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UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Ciências Aplicadas
CIDADE UNIVERSITÁRIA DE LIMEIRA
Cálculo II – LE203 - 2º Semestre – 29/11/09
Nome: Lucas Antonio Risso RA 091998
Professor: Dr. Márcio Antonio de Faria Rosa
2009
SUMÁRIO
Nota do autor 3
Apresentação 4
Introdução 5
A escrita dos comandos 6
Tabela de símbolos 7
Comandos elementares 8
Comandos úteis 10
Matrizes 12
Vetores 16
Gráficos 18
Gráficos 2D 18
Gráficos 3D 21
Limite 24
Derivada 25
Integral
O comando Manipulate
26
28
Usando o Mathematica sem escrever os comandos 29
Usos em outras áreas de conhecimento 31
Exercícios resolvidos 33
Considerações finais 37
Bibliografia 38
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 2
NOTA DO AUTOR
Ao ingressar em um curso de graduação, a vida de todo estudante altera-se de forma
significativa. Em um primeiro momento, alguns já se deparam com o dilema de ter que optar por
uma ao invés de outra instituição, isso porque, há poucos meses, a dificuldade talvez fosse a
escolha da carreira a ser trilhada. Além disso, existe também o desafio de, na maioria dos casos,
estruturar sua vida em outra cidade, inclusive passando a morar com alguém que até então
sequer conhecia.
Neste sentido, alguns preferem encarar a situação com otimismo, literalmente como uma
aventura prazerosa, afinal o vestibular já passou. Eis que surge o choque com a realidade: os
tempos são outros, a situação é completamente distinta de todas as outras experiências já
vivenciadas.
Chegara ao fim a rotina colegial de estudar na véspera da prova. E a princípio, toda
dedicação aparenta ser insuficiente quando a disciplina em questão é o Cálculo, o qual eu arrisco
dizer que aos poucos irá construir uma relação de amor e ódio com o calouro dos cursos de
exatas.
A fim de amenizar a situação, para alguns, cômoda até que se acostume com o ritmo da
nova jornada, foram criados programas computacionais de cálculo matemático, cujo objetivo é
auxiliar o estudante, buscando dinamizar e atribuir maior produtividade às longas e necessárias
horas desprendidas para o aprendizado do Cálculo.
Logo, o objetivo exclusivo deste tutorial é poder facilitar o primeiro contato com o
Mathematica®, um dos líderes do segmento de programas ligado ao ensino e a aplicação dos
fundamentos das disciplinas ligadas ao Cálculo.
Portanto, de antemão, esclareço que as instruções aqui disponibilizadas são de caráter
primitivo, buscando ao menos incentivar o uso desta útil ferramenta, e tomara que reduzir a
quantidade de equívocos no preenchimento e uso dos comandos.
Mathematica® é uma marca registrada da Wolfram Inc. A partir desta nota, cairá em desuso o símbolo de marca
registrada (®).
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 3
APRESENTAÇÃO O QUE É O MATHEMATICA?
O software Mathematica, ao lado de outros igualmente conhecidos, como Maple, Máxima,
Octave, MatLab, Mupad etc é um CAS (Computer Algebraic System), nas entrelinhas, algo como
um Sistema Algébrico Computacional.
Um CAS é um programa que busca facilitar o cálculo em matemática simbólica, ou seja,
através de um CAS, é possível calcular com a mesma formalidade do cálculo no papel, seguindo-
se as mesmas regras, e nas versões mais modernas, utilizando-se das mesmas notações.
