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UNA SERIE DI EULERO− FOURIER
ED IL FENOMENO DI WILBRAHAM−GIBBS
Leonardo Colzani
Dipartimento di Matematica, Universita degli Studi di Milano-Bicoccavia Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126 Milano
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx) =
x
2, −π < x < π.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 2 4x
10∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx)
1
Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2π puo esserescomposta in serie di Fourier,
ϕ(x) =a0
2+
+∞∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)) ,
an =1
π
∫ π
−π
ϕ(x) cos(nx) dx, bn =1
π
∫ π
−π
ϕ(x) sin(nx) dx.
Sotto opportune ipotesi, verificate per ogni funzione ragionevole, la se-rie converge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier diuna funzione con un salto, in un intorno della discontinuita hanno dellerapide oscillazioni e, per cosı dire, mancano il bersaglio per circa il 9%del valore del salto. Per esempio, sommando i primi m termini della se-
rie x/2 =+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx), in un periodo −π < x < π si notano m oscil-
lazioni ed avvicinandosi ai punti di salto x = ±π le oscillazioni divengono piumarcate. Questo fenomeno ha una semplice spiegazione, ma e ancora oggettodi studio perche nei processi di approssimazione si cerca spesso di eliminare oalmeno di tenere sotto controllo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomenoha una storia interessante e personaggi importanti vi hanno contribuito. E’questa storia che qui vogliamo presentare.
Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto ”Sur la prop-agation de la chaleur” all’Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendentima non del tutto giustificati causano una vivace controversia tra gli esamina-tori, Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione rivedutae corretta del lavoro vince nel 1811 un premio sul problema della diffusionedel calore con la motivazione:
”Cette piece renferme les veritables equations differentielles de la trans-missions de la chaleur, soit a l’interieur des corps, soit a leur surface: etla nouveaute du sujet, jointe a son importance, a determine la Classe acouronner cet Ouvrage, en observant cependant que la maniere dont l’Auteurparvient a ses equations n’est pas exempte de difficultes, et que son analyse,pour les integrer, laisse encore quelque chose a desirer, soit relativement a lageneralite, soit meme du cote de la rigueur.”
2
”Questa teoria contiene le corrette equazioni differenziali della trasmis-sione del calore, sia all’interno dei corpi, che sulla loro superficie: e la novitadel soggetto, insieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a pre-miare questo lavoro, osservando tuttavia che il modo con cui l’autore arrivaalle sue equazioni non e esente da difficolta, e che la sua analisi, per in-tegrarle, lascia qualcosa a desiderare, sia relativamente alla generalita, siaanche dal punto di vista del rigore.”
Nel 1822 Fourier pubblica la ”Theorie analytique de la chaleur”. Perrisolvere delle equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo diseparazione delle variabili, Fourier introduce le serie che poi prenderanno ilsuo nome. Nel 1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosadella convergenza delle serie di Fourier. Esempi specifici di sviluppi trigono-metrici erano noti dal XVIII secolo e c’erano stati tentativi di A.L.Cauchy,S.D.Poisson ed altri, di provare questo importante risultato, ma nessuna delledimostrazioni presentate sembrava essere completamente soddisfacente. Inparticolare, riferendosi ad una memoria di Cauchy, Dirichlet scrive:
”L’auteur de ce travail avoue lui meme que sa demostration se trouveen defaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtantincontestable. Un examen attentif du Memoire cite m’a porte a croire quela demonstration qui y est exposee n’est pas meme suffisante pour les casauxquelle l’auteur la croit applicable.”
”L’autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione sitrova in difetto per certe funzioni per le quali la convergenza e tuttavia incon-testabile. Un attento esame della memoria citata mi ha portato a credere chela dimostrazione esposta non e neppure sufficiente per casi ai quali l’autorela crede applicabile.”
Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,Cauchy dell’inversione della trasformata di Fourier sono pero convincenti emolto interessanti. Comunque, questo e l’enunciato del teorema di Dirichlet(Lejeune Dirichlet, Sur la convergence des series trigonometriques qui ser-vent a representer une fonction arbitraire entre des limites donnees. Crelle,Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik 4, 1829).
