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U n e c lasse de p r o b l ~ m e s v a r i a t i o n n e l s n o n lin@aires de t y p e e l l ip t ique o u p a r a b o l i q u e (*).
JOAO-PAULO DIAS (Lisboa, Por tugal ) (**)
Summary. - In this paper we study existence and regularity properties /or a class o/ degenerate elliptic and parabolic nonlinear variational problems.
Introduction.
On in t rodui t duns ee t rava i l une elasse d 'op6rateurs non lin6aires d6finis duns
des espaees de So]30LEv avee poids (au sens de P. GRISV~D, el. [14]). Soient, pa r exemple , D la boule ouver te de R N ( N > I ) de centre duns l 'origine
25
et r ayon 1, ~(x) = 1 - - ~ x ~ ; p e t e tels que 2 4 p < ~ - co, 0 d e < r a i n ( p - - l , p / N ) = p / N .
1:)080118 ~=~
~ Ou } V = W2"(~) = u e ~)'(S2)l~"u, ~ f~ ~ eL"(~), i = 1, ... , 5" .
Soit A: V---~V', dual de V, d6fini pa r (on a V~>L~(D)):
(0.1) (A~,~, v) ---- ~ ~ u ~-~ ~u ~v
Vu, v e V, off ~ > 0 .
La condit ion a < p - - 1 entra ine , pour u e V, l 'exis tence de t race sur /~ duns le sens des espaces de SOBOLEV (1).
On p e u t alors se poser des probt~mes aux l imites du t ype :
(0.2) u ~ K , ( A u - - J , v - - u ) > ~ O , V v e K ,
o~ K est un convexe ferm6 de V d6fini pa r
K - = {veVlg<~ v < g ~ sur F } , o~ g, gl ~ V,
(*) Entrata in Redazione il 22 aprile 1971. (**) Boursier de la Fondation Calouste Gulbenkian (Portugal).
(t) Pour p = 2 et ~ = 1 (cas otk il n 'y a pus de traces) on obtient un op6rateur du type 6tudi4 dans [1].
264 J . -P . D~AS: Une classe de probl~mes variationnds non lindaires, ete.
on, si Z ~ V ct z<g~ sur t ' ,
K-= (v~Vlg<v<g~ sur F ct v> x snr ~ } .
Pour l 'op~ratettr A d6fini par (0.1) l ' in6quution (0.2) admet toujour~ une solution.
On g~nSrulise ce r~sultat. Supposons main tenunt sup.n ess. Z < ÷ co et f tel quc
avec /~eL~(~), k = 0, 1, ..., 5 '~, o/i q>p'N/(p- -~N) , p '=p/ (p- -1) . On d6montrc les r6sultuts suivunts:
Si s u p . r e s s . g < ~ - c ~ et inf .ress, g ~ > - - c ~ ulors route solution ~ de (0.2) est
bornde sur ~2. Si, en part iculier , (~Z/~X~) ~ L~o¢(/2), 1 > N, i = 1, ..., N, alors u eat loealement
h01derienne duns /2.
De plus, si g,g~C°'~(F), x<g stu" F et cf~(~Z/~x~)~L~(~), l>pN/(p--scN), i ~- 1, ..., N, ~lors u ~ C°'~(~).
On g~n4ralisc ainsi des r~sultats de r~gulurit5 contcmts duns [7], []7], [22] s t [24:]. On dgmontrc encore un thSor~me d 'approximut ion si g, g~ et Z sont lipschitziennes. Supposon p > 2 , 0 ~ K , 0 < T ~ ÷ c ~ et soit K----{u~L~(0, T; V)]u(t)~5~ p.p.
(presque pur tout) sur ]0, T[} . On d4montre des rSsultuts sur l 'existence de solutions de l ' in4quution
T
f( v ) (0.3) u~iE, ~t ÷ A(t)u, v - -u dt>~O, , o
off A(t) est un op6ratcur g~ndrali~ant l 'opSrateur dSfini par (0.1) ct D(d/dt) est ls domains de d/dt ~ prficiser duns chaque cas considdr5 (probl~me de CA~'e~¥ et pro-
blame pSriodique). Ensui te on finonce, pour A(t) partieulier, des propri~tds de r~gularitd en x des
solutions de (0.3), en utilisunt lu premigre purt ie de ce t ravuil et des thdorSrnes de
H. B~z~s (el. [5]). Pinulement on dtublit des rdsultats de per turba t ion pour certaines ingquutions
vuriationnslles. Une purt ie de ce t ruvai l ~ dt~ r~sumde duns [8] e t [9]. Po t~ quelques applications num6riques voiI" [10]. Les fonetions et espuces vectoriels consid~rSs duns cs truva.il seront toujours
rgels.
J . -P . D ~ s : Une classe de probl~mes variationnels non line'aires~ etv. 265
Si x : (x~, . . . ,xa,), y== (y~, ..., y ~ ) e R ~ et u: ~ 2 c / ~ - ~ R on pose
o/1
On ~crira aussi
et
°, j = 2 ~ x ,
Vu-=- , . . . , ~ .
!lVutlo.= [ iVullko - ( f[vu(x)ldx)
I.QI = mesure de L E B E S 6 ~ de .(2.
Soient X ct Y deux espaces vectoriels topologiques.
On 4crir~ X ~-~ Y pour expr imer que X est contenu dans 17 avec inject ion con-
t inue. Soit u~ une suite de X et u ~ X. Si u~ converge fo r t emen t (respect. f~iblement)
vers u dans X on ~crira u ~ - ~ u (respect. ~ e --~ ~). J e t iens £ remereier M. le Professeur LIONS pour ses conseils et ses encotu 'agements
contimtels. Le p lan est le su ivant :
1. C~s elliptique.
1.1. Les espaces et les op6rateurs.
1.2. L ' in4quat ion re la t ive aux convexes
et
Kg,~ = (u e Vlg<~,u<g~ p.p. sur F}
K~,~,,~= {~eg~,~ju> z p.p. sin. 9}.
2. Cas parabol ique.
2.1. Lea espaces e t t e s op~ratettrs.
2.2. L ' in~quat ion re la t ive aux convexes
et
~ ,~ , = {u e 'Ulu(t) e Kg,~ p.p. sur ]0, T[}
JS~.~l.z ~- {u e "Utu(t) E K,.~,,z p.p. sur ]0, T[} .
2.3. Quelques r~sult~ts de per turba t ion .
266 J . -P . DLts: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires~ etc.
1. Cas ell iptique.
1.1. - Les espaees et les op6rateurs .
1.1.1. Les espaces W~'~(~). - D a n s la suite ~ sera un ouver t born6 de R -v, N > 1, de point g6n6rique x = (xj, ..., x~), de fronti~re F, vari6t6 de classe C x et ~le dimen- sion N - - l , ~ 6rant localement situ6 d 'un seul c6t6 de F.
Soit ~: R "v -~ R u n e fonction v@ifia,nt
(1.1.1) q~ e C~(R ;)
(1.1.2) .Q = {x e / Y l ~ ( x ) > o}
(1.1.3) r = {x e2Yl~(x) = 0}
(1.1.4) dv (diff6rentie]le de ~0)¢ 0 sur P.
On sait qtt'il existe Mors deux constantes positives e~ et c2 tetles que
(1.1.5) c~d(x, P) < ¢2(x) < c2d(x, 1-'), V x ~ zQ ,
oil d(x, _F) d6signe la distance de x ~ ] I Soient ma, intena~nt p e t ~ tels que
l<p<~- oo
O<~<p--l.
(1.1.6)
(1.1.7)
On pose
(1.1.8)
off D ~ u - - ~ u / ~ x ~ au sens de ~'(~C2). ]~Iuni de la norme
(1.1.9)
off
(1.1.10)
et
(1.1.11)
,~ , ~ - l i ~ l i ~ ) ''~
( f l )1/, Vv e/~'(.Q), bll~,~= ~(~)1 ~dx ,
J . -P . DZAS: Une e~asse de prob~mes variationnels non lindaires, etc. 267
V e s t tin espace de BA~Ae~ uniformSment convexe donc, en purticulier, r6flexff et s t r ic tement convexe.
Les esi)aces v~ W~(.(2) ont ~t4 ~tadi~s par P. GtCISVAICD (cf. [14]). NOUS d6signerons par
(1.1.~) Vo = W~o(p.)
la fe rmeture de ~O(zg) da, ns V : W~(.c2) e~ par
(1.1.13) 7: V - ~ L~(IT')
(F ~vec 1~ mesure superficielle d F i n d u i t e par dx) 1~ t race sur _P au sens de V (eL [14]). On aura avec les notat ions usuelles (cf. [19], pur exemgle) :
(1.1.1~)
(1 .1 .15)
PgOZ:'OS:[TIO:N 1 .1 .1 . -- O n a
7(V) = W~-(~+~J')',(F)
Vo= {~ e vlT~ = o}.
(1.1.16) V = {u e L~(O)I~I~D~u eL~(O), i ~- 1, ..., ~T}
et la norme (1.1.9) est dquivalente d la norme
(!.1.17) l/~ ]i = (llu IJ~.~ + I[~ II~) ''~.
M u n i de la norme []. ![, V e s t aussi uni]ormdment convexe.
D ~ o ~ s ~ z o ~ . - Soit
E = {u e L~(O)lq~Z~D~u m L'([2), i = 1, ..., N}
muni de la norrne (1.1.17).
L' inctusion E ~-> V 6rant immedia te il suffit de mont re r qu 'on a V ¢->E.
E t a n t donn6 le caract~re local de V e t de E (cf. [14]) nous nous bornerons d6montrer que
oh
muni de la norme
~I~ J~ ~ 1/~ Illulrl= (lly ~L.~+i l~f lo)
268 J . -P . DIAS: Une olasse de probl~mes variationneIs non lindaires, etc.
off
X
ii l!0= ,1,.
est contenu avec injection continue dans
J~-= {ueL*(R+)Iy~'*D~ue.L'(R~.) , i = 1, ..., N}
muni de la norme
Ii~l = (Itu I IG~-+ I[~ I[I) 1''.
Soit alors
x ' = (xl, ..., G'-I) , d x ' = dx 1 ... dx~. 1 , u~[~.
On
d'ofl
(1.1.18)
1 +co
.llui'== f( R+ ~ R N-1 0 R 2¢-t 1
1
R~+ B N- I 0
Soit ma in tenan t O(y) e O ( R ) , O <O (y )< l , O(y)= 1 pour l y I < l , O(y)= 0 pour
lyl > 2. On a, avec v(x', y) = O(y)u(x', y),
1
(1.1.19) f(fI~r~dy)dx'<fl~l~a~ .~z,'- 1 0 R~ z
(1.1.20)
(1.1.21) lv(x', y) l<~(y)=fy(t)dt , y
ou ](t) = ]Dtv(x', t) 1 .
Ceci 6t~nt, ~ppliquons ~ ](t) et F(t) le th6or6me 330, 2 ~m" in6gahtG de [15].
On obtient , compte t enu de (1.1.21),
(1.1.22) + c a +¢o +co
0 0
J . -P . DIAS: Une elasse de probl~,mes variatTonnels non lindaTres~ etc. 269
Donc, par,(1.1.20) et (1.1.22), on ~
v ~ L~(R~) et
ce qui, 4rant donn~s (1.1.19) et (1.1.18), ~ehbve 1,~ d5monstrat ion. Dans lu suite V = W~'~t~ ~ v ~ ~ j seru toujours consider5 comme muni de 1~ norme
I1" tl d4finie p~r (1.1.17). A l'~ide de l'in4g~lit4 de HSLI)E~ il est uis5 de voir que (cf. aussi [12], proposi-
t ion 1.1~ (V)):
PRoPosImto~: 1.1. , °. - Soit m tel que
P (1.1.23) l < m < 1 +--~"
Alors on a
V ~ W~'~(~).
CO]~OLL2~It~E 1.1.1. -- Soit m vdri]iant (1.1.23). Alors on a V~>TJ~(t)) avee
in~eetion eo,mpaete.
Passon main ten~nt h la d6monstr~tion d 'une in4galit4 du type de l'in4galit~ de SOBOLEV ordin~ire:
PI~OPOSITION 1.1.3. - Etant donnd m tel que
(1.1.24)
soit
(1.1.25)
Alors on e[
et
(1.1..26)
(1.1..o7)
N P l o min(, )
m N m ¢ -
v~z~*(~9)
27
!] u ]lm*.~ < M,,. ~ l]qJ"~D,u l!~.r~, 'v'u ~ V , , 1=1
Mm = N -'i', ' ( N - - 1 ) m ( /" \(~-~,,)s(~,~) N - - m J~P-~")'('-~)) "
E n partieutier, si :~ < p / N alors on peut ehoisir m vdri/iant (1.1.24) et tel que ra* > p.
270 J.-P. Dihs: Une dasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
(1.1.28)
D 'aut re part~ on
(1.1.29)
et
D£3~ONSTICATION. -- O n ~ (e l . [11] )
(/~'-- I) m i I I u l I < ~ < ~ - " ~ " - N _ m II~9,~ll~.~,
i = l
]D~ ul ~ = q~-~'(m/') ¢ '~/~)]D, ul ~
Vs~ c q)(.O).
(1.1.30)
Alors on a
(1.1.31)
et il existe une consta~te c telle q~e
/ ] / = sup
tout m > ~ vdri]iant (1.1.24), pour
oi, ~/I~ et m* sont dd]i~is par (1.1.27) et (1.].25), respecti~)ement.
On peut encore demontrer 1~ proposition suiv~nte ~ l'~ide de (1.1.28) et du th4o- r~me 1.1 de [12]:
P~OPOSITIO~ 1.1.4. - S~epposons en part ieul ier , ] < p < N et soit p* = p Y / ( N - - p ) .
