Clculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoUNIDAD 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO.1.1 MEDICIN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.1.2 NOTACIN SUMATORIA.1.3 SUMAS DE RIEMANN. 1.4 DEFINICIN DE INTEGRAL DEFINIDA. 1.5 TEOREMA DE EXISTENCIA. 1.6 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.1.7 FUNCIN PRIMITIVA.1.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO. 1.9 CLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.1.10. INTEGRALES IMPROPIAS.UNIDAD 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO.Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCO12345Clculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculo1.1 MEDICIN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.Amorfa= sin forma determinadaActividad 1Ejercicio: A partir del anlisis de las figuras planas amorfas propuestas determina el rea de cada una de ellasA partir de los resultados llene la siguiente tablaNo. de figurarea calculadaMtodo de solucin 1Mtodo de solucin 2Mtodo de solucin 3.% de error en el clculo del rea.12345Escribe lo que concluyes a partir de la observacin y anlisis de los resultados obtenidos.Repite el ejercicio, calcula el rea de las siguientes figuras limitadas por las curvas en el plano:

Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculo A partir de los resultados llene la siguiente tabla.No. de figurarea calculadaMtodo de solucin 1Mtodo de solucin 2Mtodo de solucin 3.% de error en el clculodel rea.12345Escribe lo que concluyes a partir de la observacin y anlisis de los resultados obtenidos.NOTA.Cuandoqueremoscalcular el readeunafigurageomtricatal como: rectngulo, tringulo, paralelogramo, etc. lo que prcticamente hacemos es aplicar alguna frmula algebraica que nos permita realizar el clculo del rea de la figura geomtrica correspondiente, pero si deseamos calcular el rea A bajo la grfica de una funcin continua no negativa f(x) sobre un intervalo [a,b], tal como la que se demuestra en la siguiente figura.Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoEntonces el problema resulta algo ms complicado, en un principio, algo que nos puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el rea A en forma exacta aproximamos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser ms fcil de resolver.Una manera de aproximar elrea A es mediante eltrazo de una cuadricula sobre elplano donde se encuentra el grfico de f(x) como se muestra en la siguiente figura.Despus de dibujarla cuadricula realizamos la suma del rea de los cuadrados que quedan dentro de la grfica y entre los tres segmentos a los lados del rea por calcular, una mejor aproximacinal valor deAlaobtendremossi hacemosunacuadriculamsfina quela cuadricula anterior, es decir, una nueva cuadrcula donde los cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadricula anterior y nuevamente sumar las reas de todos los cuadrados que queden dentro de la grfica y los tres segmentos a los lados delrea A por calcula, desde luego elproceso de la cuadricula podra continuar para conseguir obteniendo una mejor aproximacin al rea exacta A, aunque como vemos, este proceso es tedioso.Otra manera de realizar la aproximacin al rea A ser mediante la formacin de rectngulos inscritos y circunscritos sobre la grfica de f(x) tal como se muestra en la siguiente figuraIng. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoEstos rectngulos se forma de la siguiente manera, se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos de extremos.1.2 NOTACIN SUMATORIA.Cuando tenemos una suma en la cual hay dos o ms sumandos, que se repiten o que presentan cierto patrn, se puede abreviar usando la notacin sigma.La suma de n trminos a1, a2, a3, ,an se escribe a a a a a nnii+ + + + ...3 2 11Dondei esel ndicedesuma, aiesel i-simotrminodelasuma, yloslmitesinferiory superior de la suma son 1 y n.Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoLos lmites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del ndice de suma. Sin embargo, el lmite inferior no tiene por qu ser 1. Cualquier entero menor o igualque el lmite superior es permitido.Ejemplos:1.6 5 4 3 2 161+ + + + + ii2. 6 5 4 3 2 1 ) 1 (50+ + + + + + ii3. 49 36 25 16 97 6 5 4 32 2 2 2 2732+ + + + + + + + jj4.( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,_

+ + + + + + + + + + + + + +nnn n nnn n n n nknk1...10 5 211... 131121111112 2 2 221 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f x f x f xxfx x x x nnii + + + + ...3 2 11Observemos que (1) y (2), que una misma suma se puede representar de maneras diferentes mediante la notacin sigma.Aunque se puede usar cualquier variable como ndice de suma, se suelen usar i, j y k.Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoActividad 2Ejercicios: Hallar la suma de:1. +51) 1 2 (ii2. +) 3 ( ) 1 (52k kk3. +40211k k4.531jj 5. ( )[ ] + + 4132) 1 ( 1ii iIng. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculoActividad 3Ejercicios: Usar la notacin sigma para expresar la suma.1. + + + +) 9 ( 31...) 3 ( 31) 2 ( 31) 1 ( 312. ++ ++++++ 15 15...3 152 1 51 153. 1]1

+

,_

+ +1]1

+

,_

+1]1

+

,_

3882 ... 3822 38124.( ) ( ) ( )1]1

+ +1]1

+1]1

441 ...4214112 2 2 Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculo5. ( ) ( )

,_

1]1

+ +

,_

1]1

n nnnnn n n2 2 2...2 2 23 36.( ) ( )

,_

1]1

+ +

,_

1]1

n nnn n2121 ...21212 27. ( ) ( )

,_

1]1

+ + +

,_

1]1

+n nnn n3 31 2 ...3 31 22 28. ( ) ( )+

,_

+ + +

,_

nnn n n111...0112 2Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y ladistributivadelasumarespectodelamultiplicacin. (Enlaprimerapropiedad, kesuna constante).1. niinii akak1 12.( ) + tniiniinii i b a b a1 1 1TEOREMAS.Ing. Pedro Hernndez GallegosITESCOClculo integralUnidad I Teorema fundamental del clculo1.nicn c12.+nin ni12) 1 (3.+ +nin n ni126) 1 2 )( 1 (4.( )+nin ni122341Ejemplo. Realicen la suma de los enteros del 1 al 100Solucin:1 + 2 + 3 + + 100100 + 99 + 98 + + 1 101 + 101 + 101 + + 10150502) 101 )( 100 ( Teorema 21.3 SUMAS DE RIEMANN. Sea f definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea una particin de [a,b] dada por a = x0