3
Si la fonction ϕ(x), dont toutes les valeurs sont supposees finies et determinees,ne presente qu’un nombre fini des solutions de continuite entre les limites −πet π, et si en outre elle n’a qu’un nombre determine de maxima et de minimaentre ces meme limites, la serie
1
2π
∫ϕ(a) da +
1
π
cos x
∫ϕ(a) cos a da + cos 2x
∫ϕ(a) cos 2a da + ...
sin x
∫ϕ(a) sin a da + sin 2x
∫ϕ(a) sin 2a da + ...
,
dont les coefficients sont des integrales definies dependantes de la fonctionϕ(x), est convergente et a un valeur generalement exprimee par:
1
2[ϕ(x + ε) + ϕ(x− ε)] ,
ou ε designe un nombre infiniment petit. ...On aurait un exemple d’une fonction qui ne remplit pas cette condition,
si l’on supposait ϕ(x) egale a une constante determinee c lorsque la variablex obtient un valeur rationnelle, et egale a une autre constante determinee d,lorsque cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi definie a des valeursfinies et determinees pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait lasubstituer dans la serie, attendu que les differentes integrales qui entrent danscette serie, perdraient toute signification dans ce cas.”
Se la funzione ϕ(x), i cui valori si suppongono finiti e determinati, nonpresenta che un numero finito di discontinuita tra i limiti −π e π, e se inoltrenon ha che un numero finito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie
1
2π
∫ϕ(a) da +
1
π
cos x
∫ϕ(a) cos a da + cos 2x
∫ϕ(a) cos 2a da + ...
sin x
∫ϕ(a) sin a da + sin 2x
∫ϕ(a) sin 2a da + ...
,
i cui coefficienti sono degli integrali definiti dipendenti dalla funzioneϕ(x), e convergente ad un valore generalmente espresso da:
1
2[ϕ(x + ε) + ϕ(x− ε)] ,
4
dove ε denota un numero infinitamente piccolo...Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si
suppone ϕ(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile xassume un valore razionale, ed uguale ad un’altra costante determinata dquando questa variabile e irrazionale. La funzione cosı definita assume deivalori finiti e determinati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie,perche in questo caso gli integrali che entrano in questa serie perdono ognisignificato.”
In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuitaconvergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continuepuo convergere ad una funzione discontinua, questo e il paradosso alla basedel fenomeno di Gibbs.
Nel 1875 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una ”Tide Pre-dicting Machine”, che somma fino a 10 componenti di marea, e versioni per-fezionate di questa apparecchiatura sono rimaste in uso fino all’avvento deicalcolatori elettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coefficienti diFourier di una funzione data e, viceversa, a partire dai coefficienti disegnanola funzione. Nella rivista ”Nature”, 3 Febbraio 1898, troviamo una brevedescrizione di uno di questi analizzatori armonici.
”A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is aninstrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series,or to analise a given curve into its original series. The pen which traces thecurve is worked up and down by a lever controlled by a spring. This springis stretched by an excentric, which imparts a ”simple harmonic” variation tothe force. The stretching is resisted by another spring. Eighty such elementsare connected together, with one resisting spring to counterbalance the sumof the elementary springs. The pen therefore moves in accordance with thesum of the elementary periodic motions. The authors obtain by this machinethe mathematical series representing the profile of a human face.”
”Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Questoe uno strumento progettato per sommare fino ad ottanta termini di una se-rie di Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il penninoche traccia la curva e mosso su e giu da una leva controllata da una molla.
5
Questa molla e tesa da un eccentrico che fornisce una variazione ”armon-ica semplice” alla forza. La tensione e controbilanciata da un’altra molla.Ottanta di questi elementi sono connessi insieme, con una molla che con-trobilancia la somma delle molle elementari. Il pennino quindi si muove inaccordo con la somma dei moti periodici elementari. Con questa macchina gliautori ottengono la serie matematica che rappresenta il profilo di una facciaumana.”
(”Nature” prosegue poi con ”Un esame delle velocita registrate dei cavallida trotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario”.E’ uno studio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 2′30′′.)
Il fisico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questoanalizzatore armonico, in una lettera a ”Nature”, 6 Ottobre 1898, critical’asserzione dei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge aquesta funzione anche in un intorno di una discontinuita.
