C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, SCrie I, p. 117-121, 1998 Thborie des nombreslhrumber Theory

Une variante du problhme de Waring sur Fzn[t]

Luis GALLARDO

Dhpartement de mathkmatiques, 6, avenue Le Gorgeu, 29285 Brest cedex, France

Courriel : Luis.GallardoQuniv-brest.fr

(Rryu le 20 avril 1998, accept/: aprk rkvision le 8 juin 1998)

R&urn& Si un polyn6me P E F[t] est une somme de s formes cubiques, telles que chacune d’elles est de degrC < deg(P) + 3, on dit que P est une somme restreinte de s formes cubiques. Nous prouvons que chaque polyn6me P de F2?’ [t] est une somme restreinte de 5 formes cubiques (2(/I, B) = AB(A + B), p our tout 71 $ { 1,2,4}. I1 en r&he que P est une somme restreinte de 10 cubes si 71 est pair, et de 15 cubes si 1) est impair. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

An FzT2 [t]-variant of Waring’s problem

Abstract. I f a polynomial P E F[t] is a sum qf s cubic forms, with each of them of degree < deg( P) + 3. we say that P is a restricted sum of s cubic forms. We prove that evev polynomial P in Fzn [t] is a restricted sum of 5 cubicforms Q(A) B) = AB(A+ B).,for all 71 6 (1: 2: 3). It follows that P is a restricted sum of 10 cubes when n is even, and a restricted .sum of 15 cubes when 71, is odd. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Abridged English Version

The variant of Waring’s problem that we study here is that of the representation of polynomials P with coefficients in a finite field F of characteristic 2, as sums of a fixed number s of cubic forms Q(A, B) = AB(A + B), where A, B E F[t]. We define v(F[t]) as the least value of s for which it is true that all polynomials in F[t] are representable by s cubic forms Q(A, B) = AB(A + B). Theorem 1 shows that v(FzTz [t]) = 2 f or any integer ~7 > 3. If a polynomial P E F[t] of degree d is a sum of s cubic forms, with each of them of degree < rl + 3, we say that P is a restricted sum of s cubic forms. We define c(F[t]) as the least value of s for which the following holds: all polynomials P E F[f] are representable as a restricted sum of s cubes A3. We define vr(F[t]) as the least value of s for which the following holds: all polynomials P E F[t] are representable as a restricted sum of s cubic forms Q(A, B) = AB(A + B). Our main theorem is Theorem 4, which shows that vr(Fz,, [t]) = 5 for every positive integer n $ { 1: 2,4}.

Note prbsentke par Jean-Pierre SERRE.

0764.4442/98/03270117 0 Acadkmie des ScienceaMsevier. Park 117

1. Gallardo

To prove Theorem 4, we use the following method. Given a polynomial P E F[t], we build a cubic form Q = AB(A + B), with A, B E F[t], (leg(Q) < &g(P) + 3 such that deg(P + Q) is close to 2 deg(P)/S. This is done in Theorem 2. We use this method three times, in order to get a polynomial T = P + C:=, Q(Aj, Bj) with deg(T) < deg( P)/3 + 1. Theorem 3 follows by applying the identity of Theorem 1 to T. This requires that deg(P) > 6. Studying the cases where deg(P) < 6. we obtain Theorem 4. This requires that F # FIG.

It follows from Corollary 1 that c(F~” [t]) = 10 for 71 even, and that c(F~ [t]) = 15 for 71 odd. The best known result is that for every integer 71 > 1, every polynomial of Fp[t] of suflciently large degree that is a sum of cubes, is a sum of 11 cubes (see [ 11). Recently (see [2]), we improved this result to the following result: c(Fp [t]) = 9 f or 71 4 { 1,2: 4}, and ~(Flc[t]) = 10.

Now we list our main results.

THEOREM 1. - Let n > 3 be an integer, F = Fz’, and P E F[t] of degree d. Then there exist A, B, C, D E F[t] of degree d, such that P = AB(A + B) + CD(C + D).

