UNIDAD 05. TANGENCIAS II. APLICACIÓN DEL …vishub.org/officedocs/5732.pdf · suele identificarse como los Problemas de Apolonio. 1.1 Definición y elementos. Dos puntos alineados

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TANGENCIAS II: APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INVERSIÓN

OBJETIVOS

1 INVERSIÓN

La inversión es una transformación geométrica cuyapropiedad fundamental es mantener la tangencia en-tre las formas; es decir, si dos líneas son tangentes enun punto T , sus inversas también lo son en el puntoT’ , inverso de T .

La aplicación de las propiedades que trae consigo lateoría de inversión , simplifican, enormemente, la so-lución de muchos problemas de tangencias y resuel-ven otros que no encontrarían fácil solución por teoríasvistas anteriormente (homotecia o potencia). Especialinterés constituye su utilización en el trazado de circun-ferencias tangentes a circunferencias y rectas, lo quesuele identificarse como los Problemas de Apolonio.

1.1 Definición y elementos.

Dos puntos alineados con un tercero fijo O , se diceque están en inversión cuando en la correspondenciapuntual de ellos mismos el producto de sus distanciasa O es constante. Esto es, cuando se verifica que:

OA ·OA’ = k 2 (cte.)

La constante, k 2, se llama potencia de inversión ;el punto fijo, O , centro de inversión (C.I. ) ; y lospuntos A y A’, puntos inversos.

1.2 Puntos concíclicos.

De la definición anterior se desprende que cualquierpareja de puntos A y B tiene por inversa a otra pare-ja A’ y B’, respectivamente alineados con el centrode inversión O, de forma que:

OA ·OA’ = OB ·OB’ = k2 (cte.)

Esta expresión hace recordar la definición de poten-cia de un punto respecto a una circunferencia (deahí la denominación de potencia de inversión dada ala constante k 2) y sus consecuencias y propiedades,estudiadas en la unidad didáctica anterior.

Por ello, las parejas de puntos inversos, antes mencio-nadas, se encuentran situadas en una misma circun-ferencia, esto es, los cuatro puntos (A -A’-B -B’) sonconcíclicos; lo que significa que el ángulo αα formadopor el segmento AB con la recta OB es igual al queforma A’B’ con OA’ , puesto que ambos son ángulosinscritos a la circunferencia y abarcan el mismo arco.

Lo dicho verifica que los segmentos definidos por pa-rejas de puntos inversos son antiparalelos respectoa los rayos que contienen a los extremos de dichossegmentos y al centro de inversión.

2 PUNTOS DOBLES EN LA INVERSIÓN

2.1 Circunferencia de autoinversión.

En una inversión de centro O y potencia k 2 existeuna serie de puntos que coinciden con sus inversos.Dado que el producto de distancias del centro de in-versión a los puntos inversos ha de ser constante eigual a la potencia (k 2), todos los puntos que distande O una magnitud igual a k coincidirán con sus in-

versos y serán, por tanto, dobles en una transforma-ción directa o positiva , donde cada punto y su in-verso se encuentran en la misma dirección (por defi-nición) y situados en el mismo sentido. Se trata pues,de todos aquellos puntos que conforman una circun-ferencia, denominada de autoinversión , con centroel punto O y por radio k 2= k .

Para diferenciarla de otras circunferencias, gráfica-mente conviene representarla a trazos (en línea fina ydiscontinua).

2.2 Circunferencias ortogonales a la circunferenciade autoinversión.

Cuando se desea hallar la inversa de una circunfe-rencia que corta ortogonalmente a la de autoinversiónse demuestra que la figura inversa es ella misma.Se entiende que dos curvas se cortan ortogonal-mente , cuando sus respectivas rectas tangentes,en el punto de contacto, son perpendiculares.En consecuencia, se cumple:

OT 2 = OA ·OA’ = OB ·OB’ = … = k 2 (cte.)

De tal forma que parte un de determinado arco de lacircunferencia y tiene por inversa a la otra parte dela misma, y viceversa. Nótese que los cuatro puntosA -A’ y B - B’ son concíclicos.

Por ello, se puede enunciar que la circunferencia esdoble por coincidir con su transformada, aunque node puntos dobles, al no coincidir los puntos con susinversos.

3 DETERMINACIÓN DE PUNTOS INVERSOS

Dada una inversión de centro O y potencia k 2 se tra-ta de determinar, gráficamente, el punto inverso deotro dado.

Si el punto dado A es interior a la circunferenciade autoinversión ( fig. 3.1) el proceso de construc-ción para determinar su punto inverso (A’) es co-mo sigue:

- En la recta que une el centro de inversión O con elpunto A se encuentra el inverso de éste (A’).

- Por el punto A se traza la perpendicular a la rectaanterior (OA) que corta a la circunferencia de autoin-versión en el punto doble B . Por él se lanza la tan-gente que intersecciona a la recta OA en el puntoA’, inverso de A .