”In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it isexpressly stated that the series can represent discontinuous functions. Theidea that a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is soutterly at variance with the physicists’ notion of quantity, that it seems tome worth while giving a very elementary statement of the problem in suchsimple form that the mathematicians can at once point to the inconsistencyif any there be.
Consider the series
y = 2
[sin x− 1
2sin 2x +
1
3sin 3x− ...
]
In the language of the text-books (Byerly’s ”Fourier’s Series and SphericalHarmonics”) this series ”coincides with y = x from x = −π to x = π...Moreover the series in addition to the continuous portions of the locus ...gives the isolated points (−π, 0) (π, 0) (3π, 0), &c.”
If for x in the given series we substitute x+ε we have, omitting the factor2,
−y = sin ε +1
2sin 2ε +
1
3sin 3ε + ... +
1
nsin nε + ...
6
This series increases with n until nε = π. Suppose therefore ε = kπ/n,where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to nε = kπ,a finite quantity even if n = ∞. Hence the value of y in the immediatevicinity of x = π is not an isolated point y = 0, but a straight line −y = nx.
The same result is obtained by differentiation, which gives
−dy
dx= cos x− cos 2x + cos 3x− ...
putting x = π + ε this becomes
−dy
dx= cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...
which is nearly equal n to for values of nε less than kπ. It is difficult tosee the meaning of the tangent if y were an isolated point.
Albert A.Michelson.”
”In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si diceespressamente che la serie puo rappresentare una funzione discontinua. L’ideache una discontinuita puo rimpiazzare la somma di curve continue e cosı intotale contrasto con la nozione di quantita dei fisici, che mi sembra opportunodare una elementare esposizione del problema in una forma cosı semplice chei matematici ne possano mostrare l’inconsistenza se presente.
Consideriamo la serie
y = 2
[sin x− 1
2sin 2x +
1
3sin 3x− ...
]
Nel linguaggio del libro di testo (Byerly ”Fourier’s Series and SphericalHarmonics”) questa serie ”coincide con y = x da x = −π a x = π... Inoltrela serie oltre al luogo continuo di punti... da i punti isolati (−π, 0) (π, 0)(3π, 0), &c.”
Se per x nella data serie sostituiamo x+ε otteniamo, omettendo il fattore2,
−y = sin ε +1
2sin 2ε +
1
3sin 3ε + ... +
1
nsin nε + ...
Questa serie cresce con n fino a nε = π. Supponiamo quindi ε = kπ/n,con k piccolo. La serie sara ora quasi uguale a nε = kπ, una quantita finita
7
anche quando n = ∞. quindi il valore di y nelle immediate vicinanze dix = π non e un punto isolato y = 0, ma una linea retta −y = nx.
Lo stesso risultato si puo ottenere per differenziazione,
−dy
dx= cos x− cos 2x + cos 3x− ...
ponendo x = π + ε questo diventa
−dy
dx= cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...
che e quasi uguale a n per valori di nε minori di kπ. E’ difficile vedereil senso della tangente se y e un punto isolato.
Albert A.Michelson.”
Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a ”Nature”,13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera e piuttosto brusca escortese.
”If there are physicists who hold ”notions of quantity” opposed to themathematical result that the sum of an infinite series of continuous func-tions may itself be discontinuous, they woud be likely to profit by readingsome standard treatise dealing with the theory of infinite series... Neither ofthese statements is correct... The processes employed are invalid... It is notlegitimate...”
”Se ci sono fisici che sostengono ”nozioni di quantita” opposte al risultatomatematico che la somma di una serie infinita di funzioni continue puo essereessa stessa essere discontinua, questi trarrebbero probabilmente profitto dalleggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie infinite... Nessuna diqueste affermazioni e corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non elegittimo...”
Nella seconda lettera Love spiega la differenza tra convergenza puntualeed uniforme.
8
”This peculiarity is always presented by a series whose sum is discon-tinuous: in the neighbourhoodof the discontinuity the series do not convergeuniformly, or the sums of the first n terms is always appreciably differentfrom the graph of the limit of the sum.”
