Una Introducción a La Criptografía,El Criptosistema Rsa

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Monografa

Una Introduccin a la criptografa. El criptosistema R.S.A.

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Mario Merino Martnez D 0405 055 Bachillerato Internacional 2003 - 2004 I.E.S Cardenal Lpez de Mendoza 3970 Palabras, 39 Pginas

Una Introduccin a la criptografa. El criptosistema R.S.A. Mario Merino Martnez Monografa D 0405 055

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Una introduccin a la criptografa. El criptosistema R.S.A.

Resumen

Esta monografa trata sobre una de las aplicaciones directas de las matemticas: la criptografa. Describe qu es, as como su relacin con otras ciencias. Se comenta su valor histrico y actual, sus usos ms comunes. Se analizan los distintos tipos de criptosistemas que existen actualmente y su funcionamiento matemtico, comparando sus pros y sus contras, y se incluyen aplicaciones de ejemplo sobre algunos de los criptosistemas ms importantes.

Desde una introduccin general a las bases matemticas de todo sistema criptogrfico, se centra en sistemas especficos, a los que les siguen ejemplos de operacin. En concreto, profundiza sobre el sistema de clave pblica llamado R.S.A., y las ventajas de este tipo de cifrado con respecto al resto.

Las conclusiones de esta pequea investigacin son una visin general sobre la criptografa, que ha jugado un papel fundamental en la historia, y a la vez profunda sobre algunos de los sistemas criptogrficos ms comunes del pasado y del presente, de los cuales el R.S.A. podemos afirmar que es uno de los ms prcticos y ventajosos, por sus amplias posibilidades, su seguridad, el cumplimiento de gran nmero de requisitos, y la firma R.S.A., etc. Las conclusiones tambin son una comprensin del funcionamiento de estos sistemas, y de la lucha entre criptgrafos y criptoanalistas, en eterna rivalidad, con lo que se produce una evolucin constante de los criptosistemas y de las tcnicas empleadas.

En los apndices finales se encuentran los algoritmos matemticos utilizados, una breve introduccin al criptoanlisis (en relacin directa con la criptografa), y otros datos auxiliares.

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ndice

RESUMEN___________________________________________________________ 2 Introduccin__________________________________________________________ 5 Cripografa: Definicin_________________________________________________ 6 La criptografa en la historia y en la actualidad _____________________________ 8 Criptosistemas _______________________________________________________ 11 Criptosistemas de clave secreta __________________________________________ 13

Sustitucin - El sistema del Csar _____________________________________________ 14

Transposicin - Transposicin simple__________________________________________ 16

Criptosistemas de clave pblica _________________________________________ 18 Condiciones de Diffie-Hellman:_______________________________________________ 19

Diferentes sistemas de clave pblica:___________________________________________ 20

El R.S.A.____________________________________________________________ 21 Funcionamiento del sistema: _________________________________________________ 22

Ejemplo: _________________________________________________________________ 24

Firma R.S.A.______________________________________________________________ 27

Conclusiones ________________________________________________________ 28 APNDICES ________________________________________________________ 29 Criptoanlisis ________________________________________________________ 30

Anlisis de Frecuencias _____________________________________________________ 31

Seguridad de Shannon ________________________________________________ 32 Algoritmos __________________________________________________________ 34

Algoritmo de Euclides ______________________________________________________ 34

Exponenciacin binaria: _____________________________________________________ 36

Programa utilizado ___________________________________________________ 37 BIBLIOGRAFA _____________________________________________________ 38

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Agradecimientos:

A mis padres, Roberto y Carmen, por estar all con sus frases de nimo.

A mi profesor de matemticas, Serafn, por su apoyo y sus consejos.

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Introduccin

He elegido la criptografa como tema de esta monografa porque

considero que es una materia de vital importancia en la sociedad actual, la

cual necesita autenticidad, seguridad y confidencialidad en la transmisin de

datos y mensajes. Hoy en da es una constante en la informtica y en la red,

siendo un claro ejemplo el DES, o el sistema de clave pblica RSA, muy

extendidos por todo el mundo.

La criptografa es una ciencia, y ha servido a lo largo de la historia

para ocultar mensajes secretos. Actualmente se considera una ciencia

aplicada, y est relaccionada directamente con las matemticas,

concretamente con la resolucin de problemas difciles, como la

factorizacin de nmeros de 150 cifras, en el caso del sistema R.S.A.

Pero, qu es exactamente? Cmo funciona la criptografa

matemticamente? Estos y otros problemas constituyen el problema de

investigacin principal, aunque tambin se estudian los usos que tiene

actualmente y como ha intervenido a lo largo de la historia y su evolucin.

Tras una introduccin histrica a la criptografa, analizar distintos

tipos de criptosistemas, en especial el ya nombrado R.S.A.. Mi objetivo es,

por lo tanto, estudiar y comprender los mtodos de encriptacin, con

aplicaciones de ejemplo del R.S.A. y otros sistemas, y hallar cul es el ms

seguro y prctico de los estudiados. Adems se explora el valor la

criptografa en el pasado y en la sociedad actual.

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Cripografa: Definicin

La criptografa1, del griego krypts, escondido, y graphos,

escritura, es el arte de enmascarar los mensajes con signos convencionales,

que slo cobran sentido a la luz de una clave secreta. Es la ciencia y el arte

de escribir para que sea indescifrable el contenido del texto escrito, para

quien no posea la clave.

La seguridad de un mensaje no ha de depender del secreto de su

mtodo de ocultacin, sino de la clave utilizada en ese mtodo.2 La gente

que la desconozca no podr entenderlos, aunque tengan algn conocimiento

de cmo han ocultado los datos.

En un principio, la criptografa era considerada un arte. Pero

actualmente es considerada una ciencia aplicada, una rama de las

matemticas, debido a su relacin con otras ciencias como la teora de

nmeros, la estadstica, y las teoras de la informacin y de informacin

computacional.

El proceso de transformacin del texto original (mensaje), en el

texto cifrado (criptograma), se conoce como cifrado o encriptacin, y su

proceso contrario, es decir, el de recuperacin del texto original, descifrado o

desencriptacin.

El cifrado se lleva a cabo con una serie de parmetros, conocidos

como clave, que son indispensables para la recuperacin del mensaje.