Alors on a
( 1 . 1 . 3 e ) li ¢"~' , il ~*~ < ~ '~] u iio,
L~ proposition suiv~nte ser~ ntilis~e syst~m~tiquement d~ns la~ suite:
Vu e Vo.
Puisque ~.m/(p--m) < 1 on ~ ~ussi, avec (p/m)'=p/(p--m),
¢ ~ ' ~ ' ~ e L ~ ' ( 9 ) .
It suifit m~inten~nt d'~ppliquer ~ (1.1.29) l'in6g~lit6 de H()LDEI¢ pour obtenir (1.1.26) sur ~ ( ~ ) ~ p~rtir de (1.1.28). Par continuit6 on prolonge ~ V0 l'in6g~lit6 obtenue.
:[?our d6montrer que V~->Z'/(~) on r~isonne sur ~ ( ~ ) c WL~(/2)~>L2(~) .
COI~OLLAII~E 1.1.2. - Supposons
0 < ~ < r a i n ( p - - l , p / N ) .
J . - P . DL~S: Une classe de prob~mes variationnels non lindaires, etc. 271
P~OeOSlTIO~ 1.1.5. - Soit G: R - + R une ]onvtion telte que
Alors si u s V on a
(1.1.33)
(1.1.34)
On aur~ alors
et donc
un v ~ V tels que
G(uk) ~ v duns V .
G(uj;) -z~ v duns L~(~)
v---- G(u).
D~autre p a r t on u, pu isque y u ~ - ~ y u duns L~(F),
G(yu,~)-~ G(yu) duns L~(F)
et aussi, pu isque G ( % ) ~ . G(u) d~ns V~
G(yu~) ~ yG(u~)-~- yG(u) duns L~(F).
D o n c on u (1.1.34).
CO~OLAI~E. - Soient u, v ~ V . Alors v~ a
(1.1.35) max(u , v), rain (u, v) ~ V
(1.1.36) 7 m~x (~e~ v) : m~x (Tu~ 7 v ) , y rain (u, v) == mill (yu~ FV) .
G(u) ---- (7 o u c V
7G(u) -" G(~u)
D~O~S~RATIO~. - Soi t u ~ V. I1 v ien t G(u)~L~(~Q) et si u ~ C~(.Q) est une
sui te telle que u~ ~-z~ u duns V on ob t ien t
G(u~) ~ G(u) duns L~(f2)
et
Doric lu suite G(u~) est born6e duns V e t uinsi il exis te une sous-suite G(u,) et
272 J . - P . DIAs : Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
D]~0.NSTRATI05L - I1 suffit de r e m a r q u e r que
off
m a x (u , v) = v + (u - ~ )+ e t ra in (u, v) ---- v - - (u - - v ) - ,
u + = m a x (u, O) a t u - = --rain (u, O) .
CO~.OLLA~E 1.1.4. -- Si u e V alors pour k e R on a
{u} ~ = ra in (u, k), {u}~: = m a x (u, k),
De plus,
si k > yu p.p. sur F aIors u - - {u} ~ e I~ ;
si k < yu p.p. sur 1" alors u - - {u}~: e V0 ;
si k >~ lyul p.p. sur [ ' alors u - { u } k ~ e Vo.
D~)fO~ST~ATIO~. - P u i s q u e u - - {u} ~ = mt~x (u - - k, 0) ~> 0
6 t a n t donn6e la r6gu la r i t 6 de ~9,
D ' a u t r e p a r t on a, si k > y u p.p . su r I ~
r (u - - { u ) '~) = m n x ( r (u - - k), 0) < 0
D o n c ~t - - (u} ~ e Vo.
g a i s o n n e m e n t s e m b l a b l e p o u r u- - (u}~: si k < y u p .p . su r F .
P o u r le d e r n i e r cas r e m a r q u o n s que
p .p . sur Y2 il v i e n t ,
p .p . sur F .
p .p . sur F .
e t que , si 7~> I),u[ p .p . su r F, alors lz<~,u et --k<<.min(yu, k ) ~ y{u} k p .p . sur F .
COROLLAIRE 1.1.5. - Soit u e V tel que ~u>~O p .p . sur 1". Alors il existe une suite
u , ~ C~(~) telle q~te
7 u ~ O , n----- 1, 2, . . . , e t u , ~ u da~s V.
DI%~ONST~ATION. -- O n a, u = u, + --~t- a t u+~> 0 p . p . s u r ~ . D o n e , il e x i s t e u n e
su i t e v ~ e C l ( t ~ ) , ~,~>0 sur ~9, v , , ~ u + d a n s V. D '~mt re p ~ r t on ~ ) , u - = ( y u ) - : 0
e t , done , i l ex i s t e une su i te w, e C~(~9), w~7> u - dans V. L a su i te
v6rif ie les c o n d i t i o n s de l '6nonc6.
J . -P . DI~s : Une dasse de probl~mes variationnets non lindaires, etc. 273
PI%OPOSITIOiN 1.1.6. - Si u e V alors, pour tout k e R, on a
0 si u>~k Dt{u}~ = D~u si u<l~.
De plus l'application u-~{u} 7~ est continue de V dans lui-mdme.
D~0NSTRATION. -- Pour In premibre purt ie de l'~nonc6, cf. [27] et 1~ proposi-
t ion 1.1.2. Soient m~in tenan t u,u.~eV, m = 1 , 2 , ..., u ~ - ~ u dans V. Nous allons d6mon-
t re r qu' i t existe une sous-suite uz de u~ telle que
Soient
et
{u,~}7¢-T~ {u,} dans V.
E~ = {x e 91u(x) > ~},
X~ = {x e 9[u(x) < ~, u~(x) < k},
z~ = {x e 91u(x) > k, urn(x) < k}.
Puisqu 'on ~ {u~,}~-~, {u} ~ dans L~(Y2),
~Q Xm Ym Zm
et
Zm Zm gm
il suffit de mont re r qu' i l existe une sous-suite u~ de u~ telle que
Yt g~
Consid6rons, pa r exemple , le second cas et supponons u,~ ~ u p.p. d~ns .(2 (sinon
on ext ra it une sous-suite). P a r le th6orgme d'EGo~oFP, pour chaquc n = 1, 2, ..., il exis te F~cEI~. et un indice re(n) tets que
1 m(n + 1) > m(n) et Z~ c {x
pour m > re(n).
1 8 - A n n a l i de ,]Iatematiea
274 J.-1 ). DLcS: Une elasse de probl~mes variationnets non line'aires, etc.
Posons G,~= [.J Z,,. On m~mCn)
G~c{x~,O[k < ~(x)< ~ + ~-} u_,v~
d'o~ Iv,,! ~ o. De plug G.+~c G~. Donc,
Raisonnement analogue pour le premier cas.
1.1.2. Les op&ateurs. - Dans l~ suite nous supposerons toujours que (1..1.30) est
v6rifi& l~ous d6signerons par V' et V o' les espaces du~ux de V = W~'~(~2) et de I o~ =
_ uz~,~ ~2~ respect ivement . - - ~v ~ o ¢ , 0 \ / 9
On ~ V~ c ~'(.(2) e t si ] ~ V' a.lors il existe
i0, h, ...,/~. e L~'(~),
tels que
(1.1.37)
off p ' = P p - - l '
off ( , ) d6signe 1~ dualit6 ent re V' e t V. On se donne main ten~nt des fonctions
A~: £2 ×R'~'+I-> R, t~= O, ] , ..., 2V,
telles que, pour x e f 2 , z = (Zo, zl, ..., z~.) ~ R "v+', on ~
(1.1.38)
(1.1.39)
A~ est measurable en x pour z fix6 et continue en z pour presque tou t x
fix6
3 des constantes non n6gatives ao, a,, as, a3, une constante a > 0 et des fonctions ho, h ~LJ(12), # e Lt(12), ~elles que, pour presque tou t x et pour
tout z, on N \ ( ~ - 1 ) / ~
]At(x, z)l < l~(x) + a2 Z {z~]~-I, ~ = 1, ..., iV, r = 0
2~ ~V
Z A,(x, z)z,>a Z { ~ ? - a~tzot~-~(x) • i = 1 l=1
g.-P. DzAs: Une ctasse de probt~mes variationnels non tindaires, ere. 275
En r~isoml~nt comme duns [18] (en part.icuHer en utiHsunt le Lemme 3.2 de ce travail) on obtient f~cflement lu
P~OPOSZTzO~- 1.1.7. - Si u E V alors, pour k ~ 0, 1, ..., iV.
(1.1.40) A~(x, u) = Ak(x, u(x), (p~l~(x) D~u(x), ..., ~/~(x)D~.u(x)) eL;( .Q)
I1 existe un opdrateur A: V-+ V ~ tel que
(1.141) (Au, v) = o(X, u )vdx + ,(x, u)?~/~D~vdx , Vu, v ~ V.
9
De plus, A est demi-eontinu (i.e., eontinu de V fort dans V' ]aible) et born~ (i.e., trans-
]orme les bornds en des born~s).
P]~oI'osz¢Io:N 1 . 1 . 8 . - Soit A: V-~ V' un opdrateur dd]ini par ( 1 . 1 . 4 1 ) , ( 1 . 1 . 4 0 ) ,
(1.1.38) et (1.1.39) et vdri]iant
(1.1.42) a-- (ao ÷ aa) M ~ - - a 1 M > O,
oi~ M est ta eonstante ddlinie dans (1.1.31). Soient G, G1, w, us ~ V, n ---- 1, 2, ..., tels que
(1.1.43)
Alors on a
(1.1.44)
D~,tVfOINST]IATION. -- O n 9~
d~o~l, ~ v e e
on obtient
D'~utre par t on
yG<yu~,<yG~ p.p. sur F, et Hu~][-~ ÷ co.
G - ( u s - G)-~- inf (us, G ) < u s < sup (us, G1)-~ G~-~- ( ~ - GI) + ,
----- (U s - - ~ ) - - ÷ (Us - - G1) +" ,
{us]<v÷ ]el÷ I~11,
IDly]< IDiu~t ÷ ]D~Gt ÷ ID~G~I,
][~]{0< [!u~l[0+ I[V[]0+ /IGII[o,
276 J . -P . DIAS: Une etasse de probl~mes variationneTs non tine'aires, ere.
ee qui donne, puisque v~ Vo,
I[vilo,~ < M'~v[[o< Mitu~tlo+ M( lIGl[o + [IG, ilo).
D o r i c , o n P.
Ainsi lfu~;l ~-~ + c~ entraine IIu~ ~0~-~ + oo et on 9. (].].44) si
(Au,,, u,,--w) (1.1.45) I!u.t! . 7 + co .
D6montrons (1.1.45): On 9.
(Alto, ~t.--iv) ~- (Au,~, u . . ) - (Air., iv)>
>a]lu, ll~--a.~ u I * a - - e 2 ( l + ['{u, '~-1 ,~-1 fA ~ ~. ,[0 + ] l~ . l l . . . )+ o (x ,u . )u . ,
et, d'9*utre par t , on
( + ° ) Iru,,iI,.a-<-Iju,]]o M Huff;
e t
Ao(x, ~)~,~ < (e, + o~]~t~L.~ + a~lju~I[o )lJu.J]..~ <
Mais,
tend, qna.nd n - ~ + c~, vers
a - - (a. + an) M~ - - al M > 0 .
Donc it existe b > 0 et un indice n~ tels que
b~>b pour n > n b,
ee qui entrg*fne (1.1.45).
J.-1 ). DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels no~ lindaires, etc. 277
L~ rem~rque suivante simplifieru 1~ suite de Fexposition:
RE~AgQUE 1.1.1. -- Soit A: V -~ V' un op~rateur d4fini par (1.1.41)~ (1.1.40)~ (1.1.38) e t (1.1.39) e t soit ]~ V' d4fini par (1.1.37). Posons
t A~(x, z) = A~(x, z) - - i~(x) , I¢ = Or 1, ..., N ,
et soit e > 0 tel quc a - - e ~ 0 . On a
<e :Z Iz~P+ e(~) ~: II,(x)l' i=l t = 1 i = 1
et done les A'~ vdrifient des indg~lit~s du type (1.1.39) ~vec h,(x), h(x) et #(x) rein- ptac~s respect ivement par
h'.(x) = no(x) + l/o(X)l, Z¢
h'(x) = h(x) + ~: I/ ,(x)t, i = 1
et
et avec a rempluc4 p~r
Donc l 'opdr~teur
~v
~'(x) = #(x) + e(e) Z I/~(x)p i - 1
a r=-- a ~ £ .
A ' = A - - ]
est encore du m4me type que A.
En purticulier si A v~rifie (1.1.42) on peut choisir e, inddpendent de ], tel que A' vSrifie encore (1.1.42).
1.1.3. Equat ions et indquations. - La proposit ion 1.1.8 entr~ine, compte tenu du Corollaire 30 de [4] et du Th~or~me 2.2 du chapitre 2 de [20], 1~ proposit ion suivante:
P~OPOSlTION 1 . 1 . 9 . - So it A : V- ->V ' uu opdrateur vdri/ iant les conditions de l'dJwncd de la proposi t ion 1.1.8 et pseudo-monotone dans V /aible. Soient G, G~ ~ V~
K un eonvexe ]ermd et non vide de V tels que y G < yv .~ y G ~ p.p. sur I'~ V v ~ K , et j ~ V' . Alors il existe u n u ~ V tel que
(1.1.46) u ~ K , ( A u - - ], v - - u) > 0, V v c K.
Si9 en partieulier~ A est monotone et on a
(Au - - Av~ u - - v) -~ O,
entra~ne [[ul[ ~-]lvl] alors la solution de (1.1.46) est unique (2).
u~ v ~ K
(2) On sait (cf. [13]) que cette condition d'unicitd dquivaut, puisque V e s t strictemen~ couvexe, ~ la stricte monotonie de A sur K.