Este tutorial foi desenvolvido para mostrar alguns conceitos do Mathematica, bem como
possibilitar, para um estudante de exatas, um melhor uso de seus recursos para o estudo de
Cálculo e disciplinas relacionadas. Ainda assim, é válido citar que a versão mais recente
apresenta funções desenvolvidas em outras áreas de conhecimento, tais como finanças,
estatística, ciências biológicas, entre outras. As instruções que compõe este guia fazem
referência à versão 7.0.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 4
INTRODUÇÃO
O Mathematica é um programa de vasta abrangência . O qual possui inúmeras funções, e
por sinal bem desenvolvidas. Podendo efetuar cálculos numéricos, operar expressões algébricas,
gerar uma grande variedade de diferentes tipos de gráficos, incluindo ainda a geração de
documentos com alta qualidade para impressão. Adicionalmente, sua poderosa linguagem de
programação de alto nível permite ampliar seu uso para aplicações que atendam a necessidades
específicas, como por exemplo, cálculo estrutural, séries temporais, redes neurais, entre outras.
O Mathematica é usado por milhões de engenheiros, analistas, cientistas, educadores e
estudantes, aliando uma capacidade computacional inigualada -- incluindo as mais rápidas rotinas
de álgebra linear do mercado – com uma interface avançada, conectividade com Java, .NET,
C/C++, XML e outras. Os recursos do programa incluem computação simbólica (operações com
literais) e numérica, otimização, programação linear, análises e visualização, com gráficos em
duas e três dimensões. Existem também recursos de uma linguagem de programação própria e
possibilidade de criação de documentos Web.
O formato de documentos no Mathematica ,chamado notebook, termo que significa
caderno em inglês, possibilita a geração de arquivos customizáveis para variadas plataformas
indicados para a produção de documentos de alta qualidade para publicação em mídia, seja esta
eletrônica ou impressa.
Uma sempre crescente biblioteca de aplicações (aplication packages) provê soluções
específicas para diversas áreas como engenharia, finanças, estatística, análise de dados, web, e
multi-processamento.
O Mathematica no Brasil está em uso em organizações importantes, como a Petrobrás,
Banco Santander, Furnas, Eletronuclear, Transpetro, CENPES, INPE, Embraer, entre outras. E
no âmbito acadêmico, Mackenzie, USP, UNESP, Unicamp, ITA, FGV, UFRJ já adotaram o
programa.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 5
A ESCRITA DOS COMANDOS
O idioma do Mathematica é o inglês, logo a separação da parte inteira com a parte decimal
é feita usando-se um ponto (“.”) e não uma vírgula, como se utiliza no Brasil. O mesmo caso
acontece no emprego das funções trigonométricas, pela mesma razão o programa adota a
abreviação “Sin” para a função seno, assim como “Limit” refere-se ao cálculo do limite de uma
função.
Ao desejar-se estabelecer uma relação de igualdade entre os termos da direita e da
esquerda, é necessário escrever um duplo sinal de igual(“==”). Como alternativa de praticidade,
quando necessário utilizar o último resultado basta escreve no devido local, o símbolo de
porcentagem(„%‟), analogamente para o penúltimo (“%%”), e assim por diante.
Em tempo, para escrever um comando basta clicar na última linha, logo abaixo das outras
linha já foram utilizadas, digitando os processos que deseja realizar. Para nomear uma sentença,
a fim de reutilizar seu resultado, basta colocar uma letra antes da linha correspondente, como
será exemplificado à diante.
No Mathematica, a linha do comando é reconhecida e referenciada automaticamente como
„ln[n]:=comando inserido‟, enquanto o resultado da operação aparece como „Out[n]= resposta‟,
podendo essa ser dada tanto através de números como de símbolos.
No que diz respeito à execução de um comando, deve-se pressionar as teclas
SHIFT+ENTER, ou de modo equivalente, o ENTER do teclado numérico
Em seguida, atente-se a formatação utilizada para escrever um comando, que não seja
dos mais elementares: Comando[função,{variável,valor mínimo,valor máximo}]
Nota-se que a somente a primeira letra do comando deve ser escrita em maiúscula. Os
colchetes, as chaves e as vírgulas devem estar devidamente posicionados, caso contrário o
comando não será executado. O interessante é que o programa então acusará por meio de cores
qual o sinal faltante. Em caso da existência de mais variáveis, essas devem ser acrescentadas de
modo similar a primeira, atribuindo-se seus valores de mínimo e máximo, respectivamente,
conforme será exemplificado mais a frente. É aconselhável usar parênteses nas sentenças, ainda
mais quando o comando não funcionar na primeira tentativa.