1 Criptografa: (Del gr. , oculto, y -grafa). Conjunto de tcnicas que permiten cifrar y descifrar un mensaje. Arte de aplicarlas. (Criptografa, Nueva Enciclopedia Larousse. Tomo V. Ed. Planeta, Barcelona, 1982). 2 Aqu hay que distinguir entre criptografa y cdigo: un cdigo asigna una palabra a cada mensaje posible, o a cada palabra o grupo de palabras, de manera que se necesita un libro de traduccin para codificar y recuperar el mensaje. Por ello, no todos los mensajes se pueden transmitir, solo aquellos que dispongan de un cdigo establecido entre emisor y receptor. Por eso, hay veces que son denominados criptosistemas restringidos, pues su seguridad depende del secreto del sistema de encriptacin en s, y no de una clave. La verdadera criptografa, en cambio, permite cifrar cualquier mensaje, a partir de una clave establecida, que es la que ha de mantenerse en secreto.

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El criptoanlisis3, es la contrapartida de la criptografa. Ambos han

tenido una gran relevancia en la historia y en la actualidad, han cambiado el

rumbo de las guerras. Juntos, criptografa y criptoanlisis, constituyen la

criptologa.

La lucha entre ambas ciencias, puede equipararse con la metfora

del escudo y la espada: a lo largo de la historia, la criptografa ha

desarrollado criptosistemas aparentemente indescifrables, que con el tiempo

han sido vencidos por nuevos mtodos de criptoanlisis. Puede decirse que

ambos evolucionan a la par.

Como dijo Edgar Allan Poe (apasionado de la criptografa), es

dudoso que el gnero humano logre crear un enigma que el mismo ingenio

humano no sea capaz de resolver4.

3 Ciencia que estudia los mtodos de descubrir o romper la clave cuando no se conoce, a partir del texto cifrado o de otros mtodos. Arte de descifrar criptogramas (Criptoanlisis, Nueva Enciclopedia Larousse. Tomo V. Ed. Planeta, Barcelona, 1982). 4 Edgar Allan Poe, cita de The Gold Bug (El Escarabajo de Oro)

7


La criptografa en la historia y en la actualidad

El hombre se las ha ingeniado desde muy antiguo para garantizar el

secreto de sus comunicaciones privadas. La existencia de la criptografa

aparece ya en las tablas cuneiformes y los papiros. Desde el Antiguo Egipto

hasta el mundo actual de internet, los criptogramas han sido protagonistas de

varios sucesos histricos. Y son la base en la que se han apoyado los espas a

lo largo del tiempo.

Los espartanos, en Grecia, desarrollaron en el 400 a.C. la Scitala, -

primer sistema criptogrfico por tansposicin5. Julio Cesar utiliz un mtodo

basado en la sustitucin de cada letra por la que ocupa varios puestos ms

all en el alfabeto, creando as el conocido cifrado que lleva su nombre6.

La criptografa resurgi en la Europa de la Edad Media: era

necesaria en las intrigas del Papado. Fue Grabiele de Lavinde, un servidor

del Papa Clemente VII quien escribi el primer manual sobre la materia.

En 1.466, Len Batista Alberti, cre el sistema polialfabtico, que

emplea varios abecedarios, saltando de uno a otro cada tres o cuatro

palabras. El emisor y el destinatario del mensaje deban ponerse de acuerdo

en ciertos aspectos para conocer el orden de los saltos de alfabeto.

Un siglo despus, Giovanni Battista Belaso7 instituy una nueva

tcnica. La clave, formada por una palabra o una frase, deba transcribirse

letra a letra sobre el texto original. Cada letra del texto se cambia por la

correspondiente en el alfabeto que comienza en la letra clave.

A partir del siglo XIX, surgen criptoanalistas tan ilustres como

Charles Babbage8 , Friedrich Kasiski, Georges Painvin, Willian Friedman9...

4 y 5: Ver Criptosistemas de clave privada, ms adelante. 7 Matemtico italiano conocido como el padre de la criptografa moderna. 8 Profesor de matemticas en Cambridge, famoso por haber diseado mquinas precursoras de los ordenadores actuales 9 Criptoanalista norteamericano que desarroll el criptoanlisis como disciplina cientifica, y criptoanaliz la mquina criptogrfica japonesa Purple

8


En el siglo XX, Arthur Scherbius fue el inventor de Enigma,

mquina criptogrfica que utilizaron los nazis durante toda la II Guerra

Mundial, y que creyeron inviolable, sin saber que a partir de 1.942,

significara su derrota. Los aliados consiguieron descifrar el funcionamiento

de la mquina10, y as consiguieron desvelar los mensajes secretos de los

alemanes.

Mquina criptogrfica Enigma, utilizada durante la Segunda Guerra Mundial11

Mientras los alemanes disearon Enigma, los estadounidenses

utilizaron un mtodo llamado Sigaba. Este modelo fue el nico aparato

criptogrfico que conserv intactos todos sus secretos durante la guerra,

aunque despus tambin se ha desentraado su funcionamiento.

Claude Elwood Shannon12, revolucion las comunicaciones y con

ellas la criptografa. Se dieron los primeros pasos hacia los sistemas

criptogrficos ms modernos, mucho ms fiables que la sustitucin y

10 Fue Marian Rejewski, matemtico polaco, el primero que criptoanaliz la maquina Enigma. 11 Imagen de: www.phm.gov.au/universal/img/enigma.jpg 12 Ver Apndices, Seguridad de Shannon

9


transposicin clsicas, como el DES13, que combina las posibilidades de

ambos. Actualmente, se utilizan mtodos que combinan los elementos del

mensaje con otros, o algoritmos de gran dificultad para los criptoanalistas.

Philip Zimmermann, un criptgrafo aficionado, desarroll un

sistema criptogrfico aparentemente inviolable en 1991, el P.G.P.14 y lo

distribuy por las redes de comunicacin para que cualquiera pudiera

utilizarlo: Ahora es uno de los ms comunes en cuestin de correo

electrnico.

Diffie y Hellman15 propusieron utilizar criptosistemas cuyo

cripoanlisis fuese equivalente a la resolucin de un problema

computacionalmente difcil, a fin de que a pesar de conocer los algoritmos

para resolverle, no se pueda hacer por no ser factible ejecutarlo en un tiempo

razonable16. Este es el principio de los sistemas de clave pblica, como el

RSA, con muchas ventajas sobre los de clave privada.

Hoy en da, lo que se pide a la criptografa es rapidez, sencillez de

clculo al encriptar-desencriptar, y complejidad total de clculo para

cualquier criptoanalista, es decir, seguridad para nuestras transmisiones.

