Ứng Dụng Của Tỉ Số Trong Hình Học

7/25/2019 ng Dng Ca T S Trong Hnh Hc

1/19

CHUYN : NG DNG TSON THNG-TSLNG GIC TRONG

HNH HC

HQuc ng Hng

Ttrc n nay, c nhiu phng php sdng cng ci sgii quyt cc bi ton hnh hc

nh ta , sphc, vector,Tuy nhin, hu ht cc phng php ny u khng c a chung bi

qu nng vtnh ton, lm mt i vthm mv nt p c trngca hnh hc. Thc t, rt nhiu

kin thc hnh hc hay sdng trong cc k thi ton Olympic l kt quca cc php ton i s,

chng hn nh hng im iu ha, trc ng phng, php nghch o,Hnh hc tlu l mt

chquan trng trong cc k thi ton trong v ngoi nc, thnhng vi sgii hn vthi gian

cng nh nh hng tm l, vic tm ra li gii pv thun ty hnh hc ngay trong bi cnh phng

thi thc sl iu khng n gin. Nhng li gii xut sc khng chcn stinh ttrong quan st,

phn tch m cn i hi kinh nghim v i khi l ngi gii bit trc mt bhay kt quno

y lin quan n bi ton.

Trong bi vit ny, ngi vit mun chia smt hng tip cn vi hnh hc m nhn s qua th cng

kh nng vtnh ton v thiu tnh thm m: tson thng v lng gic. Tuy nhin, nu ta bqua

vngoi cng knh m ch hn vo cc phn tch, nh gi a n cc hthc cn chng

minh v cch xl chng th ta sthy c tt ccc yu ttnh ton u l kt quca nhng suy

ngh tnhin v m cht hnh hc. T tng chung ca cc bi ton sau l nh gi cc dkin c

sn v dng tscnh-lng gic n gin ha bi ton. Bn thn ngi vit l mt ngi yu

thch hnh hc v cng khng t ln thnh cng viphng php ny trongcc cuc thi ton

Olympic.

Ta hy cng n vi v du tin hnh dung r hn:

V d1: Cho ni tip cl trung tuyn v l giao im 2 tip tuyn ktv ca. Chng minh rng = .


2/19

Ta cng xem xt 2 li gii sau:

Li gii 1:

ng thng qua Asong song BCct Oti K. AMct Oti J. Ta c ABCMKl chm iu hann tgic

BKCJiu ha, t suy ra

KJi qua

L. Ty suy ra c

Lcng l giao im ca

KJv

trung trc BC. Mt khc ta c Av Ki xng nhau qua trung trc BCnn ALv KJcng i xngnhau qua trung trc BC, t nu gi giao im ca ALvi Ol Nth ta suy ra c Ni xngvi Jqua trung trc BC, suy ra NJKAl hnh thang cn, suy ra NJ AK BC NJCBcng l hnhthang cn, t c c cung BNv cung CJc ln bng nhau, suy ra BAL = CAM.

Li gii 2:

Ta c BAL = CAM sinBAM = sinCAM. rng hm fx=

tng thc strn

khong 0o;BACnn thay v chng minh sinBAM = sinCAM, ta c thchng minh

sinBALsinBACBAL= sinCAMsinBACCAMsinBALsinCAL=sinCAMsinBAM

n y ta c thlin hvi hthc din tch tnh c vphi:..=

= 1 =

. (1)

By gi, p dng cng thc gia tscnh v tslng gic, ta c:=

v

=

.

Ty, rng ABL = ABCBAC = 180o ACBv ACL = 180o ABC, ta suy ra=

=

. (2)

Kt hp (1) v (2), ta c iu phi chng minh.

Nhn xt:

Nhn vo 2 li gii trn, chc hn nhiu bn scm thy ng vi li gii 1 hn. Tuy nhin vic kthm ng phv ng dng tnh cht ca hng im iu ha khng phi l iu n gin v ihi t nhiu yu tkinh nghim ca ngi gii. Trong khi , li gii 2 d trng qua kh cng knhv nng tnh ton nhng thc cht li l kt quca mt hng suy ngh, phn tch rt tnhin. Khiphn tch bi ton, ta thy rng trong BAL , BAL, ALB, cng vi cnh ALl nhng yu trt khnh gi. Song, nu ta kho lo a iu cn chng minh vtllng gic, ta skhai thc c

tnh i xng ca hnh v, y l BAL v CAL, BAL v CAL. Qua hnh v, ta thy c rngBL, CL, ABL,ACLc lin htrc tip vi cc cnh v gc ca ABC, v yu tgy kh chu l ALli c thc xl khi chia tl, do ngay ckhi cha tnh ton cth, ta hon ton c thttinvo hng tip cn ny. Nh vy, d li gii hon chnh hi cng knh, nhng ngay tnhng bcu tin hng i c nh hnh rt r rng, v cng vic tnh ton d qua mt sbc nhngcng khng gy kh khn.