Si el punto es exterior a la circunferencia de autoin-versión ( fig. 3.2 ), el proceso de construcción es elmismo, pero recorrido en sentido contrario. Es el ca-so de partir de conocer A’ y tener que determinar laposición de su inverso, el punto A .

El proceso descrito se fundamenta en el antiparale-lismo antes mencionado, consistente en que si AB esperpendicular a OA , el segmento A’B’ ha de serloigualmente a OB’. Nótese que, considerando el trián-gulo OBA’, rectángulo en B, el cateto OB = k es me-dia proporcional o geométrica de su proyección OAsobre la hipotenusa y de la magnitud (OA’) de esta.

1. Relacionar –como transformación geométrica basada en la proporcionalidad inversa– el conceptode inversión en el plano con el de potencia de un punto respecto a una circunferencia.

2. Valorar y analizar las posibilidades que ofrece la inversión en el plano al simplificar los problemasde tangencias e imprimirles elegancia y precisión en su trazado.

DEFINICIÓN Y CONSECUENCIA

A

A’

AUTOINVERSIÓN

O

B B'

A A'

C C'

k

1.1 Inversión de centro O y potencia k2.

O

(C.I.)

A

α

α

A’

B

B’

O

r

s

(C.I.)

1.2 Las parejas de puntos inversos sonconcíclicos.

OA · OA’ = OB · OB’ = k2 ( cte.)

Cir

cunf

er

encia

de autoinversión

2.1 Circunferencia de autoinversión.

OA · OA’ = k2 ( cte.)

OA · OA’ = OB · OB’ = OC · OC’ = k2

luego: OA = OB = OC = k2

OA2 = OB2 = OC2 = k2

DETERMINACIÓN DE PUNTOS INVERSOS

CIRCUNFERENCIA DOBLE

O

Ak

O

A’k

k

A A’

B B’

O

A A’

B B’

O

90°

A

B’

A’

BO

M

k

Circu

nf. de autoinversi

ón

T T’

c’c

OT2 = OA · OA’ = OB · OB’ = … = k2

c c’CIRCUNF. CIRCUNF.

2.2 Las circunferencias ortogonales a laautoinversión son dobles.

DATOS:

Circu

nf.

de

autoinversión

DATOS:

Circu

nf.

deautoinversión

A A’PUNTO PUNTO

A’ APUNTO PUNTO

3.1 Determinación de A’ como puntoinverso del punto A.

3.2 Determinación de A como puntoinverso del punto A’.

k

PASO DE

PASO DE

PASO DE

62

4 FIGURA INVERSA DE UNA RECTA

Dada una inversión definida por la posición de sucentro O y por una potencia de inversión k 2, pue-den darse dos posiciones relativas entre la rectay el centro de inversión: que la recta pase por elcentro O de inversión, o que no pase por él.

Analicemos, para cada caso, la determinaciónde la figura inversa de la recta.

4.1 Figura inversa de una recta que pasa porel centro de inversión.

En este caso, los distintos puntos de la recta tie-nen sus inversos sobre la misma, por lo que sepuede enunciar que la figura inversa de unarecta que pasa por el centro de inversión escoincidente con la recta dada, siendo una figu-ra doble, aunque no de puntos dobles, ya quecada punto no coincide con su transformado.

Al punto O, centro de inversión, le correspon-de el punto impropio O’∞ sobre la recta r con-siderada (fig. 4.1) .

5 FIGURA INVERSA DE UNACIRCUNFERENCIA

Conocido el centro de la inversión y su potencia,lo que significa tener definido el radio de la circun-ferencia de autoinversión, pueden darse dos si-tuaciones de una circunferencia respecto al centroO de la inversión: que la circunferencia dada pa-se por el centro de inversión o que no le contenga.

5.1 Figura inversa de una circunferencia quepasa por el centro de inversión.

Cuando la circunferencia r dada, de centro M yradio conocido, pasa por el centro de inversiónO, su figura inversa será una recta perpendicu-lar a la recta OM ya que, dado que la inversiónes una transformación geométrica biunívoca, es-taremos ante el caso recíproco al de la figura in-versa de una recta que no pasa por el centro deinversión, analizado anteriormente.

Por ello, se considera el punto P, diametralmenteopuesto al centro O , y se halla su inverso P’. Larecta r’, perpendicular a OP, es la figura inversade la circunferencia r dada.

Si la circunferencia c dada, de centro M y radioconocido, no pasa por el centro de inversiónO, su figura inversa es otra circunferencia, ho-motética con relación a dicho centro, que tam-poco pasa por el centro de inversión.

Su trazado, más rápido, es como sigue:

- Desde el centro de inversión se trazan las rec-tas tangentes a la circunferencia dada, que loserán a la figura inversa de ésta. Consideremosúnicamente una de las dos; por ejemplo, en lafig. 5.2 , vamos a operar con la tangente t1.