13 DES: Data encriptation Standart, encriptacin estndar de datos. Es un criptosistema de clave privada 14 El P.G.P. (Pretty Good Privacy, literalmente privacidad bastante buena) combina distintos tipos de sistemas criptogrficos: clave privada, R.S.A. para intercambio de claves, funciones HASH, etc. 15 Ver Criptosistemas de clave Pblica, condiciones de Diffie-Hellman

10


Criptosistemas

Un criptosistema, o sistema criptogrfico, se puede definir como

los fundamentos y procedimientos de operacin algoritmo17 que participan

en el cifrado y descifrado de un mensaje.

Todo sistema criptogrfico consta de cinco componentes: M, C, K, E y D.

M es el conjunto de todos los mensajes a transmitir.

C es el conjunto de todos los mensajes cifrados.

K es el conjunto de claves a utilizar.

E es el conjunto de todos los mtodos de cifrado: { }KkCMEE k = ,

D es el conjunto de todos los mtodos de descifrado. { }KkMCDD k = , Cada mtodo de cifrado E est definido mediante un algoritmo, el

cual, es comn a todos los mtodos y una clave Kk , la cual distinguir el algoritmo correspondiente a cada transformacin . kE

Lo mismo ocurre para las transformaciones de descifrado de D.

Para cada clave dada, k, la transformacin es la inversa de , y permite

recuperar el mensaje original al aplicarla sobre el cifrado:

kD

kD kE

( ) KkMmmmED kk = ;,)( Otros elementos que se pueden considerar son el alfabeto de

entrada y el de salida, as como el lenguaje en que est escrito el mensaje

original.

16 Gilles Brassard deca al respecto que el usuario de un criptosistema no debe esperar que el criptoanalista no tenga informacin suficiente para romperlo, sino que no tenga tiempo. 17 Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solucin de un problema. (Diccionario de la Real Academia Espaola, 2001)

11


Todo criptosistema debe cumplir, al menos, tres requisitos bsicos18:

1. Todas las transformaciones de cifrado y descifrado, y , han de ser

fcilmente calculables.

kE kD

2. Los algoritmos de las transformaciones y han de ser fcilmente

implementables.

kE kD

3. La seguridad del sistema slo debe depender del secreto de las claves k y

no de los algoritmos de las transformaciones E y D.

Adems, un buen criptosistema ha de tener las siguientes

cualidades: Seguridad, autenticidad y no repudio19.

Seguridad: es la incapacidad para un criptoanalista de determinar el texto original, a partir del texto cifrado que haya podido interceptar.

Autenticidad e integridad: considerada como la incapacidad para un criptoanalista de improvisar, sustituir o modificar un texto cifrado c por

un c, sin que el receptor lo detecte.

No repudio: el emisor, despus de haber enviado el mensaje, no puede afirmar que no es suyo. Esto ha de realizarse por otros medios, como la

firma digital, etc., que se adaptan al criptosistema utilizado.

A lo largo de la historia, se han utilizado cientos de criptosistemas

diferentes, pero, a grandes rasgos, pueden dividirse en dos tipos: sistemas de

clave privada o simtrica, y sistemas de clave pblica o antisimtrica.

18 Sntesis de: LL. Huguet, J. Rif, Comunicacin Digital, (Teora Matemtica de la Informacin, Codificacin Algebraica, Criptologa), pgs 220-221. Ed. Masson, S.A., Barcelona 1991 19 Sntesis de: J. L. Gmez Pardo, La Gaceta de la Real Sociedad Matemtica Espaola Vol. 5, n 3, Septiembre-Diciembre 2002. Seccin Criptografa y curvas elpticas, pgs 738-739. Ed. Grficas Juma, Madrid 2002. R.S.M.E., 2002

12


Criptosistemas de clave secreta

Los cripstosistemas de clave secreta, privada, o clsicos, se basan

en que el emisor y el receptor comparten una nica clave secreta k; de forma

que el proceso de encriptacin E es el inverso del de desencriptacin D, y el

conocimiento de uno de ellos permite el conocimiento del otro con facilidad.

Por eso tambin se conocen como sistemas simtricos.

A lo largo de la historia, han sido muchos y muy utilizados, pero

entraan un problema: la clave utilizada ha de transmitirse en algun

momento entre el emisor y el receptor, por lo que se requiere un canal

seguro, es decir, un canal de comunicacin donde no pueda existir ningn

intruso, lo que en la prctica es imposible. La seguridad del sistema depende

del secreto de la clave, y son, generalmente, ms fciles de criptoanalizar

que los de clave pblica. Una forma de volverlos ms seguros es ampliar el

conjunto de posibles claves a utilizar, lo que dificultara un ataque de fuerza

bruta20

A continuacin, me centrar en dos tipos de criptosistemas de clave

privada: los de sustitucin y los de transposicin, y pondr como ejemplos

los sistemas del Csar y el de transposicin simple.

20 Ver Apndice, criptoanlisis.

13


Sustitucin - El sistema del Csar Fue el utilizado por Julio Csar y sus generales, y es uno de los

primeros documentados histricamente. Es un sistema de sustitucin muy

simple, en el que cada letra del alfabeto se corresponde con la que tiene un

nmero k de puestos ms adelante. El nmero utilizado es la clave del

sistema (Csar utilizaba, al parecer, el nmero 3). Si identificamos cada letra

con un nmero entero m que indique la posicin que ocupa en el alfabeto,

empezando por 0, ( [ ] 27,26 ... 03,02,01,00 ====== ZDCBA ), la sustitucin puede indicarse, en aritmtica modular21, por la siguiente

frmula:

)(mod Nkmc += siendo: c la letra ya encriptada, indicada en su nmero de orden del alfabeto,

m la letra a encriptar, tambin en nmero, k la clave, y N el nmero

de letras que tiene el alfabeto utilizado

21 La aritmtica modular se centra en las propiedades de los nmeros enteros respecto a la divisin. As, , (ledo, a y b son congruentes mdulo m), quiere decir que b - a es divisible entre m, y que a y b al dividirlos entre m, tienen el mismo resto. La aritmtica modular es muy utilizada en la criptologa, y un ejemplo de ello son los sistemas de sustitucin simple. (Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography (Un curso en Teora de los Nmeros y Criptografa), pgs 17-21. Ed. Springer-Verlag, New York Inc. Nueva York, 1987)

