Una prueba elemental de la desigualdadisoperimetrica *

Carlos J. Rodrıguez B.

4 de junio de 2013

Indice

1. Introduccion. 2

2. Desigualdad de Wirtinger discreta 32.1. Prueba de 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Funcion soporte 8

4. La longitud y el area. 9

5. Areas de polıgonos. 125.0.1. El polıgono derivado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Radio y centro de curvatura para polıgonos convexos 14

7. Lema del sobre 17

8. Poligonos derivados de perpendiculares 19

9. La curva convexa com limite de poligonos. 19

*Primary AMS classification: 53A04 Evolute, Curvature, Area, Convex, Isoperimetricinequality, Wirtinger inequality

1

Resumen

De todas las curvas planas continuas los polıgonos son las curvasmas ; y, como cada curva continua es lımite uniforme de una sucesionde polıgonos, los polıgonos, guardadas las justas proporciones, son alas curvas como los racionales son a los reales. Resulta, pues, naturalpretender entender las curvas continuas a traves de los polıgonos.

La desigualdad isoperimetrica es equivalente a la desigualdad deWirtinger; la prueba clasica de Hurwitz ([3]) de esta desigualdad esmuy pero no es elemental, usa series de Fourier. En esta nota encon-traremos una version discreta de la desigualdad de Wirtinger con unaprueba elemental.

The theory of polyhedra and related geometrical methodsare attractive not only in their own right. They pave theway for the general theory of surfaces. Surely, it is not al-ways that we may infer a theorem for curved surfaces from atheorem about polyhedra by passage to the limit. However,the theorems about polyhedra always drive us to searchingsimilar theorems about curved surfaces. Moreover, the ca-se of polyhedra reveals elementarygeometric grounds formore general results. To demonstrate these connections, Isupplement almost every chapter with a section devoted togeneralizations of the topics of the chapter. Among themappear not only generalizations to curved surfaces but alsoto polyhedra in hyperbolic space, etc. These generalizationsare explained in abridged form, since they are not used inthe main text.

Alexandrov in Convex Polyhedra

1. Introduccion.

Este artıculo nace de una lectura de [2] y [4]. Primero probaremos lasiguiente desigualdad y su version poligonal:

Si C = ∂K es la frontera de un conjunto convexo compacto K dearea F en R2, then ∫

C

ρ(s)ds > 2F, (1)

2

donde ρ = ρ(s) > 0 es el radio de curvatura de C and ds es lalongitud de arco medida sobre C. La igualdad solo se da si C esun cırculo.

En segundo lugar usamos

∫C

ρ(s)ds = 2(F − Fe),

donde Fe es el area (algebraica) del dominio cubierto por la evo-luta de C;

este precioso resultado esta probado en [2]. de manera elemental y tambienen [3] usando series de Fourier. La prueba de la version poligonal de estaigualdad es muy . De los dos resultados anteriores, se deduce que:

Fe ≤ 0

.

Y resulta que esta desigualdad, es equivalente a la desigualdad de Wirtinger:

Si f : R −→ R es una C2-funcion of de perıodo 2π, entonces∫ 2π

0

|f ′|2dφ ≤∫ 2π

0

|f ′′|2dφ.

La igualdad se alcanza sı y solo sıf(φ) = a cosφ+ b sinφ+ c paraconstantes a, b, and c.

2. Desigualdad de Wirtinger discreta

Sea P = P1P2 · · ·Pn un polıgono cerrado en el plano euclidiano de verticesP1, P2, . . . Pn. Siempre consideraremos que el polıgono viene orientado porla enumeracion de sus vertices; de modo que, por ejemplo, podemos escribir−P = PnPn−1 · · ·P1. Siempre supondremos que Pn+k = Pk y que Pn−k = Pk;ası, en particular; Pn+1 = P1 y P0 = Pn.