3/19

Tm li, khng ging nh tnh ton da trn cc phng php ta , sphc, sdng tsonthng, lng gic khng lm mt i vp ca hnh hc m ngc li, thhin khnng quan st,bao qut hnh vca ngi gii. Nhng li gii cc bi hnh hc da phng php nyi hi skho lo trong vic nh gi, tm mi lin quan gia cc dkin c sn v iu cn chng minh. Cchthc lng gic chnh l chic cu ni tuyt vi lin hcc yu tc bn ca hnh hc l cnh v

gc.

Mt shthc, kt qun gin thng sdng:

1.

Vi ABCc bn knh ng trn ngoi tip R th ta c = =

= 2R(lin hgia

cnh v gc trong tam gic).2. Vi 4 gc nhn A,B,C,Dbt k m A B = C Dth:

=

A = C v B = D(do hm hm fx=

vi Xcnh tng thc

strn khong 0o;X).3. Cho

ABC v Dthuc cnh BC, khi ta c hthc:

.

.=

=

(tcng thc

ny ta thy ngay slin hgia nh l Ceva v nh l Ceva-sin). Tkt qu2,3 suy ra vi tam gic ABC, tia AM l trung tuyn khi v chkhi

=

.

4.

Cho AB v CD l 2 dy cung ca ng trn (O), khi vi X,Y bt k thuc (O) (X,Y khng

nht thit phn bit) ta u c=

(lin hgia tsdi cung v gc chn cung).

5. nh l Ceva, nh l Ceva-sin, nh l Menelaus, nh l Ptolemy.6.

nh l Thales, tam gic ng dng.

7.

Nu trn on thng AB, c 2 im C, D sao cho=

th C trng D.

V d2: ng trn ni tip (I) ca tam gic ABC tip xc vi cc cnh BC, CA, AB ln lt ti D, E, F.

ID ct EF ti K. Chng minh AK i qua trung im BC.


4/19

Phn tch v tm li gii:

Gi M l trung im BC, ta schng minh tia AK trng tia AM. Tkt qu2 bn trn, ta thy rng

chng minh 2 tia ny trng nhau, ta chcn chng minh=

=

. (*)

Nh vy ta a iu cn chng minh vmt hthc khng cn lin quan g n M. Ty, ta cththy c mi quan hgiaBAK,CAKv KF, KE, ri sau a KF, KE vcc yu tcnh vgc ca DEF. Tm li, sau cng nhiu khnng ta sphi chng minh stng ng ca vimt tslin quan n cc yu tca tam gic DEF.

Cth:

=

..=

;(1)

=

..=

... (2)

T(*), (1) v (2) ta scn chng minh=

... (3)

n y ta thy rng ta c thbiu din cc i lng 2 vdi cng thc sin, cos lin quan n ccgc ca tam gic ABC. t ABC = B;ACB = C.

Ta c DEF = 90o ,DFE = 90o ,IDF =

v IDE =

.

Vy (3) tng ng=

.

.

=.co.

.co.

(hthc ng).


5/19

Vy do (3) ng nn (*) ng suy ra AK trng AM, tc AK i qua trung im BC.

V d3: Cho nhn c AD l phn gic trong. ng thng qua D vung gc DA ct ng trn(B;BA) v (C;CA) ln lt ti M, N. Chng minh rng BM song song CN.


Bi ton pht biu n gin nhng li kh kh chu v cch im M v N c xc nh khng mangli nhiu gi cho vic chng minh song song. Vi cch xc nh ny, nhng n tng ban u

khng cho ta nhiu tng lin hn cc gc DBM,DCN,DMB,DNCv ccc cnh DM, DN.Tuy nhin, nu phn tch khn th ta nhn thy cc DBM,DCN, ta bit c mt vi yutdchu l DB, DC v BM=BA, CN=CA. Ngoi ra, ta cn c BDM = CDN=90o ADB, tc lmi tam gic ta c 2 cnh v 1 gc dchu. Lin tng n kt qu1., ta thy ngay ta c thtnhc DMB(chnh xc l sinDMB) da theo DB, BM v BDMri tng tvi DCN. Ta cn cDMB = DNC, m ta sc c cng thc sin mi gc theo cc i lng BM,CN(tc BA,CA), DB,DC v 2 gc BDM,CDN(m 2 gc ny li bng nhau!) . Nh vy cha cn tnh ton cth, ta c thhnh dung c sau cng ta schcn chng minh stng ng ca 2 hthc no c tnhtheo BA,CA,DB,DC, nhng yu tquen thuc m ta hon ton c thttin.