)(modmba

14


Ejemplo:

Vamos a codificar un pequeo mensaje con este sistema. Tomemos

por ejemplo la frase ATAQUE INMINENTE, y una clave k = 5

Primero, hallamos los nmeros correspondientes a cada letra, segn

la siguiente tabla:

A B C D E F G H I J K L M N

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

O P Q R S T U V W X Y Z [ ]

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

A T A Q U E [ ] I N M I N E N T E

00 20 00 17 21 04 27 08 13 12 08 13 04 13 20 04

Ahora, movemos cada letra 5 puestos a su derecha, con la frmula anterior:

etcE 4 );28(mod5274V 22 );28(mod51722Y 25 );28(mod52025F 5 );28(mod505

=+=+=+=+

Una vez pasados los nmeros obtenidos a letras, obtenemos este

mensaje codificado: FYFVZIENRQNRIRYI

Actualmente, este sistema ha quedado desfasado, siendo de muy

fcil criptoanlisis: basta con probar las 27 posibles k para dar con el

mensaje original. Adems, es susceptible a un ataque estadstico22, ya que

los smbolos que ms se repitan sern las letras ms utilizadas en el idioma

del mensaje (aqu, la I aparece 3 veces en 15 letras, lo que nos da una pista

de que puede ser la E, la letra ms comn en el espaol y as es).

15


Transposicin - Transposicin simple Este sistema se basa en el desorden de los elementos del mensaje,

es decir, la transposicin o cambio de orden de las letras que lo componen.

El mensaje m se divide en ciclos de tamao prefijado n por el

emisor y el receptor, y despus se aplica sobre cada ciclo, y de forma

independiente, una permutacin p. Este cifrado es, por lo tanto, un ejemplo

de los denominados cifrados en bloque23

La clave, por lo tanto, se compone del nmero n, tamao del

bloque, y la permutacin p:

mcccccDcmmmmmE

Kpnk

pdppppn

pdppppn

====

...)(

...)(),(

321),(

321),(

Siendo: k la clave, formada por n y p; m el mensaje original, c el mensaje

cifrado; E y D las operaciones de cifrado y descifrado, respectivamente

Ejemplo:

Como en el apartado anterior, vamos a hacer una demostracin del

sistema para ver su funcionamiento. Vamos a cifrar el mensaje TE VEO EN

EL PARQUE, por ejemplo, utilizando la clave:

k: n = 5,

=

25

35144321

p

Primero, dividimos el mensaje en los bloques de 5 que sean

necesarios, y los espacios vacos los rellenamos con un guion, por ejemplo.

22 Ver Apndice, criptoanlisis. 23 Aquel criptosistema que cifra los elementos del mensaje (letras) juntos en bloques de tamao finito, dividiendo el mensaje dmmmmmmm .....54321= . De esta forma, se ahorran operaciones, y se acelera el proceso. (LL. Huguet, J. Rif, obra citada, pgs 248-249).

16


Aadimos tantos guiones al final como sea necesario para completar el

ltimo bloque. Despus, hacemos la permutacin:

T E V E O E N E L P A R Q U E

E E V T N O E L A P E Q E R U

El mensaje obtenido es irreconocible: EEVT---NOELAPE-Q-ERU.

Como se ha cambiado la posicin de las letras, un intento de criptoanlisis

por frecuencias no tiene sentido, ya que las letras utilizadas son las mismas

que en el mensaje original.

An as, el sistema no es difcil de criptoanalizar: se puede

simplemente jugar con las letras hasta encontrar un posible patrn, o buscar

relacciones: por ejemplo, en el ltimo fragmento de mensaje, hay una Q y

una U muy juntas: es evidente que han de ir seguidas en el mensaje original,

lo que nos da una gran pista y elimina muchas opciones. Tambin, el que al

principio haya dos E seguidas indica que probablemente no vayan juntas en

el mensaje original, ya que en espaol las dobles vocales son prcticamente

inexistentes.

***

Los criptosistemas de clave privada tienen un gran riesgo de

criptoanlisis, a no ser que tengan dos cualidades bsicas, descritas por

Shannon: confusin y difusin24. Por su cuenta, ni sustitucin ni

transposicin cumplen ambas, por lo que en la actualidad se utilizan sistemas

como el D.E.S. o sus variantes, que combinan las posibilidades de ambos y

adquieren un gran nivel de seguridad.

24 Ver Apndices, Seguridad de Shannon

17


Criptosistemas de clave pblica

Los sistemas de clave pblica, a diferencia de los de clave privada,

se basan en que cada usuario i posee un par de claves, funciones , la

primera de las cuales se hace pblica, y es la que utiliza otro usuario j para

transmitir un mensaje M a i, cifrndolo de la forma C

),( ii dc

)(Mcii = , mientras que la segunda permanece privada y slo es conocida por su dueo, permite

recuperar los mensajes cifrados para i, haciendo ))M (( Mcd ii)(Cd ii == . De esta manera, se puede crear un directorio, con todas las claves pblicas

de los usuarios que participan en un sistema determinado.

Dado que , para que exista la seguridad del sistema, es

preciso que venga definida por una funcin conocida fcil de calcular,

pero que sea computacionalmente imposible

1= ii cdic

id25 de hallar a partir de ella,

sin la informacin complementaria que tiene i. Estas normas, junto con otras,

constituyen las condiciones Diffie-Hellman

25 Ver apndices, Seguridad de Shannon, sobre la seguridad computacional

18


Condiciones de Diffie-Hellman: Son considerados los iniciadores de la criptografa de clave pblica,

a raz de su artculo de 1976. En l exponen tericamente los requisitos de

cualquier sistema de este tipo, a pesar de que no utilizan ninguno a modo de

ejemplo:

El clculo de claves, pblica y privada, debe ser computacionalmente sencillo, es decir, dado por un algoritmo de complejidad polinmica26.

El proceso de cifrado debe ser computacionalmente sencillo.

El proceso de descifrado, conociendo la clave secreta, debe ser tambin computacionalmente sencillo.

La obtencin de la clave secreta, a partir de la pblica, debe ser un problema computacionalmente imposible, es decir, dado por un

algoritmo de complejidad exponencial27

La obtencin del mensaje original, conociendo el mensaje cifrado y la clave pblica, debe ser tambin computacionalmente imposible.

Una funcin que cumple esta teora es cualquier funcin trampa o

de una via, y son las que dan lugar a los sistemas criptogrficos de clave

pblica.