Para incluir uma informação adicional que não deva ser levada em conta como uma
representação de dados basta escrever (*informação) nota-se que o escrito passará para a cor
cinza, como pode ser visto na seção “Exercícios resolvidos”.
Quanto às letras do alfabeto grego e alguns símbolos, para incluí-los basta apertar a tecla
ESC(escape), escrever o termo fornecido na tabela abaixo, onde se encontram apenas alguns
dos principais, e em seguida, usar novamente a tecla ESC.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 6
TABELA DE SÍMBOLOS
Para obter o resultado, ou seja o símbolo desejado, digita-se Esc, o termo da coluna
“Comando” e novamente a tecla Esc.
Comando Resultado
int Símbolo de integral
sumt Símbolo de somatória
prodt Notação de Produtório
ee Notação de exponencial
mesmo que E.
ii Representação da unidade
imaginária, mesmo que I
inf Símbolo de Infinito
deg Símbolo de graus
elem Pertence
um União
inter Intersecção
a Alfa
b Beta
g Gama
d Delta minúsculo
e Épsilon
z Zeta
et Eta
th Teta
k Kapa
l Lambda
m Mi
n Ni
x Csi
pi PI
r Ro
s Sigma
t Tau
ph Fi
cph Fi(curvo)
c Chi
os Psi
o Ômega
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 7
COMANDOS ELEMENTARES
As descrições e indicações do programa Mathematica sugerem sua utilização para
cálculos e atividades avançadas, contudo o programa pode ser utilizado em casos elementares.
Isto é, resolvendo contas de natureza simples, e de extrema facilidade. Se comparado com uma
calculadora, a vantagem é que a tela de manipulação manterá os dados dos comandos e
resultados “anotados”.
Para executar as operações de soma e subtração, é necessário somente escrever os n
valores envolvidos acrescentando entre eles os sinais correspondentes às operações em
questão.
Quando o intuito é multiplicar n valores, o usuário pode simplesmente dar um espaço entre
os caracteres ou então recorrer ao uso do asterisco (*) para separá-los.
No caso da divisão, deve se escreve o dividendo e o divisor separados por uma barra, ou
seja, como uma fração. Contudo, isso não é o suficiente, já que assim o Mathematica interpretará
o argumento como uma constante, mantendo-o na forma fracionária. Para se obter o valor deverá
ser indicado o desejo de se obter o valor numérico, com o comando N[função], para saber o
número inteiro mais próximo do resultado usa-se o comando IntegerPart[função].
Assim como a multiplicação, a potenciação também pode ser feita através de dois modos
equivalentes. Pode se escrever o 23² como 23^2, ou então, usar o atalho no teclado pressionando
as teclas CTRL+6, digitar o valor do expoente, e em seguida a tecla direcional „→‟ para desabilitar
o cursor do espaço do expoente.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 8
O Mathematica também apresentar dois métodos para o cálculo da raiz quadrada. O
comando específico Sqrt[função], ao passo que para raízes de outra ordem, utiliza-se escrever o
expoente “invertido”. Existe ainda, apenas para a raiz quadrada, a opção de usar o atalho
CTRL+2, e na seqüência preencher o valor dentro do radical.
O Mathematica é capaz de calcular o logaritmo de uma função especificada. O programa
adota como base padrão para o logaritmo a base e, ou seja, o logaritmo natural. Para se calcular
um logaritmo em uma base distinta deve ser declarada a base pretendida. Assim log10 40 é
representado como Log[10 ,40], e o logaritmo natural de 40 seria escrito como Log[40].
Novamente, é inevitável o uso do comando N[função] para se obter o valor numérico.