5.2 Figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

- Localizado el punto de tangencia T se determi-na su inverso T’ y, prolongando la recta RT’, elpunto N’ (centro de la circunferencia solución),inverso del punto N (pie de la perpendicular aOM trazada desde el punto T ) .

- Obsérvese cómo el punto inverso del centro Mde la circunferencia dada es el pie M’ de laperpendicular a OM trazada por T’ ; y vicever-sa, el centro N’ de la circunferencia solución(inversa de la dada) tiene como punto inversoel pie N antes mencionado.

4.2 Figura inversa de una recta que no pasapor el centro de inversión.

Partiendo, como siempre, de conocer el centrode la inversión y el valor de la potencia, vamos aconsiderar, separadamente, las tres posibles po-siciones que puede tomar la recta r (dato) conrespecto a la circunferencia de autoinversión: quesea secante, tangente o exterior. En todos ellos, lafigura inversa de la recta siempre es una circunfe-rencia (r’) que pasa por el centro de inversión O.

4.2.1 Caso en que la recta r sea secante a lacircunferencia de autoinversión.

La figura inversa (r’) es una circunferencia quepasa por tres puntos: los puntos dobles A y Bjunto con el centro de inversión O . Asimismo, sudiámetro queda definido por sus extremos O y P’,éste último inverso del punto P, pie de la perpen-dicular trazada a la recta r desde el centro O .

4.2.2 Caso en que la recta r sea tangente.

Cuando la recta es tangente en un punto P a lacircunferencia de autoinversión, la figura inversaes una circunferencia de diámetro OP . Su re-presentación es inmediata ( fig. 4.2.2) .

4.2.3 Caso en que la recta r sea exterior a lacircunferencia de autoinversión.

Análogamente a lo visto en los casos anteriores,el punto P’, inverso de P (pie de la perpendicu-lar trazada desde el centro de inversión O a larecta r dada), determina el diámetro OP’ de lacircunferencia (r’) , como figura inversa de r .

(C.I.)

AB

B’

A’

O

4.1 Las rectas que pasan por O son dobles.

r r’RECTA RECTA

r r’

O’∞

k

O

k

O

k

O

k

B B’

A A’

O PP’

M

P P’

k

MO

k

MO P’ P

r

r’

Secante

C.

de

au

toinversión

Circu

nf. de

autoinversión

Circu

nf. de

autoinversión

Recta secante.4.2.1

DATOS: r

TangenteDATOS:

r’

r

r r’RECTA CIRCUNF.

Recta tangente.4.2.2

DATOS:Exterior

r’

r



Recta exterior.4.2.3

r

r

k

O

k

MO

(C.I.) P P’

r’

r

Circunf. de autoinversi

ón


5.1 Inversa de circunferencia que pasa por O.

DATOS:r

DATOS:

O

k

R

O(C.I.)

T’

M’ N’ N

T

M

t1

t2

c

c’

k

Circunferencia de autoin

vers

ión

c

5.2 Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión O.

PASO DE

cCIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA

c’

63

6 LA INVERSIÓN CONSERVA LOS ÁNGULOS

La inversión es una transformación conforme, esto es,una transformación que conserva los ángulos que for-man dos líneas entre sí.

Se denomina ángulo de una recta r con una curva c( fig. 6a) al que forma la recta con la tangente a la curvatrazada por su punto común T. De igual modo, el ángu-lo que forman dos curvas, c1 y c2 , al cortarse ( fig. 6b) ,viene dado por el ángulo formado por sus tangentesrespectivas trazadas por el punto intersección P.

Por lo dicho se desprende que dos circunferencias tan-gentes entre sí forman un ángulo de 0° (fig. 6c) .

Si el ángulo es recto, los arcos o las circunferencias a quepertenecen se denominan ortogonales.

La inversión, por tanto, conserva las tangencias, lo quepuede enunciarse así: «Dos figuras originales tan-gentes tienen por inversas dos figuras también tan-gentes y los puntos de tangencia (pareja de inver-sos) están alineados con el centro de inversión».

7 APLICACIONES

La aplicación de la teoría de inversión se dirige, fundamen-talmente, a la resolución de ejercicios de tangencias; loque permite resolver numerosos problemas geométricos,entre los que se destaca la determinación de circunferen-cias tangentes que, en un principio, se tornan complejos.Para ello, es conveniente elegir el centro y la potencia deinversión adecuados, como se verá en las aplicacionesque siguen: se pretende reducir el problema a trazar rec-tas tangentes a circunferencias y no de éstas entre sí.

7.1 Circunferencias que pasan por los puntos (P y Q)y son tangentes a otra de centro O .

Este problema, resuelto en la U.D. anterior mediante elempleo de la teoría de potencia, tiene fácil e ingeniosotratamiento aplicando la teoría de inversión; lo que sig-nifica invertir los datos para simplificar el tratamiento desu solución.