26 Complejidad polinmica: un algoritmo tiene complejidad polinmica si, teniendo como datos iniciales enteros ni, de longitud ki, existe un polinomio p de s variables tal que el tiempo de ejecucin de dicho algoritmo, medido en operaciones bits (una operacin bit equivale a la suma binaria (modulo 2) de dos nmeros iguales a 0 1, es decir, bits), sea

). Este tipo de algoritmos se cononcen tambin como eficientes o bueno, ya que su tiempo de ejecucin crece logartmicamente al crecer los datos, y permite ser resuelto por un ordenador en tiempo razonable. (Carlos Munuera y Juan Tena, Codificacin de la informacin, Universidad de Valladolid, 1997, pgs 264-266)

),,,(( 2 si kkkpO K

27 Complejidad exponencial: aquella en la que el tiempo de ejecucin del algoritmo es exponencial a la longitud de los datos. Dichos algoritmos son conocidos como no eficientes o malos. (Carlos Munuera y Juan Tena, obra citada)

19


Diferentes sistemas de clave pblica Actualmente, hay varios de estos sistemas funcionando, pero el

ms usual es el R.S.A., que analizamos de forma detallada en el siguiente

apartado.

Un sistema muy prctico tambin, pero que actualmente se ha

podido criptoanalizar en tiempo polinomial es el de Merkle-Hellman, basado

en el mtodo de las mochilas o Knapsack28: consiste en una sucesin de

crecimiento rpido29 ai por cada usuario, los cuales calculan ai = sa(mod r)

(siendo ) y el resultado lo publican

(clave pblica), guardando en secreto la sucesin a

1),(...1 ; 1 = =11

30 Otros sistemas de clave pblica: el del logaritmo, basado en las propiedades casi unidireccionales de algunos logaritmos ( )(log yx = ), o el sistema de El Gamal, o el de Massey-Omura, que requiere un doble trayecto de ida y de vuelta del mensaje para que su destinatario pueda descifrarlo, en cada uno de los cuales es tratado con diferentes claves para permitir su desencriptacin. Ambos son variantes de los logaritmos discretos.

20


El R.S.A.

En 1978, R.L. Rivest, A. Shamir y L. Adleman, idearon un sistema

criptogrfico que cumpla todas las condiciones de Diffie-Hellman. Este

sistema se conoce por R.S.A., en honor a sus inventores.

Desde entonces, ha mantenido su seguridad, y an hoy sigue siendo

utilizado: el nico cambio realizado es el tamao de las claves, que han

aumentado considerablemente para impedir el criptoanlisis.

El sistema est basado en la dificultad del problema matemtico de

la factorizacin de un nmero compuesto, para lo que no existen algoritmos

de tiempo polinomial, y en la facilidad de la operacin inversa, multiplicarlo.

Tiene innumerables ventajas sobre los sistemas de clave secreta:

permite el intercambio de claves, la firma matemtica, etc., con lo que se

convierte en uno de los sistemas ms tiles del momento.

21


Funcionamiento del sistema:

1. Cada usuario i elige dos numeros primos, p y q, que han de ser

suficientemente grandes (hoy en da todos los ordenadores tienen

mtodos para fabricar nmeros primos pseudoaleatorios)31, dependiendo

de la capacidad de computacin de los posibles criptoanalistas,

aproximadamente de 150 cifras.

2. Se halla n, como producto n = p q

3. Se halla z = )1)(1()( = qpn , que es la funcin del indicador de Euler32

4. Se elige un nmero d menor que z, tal que mcd( 1), =zd , es decir, d y z sean primos entre s, o primos relativos: en la prctica se coge d primo

directamente, y mayor que p y q, (mayor que el mayor de los dos), con lo

que no nos caben dudas de que sean primos entre ellos. Otro mtodo es

el algoritmo de Euclides33, para hallar el mcd, lo que evita factorizar

ambos nmeros.

5. Se obtiene un nmero e, tal que 1 )(mod1 , zdeze =


6. La clave pblica est constituida por P(n, e), la cual es enviada a los

dems usuarios, y la secreta es S(n, d), que ha de ser conservada por i.36

7. Para encriptar, se utiliza la funcin:C , siendo M el

mensaje original y C el mensaje codificado.

)(mod nM e

8. El usuario i puede desencriptar cualquier mensaje que le haya enviado

otro usuario con: ( ) nnMnCM ded modmodmod == Para que el sistema sea efectivo, n ha de ser mayor que cualquiera

de los posibles mensajes o bloques de mensajes: si se utilizan caracteres

sueltos, mientras sea mayor de 27 no habr problema alguno (sin contar con

los caracteres numricos). Normalmente esto no es ningn problema, dado el

tamao colosal de p y q.

Para el clculo de las potencias modulares se utiliza el mtodo de la

exponeniacin binaria: se basa en la posiblilidad de expresar el exponente en

su forma binaria, y a partir de ah multiplicar y potenciar la base segn el

nmero obtenido37

As, logramos descomponer las grandes potencias en otras ms

pequeas, ms manejables. El proceso de desencriptacin es el mismo, solo

que se sustituye e por d.

35 En un anillo Z / n, un elemento dZ / n tiene un nico inverso eZ / n tal que

, si y slo si mcd (d, n) = 1 nde mod1 =36 Una vez que se tienen las claves pblica y privada, z, p y q ya no son necesarios: se borran totalmente, pues lo nico que podran causar es que otra persona descubra nuestra clave privada a partir de ellos. 37 Ver apndices, algoritmos, exponenciacin binaria: es una exposicin detallada del algoritmo seguido para simplificar estas potencias modulares.

23


Ejemplo:

Vamos a intentar encriptar un mensaje de ejemplo, LA CASA

GRANDE, con el sistema R.S.A.. Utilizaremos primos muy pequeos: en la

realidad estos nmeros tienen alrededor de 150 cifras.