Cth:

=

=

, tng tta c

=

. n y, do BDM = CDNv

=

nn ta suy

ra ngay sinDMB = sinDNC BM CN(y do yu thnh vnn ta c thloi trng hpDMB DNC = 180o.

Mrng:


6/19

Bi ton trn l mt bc thgip ta chng minh bi ton p sau (#17 Iran TST2013):Cho tam gic ABC c phn gic trong AD v ng cao AH. Trung trc AD ct ng trn

ng knh AB v ng trn ng knh AC ln lt ti E, F. Chng minh E, F, D, H ng

vin.

Li gii:

Gi M, N ln lt l trung im AB, AC. Theo kt quca v d2, ta c ME song song NF. T

suy ra EMN = FNM EMB BMN = FNA ANM 2EAB 180o ABC =180o2FACACB 2EABFAC= ABC ACB = 180oBAC FAE =BAC

= 90

o . (1)Xt tgic AFHE, ta c EAF EHF = 360o AEH AFH = 360o ABH ACH =180o BAC. (2)T(1) v (2) ta suy ra FAE = FHE = 90o FDE = FHE(do D v A i xngqua EF). Ty ta c E, F, D, H ng vin.

V d4: Cho c ng trn ni tip (I) tip xc cc cnh BC, CA, AB ln lt ti D, E, F. Ccim X, Y, Z thuc (I). Chng minh rng DX, EY, FZ ng quy khi v chkhi AX, BY, CZ ng quy.


7/19


bi ny, vi slung tung ca cc im X, Y, Z th hng i khthi nht ca ta chc thl nh lCeva-sin.Cthl ta sphi chng minh:

.

.

= 1

.

.

= 1.(*)

iu phi chng minh kh kinh hong v dgy nn lng, ta nn i tng bc mt. Thc t, tnhi xng ca A, B, C cng nh D, E, F gi cho ta rng ta c thchcn tnh tslng gic ng vi

1 gc no ri tm quy lut chung. Ta sthvi . Bi ton chcn ta chng minh stng

ng gia 2 hthc lin quan n tam gic ABC v tam gic DEF, vy ta chcn lin hvi

cc yu tlin quan n (I) hay DEF. Nhn hnh v, ta c thpht hin ngay l2 cung XE v XFca (I). thy AEFcn ti A, v c AEX = EFX, AFX = FEX, ta c thp dng ngay nh lCeva-sin i vi tam gic AEF tnh

:

=

.

=

=

. n y ta chcn lm tng ti vi nh B v C,

sthu ngay c kt qusau:

sinCAXsinBAX . sinABYsinCBY . sinBCYsinACY= sinFDXsinEDX . sinDEYsinFEY . sinEFYsinDFY

Ththc ny ta suy ra ngay iu phi chng minh (theo (*) ).

V d5 (#8 PTNK 2013): Cho nhn c trc tm H v im P di ng bn trong tam gic saocho = . ng thng qua B vung gc AB ct PC ti M, ng thng qua C vung gc ACct PB ti N. Chng minh trung im I ca MN lun thuc mt ng thng cnh.


8/19

Li gii:

Gi (O) l ng trn ngoi tip tam gic ABC v AD l ng knh ca (O). Gi K l hnh chiu ca Bln DC, L l hnh chiu ca C ln DB, ta schng minh I thuc KL cnh. Ta c thpht hin ngayBPC = BDC,t suy ra P, N, M, D ng vin. chng minh KL i qua trung im MN ta c thsdng nh l Menelaus i vi tam gic DMN a bi ton vvic chng minh 2 tlbngnhau nh sau:

KL i qua I khi v chkhi .

.

= 1

=

(do IM=IN) (1)

Ta c=

..v

=

..(2)

Mt khc ta c KBD = LCD;KBN = 90o KNB = 90oCML = MCL(do ta c P, N, M, Dng vin). Vy t(1) v (2) ta c ththu gn hthc cn chng minh v a vchng minh h

thc sau:=

. n y tip tc sdng tnh cht BNC = BMC, ta ch n 2 tam gic BDN

v CDM. Ta c:=

;

=

. Cui cng, ch rng BDNv CDMl 2 gc b nhau

nn sinCDM = sinBDN. Nh vy ta c

=

, suy ra hthc (1) ban u ng, v theo nh lMenelaus, KL i qua I (pcm).

Lu : nh l Menelaus l mt phng php rt hiu quc thgip chuyn nhiu bi toncn chng minh 1 ng thng i qua trung im mt cnh no vvic chng minh 2 tscnh bng nhau.