Usando o Mathematica é possível também calcular o fatorial de um número, ora dispondo
do comando Factorial[número] ou escrevendo diretamente “número!”.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 9
COMANDOS ÚTEIS
Inicialmente, será reforçado o modo de usar o comando N[função], apresentado na seção
anterior e útil para se obter o valor numérico da circunstância matemática implícita no comando.
Ademais, também é possível obter o valor de constantes estabelecidas, como 𝜋 e ⅇ, por exemplo,
recorrendo ao método descrito na da página 7. Outra funcionalidade, é poder determinar o
número total „n‟ de algarismos apresentados para o resultado.
No que diz respeito à solução de equações, pode se empregar o comando Solve[função],
sempre lembrando da necessidade de colocar dois sinais de igualdade(“==”) na equação.
Próximo a este comando, existe o NSolve, com o qual é possível determinar o número de
algarismos do resultado, e também assumir o interesse em um resultado numérico.
Por excelência, para resolver sistemas mais complexos, leia-se com várias incógnitas, há
o comando RowReduce[função], o qual tem maior abrangência. Comando este que será
introduzido na seção de matrizes e vetores, juntamente com o método de representação de
vetores.
De ampla utilidade, é o comando Simplify[função], conforme o próprio nome já sugere,
capaz de simplificar os dados das expressões matemáticas. Caso este não seja suficiente, existe
ainda a alternativa seqüente, que corresponde ao uso do comando FullSimplify[função], o qual
torna possível a máxima simplificação. Note que no exemplo a seguir, fora aproveitada a
possibilidade de „reutilizar‟ o resultado anterior.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 10
Para exibir simultaneamente dois resultados dados pelo Mathematica, sejam eles,
numéricos, simbólicos, vetores, matrizes ou até mesmo gráficos, usa-se o comando Show. Neste
sentido, é muito cômodo utilizar a nomenclatura dos comandos anteriormente trabalhados, ou
então as referências de antecessão, cujo uso fora explicado na seção “A escrita dos comandos”.
Encerrando está seção, porém não menos importante é a ferramenta de somatória (∑) de
uma série. Digita-se a tecla Esc, a designação “sumt”, e novamente a tecla Esc. Então, surgirá o
símbolo de somatória, e os campos que deverão ser preenchidos. Por critério de segurança, é
aconselhável colocar parênteses na função.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 11
MATRIZES
Nesta seção serão descritos alguns dos comandos disponíveis no Mathematica para a
manipulação de matrizes, a qual tem origem a partir da criação de uma lista de dados. Logo, uma
matriz quadrada de terceira ordem teria sua lista de dados representadas da seguinte forma:
M(3x3) = {{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}
É notório que se representada uma linha por vez, para em seguida usar o comando
MatrixForm[lista], para então dispor os números. Mais uma vez, torna-se bastante útil nomear um
comando, ou usar o recurso de antecessão(%).
Existem vários comandos que facilitam às questões ligadas ao conceito de Matriz. Um
deles é o Inverse[matriz], o qual encontra, quando possível a matriz inversa, lembrando da
propriedade: , que equivale a .
De modo análogo, o comando Transpose[matriz] aponta a matriz transposta àquela que
fora informada.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 12
Por hora, o comando MatrixPower[matriz,n] é capaz de a n-ésima potência da matriz dada.
Para calcular o determinante de uma matriz, aplica-se o comando Det[matriz], o qual
satisfaz o presente objetivo.
É possível ainda, através do comando IdentityMatrix[n], chegar a uma matriz identidade de
ordem „n‟ com maior praticidade.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 13
O comando DiagonalMatrix[lista] cria uma matriz onde os elementos da diagonal são
determinados pela lista e todos os restantes são nulos.
Incluídos na área das matrizes, existem dois comandos capazes de, desde que tenha-se
equações suficientes, resolver sistemas com várias incógnitas, são eles: o RowReduce[matriz] e
o LinearSolve[matriz,vetor]. O primeiro emprega o método de Gauss, o qual resolve o sistema
através do escalonamento da matriz formada pelos coeficientes do sistema. Já para segundo,
representa-se os coeficientes das variáveis na forma matricial, e os números referentes ao
segundo termo como um vetor.