1. Elegimos los primos p = 17 y q = 2: con ellos calculamos n = pq = 34

2. Por lo tanto, z = (17 1)(2 1) = 16

3. Tomamos d = 3, siendo mcd(3, 16) = 1 (d y z son primos relativos).

4. Buscamos e. Para ello podemos utilizar e dzx /)1( += , siendo x un nmero natural, hasta que ocurra que el cociente no tenga resto (e ha de

ser entero). Con este mtodo, hallamos que e = 11

5. Clave secreta: (34, 3) la guarda el usuario A; Clave pblica: (34, 11) es

distribuida, y llega hasta el usuario B

Ahora, convertimos el texto letra por letra en nmeros38, basndonos en la

tabla siguiente:

A B C D E F G H I J K L M N

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

O P Q R S T U V W X Y Z [ ]

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

38 Obviamente, cuando se utiliza el sistema R.S.A. no se toman letras sueltas al cifrar el mensaje, pues el resultado as obtenido, como hemos visto, es una simple sustitucin: cada letra siempre va a dar el mismo texto cifrado, si la clave es la misma. Por eso, se toman las letras en grupos, siempre que sean menores que n, de forma que los posibles bloques a enviar son mucho ms numerosos y no se repiten apenas. En ese caso, el criptoanalista slo puede confiar en que los lenguajes son redundantes y repetitivos, y con mucho texto cifrado habr bloques que se repitan ms que otros, lo que puede permitir un ataque de frecuencias.

24


L A [ ] C A S A [ ] G R A N D E

11 00 27 02 00 19 00 27 06 18 00 13 03 04

Ya podemos comenzar a cifrar el mensaje como lo hara el usuario B39:

32102 22022)1011(11 +++== (mtodo de exponenciacin binaria)

{ }

[ ] ( )( )( )( )

3034mod419430434mod040734mod17714734mod03

2134mod1331334mod))13)((13)(13(34mod131834mod18181834mod))18)((18)(18(34mod18

2234mod36279705634mod062534mod1211934mod))19)((19)(19(34mod19

0834mod204834mod020334mod33152734mod))27)((27)(27(34mod27

0034mod034mod002934mod331911

34mod)34mod)34mod)34mod11)(((34mod11)(34mod11(34mod11

11

11

222211

222211

11

222211

11

222211

11

222211

====

======

=====

=====

====

==

EDNRGSC

A

L

El mensaje cifrado nos queda:

29 00 03 08 00 25 00 03 22 18 00 21 07 30

39 Los mdulos los calculamos de la siguiente manera: ))/((mod nnaentana = , siendo ent( ) la parte entera del nmero entre parntesis. (Utilizamos la calculadora TI 83 Plus Silver Edition, creando en ella un programa para calcular los mdulos ms cmodamente. Ver Apndice, programa utilizado para el aritmtica modular)

25


El usuario A, cuando recibe el mensaje, simplemente tiene que

aplicar su clave secreta (34, 3) sobre ste para recuperar el original:

[ ]

[ ]

EDNARG

ASAC

AL

==========

0434mod30300334mod07 071334mod21 2100 001834mod18 180634mod22 22

27 0300 001934mod25 2500 000234mod08 08

2734mod03 030034mod00 001134mod2929

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Resultado: LA CASA GRANDE

26


Firma R.S.A.40

El procedimiento es muy parecido a la encriptacin corriente, pero

se aaden algunos pasos:

1. El usuario B, que quiere enviar un mensaje a A, hace un pre-

cifrado del mensaje, con su clave secreta, y luego lo cifra con la

clave pblica de A.

2. Cuando A recibe el mensaje, aplica su propia clave secreta, sin

poder recuperar el mensaje todava. Aplica seguidamente la

clave pblica de B, con lo que aparece el mensaje original.

Con esto, A se asegura que el mensaje ha sido enviado por B y slo

por l, y que no ha sido modificado por un tercero, y B no puede negar

habrselo enviado pues slo l pudo hacerlo.

Operaciones de B:

21

1

mod3

mod21

CnC

CnMM

Ae

Bd

A

B

==

Operaciones de A:

MnC

CnC

C

Be

Ad

B

A

==

mod3

mod2

1

1

12

2

40 Una gran ventaja del R.S.A. cuando se utiliza para firmar mensajes es que permite asegurar las cualidades de No Repudio, Autenticidad e Integridad de los criptositemas, lo que le convierte en un sistema muy completo y uno de los ms seguros que existen.

27


Conclusiones

Hemos estudiado varios sitemas criptogrficos de diferentes tipos

desde el punto de vista matemtico, y hemos comprendido su

funcionamiento al experimentar con ellos, con lo que hemos descubierto que

ciertos sistemas tienen ventajas sobre otros, son ms seguros, o ms fciles

de criptoanalizar.

En concreto, hemos analizado y comprendido con un ejemplo el

algoritmo del R.S.A., un sistema de clave pblica complicado, pero que

posee muchas ventajas sobre los dems, tales como la posibilidad de firmar

matemticamente cada mensaje.

Hemos comprobado el gran valor de la criptografa en la sociedad

actual y en la historia: es una constante en nuestro mundo: internet,

comunicaciones, cuestiones econmicas y secretos de Estado dependen de

ella, y ha modificado el curso de nuestra historia en guerras, traiciones,

intrigas polticas...

Vemos que la humanidad ha ido evolucionando hacia

criptosistemas ms poderosos, y criptoanlisis ms potentes. La criptografa,

toda una ciencia, aprovecha su relacin con otras reas del conocimiento

como las matemticas, la teora de la informacin y de la comunicacin, etc.,

para mejorarse a s misma.

Hemos visto que ningun sistema es seguro al 100 % y que gracias

al criptoanlisis todos se pueden romper, como ha demostrado la historia.

Llegar un da en que seamos capaces de crear un sistema que no se pueda

destruir? Parece imposible que los mismos creadores de un sistema sean

vencidos por su propia obra. En mi opinin, eso nunca ocurrir, pero con la

aplicacin de las matemticas en la criptografa podemos obtener resultados

muy positivos.

***

N de palabras: 3.970

28


Apndices

29


Criptoanlisis

Si el propsito de la criptografa es garantizar la seguridad y el

secreto de un mensaje, el criptoanlisis busca por todos los medios descubrir

ese mensaje secreto, o la clave con la que est codificado, lo que permitira

entender todos los mensajes posteriores.

El primer mtodo en utilizarse fue sin duda el conocido como

fuerza bruta, es decir, ir probando todas las posibles claves hasta dar con la

correcta.

Hay dos tipos de mtodos bsicos:

1. Activos: el criptoanalista lleva a cabo acciones como hacerse pasar por

un transmisor autorizado, tratar de sustituir o modificar los mensajes

entre dos usuarios, etc.