”Questa peculiarita e sempre presente in una serie la cui somma e discon-tinua: in un intorno della discontinuita la serie non converge uniformemente,o la somma dei primi n termini differisce in modo apprezzabile dal graficodel limite della somma”
Anche se questa affermazione e formalmente corretta, di fatto Love nonprende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelsonreplica brevemente con una lettera a ”Nature”, 29 Dicembre 1898. Quindi,in due lettere a ”Nature”, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbschiarisce la differenza tra
”... the limit of the graphs... and the graph of the limit...”
”... il limite dei grafici... e il grafico del limite...”
Se la serie di Fourier converge, il grafico del limite e il grafico della fun-zione, ma se la funzione e discontinua il limite dei grafici delle somme parzialie differente dal grafico della funzione limite.
Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzioney = x in −π < x < π. La periodicizzata di questa funzione e una funzionelineare a tratti con salti da +π a −π nei punti x = π + 2kπ, questa funzionee detta dente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e nonfa menzione del fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancanoil bersaglio per circa il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive conprecisione, ma senza dimostrazioni, il limite dei grafici delle somme parziali.Questo limite e una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti cen-trati nei punti (2kπ, 0) e inclinati di 45o, e da segmenti verticali centrati in
(π + 2kπ, 0). I segmenti verticali sono lunghi 4
∫ π
0
sin(x)
xdx = 7, 407748...
e si estendono oltre il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rap-
porto tra questo numero e l’ammontare del salto e7, 407748...
6, 283185...= 1, 178979...,
9
quindi le somme parziali mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso inx = π − ε e per difetto in x = π + ε.
Il grafico del limite Il limite dei grafici
Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizionedel fenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane trovi-amo ancora una difesa del punto di vista di Michelson in un’altra lettera a”Nature”, 18 Maggio 1899.
”I have M.Poincare authority to publish the accompanying note regardingthe applicability of Fourier’s series to discontinuous functions, and send itaccordingly for pubblication in Nature.
A.A.Michelson.
Mon cher collegue, comme je l’avais prevenu vous avez tout a fait raison.
Prenons d’abord l’integrale
∫ y
0
sin xz
xdx, dont la limite pour y = ∞ est π/4,
0, −π/4 selon que z est positif, nul ou negatif. Faisons maintenant tendresimultanement z vers 0 et y vers l’infini de telle facon que zy tende vers a.
La limite sera
∫ a
0
sin x
xdx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0
jusqu’a
∫ π
0
sin x
xdx. Si prenons maintenant n termes de la serie
∑sin kz
zen faisant tendre simultanement z vers 0 et n vers l’infini de telle faconque le produit nz tende vers a, cela sera evidemment la meme chose; et la
10
difference entre la somme et l’integrale sera d’autant plus petıte que z seraplus petıt. Cela se voit aisement. Tout a vous,
Poincare.
”Ho il permesso del Sig. Poincare di pubblicare la seguente nota sull’applicabilitadelle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la pubblicazionesu Nature.
A.A.Michelson.
Mio caro collega, come avevo previsto voi avete del tutto ragione. Per
cominciare prendiamo l’integrale
∫ y
0
sin xz
xdx, il cui limite per y = ∞ e
π/4, 0, −π/4 (π/2?) a seconda che z e positivo, nullo o negativo. Facciamoora tendere simultaneamente z verso 0 e y verso l’infinito in modo tale che
zy tenda verso a. Il limite sara
∫ a
0
sin x
xdx che puo prendere tutti i valori
da 0 fino a
∫ π
0
sin x
xdx. Se prendiamo ora n termini della serie
∑sin kz
z(∑sin kz
k?
)facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l’infinito
in modo tale che il prodotto nz tenda verso a, questo sara evidentemente lastessa cosa; e la differenza tra la somma e l’integrale sara tanto piu piccolaquanto z sara piu piccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,
Poincare.
(Probabilmente Poincare ha scritto la lettera di getto e non la ha neancheriletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincare su Nature eseguita da ”Una nota su dei lombrichi fosforescenti”.)