• Proceso a seguir:

- Siempre que se tenga que hacer pasar una circunferen-cia por un punto se utilizará éste como centro de inver-sión (en la figura, el punto Q ).La potencia de inversión se condiciona a que uno cual-quiera de los datos tenga por inverso él mismo, lo quesimplifica el proceso. Así, sabiendo que toda circunfe-rencia ortogonal a la de autoinversión es doble, se con-diciona a que ésta tenga por radio el segmento de tan-gente QR . Con ello, la figura inversa de la circunferenciac es ella misma (c’). Asimismo, se halla P’, inverso de P.

- Las rectas tangentes t’1 y t’2 , trazadas desde P’ a la cir-cunferencia c’, tienen como figuras inversas las circunfe-rencias t1 y t2 que, siendo tangentes a la circunferen-cia c , pasan por el punto Q (centro de inversión) y porP , inverso de P’ .

- Los puntos de tangencia T1 y T2 de la circunferencia ccon las circunferencias solución son inversos de los detangencia T’1 y T’2 de las rectas t’1 y t’2 , respectiva-mente, con la circunferencia c’ inversa de la c dada.El esquema conceptual que se adjunta (fig. 7.1) mues-tra la mecánica del proceso de inversión empleado pararesolver el ejercicio. Invertir los datos (circunferencia c ypuntos P y Q ) facilita el planteamiento inicial: suponetrazar rectas tangentes a circunferencias, en vez de tra-zar circunferencias tangentes a otras circunferencias(datos) y, en consecuencia, conseguir precisión en el tra-zado de la solución final.

LA INVERSIÓN ES UNA TRANSFORMACIÓN CONFORME

β

t1t2

c2

c1

T

α = 0°

c2

T

c1

t2

t1

6a Ángulo entre la recta r y la curva c.

Tt

r

c

α

6b Ángulo entre dos curvas secantes c1 y c2. 6c Ángulo entre dos circunf. tangentes c1 y c2.

Q (C.I.)

O

P’

T’2

T’1

Q

O

P

T2

T1

Q (C.I.)

O

P’

kQ

O P P

DATOS:

c c c’

DATOS INVERTIDOS

c’

RECTAS TANGENTESA LOS DATOS INVERTIDOS

t’1

t’2

REINVERSIÓN YCIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

c

t1

t2

7.1 Circunferencias que pasan por dos puntos ( P y Q ) y son tangentes a otra circunferencia c.

Q (C.I.)

P

O

c c’

P’

T’2

T’1

t’1

t’2

T2

T1 S1

S2

R R’

t2

t1

C. de autoinve

rsi

ón

k

CIRCUNF. t2 t’2 RECTA


ESQUEMA CONCEPTUAL

c

P

Q

CIRCUNF.

PUNTO

PUNTO

c’

P’

C.Inversión

CIRCUNF.

PUNTO

SOLUCIONES TANG. INVERSASDATOS INVERSOSPPc

64

7.2 Circunferencias que pasan por un punto( P) y son tangentes a otras dos, c1 y c2 .

- Se considera como centro de inversión el pun-to P y se toma como radio de la circunferenciade autoinversión el segmento de tangente tra-zado desde P a una de las dos circunferen-cias dadas: en la fig. 7.2 , el segmento PR ala curva c1 . Con ello, la circunferencia c1 tienepor figura inversa c’1 , es decir, ella misma.

- Se trazan las rectas tangentes a las circunfe-rencias c’1 y c’2 . Dado que es posible trazarcuatro rectas tangentes a las dos circunferen-cias (dos exteriores y otras dos interiores), elproblema cuenta con cuatro posibles solucio-nes. En la fig. 7.2 se han trazado, únicamente,las dos tangentes exteriores, t’1 y t’2 ; lo quetrae consigo que sus figuras inversas (circun-ferencias) sean tangentes exteriores a las cir-cunferencias datos.

- Nótese que los puntos inversos de los 1’, 2’, 3’y 4’ de contacto de las rectas tangentes exte-riores con las circunferencias c’1 y c’2 serán lospuntos de tangencia 1, 2 , 3 y 4 de las circun-ferencias t1 y t 2 (soluciones) con las circunfe-rencias dadas ( c1 y c2 ) , respectivamente.

El esquema conceptual indicado en la parteinferior, junto al tratamiento gráfico de los ele-mentos que se consideran en cada paso (ex-puestos en la parte superior), determinan lamejor síntesis de clarificación al proceso se-guido.

DATOS: DATOS INVERTIDOS RECTAS TANGENTES EXTERIORESA LOS DATOS INVERTIDOS

REINVERSIÓN YCIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

k

P (C.I.)

c1 c’1

c2

c’2

P

c1

c2

1’

2’

3’

4’

P (C.I.)

c’1

c’2

t’1

t’24

P

12

3

t1

t2

c1

c2



ESQUEMA CONCEPTUAL

c1

c2

P

CIRCUNF.

PUNTO

PUNTO

c’1

c’2

C.Inversión

CIRCUNF.