3

Sean Pi = (xi, yi)(i = 1, · · · , n; li = d(Pi−1, Pi) la longitud del lado i-esimo, Lk = Σk

i=1li; L = Ln, el perımetro del polıgono.; ∆ix = xi − xi−1 y∆iy = yi − yi−1. Observe que, l2i = ∆2

ix+ ∆2i y.

Sean

f(s) = xi−1 + l−1i (s− Li−1)∆ix (Li−1 ≤ s ≤ Li) (2)

g(s) = yi−1 + l−1i (s− Li−1)∆iy (Li−1 ≤ s ≤ Li) (3)

De tal modo que x(s) = f(s) y y(s) = g(s) dan una parametrizacion de Ppor el parametro longitud de arco. Efectivamente,

f ′(s)2 + g′(s)2 = l−2i (∆2ix+ ∆2

i y) = 1 . (4)

Hagamos : φ =2π

Ls; ası que,

2π

LLi−1 ≤ φ ≤ 2π

LLi cuando Li−1 ≤ s ≤ Li .

Obtenemos ası la reparametrizacion:

x(φ) = f(L

2πφ) (5)

y(φ) = g(L

2πφ) (6)

Con

x′2(φ) + y′2(phi) =L2

4π2(7)

Supongamos que hemos escogido el centro de coordenadas para que

Σni=1lixi = Σn

i=1liyi = 0 . (8)

Esto es equivalente a

4

∫ 2π

0

x(φ)dφ = 0 y

∫ 2π

0

y(φ)dφ = 0 (9)

Sea A = area de(P), por Green:

2A = 2

∫ 2π

0

xy′dφ (10)

=

∫ 2π

0

(x2 + y′2 − (x− y′)2)dφ (11)

≤∫ 2π

0

(x2 + y′2)dφ (12)

En el caso de polıgonos equilateros, podemos probar elementalmente quepara la x dada por 2 y que satisface 8, se tiene que∫ 2π

0

x2dφ ≤∫ 2π

0

x′2dφ . (13)

De 13, 12 y 2 se deduce la desigualdad isoperimeetrica para polıgonosequilateros.

Teorema 1 (Desigualdad isoperimetrica para polıgonos equilateros)Para cada polıgono equilatero

A ≤ L2

4π2.

2.1. Prueba de 13

Calulando directamente de 2:∫ 2π

0

x2(φ)dφ =2

3

π

LΣni=1li(x

2i + xixi−1 + x2i−1) (14)

∫ 2π

0

x′2(φ)dφ =L

2πΣni=1l

−1i (x2i − 2xixi−1 + x2i−1) (15)

5

y si suponemos que el polıgono cerrado es equilatero, se simplifica en:∫ 2π

0

x2(φ)dφ =2

3

π

nΣni=1(2x

2i + xixi−1) (16)

∫ 2π

0

x′2(φ)dφ =n

2πΣni=1(2x

2i − 2xixi−1) (17)

Para probar 13 basta probar el siguiente:

Lema 1 (Desigualdad discreta de Wirtinger 1) Sea (x1, x2, · · · , xn) unpunto en Rn tal que Σn

i=1xi = 0, entonces para n > 3

Σni=1(2x

2i + xixi−1)

Σni=1(x

2i − xixi−1)

≤ 3n2

2π2. (18)

Prueba.Hagamos X = (x1, x2, · · · , xn) y τ(X) = (xn, x1, · · · , xn−1). Con esta

notacion podemos escribir 18 ası:

2X ·X +X · τ(X)

X ·X −X · τ(X)≤ 3n2

2π2(19)

Como τ(X) · τ(X) = X ·X; dividiendo por X ·X el numerador y deno-minador de la fraccion del lado izquierdo en la desigualdad 19, tenemos:

2 +X · τ(X)

1−X · τ(X)≤ 3n2

2π2, (20)

donde ahora X ·X = 1.Para estimar 20, debemos encontrar el maximo c del coseno del angulo

entre X y τ(X) cuando X ·X = 1 y X ·(1, 1, · · · , 1) = 0 (8). Como τn(X)·X =0, los valores propios de la rotacion cıclica τ son las raıces n-esimas de launidad. (1, 1, · · · , 1) = 0 es un vector propio de valor propio 1, de modo quec < 1. Descomponiendo Rn en los subespacios invariantes de τ , puede verseque c = cos(2π

n). Debemos probar que:

2 + cos(2πn

)

1− cos(2πn

)≤ 3n2

2π2. (21)

Para lo cual probaremos que cerca de 0+:

6

(2 + cos(u))u2

1− cos(u)≤ 6 . (22)

Haciendo u = 2πn

, 22 implica 21.Como 2 + cos(u) ≤ 3 cerca de 0; basta con probar que

G(u) =u2

(1− cos(u))≤ 2 , (23)

cerca de 0. Como G(0) = 0, basta con probar que el numerador H de G′ esnegativo, pero esto se tiene porque H(u) = u+sinu+2 cosu−2, H(0) = 0 yH ′(u) = u cosu− sinu ≤ 0; como esta ultima desigualdad vale si 0 ≤ u < π

2;

23 vale en este intervalo; y 21 vale si n > 4.

Figura 1: Desigualdad 22. Un mınimo local cerca de x = 0 con valor de 6

Revisando lo anterior es facil tener una prueba para

7

Teorema 2 (Desigualdad clasica de Wirtinger) Si h : R −→ R es unafuncion de clase C1 de perıodo 2π, entonces∫ 2π

0

|h− h|2dφ ≤∫ 2π

0

|h′|2dφ.

Donde h =∫ 2π

0hdφ. Igualdad si y solo si h(φ) = a cosφ + b sinφ + c para

constantes a, b, c.

Vea , por ejemplo, [7, p. 81], o [2, p. 52], para otra prueba elemental ygeometrica.Idea de la pueba La idea es aproximar f = h− h por funciones lineales atrozos del tipo:

fn(φ) = xni−1 + ∆ni x∆n

i φ−1(φ− φni−1) (24)

φni−1 ≤ φ ≤ φni y i = 1, 2, · · · , n ; donde φni = 2πin

; xni = f(φni ) parai = 1, 2, · · · , n− 1, y xnn = xn0 = −(xn1 + xn2 + · · ·+ xnn−1); ∆n

i φ = φni − φni−1 y∆ni x = xni − xni−1.

Como f es de clase C1 ∫ 2π

0

f 2 = lımn→∞

∫ 2π

0

f 2n (25)

y ∫ 2π

0

f ′2 = lımn→∞

∫ 2π

0

f ′n2 (26)

Por 13 se tiene el teorema.

3. Funcion soporte

Consideremos un dominio convexo K del plano con un frontera ∂K declase C2; es decir, ∂K se puede parametrizar como una curva C de clase C2.Supongamos que el origen O del plano esta en el interior de K. Dada unadireccion en en plano −→n (φ) = (cos(φ), sin(φ)) con 0 ≤ φ ≤ 2π, la recta sφperpendicular a −→n que toca a C en un unico punto P (φ) y deja a K y −−→nal mismo lado de sφ, se llama la lınea soporte de C o de K de direccion −→n .C = {P (φ) : 0 ≤ φ ≤ 2π} es la envolvente de sus lıneas soporte. Ver Figura

8

2. Supondremos que para cada direccion cada lınea soporte contacta a C enun unico punto P (φ); o, lo que es lo mismo, que la curvatura k de C seapositiva.

La lınea recta sφ en el plano esta determinada por el angulo φ que el eje xpositivo hace con la direccion −→n perpendicular to sφ y la distancia p = p(φ)del origen a sφ. La ecuacion of sφ entonces toma la forma

x cosφ+ y sinφ− p(φ) = 0. (27)

La ecuacion (27), cuando φ varıa en [0, 2π], es la ecuacion de una familiade rectas; la funcion p(φ) is C2 y 2π-periodica. De (27) y de su derivadarespecto de φ, se obtiene la envolvente C como sigue:

−x sinφ+ y cosφ− p′ = 0, p′ = dp/dφ. (28)

De (27) y (28) conseguimos la representacion parametrica de la envolventede las rectas (27), las coordenadas (x, y) del punto P (φ) estan dadas por:

x = p cosφ− p′ sinφ, y = p sinφ+ p′ cosφ.