278 J . - r . DIhs : Une dasse de probl~mes variationneIs non lindaires, etc.
R ~ A ~ Q U E 1.1.2. -- En p~rticulier ~vee K = Kg= {re Vlyv== g}, off gey(V) (1.1.46) ~quivaut au probl~me de D ~ C H ~ E ~ :
(1.1A7) yu ~- g, (Au, w) .... fro, w), Vw e fl)(.Q),
off ]o e V~ est la res t r ic t ion de ] ~ Vo. Ceci d4coule du fair que K s = u + Vo.
EXE~PLE 1.1.1. -- Supposons, en part iculier , p~>2 et soit A: V-~V' d~fini par :
(1.148) (Au, v) -=- ~lD~ul~-~D~uD~v dx, Vu, v E V. i = l J
t~
I1 est ais4 de v~rifier que A est monotone et v4rifie les conditions d 'appl ic~t ion de la
proposi t ion 1.1.9 (~vee a o = a ~ : a3~-- 0 e t a = a ~ = 1). Supposons K c K ~ et u, v e k . Alors si (Au - -Av , u - - v ) ~ - 0 on obt ient f~eilement D~u-~ D~v, i = 1, ..., N ce qui
entra ine (puisque u - - v E T ~ ) ,
~ V .
1 . 2 . - L ' i n ~ q u a t i o n r e l a t i v e a u x c o n v e x e s ,
K~I= {ue V]~<Tu<g~ p.p. sur F}
et
K~.J,z: {ueK~.~Iu>Z P'P" sur £2}
1.2.1. Position du probl~me. - Sous les hypotheses et les nota t ions de 1.1.2
soient
(1.2.1)
Alors
(1.2.2)
g, gle~(V) telles que g<gl p.p. sin" F.
K~- - - - (ue VIg<yu<gl p.p. sur F}
est un convexe ferm4 et non vide de V.
Soit muin ten~nt
(1.2.3) g e V telle que yz~<gl p.p. sur F.
Alors
(1.2.4) K~.~,x: {ueK~.gtlu~ Z p.p. sur 9}
est un eonvexe ferm~ et non vide de V.
J . -P . DIAS: Une vlasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc. 279
:En effet, on
(1.2.5) G = a~ + (Z - - G~)+ E Kg,g,z , VG~ e Kg .
Pour simplifier l 'expos6 nous consid6rons duns 1~ suite seulement le convexe
(1.2.4). On obt iendra les r6sultats correspondants pour le convexe (1.2.2) en supposant
Z ~ - - c ~
et, donc, en supr imant les hypoth6ses sur Z dans les 6nonc6s. Ceci 6rant, et compte tenu de la remarque 1.1.2, on va se borner g 6tudier la
in6qu~tion
(1.2.6) u E Ka.g,.z, (Au, v - - u) > 0, Vv ~ Kg.g~,z,
off
(1.2.7) A : V--> W
est un op6rateur d6fini par (1.1.41), (1.1.40), (1.1.38) et (1.1.39).
t~emurquons que si Z = - - - c~ alors (1.2.6) entrain% en part ieutier
(1.2.8) (Au, w)= o, Vw E G .
Si t 'on a aussi g = g~ alors (1.2.6) 6quivaut au probl6me de DIl~ICHLET (el. la rem~rque 1.1.2).
Dans la suite e repr6sentera une constante d6pendant (6ventuellement) de N , p , Y2,~ a e t des eonstantes ao, a~, a~, aa, et a de l 'op6rateur A (cf. (1.1.39)).
Le th6or6me suivant est par t ie l lement contenu dans la proposit ion 1.1.9. Cepen- dan t on le d6montre avee une technique particuli6re qui nous interessera darts la suite.
T:H~01C:~ME 1.2.1. -- Soit A : V - ~ V ' v&i]iant (1.2.7), (1.1.42) et pseudo-monotone dan.s V ]aible.
Supposons g, gl ~Z~(Y2), sup.o ess. Z < • oo et soit G ~ K ~.~, z. Alors (1.2.7) admet une solution. De plus~ toute solution u de (1.2.7) vdri]ie
(1.2.9)
(1.2.1o)
1/(~-- I) 'l/Ip ] l ] u l l . , . < e [ l + ~ o + ,oo . , . . + ~, ~,,~ ,
off ~, = max (llg[l~,r, [Igl[l~,r, sup.~ ess. X).
On commence par d6montrer deux lemmes sur des estimations g priori:
280 J . - P . ])I/kS: Une classe de probl~mes variation~ds 'twn lindaires, etc.
LE3~IvrE 1.2.1. - Sous les hypotheses du thdor~me 1.2.1 soit pour chaque k>~O,
(1.2.11) B,, = {v c K,.~..z I ]Iv ]!-4< k}.
Alors il existe ~zne eo~stante c, ne d~pendant pas de k, retie q~e pour tout u e V tel que
u~B~, ( A u / v - - u ) > O , V v ~ B ~ , (1.2.12)
O~'b
(1.2.1.3) 'I~ l 'i/~-i)~ '. 1/~] .
D]%m~STm~TIO~'. - On ~, u ~t~nt une solut ion de (1.2.12)~
v = { u } ~ + K~.~.z, 'fly r:1 < ll",[l
et done
v EBI~.
Soit
et
W = ~ - - V @ "[?-o .
On dSduit f~c i lement de (1.2.12)
(1.2.14) ¢~/A~(x,~)~/,D~u<--/Ao(X,~Ow E E
d'ofi , avec M d~fini p~r (1.1.31),
(1.2.15) allwl:o~ :[#!],..~+ ,[~.~+ Mi[Ao(x, u][ , ~i]w[I o
D ' a u t r e ' pa r t on a
(1.2.16) IIAo(x, u)i]~'.E( Ith'o II,¢.r, -t- a, II w i~ -1 @ % ':]ul ~-1 , ; ~,, [2 "
Soient m a i n t e n a n t b ) l et e > O. On a
E E
g.~P. D~AS: Une c~asse de probl~mes varialionnels non lind°ires, etc. 281
d~ofi, si O < d < b ,
(1.2.17) ,o. r~ ~ d ÷ , ,~,.~.~ [(1+ ~)~L[w110,~ (~, b)~T~l.Ol ~°]
oh q(~, b) = [1 ÷ (1 ÷ 1/e)b] 1/b. Done on obtient de (1.2.15) et (1.2.16)
(1.2.18) al[wl]~< ]i/~]l~.~ ÷ a~(e , p)~T~]£2l ÷
÷ [aaM~( l÷ s )~÷ a i M ÷ a oMV(l÷ e)v-1]llwlt o~1
(1.2.18) entraine, eompte tenu de (1.1.42)
(1.2.19) [ lwI l ,<c[ l÷ ' /~ '+ ,oo7' ~,.z'('-~) ÷ g ~'3~.~
et doric, puisque wE V°,
h ' 1/r-1 -- 1/, ]
ce qui, 6t~nt donn6 (1.2.17), °ch ive la d6monstr~tion du Lemme 1.2.1.
L E ~ f E 1.2.2. - Sous les hypotheses du thdor}me 1.2.1 il existe ~ne co~stante c, ~e
dependant pas de k, telle que pour tout u e V vdri]iant (1.2.12), pour un k> ]]G]I, on a
(1.2.20) [':u[i < e [ l + ~ ÷ ,,oo~ ~,~'~(~-~)±. ~ "(°-'~ ÷ ~ , . ~ ~ ~.~" + JIG [].
D~fO~-S~ATZO~. - Soit ~ une solution de (1.2.12) pour un certain ~¢~> ]]G]I. On a, en partieulier,
(Au, u - - G) < 0
d ' o ~
(1.2.21) °(x, i = l d t = l J
(1.2.21) entraine, successivement,
+ (l/holt.,..+ Hh]i~,.)Ilall + [J~l]~,.+ (![ u~'
<c[l l~]l ; ,~÷ t/hoHi:~÷ ~h ; + ~,,. lf~]i~,~÷ lIGHt÷ ([lulls. .÷ Ilall)lEul[V ~] ,
(1.2.22)
Alors (1.2.13) et (1.2.22) entrainent (1.2.20).
IIuilo<c[lluli~.~+ h, .~I~(~-1) + ~ i,(~-1) + i~ ~",.. + V;]I]
282 J . -P . DL~s: Une elasse de probl~mes variationnels non tin&ires, ere.
D~fO~S~rt~ATIO~ DV T m ~ o l ¢ ~ 1.2.1. - Soit R > m a x (HGI!, L), off Z e s t le se
cond m e m b r e de r in@at i t6 (1.2.20). Puisque A est pseudo-monotone et B~ un convexe ferm6 et born6 il existe u a V
te l que
6Bs~
De plus, pax le L e m m e 1.2.2 on
Soit w ~ K ~ . . . z
r~me 2.5) :
On a
et doric
(Au, v -- u) > O, Vv e B , .
l i ' . it<~< R.
te l que 'i[wil > R et posons (cL aussi [28], d6monst ra t ion du Th6o-
R - - lI"ll Ilwll- I1<t"
v = ~,w-4- ( 1 - - 2 ) u e B~
(Au, w - - u) = 2-~(Au, v - - u) > O.
Ainsi u est une solution de (1.2.6). Soit m a i n t e n a n t v u n e solution de (1.2.6). Alors v est nne solution de (1.2.12)
pour k > m a x (]IGll, ]lv]]) et donc v@ifie (&ant donn6s les L e m m e s 1.2.1 et 1.2.2)
les in6galit6s (1.2.9) et (1.2.10). Le Th6or~me 1.2.1 est, done~ d4mont%.
PBO1)OSITIO~ 1.2.1. - Sous les hypoth&es du fhdor~me 1.2.1 soit ]~ e V', ]~-~-. ]
dans V'. Soit,~ pour chaque n, u~ a V tel que
(1.2.23) u, eK~.~ .z, (A%--f ,~, v - - % ) > O , VveK~.~,,z.
Alors il existe une sous-suite qz, de ~ et u~ ~ V tels que
(1.2.24) qzW~ u da,ns V.
(1.2.25) u E Kg,a,z, (Au - - ], v - - u) > 0, Vv ~ K~.~,~.
]D]~cIOtNST~ATION. - - Soit A~ = A - f~. Le Th6or~me 1.2.1 appliqu6 g An entraine
quail exis te un u~ e V v6rifiant (1.2.23) et
(1.2.26) [i%1i < c [ 1 + ~ + HLII1F/(~-t)~_ i[]~ 0 ~,~Q1]{l~-l} ~_ h i), y21/(~-I) _}_ ~¢~' 1,-1/~a ~ I[~[[] < Z
ind6pendant de n.
J . -P . DzAs: Une elasse de probl~mes variationneIs non lindaires, ete. 283
(1.2.27)
On ~ u ~ K ~:
Soit alors u, une sous-suite de u~ telle que
u , . -~ u darts V .
et ~lors
(Au,, u , - - u ) = ( A u , - - ] , , u , - - u ) + (1,, u, - - u)<(t , , u , - - u ) ,
d'ofi
(1.2.28) lim sup (Au , , u, - - u) < 0 . ~,-'->+ co
La pseudo-monotonie de A entraine alors
lim inf (Au~, u~ - - v) > (Au , u - - v) , r--->+ co
D'au t re par t , Vv e K~.g~.z, it vient
( A u , , u , - - v) = ( A u , - - f~, u , - - v) + G , u ~ - - v) < G , u , - - v) -~ (t, u - - v ) ,
d'ofi
~q) E Ko,a , ,z .
(Au - - ], u - - v) ~ O, Vv ~ Ko,o,,z-
C0g0LLXlI~E 1,2.1. -- Sous les hypoth~se du thdorkme 1.2.1 si A est strictement mo- notone sur K ~,~. z alors l 'applieation
(1.2.29) ] - ~ u ( ] ) de W dans V ,
ot~ u(]) est la solution unique se (1.2.25) est continue de V ' /oft dans V / a i b l e .
1.2.2. L a rdgutarit~ L ~ ( ~ ) . - Dans cette sous-section on supposer~
R ~ A ~ q V E 1.2.1. - Si ~ < p / 2 ~ - - 1 alors N < p / ( l + , ) .
Soit m tel que 2 ¢ < m < p / ( l + ~ ) . On a, par la proposition 1.]..2 et par le Th6o- r6me 3.8 du chapitre 2 de [23],
V C W l ' m ( ~ f ~ ) c C°'fl(~) c / ~ ( 9 ) o
2 8 i J . - P . D I x s : Une classe de probl~mes variationnels non lindaires~ elc.
TH]~OlC]~)[E 1.2.2. - Soient A: V-+ V' un opdrateur vgri]iant (1.2.7) avec ho E L~(.Q), #~L~(~2), l > N / ( p - - ~ N ) (3), g,g~, Z vdri]iant (1.2.1) et (1.2.3) et
(1.2.33) suP . t e ss , g < -~ 0% inf . ress , g~ > - - oo , sup.9 ess. % < ÷ oo.
Soit ~ e V une solution de (1.2.6).
Alors u e L ~ ( ~ ) et it cxiste un eo>O, d@enda~t de l, tel quc
(1.2.3~) ' I .I (I ' ~° '0 u I
off ~P-~ m a x (0, sUp.reSS, g, suP.reSS. (--g~), sup.~ ess. Z), e ddpe~dant aussi de l.
D]~)~OB-STRATION. - Pu i sque
N p --~N'
il exis te u n m = m(N, p, ~, l) te l que
(1.2.35)
et
(1.2.36)
On
max I, < m < 1~-~
~ = - 1 - - + ~ P
- - 1 > 0 .
m N m * -~ > Po = p t ' .
N - - m
Supposons k > k l , oil
(1.2.37) k~-= m a x ! , T , ~ ] I>LI~.~ •
o n a
v = { u y e Ko,~,,~
et on p e u t 6crire, avec
E~ = {xe~lu(x)> k} ,
fAo(x ,u) (u- -k)÷~l fA~(x ,u)~"D~u< EL Etc
O.