PUNTO

SOLUCIONES TANG. INVERSASDATOS INVERSOS

EXTERIORES EXTERIORES

7.2 Circunferencias que pasan porun punto P y son tangentesexteriores a otras dos c1 y c2.

k

c’1

c1

c2

R R’

1’

2’

3’

4’O1

O2

12

S1

3

4S2

t2

t1

P(C.I.)

C

.

de

au

toin

vers

ión

A

A’

c’2

t’2

t’1

Pcc

1. Dibuja la FIGURA INVERSA del cuadrado ABCD, sabiendo que sucircunferencia inscrita es la de autoinversión en la transformacióngeométrica que se propone.

2. Dibuja la FIGURA INVERSA de la superficie cuadrada ABCD, sabiendoque su circunferencia circunscrita es la de autoinversión en la trans-

formación geométrica planteada. Raya o colorea la superficie inversadel interior del cuadrado ABCD.

3. Traza la FIGURA INVERSA del semicírculo dado, conociendo el centro Ode la transformación geométrica y un par de puntos inversos P y P’. Razo-na la respuesta, dejando en línea fina todas las construcciones auxiliares.

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADATANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS INVERSAS 2

3

1

17

1

2

3C B

AD

C B

D A

O

O

Circunf. de autoinversión

C. de autoin

vers

ión

P’

P

O(C.I.)

1. Dibuja la FIGURA INVERSA del cuadrado ABCD, sabiendo que sucircunferencia inscrita es la de autoinversión en la transformacióngeométrica que se propone.

2. Dibuja la FIGURA INVERSA de la superficie cuadrada ABCD, sabiendoque su circunferencia circunscrita es la de autoinversión en la trans-

formación geométrica planteada. Raya o colorea la superficie inversadel interior del cuadrado ABCD.

3. Traza la FIGURA INVERSA del semicírculo dado, conociendo el centro Ode la transformación geométrica y un par de puntos inversos P y P’. Razo-na la respuesta, dejando en línea fina todas las construcciones auxiliares.


nombre y apellidos


CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS INVERSAS 2

3

1

17

1

2

3C B

AD

C B

D A

O

O


C. de autoin

vers

ión

P’

P

O(C.I.)

M

D’ A’

B’C’

O


CONSTRUCCIÓN

- Para hallar el radio k de la circunferencia de autoinversión se determina la media proporcional o geométri-ca de los segmentos OP y OP’ dados.

- La recta OP es doble porque pasa por el centro de inversión. Los puntos del diámetro OP tienen susinversos en la semirrecta P’O’∞ ya que el inverso de O está en el infinito, el inverso de P es el dato P’ ylos puntos situados entre ambos, al estar a menor distancia de O que P, tendrán sus inversos másalejados que P’ (para que el producto de distancias se mantenga constante: OP · OP’ = k2).

- La semicircunferencia que limita el semicírculo tiene su inversa en una semirrecta c’, pues el centrode inversión pertenece a la circunferencia c.

- Para determinar la superficie de plano que es inversa al semicírculo dado, y que aparece rayada, bas-ta con considerar un punto A y hallar su inverso A’. Recuérdese que parejas de puntos inversos sonconcíclicos.

G G’ E E’

F F’

H H’

OG’

F’

P’

E’

H’

P

H

G E

FC C’ B B’

D D’ A A’

O(C.I.)

P’

P

k

O’∞

O’∞

A

A’

Q

k

Q’

Arco capazde 90°

c’

c

T T’

C. de autoin

vers

ión

VERIFICACIONES

1. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c, CONCÉNTRICA a la de autoinversión.

2. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c , EXTERIOR a la de autoinversión.

O(C.I.)

C. de autoinversión

c

C. de autoin

vers

ión

O(C.I.)

1 2

c

66

VERIFICACIONES

1. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c, CONCÉNTRICA a la de autoinversión.


O(C.I.)

C. de autoinversión

c

C. de autoin

vers

ión

O(C.I.)

1 2

c

1. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c , CONCÉNTRICA a la de autoinversión.


COMENTARIO

- La figura inversa de una circunferencia concéntrica y exterior a la de autoinversión esotra circunferencia también concéntrica e interior a la de autoinversión.

- Tomando un punto cualquiera A de la circunferencia dada y determinando su inversose halla la magnitud OA’ que determina el radio de la circunferencia solución.

c’

c’

AA’

COMENTARIO A LA CONSTRUCCIÓN DEL EJERCICIO DE LA PROPUESTA 2- En este caso, los puntos vértices del cuadrado son puntos dobles por pertenecer a la

circunferencia de autoinversión.

- Las inversas de los lados, al ser rectas que no pasan por el centro de inversión, serán cir-cunferencias que sí pasan por él y por los puntos dobles A A’, B B’, C C’ y D D’.

- La figura inversa del cuadrado ABCD, como en el caso anterior, está formado por cuatroporciones de circunferencias (semicircunferencias), inversas respectivamente de sus la-dos; secantes entre sí por los inversos de sus vértices.

- La superficie inversa del cuadrado es la exterior de las porciones inversas. Así, el puntoP (interior) tiene como inverso el P’ (superficie exterior).