4. La longitud y el area.

Como dx = −(p + p′′) sinφ dφ y dy = (p + p′′) cosφ dφ , la diferencial dela longitud de arco on C esta dada por

ds =√dx2 + dy2 = |p+ p′′| dφ (29)

y el radio of curvatura ρ by

ρ =ds

dφ= |p+ p′′|. (30)

Una condicion suficiente para que una curva suave C sea la frontera deun convexo, y para cada direccion φ haya un solo punto de contacto entre Cy la linea soporte sphi, es que su curvatura sea positiva ; por lo tanto, una

9

Figura 2: La lınea soporte

funcion 2π-periodica d es el soporte de un conjunto convexo K si p+ p′′ > 0.Finalmente, se deduce de (29) que la longitud de una curva convexa cerradaque tiene a d de clase C2 como funcion soporte d esta dada por

L =

∫ 2π

0

p dφ.

El area del conjunto convexo K es

F =1

2

∫∂K

pds =1

2

∫ 2π

0

p(p+ p′′) dφ (31)

o, equivalentemente, por

dF =1

2p ds =

1

2p ρ dφ.

10

E

C

Figura 3: La lınea soporte

La evoluta

La evoluta de C es el lugar de sus centros de curvatura. La evoluta E dela curva suave C tiene singularidades(llamadas cuspides; ver Figura 3). Lascuspides de la la evoluta corresponden a los puntos of C donde la curvaturaalcanza valores extremos. La evoluta de C puede verse la envolvente de todaslas normales a esta curva(es decir, las tangentes a la evoluta son las normalesto C).

11

Figura 4: La lınea soporte

5. Areas de polıgonos.

Sea P = P1P2 · · ·Pn el polıgono cerrado en el plano euclidiano de verticesP1, P2, . . . Pn. Siempre consideraremos que el polıgono viene orientado porla enumeracion de sus vertices; de modo que, por ejemplo, podemos escribir−P = PnPn−1 · · ·P1. Siempre supondremos que Pn+k = Pk y que Pn−k = Pk;ası, en particular; Pn+1 = P1 y P0 = Pn.

Sea Pk el semiplano cerrado determinado por la recta que une los verticesPk−1 y Pk y contiene a Pk+1 ( incluimos la recta que lo determina). Diremosque P es convexo si P esta incluido en Pk para cada k = 1, 2, · · · , n.

Definicion 1 (Polıgono interior de un convexo) Si P es convexo, el polıgonointerior de P es la interseccion de todos los semiplanos Pk (k = 1, 2, · · · , n).

Fijemos un origen O en el plano. Orientemos el plano de la manera usual,los angulos positivos son los que determinan giros en el contrario al movi-miento de las manecillas del reloj. Dados dos puntos A y B del plano, conAB denotamos el area del triangulo orientado OAB, su signo sera el mismoque el signo del ∠(OA,B).

12

El area del polıgono P = P1P2 · · ·Pn es el numero:

P = Σni=1PiPi+1 .

Es facil verificar que:

Lema 2 La funcion area que acabamos de definir para polıgonos satisfacelas siguientes propiedades:

1. AB +BC + CA = ABC.

2. AB +BC = AC solo si los tres puntos A, B, y C estan alineados.

5.0.1. El polıgono derivado

Dado P = P1P2 · · ·Pn convexo y en posicion general (sus vertices sondiferentes y tres vertices consecutivos nunca estan alineados), consideremospor cada vertice Pk un rayo ak en el semiplano PK que contiene a P , al i-esimo lado Pi−1Pi de longitud li, le asociamos el punto P ′i , donde pi−1 y pi seinterceptan (supondremos que siempre lo hacen). Sea P ′ = P ′1P

′2 · · ·P ′n.