La serie+∞∑
k=1
sin(kx)
k=
+∞∑
k=1
(−1)k+1
ksin(k(π − x)) e lo sviluppo della fun-
zioneπ − x
2nell’intervallo 0 < x < 2π e in zero c’e un salto di π. Le
somme parzialin∑
k=1
sin(kx)
kse x = a/n sono somme di Riemann dell’integrale
∫ a
0
sin(t)
tdt,
11
n∑
k=1
sin(ka/n)
k=
n∑
k=1
sin(ka/n)
(ka/n)· (a/n) ≈
∫ a
0
sin(t)
tdt.
Piu precisamente, se n → +∞ e x → 0+,
n∑
k=1
sin(kx)
k=
π − x
2−
∫ +∞
nx
sin(t)
tdt + o(1).
Ricordiamo che
∫ +∞
0
sin(t)
tdt =
π
2= 1, 570796..., il valore massimo
dell’integrale
∫ a
0
sin(t)
tdt si ha per a = π,
∫ π
0
sin(t)
tdt = 1, 851937...
Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincare c’e un’ultima lettera di Love su”Nature”, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelsone paradossale solo se non si chiarisce il significato di somma di una serieinfinita, ma il tono di questa lettera e piu cortese delle precedenti.
Di fatto il fenomeno di Gibbs e stato descritto con precisione da H.Wilbraham,cinquant’anni prima di Gibbs (H.Wilbraham, On a certain periodic func-tion. Cambridge & Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham con-sidera la funzione
y = cos(x)− cos(3x)
3+
cos(5x)
5− ...
che prende alternativamente i valori ±π/4 e descrive una onda quadra. Ilcomportamento delle somme parziali della serie di Fourier dell’onda quadrae del tutto analogo a quello dell’onda triangolare. Piu in generale, la se-rie di Fourier di una funzione a variazione limitata in un intorno di unadiscontinuita presenta il fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema diconvergenza di Dirichlet. Se f(x) e g(x) sono due funzioni a variazione lim-itata con un salto in x = a e se f(x) − g(x) e continua in un intorno di a,allora la serie di Fourier di f(x) − g(x) converge uniformemente in un in-torno di a. In particolare, le serie di Fourier di f(x) e g(x) hanno lo stessocomportamento in un intorno di a. Per funzioni non a variazione limitata c’eancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni delle somme parziali sonopiu marcate e possono mancare il bersaglio di piu del 9%.
12
+∞∑n=0
(−1)n
2n + 1cos((2n + 1)x) =
π/4, |x| < π/2,0, |x| = π/2, π,
−π/4, π/2 < |x| < π.
-0.8
-0.6
-0.4
-0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
-4 -2 2 4x
10∑n=0
(−1)n
2n + 1cos((2n + 1)x)
Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte dismorzare le oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno dellediscontinuita. Un possibile modo di procedere e quello di considerare oppor-tune medie che pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nelgrafico sono rappresentate la funzione x/2, le somme parziali della sua serie
di Fourier10∑
n=1
(−1)n+1
nsin(nx) e le medie di Fejer
10∑n=1
11− n
11
(−1)n+1
nsin(nx).
13
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3x
x
2,
10∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx),
10∑n=1
11− n
11
(−1)n+1
nsin(nx)
Il fenomeno di Gibbs non e una particolarita delle serie trigonometriche,ma e una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti sis-temi di funzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi ole funzioni di Bessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di fun-zioni trigonometriche ed il comportamento degli sviluppi in serie con questefunzioni speciali non e troppo differente dagli sviluppi in serie trigonomet-riche. Nel 1908 C.J. de la Vallee Poussin considera un analogo del fenomenodi Gibbs nell’interpolazione con polinomi trigonometrici o con funzioni interedi tipo esponenziale finito. Nel 1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs persviluppi in armoniche sferiche. Poi il numero di lavori su questo fenomeno simoltiplica.
Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece cheandare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietrocon la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo
vogliamo presentare qualche curiosita sulla serie+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx).
Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1+x)α =+∞∑n=0
(αn
)xn e dimostra che una serie di potenze e una funzione continua sui raggi
del cerchio di convergenza.
14
Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso
log(1 + z) = log |1 + z|+ iArg(1 + z) =+∞∑n=1
(−1)n+1
nzn
e ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie
log√
2 + 2 cos(x) = −+∞∑n=1
(−1)n
ncos(nx),
x
2=
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx).