J . -P . DIAS: Une vIasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc. 285
On en d4duit
D '~u t re pa r t , on a,
f]~t < IIsII,.,~IE~P-",
et
f I~Vul~-~(u- l~;) < ~--~ f lcf'~VuI ~ --l-el(u--k)". Et; ~k l;k
r [ Nous obtenons alors de (1.2.38), avec 0 = 1 ÷ ilho!!z.a,
(1.2.39) E,,,: ,E~
d'ofl, puisque
on obt ient , compte t enu de (1.2.36),
(1.9.4o)
D'~u t re p~r t , on
d'ofl
t }
986 J . - P . DIAS: Une e~asse de probl~mes variationnds non line'aire% elc,
L a fone t ion w == u - {u}~e W~"~(/2) et est nutle sur ~/E~. D o n c p a r te Lem-
me 3 . 1 , v), de [3] (~), il existe une cons t an t e % ne d 6 p e n d a n t pas de w telle que
(1.2.~2)
ee qui en t ra ine
(1.2.43)
Posons
(1.2.~)
(~.~.~5)
Alors pore" k ~ ko on a
(1.2.46)
cS - - m * - - Po
Po m*
I~o = ms~ (k,, (e~ om'~)'-"~ ''~ il~, ~lm..) •
2
et donc, pour (1.2.40), (1.2.43) et (1.2.46),
( 1 . 2 . 4 7 ) d
D e n o u v e a u p a r (1.2.42) on ob t i en t
(1 .2 .4s )
Oeei en t ra ine (cf. le L e m m e 5.1 du chap i t r e I I de [17]):
~/z o
6 0 BO <c[1 ÷ w ÷ (1 ÷ [Ihol],.~ ÷ II~ll,.~)I[~1!,.~] a v e e ~o = m]~p.
On p e u t r a i sonner d ' u n e mani@e ana logue avee - - u en o b t e n a n t une e s t ima t ion
du mBme t y p e pour sup.~ess . ( - - u ) , ce qui achBve la d~mons t ra t ion .
RES¢A]~QUE 1.2.2. -- Sous les hypothBses des ThBorBmes 1.2.1 e t 1.2.2 on ob t i en t
donc l t es t imat ion su ivan te de IIull®,~ off q~ est une solut ion de (1.2.6):
i 7~ I 1/(~--1) . j_. 1 [~ (1.s.~9) I I '~l l~, .~<@+ v + (1 + lJ;'~,olhi~+ [}~jf?~)(l+ v + ,,oo ~,,..~ ~ ll,~ll~.~)].
(~) Ce lemme afflrme que pour tout 0 > 0 il existe une constante c(O) telle que pour tout E C / 2 tel que IEt>0tt21 on a lIuI[~,.~<c(0)llVull~.~, v u e w~.~(p.) nulle dans E.
J .-P. ])~ls: Une etasse de p~'obl~me~ variationnels non lindaires~ etc. 287
1.2.3. U~t thdor~me d~approximation. - Duns cette sous-section on va approeher K.~,z , suppos5 r~gulier d~ns un sens ~ pr6eiser, par des sous-convexes de fonctions lipschitziennes de constante de ~u~SC~gTZ non sup~riem'e ~ k et on d4montre une propri~t~ de convergence de solutions quund /¢ -~ -~ oo. Soit ulors Lip (~) Fespuce des fonctions r~elles uniform~ment lipsehitziennes sat ~. On ~, V u ~ L i p (~),
Iu(xO -u (x : ) l ~(~9) =- sup < + co
Lip (D) c V et Lipo (D) = {u e Lip (D)/ru = 0} c Vo.
De fa9on analogue on d~finit Lip (F) et 2r(g ) pour g~Lip (F). Pour tout geL ip (F) il existe (cf. [21]) G e L i p (~) tel que
(1.2.50) ~,G = g, )~(G) = ~r(g) et !IGIt~.~ = Ilgtt~.r •
On se donne ma.intenant des fonetions g, g~ et Z telles que
(1.2.51) g, g l ~ L i p ( F ) , g<g~ sur F , z e L i p (~) et Yz<g~ sur / ' .
Soit alors G~eLip (~) v~rifiant (1.2.50) pour gt. Posons
(1.2.52)
Alors on ,~
(~.2.53)
(1.2.54)
(12.55)
G = G~+ (z--GO ÷"
G e Lip (~) (~ K~.~, z
2~(G) < max (~r(gl), 2~(Z)) •
[/G JI < c max (~r(gl), ~(x) , 1Igl II ~.~, TI z ][ ~ . , ) .
PROPOSITION 1.2.2. - L~ensemble
(1.2.56) ¢ = Lip(~C2) ~ Kg.~,z
est dense duns K~.~, z.
D~O~S~RATZO~. -- Soit u e K~.~, z. Si G e L i p ( ~ ) et y G = g on a
y ( u - - G) >~ 0 p.p. sur F .
288 J . -P . DIAS: Une classe dc probl~mes variationnels non lindaires, etc.
Done, il existe une suite % telle que
v ~ e L i p ( 9 ) , v , , - -~u duns V
Soit G~ e Lip (D) telle que G~= g~. On f~
ce qui entra ine
et ),v~>~g.
(Gl - - %)- ~ Lip (f)) et G I - - v , T ~ ' G ~ - - u dans V
(G~ - - % ) - - ~ (G~-- u) - d~ns V .
z ~ e L i p (D), z,~-;~ u dans V et g<yz~ ,<g~.
u~ = m~x (z., ~) ~ C
et converge vers u dans V ce qui ach~ve la d6monstrat ion.
Dans 1~ suite si k > m a x ().v(gl), ~D(Z)) nous noterons
(1.2.57) g,~ ---- {u e C[2~(u) < k } .
_K~ est un eonvexe ferm6, born6 et non vide de V. L a proposi t ion 1.2.2 adme t alors le corollMre su ivant de d6monstr~t ion facile:
COI~OLL;tIltE 1.2.2. -- So'it 7¢(~) une suite de hombres rdets vdrifia.nt
(~.2.5s)
Alors po~tr to~t u c I~.~,.x
(1.2.59)
0 < ]¢(n) .<< 7¢(n ÷ 1) - ~ ÷ oo .
il existe une sous-suite k(r) de k(n) et une s~ite u~ telles que
u~ ~ K~(~)~ u~ ~ u dans V .
Alors
On
Puisqne
y(G1 - - u)- = (gl - - u)- ---- 0 p.p. sur F ,
it existe une suite w~ telle que
w~ ~ Lip0 (~) et u,~ ~--> (G1-- u)- dans V .
Posons
z . = v~-- ( G l - - v ~ ) - + w . .
J . - P . DIA8: Une dasse de prob~mes variationnels non lindaires, etc. 289
Ceei 5tant nous allons d~mont re r le t h5orgme su ivan t :
T I n ~ O ~ ) ~ 1.2.3. - Soit A : V ~ V ~ vdrifiant (1.2.7), et (1.2.47) avec ho, # ~ L~(D)
et pseudo-mo~wtone duns V ]aible. Soie~t g, g~ et Z vdri]iant (1.2.51). AIors il existe une eonstante e (~) telIe que pour
toute suite I~(~) de qwmbres rdels v~rifia~t (1.2.58) il existe une sous-suite k(r) et unc
suite u~ telles que
(1.2.60) %~K;:(r), (A%, v - - % ) ) O , Vv~K~(~).
(1.2.61) u~-;'.u dans V et p.p. duns Y2, ueL~(~Q), !l~tll~.a<c et llu[l<e.
(1.2.62) qt cat une solution de (1.2.6)(~).
A v a n t de p~sser ~ 1~ dSmons t r~ t ion du Th~or~me 1.2.3 nous ,%vons besoin du
l e m m e su ivan t pour ~tablir des es t im~tions ~ pr ior i :
L ] ~ I u : ~ 1 . 2 . 3 . - Sous les hypotheses du Thdor~me 1 . 2 . 3 il existe uric eonstante e (~),
ne d@endant pas de 7~, telle que pour u tel que
(1.2.63) u~Ki: , (Au, v--u)>~O, ~ / v ~Kk .
OTb a
(1.2.6~) ] !u]!~. ,<c et ] iu l t<~.
a)
D£3~OSSTn.ATIO~'. -- Soit a, lors u une solut ion de (1.2.63)
3c te l que ][ul[¢o.~<c.
Duns cc t t e p remiere p~rt ie de t~ dSmons t r a t i on on utilise une t echn ique semblable Belle employSe pa r P. I-IAF~TS~AN et G. ST.a~P~XCCmA duns la ddmons t r a t ion du
Thgorgme 8.1 de [16].
On c o m m e n c e c o m m e duns la d~mons t r a t ion du L e m m e 1.2.1 en r e m p l a c a n t
Bk pa r K~: et on axrive de m 8 m e £
(1.2.65) !t~]10<c
off
~ = u - - {r,}_~ c 5ipo (~J) c Vo,
V---- m a x (iEgil~.r, 'Jgltt ~.r, s u p . , ess. z)-
(5) Iei c d6pend aussi de ho, h, p, g, gl et X. (s) Done, le r6sultat de rfgularit6 obtenu pour u est contenu dans le Th6orhme 1.2.2.
1 9 - A n n a l i di JIatematica
290 J.-P. DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
Soit maintenant
tel que
II vient
m = m( /% p , ~)
m2~ rib*= - - - > p N - - m
et par la Proposition 1.1.3 on ~, eompte tenu de (1.2.65),
Doric, par (1.2.12), on obtient
(1.2.66)
Soit mMntenant r > ~ et
On a
d'ofi
(1.2.67)
On obtient alors de (1.2.63)
d'ofi, puisque
(1.2.68)
H~ilm,,,<e.
~,={xe~lu(x)>r}.
{u}" a K~.
Er ~r Er Er
[0J ,t +J'L E • Er ~r Er
Considerons maintenant t'6gMit6 suivante o~ fl> 0, qui est encore vrMe si on rem- place~ clans les deux membres, ]V~/~Vu[ ~ par hi(x)>0 p.p. duns ~, h l e Z ' ( D ) :
(1.2.69)
+cc~
.et
ff.-P. DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires~ etc. 291
Pa r int6gration par part ies on obtient de (1.2.69) et (1.2.68):
Soit ma in tenan t v = u - - ( u } ~ e Lipo (•). On a
v ~+aj~ ~ L~(.Q), D~v ~+~ = (1 + f l tp)v~'D, v ~ L~(Q) .
Donc
V 1+~/~ ~ Vo •
On a alors par (1.2.70) et par la Proposi t ion 1.1.3:
(1.2.71)
Soit f i~- m * - - p > O. On obt ient , avee
par (1.2.71) e t (1.2.66):
(1.2.72)
bl----- m*(1 +/~/p) = (m*)2/p > m* ,
f (~ - - T ) b' < e(bl) .
Soit ma in t enan t f l = b s - - p . On obtien L avec
b~ ---- m*(1 + 15/p) -~ m ' b 1 > bl , P
par (1.2.71) et (1.2.72):
eJ(u - - ~)b, < e(b2) •
E t ainsi de suite. Donc, V b > m * on a :
~:!(u - - T ) b < e(b) .
En raisonnant avec - - u on arr iverai t de m~me
292 J , -P . DIAS: Une, elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
off
Done, 'Vb > 3, on a
F~ = {x e.Qlu(x) <- - T}
(1.2.73) ,I , il u,[b.~ < c(b).
P a r l ' in6galit6 de HSLDER appliqu6e h, (1.2.68) on en d6duit avee
= a(N, p, ~) > m a x ~ m * - - p ' p :
Er
par (1.2.73). D o n e ~ o n
d'ofl
oil
'1 ( e E i:~I/o
1" r
~ = 1 - - 1 / m * + 1 / p - - I / i t > 1 .
Ceei entra ine , pour le L e m m e 5.1 du ehapi t re I I de [17],
< ~ + ~ ~ I~: -1. sup ~(~) < ~, + ~,,~ V~i~ ( f (~_ ~)) ~-1'" Eku
En ra i sonnant de la m~me fa~on avee - - i t nous obtenons aussi
sup - - u(x) < c 1/
et done
b)
/i~li=.~<c.
3e tel que ][u]l<c.
Soit G e C v6rifiant (1.2.54) et (1.2.55).
J . -P . DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires 7 ere. 293
On a G e K e . E n ra isonnant comme dans la d~monst ra t ion du Lemme 1.2.2
on arrive facilement
ilu!]o<
ce qui ach~ve la d~monstration du Lemme 1.2.3.
D]~0~STI~ATIO.~ DU Ttt~OlC]~[E 1.2.3. - On peut supposer k(1)~max()~r(gd,
Alors, pour chaque n, il existe un u~ E V tel que
u~Kkc~) , (Au~, v - -u~)>O, Vv~Kk( , ) ,
Par compacit6 faible, et compte tenue du Corollaire 1.1.1, il existe alors une sons- suite u~ de u~ et nn u + V tels que
u
~e~-~ u dana V e t p.p. duns ~2, ][u]l~.,<c et I]ul!<c.
Pa r le Corollaire 1.2.2, il existe une aous-suite k(r) de k(s) et une suite v~ telles que
On a
v~K~(~ et v~---> u dans V.
(Au~, u r - - u ) ~ (Au~, ur--v~) ~- (Aur, v r - -u )~ . (Au~ i qJr--u) T> 0 ,
puisque A eat borne. Doric
lim sup (Au, , ~ - - u) < 0 .
La pseudo-monotonie de A entraine alors
lira inf (Aur, u, - - v) >1 (Au, u - - v), r - - > ÷ :~
et, donc, on a
(An, u - - v) < 0,
Ainsi, par la Proposit ion 1.2.2, on obtien~
(Au, u - - v) < O,
ce qui ach6ve la d6monstrat ion du Th~ovbme 1.2.3.