THEOREM 2. - Let F be a finite jield of characteristic 2, with Card(F) > 4. Let P E F[t] be of degree d > 4. Then there exist A, B! R E F[t]! such that

a) P = AB(A + B) + R. b) cleg(R3) < 2d + e with c = -3 if d G 0 (mod 3), e = -1 tf d =: 2 (mod 3). e = 1 if

d E 1 (mod 3), c) Inax(deg(iZ”),deg(B’), cieg(AB(A + B))) < d + 3.

THEOREM 3. - Let F be a$nite,field qf characteristic 2, with Card(F) $ {2,4. It?}. Let P E E’[t] be of degree d > 6. Then P is a restricted sum of 5 cubic,forms Q = AB(A + B).

THEOREM 4. -Let F be ajnitefield of characteristic 2, with Card(F) $! { 2,4, lC;}. Then vr(F[t]) = 5.

COROLLARY 1. - Let F be a jinite field qf characteristic 2. F = Fzn. If n > 4, is elIen then c(F[t]) = 10. If n > 3. is odd then c(F[t]) = 15.

1. Introduction

La variante du problkme de Waring A laquelle nous nous intCressons ici est la suivante : nous souhaitons dCcomposer un polyn6me P A coefficients dans le corps fini F = Fz- comme une somme d’un nombre fini de formes cubiques Q(A. B) = AB(A + B), avec A, B E F[t]. Nous prouvons dans le thCo&me 1, que cela est possible avec deux de ces formes pour tout 71 > 3. Soient s 2 1 un entier, et F un corps, nous disons qu’un polyname P E F[t] est une somme restreinte de s formes cubiques si P est une somme de s formes cubiques et chacune d’entre elles est de degr6 < de&P) + 3. Nous prouvons dans le thCo&me 4 que chaque polyn6me P de FzTL [t] est une somme restreinte de 5 formes cubiques Q(A, B) = AB(A + B), p our tout 76 $ { 1,2: 4). L’idCe utilisCe dans la preuve consiste B construire une forme cubique Q(A, B) telle que le polyn8me R = P + Q(A! B) soit de degr6 proche de 2 deg( P)/3 ( voir thCor?me 2). En utilisant deux autres fois cette m&me idCe, nous obtenons un polyn6me T = P + Cf=, Q(4,, B,) avec dcg(T) < deg(P)/S f 1. En lui appliquant 1’identitC du thCor6me 1 nous obtenons le thCor&me 3. Cela nCcessite que l’on ait deg(P) > 6. Les polyn8mes P de degrt au plus 6 sont CtudiCs cas par cas. On obtient les m&mes r&ultats. C’est ici qu’apparait la restriction F # F16. On dCduit alors des thCo&mes 2 et 4 (voir corollaire 1) que, pour tout 72 $! { 1,2,4}, tout polyn6me P E Fz” [t] est une somme restreinte de 10 cubes si 71. est pair, et de 15 cubes si ~2. est impair. Le meilleur rksultat connu est que tout polyn8me P E F2” [t], de degr6 suJfiisamment e’levk, qui est une sommes de cubes, est une somme restreinte de 11 cubes, si 71, > 1

118

Une variante du probkme de Waring sur Fsrl [t]

(voir [ 11). Ce rksultat a CtC obtenu en utilisant la mkthode du cercle. RCcemment, par des mCthodes ClCmentaires comme celles utiliskes ici, nous avons amkliork ce rksultat en rkduisant, pour chaque polyn6me P E Fx-[t], le nombre de cubes B 9 si R 4 {1,2.4}, et B 10 si n = 4(voir [2]).

2. La forme cubique AB(A + B)

Nous commenGons par montrer que la forme Q(A, B) = AB(A + B) reprksente tout ClCment de F*” si 71. 2 3.

LEMME 1. - Soient un entier n > 3 et c un e’knent non nul de Fzrr. Alors il existe n, b E FzTt\{O}. tels que c = a b(a + b). De plus, si n est impair ou si n > 4, a3 # b”.

Dkmonstration. - Cas 1 : n est pair. Soit (Y E Fzii! tel que a2 = cy + 1. D’aprks [3] il existe u, u E F2v, tels que c = u3 + 11~. Done a = U(Y + ?I h = u + UN sont non nuls et vkifient la relation c = a b(a + 6). De plus, si n > 4 et si c n’est pas un cube, la relation a3 = b3 est impossible. Supposons que n > 4 et que c est un cube, d’aprks [4] il existe 2, y E FzTz \{O}, tels que 1 = x3 + y/“. Posons c = d”, alors a = c~(:x + yn) et b = d(z:cu + y) vkifient les relations c = a b(u + b), a3 # b”.