Sendo o sistema: 1𝑥 + 1𝑧 = 01𝑥 + 1𝑦 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 1𝑧 = 0
, já se sabendo que 𝑥 =3
2, 𝑦 = −
1
2 e 𝑧 = −
3
2.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 14
As operações básicas envolvendo matrizes são feitas de modo muito simples, semelhante
ao método usado para números reais. Veja:
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 15
VETORES
De modo idêntico as matrizes, os vetores são constituídos a partir da formação de uma
tabela de dados, onde são informadas as coordenadas de cada vetor. A seguir serão
apresentados alguns dos comandos que o Mathematica dispõe para o tratamento vetorial.
Novamente, é importante denominar com letras a linha corresponde a cada vetor, conforme
segue:
O produto vetorial é calculado usando o comando Cross[vetor1,vetor2], ao passo que a
multiplicação de um vetor por um escalar é feita da mesma forma que a multiplicação entre
escalares, desde que assumidas as coordenadas do vetor a ser multiplicado.
O Produto Escalar de dois vetores usa o comando Dot[vetor1,vetor2], ou então, pode ser
obtido incluindo, invariavelmente, um simples ponto(„.‟) entre as coordenadas dos vetores
envolvidos.
Existe ainda o comando específico para o cálculo do módulo de vetor, descrito como
Norm[vetor].
Usando o Mathematica, também é possível calcular o ângulo entre dois vetores,
recorrendo-se ao comando VetorAngle[vetor1,vetor2].
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 16
O comando VectorPlot permite a visualização de um campo vetorial, em duas
dimensões, enquanto o VectorPlot3D possibilita a vizualização em três dimensões. Serão
mostrados dois exemplos, sem um maior aprofundamento, servindo apenas como um breve
complemento.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 17
GRÁFICOS
Esta seção abordará uma das principais áreas de contribuição do uso do Mathematica
durante um curso de Cálculo, a plotagem de gráficos em duas dimensões e em três dimensões.
De modo informal, pode se afirmar que um gráfico nada mais é do que um traço da união dos
pontos da função em um plano cartesiano.
Os gráficos de funções podem ser em duas ou três dimensões, dependendo da quantidade
de variáveis presente na função, e suas respectivas ordens. Neste instante, também serão
abordadas as curvas parametrizadas.
Existe uma gama de comandos, sendo a escolha feita de acordo com a natureza da
função que será plotada.
GRÁFICOS 2D
Os gráficos em duas dimensões, em sua maioria, apresentam como variáveis x e y,
estando o valor de uma relacionado ao da outra, ou seja, um par ordenado. As formas dos
gráficos, dependem do grau da variável. Assim, funções de primeiro grau formam uma reta, para
funções do segundo grau tem-se uma parábola, entre outras tantas formas possíveis.
A seguir, serão dadas as instruções para o uso dos quatro principais comandos para a
plotagem de gráficos em duas dimensões.
O primeiro a ser comentado é o comando Plot, cujo uso segue a seguinte forma:
Plot[{função},{variável,valor mínimo, valor máximo}]. No segundo exemplo, pode ser observado a
plotagem de duas funções simultaneamente, o que equivale ao uso do comando Show.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 18
Quando a superfície em questão necessita estar ou está na forma parametrizada, o
comando empregado é o ParametricPlot. Fundamentado de forma semelhante ao comando Plot,
conforme segue : ParametricPlot[{função},{variável,valor mínimo, valor máximo}]. Porém neste
caso os valores da de máximo e mínimo da variável devem ser informados em radianos.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 19
O comando PolarPlot também é escrito de forma análoga, porém destas vezes os extremos da variável deve ser dado em termos do valor do ângulo da função, então: PolarPlot[{função},{ângulo,valor mínimo, valor máximo}].