Y v e C.
VV ~ gg. g~.~.,
294 J . - P . DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
1.2.4. Za rdgularitd hSlderienne.
T~I~Oi¢~E 1.2A. - Supposons p ~ ~ (~) et soient A: V.-~ V' un op&ateur vdrifiant (1.2.7) avec ho, ff~lS~oo(Q), hEL~oo(Q), l > N/p, g, g~ et Z vdri]iant (1.2.1) et (1.2.3) et
(1.2.74) V Z ~ L~oo(t}) •
Soient [2' un ouvert tel que D'c D et N o > o. Alors il existe des constantes 2 e ] 0 , 1]
et L > O, ddpendant de l'op~ateur A, de Z~ No et de d(D', F) (distanee de D' d F) telles que, si u e VrhL~(l}) est une solution de (1.2.6) telle que I]UIl~.a<irfo, on a u e U(Q') (s) et
(1.2.75) lu(x~) - - u(x~) I < Llx~ -- x~j ~, Vx~, x~ e D ' .
D]~YIO:NSTt~ATIO~. - S o i t B e une boule ouve r t e de R ~ de r a y o n
O<eo---- In in (1, ½d(Q', Y))
e t de cen t re duns ~ ' .
Soi t
(1.2.76) k > sup.~q ess. u - - 1
e t soit ~eLipo(Bq) tel le que 0 < ~ < 1 .
Soi t v d6fini p a r
(1.2.77) u - - v = ~ [ u - - { u } k ÷ (Z} ~ - X]
I1 est ais6 de v6rifier que
d 'ofi on ob t i en t p a r (1.2.6) a, vec
(1.2.78)
c t
(1.2.79)
V ~ gg.~i,g
A£,~ = {x e B e l x ( x ) > k),
f Ao(x, u)~(u -- k) + f Ao(x, u)~(k -- Z) +
A k, 0
+ ,=i ~ ~A,(x, u ) V a ' ~ [ p ¢ ~ - I D , ¢ ( k - - Z ) - - ¢ ' D , z ] < 0 .
A~, 0
(:) Si p > N on a, pour tout ouvert /J' tel qu~ l~'c 9 , VC WI;~(D)c C°'~(~'). (8) C'est ~, dire, il existe, dans la elasse d'6quivalenee de u, une fonetion cont~inue sur ~ ' .
J. -P . DIAS: Une elasse de probl~mes variat ionnels non lindaires, etc. 295
Ceei entrutne, puisque u > g p.p. sur t2,
+ flu Fl¢~(u - k) + f i e ~ wC-~¢~(~- k) + f¢"thl¢~-W¢l(u- k) +
A~:.~o AI:.Q
A~, 0 A~, 0 A~:, 0
off e est une constante du type d6erit d~ns l'6nonc6. On ~, d'autre part, 6rant donn6 que
B e c Ko. = {x e ~2ld(x , F) > ~o}:
f [/~] < ]l/zl[j.K~o[A~.e[X-ln, A k,Q
f lhot < t[holl~.~oolA~,ol H , ~ ,
A~,Q
f l ~ V u l ~ - ~ - ~ ( 1 + ~ ( u - k)IV¢l + ~'~IVxl) < Ag,Q
Af~,Q AI~,O A~, 0
A Z¢, 0 Ale, 0 A I¢, 0
et
A/t,0
On en d6duit f~c i lement:
el o] A ~,Q A ~,Q
296 J . -P. DIAs: Une dasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
d'ofi, eompte tenu de (1.1.5),
off q = p l > N. Soit B~_o~, off ~ ] 0 , 1[, 1~ boule de rayon ~ - - a ~ concentrique g BQ et posons
(1 .2 . so) ¢(x) =
1 si xeBo_oo
0 s i x ~Be
e - - I X - X o l si xeB~/B~_~
off x0 dfsigne le centre de la boule. On obtient
(1.2.81)
Soit main tcnan t
(1.2.82)
et v d6fini par
(1.s.sa)
O I l t~ V ff , I £ ~ , a , z
(1.2.84)
f ] ]VuI'<c , 1 + L SUp,~ es s (u - -k )" ~ 1-~/, (TP ~ P Q "aa" l;,~ .
a ~Q-a~
et en misonnant comme d~ns 1~ pr6miere partie m~ obtient
oll
(1.2.85) B . ~ = {x e B oI<x) < - ~}.
Alors les lemmes 6.2 et 4.8 du ch~pitre I I de [17] entr~inent
( ~ y osc (u, Bo) = sup~ e s s u - - i n G o e s s u < c l ~ ,
avec l e ]0, 1] du type de l'6none6 du Th6orgme 1.2.4 et on peut supposer u e C(~'). Ceci entraine si xt, x ~ e ~ ' et lx~-x~l < Oo,
! u ( x J - - ~(x~) l < c , o ; a l x ~ - - x d a •
J . -P . DIAs: Une dasse de probl~mes variationnds non lindaires~ etc. 297
Si Ix~- -x~ l~o a~lors on a
I~(x~) - u (x~) I < lu(x~) - u(x.~)] ~o~ ~ Ix~ - x~ 1~'< 2 ~ e o ~ ' l x l - x~ I ~ •
Donc
Iu (x l ) - - u (x2)t < L lxl - - x,,t ~, V x l , x2 e / 2 ' ,
avec L = (c~ @ 2N)~o~ z.
R E ~ Q V E 1.2.3. -- Supposons Z ~ e - - ~ et soit u ~ V A L~(/2) une solution de (].2.6). On a, cf. (1.2.8):
(Au, w) = 0, Vw ~ ~ ) ( ~ ) .
Donc, da.ns ces cas particulier~ le Th6or~me 1.2.4, est une cons6quence d 'un r6sal tat connu pour le probt~me de DI~ICHLET usuel (cf. le th6or~me 1.1 du chapitre IV de [17]).
On vn pusser, maintena, nt ~ l '~tude de 1~ r~gul~rit~ h61derienne jusqu 'au bord des solutions born4es de (].2.6).
E t a n t donn~e la Remarque 1.2.1 nous supposerons (1.2.32) v~rifi~. Dont lu suite B e d~signer~, suuf indication contrair% une boule ouver te de r~yon ~ et centre sur F.
On ~erir~ aussi
D ~ = B A D et l o = B o n F .
Compte t enu de lu r~gularit4 de .Q il n 'es t I)~S dificile de d~montrer le lemme suivant:
¢ LE3fhIE 1.2.4. -- II existe ao> 0 tel que pour o<aro on a:
~) Oo > o tel que OolB~I < 1.0~1.
b) Pour tout ~ ~ [0~ 1[ il existe une constante ~(~) telle que
ea-~fw-~(x)dx< L ( 2 ) , DO
c) Si u~W~'"(.Q), l < m < p / ( ~ @ l) et y u = O p . p , su.r I~ alors il existe une suite % ~Lip(~C2op.) tetle que u~= 0 sur Fo~ et u - ~ - u darts W~.~(.(2o/~).
D'~utre pro% il est bien connu qu 'on ~ (cf. [26] et [3]):
Y LE).[YIE 1.2.5. - I1 existe % > 0 et f i > 0 tels que pour ~< a~ et pour tout
u~-W~'~((.2), 1 < m < p / ( ~ @ l ) ~ tel quail existe une suite % ~ L i p (~)~ %-z> u darts Wx"~(~2o) et vdri]iant % = 0 sur jermd Ec~2e tel que ]E]~I[2eI oi~
% ~ 0 sur F
298 J . - P . D~AS: Une vlasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
o n a
f lVu(t)l dr, (1.2.86) ]u(x)l <f l tx__tl~._~
Duns ls sui te on no te r~ tou jours
p.p. sur ~ .
(1.2.S7) r Zo= rain (1, ao, a:).
Ceei ~ tunt on vu d~mont re r le l e m m e su ivun t :
I ~ E ~ m 1.2.6. I1 existe f l ~ O tel que, pour - ~ ~ ~o et pour l ~ k, on a, avec A~.q~-
= {x ~ 9 , lu(x) > k},
(1.2.88) (/~/~)[A~,QI~-~/~<p~ f IVu(x)ldx A I¢,~/A 1, 5
si
ueW~.'~(.Q), t < m < p / ( : ¢ - ~ l ) et IA~,~I<~½19eI
ou si 7u <~ k p.p. sur F~.
D]~lgOI~STI~ATIO~ ~. -- Soit e C ~e Un ensemble mesuru, ble.
de vo i r Vt e R ~7,
f 6
On a,, c o m m e il es t ~is~
off w e s t l 'u i re de lu sphere un i tu i re de R ~. L ' iaSgMit~ ~nt~rieure e t (1.2.86) en t r a inen t
si les h y p o t h e s e s du L e m m e 1.2.5 sont v~rifi~es p o u r v e W1"~(,c2):
+ 1). (1.2.89) YJ~
.1 ./
Soi t alors u e WI'~(~9) vSrif iant les hypo these s du L e m m e 1.2.6 et soient k et 1 tels
que l>~k. Posons v ----- {u}' - - {u} ~ : ({u} ~ - - u) + (u - - {u}~) .
On u v e W~,"(~9), v = 0 sur 8 o = ~JA~.~. De plus
Supposons d ' a b o r d
1 Done, ISol> ~lOJ.
J.-1 ). DIAS: Une c~asse de probl~mes variationnds non lindaires, etc. 299
Pa r le L e m m e 1.4 de [3] il existe un ensemble ferm6 E c s o , tel que ]El>½leot > ~ 1 ~ ] et une suite % telle que v ~ s L i p ( ~ ) , v ~ : 0 sur E, v~--~v dans W~.~(~).
On pent , donc, appliquer ~ v le Le mme 1.2.5 ee qui donne, compte tenu de (1.2.89) appliqu6 ~ s = A,,~,
A ~,~/ A l,~
Supposons m~intenant
Consid4rons~ pax exemple,
E n uti l isant la d~eomposition
~ u < k p.p. sur F~e.
W ~--- ~J3÷ - - W -
et te Zemme 1.2.4, e), il est uis6 de voir qu'i l existe une suite w~ e Lip ( ~ ) , w , : 0 sur FQ, w~-~ w d~ns W~'~(~2~).
Analogue r~isonnement pour u - -{u} ~.
Done, il existe une suite v, e L i p ( ~ q ) , v~-= 0 sur / 'e, v~-+ v dans W1,~(/2~). On pent ainsi uppliquer ~ v le Le mme 1.2.5 et on obtient de nouve~n (1.2.88) en
p renan t e----- A,,e.
On se donne mainten~nt g e t g~ v4rifiant (1.2.1) et
(1.2.90) g,g~eC(F) et il existe ~E]0 ,1 ] et L I > 0 tels que, Vx~ ,x~eF ,
o n
Ig(x~)-g(x~)I<~lx~-x~l ~ et lg~(x~)-g~(x~)l<L~lx~-x~l ~.
On u alors le thdorbme suivunt:
Ttt~OlC~)IE 1.2.5. - Soient A: V-->V ~ un opdrateur vdri]iant (1.2.7) aver hEL~"(D), l > m ~ x ( N / ( p - - s c N ) , 1 / ( p - - l - - ~ ) ) , ho, ~te~([2) , g e t g~ vdrifiant (1.2.1) et (1.2.90), )¢ ~ V vdri]iant
(1.2.91) ~'Z ~ g P.P. sur I'~ ~ - V z ~ L~(~) (0).
Soit ~ une solution de (1.2.6) (lo).
(9) Puisque l>N/ (p - -aN) on en dgduit VX~Lq(~), q>N, en utflisant l'indgalit6 de H(SLDER. Done ~ Con-~lq(~).
(lo) Par le Thdor~me 1.2.2 on a ~t~LC~(tP). Remarquons que N/(p ~ ¢~N) > 1/(p -- 1 -- ~) 6quivaut ~ N >~p'.
300 J . -P . DIAS: Une e~asse de probl&nes variationnels non lin&ires, etc.
Alors u ~ C ( ~ ) . De plus, dtaut donnd No> 0 il existe des constantes ) ~ ] 0 , 6] et L > 0, d@e'nda.~,~,t de l'op&ateur A , de g, g~ Z et de No, telles que, pour toute solution, u
de (1.2.6) telle que I1uI~<7¢o , o~ a
(1.2.92) I u ( x l ) - - ~(x~)l < i l x , - - x=/, Vx, , x= ~ ~ .
~ous allons d~montrer d 'ubord dsux propositions:
P~OPOS*Tm~ 1.2.3. - SOU6' Ies hypoth&es du th~or}me 1.2.5, soit pour 0 < 0 < diam t2,
K0 = { . e ~9id(x, v) > 0}.
Alors il existe des constantes b > 0 et v e ]0, 1], ddpendant de l'op&ateur A, de Z et
de No, mais ne d@cndant pus de O, telles qu'on c~
b (1.2.93) lu(x,) - - u(x=)l < ~ Ix , - - x= f , 'fix,, x= E Ko.
