

Para representarlo gráficamente y poder darle una definición, se pude mencionar que la

F(x,y) es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda

abajo y a la izquierda del punto (x,y), incluyendo el borde.

Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:

F(x,y) = P(w: X(w) ≤ x ∩ w: Y(w) ≤ y)

b

xaexp

2

11)x(Fy

b

axexp

2

1)x(F

xb

axexp

b2

1)x(f

x

b

axarctan

1

2

1)x(F

b)ax(

b)x(f

22 ππ

r)P1(P)r(f

y (x,y)

x

a

d (x,y)

b

b

c

a

8

Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos.

P(a < X ≤ b, c<Y ≤ d) = P(X ≤ b, Y ≤ d) – P(X ≤ b, Y ≤ c)

- P ( X≤ a, Y ≤ d) + P(X ≤ a, Y ≤ c)

= F (b, d) – F(b, c) –F(a, d) + F(a, c)

Propiedades

Si manejamos una distribución conjunta de dos variables debemos de tomar en cuenta las

siguientes propiedades:

F(x, y) es creciente en cualquiera de las dos variables. Un ejemplo, si x<x´ entonces:

w: X(w) ≤ x w: X(w) ≤ x´

Por lo tanto

F(x; y) = P (w: X(w) ≤ x ∩ w: Y (w) ≤ y)

≤ P (w: X(w) ≤ x´ ∩ w: Y (w) ≤ y)

= F (x´, y)

= ;

Como la función F es creciente en ambas variables se referencia para cualquiera x, y,

0 ≤ F(x,y) ≤ 1

La función F(x, y) es continua por la derecha en cualquiera de sus variables.

Ejemplo: Restaurant de comida rápida cuenta con ventanilla de atención a clientes en

auto o caminando sea X=el tiempo de atención a clientes en auto y Y= el tiempo que se

destina a los clientes que acceden caminando. De tal forma el conjunto de valores

posibles (X,Y) es el rectángulo D=(x,y): 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1. Supongamos que la función

de densidad de probabilidad conjunta de (X,Y) está dada por

Para comprobar que ésta es una función de densidad de probabilidad legitima, se observa

que

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

9

∫

∫

1.2.2. Distribuciones marginales

Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por y

Se denotan por

∑ ∑

De tal forma que para poder obtener la función de probabilidad marginal de X

∑ , con un valor por ejemplo de 100, la distribución de

∑ se suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la

función de probabilidad marginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera

es posible calcular las probabilidades de eventos en los que interviene de manera

excluyen X o Y.

Ejemplo:

En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de

frecuencias absolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable

bidimensional. Calcular las distribuciones marginales de X y de Y,

X \ Y 10 15 20 25 30 35

8 8 10 10 6 0 10

10 10 20 0 14 10 0

12 24 10 10 6 20 10

Respuesta:

La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y, y la última columna

contiene la distribución marginal de la variable X.

X \ Y 10 15 20 25 30 35 nI

8 8 10 10 6 0 10 44

10 12 20 0 14 10 0 56

12 24 10 10 6 20 10 80

nj 44 40 20 26 30 20 180

10

Ejercicios

Sea (x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad.

x/y 0 1 2 3

1 0 3/5 2/5 1/5

2 1/5 0 0 1/5

Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

1.2.3. Vectores aleatorios discretos

Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por

una función de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles

valores.

Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando sólo puede tomar un número finito

o numerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble

entrada

X\Y y1 y2 y… yn

x1

x2

x… P( X=xn,; Y=yn )

xn

1.2.4. Densidades y densidades marginales

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por y

vienen dadas por

∫

∫

11

1.2.5. Distribuciones condicionales

Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad

conjunta y la función de densidad de probabilidad marginal , se tiene que

para cualquier valor de x de X para el que , la función de densidad de

probabilidad condicional de Y dado que X=x es

*Notese que la formula es muy proxima a la probabilidad condicional de que

Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio A

Ya sabemos que si P(A) > 0

Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y),

entonces (a) se convierte en

Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la función de probabilidad conjunta y f1 (x) es la función de

probabilidad marginal para X. Definimos

Y la llamamos función de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la

función de probabilidad condicional de X, dado Y, es

Definición. (Función de distribución condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio

absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y), y sea y tal que fY (y) ≠ 0. A

la función

∫

12

Se le conoce como la función de distribución condicional de X dado que Y toma el valor y.

Actividad 2. Identificación de variables

Propósitos

Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que

identificar la función de distribución de dos variables.

1. Resuelve los siguientes ejercicios en un documento de Word.

Ejercicio. Revisa las siguientes variables y asigna la letra que corresponda:

( ) Variable

independiente

a)

( ) Variable continua b)

( ) Variable aleatoria

discreta

c)

( ) Variable aleatoria d)

2. Envíatu documento con la nomenclatura:PRO2_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

3. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).

Actividad 3. Agencia automotriz

Al finalizar la actividad serás capaz de determinar una función de densidad conjunta

mediante la distribución de dos variables, aplicado en actividades que pueden realizar

robots en una agencia automotriz.

13

1. Descarga el documento “Agencia automotriz”. ubicada en la pestaña de la unidad

1

2. Lee y resuelve el problema que ahí se plantea.

3. Envía tu documento con la nomenclatura PRO2_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).

Actividad 4. Distribución condicional

Propósitos

Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio el cual implica un el desglose

de distribución condicional.