9/19

V d6: Cho tam gic ABC nhn ni tip (O) c L l giao im 2 tip tuyn ti B v C ca (O). Gi X l

im i xng vi A qua BC v K l giao im ca LX v tip tuyn ti A ca (O). Chng minh K thuc

ng thng Euler ca tam gic ABC.

Li gii:

Gi giao im ca OK vi AX l J, ta schng minh J l trc tm ca ABC. Ta hon ton c thaiu cn chng minh ny vcc tlon thng bng cch sdng kt qu7. Gi giao im ca OL

vi AK l I, theo nh l Thales ta c

=

=

=

. Gi H l trc tm ca tam gic ABC v P

l giao ca AH v (O), do tnh i xng th AP=HX. Ta cn chng minh=

, tc l

=

(1).

Nh vy, tiu cn chng minh ban u l K thuc ng thng Euler ca ABC, bng vic kholo xc nh im J v tnh ton qua cc bc trung gian, ta a c bi ton vvic chngminh hthc (1), mt hthc khng lin quan g n K, J m chphthuc cc yu trt dchu lAD, AP, OL, OI. Tych thm OIA = 90o OAH = ACP = ,hng gii quyt ca ta sng sa hn, ta c :

OI=; OL=

co

=

co .

AH=2R.cosBAC; AP=2R.sin, suy ra =co

= . Suy ra

=

;ngha l H trng J, suy ra K

thuc ng thng Euler ca tam gic ABC.

Qua cc v dtrn, ta c ththy rng vic chuyn cc iu kin cn chng minh vcc yutquen thuc, dchu l iu then cht, gip ta n gin ha bi ton. cc v dtrn, victo ra mi lin hgia cc yu tlv quen c thphi tri qua nhiu cng on nhngnhn chung th vic pht hin ra cc mi tng quan gia cnh v gc (chng hn cnh-gc


10/19

i trong tam gic, dy cung-gc chn cung trn ng trn) khng qu phc tp. Sau y lcc bi ton c kh cao hn, gii quyt chng i hi ngi gii khng chtinh trongvic xc nh cc yu tquen thuc c sn m i khi cn phi bit kho lo xy dng thmcc yu tmi lin kt hnh v.

V d7 (#2, kim tra i tuyn IMO 2014 ln 2) : Cho tam gic ABC nhn ni tip (O) c H ltrc tm. EF l mt dy cung ca (O) song song vi BC sao cho E v B nm cng pha i vi trung

trc BC. ng thng qua O song song AF ct AB ti G. Gi D l trung im HE, chng minh

= 90.

Li gii:

Khng mt tnh tng qut, giscc im nh hnh v.

Gi giao im ca CH vi AB v (O) ln lt l L v N. Ta schng minh C, L, G, D ng vin. Tuynhin ta cha khai thc c nhiu iu tgithit, v thtrc khi ngh n cch thc gii quyt

bi ton, ta phi cgng tm ra mt stnh cht.Kng knh CK ca (O), gi M l trung im AB, ta c M l trung im HK nn MD song song vbng na KE. Gi S l giao im ca KE v CN, ta c OM song song CS v MD song song KE nnOMD = CLE DMB = NCE. n y rng C, L, G, D ng vin khi v chkhi DGM =DCL, m DGM DMG = DMB = NCE = DCL DCEnn ta ngh ngay n kt qu2, chng minh DGM = DCL,ta schng minh:


11/19

=

=

(1) .

y iu l nhng yu tkhng quen thuc, nhng ta vn c thlin hgia cc yu tkhng quenthuc ny. Ta c GOsong song AF v OM song song CN nn GOMbng vi gc nhn tao bi 2 dycung AF v CN, gc ny bng

(sAN sCF )=

(sBK sBE )= KCE(do EFCB l hnh thang

cn nn BE = CF , mt khc OCB = NCAv cng phvi BACnn BK = AN . Nh vyGOM = KCE,suy ra2 tam gic vung OMG v CEK ng dng, cho nn: =

(2), ty kt hp vi KE=2MD v MO=

CH(3), ta c thnhanh chng dt im bi ton:

t(2) v (3) suy ra=

, tc (1) ng, vy c ngha l DGM = DCL C, L, G, Dng vin, vy

CDG = 90o.

Mu cht ca bi ton l dng thm cc yu tphtm ra cc tnh cht lin quan n ccim G, E, D v sau l kho lo lin hgia cc cnh ca MGDv cc gc HCD,ECD.Li mt ln na, cc cng thc lng gic tra cc k hiu qutrong vic lin hgicnh vgc.