D]~3{ONSTlCATION. -- 8oient 0<.1, x o ~ K o e t B e une boule de centre x o e~ rayon
~<o/2. Soisnt k vSrifiant (1.2.76), v d~fini par (1.2.77) et A~.e dSfini par (1.2.78). On raisonne somme duns la premigre pa t t ie de la dSmonstrat ion du Th6or~me 1.2.4,
I 6runt d4fini duns l '4none5 du Th~orgme 1.2.5 et en rempla~ant K~. par f2 dans les
estimations. On arrive alors g l'in6gulit6 suivante, off c~ est une eonstante du type de l'6none6
de l a Proposi t ion 1.2.3 (donc ne d6pendant pus de 0):
(1.2.94) AI=,.°iH" ÷ -
A~,@ Ak,@
8oit, avec a e ]0, 1[, $ d4fini par (1.2.80). On dSduit de (1.2.94):
(1.2.95)
Puisque
il exists
f v~lVu? <e~ [l&,el 1-1'' + [i~t 1 ]
l > max p - - ~ N ' p - - l - - ~ '
J . -P. DIAs: Une etasse de probl~mes variation~vds non ~indaire 6 etc. 301
tets que
(1.2.96)
(1.2.97)
et
(1.2.98)
m a x I, < r e < l + ~
o~m r - - < l
p - - m
- - ~ - - \ z j r > p "
On a V~--> W~"(.Q) et,
mp (1.2.99) q -- > N
p ~ m
g~b (1.2.1oo) 2~ = - - < 1
p - - m
f f f¢¢ A z~ ,o- aQ A1: .O-ao ~ At:, 0
-2~\ (v-m)/~ [fq)-Z-lr)(~-m)rr~ A (1-1/r)(T-m)/~ (1.2.102) ( f ~ ) < [ ,--,~,o, ,
par l ' in6galit6 de H6LDE~. Dorto~ 9~veo
f" \ ( ~ - m ) ] ~
R = ]i¢~H - ~ " ,
BO
on obt ient , de (1.2.95), (1.2.101), (1.2.102) et (1.2.98):
lw~t~ < ~ J~-~) tA~.~l,~-~o,~ + R o'~e ~° ~ . p ~ ~ ( ~ - - ~)'~lA~.~t ~ < A ~.aO-O" Q AZ~,O
(1.2.103)
D~autre paxt si x~B~ on a
el(xo, F) > ~t(Xo, F ) ÷ ~ > d(x, F) > ~(.%, F) - - ~ > ~ ~(xo, F ) ,
302 J . -P. DIAS: Une elasse de probl~mes variationnels no~ line'aires, etc.
ce qui entralne, compte tenu de (1.1.5),
~Q
Done, on obtient de (1.2.103):
f [0--. ] Nu[~<e~ 1 + a~O--;~ s u p ~ ess (u--k)~ IA~.~I ~-~ .
A ~,Q-qe
En ra isonnant avec - - u on obtient une in~galit6 analogue.
Alors les Lemmes 6.2 et 4.8 di chapitre I I de [17] entrainent
ose (u, Be)< e~ e ~ ,
off v est une constante du type de l'6noncS. Comme duns la d6monstrat ion du Th~or~me 1.2.4 on arrive
[u(x,) - u ( x O < ~ 0 - " ]x~ - x~ l ~, V X 1 ~ X 2 E K 0
avee L = 2~(e~q - 2N).
Si 02> 1 alors L o c K * et done
,u( x~) - - u( x~) l < Z lx~ - - x2 ,~ < z ( diao--~t2) ~ ]xl~x2] v ~ Vxl~ x ~ K o :
Ainsi, on obt ient (1.2.93) avec
b = Z m a x (1, (diam O)") .
PROPOSITION 1.2.4. -- Sous les hypoth&es du Th&r~me 1.2.5 il existe des eonstantes b'> 0 et ~'~ ]0, ($], d~pendant des param~tres d&rits duns tYnoncd du Thdor~me 1.2.5
telles que, pour route boule Be, ~<~o, de eentre sur F on a
(1.2.1o4) ose. (u, OQ) < b'~ ~' .
Dl~M0~STt~ATIOt% -- Soit B e une boule duns les conditions de l'~none5 et soit k
tel que
(1.2.105) k > sup.ae ess. u - - l , k > sup.r~ ess. g .
On d6finit v par (1.~.7~).
g.-13. DIAs: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc. 303
On a v>~ g p.p. sur ~9 et , puisque 7g<~g p.p. sur /2 on obt ient
~'[{z) ~ - z] e r o
ce qui en t ra ine
Alors, en posan t
(1.2.106)
'V E: Kg ,¢ i , g .
A~. e = {x e/2~lu(x) > 1~},
on continue comme duns la d4monst ra t ion de la Proposi t ion 1.2.3 et on ar r ive a une
in4galit6 du t y p e (1.2.103) avec
--2¢ - - 1
n o
pa r le L e m m e 1.2.4, b).
On obt ient alors
(1.2.107) f tvuI,~ < co [1 + A ~: ,e- 6@
, a~@m(~_~l~ ) supA~ e ess ( u - - k)~ A I-'~:~
off Co repr6sente une eons tante d6pendant des pa rambt re s de l '6nonc6. De m@me on
obt ient , en ra i sonnant avec - - u , e t pour k tel que
(1.2.108) k > sup.he ess. ( - - u) - - 1, k > sup.re ess. ( - - gl)
l ' in6galit4
(1.2.109) tVu] ~ < v0 1 + a,~@~(~_~tq) sup,_~, o ess (-- u - - k) ~ lB_k.e[ ~-~/¢ ,
B-k,@-gq
off
B_,. e = {x e/2~lu(x) < -- k) .
Compte t enu du L e m m e 4.8 du chapi t re I I de [17] la proposi t ion 1.2.4 est alors une cons@quence facile des deux lemmes suivants :
L]~aUWE 1.2.7. - I1 existe une constante 01> O, d@endant de No, voet q, telle que, pour toute boule Bq de rayon @< @o et centre sur F et pour tout le nombre k vdrifiant (1.2.105), l'indgalitd
(1.2.11o) IA~,el < O~e ~
30'4 J . -P . D ~ S : Une dasse de probl~mcs variationnds non lindaires, etc.
entragne
(1 .2 .111) tA~,~,,~,~,.~I = 0
si
(1.2.112) H - - sup..% ess. ~t - - ~ o 1-~'/q .
On a ~n rdsultat analogize avee le mgme 01, en remplafa,nt u p a r - - u , t¢ vdri]ia~#
alors (1.2.108).
D]~ONST~ATION DU LE~I~'[E 1.2.7. - On pose
et
2h+1
H H tet~ = l~ + 2 2h+i ~ h = 0~ 1, 2, . . . .
P a r le L e m l n e 1.2.4, a,) on ob t i en t
( 0 ;
oft % : = [B~[, d ' o~
1 0oO~ 9' v
Alors si
(1.2.113)
e t si (1.2.110) est v6rifi6, on ob t i en t
Oo CO~,
ce qui en t ra ine , p a r le L e m m e (1.2.6)
L a d 6 m o n s t r a t i o n du L e m m e 1.2.7 s '~ch6ve alors c o m m e celle du L e m m e 6.1 du
eha,pitre I I de [17].
LE~M-E 1.2.8. -- II existe un ~wmbre positiJ s, d@enda~# des param~tres ddcrits
dan8 lYno~w~ du Thdor~me 1.2.5, tel que pour toute boule B e de rayon ~<~-Qo et centre
J .-P. DI~s: Une vlasse de probl~mes var ia t ionnds non lindaires, ere. 305
sur I ' on a au moins l 'une des deux inggalit& suivantes:
(1.2.114) osc ( u, Q ~) ~ 2~ Q ~ ,
~,=min(1----37q, ~ ) ,
oit alors
(1.2.115) osc (u, .Q~) < ( 1 - - 2 1 : ~ ) osc (u, ff24~) .
DI~/g0~NSTI~ATION DU LEM~E 1.2.8. -- Soienl; to un entier vSrifi~nt
to > m~x (1, log~ 2No)
et, fi~ 6taut d6fini dans le Lemme 1.2.6, co darts (1.2.107),
F R m O "11/(m-~)
LoW °-~ j "
Soit s nn entier v6rifiant
(1.2.116)
(1.2.117)
el;
(1.2.118)
S>toq:- 3
~- a "1"11 O0
~9--N ( ~N!('O3Z ,~g~(m--1)l/n(N--1)<O 1 s - - to - - 2]
0~ &ant d6fini dans le Lemme 1.2.7. Supposons
osc (~f, ~(2~) > 2~ ~,.
On en dbdnit, compte term de (1.2.90) et (1.2.117):
osc (g, F4e)<2~Z1(4~) a - - 2~L1(4~)~-~'(49)~<
<2~Ll~-~14a~) ~, = 2~+~i+2L~-~ ~-
et de m6me pour g~. Doric on % si co= osc (u, Y24~) ,
(1 .2 .119) O9 -~> max (osc (g, F4q), osc (gl, F4q)) .
20 - A n n a l i dl. M ' a t e m a l i e a
1 a 1 < -~2~q " < 7 ose (u, ~ ) ,
306 J . -P . DIAS: Une vlasse de probl~mes variationnels non Zine'aires, etc.
Posons
e~
On en d6duit
Supposons
#~ ~ sup.~4 ~ ess. u, ~ ~ inf.~a e ass. u
f i - 2
On obt ient ~lors de (1.2.119)
0) (9
Soient k et 1 tels que
# < sup.r4e ess. g .
( 2 ) o
#~ 4- -~ <lnfr4Q e s sg .
(1.2.120)
De m~me si
( l - -# ) B ~-'-~.~R f IVu(x)]dx - -~,20 ~-~" l~1
B-~,~.~fB-I,~
on obt ient
fi ~> inf.r, ~ ess. gx
O) /~1 -- ~ supr~e ess g~
et doric, pour k et 1 tels qne
~0 1 > k ~#1 - - -~> supr4e ess g, >~ supr~e ess 7 u > supr~e ess g ,
on en d6duit pax le Lemme 1.2.6 appliqu6 ~ ~t:
( 1 2 . 1 2 1 ) (l--k)tA~_~[~-ll~"<fl~ f IVu(x)fdx. Supposons f inalement
sup.r4 Q ess. g<fi <inf.r4 ~ ess. g l .
On en d@duit par le Lemme 1.2.6 ~ppliqu@ ~ --u:
O9 I > # > - - #2- - -~> supr4o ess (-- g) ~> supr4o ess y( - - u) > supr~ ess (-- gl).
g . - I ). DIAS: Une elasse de pvobl~mes v aria~ionnels non line'aires, etc. 307
Alors si
soient k e t t v6rifi~nt
l >~ k > #~-- -~ >~ supr , o ess g .
Le L e m m e 1.2.6 appliqu6 ~ ~ ent ra ine l 'in~galit6 (1.2.121).
a lors on a
et si k e t 1 v6rifient
O) 1 > ]c ~> - - #2 - - ~ > supra, ess (-- g~)
Si
on obt ient l ' in6galit6 (1.2.120) pa r appl ica t ion du L e m m e 1.2.6 £ - - u . E n conclusion: Ou bien on a
~0 (1.2.122) /~ - - ~ > sup r~ ess g
et , pour l > k > # ~ - - r o / 4 ,
(1.2.123)
ou alors on a
(1.2.124)
et , pour / > k > - - # . 2 - - o o / 4 ,
(1.2.125)
(l ) I--'I~-
Ak,~Q[Az.,~Q
(D - - / ~ - - - ~ > supv4~ o ess (--g~)
]Sa d6mons t ra t ion du L e m m e 1.2.8 s 'achgve alors come eelte du l e m m e 6.2 d~
chapi t re I I de [17] en ut i l isant , ~ la place du L e m m e 6.1 de ce t te r6f6rence, le L e m m e 1.2.7 que nous avons d6montr6 anpa ravan t .
D£~ONS~aATIO~ PC T H ~ O ~ E 1.2.5. - Ce th6or~me est une consequence im- m6dia te des Proposi t ions 1.2.3 e t 1.2.4 et du Th6orgme 7.3 de [2]. Nous obtenons grace ~ ce dernier th6orgme,
(1.2.126) )~ = v' rain 1, ~ r ' + v"
308 J . -P . DIAS: U~e elasse de probl~mes varriationnels non lin&ires, etc.
I:~Ei~IAI~QUE 1.2.4. - Supposons, en part icutier , ~ = 0. Alors il est ~is6 de voir
que la condit ion l > 1/(p--1) de l '6nonc4 du ThSor~me 1.2.5 est superfiue.
RES~ARQUE 1.2.5. - On pour ra i t dbmont re r des r6sultats ,~nalogues pore' Find-
quat ion re la t ive a u convexc
K,.~.x.x= { u e K ~ . x t u < Z , p.p. sur .(2} ,
off Z t e V, Z<Z~ P.P. sur O et 7z~>g P.P. sur l ' . I1 suffit d '~ jou te r des hypothbses sur --Z~ analogues aux hypothbses fai tes pour Z
(pour l~ rbgul~rit6 h61derienne jusqu ' au bord on exige aussi Yz~>g~ P.P. sur F).
RE)rARQU~ 1.2.6. - On pourrui t ,~ffaiblir les hypotheses de rSgularit5 de f2 et prendxe
des opSrateurs plus gSnSraux que ceux v~rifi'~nt (1.2,7) a~vec obten t ion de rSsultats
analogues.
2. Cas parabolique.
2.1, - Les espaces et lea op/!rateurs.
On reprend les nota t ions de 1.1.1 en supposan t
(2.1.1) 2 < p < +
Soit m a i n t e n a n t T tel que
(2.1.2)
et posons
(2.1.3)
(2.1.4)
et 0 < ~ < m i n p - - l , = ~ .
O < T < + c~
(2 = ] o , / ' [ × .0_
q5 = L~(O, T; V)
off V 1,, = W~(/2) muni de sa norme (1.1.17). On mun i t 'U de sa n o r m e naturet le
(2.1.5)
Soit
(2.1.6)
muni de sa norme I[.][~.q-
£. \ 1 / ~
0
,~ = L~(0, T; ~2(~)) = >.(O)
J . -P . DIAS: Une classe de probl~mes variationneIs non lindaires, ere. 309
}Tous ~vons 1~ si tuat ion usuelle
(2.i.7) "U ~-+.~-> ~ ' = L~'(O, T; V') .
On d6signexa par [,] la dualit6 entre ~U' et ~U.