Niels Henrik Abel, Recherches sur la serie
1 +m
1x +
m(m− 1)
1 · 2 x2 +m(m− 1)(m− 2)
1 · 2 · 3 x3 + ...etc.
Crelle, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.
L’exellent ouvrage de M.Cauchy ”Cours d’analyse de l’ecole polytech-nique” qui doit etre lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherchesmathematiques, nous servira de guide...
Dans l’ouvrage cite de M. Cauchy on trouve le theoreme suivant:”Lorsque les different termes de la serie, u0 + u1 + u2 + ...etc. sont des
fonctions d’une meme variable x, continues par rapport a cette variable dansle voisinage d’une valeur particuliere pour laquelle la serie est convergente, lasomme s de la serie est aussi, dans le voisinage de cette valeur particuliere,fonction continue de x.”
Mais il me semble que ce theoreme admet des exceptions. Par example laserie
sin ϕ− 1
2sin 2ϕ +
1
3sin 3ϕ− ...etc.
est discontinue pour tout valeur (2m + 1)π de ϕ, ou m est un nombreentier. Il y a, comme en sait, plusieurs series de cette espece...
1
2log (1 + 2α cos ϕ + α2) = α cos ϕ− 1
2α2 cos 2ϕ +
1
3α3 cos 3ϕ− etc.
arc.tang
(α sin ϕ
1 + α cos ϕ
)= α sin ϕ− 1
2α2 sin 2ϕ +
1
3α3 sin 3ϕ− etc.
15
Pour avoir les sommes de ces series lorsque α = +1 ou −1, il fautseulement faire α converger vers cette limite.
L’eccellente opera del Sig. Cauchy ”Corso d’analisi della scuola politec-nica” che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerchematematiche, ci servira da guida...
Nell’opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:”Quando i diversi termini della serie, u0 + u1 + u2 + ...etc. sono delle
funzioni di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in unintorno di un valore particolare per il quale la serie e convergente, anchela somma s della serie e, nell’intorno di questo valore particolare, funzionecontinua di x.”
Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempiola serie
sin ϕ− 1
2sin 2ϕ +
1
3sin 3ϕ− ...etc.
e discontinua per ogni valore (2m+1)π di ϕ, dove m e un numero intero.Ci sono, come e noto, parecchie serie di questo tipo...
1
2log (1 + 2α cos ϕ + α2) = α cos ϕ− 1
2α2 cos 2ϕ +
1
3α3 cos 3ϕ− etc.
arc.tang
(α sin ϕ
1 + α cos ϕ
)= α sin ϕ− 1
2α2 sin 2ϕ +
1
3α3 sin 3ϕ− etc.
Per avere le somme di queste serie quando α = +1 o −1, basta solamentefare convergere α verso questo limite.
Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e pre-senta vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx) = x/2.
Jean Baptiste Joseph Fourier, Sur la propagation de la chaleur. Mano-scritto presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.
Soit par example
16
y = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x...+
1
m− 1sin .m− 1x− 1
msin .mx
(m etant un nombre pair quelconque), on tire de cette equation
dy
dx= cos .x− cos .2x + cos .3x− cos .4x... + cos .m− 1x− cos .mx.
Si l’on multiplie les deux membres par 2 sin .x on aura
2dy
dxsin .x = ... = sin .x− 2 cos .(m +
1
2)x sin .
1
2x.
Donc
dy
dx=
1
2− cos .(m + 1
2)x sin .1
2x
sin .x=
1
2− cos .(m + 1
2)x
2 cos .12x
.
On a donc
y =1
2x−
∫cos .(m + 1
2)x
2 cos .12x
dx
= C +1
2x− 1
2
1
m + 12
sin .(m + 12)x
2 cos .12x
dx + &c.,
et si m est infini on aura
y = C +1
2x.
La valeur de y etant nulle en meme temp que x, la constante est nulle etl’on trouve
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
equation connue qui a ete remarquee par Euler.... Il est essentiel d’observer a l’egard de toutes ces series que les equations
qui la contiennent n’ont point lieu de la meme maniere toutes les valeurs dela variable, et que les valeurs des series infinie de sinus ou de cosinus d’arcschangent de signes subitement.