2. Pasivos: el criptoanalista tan solo intenta recuperar la clave y el mensaje

a partir del texto cifrado C. No participa, por tanto, en la comunicacin

entre los usuarios del sistema. Son, a su vez, de cuatro tipos distintos

Ataques con texto cifrado conocido: si slo se dispone de textos cifrados: son los criptoanlisis ms duros. Aun as, se

puede realizar un anlisis de frecuencias, por ejemplo.

Ataques con texto claro conocido y su respectivo cifrado: esto ya es diferente: permite al criptoanalista descubrir relaciones

entre ambos textos, hasta recuperar la clave k.

Ataques con texto claro elegidos: el criptoanalista tiene tal acceso al sistema que puede elegir cualquier texto en claro

que l desee y obtener su correspondiente cifrado.

Ataques con texto cifrado elegido: es lo contrario que lo anterior: el criptoanalista puede obtener el texto descifrado de

cualquier texto cifrado que l elija. Es el ms ventajoso de

todos, permite revelar cualquier mensaje secreto.

30


Anlisis de Frecuencias

Un ataque muy corriente que el criptoanalista puede llevar a cabo

cuando no tiene acceso total es un intento de anlisis de frecuencias. Todos

los idiomas son redundantes: se repiten los signos que utilizan, y unos con

mayor frecuencia que otros. Aprovechando esto, el criptoanalista puede

buscar los smbolos ms repetidos en el mensaje cifrado, y sustituirlos por

las letras ms usuales en el sistema original. Las letras ms comunes son las

siguientes, para el ingls y el francs son41:

Frances E S A R N U T L I O Total Frecuencia % 15 8 6 5,5 5,4 4,8 4,7 4,6 4,5 4 54,5%

Ingles E T A O I N S H R Total Frecuencia % 10 8,2 7 6,5 6,4 6,3 6 4 3,6 61,1%

En espaol, son las letras del abecedario tienen las siguientes frecuencias42:

Altas Medias Bajas Bajas E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30% A - 11,96% U - 4,80% Q - 1,53% - 0,29% O - 8,69% I - 4,15% B - 0,92% Z - 0,15% L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89% X - 0,06% S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00% N - 7,01% P - 2,776% F - 0,52% W - 0,00%D - 6,87% M - 2,12% V - 0,39%

Vemos que la E es la ms comn en los tres idiomas, por lo que es

lgico sustituir el smbolo ms comn por esta letra, si el mensaje est en

uno de estos lenguajes.

41 Datos de: http://rinconquevedo.iespana.es/rinconquevedo/Criptografia/frecuencia.html, tablas de frecuencias para idiomas comunes. 42 Datos de: Enrique Fontanillo Estudio lexicomtrico, diario El Pas

31


Seguridad de Shannon

Shannon, 1916, Michigan. Publica por primera vez su artculo A

mathematical theory of communication en 1948. Es considerado el padre de

la teora de la informacin, y es uno de los hombres que ms han

evolucionado individualmente el concepto de comunicacin humana.

Fue Shannon quien describi los requisitos de seguridad de

criptosistemas de una forma explicita: la difusin y la confusin:

El propsito de la difusin consiste en evitar en lo posible la redundancia del texto original sobre el texto cifrado, y aumentar el desorden. Para

ello, podemos utilizar la transposicin, que evita los criptoanlisis

basados en las frecuencias de las n-palabras. Otra manera de conseguirlo

es hacer que cada letra del texto cifrado dependa de un gran nmero de

letras del texto base, con lo que adems acortaramos su longitud (cifrado

en bloque).

La confusin, en cambio, consiste en hacer que la relacin entre la clave y el texto cifrado sea lo ms compleja posible, haciendo as que las

estadsticas del texto cifrado no estn muy influidas por las del texto

original. Eso se consigue normalmente con la sustitucin.

En solitario, ni confusin ni difusin constituyen buenas tcnicas

de cifrado: En cambio, cuando se unen, pueden dar lugar a criptosistemas

muy seguros, como el D.E.S. y sus variantes (triple D.E.S., etc.), que se

utilizan ampliamente en la red. Se basan en una mezcla de transposicin y

sustitucin, es decir, un criptosistema producto, (aquel que combina dos o

ms tipos de sistemas simples) con lo que logran reunir un alto nivel de

confusin y de difusin.

32


Shannon tambin aport los conceptos de seguridad incondicional

y seguridad computacional:

Seguridad incondicional: Un sistema criptogrfico es incondicionalmente seguro si es irrompible, no importa si el criptoanalista tiene tiempo y

recursos ilimitados

Seguridad computacional: Un sistema criptogrfico es computacional-mente seguro si es irrompible, suponiendo que el criptoanalista posee

tiempo y recursos limitados.

La seguridad incondicional parece ser inalcanzable: hoy en da lo

nico que se ha logrado producir han sido sistemas de tal complejidad

computacional que se supone que los mejores criptoanalistas tardaran aos

en romper con los mejores equipos actuales, lo que es suficiente para

mantener la seguridad.

El sistema R.S.A. cumple este requisito de complejidad

computacional: hoy en dia un nmero de 150 cifras o ms es

computacionalmente casi imposible de factorizar, con le que se logra un

grado de seguridad muy alto

33


Algoritmos

Algoritmo de Euclides 43Es un algoritmo muy antiguo, que permite hallar el mcd (mximo

comn divisor) de dos nmeros, a, b, en un tiempo , es decir,

polinmico, sin necesidad de factorizar los nmeros dados.

))((log3 aO

Siendo 0, bbaZ,

, por la regla de la divisin tenemos que a = bq

+ r, rqba ,,

Se cumple que el mximo comn divisor de (a, b) es tambin el

mximo comn divisor de (r, b). Nos basamos en esto durante el algoritmo:

el mcd de dos restos, avanzado el proceso, ser el mismo que el de los

nmeros originales.

Como mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|), tomamos a b > 0.

1. Dividimos a entre b, a = bq1 + r1, con 0 r1< b 2. Si r1 = 0, como a b, es obvio que b = mcd(a, b), ya que divide a a.

Terminamos el proceso

3. Si r1 0, dividimos b entre r1, b = r1q2 + r2, siendo 0 r2 < b 4. Si r2 = 0, entonces mcd(b, r1) = r1 y mcd(a, b) = r1. Terminamos.