V d8: Cho tam gic ABC nhn khc tam gic u, ng trn ni tip (I) tip xc cc cnh BC, CA,

AB ln lt ti D, E, F. Gi H l trc tm tam gic DEF. ng thng qua H vung gc IH ct BC, CA,

AB ln lt ti X, Y, Z. Gi A l im i xng ca X qua D, B i xng vi Y qua E, C i xng vi Z

qua F. Chng minh rng A, B, C cng thuc 1 tip tuyn ca (I).

Li gii:


12/19

Do vai tr nh nhau ca A, B, C nn ta chcn chng minh AB tip xc (I). Ta c BY v AX l 2tip tuyn ca (I), do BA l tip tuyn ca (I) cng tng ng vi EBI = ABIvIAD = BAI . n y ta cha c thm dliu g tip tc, nn cng nh nhng bi trc,u tin ta hy tm ra mt stnh cht tgithit cho.

Do XY vung gc IH nn dthy IEYH v IDXH l cc tgic ni tip. Ty ta c IYE = IHE, mB v Y i xng qua E nn EBI = IYB= IHE. Hon ton tng tta cng c IAD = IXD =IHD.

n y y ta li thy bi ton c nt ging vi v d7 trn, NU chng minh c BAI IBA= IADEBIth ta li c thp dng kt qu2, a (*) vchng minh qu

=

. Ta c thkhai thc tkt qu

=

=

v a vchng minh

=

=

(**) (y IY, IX c lin htrc tip vi IHD v IHEnn y l mt hng i rt

sng sa). Nh vy, vn sc gii quyt nu ta chng minh c BAI I BA= IAD

EBI, cng tng ng vi vic chng minh

IA

D EB

I A

IB

= 180o. Vi cc dkin

vung gc, cc tgic ni tip c c cng vi tnh i xng th y l mt biu thc khng qukh khn. Ta c: AIB= EID EIB DIA= EID EIY DIX = EID EHY DHX = EID 180o DHE = 2DFE DFE = DFE. Vy AIB= DFE 1, mt khcIAD EBI = IXD IYE = IHD IHE = DHE(2).

Kt hp (1) v (2) ta c ngay IAD EBI AIB= DFE DHE = 180o, t suy ra ta chcn chng minh (**):

=

. iu ny hin nhin v IY=IE.sinIHDv IX=ID.sinIHEm ID=IE.

Nh vy ta chng minh c (*), suy ra AB tip xc (I), lp lun tng tta cng c BCv ACtip xc (I). Gis3 im A, B, C khng thng hng, tA ta c 2 tip tuyn ti (I) l AB v AD,suy ra C thuc AD, tng tsuy ra C thuc BE, cho nn C trng C (v l v C thuc AB). Vy A, B,

C cng thuc 1 tip tuyn ca (I).

Ta bit rng mt tam gic bt k sc xc nh mt cch duy nht nu ta bit c di2 cnh v gc xen gia chng. Qua 2 v d7 v 8, ta thy MDGtrong v d7 v IABtrong v d8, ta u c thtnh c mt gc (DMG v AIB, v 2 cnh to thnh gc u lin hc vi cc yu tca githit, sdng tng quan gia tscnh v tslng gic, ta tnh c c2 gc cn li.

V d9 (#5 Vietnam TST 2009): Cho ng trn (O) ng knh AB, M l mt im nm trong (O).

Phn gic trong ct (O) ti N (N khc pha M i vi AB). Phn gic ngoi ct NA, NBln lt ti P, Q. AM ct ng trn ng knh NQ ti im th2 R. BM ct ng trn ng knh

NP ti im th2 S. Chng minh trung tuyn ktN ca tam gic NSR lun i qua mt im cnh.


13/19

Li gii:

Qua hnh vta c thxc nh c ngay im cnh chnh l O. Thay v chng minh trc tiptrung tuyn ktN ca NSRi qua O, ta c thchng minh NO i qua trung im ca SR. Nhngcch xc nh im S v R gy kh nhiu kh khn v ta gn nh khng thtm c mi lin hnogia trung im SR vi cc yu tcn li. gii quyt kh khn ny, ta nn chuyn hng sang

chng minh

=

(*), mt hthc khng lin quan g n trung im SR. Vn by gil

cc gc RNO,SNO. Ta stm mt stnh cht tgithit.

Ta c BMQ = RMQ,m RMQ = RNQdo R, Q, N, M cng thuc ng trn ng knh NQ, nnBMQ = RNQ. Hon ton tng t, ta cng c AMP = PNS, m AMP = RMQ, cho nn ta suyra c RMQ = BMQ = RNQ = PNS = PMA = PMS = .

Mt khc, RNO = BNOBNR = OBN (1). n y rng: MBN = BMQ BQM OBN MBA = BQM OBN = BQM MBA(2).