Posons, pour ~ E 'U, T
E ,jo= 0
off ][.l,o est d4fini par (1.1.10). A]ors, sur
(2.1.9) ~0o: L~(0, T; Vo)
[.]o est (compte t enu du CoroUaire 1.1.12) une norme ~quiv~lente ~ [.]. De plus, on
(2.1.i0) M = s u p ]luI]~.q
off -/]/ est d~fini pa~r (1.1.31). Ceci (~tant, on se donne des fonctions
relies que, pour ( t , x ) E Q , z = (zo, z~, ..., z s ) e R ~+~ , on a:
(2.1.11) Ak est measurable en (t, x) pour z fix6 et continue en z pour presque tou t (t, x) fix6.
(2.1.12) 3 des constantes non nSgatives ao, ai~ az~ aa~ une const~rtte (~> 0 et des foncti0ns ho, h eL~'(Q), # E L~(Q), telles que, pour tou t (t, x) et pour tou t z o n a
/ .v \(m-l)]~
.v
I A ~ ( t , x , z ) l < h ( t , x ) J r a 2 Z l z ~ l ~-~, i - - 1 , . . . , ~ ¥ , r=O
.'¢ N
t = l i = l
On u (cf. 1~ Proposition 1.1.7) 1~
PROPOSITIO~ 2.1.1. - Si u ~ V alors on a p.p. sur ]0, T[ et pour k=: 0, 1, ...~ LV~
(2.1.13) A~,(t, x, u) -~ A~(t, x, u(x), q~l~(x)D1u(x), ..., q~t~'(x)D~vu(x)) ~ L~'(f2).
310 J . -P . DIAs: Une classe de probl~mes variationnels non lindaires~ etc.
15 existe un opdrateur
tel que
(~.!.~)
A(t): V--~ V'
(A(t)u, v ) = f A o ( t , x , u)vdx @ ~ fA~( t , x , u )q~D~vdx Vu, v e V.
De plus, A(t) est demi-eontinu et bornd et vgri]ie
(2.1.15) llA(t)u llv' < L{ II ho(t, x)1!~',, @ Ith(t, x)tI~'.9 @ Ilu ]'~p-~} , Vu e V,
o~ .5 est une constante d@endant de N, p, ao, a~ et a~.
CO]¢OLLAIBE 2.1.1. - Si u~¢U ators on a A( t )u( t )~U ~ et ([.]~, ddsignant la norme duale de [.])
[A(t)u(t)],t~, < L{ li ho !i~',o -~- IIh I[~,,.~-~ [u]~-~} • (2.1.16)
L ' opdrateur
dd]ini par
(2.1.17)
A: ¢ U ~ %'
T
[ Au, v] = f ( A(t)u(t), v(t) ) dr, V~t, v ~ ~U . 0
est bornd et hdmi-continu.
D~0~STBATI0~. -- Le reste 4tant triviu] on se borner~ ~ d4montrer i 'h~micon- nuit~. Soient a.lors u~ vecD~ 4 ,~R~ ~-z~ 4. On a
w, = u @ 4~v ~> u + 4v = w
duns ~J et doric il existe une sous-suite 4, telle que, p.p. en ]0, T[,
w~(t) ~ w(t) duns V.
D '~utre p~rt , si ~ e ~U ~lor~
l(A(t)w,(t), ~(t)) I < Z{!iho(t, x)lI~',~@ iih( t, x)II~',,@ Ilw~(t) [I ~-~} <
<h~(t), p.p. en ]0, T[, avec h~eL~(O~ T ) .
Le Th~or~me de LEBESGVE entra ine a.lors [Aw~ ~] ~-~ lAw, ~]. En rempla~a, n t A par A, (,) par [,], [1-[I par [.]o e t / 2 par Q duns la d~monstrat ion
de la Proposi t ion 1.1.8 on obt ient la d~monstr~tion de la Proposi t ion suivante:
J . -P . D~As: Une c~asse de probl~mes variationnels non lindaires, etc. 311
P]~OPOSITION 2.1.2. - Soit A : ~U-->~U ' un opdrateur dd]ini p a r (2.1.17), (2.1.14), (2.1.13), (2.1.11) et (2.1.12) et vdri]iant (1.1.42).
Soit J~ un eonvexe ]erm~ de ~U v~ri]iant
(2.1.18) J~ -~ {v e ~Ulv(t ) e K p.p. sur ]0, T[} ,
oi~ K est un eonvexe fermd et non vide de V, tel que, V u ~ K , on a
y G < ~ y u ~ G ~ p . p , sur 1"~ oit G, G ~ V .
Soient w e ~U et ] ~ Ti ' .
Alors pour toute suite u~ de Jg telle que [u~]-~ -~ c~ on a
l a u d , u~ - - w] (2.1.19) [un] ~ ~- co .
On peut faire une rema.rque semblable ~ I~ remurque 1.1.1. E t a n t donn5 le Corolluire 39 de [4], 1~ Proposi t ion 2.1.2 entra ine 1~ Proposit ion
suiv~nte:
P]~OPOSZTIO~ 2 . 1 . 3 . - Soit A : ~ J ~ - ~ U ' uu op&'ateur vdrif iant les conditions de
lYnoned de ~a Proposi t ion 2.1.2 et pseudo-monotone dans ¢U ]aible. Soit Z: D(L) c cU-~CU'
u~ opdrateur lindaire et posi t i I e t soit Jg un vonvexe ]erred et non vide de ~U vdril iant
(2.1.18) avec w e J g n D(T,). Supposons que L e s t compatible avec JC au sens de la dg-
]init ion G de [4] et soit ] ~cU'. Ators il existe un u ~ ~U tel que
(2.1.20) u ~ Jg, [Au -~ L v - - ], v - - u] >~ 0, Vv E Je 5~ D ( L ) .
Si , eu part iculier, A est strietement monotone sur Jg, alors la solutio~ de (2.1.20) est unique.
EXE~fPLE 2.1.1. -- Soit A : V - - ~ V r d6fini par (1.1.48) et posons
T
(2.1.~1) [~u, v] = f(Au(t) , v(t)) dt, Vu, v ~ " 0
L'opSrate~r A: ~U-~cU ' ~insi d~fini est d~ns les conditions d 'applicat ion de 1~ Pro- position 2.1.3 e t e s t monotone.
Soit
d D(L)=--{v~cutd~;t~cU ' et v ( O ) - ~ v ( T ) } (2.1.22) Z = d r '
et soit g e 7(V). Posons
(2.1.23) J~ -= J ~ = {u E~UI~u(t) ~-- g p.p. sur ]0, T[}
312 J.-P. DI~S: Une elasse de probl~mes variationnels non lindaires, etv.
On
Y~ == w -~ ~o , V w ~ J~,
et, par le Th4or~me 9.1 du chupitre 2 4e [20], L est compatible ~vec JS~. Donc, on peut appliqtter 1~ Proposition 2.1.3:
u e ~ te~ que [Au& L v - - ] , v--u]>~0, Vv~Jg~D(JS) .
Etant donn4 que A est strictement monotone sur J~ 1~ soIution est unique.
2 . 2 . - L ' i n ~ q u a t i o n r e l a t i v e a u x e o n v e x e s .
J S . ~ : { u e C U l u ( t ) ~ K p.p. sur ]0, T[}
et
(2.2.1)
On post:
(2.2.2)
o~ ~,~,~ ~K~g,gl,y ,
Soient g,g~ET(V), ZE V et supposons
g ~ 0 ~ g~ p.p. sur I', X ~ 0 p.p. sur ~2.
est d~fini par (1.2.4). est un convexe ferm4 de ¢U contenunt 0.
On ~crit aussi (en supposant g . . . . c~ duns le ca~s ~mt~riettr):
(2.2.3) 55 i : {u~°dlu(t)~K~.~ p.p. sur ]0, T[}.
Duns lu suite on consid~reru seulement le convexe J~.~,z qui, uvec 1~ convention fuite ci-dessus, contient te cas du convexe J~,~.
On suit que
d ( 2 . 2 . ~ ) - L = - a-i
est le g~n~r~tetu" infinitesimal d'un semi-groupe
s - ~ S ( s )
J . -P . DIAS: Une vlasse de problkmes variationnels non lindaires, etc. 313
d~ns cO', J~ et ~U' d6fini p~r
(2.2.5)
(2.2.6)
S(s)u(t) = I u ( t - - s ) si t>s
t 0 si t < s
D(L,°J) = ( u e ~ J I L u e ~ et u(o)= o}
et ana, logues d~finitions pour D (L, J¢) et D(L, cU'). Pttisq~a'on
(~.2.7) ~(s)~.~.~ ~ ~.~.~, s>O .
le Th4or~me 9.1 du ehapitre 2 de [20] entr~ine 1~ comp~tibilit5 de l 'op6r~teur L: D(L)c~U-+cU ', off D(L)=~U ~ D(L, ¢U'), ~vec le convexe Y%,~,z (Cest g dire, lu condition (9.18) du eh~pitre 2 de [20] est v6rifi6).
Le Th6or~me suivunt est par t ie l lement contenu d~ns 1~ Proposi t ion 2.1.3:
T~]~On~m 2.2.1. - Soie~# A: ~U-->~U ' un op&ateur vdri/ia~t les conditions de l'dno~wd de la Proposition 2.1.3, g, g ~ y ( V ) ( ~ L~(P) et X~ V tels que (2.2.1) soit vd- ri]i& Alors il existe une constante c (~) et un u ~ U tels que
(z.2.s)
(2.2.9)
(2.2.1o) ' : 1 [ ~ o
Vv ~ 5~.~, z (h D(L, cU') ,
Le ThSor~me 2.2.1 se d6montre comme le Th6or6me 9.2 du chupitre 2 de [20] si 1'on arr ive ~ demontrer la Proposi t ion suivante:
P~oPosI~zo~ ~ 2.2.1. - Sous les hypotheses du Thgor~me 2.2.1 il existe, pour tout h > O, un u~,~ ~¢U tel que
(2.2.11) U~ ~ JS~.~,z, [U~ %Sh uh + d~h U V -- Uh] > O , Vv ~ J~g,~,z .
De plus il existe une constante c (11), ne d@endant pas de h, telle quz pour route solutio~ uh de (2.2.11) on a, avec T:max(t]gll]c~,r, llgl!l~,r):
(2.2.12)
(2.2.13)
no ~,'Q - -~ - I lu t l l ,Q} ,
(11) c d6pendant de N, 2, ~, (P, ~, ao, al, a2, a3 e t a .
314 J . - P . DIAS: Une olasse de probl~mes variationnels non lindaires, etc.
On d~mon t r e h~ P ropos i t i on 2.2.1 en r~ i sonnan t c o m m e d~ns 1~ d6mons t ra$ ion du
Th6or&me 1.2.1 (uvec G = 0). I1 suffit de r e m ~ r q u e r q u ' o n &:
(2.2.1~) Si v(t) = {u(t)}_~ ~lors, a vec I = identitd,
/ - - S ( h )
h U~ V - - U <-~ h v~ v - - ¢~ =
T T
f r v = T - - % ( h ) v ( T - - u ) + h h
(--T--u)<O.
i --,~(h) ] (2.2.15) ~ - - u, G - - u < 0 si G = 0 .
PROPOSITION 2.2.2. - Sou s les hypotheses du Th6or~me 2.2.1 soit /~eqY , /. ~-~ ] dans cut Soit, pour ehaque n, u , e ° d tel que
(2.2.16) %EJ£~.~,z, [ A % + L v - - ] , , v - - u ~ ] > 0 , Vv E J~,~,.x n D(/; , ~ ' ) ,
(2.2.17) ! 1/(~--1) .h_ II1/(io--1) I I / p [~,,]<~{1+~+ ,,,Lo , !lloo ~,.,~ + II~II,,Q}.
Alors i~ existc uric sous-suite u~ de u . et un u e q5 tel que
(2.2.18) u , ~ - ~ clans qY.
(2.2.19) u ~ 5L,.g,,z, [ A u + Z v - - 1 , v - - u ] > 0 , Vv~JS~.g,znD(L,~U').
D]~rO~STICATIO~-. - On ra i sonne pa r compac i t5 f~ible.
on v~ d 6 m o n t r e r (2.2.19). Soit (cf. (9.18) dtl ch~pi t re 2 de [20])
Le res te 6t~nt viden t ,
te l que
v j ~ > u d ~ n s cO et l im sup (Lvj, v~--u)<O. j-.++~
P u i s q u ' o n ~, u n i f o r m ~ m e n t eli r,
l im [ A u , , vj - - u ] = 0 , j - - > + oo
on en d6dui t
l ira sup [Au, , u,. - - u] = l ira sup lira sup [Aur, u, - - vj] . r - - > + co j - ~ + c o r - ->+ ¢o
J . -P . DIAS: Une elasse de probt~mes variationnets non lindaires, etc. 315
D~autre part, on a
[~-tu,, u~--vj] ---- [Au,+ Lvj--1~, u~--v~] + [Lv~, v~--u,] +
+ [f~, u~--v~]<[Lv~, v j - -u ,]+ [/~, u~--v,],
d'o/1
et ainsi
l im sup [ A u , , u, - - vj] < [Lvj , vj - - u] + [f, u - - vj] r - - ->+ co
l im sup [ A u , , u, - - u] < lira sup [ Lv j , v j - - u J < O .
Donc, la pseudo-monotonic de A entrMne
[Au, u - - v ] < l i m i n f [Au~, u , - - v ] , r--->+ co
D'au t re par t , si v e J ~ , ~ . z N D ( L , cU ') on a
[Au. u~--v]= [Au~+ Lv- -L , u~--v]+ [--/~v + ?~, u~--v]<
<[--Lv + f~, u . - - v ] -~ [ - -Lv+ ], u--v] ,
d'ofl
[Au+ Lv-- f , u--v]<O,
ee qui aCtl~ve 1~ d~monstration.