5. Si r2 0 continuamos dividiendo r1 por r2, y as sucesivamente, hasta que 6. De este modo obtenemos un conjunto de nmeros r1 > r2 >... , de modo

que llegaremos a un rn = 0 en un nmero finito de pasos. Entonces:

rn1 = mcd(rn2, rn1) = mcd(rn3, rn2) = ... = mcd(b, r1) = mcd(a, b)

43 Fuente orientativa: Carlos Munuera y Juan Tena, obra citada, pgs 268-269.

34


Ejemplo:

02484:8438288:28

81283628:36281366436:64

36126480464:8046428041672804:1672

8042167241481672:4148:)1672 ,4148mcd(

+=+=+=+=

+=+=+=

Como 8 : 4 es exacto, conclumos que mcd (8, 4) = 4, lo que implica que mcd (28, 8) = 4, ... , y finalmente: mcd (4148, 1672) = 4

35


Exponenciacin binaria:

44El mtodo surge a partir de una propiedad de la aritmtica modular:

( )

( )exxxxsiendo

nnananananaaaan

mmbmamab

i

xxxx

xxxx

i

i

=++++=

==

=

... :mod)mod()mod)(mod)(mod(

mod)(moda:obtenemos donde De

mod)mod)(mod(mod

321

e

321

321

KK

El nmero e puede expresarse en forma binaria, de cifras

, siendo (k es el nmero

de cifras binarias). Sabemos que en base binaria, los nmeros estn

compuestos exclusivamente de unos y ceros, por lo que algunos se

anularn.

1210 ,...,,, kcccc 11

22

11

00 2...222

++++= kk cccce

ii c2

Sustituyendo estos valores arriba, tenemos que : ii

i cx 2=

( )eccccsiendo

nnananana

kk

cccc kk

==

11

22

11

00

2222

2...222 :mod)mod()mod)(mod)(mod( 1

12

21

10

0 K

Ejemplo:

[ ][ ]{ }[ ][ ]{ }[ ][{ } 5mod)5mod(5mod)5mod(5mod)5mod)5mod)5mod)5mod((((5mod 5mod)5mod(5mod)(5mod))))((((5mod5mod)5mod(5mod(5mod5mod

222)100101(37

1222222237

1222222237

22237

0252

025

aaaaaaaa

aaaa

===

++==

]

De esta forma somos capaces de calcular grandes potencias

modulares mucho ms cmodamente, y dado que muchos factores se repiten,

es suficiente con calcularlos una vez y volverlos a reutilizar cuando sean

necesarios. Es utilizado en el sistema R.S.A.

44 Fuente orientativa: Neal Koblizt, obra citada, pgs 22-23.

36


Programa utilizado

A continuacin adjunto el programa que he creado en la

calculadora y que me ha permitido calcular todas esas operaciones con

mdulos, en los ejemplos del R.S.A. Es muy simple, pero me ha ahorrado

muchas operaciones repetitivas.

LimpPrinc Limpia la pantalla

Mostrar aritmtica modular Ttulo

Mostrar A^B mod M Ttulo

Input Modulo M =, M El programa pide el valor de M, mdulo

Lbl C Etiqueta C

Input Valor A =, A El programa pide el valor A

A (ent /A/M)M) R Halla el mdulo y lo guarda en R Mostrar Resultado: , R Muestra R

Goto C Vuelve a C, para continuar con el mismo valor M

37


Bibliografa

Libros y Revistas:

[01] J. L. Gmez Pardo, La Gaceta de la Real Sociedad Matemtica Espaola Vol. 5, n 3, Septiembre-Diciembre 2002. Seccin Criptografa y curvas elpticas, pgs 738-777. Ed. Grficas Juma, Madrid 2002. R.S.M.E., 2002

[02] Joseph A. Gallian, Solomon Garfunkel, Las Matemticas en la vida cotidiana Captulo 10, pgs 303-331 Ed. Universidad Autnoma de Madrid. Madrid, 1999. Addison Wesley Iberoamericana.

[03] Carlos Munuera y Juan Tena, Codificacin de la Informacin Ed. Universidad de Valladolid, Valladolid 1997

[04] LL. Huguet, J. Rif, Comunicacin Digital, (Teora Matemtica de la Informacin, Codificacin Algebraica, Criptologa) Ed. Masson, S.A., Barcelona 1991

[05] Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography (Un curso en Teora de los Nmeros y Criptografa), (en ingles). Ed. Springer-Verlag, New York Inc. Nueva York, 1987

[06] Grupo Larousse, Nueva Enciclopedia Larousse, Planeta n 3. Ed. Planeta, Barcelona, 1982

[07] Microsoft Corporation, Encarta 98 (CD-Rom) Criptografa Microsoft Encarta, 1993-1997

Pginas Web en Internet:

[01] Rincn Quevedo, Introduccin a la Criptografa. A consultar en el World Wide Web: http://rinconquevedo.iespana.es/rinconquevedo/Criptografia/introduccion.html

[02] Criptosistemas. A consultar en el World Wide Web: http://es.tldp.org/Manuales-LuCAS/doc-unixsec/unixsec-html/node306.html#crypsys

38


39

[03] HTML Seguridad, Criptografa Diffie Hellman. . A consultar en el World Wide Web: http://www.htmlweb.net/seguridad/cripto/cripto9.html

[04] MundoCripto: Nmeros Primos. . A consultar en el World Wide Web: http://webs.ono.com/usr005/jsuarez/primos.htm

[05] RSA. A consultar en el World Wide Web: http://pracgi.ulpgc.es/~a1480/rsa.htm

[06] Matemticas.net Criptotaller. A consultar en el World Wide Web: http://www.matematicas.net/paraiso/cripto.php?id=cripto

Herramientas matemticas utilizadas:

Calculadora grfica Texas Instrument TI-83 Plus Silver Edition. Programa de clculo Derive 5, 2002 Texas Instrument. Version 5.06 Calculadora de Windows 98, Microsoft

ResumenndiceIntroduccinCripografa: DefinicinLa criptografa en la historia y en la actualidaCriptosistemasCriptosistemas de clave secretaSustitucin - El sistema del CsarTransposicin - Transposicin simple

Criptosistemas de clave pblicaCondiciones de Diffie-Hellman:Diferentes sistemas de clave pblica

El R.S.A.Funcionamiento del sistema:Ejemplo:Firma R.S.A.

ConclusionesCriptoanlisisAnlisis de Frecuencias

Seguridad de ShannonAlgoritmosAlgoritmo de EuclidesExponenciacin binaria:

Programa utilizado

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Una Introducción a La Criptografía,El Criptosistema Rsa