Encerrando esta seção, surge o comando ContourPlot, o qual conforme será visto adiante,
é bastante útil para a visualização das curvas de nível de uma função. Este comando é
preenchido da seguinte maneira: ContourPlot[função,{var1,min,max},{var2,min,max}]. Como pode
ser observado, necessitando o conhecimento de informações sobre duas variáveis.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 20
GRÁFICOS 3D
Quando a função tem dependência de duas variáveis, torna-se inevitável a adição de outro
eixo cartesiano. Sendo assim, tem-se a construção de um gráfico em três dimensões. Os
comandos usados para a plotagem em três dimensões são de uso análogo aos usados para 2
dimensões, porém desta vez, há um trecho adicional contendo as informações da segunda
variável.
Iniciaremos novamente pelo comando Plot, apresentando a versão Plot3D, cuja escrita
obedece ao seguinte padrão: Plot[{função},{var1,min1, max1},{var2,min2,max2}]. No segunda
imagem, mais uma vez pode ser observado a plotagem de duas funções simultaneamente, o que
como já fora dito na seção anterior, equivale ao uso do comando Show.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 21
Analogamente, existe o comando para a representação de funções paramétricas em três
dimensões, denominado ParametricPlot3D. Descrito da seguinte forma
ParametricPlot[{função},{var1,min1, max1},{var2,min2,max2}], porém desta vez envolvendo
coordenadas polares.
O comando SphericalPlot gera uma plotagem de raio esférico como uma função de
cordenadas esféricas, de acordo com a seguinte escrita: SphericalPlot3D[função relativa ao
raio,{𝜃,min,max},{𝛽,min,max}]. Na imagem abaixo, foram fornecidos três valores para o raio, de
uma só vez.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 22
LIMITE
O Mathematica executa o cálculo do limite de uma função através do comando
Limit[expressão,x->x0], sendo que x0 pode ser um número real, uma expressão, ou o termo
infinito, cuja simbologia é obtida usando a sequência Esc, inicial “inf”, e novamente a tecla Esc. A
seta(->) incluída é feita utilizando-se os sinais de menos(-) e de maior(>).
Tomando como exemplos 2
3
1
1lim
23
3
1
xxx
x
xe 3
94
733lim
2
2
xx
xx
x, observe os devidos
procedimentos:
Como não poderia faltar, há também um meio de se obter o cálculo dos Limites laterais de
uma função, isto é, através da opção „direction‟, seguida do valor „-1‟(para limites laterais à direita)
ou „+1‟ (para limites laterais à esquerda). Logo, o comando varia para: Limit[expressão,x-
>ponto,Direction-> ±1]. Esta opção torna-se muito útil para o cálculo das assíntotas de um gráfico,
por exemplo. Sendo 1
1lim
21 xx
e 2
1lim
2 xx, assim:
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 24
DERIVADA
A derivada de uma função é a pode ser enunciada como a medida da inclinação de sua
reta tangente em certo ponto pertencente à função. De uma maneira mais objetiva, a derivada de
uma função é a taxa que representa quão rápido ou devagar a função varia.
Ao invés de um número, na maioria dos casos as funções apresentam como derivada uma
nova função, a qual é capaz de fornecer diversas informações sobre a função inicial. Por
exemplo, a derivada de uma função também é útil para identificar pontos de máximo e mínimo da
função, e para saber outras informações da função, tal como a concavidade de uma curva.
O Mathematica usa o comando D[função,variável] para o cálculo de derivadas. Para o
cálculo de derivadas de ordens superiores, aconselho o uso da referência do termo antecedente,
dada pelo símbolo de porcentagem(%).
Para o cálculo das derivadas parciais usa-se o mesmo procedimento, porém desta vez,
expressando em seguida a outra variável.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 25
INTEGRAL
O ensino da integral de uma função é introduzido, a fim de facilitar a interpretação,da como
sendo a função inversa da derivação, daí vem o termo antiderivação. Dentre ss principais
aplicações, as integrais assumem ampla ligação com a área de alguma superfície ou o volume de
algum sólido, e também origina muitas modelos da Física, por exemplo.