Cas 2 : n est impair. Soit UI E F2” \{O}! de trace nulle sur F2: et posons c = d”, ‘10 = w3. 11 existe u E Fzil tel que u,* + IL = w. Alors u $! (0, l} et a = d7~/11, b = d/u sont non nuls et vkrifient les relations c = a b(a + b), a3 # b”.

Puis nous prouvons que chaque polyn8me de Fzn [t], avec n 2 3; est une somme de 2 formes ilB(A + B).

TH~ORBME 1. - Soient n > 3 un entier, F = F 2” ! et P E F[t]. I1 existe A, B, C, D E F[t] de degre’ &gal ir &g(P) tels que P = A B(A + B) + CD(C + D).

Dkmonstration. - On prend h = 1 si n est impair, et h un ClCment de F qui n’est pas un cube si 71 est pair. D’aprks le lemme 1, on a k,rn(k + m) = h avec k, 71~ E F\(O) et k3 # m3. Alors a(t) = m t, b(t) = (k/m)’ + kt, c(t) = 1 + m, t, d(t) = k: t, h = k(k” + rn9)/rn3, v&ifient

a(t)b(t)(a(t) + b(t)) + c(t)d(t)(c(t) + d(t)) = 5 t. (1)

Comme k,m E F\(O) et k” # rn3, 6 n’est pas Cgal B 0. En remplaqant t par P/S dans (1) et en posant A = a(P/S), B = b(P/S):C = c(P/b), D = d(P/S): nous obtenons P = AB(A+B)+CD(C+D), avec deg(A) = deg( B) = deg(C) = deg(D) = deg(P).

3. ReprCsentation de P E F[t] par des formes AB(A + B)

Soit F un corps de caracdristique 2, dont chaque Clement est de la forme a b(a + 6) avec a, b E F. Soit P E F[t]: avec deg(P) > 3. Nous approchons P par une forme AB(A + B) de de@ < deg(P) + 3 de la faGon suivante :

LEMME 2. - Soit F un corps de caracte’ristique 2, dont chaque e’lkment est de la forme a b(a + b) uvec a: b E F. Soient n 2 1 un entier et P E F[t] un polynbme avec [leg(P) E (3 ‘I/, + 3,3 n + 2,3 71-t l}. Alors il existe A, B, R E F [t] tels que :

a) P = AB(A+B)+R; b) deg(R) 5 2n + 1; c) deg(A) = n + 1: deg(B) = n si deg(P) = 3 71 + 2 ; deg(A) = n + 1, deg( B) = n - 1 si

deg(P) = 3n + 1; deg(A) = 71, + 1: deg(B) = n + 1 si deg(P) = 3n + 3; d) deg(AB(A + B)) = deg(P).

119

1. Gallardo

Demonstration. - Ecrivons

P = po + . . . + p37L+3 t3n+3.

Si p3n+3 # 0, il existe a,b E F\(O) tels que nb(c~ + 6) = pan+3. Si psn+3 = 0, on prend a = 1, b = 0. Les equations,

0 = a2b3n+z +1)3n+2,

. .

ou I = 1 si n est impair et e(n) = 0 si n est pair, determinent les coefficients b3n+2r. . . , b271+2. On pose :

A = a tn+‘, B = bfL+l + b3n+2 t” + . . + b271+2>

R= P+AB(A+B).

On a deg(R,) 5 2n + 1. On a done prouve a) et b). Les resultats Cnonces en c) suivent des choix de a, b E F qu’on a

faits, et d) dkoule de c). Specialisant F a un corps fini de caracdristique 2, distinct de FA et de FT> nous obtenons le

theoreme suivant ;

TH~OR~ME 2. - Soit F un corpsfini de caracte’ristique 2! F $ {F4, Fz}, et soit P E F[t] unpolwcime de degre d 2 4. Alors il existe A, B, R E F[t] tels que :

a) P = AB(A+B)+R; b) deg(R3) 5 2d + e> avec e = -3 si d = 0 (mod. 3), e = -1 si d z 2 (mod. 3), c = 1 si

a! G 1 (mod. 3) ; c) sup(deg(A”), deg(B”), deg(A B(A + B)) < d + 3.