T T’

A A’ B’ B

COMENTARIO

- La figura inversa de una circunferencia exterior a la de autoinversión es otra circunferenciainterior a la de autoinversión.

- Los puntos inversos de los extremos de un diámetro cualquiera de la circunferencia dada,determinan el diámetro de la solución. Así, los puntos A’ y B’, inversos de los extremosA y B, son los extremos del diámetro de la circunferencia solución.

COMENTARIO A LA CONSTRUCCIÓN DEL EJERCICIO DE LA PROPUESTA 1- Los puntos de tangencia del polígono con la circunferencia de autoinversión son dobles

(E E’, F F’, G G’ y H H’ ) y los lados del mismo pueden considerarse como rectasque no pasan por el centro de inversión O.

- Por ello, las figuras inversas de los lados del cuadrado son circunferencias que sí pasanpor el centro de inversión O : es el caso de la circunferencia de centro el punto M, puntomedio de EO, que corta a las diagonales OA y OB en los puntos A’ y B’, respectivamente.

- La figura inversa del cuadrado estará formada por cuatro arcos de circunferencia, secantesentre sí, e inversos de los lados respectivos.

66

Traza, empleando la inversión como transformación geométrica idónea,las CIRCUNFERENCIAS que pasando por el punto exterior P, seanTANGENTES INTERIORES a las circunferencias c1 y c2 de centros O1

y O2 respectivamente.

NOTA.- Las circunferencias soluciones que se piden, juntamente conlas resueltas en el apartado 7.2 de teoría, complementan las cuatrosoluciones que pueden trazarse; esto es, las cuatro CIRCUNFERENCIASTANGENTES a otras dos dadas y que pasan por un punto exterior.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTESA OTRAS DOS DADAS (P c c )

2

3

1

18

O1

O2

P(C.I.)

DATOS DATOS INVERTIDOS RECTAS TANGENTES INTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN



ESQUEMA CONCEPTUAL

c1

c2

P

CIRCUNF.

CIRCUNF.

PUNTO

c’1

c’2

C.Inversión

CIRCUNF.(doble)

CIRCUNF.


INTERIORES INTERIORES

c1

c2

P

8

6

7 5

c1

c2

t4

t3

5’

8’

6’

7’

c’1

P(C.I.)

c’2

t’4

t’3

P(C.I.)

k

c1

c’1

c’2

c2

P

c1

c2

Pcc

Pcc

Traza, empleando la inversión como transformación geométrica idónea,las CIRCUNFERENCIAS que pasando por el punto exterior P, seanTANGENTES INTERIORES a las circunferencias c1 y c2 de centros O1

y O2 respectivamente.

NOTA.- Las circunferencias soluciones que se piden, juntamente conlas resueltas en el apartado 7.2 de teoría, complementan las cuatrosoluciones que pueden trazarse; esto es, las cuatro CIRCUNFERENCIASTANGENTES a otras dos dadas y que pasan por un punto exterior.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTESA OTRAS DOS DADAS (P c c )

2

3

1

18

O1

O2

P(C.I.)

DATOS DATOS INVERTIDOS RECTAS TANGENTES INTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN



ESQUEMA CONCEPTUAL

c1

c2

P

CIRCUNF.

CIRCUNF.

PUNTO

c’1

c’2

C.Inversión

CIRCUNF.(doble)

CIRCUNF.


INTERIORES INTERIORES

c1

c2

P

8

6

7 5

c1

c2

t4

t3

5’

8’

6’

7’

c’1

P(C.I.)

c’2

t’4

t’3

P(C.I.)

k

c1

c’1

c’2

c2

P

c1

c2

Pcc

Pcck

7’6

5

S4

S3

7

8

5’

8’

6’ T

T’

t’3

c’1

c’2

t3

t’4

t4

R R’

VERIFICACIONES

1. Indicar, gráficamente, una INVERSIÓN (centro de inversión y circunferencia de autoinversión) que relacione la circunferencia c con la recta r.

2. Justificar, gráficamente, que la FIGURA INVERSA de la recta r que no pasa por el centro de inversión O, y potencia k2, es una circunferencia que sí pasa por dicho punto.

Cir

cun

f .d

eau

toin

vers

ión

k

O(C.I.)

1

2

r

r

c

68

VERIFICACIONES



Cir

cun

f .d

eau

toin

vers

ión

k

O(C.I.)

1

2

r

r

c



P’P

Q

k

Cir

cunf

. de

autoinversió

n

O(C.I.)

P’P

COMENTARIO

- En un principio se halla el inverso del punto P (pie de la perpendicular trazada a la rectar desde el centro de inversión O ), resultando el punto P’. Como se recordará, la construcciónde puntos inversos se fundamenta en el antiparalelismo existente entre las rectas definidaspor las parejas de puntos inversos A - P y A’- P’ respecto a los rayos OA y OP , formandoángulos de 90°.