1. Descarga y resuelve el siguiente problema: “Distribución condicional”, ubicada

en la pestaña de la unidad 1.

2. Envía tu documento con la nomenclatura: PRO2_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

3. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).

1.3. Independencia

Dos eventos A y B son independientes si P (A|B)=P(A), de lo contrario son dependientes

o son independientes si y solo si la probabilidad de que ocurran ambos es el

producto de cada una de las probabilidades y lo podemos comprobar mediante

14

Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta

el resultado del otro, para representar esta definición podemos ejemplificarlo de la

siguiente manera:

Ejemplo 1: Eventos independientes.

Lanzamiento de moneda (Primer evento)

El resultado puede ser cara o cruz

Lanzamiento de moneda (2° evento)

El resultado puede ser cara o cruz y no

depende del resultado del primer evento

Estos dos eventos son independientes

Ejemplo 2: Eventos no independientes

¿Cuál es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?

Son eventos no independientes o dependientes

Ejemplo:

Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una

probabilidad de no ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido

El resultado del tiro

del Primer dado

El resultado del tiro

del segundo dado

15

de 0.1, si este equipo de ventas participa en dos negocios con las mismas características

determine la probabilidad de que:

a) Obtenga ganancias en el segundo negocio

b) Obtenga ganancias en ambos negocios

c) Obtenga ganancias en uno de los dos negocios

d) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio

Si representamos gráficamente el problema tendríamos lo siguientes:

Si identificamos el espacio muestral nos quedaría de la siguiente forma:

(GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP)

Solución:

a) p (Ganancias en el Segundo Negocio)

= p (GG, GE, GP)

= (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1)

= 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06

= 0.48

b) p (Gane en ambos negocios)

p (G, G)

= (0.6) (0.6)

= 0.18

0.6 gane

• 0.6

• 0.3

• 0.1

0.3 ni gane , ni pierda

• 0.6

• 0.3

• 0.1

0.1 pierda

• 0.6

• 0.3

• 0.1

16

c) p (Gane en uno de los negocios)

= p (GE, GP, EG, PG)

= (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6)

= 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06

=0.48

d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio)

= p (GE)

= (0.6)(0.3)

= 0.18

Ejercicio:

Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento.

En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las

que compite, si este boxeador participara en tres peleas en categorías diferentes, en los

próximos 5 meses, determina la probabilidad de que:

a) Gane dos de las peleas

b) Si ganara dos peleas, ¿Cuál es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera?

c) Qué gane la segunda pelea

1.3.1. Convolución

La convolución se puede mencionar que es un operador matemático por el cual dos

funciones de transforman f y g en una tercera función, la cual se estudia, para ver la

magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.

La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del

producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia Ƭ, es

decir:

( f * g ) ( t ) = ∫

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las

funciones, en el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo

como extendidas.

17

Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones:

f ( t ) = e t y g ( t ) = Sen ( t )

Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integración por

partes:

e t * Sen (t) = ∫

=

Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar,

como se aprecia a continuación:

Ley Conmutativa: f * g = g * f

Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h )

Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f * h

La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniería y

matemáticas, como veremos a continuación.

1.3.2. Aplicaciones de la Convolución

Algunas de las aplicaciones de convolución, las enlistamos a continuación:

Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede

mencionar que es la convolución de cada una de sus distribuciones de

probabilidad

En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolución.

En óptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo

la sombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la

convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que

se está proyectando

18

En el campo de la acústica se representa una convolución cuando el sonido

original están en función con los objetos que la reflejan.

Este es un ejemplo de convolución en un dispositivo óptico

Autoevaluación

Felicidades, haz llegado al final de la Unidad.

Para finalizar la unidad resuelve el siguiente crucigrama, al contenido visto en la unidad.

Analiza cada pregunta y de acuerdo a eso anota la respuesta en el número del cuadro

que corresponda.

HORIZONTALES

1. σ-algebra ¿es un evento o espacio?

2. Es un tipo de variable al cual no se le puede medir exactamente

VERTICALES

3. son los elementos de un conjunto

4. Es el tipo de distribución donde X es simplemente la Ley de probabilidad de X

haciendo caso omiso de la información de Y.

5.

esta es una función de probabilidad

PSF

Objeto

Imagen

19

Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribución condicional

Al finalizar la actividad serás capaz de resolver ejercicios que implican el desglose de

distribución condicional.

1. Descarga el documento llamado “Estudio distribución condicional”.ubicada en la

pestaña de la unidad 1.

2. Resuelve el problema que en el documento se plantea.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U1_EA_XXYZ.

4. Recuerda sustituir las XX por las dos primeras de tu primer nombre, la Y por la

inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía el documento a tu facilitador (a) mediante la herramienta de Portafolio de

Evidencias.

20

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que

también se toman en cuenta para la calificación final.

Para saber más

Puedes revisar la siguiente página:

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm

La información mencionada en la página de Gestiopolis.com te permitirá obtener un

panorama más amplio de distribución de probabilidad, variable aleatoria y valor esperado.

Podrás obtener un ejemplo específico y determinar procesos de mejora para resolver los

ejercicios planteados en el programa desarrollado.

Otra página que te recomendamos consultar es:

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html

Fuentes de consulta

Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y

ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill.

Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad. México: Departamento de

matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.