Demonstration. - Par les lemmes 1 et 2.

THBOR~ME 3. - Soit F un corpsjini de caracte’ristique 2, distinct de Fa et de Fj. Chaque polynBme P E F[t], avec deg( P) > 6, est une somme restreinte de 5 formes cubiques A B(A + B).

Demonstration. - Si deg(P) > 9, on applique trois fois le theoreme 2 et une fois le theoreme 1. Si 7 < deg( P) 5 9, on applique deux fois le theoreme 2 et une fois le theoritme 1.

TH~OR~ME 4. - Soit F un corps fini de caracteristique 2, F $ {Fa, F4, FIG}. Chaque polynome P E F[t], est une somme restreinte de 5 formes cubiques E F( E + F).

Demonstration. - D’apres les theoremes 2 et 3, on peut supposer deg(P) 5 3. Si P est de degre 5 l! cela resulte du theoreme 1. On suppose deg( P) = 2, et on Ccrit P = p2 t2 + pl t + po, p, E F. j E (0, 1,2}. Si po # 0, on pose A = a, B = b t + h, C = c t: D = d, avec (I, b: c, d, h E F 2 determiner. On determine n, h tels que ah(n + h) = po! en appliquant le lemme 1 a po. Puis on choisit d E F, avec ds +! (0, a”} ; cela permet de resoudre le systeme lidaire c2d” + aAb2 = pf , c2d + ab2 = ~2, en b2, c2. Alors P = ilB(A + B) + CD(C + D), est une somme restreinte de deux formes cubiques E F(E + F). Si pa = 0: on pose A = a, B = bt, C = et, D = 1. En choisissant CL’ $ (0, l}, on determine b2, c2 a partir du systeme lineaire c2 + a”b2 = p:, c3 + ub* = p2, et on obtient le m&me resultat.

120

Une variante du problirme de Waring sur FjTl [t]

Soit P = 1)3 t” + p2t2 + pit + PO E F[t]! avec pa # 0. On pose A = alt + a0 , B = b,l: + b. , C =

CO ,D = do E F[t], avec al,ao,bl,b~,c~,d~ E F a determiner. D’apres le lemme 1 on obtient ulr bl E F, avec albl # 0, UT # b:, albl(al+bl) = p3. Puis n i, bi E F sont determines par le systeme lineaire, bfa~+u~b~ = pz. blai+nlbi = pl. Soit 6 = po+aobo(ao+bo). Si 6 = 0, P = AB(A+B) est une somme restreinte d’une forme cubique EF(E + F). Si (1 # 0, on obtient co, do E F tels que codo(ca + do) = 6 en appliquant le lemme 1 a 6. Alors P = AB(A + B) + CD(C + D) est une somme restreinte de deux formes cubiques E F(E + F).

COROLLAIRE 1. - Soit F un corps jini de caracte’ristique 2, F = F2-. Si n > 4 est pair, chaque polynBme P E F[t] est une somme restreinte de 10 cubes. Si n, > 3 est impair, chaque polynBme P E F[t], est une somme restreinte de 15 cubes.

Dkmonstration. - Cela resulte des theoremes 4 et 2, et des identites AB(A + B) = (A + QB)~ + (B + CUA)~, oil Q E F est tel que o # l;o? = 1; AB(A + B) = (A + B)3 + A3 + B3.

Remerciements. L’auteur remercie Jean-Pierre Serre et le rapporteur anonyme pour leurs observations qui lui ont permis d’amkliorer cette Note.

R6fkrences bibliographiques

[l] Car M., Cherly J., Sommes de cubes dans l’anneau Fah [Xl, Acta Arith. 65 (1993) 227-241. [2] Gallardo L., On the restricted Waring problem over F~TI [t], (en prkparation) 1998. [3] Lid1 R., Niederreiter H., Finite Fields (p. 327 et p, 295), Cambridge University Press, 1984. [4] Vaserstein L.N., Sums of cubes in polynomial rings, Math. Comp. 56 (1991) 349-357.

121