- Aplicando el mismo principio a la obtención del inverso de otros puntos, tales como C yD, observamos el cumplimiento del antiparalelismo: las parejas de puntos inversos P -Cy P’- C’ y los rayos OP y OC , o bien, las parejas P - D y P’- D’ con los rayos OP y OD ; loque trae consigo la formación de triángulos rectángulos en A’, C’, D’, etc.

- Al análisis de lo dicho y visto se desprende que los transformados de los puntos de la rectar se encuentran en posiciones desde las que se aprecia el segmento OP’ bajo un ángulo de90°; es decir, se encuentran en el arco capaz de 90° y, por tanto, se posicionan en unacircunferencia de diámetro el segmento OP’.

COMENTARIO

- Los puntos A y B de la circunferencia c y la recta r son dobles; por tanto, la circunferenciade autoinversión pasará por ellos.

- Dado que la circunferencia c y la recta r son figuras inversas, el centro de inversión O seencontrará en cualquiera de los extremos del diámetro de la circunferencia c , perpendiculara la recta r . En la figura, el diámetro OQ, donde se ha considerado el punto extremo Ocomo centro de la inversión que transforma la recta r en la circunferencia c , o viceversa.

- La circunferencia de autoinversión tendrá por centro O y por radio OA = OB = k .

D’

C’

D

C

O(C.I.)

A A’

r’

B B’

A A’

B B’

c’

r’

68

Dibuja, empleando el MÉTODO DE INVERSIÓN, las circunferenciasque, pasando por el punto P sean tangentes a la recta r y a la circunfe-rencia c, de centro O.

NOTA.- De las cuatro posibles soluciones, considerar, únicamente,aquellas circunferencias solución que queden EXTERIORES a la circunfe-rencia dada.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTESA OTRA Y A UNA RECTA ( P r c )

2

3

1

19

r

c O

P



ESQUEMA CONCEPTUAL

c

r

P

CIRCUNF.

RECTA

PUNTO

c’

r’

C.Inversión

CIRCUNF.(doble)

CIRCUNF.



DATOS DATOS INVERTIDOS RECTAS TANGENTES EXTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

P

4

321

rt2

t1

3’

4’

2’

1’

r’

P(C.I.)

t’2

t’1

P(C.I.)

k

c1

c’1

rr’

P

c

r

c’

c

Prc

Prc

Dibuja, empleando el MÉTODO DE INVERSIÓN, las circunferenciasque, pasando por el punto P sean tangentes a la recta r y a la circunfe-rencia c, de centro O.

NOTA.- De las cuatro posibles soluciones, considerar, únicamente,aquellas circunferencias solución que queden EXTERIORES a la circunfe-rencia dada.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTESA OTRA Y A UNA RECTA ( P r c )

2

3

1

19

r

c O

P



ESQUEMA CONCEPTUAL

c

r

P

CIRCUNF.

RECTA

PUNTO

c’

r’

C.Inversión

CIRCUNF.(doble)

CIRCUNF.



DATOS DATOS INVERTIDOS RECTAS TANGENTES EXTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

P

4

321

rt2

t1

3’

4’

2’

1’

r’

P(C.I.)

t’2

t’1

P(C.I.)

k

c1

c’1

rr’

P

c

r

c’

c

Prc

Prc

P (C.I.)

S1

S2

Q

2

1

3

3’

1’

4

4’

2’

Q’

Circunf.

deau

toin

vers

ión

k

t2

r’

t’2

t’1c’

t1

VERIFICACIÓN

En una INVERSIÓN definida por su centro O y el par de puntos inversos A - A’ , hallar el punto B’ inverso del punto B , alineado con A .

O A A’ B

70

VERIFICACIÓN

En una INVERSIÓN definida por su centro O y el par de puntos inversos A - A’ , hallar el punto B’ inverso del punto B , alineado con A .

O A A’ B

En una INVERSIÓN definida por su centro O y el par de puntos inversos A - A’ , hallar el punto B’ inverso del punto B , alineado con A .Ci

rcun

f.de

autoinversió

n

B’ M

Arco capaz de 90°

k

CONSTRUCCIÓN

- Se determina, gráficamente, la media proporcional o geométrica de lossegmentos OA y OA’, dado que debe verificarse, por definición, que:OA · OA’ = k2 (potencia de inversión).

- Determinando el punto medio M del segmento OA’, y haciendo centroen él, se traza una semicircunferencia. La perpendicular trazada a larecta OA por el punto A , determina, por intersección con el arco, elpunto T. La magnitud OT = k determina el radio y, con ello, el trazadode la circunferencia de autoinversión.

- Dibujada la circunferencia de autoinversión es inmediato hallar B’ comoinverso del punto B dado.

k

R R’

T T’

Me

dia

triz

de

OA

’

70

Dibuja, empleando el método de inversión, las CIRCUNFERENCIASTANGENTES INTERIOR y EXTERIOR a las tres circunferencias dadasc1 , c2 y c3 , de centros O1 , O2 y O3 , respectivamente.