Vv ~ J£~.~,z n D(L , f l ' ) ,
COI~OIZ, AIEE 2.2.1. - Sous les hypotheses du thdor~me 2.2.1 si A est trietement mo-
notone sur J~.~,z alors l 'applieat ion ] - ~ u(f) de cur dans qJ, o¢~ u(]) est la solution
de (2.2.19), est continue de fll t ]ort dans ¢U ]aible.
RE3IAICQUE 2.2.1. - On pore'fair, ~ la place du semi-groupe S(s) d6fini darts (2.2.5), consid6rer le semi-groups S~(s) d6fini par
(2.2.20) Sl(8)u(t) = I u(t - - s + T) si o < t < s
t u ( t - - s ) si s < t < T .
On aurai t Mors
(2.2.21) D(L ,~ )= {ueWlLuefl et u(0)=u(T)}
et analogues d6finitions pour D ( L , JC) et D(L, f lr) .
316 J . -P. DIAS: Uric dasse de probl~mes variationnds non li¢~daircs~ etc.
Soit main tenaa t (on suppose toujoars p > 2 ) A: V ~ V ' v6rifiant (1.2.7) et
(2.2.22) A est monotone et il existe vo ~K~,~.z et /o ~L~(zQ) tels que
lira (Au, u - - vo) f~
t2
(A d6fini comme d~ns l 'exemple 1.1.1 v6rifie ces conditions). Soit ] tel que
(2.2.23) / e c([0, ~]; L~(.e)) et ~ eL~(0, ~; L'(9)).
Alors t 'in6qu~tion
T
f( ) (2.2.24) u ~ JLg..a,z, A u - ~ - ~ - - / , v - - u d t>O,
o
off
D(L)-~ w ~ U l ~ t - e~U ' et w(O) = 0
Vv ~ J£ . . . . . z N D(L) ;
admet (of. H. B1¢~zxs [5], ch~pitre I t , l~hypothS~c (2.2.23) pouvant 6tre affMblie
pour A particulier) une solution u qui v6rifie
d u e E , u(0) = 0 (2.2.25) d-t-
et, p.p. en ]0, T[
du --u(t)] 0 Vv eK~ u(t) e K,,~,. z , Au(t) 4- -~ ( t ) - - ] ( t ) , v l > , .~, z "
Donc, compte tenu des Th~or~me~ 1.2.2, 1.2.4 et 1.2.5, on peut 6noncer les propo- sitions suivantes, si l 'on admet (2.2.22) ct (2.2.23)~ u ~ V 6t~nt une solution de
(2.2.24) qui-v6rifie (2.2.25):
P~OPOSIT:~O:~ 2.2.3. - Supposons 2 > N / ( p - - ~ ) et verifi~es les hypotheses d~,~
Yhder~me 1.2.2 sur A , g, g~ et Z. Alors on a u(t)~L®(.Q) p.p. en ]0, T[.
P~oPosI~Io-~ 2.2.4. - Sous les hypotheses de Ia Proposition 2.2.3, supposons e¢~
plus que Vz~L~oo(K2) oi~ q > N . Alors, pour tout ouvert K2' de R ~" tel que ~'c-Q-~ et p.p. en ]0, T[, il existe i ( t )~]0, 1] tel q~c u(t)~ C°'~<~)(~).
J . -P . DIAS: Une classe de probl~mes variationnels non lindaires, etc. 317
Rema.rquons que si N < p 1~ Proposi t ion 2.2.4 est triviale.
P~ol~osI'rlo~ ~ 2.2.5. - Supposons 2 > N / ( p - - ~ N ) et vdri]i~es les hypotheses du
Thdor~me 1.2.5 sur A~ g, g~ et Z. Alors p.p. en ]0, T[~ il existe ~(t) ~ ]0, 1] tel que
u(t) ~ ¢°'~')( D).
Pour terminer eet te section on peut faire une rem~rque ~n~logue ~ 1~ I~emar- que 1.2.5.
2.3. - Quelques r6sultats tle perturbat ion.
D~ns 1~ suite X sera~ un espace de BA~AcI~t r6el et r6flexif de norme li' II et de du~l X' . Soit K un convexe ferm6 et non vide de X et ] ~ X ' .
Soient A et B deux op6rateurs d6finis dans K et ~ va~leurs dans X ' tels que:
A est born6 et pseudo-monotone dans X f~ible.
B e s t born6, monotone et h6mi-eontinu.
(2.3.1)
(2.3.2)
Soit
(2.3.3) L: D ( Z ) c X - ~ X ' un op6r,~teur lin6~ire positif compatible avec K ~u sens de l~ d6finition G de [4].
A~-~ A + sB est, pour tou t s>~ 0, un op6r~teur born6 et pseudo-monotone d~ns K pour 1~ topologie fa.ible de X.
Pour chaque s > 0, nous d6signerons par K , l 'ensemble (eventuellement vide) des solutions de l ' in6quation
(2.3.4) ~ , ~ K , ( A , u , + _Lv--], v - - u , ) > O , V v ~ K f ~ D ( L ) .
En r~isonnant eomme d~ns 1~ d6monstr~tion de 1~ Proposi t ion 37 de [4] on d6- montre fncilement que (2.3.4) 6quiv~ut
(2.3.5)
Si, en paxtieulier, G ~D(L) nous obtenons de (2.3.4)
(2.3.6) (A,u, + Lu , - - / , v - - u~) ~ 0 , Vv E K .
L E ~ 2.3.1. - Sous les hypothkses (2.3.1), (2.3.2) et (2.3.3) soit s , > 0 , ~ l~1 , 2, e --~ e. Supposons que~ pour chaq,le ~, il existe ue~K~, tel qne • ' ' ~ n n "
Alor~ ~ ~ K~.
318 J . -P . DIAS: Une dasse de probl~mes variationneIs son lindaires, etc.
D£~O~ST~ATIO~. -- On a, u s K et , ~vec _ ~ - - A - - J on obtient , si v~ s K (5 D(L), v ~ > u d~ns X et l i m s u p (Lye, v~--u)~<0:
(,~*~,,, r~,~.-- v~) = (A%. @ e.~ B%. -+- Lv~ -- e. B%. @ e n Bvj -- e. Be s -- I~v~, re..-- v~) <
<~e.(Bv~, v~--%.) 4r (Lye, v~--re..) .
Puisque
lira (.~u.., % - u) = 0 , ~'--~-+ co
uniformdment en n, on en ddduit
lira sup (Xu.., u~ - - u) ~ - - > + oo
= 1.tm sup l im sup (A%,, u~,-- vj) < j - - ~ + m n --~-+ ~,
< l i m sup [e(Bvj, %.--u) + (Zvj, v~--u)]~< 0 . i - - > + m
L~ pseudo-monotonie de -~ entralne Mors
(~u, u - - v) < l im inf (~u~., u , . - - v) , n-- ->+ co
Vv ~ K .
D 'uut re p~rt , si v~KC~D(Z) , on
<e~(Bv, v - - u ~ ) + (T~v, v - - % , ) ,-~ e(Bv, v - - u ) + (Lv, v - - u ) .
Ainsi,
(_du, u --v),<--e(Bv~ u - - v ) -- (Lv, u - - v ) , Vv E K ~ D(L) ,
ee qui, 6rant donnde l 'dquivalence de (2.3.4) et (2.3.5), aeh~ve la ddmonstration.
TtI~0~]~[E 2.3.1. - Sour les hypotheses (2.3.1), (2.3.2) et (2.3.3) supposons, de plus,
(2.3.7) I~ exisle w ~ K ( 3 D(L) tel que lira (Av, v - - w ) + oo.
Alors A~ vdriiie (2.3.7), V s ~ 0 , et si e ~ O , ~ = 1 , 2 , ..., e , ~ e et u ~ K , . (12) on a qu'il existe une sous-suite r% de u~ et un r~ c K~ tels que r%-~ u dans X .
(1.~) Ks. est non vide puisque A,. vdrifie (2.3.7).
J . -P . DIAS: Une classe de probl~mes variationnels non lindaires~ etc. 319
DI~lgONSTt~ATIO2q. -- La monotonic de B ent ra ine que A~ v6rifie aussi (2.3.7)~ Ve~> 0.
D ' a u t r e p~rt~ nous avons
(Aus. , u, - - w) < (], *%-- w) - - (Lw, u, - - w) - - G~(Bw, u~ - - u') <~ c l[u~ -- w It,
ce qui ent ra lne %,~ born6e, 6rant donn6 (2.3.7). Soit clots %, une sous-suite de us~ fMblement eonvergente vers u. 1~e rgsult~t
suit pa r te L e m m e 2.3.1.
C01¢OLLAtm~ 2.3.1. - Supposons, sous Ies h~poth~ses du Thdor~me 2.3.1, que A est
stricteme,nt monotone sur K. Ators A s est aussi strictement monotone V e t O , et done
K~ se rdduit d u n seul dldment u~.
L'applieation e ---> us est continue de R÷ = {s ~ Rls> 0} dans X faible.
LE~3~E 2.3.2. - Sous les hypotheses (2.3.1), (2.3.2) et (2.3.3) soient s~ d>~O tels
qu'il existe us ~ K~ (3 D(L) et uo ~ K o ~ D(L).
Alors on a
(2.3.8) (A% -- A % , u s -- %) < (A% -- A % , % - - %) +
+ ( L u , - - L % , us - - ue) < (~ - - e ) ( B u e , us - - % ) •
D£~o~s~A~xO~. - Soit z { = A + L - - J . On ~, 6t~nt donn5 (2.3.6),
= (.~4%-- A u a + sBu~ -- eBu~ + 5Bu~ - - r)B% + sB% - - sB%, ~¢~ - - %) =:
= ( ~ u s + eBus, u s - - u a ) - ( . ,{%+ dBua, u s - - % ) + e ( B % - - B u ~ , u~ - -%) +
+ ( d - - e)(B%, u s - ua) < ( d - - e)(B%, % - - ue) •
L~ Proposi t ion suiv~nte g4n@~lise le Th6or~me 3.1 de [6]:
P~oPosITIo_~ 2.3.1. - Supposons X uniJormdment convexe et vdrifides les hypotheses
(2.3.2) et (2.3.3). Soit A: K - ~ X ' un opdrateur bornd, hdmi-continu et tel que
(2.3.9) (Ilull-ll Ii), vu,
o'h q~: R+-->R est une ]onetion continue strictement croissante telle que qD(O)= 0 et
¢(r) ~ + oo. Alors A v&'iJie (2.3.1) et (2.3.7) et est strictement monotone sur K. ¢ - ~ + co
Supposons de plus, que pour ehaquc s>~O, on a K s c D ( L ) (~3).
Alors l'application s--> u~ de R+ dans R, considdrde dans le Corollaire 2.3.1, est
eo~ti~,ue de 1~+ dans X ]ort.
(la) K~ est r6duit /~ un seul 616ment, 6tant donn6e la striete monotonic de As sur K.
320 J . -P . DIAS: Une cIasse de probl~mes variatiog~nels non lin&ires, etc.
D]~IO~-STRATIOI',. -- L& str iete monotonie de A sur K est une cons6quence de (2.3,9)
(cf. la note (~)). Si s~>0 , n : : l , 2, ..., et z,,~,>-e on obtient~ pa r le Corollaire 2.3.1,
% - 7 ~ ~.~ drills X .
D ' a u t r e pa r t , on a, pa r (2.3.9) et (2.3.8)
(#( ti% i!) - # ( ti~,~ !i)) (!i~,~o '1 - i!,,~ ~!) < (~ - ~o)(a,,~, , , ,~o- , ~ ) - e 0 ,
d'ofl, pa¢ le L e m m e 2.1 de [6],
Ainsi, puisque X est un i fo rm6ment eonvexe,
La proposi t ion suivante est une g6n6rMis~tion p~rtie]le du Th6orb~me 4.1 du ehapi t re I de [25]:
P~oP0SITI0~- 2.3.2. - Supposing° X ~ni]ormdme~t eonvexe~ A: K - - ~ X ~ bornd~ hdmi-
eosti~e, monotone et tel que
Ks est ~o~ vide et eontenu dans D ( L ) .
Soit B: K - > X ' bornd~ hdmi-eontinu et vdri]iant (2.3.9).
Soit s , > 0 ~ n = l , 2, ..., s~-~-~-0 tel quG Pou~ ° ehaq~ts n~ il exists % ~ K e ~ D ( L ) .
Alors i~ existe une sous-suite %, de %~ st u n % c K o telg q~ts
%,,~-~ % dane X .
Di:~O~ST~ATIO~. -- On a p~r (2.3.8), Vw ~ Ko c D(L),
d~o~
(2.3.~o) (B%~, %,--- w) < 0 , Vw e Ko.
Oeei entraine, puisque B v@ifie (2.3.9), qua ~% est born(,e. Soit aloes (ef. le Lem-
me 2.3.1) une sous-sni~e %r de %,, et ~.o-c:Ko tels RUe
q%-7" u0 dane X .
g . - t ). DIAS: Une classe de probl~mes variationnels non lindaires, ere. 321
On a, ]par (2.3.10),
(¢(11% Ii) - (II.o l])) (ll %11-11 o lI) < %-- %) < - - (B%, %-- O.
Done, p a r le L e m m e 2.1 de [6],
ll%!l ll o[i,
ce qui e n t r a i n e , p u i s q u e X es t u n i f o r m ~ m e n t c o n v e x e ,
u~,-v~ u o d a n s X .
REMAgQUE 2.3.1. - S u p p o s o n s , en p a r t i c u l i e r , D ( ] 5 ) = X e t L----_ 0 (cas (( elli- ptique ))). A lo r s les h y p o t h S s e s A b o r n 6 e t B bo rn6 son t i nu t i l e s d a n s t o u s l e s r6sul-
t a t s an t6 r i eu r e s , c o m m e i l es t ais6 de v6rif ier .
B I B L I O G R A p H I E
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