17
... Quant a la fonction
sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
elle donne la valeur1
2x tant que l’arc x est plus grand que zero et moindre
que π. Elle devient nulle subitement a la fin de cet interval et au-dela ellereprende les valeurs precedentes avec le signe contraire. Ainsi l’equation
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
appartient a une ligne composee des paralleles inclinee aa...bb...cc... &c.et des droites perpendiculaires ab, bc, cd,... &c.
Sia per esempio
y = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x...+
1
m− 1sin .m− 1x− 1
msin .mx
(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava
dy
dx= cos .x− cos .2x + cos .3x− cos .4x... + cos .m− 1x− cos .mx.
Se si moltiplicano i due membri per 2 sin .x si avra
2dy
dxsin .x = ... = sin .x− 2 cos .(m +
1
2)x sin .
1
2x.
Dunque
dy
dx=
1
2− cos .(m + 1
2)x sin .1
2x
sin .x=
1
2− cos .(m + 1
2)x
2 cos .12x
.
Si ha dunque
y =1
2x−
∫cos .(m + 1
2)x
2 cos .12x
dx
= C +1
2x− 1
2
1
m + 12
sin .(m + 12)x
2 cos .12x
dx + &c.,
18
e se m e infinito si avra
y = C +1
2x.
Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante e nulla esi trova
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
equazione nota che e stata trovata da Eulero.... E’ essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni
che le contengono non hanno affatto luogo nella stessa maniera per tutti ivalori della variabile, e che i valori delle serie infinite di seni e coseni di arcocambiano di segno all’improvviso.
... Quanto alla funzione
sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
questa assegna il valore1
2x quando l’arco x e maggiore di zero e minore
di π. Questa diviene all’improvviso nulla alla fine di questo intervallo e aldi la riprende i valori precedenti con il segno contrario. Cosı l’equazione
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x +
1
3sin .3x− 1
4sin .4x + ...&c.,
appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc... &c.e di rette perpendicolari ab, bc, cd,... &c.
Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazionex
2=
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx). Per il lettore italiano non e difficile decifrare l’originale
latino.
Leonhardo Eulero, Subsidium calculi sinuum. Novi Commentarii AcademiaeScientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.
Theorema. Si assignari queat summa huius seriei
Azm + Bzm+n + Czm+2n + Dzm+3n + Ezm+4n + etc. = Z,
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semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc.,A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc.
Demonstratio. Ponantur summae harum serierum
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc. = S,A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc = T
sitque ut supra
cos .ϕ +√−1 sin .ϕ = u et cos .ϕ−√−1 sin .ϕ = v ;
erit
cos .νϕ +√−1 sin .νϕ = uν et cos .νϕ +
√−1 sin .νϕ = vv.
Hinc ergo erit
S + T√−1 = Aum + Bum+n + Cum+2n + Dum+3n + etc. = U,
S − T√−1 = Avm + Bvm+n + Cvm+2n + Dvm+3n + etc. = V.
Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum Uet V tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hincitaque elicitur
S =U + V
2et T =
U − V
2√−1
ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.
Corollarium. Cum sit
zm + azm+n + a2zm+2n + a3zm+3n + etc. =zm
1− azn,
... Sit m = 1 et n = 1; erit
20
cos .ϕ + a cos .2ϕ + a2 cos .3ϕ + a3 cos .4ϕ + etc. =cos .ϕ− a
1 + aa− 2a cos .ϕ,
... Sin autem sit a = −1, erit
cos .ϕ− cos .2ϕ + cos .3ϕ− cos .4ϕ + etc. =1
2,
... Illa autem series per dϕ multiplicata et integrata dat
sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ +
1
3sin .3ϕ− 1
4sin .4ϕ +
1
5sin .5ϕ− etc. =
ϕ
2,
ubi additione constantis non est opus, cum posito ϕ = 0 summa sponteevanescat.
Cioe, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche capacidi sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r (cos(ϑ) + i sin(nϑ)),
+∞∑n=0
cnzn =
+∞∑n=0
cnrn cos(nϑ) + i
+∞∑n=0
cnrn sin(nϑ).