Lema 3P − P ′ = Σn

i=1Pi−1PiP′i

Prueba.Tenemos que P = Σn

i=1Pi−1Pi y −P ′ = Σni=1P

′i+1P

′i .

Pero:

Σni=1Pi−1PiP

′i = Σn

i=1Pi−1Pi + Σni=1PiP

′i + Σn

i=1P′iPi−1

= Σni=1Pi−1Pi + Σn

i=1PiP′i + Σn

i=1P′iPi−1

= Σni=1Pi−1Pi + Σn

i=1PiP′i + Σn−1

i=0 P′i+1Pi

= Σni=1Pi−1Pi + Σn−1

i=1 PiP′i + Σn−1

i=1 P′i+1Pi + PnP

′n + P ′1P0

= Σni=1Pi−1Pi + Σn−1

i=1 P′i+1P

′i + P ′n+1P

′n

= Σni=1Pi−1Pi + Σn

i=1P′i+1P

′i

13

(32)

En el penultimo paso hemos usado que Pi, P′i y P ′i+1 estan en pi.

6. Radio y centro de curvatura para polıgo-

nos convexos

Dado un polıgono convexo de vertices P = P1, P2, . . . Pn, eliminando verti-ces repetidos y los vertices del medio (en el caso de tres consecutivos alinea-dos), siempre podemos suponer que el polıgono esta en posicion general.

Definicion 2 Para cada vertice Pk del polıgono convexo P de vertices P1, P2, . . . Pn,considere la circunferencia interior tangente a los lados consecutivos Pk−1Pk,PkPk+1 y Pk+1Pk+2; su radio ρk y su centro P ′k son el radio y centro de cur-vatura de P en el vertice Pk.

Lema 4 Sean A, B, C y D cuatro vertices consecutivos de un poligono con-

vexo equiangular, con−→AI,−→BI o

−−→BE, y

−−→CE segmentos sobre las bisectrices

de los angulos interiores en A, B y C respectivamente. IJ⊥AB y EF⊥BC(ver la Figura 6 .) Entonces

AB +BC

2φ=IJ + EF

2f(φ) ,

donde

f(φ) =sin

φ

2φ

2

1

cosφ

2

.

Prueba. De la Figura 6 tenemos que:

EF = EB sin(α) ,

IJ = IB sin(α) ,

14

Figura 5: El radio de curvatura de dos formas.

(AB/2) tan(α) = IJ ,

(BC/2)tan(α) = EF

y

tan(α) = sin((π − φ)/2)/cos((π − φ)/2)= cos(φ/2)/ sin(φ/2)

AB +BC

2φ=

AB +BC

2

cos(φ/2)

sin(φ/2)

1

2

sin(φ/2)

φ/2

1

cos(φ/2)

15

=IJ + EF

2

sinφ

2φ

2

1

cosφ

2

.(32)

Lo que demuestra que (IJ +EF )/2 puede tomarse como radio de curvaturadel polıgono convexo en el vertice A. En [1], se probo que AB +BC/(2φ) esuna definicion natural de curvatura en A. Cuando n→∞, φ = 2π/n tiendea cero y f(φ) = (sin(φ/2)/φ/2)(1/cos(φ/2)) tiende a 1.

Figura 6: El radio y centro de curvatura

16

7. Lema del sobre

En esta seccion demostraremos el siguiente:

Lema 5 El dominio convexo K definido por el polıgono convexo P = P1P2 · · ·Pnen posicion general esta contenido en la union de los triangulos ∆P ′iPi−1Pi(i = 1, · · · , n).

Prueba. La prueba es casi inmediata inspeccionando la figura 7. La lineaAE es la bisectriz del angulo DAB y la linea BE es la bisectriz del anguloABC. Sea P un punto interior del polıgono convexo P = ...DABC..., cuyadistancia a cada lado de P es mınima al lado AB; entonces, P debe estaren el triangulo EAB. Necesariamente E esta entre las paralelas j y k, delmismo lado que C y D respecto de la recta AB; es claro que, si E no esta enel triangulo EAB, su distancia al lado DA o al lado BC sera menor que ladistancia a AB, contradiciendo la hipotesis.