T(1), (2), suy ra RNO = BQM MBA(4). n y, bi ton vn cha tin trin nhiu, ta phitm cch tnh

RNOtng minh hn na bng cch vthm yu tph.

Ththc (4) ta thy rng nu trn on AB ta ly im L sao cho MLA = MQBth ta scBML = MLAMBA = BQMMBA = RNO . Hn na, vi cch dng im L nh ththtgic MQBL ni tip. n y rng MLA = MQB = MNA, ta c thm tnh cht M, L, N, Ang vin. Nh vy d cha phn tch cthnhng ta c thttin vi cch ly thm im L ny, vta va c c lin hvi RNO, va c thm cc tnh cht ng vin tng ng. Vy ta ly im Ltrn on AB xc nh nh trn. n y, mt hng i rt tnhin l ta sdng thm 1 im K


14/19

tng tlin hvi gc SNO, tuy nhin nu tnh ton khn ta sthy iu ny khng cnthit:

Ta c SNR = ANBPNSRNQ = 90o 2;

LNB = ANBANL = 90o

180

o

LMA= 90

o

PMABMQBML

= 90

o

2 BML = SNR BML = SNR RNO = SNO(theo (**) ta c BML = SNO. Vy ta cLNB = SNO. n y do tgic MQBL ni tip ta c LQB = BML = RNO. Lc ny, ta honton c thda vo tam gic LNQ tnh

=

=

. Theo (*), ta chcn chng minh

=

na l xong. M do 2 tam gic vung PSN v QRN ng dng (cng c mt gc nhn

nn=

. im P khng c nhiu lin hvi L, ta sthay

bi

. Vy ta a hthc (*) ban

u vchng minh=

. (***)

Ta hon ton c thlm cho hthc ny n gin hn na bng cch li dng 2 tgic ni tip

MQBL v AMLN.

p dng kt qu4 cho ng trn (AMLN)

LNMN=

sinBANsinMAN3

p dng tng tcho ng trn (MLBQ):

LQMQ=

sinLBQsinMBQ=

sinABNsinMBN4

T(*), (***), (3), (4), ta suy ra bi ton sc gii quyt nu ta chng minh c=

=

, mt hthc chphthuc vo cc im M, N, A, B ban u.

Nhng thao tc cn li tng i n gin, ta c:

=

;

=

(5)

T(5), kt hp vi AMN = BMN, ta suy ra hthc (3) v (4) bng nhau, ngha l (***) v (*)ng, theo kt qu2, 3, ta c trung tuyn tN ca NSRi qua O cnh.

V d10: Cho nhn c 3 ng cao AD, BE, CF.

a. Chng minh rng 3 ng thng Euler ca ,,ng quy ti mt im P.b.

Chng minh rng trong 3 on PD, PE, PF, c mt on bng tng 2 on cn li.


15/19

Li gii:

Gishnh nhhnh v, cc trng hp cc chng minh tng t.

a. Gi H l trc tm tam gic ABC, H, Hb, Hcln lt l trc tm AEF,BDF,CDE. O, Ob, Ocln lt l tm ngoi tip AEF,BDF,CDE, suy ra O, Ob, Ocln lt l trung im

AH,BH,CH. Gi l ng trn Euler ca tam gic ABC. Ta c DECv DBFng dngcng hng, tn ti php vtquay tm D, gc quay CD;DF = BACbin tam gic DECthnh tam gic DBF v bin OcHcthnh ObHb. Suy ra OcHc; ObHb = BAC, ngha lOcPOb= BAC = OcOOb, do P thuc ng trn Euler ca tam gic ABC. Chngminh tng tta cng c OHct ObHbti mt im P thuc , gisP khc P, mng thng ObHb c mt giao im vi ng l Ob, do ta phi c P trng Obhoc P trng Ob. Nhng khi ta li c ObHbl tip tuyn ti Obca , v l v khi th Pcng trng P (cng trng vi Ob(do P v P u l giao im ca ObHbvi ( . Tm li, Ptrng P, vy 3 ng thng Euler ca AEF,BDF,CDEng quy ti mt im P thuc.

b.

Khng mt tnh tng qut, gisP thuc cung EF khng cha D, ta schng minhPD=PE+PF. Gi O l tm ngoi tip tam gic ABC. M l trung im BC th ta c ME=MF=

.

xl vphi, ta ssdng nh l Ptolemy cho tgic PEMF nh sau: PE.MF+PF.ME=PM.EF

ME(PE+PF)=PM.EF. Suy ra PE+PF=. .Nh vy ta chcn chng minh

. = PD(*)

n y ta lu cch xc nh im P. Ta c PMD = POcD = HcOcD = AOH(1) (do tac ABC DECnn cng c AOH DOcHcdo tnh cht ca php ng dng). Mt khc,


16/19

do AOsong song v bng OMnn suy ra AOMOl hnh bnh hnh OM AO, t ta cDPM = DOM = HAO(2).T(1) v (2) suy ra 2 tam gic PDM v AHO ng dng, suy ra

=

=

=

=

(**) (ch tam gic AEF ng dng tam gic ABC).T(*) v (**) suy ra PD=PE+PF (pcm).