Quando os extremos de integração são declarados ou podem ser obtidos, a integral é
classificada como definida. Em contrapartida, quando não se tem conhecimento dos tais extremos
a integral é do tipo indefinida, e então chega-se há uma nova função acompanhada de uma
constante.
As funções mais especificas, trigonométricas, logarítmicas, entre outras, também podem
ser integradas, porém exigem critérios mais aprofundados e o uso de tabelas de integrais,
contidas nos apêndices que compõem o final do livro.
No Mathematica, o comando usado para o cálculo de integrais é o Integrate, escrito do
seguinte modo: Integrate[função, {x, xmin, xmáx}]. Em caso de integrais múltiplas, declaram-se as
variáveis de acordo com a ordem de integração, e seus extremos de modo análogo ao primeiro.
Logo, chega-se há formatação, semelhante a esta: Integrate[função, {x, xmin, xmáx},{y, ymin, ymáx},{z,
zmin, zmáx}], supondo as variáveis x,y e z, nesta ordem. Para obter o símbolo de integral(), usa-se
a seqüência, Esc, a inicial “int”, e a tecla Esc.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 26
Para obter o símbolo de integral para apenas preencher os valores, usa-se a seqüência,
Esc, „intt‟, Esc, para as integrais indefinidas, e Esc,‟dintt‟,Esc, para as integrais definidas. Neste
caso, particularmente, julgo que para as integrais múltiplas é interessante utilizar os referências
de antecedência, já mencionados, e feitas através do uso do símbolo de porcentagem(%).
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 27
O COMANDO MANIPULATE
O comando Manipulate merece destaque devido ao fato de possuir uma interface capaz
de promover uma visão interativa da variação de uma função, diga-se de passagem, um vídeo
mostrando como a figura é construída.
Para isso, é necessário o acréscimo de um parâmetro, o qual será o responsável pela
alternância da variável. A escrita do comando Manipulate é a seguinte:
Manipulate[Comando[função,{variável, mínimo, máximo},{variável, mínimo, novo
parâmetro}],{novo parâmetro, mínimo, máximo}].Observe a aplicação do comando Manipulate
para uma rosácea:
Em seguida, veja a possibilidade de visualização através do comando Manipulate, serão
mostradas quatro imagens de diferentes estágios da animação.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 28
USANDO O MATHEMATICA SEM ESCREVER OS COMANDOS
Até então, todas as instruções sobre a manipulação dos comandos fora feita apenas
através da escrita destes. Entretanto, o Mathematica também disponibiliza um meio mais prático,
e inclusive eficaz em caso de falta de conhecimento para a execução de uma tarefa usando o
programa.
Contida na barra superior, está a opção “Palettes”, cuja primeira sub-opção, denominada
„Basic Math Assistant‟, a qual expandirá consideravelmente os horizontes do usuário sobre os
procedimentos e habilidades do programa.
Através do „Basic Math Assistant‟ é possível ter acesso aos comandos e suas
propriedades. Além disso, para a maioria dos comandos, ao ser aproximado o mouse, é
apresentada a designação para obtê-lo utilizando o teclado, como pode ser visto para o comando
Factorial. Em casos, também é disponibilizada uma breve explicação. Ainda observando a
imagem acima, nota-se que pode obter, imediatamente, desde simbologia matemáticas, até os
comandos para serem somente preenchidos, passando ainda por formatos de matrizes.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 29
Abaixo seguem demonstrações de comandos que precisam somente ser preenchidos,
para em seguida, serem executados normalmente. Os comandos abordados são
ParametricPlot, Plot3D, uma matriz 3x3, uma integral definida, comando de
simplificação(Simplify) e o a opção de derivada parcial. Na sequência, é mostrado como obter
diretamente os símbolos e representações, usando também a opção „Special Characters‟, a
qual apresenta uma barra com muitas possibilidades.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 30
USO EM OUTRAS ÁREAS DE CONHECIMENTO
É um absurdo equívoco julgar o Mathematica como uma simples calculadora, ou então
como um programa útil apenas para as Ciências Exatas. Sendo assim, esta seção foi incluída
como critério de complementação, a fim de mostrar a aplicação do Mathematica em outras áreas
de conhecimento.