17

Figura 7: La lınea soporte

Con mas detalle, sea

f(P ) = dist(P,AB)− dist(P,BC)

y

g(P ) = dist(P,AB)− dist(P,AD) ;

f se anula en la recta AE, g se anula en la recta BE; ambas funciones sonnegativas en cada punto de K que no esta en el triangulo EAB.

Unos cuantos ejemplos elaborados con Sketchpad, nos permiten ver quevarias regiones de K quedan cubiertas mas de una vez por los triangulos∆P ′iPi−1Pi (i = 1, · · · , n). El lema 3 nos dice exactamente que el area delpolıgono derivado P ′ es negativa y mide exactamente el exceso cubierto.

La version discreta de la desigualdad de Wirtinger que nos interesa diceprecisamente

Teorema 3 (Desigualdad discreta de Wirtinger) El area de de P ′ esnegativa.

Prueba. Inmediato del lema 5 y de 3.La prueba del Teorema 4 justifica el nombre que le damos a este teorema.

18

8. Poligonos derivados de perpendiculares

En esta seccion exploramos una configuracion similar a la del polıgonoderivado de un polıgono convexo dado con rayos por los vertices( como es elcaso del polıgono derivado de las bisectrices de los angulos interiores), pero enconsideraremos perpendiculares a los lados. Un teorema del area se obtienede manera completamente analoga, y considerando mediatrices de los ladosdel poligono, en vez de bisectrices obtenemos una evoluta tambien para estecaso.

La Figura 8 ilustra una situacion interesante.No he podido probar que ......

9. La curva convexa com limite de poligonos.

Teorema 4 (Desigualdad geometrica de Wirtinger) Si C = ∂K es lafrontera de un conjunto convexo compacto K de area F en R2, then∫

C

ρ(s)ds > 2F, (33)

donde ρ = ρ(s) > 0 es el radio de curvatura de C and ds es la longitud dearco medida sobre C. La igualdad solo se da si C es un cırculo

Prueba. Toda curva convexa es el limite uniforme de una sucesion de polıgo-nos convexos equiangulares. La suma de las areas de los triangulos derivados∆P ′iPi−1Pi (i = 1, · · · , n), por consideraciones geometricas elementales y elLema 6, converge a

1

2

∫C

ρ(s)ds .

De modo que el Lema 5 implica la desigualdad.De esto se deduce :

Teorema 5 (Desigualdad clasica de Wirtinger) Si f : R −→ R is aC1-function of period 2π, then∫ 2π

0

|f − f |2dφ ≤∫ 2π

0

|f ′|2dφ.

Donde f =∫ 2π

0fdφ. Igualdad si y solo si f(φ) = a cosφ + b sinφ + c para

constantes a, b, c.

19

Referencias

[1] Julia Cufı, Agustı Reventos, and Rodrıguez Carlos J. Curvature andIsoperimetric Inequality. Preprint no??, Departament de Matematiques,UAB, pages 1–?, 2013. 16

[2] Carlos A Escudero and Agustı Reventos. An interesting property of theevolute. The American Mathematical Monthly, 114(7):623–628, 2007. 2,3

[3] Adolf Hurwitz. Sur le probleme des isoperimetres. CR Acad. Sci. Paris,132:401–403, 1901. 2, 3

[4] Carlos J. Rodrıguez. Curvas como lımites de polıgonos. Master’s thesis,Departamento de Matematicas, UAB., 2005. 2

Departament de Matematiques. Universitat Autonoma de Barcelona, 08193,Bellaterra, Barcelona, Catalunya, Spain.crodri@mat.uab.cat

20

Figura 8: El poligono derivado de perpendiculares no siempre cubre

21