NOTA.- Aplicar el procedimiento de dilataciones, a fin de reducir la cir-cunferencia de menor radio a un punto (su centro O1), que se utilizarácomo centro de inversión para resolver la transformación geométrica.

En el caso general se obtienen ocho soluciones. Téngase en cuenta queúnicamente se pide trazar las circunferencias solución que INSCRIBENo CIRCUNSCRIBEN a las tres circunferencias dadas. Las otras seissoluciones posibles se muestran esquematizadas en la parte izquierdade la hoja lo que facilita un rápido análisis gráfico al lector.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES EXTERIORESDE RADIOS DIFERENTES (c c c )

2

3

1

20

DATOS DATOS INVERTIDOSDILATACIÓN NEGATIVA DE LOS DATOS REINVERSIÓN, DILATACIÓN YCIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

RECTAS TANGENTES EXTERIORESA LOS DATOS INVERTIDOS

2*’1*’

3*’

4*’

t*1

t*2

O1(C.I.)

c*3’

c*2’c2

c*2

c1O1

c*3

c3

c2

c1

c3

O1(C.I.)

k

c*2’

c*3

c*3’

c*2

123

4

6

t1

5

t2

CIRCUNF. t2 t*’2 RECTA


ESQUEMA CONCEPTUAL

SOLUCIONES TANG. INVERSAS


DILATACIÓNY

c1

c2

c3

CIRCUNF.

CIRCUNF.

CIRCUNF.

DATOS

O1

c*2

c*3

PUNTO

CIRCUNF.

CIRCUNF.

DILATACIÓN INVERSOS

C. de Inversión

c*’2

c*’3

CIRCUNF.

CIRCUNF.(doble)

ANÁLISIS ESQUEMÁTICO DEL RESTO DE SOLUCIONES

O2

O1

c1

c2

c3

O3

ccc

ccc

Dibuja, empleando el método de inversión, las CIRCUNFERENCIASTANGENTES INTERIOR y EXTERIOR a las tres circunferencias dadasc1 , c2 y c3 , de centros O1 , O2 y O3 , respectivamente.

NOTA.- Aplicar el procedimiento de dilataciones, a fin de reducir la cir-cunferencia de menor radio a un punto (su centro O1), que se utilizarácomo centro de inversión para resolver la transformación geométrica.

En el caso general se obtienen ocho soluciones. Téngase en cuenta queúnicamente se pide trazar las circunferencias solución que INSCRIBENo CIRCUNSCRIBEN a las tres circunferencias dadas. Las otras seissoluciones posibles se muestran esquematizadas en la parte izquierdade la hoja lo que facilita un rápido análisis gráfico al lector.


nombre y apellidos


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES EXTERIORESDE RADIOS DIFERENTES (c c c )

2

3

1

20

DATOS DATOS INVERTIDOSDILATACIÓN NEGATIVA DE LOS DATOS REINVERSIÓN, DILATACIÓN YCIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN

RECTAS TANGENTES EXTERIORESA LOS DATOS INVERTIDOS

2*’1*’

3*’

4*’

t*1

t*2

O1(C.I.)

c*3’

c*2’c2

c*2

c1O1

c*3

c3

c2

c1

c3

O1(C.I.)

k

c*2’

c*3

c*3’

c*2

123

4

6

t1

5

t2



ESQUEMA CONCEPTUAL

SOLUCIONES TANG. INVERSAS


DILATACIÓNY

c1

c2

c3

CIRCUNF.

CIRCUNF.

CIRCUNF.

DATOS

O1

c*2

c*3

PUNTO

CIRCUNF.

CIRCUNF.

DILATACIÓN INVERSOS

C. de Inversión

c*’2

c*’3

CIRCUNF.

CIRCUNF.(doble)

ANÁLISIS ESQUEMÁTICO DEL RESTO DE SOLUCIONES

O2

O1

c1

c2

c3

O3

ccc

ccc

(C.I.)

2

4

1

5

6

k

2*’

S1

S2

3*’

3*3

2*

1*

1*’

4*’4*

t1

t*1

c*’2

t*2

c*2

c*3

c*’3

t2

VERIFICACIÓN

Realiza una sistematización esquemática de los CUATRO CASOS de TANGENCIAS planteados en esta unidad didáctica.

72

VERIFICACIÓN

Realiza una sistematización esquemática de los CUATRO CASOS de TANGENCIAS planteados en esta unidad didáctica.Realiza una sistematización esquemática de los CUATRO CASOS de TANGENCIAS planteados en esta unidad didáctica.

Q

P

P

P

r

P P c : 2 soluciones P c c : 4 soluciones P r c : 4 soluciones

c c c : 8 soluciones

72

Documents

UNIDAD 05. TANGENCIAS II. APLICACIÓN DEL …vishub.org/officedocs/5732.pdf · suele identificarse como los Problemas de Apolonio. 1.1 Definición y elementos. Dos puntos alineados