Dentre um amplo leque de possibilidades, foram escolhidos exemplos relacionados às
Ciências Biológicas e à Gráficos de Estatísticas.
Abaixo, segue a plotagem da estrutura molecular das proteínas „KLKB1‟ e „A2M‟, note que
é necessário um carregamento de dados para a execução do comando.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 31
Em seguida, será abordado rapidamente, simplesmente para caracterizar a abrangência
do programa, a criação de um gráfico de barras em três dimensões. Em um primeiro momento,
será carregado, do banco de dados do servidor, um modelo de um clássico bule de chá de Utah.
Em seguida, será plotado um gráfico de barras no qual a figura será empregada como elemento
gráfico, conforme segue:
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 32
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Nesta seção, serão apresentados exemplo de resoluções de exercícios usando o
Mathematica. Retirados do livro Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3 de C. H. Edwards, Jr.
E David E. Penney, da editora LTC®.
14.2 – Esboço de curvas de nível, exercícios 25 e 30, respectivamente.
14.4 – Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem de cada função, exercícios 3 e 14.
Achar a equação do plano, tangente a superfície no ponto indicado, exercício 39
. Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 33
14.5 – Determinar toso ospontos da superfície dada, em que o plano tangente é horizontal, exercício 8.
Determinar o ponto mais alto ou o ponto mais baixo na superfície de equação dada, exercício 13.
14.8 – Determinar o vetor gradiente da função no ponto P indicado, exercício 1.
Determinar a derivada direcional de f em P na direção de v, exercício 11.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso
34
Determinar a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre, exercício 21.
15-1 – Calcule as integrais iteradas, exercícios 17 e 20.
15.2 – Calcular a integral iterada, exercício 9, utilizando a ferramente Basic Math Assistant.
Esboçar a região de integração, em seguida inverter a ordem de integração e finalmente, calcular a integral resultante, exercício 17.
Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 35
15.3 – Usar a integração dupla para achar a área da região do plano xy delimitada pelas curvas dadas, exercício 3.
Determinar o volume do sólido abaixo da superfície z=f(x,y) e acima da região do plano xy delimitada pelas curvas dadas, exercício 19
15.4 – Utilizar a integração dupla em coordenadas polares para achar o volume do sólido delimitado, acima pela superfície dada e, abaixo, pela região plana R limitadas pela curva dada, exercício 9.
15.6 – Esboçar o sólido delimitado pelos gráficos das equações dadas. Ache então seu volume por integração tripla.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Espero que a leitura deste tutorial seja de um mínimo proveito para cada usuário que
acessá-lo, e desde já agradeço por tê-lo acessado.
Qualquer comentário a ser feito, desde críticas construtivas até correções, podem ser
enviadas para o email [email protected] , caso seja pertinente, o ajuste poderá ser
feito já na próxima revisão.
Aliás, os planos para a primeira revisão incluem a ampliação da seção “Exercícios
resolvidos”, a apresentação de novos comandos e a introdução de opções de formatação.
Enfim, ficam os votos de um bom trabalho usando o Mathematica. Mantenha-se sempre
focado, buscando seus objetivos, quaisquer que sejam estes. Afinal, “O único lugar onde o
sucesso vem antes do trabalho é no dicionário”.(Albert Einstein)
Lucas Antonio Risso Novembro/2009
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BIBLIOGRAFIA
Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3 de C. H. Edwards, Jr. E David E. Penney,da Editora LTC®. Wolfram Research, Inc - www.wolfram.com
Site do Professor Dr. Márcio Antonio de Faria Rosa - www.ime.unicamp.br/~marcio Tutorial Mathematica 7.0 por Lucas Antonio Risso 38