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio diconvergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergentiche poi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d’Alembert:
”Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie chenon sono convergenti o che si puo supporre non essere tali, mi sembranosempre molto sospetti.”
E Abel rincara la dose:
”Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed e una disgraziafondarci sopra delle dimostrazioni.”
Comunque, proprio con i risultati di Abel non e difficile rendere rigorosigli argomenti di Eulero. La serie 1/2−cos(x)+cos(2x)−cos(3x)+... e la serie
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di Fourier della misura che associa massa π ad ogni punto (2n+1)π. Questaserie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di differenziazioneed integrazione termine a termine sono lecite.
Eulero non disdegna di tornare piu volte sulle sue conquiste ed in unaltro lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi diinterpolazione.
Leonhardo Eulero, De eximio uso methodi interpolationum in serierumdoctrina. Opuscula Analytica 1, 1783.
Si enim quaeratureiusmodi aequatio inter binas variabiles x et y, utsumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. fiat y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatiohaec in genere ita repraesentari poterit
y
x=
p
a· bb− xx
bb− aa· cc− xx
cc− aa· dd− xx
dd− aa· ee− xx
ee− aa· etc.
+q
b· aa− xx
aa− bb· cc− xx
cc− bb· dd− xx
dd− bb· ee− xx
ee− bb· etc.
+r
c· aa− xx
aa− cc· bb− xx
bb− cc· dd− xx
dd− cc· ee− xx
ee− cc· etc.
+s
d· aa− xx
aa− dd· bb− xx
bb− dd· cc− xx
cc− dd· ee− xx
ee− dd· etc. + etc.,
ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satis-fiat.
... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorumnaturalium sitque a = ϕ, b = 2ϕ, c = 3ϕ, d = 4ϕ, etc. in infinitum: exquorum sinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ϕ determinari oporteat.
Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem
ϕ =sin .ϕ
1· 2 · 21 · 3 ·
3 · 32 · 4 ·
4 · 43 · 5 ·
5 · 54 · 6 · etc.
− sin .2ϕ
2· 1 · 11 · 3 ·
3 · 31 · 5 ·
4 · 42 · 6 ·
5 · 53 · 7 · etc.
+sin .3ϕ
3· 1 · 12 · 4 ·
2 · 21 · 5 ·
4 · 41 · 7 ·
5 · 52 · 8 · etc.
− sin .4ϕ
4· 1 · 13 · 5 ·
2 · 22 · 6 ·
3 · 31 · 7 ·
5 · 51 · 9 · etc.
+sin .5ϕ
5· 1 · 14 · 6 ·
2 · 23 · 7 ·
3 · 32 · 8 ·
4 · 43 · 7 · etc. + etc.;
22
omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, itaut sit
1
2ϕ = sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ +
1
3sin .3ϕ− 1
4sin .4ϕ +
1
5sin .5ϕ− etc.,
cuius seriei veritas casu, quo angulus ϕ est infinite parvus, per se estmanifesta. Evolvamus ergo casus seguentes:
Sit ϕ = 90o =π
2ac prodit series Leibniziana
π
4= 1− 1
3+
1
5− 1
7+
1
9− etc.,
... Circa seriem invenita1
2ϕ = sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ+
1
3sin .3ϕ−etc. dubium
oriri potest, quod sumto arcu ϕ = 180o = π singuli seriei termini evanes-
cant ideoque summa nequeat1
2π aequari. Verum ad hoc dubium solvendum
statuatur primo ϕ = π − ω et resultabit haec equatio
π − ω
2= sin .ω +
1
2sin .2ω +
1
3sin .3ω +
1
4sin .4ω + etc.
nunc vero arcus ω infinite parvus sumatur, unde adipiscimur hancπ − ω
2=
ω + ω + ω + ω + ω + etc., quae nihil amplius continet absurdi. Quod idemtenendum est, si velimus accipere ϕ = 2π vel ϕ = 2π etc.
Per altre referenze sul fenomeno di Gibbs e la sua storia si puo consultarequalche buon testo di Analisi armonica e l’articolo:
E.Hewitt & R.E.Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episodein Fourier analysis. Archive for the History of Exact Sciences 21, 1979.
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