Lu :nh l Ptolemy rt hiu qutrong vic xl cc biu thc lin quan n tng onthng trn ng trn.

V d11 (G8 IMO Shortlist 2009):Cho tgic ngoi tip ABCD. Mt ng thng g qua A ct onBC v ng thng CD ln lt ti M, N. Gi , , ln lt l tm ng trn ni tip,,. Chng minh rng trc tm thuc ng thng g.

Li gii:

Ta c NC v NA i xng nhau qua NI, BC v BA i xng nhau qua BI, nh vy ta pht hin rangay g chnh l ng thng Steiner ca im C i vi

III, nh vy ta chcn chng minh C

thuc ng trn ngoi tip IIIth ssuy ra ngay trc tm IIIthuc g. Gn nh khng ccch no lin hcc gc lin quan n C ca tgic IICI, nn ngay cvic chn ra hp l 2 gcno chng minh chng bng nhau thi l khng n gin. Thay v chn 2 gc m trong ta c thddng tnh c mt gc cn gc cn li khng thtnh c, ta c thchn 2 gc m c2 ta u khng tnh trc tip c, l CIIv CII. Lc nry rng trong tam gic CMI, 2cnh MC v MIta c tht nhiu khai thc c, cn CMIcng c thtnh c ddng. Mtkhc, nu ta gi L l tm bng tip gc N ca NMCth ta sc LMICni tip, tc l CLI=


17/19

CMI. Vy chng minh CII= CII, ta chcn chng minh CLI CMIbng cch chngminh

=

..

= 1.

t MNC = N,NMC = M.

Gi S, T ln lt l hnh chiu ca I, L ln CD. Ta c LI= Tco= Tco . M ST=NS-NT=+ ++

=+

. Suy ra LI=+

.co (1) .

Tip theo, xt LMC,ta c: ==

coco

(do MLC = 180o MIC = 90o v

LMC = 90o ). (2)

Gi hnh chiu ca Iln AM l K, ta c MI= co =+

co(3)

T(1), (2), (3) ta c ..= ++ = 1(do CD-AD=BC-AD=MB+MC-AD v tgic ABCD

ngoi tip).

Vy suy ra CLI CMI CII= CII Cthuc ng trn ngoi tip tam gic III. Mim i xng vi C qua IIthuc g (do CNI= MNI) v tng tim i xng vi C qua IIcng thuc g, do ABI= CBI, suy ra g l ng thng Steiner ca C ng vi tam gic III, nng i qua trc tm III.

Li gii trn c thgip ta chng minh chiu o, ngha l nu trc tm tam gic IIIthuc g th tgic ABCDE ngoi tip.

tt ccc v dtrn, ta hon ton khng cn shtrno khc ngoi cc php bin igc v sdng ts. T tng chnh ca phng php sdng tskh n gin, tuy nhinc ththun thc v p dng c cho cc bi ton kh l khng dt no. Nh ninhiu ln trn, mu cht ca phng php ny chnh l pht hin c mi lin hgiacc yu tc bn nht ca hnh hc l cch xc nh im, cnh v gc. Ta hy cng rnluyn vi cc bi ton sau:


18/19

Bi tp rn luyn:

Bi ton 1 (Iran 1998): Cho tam gic ABC nhn ni tip (O). im D di chuyn trn cung BC khng

cha A. Gi I, J ln lt l tm ni tip cc tam gic DAB, DAC. Chng minh ng trn ngoi tip tam

gic DIJ lun i qua mt im cnh khi D thay i.

Bi ton 2: Cho AB v CD l 2 dy cung ct nhau ca (O). ng trn tip xc trong vi cung nhBD ca (O) ti T v tip xc vi AB, CD. P l mt im di chuyn trn cung nhBD ca (O). Gi I, J ln

lt l tm ni tip cc tam gic PAB, PCD. Chng minh rng P, I, J, T ng vin.

Bi ton 3: Cho 2 tam gic ABC v DEF cng ni tip mt ng trn (O). Gi XYZ l tam gic to bi

3 ng thng Simson ca D, E, F i vi tam gic ABC v MNP l tam gic to bi 3 ng thng

Simson ca A, B, C i vi tam gic DEF. Chng minh X, Y, Z, M, N,P ng vin.

Bi ton 4 (#3 IMO 2013): Cho tam gic ABC ni tip (O) cl tip im ca ng trn bngtip gc A ln cnh BC. , c xc nh tng t. Chng minh nu tm ng trn ngoi tip tamgic thuc (O) th vung.

Bi ton 4: Cho tam gic ABC c E, F ln lt l tip im ca ng trn ni tip (I) vi cnh AC, AB.

BM, CN l cc ng cao ca tam gic ABC. Chng minh rng trc tm cng chnh l tm

ng trn ni tip .Bi ton 5 (#2 Vietnam TST 2008): Cho tam gic ABC ni tip (O) c phn gic trong AD, BE, CF.

Cc im K, M, N ln lt thuc cc on AD, BE, CF sao cho=

=

= . K hiu (X) l ng

trn qua K, A v tip xc vi OA. Cc ng trn (Y), (Z) xc nh tng t.

a. Vi k=, chng minh rng (X), (Y), (Z) c 2 im chung v trng tm G ca tam gic ABC thuc

ng ni 2 im chung ny.

b. Tm mi k sao cho (X), (Y), (Z) c 2 im chung.

Bi ton 6 (#4a Vietnam TST 2014): Cho tam gic ABC c ng cao AD v P di ng trn AD. Cc

ng thng PC v AB ct nhau F, cc ng thng PB v AC ct nhau E. Gistgic AEDF nitip, chng minh rng:

.

2


19/19

Bi ton 7 (#3 USA TST 2013): Cho tam gic ABC vung ti C c D l chn ng cao htC. Gi X

l mt im thuc on CD. K thuc on AX sao cho BK=BC, L thuc on BX sao cho AL=AC. ng

trn ngoi tip tam gic DKL ct AB ti im th2 T (T khc D). Chng minh = .

Bi ton 8: Cho tam gic ABC nhn ni tip (O). ng trn A-mixtilinear tip xc vi (O) ti.

Tng tnh ngha B, C. Gi AAl ng knh ca ng trn A-mixtilinear, tng tnh nghaB, C. Chng minh rng AA, BB, CCng quy.

Bi ton 9:Cho tam gic ABC ni tip (O) c K l giao im ca tip tuyn ti A v B v L l giao imca tip tuyn ti A v C. Gi P l giao im ca CK v BL. K3 ng cao AD, BE, CF ca tam gic

ABC. Trung tuyn ktA ca tam gic ABC ct EF ti Q. Chng minh D, P, Q thng hng.

Bi ton 10 (mrng bi ton con bm): Cho tgi ABCD ni tip (O). Gi M l trung im AB

v N, P l 2 im thuc AB i xng vi nhau qua M. CN, CM ct (O) ln lt ti S, T (S, T khc C). DS,

DT ct AB ln lt ti E, F. Chng minh rng ME=MF.

Bi ton 11: Cho tam gic ABC ni tip (O) c BC cnh, A thay i trn cung ln BC. Trn cc tia BA,

CA ly M, N sao cho BM=CN. BN ct CM ti K, KD ct AC ti E. Chng minh trung tuyn AI ca lun i qua mt im cnh.

Bi ton 12: Cho tam gic ABC ni tip (O) c BC cnh, A thay i v AH l ng cao, AK l phn

gic trong. Gi I l trung im AH, M l trung im AK. im N thuc AK sao cho = .Chng minh IN lun i qua mt im cnh.

Bi ton 13: Cho tam gic ABC c M l trung im BC. E, F di ng trn AC, AB. ME ct AB ti P, MF

ct AC ti Q. Gi l ng trn ngoi tip tam gic AEF. AK l ng knh ca . ng trnngoi tip tam gic APQ ct ti im L khc A. Chng minh KL i qua mt im cnh.

Bi ton 14: Cho ng trn (O). 6 ng trn , , , tip xc trong vi (O) ln ltti, , , , , v ng trn tip xc ngoi vi ng trn +vi mi i=1,2,6 (7 . Chng minh AD, BE, CF ng quy.

Bi ton 15: Cho c ng cao AD. Gi l ng trn tip xc vi tia DA, DB v tip xctrong vi (O), l ng trn tip xc vi tia DA, DC v tip xc trong vi (O). Tip tuyn chungtrong khc AD ca , ct BC ti M. Chng minh M l trung im BC khi v chkhi AB+AC=2BC.

Bi ton 16: Cho tam gic ABC nhn. Dng ra pha ngoi tam gic ABC cc tam gic u ABF v ACE.

BE ct CF ti T. Gi S l im ng gic i vi T trong tam gic ABC. Chng minh rng S l giao im

chung ca 3 ng trn Apollonius ng vi tam gic ABC.

---Ht---

Documents

Ứng Dụng Của Tỉ Số Trong Hình Học